수명분포 수명분포 및 및 신뢰도의 신뢰도의 통계적 통계적 추정 추정 포항공과대학교 포항공과대학교 산업공학과 산업공학과 전치혁 전치혁 2001. 11. 2001. 11.
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
수명수명 및및 수명분포수명분포
•• 수명수명
- “고장”까지의 시간
- 확률변수로 간주
- 통상 잘 알려진 분포를 따른다고 가정
•• 수명수명 분포분포
- 확률밀도함수 또는 (누적)분포함수로 표현
- 신뢰도, 고장률, MTTF 등 신뢰성지표는 수명분포로부터 도출
- 수명분포 추정은 분포함수관련 모수의 추정
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
•• 누적분포함수누적분포함수(cumulative distribution function) – 어떤 특정 확률 변수가 특정 값 t 보다 작을 확률
– 확률변수 X 의 누적분포함수 F(.) 는 모든 실수 t 에 대하여다음과 같이 정의된다.
– 구간에 대한 확률 정의
•• 확률밀도함수확률밀도함수(Probability Density Function)
– 위의 함수 f(x)가 존재한다고 할 때 이 함수 f(x)를 확률변수X의 확률밀도함수라 한다.
누적분포함수누적분포함수 및및 확률밀도함수확률밀도함수
)()( tXPtF ≤=
).()(}{}{}{ aFbFaXPbXPbXaP −=≤−≤=≤<
∫=<<=≤≤b
adxxfbXaPbXaP )(}{}{
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
누적분포함수의누적분포함수의 성질성질
•• 누적누적 분포함수와분포함수와 확률밀도함수와의확률밀도함수와의 관계관계
– 누적분포함수를 알면 미분을 통해 확률밀도함수를 알수 있다.
– 전구간에 대해 확률밀도함수를 적분하면 1이 된다.
)()( xFdxdxf =
∫ ∞−=≤=
tdxxftXPtF )()()(
∫∞
∞−==∞ 1)()( dxxfF
x
f(t)
t
F(t)
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
누적분포함수누적분포함수 및및 확률밀도함수의확률밀도함수의 예예
• 어떤 설비의 수명을 나타내는 확률변수 X의 누적 분포함수가 다음과 같은 형태라 하자.
0,1)(2
≥−= − tetF t
0,2)()(2
≥== − t tedttdFtf
0183.03679.0)1()1(
)1()2(}21{14 −=−=
−=≤<−− -e-e
FFXP
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
신뢰도신뢰도 함수와함수와 고장률고장률
• 신뢰도함수와 고장률
–– 신뢰도함수신뢰도함수(Reliability function) : R(t)⇒시간의 함수로서 특정한 시간까지 고장없이 주어진 임무
를 수행할 확률
–– 고장률고장률(failure rate or hazard rate) :⇒ 시간의 함수로서 시간 t에서의 고장률은 시간 t까지 고장
이 없다가 시간 t 직후 고장을 일으킬 단위시간당 빈도를의미
⇒ λ(t)∆t 는 시간 t까지 고장이 없다가 (t, t+ ∆t )사이에 고장을 일으킬 확률로 해석
)(1)()( tFtXPtR −=≥=
)(1)(
)()()(
tFtf
tXPtft
−=
≥=λ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
수명의수명의 기대치와기대치와 분산분산
•• 기대치기대치(또는 평균평균) (expectation; mean)– 확률변수가 취하는 평균적인 값
•• 분산분산(variance)– 평균을 기준으로 퍼져있는지를 판단하는 척도
where
•• 표준편차표준편차(standard deviation)– 분산의 제곱근
MTTFdxxxfXE == ∫∞
0)(][
222 ])[(][]])[([][ XEXEXEXEXVar −=−=
∫= ∞0
22 )(][ dxxfxXE
][)( XVarXstd =
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
지수분포지수분포
•• 지수분포지수분포– 수명분포로 가장 널리 이용
–– 확률밀도함수확률밀도함수
–– 누적분포함수누적분포함수
–– 신뢰도신뢰도 함수함수
–– 고장률고장률
0,)( ≥= − tetf tλλ
tt xt edxedxxftF λλλ −− −=∫=∫= 1)()( 00
tetFtR λ−=−= )(1)(
λλλ λ
λ
==−
= −
−
t
t
ee
tFtft
)(1)()(
지수분포의 모수: λ
-> 고장률, 평균수명의 역수
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
지수분포지수분포: =2: =2 일때일때
0,2)( 2 ≥= − tetf t tetF 21)( −−=
tetFtR 2)(1)( −=−= λλ == −
−
t
t
eet 2
22)(
확률밀도함수확률밀도함수 누적분포함수누적분포함수
신뢰도신뢰도 함수함수 고장률고장률
λ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
와이블와이블 분포분포
•• 와이블분포와이블분포– 고장률이 노후 등으로 시간에 따라 커지는 경우에 사용
–– 확률밀도함수확률밀도함수
–– 누적분포함수누적분포함수
–– 신뢰도신뢰도 함수함수
–– 고장률고장률
0 ,)()( )(1 ≥= −− tettf t αλαλαλ
αλ )(
01)()( ttedxxftF −−== ∫
αλ )()(1)( tetFtR −=−=
1)(
)(1)()(
)(1)()( −
−
−−
==−
= αλ
λαλαλλαλλ α
α
te
ettFtft
t
t
와이블분포의 모수
α: 형태모수(shape parameter)
λ: 척도모수(scale parameter)
