' 4 Ж х х \4 v ' ч - bi ч'V '“ ' 5 Ч '’ V Ч U ^ ч 1 y S ^ S /пг / о ? -1 /, ,^ ( / , , < У>( x v Y о д / 'Ж у 'с а е >! Р': Йг>'ь?л-1й л > V / i ‘, л / / у , *< < , л '/ Ч > I ' / ' у J г/ '' / / л .Y X 'i •) I ' ' Г'’' 1 ' ,ty t , , -ч ' У w4 W< (. ^ л ^ ^и. ш и в ш и Ж К Л Х рЧ О Х ^У Ч ?''' ' ' '■ МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ сообще Щ Ц ^РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ м осковский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) >4 •М rrtr* Кафедра «Прикладная математика-1» шШШ: Е.Б. АРУТЮНЯН, Е.В. РОДИНА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА А MrtkXy Типовые расчеты для студентов специальностей АТС , УВМ и УИК гг Ж < А ' V ' ^ ,v4 л;-, ^ а \ V > 1 *чч> , v ч * ^ лч N ч V ' ' 'V N ,\ V •> ч А < ' ,ЧЧ ^ Ж '% ' ? У;ч 'АS ^W f ^ ,М |1 vw А 6 V //( „л >У % -0^1 ху >л ! 6% ^ЦШ фшу -' Z < ■ч >>Ш Х р чЧ' <\ ч ' ' о ,. “ч4'' <>’ V л,,, X ? \ ' f' \ л. / ''' , ^ <Чл г( ^х ^ 'Жл* ^р(КОХДЧ>Л>Хо^1Ч .^^°Х^УДУ>>1^ X -Л*" у И А ' <Г > ) ь ^ f* 1 ' ч <3 ЖуХАиЖ ШШ&4& уЧ / ^ * Ж^АЧА у < 'ч .|' ^ 'ч% ч ; “Х4'" f \у>у >л1 уч,и ^ х ч А а ч Ж '^ *>v а а ^ К w . f , л * ;?• > 4 j < / V 0^УХ У .А /\ ■>< ’ '> v4vXV4 /V *1 ^ ж , '1г \ \ч ' ' •> ! , I 'А ' ' л < < ;< 4'va^ , Xл , , <> \а > ^ \>< у ' ^ у : ш Уу МЫУ у $ у М МОСКВА - 2003 > Л А ' Ж X ч '!, ' 4Y / X 4 /V ^
44
Embed
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ …library.miit.ru/methodics/1815.pdfУДК 514 А 79 Арутюнян Е.Б., Родина Е.В. Аналитическая
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
' 4 Ж х х \ 4 v ' ч - b i ч' V' “ ' 5Ч ' ’ V Ч U ^ ч 1 y S ^ S
/пг / о ? -1 /, ,^ ( / , , < У>( x v Y о д / ' Ж у ' с а
е >! Р': Йг>'ь?л-1йл > V
/ i ‘,л / / у , *< < , л ' / Ч > I ' / 'у J г/ ' ' / / л . Y X ' i •)
I ' ' Г '’ ' 1 ' , t y t , , - ч 'У w 4
W< (. л ^
^ и .
