Лекция - pitf.ftf.nstu.rupitf.ftf.nstu.ru/files/zaikin/2016-2017/2017_Lec06.pdf · Лекция 6 Колебательные процессы. Гармонический осциллятор.

Лекция 6

Колебательные процессы.

Гармонический осциллятор.

Пружинный, математический и физический маятники.

Сложение колебаний одного направления.

Метод векторных диаграмм.

Биения.

Гармонический осциллятор

0 0sinx t A t

0 02 0 0

1 2T

0 0 0cosV x A t

20 0 0sina x A t

20x x

20 0x x

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Комплексная форма колебаний

cos sinie i

0 0i ts t Ae

Пружинный маятник

-x 0

F

F ma

F kx

a x

mx kx

20 0x x

0 k m

Начальные условия

0x A 0 0V

0 0x 00V V

-x 0

F20 0x x

0 0sinx t A t

0 k m

Энергия маятника

2 2

00 01 cos2

4

mAT t

2 2

00 01 cos2

4

mAU t

2

2

mVT

2

2

kxU

2 20

2

mAT U

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

потенциальная

кинетическая

полная

Физический маятник

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания поддействием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальнойоси, не проходящей через центр масс.

l

h

l

M

O

1 cosU mgh mgl

2

2

JT

1 2cos 1 2

0E 20 0

20

mgl

J

2 2

2 2

JE mgl

l

h

l

M

O

Математический маятник

Pt

l

P

T

P T Pt

sinP mgt

1 sin

P mgt

sinx l l

P mat t

a V lt 20 0

0g

l 2

lT

g

Квазиупругая сила

y

R

r

3 34

3r

gM r r

GR

2rmM mg

F G rRr

20F m y 0

g

R

02 84,4T мин

2

mMmg G

R 3

3

44 3

M g

GRR

Сложение колебаний одного направления и одной частоты

1 1 1sinx A t

2 2 2sinx A t

1 2x x x

sinx A t

Суммарное колебание будет гармоническим и той же частоты.

Векторная диаграмма

t

y

x

A

0 0sinyA A t

2 2 21 2 1 21 2

2 cosA A A A A

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sin

cos cos

A Atg

A A

y

x

A1

A2

A

2 2 21 2 1 21 2

2 cosA A A A A

1 2 2m

1 2A A A

1 2 2 1m

1 2A A A

2 2 21 2 1 21 2

2 cosA A A A A

Биения

1 sinx A t

2 sinx A t

1 2x x x sinx B t t 2 cos2

B t A t

2bT

2T

bT T

Биения - явление периодического изменения амплитудырезультирующего колебания при сложении двух колебанийодного направления с близкими частотами.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250Ряд1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 50 100 150 200 250

Ряд1

• Наложении двух колебаний с частотами 300 Гц и 305 Гц