ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΥΠ' ΑΡΙΘΜ. 6/27.3.2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ... · 3.1 eπίβλεψη Διπλωματικών Εργασιών 3.2 Έγκριση απονομής

ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΥΠ' ΑΡΙΘΜ. 6/27.3.2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ

Παρόντες ήταν:

Τα μέλη ΔΕΠ: Βασίλειος Μεταφτσής-Καθηγητής,(Πρόεδρος), Νικόλαος Καραχάλιος-Καθηγητής, Κυριάκος Κερεμίδης-Καθηγητής, Ευστράτιος Πρασίδης-Καθηγητής, Δημήτριος Κωνσταντινίδης-Αναπληρωτής Καθηγητής, Δημήτριος-Φραγκίσκος Λέκκας-Αναπληρωτής Καθηγητής, Γεώργιος Τσαπόγας-Αναπληρωτής Καθηγητής, Τζων Τσιμήκας-Aναπληρωτής Καθηγητής, Αντώνιος Τσολομύτης-Aναπληρωτής Καθηγητής, Χουσιάδας-Aναπληρωτής Καθηγητής, Κωνσταντίνα Ζορμπαλά-Μόνιμη Επίκουρη Καθηγήτρια, Στυλιανός Ξανθόπουλος-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Ευάγγελος Φελουζής- Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Αγαπητός Χατζηνικήτας-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Xαράλαμπος Τσιχλιάς-Επίκουρος Καθηγητής, Θεοδώρα Δημητρακοπούλου-Λέκτορας, Χρήστος Κουντζάκης-Λέκτορας

Ο εκπρόσωπος των μελών ΕΤΕΠ του Τμήματος κος Νικόλαος Παπαλουκάς

Το μέλος ΕΕΔΙΠ του Τμήματος κ. Χρήστος Τσαγγάρης Απόντες ήταν:

Tα μέλη ΔΕΠ: Μιχαήλ Ανούσης-Καθηγητής, Στέλιος Γεωργίου-Αναπληρωτής Καθηγητής, Αθανάσιος Λυμπερόπουλος-Αναπληρωτής Καθηγητής, Χρήστος Νικολόπουλος-Αναπληρωτής Καθηγητής, Στέλιος Ζήμερας-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Νικόλαος Καβαλλάρης-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Αλεξανδρος Μηλιώνης-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Νικόλαος Παπαλεξίου-Επίκουρος Καθηγητής, Στέλλα Στυλιανού-Μόνιμη Επίκουρη Καθηγήτρια, Ελευθέριος Ταχτσής-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Πέτρος Χατζόπουλος-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής, Χαράλαμπος Κορνάρος-Επίκουρος Καθηγητής, Παναγιώτης Νάστου-Επίκουρος Καθηγητης, Ανδρέας Παπασαλούρος-Επίκουρος Καθηγητής. Ευάγγελος Στεφανόπουλος-Επίκουρος Καθηγητής,Νικόλαος Χαλιδιάς-Επίκουρος Καθηγητής, Σπυρίδων Χατζησπύρος-Επίκουρος Καθηγητής, Θεοδόσης Δημητράκος-Λέκτορας,

Οι εκπρόσωποι των προπτυχιακών φοιτητών οι οποίοι δεν έχουν ορίσει εκπροσώπους, μετά την υπ' αριθμ. πρωτ. 3084/17.9.2013 επιστολή του Προέδρου του Τμήματος

Οι εκπρόσωποι των μεταπτυχιακών φοιτητών οι οποίοι δεν έχουν ορίσει εκπροσώπους τους μετά την υπ' αριθμ.πρωτ. 4465/1.11.2013 επιστολή του Προέδρου του Τμήματος

Σημείωση:

Σε άδεια άνευ αποδοχών βρίσκονται οι κ.κ. Στέλιος Γεωργίου-Αναπληρωτής Καθηγητής, Νικόλαος Καβαλλάρης-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής από 1.9.2013 έως 31.8.2014

Σε γονική άδεια βρίσκεται ο κ. Χρήστος Νικολόπουλος-Αναπληρωτής Καθηγητής από 1.10.2013 έως 30.6.2014

Σε άδεια ανατροφής τέκνου, άνευ αποδοχών, βρίσκεται η κα Στέλλα Στυλιανού-Μόνιμη Επίκουρη Καθηγήτρια από 1.9.2013 έως 31.8.2014

Σε επιστημονική άδεια βρίσκονται οι κ. κ. Αθανάσιος Λυμπερόπουλος-Αναπληρωτής Καθηγητής, Ανδρέας Παπασαλούρος-Επίκουρος Καθηγητής.

Ο κ. Αλέξανδρος Μηλιώνης-Μόνιμος Επίκουρος Καθηγητής βρίσκεται σε 6μηνη παύση καθηκόντων Η συνεδρίαση πραγματοποιήθηκε την Πέμπτη 27 Μαρτίου 2014 και ώρα 12.00' στην αίθουσα Α2, κτήριο πρώην Εμπορικής Σχολής, στο Καρλόβασι Σάμου. Διαπιστώνεται η ύπαρξη απαρτίας, σύμφωνα με τις διατάξεις της παρ.5 του άρθρου 12 του Ν.1268/82. όπως αντικαταστάθηκε και ισχύει από τη διάταξη της παρ. 5 του άρθρου 48 του Ν. 1404/83. Τα πρακτικά τήρησε η Γραμματέας του Τμήματος, κα Αγγελική Βαρσαμή. Ανασυγκρότηση Γενικής Συνέλευσης Ειδικής Τμήματος Μαθηματικών αρ. πρωτ. 497/10.2.2014 (ΑΔΑ: ΒΙΠ5469Β7Λ-Σ5Ν Θέματα Ημερήσιας Διάταξης

1. Ενημέρωση 2. Επικύρωση πρακτικών των υπ' αριθμ. 2/7.11.2013, 3/28.11.2013 Συνεδριάσεων της Γενικής Συνέλευσης Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος 3. Θέματα ΠΜΣ Τμήματος “Μαθηματική Μοντελοποίηση στις Φυσικές Επιστήμες και στις Σύγχρονες Τεχνολογίες” 3.1 Eπίβλεψη Διπλωματικών Εργασιών 3.2 Έγκριση απονομής του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης του Τμήματος “Μαθηματική Μοντελοποίηση στις Φυσικές Επιστήμες και στις Σύγχρονες Τεχνολογίες” 3.3 Φοιτητικά 4. Θέματα ΠΜΣ Τμήματος “Στατιστική και Αναλογιστικά-Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά”

1. Έγκριση απονομής του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης του Τμήματος “Στατιστική και Αναλογιστικά-Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά”

2. Φοιτητικά

5. Τροποποίηση Συμβουλευτικής Επιτροπής, τίτλου και γλώσσας συγγραφής της Διδακτορικής του Διατριβής του κ. Σταύρου Αναστασιάδη

6. Ορισμός εκπροσώπου του Τμήματος Mαθηματικών στην Επιτροπή Ερευνών του Ιδρύματος 7. Ετήσια Έκθεση προόδου για την υποψήφια διδάκτορα κ. Χριστίνα Κατσιμπίρη 8. Διάφορα

8.2 Εμπλουτισμός του καταλόγου μαθημάτων εξέτασης για έναρξη εκπόνησης Διδακτορικής Διατριβής στο Τμήμα

Μαθηματικών

Η Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης αφού έλαβε υπόψη:

Την απόφαση της υπ' αριθμ. 5/19.2.2014 Συνεδρίασης της ΓΣΕΣ (Θέμα 5.6 Καθορισμός μαθημάτων εξέτασης για την έναρξη εκπόνησης Διδακτορικής Διατριβής)

Την απόφαση της υπ' αριθμ. 2/14.12.2006 Συνεδρίασης της ΓΣΕΣ του πρώην Τμήματος Μαθηματικών(Θέμα 4ο: Ορισμός εξεταστέας ύλης μαθημάτων των γενικών μεταπτυχιακών εξετάσεων)