ш и в ш иЖ
К Л Х р Ч О Х ^ У Ч ? ' ' ' ' ' '■
МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ с о о б щ е Щ Ц ^Р О С С И Й С КО Й ФЕДЕРАЦИИ
м о с ко в с ки й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)
>4
•Мrrtr*
Кафедра «Прикладная математика-1»
шШШ:Е.Б. АРУТЮНЯН, Е.В. РОДИНА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
А
M r t k X y
Типовые расчеты для студентов
специальностей АТС, УВМ и УИК
ггЖ <
А ' V '
^ , v 4 л ;-, а \ V> 1 * ч ч > , v ч* ^ л ч N ч V ' ' 'V N ,\ V •>ч А < ' ,ЧЧ Ж'% ' ? У;ч 'А S ^ W f ^ , М |1
vw
А 6
V / / ( „ л>У %-01 ху> л! 6%ЦШфшу-'Z <
■ч> > Ш Х рчЧ' < \ ч ' ' о ,. “ч4'' < > ’ V л ,,,
X ? \ ' f ' \ л. / ' ' ', <Чл г( х 'Жл *р(КОХДЧ>Л>Хо1Ч. °ХУДУ>>1
X - Л * " уИ А '
<Г > ) ь f* 1 ' ч<3
ЖуХАиЖШШ&4&
уЧ / ^
* Ж ^ А Ч А у <'ч .|' 'ч% ч; “Х4'" f \у>у >л1 уч ,и ^х ч А а чЖ '^ *>v а а^ К w . f , л * ;?• > 4 j < /V 0 УХ У.А /\ ■><’'> v4vXV4 /V *1 ^ ж, '1 г \ \ч ' ' •> ! , I'А' ' л < < ;< 4'va , X л , , <>\а
> \>< у ' у:шУуМЫУу$уМ
МОСКВА - 2003>
Л А
' ЖX ч ' ! , ' 4 Y / X 4 / V ^
М.У. Арутюнян Н. ВNo 1815 Аналитическая геометрия ,Д1
O ' ) I ' Т С . v - . . . . _
11 У I ГЛТ Г Ъ И /тн тр -Л i r ЧМ И И 7 )
Кафедра «Прикладная математика - 1»
Е.Б.Арутюнян, Е.В.Родина
АНЛИТИЧЕСК АЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Типовые расчеты для студентов
специальностей АТС, УВМ и УНК
0 0 8 2 1 7 5 и линейная алгебра|'()3
ТВЕННЫЙ
Утверждено редакционно-издательским
советом университета
Москва -- 2003
УДК 514 А 79
Арутюнян Е.Б., Родина Е.В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Типовые расчеты для студентов специальностей АТС, УВМ и УНК. М.: МИИТ, 2003. - 40 с.
Сборник содержит два типовых расчета по аналитической геометрии и один - по линейной алгебре. Предназначен для самостоятельной работы студентов специальностей АТС (курс «Высшая математика»), УВМ и УНК (курс «Алгебра и геометрия») в первом семестре.
Задание 1.Доказать, что точки А, В, С не лежат на одной прямой. Задание 2.Составить уравнения прямых, содержащих стороны треугольника АВС.Задание 3.Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.Задание 4.Определить взаимное расположение прямой М М 2 и прямых, содержащих стороны треугольника АВС.Задание 5.Составить уравнение прямой, содержащей медиану AM. Задание 6.Составить уравнение прямой, содержащей высоту СИ. Задание 7.Определить координаты центра тяжести треугольника АВС (точки пересечения медиан).Задание 8.Определить периметр треугольника АВС.Задание 9.Определить длину высоты СН.Задание 10.Определит ь площадь треугольника АВС.Задание 11.Определит ь углы треугольника АВС.Задание 12.Составить уравнение прямой А ’В ’, симметричной прямой АВ относительно точки С. Сделать чертеж,.
27. а) (X..3 )2 f (у i I )2 - 25; 28. а) (х 2)2 ! (у 3)2- 36;г г
о) : 1; 9 49
2 1-ч Х У ,о ) ..- | ....---1;
16 49. 2 2
в )Л ..* 1:16 49
2 гч У Х 1 в ) .............1;
4 36
29. а) (х+4)' 4 (у+2)
«)*
49; 30. а) (х+5ГНу..1)"
“>зг) х* = 8у
2..= 1;
г 2ч -1:6 )Л
64 16 36
- A l ;г 2
- ■ — - 1:в) ....64 4 25 '8у. г)х2:= 2у.
Задание 14.Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому вис>у и построить данную кривую в исходной системе координат. 'Указать формулы перехода от исходной системы координат к канонической.
1 cos (p sin (/> 2 sin (p1 1 125.p -------------. 26.p - ............'.....-... . 27.p~ - ...— =—..— .
