Некоммерческое акционерное АЛМАТИНСКИЙ ...libr.aues.kz/facultet/104_FIT/137_Kafedra_matematiki_i...Производные и дифференциалы

1

Некоммерческое акционерное

общество

Кафедра «Математика и

математическое моделирование»

МАТЕМАТИКА 2

Методические указания и задания

по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности

5В070200 - «Автоматизация и управление». Часть 2

Алматы 2019

АЛМАТИНСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

2

СОСТАВИТЕЛИ: Искакова А.К., Есботаева Э.С. Математика 2. Методические

указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов

специальности 5В070200 - «Автоматизация и управление». Часть 2. - Алматы:

АУЭС, 2019.- 30 с.

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических

работ содержат дополненное и переработанное издание типового расчета №1

программы второго семестра курса Математика 2 для студентов дневного отде-

ления специальности «Автоматизация и управление». Приведены основные

теоретические вопросы программы, варианты заданий и решение типового ва-

рианта.

Библиогр.- 6 назв.

Рецензент: Ю.М.Гармашова

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2019г.

© НАО «Алматинский университет энергетики и связи» на 2019 г.

3

Введение

Вторая часть методических указаний и заданий по выполнению расчетно

– графических работ для студентов специальности 5В070200 – «Автоматизация

и управление» дисциплины «Математика – 2» содержит математический раздел

«Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких перемен-

ных». Все задания, предлагаемые для самостоятельного решения, снабжены

примерами решений и основными формулами.

Методическая разработка предназначена, в первую очередь, для студен-

тов инженерно – технических специальностей дневной формы обучения, но

может быть также полезна для студентов всех специальностей, изучающих курс

высшей математики дистанционно,и является базой для подготовки к разным

видам контроля.

Расчетно-графическая работадолжна быть выполнена студентом в от-

дельной ученической тетради. Все объяснения должны быть полными, вестись

на доступном языке и, по возможности,на языке соответствующей математиче-

ской терминологии.

1 Расчетно - графическая работа №1

1.1 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Теоретические вопросы.

1. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Область опре-

деления функции двух и трех переменных.

2. Частное и полное приращениефункции нескольких переменных.

3. Предел функции нескольких переменных.Непрерывность функции

двух переменных.

4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

5. Частные производныеи полный дифференциал функции нескольких

переменных первого порядка.

6. Градиент, производная по направлению.

7. Частные производные функции нескольких переменных высших по-

рядков. Повторное дифференцирование.

8. Смешанные производные функции нескольких переменных высших

порядков.

9. Производные и дифференциалы высших порядковфункции несколь-

ких переменных.

10. Производная сложной функции от нескольких переменных.

11. Дифференцирование неявной функции.

12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

13. Экстремумы функций нескольких переменных. Основные понятия.

Необходимые и достаточные условия экстремума.

14. Наибольшее и наименьшее значения функции.

4

Задания по выполнению расчетно – графической работы «Дифференци-

альное исчисление функции нескольких переменных».

Задание 1.Для функции z= f(x,y) найти:

а) частные производные первого порядкаy

z

x

z

, ;

б) частные производные второго порядкаyx

z

y

z

x

z

2

2

2

2

2

,, ;

в) доказать, что выполняется равенство

2 2z z

y x x y

;

г) найти дифференциалы первого и второго порядков ,d z zd2

.

1.1 1.2

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1.9 1.10

1.11 1.12

1.13 1.14 1.15 1.16

1.17 1.18

1.19 1.20 1.21

1.22

1.23

1.24

1.25 1.26 1.27 1.28

1.29 1.30

Задание 2.Найти градиент заданной функции zyxuMu ,, в точке

1111

,, zyxM .