Την επισυναπτόμενη εισήγηση που κατέθεσε η καθορισμένη κατά την υπ' αριθμ. 5/19.2.2014 συνεδρίαση της ΓΣΕΣ επιτροπή αποτελούμενη από τους κ.κ. Θεοδώρα Δημητρακοπούλου, Χρήστος Κουντζάκης και Σπυρίδων Χατζησπύρος

και μετά από διεξοδική συζήτηση αποφασίζει ομόφωνα να εμπλουτιστεί ο κατάλογος μαθημάτων εξέτασης για

έναρξη εκπόνησης Διδακτορικής Διατριβής στο Τμήμα Μαθηματικών, με τα παρακάτω μαθήματα και την αντίστοιχή ύλη τους:

1. Αναλογιστικά Μαθηματικά

2. Πιθανότητες

3. Στατιστική

4. Στοχαστικές Διαδικασίες

5. Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

1. Αναλογιστικά Μαθηματικά:

Πίνακες, Ένταση και Δείκτες Θνησιμότητας -Αναμενόμενη Διάρκεια Ζωής-Είδη Ατομικής Ασφάλισης -Αναλογιστική Παρούσα Αξία-Ασφάλιστρα και (τροποποιημένα) Αποθεματικά-Αξία Εξαγοράς-Τροποποίηση Συμβολαίων- Από κοινού ασφαλίσεις -Πολλαπλές Ασφαλίσεις- Μοντέλα πολλαπλών απαυξημάτων- Μοντέλα πολλαπλών καταστάσεων με Μαρκοβιανές Διαδικασίες. Αποθεματοποίηση στις γενικές ασφαλίσεις-Μέτρηση της έκθεσης στον κίνδυνο, συχνότητα και σφοδρότητα του κινδύνου. Βασικά χαρακτηριστικά ενός κινδύνου (rating factors), στοιχεία και μέθοδοι για τον υπολογισμό του ασφαλίστρου. Θεωρία credibility, αξιοπιστία κατά Bayes, πρότυπα αξιοπιστίας Buhlmann και Buhlmann-Straub. Αναλογιστικά πρότυπα και μέθοδοι εκτιμητικής συχνότητας-σφοδρότητας του κινδύνου- Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα στις Γενικές Ασφαλίσεις.

Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας, Στατιστική συμπερασματολογία θνησιμότητας, Διατομεακές μελέτες, Απογραφικά δεδομένα, Εξομάλυνση, Στατιστικά τεστ εξομάλυνσης, Παραμετρικά μαθηματικά πρότυπα θνησιμότητας, Μέθοδοι εκτίμησης της θνησιμότητας, κατασκευή πινάκα θνησιμότητας, μέθοδοι ομαλοποίησης θνησιμότητας, σύγκριση εμπειριών θνησιμότητας, κατασκευή πολλαπλού πίνακα αποχώρησης, μέθοδοι κατασκευής συντετμημένων πινάκων. Θεωρία, σχεδιασμός και δομή των συνταξιοδοτικών σχημάτων, στατιστικά στοιχεία και αναλογιστικές υποθέσεις, βασικές αναλογιστικές συναρτήσεις, βασικές έννοιες συνταξιοδοτικού κόστους. Μέθοδοι κοστολόγησης (συσσωρευμένης παροχής (accrued), πιστούμενης μονάδας (unit credit), προβεβλημένης παροχής (projected), ηλικίας κατά την είσοδο (entry age normal), τρέχουσας ηλικίας (attained age), συνολική (aggregate), γενικευμένες μέθοδοι κοστολόγησης, ανάλυση αναλογιστικού κέρδους/ζημίας. Σύγκριση των μεθόδων κοστολόγησης, ανάλυση ευαισθησίας, περιουσιακά στοιχεία και επενδύσεις ενός σχήματος, αναλογιστική παρακολούθηση ενός σχήματος. Βασικές αρχές της κοινωνικής ασφάλισης, αναλογιστική θεώρηση του διανεμητικού συστήματος και άλλων χρηματοδοτικών σχημάτων. Αντασφαλιστικά σχήματα και μαθηματική μελέτη αυτών.

Πιθανότητα Χρεωκοπίας -Το κλασικό μοντέλο κινδύνου με εκθετικές ζημιές και με γενικές ζημιές-Το ανανεωτικό μοντέλο

κινδύνου – Συνθήκη Cramér-Ασυμπτωτικές σχέσεις. Εκτιμήσεις πιθανότητας χρεωκοπίας -Θεωρία Ακραίων Τιμών-

Οριακή Κατανομή ΜεγίστουΠεδία Έλξης Μεγίστου-Η κλάση των ομαλά μεταβαλλόμενων ουρών-Κατανομές με Βαριές

Ουρές-Η κλάση των υποεκθετικών κατανομών-Χαρακτηρισμός Υποεκθετικών Κατανομών. Χρεωκοπία με Υποεκθετικές

Ζημιές-Συνεπή Μέτρα Κινδύνου και στατιστικές τους εκτιμήσεις- Το Expected Shortfall και οι διαφορετικές του εκφράσεις.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

H. Föllmer, A. Schied, ‘Stochastic Finance-An Introduction in Discrete Time’, W. de Gruyter (2011).

C. Klüppelberg, P. Embrechts, T.Mikosch, ‘Modelling Extremal Events for Insurance and Finance’, Springer (1997).

H.U. Gerber, ‘Life Insurance Mathematics’, Springer –Verlag (1990)

C. Acerbi, D. Tasche, On the coherence of Expected Shortfall. Journal of Banking and Finance (2002) 26 (7) 1487-1503.

D. Tasche, Expected Shortfall and beyond. Journal of Banking and Finance (2002) 26 (7) 1519-1533.

Δ.Γ. Κωνσταντινίδης, ‘Θεωρία Συλλογικού Κινδύνου’, Μέρος Α', Εκδόσεις Συμμετρία (2011)

Δ.Γ. Κωνσταντινίδης, ‘Θεωρία Συλλογικού Κινδύνου’, Μέρος Β', Εκδόσεις Συμμετρία (2012)

Π. Χατζόπουλος, ‘Ασφαλίσεις Ζωής και Υγείας’, Συμμετρία (2007)

Π. Χατζόπουλος, ‘Μαθηματικά Ασφαλίσεων Ζωής’, Συμμετρία (2011)

Π. Χατζόπουλος, ‘Ανάλυση Θνησιμότητας’, Σημειώσεις – Πανεπιστήμιο Αιγαίου 2012

Π. Χατζόπουλος, ‘Μαθηματικά Γενικών Ασφαλίσεων’, Σημειώσεις – Πανεπιστήμιο Αιγαίου 2012

Α. Ζυμπίδης, ‘Αναλογιστικά Μαθηματικά Γενικών Ασφαλίσεων’, Εκδόσεις ΟΠΑ ΑΕ (2008)

2. Πιθανότητες:

Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων. Ακολουθίες ενδεχομένων. Υποδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Υποδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Μέση τιμή και διασπορά τυχαίων μεταβλητών. Συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών. Ροπογεννήτριες, πιθανογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις. Από κοινού κατανομές, περιθωριοποίηση και υπό συνθήκη κατανομές, ανεξαρτησία. Συνδιακύμανση και συντελεστής συσχέτισης, επαναλαμβανόμενη μέση τιμή και διασπορά. Ακολουθίες τυχαίων μεταβλητών και είδη σύγκλισης και η μεταξύ τους σχέσεις. Ο ασθενής και ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών. Κεντρικό οριακό θεώρημα κατά Lindeberg – Levy. Λήμματα των Borel – Cantelli. Παράγωγος Radon-Nikodym, υπό συνθήκη μέση τιμή και οι ιδιότητες της.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

Κουνιάς Σ και Μωυσιάδης Χ, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι, Εκδόσεις Ζήτη 1999.

