АЛГЕБРАИТЕОРИЯЧИСЕЛ Часть1.Матрицы ... · 2016. 5. 11. · Утверждено научно-методическим советом факультета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ»

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛЧасть 1. Матрицы. Определители.Системы линейных уравнений

Учебно-методическое пособие для вузов

СоставительК.П. Лазарев

Издательско-полиграфический центрВоронежского государственного университета

2009

Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 24 ноября2008 г., протокол № 3

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры алгебры и топологическихметодов анализа Н.М. Близняков

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре вычислительнойматематики и прикладных информационных технологий факультета ПММВоронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1 курса факультета ПММ, обучающихся поспециальности «Математическое обеспечение и администрирование инфор-мационных систем». Будет полезно для студентов других естественно-на-учных специальностей, а также при выполнении курсовых и дипломныхработ и в самостоятельной научно-исследовательской работе студентов.

Для специальности 010503 — Математическое обеспечение и администри-рование информационных систем

Содержание

1. Матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1. Определение матрицы, виды матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Основные операции над матрицами. Свойства операций . . . . . . 61.3. Транспонирование матриц. Вычитание матриц . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Коммутирующие (перестановочные) матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Степени матрицы. Многочлены от матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Матрицы элементарных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1. Перестановки. Свойства перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Определитель n-го порядка. Частные случаи определителя для

n = 2, n = 3 и треугольной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Подматрицы, миноры, алгебраические дополнения.

Разложение определителя по строке (столбцу) . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Определитель суммы матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Разложение определителя по нескольким строкам (столбцам) 262.7. Определитель блочно-треугольной матрицы. Определитель

произведения квадратных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Ранг матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1. Ранг матрицы. Сохранение ранга при элементарных

преобразованиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Вычисление ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Пространство Rn. Линейная комбинация. Линейная

зависимость и независимость векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре . . . . . . . 373.5. Критерий линейной зависимости (независимости) векторов в

Rn. Необходимое и достаточное условие равенства нулюопределителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Обратная матрица и её применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1. Обратная матрица. Свойства обратных матриц . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Нахождение обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Решение матричных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1. Критерий совместности системы линейных уравнений . . . . . . . . 445.2. Правило (метод) Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3. Структура решений однородной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4. Структура решений неоднородной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5. Критерий линейной зависимости (независимости) векторов

в Rn. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

1. Матрицы

1.1. Определение матрицы, виды матриц

Определение 1. Матрицей называется упорядоченная совокупностьm · n элементов, расположенных в виде таблицы, содержащей m строки n столбцов:

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . .

am1 am2 . amn

.

Здесь aij , i = 1,m, j = 1, n – обозначенияэлементов матрицы.1Элементами могут бытьчисла, многочлены и т. п. Индексы i, j означа-ют, что элемент aij расположен на пересече-нии i -й строки и j -го столбца.

Числа m и n называются размерами матрицы.2

Матрицу можно обозначить следующим образом: A, A(m×n), A(aij),A = (aij), A = (aij)i=1,m,j=1,n, или она указывается явно в виде таблицы,

например, A =(

5 21 3

)или A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . .

am1 am2 . . . amn

.

Для обозначения элемента, расположенного на пересечении i-й строки иj-го столбца матрицы A используются символы aij или {A}ij, в некото-рых случаях один или оба индекса ставятся вверху.

Определение 2. Матрица размера m × n при m = n называетсяквадратной порядка n, а при m 6= n – прямоугольной.

Совокупность элементов a11, a22, a33, . . . , ann квадратной матрицыпорядка n называют главной диагональю, а сами элементы – диагональ-ными. Остальные элементы называются внедиагональными.

Множество всех матриц размера m×n с элементами из множестваP обозначается через Mm,n(P ).3

Квадратную матрицу A порядка n называют

− верхней (правой) треугольной,если aij = 0 при i > j, т. е.

A =

a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n. . . .

0 0 . . . ann

;

− нижней (левой) треугольной,если aij = 0 при i < j, т. е.

A =

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0. . . .

an1 an2 . . . ann

;

− симметричной, если aij = aji при всех i и j;1 Запись i = 1,m означает, что i пробегает множество [1,m] ∩ Z.2 Пишут: «Матрица размера m× n» и говорят: «Матрица размера эм на эн».3 Далее будем рассматривать матрицы с вещественными элементами, т. е. при P = R.

4

− кососимметричной, если aij = −aji при всех i и j (тогда aii = 0 приi = 1, n);− диагональной, если aij = 0 при i 6= j; 4− единичной, если aij = 0 при i 6= j и aii = 1 при i = 1, n. 5

Определение 3. Нулевая матрица — это матрица со всеми нулевы-ми элементами. Будем обозначать нулевую матрицу через O.6

Определение 4. Матрицу A(m× n) называют:− трапецевидной, если она имеет следующий вид:

1)

a11 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗0 a22 . . . ∗ ∗ . . . ∗. . . . . . .

0 0 . . . akk ∗ . . . ∗0 0 . . . 0 0 . . . 0. . . . . . .

0 0 . . . 0 0 . . . 0

или 2)

a11 0 . . . 0 0 . . . 0∗ a22 . . . 0 0 . . . 0. . . . . . .

∗ ∗ . . . akk 0 . . . 0∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0. . . . . . .

∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0

,

здесь найдется k, 1 6 k 6 m такое, что все элементы a11, a22, . . . , akkотличны от нуля и в случае 1) aij = 0 для i > j и i > k, т. е. дляi > min(j, k), а в случае 2) aij = 0 для j > i и j > k, т. е. дляj > min(i, k); 7

− блочной или клеточной, если она разбита вертикальными и горизон-тальными линиями на блоки (клетки), являющиеся матрицами. Такимобразом, все её элементы – матрицы, причем в каждой фиксированнойстроке стоят матрицы, имеющие одно и то же число строк, и в каж-дом фиксированном столбце стоят матрицы, имеющее одно и то жечисло столбцов.

Определение 5. Квадратная блочная матрица с квадратными диа-гональными блоками называется блочно-диагональной; блочно-треуголь-ной — если она приобретает такой вид при замене нулевых блоков числом0 , а ненулевых блоков любым другим числом.

Определение 6. Матрицу A(1 × n) называют строчной, строкой,вектором-строкой или просто вектором.

Обозначения: A = (a1 a2 . . . an), A = (a1, a2, . . . , an).Матрицу A(n×1) называют столбцевой, столбцом, вектором-столб-

цом или просто вектором.

Обозначения: A = [a1 a2 . . . an], A = [a1, a2, . . . , an], A =

a1. . .an

,

A = (a1, a2, . . . , an)′, A = (a1, a2, . . . , an)T .4 Обозначение: A = diag(a11, a22, . . . , ann). Среди элементов a11, a22, . . . , ann могут быть нули.5 Для единичной матрицы порядка n используются обозначения J , Jn, E , En.6 Часто пишут просто 0 (нуль), считая из контекста ясным, что это нулевая матрица.7 При k = m нулевые строки, а при k = n нулевые столбцы в матрице отсутствуют.

5

Множества Mn,1(R) и M1,n(R) обозначаются через Rn (из контекстаясно, о строках или столбцах идет речь). Иногда M1,n(R) обозначаетсячерез Rn∗.

1.2. Основные операции над матрицами. Свойства операций

Определение 1. Матрицы A(m×n) и B(p×q) равны (запись A=B ),если их размеры одинаковы, т. е. m = p, n = q, и все соответствующиеэлементы равны, т. е. {A}ij = {B}ij при всех i = 1,m и j = 1, n.

Определение 2. Суммой матриц A(m × n) и B(m × n) называет-ся матрица размера m × n с элементами {A}ij + {B}ij, обозначаемаяA + B. Операция, сопоставляющая матрицам A и B матрицу A + B,называется сложением матриц.

Определение 3. Произведением матрицы A(m× n) на число α ∈ R[слева] называется матрица размера m×n с элементами α{A}ij, обозна-чаемая αA. Операция, сопоставляющая матрице A и числу α матрицуαA, называется умножением матрицы на число.

Определение 4. Пусть заданы матрицы A ∈ Mm,n, B ∈ Mn,r (числостолбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы).Произведением матрицы A на матрицу B [справа] 8 называется матри-ца C размера m×r с элементами {C}ij = {A}i1{B}1j +{A}i2{B}2j + . . . ++{A}in{B}nj =

n∑k=1{A}ik{B}kj, i = 1,m, j = 1, r. Обозначение: C = AB .