№ Mu 1

M № Mu 1M

2.1 xzzyyx222

(1,-1,2) 2.16 1ln

33 zyx (1,3,0)

2.2 235 zxy

(2,1,-1) 2.17 zeyx 2

(-4,-5,0)

2.3 222ln zyx

(-1,2,1) 2.18 xyzx 34

(2,2,-4)

2.4 222zyx

ez

(0,0,0) 2.19 zyx

323

(-2,-3,1)

2.5 xzyzxy ln (-2,3,-1) 2.20 2zxy

e

(-5,0,2)

5

2.6 2221 zyx

(1,1,1) 2.21 yzx (3,1,4)

2.7 222 xzyx

(1,1,1) 2.22

3222zyx

(1,2,-1)

2.8 2zyexe

xy (3,0,-2) 2.23

z

yx (1,5,0)

2.9 xyzzxy 22

3 (1,2,2) 2.24 zzyyx 322

(0,-2,-1)

2.10 2225 yzzxyyzx (1,1,1) 2.25

1

10

222 zyx

(-1,2,-2)

2.11 222zyx

x

(1,2,2) 2.26 2221ln zyx

(1,1,1)

2.12 222 zxyzzy

(3,1,-1) 2.27

x

z

z

y

y

x

(-1,1,1)

2.13 xyzzyx 2222

(1,-1,2) 2.28 xyzxyx 623 (1,3,-5)

2.14 221ln zyx (1,1,1) 2.29

z

x

z

y

y

x

(2,2,2)

2.15 542222 zyx (1,2,1) 2.30 yzx

e

(1,0,3)

Задание 3.Проверить является ли функцияu(x,y,z) решением дифференци-

ального уравнения в частных производных.

№ Уравнение u(x,y,z)

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

7

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

Задание 4.Найдите первую производнуюфункции,заданной в неявном ви-

де 0,, zyxF .

№ zyxF ,, № zyxF ,,

4.1 2253 yzxyxyz

4.16 xzxyzzxy 2

4.2 zxyxyzyzx222

32 4.17 222zyxzyx

4.3 223222 yzxxyzzyx

4.18 2xzxyzyzx

4.4 xyzyzzyx 222

4.19 xzzyyx333

4.5 zxyzyzxy22

4.20 222

zxyzxy

8

4.6 22232 xzxyzxy 4.21 22

2 xyyxxyz

4.7 2yzzyxxyzzy 4.22 22

zxyyzx

4.8 222243 yxzxyxyz 4.23 222

xyzyzxzxy

4.9 2232 xzxyzyx

4.24 222 xyzxyzx

4.10 232 xyzxyz

4.25 22xzyzyx

4.11 32 zxyzxyzx

4.26 yxzzyzx

4.12 3223 zxyzzyx 4.27 xyzzyx 32

2

4.13 xyzxyxzy 22

2 4.28 xyzxzyyzx

222

4.14 2332 xyxyzxy

4.29 xyzzyxyx 222

4.15 2222 xyzzxyzxyx

4.30 xzzyyx333

Задание 5. Найти dx

duот сложной функции, если yxuu , ,где txx ,

tyy в точке 0tt .

№

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

9

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

10

Задание 6.Составить уравнения нормали и касательной плоскости к каж-

дой из следующихповерхностейSв указанной точкеM0(x0,y0,z0).

№ S

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

11

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

Задание7. Исследовать на экстремум заданные функции.

7.1 7.2

7.3 7.4

7.5 7.6

7.7 7.8

7.9 7.10

7.11 7.12

7.13 7.14

7.15 7.16

7.17 7.18

7.19 7.20

7.21 7.22

7.23 7.24

7.25 7.26

7.27 7.28

7.29 7.30

Примеры выполнениярасчетно – графических работ по теме «Диффе-

ренциальное исчисление функции нескольких переменных».

Задание 1.Для функции y

xarctgz найти:

а) частные производные первого порядкаy

z

x

z

, ;

б) частные производные второго порядкаyx

z

y

z

x

z

2

2

2

2

2

,, ;

в) доказать, что выполняется равенство

2 2z z

y x x y

;

12

г) найти дифференциалы первого и второго порядков ,d z zd2

.

Решение:

а) заданную функцию рассматриваем как сложную функцию и для нахо-

ждения производных используем формулу: uu

arctguz

2

1

1. Найдем ча-

стную производную первого порядка по переменнойх, считая в заданной функ-

ции переменную у постоянной:

;1

1

1

2222

2

2yx

y

yxy

y

y

x

y

xy

xarctgz

x

z

xx

x

Теперь найдем частную производную первого порядка по переменной у,

считая в заданной функции переменную х постоянной:

;

1

1

22222

2

2

yx

x

y

x

xy

y

y

x

y

xy

xarctgz

y

z

yy

y

б) найдем частные производные второго порядкаyx

z

y

z

x

z

2

2

2

2

2

,, . Для то-

го чтобы найти вторую частную производную по х,еще раз дифференцируем

полученную производную первого порядка 22yx

yz

x

z

x

по той же пе-

ременной х, считая в заданной функции переменную у постоянной:

.

