ս ՜ Դպրոցում - tert.nla.amtert.nla.am/archive/NLA AMSAGIR/Matematikan dprocum/2009(4).pdf · ուսուցչի ձեռնարկ, «Աստղիկ գրատուն», 2001 թ. Ի՞նչ

ՀՀ

կրթ

ութ

յան

և

գիտ

ութ

յան

ն

ախ

ար

ար

ութ

յուն

www.MathSchool.cjb.net

ս ՜

Դպրոցում

СՏ ^

5 #

f i - E . ւ^յ

!с . 3

III I° Տq dL сЕ'сз

I ICL _CL֊г d"

@05ооCM

pCO

ՊԱՇՏՈՆԱԿԱՆՍ.Հակոբյաէi, Է.Այվազյաէi, Ռ. Խաչատրյան, ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԱՎԱՆԴՈՒՄԸ2009-10 ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՏԱՐՈՒՄ /մեթոդական նամակ/........ 3Ս. ՍարգսյաԱ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ............................................................. 18О. Միք այ ե и ա йՄԻԱՎՈՐԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔՆԵՐԻ ԳՐԱՆՑՈՒՄԸ ԴԱՍԱՄԱՏՅԱՆՈՒՄ................................................21

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ Կ.Մոսեսյաէi, Հ. Պ ետրոսյա й ՈՐՈՇ ԴԱՄԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՀԱՐՑԵՐ ..............................................................23

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ Ն. Դավթյ ա UԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԱՊԱՑՈՒՑՈՒՍԸ ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ ՕԳՆՈՒԹՅԱՍԲ ...........................................................................30

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ Աս ուշ վարդազարյաս ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐԻ ՊԱՏԿԵՐՈՒՍԸ ՀԱՄԱԿԱՐԳՉԱՅԻՆ MS E X C E L ԾՐԱԳՐԻ ՍԻՋՈՑՈՎ.............. 35

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ О. Ս ահակյ ա й ՊԱՐԱՍԵՏՐ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈԴՈՐՈՇ ԱՆՀԱՎԱԱԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՄԱՄԻՆ.......................................43

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ Վ. Հ այրիյաԱԴԻՐԻԽԼԵՅԻ ՍԿԶԲՈՒՆՔԸ ԿԱՍ ՃԱԳԱՐՆԵՐԸՎԱՆԴԱԿՆԵՐՈՒՍ........................................................................ 50Ն. Սեդրակյա й47-ՐԴ ՍՍՕ-Ի N 3 ԽՆԴՐԻ ՍԻ ԼՈՒԾՍԱՆ ՍԱՄԻՆ....................57

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸԱ. Մի ք այ ե Ս Ш UԴԱՐՁՅԱԼ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՄԱՄԻՆ............... 60

Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դ

Համլետ Միքայելյանգլխավոր խմբագիր

Սարիբեկ Հակոբյանգլխավոր խմբագրի տեղակալ, պատասխանատու քարտուղար

Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե ր Աբրահամյան Արամ Այվազյան էդվարդ Առաքելյան Կորյուն Բաղդասարյան Գևորգ Զաքարյան Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Նավասարդյան Հայկսւզ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիրի Տոնոյան Գառնիկ

ՆկարիչՎ. Հ. Միքայելյան

Հա մա կա րգչա յին ձևա վորո ւմը Գոհար Խաչատրյանի

Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

Այցելե՜ք մեր էջը Ինտերնետումhttp://www.MathSchool.cjb.net հասցեով: էջը պարունակում է մանրամասն տեղեկություններ ամսագրի մասին և օգտակար կլինի մեր ընթերցողների, հեղինակների և պարզապես Հայաստանում դպրոցական մաթեմատիկայի և Ինտերնետի զարգացման հարցերով հետաքրքրվողների համար: էջը ամենաժամանակակից տեխնի­կական միջոցներով կառուցված է MWdesigns կազմակերպության (ԱՄՆ) կողմից, հեղինակներ' Վահագն Միքայելյան և Պիտեր Ոււսյգոլդ:

Phone: (3742) 613437Fax: (3743) 906957E-mail: Տ с с rc la ri a 1 a M a I h S с I ю о!. eib. netInternet: http://www.MathSchool.cjb.net

« Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ն դ պ ր ո ց ո ւ մ » գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն ա մ ս ա գ ի ր

№ 4 , 2009թ .

Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ

Հասցեն' Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական' N 01 Ա 044424,տրված 16.02.1999թ.

Ամսագրի թողարկման պատասխանատու' գ լխ ա վ ո ր խ մ բա գ իր Հ ամ լ ե տ Մ ի ք այ ե լ յ ան

Հանձնված է տպագրության 05.08.2009թ: Տպաքանակը' 2010, ծավալը' 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չափսը' 70x100 1/16:

Գինը' 700 ղրամ, միացյալ զույգ համարինը'1400 ղրամ: Ուսումնական հաստատություններին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր

Պ ա շ տ ո ն ա կ ա ն

Մ Ա Թ Ե Մ Ա Տ Ի Կ Ա Յ Ի Դ Ա Ս Ա Վ Ա Ն Դ Ո Ւ Մ Ը 2009-10 Ո Ւ Ս Ո Ւ Մ Ն Ա Կ Ա Ն Տ Ա Ր Ո Ւ Մ

/մեթոդական նամակ/

2009-2010 ուստարվա նախապատրաստման գործընթսւցում արդեն իսկ

կատարված կարևորագույն աշխսւտանքր 12-ամյա կրթության շրջանա կնե­

րում ավագ դպրոցի «Մաթեմատիկա» բնագավառի առարկաների չափորոշիչ-

ների և ծրագրերի վերամշակված տարբերակների երաշխավորումս է գործա­

ծության: Դրա նց համար, ինչպես հայտնի է, հիմք են ծա ռա յել հա նրա-

կրթության պետական կրթսւկարգում սւմփոփվսւծ հիմնական սկգբունքներր և

միջնակարգ կրթության պետական չափորոշչի պսւհանջներր, րնդ որում հա շ­

վի են առնվել մասնագետների շրջանում հանգսւմանսւլի քննարկումների

արզյունքներր:

Ծրագրերր մշակվել են առարկայական չսւփորոշիչներին համապա­

տասխան և ծառայելու են որպես հիմնական փաստաթուղթ չափորոշիչների

վրա հիմնված կրթություն իրականացնելու համար:

Հիմնական դպրոցի «Մաթեմատիկա» բնագավառի առարկաների չա­

փորոշիչների և ծրագրերի' արդեն նախորդ ուստարում հաստատված տարբե-

րակներր նույնությամբ երաշխավորվում են նաև 2009-2010 ուստարում:

Այսպիսով, գործածության են երաշխավորվում հետևյա լ առարկաների

ծրագրերր.

• Մաթեմատիկա' 12-ամյա կրթության 5-6-րդ դասարանների ծրագիրր,

• Հանրահաշիվ' 12-ամյսւ կրթության 7-9-րդ դասարանների ծրագիրր,

• Երկրաչափություն' 12-ամյա կրթության 7-9-րդ դասարանների և ա ­

վագ դպրոցի 10-րդ դասարանի րնդհսւնուր հոսքի և տարբերակված

հոսքերի ծրագրերր, ինչպես նաև 11-ամյա կրթության 11-րդ դասա­

րանի ծրագիրր,

3

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

• Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր' 12-ամյա կրթու­

թյան ավագ դպրոցի 10-րդ դասարանի րնդհսւնուր հոսքի և տարբե­

րակված հոսքերի ծրագրերր, ինչպես նաև 11-ամյա կրթության 11-րդ

դասարանի ծրագիրր:

Առարկայական ծրագրերից յուրաքանչյուրում ներկայացված են դաս-

րնթացի նպատակներր, կրթական րնդհսւնուր խնդիրներն րստ դասարանների

և րստ թեմաների: Թեմաներից յուրաքանչյուրի համար նշված են նախատես­

վող ժամաքանակդ, թեմայի բովանդակությունդ, դրանց վերաբերյա լ կրթա­

կան հիմնական խնդիրներր, ինչպես նաև սովորողների համար ակնկալվող

չափորոշչային գիտելիքներր, կարողություններր և հմտություններր:

Չափորոշիչներում ներկայացվում են նաև սովորողների սոցիալական

հմտությունների զարգացման և արժեքային համակարգի ձևավորման խնդիր­

ներր, րնդ որում' դրանք դիտվում են որպես բոլոր թեմաներին ուղեկցող կրթա­

կան խնդիրներ:

Ուսուցումն իրականացնելու համար գործածության են երաշխավորվում

առարկայական ծրագրերին համապատասխան հետևյա լ դասագրքերր և

ուսուցչի ձեռնարկներր:

1. Բ.Նա հա պ ետ յա ն, Ա.Աբրահամյան «Մաթեմատիկա 5», «Մաթեմատիկա

6», Եր., 2006-2007թթ.

2. Բ.Նա հա պ ետ յա ն, Ա.Աբրահամյան, «Մաթեմատիկան 5-6-րդ դասարան­

ներում», ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ, Եր. 2006թ.

3. Ս. Մ. Նիկոլսկի և ուր. «Մաթեմատիկա 5», «Մաթեմատիկա 6», Եր.

«Անտարես», 2006-2007թթ.

4. Ուսուցչի մեթոդական ձեռնա րկ րստ Ս. Մ. Նիկոլսկու «Մաթեմատիկա

5,6» դասագրքերի, Եր., «Անտարես», 2006թ.

5. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշվիվ 7», «Հանրահաշիվ 8», «Հանրահաշիվ 9»

Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2006-08 թթ.

6. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշվի ուսուցումր 7-9-րդ դասարաններում,

Ուսուցչի ձեռնարկ», Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2006թ.

7. Գ . Գևորզյան, Ա. Աայակյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր 10», Ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի համար, Եր., «Էդիթ-

Պրինտ», 2009 թ.

8. Գ . Գևորզյան, Ա. Աայակյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր 10», բնագիտամաթեմատիկական հոսքերի համար, Եր., «Տիգրան

Մեծ», 2009 թ.

9. է . Այվազյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր:

Ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ», րնդհսւնուր և հումանիտար հոսքերի հա­

մար, Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2009 թ.

4

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

10. է . Այվագյսւն, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր:

Ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ», րնագիտամաթեմատիկական հոսքերի

համար, Եր., «Տիգրան Մեծ», 2009 թ.

11. Գ . ԴԼորգ յան, Ա. Սահակյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անա­

լիզի տարրեր 10» Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2001 թ.

12. է . Այվագյսւն, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր:

Ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ», Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2001 թ.

13. Լ. Աթանասյան և ուրիշ, «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8»,

«Երկրաչափություն 9». «Զանգակ 97», 2006-08 թթ.

14. Ս . Հակոբյան, «Երկրաչափություն 7-9», Ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ,

Եր., «Զանգակ-97», 2006 թ.

15. Ռ . Արամյան, «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8», «Երկրաչա­

փություն 9» այլրնտրանքային դասագրքեր, «Մակ. Արմենիա», 2006-

08թթ.

16. Ս . Հակոբյան «Երկրաչափություն 10» դասագիրք /հումանիտար և րնդհա-

նուր հոսքեր/, «Տիգրան Մեծ» հրատ., 2009թ.:

17. Ս.Հա կոբյա ն «Երկրաչափություն 10-12» ուսուցչի ձեռնարկ, «Տիգրան

Մեծ» հրատ., 2009թ.:

18. Ի.Շա րիգին «Երկրաչափություն 10», դասագիրք , /րնդհանուր հարակից և

խորացված ուսուցման հոսքեր/, «Անտարես» հրատ., 2009թ.:

19. Ռ.Ավետ իսյա ն, Ռ.Խ ա չա տրյա ն «Երկրաչափություն 10-12» ուսուցչի ձեռ­

նարկ /րնդհանուր հարակից և խորացված ուսուցման հոսքեր», «Անտա­

րես» հրատ., 2009թ.:

20. Լ. Աթանասյան և ուրիշներ, «Երկրաչափություն 10»., Եր., «Աստղիկ գրա­

տուն», 2001 թ.

21. Ա. Հակոբյան, «Երկրաչափության ուսուցումր 9-10-րդ դասարաններում»,

ուսուցչի ձեռնարկ, «Աստղիկ գրատուն», 2001 թ.

Ի՞նչ գործընթացներ են առավել կարևորվում ուսուցումը կազմա­կերպելիս

1. «Մաթեմատիկա» բնագավառի առարկաներր դասավանդելիս ավելի

րնդգծված է շեշտադրվում ուսուցման բովանդակության գործնական-կիրա-

ռական ուղղվածությունր:

2. Կրթական գործրնթացր չափորոշչային պահանջներին առավելա­

գույնս համապատասխանեցնելու նպատակով առաջնահերթ խնդիր է հա ­

մարվում մաթեմատիկայի հանրակրթական նշանակության բացահայտումր,

5

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

մաթեմատիկայի ուսուցման պարտադիր մակարդակի ապահովումր: Դրա ն

էապես կնպաստի դասավանդման նոր մեթոդների կիրառումր, նոր տեխնո­

լոգիաների ներդրումր դասապրոցեսում:

3. Ըստ չափորոշչային պահանջների' ուսումնական գործրնթացում

հարկավոր է ապահովել նաև սովորողների պատրաստվածության ցանկալի

մակարդակր (նախրնտրելի է առավել մեծ թվով սովորողների րնդգրկումր)'

դրանով իսկ շրջանավարտների համար հնարավորություն ստեղծելով շա ­

րունակել կրթությունր բարձրագույն և միջնակարգ մասնագիտական ուսում­

նական հաստատություններում: Ա յդ նպատակով 2009-2010 ուստարում

ավագ դպրոցի համար առաջարկվում են հոսքային չորս խմբերին համապա­

տասխան երկուական դասագրքեր, այն է' ա/ հումանիտար և րնդհանուր

հոսքերի և բ/ րնդհանուր հարակից և խորացված ուսուցման հոսքերի դասա-

ԳՐՔեր:

4. 2009-2010 ուստարում 12-ամյա կրթության շրջանակներում կշարու­

նակվի ուսուցման արդյունքների ստուգման և գնահատման նոր կարգի համ-

րնդհանուր կիրառումր, որով հստակեցվում և որոշակիացվում են գնահատ­

ման «10» միավորային սանդղակր, աշակերտների գրավոր աշխատանքներր

և բանավոր հարցումներր ստուգելու, րնթացիկ և կիսամյակային գնահատում­

ներ կատարելու սկգբունքներր: Մասնավորապես, հիմնական դպրոցի

սովորողների գիտելիքներր, կարողություններր և հմտություններր ստւգելու և

գնահատելու համար արդեն մշակվել են առաջադրանքների ժողովածուներ,

որոնցում առկա են գնահատման 10 միավորային համակարգին համապա­

տասխան տարբերակներ' րստ րնթացիկ գնահատման մեթոդաբանության:

Մաթեմատիկայի ուսուցումը 5-6-րդ դասարաններում

2009-2010 ուստարում հիմնական դպրոցի 5-րդ և 6-րդ դասարաններում

սովորոդներր մաթեմատիկան կշարունակեն ուսումնասիրել «Մաթեմատիկա 5»,

«Մաթեմատիկա 6» դասագրքերով: Ընդ որում' ա յդ դասարաններում մաթե­

մատիկան կուսուցանվի մեկ հիմնական [1] և մեկ այլրնտրանքային [3] դա­

սագրքերով:

Դա սա գրքերի հետ միաժամանակ առաջարկվում են ուսուցչի ձեռնա րկ­

ներ [2,4], ստուգողական և ինքնուրույն աշխատանքների ժողովածու' որպես

ուսումնաօժանդակ ձեռնա րկ [24]: Ձեռնարկր կոչված է վերացնելու մեթոդա­

կան ուղեցույցում րնդգրկված ստուգողական աշխատանքների տեսականու և

քանակի պակասր: Դրանում րնդգրկված են ստուգողական աշխատանքներ,

ինչպես նաև ինքնուրույն աշխատանքներ և թեստեր:

6

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Հա մա ձա յն կրթակարգի' տարրական դպրոցի հիմնական խնդիրր

ուսումնական գործունեություն իրականացնելու (սովորել սովորելու) ունակ

երեխ այի ձևավորումն է: Սա կա յն մաթեմատիկայի բնագավառում ա յդ գեր-

խնդիրր միայն տարրական դպրոցով չի սահմանափակվում: Ա յն շարունակ­

վում է 5-6-րդ դասարանների մաթեմատիկայի դասրնթացում' ռացիոնալ

թվերի բազմության նյութի հիման վրա: Իրականում միջնակարգ մաթեմատի­

կական կրթության ա յս աստիճանր յուրահատուկ անցումային օղակի դեր է

կատարում' ապահովելով ռացիոնալ թվերի թվաբանության, հանրահաշվի և

երկրաչափության դասրնթացների սահուն անցումր:

Հա շվի առնելով, որ բնական, ամբողջ և ռացիոնալ թվերի համակարգի

ուսումնասիրությունր ավարտվում է 6-րդ դասարանում և ավելի բա րձր դասա­

րաններում դրանց ուսուցմանր այլևս չենք անդրադառնալու, դրանք հիմնա­

կանում ներառված են ուսուցման ամփոփիչ (չափորոշչային) արդյունքների

մեջ և ա յդ պատճառով էլ հենքային են ինչպես ավարտական, այնպես էլ բու-

հական րնդունելության քննությունների համար: Անհրաժեշտ է նկատի ունե­

նա լ որ կրթության ա յս փուփ թերություններր չեն կարող վերացվեի վերա­

կանգնվել հաջորդ փուլերի ուսուցմամբ, ինչպես բազմիցս նշվել է' ա ստ իճա ­

նաբար խորանալով դրանք ունենում են անց անկ ափ ազդեցություն սովորող­

ների համար: Հետևաբար' հարկ է առանձնակի հոգատարությամբ, զգուշու­

թյամբ և ջանադրաբար իրականացնել բնական, ամբողջ և ռացիոնալ թվերի

թվաբանության ուսուցումր: Դրա նց բավականաչափ բա րձր մակարդակի

ապահովումդ, ինչպես նաև ա յդ դասրնթացում ներառված հանրահաշվի նա­

խագիտելիքների և երկրաչափության տարրերի նախաուսուցումր միայն հնա­

րավորություն կրնձեռի սովորողներին պատշաճ մակարդակով նախապատ­

րա ստ ել ապագա ուսումնառության տարիների «Մաթեմատիկա» բնագավառի

առարկաների «դեդուկտիվ» դասրնթացների ուսուցումր:

Լրա ցուցիչ գրականության

22. Մաթեմատիկա, հանրակրթական դպրոցի չափորոշիչ և ծրագրեր,

«Անտարես», 2006 թ.

23. Հանրակրթության պետական կրթակարգ Հ Հ ,Կ Գ Ն » Եր., «Անտարես»,

2004թ.

24. Ռ . Խաչատրյան, «Ստուգողական և ինքնուրույն աշխատանքների ժողո­

վածու 5, 6-րդ դասարանների համար» Եր., 2006-2007 թթ.