Операция, сопоставляющая матрицам A и B матрицу AB, называетсяумножением матриц.

Мнемонические правила:− матрицы равны, если все соответствующие элементы матриц равны;− при сложении матриц их соответствующие элементы складываются;− при умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаютсяна число;− при умножении матриц элементы строк первой матрицы умножаютсяна элементы столбцов второй матрицы и произведения складываются.

Свойства операций

1. ∀A,B, C ∈ Mm,n(R) (A+ B) + C = A+ (B + C).2. ∀A ∈ Mm,n(R) A+O = O +A = A.3. ∀A ∈ Mm,n(R) ∃B ∈ Mm,n(R) A + B = B + A = O. Матрица B с

такими свойствами единственная и она равна (−1)A. 98 Или произведением матрицы B на A слева.9 Матрица B называется противоположной для матрицы A и обозначается через −A.

6

4. ∀A,B ∈ Mm,n(R) A+ B = B +A.5. ∀α, β ∈ R, A ∈ Mm,n(R) α(βA) = (αβ)A = β(αA).6. ∀A ∈ Mm,n(R) 1A = A.7. ∀α, β ∈ R, A ∈ Mm,n(R) (α + β)A = αA+ βA.8. ∀α ∈ R, A,B ∈ Mm,n(R) α(A+ B) = αA+ αB.9. ∀A ∈ Mm,n(R),B ∈ Mn,r(R), C ∈ Mr,p(R) (AB)C = A(BC).10. ∀A,B ∈ Mm,n(R), C ∈ Mn,r(R) (A+ B)C = AC + BC.11. ∀A ∈ Mm,n(R),B, C ∈ Mn,r(R) A(B + C) = AB +AC.12. ∀α ∈ R, A ∈ Mm,n(R),B ∈ Mn,r(R) α(AB) = (αA)B = A(αB). 1013. ∀A ∈ Mm,n, AJn = A.14. ∀A ∈ Mm,n, JmA = A.Доказательства некоторых свойств1. Воспользуемся определением равенства матриц. По условию матрицы

A,B, C имеют размеры m × n. Тогда по определению сложения матрицаA + B и, следовательно, матрица (A + B) + C имеют размеры m × n.Аналогично, матрицы B + C и A+ (B + C) имеют размеры m× n.

Покажем равенство произвольных элементов матриц с индексами i, j вобеих частях равенства. В левой части имеем {(A+ B) + C}ij = {A+B}ij++{C}ij = ({A}ij +{B}ij)+{C}ij. Здесь дважды использовали определениесложения двух матриц: сначала (A + B) и C , затем A и B . В правойчасти {A+ (B+ C)}ij = {A}ij + {B+ C}ij = {A}ij + ({B}ij + {C}ij). Здесьтакже дважды использовали определение сложения двух матриц: сначалаA и (B + C) , затем B и C . В силу ассоциативности свойства сложениявещественных чисел ({A}ij + {B}ij) + {C}ij = {A}ij + ({B}ij + {C}ij).

3. Возьмём матрицу B = (−1)A и получим {A + B}ij = {A}ij++(−1){A}ij = 0 и {B + A}ij = (−1){A}ij + {A}ij = 0, т. е. A + B == B +A = O.

Пусть B ∈ Mm,n(R) такая, что A + B = O. Прибавим слева матрицу(−1)A, и получим (−1)A+(A+B) = (−1)A+O. Отсюда ((−1)A+A)+B == (−1)A, O+ B = (−1)A и B = (−1)A, т. е. матрица B – единственная.

4. Матрицы A+B и B+A имеют размеры m× n. Далее {A+B}ij == {A}ij + {B}ij и {B+A}ij = {B}ij + {A}ij, т. е. {A+B}ij = {B+A}ij.

8. Матрицы A, B, A+B, α(A+B), αA, αB, αA+αB — размера m×n.Далее, {α(A + B)}ij = α{A + B}ij = α({A}ij + {B}ij) = α{A}ij + α{B}ijи {αA+ αB}ij = {αA}ij + {αB}ij = α{A}ij + α{B}ij.

11. {(A + B)C}ij =n∑

k=1{A + B}ik{C}kj =

n∑k=1

({A}ik + {B}ik){C}kj =10 Из 9 и 12 следует, что произведения (AB)C, A(BC), α(AB), (αA)B можно записывать без скобок.

7

=n∑

k=1({A}ik{C}kj+{B}ik{C}kj) =

n∑k=1{A}ik{C}kj+

n∑k=1{B}ik{C}kj = {AC}ij+

+{BC}ij = {AC + BC}ij .12. Размеры: AB – m×r, (AB)C – m×p, BC – n×p, A(BC) – m×p.Покажем равенство произвольных элементов матриц A(BC) и (AB)C :

{A(BC)}ij =n∑

q=1{A}iq{BC}qj =

n∑q=1{A}iq

r∑k=1{B}qk{C}kj =

=n∑

q=1

r∑k=1{A}iq{B}qk{C}kj и {(AB)C}ij =

r∑k=1{AB}ik{C}kj =

=r∑

k=1

n∑q=1{A}iq{B}qk{C}kj =

r∑k=1

n∑q=1{A}iq{B}qk{C}kj =

n∑q=1

r∑k=1{A}iq{B}qk{C}kj.

Задача 1. а) доказать остальные свойства операций;б) доказать, что сумма и произведение верхних (нижних) треугольныхматриц одного порядка есть верхняя (нижняя) треугольная матрица.

1.3. Транспонирование матриц. Вычитание матриц

Определение 1. Дана матрица A(m×n). Матрица B(n×m) назы-вается транспонированной по отношению к матрице A, если {B}ij == {A}ji. Обозначения: B = A′ или B = AT . Операция, сопоставляющаяматрице A матрицу A′, называется транспонированием.

Мнемоническое правило: транспонирование матрицы — это замена всехэлементов каждой её строки на элементы соответствующего столбца.

Свойства операции транспонирования

1. ∀A ∈ Mm,n(R) A′′ = A.2. ∀A,B ∈ Mm,n(R) (A+ B)′ = A′ + B′.3. ∀α ∈ R, A ∈ Mm,n(R) (αA)′ = αA′.4. A ∈ Mm,n(R),B ∈ Mn,r(R) (AB)′ = B′A′.Доказательство. Докажем свойство 4.A ∈ Mm,n(R),B ∈ Mn,r(R) ⇒ AB ∈ Mm,r(R) ⇒ (AB)′ ∈ Mr,m(R).

Аналогично, A ∈ Mm,n(R),B ∈ Mn,r(R) ⇒ B′ ∈ Mr,n(R),A′ ∈ Mn,m(R) ⇒⇒ B′A′ ∈ Mr,m(R). Покажем равенство произвольных элементов в (AB)′ иB′A′ : {(AB)′}ij = {AB}ji =

n∑k=1{A}jk{B}ki, {B′A′}ij =

n∑k=1{B′}ik{A′}kj =

=n∑

k=1{B}ki{A}jk =

n∑k=1{A}jk{B}ki.

Определение 2. Пусть матрица A ∈ Mm,n(R). Матрицу B называ-ют противоположной к A, если A+ B = B +A = O.

8

В свойстве 3 раздела 1.2 было доказано существование и единственностьпротивоположной к A матрицы, обозначаемой −A и равной (−1)A.

Наличие противоположной для каждой матрицы позволяет определитьоперацию вычитания матриц.

Определение 3. Разностью матриц A, B ∈ Mm,n(R) называетсяматрица C ∈ Mm,n(R) такая, что C + B = A. Разность матриц A иB обозначается A − B. Операция, сопоставляющая матрицам A и Bматрицу A− B, называется вычитанием матриц.

Лемма 1.3.1. Для любых матриц A, B ∈ Mm,n(R) существует един-ственная разность A− B, равная A+ (−B) = A+ (−1)B.

Доказательство. Существование. Пусть C = A+(−1)B, тогда C+B == (A+ (−1)B) + B = A+ ((−1)B + B) = A+O = A.

Единственность. Пусть C+B = A. Прибавим справа к обеим частям это-го равенства противоположную к B матрицу (−1)B, получим(C + B) + (−1)B = A + (−1)B. Отсюда C + (B + (−1)B) = A + (−1)B,C +O = A+ (−1)B и C = A+ (−1)B.