)(

2)(

222

222

22

122

222

2

yx

xyyxyxy

yxy

yx

yz

x

z

x

xx

xx

Аналогично, для того чтобы найти вторую частную производную по у,

еще раз дифференцируем полученную производную первого порядка

22yx

xz

y

z

y

по той же переменной у, считая в заданной функции пе-

ременную х постоянной:

13

.

)(

2)(

222

222

22

122

222

2

yx

xyyxyxx

yxx

yx

xz

y

z

y

x

x

yy

Для того чтобы найти смешанную производную второго порядка, надо

полученную производную первого порядка 22yx

yz

x

z

x

по переменной

х продифференцировать по переменной у, считая переменную х постоянной:

;)()(

2

)(

)()(

222

22

222

222

222

2222

22

2

yx

yx

yx

yyx

yx

yxyyxy

yx

yz

yx

z yy

y

xy

в) докажем, что справедливо равенство

2 2z z

y x x y

. Значение

yx

z

2

найдено в пункте (б). Для того чтобы найти смешанную производную второго

порядка xy

z

2

, надо полученную производную первого порядка

22yx

xz

y

z

y

по переменнойy продифференцировать по переменной x,

считая переменную y постоянной:

.)()()(

2

)(

)()(

222

22

222

22

222

222

222

2222

22

2

yx

yx

yx

xy

yx

xyx

yx

yxxyxx

yx

xz

xy

zxx

x

yx

Таким образом, мы доказали, что

2 2z z

y x x y

;

г) для нахождения дифференциалов первого порядка dzи второго порядка

zd2

функции ),( yxfz напишемформулы:

14

dyy

zdx

x

zdz

, .2

2

2

22

2

2

2

2dy

y

zdxdy

yх

zdx

x

zzd

Используя результаты пунктов (а), (б) и (в), по этим формулам находим:

;2222

dyyx

xdx

yx

ydz

.)(

2

)(2

)(

2 2

222222

22

2

222

2dy

yx

xydxdy

yx

yxdx

yx

xyzd

Задание 2. Найти градиент функции zyxzyxu 22

4,, в точ-

ке 1;2;00

M .

Решение: градиент указывает направление наибыстрейшего роста функ-

ции в заданной точке. Пусть задана функция вида zyxfu ,, , то градиент

вычисляется по формуле:

.kz

uj

y

ui

x

uugrad

Градиент заданной функции zyxfu ,, в точке 0M определяется по

формуле:

kMujMuiMuMugradzyx 0000 .

Найдем значения частных производных первого порядка функции

zyxzyxu 22

4,, в точке 1;2;00

M :

;01404

0

4

4

0

0 22

22

0

M

Mx

x

zyx

xzyxMu

;7

2

1404

2

4

4

0

0 22

22

0

M

Myy

zyx

yzyxMu

.72

1

14042

1

42

14

0

0 22

22

0

M

Mzz

zyx

zyxMu

Таким образом,

15

.72

1

7

2

0kjMugrad

Задание 3. Проверить является ли функция yx

x

y

xyxz

11

22,

2

ре-

шением дифференциального уравнения в частных производных

y

x

y

zy

x

zx

3

22

.

Решение: найдем частные производные первого порядка заданной функ-

ции по переменным х и у:

;1

2

1

2xy

x

x

z

.

1

222

2

yy

x

y

z

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения и приведем

подобные:

y

x

yy

xy

xy

xx

3

22

2

2

2

2 1

2

1

2

1

или

y

xxx

y

x3223

12

12

.

Получили тождество, таким образом, функция yx

x

y

xyxz

11

22,

2

удовле-

творяет заданному уравнению.

Задание 4. Найдите первые производныеy

z

x

z

, функции, заданной в не-

явном виде azeyexexxy .

Решение: частные производные неявной функции двух переменных

yxz , , заданной с помощью уравнения 0,, zyxF , где zyxF ,, -

дифференцируемая функция переменных x, y, z, определяются формулами:

,/

/

zF

xF

x

z

,

/

/

zF

yF

y

z

где .0

z

F

Здесь:

azeyexezyxFxxy),,( .