25. Ս. Հակոբյան, է . Այվազյան և ուրիշ. Մաթեմատիկայի դասավանդումր

2008-2009 ուս. տարում, մեթոդական նամակ, «ՄԴ» 2008թ., N 3 , 3-11

էջեր:

7

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

26. Ռ . Խաչատրյան «Մաթեմատիկա 5» աշխատանքային տետր, «Զա ն­

գակ» հրատ., 2007թ.: «Մաթեմատիկա 6» աշխատանքային տետր, «էդիթ-

Պրինտ» հրատ., 2008 թ.:

Հանրահաշվի ուսուցումը 7- 9-րդ դասարաններում

2009-2010 ուստարում 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ դասարաններում սովորոդներր

«Հանրահաշիվ» առարկան կուսումնասիրեն Հ.Ս . Միքայելյանի «Հանրահաշիվ 7», «Հանրահաշիվ 8», «Հանրահաշիվ 9» դասագրքերով: Արդեն երկրորդ տարին է, ինչ գործածության մեջ է մտ ել նաև միջին դպրոցի 9-րդ դասարանի

վերամշակված դասագիրքր, որով ամբողջանում է հանրահաշվի դասրնթացր: Դասագրքում տեղ են գտ ել բոլոր այն թեմաներր, որոնք նախատեսված են առարկայական ծրագրով: Ընդ որում' կարևոր է նկատի ունենալ, որ որոշ

թեմաներ ներմուծված են առաջին անգամ: Դրա նք վերաբերում են' «Հա ջոր­դականություններ» (հաջորդականության բնութագրիչներր' միջին թվաբանա­կան, մոդա, մեդիա), «Պա րզ իրավիճակներում հնարավոր տարբերակների

հաշվումր» (տեղափոխություններ, զուգորդություններ, կարգավորություններ) և «Պատահույթ, պատահույթի հավանականությունր»:

Ուսուցումն արդյունավետ դարձնելու նպատակով մշակված և երաշխա­

վորված է բավականաչափ հարուստ մեթոդական գրականություն: Ի թիվս ա յլ

ձեռնա րկների' կարևոր նորություն է, մասնավորապես, Հ. U. Միքայելյանի

[29] ուղեցույցդ, որն րնդգրկում է 7-րդ դասարանի դասագրքի խնդիրներից

շատերի լուծումներր, ինչպես նաև ցուցումներ ու խորհուրդներ դրանց լուծման

վերաբերյալ: Հատկապես կարևոր է հեղինակի կողմից կատարված խնդիր­

ների դասակարգումն րստ չափորոշչային երեք' պարտադիր (Ա), միջին (Բ) և

բա րձր (Գ ) պատրաստվածության մակարդակների: Ա յդ ուղեցույցի շնորհիվ

հնարավոր կլինի ապահովել անցում չափորոշիչների վրա հիմնված ուսուց­

ման, ինչր րստ Հանրակրթության պետական կրթակարգի' համարվում է

կրթական բարեփոխումների առաջնային հիմնախնդիրներից մեկր: Հեղինա­

կի կողմից նույնպիսի ուղեցույց է արդեն պատրաստվել նաև 8-րդ դասարանի

համար:Արժեքավոր նորություն է նաև Գ . Հովհաննիսյանի կողմից մշակված

[31] աշխատանքային տետրերի գործածությունր 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ դասարան­ներում: Մեթոդական առումով կատարվել են լուրջ մշակումներ ծրագրային նյութն ավելի մատչելի դարձնելու, դրանցով ուսումնական ամենօրյա աշխա- տանքր կազմակերպելու ուղղությամբ: Աշխատանքային տետրերր ծառայում են նաև դասրնթացի բովանդակությունդ ժամանակակից մեթոդներով դասա­վանդման համար: Ա յդ նպատակով տետրերում րնդգրկված են անհատական և խմբային աշխատանքների' հետաքրքիր և աշխույժ ձևերով ներկայացված

8

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

վարժություններ, ինչպես նաև մեծ թվով թեստային առաջադրանքներ, որոնք թարմություն են մտցնում ուսուցման գործրնթացում և, միաժամանակ, հնա­րավորություն են տալիս ուսումնառությանր մասնակից դա րձնել բոլոր ա շա ­կերտներին' առավել կարևորելով հատկապես այն գիտելիքներն ու կարողու- թյուններր, որոնք համապատասխանում են չափորոշչային Ա մակարդակին:

Անհրաժեշտ է հիշել, որ միջին դպրոցի 7-9 դասարաններում հանրահաշ­վի ուսուցումր խիստ կարևորվում է իր հանրակրթական նշանակությամբ, այդ դասարաններում են ձևավորվում և կուտակվում այն գիտելիքներր, կարողու­թյուններն ու հմտություններր, առանց որոնց հնարավոր չէ ապահովել կրթության շարունակականությունր ավագ դպրոցում: Նույնքան էական են նաև դրանց կիրառություններր մարդու աշխատանքային գործունեության մեջ, հետագա ամբողջ գիտակցական կյանքում:

Ուստ ի անհրաժեշտ է առանձնակի հոգածություն և պատասխանատ­վություն ցուցաբերել հատկապես սովորողների փաստարկելու կարողություն­ների ձևավորմանր, հանրահաշվական արտահայտությունների, հավասարու­թյունների և անհավասարությունների վերաբերյա լ օրենքներն ու հատկու- թյուններր կիրառելու, հավասարում, անհավասարում, համակարգ, համա­խումբ բանաձերր լուծելու, ֆունկցիայի գաղափարր րնկալելու հարցերում: Նույնքա ն կարևորվում են միջառարկայական կապերր, սովորողների լեզվա- տրամաբանական մտածողության գարգացումր:

Լրացուցիչ գրականություն

27. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշվի ուսուցումր 6-8-րդ դասարաններում, Մեթո­դական ձեռնարկ» (մասնավոր մեթոդիկա), Ե., «Հայ էդիթ», 2000 թ.

28. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշվի ուսուցման հիմնահարցեր» Ե ., «Էդիթ- Պրինտ», 2003 թ.

29. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշիվ 7. խնդիրների լուծումներ, ցուցումներ, մե­թոդական խորհուրդներ», Եր., 2007 թ.

30. է . Այվազյան «6-8-րդ դասարանների հանրահաշվի խնդիրների լուծման և ստուգողական աշխատանքների ուղեցույց», Ուսումնաօժանդակ մեթոդա­կան ձեռնարկ, Ե ., «Հա յ էդիթ», 2000 թ.

31. Գ . Հովհաննիսյան. Աշխատանքային տետր «Հանրահաշիվ 7», «Հանրա­հաշիվ 8», «Հանրահաշիվ 9», Եր. «Էդիթ-Պրինտ», 2007-2008 թթ.

«Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր» առարկայի ուսուցումր 10-12-րդ դասարաններում

2009-2010 ուստարում «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր (ՀՄԱՏ)» առարկայի 10-րդ դասարանի ուսուցումր տարվում է ՀՀ հանրակրթական 12 ամյա դպրոցի 10-12-րդ դասարանների (ավագ դպրոց)

9

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

ՀՄԱՏ առարկայի նոր ծրագրերով և չափորոշիչներով, որոնք նախորդ' 10/11- րդ դասարանների համանուն ծրագրի և չափորոշիչների համեմատ կրել են որոշակի փոփոխություններ: Դրա նք վերաբերում են ինչպես առարկայի բո­վանդակությանդ, այնպես էլ դասրնթացի կառուցվածքին ու նրա դասա­վանդման ոճին:

Ա. Կառուցվա ծքա յին վափոխռւթյուննէտ-. Ինչպես ամրագրված է ՀՀ

«Հանրակրթական պետական կրթակարգում» և ավագ դպրոցի «Մաթեմատի­

կա բնագավառի առարկայական չափորոշիչներում» սկսած 2009/10 ուստար­

վանից ավագ դպրոցր դառնում է եռամյա ուսուցմամբ: Ընդ որում կառուց­

վածքային փոփոխություններր դրանով չեն սահմանափակվում: Հա մա ձա յն

վերոհիշյա լ փաստաթղթի' ավագ դպրոցում ուսուցումր կազմակերպվում է

տարբերակված հենքով' րստ տարբերակված հանրակրթական (հումանիտար

րնդհանուր), րնդհանուր հարակից (բնագիտական) և խորացված ուսուցման

(ֆիզմաթ) հոսքերի համար նախատեսված ծրագրերի ու չափորոշիչների: Ա ր­

դեն լույս են տեսել ա յդ հոսքերի համար նախատեսված և վերոհիշյա լ ծրա­

գրերին ու չափորոշիչներին համապատասխան 10-րդ դասարանի դասա­

գրքերն ու ուսուցչի ձեռնարկներր.

Սկսա ծ 2009-2010 ուստարվանից ՀՀ հանրակրթական դպրոցների 10-12-

րդ դասարաններում «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր»

առարկայի ուսուցումր տարվում է Գ . Գեորգյա նի և Ա. Սա հա կյա նի «Հանրա­

հաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր» (Ե., «Էդիթ-Պրինտ», 2009 թ.,

հումանիտար և րնդհանուր հոսքեր) և «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական

անալիզի տարրեր» (Ե., «Տիգրան Մեծ», 2009 թ.բնագիտամաթեմատիկական

հոսքեր) դասագրքերով, որոնք ուղեկցվում են է . Այվազյանի վերր նշված հոս­

քերին համապատասխան «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տ ա ­

րրեր 10-12», մեթոդական ձեռնարկներով, ինչպես նաև լուծումների ուղեցույց»

բոլոր հոսքերի համար րնդհանուր ձեռնարկով: Դրա նցից առաջին երկուսր

հասցեագրված է ուսուցիչներին, իսկ երրորդր' հիմնականում բա րձր դասա­

րաններում սովորողներին:

2009-2010 ուստարում «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր» առարկայի 11-րդ դասարանի դասրնթացում նախորդ ուստարվա

համեմատությամբ ծրագրաբովանդակային որևէ փոփոխություն չի կատար­

վել: Ա յդ առումով' ուսուցիչներին խորհուրդ է տրվում օգտվել «Հանրահաշիվ և

մաթեմատիկական անալիզի տարրեր առարկայի ուսուցումր 2008-2009 ուս­

տարում և նախորդ ուստարիների մեթոդական նամակներից և համապատաս­

խան մեթոդական ձեռնարկներից:

10

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Բ . Բովա նդա կա յին վավախությռւններ. Վերոհիշյա լ կառուցվածքային

փոփոխություններր և ավագ դպրոցի առաջ դրված նոր մարտահրավերներր

բնականաբար առաջ են բերել մի շարք բովանդակային փոփոխություններ:

Նա խ և առաջ առարկայի բովանդակությունդ տեղաբաշխվել է ոչ թե երկու,

ա յլ' երեք տարիների մեջ:

Մաթեմատիկական կրթության զարգացման նոր մարտահրավերների

հենքի վրա առարկայի բովանդակային միջուկում կատարվել է բովանդակա­

յին դաշտի րնդլայնում: Ա յդ պատճառով ՀՄԱՏ առարկայի ծրագրում ներառ­

վել են նոր թեմաներ' «Իրական թվեր» և «Կոմպլեքս թվեր» (վերջինս միայն

խորացված հոսքում, 10-րդ դասարանում), «Ասույթներ, փոփոխական պարու-

նակոդ ասույթ, դրանց տրամաբանական գումարր, արտադրյալր, ժխտումր:

Հետևություն և համարժեքություն (11-րդ դասարան)», «Դեդուկտիվ մտահան­

գում, դրա հիմնական կանոններր, ինդուկտիվ մտահանգում: Ապացուցում և

հերքում, դրանց հիմնական մեթոդներր (խորացված հոսքում, 11-րդ դասա­

րան)», «Վիճակագրության և հավանականությունների տեսության տարրեր»

(12-րդ դասարան) և «Ինտեգրալ» (12-րդ դասարան' խորացված հոսքում):

Գ . Մակայպակային և տրամաբանական վավախությռւններ

Ա յս չափորոշիչներով և ծրագրերով առաջին անգամ ավագ դպրոցում

պաշտոնապես ու համատարած կիրառվում է տարբերակված' մակարդակա­

յին (հոսքային) ուսուցում, որն իր հերթին առաջ է բերում մաթեմատիկայի

ուսուցման ոճա յին տարբերություններ ինչպես մաթեմատիկայի րնկալման

մակարդակի ու խորության, այնպես էլ' ծավալի առումով: Ընդ որում յուրա ­

քանչյուր հոսքում կարևորվում է մաթեմատիկայի նշանակության մեկնաբա-

նություններից մեկր: Այսպես, օրինակ, հումանիտար հոսքի մաթեմատիկայի

ծրագրի և չափորոշչի հիմքում րնկած է մաթեմատիկայի հանրակրթական

նշանակությունը (մաթեմատիկա բոլորի համար), իսկ ֆիզմաթ հոսքի հիմքում,

բնականաբար, նախամասնագիտական նշանակությունր. Հենց սրանից էլ

բխում են վերոհիշյա լ ոճային-մակարդակային, խորքային ու ծավալային

տարբերությ ու ն ներր:

Որոշակիորեն բարելավվել է նաև առարկայի հիմքում դրված ապա-

ցուցոդական կառույցր: Հնարավորինս հստակեցվել է նյութի դեդուկտիվ շա-

րադրանքր: Շարունակվում է աշխատանքր սովորողների լեզվատրամաբա-

նական մտածողության հետագա զարգացման ուղղությամբ: Դրա ն նպաս­

տում են տրամաբանության տարրերի, «Մաթեմատիկական ինդուկցիայի մե­

թոդդ», «Ապացուցման և հերքման հիմնական մեթոդներր» թեմաների ուսու-

ցումր և ապացուցման խնդիրների լուծումներր: Սովորողների լեզվամտածո­

ղության կարևոր միջոց է նաև ուսուցչի կողմից սովորողների ապացուցողա-

11

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

կան ունակությունների ձևավորման նպատակով մաթեմատիկական տեքս­

տերի հետ կատարվող հատուկ աշխատանքր: Մաթեմատիկական տեքստերի

(ապացուցումների ու լուծումների) ա յդ «թաքնված» հնարավորություններր

վեր հանելու լավագույն ձևր նրանցում կիրառված ապացուցողական կա ռույց­

ների' ապացուցման մեթոդների բացահայտումն է:

10-րդ դասարանի դասագրքերի կառուցվածքը: Դասրնթացի հիմնա­

կան տեսական նյութր բաշխված է 4 գլուխների' հումանիտար և րնդհանուր

հոսքերում և 5 գլուխների' բնագիտամաթեմատիկական հոսքերում, որոնցից

յուրաքանչյուրն իր հերթին տրոհված է պարագրաֆների: Յուրաքանչյուր

պարագրաֆ, տեսական նյութին նվիրված տեքստից բացի, ունի տ վյա լ թե­

մա յի տեսական մասի յուրացմանն ուղղված բացատրական մաս և վար­

ժություններ ու խնդիրներ, որոնք կարող են օգտագործվել ինչպես դասարա­

նային, այնպես էլ տնային հանձնարարությունների համար:

Ավագ դպրոցի դասագրքերի գլխավոր առանձնահատկությունն այն է,

որ դրանք հասցեագրված են միջնակարգ դպրոցի սովորողների ամենա­

հա ստն' 16-18 տարեկան պատանիներին: Թ երևս ա յդ առանձնահատկության

ամենացայտուն դրսևորումր ՀՄԱՏ առարկայի դասագրքերում յուրաքանչյուր

թեմայի տեսական նյութի շարադրման ոճն է:

Հեղինակներն աշխատել են պահպանել տեսական բանաձևումների տե­

սակների ավանդական անվանումներր' սահմանում, թեորեմ, հատկություն:

Յուրաքանչյուր պարագրաֆի վարժությունների և խնդիրների համա­

կարգին նախորդում են «Հա սկա ցե՞լ եք դասր» խորագրով հարցերն ու առա-

ջադրանքներր, որոնց նպատակր սովորողների կողմից դասանյութի (տեսու­

թյան) յուրացման որակի ինքնաստուգումն է: Ա յս խորագրից հետո շա րա ­

դրվում են թեմայի հիմնական վարժություններն ու խնդիրներր: Ուսուցչի

աշխատանքր հեշտացնելու և դասարանում շերտավորված ու անհատական

աշխատանք կազմակերպելու նպատակով ա յդ վարժություններից ու խնդիր­

ներից յուրաքանչյուրր տեքստում առանձնացված է նախորդ դասագրքերում

արդեն ներդրված հատուկ նշաններով:

Ուսուցչի ձեռնա րկի կառուցվածքը նույնն է, ինչ որ նախկին ձեռնար-

կինն էր: Բա ցի ուսուցչի ձեռնարկից դասագրքերր ուղեկցվում են նաև ավագ

դպրոցի սովորողներին հասցեագրված լուծումների ուղեցույցով, որր սպա­

սարկում է ինչպես րնդհանուր ու հումանիտար, այնպես էլ բնագիտամաթե­

մատիկական հոսքերի դասագրքերին: Վերջինիս նախաբանում ներդրված

մեթոդական ցոցումներր օգնում են սովորողներին ինքնուրույն հաղթահարել

տնային հանձնարարոթյուններր և յուրա ցնել դասագրքի տեսական նյութր:

12

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Վերջին տարիներին ավարտական և րնդունելությսւն քննություննե­

րում առաջարկված խնդիրների տեսակների ուսումնասիրումր ցույց է տալիս,

որ «Ֆունկցիա» բովանդակային գծի և դրա կիրառությունների դերր խիստ

կարևորվում է, և խորհուրդ ենք տալիս ուսուցիչներին առավել ջանադրաբար

ուսուցանել ա յդ թեմաներր և դրանց կիրառության դրսևորումներր, որոնք

դասագրքրեում առկա են թե' որպես տեսական նյութ, և թե' որպես խնդիր կամ

օրինակ: Բնականաբար, 2009-2010 ուստարում կարևորվում է նաև 10-րդ

դասարանում որպես նոր ուսումնական թեմա ներառված «Կոմպլեքս թվեր»

գլուխր /րնդհսւնուր հարակից և խորացված ուսուցման հոսքում սովորողների

համար/: Ուսուցիչներր պետք է լրջորեն նախապատրաստվեն թեման անհրա­

ժեշտ մակարդակով սովորողներին ներկայացնելու համար:

Ավագ դպրոցում կրթությունր պետք է նպատակաուդղվի մասնագի­

տական կոդմնորոշման և դրան համապատասխան կրթություն ստանալու

կարողությունների և հմտությունների ձևավորմանր: Հենց ա յդ նպատակին

հասնելու համար ավագ դպրոցում, րստ տ վյա լ դպրոցում առկա հնարավորու­

թյունների, կիրառվում է տարբերակված ուսուցում:

Լրա ցուցիչ գրականություն

32. է . Այվագյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 10:

Լուծումների ուղեցույց», րնդհսւնուր, հումանիտար և բնագիտամաթեմա-

տիկական հոսքերի համար, Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2009 թ.:

33. Գ . Գևորզյա ն և ուրիշ. Մաթեմատիկա, պետական ավարտական և միաս­

նական քննության ուղեցույց, Եր., Գ Թ Կ , 2008թ.:

Երկրաչափության ուսուցումր 7-11-րդ դասարաններում

2009-2010 ուստարում 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ դասարաններում սովորոդներր

կշարունակեն «Երկրաչափություն» առարկան ուսումնասիրել «Երկրաչափու­

թյուն 7», «Երկրաչափություն 8» և «Երկրաչափություն 9». Աթանասյան և

ուրիշներ հիմնական և Ռ . Արամյանի այլրնտրանքային դասագրքերով:

Դրա նք կազմված են րստ 12-ամյա դպրոցի ուսումնական ծրագրերի:

Օգտակար են նաև ա յդ դասագրքերին կից ուսուցչի ձեռնարկներր,

որոնցում ամփոփված են անհրաժեշտ մեթոդական ցուցումներ, խորհուրդներ,

առաջարկվում են լրացուցիչ խնդիրներ, ինքնուրույն և ստուգողական աշխ ա­

տանքների տարբերակներ, թելադրությունների և թեստերի տեքստեր: Աթա­

նասյան և ուրիշներ դասագրքերին կից առաջարկվում են Ռ . Խաչատրյանի

կազմած «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8», «Երկրաչափություն

9» աշխատանքային տետրերր:

13

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Հիմնական դպրոցի երկրաչափության դասագրքերին կից ա ռա ջա րկ­

վում է նա եՍ. Հակոբյան, Ռ . Խաչատրյան «Երկրաչափություն 7, 8, 9» /գիտե­

լիքների ստուգման և գնահատման առաջադրանքների ժողովածու/ մեթո­

դական ձեռնարկներր, որոնցում ներառված առաջադանքներր կազմված են

գնահատման 10 միավորային համակարգին համապատասխան:

Միջին դպրոցի Երկրաչափության դասրնթացր, ինչպես հայտնի է,

հիմնականում նվիրված է հարթաչափությանր, սակայն չպետք է աչքաթող ա-

նելա յն հանգամանքդ, որ ծրագրում նախատեսվում է նաև որոշակի գիտելիք­

ներ տարածական պատկերների, մասնավորապես բազմանիստերի ու պտտա­

կան մարմինների, դրանց մակերևույթների մակերեսների և ծավալների

հաշվման վերաբերյալ: Դասագրքերում ա յդ հարցերր բավարար չափով լու­

սաբանված են և, որ կարևոր է, դրանք հիմք են հանդիսանում ավագ դպրոցում

տարածաչափության դասրնթացր արդյունավետ սկսելու համար:

2009-2010 ուստարում 10-րդ դասարանում ուսուցումր իրականացվելու

է հոսքային ուսուցման համար ստեղծված դասագրքերով' Ս. Հակոբյան,

«Երկրաչափություն 10» դասագրքով /հումանիտար և րնդհանուր հոսքեր/ և

Ի. Շարիգին, «Երկրաչափություն 10» դասագրքով /րնդհանուր հարակից և

խորացված ուսուցման հոսքեր/:

Ն որ դասագրքերր կոչված են 12-ամյա դպրոցի չափորոշչային պա­

հանջներին ու ծրագրերին համապատասխան ուսուցման գործրնթացն ուղղոր­

դելու, և ավագ դպրոցի ա ռջև դրված խնդիրների լուծման համար գործուն

միջոցներ ապահովելուն: Ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի դասագրքում

ուսումնական նյութր ներկայացված է առավել մատչելի շարադրանքով' հա շ­

վի առնելով տ վյա լ հոսքերի սովորողների հետաքրքրություններն ու հակում-

ներր: Առանձնակի հետաքրքրություն են ներկայացնում դասագրքում զե­

տեղված պատմական և հետաքրքրաշարժ տեղեկություններր երկրաչափու­

թյան մասին, և որ առավել կարևոր է, դասագրքում ներդրված են նոր մոտե­

ցումներ, որոնք սովորողներին կտրամադրեն ինքնուրույն և համագործակցա-

յին աշխատանքի: Հատկապես հումանիտար հոսքում սովորողների համար

անակնկալ կլինի տեսական նյութի րնթացիկ շարադրանքր, որի հիմնական

մոտեցումր սովորողին դեպի երկրաչափություն ուղղորդելն է, և դրա շնորհիվ

երկրաչափական զգացողություն և ճա շա կ ձևավորելը:

Դասագրքին կից առաջարկվող ուսուցչի ձեռնարկում տրված ուսուց­

ման և գնահատման ժամանակակից մեթոդների վերաբերյա լ պարզաբանում -

ներր էապես կօգնեն ուսուցչին հաջողությամբ իրականացնել ինտերակտիվ և

համագործակցային աշխատանքր սովորողների հետ: Ուսուցչի ձեռնարկում

առկա են ծավալուն, համառոտ գրավոր աշխատանքների համար նախատես -

14

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

ված տարբերակներ, ինչպես նաև մաթեմատիկական թելադրություններ և

լրացուցիչ տարաբնույթ նյութեր:

Ի. Շարիգինի հեղինակած «Երկրաչափություն 10» դասագիրքր նա­

խատեսված է րնդհանուր հարակից և խորացված ուսուցման հոսքերի հա ­

մար: Դա սա գիրքր համապատասխանում է տ վյա լ հոսքերի ծրագրերին և չա-

փորոշչային պահանջներին: Ուսուցիչների համար նորույթ է դասագրքում

առկա խնդիրների մի զգալի մասր, դրանք հեղինակային խնդիրներ են և,

բնականաբար, անհրաժեշտություն կգգացվի ա յդ խնդիրների հաղթահար­

ման:

Հատկապես խորացված ուսուցման հոսքում սովորողների համար

լայն հնարավորություններ են ստեղծվում երկրաչափության ավելի խորքային

ուսուցման համար, ղրան կնպաստի ինչպես դասագրքում առկա խնդիրների

համակարգր, այնպես էլ ներկայացված տեսական նյութերր: Բնականաբար

ա յդ գործրնթացում կարևորվում է ուսուցչի դերր թև սովորողներին տրա­

մադրելու, թև նրանց հետ համագործակցելու առումով:

Դասագրքին կից առաջակվում է Ռ . Ավետիսյան, Ռ . Խաչատրյան

«Երկրաչափություն 10-12» մեդոդական ձեռնարկր: Ձեռնարկում ներառված

են ծավալուն և համառոտ գրավոր աշխատանքների տարբերակներ, օրինա­

կելի թեմատիկ պլանավորումներ և ցուցումներ որոշ, առավել դժվար խնդիր­

ների լուծումների վերաբերյալ:

11-րդ դասարաններում սովորոդներր կշարունակեն ուսուցումր րստ

նախորդ տարիներում գործածության մեջ դրված լրացուցիչ ուսումնամեթո­

դական գրականության, համապատասխանաբար նախկին 10-րդ դասարանի

համար եղած դասագրքով և ուսուցչի ձեռնարկով:

Վերջում հարկավոր է րնդգծել, որ 2009-2010 ուստարում շարունակ­

վելու է անցկացվել պետական ավարտական և միասնական քննություն: Ա յդ

քննությանդ սովորողներին լավագույնս նախապատրաստելու նպատակով

խորհուրդ է տրվում ավելի շատ ուշադրություն դա րձնել առարկաների տեսա­

կան մասին և դրա կիրառմանր, ինչպես նաև այն թեմաներին, որոնց վերա­

բերյա լ առաջադրանքներր նախկինում քննատոմսերի տարբերակներում

սովորաբար չէին րնդգրկվում: Մասնավորապես, պետք է կարևորել «Վեկտ որ­

ներ և կոորդինատներ», ինչպես նաև «Հաջորդականություն», «Միացություն­

ների տեսության տարրեր» թեմաների ավելի խորքային ուսումնասիրումր:

Լրա ցուցիչ գրականության

34. Հ. Միքայելյան և ուրիշ. Ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի առարկայական

չափորոշիչներ և ծրագրեր, Եր., «Տիգրան Մեծ», 2009թ.:

15

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

35. Ս. Հակոբյան, Ռ . Խաչատրյան «Երկրաչափություն 7, 8, 9» գիտելիքների

ստուգման և գնահատման առաջադրանքների ժողովածու, «Զանգակ-97»

հրատ., 2009 թ.:

36. Ռ . Խաչատրյան, «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8», «Երկրա ­

չափություն 9», «Երկրաչափություն 10» աշխատանքային տետրեր, Եր.

«Զանգակ-97», 2008-2009թթ.

Պարզաբանումներ գնահատման նոր համակարգի վերաբերյալ

Գնահատման նոր համակարգի ներդրման անհրաժեշտությունր պ ա յ­

մանավորված է «Հանրակրթական պետական կրթակարգի այն պահանջով,

համաձայն որի հանրակրթության որակր բարելավելու և ազգային արժեքներ

կրող ժողովրդավարական հասարակության քաղաքացի ձևավորելու համար

անհրաժեշտ է ի թիվս ա յլ միջոցառումների, նաև մշա կել և ներդրել հանրա­

կրթական դպրոցի գործունեության, ուսումնական գործրնթացի կազմակերպ­

ման և ուսուցման արդյունքների գնահատման նոր համակարգ:

Համաձայն «Սովորողների րնթացիկ գնահատման մեթոդաբանության»,

րնթացիկ գնահատումր բաղկացած է երկու' իրար փոխլրացնող ձևերից.

1. ուսուցանող /ձևավորող/ որակական գնահատում,

2. միավորային /ամփոփիչ/ գնահատում:

Միավորային գնահատման արդյունքներն արտահայտվում են միա­

վորներով' գնահատականով, իսկ ուսուցանող կամ ձևավորող գնահատման

ժամանակ սովորողների առաջադիմության մասին տրվում են լոկ որակական'

բառային նկարագրություններ և արժևորումներ:

2009-2010 ուսումնական տարում ՀՀ հանրակրթական դպրոցներում

կներդրվի սովորողների րնթացիկ գնահատման միայն միավորային բաղա-

դրիչր, իսկ հաջորդ ուսումնական տարվանից' նաև ուսուցանող գնահատումր:

Գնահատման հիմնական նպատակր սովորողի գիտելիքների, կա րո­

ղությունների ու հմտությունների մակարդակի, անձնային որակների ստու­

գումն իրականացնելն, և դրա հիման վրա ուսումնական գործրնթացի կատա­

րելագործման և ուսման վերահսկումն է:

Միջին և ավագ դպրոցների «Մաթեմատիկա» ուսումնական բնագա-

վառր ներկայացվում է «Մաթեմատիկա 5-6» «Հանրահաշիվ 7-9» «Հանրահա­

շիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 10-12», «Երկրաչափություն 7-12»

առարկաներով: Ա յս առարկաների ուսումնառության արդյունքներր միավո­

րա յին /ամփոփիչ/ գնահատմամբ պարզելու համար առաջակվում է ստուգում­

ներ' հետևյա լ բաղադրիչների տեսքով.

16

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

1. բանավոր հարցում,

2. գործնական աշխատանք,

3. թեմատիկ գրավոր հարցում,

4. կիսամյակային ամփոփիչ գրավոր աշխատանք:

Ն շվա ծ ա յս չորս տեսակների կիրառման նպատակներր և հաճախա-

կանություններր տարբեր են: Գնահատումր կատարվում է 10 միավորային

սանդղակով: Յուրաքանչյուր բաղադրիչն իր րնդհանուր ծավալով պետք է

րնդգրկի մաթեմատիկական վերոհիշյա լ առարկաների կիսամյակային ամ­

բողջ տեսական նյութր:

«Մաթեմատիկա» ուսումնական բնագավառից սովորողների

ուսուցման արդյունքների միավորային /ամփոփիչ/ գնահատում

Բանա­վոր

հարցում

Գործնա­կան աշխա­

տանք

Թեմատիկ գրավոր աշխատանք

Կիսամյա­կային ամ­փոփիչ աշ­խատանք

Համա­ռոտ

Ծավալուն

Հաճախակա­նությունը մեկ կիսամյակի ընթացքում

5-6 մաթ 2-5 4-5 4 6-7 1հանր. 2-5 3 3-4 1երկրաչ. 2-5 2-3 2 3 1

Մեկ հարցման տևողությունը

5-6 մաթ 1-5 ր. 5-15 ր. 30-40 ր. 90 ր.հանր. 1-5 ր. 10-15 ր. 30-40 ր. 90 ր.երկրաչ. 1-5ր. 5-15 ր. 10-15 ր. 30-40 ր. 90 ր.

Բաղադրիչ­ների կշռային գործակից ներր

5-6մաթ.

0,3 0,1 0,3 0,3

հանր. 0,3 0,3 0,4երկրաչ. 0,3 0,1 0,3 0,3

Սարիրեկ Հա կոբյա նԿրթության ազգային ինստիտուտի

բնագիտամաթեմատիկական առարկաների բաժնի վարիչ

էդվա րդ Այվա զյա նԿրթության ազգային ինստիտուտի գլխավոր մասնագետ

Ռիա ա Խ աչատրյանԿրթության ազգային ինստիտուտի մասնագետ

17

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Մ Ա Թ Ե Մ Ա Տ Ի Կ Ա Յ Ի Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Ո Ւ Մ Ը Տ Ա Ր Ր Ա Կ Ա Ն Դ Պ Ր Ո Ց Ո Ւ Մ

2009-2010 ուստարում տարրական դպրոցում «Մաթեմատիկա» առար­

կայից ՀՀ Կ Գ Ն կողմից երաշխավորվում են հետևյա լ դասագրքերր'

Առաջին դասարանՎ . Հովհաննիսյան, Վ . Սարգսյա ն, «Մաթեմատիկա -1», 1-ին մաս, դսւ-

սագիրք-տետր, Երևան, «Արևիկ», 2009»թ.,

Վ . Հովհաննիսյան, Վ . Սարգսյան, Ռ . Հովսեփյան, «Մաթեմատիկա -1»,

2֊րդմա ս, Երևան, «Արևիկ», 2009թ.,

Ս. Մկրտչյան, Ա. Աբրահամյան, Ս. Իսկանդարյան, «Մաթեմատիկա -1»,

1֊ին մաս, դասագիրք-տետր, Երևան, « Զանգակ-97», 2009թ.,

Ս. Մկրտչյան, Ա.Աբրահամյան, Ս. Իսկանդարյան, «Մաթեմատիկա 1»,

2֊րդմա ս, Երևան, « Զանգակ-97», 2009թ.

Երկրորդ դասարանՎ . Հովհաննիսյան, Ս. Հարությունյան, Վ . Սարգսյա ն, «Մաթեմատի-

կա ֊2», Երևան, «Արևիկ», 2007թ.,

Ս. Մկրտչյան, Ա. Աբրահամյան, Ս.Իսկանդարյան, «Մաթեմատիկա-2»,

Երևան, «Զանգակ-97», 2007թ.

Երրորդ դասարանՍ. Մկրտչյան, Ա. Աբրահամյան, Ս. Իսկանդարյան «Մաթեմատիկա 3»,

Երևան , «Զա նգա կ-94», 2008 թ.

Վ . Հովհաննիսյան, Ս. Հարությունյան, «Մաթեմատիկա-3», Երևան,

«Արևիկ», 2008թ.

Չորրորդ դասարանՍ. Մկրտչյան, Ա. Աբրահամյան, Ս. Իսկանդարյան, «Մաթեմատիկա-4»,

Երևան, «Զանգակ-97», 2009 թ.,

Վ . Հովհաննիսյան, Ս. Հարությունյան, Ս. Սարգսյան, Վ . Սարգսյան

«Մաթեմատիկա -4», Երևան, «Արևիկ», 2009թ.

2009-2010 ուստարում հանրակրթական դպրոցներում կներդրվի սովո­

րողների րնթացիկ գնահատման երկու բաղադրիչներից միայն մեկր' միավո­

րա յին գնահատումր:

Տարրական դպրոցի 2-4-րդ դասարաններում «Մաթեմատիկա» առար­

կայից ուսումնառության արդյունքներր միավորային (ամփոփիչ) գնահատ-

18

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

մամբ պարզելու համար առաջարկվում է կիրա ռել ստուգման հետևյա լ տե-

սակներր'1. բանավոր հարցում,2. թեմատիկ գրավոր աշխատանք,3. գործնական աշխատանք,

4. կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանք:Աղյուսակում ամփոփ տրված են 2-4-րդ դասարաններում «Մաթեմա­

տիկա» առարկայից սովորողների ուսումնառության րնթացիկ արդյունքների միավորային գնահատման տեսակներր' իրենց տևողությամբ, կիսամյակի րն- թացքում գնահատման նվազագույն քանակով և կշռային գործակիցներով:

2-4-րդ դասարաններ

Տեսակները ՏեալռւթյունըՔանակը

կիսամյակիընթացքում

Կշռայինգործա­

կիցը1. Բանավոր հարցում

Կարճ

Ծավալուն

2 - 3 րոպե

3 - 5 րոպե

4 -5 2 -3

0,3

2. Թեմատիկ գրավորաշխատանքԿարճ

10-15 րոպե 15 - 20 րոպե

4 5 4 -5 0,3

Ծաւ]այուն 40 45 յապե 4 53. Գործնական աշխատանք

(տանը և դպրոցում) 2 5 րոպե 2 -5 րոպե

2 33 -4

0,1

4. Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանք

40 45 րոպե 80 - 90 րոպե

1 0,3

Բա նավոր հա րցումը իրա կա նա ցվում է 'առանձին աշակերտների բանավոր հարցումներով,

աշակերտներին ուղղված հարցերով (բանավոր հաշվի ժամանակ), տնային աշխատանքի բանավոր ստուգումով, խմբային և համագործակցային աշխատանքների միջոցով, խաղային տեխնոլոգիաների կիրառմամբ:

Թեմա տ իկ գրավոր աշխատանքԾավալուն թեմատիկ գրավոր աշխատանքր կազմակերպվում է յուրա ­

քանչյուր թեմայից կամ թեմաներից հետո: Ա յն կազմված պետք է լինի տվյա լ թեմայից կամ թեմաներից աշակերտներին ներկայացվող չափորոշչային պա­հանջների յուրացման աստիճանր ստուգող առաջադրանքներից:

19

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Թեմատ իկ ծավալուն գրավոր աշխատանքներում անհրաժեշտ է րնդ-

գրկել 1-ին, 2-րդ, 3-րդ կարգի բարդության առաջադրանքներ, ինչպես նաև դժվարավուն առաջադրանքներ, որոնք պահանջում են խոր, հիմնավոր իմա­ցություն:

Տարրական դպրոցի 2-ից 4-րդ դասարաններում կիրառվում են նաև հա­մառոտ ' կա րճ ժամանակի համար նախատեսված թեմատիկ գրավոր աշխ ա­տանքներ, որոնց նպատակն է ստուգել ուսումնասիրած ենթաթեմաներից սո­վորողների ստացած գիտելիքներն ու կարողություններր:

Գործնա կա ն աշխատանքներԸստ չափորոշչային պահանջների' նախատեսվում են տարբեր բնույթի

գործնական աշխատանքներ:Դրա նք երկրաչափական պատկերների կառուցումներն են, մեծություն­

ների չափումր' երկարություն, զանգված, տարողություն, պատկերների բա- ժանումր մասերի և տրված պատկերներից նոր պատկերների ստացումր, հարցումների և դիտարկումների միջոցով հավաքած տվյալների գրանցումր, սենյակի կամ բնակարանի մոտավոր հատակագծի պատկերումր և այլն:

Գործնա կան աշխատանքր կարելի է հա նձնարարել ինչպես տանր, ա յն­պես էլ դպրոցում:

Կիսա մյա կա յին ամփոփիչ աշխատանքԱ յս բաղադրիչի նպատակն է բա ցահայտել կիսամյակի րնթացքում

ուսումնասիրած թեմաների յուրացումր, սովորողների փաստացի գիտելիք­ներն ու կարողություններր, հմտություններր: Ա յն պետք է րնդգրկի անցած թեմաների կարևոր հանգուցային հարցերր:

«Մաթեմատիկա» առարկայից սովորողի րնթացիկ առաջադիմության կիսամյակային գնահատականդ ձևավորվում է ստուգման վերր նշված չորս տեսակներից նրա ստացած գնահատականների հիման վրա:

Աշակերտ ի րնթացիկ առաջադիմության կիսամյակային վերջնական գնահատականր հաշվարկելու համար առաջարկվում է հաշվարկում կատա­րել հետևյա լ կերպ:

Հաշվարկվում է յուրաքանչյուր բաղադրիչից աշակերտի ստացած գնա­հատականների միջին թվաբանականր, այն բազմապատկվում տ վյա լ բա ­ղադրիչի կշռային գործակցով, ապա գումարվում ա յդ չորս բաղադրիչների վերջնական միավորներր: Ամբողջ թիվ չլինելու դեպքում այն կլորացվում է: Եթե սովորողի մոտ նկատվում է առաջրնթաց, ապա այն կլորացվում է հօգուտ աշակերտի: Ստ ա ցվա ծ միավորր կէինի աշակերտի կիսամյակային վերջ­նական գնահատականր:

Սոնա Սարգսյան Կրթության ազգային ինստիտուտի մասնագետ

20

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Մ Ի Ա Վ Ո Ր Ա Յ Ի Ն Գ Ն Ա Հ ԱՏ Ս~ԱՆ Ա Ր Դ Յ Ո Ւ Ն Ք Ն Ե Ր Ի

Գ Ր Ա Ն Ց Ո Ւ Մ Ր Դ Ա Ս Ա Մ Ա Տ Յ Ա Ն Ո Ւ Մ

2009-2010 ուսումնական տարում հանրակրթական դպրոցներր կստա­

նան նոր դասամատյան, որում կան փոփոխություններ: Դրա նք են.