Лемма доказана.Следствие. (Дистрибутивность умножения относительно вычитания.)1. Пусть A, B ∈ Mm,n(R), C ∈ Mn,r(R), тогда (A−B)C = AC −BC.2. Пусть A ∈ Mm,n(R), B, C ∈ Mn,r(R), тогда A(B−C) = AB−AC.Доказательство. Используя лемму 1.3.1 и дистрибутивность умноже-

ния относительно сложения, получим1) (A − B)C = (A + (−1)B)C = AC + ((−1)B)C = AC + (−1)(BC) =

= AC − BC;2) A(B − C) = A(B + (−1)C) = AB + A((−1)C) = AB + (−1)(AC) =

= AB −AC.

1.4. Коммутирующие (перестановочные) матрицы

Определение 1. Матрицы A и B называются коммутирующими(перестановочными),11если AB = BA. Обозначение A ^ B.

Лемма 1.4.1. Если A ^ B, то A и B – квадратные матрицы одногопорядка.

Доказательство. Пусть матрицы A и B имеют размеры m × n иp × q соответственно и AB = BA. Из существования AB и BA следует,что n = p и q = m. Из равенства AB = BA следует, что m, число строкматрицы AB, совпадает с p, числом строк матрицы BA. Следовательно,n = p = q = m.

11 Также говорят, что матрицы A и B коммутируют.

9

Определение 2. Матрица A называется скалярной, если A = λJ ,где J− единичная матрица.

Лемма 1.4.2. Скалярная матрица A(n × n) коммутирует с любойматрицей B(n× n) .

Доказательство. AB = (λJ )B = λ(JB) = λB = λ(BJ ) = B(λJ ) == BA.

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1.4.1. Если матрица A(n× n) коммутирует с любой мат-рицей B(n× n), то A – скалярная матрица.

Доказательство. Для каждого i и j рассмотрим Eij – квадратнуюматрицу порядка n, у которой все элементы нули, кроме элемента в i -йстроке и j -м столбце, равного 1. Вычислим произведения AEij и EijA.

AEij =

a11 . . . a1i . . . a1n. . . . .

ai1 . . . aii . . . ain. . . . .

an1 . . . ani . . . ann

0 . . . 0 . . . 0. . . . .0 . . . 1 . . . 0. . . . .0 . . . 0 . . . 0

j

i=

=

0 . . . a1i . . . 0. . . . .0 . . . aii . . . 0. . . . .0 . . . ani . . . 0

j

i.

Здесь j-й столбец совпадает с i-мстолбцом из матрицы A.

EijA = i

0 . . . 0 . . . 0. . . . .0 . . . 1 . . . 0. . . . .0 . . . 0 . . . 0

j

a11 . . . a1j . . . a1n. . . . .aj1 . . . ajj . . . ajn. . . . .an1 . . . anj . . . ann

j

=

=i

0 . . . 0 . . . 0. . . . .aj1 . . . ajj . . . ajn. . . . .0 . . . 0 . . . 0

j

.Здесь i-я строка совпадает с j-йстрокой матрицы A.

Из условия A ^ Eij следует, что AEij = EijA. Сравнив элементы мат-риц EijA и EijA, получаем a1i = . . . = ai−1,i = ai+1,i = . . . = ani = 0,aj1 = . . . = aj,j−1 = aj,j+1 = . . . = ajn = 0 и aii = ajj. Отсюда приi, j = 1, n следует, что все внедиагональные элементы матрицы A нуле-вые, а диагональные элементы равны между собой. Теорема доказана.

10

Лемма 1.4.3. Если A1 ^ B, A2 ^ B, то A1 +A2 ^ B и A1A2 ^ B.Доказательство. Из условия и леммы 1.4.1 следует, что A1, A2, B –

квадратные матрицы одного порядка, тогда определены матрицы A1 +A2,(A1 + A2)B, B(A1 + A2), (A1A2), (A1A2)B, B(A1A2), и они имеют тотже порядок.

Далее, (A1+A2)B = A1B+A2B = BA1+BA2 = B(A1+A2). И наконец,(A1A2)B = A1(A2B) = A1(BA2) = (A1B)A2 = (A1B)A2 = (BA1)A2 == B(A1A2).

Следствие 1. Если Ak ^ B, k = 1,m, тоm∑

k=1Ak ^ B.

Доказательство. Докажем утверждение индукцией по m.При m = 1 утверждение тривиально. Пусть утверждение верно при

m = p, т. е. если Ak ^ B, k = 1, p, тоp∑

k=1Ak ^ B.

Докажем утверждение при m = p + 1. Пусть Ak ^ B, k = 1, p + 1,тогда (

p+1∑k=1

Ak)B = (p∑

k=1Ak + Ap+1)B = (

p∑k=1

Ak)B + Ap+1B = B(p∑

k=1Ak)+

+BAp+1 = B(p∑

k=1Ak +Ap+1) = B

p+1∑k=1

Ak, т. е.p+1∑k=1

Ak ^ B.Следовательно, утверждение верно при любом m.

Следствие 2. Если Ak ^ B, k = 1,m, тоm∏

k=1Ak ^ B.

Задача 2. a) доказать следствие 2;б) доказать, что A ^ B ⇔ A′ ^ B′;в) доказать, что матрица, коммутирующая с любой диагональной

матрицей, является диагональной.

1.5. Степени матрицы. Многочлены от матрицы

Определение 1. Пусть A – квадратная матрица. Определим сте-пени матрицы по индукции: A0 = J ; Ap+1 = ApA при p ∈ Z+. 12

Из определения следует, что A1 = A0+1 = A0A = JA = A,A2 = A1+1 = A1A = AA, A3 = A2+1 = A2A = (AA)A и т. д.

Лемма 1.5.1. Если A ^ B, то Am ^ B при всех m ∈ Z+.Доказательство. Докажем утверждение индукцией по m. При m = 0

имеем A0 = J и, в силу JB = B = BJ , выполнено A0 ^ B.Пусть утверждение верно при m = p, т. е. ApB = BAp. Докажем утвер-

ждение при m = p + 1. Используя определение степени, ассоциативностьумножения, свойство A ^ B , предположение индукции имеем Ap+1B =

12 Z+ = {p ∈ Z, p > 0}.

11

= (ApA)B = Ap(AB) = Ap(BA) = (ApB)A = (BAp)A = B(ApA) = BAp+1,т. е. Ap+1B = BAp+1. Следовательно, утверждение верно при всех m ∈ Z+.

Замечания. 1. Утверждение леммы при m = 0 выполнено, даже еслиA и B не коммутируют.

2. Утверждение леммы при m > 1 верно согласно следствию 2 леммы1.4.3, т. к. если Ak = A при k = 1,m и A ^ B, то

m∏k=1

Ak = Am ^ B.Следствие. ∀n ∈ N, A ∈ Mn,n(R) Al ^ Am при l, m ∈ Z+.Определение 2. Выражение f0 + f1 x + f2 x2 + · · ·+ fn xn + · · · , 13 где

x ∈ R, f0, f1, . . . ∈ R и не более чем конечное число коэффициентов fkотлично от нуля, называется многочленом с вещественными коэффици-ентами от вещественной переменной.

Степень многочлена — это наибольшее n, для которого fn 6= 0. 14Будем считать, что степень нулевого многочлена, т. е. многочлена,

все коэффициенты которого равны нулю и обозначаемого 0, равна −∞.Обозначим множество всех многочленов с вещественными коэффици-

ентами от вещественной переменной через R[x].

Определение 3. Два многочлена f =∑∞

k=0 fk xk и g =

∑∞k=0 gk x

k

равны (пишем: f = g ), если fk = gk для всех k.

Определение 4. Пусть f =∑∞

k=0 fk xk и g =

∑∞k=0 gk x

k.

Суммой f и g называется многочлен f + g =∑∞

k=0(fk + gk) xk.

Произведением f и g называется многочлен fg =∑∞

k=0(∑

i+j=kfi gj) x

k.

Лемма 1.5.2. (Свойства операций над многочленами)1. ∀f, g, h ∈ R[x] (f + g) + h = f + (g + h).2. ∀f ∈ R[x] f + 0 = 0 + f = f.3. ∀f ∈ R[x] ∃ g ∈ R[x] f + g = g + f = 0. Многочлен g с такими

свойствами единственный и он равен (−1)f.4. ∀f, g ∈ R[x] f + g = g + f.5. ∀f, g, h ∈ R[x] (fg)h = f(gh).6. ∀f, g, h ∈ R[x] (f + g)h = fg + fh.7. ∀f, g ∈ R[x] fg = gf.8. ∀f ∈ R[x] 1f = f.ДоказательствоПусть f =

∑∞k=0 fk x

k, g =∑∞

k=0 gk xk, h =

∑∞k=0 hk x

k.

