ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΙΤΙΟΥgym-kiti-lar.schools.ac.cy/data/uploads/mathimatika... · 2020-03-20 · Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

- 1 -

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΙΤΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΥΛΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ:

➢ Ύλη που έχει διδαχθεί( μέχρι 10/3/2020) για την Γ τάξη

➢ Ασκήσεις Επανάληψης

➢ Εξεταστικά Δοκίμια

- 2 -

ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2019 – 2020

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΙΤΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2019– 2020

Ύλη που έχει διδαχθεί (μέχρι 10/3/2020) για την Γ τάξη

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α ΄ Τ Ε Υ Χ Ο Σ

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 1 : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (ΣΕΛ. 15-36)

1. Αξιοσημείωτες Ταυτότητες (α + β)2, (α – β)2

2. Αξιοσημείωτη Ταυτότητα (α + β)(α – β)

3. Αξιοσημείωτες Ταυτότητες (α + β)3, (α – β)3

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 2 : ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ - ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΣΕΛ. 40-89)

1. Εισαγωγή στην Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων

2. Μέθοδοι Παραγοντοποίησης

• Κοινός Παράγοντας - Ομαδοποίηση

• Διαφορά δύο τετραγώνων

• Διαφορά και άθροισμα δύο κύβων

• Τριώνυμο 2ου βαθμού

• Τέλειο Τετράγωνο

3. Εξισώσεις δεύτερου και ανώτερου βαθμού

4. Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

5. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση ρητών αλγεβρικών παραστάσεων

6. Πρόσθεση και αφαίρεση ρητών αλγεβρικών παραστάσεων

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 3 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΣΕΛ. 94-127)

1. Ανισοτικές σχέσεις στα τρίγωνα

2. Ισότητα σχημάτων - Ισότητα τριγώνων

3. Κριτήρια ισότητας τριγώνων

4. Κριτήρια ισότητα ορθογώνιων τριγώνων

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 4 : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΣΕΛ. 132-153)

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί

2. Επίλυση ορθογωνίου τριγώνου

- 3 -

Β ΄ Τ Ε Υ Χ Ο Σ

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 5 : Ε Υ Θ Ε Ι Α – Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α (ΣΕΛ. 8-40)

1. Απόσταση δύο σημείων – Μέσο ευθύγραμμου τμήματος

2. Σχετικές θέσεις δύο ευθειών

3. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

4. Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 7 : ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ (ΣΕΛ. 64-106)

1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο- Μέτρηση χώρου

2. Εμβαδόν και Όγκος Ορθού Πρίσματος – Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο – Κύβος

Για τη μελέτη σας συμβουλευτείτε:

1. Τα βιβλία Μαθηματικών Γ΄ Γυμνασίου Α΄ & Β΄ Τεύχος

.

2. Τις σημειώσεις, τα φυλλάδια και τα φύλλα εργασίας που σας δόθηκαν.

3. Απο τα εξεταστικά δοκίμια να λύσετε μόνο τις ασκήσεις που αναφέρονται στην πιό

πάνω ύλη.

- 4 -

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΤΑΞΗΣ

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 1 : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

( α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ

(α – β)2 = α2 + β2 – 2αβ

(α + β)(α – β) = α2 – β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

(α – β)3 = α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3 1) Να βρείτε τα αναπτύγματα:

α) ( )2

3 − β) ( )2

2 + γ) ( )3

3 +

δ) ( ) ( )2 2 + − ε) ( )3

2 5 − στ) ( )2

35 2 −

ζ) ( ) ( )5 3 3 5 + − η)

23

2

−

θ) ( ) ( ) ( )2 22 4 2 + + −

2) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του αποτελέσματος για χ = − 2

( ) ( ) ( ) ( )3 2

2 1 2 3 1 3 1 3 2 = + − + − − −

3) Αν 1

= , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

( ) ( )( ) ( )

2 25 5 3 5 3 4 2 = − − − + + − +

4) Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x) = x2 + 2x + 3 και Q(x) = 2x – 1.

Α) Να βρείτε το P(α – 1).