Κουνιάς Σ και Καλπαζίδου Σ, Πιθανότητες ΙΙ, Εκδόσεις Ζήτη 1995.

Δαμιανού Χ, Παπαδάτος Ν, Χαραλαμπίδης Χ, Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική, Εκδόσεις Συμμετρία

Capinski M and Kopp E, Measure, Integral and Probability, Springer – Verlag 2004.

Ross S, (μετάφραση Φελουζής Ε), Βασικές Αρχές Θεωρίας Πιθανοτήτων, Κλειδάριθμος 2012.

3. Στατιστική:

Τυχαίο δείγμα. Στατιστική συνάρτηση και η έννοια της σημειακής εκτίμησης. Εκθετική οικογένεια κατανομών. Μέσο τετραγωνικό σφάλμα, αμεροληψία, επάρκεια, ελάχιστη επάρκεια, πληρότητα και ιδιότητα αναλλοίωτου εκτιμητριών. Αμερόληπτες εκτιμήτριες ομοιόμορφα ελάχιστης διασποράς και θεωρήματα Raο-Blackwell και Lehmann-Scheffe. Πληροφορία Fisher. Ανισότητα Cramer-Rao. Εκτίμηση με τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας. Κεντρικό οριακό θεώρημα, μέθοδος δέλτα, ασυμπτωτικές ιδιότητες εκτιμητριών (συνέπεια, ασυμπτωτική κανονικότητα και αποδοτικότητα, ασυμπτωτική σχετική αποδοτικότητα), ασυμπτωτικές ιδιότητες εκτιμητριών μέγιστης πιθανοφάνειας. Εκτίμηση με την μέθοδο των ροπών. Εμπειρική συνάρτηση κατανομής και το θεώρημα Glivenko-Cantelli. Εκτίμηση με διάστημα. Διαστήματα εμπιστοσύνης ελαχίστου μήκους και ίσων ουρών. Χωρία και φράγματα εμπιστοσύνης. Διαστήματα εμπιστοσύνης για παραμέτρους κανονικών πληθυσμών. Ασυμπτωτικά διαστήματα εμπιστοσύνης. Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων και έλεγχοι σημαντικότητας. Το λήμμα Neyman-Pearson και ισχυρότατοι έλεγχοι. Η ιδιότητα του μονότονου λόγου πιθανοφανειών και ομοιόμορφα ισχυρότατοι έλεγχοι. Αμερόληπτοι ομοιόμορφα ισχυρότατοι έλεγχοι. Έλεγχος υποθέσεων για παραμέτρους κανονικών πληθυσμών και διωνυμικά p. Σχέση μεταξύ διαστημάτων εμπιστοσύνης και

ελέγχων υποθέσεων. Το τεστ πηλίκου πιθανοφανειών. Μη παραμετρικά τεστ καλής προσαρμογής χ2

και Kolmogorov-Smirnov. Στατιστική κατά Bayes: Το θεώρημα του Bayes, Prior και posterior κατανομές, ανταλλαξιμότητα, επάρκεια και πιθανοφάνεια στη στατιστική κατά Bayes, prior και posterior predictive κατανομές, συζυγείς prior κατανομές, prior κατανομές του Jeffreys, μη πληροφοριακές και improper prior κατανομές. Θεωρία αποφάσεων: κανόνες απόφασης, κλασικός κίνδυνος, εκ των υστέρων κίνδυνος, κίνδυνος κατά Bayes, εκτιμητές Bayes και minimax. Διαστήματα αξιοπιστίας ή κατά Bayes. Απλή και πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση, στατιστική συμπερασματολογία, συσχέτιση, συντελεστής προσδιορισμού, ανάλυση καταλοίπων.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

1. Casella, G. and Berger, R. L. (2002). Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury Press.

2. Lehmann, E. L. and Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation, 2nd ed., Springer.

3. Lehmann, E. L. and Romano, J. P. (2005). Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer.

4. Van der Vaart, A. W. (1998). Asymptotic Statistics, Cambridge University Press.

5. Lehmann, E. L. (1999). Elements of Large Sample Theory, Springer.

6. Robert, C. P. (2007). The Bayesian Choice: From Decision - Theoretic Foundations to Computational

Implementation, 2nd ed., Springer.

7. Rencher, A. C. and Schaalje, G. B. (2008). Linear Models in Statistics, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc.

8. Ηλιόπουλος, Γ. (2006). Βασικές Μέθοδοι Εκτίμησης Παραμέτρων με Σημείο και με Διάστημα, Εκδόσεις

Σταμούλης.

9. Δαμιανού, Χ. και Κούτρας, Μ. (2003). Εισαγωγή στη Στατιστική, Μέρος Ι, Εκδόσεις Συμμετρία.

10. Δαμιανού, Χ. και Κούτρας, Μ. (1998). Εισαγωγή στη Στατιστική, Μέρος IΙ, Εκδόσεις Συμμετρία.

4. Στοχαστικές Διαδικασίες:

Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των στοχαστικών διαδικασιών, ο τυχαίος περίπατος. Διαδικασίες Markov σε διακριτό χρόνο, εξισώσεις Chapman – Kolmogorov, ταξινόμηση καταστάσεων και στάσιμες κατανομές. Διαδικασίες Markov σε συνεχή χρόνο, διαδικασίες γεννήσεων – θανάτων. Διαδικασία Poisson και σύνθετη διαδικασία Poisson, διαδικασία Wiener και ιδιότητες. Διαδικασίες Martingale, υπό συνθήκη μέση τιμή, χρόνοι στάσης και επιλεκτική στάση (optional stopping theorem). Ο ορισμός της κίνησης Brown κατά Levy. Στοχαστική ολοκλήρωση κατά Ito και διαδικασίες Ito. Το Λήμμα του Ito και στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις. Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις τύπου Ornstein – Uhlenbeck. Αλλαγή μέτρου και το Θεώρημα του Girsanov.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

Γιαννακόπουλος Α, Στοχαστική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική, Σημειώσεις – Πανεπιστήμιο Αιγαίου 20041.

Κωνσταντινίδης Δ, Θεωρία Στοχαστικών Διαδικασιών - Τόμος Α΄, Εκδόσεις Σταμούλη.

Κωνσταντινίδης Δ, Θεωρία Στοχαστικών Διαδικασιών - Τόμος Β΄, Εκδόσεις Σταμούλη.

Brzezniak Z, Zastawniak T, Basic Stochastic Processes, Springer – Verlag 1999.

Ross S, Stochastic Processes, John Wiley 1996.

Stirzaker D, Stochastic Processes and Models, Oxford University Press, 2005.

5. Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά:

Αγορές Τίτλων σε Πεπερασμένο Χώρο και Χρόνο -Το Διωνυμικό Μοντέλο-Αντιστάθμιση Κινδύνου -Πλήρεις και Μη Πλήρεις Αγορές-Arbitrage-Ισοδύναμα martingale Μέτρα-Αποτίμηση Συγκυριακών Συμβολαίων-Αγορές σε Συνεχή Χρόνο-Πληρότητα, Arbitrage, local martingale μέτρα στο μοντέλο Black -Scholes-Αποτίμηση Παραγώγων σε πλήρεις και μη πλήρεις αγορές. Utility Pricing-Αριθμητικές Μέθοδοι-Σχήματα Euler-Τα Greeks-Το γενικό semimartingale μοντέλο και τα Θεμελιώδη Θεωρήματα Αποτίμησης Τίτλων-Βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου σε μία περίοδο-το Μοντέλο του Markowitz-Η VaR και το Expected Shortfall-Mean-VaR και Mean -ES βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου-Το CAPM-Βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου συνεχούς χρόνου. H Μ.Δ.Ε Hamilton-Jacobi-Bellman- Τα βασικά μοντέλα short-term interest rates και η μεθοδολογία Heath -Jarrow -Morton για καμπύλες forward rates.