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
와이블와이블 분포의분포의 확률밀도함수확률밀도함수
α=0.5
α =1
α =3
α =1.5
0 ,)()( )(1 ≥= −− tettf t αλαλαλ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
와이블와이블 분포의분포의 고장률고장률
α =0.5
α =1
α=3
α =1.5
11
1)()( −= αλαλλ ttα>1: increasingα=1: constantα<1: decreasing
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
수명분포와수명분포와 MTTFMTTF
• 수명 X 가 지수분포를 따른다고 할 때
• 수명 X가 와이블분포를 따른다고 할 때
λλ λ 1 )(][
00 ∫∫∞ −∞
==== dxexdxxxfXEMTTF x
Γ==
ααλ11][XEMTTF
)1()1()(0
1 −Γ−==Γ ∫∞ −− βββ β dxex x
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
• 어떤 부품의 수명이 α=2, λ=0.0001 의 와이블분포를 따른다고 하자. - 평균 수명
– t=10,000 (시간)에서의 신뢰도
– t=10,000 (시간)에서의 고장률
– t=20,000 (시간)에서의 고장률
와이블와이블 분포의분포의 예예
27.88625000 )5.0()0002.0/1(][ ==Γ== πXEMTTF
3679.0)10000( 110000
)0001.0( 2=== −
=− eeR t
t
0002.0)1(0002.0)10000( 12 == −λ
0004.0)2(0002.0)20000( 12 == −λ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
분포함수의분포함수의 추정추정
•• 추정추정– 고장데이터를 바탕으로 수명분포의 모수값들을 정하는 것
•• 검정검정– 고장데이터들이 주어진 분포에 잘 맞는지 여부를 통계적으로
판단하는 것
•• 추정추정 방법방법
–– 확률지확률지에 의한 방법
– 모멘트 방법
– 최우추정법: 우도함수를 최대화하는 모수값 결정
2][;][ sXVarXXE ==
F(t)
t
F(t)
t
x축 Y축의 척도조정
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
와이블와이블 확률지확률지
-2.3 0 2.3 4.6
)(11lnlntF
Y−
=
tX ln=
0.1 1 10 100
Y=063%
10%
0
-2
-2
-4
2
X=0
1
F(t)
t
X=1,Y=01
T
)(ˆ TF
m̂ m̂
η̂
)/11(/10 mt m +Γ=µ { } 2/12/1
0 )/11()/21( mmt m +Γ−+Γ=σ
mt /10=η0/1)( ttmetF −−=
ηµ
ησ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
수명시험과수명시험과 고장데이터고장데이터 종류종류
• n 개의 부품을 시간 0에 시험 시작
•완전고장데이터
•정시고장데이터 (type I censored data)
12…n
0
t1t2
tn
12…n
0
t1t2
tn
T•정수고장데이터 (type II censored data)
n개의 부품이 모두고장날때까지 시험
주어진 시간 T까지
시험
정수 r개의 부품이고장날때까지 시험
12…n
0
t1t2
tnyr
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
최우추정법최우추정법 ((Maximum Likelihood Estimation)Maximum Likelihood Estimation)
• 확률밀도함수 f(t; θ), θ: parameter(s)• Data:
• 우도함수 (likelihood function)
• 최우추정법: 우도함수를 최대화하는 모수 θ 값 결정
),...,,( 21 nttt
);();();();( 21 θθθθ ntftftfdataL L=
L(θ)
θθ*
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
데이터데이터 종류와종류와 우도함수우도함수
• 완전고장데이터 (complete or uncensored data)
);();(1
θθ ∏=
=n
iitfdataL
• 정시고장데이터 (type I censored data)
[ ] rnr
ii TRtfdataL −
=∏= );();();(
1
θθθ
• 정수고장데이터 (type II censored data)
(r: T까지의 고장 부품수)
[ ] rnr
r
ii yRtfdataL −
=∏= );();();(
1
θθθ ( : r번째 부품의 고장시간)ry
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
지수분포지수분포 모수의모수의 최우추정최우추정
0 ,);( ≥= − tetf tλλλ
• 완전고장데이터
∑=
−
=
− == ∏n
ii
i
tn
n
i
t eedataL 1
1
);(λ
λ λλλ
∑=
−=n
iitndataL
1
ln);(ln λλλ
0ln
1
=−=∂
∂ ∑=
n
iit
nLλλ
tt
nn
ii
1ˆ
1
==
∑=
λ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
지수분포지수분포 모수의모수의 최우추정최우추정 ((계속계속))
• 정시고장데이터 (type I censored data)
( ) ∑=
−−−
=
−−− == ∏r
ii
i
trTrn
r
i
trnT eeeedataL 1)(
1
);(λ
λλλ λλλ
∑=
−+−−=r
iitrTrnL
1
ln)(ln λλλ
0)(ln
1
=−+−−=∂
∂ ∑=
r
iit
rTrnLλλ