B) Nα αποδείξετε ότι: P(α – 1) + Q(α) = (α + 1)2

5) Δίνεται το πολυώνυμο P(χ) = - 2χ2 + 2χ + 80. Α) Να βρείτε το P(x – 1)

B) Να αποδείξετε ότι P(χ) –P(χ – 1) = 4 – 4χ

Γ) Να υπολογίσετε το P(100) – P(99)

6) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (3α + β)2 – (3α – β)2, αν αβ = 8

- 5 -

ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ από όλους τους όρους

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ

7) Αν α + β = 6 και αβ = 3 να δείξετε ότι 2 2α β 30+ =

8) Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες:

α) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

3 2 5 2 2 3 8 5 2 3 + − − + − + = −

β)

2 2

3α β 3α β3αβ

2 2

+ −− =

γ) ( ) ( ) ( )2 3

2α 2α 1 2α 1 4α α 1 1− − − = − +

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 2 : ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ - ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΔΙΩΝΥΜΑ (2 ΟΡΟΙ)

ΤΡΙΩΝΥΜΑ (3 ΟΡΟΙ)

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕ 4 ΟΡΟΥΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕ 5 ΟΡΟΥΣ

➢ Διαφορά δύο τετραγώνων

α2 - β2 = (α - β)∙(α + β)

➢ Άθροισμα ή Διαφορά

δύο Κύβων α3 – β3 = (α - β)(α2 + αβ+ β2)

α3 + β3 = (α + β)(α2 - αβ + β2)

➢ Τέλειο Τετράγωνο ➢ Τριώνυμο της μορφής

χ2 + βχ + γ

Χωρίζω σε ομάδες ➢ Δύο – Δύο

➢ Τρεις με ένα

Οι τρεις τέλειο τετράγωνο και ο άλλος τετράγωνο και στο τέλος διαφορά τετραγώνων

Χωρίζω σε ομάδες: ➢ Τρεις με δύο

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕ 6 ΟΡΟΥΣ

Χωρίζω σε ομάδες:

➢ Τρεις με τρεις

➢ Δύο – Δύο - Δύο

- 6 -

Α) Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τα πολυώνυμα.

1) 5χψ3 + 15χ2ψ – 10χψ = 2) 9χ2 – 6χ + 1 = 3) 4χ2 – 25ψ2 =

4) κα – κβ + λα – λβ = 5) α2 + 6α – 27 = 6) 4α4β3 – 6α3β5 =

7) ω3 – ω = 8) χ2 – ψ2 – 5χ + 5ψ = 9) χ3 + 10χ2 + 9χ =

10) 5α∙(β – γ) – β + γ = 11) 8x3 – 1 = 12) ψ3 + 27 =

13) 2α3 – 8α = 14) ψ2 + 5ψ – 6 = 15) 3χ4 – 3χ =

16) 4χ2 – 12χ + 9 = 17) 12χ2ψ – 30χψ2 = 18) 2χ 9

4 25− =

19) α(ω – χ) – 3β(χ – ω) = 20) (α + 3)2 – 16 = 21) –3χ3 – 12χ2 + 15χ =

22) χ2 – 4χ – ψ2 + 4 = 23) 16α4 – β4 = 24) χ2 – 4χ + 3 – αχ + α = 25) α(α – 2) – χ(χ – 2) = 26) ψ2 – 6ψ – α2 + 9 = 27) ψ2 + (α + β)∙ψ + αβ = 28) χ2(χ – 3) + 4(3 –χ) = 29) α5 + α2 = 30) χ3 + 8χ2 – 9χ =

31) 22 4 4− + + = 32) ( ) ( ) ( )3 23 2 9 2 30 2 − − − − − =

Β) 1) Χρησιμοποιώντας πλήρη παραγοντοποίηση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ή με άλλο τρόπο

να βρείτε τη τιμή του πολυωνύμου 5χ2 – 5ψ2 για χ =101 και ψ = 99 .

2) Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:

2χ 25β)

2χ 10

−=

−

( ) ( )2

χ ψ ω ω ψγ)

ψχ χψ

− − −=

+

2 2

3 3

5α β 5αβδ)

α β αβ

−=

−

2

2

χ 4ε)χ 3χ 10

−=

+ −

4

2

5χ 5χστ)

10χ ψ 10χψ

−=

− 2

αβ 2α 3β 6ζ)

α 2α 3

− − +=

− −

3) Να κάνετε τις πράξεις:

2

1 5 2α)

χ 6χ2χ+ − =

2 2

4 2 1β)

χ 2χ 4 χ 2χ− + =

−− +

2 2

2χ 1 3γ)

5 χχ 25 χ 5χ+ − =

−− +

2

2

χψ 4χ 24δ)

χψχ 3χ 18

+ =

+ −

2

2 2

χ 8χ 12 3χ 6ε)

χ 36 χ 5χ 6

− + − =

− + −

3 2

2

8χ 1 4χ 2χ 1στ)

3χ 2 9χ 12χ 4

− + + =

+ + +

ζ)+ +

+ = − −

2

2 2

12x 2x x 6x 9

x 9 x 3 4x

−+ =

++ − −

2

3 2 2

3χ 3 3 1η) :

χ 2χ χ 2χ χ 4

- 7 -

4) Να γίνουν απλά τα σύνθετα κλάσματα:

2

5χ

4χ 25α)

χ

χ 5

−

−

= β)

−

+ −=

−

2

2

2

2

χ 16

χ 3χ 4

χ 4χ

χ

= γ)

−

−+

2

2

χ 9ψ

ψ χ

χ 6χψ9

ψ

=

+−

+−2

4αα

α 4δ)16

1α 16

=

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ή ανωτέρου βαθμού

1) Επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού αχ2 + βχ + γ = 0

1,2 2β–

=

ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ : Δ = β 2 - 4αγ

2) Επίλυση εξισώσεων ανωτέρου βαθμού

Μεταφέρω όλους τους όρους της εξίσωσης στο α΄ μέλος και κάνω το β΄ μέλος = 0

Αναλύω το α΄ μέλος της εξίσωσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Παίρνω το κάθε παράγοντα ίσο με 0 και βρίσκω τις λύσεις της εξίσωσης.

1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις:

α) ( )( )7χ 2 χ 5 0− − = β)2χ 3χ 0− = γ)

2χ 4χ 12− =

δ) χ2 = 8χ ε)(𝜒 + 5) (𝜒2 − 2𝜒 − 3)(2𝜒 − 5) = 0 στ) χ2 − 64 = 0

ζ) 𝜒2 = 2𝜒 + 15 η) 3𝛼2 + 4𝛼 − 7 = 0 θ) 25𝜓2 − 20𝜓 + 4 = 0

ι) 2χ2 – χ – 3 = 0 k) (χ + 2)∙(χ + 3) = 20 λ) χ3 – 6χ2 = 9χ μ) 2χ2 + 5χ - 3 = 0

ν) ( )− = −23χ χ 1 2χ 2

2) Να λύσετε τις κλασματικές εξισώσεις:

α) 2

2α 21

α α α 1= −

+ + β)

++

+=

−− 232 2

52

43

3 γ)

2

2

25

25

55

3

−

+=

−−

+

δ) xxxx

x

2

8

2

422 −

=−

+−

ε)

4

4

4

322 +

−+

+=

+ στ)

2

1 2 1

α α 24 α+ =

−−

η) −

− − 2

χ 7 281 + =

3 χ 3+χ 9 χ

3) Να βρείτε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που τα τετράγωνά τους έχουν άθροισμα 145.

- 8 -

Χ+7 2χ+1

χ Α Β

Γ

2χ+1

4) Στο διπλανό σχήμα δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με = 90ˆ .

Να βρείτε το χ και το εμβαδόν του τριγώνου.

5) Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος 8 cm και πλάτος 4cm. Αν αυξήσουμε και

το μήκος και το πλάτος κατά χ, το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά 28 cm2. Να βρείτε το χ.

6) Ένα τρίγωνο έχει πλευρές 4cm, 6cm και 8cm. Αν κάθε πλευρά του ήταν μεγαλύτερη

κατά χ cm, τότε το τρίγωνο θα ήταν ορθογώνιο. Να βρείτε τον αριθμό χ.

7) Οι κάθετες ορθογωνίου τριγώνου διαφέρουν κατά 7 cm. Αν η υποτείνουσα ισούται με

13 cm να υπολογίσετε τα μήκη των κάθετων πλευρών του τριγώνου.

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 3 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1. Δεδομένα Ζητούμενα

ΟΖ διχοτ. ΧΟΨ

ΜΑ ⊥ ΟΧ ΟΑ=ΟΒ

ΜΒ ⊥ ΟΨ

- 9 -

2.