Ενδεικτική Βιβλιογραφία:

4. I. Karatzas, S. Shreve, 'Methods of Mathematical Finance', Springer 1998

5. F. Delbaen, W. Schachermayer, A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Mathematische Annalen, 300 (1994) 463-520.

1 http://users.uoa.gr/~dcheliotis/stox_diadikasies_II.pdf

6. Z. M. Landsman, E.A. Valdez, Tail Conditional Expectations for Elliptical Distributions. North American Actuarial Journal 7 (4) (2003), 55-71

7. D. Revuz, M. Yor, 'Στοιχηματικές Στοχαστικές Διαδικασίες και Κίνησις Brown', Εκδ. Leader Books 2004

8. Μ. Musiela, M. Rutkowski, 'Martingale Methods in Financial Modelling', 2nd Edition, Springer 2005

9. B. Øksendal, Stochastic Differential Equations, 2003

10. H. Föllmer, A. Schied, ‘Stochastic Finance-An Introduction in Discrete Time’, W. de Gruyter 2011.

11. Α.Ν. Γιαννακόπουλος, 'Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση, Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική', Σημειώσεις -Παν. Αιγαίου 2004

12. Ι. Σπηλιώτης, 'Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις με Εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά', Εκδ. Συμεών 2004

13. Ι. Ψαρράς, Κ. Ζοπουνίδης, Π. Ξυδώνας, 'Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου' εκδ. Κλειδάριθμος.

Με βάση τα ανωτέρω, η διαδικασία έναρξης εκπόνησης διδακτορικής στο Τμήμα Μαθηματικών έχει ως εξής:

Ο ενδιαφερόμενος που καλύπτει τις τυπικές προϋποθέσεις για εκπόνηση διδακτορικής διατριβής, υποβάλλει αίτηση στη

ΓΣΕΣ του Τμήματος η οποία, εφόσον την εγκρίνει, ορίζει δύο μαθήματα στα οποία υποχρεωτικά πρέπει να εξεταστεί

επιτυχώς ο υποψήφιος. Η αίτηση θα πρέπει να αναφέρει τη γνωστική περιοχή στην οποία επιθυμεί ο υποψήφιος να εκπονήσει την Διδακτορική του Διατριβή.

Η εκπόνηση της διδακτορικής διατριβής αρχίζει με τον ορισμό, από την ΓΣΕΣ, της Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής

η οποία, σε συνεργασία με τον υποψήφιο καθορίζει το θέμα της Διδακτορικής Διατριβής.

Το θέμα κοινοποιείται στη Γραμματεία του ΠΜΣ σε διάστημα έξι μηνών από την ημερομηνία ορισμού της Τριμελούς

Συμβουλευτικής Επιτροπής. Ο τελικός κατάλογος μαθημάτων εξέτασης για έναρξη εκπόνησης Διδακτορικής Διατριβής στο Τμήμα Μαθηματικών, με την αντίστοιχη ύλη τους, έχει ως εξής:

ΑΝΑΛΥΣΗ

Στοιχεία Μετρικών Χώρων Ακολουθίες και Σειρές Συνέχεια Διαφόριση Ολοκλήρωση Riemann Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

Βιβλιογραφία : W. Rudin Αρχές Μαθηματικής Αναλύσεως, κεφάλαια 1 εώς 7 και 9.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

-Διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης ([BD]: Κεφάλαιο 2) -Διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης ( [BD]: Κεφάλαιο 3) -Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης ([BD]: Κεφάλαιο 4) -Επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης με τη μέθοδο των δυναμοσειρών ([BD]: Κεφάλαιο 5) -Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης ([BD]: Κεφάλαιο 6) -Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και ευστάθεια ([BD]: Κεφάλαιο 9. Ενότητες 9.1-9.6) -Εισαγωγή στις μερικές διαφορικές εξισώσεις ([ΝΣ]: Κεφάλαιο 1) -Εξισώσεις ελλειπτικού τύπου ([ΝΣ]: Κεφάλαιο 2) -Εξισώσεις παραβολικού τύπου ([ΝΣ]: Κεφάλαιο 3) -Εξισώσεις υπερβολικού τύπου ([ΝΣ]: Κεφάλαιο 4. Ενότητες 4.1-4.4) -2 και 3 χωρικές διαστάσεις ([ΝΣ]: Κεφάλαιο 5) -Μη φραγμένα πεδία ([ΝΣ]: Κεφάλαιο 6. Ενότητες 6.1, 6.2, 6.4) Ενδεικτική Βιβλιογραφία [ΒD] William E. Boyce - Richard C. DiPrima «Στοιχειώδεις διαφορικές εξισώσεις και προβλήματα συνοριακών τιμών» Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, (1999) [ΝΣ] Νικόλαος Μ. Σταυρακάκης «Εξισώσεις Μερικών Παραγώγων για τις επιστήμες και την τεχνολογία» Αθήνα, Ιανουάριος 2002.

ΑΛΓΕΒΡΑ

2. Ομάδες, υποομάδες. Ειδικές κατηγορίες ομάδων: Ομάδες μεταθέσεων, τροχιές κύκλοι, εναλλάσσουσες ομάδες. Κυκλικές ομάδες, υποομάδες σύμπλοκα, Ομάδες πηλίκα, το θεώρημα Lagrange. Ευθέα γινόμενα ομάδων.

3. Γεννήτορες μιας ομάδας, η δομή των πεπερασμένα παραγώμενων αβελιανων ομάδων. Ομάδες με τάξη

μικρότερη ή ίση του 8.

4. Ομομορφισμοι, ισομορφισμοί ομάδων, θεωρήματα ισομορφισμών. Δράσεις ομάδων σε σύνολα, τροχιές, τα θεωρήματα του Sylow, p-ομάδες, Η εξίσωση κλάσεων.

5. Δακτύλιοι και σώματα. Ακέραιες περιοχές, χαρακτηριστική δακτυλίου, σώμα πηλίκου. Δακτύλιοι πολυωνύμων, διαίρεση, ανάγωγα πολυώνυμα.

6. Ομομορφισμοί και δακτύλιοι πηλίκα. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη, η δομή των ιδεωδών σε πολυωνυμικό δακτύλιο

με συντελεστές από ένα σώμα. 7. Περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης, Ευκλείδειες περιοχές. Ομάδα των μονάδων. 8. Επεκτάσεις σωμάτων, αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία, βαθμός επέκτασης. Πεπερασμένα σώματα. 9. Modules, άλγεβρες, τάξη module, το θεώρημα δομής modules πάνω από περιοχές κυριών ιδεωδών.