1. Դասամատյանր վարելու կարգի մասին բաժնի 5-րդ կետում

կատարված են փոփոխություններ:

2. Դասամատյանում տրված են միավորային գնահատման բոլոր բա ­

ղադրիչներն իրենց կշռային գործակիցներով' րստ ուսումնական բոլոր առար­

կաների:

3. «Աշակերտների առաջադիմության, վարքի հաշվառման ամփոփա­

գիր» բաժնում, յուրաքանչյուր աշակերտին 1 կիսամյակի համար հատկաց­

ված է 5 սյունակ'

№№

ը/

կ

Աշակերտ ի

ագգանունր,

անունր և

հայրանունր

I կիսամյակ II կիսամյակ

Տա

րե

կա

ն

Քն

նա

կա

ն

Բ Գ Թ Կ Կ Գ Բ Գ Թ Կ Կ Գ

1

2

3

Բ ֊բանավոր հարցում, Գ-գործնակա ն աշխատանք, Թ-թեմատիկ գրավոր

աշխատանք, Կ-կիսամյակային աշխատանք, ԿԳ-կիսա մյա կա յին գնահա­

տական:

Կիսամյակային գնահատականր ձևավորվում է հետևյա լ կերպ.

Կիսա մյա կի վերջում գնահատման յուրաքանչյուր բաղադրիչին համա­

պատասխանող սյունակում նշանակվում է տ վյա լ բաղադրիչից աշակերտի

ստացած գնահատականների թվաբանական միջինր' ստորակետից հետո

մեկ նիշի ճշտությամբ:

21

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Կիսամյակային գնահատականը ձևավորելու համար յուրաքանչյուր

բաղադրիչից աշակերտի ստացած միավորր բազմապատկվում է համապա­

տասխան կշռային գործակցով և ստացված թվերր գումարվում են:

Եթե ա յդ թիվն ամբողջ չէ, ապա այն մոտարկվում է' (կլորացվում)

մոտարկման րնդունված կանոնով: Եթե աշակերտն ունի առաջրնթաց, ապա

ա յդ թիվր մոտարկվում է անմիջապես հաջորդող ամբողջ թվով: Օրինա կ' 8.2

միավորր սովորական կանոնով կմոտարկվի 8-ով, իսկ առաջրնթացի դեպ­

քում' 9 միավորով:

1. Տարեկան գնահատականի ձևավորումր.

Տարեկան գնահատականր երկու կիսամյակային գնահատականների

միջին թվաբանականն է: Եթե այն ամբողջ թիվ չէ և երկրորդ կիսամյակային

գնահատականր մեծ է առաջինից, ապա որպես տարեկան գնահատական

վերցվում է ա յդ թվին անմիջապես հաջորդող ամբողջ թիվր, հակառակ

դեպքում' ա յդ թվին անմիջապես նախորդող ամբողջ թիվր:

Օնիկ Միքա յելյա ն

Կրթության ազգային ինստիտուտի

Գնահատման համակարգերի ներդրման բաժնի վարիչ

22

Մ ե թ ո դ ա կ ա ն

Ա Ն Հ Ա Վ Ա Ս Ա Ր Ո Ւ Թ Յ Ո Ի Ն Ն Ե Ր Ի Ա Պ Ա Ց Ո Ւ Ց Ս Ի Մ Ը

Ա Ծ Ա Ն Ց Յ Ա Լ Ի Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ա Մ Բ

Նորա Դավթյան

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում անհավասարությունների ապացուցումը կատարվում է տարբեր եղանակներով, մի դեպքում կատարելով

նույնական ձևափոխություններ կարելի է բերել արդեն հայտնի կամ անհայտ անհավասարության, մյուս դեպքում օգտվել անհավասարումների լուծման մի֊

ջակւսյքերի եղանակից և այլն: Ավելի ուշ «Ածանցյւսլը և նրա կիրառությունները» թեմայի ուսումնասիրությունից հետո որոշ անհավասարություններ ապացուց­

վում են նաև ածանցյալի կիրառմամբ:Դիտարկենք ածանցյալի կիրառմամբ անհավասարությունների ապա­

ցուցման օրինակներ, որոնց մի մասը դժվարությամբ է լուծվում կամ չի լուծվում

սովորական մեթոդներով, սակայն ածանցյալի կիրառմամբ դրանք հեշտությամբ են լուծվում: Մյուս մասը ավելի հեշտությամբ է լուծվում սովորական մեթոդ­

ներով: Այդ օրինակների լուծման տարբեր մեթոդներ քննարկելով, աշակերտնե­րին հնարավորություն կտրվի հասկանալու, որ յուրաքանչյուր մաթեմատիկա­

կան մեթոդ օժտված չէ բացարձակ համակողմանիությամբ:Այստեղ դիտարկված խնդրիները ապացուցվում են' հիմնվելով դպրոցա­

կան դասընթացում ուսումնասիրվող հետևյալ պնդումների վրա:1.Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է: Հակառակը ևս ճիշտ է. եթե

որևէ միջակայքում ֆունկցիայի ածանցյւսլը հավասար է զրոյի, ապա այդ ֆունկցիան հաստատուն է:

2 .Եթե միջակայքի բոլոր կետերում / ' М > 0 ( f '( x ) < 0 ) , ապա այդ միջա­

կայքում ք ֆունկցիան աճող է (նվազող է):

3 .Դիցուք / ֆունկցիան անընդհատ է x 0 կետում

/ '(* )< ° ( / /(x ) > °). եոբ ( е д , ) ’ և

/ 4 х ) > 0 ( / ' ( х ) < ° ) ’ երբ (x..\b):

Այդ դեպքում x (l ֊ն / ֆունկցիայի մինիմումի (մաքսիմումի) կետ է:

30

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Այժմ ածանցյալի կիրւսռմւսմբ դիտարկենք անհավասարությունների ա- պւսցուցմւսն օրինակներ, որոնց մի մասը դպրոցական դասընթացում նախատես­ված է կատարելու սովորական մեթոդներով, առանց ածանցյալի կիրառման:

1.Ապացուցել անհավասարությունը.

1 ^ 4ա) — -----------< — :X + X + 1 3

Ապացուցում: Նշանակենք f ( x ) = ------ -------- , x e ( - ° ° ;° ° ) :X + X + 1

— 2x — 1Հաշվենք f \ x ) - \ \ f \ x ) = ---------------- Պարզ է, որ եթե f ' ( x ) = 0,

(x + X + 1

ապա ,=֊ւ. ьРь /'М>°, ^ Վ-~-\). /'«<0. ^ք 1 ^

х е : +օօ :I 2 J

1

Ըստ 3-րդ պնդման՝ х = ---- կետը մաքսիմումի կետ է: Դա նշանակում է,2

"Ո f { x ) < f \ - ] - , х е ( - °օ ; օ օ ) ևքանի որ / - ֊ = ֊ , ապա ----- - < ֊ :Հ 2 ) у 2 J 3 х + х + 1 3

X 2 + 1

բ ) — 1 ------------- < 2 :2Х + X + 1

X 2 + 1 ч X 2 - 2 х - 1

Նշանակենք f ( x ) = — --------- ֊ : Ունենք' f ' ( x ) = — -----------— : Դժվար2 x + X + 1 ( 2 x + X + l )

չէ ցույց տալ, որ եթե / '( х ) = 0 ,ш 1цш r = 1 _ v 4 / ( \ - վ շ ) = է ± ֆ < 2:X = 1 + -հ/2 8 - 5 V 2

Քանի որ (-օ ° ;1 --\/շ ) միջակայքում ֆունկցիան աճող է, ապա

ֆունկցիայի արժեքը այդ միջակայքի կամայական կետում ևս փոքր է 2-ից: Իսկ

+ V 5 ) միջակայքում ֆունկցիան նվազող է և, հետևաբար, այդ միջա­

կայքի կամայկան կետում ևս ֆունկցիայի արժեքը փոքր կլինի 2-ից:

Դիտարկենք ֆունկցիայի արժեքները (l + л/2;+°°) միջակայքում, որտեղ

ֆունկցիան աճող է: Հաշվենք ֆունկցիայի սահմանը, երբ х —» : Ունենք'

1 • r ( \ 1 • X + 1 1հ ա / ( х ) = հ ա — ----------------------- = ֊ < 2 :х оо *_>,*, 2 х + х + լ շ

Հետևաբար, f ( x ) < 2 , երբ х е ( — օ օ ; օ օ ) :

31

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

2.Գտնել, թեж

r Kմիջակայքի ո՞ր x -երի համար է հետևյալ բանաձևը

անհավասարություն.

Ъжsin x < sin •

5

Նշանակենք / ( x ) = s in x : Այդ դեպքում / ' ( x ) = co sx : Երբж

ապա

co sx< 0 : Ուրեմն' f '{x)< 0:

Հետևաբար' նշված միջակայքում f ( x ) ֆունկցիան նվազող է: Դա

02ա0ակ„ւմ է. „„ * , ։ > դ . / W < / ( f ), «чипвво s in x < s i„ f , Ьпр

(Ъж х е — :ж

I 5 .3.Ցույց տալ, որ.

ш) \ j l + x + У \ - х < 2 , երբ х е ( - l; l) ,

բ) ел > ж е\

ա) Նշանակենք f ( x ) = \ l 1 + x + \ j l — x : Այդ դեպքում

1 1/ '( * ) =

Зд/(1 + x f Зд/(1 - х )2

Լուծելով f ' ( x ) = О հավասարումը, գտնում ենք х = 0:

f ' ( x ) > 0 ֊ից հետևում Է х < 0,

f ' ( x ) < 0 ֊ից հետևում Է х > 0:

Ստացանք, որ х = 0 կետում f ( x ) ֆունկցիան ունի մաքսիմում:

/ ( x ) < / ( 0) = 2, երբ х е ( - l; l) , կամ որ նույնն Է'

\/l + X + л/1 - X < 2 , երբ X е ( - l; l)

Օգտվելով ապացուցված անհավասարությունից, կարող ենք ստանալ մի

շարք թվային անհավասարություններ'

1) 3Ք + Վ 5 + \[5^ Վ 5 < 2 Վ 1 ,

2) ք + 3Տ + ք - 3Տ < 2 :

32

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

к е 1 In Жբ) е Ж բանաձևը համարժեք է — > ------ անհավասարությանը:

е ո

Ապացուցման համար դիտարկենք / (* 0 = — —• ֆունկցիան хе [е ;° ° )X

միջակայքում: Քանի որ / ' ( х ) = -— ապա x e [<?;°°)-ից հետևում է f \ x ) < 0:X

Նշանակում է f{x)-\\ նվազող է [e;°°) միջակայքում, և x > e ֊ից հետևում

Լ յ - է \ x t \ 1 1ո X 1 г \ lnTT 1է J \ x )< j [ e ) = — , ------< — : Քանի որ я е ապա ------< — :

е х е к е4.Ապացուցել Բեռնուլիի անհավասարությունը.

(l + х )а > 1 + OCX , որտեղ a > 1, x > 0:

Նշանակենք f ( x ) = ( 1 + x)a — I — ocx \ Ունենք'

f ' ( x ) = oc{\ + x)a 1 - a : Ուրեմն' / ' ( x ) = 0= > x = 0 , / ( 0 ) = 0 ,

f ' ( x ) > 0 => x > 0:

Հետևաբար, երբ x > 0 , f ( x ) ֆունկցիան աճում է: Դա նշանակում է, որ

եթե X > 0, ապա / ( х ) > / ( 0) = 0 : Այսինքն' (l + х )“ > 1 + С С С , երբ х > О :

5.Ապացուցել, որ s in x < x , երբ x e (0;°°):

Նշանակենք / ( x ) = s in x - x : Ունենք / (0 ) = 0: Ունենք նաև

/ /(x) = c o s x - l : Պարզ է, որ / /(x )< 0 ,n ր ի g հետևում է, որ / ( x ) - ը նվազող է:

Այսինքն x > 0 պայմանից հետևում է, որ f ( x ) < / ( 0 ) = 0: Այսինքն' s in x < x ,

երբ X > 0:

Օգտվելով այս անհավասարությունից' ապացուցենք, որ

X 2 / чc o s x > l - — , երբ x e

x 2Նշանակենք / ( x ) = c o s x - l + — , x e (0;°°):

Ունենք' f ' { x ) = - s in x + x > О , երբ х > 0 : Հետևաբար / ^ ) - ը աճող է, այ-

2սինքն X > Օ-ից հետևում է f ( x ) > / ( 0) = 0: Ուրեմն' cosx > 1 - — , երբ х > 0:

Այս անհավասարության օգնությամբ ապացուցենք, որ

• ֊X՜3 էր, \s i n x > x -------, երբ x e6

33

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Նշանակենք / ( x ) = s in x - x + — :62

Պարզ է, որ / ( 0 ) = 0 , / /(x) = c o s x - l + -> 0 : Ուրեմն' / ( * ) -ր աճող է:

. X 3Հետևաբար X > 0 ֊ից հետևում է /(х)> /(օ) = 0 կամ sin x > x -------, երբ x > 0:6

Նման եղանակներով կարելի է ապացուցել նաև հետևյալ անհավասա­րություններդ

1)

2)

X + 2 Х + 2 ^ 1

X + 2 х + 3 2

X

1 + х 4 2

3) ех > e x , երբ x > 1

4) a 5 > 5a - 4 , երբ a > 1О

5) 2b + — >л/Ь , երբ ծ > 08

6) ln ( l + x ) < x , երբ x > 0

7) > 1 + x , երբ х փ 0

8) X 5 + (l - x )5 > —v ' 16

9) 2 (x3 + 6x)> 9 x 2 + 4 , երբ x > 2

10) 2 x + — > 5 , երբ x e I 0; — I

բ) Գտնել, թե

թյունր.

жմիջակայքի ո՞ր x -երի համար է ճիշտ անհավասարու-

1) c o s X > cos-

2) tgx>֊\

4 Ж

Գրականություն

1.Գ. Գևորգյան, Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր - 9,10, Երևան, 2001 թ.

7

34

Մ ի ջ ա ռ ա ր կ ա յ ա կ ա ն

Ֆ Ո Ւ Ն Կ Ց Ի Ա Ն Ե Ր Ի Գ Ր Ա Ֆ Ի Կ Ն Ե Ր Ի Պ Ա Տ Կ Ե Ր Ո Ւ Մ Ը

Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Չ Ա Յ Ի Ն M S E X C E L Ծ Ր Ա Գ Ր ԻՄ Ի Ջ Ո Ց Ո Վ

Անուշ Վարդազարյան ԿԱԻ Սյունիքի մասնաճյուղ

Գործնականում ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման համար կազմում են ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ' որոշ թվով արգումենտների դեպքում: Հար­թության վրա տեղադրում են համապատասխան կետերը: Ստացված կետերը սա­հուն կերպով միացնելով իրար' ստանում են մի գիծ, որն էլ այդ ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Քանի որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթին պատկանող բոլոր կետերը հնարավոր չէ վերցնել, ապա վերցնում են այդ տիրույթից վերջավոր թվով կետեր:

Օրինակ: Կառուցենքy=x2ֆnւնկgիшյի գրաֆիկը:

Լուծում: Կազմենք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը' որոշ թվով

արգումենտների դեպքում.