2 - sin <p sin <p t cos <p cos <p + 2 sin <p
28. p = ...... .. ..- - .29. p - - .......5 .30. p = - ........— - cos (p i 3 sin <p cos (p - sin <p 2 cos (p л- 3 sin (p
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2 Плоскости н прямые в пространстве.
Поверхности второго порядка
Задание ЕДоказать, что точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости.Задание 2,Составить уравнения плоскостей, содержащих грани пирамиды Л BCD.Задание. 3.
Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D пирамиды параллельно грани АВС.Задание 4.Составить уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.Задание 5.Составить уравнение прямой, содержащей ребро CD. Задание 6.Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно ребру АС.Задание 7.Найти объем пирамиды ABCD.Задание 8.Найти длину высоты пирамиды ABCD, опущенной из вершины D.Задание 9.Найти площадь грани АВС пирамиды ABCD.Задание 10.Найти величину двугранного угла при ребре АВ.Задание 11.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно ребру АВ.Задание 12.Составить уравнение прямой, содержащей высоту DH пирамиды ABCD.Задание 13Найти координаты основания И высоты пирамиды ABCD , опущенной из вершины D.
Задание 2.Для данных матриц А. и В указать, какие из приведенныхопераций выполнимы, и выполнить их: Г) А i В; 2) А' + В; 3) А + В Т; 4) А Т + В Т; 5) АВ; б) А В; 7) АВ Г; 8) ВАГ-
В А Р И А Н Т Ы 3 А Д А Н И Я 2
Г2 1 ^ ' 0 -АЛ
1. А = 3 1 ; В = 13 2
1° 4 У V0 1 )(2 П
! 0 - 1'\'2 3 5'\
3. А = В = 6 21 3 4 / I
ч 2ч 3 J( 2 6 -Г ' - I 2 Зл
4. А ~ ; Я ■=V4 -1 4 V9 - 8 0J
' 0 - Г \ ' - 2 1 ''5. А ~ - 8 3 ? В 6 4
Л 1 / V 2 4
'3 - Г' 2 3 Г)
6. А ^ 13 0 в 1 - 2 0
,2 5 )\
(1 ~ 5 N'0 - 3 Г
7. А = в - 6 12.4 -3 5 УЧ I 3 4
9. А-
10. А--
11. А-
12. А:
13. А
14. А
f - 2 5 1л (3 6 - 4^в
к 6 - 5 Ь И - 8 5 j'5 -2 ^ (' 5 1 ^4 6
5 В - - б 2
Ь 0 , ч 1 - 5 ;
f 6 -
V
7 2v -3 4 j
/ 1 5 х-9 3-2 6
Г 6 - 2 х)3 7
V 3 5 j
(~ 5 ..3 7'?I 4 - 6 1,
f - 5 4 9 х[ - 2 б -1 )
В
в--
в
в
в
( - 2 5 2\4 1 О
( 2 3 >5 4
I - 5v '
"7 4
V.
2 49 8 1
1 2
-3 5 4 1
( 6 5 74 1 6
■'2 1 > ' 6 - 2']15. А = 7 .. 2 в = 7 1
ч5 " 4J , - 4 .з ,( - 4 5
16. Л = 6 4 -9 .2 ; В =
I - 3V 5 34 2
7x,i
17. Л ="2 - 3
И - 3
Г4 318. А =
v5 1
^-7 5"'19. Л = 10 3 ;
ч“ 4' ..7 2
20. Л = 9 3
Ч D - 4В .. 6 Г
21. ,4 = з 7 ;\к--5 V/ .6 1
п"7г» 4 94
f - 8 623. А =
- 4 9V
г -- 2 - 524. А =
, 6 3
(ъ 5 ^25. .4 : 4 - 2 ;
0Ч~ - 4 ./
■ 4\■в)’
В
В
В
\
( 1- 5 -2
( 51"2' - 3
6
2
7
/7
В
В
В
(5
- 59
7 J- 3 8 ")1 - 7о чл-,
~3
7 38 1/
' 2 67 3
1 4ч 1 ^7
'1 6 - 5 ^ч3 -1 6
' 3 - 1 )-3 4 !.