Βιβλιογραφία: J.B. Fraleigh, Εισαγωγή στην Άλγεβρα. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαφορίσιμες καμπύλες στο χώρο. Παραμέτρηση με μήκος τόξου. Η καμπυλότητα και η στρέψη κανονικής καμπύλης. Το τρίεδρο του Frenet. Το θεμελιώδες θεώρημα της τοπικής θεωρίας καμπύλων. Κανονικές επιφάνειες στο χώρο. Συστήματα συντεταγμένων και ειδικές μορφές παραμετρήσεων. Αλλαγή συντεταγμένων. Διαφορίσιμες απεικονίσεις. Το εφαπτόμενο επίπεδο και η έννοια του διαφορικού μιας απεικόνισης. Η πρώτη θεμελιώδης μορφή. Προσανατολισμός. Απεικόνιση του Gauss και ο τελεστής σχήματος. Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα. Ισομετρίες. Τα σύμβολα Christoffel και το θεώρημα Ergegium του Gauss. Η έννοια της εσωτερικής γεωμετρίας. Γεωδαισιακές γραμμές μιας επιφάνειας.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

1. Αριθμητική επίλυση μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων και συστημάτων εξισώσεων Επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος της διχοτόμησης. Το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach. Επαναληπτικές μέθοδοι (1) γενική μέθοδος, (2) Newton-Raphson, (3) εφαπτομένης. Αριθμητική επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων με την μέθοδο Newton-Raphson. 2. Αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss και η ανάλυση LU. Ανάλυση Cholesky για συμμετρικούς και θετικά ορισμένους πίνακες. Κατάσταση γραμμικών συστημάτων. Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων. Δείκτης κατάστασης πίνακα. Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων με τις επαναληπτικές μεθόδους (1) Jacobi, (2) Gauss-Seidel και (3) SOR. 3. Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange και Newton. Πολυώνυμα Chebyshev. Παρεμβολή Hermite. Παρεμβολή με splines, με τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις και κυβικές splines. 4. Αριθμητική ολοκλήρωση Τύποι ολοκλήρωσης των Newton-Cotes. Μέθοδοι (α) ορθογωνίου (β) τραπεζίου (γ) Simpson. Τύποι ολοκλήρωσης του Gauss. 5. Ελάχιστα τετράγωνα Βέλτιστη διακριτή προσέγγιση. Βέλτιστη συνεχής προσέγγιση. Προσέγγιση με πολυώνυμα. 6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (προβλημάτα αρχικών τιμών) Οι έννοιες της σύγκλισης, ευστάθειας και συνέπειας για τις μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών. Θεωρητική μελέτη των γενικών s-βηματικών γραμμικών μεθόδων. Οι μέθοδοι: (1) αναλυτής και μη-αναλυτής Euler, (2) τραπεζίου, (3) μέσου σημείου (4) Αdams-Bashforth, Adams-Moulton και πρόβλεψης-διόρθωσης και (5) Runge-Kutta. 7. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (προβλήματα συνοριακών τιμών) Η μέθοδος της βολής και η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών. 8. Αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων

Αναλυτές και μη-αναλυτές μέθοδοι. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών. Προτεινόμενα συγγράμματα:

Εισαγωγή στην αριθμητική ανάλυση, Γ.Δ. Ακριβής & Β.Α. Δούγαλης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 4η

έκδοση (2002).

Αριθμητικές μέθοδοι και προγράμματα για μαθηματικούς υπολογισμούς, G.E. Forsythe, M.A. Malcolm & C.B. Moler, μετάφραση από τους Γ.Δ. Ακριβή & Β.Α. Δούγαλη, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, (1997).

Αριθμητική Ανάλυση, Γ.Σ. Σοφιανός & Ε.Θ. Τυχόπουλος, Εκδόσεις ΑΘ. Σταμούλης, Αθήνα 2005.

ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Προτεινόμενο σύγγραμμα: James R. Munkres, Topology. A first course, Prentice Hall, New Jersey, 1975. Ύλη: Κεφ. 2: Τοπολογικοί χώροι και Συνεχείς συναρτήσεις (Ενότητες 2-1 ως και 2-11). Κεφ. 3: Συνεκτικότητα και Συμπάγεια (Από 3-1 ως και 3-3. Από 3-5 ως και "Επιπλέον Ασκήσεις: Δίκτυα"). Κεφ. 4: Αξιώματα αριθμησιμότητας και Διαχωριστικά αξιώματα (Από 4-1 ως και 4-4). Κεφ. 5: Το Θεώρημα του Tychonoff (Από 5-1 ως και 5-3). Κεφ. 6: Θεωρήματα Μετρικοποιησιμότητας και Παρασυμπάγεια. Κεφ. 7: Πλήρεις μετρικοί χώροι, Χώροι του Baire (Ενότητες 7-1, 7-3, 7-7).

ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Πρώιμα αριθμητικά συστήματα. Αυγυπτιακά και Βαβυλωνιακά Μαθηματικά. Απαρχές των Ελληνικών Μαθηματικών. Ο χρυσός αιώνας.Η εποχή του Πλάτωνα.Αλεξανδρινή Εποχή. Παρακμή των Ελληνικών Μαθηματικών. Αλεξανδρινή Σχολή: Ευκλείδης, Ερατοσθένης, Αρχιμήδης Διόφαντος, Fibonacci. Cardano, Fermat. Descartes και Newton. Η ανάπτυξη της θεωρίας πιθανοτήτων: Pascal, Bernoulli, Laplace Θεωρία Αριθμών: Από τον Fermat στον Euler, Gauss. 19ος αιώνας της Γεωμετρίας: Gauss, Bolyai, Lobatschefskij, Monge, Steiner, Felix Klein. 19ος αιώνας της Ανάλυσης: Weierstrass, Cantor, Dedekind Άλγεβρα: Boole, De Morgan, 20ου αιώνα Hamilton, Grassmann, Cayley Απαρχές 20ου αιώνα: Poincare, Hilbert ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Van der Waerden. Η αφύπνιση της Επιστήμης. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. 2. Cral Boyer-Uta Merzbach. Η Ιστορία των Μαθηματικών. Εκδόσεις Γ.Α. Πνευματικού.

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Στοιχεία ψυχολογίας της μάθησης των Μαθηματικών και διδακτικές αρχές. (J. Piaget. J. S. Bruner) Θεωρία μάθησης R. M. Gagné. Η γενετική άρχή του E. Wittmann. Θεωρία Κονστρουκτιβισμού. Μοντέλα Διδασκαλίας Μαθηματικών. Διδακτικό μοντέλο του R. Glaser. Διαδικασία Επίλυσης Προβλήματος (Problem Solving). Μαθηματικά και Εκπαίδευση. Σχέση ιστορίας και διδασκαλίας Μαθηματικών. Σκοποί μαθηματικής εκπαίδευσης. Φιλοσοφία Μαθηματικών. Πλατωνισμός. Φορμαλισμός. Ενορατισμός. Ημιεμπειρισμός του I. Lakatos. Διδασκαλία Άλγεβρας. Διδασκαλία αρνητικών αριθμών. Διδασκαλία Γεωμετρίας. Διδασκαλία Ανάλυσης. Ειδικά θέματα διδακτικής Μαθηματικών. Διδασκαλία της απόδειξης. Το λάθος στην διαδικασία μάθησης. Δυσλεξία και Μαθηματικά. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Χαράλαμπος Τουμάσης: Διδακτική Μαθηματικών. Εκδόσεις Gutenberg. (Τυπωθήτω-Δαρδανός)

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Βιβλίο: Brian Kernighan και Dennis M. Ritche, Η γλώσσα Προγραμματισμού C, Κλειδάριθμος, 1990. Κεφάλαιο 2. Τύποι, τελεστές και παραστάσεις Μεταβλητές. Τύποι δεδομένων και μεγέθη. Σταθερές. Δηλώσεις. Αριθμητικοί Τελεστές. Συσχετιστικοί και λογικοί τελεστές. Μετατροπές τύπων. Τελεστές αύξησης και μείωσης. Τελεστές Πράξεων με bit. Τελεστές αντικατάστασης και παραστάσεις. Παραστάσεις υπό συνθήκη. Προτεραιότητα και σειρά υπολογισμών. Κεφάλαιο 3. Η ροή του ελέγχου Εντολές και μπλοκ. if-else. else-if. switch. Βρόχοι – while και for. Βρόχοι –do-while. break και continue. goto και ετικέτες. Κεφάλαιο 4. Συναρτήσεις και δομή του προγράμματος Τα βασικά στοιχεία των συναρτήσεων. Συναρτήσεις που επιστρέφουν μη ακέραιες τιμές. Εξωτερικές μεταβλητές. Κανόνες εμβέλειας. Αρχεία-επικεφαλίδες. Στατικές μεταβλητές. Μεταβλητές register. Δόμηση σε μπλοκ. Απόδοση αρχικών τιμών. Αναδρομικότητα. Ο προ-επεξεργαστής της C.