X -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3

У 9 4 1 0.25 0 0.25 1 4 9

Որոշված (-3;9), (-2;4), (-1;1), (-0.5;0.25), (0;0), (-0.5;0.25), (1:1), (2;4), (3;9) կետերը տեղադրենք կոորդինատային հարթության վրա: Սահուն կերպով միացնելով այս կետերը' կստանանք y=x2 ֆունկցիայի գրաֆիկը, ավելի ճիշտ' գրաֆիկի էքսիզը: Այս գիծն, ինչպես գիտենք, անվանում են պարաբոլ (նկ, 1):

35

Ս՜Ի 8 lift-ԱՐԿ ԱՅ ԱԿԱՆ

______ !Ա_______

876

5___ 4_____

3

21___

-3 -2 -1 1օ՜Ո 2 3

V I

Այսպես կարող ենք կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը օր. թղթի, գրատախ­տակի վրա:

Իսկ ի՞նչպես կարող ենք կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկները համակարգչի օգնությամբ:

Ֆունկցիաների գրաֆիկների համակարգչային մոդելը կարող ենք ստա­նալ շատ տարածված Microsoft Excel (հետագայում' Excel) ծրագրի միջոցով: Excel ծրագիրը Microsoft Office ծրագրային փաթեթի կազմից է և օգտագործվում է էլեկտրոնային աղյուսակների կազման և մշակման համար:

Excel կիրառական ծրագիրը նախատեսված է մաթեմատիկական, տնտե­սական, ֆինանսական, վիճակագրական բնույթի հաշվարկների կատարման հա­մար այն պայմանով, որ ելակետային տվյալները պետք է ներկայացված լինեն աղյուսակի տեսքով:

Մեր վերը բերված օրինակը' y=x2, y=ax2+bx+c ֆունկցիայի մասնավոր

դեպքն է' a = 1, b = 0, с = 0: Ինչպես գիտենք y=ax2+bx+c ֆունկցիան քառակու- սային ֆունկցիա է, որտեղ a,b,c-0 կամայական իրական թվեր են և аф0\

Ցույց տանք у = ax2 + bx + с ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը Excel ծրագրում:

1. Թողարկենք Exce l ծրագիրը:2. Գրաֆիկը կառուցելու համար նախ պետք է ունենանք ֆունկցիայի աղ-

յուսակային մոդելը' x և у արժեքները աղյուսակի տեսքով: Ինչպես նշել էինք, սկզբի համար а, b, с գործակիցներին տանք հետևյալ արժեքները'

а = 1, b = 0, c = 0:• A2 բջջում ներանցենք “a=” տեքստը (նկ, 2):

• A3 բջջում ներանցենք “b=” տեքստը:

• A4 բջջում ներանցենք “c=” տեքստը:

• B2 բջջում ներանցենք a գործակցի արժեքը' 1 թիվը:

36

Ս՜Ի Տ Ա Ռ ԱՐԿ ԱՅ ԱԿԱՆ

• ВЗ բջջում ներանցենք b գործակցի արժեքը' 0 թիվը:

• B4 բջջում ներանցենք с գործակցի արժեքը' 0 թիվը:

• А5 բջջում ներանցենք արգումենտների վերնագիրը ' “Արգումենտ х” տեքստը:

• В5 բջջում ներանցենք ֆունկցիայի արժեքների վերնագիրը' “Ֆունկցիա f(x)”տեքստը:

• Որպես արգումենտներ մեր ֆունկցիայի որոշման տիրույթից ընտրենք այն կետերը, որոնք ընկած են [-10; 10] միջակայքում և իրարից տարբերվում են0,5 չափով:

Դրա համար նախ A6 բջջում ներանցենք -10 թիվը: Մնացած արգումենտ­ները ստանանք' օգտագործելով Excel ծրագրի ինքնալրացում հատուկ գործա­ռույթը: Այն օգնում է ժամանակ տնտեսել նույնատիպ տվյալների ստացման ժա­մանակ:

Ֆունկցիայի արգումենտները ստանանք' ներկայացնելով ինքնալրացման 2 եղանակ:

1-ին եղանակ.❖ A7 բջջում ներանցենք “= Аб + 0,5” բանաձևը (նկ. 2): Excel ծրագրում

բանաձևերը սկսվում են “=“ նշանով: Կարող ենք ստեղնաշարից հավաքել բանաձևը կամ բանաձևում բջջի հասցեն ստանալու համար A6 բջիջն առանձնացնել մկնիկով, որն ավելի գործածական է: Բանաձևերն ավարտ­վում են Enter ստեղնի սեղմումով:

❖ Նշենք A6 և A7 բջիջները (նկ. 3), այնուհետև ինքնալրացման հատուկ խա­չաձև նշիչը մկնիկի ձախ ստեղնը սեղմած «բռնենք» ու ձգենք աշխատան­քային դաշտի տարածքով' ստանալով ֆունկցիայի նոր արգումենտներ:

2-րդ եղանակ.Հ* Նշենք A6 բջիջը (այն պարունակում է -10 թիվը' արգումենտների շարքի

սկզբնական արժեքը), ապա թողարկենք Edit - F ill - Se ries հրամանը (նկ4): Բացված Պրոգրեսիա (Series) երկխոսական պատուհանում տեղա- դրենք հետևյալ պարամետրերը' պրոգրեսիայի քայլը (Step value)' 0.5, վերջնական արժեքը (Stop value)' 10, տեղադրումը (Series in)' սյուներով, պրոգրեսիայի տիպը (Type)' թվաբանական:

A | В > ա

1 у = ахг -* Ьх + с ֆունկցիայի գրաֆիկը 1 y= axz + bx ■+ с ֆունկցիայի գրաֆիկը2 1 2 а= 13 b= 0 3 Ь= 04 c - 0 4 C = 0

5 llpq niilhliin x 1)1ււ1ւկցիա f[x) 5 Արգումենտ x Ֆունկցիա f[x)

6 -10. В -107 =Аб+0,5 7 ֊9.58 В +

Series in

О Rows

®!Cplumns

Type -՝, | -Date unit------

® Linear ® D a y

j О Growth . Weekday

О Date _ Month

О AutoFill _ YearI I Trend

Step value: |o,5 Stop value: 110

, OK I I Cancel |

Նկ. 2 Նկ. 3 Նկ. 4

37

Ս՜Ի Տ Ա Ռ ԱՐԿ ԱՅ ԱԿԱՆ

> CD 5՛1 у = a x 2 * b x + с ֆ ռ ւճկ ց ի ա յի գ ր ա ֆ ի կ ջ

2 а=Г1

3 Ь с Ю

4 С= Ю

5Ա րգ ումենտ х Ֆ ո ւն կ ց ի ա f ( x )

Б -10] = $ B $ 2 ’ A 6 ’ A 6 + $ B $ 3 ’ A 6 + $ B $ 4

7 ֊9 ,5 :

8 -9

9 -8 ,5 !

Նկ. 5

CD<

1 у — a x 1 * Ь х ■* с ֆ ո ւճկ ց ի ա յի գ րա ֆ ի կ ը

2 а= 1

3 tp 0

4 c= 0

5Ա րգ ումենտ x Ֆ ո ւն կ ց ի ա f lx )

Ա րգ ումենտ x Ֆ ո ւն կ ց ի ա f(x}6 -10 100

7 -0 ,5 0 0 ,2 5-10 100 FI -0 81

-0 ,5 9 -8 ,5 7 2 ,2 5-9 1П -8 6 4

-3 ,5 11 ֊7 ,5 5 6 ,2 5-8 V -7 4 9

֊7 ,5 13 -6 ,5 4 2 ,2 5-7 14 -6 3 6

-6 ,5 15 -5 ,5 3 0 ,2 53 16 -5 2 5

Նկ. 6 Նկ. 7

Այս 2 եղանակով մենք ստացանք ֆունկցիայի որոշման տիրույթից х е [ -10; 10] միջակայքի արգումենտների շարք:

• Ֆունկցիայի արժեքները համապատասխան արգումենտների դեպքում հաշ­վելու համար В6 բջջում ներանցենք ֆունկցիայի բանաձևը: Մեր օրինա­կում այն կունենա հետևյալ տեսքը' =B2*A6*A6+B3*A6+B4 (a*x*x+b*x+c):

a, b, с գործակիցները բանաձևում ավելի հարմար է ներկայացնել բացարձակ հասցեներով1: Աղյուսակի և ըստ այդ աղյուսակի կառուցված գրա­ֆիկի միջև հաստատվում է կապ: Եվ եթե փոփոխենք աղյուսակի որևէ արժեք, ինքնաբերաբար կփոխվի նաև գրաֆիկի տեսքը: а, b, с գործակիցները փո­փոխելով' կարող ենք դիտել y=ax2+bx+c քւսռւսկուսային ֆունկցիայի գրաֆիկի տեսքը a, b, с գործակիցների տարբեր արժեքների դեպքում:

Նշենք, որ բանաձևում բջջի բացարձակ հասցեն ստանալու համար մկնի­կով նշում ենք տվյալ բջիջն, այնուհետև սեղմում F4 ստեղնը: Մեր ֆունկցիայի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը' =$В$2*А6*А6+$В$3*А6+$В$4 (նկ. 5):

Ֆունկցիայի մնացած արժեքները ստանանք В6 բջջից' ինքնալրացման միջոցով (նկ. 6):

Ստացանք у =а)?+bx +с ֆունկցիայի աղյուսակային մոդելը Exce l ծրա­գրում (նկ. 7):

1 Exce l ծրագրի գործնական կիրառությունը անհնար է առանց բջիջների բացարձակ և հարաբերական հասցեների հասկացությունների իմացության: Հարաբերական հասցեները կարող են փոփոխվել ծրագրի կաճ ալգորիթմի կատարման ժամանակ: Նրանցում գրանցվում են փոփոխական ինֆորմացիա (օր/ A5, B10, C15):

Բացարձակ հասցեները, ընդհակառակը թույլատրում են պահպանել մշտական ինֆորմացիա, այսինքն ինֆորմացիա, որն տփալ խնդրում չի փոխվում և դիմում է դրան: Բացարձակ, այսինքն չփոփոխվող հասցեների նշանակման համար օգտագործվում է դոլարի նշանը' $:

Բացարձակ հասցեները լինում են երեք տիպի.1. $ նշանի միջոցով կարող ենք ֆիքսել տողը՜ օր ' A$10: Այս դեպքում ինֆորմացիան վերցվում է տարբեր

սյուներից, բայց միշտ միևնույն 10-րդ տողից:2. $ նշանի միջոցով կարող ենք ֆիքսել սյունը, օր .' $A10, այս դեպքում A սյունը մնում է անփոփոխ,

փոփոխվում է տողը:3. $ նշանի միջոցով կարող ենք ֆիքսել և տողը, և սյունը, օր.' $A$10: Այս դեպքում ինֆորմացիան վերցվում է

միշտ միևնույն A10 բջջից:

38

Ս՜Ի 8 ԱՌ ԱՐԿ ԱՅ ԱԿ Ա*1»

3. Excel կիրառական ծրագրում տրված ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար օգտագործենք դիագրամի կառուցման Chart W izard2 հատուկ գոր­ծառույթը: Ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար նախապես առանձ­նացնենք գրաֆիկի կառուցման համար կազմված ւսղյուսակային տվյալ­ները: Մեր դեպքում առանձնացնենք ֆունկցիայի արժեքները' B6:B46 բջջային միջակայքը:

4. Ստանդարտ վահանակի Chart W izard սեղմակի շրխկացումով թողար- կենք գրաֆիկի կառուցման չորս քայլից բաղկացած Դիագրամի Վար­պետը:

Քայլ 1: Chart type (Դիագրամի տիպը): Ընտրենք դիագրամի տեսակը՜ Ոչ ստանդարտ (Custom Types), ենթատեսակը' Սահուն կորեր (Smoothn Lines) ու Next (Հաջորդը) սեղմակի շրխկացումով անցնենք հաջորդքայլին (նկ. 8):

Քայլ 2: Source data (Տվյալների սկզբնաղբյուր): Series ներդիրում Categories (X) axis labels դաշտում ճշգրտենք արգումենտների միջակայքը, այսինքն այն թվե­րը, որոնք պետք է արտացոլվեն աբսցիսների առանցքի վրա: Դա կլինի x ար­գումենտի արժեքներով բջիջների հասցեները' A6:A46 բջջային միջակայքը: Այն ընտրում ենք մկնիկի միջոցով (նկ.9):

Քայլ 3: Chart Options (Դիագրամի հատկություններ): Titles ներդիրում (նկ. 10) ներանցենք' Chart title դաշտում' «Ֆունկցիայի գրաֆիկ» տեքստը.

Category (X) axis: դաշտում' x,Va lue (Y) axis: դաշտում' у:Legend ներդիրում հանենք Show Legend դրոշակը:

Source fiata [7 ]|$£|

2 Ինչպես գիտենք, դիագրամը ւսղյուսակային տվյալները ներկայացնում է գրաֆիկական ձևով, որն օգտագործ­

վում է տվյալների համեմատման և վերլուծության համար: Դիագրամում թվային տվյալները արտապատկերվում

են կետերի, գծերի, սեկտորների, սյուների տեսքով:

39

Ս՜Ի 8 lift-ԱՐԿ ԱՅ ԱԿԱՆ

Formal Axis

О As new sheet: Chart 1

© As object in: ЕбШ ЯН

[ Cancel | | < Back | He | Finish |

Նկ. 11Ֆ ո ւհ կ ց ի ա յի <յրսւֆիկ

Number Alignment

Category (X) axis scale

Value (Y) axis crosses at category number:

Number of categories

between tick-mark labels:

Number of categories

between tick marks:

Ю

О

оП Value (Y) axis crosses between categories

П Categories in [everse order

0 Value (Y) axis crosses at maximum category

Նկ. 13Նկ. 12

Քա յլ4: Chart Location (Դիագրամի տեղը): Որոշենք գրաֆիկի տեղադրման տե­ղը' որպես նոր օբյեկտ ընթացիկ աշխատանքային թերթում (As object in) (նվ. 11): Finish սեղմակի սեղմումով ստացվում է մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը (նվ 12):

5. Որպեսզի կառուցումը լինի մաթեմատիկորեն ավելի ճշգրիտ, անհրաժեշտ է .

- Տեղափոխել օրդինատների առանքը: Դրա համար գրաֆիկի OX առանցքի կամ աբսցիսների վրա կրկնակի շրխկացնենք: Բացված Format Axis երկխոսական պատուհանի Scale ներդիրում Value (Y) axis crosses at category number: դաշտում ներանցնեք 21 թիվը: Դա ֆունկցիայի աղյու- սակային մոդելում արգումենտ x շարքի այն հերթական համարն է, որի դեպքում x=0 (նկ. 13): Մեր օրինակում [ -10 ; 10] միջակայքում ստացված շարքում 0-ն 21-րդ տեղում է:

- Պատկերել առանցքների սլաքները: Դրա համար.

• Արտապատկերենք 41 նկարչական վահանակը (View - Too lbar- Drawing):

• Ընտրենք 4 սլաք գործիքը:

• Sh ift ստեղն սեղմած' գծագրենք հորիզոնական և ուղղահայաց կոորդինատային առանցքները:

6. Գրաֆիկի վերջնական տեսքը բերված է նկ 14-ում:7. Փոփոխելով a, b, с գործակիցների արժեքները' այն է В2, ВЗ, В4 բջիջների

պարունակությունը, օրինակ а = -1, b = 0, с = 20, դիտարկենք տրված y=ax2+bx+c ֆունկցիայի գրաֆիկը համապատասխան արժեքների դեպքում. Կնկատենք օրինակ, որ եթե a>0, ապա պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են վերև, իսկ եթե a<0, պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են ներքև և այլն (նկ.15, նկ. 16):

40

Ս՜Ի Տ Ա Ռ ԱՐԿ ԱՅ ԱԿԱՆ

Նկ. 14: a=1, b=0, c=0 Նկ. 15: a = -1, b = 0, с = 20 Նկ. 16: а = 2, b = 5, с =-20

Excel ծրագրում այս քայլերով կարող ենք շատ արագ և հեշտությամբ կառուցել ցանկացած ֆունկցիայի գրւսֆիկը: Պարզապես պետք է ընտրել արգումենտներ ֆունկցիայի որոշման տիրույթից և ճիշտ գրառել ֆունկցիայի արժեքները որոշող բանաձևը:

Աղյուսակ 1-ում բերված են Excel ծրագրում մաթեմատիկական որոշ հասկացությունների գրառման ձևերը:

Աղյուսակ 2-ում բերված են Excel ծրագրում մի շարք ֆունկցիաների արժեքների ստացման համար գրառվող հնարավոր բանաձևերը:

Օգտվելով այս աղյուսակներից և կատարելով գրաֆիկի ստացման վերը շարադրված քայլերը շատ հեշտորեն կստանանք ցանկացած ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Աղյուսակ 1

Ֆունկցիայի

անվանումը

Ֆունկցիայի գրառումը Excel-

ում

/անգլերեն/

Օրինակ

ՍինուսSIN(number)

SIN(ph4)

sin(A2), A2 բջջի

պարունակությունը

արտահայտված է ռադիաներով

ԿոսինուսCOS(number)

ՇՕՏ(թիվ)

cos(B2) ,A2 բջջի

պարունակությունը

արտահայտված է ռադիաներով

ՏանգենսTG (number)

TG (ph4 )

tg (A2), A2 բջջի պարունակությունը

արտահայտված Է ռադիաներով

ԿոտանգենսCTG(number)

^Օ(թիվ)ctg(C2)

Քառակուսի արմատSQRT (number)

SQRT (թիվ)

sqrt (A1), A1 >0

sqrt (9)=3

Թվի աստիճանըPOWER(number;power)

PO W ER(pH;u iuu iheu iD )

POWER(5;2)=5"= 25

Կարող ենք գրառել նաև

այսպես' =5Л2

41

Ս՜Ի Տ Ա Ռ ԱՐԿ ԱՅ ԱԿԱՆ

Ռադիանի

ձևափոխությունը

աստիճանի

RADIANS(angle)RADIANS(mOlumQ)

RADIANS(270), 270 աստիճանը

ձևափոխում է ռադիանի

=SIN(RADIANS(30))0 5 է,

Աստիճանի

ձևափոխությունը

ռադիանի

DEGREES(angle)DEGREES(wD^mD)

=DEGREES(3*PI()/4)) 135

աստիճանն է

Մաթեմատիկական

հաստատուն Pi վեր է ածում համարժեք

3.14159265358979 թվի

Pl()Pl()= 3.1415 PI()/2 =1.5707

ԼոգարիթմականLOG(number,base)

Լ06(թիվ,հիմք)LOG(8;2) = 3

Աղյուսակ 2

Ֆունկ­

ցիա

Excel ծրագրում

ֆունկցիայի գրառումը

բանաձևի տեսքով

Մեկնաբանություն

y=sinx =SIN(A1)A1 բջիջը պարունակում է ֆունկցիայի

արգումենտի արժեքը:

Այն կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ

У = V x ,

x>0=sqrl(A2)

A2 բջիջը պարունակում է ֆունկցիայի

արգումենտի արժեքը:

Այն պետք է լինի դրական թիվ

1y=— .

X

x^O

=1/A6A6 բջիջը պարունակում է ֆունկցիայի

արգումենտի արժեքը:

Այն զրո չպետք է լինի:

y=axn =A1 *A3AA2

A1 բջիջը պարունակում է a գործակցի արժեքը,

A3 բջիջը պարունակում է ֆունկցիայի

արգումենտի արժեքը, A2 բջիջը պարունակում է ո

աստիճանը: ո-ը բնական թիվ է:

y=ax,

a>0 a^O=A1AA3

A1 բջիջը պարունակում է a գործակցի արժեքը,

A3 բջիջը պարունակում է ֆունկցիայի x

արգումենտի արժեքը

y=logax =LOG(A5;B2)A5 բջիջը պարունակում է x արգումենտի արժեքը

A3 բջիջը պարունակում է a ֊ի արժեքը:

Օգտագործված գրականություն

1. Հ. Միքայելյան, Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան, Երևան, 200Ցթ.