3. Στις πλευρές x και y μιας κυρτής γωνιάς ˆx y παίρνουμε αντίστοιχα σημεία Α και Β ώστε

= . Στη διχοτόμο της γωνιάς ˆx y παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ. Αν η προέκταση της ΑΜ

τέμνει την y στο Γ και της ΒΜ τέμνει την x στο Δ, να αποδείξετε ότι:

α)

=

β) = .

4. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα

ΜΕ = ΑΜ. Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα ΓΜΕ και ΑΒΜ είναι ίσα. β) ΑΒ // ΓΕ.

5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ). Να δείξετε ότι διάμεσοι ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες. 6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Ας είναι Δ και Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Πάνω στις προεκτάσεις της ΒΓ προς Β και Γ παίρνουμε τμήματα ΒΖ = ΓΡ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΡ και ΓΕΖ είναι ίσα.

7. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΒΓ). Να προεκτείνετε την βάση ΑΓ προς το Α και Γ κατά ίσα τμήματα ΑΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ και Ε απέχουν ίση απόσταση από τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα.

8. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά τμήματα ΒΖ=ΓΗ

όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ΖΛ και ΗΜ

αποστάσεις από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

αντίστοιχα να δείξετε ότι ΖΛ=ΗΜ.

ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΑΒΓ ισοσκελές ˆ ˆ = τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ)

= ⊥

Α

B

Ε

Γ

Ζ

Κ

x

y

1

2

- 10 -

9. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και η διχοτόμος ΑΔ. Να φέρετε τις αποστάσεις

ΔΕ και ΔΖ του σημείου Δ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως.

Να δείξετε ότι:

α) ΔΕ = ΔΖ και β) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές.

10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, Μ μέσο της ΒΓ, ΜΔ είναι η απόσταση του Μ από την ΑΒ και ΜΕ η

απόσταση του Μ από την ΑΓ. Αν ΜΔ = ΜΕ να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β) ΑΜ ⊥ ΒΓ

11. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Δ και Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να φέρετε τις αποστάσεις ΔΖ και ΕΗ των σημείων Δ και Ε από την ΒΓ. Να δείξετε ότι: α) ΔΖ = ΕΗ β) Το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές

12. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ προς το Β

και Γ κατά τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές και

β)Τα σημεία Β και Γ απέχουν ίσες αποστάσεις από τις πλευρές ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα 13. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), Δ και Ε είναι σημεία των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΔ = ΑΕ. Αν Ζ είναι το μέσο της ΒΓ να δείξετε ότι : α) ΔΖ = ΕΖ β) Οι αποστάσεις των σημείων Δ και Ε από τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα είναι ίσες.

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 4 : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

1) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω στα πιο κάτω σχήματα.

- 11 -

Α Β

Γ

ω

8

6

2) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (090 Α̂ = ) και ημΒ =

10

6. Να υπολογίσετε τους

Τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ.

3) Να υπολογίσετε το x σε καθένα από τα παρακάτω τρίγωνα:

4) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας ω. Η απάντηση να δοθεί σε προσέγγιση ακεραίου. α)

β)

5) Ένα αεροπλάνο Α πετά σε ύψος 1500m και φαίνεται από τον πύργο ελέγχου του αεροδρομίου με γωνία 30°. Ποια είναι η οριζόντια απόσταση ΠΒ από τον πύργο ελέγχου;

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 5 : Ε Υ Θ Ε Ι Α – Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

1. Αν δίνονται τ α σημεία ( )1 1A χ ,ψ και ( )2 2

Β χ ,ψ :

α) το ΜΗΚΟΣ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι: ( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 1ΑΒ x x ψ ψ= − + −

Δ

Ζ

Ε

4

6

ω

- 12 -

β) οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι:

1 2M

x xx

2

+= , 1 2

M

ψ ψψ

2

+=

2. α) Η ευθεία x = + έχει κλίση =

β) Η ευθεία 0x + + = έχει κλίση

= −

γ) Η κλίση των ευθειών της μορφής x = (παράλληλες με τον άξονα Οψ) ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ

δ) Η κλίση των ευθειών της μορφής = (παράλληλες με τον άξονα Οχ) ισούται με 0

ε) Η ευθεία που περνά από τα σημεία ( )1 1A χ ,ψ και ( )2 2

Β χ ,ψ έχει κλίση 2 1ΑΒ

2 1

ψ ψλ

χ χ

−=

−

3. α) Αν 1 2/ / τότε ισχύει 1 2 = (όπου 1 2 οι κλίσεις τους)

β) Αν1 2ε ε⊥ , τότε ισχύει

1 2λ λ 1 = − (όπου 1 2 οι κλίσεις τους)

γ) Αν δύο ευθείες τέμνονται τότε η ΛΥΣΗ του συστήματος τους μας δίνει τις συντεταγμένες του ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΜΗΣ τους.