Найдем

16

xxyzeyee

x

F

;

xyexe

y

F

;

xe

z

F

.

Следовательно,

);( zyee

zeyee

x

z xy

x

xxy

).1(

xy

x

xy

xee

exe

y

z

Задание 5. Найти dt

du

от сложной функции, если xyyxu 22

,где

tx sin ,t

ey в точке 0t .

Решение: для функции yxuu , , где txx , tyy производная

сложной функции )(),( tytxuu вычисляется по формуле:

dt

dy

y

u

dt

dx

x

u

dt

du

.

Вычислим частные производные первого порядка функции

xyyxu 22

по переменным х и у:

;2)(22

yxxyyxx

u

x

.2)(

22xyxyyx

y

u

y

Вычислим производные от функций tx sin ,t

ey :

.)(;cos)(sintt

eedt

dytt

dt

dx

Подставим найденные выражения в формулу производной сложной

функции:

texytyx

dt

dy

y

u

dt

dx

x

u

dt

du)2(cos)2(

ttt

tetetet

ey

tx)sin2(cos)sin2(

sin

.2)sin(cos2sin2 tt

ettet

Найдем значение производной сложной функции в точке 0t :

.3]2)sin(cos2[sin0

2

0

t

tt

t

ettetdt

du

Задание 6. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к по-

верхности 0222 zyx в точке )5,4,3(

0M .

17

Решение: уравнение нормали к данной поверхности S в точке

),,(0000

zyxM имеет вид:

.

00

0

000

MM

Mz

F

zz

y

F

yy

x

F

xx

А уравнение касательной плоскости к поверхности Sв точке

),,(0000

zyxM имеет вид:

0)()()(000

000

zz

z

Fyy

y

Fxx

x

F

MMM

Найдем значения частных производных по переменным x, y, z в заданной

точке )5,4,3(0

M :

;62)()5,4,3(0

222

MxxxzyxF

;82)()5,4,3(0

222

MxyyzyxF

.102)()5,4,3(0

222

MxzzzyxF

Подставим найденные значения, тогда уравнение нормали к поверхности

S в точке )5,4,3(0

M имеет вид:

10

5

8

4

6

3

zyx или ;

5

5

4

4

3

3

zyx

А уравнение касательной плоскости к заданной поверхности Sв точке

)5,4,3(0

M имеет вид:

0)5(10)4(8)3(6 zyx или .0543 zyx

Задание 7. Исследовать на экстремум функцию xyyxyxf 9),(33 .

Решение: функция нескольких переменных может иметь экстремум толь-

ко в точках, которые принадлежат области определения, то есть в точках, в ко-

торых все частные производные первого порядка равны нулю. Такие точки на-

зываются критическими. Для функции от двух переменных ),( yxfz крити-

ческие точки находятся из системы уравнений (необходимые условия экстре-

мума):

.0),(

;0),(

yxf

yxf

y

x

Достаточные условия экстремума для функции ),( yxfz можно запи-

сать с помощьюопределителя второго порядка:

18

,2

BACCB

BA

где ),();,();,(000000

yxfByxfCyxfAxyyyxx , причем:

1) Если ,0 то ),(000

yxM - точка экстремума: при 0A (или

)0C - точка минимума, при 0A (или )0C - точкамаксимума.

2) Если ,0 то в точке ),(000

yxM экстремума нет.

3) Если ,0 то требуется дополнительное исследование.

Вычислим производные первого и второго порядков:

;93)9(),(233

yxxyyxyxfxx

.93)9(),(233

xyxyyxyxfyy

Приравняем к нулю найденные первые частные производные и из полу-

ченной системы уравнений с двумя неизвестными найдем координаты критиче-

ских точек:

093

093

2

2

xy

yx

или

03

03

2

2

xy

yx

.

Найдем уиз первого уравнения 2

3

1xy и, подставляя его выражение во

второе уравнение, получим

033

12

2

xx ,

отсюда 0274

xx или 0)27(3

xx

Таким образом, .3,021

xx Отсюда найдем .3,021

yy Получи-

ли две критические точки )0;0(1

M и )3;3(2

M .Комплексные корни уравне-

ния 0)93)(3(2723

xxxx во внимание не берем.