1. (f+g)+h =∑∞

k=0((fk+gk)+hk) xk, f+(g+h) =

∑∞k=0(fk+(gk+hk)) x

k.В силу (fk + gk) + hk = fk + (gk + hk) имеем (f + g) + h = f + (g + h).

13 Будем обозначать его f или f(x). Считая, что x0 = 1, запишем f =∑∞

k=0 fk xk.

14 Многочлен степени n можно записать в виде f =∑n

k=0 fk xk или f =a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an.

12

7. f g =∑∞

k=0∑

i+j=k(fi gj) x

k, g f =∑∞

k=0∑

i+j=k(gi fj) x

k.

Коэффициенты∑

i+j=kfi gj и

∑i+j=k

gi fj равны, т. к. отличаются только

порядком слагаемых и сомножителей. Поэтому f g = g f.

Задача 3. Докажите остальные свойства операций в лемме 1.5.2.

Определение 5. Пусть f – многочлен. Определим возведение много-члена в степень: f 0 = 1; fm+1 = fmf при m ∈ Z+.

Лемма 1.5.3. Пусть f и g — многочлены. Тогда1o f lfm = fmf l = f l+m при всех l, m ∈ Z+;2o (fg)m = fm gm при всех m ∈ Z+;3o (f l)m = f lm при всех l,m ∈ Z+.Доказательство. 1o Используем вариант метода математической ин-

дукции для утверждения T (l,m), зависящего от двух параметров l,m ∈∈ Z+ : если 1) утверждение T (l, m) верно при l = 0, m = 0, 2) из спра-ведливости T (l, m) при l = p, m = q следует его справедливость приl = p + 1, m = q и при l = p, m = q + 1, то утверждение T (l,m) вернопри всех l, m ∈ Z+.

При l = 0, m = 0 f 0f 0 = 1 · 1 = 1 и f 0+0 = 1, т. е. утверждение верно.Пусть утверждение f lfm = fmf l = f l+m верно при l = p, m = q.Рассмотрим случай l = p+1, m = q. Имеем f p+1f q = f pff q = f pf qf =

= f p+qf = f p+q+1, т. е. утверждение верно.Рассмотрим случай l = p, m = q +1. Имеем f pf q+1 = f pf qf = f p+qf =

= f p+q+1, и утверждение верно.Следовательно, утверждение верно при всех l, m ∈ Z+.2o При m = 0 (fg)0 = 1, f 0 g0 = 1 — утверждение верно.Пусть утверждение верно при m = p. Докажем, что оно верно при

m = p + 1, т. е. (fg)p+1 = f p+1 gp+1. Имеем (fg)p+1 = (fg)pfg = f pgpfg == f pfgpg = f p+1 gp+1, что и требовалось.

3o При l = 0, m = 0 (f 0)0 = 1, f 0·0 = 1, т. е. утверждение верно.Пусть утверждение верно при l = p, m = q. Рассмотрим l = p+1,

m = q. Имеем (f p+1)q = (f pf)q = (f p)qf q = f pqf q = f pq+q = f (p+1)q, т. е.утверждение верно.

Рассмотрим l = p, m = q + 1. Имеем (f p)q+1 = (f p)qf p = f pqf p == f pq+p = f p(q+1), и утверждение верно.

Следовательно, утверждение верно при всех l, m ∈ Z+.Следствие 1. xl xm = xm xl = xl+m при всех l,m ∈ Z+.Следствие 2. (xl)m = xlm при всех l, m ∈ Z+.Определение 6. Пусть A — квадратная матрица, f(x) = f0 +f1 x+

+f2 x2 + · · ·+ fn xn — многочлен степени n.

13

Матрица вида f(A) = f0A0 + f1A1 + f2A2 + . . . + fnAn 15 называетсямногочленом от матрицы A.

Лемма 1.5.4. 1. AlAm = AmAl = Al+m при всех l, m ∈ Z+.2. (Al)m = Al m при всех l,m ∈ Z+.3. Любые многочлены f(A) и g(A) от матрицы A коммутируют.Доказательство. В силу следствий леммы 1.5.3 и леммы 1.5.2 xl xm =

= xm xl = xl+m, (xl)m = xlm, f(x) g(x) = g(x) f(x). Отсюда при подста-новке матрицы A получаем утверждения леммы.

1.6. Матрицы элементарных преобразований

Определение 1. Элементарными преобразованиями матрицы назы-ваются:

1) умножение строки на ненулевое число;2) прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на

число;3) перестановка двух строк;4) умножение столбца на ненулевое число;5) прибавление к некоторому столбцу другого столбца, умноженного

на число;6) перестановка двух столбцов.

Пусть задана n × r матрица A = (aij). Покажем, что элементарноепреобразование строк матрицы можно осуществить с помощью умноженияматрицы слева на вспомогательную матрицу.

1. Умножение i-й строки матрицы A на число α.

A =

a11 . . . a1r. . .

ai1 . . . air. . .

an1 . . . anr

i-я 7→ B1 =

a11 . . . a1r. . .

αai1 . . . αair. . .

an1 . . . anr

i-я .

Введем матрицу U i(α) = diag(1, . . . , 1, α, 1, . . . , 1), которая получена изединичной матрицы порядка n умножением i-й строки на α.

Задача 4. Показать, что B1 = U i(α)A.Замечание. Преобразование A 7→ U i(1/α)A при α 6= 0 осуществляет

умножение i-й строки матрицы A на 1/α, поэтому выполнены равенстваU i(1/α)U i(α)A = A, U i(α)U i(1/α)A = A.

15 В силу A0 = J многочлен можно записать в виде f(A) = f0J + f1A+ f2A2 + . . . + fnAn.

14

Таким образом, преобразования A 7→ U i(1/α)A и A 7→ U i(α)A явля-ются взаимно-обратными.

2. Прибавление к i-й строке матрицы A её j-й строки, умноженной начисло α.

A =

. . .ai1 . . . air. . .

aj1 . . . ajr. . .

i

j7→ B2 =

. . .(ai1 + αaj1) . . . (air + αajr)

. . .aj1 . . . ajr. . .

i

j.

Введём матрицу Fij(α), которая получается из единичной матрицы по-рядка n прибавлением к i-й строке j-й строки, умноженной на число α.

Fij(α) =

1 . . . 0 . . . 0 . . . 0. . . . . . .0 . . . 1 . . . α . . . 0. . . . . . .0 . . . 0 . . . 1 . . . 0. . . . . . .0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

i j

i

j.

Задача 5. Показать, что B2 = Fij(α)A.Замечание. Преобразование A 7→ Fij(−α)A осуществляет прибавле-

ние к i-й строке матрицы A её j-й строки, умноженной на число −α,поэтому выполнены равенстваFij(−α)Fij(α)A = A, Fij(α)Fij(−α) = A.Таким образом, преобразования A 7→ Fij(α)A и A 7→ Fij(−α)A явля-

ются взаимно-обратными.3. Перестановка i-й и j-й строк матрицы A.

A =

. . .ai1 . . . air. . .

aj1 . . . ajr. . .

i

j7→ B3 =

. . .aj1 . . . ajr. . .

ai1 . . . air. . .

i

j.

Введём матрицу перестановки Pij, которая получается из единичнойматрицы порядка n перестановкой i-й и j-й строк.

Pij =

1 . . . 0 . . . 0 . . . 0. . . . . . .0 . . . 0 . . . 1 . . . 0. . . . . . .0 . . . 1 . . . 0 . . . 0. . . . . . .0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

i j

i

j.

15

Задача 6. Показать, что B3 = PijA.Замечание. Дважды выполненная перестановка i-й и j-й строк матри-

цы приводит к исходной матрице, поэтому выполнено равенство PijPijA == A. Таким образом, преобразование A 7→ PijA является обратнымк себе.

Задача 7. Пусть A — m× n матрица.Показать, что в результате умножения:1) AU i(α) получится матрица, образованная из матрицы A умно-

жением её i-го столбца на число α;2) AF ′ij(α) получится матрица, образованная из матрицы A прибав-

лением к i-му столбцу j-го столбца, умноженного на число α;3) APij получится матрица, образованная из матрицы A переста-

новкой её i-го и j-го столбца.

Правила. 1. Результат выполнения элементарного преобразованиянад строками данной матрицы можно получить умножением даннойматрицы слева на вспомогательную матрицу, которая получается изединичной матрицы тем же элементарным преобразованием.

2. Результат выполнения элементарного преобразования над столб-цами данной матрицы можно получить умножением данной матрицысправа на вспомогательную матрицу, которая получается из единичнойматрицы тем же элементарным преобразованием.