4. Σχετική θέση δύο ευθειών Έστω οι ευθείες: ε1: ψ = λ1χ + β1 ε2: ψ = λ2χ + β2

Τεμνόμενες Ευθείες Παράλληλες Ευθείες Ευθείες που συμπίπτουν (ταυτίζονται)

λ1 ≠ λ2 ε1 , ε2 τέμνονται ε1 // ε2 λ1 = λ2 και β1 ≠ β2 ε1, ε2 συμπίπτουν λ1 = λ2 και β1 = β2

1.Δίνονται τα σημεία Α(2, –1) και Β(–3, 4). Να βρείτε:

α) Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. β)Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

2.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που:

α) περνά από το σημείο Α(2, -3) και έχει κλίση λ=4. β) περνά από τα σημεία Β(6, -1) και Γ(3, 2). γ) περνά από το σημείο Δ(3, -6) και είναι παράλληλη με την ευθεία 3χ − y = 5. δ) περνά από το σημείο Ε(-2, 1) και από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος των σημείων

Α(2, –1) και Β(–3, 4). 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που περνά από το σημείο Α(-4, 1) και είναι κάθετη με την ευθεία: α) ε1: ψ = 3χ – 1 β) ε2: 2χ + ψ = 3 γ) ε3: x = 3 δ) ε4: ψ = 2

- 13 -

4. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές.

5. Να βρείτε την τιμή του α ώστε οι ευθείες (α - 2)χ + 3ψ = 1 και ψ = -3

2χ να είναι παράλληλες.

6. Να βρείτε τη τιμή του κ, ώστε η ευθεία y = (κ – 1)χ – 3 να είναι κάθετη με την ευθεία 2χ + ψ = 1. 7. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α( –3, 4 ) , Β( –1, 0) , Γ( 3, 2) α) Να υπολογίσετε τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου.

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

δ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΒΔ. ε) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ.

στ)Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που περνά από την κορυφή Γ(3,2) και είναι παράλληλη

με την ευθεία ΑΒ.

ζ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

8) Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα:

α) 3 12

2 3 19

− =

+ =

β) 2 3 6

2 5

− = −

− = −

γ)

2(2 ) 4

2 5

3 2 6

− + − =

+ −− = −

δ)

( ) 4

5

3 2 ( 3) 3

1 53

2

−+ − =

− +− = −

9) Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 260 παιδιά ,τα οποία μένουν σε 50 σκηνές των 4 ατόμων και

6 ατόμων.Αν όλες οι σκηνές είναι γεμάτες, να βρείτε πόσες είναι οι σκηνές των 4 ατόμων και

6 ατόμων.

- 14 -

10) Ο κερματοδέκτης ενός μηχανήματος πώλησης αναψυκτικών δέχεται κέρματα του ενός ευρώ

και δύο ευρώ. Όταν ανοίχτηκε, διαπιστώθηκε ότι περιείχε 80 κέρματα συνολικής αξίας 95 ευρώ.

Πόσα κέρματα από κάθε είδος υπήρχαν;

11) Ο Γιώργος και ο Μάρκος έχουν μαζί €430. Ο Γιώργος ξόδεψε €30 για την αγορά ενός

παιχνιδιού ενώ ο Μάρκος πήρε δώρο από τη θεία του €50, οπότε τώρα έχει διπλάσια χρήματα από

τον Γιώργο. Πόσα χρήματα είχε αρχικά το κάθε παιδί;

12) Σ’ένα τηλεοπτικό παιγνίδι σε κάθε παίκτη υποβάλλονται 10 ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση προστίθενται βαθμοί ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρούνται βαθμοί.