Вычислим значения вторых частных производных в критической точке

)0;0(1

M :

,9)0,0(;0)0,0(;0)0,0(111

xyyyxx

fBfCfA

тогда ,0819002

1 то есть в точке )0;0(

1M экстремума нет.

Вычислим значения вторых частных производных в критической точке

)3;3(2

M :

;18)3(6)3,3(2

xx

fA ;18)3,3(2

yy

fC 9)3,3(2

xy

fB ,

19

тогда ,02439)18()18(2

2 то есть в точке )3;3(

2M экстремум

есть и, так как 0182

A , то точка )3;3(2

M является точкой максимума,

причем:

.27)3;3(),(max fyxf

1.2Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Теоретические вопросы.

1. Двойной интеграл, основные свойства двойного интеграла.

2. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.

3. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.

4. Геометрические приложения двойных интегралов: площадь плоской

области, объем цилиндра.

5. Механические приложения двойных интегралов: масса пластинки,

статистические моменты, центр масс.

6. Тройные интегралы, их основные свойства.

7. Якобиан. Замена переменных в кратных интегралах

8. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.

9. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах.

10. Приложения тройных интегралов: масса тела, статистические момен-

ты тела, координаты центра масс, моменты инерции тела.

Задания по выполнению расчетно – графической работы «Интегральное

исчисление функции нескольких переменных».

Задание 8. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле.

8.1

8.16

8.2

8.17

8.3

8.18

8.4

8.19

20

8.5

8.20

8.6

8.21

8.7

8.22

8.8

8.23

8.9

8.24

8.10

8.25

8.11

8.26

8.12

8.27

8.13

8.28

8.14

8.29

8.15

8.30

Задание 9.Расставить пределы интегрирования и вычислить площадь, ис-

пользуя двойной интеграл, где область интегрированияDограничена заданными

линиями.

21

9.1

9.16

9.2

9.17

9.3

9.18

9.4

9.19

9.5

9.20

9.6

9.21

9.7

9.22

9.8

9.23

9.9

9.24

9.10

9.25

9.11

9.26

9.12

9.27

9.13

9.28

9.14

9.29

9.15

9.30

Задание 10.Вычислить повторные интегралы, расставив пределы интег-

рирования.

10.1

10.16

10.2

10.17

10.3

10.18

22

10.4

10.19

10.5

10.20

10.6

10.21

10.7

10.22

10.8

10.23

10.9

10.24

10.10

10.25

10.11

10.26

10.12

10.27

10.13

10.28

10.14

10.29

23

10.15

10.30

Задание 11.Перейти к полярным координатам, расставить пределы интег-

рирования по новым переменным и вычислить двойной интеграл.

11.1

11.16

11.2

11.17

11.3

11.18

11.4

11.19

11.5

11.20

11.6

11.21

11.7

11.22

11.8

11.23

24

11.9

11.24

11.10

11.25

11.11

11.26

11.12

11.27

11.13

11.28

11.14

11.29

11.15

11.30

Задание 12.Вычислить тройной интеграл, гдеобластьVограничена задан-

ными плоскостями.

12.1

12.2

12.3

12.4

25

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

12.10

12.11

12.12

12.13

12.14

12.15

12.16

12.17

12.18

12.19

12.20

12.21

12.22

26

12.23

12.24

12.25

12.26

12.27

12.28

12.29

12.30

Примеры выполнения расчетно – графических работ по теме «Инте-

гральное исчисление функции нескольких переменных».

Задание 8. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

xe

dyyxfdx

ln

01

),( .

Решение. Область интегрирования xyexD ln0,1 огра-

ничена линиями xyyexx ln;0;;1 (рисунок 1). Внутренний инте-

грал задан по переменной у, поэтому для определения заданной области штри-

хи проводим сверху вниз параллельно оси Оу.