2. В, А . Гусев , М а те м а ти к а . С п р а в о ч н и к ш к о л ьн и к а . « А стр ел ь 2003»

42

Օ գ ն ո ւ թ յ ո ւ ն

ո ւ ս ո ւ ց չ ի ն

ՊԱՐԱՄԵՏՐ ՊԱՐՕՒՆԱԿՈՂ ՕՐՕՇ ԱՆՀԱՎԱԱԱՐՈԻՄՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

0 . Վ. ՍահակյանՀՊՄՀ. Մաթեմատիկայի դասավադման մեթոդիկայի

ամբիոնի ասիստենտ

Հանրակրթական դպրոցի հանրահաշվի դասընթացի հավասարումների և

անհավասարումների բովանդակային գծում առանձնահատուկ ուշադրության են

արժանի պարամետր պարունակող հավասարումներն ու անհավասարումները:

IX դասարանի հանրահաշվի դասընթացում «Քառակուսային եռանդամ», «Քւս-

ռակուսային անհավասարումներ», «Քառակուսային եռանդամի ուսումնասիրու­

թյունը» թեմաներից հետո առաջադրվող վարժություններում առկա են պարա­

մետրով անհավասարումներ, որոնց լուծման մեջ գերիշխում է ալգորիթմական

մոտեցումը:

Ավագ դպրոցում համակարգվում, խորացվում և ընդլայնվում են միջին

դպրոցի հանրահաշվի դասընթացում ձեռք բերած հանրահաշվական գիտելիք­

ները, ձևավորվում և զարգանում են վերլուծելու ու հետազոտելու կարողություն­

ները: «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր» ուսումնական

առարկայի չափորոշիչում նշված է. «... պարամետր պարունակող հավասարում­

ների, անհավասարումների հետազոտման միջոցով ամրապնդել դեպքեր քննար­

կելու, դրանք սպառելու և վերլուծելու կարողությունները»: Ավարտական քննու­

թյունների թեստերի «Բ» մակարդակի 19-րդ խմբի առաջադրանքները պարա-

մետրական հավասարումներ կամ անհավասարումներ են' 6 ենթահարցերով:

Դրանցից յուրաքանչյուրին պատասխանելու համար սովորողը պետք է խոր և

կայուն գիտելիքներ ունենա, առավել ևս, եթե հաշվի առնենք նաև այն հանգա­

մանքը, որ ամբողջ աշխատանքի կատարմանը տրւսմադրվող ժամանակն այն­

քան էլ շատ չէ (ընդամենը 3 ժամ):

Փորձը ցույց է տալիս, որ պարամետր պարունակող անհավասարումների

լուծումն ավագ դպրոցում ոչ բոլոր սովորողներին է հասանելի: Պատճառները

43

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

տարբեր են: Մեր կարծիքով, կարելի է վկայակոչել հետևյալ նկատառումները,

որոնք խոչընդոտում են քննարկվող թեմայի յուրացմանը.

սովորողների կողմից ֆուկցիաների հատկությունների մեխանիկական

սերտումը,

«պարամետր» հասկացության ոչ ճիշտ ըմբռնումը,

անհավասարման մեջ պարունկակվող պարամետրի ոչ բոլոր արժեքների

քննարկումը,

առաջադրանքի պահանջի ոչ ճիշտ ըմբռնումը,

ժամանակի առումով թեմայի կտրվածությունը միջին դպրոցում ձեռք

բերած գիտելիքներից:

X I դասարանում «Պարամետր պարունակող անհավասարումներ» թեմա­

յին հատկացված է 3 ժամ: Դասանյութում հեղինակները տվել են այդպիսի անհա-

վասարումների հինգ օրինակների լուծման ձևանմուշները: Հատկացված ժամա­

քանակը բավարար չէ դասագրքում տրված բազմաթիվ և բազմաբնույթ առա­

ջադրանքների լուծման համար: Անհրաժեշտություն է առաջանում կրկնել և վեր­

հիշել շատ հարցեր: Փորձենք տիպական առաջադրանքների լուծման միջոցով

վեր հանել որոշ հնարներ, որոնք կվերաբերեն պարամետր պարունակող անհա-

վասարումներին:

Օրինակ 1. Գտնել а և ծ պարամետրերի այն արժեքները, որոնց դեպքում

у = lg(— x 2 - (За - 4b)x + 2b - a - 1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը համընկնում

է (-2; 2) միջակայքի հետ:

Տրված լոգարիթմական ֆունկցիայի որոշման տիրույթը որոշվում է հե­

տևյալ պայմանով' - x 2 - (За - 4b)x + 2b - a - 1 > 0 : Այն համարժեք է

+ x 2 + (За ֊ 4b)x - 2b + a +1 < 0 (1)

անհավասարմանը: Խնդրի պայմանից հետևում է, որ xi = -2, x2= 2 թվերը վերջին

անհավասարման ձախ մասի եռանդամի արմատներն են, հետևաբար'

( - շ ) 2 + (3 a -4 b ) - ( ֊2 ) ֊2 b + a + l = 0

(2)2 + (3 a -4 b ) - 2 ֊ 2 b + a + l = 0

Այս առաջադրանքը քննարկելիս կարևոր է, որ ուսուցիչը սովորողների

ուշադրությունը հրավիրի այն բանի վրա, թե ինչ է նշանակում, որ ֆունկցիայի

որոշման տիրույթը համընկնում է նշված միջակայքի հետ, այլ կերպ' ինչ է

նշանակում, որ (-2; 2) միջակայքը (1) անհավասարման լուծումների բազմու­

թյունն է:

[а = 10

ծ =7,5՛

44

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օրինակ 2. a-ի ին՞չ արժեքների դեպքում է հետևյալ ֆունկցիան որոշված

ամբողջ թվային առանցքի վրա.

у = -\jx2 + 6x + (a + 2)2 + tJx 2 - (a - l)x + 9 :

Լուծում: Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը պարամետր պարունակող հե­

տևյալ համակարգի լուծումների բազմությունն է.X՞2 + 6x + (a + 2) > 0

|x2 - (a + l)x + 9 > О

Քանի որ խնդրի պայմանի համաձայն ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ամ­

բողջ թվային առանցքն է, ուստի համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարման

լուծումների բազմությունը պետք է լինի Л -ը: Օգտվենք այն փաստից, որ դրա­

կան ավագ գործակցով քառակուսային եռանդամը Л-ում ոչ բացասական է այն և

միայն այն դեպքում, երբ նրա տարբերիչը ոչ դրական է: Նկատի ունենալով այդ,

կունենանք'

| 9 ֊ ( a + 2)2 <0 f(a + l) (a + 5)>0

I (a + 1)2 — 36 < 0 [ ( a -5 ) ( a + 7)<0

fa e ( -° ° ; - 5 ] u [ l ; « ) г п г i_ a e [ ֊ 7 ; ֊ 5 ] u [ l ; 5 ] :

[ae [- 7; 5j

Օրինակ 3. Լուծենք X + ^ + - — ^ > x անհավասարումը:За a

Լուծում: Տրված անհավասարումը համարժեք է հետևյալ անհավասար-

մանը'

— ( x - 2 )< 0 :a

Դիտարկենք երեք դեպք:

ա) — — < 0, այսինքն' 0 < a < — : Այս դեպքում կունենանք' x - 2 > 0 , որտե- a 3

ղից x> 2\

За ֊ 2 2բ ) ---------= 0, այսինքն' а = — : Այս դեպքում, ակնհայտ է, որ x-ը ցանկացած թիվ է:

а 3

գ) — — —>0, այսինքն' а< 0 կամ а> — : Այդպիսի a-երի համար կստանանք'a 3

x < 2 : Ակնհայտ է, որ a = 0 դեպքում տրված անհավասարումը լուծում չունի:

45

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Այսպիսով, կարող ենք ձևակերպել վարժության պատասխանը.

եթե ае ( - 0 ) ս , ապա хе (~°°, 2],

եթե 0 < а< ^ , ապա XG [2, °°),

2եթե й = - , ապա 1 Ё Й ,

եթե а = 0 , ապա X G 0:

Օրնակ 4. а պարամետրի ի՞նչ արժեքների դեպքում է ах2 + 4 х > 1 - 3 а

անհավասարումը դառնում ճշմարիտ х փոփոխականի բոլոր դրական արժեք­

ների դեպքում:

Լուծում: Տրված անհավասարումը ներկայացնենք այսպես'

ах2 + 4х + За - 1 > 0 :

Երբ а = 0, կստանանք առաջին աստիճանի 4 х - 1 > 0 անհավասարումը,

որը x-ի ոչ բոլոր դրական արժեքների դեպքում է ճշմարիտ: Նշանակում է' а - 0-ն

չի բավարարում խնդրի պայմանին:

Դժվար չէ հասկանալ, որ а < 0 դեպքում միշտ կարելի է ընտրել այնպիսի

միջակայք, որին պшտկшնnղx թվերի համար

ах2 + 4х + За ֊ 1 < 0 :շ

Իրոք, եթե ах + 4х + З а - 1 քառակուսային եռանդամի տարբերիչը լինի

բացասական, ապա ցանկացած x-ի դեպքում այն փոքր կլինի Օ-ից (նկ. 1): Այս

դեպքում որպես р կարելի է վերցնել ցանկացած թիվ: Իսկ եթե այդ եռանդամն

ունենա xi և x2 ( x j < x 2) արմատներ, ապա պարզ է, որ [x2;°°) միջակայքում

ах2 + 4х + За - 1 < 0 (նկ. 2): Այս դեպքում որպես р կարելի է վերցնել х2 ֊ը:

Հետևաբար, а-ի որևէ բացասական արժեք չի կարող բավարարել խնդրի

պայմանին:

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ а > 0 : Դիտարկենք երկու դեպք:

ա) f{x) = ax2 + 4x + За - 1 եռանդամն արմատ չունի: Այդ նշանակում է, որ

։ \ Га > 0ցանկացած իրական x-ի դեպքում f \x )> 0 (նկ. 3): Հետևաբար, Հ պայմա­

նին բավարարող բոլոր а-երի դեպքում խնդրի պնդումը ճիշտ է: Քանի որ

2 Га > 0D = 4(-За + а + 4), ուստի պետք է գտնենք < համակարգի լու-

- З а + а + 4< 0

46

Օ Գ Ն Ո Ի Թ Յ Ո Ի Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

ծումների բազմությունը: Այն համարժեք է

а > 0

4Л անհավասւսրում-

4 \ների համակարգին, որի լուծումների բազմությունը I ~;°° I միջակայքն է:

բ) Դիցուք f(x) եռանդամն ունի x b, x 2 (xj < x 2) արմատները:

4Վիետի թեորեմից ունենք' x: + x2 = — :

՜ ՜ ՜ aՔանի որ а > 0 , ուստի պ + х2 < 0 : Եթե хг-ը լինի դրական, ապա ակնհայտ

է, որ (x-, x2) միջակայքում f { x ) < 0 (նկ. 4), մասնավորաբար, Д0)-0 կլիներ

բացասական:

Նկ. 1 Նկ.2 Նկ.Յ

Նկ. 4 Նկ. 5

47

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Այդ նշանակում է, որ x 2 - q (մեծ արմատը) պետք է լինի ոչ դրական,

այսինքն' x 2 <0 (նկ. 5): Մնում է պահանջել, որ x = 0 կետում Д г) ֆունկցիան

ընդունի ոչ բացասական արժեք (այստեղ նկատի ենք առնում այն հանգամանքը,

որ [0;°օ) միջակայքում f ֆունկցիան աճող է):

/ (0 ) = 3 a - l > 0 անհավասարումից կունենանք'

Այսպիսով, a պարամետրի որոնելի արժեքները

միջակայքերի միավորումն է , այսինքն' 1 ^

Պատասխան' ae1

— ՜ с

3 ’

Օրինակ 5. а- ի ի՞նչ արժեքների դեպքում

\х 2 - (Зa + l)x + 2a 2 + 2a < ОՀ համակարգն ունի լուծում:[.х + а 2 =0

Լուծում. Նկատենք, որ տրված համակարգի մեջ մասնակցող հավասա­

րումն ունի միակ լուծում' х = - а 2\Որպեսզի համակարգն ունենա լուծում, անհրաժեշտ է և բավարար, որ

х = - а 2 թիվը բավարարի համակարգի անհավասարմանը, այսինքն'

{ - a 2)2 - (3 a + l) ( - a 2)+ 2 a2 + 2 а < 0 (1)

Ստացված անհավասարությունը դիտարկենք որպես а փոփոխականով

անհավասարում.

(l) а 4 + За3 + За2 + 2а < 0 <=> а(а3 + За2 + За + շ)< 0

а(а + 2)(о2 + а + 1)< 0 а(а + 2)<0 ֊ 2 < а < 0:

Այստեղ հաշվի ենք առել այն փաստը, որ ցանկացած а-ի դեպքում

а 2 + а + 1 = |а + — ] + — >0:I 2 j 4

Այսպիսով, ( -2 ; О) միջակայքի ցանկացած а-ի դեպքում (և միայն այդ թվե­

րի դեպքում) տրված համակարգն ունի լուծում (այդ լուծումը միակն է' х = - а 2)՛.

Պատասխան՜օտ (-2 ;0)

և

48

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Ընթերցողին առաջարկում ենք ինքնուրույն լուծել հետևյալ առաջադրանք­ները:

1) Լուծել անհավասարումը (а ֊ն պարամետր է).

I շ Л _ 2a +1 х + 2ա) (а — 9jx > а — 3 , բ) ---- v - > ---:

[a - 3 )x x

2) а ֊ի ի՞նչ արժեքների դեպքում ах2 + 2(а + 2)х + 2а + 4< 0 անհավասա-

րումը նույնություն է:

3) а ֊ի ի՞նչ արժեքների դեպքում

2х2 - а х - а < 0 անհավասարմանը կբավարարի (0; 3) միջակայքի ցան­

կացած թիվ:

4) Գտնել ծ պարամետրի բոլոր այն արժեքները, որոնց դեպքում

Г(х + 4 У 2 х ֊ 3 ) < 0< . . համակարգը լուծում չունի:[6b - 3(x + 1) > 2

5) а ֊ի և ծ ֊ի ի՞նչ արժեքների դեպքում

3x2 +4(a + b ) x -2 a + b + 3>0 անհավասարման լուծումների բազմությու­

նը կլինի ( ֊ °՞; շ]ա [5; օօ) միջակայքը:

Գրականություն

1. Հ. Միքայելյան, Հանրահաշիվ - 9, Երևան, 20082. Գ. Գևորգյան, Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր-10,

Երևան, 20013. Կ. Առաքելյան, Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու (6-10), Երևան, 2004

49

Ա ր տ ա դ ա ս ա ր ա ն ա կ ա ն

Դ Ի Ր Ի Խ Լ Ե Յ Ի Ս Կ Զ Բ Ո Ւ Ն Ք Ը Կ Ա Մ Ճ Ա Գ Ա Ր Ն Ե Ր Ը Վ Ա Ն Դ Ա Կ Ն Ե Ր Ո Ւ Մ

Վ .Գ -.Հա յրի յա ն

Հրազդւսնի թիվ 11 միջնակարգ դպրոց, հետազոտող ուսուցիչ

Աշակերտների մոտ առավել դժվարություններ են առաջանում ոչ ստան­դարտ խնդիրներ լուծելիս, այսինքն այնպիսի խնդիրներ, որոնց լուծման ալգո­րիթմը նրանց հայտնի չէ: Սակայն նույն խնդիրը մեկի համար կարող է լինել ոչ ստանդարտ, իսկ մյուսի համար ստանդարտ: Դա, իհարկե, կախված է մի շարք պայմաններից:

Ցանկացած առանձին վերցրած խնդիր ինքնին ոչ ստանդարտ է, բայց երբ նրա կողքին տեղադրենք մի քանի նման խնդիր, այն դառնում է ստանդարտ: Այսպես օրինակ 1 + 2 + .... + 19 + 20 գումարը որոշելու խնդիրը ցածր դասա­րանցու համար ոչ ստանդարտ է, իսկ պրոգրեսիա թեման յուրացրած աշակերտի համար' ստանդարտ:

Շատ խդիրների լուծման հիմքում ընկած են լինում. Դիրիխլեյի սկզբուն­քը, ինվարիանտի հասկացությունը, լրացուցիչ կառուցումները, նոր փոփոխա­կանի ներմուծումը, ձևափոխություններ կատարելու վարպետությունը և այլն:

Իսկ այս նյութի բովանդակությունը ամենապարզ և կիսալուրջ ձևով կլինի ձևակերպել այսպես' „Եթե 9 վանդակներում փորձենք տեղավորել 10 ճագար, ապա ինչ-որ մի վանդակում կլինի առնվազն երկուսից ոչ պակաս ճագար»: Այս գրեթե ակնհայտ փաստը, որը ընդունված է կոչել գերմանացի ականավոր մաթեմատիկոս՛ Պետեր Հուստավ Լեժեն Դիրիխլեյի (1805-1859) անունով, կարե­լի է օգտագործել բավականին դժվար խնդիրների լուծման համար: Տանք Դի­րի խլեյ ի սկզբունքի ձևակերպումը.

Թ եորեմ . Եթե w+1 կամ ավելի թվով առարկաները տեղավորենք ո դարակ­

ներում, ապա անպայման մի ինչ-որ դարակում կհայտնվեն երկուսից ոչ պակաս

առարկաներ:Ապացույցը կարելի է կատարել հակասող ենթադրությամբ:Դիրիխլեյի սկզբունքը երբեմն անվանում են նաև արկղերի կամ վանդակ­

ների սկզբունք: Այդ սկզբունքը ունի հետևյալ ընդանրացումը.