∑=
−+
= r
ii Trnt
r
1
)(λ̂
• 정수고장데이터 (type II censored data)
∑=
−+
= r
iri yrnt
r
1
)(λ̂
=고장수/총시험시간λ̂
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
α=0.1, 0.2, … 에 대해
산출
lnL이 최대가 되는 (α, λ) 결정
와이블분포와이블분포 모수의모수의 최우추정최우추정
0 ,)(),;( )(1 ≥= −− tettf t αλαλαλλα
• 완전고장데이터∑
== =−
=
−
=
−− ∏∏
n
ii
itn
ii
nnn
i
ti etetdataL 1
1
1
1
)(1)();,(αα
α λααλα λαλαλλα
∑∑==
−−++=n
ii
n
ii ttnnL
11ln)1(lnlnln ααλαλαα
0ln
0lnlnlnlnln
1
1
111
=−=∂
∂
=−−++=∂
∂
∑
∑∑∑
=
−
===n
ii
i
n
ii
n
ii
n
ii
tnL
ttttnnL
αα
αααα
αλλα
λ
λλλλαα
∑= α
αλitnˆ
∑=
= n
iit
n
1
ˆα
αλ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
와이블분포와이블분포 모수의모수의 최우추정최우추정 ((계속계속))
• 정시고장데이터 (type I censored data)
ααα
λλ
ααλαλα ))((
1
1 1);,( Trntr
ii
rr eetdataL
r
ii −−
−
=
−∑
= =∏
αααα λλαλαα TrnttrrLr
ii
r
ii )(ln)1(lnlnln
11−−−−++= ∑∑
==
αααα αλαλλα
λTrntrL r
ii
1
1
1 )(ln −
=
− −−−=∂
∂∑
∑=
−+= r
ii Trnt
r
1)(
ˆαα
αλ
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
MinitabMinitab에서의에서의 분석분석 ((계속계속))
Weibull, uncensored Case
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
Minitab Minitab 분석분석 결과결과 –– WeibullWeibull, Uncensored Case, Uncensored Case
AD* 1.488Goodness of Fit
1000 10000
1
5
10
20
304050607080909599
Weibull Probability
Per
cent
0 5000 10000 15000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Survival Function
Pro
babi
lity
0 5000 10000 15000
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
Hazard Function
Rat
e
0 5000 10000 15000
0.00000
0.00005
0.00010
Probability Density Function
Overview Plot for F-timeML Estimates - Complete Data
ShapeScale
MTTF
FailureCensor
2.10317576.4
6710.3
80
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
Minitab Minitab 분석결과분석결과 –– WeibullWeibull, type I censored, type I censored
AD* 14.81Goodness of Fit
1000 10000
1
5
10
20
304050607080909599
Weibull Probability
Per
cent
0 10000 20000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Survival Function
Pro
babi
lity
0 10000 20000
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
Hazard Function
Rat
e0 10000 20000
0.00000
0.00005
0.00010
Probability Density Function
Overview Plot for F-timeML Estimates - Type 1 (Time) Censored at 10000
ShapeScale
MTTF
FailureCensor
1.58168614.4
7731.9
62
IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정
Minitab Minitab 분석결과분석결과 –– WeibullWeibull, type II censored, type II censored
AD* 14.81Goodness of Fit
1000 10000
1
5
10
20
304050607080909599
Weibull Probability
Per
cent
0 10000 20000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Survival Function
Pro
babi
lity
0 10000 20000
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
Hazard Function
Rat
e
0 10000 20000
0.00000
0.00005
0.00010
Probability Density Function
Overview Plot for F-timeML Estimates - Type 2 (Failure) Censored at 7
ShapeScale
MTTF
FailureCensor
1.58168614.4
7731.9
62