Ένας παίκτης έδωσε 7 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 64 βαθμούς,ενώ ένας άλλος

έδωσε 4 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 28 βαθμούς.Πόσους βαθμούς παίρνει ένας

παίκτης για κάθε σωστή απάντηση και πόσοι βαθμοί του αφαιρούνται για κάθε λανθασμένη

απάντηση;

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 7 : ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

ΟΡΘΟΓΏΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟ

◊ Εμβαδό Ολικής επιφάνειας

Εολ.= 2∙(αβ + αγ + βγ)

◊ Όγκος V = α∙β∙γ

◊ Διαγώνιος Κύβου δ = 222 γβα ++

ΚΥΒΟΣ

◊ Εμβαδό Ολικής επιφάνειας Κύβου

Εολ.= 6∙α2 όπου α: ακμή του κύβου

◊ Όγκος Κύβου V = α3

◊ Διαγώνιος Κύβου V = α 3

ΟΡΘΟ ΠΡΙΣΜΑ

◊ Εμβαδό Παράπλευρης επιφάνειας π βΕ =

◊ Εμβαδό Ολικής επιφάνειας Εολ. = Επ + 2Εβ

◊ Όγκος Πρίσματος βV E υ=

- 15 -

1) Να βρείτε το εμβαδό ολικής, τον όγκο και τη διαγώνιο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που έχει διαστάσεις 3m, 5m, 2m.

2) Να βρείτε τον όγκο, το εμβαδό ολικής επιφάνειας και τη διαγώνιο κύβου με ακμή ίση με 3m. 3) Να βρεθεί ο όγκος του κύβου του οποίου το εμβαδόν ολικής επιφάνειας είναι 96 m2 . 4) Κύβος έχει όγκο V= 27cm3 . Να βρείτε την ολική του επιφάνεια. 5) Θέλουμε να βάψουμε τους τοίχους ενός δωματίου που έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις: πλάτος 4 m, μήκος 5 m και ύψος 3 m. Πόσα κιλά χρώμα πρέπει να αγοράσουμε, αν είναι γνωστό ότι ένα κιλό χρώματος καλύπτει περίπου 9 m2;

- 16 -

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΙΤΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη: Γ΄

Χρόνος: 2 ώρες Ημερομηνία: 17 Ιουνίου 2015

Ονοματεπώνυμο: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Τμήμα: …… Αριθμός: ……

ΟΔΗΓΙΕΣ

α) Να γράφετε με μελάνι μπλε ή μαύρο (μολύβι μόνο για τα σχήματα).

β) Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής.

γ) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού ή ταινίας.

δ) Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

ΜΕΡΟΣ Α: Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α΄.

Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.

1. Να βρείτε τα αναπτύγματα:

α) (2ω-5) (2ω+5)= (μον. 2)

β) 2(κ+6) = (μον. 3)

2. Να υπολογίσετε τον όγκο και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας κύβου με ακμή 4 cm.

3. Να λύσετε την εξίσωση 23χ -7χ+2=0 .

4. Να λύσετε το σύστημα:

3χ + ψ= 6

χ - 2ψ= 9

5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Από το

μέσο Μ της ΒΓ φέρουμε κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ

στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι

ΜΔ=ΜΕ.

Βαθμός …………………

Ολογράφως …………………

Υπογραφή …………………

Α

Ε

Β ΓM

Δ

- 17 -

Γ

6. Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τα πολυώνυμα :

α) 25α + 10α = (μον. 2)

β) 216χ - 9= (μον. 1)

γ) 2χ - 3χ - 10= (μον. 2)

7. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο

τρίγωνο με o ο οΑ =90 , ΒΓ Δ=30 , ΔΓ Α=25

και ΑΓ=52 m. Να βρείτε το ύψος του αγάλματος

της Ελευθερίας, με προσέγγιση δυο δεκαδικών

ψηφίων.

(ημ30ο=0,5 ,συν30ο=0,866 , εφ30ο=0,577

ημ25ο=0,423 ,συν25ο=0,906 , εφ25ο=0,466

ημ55ο=0,819 ,συν55ο=0,574 , εφ55ο=1,428)

8. Να κάνετε τις πράξεις:

2 2

2

χ - 4 χ + 1 χ + 3χ + 2=

χ - 2 χ2χ

9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( οΑ 90

= ) με οΒ 30

= και Δ,Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και

ΒΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την ΕΔ κατά τμήμα ΔΖ=ΕΔ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο

ΑΓΕΖ είναι ρόμβος.