Κεφάλαιο 5. Δείκτες και πίνακες Δείκτες και διευθύνσεις. Δείκτες και ορίσματα συναρτήσεων. Δείκτες και πίνακες. Αριθμητική διευθύνσεων. Δείκτες χαρακτήρα και συναρτήσεις. Πίνακες δεικτών και δείκτες που δείχνουν δείκτες. Πολυδιάστατοι πίνακες. Απόδοση αρχικής τιμής σε πίνακες δεικτών. Δείκτες και πολυδιάστατοι πίνακες. Ορίσματα γραμμής διαταγών. Δείκτες σε συναρτήσεις. Περίπλοκες δηλώσεις. Κεφάλαιο 6. Δομές Τα βασικά για τις δομές. Δομές και συναρτήσεις. Πίνακες δομών. Δείκτες σε δομές. Αυτό-αναφορικές δομές. Αναζήτηση σε πίνακα. typedef. Ενώσεις. Πεδία bit. Κεφάλαιο 7. Είσοδος και έξοδος Πρότυπη είσοδος και έξοδος. Φορμαρισμένη έξοδος – printf. Λίστα μεταβαλλόμενου πλήθους ορισμάτων. Φορμαρισμένη είσοδος –scanf. Προσπέλαση αρχείων. Χειρισμός λαθών –stderr και exit. Είσοδος και έξοδος γραμμών. Διάφορες συναρτήσεις.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Χώροι πιθανότητας. 2. Συνδυαστική ανάλυση. 3. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές. 4. Μέση τιμή διακριτών τυχαίων μεταβλητών. 5. Συνεχής τυχαίες μεταβλητές. 6. Πολυδιάστατες κατανομές. 7. Μέση τιμή και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. 8. Ροπογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις. 9. Τυχαίοι περίπατοι και διαδικασίες Poisson. Βιβλιογραφία:

P. Hoel, S. Port, και C. Stone, Εισαγωγή στη θεωρία πιθανοτήτων. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2002.

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Βιβλίο: C. L. Liu, Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2006. 1. ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Συνδυασμοί συνόλων. Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα. Mη αριθμήσιμα απειροσύνολα. H μαθηματική επαγωγή. Aρχή του εγκλεισμού και του αποκλεισμού. Προτάσεις. 2. YΠΟΛΟΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ Tο παράδοξο του Rusell και μη υπολογισιμότητα. Διατεταγμένα σύνολα. Γλώσσες. Γραμματικές δομής φράσεως. Tύποι γραμματικών και γλωσσών. 3. MΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Oι κανόνες του αθροίσματος και του γινομένου. Mεταθέσεις. Συνδυασμοί. Δημιουργία μεταθέσεων και συνδυασμών. Διακριτή πιθανότητα. Δεσμευμένη πιθανότητα. 4. ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ένα σχεσιακό πρότυπο για βάσεις δεδομένων. Iδιότητες των διμελών σχέσεων. Σχέσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις. Σχέσεις και δικτυωτά μερικής διάταξης. Aλυσίδες και αντιαλυσίδες. Συναρτήσεις και η αρχή του περιστερώνα. 5. ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Bασική ορολογία. Πολυγραφήματα και βεβαρημένα γραφήματα. Mονοπάτια και κυκλώματα. Eλάχιστα μονοπάτια σε βεβαρημένα γραφήματα. Mονοπάτια και κυκλώματα Euler. Mονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Tο πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Παράγοντες γραφήματος. Eπίπεδα γραφήματα. 6. ΔΕΝΔΡΑ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΑ ΤΟΜΗΣ Δένδρα. Δένδρα με ρίζες. Mήκη μονοπατιών σε δένδρα με ρίζα. Kώδικες προθέματος. Δυαδικά δένδρα αναζήτησης. 7. MΗΧΑΝΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Mηχανές πεπερασμένων καταστάσεων. Mηχανές πεπερασμένων καταστάσεων ως μοντέλα φυσικών συστημάτων. Iσοδύναμες μηχανές. Mηχανές πεπερασμένων καταστάσεων ως αναγνωριστές γλώσσας. 8. AΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Xρονική πολυπλοκότητα των αλγορίθμων. Ένας αλγόριθμος για την εύρεση ενός ελαχίστου μονοπατιού. Πολυπλοκότητα των προβλημάτων. Πρακτικώς επιλύσιμα και δυσεπίλυτα προβλήματα 9. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Χειρισμός αριθμητικών συναρτήσεων. H ασυμπτωτική συμπεριφορά των αριθμητικών συναρτήσεων. Γεννήτριες

συναρτήσεις. Συνδυαστικά προβλήματα. 10. AΝΑΔΡΟΜΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Aναδρομικές σχέσεις. Γραμμικές αναδρομικές σχέσεις με σταθερούς συντελεστές. Oμογενείς λύσεις. Eιδικές λύσεις. Oλικές λύσεις. Λύση με τη μέθοδο των γεννητριών συναρτήσεων. Aλγόριθμοι ταξινόμησης. Aλγόριθμοι πολλαπλασιασμού πινάκων.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Μαθηματική Λογική

Προτεινόμενο σύγγραμμα: Dirk van Dalen, Logic and Structure, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1980. Ύλη: Κεφ. 1: Προτασιακή Λογική.

Κεφ. 2: Κατηγορηματική Λογική. Κεφ. 3: Πληρότητα και εφαρμογές (Από 3.1 ως και 3.3). Θεωρία Συνόλων

Προτεινόμενο σύγγραμμα: Κarel Hrbacek and Thomas Jech, Introduction to Set Theory, Marcel-Dekker, Inc. New York,1984. Ύλη: Κεφ. 1: Eισαγωγή στα σύνολα.

Κεφ. 2: Σχέσεις, Συναρτήσεις, και Διατάξεις. Κεφ. 3: Το σύνολο των φυσικών αριθμών. Κεφ. 4: Πεπερασμένα και αριθμήσιμα σύνολα. Κεφ. 5: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Κεφ. 6: Πληθάριθμοι. Κεφ. 7: Διατακτικοί αριθμοί. Κεφ. 8: Άλεφς. Κεφ. 10: Η αριθμητική των πληθαρίθμων.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

Ορισμοί γραμμικού χώρου. Γραμμικές απεικονίσεις. Πίνακες, πράξεις πινάκων, πίνακες και γραμμικές απεικονίσεις Τάξη πίνακα, όμοιοι πίνακες. Λύση γραμμικών συστημάτων. Ορίζουσες, υπολογισμός, εφαρμογές στους πίνακες και στην λύση γραμμικών συστημάτων. Αναλλοίωτοι υπόχωροι, ιδιοτιμές ιδιοδιανύσματα. Θεώρημα των Caley-Hamilton, ελάχιστο και χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Διαγώνοποιήσιμοι, Τριγωνοποιήσιμοι. Κανονική μορφή Jordan. Γραμμικές μορφές, Δυικός χώρος. Διγραμμικές μορφές, τετραγωνικές μορφές Εσωτερικά γινόμενα. Ερμιτιανές και συμμετρικές απεικονίσεις. Ισομετρίες ορθογώνιες απεικονίσεις. Βιβλιογραφία: Σ. Ανδρεαδάκης, Γραμμική Άλγεβρα. Εκδόσεις Συμμετρία.