50

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Թ եորեմ. Եթե пк+1 հատ առարկան տեղավորենք ո դարակներում, ապա դա­րակներից մեկում կլինի к+1 հատից ոչ պակաս առարկա:

Վերը ձևակերպածը քննարկենք մի քանի օրինակի վրա: Այստեղ դժվարը այն է, որ խնդրի մեջ չի ասվում' որոնք են վանդակները և որոնք են ճագարները:

Օրինակ 1. Դասարանի 30 աշակերտներ գրել են թելադրություն: Վարդանիկը կատարել է 13 սխալ, իսկ մնացածները' դրանից քիչ: Ապացուցել, որ առնվազն երեք աշակերտներ կատարել են հավասար թվով սխալներ:Ապացուցում. Պատրաստենք, վանդակներ հետևյալ օրինաչափությամբ. 0 վան­դակում «նստեցնենք» ոչ մի սխալ չկատարած բոլոր աշակերտներին, 1 վանդա­կում մեկ սխալ կատարած բոլոր աշակերտներին, 2 վանդակում երկու սխալ կատարած բոլոր աշակերտներին և այդպես շարունակ մինչև 13-րդ վանդակը, որում «նստած է» միայն Վարդանիկը: Հիմա կիրառենք Դիրիխլեյի սկզբունքը: Ենթադրենք, որ ոչ մի երեք աշակերտներ չեն կատարել նույն թվով սխալներ, այսինքն 0,1,2, ...,12 վանդակներից յուրաքանչյուրում կա 3-ից քիչ աշա­կերտներ: Այդ դեպքում այդ բոլոր վանդակներում միասին «նստած» աշա­կերտների թիվը կլինի փոքր 26-ից: 26 + Վարդանիկը = 27, ինչը հակասում է նրան, որ դասարանում 30 աշակերտ է:

Ինքնուրույն լուծեք հետևյալ խնդիրը.Վեց երեխայի բաժանեցին 7 կոնֆետ:ա) Ապացուցել, որ նրանցից մեկին հասավ 2-ից ոչ պակաս կոնֆետ:Բ) 6ի ՞2տ է, որ ինչ-որ մեկին հասավ ճիշտ երկու կոնֆետ:

Օրինակ 2. Ապացուցել, որ 6 х 6 չափսերով աղյուսակի վանդակներում հնարա­վոր չէ տեղավորել +1,-1, 0 թվերն այնպես, որ բոլոր տողերում, սյունակնրում և մեծ անկյունագծերում գրված թվերի գումարները լինեն տարբեր:Ապացուցում. 6 հատ +1, -1, 0 թվեր գումարելով կարելի է ստ ա նա լ-6-ից մինչև + 6 բոլոր թվերը' ընդամենը 13 արժեք: Բայց աղյուսակը ունի 6 սյունակ, 6 տող և2 անկյունագիծ, ուստի պահանջվող ձևով աղյուսակը լրացնելու համար կպա­հանջվի 14 տարբեր գումարներ: Հետևաբար' ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի առնվազն երկու գումար կլինեն նույնը:

Այս խնդրում «վանդակները» - 6 , - 5 , ..., 5, 6 արժեքներն են (13 վանդակ), իսկ «ճագարները» սյունակներում, տողերում և երկու անկյունագծերում գրված գումարները (14 ճագար)

Կան մի քանի պնդումներ, որոնց ձևակերպումները նման են Դիրիխլեյի սկզբունքին: Բերենք դրանք:1. Եթե 1 երկարությամբ հատվածի վրա տեղադրված են 1-ից մեծ երկարու­

թյունների գումար ունեցող մի քանի հատվածներ, ապա այդ հատվածներից առնվազն երկուսը ունեն ընդհանուր կետ:

2. Եթե F 1։F Z ...,F„ պատկերները ունեն Տ 1։Տz . ,.,ՏՈ մակերեսներ, և գտնվում են Տ

մակերես ունեցող F պատկերի մեջ և SfhS2+..S„>kS, ապա F 1։F z ...,Fn

պատկերներիցս հատը ունեն ընդհանուր կետ:

51

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

3. Եթե մի քանի թվերի միջին թվաբանականը մեծ է а ֊ից, ապա այդ թվերից գոնե

մեկը մեծ Է а ֊ից:Սակայն երևի ավելի նպատակահարմար է դրանք քննարկել օրինակների վրա:

Օրինակ 3. Երկիր մոլորակի վրա համաշխարհային օվկիանոսը զբաղեցնում է մակերևույթի կեսից ավելին: Ապացուցել, որ կարելի է տանել տրամագիծ, որի երկու ծայրերը գտնվեն համաշխարհային օվկինոսի մակերևույթի վրա: Ապացուցում. Համաշխարհային օվկիանոսը համաչափ արտապատկերենք Երկրի կենտրոնի նկատմամբ: Քանի որ օվկիանոսի և նրա պատկերի մակերես­ների գումարը մեծ է Երկրի մակերևույթի մակերեսից, ապա գոյություն ունի կետ, որը պատկանում է և' օվկիանոսին,և' նրա պատկերին: Վերցնենք այդ կետը և նրա պատկերը: Դրանցով անցնող տրամագիծը կլինի որոնելին:

Օրինակ 4. Ապացուցել, որ ցանկացած ինը բնական թվերից միշտ կարելի է ընտրել երկուսը, որոնց տարբերությունը բաժանվում է 8-ի:Ապացուցում. 8-ի վրա բաժանելուց կարող են ստացվել հետևյալ 8 մնացորդ­ներից մեկը. 0;1;2;3;4;5;6;7: Մեր թվերի քանակը 9 է: Ուստի ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի նրանցից երկուսը 8-ի բաժանելիս կտան նույն մնացորդը: Այդ թվերի տարբերությունը կբաժանվի 8-ի:

Օրինակ 5. Ապացուցել, որ ցանկացած 52 բնական թվերի մեջ միշտ կգտնվեն երկուսը, որոնց գոմարը կամ տարբերությունը բաժանվում են 100-ի: Ապացուցում. Պատրաստենք «արկղեր» հետևյալ օրինաչափությամբ. 1-ին արկղում տեղավորենք 00-ով վերջացող բոլոր թվերը, 2-ում' 01-ով կամ 99-ով վերջացող թվերը, 3-ում' 02-ով կամ 98-ով վերջացող թվերը և այդպես շարունակ 50-րդ արկղում 49-ով կամ 51-ով վերջացող թվերը, 51-րդ արկղում' 50-ով վերջացող թվերը: Քանի որ ունենք 52 հատ թիվ և 51 արկղ, ապա ինչ-որ մի արկղում կլինեն այդ թվերից երկուսը: Դժվար չէ ստուգել, որ նույն արկղ ընկած երկու թվերի կամ գումարը, կամ էլ տարբերությունը կվերջանա 00-ով, հետևա­բար կբաժանվի 100-ի վրա:

Օրինակ 6. Ապացուցել, որ ցանկացած 5 մարդկանց մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնք այդ մարդկանց մեջ ունեն հավասար թվով ծանոթներ (կարող է և 0 ծանոթ, համարվում է նաև, որ ծանոթությունը երկկողմանի է):Ապացուցում. Պատրաստենք 5 «վանդակներ» հետևյալ օրինաչափությամբ. 0 վանդակում «տեղավորենք» ոչ մի ծանոթ չունեցող մարդկանց, 1 վանդակում' 1 ծանոթ ունեցող մարդկանց, և այդպես շարունակ 5-րդ վանդակում' 4 ծանոթ ունեցող մարդկանց:

Նախ 0 կամ 4 վանդակներից մեկը դատարկ է: Իրոք, եթե 0 վանդակում «նստած» մարդ կա, ապա կա մեկը որը ընտրված 5 մարդկանց մեջ ոչ մեկի հետ ծանոթ չէ, ուստի մնացած 4-ի մեջ չկա բոլորի հետ ծանոթ մարդ: Ուրեմն 4-րդ վանդակը դատարկ է: Նման ձևով, եթե 4-րդ վանդակում «նստած» մարդ կա, ապա 0 վանդակը դատարկ է: Նշանակում է, որ 5 մարդկանց պետք է «տեղավո-

52

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

րել» 4 վանդակներում: Պարզ է, որ ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի ինչ-որ մի վան­դակում կլինեն առնվազն երկուսը, դա էլ նշանակում է, որ կան երկուսը, որոնք ունեն նույն թվով ծանոթներ:

Օրինակ 7. Ապացուցել, որ 1, 11, 111, ... տեսքի թվերի մեջ կգտնվի 2009-ի վրա բաժանվող թիվ:

Ապացուցում. Դիտարկենք 1 , 1 1...1 թվերը: Եթե դրանցից մեկը

2009

բաժանվում է 2009-ի , ապա խնդրի պահանջը տեղի ունի: Հակառակ դեպքում դրանք 2009-ի բաժանելիս կարող են տալ 1, 2 ,... , 2008 մնացորդներից մեկը: Քանի որ թվերը 2009 հատ են, ապա նրանցից երկուսը 2009-ի բաժանելիս կտան

նույն մնացորդը: Դրանց տարբերությունը կլինի 11...1 • 10*տեսքի թիվ և

կբաժանվի 2009-ի վրա: Քանի որ 10*-ը և 2009-ը փոխադարձաբար պարզ են, ապա մնում է, որ 11...1 թիվը բաժանվի 2009-ի վրա:

Օրինակ 8. 1, 2, 3,..., 100 թվերից կամայական ձևով ընտրված են 51-ը: Ապացուցել, որ այդ թվերի մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնցից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա:Ապացուցում. Բաժանենք ընտրված թվերից յուրաքանչյուրը 2-ի ամենամեծ աստիճանի վրա: Բաժանելուց հետո քանորդում կստացվեն 51 հատ կենտ թվեր: Քանի որ 1-ից մինչև 100 թվերի մեջ կա ընդհամենը 50 հատ կենտ թվեր, ապա ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի ընտրված 51 թվերի մեջ կան երկուսը, որոնք ունեն

2* I և 2 ” I տեսքերը, որտեղ /-ը կենտ թիվ է: Դրանցից մեծը կբաժանվի փոքրի վրա:

Օրինակ 9. Ապացուցել, որ ցանկացած ինը թվերի մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնք

X уբավարարում են 0 <

Ապացուցում.

1 + ху

Դիցուք'

< л / 2 —1 պայմաններին:

մեր թվերն են а

b, = a rc lg a ,, It e -ж ж

2 ’ 2/ = 1,2,...,9: Տրոհենք -

ж ж

2 ’ 2

Նշանակենք

միջակայքը 8

f ж Ъж հատ միջա կա յքերի .----- ;-------

1 2 8

3 Ж

Т :

ж

4

ж

՜4՚

ж

8• f- 2 - o l Հ օ ^ 1 ■{֊

ж Ъж

■1 8'° . ■ i v • ս ՜4_ • ս ՛ 8

Ъж ж

Т ’ 2\Ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի Ьг,Ь ,b9 թվերից երկուսը կգտնվեն նույն միջա­

կայքում, այսինքն կգտնվեն երկուսը, որոնց համար

Л ~ , \ ոQ < bk ~ bm < 8 •0 <tg(bk - b m)< tg 8

53

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

< V 2 - 1 , քանի որ tgbi = a i , իսկ

1 ж1 - c o s —

ж+ c o s—

4

— = >/2 ֊ 1 :

Դիտարկենք մի քանի երկրաչափական օրինակ:

Օրինակ 10. Միավոր կողմով քառակուսու ներսում նշված է 51 կետ: Ապա­

ցուցել՛ „ „ միշա Կարելի է գտ№լ bp* . կհտէո. ոՈոՕՔ ԳանՎոԼմ и \ 2ա„աՎհԴոՎ

շրջւսում:Ապացուցում. Տրված քառակուսին կողմերին զուգահեռ ուղիղներով տրոհենք

7 — ..................... - — - 51 “ ~կգտնվեն մի քառակուսու մեջ:1 1 1— կողմով քառակուսուն արտագծած շրջանի շառավիղը հավասար Է — ■== < — :5 5V2 7

1Ուստի այդ քառակուսուն պատկանող կետերը կգտնվեն — շառավիղով շրջա-

Օրինակ 11. Ապացուցել, որ ցանկացած ուռուցիկ բազմանիստ ունի հավասար թվով կողմեր ունեցող երկու նիստ:Ապա ցուցում.Ենթադրենք թե բազմանիստը ունի ո հատ նիստեր: Այդ դեպքում

նրա յուրաքանչյուր նիստ կարող Է ունենալ' 3-ից մինչև ո հատ հակողմ, այսինքն

նիստերից յուրաքանչյուրի կողմերի քանակը կարող Է ընդունել ո-3 հատ արժեքներ: Ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի կգտնվեն երկու նիստեր, որոնք ունեն հավասար թվով կողմեր:

Օրինակ 12. Հարթության վրա տրված են 25 կետ, ընդ որում դրանցից ցան­կացած երեքի մեջ կան երկուսը, որոնց հեռավորությունը փոքր Է 1-ից: Ապացու­ցել, որ գոյություն ունի 1 շառավիղով շրջան, որի մեջ գտնվում են այդ կետերից առնվազն 13-ը:

Ապացուցում. Դիցուք M -ը այդ 25 կետերից մեկն Է, «Տ -ը M կենտրոնով և 1

շառավիղով շրջան Է: Եթե մնացած կետերը գտնվում են շրջանում, ապա

խնդրի պահանջը տեղի ունի: Եթե TV-ը iS՛i-ից դուրս գտնվող կետ Է, ապա M V> 1:

Դիտարկենք N կենտրոնով և 1 շառավիղով Տ2 շրջանը: M ,N ,K կետեի մեջ, որտեղ

K -Կ այդ մնացած 23 կետերից ցանկացածն Է, կգտնվեն երկուսը, որոնց հեռա-

7նում:

54

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

վորությունը փոքր է 1-ից: Դրանք չեն կարող լինել А / և N կետերը: Ուստի $ և Տ2

շրջանները պարունակում են տրված բոլոր կետերը: Ուստի կամ Տ2 շրջաններից մեկում ընկած կլինեն այդ 25 կետերից առնվազն 13-ը:

Օրինակ 13. Կոորդինատային հարթության վրա նշված են ամբողջ կոորդի­նատներով հինգ կետեր: Ապացուցել, որ գոյություն ունի այդ կետերում ծայրա­կետեր ունեցող հատված, որի միջնակետը նույնպես ունի ամբողջ կոորդի­նատներ:Ապացուցում. Ցանկացած կետի կոորդինատները կարող են լինել չորս տեսա­կի' (զույգ, զույգ), (զույգ, կենտ), (կենտ, կենտ), (կենտ, զույգ): Ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի 5 կետերից երկուսի աբսցիսները և օրդինատները կունենան նույն զույգությունը: Պարզ է, որ այդ կետերում ծայրակետերով հատվածի միջնակետը կունենա ամբողջ կոորդինատներ:

Օրինակ 14. 1 կողմով քառակուսու մեջ դասավորված են մի քանի շրջա­նագծեր, որոնց երկարությունների գումարը հավասար է 10-ի: Ապացուցել, որ գոյություն ունի քառակուսու կողմին զուգահեռ ուղիղ, որը հատում է այդ շրջանագծերից առնվազն չորսը:Ապացուցում. Բոլոր շրջանագծերը պրոյեկտենք քառակուսու կողմերից մեկի

, / վրա: / երկարությամբ շրջանագծի պրոյեկցիան — երկարությամբ հատված է:' ՜ " ո ՚

10Ուստի բոլոր շրջանագծերի պրոյեկցիաների գումարը հավասար կ լի ն ի -----ի:

՜՜ ՜՜ ՚ ‘ ՛' ո

10 „Քանի որ— > 3, ապա քառակուսու կողմի վրա կա կետ, որը պատկանում է

առնվազն չորս շրջանագծերի պրոյեկցիաներին: Այդ կետում կողմին տարված ուղղահայացը կհատի առնվազն չորս շրջանագիծ:

Օրինակ 15. Ինը ուղիղներից յուրաքանչյուրը քառակուսու մակերեսը տրոհում է երկու քառանկյունների, որոնց մակերեսները հարաբերվում են ինչպես 2:3 : Ապացուցել, որ այդ ուղիղներից առնվազն երեքը անցնում են նույն կետով: Ապացուցում.

А М ВԱյդ ինը ուղիղներից ոչ մեկը չի վարող հաաել քւսռւսկուսւ եարևան կողմերը, բանի որ տրոհման պատկերները քառանկյուններ չեն լինի, այլ կստացվի

С եռանկյուն և ենգանկյուն: Դիցուք ուղիղը АВ և DC կողմերը հատում է M և N կետերում: ADNM և BCNM IIեղանները ունեն հավասար բարձրություններ: Ուստի ոոանո մակեոեսնեոր հարաբերվում են Ււնչաես նրանց միջին գծ՜երը, այսինքն PK/KC=2/3 ՜ "

D N С

55

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Քառւս կոսւու եւս նդիպւս կա g կալմ երի մից նա կեա երր միւսցնալ հատվածները 2:3 հարաբերությամբ բաժանող կա չորււ կեաեր: Ուււաի այդ ինը ուղիղներից առնվազն 3-ը կանցնեն մի կեսւով:

D С

Խնդիրներ ինքնուրույն լուծելու համար

1. Մի տողով գրված են հինգ բնական թվեր: Ապացուցել, որ այդ թվերից մեկը կամ իրար կողքի գրված մի քանի թվերի գումարը կբաժանվի 5-ի:

2. Ապացուցել, որ գոյություն ունի 29 հիմքով աստիճան, որի վերջին թվանշան­ները լինեն 00001:

Յ.Վերջավոր թվով կետերի բազմությունից մի քանիսը միացրել են հատված­ներով: Ապացուցել, որ կգտնվեն երկու կետեր, որոնցից ելնում են նույն թվով հատվածներ:

4 .Ապացուցել, որ 39 հաջորդական բնական թվերի մեջ միշտ կգտնվի մեկը, որի թվանշանների գումարը բաժանվում է 11-ի:

5.Ինչ որ համակարգի յուրաքանչյուր մոլորակի վրա գտնվում է աստղագետ, որը դիտում է մոտակա մոլորակը: Հայտնի է, որ այդ համակարգում կա 2009 մոլո­րակ, որոնց հեռավորությունները զույգ առ զույգ տարբեր են: Ապացուցել, որ ինչ-որ մի մոլորակ ոչ մեկը չի դիտում:

6.1, 2, 3, ... , 100 թվերի միջից կամայական ձևով ընտրել են 51-ը: Ապացուցել, որ դրանց մեջ կլինեն երկուսը, որոնք փոխադարձաբար պարզ են:

7.Տարածության մեջ նշված են ամբողջ կոորդինատներով 9 կետեր: Ապացուցել, որ գոյություն ունի այդ կետերը միացնող հատված, որի միջնակետը նույնպես ունի ամբողջ կոորդինատներ:

8.Ապացուցել, որ ցանկացած 7 թվերից միշտ կարելի է ընտրել երկուսը' х , у ,

ո x - у 1որոնց համար տեղի ունենան 0 < -------- ֊ ֊ ! = անհավասարությունները:

՜ I + ЛТ V3 "

Գրականություն

1. «Квант» 1971г. №3.2. В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии. 1996г.3. В. В. Прасолов, Задачи по стереометрии. 1996г.