Рисунок 1

27

Изменим порядок интегрирования,так как теперь внутренний интеграл

будет по переменной х, то на полученном чертеже проводим штрихи справа на-

лево параллельно осиОх, причем начало каждого штриха определяет верхний

предел интегрирования, а конец каждого штриха определяет нижний предел

интегрирования в новом повторном интеграле. Заданную область D опреде-

лим как область 1

D , ограниченную линиями:

.1;0;; yyexexy

Тогда

e

e

xe

y

dxyxfdydyyxfdx .),(),(

1

0

ln

01 Задание 9. Расставить пределы интегрирования и вычислить площадь фи-

гуры, используя двойной интеграл, где область интегрирования D– параллело-

грамм, ограниченный линиями 4;2;3; yyxyxy (рисунок 2).

Решение.Надо вычислить площадь параллелограмма, заключенного меж-

ду параллельными прямыми 3; xyxy и 4;2 yy .

Рисунок 2

Форма параллелограмма позволяет применить формулу повторного инте-

грала с внутренним интегралом по переменной х, при этом надо определить

пределы интегрирования: .3;;4;2 yxyxyy

4

2

4

2

4

2

334

2

.63)3( dxdyyydxxdxdydxdySy

y

y

yD

Задание 10. Вычислить повторный интеграл:

20,10,)(2

yxDdxdyyx

D

,

расставив пределы интегрирования.

28

Решение: так как область D правильный прямоугольник, то пределы в по-

вторном интеграле расставляются по порядку:

.3

8.2

3

2)22(

)2

()()(

1

0

1

0

3

2

1

0

2

0

2

2

2

0

2

1

0

2

xx

dxx

dxy

yxdyyxdxdxdyyx

D

Задание 11. Перейти к полярным координатам, расставить пределы ин-

тегрирования по новым переменным и вычислить двойной интеграл:

.,9

,sin 222

2

22

22

22

yxyxDdxdy

yx

yx

D

Решение. Полагая sin;cos yx , имеем

DD

dddxdy

yx

yx

2222

2222

22

22

sincos

sincossinsin

3/

2

0

sinsinsin

dddddd

DD

.3)cos(3/

2

0

Задание 12. Вычислить тройной интеграл, где область Vограничена за-

данными плоскостями:

.30,20,10,)2(

V

zyxVdxdydzzxy

Решение: так как область Vправильный параллелепипед, то пределы рас-

ставляются в повторном интеграле по порядку:

3

0

2

0

1

0

)2()2( dzzxydydxdxdydzzxy

V

1

0

2

0

2

2

0

1

0

2

0

3

0

21

02

93

2

96

22 dxyxydyxydxdy

zxyzdx

.15)96(9121

0

2

1

0

xxdxx

29

Список литературы

1 Хасеинов К.А. Каноны математики. - Алматы. 2003.

2 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расче-

ты). – М.: Высшая школа, 2008. –176 с.

3 Индивидуальные задания по высшей математике: Комплексные числа.

Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких перемен-

ных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ч. 2: Учебное пособие /под

редакцией А.П. Рябушко. – Мн.: Вышейшаяшкола, 2007. - 396 с.

4 Индивидуальные задания по высшей математике: Ряды. Кратные и кри-

волинейные интегралы. Элементы теории поля. Ч. 3: Учебное пособие /под ред.

А.П. Рябушко. – Мн.:Вышейшаяшкола, 2007.- 351 с.

5 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1,2 части. –

М.: Рольф, 2007. – 288 с.

6 Искакова А.К., Есботаева Э.С. Математика. Конспект лекций для сту-

дентов специальности 5В070200 – «Автоматизация и управление» дисциплины.

–Алматы: АУЭС, 2017. 71с.

Содержание

Введение ……………………………………………………………………… 3

1 Расчетно-графическая работа №1…………………………………………

1.1 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных........

3

3

1.2 Интегральное исчисление функции нескольких переменных………....... 19

Список литературы……………………………………………………………. 29

30

Сводный план 2019 г., поз. 171

Искакова Акжолтай Курмантаевна

Есботаева Эльмира Султанмуратовна

МАТЕМАТИКА 2

Методические указания и задания

по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности

5В070200 - «Автоматизация и управление». Часть 2

Редактор Л.Т.Сластихина

Специалист по стандартизации Г.И.Мухаметсариева

Подписано в печать_________ Формат 60х84 1/16

Тираж 25 экз. Бумага типографическая №1

Объем2,0 уч.-изд.л. Заказ _____ Цена 1000 тг.

Копировально – множительное бюро

Некоммерцеского акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи»

050013 Алматы, ул.Байтурсынова, 126/1