ч-7 1f - 2 4 - 5'j ч 5 1 - 7 J'' 8 2 ''
; 5 - - 5 6
Ч 1 - 3 ,
3 7 6 1/
27. А -
28. i4:
29. .4:
30. А
-2 5 - 4 \
3 2 - i f
{ 7, 514 б - 4
-7 51 6
f9 4 1 1 30 - 7
( 4 6 -41
v.3 1 -■ V7 3 4
8 _ 2
I 5' - 6 -7 - s '
V*( - 5
2
б >3 J
11 - 5
чЗ - 4 ;
- 3 --Г|
.3 -1 2 1'у
Задание 3.Для данной матрицы А найти обратную, если она существует, и установить, что А Л 1 ~ Е.
B A I ^ H A H T b l ..3 А Д А Н И Я..... 3
" 2 2 31 4 2 311. .4 - 1 1 0 ; 2. Л = 1 1 0
ч-1 2 1, чЗ 2 2;/'2 1 Г '2 3 4 Л
3. .4 = 4 б 5 9 4. ,4 = 1 2 3 ;
чЗ 5 4, ч1 3 6,
9.
11.
А
4 =
А ---
ч 0 П 4 7 100 1 2 \ 6. н 1 1 ;>
V* 2 4,!V2 .3 1,
Ч 3 2^ j'2 1 4 х4 3 2 8. /4 = 3 2 4 5
I 29А- Ч 2 1/
Ч 2 1' а 2 - 3N5 3 2 ? 10. <4 = 3 2 .. 4
1з 2 V 2 1 0 ,
( 22 7 1 (6 - 3 4 '
- 3 - 2 5 ; 12. ,4 = 4 4 •3
V 4 3 -1, U ..4 4
*+ ^ Z,13. 4 = _ 2 4 3 5 14. 4 - 2 4 1
4ч 5 5, 3ч 2
' 6 5 5 1 ч 5 5Л15. А = 2 6 7 ? 16. 4 = 4 5 4
4- з Ю ч_ V3 4 5JЧ 2 4 ' Ч 1
17. А 5 3 - 2 9 18. 4 = 4 А
! ~> Ч 1 - 5 j ч 2
Ч 1 3' ч 4 Г19. А - 5 - 2 2 •) 20. 4 = 1 3 4
ч2 2 з , I 2 5 6;( 5 3 1 " ' 9 4
21. /1 ■■ 1 - 5 - 2 ; 22. 4 = - 5 - 2
V-5 2 1 / I 2 1
т \
•54
'2 - 3 15
23. А = 4 - 5 2 ;- 7 3J
'2 6 3"25. А - 3 2 3 ?
ч4 3 4 J'3 - 1 ?л
27. А = 4 - 3 30 2 )
Г 4 329. А ■ 2 3 > •
ь 5 ~ 4 /
'1 1 124. А = - 1 8 10
. 4-1 ....2
( 2 1 - Г26. 2 1 - 2 ?
1з 2 - 2j
(1 0 П28. А - 1 1 1
U 3 1у
Г 1 2 2 \
30. 3 2 -1, ~ 2 1 5
Задание 4.Решить систему уравнений 1)методом Крамера; 2)в матричной форме.
В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я .._4
2х + v - г = 5 X ~ у 4 2 ~ 6
1.- Зх 4 3 v - 2z = 8. 2.- X - 2 / 4 2 = 9.X -4- у 4- 2 = 6
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной ал
гебры и аналитической геометрии. - Ростов-на-Дону,
«Феникс», 1997.
2. Кпетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геомет
рии. - М.: Наука, 1998.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.
- М.: Наука, 1970.