Αναλογιστικά Μαθηματικά

Πίνακες, Ένταση και Δείκτες Θνησιμότητας -Αναμενόμενη Διάρκεια Ζωής-Είδη Ατομικής Ασφάλισης -Αναλογιστική Παρούσα Αξία-Ασφάλιστρα και (τροποποιημένα) Αποθεματικά-Αξία Εξαγοράς-Τροποποίηση Συμβολαίων- Από κοινού ασφαλίσεις -Πολλαπλές Ασφαλίσεις- Μοντέλα πολλαπλών απαυξημάτων- Μοντέλα πολλαπλών καταστάσεων με Μαρκοβιανές Διαδικασίες. Αποθεματοποίηση στις γενικές ασφαλίσεις-Μέτρηση της έκθεσης στον κίνδυνο, συχνότητα και σφοδρότητα του κινδύνου. Βασικά χαρακτηριστικά ενός κινδύνου (rating factors), στοιχεία και μέθοδοι για τον υπολογισμό του ασφαλίστρου. Θεωρία credibility, αξιοπιστία κατά Bayes, πρότυπα αξιοπιστίας Buhlmann και Buhlmann-Straub. Αναλογιστικά πρότυπα και μέθοδοι εκτιμητικής συχνότητας-σφοδρότητας του κινδύνου- Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα στις Γενικές Ασφαλίσεις.

Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας, Στατιστική συμπερασματολογία θνησιμότητας, Διατομεακές μελέτες, Απογραφικά δεδομένα, Εξομάλυνση, Στατιστικά τεστ εξομάλυνσης, Παραμετρικά μαθηματικά πρότυπα θνησιμότητας, Μέθοδοι εκτίμησης της θνησιμότητας, κατασκευή πινάκα θνησιμότητας, μέθοδοι ομαλοποίησης θνησιμότητας, σύγκριση εμπειριών θνησιμότητας, κατασκευή πολλαπλού πίνακα αποχώρησης, μέθοδοι κατασκευής συντετμημένων πινάκων. Θεωρία, σχεδιασμός και δομή των συνταξιοδοτικών σχημάτων, στατιστικά στοιχεία και αναλογιστικές υποθέσεις, βασικές αναλογιστικές συναρτήσεις, βασικές έννοιες συνταξιοδοτικού κόστους. Μέθοδοι κοστολόγησης (συσσωρευμένης παροχής (accrued), πιστούμενης μονάδας (unit credit), προβεβλημένης παροχής (projected), ηλικίας κατά την είσοδο (entry age normal), τρέχουσας ηλικίας (attained age), συνολική (aggregate), γενικευμένες μέθοδοι κοστολόγησης, ανάλυση αναλογιστικού κέρδους/ζημίας. Σύγκριση των μεθόδων κοστολόγησης, ανάλυση ευαισθησίας, περιουσιακά στοιχεία και επενδύσεις ενός σχήματος, αναλογιστική παρακολούθηση ενός σχήματος. Βασικές αρχές της κοινωνικής ασφάλισης, αναλογιστική θεώρηση του διανεμητικού συστήματος και άλλων χρηματοδοτικών σχημάτων. Αντασφαλιστικά

σχήματα και μαθηματική μελέτη αυτών.

Πιθανότητα Χρεωκοπίας -Το κλασικό μοντέλο κινδύνου με εκθετικές ζημιές και με γενικές ζημιές-Το ανανεωτικό μοντέλο

κινδύνου – Συνθήκη Cramér-Ασυμπτωτικές σχέσεις. Εκτιμήσεις πιθανότητας χρεωκοπίας -Θεωρία Ακραίων Τιμών-

Οριακή Κατανομή ΜεγίστουΠεδία Έλξης Μεγίστου-Η κλάση των ομαλά μεταβαλλόμενων ουρών-Κατανομές με Βαριές

Ουρές-Η κλάση των υποεκθετικών κατανομών-Χαρακτηρισμός Υποεκθετικών Κατανομών. Χρεωκοπία με Υποεκθετικές

Ζημιές-Συνεπή Μέτρα Κινδύνου και στατιστικές τους εκτιμήσεις- Το Expected Shortfall και οι διαφορετικές του εκφράσεις.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

H. Föllmer, A. Schied, ‘Stochastic Finance-An Introduction in Discrete Time’, W. de Gruyter (2011).

C. Klüppelberg, P. Embrechts, T.Mikosch, ‘Modelling Extremal Events for Insurance and Finance’, Springer (1997).

H.U. Gerber, ‘Life Insurance Mathematics’, Springer –Verlag (1990)

C. Acerbi, D. Tasche, On the coherence of Expected Shortfall. Journal of Banking and Finance (2002) 26 (7) 1487-1503.

D. Tasche, Expected Shortfall and beyond. Journal of Banking and Finance (2002) 26 (7) 1519-1533.

Δ.Γ. Κωνσταντινίδης, ‘Θεωρία Συλλογικού Κινδύνου’, Μέρος Α', Εκδόσεις Συμμετρία (2011)

Δ.Γ. Κωνσταντινίδης, ‘Θεωρία Συλλογικού Κινδύνου’, Μέρος Β', Εκδόσεις Συμμετρία (2012)

Π. Χατζόπουλος, ‘Ασφαλίσεις Ζωής και Υγείας’, Συμμετρία (2007)

Π. Χατζόπουλος, ‘Μαθηματικά Ασφαλίσεων Ζωής’, Συμμετρία (2011)

Π. Χατζόπουλος, ‘Ανάλυση Θνησιμότητας’, Σημειώσεις – Πανεπιστήμιο Αιγαίου 2012

Π. Χατζόπουλος, ‘Μαθηματικά Γενικών Ασφαλίσεων’, Σημειώσεις – Πανεπιστήμιο Αιγαίου 2012

Α. Ζυμπίδης, ‘Αναλογιστικά Μαθηματικά Γενικών Ασφαλίσεων’, Εκδόσεις ΟΠΑ ΑΕ (2008)

Πιθανότητες

Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων. Ακολουθίες ενδεχομένων. Υποδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Υποδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Μέση τιμή και διασπορά τυχαίων μεταβλητών. Συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών. Ροπογεννήτριες, πιθανογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις. Από κοινού κατανομές, περιθωριοποίηση και υπό συνθήκη κατανομές, ανεξαρτησία. Συνδιακύμανση και συντελεστής συσχέτισης, επαναλαμβανόμενη μέση τιμή και διασπορά. Ακολουθίες τυχαίων μεταβλητών και είδη σύγκλισης και η μεταξύ τους σχέσεις. Ο ασθενής και ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών. Κεντρικό οριακό θεώρημα κατά Lindeberg – Levy. Λήμματα των Borel – Cantelli. Παράγωγος Radon-Nikodym, υπό συνθήκη μέση τιμή και οι ιδιότητες της.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

Κουνιάς Σ και Μωυσιάδης Χ, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι, Εκδόσεις Ζήτη 1999.

Κουνιάς Σ και Καλπαζίδου Σ, Πιθανότητες ΙΙ, Εκδόσεις Ζήτη 1995.

Δαμιανού Χ, Παπαδάτος Ν, Χαραλαμπίδης Χ, Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική, Εκδόσεις Συμμετρία

Capinski M and Kopp E, Measure, Integral and Probability, Springer – Verlag 2004.

Ross S, (μετάφραση Φελουζής Ε), Βασικές Αρχές Θεωρίας Πιθανοτήτων, Κλειδάριθμος 2012.

Στατιστική

Τυχαίο δείγμα. Στατιστική συνάρτηση και η έννοια της σημειακής εκτίμησης. Εκθετική οικογένεια κατανομών. Μέσο τετραγωνικό σφάλμα, αμεροληψία, επάρκεια, ελάχιστη επάρκεια, πληρότητα και ιδιότητα αναλλοίωτου εκτιμητριών. Αμερόληπτες εκτιμήτριες ομοιόμορφα ελάχιστης διασποράς και θεωρήματα Raο-Blackwell και Lehmann-Scheffe.