2. Определители

2.1. Перестановки. Свойства перестановок

Определение 1. Перестановкой элементов конечного множества Mназывается упорядоченный набор всех элементов M, взятых по одномуразу.

Пример 1. (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1) – пере-становки элементов множества {1, 2, 3}.

Пример 2. (a, b, c), (a, c, b), (b, c, a), (b, a, c), (c, b, a), (c, a, b) – переста-новки элементов множества {a, b, c}.

Понятно, что замена 1, 2, 3, на a, b, c соответственно переводит пер-вый пример во второй и замена a, b, c на 1, 2, 3, соответственно пере-водит второй пример в первый. Таким образом, без ограничения общностиможно рассматривать перестановки из натуральных чисел.

Обозначение. Будем обозначать через P (1, 2, . . . , n) множество всехперестановок элементов множества {1, 2, . . . , n}.

16

Определение 2. Преобразование одной перестановки в другую, от-личающуюся от неё порядком следования двух элементов, называетсятранспозицией.

Определение 3. Говорят, что два элемента перестановки образуютпорядок, если меньший элемент предшествует большему, и беспорядок,или инверсию, в противном случае.

Общее число инверсий (беспорядков) перестановки ω обозначим N(ω).Перестановка ω называется четной (нечетной), если N(ω) — чётное

(нечётное) число.

Теорема 2.1.1. Число всех перестановок из n различных элементовравно n!. 16

Доказательство. Докажем, что |P (1, 2, . . . , n)| = n! индукцией по n.При n = 2 перестановки из элементов {1, 2} – это (1, 2) и (2, 1), т. е.

утверждение верно.Пусть утверждение верно при n = m.Докажем, утверждение при n = m + 1, т. е. |P (1, 2, . . . , m + 1)| =

= (m + 1)! . Для k = 1,m + 1 обозначим через Pk подмножество множе-ства P (1, 2, . . . , m + 1), которое содержит только перестановки, начинаю-

щиеся с k, т. е. Pk = {(k, . . . ), . . . }. Очевидно, P (1, 2, . . . , m+1) =m+1⋃k=1

Pk

и Pi⋂

Pj = ∅ при i 6= j. Тогда |P (1, 2, . . . , m + 1)| =m+1∑k=1

|Pk|. 17 Прикаждом k число элементов множества Pk совпадает с числом перестано-

вок из m элементов, т. е. равно m!. Следовательно,m+1∑k=1

|Pk| =m+1∑k=1

m! =

= m!(m + 1) = (m + 1)! .Теорема доказана.

Теорема 2.1.2.Любая транспозиция меняет чётность перестановки.

Доказательство. Пусть транспозицией из перестановки ω1 полученаперестановка ω2, отличающаяся порядком следования элементов α и β.

Сначала рассмотрим случай, когда α и β стоят рядом, т. е. ω1 == (. . . , α, β, . . . ) и ω2 = (. . . , β, α, . . . ). В каждой из перестановокрассмотрим три группы элементов: 1-я — элементы, предшествующие αи β, 2-я — два элемента α и β, и 3-я – элементы, расположенные по-сле α и β. Для перестановки ωk, k = 1, 2 обозначим число инверсийсреди элементов 1-й группы – Nk1 , 2-й группы – Nk2 , 3-й группы – Nk3 ,между элементами 1-й и 2-й групп – Nk1,2, между элементами 1-й и 3-й

16 n! = 1 2 . . . n.17Для конечного множества M через |M | обозначено число элементов этого множества.

17

групп – Nk1,3, между элементами 2-й и 3-й групп – Nk2,3. Тогда N(ωk) == Nk1 +N

k2 +N

k3 +N

k1,2+N

k1,3+N

k2,3 и общее число инверсий N(ω1) и N(ω2)

отличаются только слагаемыми N 12 и N 22 , т. е. на 1. Поэтому если однаперестановка чётная, то другая нечётная.

Теперь рассмотрим случай, когда между α и β стоят m элементовa1, . . . , am : ω1 =(. . . , α, a1, . . . , am, β, . . . ) и ω2 =(. . . , β, a1, . . . , am, α, . . . ).

Преобразуем перестановку ω1 в ω2 c помощью транспозиций соседнихэлементов. Сначала поменяем β и am, затем β и am−1, . . . , β и a1, инаконец, β и α, при этом совершим m + 1 транспозиций. После этогопоменяем α и a1, затем α и a2, . . . , α и am, здесь совершим m транспо-зиций и получим ω2. Следовательно, ω2 получена из ω1 с помощью 2m+1транспозиций и одна из них чётная, а другая нечётная.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.3. Все перестановки из n элементов можно упорядо-чить так, чтобы каждая следующая получалась из предыдущей однойтранспозицией. При этом можно начать с любой перестановки.

Доказательство. Докажем индукцией по n.При n = 2 можно упорядочить так: (1, 2), (2, 1) или (2, 1), (1, 2).Предположим, что утверждение верно при n = m. Докажем утвержде-

ние при n = m + 1. Пусть начальная перестановка имеет вид (a1, a2, . . . ,am+1). Отсюда каждому элементу ak взаимно-однозначно сопоставлен ин-декс k. Поэтому достаточно упорядочить все перестановки индексов {1, 2,. . . , m+1}, чтобы из них получить все перестановки элементов {a1, a2, . . . ,am+1}. В перестановке (1, 2, . . . , m+1) фиксируем первый элемент 1. Пе-рестановки из оставшихся m элементов {2, . . . , m+1}, по предположениюиндукции, можно упорядочить. Вставив во все полученные перестановкиэлемент 1 на первое место, получим упорядоченный набор перестановокиз m + 1 элементов с первым элементом 1. И, следовательно, будут упо-рядочены все перестановки из m + 1 элементов с первым элементом 1. Впоследней такой перестановке переставим элементы 1 и 2, получим пере-становку (2, b1, b2, . . . , bm). Далее фиксируем первый элемент 2 и упоря-дочим все перестановки из m элементов {1, 3, . . . , m + 1}, начиная с пе-рестановки (b1, b2, . . . , bm). Вставив во все полученные перестановки эле-мент 2 на первое место, получим упорядоченный набор перестановок изm + 1 элементов с первым элементом 2. Переставим в последней пере-становке элементы 2, 3 и упорядочим перестановки из m + 1 элементов спервым элементом 3. Продолжая далее построения, за m + 1 шагов по-строим упорядоченный набор перестановок индексов {1, 2, . . . , m + 1}, спомощью которых получим упорядоченный набор перестановок элементов{a1, a2, . . . , am+1}. Теорема доказана.

Следствие. При n > 2 число чётных (нечётных) перестановок из nэлементов равно n!/2.

18

Доказательство. Упорядочим множество перестановок из n элемен-тов, как указано в теореме 2.1.3, начиная с чётной перестановки, и раз-объём их по порядку следования на пары. Тогда первая перестановка вкаждой паре чётная, а вторая нечётная в силу теоремы 2.1.2. По теореме2.1.1 общее число перестановок равно n!, тогда число чётных (нечётных)перестановок равно n!/2.

2.2. Определитель n-го порядка. Частные случаи определи-теля для n =2, n =3 и треугольной матрицы

Определение 1. Определителем матрицы A = (aij) ∈ Mn,n(R) на-зывается величина |A| =

∑

(j1,j2,...,jn)∈P (1,2,...,n)(−1)N(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2 . . . anjn. 18

|A| — это алгебраическая сумма n! слагаемых (членов определителя).Членами определителя служат всевозможные произведения по n эле-ментов матрицы, взятых по одному в каждой строке и каждом столб-це. Член берётся со знаком «плюс», если номера столбцов его элементовобразуют чётную перестановку при условии, что сами элементы распо-ложены в порядке возрастания номеров строк, и со знаком «минус» — впротивном случае.

Пусть n = 2. Перестановок элементов множества {1, 2} две: (1, 2) –чётная и (2, 1) – нечётная.

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ =∑

(j1,j2)∈P (1,2)(−1)N(j1,j2)a1j1a2j2 =

= (−1)N(1,2)a11a22 + (−1)N(2,1)a12a21 = a11a22 − a12a21.Пусть n = 3. Расположим перестановки элементов множества {1, 2, 3}

так, чтобы каждая следующая перестановка отличалась от предыдущей од-ной транспозицией (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1), то-гда нечётные перестановки чередуются с чётными, начиная с чётной.∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣=

∑

(j1,j2,j3)∈P (1,2,3)(−1)N(j1,j2,j3)a1j1a2j2a3j3 = a11a22a33−a11a23a32+

+a12a23a31−a12a21a33+a13a21a32−a13a22a31 = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

Лемма 2.2.1. Определитель треугольной матрицы равен произведе-нию элементов главной диагонали.