10. Στο πιο κάτω σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο (ΑΒ//ΔΓ), η ΕΖ είναι η διάμεσός του τραπεζίου

και ΑΜ ⊥ ΓΔ . Αν ΑΒ=6 cm, ΔΓ=(4χ-2) cm, ΕΖ=(χ+5) cm και ΑΗ=5,3 cm να βρείτε:

α) Tην τιμή του χ.

β) Tο μήκος του ΜΗ.

(Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας)

Α

Β

Γ

300

Α Β

Ζ

ΜΔ

Ε Η

- 18 -

ΜΕΡΟΣ Β: Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β΄.

Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες.

1. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα 2(2α-1) - (2α-1)(2α+1)=2(1-2α) .

β) Να λύσετε την εξίσωση 2

2

χ +2χ+1 χ+1 χ+2- =1-χ χ+3χ +2χ-3

.

2. Μια εταιρεία παρασκευής αρωμάτων, παράγει ένα άρωμα σε δύο διαφορετικές συσκευασίες και

το πωλεί στην ίδια τιμή. Η μια συσκευασία έχει σχήμα κώνου με γενέτειρα λ=5 cm. Η άλλη

συσκευασία έχει σχήμα κυλίνδρου με ακτίνα βάσης 2 cm και ύψος διπλάσιο από το ύψος του

κώνου. Αν το εμβαδό της κυρτής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι 24π cm2 ,να βρείτε ποια

συσκευασία συμφέρει να αγοράσουμε.

3. α) Να γίνουν οι πράξεις : 4 3

2 3 4

1 1 1 χ - χ1+ + + =

χ χ χ χ - 1

β) Ένα ζαχαροπλαστείο πωλεί ένα κουτί σοκολατάκια προς €4 και ένα κουτί τάρτες προς €3.

Σήμερα πώλησε 10 κουτιά τάρτες λιγότερα από το διπλάσιο των κουτιών με σοκολατάκια και είσπραξε €90. Να βρείτε πόσα κουτιά από το κάθε είδος πούλησε.

4. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(0,3) , Β(-3,-1) , Γ(0,-7) , Δ(3,-3). Η πλευρά ΑΒ έχει

εξίσωση 4χ-3ψ+9=0 και η ΔΓ έχει εξίσωση 3ψ-4χ+21=0.

α) Να δείξετε ότι οι πλευρές ΑΒ και ΔΓ είναι παράλληλες. (μον. 3)

β) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. (μον. 5)

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Ο των διαγωνίων του

παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ. (μον. 2)

5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Παίρνουμε τα μέσα Ζ και Η των πλευρών ΑΒ και

ΑΓ αντίστοιχα. Φέρουμε τις αποστάσεις ΖΔ και ΗΕ προς τη ΒΓ.

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Ζ και Η ισαπέχουν από τη ΒΓ. (μον. 3)

β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. (μον. 4)

γ) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΗΕΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (μον. 3)

Α

Β Γ

- 19 -

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΙΤΙΟΥ

ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2015-2016

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη: Γ’

Χρόνος: 2 ώρες Ημερομηνία: 15 Ιουνίου 2016

Ονοματεπώνυμο: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Τμήμα: …… Αριθμός: ……

Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από δέκα (10) σελίδες και δυο μέρη: Μέρος Α΄ και Μέρος Β΄.

Οδηγίες:

➢ Να γράφετε μόνο με μελάνι μπλε ή μαύρο (τα σχήματα μπορούν να γίνουν με μολύβι).

➢ Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού.

➢ Να γράψετε τις απαντήσεις σας στο εξεταστικό δοκίμιο, στον κενό χώρο μετά από την

κάθε ερώτηση.

➢ Να απαντήσετε υποχρεωτικά σε όλα τα μέρη και σε όλα τα ερωτήματα.

➢ Σύνολο μονάδων 100.

➢ Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής.

ΜΕΡΟΣ Α΄: Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α΄.

Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.

1.Να βρείτε τα αναπτύγματα:

α)( )( )7 - α 7 + α = (μον. 2) β) ( )2

2χ - 3 =

(μον. 3)

2.Να παραγοντοποιήσετε τις πιο κάτω παραστάσεις:

2

3χ - 15χ = 2

36ψ - 49 = 2

χ - 12χ + 20 = 3

α + 27 =

3.Να βρείτε τον όγκο και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

με διαστάσεις 8m, 5m και 3m.