Πληροφορία Fisher. Ανισότητα Cramer-Rao. Εκτίμηση με τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας. Κεντρικό οριακό θεώρημα, μέθοδος δέλτα, ασυμπτωτικές ιδιότητες εκτιμητριών (συνέπεια, ασυμπτωτική κανονικότητα και αποδοτικότητα, ασυμπτωτική σχετική αποδοτικότητα), ασυμπτωτικές ιδιότητες εκτιμητριών μέγιστης πιθανοφάνειας. Εκτίμηση με την μέθοδο των ροπών. Εμπειρική συνάρτηση κατανομής και το θεώρημα Glivenko-Cantelli. Εκτίμηση με διάστημα. Διαστήματα εμπιστοσύνης ελαχίστου μήκους και ίσων ουρών. Χωρία και φράγματα εμπιστοσύνης. Διαστήματα εμπιστοσύνης για παραμέτρους κανονικών πληθυσμών. Ασυμπτωτικά διαστήματα εμπιστοσύνης. Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων και έλεγχοι σημαντικότητας. Το λήμμα Neyman-Pearson και ισχυρότατοι έλεγχοι. Η ιδιότητα του μονότονου λόγου πιθανοφανειών και ομοιόμορφα ισχυρότατοι έλεγχοι. Αμερόληπτοι ομοιόμορφα ισχυρότατοι έλεγχοι. Έλεγχος υποθέσεων για παραμέτρους κανονικών πληθυσμών και διωνυμικά p. Σχέση μεταξύ διαστημάτων εμπιστοσύνης και

ελέγχων υποθέσεων. Το τεστ πηλίκου πιθανοφανειών. Μη παραμετρικά τεστ καλής προσαρμογής χ2

και Kolmogorov-Smirnov. Στατιστική κατά Bayes: Το θεώρημα του Bayes, Prior και posterior κατανομές, ανταλλαξιμότητα, επάρκεια και πιθανοφάνεια στη στατιστική κατά Bayes, prior και posterior predictive κατανομές, συζυγείς prior κατανομές, prior κατανομές του Jeffreys, μη πληροφοριακές και improper prior κατανομές. Θεωρία αποφάσεων: κανόνες απόφασης, κλασικός κίνδυνος, εκ των υστέρων κίνδυνος, κίνδυνος κατά Bayes, εκτιμητές Bayes και minimax. Διαστήματα αξιοπιστίας ή κατά Bayes. Απλή και πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση, στατιστική συμπερασματολογία, συσχέτιση, συντελεστής προσδιορισμού, ανάλυση καταλοίπων.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

1. Casella, G. and Berger, R. L. (2002). Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury Press.

2. Lehmann, E. L. and Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation, 2nd ed., Springer.

3. Lehmann, E. L. and Romano, J. P. (2005). Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer.

4. Van der Vaart, A. W. (1998). Asymptotic Statistics, Cambridge University Press.

5. Lehmann, E. L. (1999). Elements of Large Sample Theory, Springer.

6. Robert, C. P. (2007). The Bayesian Choice: From Decision - Theoretic Foundations to Computational

Implementation, 2nd ed., Springer.

7. Rencher, A. C. and Schaalje, G. B. (2008). Linear Models in Statistics, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc.

8. Ηλιόπουλος, Γ. (2006). Βασικές Μέθοδοι Εκτίμησης Παραμέτρων με Σημείο και με Διάστημα, Εκδόσεις

Σταμούλης.

9. Δαμιανού, Χ. και Κούτρας, Μ. (2003). Εισαγωγή στη Στατιστική, Μέρος Ι, Εκδόσεις Συμμετρία.

10. Δαμιανού, Χ. και Κούτρας, Μ. (1998). Εισαγωγή στη Στατιστική, Μέρος IΙ, Εκδόσεις Συμμετρία.

Στοχαστικές Διαδικασίες

Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των στοχαστικών διαδικασιών, ο τυχαίος περίπατος. Διαδικασίες Markov σε διακριτό χρόνο, εξισώσεις Chapman – Kolmogorov, ταξινόμηση καταστάσεων και στάσιμες κατανομές. Διαδικασίες Markov σε συνεχή χρόνο, διαδικασίες γεννήσεων – θανάτων. Διαδικασία Poisson και σύνθετη διαδικασία Poisson, διαδικασία Wiener και ιδιότητες. Διαδικασίες Martingale, υπό συνθήκη μέση τιμή, χρόνοι στάσης και επιλεκτική στάση (optional stopping theorem). Ο ορισμός της κίνησης Brown κατά Levy. Στοχαστική ολοκλήρωση κατά Ito και διαδικασίες Ito. Το Λήμμα του Ito και στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις. Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις τύπου Ornstein – Uhlenbeck. Αλλαγή μέτρου και το Θεώρημα του Girsanov.

Ενδεικτική βιβλιογραφία:

Γιαννακόπουλος Α, Στοχαστική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική, Σημειώσεις – Πανεπιστήμιο Αιγαίου 20042.

Κωνσταντινίδης Δ, Θεωρία Στοχαστικών Διαδικασιών - Τόμος Α΄, Εκδόσεις Σταμούλη.

Κωνσταντινίδης Δ, Θεωρία Στοχαστικών Διαδικασιών - Τόμος Β΄, Εκδόσεις Σταμούλη.

Brzezniak Z, Zastawniak T, Basic Stochastic Processes, Springer – Verlag 1999.

Ross S, Stochastic Processes, John Wiley 1996.

2 http://users.uoa.gr/~dcheliotis/stox_diadikasies_II.pdf

Stirzaker D, Stochastic Processes and Models, Oxford University Press, 2005.

Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

Αγορές Τίτλων σε Πεπερασμένο Χώρο και Χρόνο -Το Διωνυμικό Μοντέλο-Αντιστάθμιση Κινδύνου -Πλήρεις και Μη Πλήρεις Αγορές-Arbitrage-Ισοδύναμα martingale Μέτρα-Αποτίμηση Συγκυριακών Συμβολαίων-Αγορές σε Συνεχή Χρόνο-Πληρότητα, Arbitrage, local martingale μέτρα στο μοντέλο Black -Scholes-Αποτίμηση Παραγώγων σε πλήρεις και μη πλήρεις αγορές. Utility Pricing-Αριθμητικές Μέθοδοι-Σχήματα Euler-Τα Greeks-Το γενικό semimartingale μοντέλο και τα Θεμελιώδη Θεωρήματα Αποτίμησης Τίτλων-Βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου σε μία περίοδο-το Μοντέλο του Markowitz-Η VaR και το Expected Shortfall-Mean-VaR και Mean -ES βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου-Το CAPM-Βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου συνεχούς χρόνου. H Μ.Δ.Ε Hamilton-Jacobi-Bellman- Τα βασικά μοντέλα short-term interest rates και η μεθοδολογία Heath -Jarrow -Morton για καμπύλες forward rates.

Ενδεικτική Βιβλιογραφία:

14. I. Karatzas, S. Shreve, 'Methods of Mathematical Finance', Springer 1998

15. F. Delbaen, W. Schachermayer, A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Mathematische Annalen, 300 (1994) 463-520.

16. Z. M. Landsman, E.A. Valdez, Tail Conditional Expectations for Elliptical Distributions. North American Actuarial Journal 7 (4) (2003), 55-71

17. D. Revuz, M. Yor, 'Στοιχηματικές Στοχαστικές Διαδικασίες και Κίνησις Brown', Εκδ. Leader Books 2004

18. Μ. Musiela, M. Rutkowski, 'Martingale Methods in Financial Modelling', 2nd Edition, Springer 2005

19. B. Øksendal, Stochastic Differential Equations, 2003

20. H. Föllmer, A. Schied, ‘Stochastic Finance-An Introduction in Discrete Time’, W. de Gruyter 2011.

21. Α.Ν. Γιαννακόπουλος, 'Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση, Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική', Σημειώσεις -Παν. Αιγαίου 2004

22. Ι. Σπηλιώτης, 'Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις με Εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά', Εκδ. Συμεών 2004

23. Ι. Ψαρράς, Κ. Ζοπουνίδης, Π. Ξυδώνας, 'Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου' εκδ. Κλειδάριθμος.