Доказательство. Рассмотрим сначала определитель нижней треуголь-

ной матрицы

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0. . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣. Если из 1-й строки выберем элемент a1j1

18 Другое обозначение определителя — det(A).

19

при j1 > 1, то a1j1 = 0 и такой член определителя равен нулю. Поэтомуиз 1-й строки выберем a11. Тогда из 2-й строки можем выбрать a2j2 приj2 > 2. Если из 2-й строки выберем элемент a2j2 при j2 > 2, то a2j2 = 0 итакой член определителя также равен нулю. Поэтому из 2-й строки выбе-рем a22. Продолжая выбор далее, из (n− 1)-й строки выберем an−1,n−1, аиз n-й строки — ann. Получим член определителя a11a22 . . . ann. Посколькуперестановка (1, 2, . . . , n) — чётная, определитель равен a11a22 . . . ann.

Для определителя

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1,n−1 a1n. . . .0 . . . an−1,n−1 an−1,n0 . . . 0 ann

∣∣∣∣∣∣∣∣сделаем аналогичный вы-

бор членов, начиная с последней строки, и получим a11a22...ann.

2.3. Свойства определителя

1◦. |A′| = |A|.Доказательство. Пусть A = (aij)i,j=1,n и A′ = (a′ij)i,j=1,n.Покажем, что |A| состоит из тех же членов и с теми же знаками, что

и определитель |A′|. |A| =∑

(j1,j2,...,jn)∈P (1,2,...,n)(−1)N(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2 . . . anjn.

Произведение a1j1a2j2 . . . anjn = a′j11a′j22 . . . a

′jnn

содержит по одному элемен-ту из каждой строки и каждого столбца определителя A′, т. е. являетсячленом этого определителя. Правило определения знака члена определи-теля сформулируем в геометрических терминах. Будем считать элементыaij точками с координатами (i, j), расположенными на плоскости, причёмпервая ось направлена вниз, а вторая — вправо и оси взаимно перпендику-лярны. Соединим отрезком два элемента aij и akm в различных строках истолбцах. Будем говорить, что этот отрезок имеет положительный наклон,если его правый край расположен ниже левого, и отрицательный наклон —в противном случае. Отрезок положительного (отрицательного) наклонаобразует острый (тупой) угол с положительным направлением первой оси.Это означает, что если строки взяты в порядке возрастания, то при по-ложительном наклоне большему номеру строки соответствует больший но-мер столбца, т. е. номера столбцов образуют порядок, а при отрицательномнаклоне большему номеру строки соответствует меньший номер столбца,т. е. номера столбцов образуют беспорядок. Соединим попарно отрезкамивсе элементы определителя, входящие в член a1j1a2j2 . . . anjn. Число беспо-рядков в перестановке (j1, j2, . . . , jn) равно числу всех отрезков с отрица-тельным наклоном. Следовательно, для этого члена берётся знак «плюс»,если число отрезков с отрицательным наклоном чётное, и знак «минус» впротивном случае.

Пусть отрезок l соединяет элементы точки (i, j) и (k, m) и образуетугол α с первой осью. При транспонировании он переходит в отрезок l′,

20

соединяющий точки (j, i) и (m, k) и образующий угол α ′ с первой осью.Если l имеет положительный наклон, то 0 < α < 90◦ и α ′ = 90◦ − α,тогда 0 < α ′ < 90◦, т. е. l′ имеет положительный наклон. Если l име-ет отрицательный наклон, то 90◦ < α < 180◦ и α ′ = 270◦ − α, тогда90◦ < α ′ < 180◦, т. е. l′ имеет отрицательный наклон. Следовательно,число отрезков отрицательного наклона при транспонировании не меняет-ся, т. е. знаки всех членов определителя сохраняются и тем самым величинаопределителя останется неизменной.

Замечание. Доказанный факт означает равноправность строк и столб-цов и позволяет нам, доказав свойство для строк, быть уверенными в спра-ведливости такого свойства для столбцов и наоборот.

2◦. Определитель, содержащий нулевую строку, равен 0.Доказательство. Каждый член определителя содержит нулевой эле-

мент и поэтому равен нулю. Следовательно, определитель равен 0.3◦. При перестановке двух строк определитель умножается на (−1).∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. . . .ai1 ai2 . . . ain. . . .

ak1 ak2 . . . akn. . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i

k= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. . . .ak1 ak2 . . . akn. . . .

ai1 ai2 . . . ain. . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i

k.

Доказательство. В матрице A поменяем местами i-ю и k-ю строки,и обозначим полученную матрицу через A1. Имеем|A| =

∑

(j1,...,ji,...,jk,...,jn)∈P (1,...,n)(−1)N(j1,...,ji,...,jk,...,jn)a1j1 . . . aiji . . . akjk . . . anjn. Пе-

реставим в произведении множители aiji и akjk и в перестановке индексовстолбцов совершим транспозицию индексов ji и jk. Произведение не изме-нится, а перестановка изменит чётность и поэтому (−1)N(j1,...,ji,...,jk,...,jn) == (−1)(−1)N(j1,...,jk,...,ji,...,jn). Отсюда следует, что|A| = −

∑

(j1,...,jk,...,ji,...,jn)∈P (1,...,n)(−1)N(j1,...,jk,...,ji,...,jn)a1j1 . . . akjk . . . aiji . . . anjn = −|A1|.

Следствие. Если две строки определителя совпадают, то он равен 0.Доказательство. Пусть в матрице A i-я и k-я строки совпадают. По-

меняем их местами и обозначим полученную матрицу через A1. По свой-ству 3◦ получим |A| = −|A1|. Но поскольку строки одинаковы, |A1| == |A|. Следовательно, |A| = −|A|. Отсюда 2|A| = 0 и |A| = 0.

4◦. (Аддитивность по фиксированной строке.) Если i-я строка опреде-лителя есть сумма двух векторов, то он равен сумме двух определите-лей, причём i-я строка в первом определителе равна первому вектору, вовтором определителе — второму вектору, а остальные строки во всехопределителях одинаковы.

21

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n. . .

(a′i1 + a′′i1) . . . (a

′in + a

′′in)

. . .an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n. . .

a′i1 . . . a′in

. . .an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n. . .

a′′i1 . . . a′′in

. . .an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Доказательство. В матрицеA i-ю строку заменим на (a′i1, a′i2, . . . , a′in),(a′′i1, a

′′i2, . . . , a

′′in), (a

′i1 + a

′′i1, a

′i2 + a

′′i2, . . . , a

′in + a

′′in) и обозначим полученные

матрицы через A1, A2, и A3 соответственно.|A3| =

∑

(j1,...,ji,...,jn)∈P (1,...,n)(−1)N(j1,...,ji,...,jn)a1j1 . . . (a′iji + a′′iji) . . . anjn =

=∑

(j1,...,ji,...,jn)∈P (1,...,n)(−1)N(j1,...,ji,...,jn)a1j1 . . . a′iji . . . anjn +

+∑

(j1,...,ji,...,jn)∈P (1,...,n)(−1)N(j1,...,ji,...,jn)a1j1 . . . a′′iji . . . anjn = |A1|+ |A2|.

5◦. (Однородность по фиксированной строке.19) При умножении стро-ки на число α определитель умножается на α. 20∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n. . .

αai1 . . . αain. . .

an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n. . .

ai1 . . . ain. . .

an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Доказательство. В матрице A умножим i-ю строку на α и обозначимполученную матрицу через A1. Тогда|A1| =

∑

(j1,...,ji,...,jn)∈P (1,...,n)(−1)N(j1,...,ji,...,jn)a1j1 . . . (αaiji) . . . anjn =

= α∑

(j1,...,ji,...,jn)∈P (1,...,n)(−1)N(j1,...,ji,...,jn)a1j1 . . . aiji . . . anjn = α|A|.

Следствие. Определитель равен нулю, если две его строки пропорци-ональны.

Доказательство. Пусть k-я строка определителя получена умножени-ем i-й строки на α. После вынесения множителя α из k-й строки получимопределитель, равный 0, поскольку он имеет две одинаковые строки.

6◦. Определитель не изменится, если к одной строке прибавить дру-гую, умноженную на любое число.