56

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

47-ՐԴ ՄՄ0-Ի N 3 ԽՆԴՐԻՄԻ ԼՈԻԾՄԱՆ ՄԱ11ԻՆ

Ն.Մ.Սեդրակյան

Ձևակերպենք և լուծենք մի խնդիր, որի ա) կետը առաջադրված է եղել

դպրոցականների 47-րդ միջազգային մաթեմատիկական օլիմպիադայում:

Խնդիր: Գտնել М -ի հնարավոր փոքրագույն արժեքն այնպես, որ

|ab(cr - b 2)+ bc{b2 - с 2)+ cct(c2 - а 2) |< м (а 2 + Ь 2 + с 2)՜

անհավասարությունը տեղի ունենա ցանկացած ա) իրական, բ) դրական а, b, с

թվերի դեպքում:

Լուծում : Նկատենք, որ

ab ifi2 - b 2)+bc(b2 - c 2)+ cct(c2 ~ я 2) =

= ab(ci - b)(ci + b) + с՜' (а - b) - с(а3 - b ' J)=

= (а -Ь){сгЬ + ab 2 + с 3 - со2 - cab - c b 2)=

= (а - b){(b - с)а՜ + ab{b - с ) - c(b ֊ c){b + с))=

= (а — Ъ\Ь - с \ а -с ) (а + Ь + с ) :

Այսպիսով պետք է տեղի ունենա

|а -b \ -\b -c \ -|а - c \ ■ \a + b +c\ < м { а 2 + b 2 + с 2 ՝)՜ (1)

անհավասարությունը: Երբ a -b - c , այդ դեպքում ցանկացած դրական M թվի

դեպքում (1)-ը տեղի ունի:

Առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք համարել, որ a > b > c և

(а - с ) 2 + (b - с ) 2 =1 , ուստի գոյություն ունի а е այնպես, որ

а = с + cos a , b = с + sin a :

Նկատենք, որ

|а ֊ հ ֆ - с||а - с||а + b + с| = (cos a - sin a) sin a cos a\3c + coser-t- s in « |: (2)

ա) Ունենք' (co sa -s in a )s in c trco sa |3 c + co s« + sin«| =

57

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

= ֊ д/(1 — sin 2ctr) s in 2 2ctr-(9c2 + 6c(cos a + sin a ) +1 + sin 2a) =

= ֊ у1(\ - sin 2ctr)sin 2a ■ sin 2a(3d +1 + sin 2 a ) ,

որտեղ d = 3 c 2 + 2c(cos a + sin a ) : Այդ դեպքում a 2 + b 2 + c 2 =d + 1:

Այսպիսով'

(cos a - sin or) sin a cos a\3c + cos a + sin a\ =

=— ^=д/(Л, ֊ Л-s in 2ctr)sin 2 a ■ sin 2a((3d +1)// + / / s in 2 a ) :2վձս

Л և f i թվերն ընտրենք այնպես, որ Д = // + 2 և 3ju,= Л + f i , այսինքն /1 = 2 ,

Л = 4 : Կունենաք'

(cos a - sin a) sin a cos a\3c + cos a + sin a\ =

=—\= (il(4 - 4 sin 2ctr)sin 2ctrsin 2a(6d + 2 + 2 sin 2a)) <4v2

Տ_ Լ . ք ճ ճ ) ն ճ (ւ(+,)=:4 ^ 1 4 J 32 V '

Այսպիսով'

j ab{a2 - b2)+bc{b2 - c 2)+ ca{c2 - a 2 )| < (a 2 + b 2 + c 2f ,32

4 7ընդ որում հավասարությունը տեղի կունենա, երբ sin2ctr = — ; d = ՜ ~ : Այդ

վ շ ֊ Յ Հ2 — 3 ( \ .4^1դեպքում կարող ենք վերցնել, օրինակ с = ----- , a = ---------- ; ^ + cos —arcsin— ;

Зл/5 Зл/5 Ա 5 J

/ լ վ \Ъ= ------1=— Ւ sin —arcsin— : Հետևաբար, М -ի հնարավոր փոքրագույն արժեքը

Зл/5 Ա 5)

32

բ) Ունենք'

|a ~b\b - c||a - c||a + b + c\ = (cosctr - sinctr)sinctrcosctr(3c + cos a + sin a) =

= — sin 4 a f ------- —------- + 0 ^ - f --------—------- + l l < — (3c + 1)<4 I cos a + sin a J 4 I cos a + sin a J 4

58

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

< -(2 c + l)2 < - ( з с 2 + 2c(si+ 2c(sinctr + cosctr)+ l)2 = — (a2 + b2 + с 2)2 :

Երբ а = с + cos— , b = с + sin — , с > 0 , կստանանք.

3 с

л . л cos — Ւ sin —

• + 1 < М Зс2 + 2cfcos — + s in — 1 + 1 : (3)v /

Ուստի М -ի հնարավոր վտքրսւգույն արժեքը — ֊ն է:

V

59

Մ ե ր փ ո ր ձ ը

Դ Ա Ր Ձ Յ Ա Լ Պ Ա Ր Բ Ե Ր Ա Կ Ա Ն Ֆ Ս Ւ Ն Կ Ց Ի Ա Ն Ե Ր ԻՄ Ա Ս Ի Ն

ԱՍ. Միք այ ե լյանԵրևանի թիվ 6 միջնակարգ դպրոց

Մի առիթով սոցիալիստական հեղափոխության առաջնորդ Ուլյանով- Լենինը նկատել է, որ Կարլ Մարքսը հեղափոխական տեսաբանների գիտելիք­ները չափելիս, ստուգում էր նրանց պատկերացումները առաջին հերթին ազգա­յին հարցի մասին: Դրանով իսկ, նշում է Լենինը, Մարքսը շոշափում էր նրանց, այսպես ասած, «ցավոտ ատամը»:

Ինչ-որ նմանությամբ կարող ենք նկատել, որ «Պարբերական ֆունկցիա­ներ» թեման ուսուցանելիս խոսելով ֆունկցիաների պարբերականությունից, լու­ծելով միջին և միջինից դժվար բնույթի վարժություններ, դասավանդող ուսուցիչ­ների մի մասը իրենց կամքից անկախ, շոշափում են իրենց «ցավոտ ատամը»: Գուցե դրա պատճառը նաև այն է, որ «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անա­

լիզի տարրեր - 9» գործող դասագրքում պարբերական ֆունկցիաների մասին

տրված տեսական շարադրանքը բավականին սուղ է. թեմային հատկացված է մեկ պարագրաֆ (տես [1], §6, էջ 74-78) «Ֆունկցիաների պարբերականությունը և զույգությունը»): Թեև այդ բացը մասնակիորեն փակում են [2]-[4] ւսշխատանք- ները, սակայն, մեր կարծիքով, դեռևս լրացուցիչ տեղեկատվության կարիք զգացվում է: Ներկայացվող հոդվածը հեդապնդում է նման նպատակ: Այն կարելի է համարել նաև [7] աշխատանքի շարունակությունը:

Նախ կատարենք որոշ նկատառումներ: [5] հոդվածի հեղինակը գրում է. «Պարբերական ֆունկցիայի որոշման տիրույթը համաչավւ է իր ցանկացած

կետի նկատմամբ» (էջ 76) և որպես օրինակ դիտարկում у = -Jx ֆունկցիան,

որի որոշման տիրույթը [О; + °°) միջակայքն է:

у = \~х ֆունկցիայի պարբերական չլինելը հետևում է այն բանից, որ

նրա որոշման տիրույթը ձախից սահմանափակ է (քանի որ х > 0 ) : Մինչդեռ

պարբերական ֆունկցիայի սահմանումից հետևում է, որ նրա որոշման տիրույթը

ո՜չ աջից և ո՜չ էլ ձախից չի կարող լինել սահմանափակ: Իրոք, եթե Т Փ 0 թիվը

у = ք (х) ֆունկցիայի պարբերությունն է, ապա ինչպիսին էլ լինի որոշման

60

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ր

տիրույթին պատկանող х թիվը' (x ± n T ) e D ( f ) , н е N (տես [1], էջ 74):

Ուստի {л- ± пТ ; x G D ( f ) , n G TV} բազմությունը ո չ վերևից, և ո չ էլ ներքևից

չի կարող լինել սահմանափակ:Իսկ այն, որ պարբերական ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կարող է և

չլինել համաչափ իր ցանկացած կետի նկատմամբ (իհարկե չբացառելով նաև

դա, օրինակ D ( f ) = (—00, +°°)), կարելի է տեսնել հենց պատկերի' տրված

կետի նկատմամբ համաչափության սահմանումից:Մինչդեռ у = tgx ֆունկցիայի (որը к - պարբերական ֆունկցիա է) որոշ­

ման տիրույթը' С կետի նկատմամբ համաչափ չէ, քանի որ A e D(tg)

և AC = ---------= --------- = — = CB հավասարությունից չի հետևում, որ

Այնուամենայնիվ կետերի հեռավորությունը, որոշ իմաստով նաև համաչափությունը, կարող է օգնել պատկերացում կազմելու ֆունկցիայի

պարբերական լինելու մասին: Այսպես, օրինակ' y = ctg(m ) ֆունկցիայի որոշ­

ման տիրույթը, այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որտեղ sin7D:^0<^>

Z -ը ամբողջ թվերի բազմությունն է: Որոշման տիրույթի մաս է կազմում

A = (0;1) բաց միջակայքը, որի երկարությունը |Д|=1 —0 = 1 է, ուստի

0 < Т0 < 1 պայմանին բավարարող ցանկացած Т0 թիվ չի կարող լինել նրա պար­

բերություն: Իրոք, ինչպիսին էլ լինի Л = (0;1) միջակայքին պատկանող Т0 թի­

վը, ապա х0 = (1 —Г0)е D ( f ) : Սակայն, x 0 +T0 = l £ D ( f ) , որից էլ հետևում է,

որ 70-ն չի կարող լինել y = ctg(TVc)֊ի պարբերության: Իսկ այն, որ 1 > 0 թիվը

y = ctg (m ) ֆունկցիայի պարբերությունն է, հետևում է մի կողմից այն բանից,

որ եթե x -ը ամբողջ թիվ չէ, ապա ամբողջ թիվ չէ (x — 1) և (x + l) թվերից

յուրաքանչյուրը և բացի այդ'

Հետևաբար y = ctg{nx)-\\ 1-պարբերական ֆունկցիա է:

Ուշադրության է արժանի հեղինակի կողմից դրված հետևյալ հարցա­

դրումը: «Դիտարկենք F(x) = f ( x ) + g(x) ֆունկցիան, որտեղ f ( x ) և ё ( х)ֆունկցիաները պարբերական են: Արդյո՞ք կարելի է պնդել, որ F(x) ֆունկցիան

պարբերական է» (էջ 77): Եվ մինչև, իր իսկ կողմից դրված հարցին պատաս-

ж ж ж ж ж

3 6 2 3 6

<=>7псфяк<=>хфк՛, k ^ Z \ Հետևաբար' D{ctg{7Dc)) = {— >, + ° ° ) \ Z , որտեղ

c t g ^ ( x + 1)) = ctg{mc + ж) = ctgTix:

61

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ր

խանելը'հեղինակը շտապում է ասել. «Եթե f{pc) ֊ը և g(x) ֊ը T ֊պարբերական

են, ապա ^ (* )-ը ևս T ֊պարբերական է»: Եվ ահա ապացույցը:

« F i x + T) = f i x + T) + g i x + T) = ք ix ) + g ix ) = F i x ) » (էջ 77): Սա­

կայն, այսքանից կարելի է միայն եզրակացնել, որ T ֊ն F i x ) ֆունկցիայի

պարբերությունն է, ոչ ավելին: Ավելին, նույնիսկ ^ (* )-ը կարող է և գոյություն

չունենալ: Օրինակ' f i x ) = c tg iK x ) , որտեղ £ ) ( / ) = (— \ Z , իսկ

^(л-) = с , D ig ) = Z , որտեղ с е R կամայական հաստատուն թիվ է: Իսկ այն,

որ ^ (* )-ը կարող է և չլինել Г -պարբերական ֆունկցիա, հետևում է նաև

հետևյալ օրինակից: f ( x ) = cosx և g(x) = - c o s x , x e R ֆունկցիաները 2ж պար­

բերական են: Միևնույն ժամանակ' F{x) = cosx + ( - cosx) = 0 V x e :

Իսկ հաստատուն ֆունկցիայի համար (ինչպես նշում է նաև հոդվածագիրը էջ 74- ում) 0-ից տարբեր ցանկացած թիվ կարող է լինել պարբերություն: (Այս ֆունկցիայի համար ասվածը ճիշտ է, քանի որ վերջինիս

D i F ) = R = (—՚օօ;+օօ) , իսկ վերը բերված g ix ) = c , D i g ) = Z , որտեղ c -ն

հաստատուն է, ասվածը ճիշտ չէ, քանի որ նրա համար պարբերություն են միայն

T e Z թվերը): Ուստի ^ (* )-ը չի կարող ունենալ վտքրւսգույն պարբերություն,

հետևաբար ^ (* )-ը 7Z պարբերական ֆունկցիա չէ:

Շարունակելով ֆունկցիայի պարբերությունների հետ կապված դատո­

ղությունները հեղինակը նշում է. « ,F (x )^ կլինի պարբերական ֆունկցիա, եթե

f i x ) և g ix ) ֆունկցիաների որևէ 7J և T2 պարբերությունը ռացիոնալ թիվ է:

(Այսինքն, գումար ֆունկցիան կլինի պարբերական, եթե գումարելի ֆունկ­ցիաները ունեն պարբերություններ, որոնք ռացիոնալ թվեր են): Իրոք, եթե

Т р— = — , ապա T = qTx = p T 2 թիվը հանդիսանում է F{x ) ֆունկցիայի պարբե-T2 զրություն ( p , q ֊ն 0-ից տարբեր ամբողջ թվեր են)» ([1], էջ 77): Այստեղ էլ, եթե ռա-

Tցիոնալ թիվ պետք է լինի — հարաբերությունը, ապա բոլորովին էլ պարտադիր

2

չէ, որ 7J և T2 ֊ը լինեն ռացիոնալ թվեր, (օրինակ 7J = VT8 , Т2 = л/8 ): Ինչևէ:

Բերելով f i x ) = cos3x + cos4x ֆունկցիայի 2тг - պարբերական

լինելու ապացույցը, հոդվածագիրը թույլ է տալիս անճշտություններ, որոնք հանդիպում են այդ թեման դասավանդող այլ ուսուցիչների մոտ էլ: Ահա այն.

«Ենթադրենք գոյություն ունի 0-ից տարբեր Т թիվ այնպես, որ

/ (х + Г) = f { x ) , xe i?=> х + Г е R :

f i x + T) = cos(3(x + T)) + cos(4(x + T)) = cos(3x + 3T) + cos(4x + 4T) :

62

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ր

c o sx ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը 2ո-Կ է:

( 3 Т = 2 тn , k e Z <=>

4 T = 2лк

т1 =—лп 3

<=> ...\

Т =—лк 2

Т =—лп=—7гк 3 2

и = З т

[£ = 4 т

Т = ( 2/3) ■тг-3т = 2 т т , т е Z ամենափոքր արժեքը' (ուզում է ասել

դրական) т = 1 դեպքում է Т = 2ку> ([1], էջ 77-78): Այսինքն' եթե co sx

ֆունկցիայի ամենափոքր պարբերությունը 271 է, ապա

f ( x + T) = cos(3x + З Г ) + cos(4x + 4T) պայմանից կարելի է հետևեցնե՞լ

(ЗТ = 2ոո< n .k e Z : Այդ դեպքում, նույն հաջողությամբ, կարող ենք ասել, որ(4T = 2nk

4 շ 1 - C O S 2 X ,վերը նշված г (x) = cos xH------- -------= 1 ֆունկցիայի համար, քանի որ c o s x -ը

2ж պարբերական ֆունցիա է, ապա

F ix + T) = co s2 (x + T) +շ t,. , тл , l - c o s ( 2 x + 2 r )

2

(Т = 27inպայմանից հետևում է, որ < n , k E : Z , որից էլ կստանանք, որ այդ

[2T = 271к

ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերությունը 2ж է, ինչը, ինչպես նշվեց վերևում, ճիշտ չէ:

Սակայն հարցը բոլորովին էլ սրանում չէ: Նորից անդրադառնալով

սկզբում արված մեջբերմանը. «Եթե f{x)-\\ և g '(x )^ T պարբերական են, ապա

F {x ) = f i x ) + gix)-\\ ևս T պարբերական է» և այն համադրելով

f i x ) = co s3x + co s4 x ֆունկցիայի հետ, նկատում ենք, որ նրանք [1] ֊ի թիվ

225* խնդրի մասնավոր տեսակներ են: «225. Դիցուք / ֊ը և g -ն T պարբերա­

կան ֆունկցիաներ են: Ապացուցել, որ F { x ) = ք {mx) + g{nx) ֆունկցիան պար­

բերական է, եթե հայտնի է, որ ա) m -ը և ո-ը ամբողջ թվեր են, բ) m -ը և ո-ը

mռացիոնալ թվեր են, գ) — հարաբերությունը ռացիոնալ թիվ է» (տես [1], էջ 79):

ոԱյս խնդրի «մեկ այլ» ձևակերպմանը հանդիպում ենք [6] ֊ում:

«Դիցուք f i x ) և g{x) ֆունկցիաների համար T ֊ն պարբերություն է:

Ապացուցենք, որ T ֊ն պարբերություն է նաև F ( x ) = f im x ) + g{nx) ֆունկ­

ցիայի համար (m^n-ը ամբողջ թվեր են)», ինչի ձևակերպման ^կոռեկտության

մասին ես նշել եմ [ 7 ]-ի «Մի քանի շեշտադրումների մասին» հոդվածում:

63

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ր

Սակայն այս ամենը դեռևս բավարար a>Y, որպեսզի T պարբերական

f ( x ) և g (x ) ֆունկցիաների համար F ( x ) = f ( mx) + g (nx) ֆունկցիան գոյու­

թյուն ունենա, ինչը հետևում է վերը նշված օրինակից:

Վերցնելով m = n = 1, / (x) = ctg in x ) (տես վերևում), իսկ g (x) = с ,

( c -ն հաստատուն թիվ է), որտեղ D(g) = Z (ամբողջ թվերի բազմությունը),

ապա f{x)-\\ և g '(x )^ T = 1 պարբերական ֆունկցիաներ են:

Մինչդեռ D ( f ) Ո D (g ) = (R \ Z ) Ո Z = Փ , ուստի F ( x ) ֆունկցիան չի

կարող գոյություն ունենալ և հետևաբար նրա մասին որևէ կարծիք հնարավոր չէ տալ:

Այս մասին ոչինչ չի ասվում ոչ միայն 225* խնդրի ձևակերպման մեջ, այլ նաև նրա լուծման ուղղությունը տվող «Լուծումների ուղեցույցում» ([4[, էջ 36):

Կարծում ենք ճիշտ կլիներ 225 ֊ում «Ապացուցել, որ F ( x ) = f (m x ) + g(nx)

ֆունկցիան պարբերական է» բառերից հետո, փակագծում նշվեր (D (F )^ (D ) ,

ինչը արվում է օրինակ [1] ֊ի խնդիր 233-ում (որը թերևս միակ բացառությունը կարելի է համարել):

Վատ չէր լինի ձևակերպման վերջում ավելացվեր նաև. «Բերել T պարբերական /(x) և g(x) ֆունկցիաների օրինակ, որի դեպքում

F ( x ) = f{m x ) + g(nx) ֊ը գոյություն չունենա»: Դրանով իսկ շեշտադրում կար­

վեր ոչ միայն խնդրի կոռեկտության վրա, այլ նաև կօգներ տարբեր հեղինակների կողմից դրան անդրադառնալուց՝ զերծ պահել նրանց անճշտություններից:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

[1] Գ.Գևորգյան, Ա.Աահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անա­լիզի տարրեր, Երևան, Էդիտ-Պրինտ, 2001թ.

[2] Կ.Գ.Առաքելյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրերը 9-րդ դասարանում (Խնդիրների լուծման ուղեցույց), Երևան, Էդիտ- Պրինտ, 2006թ.

[3] Կ.Գ.Առաքելյանի, Պարբերական ֆունկցիաների մասին, Մաթեմատի­կան դպրոցում, Թիվ 1, 2003թ., էջ 22-28):

[4] Է.Ի.Այվազյանի, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր: Լուծումների ուղեցույց, Երևան, Էդիտ-Պրինտ, 2001թ.

[5] Շ. Վարդանյան, Պարբերական ֆունկցիաներ, Մաթեմատիկան դպրո­ցում, Թիվ 5-6, 2008թ.

[6] Ա. Աբաջյան, Խնդիրների լուծման հետընթաց մեթոդը, Մաթեմատիկան դպրոցում, Թիվ 5-6, 2008թ.

[7] Ա. Միքայելյան, Մի քանի շեշտադրումների մասին, Մաթեմատիկան դպրոցում, Թիվ 5-6, 2008 թ.

64