4. Nα λύσετε το σύστημα:

4χ + 5ψ = 70

3χ - ψ = 5

Βαθμός …………………

Ολογράφως …………………

Υπογραφή …………………

- 20 -

5.Να λύσετε την εξίσωση:

2

2χ + 3χ - 5 = 0

6.Κρουαζιερόπλοιο ξεκινά από το λιμάνι του Πειραιά (Λ), κάνει ενδιάμεση στάση στην Πάρο (Π)

και συνεχίζει από Πάρο για Μύκονο (Μ). Αν η απόσταση του Λιμανιού του Πειραιά με την

Πάρο είναι 110 ναυτικά μίλια και η γωνία μεταξύ Πάρου-Λιμανιού- Μυκόνου είναι o32

( ˆ oΠΛΜ = 32 ), να βρείτε:

α) την απόσταση Λιμανιού του Πειραιά - Πάρου (ΛΜ) β) την απόσταση Πάρου - Μυκόνου (ΠΜ).

ημ32° 0,530 συν32° 0,848 εφ32° 0,625

7.Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής με εξίσωση α2

ψ = χ .

α) Να γράψετε την εξίσωση του άξονα συμμετρίας

β) Να γράψετε τις συντεταγμένες της κορυφής της

γ) Να γράψετε δύο συμμετρικά σημεία τηςπαραβολής,

ως προς τον άξονα συμμετρίας της

δ) Να βρείτε κατά πόσο έχει μέγιστο ή ελάχιστο

ε) Να βρείτε την τιμή του α.

8.Στο πιο κάτω σχήμα ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο (ΑΒ//ΔΓ) και η ΕΖ είναι η διάμεσος του τραπεζίου.

Να βρείτε την τιμή του x.

Α Β

ΓΔ

ΖΕ x+8

x

x2+x

Λ

Μ

Π

32◦

110

- 21 -

9. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται ότι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ

.

Nα αποδείξετε ότι ΒΔ = ΔΓ.

10 Να κάνετε τις πράξεις:

2

2

χ + 1 χ - χ 3χ + 5- ÷ =

χ + 5 χ - 25 χ - 5

ΜΕΡΟΣ Β΄: Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β΄.

Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες.

1. Να λύσετε την εξίσωση:

2 2

χ - 7 χ - 3 1+ = -

χ - 4χ - 5χ + 4 χ - χ

2. α) Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(4, 6) και Γ(3, -2)

ι) Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Γ.

ii) Αν το σημείο Μ (1,3) είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ, να βρείτε τις συντεταγμένες της

κορυφής Β του τριγώνου ΑΒΓ.

β) Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο πρώτων παραγόντων την πιο κάτω αλγεβρική

παράσταση:

( )( ) ( )( )− − − − − =22

5χ 15 χ 4 4χ 12 χ 2

Β

Γ

A Δ

- 22 -

3).Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α̂ = 90° και Β̂ = 60° , Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών

ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Φέρουμε το ΔΕ και το προεκτείνουμε κατά τμήμα ΕΖ = ΔΕ.

Να δείξετε ότι:

α) το ΑΔΖΒ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

β) το ΕΒΑ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

( Σχήμα – Δεδομένα – Ζητούμενα )

4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ προς το Β και

προς το Γ κατά τμήματα ΒΖ = ΓΗ αντίστοιχα. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΔ = ΑΕ. Να δείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΕΓΗ είναι ίσα

β) οι αποστάσεις των σημείων Δ και Ε από την πλευρά ΒΓ είναι ίσες.

(Σχήμα - Δεδομένα - Ζητούμενα)

5.Κώνος βρίσκεται μέσα σε κύλινδρο και η κορυφή του κώνου είναι το κέντρο της κάτω βάσης

του κυλίνδρου. Αν ο κώνος έχει ακτίνα 4cm και το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου

είναι 20π cm2, να βρείτε τον όγκο και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού, που

προκύπτει όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. (Οι απαντήσεις να δοθούν συναρτήσει του π.)

60◦

Β

ΓA

A Β

ΓΔ

4 cm