19 Аддитивность и однородность вместе называются линейностью.20 Эквивалентные формулировки: 1) общий множитель в строке можно вынести за знак определи-

теля; 2) чтобы умножить определитель на число достаточно одну строку умножить на это число.

22

Доказательство. Применяя свойство аддитивности 4◦ , получим∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. . .(ai1 + αak1) . . . (ain + αakn)

. . .ak1 . . . akn. . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. . .ai1 . . . ain. . .

ak1 . . . akn. . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. . .αak1 . . . αakn

. . .ak1 . . . akn. . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

В силу пропорциональности строк последний определитель равен нулю.Отсюда следует справедливость утверждения.

7◦. Если какая-то строка определителя есть линейная комбинациядругих строк, то определитель равен 0.

Доказательство. Пусть i-я строка есть линейная комбинация осталь-ных строк: ai· = α1a1· + α2a2· + · · · + αi−1ai−1· + αi+1ai+1· + · · · + αnan. 21Прибавим к i-й строке 1-ю строку, умноженную на −α1, 2-ю, умноженнуюна −α2, . . . , (i − 1)-ю, умноженную на −αi−1, (i + 1)-ю, умноженнуюна −αi+1, . . . , n-ю, умноженную на −αn. В силу свойства 6◦ опреде-литель не изменится, но после преобразования i-я строка будет нулевой.Следовательно, определитель равен 0.

2.4. Подматрицы, миноры, алгебраические дополнения. Раз-ложение определителя по строке (столбцу)

Определение 1. Дана m× n матрица A = (aij). Выберем p строк,1 6 p 6 m с номерами 22 i1, i2, . . . , ip и q столбцов, 1 6 q 6 n с номерами

j1, j2, . . . , jq. Матрица A(

i1 i2 . . . ipj1 j2 . . . jq

)=

ai1j1 ai1j2 . . . ai1jqai2j1 ai2j2 . . . ai2jq

. . . .aipj1 aipj2 . . . aipjq

называется подматрицей матрицы A.Пусть i′1, i′2, . . . , i′m−p — номера строк, дополняющих i1, i2, . . . , ip до

1,m и j′1, j′2, . . . , j ′n−q — номера столбцов, дополняющих j1, j2, . . . , jq до

1, n. Подматрицу A(

i′1 i′2 . . . i

′m−p

j′1 j′2 . . . j

′n−q

)назовём дополнительной к под-

матрице A(

i1 i2 . . . ipj1 j2 . . . jq

).

Определение 2. Минором порядка p матрицы называется определи-тель её квадратной подматрицы порядка p.

Отметим, что минорами первого порядка являются элементы матрицы.Определение 3. Пусть исходная матрица является квадратной и в

ней выбран некоторый минор∣∣∣∣A

(i1 i2 . . . ipj1 j2 . . . jp

)∣∣∣∣ . Тогда дополнитель-21 Через ak· обозначена строка (ak1, ak2, . . . , akn).22 Здесь и далее в этом определении все номера берутся в порядке возрастания.

23

ная матрица является квадратной, и её определитель называется допол-нительным минором.

Дополнительный минор, умноженный на (−1)i1+i2+···+ip+j1+j2+···+jp, на-зывается алгебраическим дополнением к исходному минору.

Обозначение. Алгебраическое дополнение к элементу aij будем обо-

значать Aij, т. е. Aij = (−1)i+j∣∣∣∣A

(1 . . . i− 1 i + 1 . . . n1 . . . j − 1 j + 1 . . . n

)∣∣∣∣ .

Теорема 2.4.1. (Теорема Лапласа о разложении определителя по стро-ке)

Определитель равен сумме произведений элементов строки на их ал-

гебраические дополнения: |A| =n∑

j=1

aijAij, 1 6 i 6 n.

Доказательство. Пусть задана n × n матрица A = (aij). Докажемтеорему для первой строки, а затем с помощью перестановки строк дляпроизвольной строки.

Сначала рассмотрим случай I: a1j = 0 при j > 2.Имеем |A| =

∑

(j1,j2,...,jn)∈P (1,2,...,n)(−1)N(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2 . . . anjn. Если j1 > 1,

то a1j1 = 0 и a1j1a2j2 . . . anjn = 0, а поэтому|A| =

∑

(1,j2,...,jn)∈P (1,2,...,n)(−1)N(1,j2,...,jn)a11a2j2 . . . anjn. Здесь вынесем общий

множитель a11 за знак суммирования, воспользуемся тем, что перестанов-ки (j2, . . . , jn) пробегают все значения из множества P (2, . . . , n) и чтоN(1, j2, . . . , jn) = N(j2, . . . , jn). Получим

a11∑

(j2,...,jn)∈P (2,...,n)(−1)N(j2,...,jn)a1j2 . . . anjn = a11(−1)1+1

∣∣∣∣∣∣

a22 . . . a2n. . .

an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣= a11A11.

Добавляя нулевые слагаемые, получим справедливость теоремы Лапласа.Теперь рассмотрим случай II: a1j = 0 при j 6= k.Поменяем столбцы k и k − 1, затем k − 1 и k − 2, ..., 2 и 1. Тогда

|A| = (−1)k−1

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1k 0 . . . 0 0 . . . 0a1k a21 . . . a2,k−1 a2,k+1 . . . a2n. . . . . . .

ank an1 . . . an,k−1 an,k+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣. Применяя случай

I, получим |A| = (−1)k−1a1k(−1)1+1∣∣∣∣∣∣

a21 . . . a2,k−1 a2,k+1 . . . a2n. . . . . .

an1 . . . an,k−1 an,k+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣=

= a1k(−1)1+k∣∣∣∣A

(2 . . . k k + 1 . . . n1 . . . k − 1 k + 1 . . . n

)∣∣∣∣ = a1kA1k.

24

Рассмотрим случай III: первая строка (a11 a12 . . . a1n) произвольна.Представим первую строку в виде суммы n строк так, чтобы в каж-

дой строке был отличен от нуля только один элемент: (a11 a12 . . . a1n) == (a11 0 . . . 0)+(0 a12 . . . 0)+ . . .+(0 0 . . . a1n). Воспользуемся свойствомаддитивности по первой строке, которое по индукции обобщается на про-извольное число слагаемых. Тогда определитель |A| равен сумме n опре-делителей, у которых первая строка равна (a11 0 . . . 0), (0 a12 . . . 0) . . . ,(0 0 . . . a1n) соответственно. Применяя к каждому слагаемому случай II,

получим |A| =n∑

j=1a1jA1j.

Рассмотрим случай IV: разложение по произвольной i -й строке.В определителе |A| поменяем строки i и i− 1, затем i− 1 и i− 2, ...,

2 и 1, тогда |A| = (−1)i−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ai1 . . . aina11 . . . a1n. .

ai−1,1 . . . ai−1,nai+1,1 . . . ai+1,n

. .an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.Разложим по первой стро-ке и получим

(−1)i−1n∑

j=1aij(−1)1+j

∣∣∣∣A(

1 . . . i− 1 i + 1 . . . n1 . . . j − 1 j + 1 . . . n

)∣∣∣∣ =

=n∑

j=1aij(−1)i+j

∣∣∣∣A(

1 . . . i− 1 i + 1 . . . n1 . . . j − 1 j + 1 . . . n

)∣∣∣∣ =n∑

j=1aijAij.

Теорема доказана.Следствия. 1. Сумма произведений элементов строки на алгебраиче-

ские дополнения к другой строке равна 0:n∑

j=1

aijAkj = 0, i 6= k.

2. а)n∑

i=1

aijAkj ={ |A|, i = k,

0, i 6= k. б) |A| =n∑

i=1

aijAik ={ |A|, j = k,

0, j 6= k.Доказательство. 1. В определителе |A| заменим k -ю строку на i -ю,

получится определитель, равный 0. Разложив полученный определитель

по k -й строке, получим 0 =n∑

j=1

aijAkj.

2. а) При k = i имеемn∑

j=1

aijAij = |A| по теореме 2.4.1, а при k 6= i –n∑

j=1

aijAkj = 0 в силу следствия 1.

Утверждение б) следует из а) для матрицы A′.

25

2.5. Определитель суммы матриц

Теорема 2.5.1. Определитель суммы двух матриц порядка n равенсумме 2n определителей, у которых для каждого k = 1, n k -й стро-кой берётся либо k -я строка первой матрицы, либо k -я строка второйматрицы. Аналогичное утверждение верно для столбцов.

Лемма 2.5.1. Пусть в определителе матрицы A m строк с номера-ми i1, i2, . . . , im образованы суммой двух подматриц. Тогда определи-тель равен сумме 2m определителей, у которых для каждого k = 1,mik -й строкой берётся либо ik -я строка первой подматрицы, либо ik -ястрока второй подматрицы, остальные строки с номерами {1, 2, . . . , n}\{i1, i2, . . . , im} берутся из матрицы A.

Доказательство леммы. Индукция по m. При m = 1 утверждениеверно, т. к. это свойство 4◦ определителя (аддитивность по строке).

Пусть утверждение верно при m = l. Докажем утверждение приm = l+1. Пусть в |A| l+1 строк с номерами i1, i2, . . . , il+1 образованысуммой двух подматриц. Применяя свойство аддитивности по il+1 -й стро-ке, представим |A| в виде суммы двух определителей, причём у них il+1 -ястрока взята из разных подматриц. По предположению индукции каждыйиз этих определителей равен сумме 2l определителей, у которых для каж-дого k = 1, l ik -й строкой берётся либо ik -я строка первой подматрицы,либо ik -я строка второй подматрицы. Всего получим сумму 2l+1 опреде-лителей, у которых для каждого k = 1, l + 1 ik -й строкой берётся либоik -я строка первой подматрицы, либо ik -я строка второй подматрицы.

Доказательство теоремы 2.5.1. Используя лемму при m = n, полу-чим утверждение теоремы для строк. Применив утверждение для строк ктранспонированной матрице, получим утверждение для столбцов.

2.6. Разложение определителя по нескольким строкам (столб-цам)

Теорема 2.6.1. (Теорема Лапласа о разложении определителя по нес-кольким строкам)

Пусть в определителе n-го порядка фиксировано k строк. Тогда опре-делитель равен сумме Ckn произведений всевозможных миноров, взятыхиз этих строк, на их алгебраические дополнения.

Доказательство. Пусть задана n × n матрица A = (aij). Сначаладокажем теорему для разложения определителя по первым k строкам, азатем с помощью перестановки строк по произвольным k строкам.

Рассмотрим случай I, когда aij = 0 при 1 6 i 6 k, k + 1 6 j 6 n.

26

|A|=∑

(j1,...,jk,jk+1,...,jn)∈P (1,...,k,k+1...,n)(−1)N(j1,...,jk,jk+1,...,jn)a1j1 . . . akjkak+1,jk+1 . . . anjn. Если

один из индексов j1, . . . , jk больше k, то произведение a1j1 . . . akjk = 0 итакие слагаемые можно удалить. Оставив в сумме слагаемые, в которыхj1, . . . , jk 6 k и jk+1, . . . , jn > k + 1, получим|A| =

∑

(j1,...,jk)∈P (1,...,k)(jk+1,...,jn)∈P (k+1,...,n)

(−1)N(j1,...,jk,jk+1,...,jn)a1j1 . . . akjkak+1,jk+1 . . . anjn. Лю-

бой индекс из j1, . . . , jk меньше любого индекса из jk+1, . . . , jn, поэтомуN(j1, . . . , jk, ik+1, . . . , jn) = N(j1, . . . , jk) + N(jk+1, . . . , jn). Запишем сла-гаемые в виде (−1)N(j1,...,jk)a1j1 . . . akjk(−1)N(jk+1,...,jn)ak+1,jk+1 . . . anjn, тогда|A| =

∑

(j1,...,jk)∈P (1,...,k)

∑

(jk+1,...,jn)∈P (k+1,...,n)(−1)N(j1,...,jk)a1j1 . . . akjk(−1)N(jk+1,...,jn)ak+1,jk+1 . . . anjn.

Множители (−1)N(j1,...,jk)a1j1 . . . akjk не зависят от индексов jk+1, . . . , jn, иих можно вынести за знак внутренней суммы, тогда получим|A| =

∑

(j1,...,jk)∈P (1,...,k)((−1)N(j1,...,jk)a1j1 . . . akjk

∑

(jk+1,...,jn)∈P (k+1,...,n)(−1)N(jk+1,...,jn)ak+1,jk+1 . . . anjn).

Внутренняя сумма не зависит от индексов j1, . . . , jk, и её можно вынести зазнак внешней суммы, тогда определитель представим в виде произведения|A| = (

∑

(j1,...,jk)∈P (1,...,k)(−1)N(j1,...,jk)a1j1 . . . akjk)(

∑

(jk+1,...,jn)∈P (k+1,...,n)(−1)N(jk+1,...,jn)ak+1,jk+1 . . . anjn) =

=

∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1k. . .

ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

ak+1,k+1 . . . ak+1,n. . .

an,k+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣, здесь первый сомножитель есть

минор, а второй — его алгебраическое дополнение. Добавляя нулевые про-изведения остальных миноров, взятых из первых k строк, на их алгебра-ические дополнения, получим справедливость теоремы в случае I.

Теперь рассмотрим случай II: aij = 0 при i = 1, 2, . . . , k, j 6= j1, j2, . . . , jk.Поставим столбец j1 на место 1-го столбца, переставляя j1 − 1 раз со-

седние столбцы и не меняя порядок следования остальных столбцов. Ана-логично поставим столбец jm, m = 2, k на место m столбца, переставляяjm − m раз соседние столбцы и не меняя порядка следования остальныхстолбцов. В результате, совершив j1−1+ j2−2+ . . .+ jk−k перестановокстолбцов, приведём определитель к виду

|A| = (−1)j1+...+jk−(1+...+k)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1j1 . . . a1jk 0 . . . 0. . . . . .

akj1 . . . akjk 0 . . . 0ak+1,j1 . . . ak+1,jk ak+1,j′1 . . . ak+1,j′n−k

. . . . . .anj1 . . . anjk anj′1 . anj′n−k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, где

j′1, . . . , j′n−k — дополнительные индексы к j1, . . . , jk. Далее, применяя слу-

чай I, получим

27

|A| = (−1)j1+...+jk−(1+...+k)∣∣∣∣∣∣

a1j1 . . . a1jk. . .

akj1 . . . akjk

∣∣∣∣∣∣(−1)2(1+...+k)

∣∣∣∣∣∣

ak+1,j′1 . . . ak+1,j′n−k. . .

anj′1 . . . anj′n−k

∣∣∣∣∣∣.

Отсюда |A| =∣∣∣∣∣∣

a1j1 . . . a1jk. . .

akj1 . . . akjk

∣∣∣∣∣∣(−1)j1+...+jk+1+...+k

∣∣∣∣∣∣

ak+1,j′1 . . . ak+1,j′n−k. . .

anj′1 . . . anj′n−k

∣∣∣∣∣∣,

т. е. в случае II теорема доказана.Рассмотрим случай III: разложение определителя по первым k строкам.

Представим столбцы матрицы в виде сумм a.j = a′.j + a′′.j, где a′ij = 0 приi > k , a′ij = aij при i 6 k , a′′ij = 0 при i 6 k , a′ij = aij при i > k.Из столбцов a′.j и a′′.j составим матрицы A1 и A2 соответственно, тогдаA = A1+A2. Из теоремы 2.5.1. следует, что |A| равен сумме 2n определи-телей, составленных из столбцов матриц A1 и A2. Рассмотрим один из та-ких определителей, в котором m столбцов a′.j1, a

′.j2

, . . . , a′.jm взяты из мат-рицы A1 и n−m столбцов a′′.j′1, a

′′.j′2

, . . . , a′′.j′n−m — из матрицы A2, причёминдексы j′1, j′2, . . . , j ′n−m дополняют индексы j1, j2, . . . , jm до {1, 2, . . . , n}.

Пусть сначала m < k. В силу того что a′′ij = 0 при i = 1, 2, . . . , k,j 6= j1, j2, . . . , jm (или, что то же самое, j = j′1, j′2, . . . , j ′n−m), в этом опре-делителе все элементы нулевые в первых k строках и во всех столбцахкроме, может быть, столбцов j1, j2, . . . , jm. Выберем эти столбцы и любыеk −m столбцов, взятых из матрицы A2 и, применив доказанный случайII, получим, что рассмотренный определитель равен нулю, т. к. минор извыбранных столбцов и первых k строк содержит по крайней мере k −mнулевых столбцов.

Пусть теперь m > k. Тогда n −m < n − k и все элементы нулевые впоследних n− k строках и во всех столбцах, кроме не более чем в n−mстолбцах, взятых из матрицы A2. Переставив строки рассмотренного опре-делителя в обратном порядке и применив случай II к первым n−k строкам,аналогично предыдущему, получим равенство определителя нулю.

При m = k к расс