Учебно-методическое издание:
Арутюнян Елена Бабкеновна Родина Елена Викторовна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Типовые расчеты
Сдано в печать -17, 09 , 03 , Тираж - £00,Усл.-печ. л.-3,5, Формат - Цена - 16/*>•/£, ООагп.Изд. № 3 U Z ~ 0 3 , Заказ ~ /OFO ,
127994, Москва, ул.Образцова, 15 Типография МИИТа
/ 1Г/ У У . { 1 (/УЛ v > / ^ ч Л >лУ Х у
'уХ'/ЛЗУУ; 1 >Ъ>У$9ШУ <v ^ ч ЩШу к
'Ш ш Ф к ж ш ; V Л ■Пу$ М ууж и4 t4 'лЧ 'Ч я Чя^у'Л у'Ч П , Л ;Ш 0Ш ф ¥0Ш |д а я $
ж Ш ш 'ЛЛЯяХЧХ ф У ук 'Г ' А Г У Я ^ Я Р v ^ \ j ^> bs, vqv 4 у . ?■ Л Л Я \
> ' !я лу * J w ЧУ
tJ Чу X ' АГ '" v X t' i;
л \•J ? у
v>Л л ' чч - ^/ у
Л ^ л $'. у ч у \1 у
A y iV f A у ^ Я Х
Л ч Л'> Л У П х уШ‘Ф
Л '
; /
■$X
$ $ -
■ $ $
> & &
>л\
Л
в $мЙЙ>МfexS
х \
\* <Я Ч Ч ^ Ч Х >
Л Ч Ч< л
л Vs
> я
\ $$Л Л ч )> ^ уN 1 л к
\ У О <
Х А :> ы < ш < &1 »
х л # ; а ж
Ш Г
ЧААЧАЯуЯЯ . . . „ л л \ ' v ь
У У ЧХ Аs V i ч
/ 1'ШщУ
У
VЧЯлЯ
А Я , А у\ 'jA у ^f •> \ч J
4Шо'%У,
уЛ v < '
v ; М \< \ , . А '
Л Л
\
Ч ч > '5 # ^ > & Х Ф ^ у л ’ > А) л
Ау ч 1»> Ч?П У)*-»
h >ь л ‘ч л< v f У > ъ
} У ; А
K vЛшхЧ
У / ш $у У ,
,у > уУ ШУ У о У
Ч / У У‘ф М у ‘У У У У
Ч *л
У ф -Щ )
У ФуМ У % | Ш >
| | 1
7 Л
у лщ М
i n iч чАЯ Л у я
>УУу
’ШШ<Н$8Щ9К '»ЧйЧППл'хППм''ПкПяП>'
у . >> Ч v ч \ 4 чч<,Ш
, J V ' ' ч •» ч N
fV > ^ ^ '4 '^ ' л Чч; in wXЛ ? Я Ч Я Л \ / 5Р
j s }' J х 4 v ^ ' Х А у к уV ^ ^Гч*ЧМ*$ Шw M
, К ] '№ 'П>ЧП %У v w П'мсП 8 >^ K w W R ' w i »
“ .ОУч
Л у'-ПЧ
\ж
Л а л
Л ч
>v ЧЧ '•V ow$4 4 fУ f >S \y4#V
^ Ч о '/у
< У > / ! у
у Чу Ь ,
f1 Л У
' " ' ч Л / 'у / >y/v
'“ *>" -^ЧЧЧ^лЧЧ4Ч<П|ЧЧЧ)у I'' у А Л Л А Л Л
чЛу$хЧЧЧ
' у > у ж е' У у ’ 1' 1,/ , ,« У у V V Л ' у У ' / } Л <1 !
> У ' у ' < УУ > / у<у<л Х,'у
X Ч Ло х с , Л л : о Ч ( ) У 1ч
/ ‘ Ла Л
'Ч А
х гv ( JW\ Ч л
У ‘ / 41 ГУ
Л г ^ чу4
уЛЛО‘Х.ХЛЛчЛ'Л;'ЛАХ'<ХхХ‘ЛЯЙХ'й ж Ж М А » # ^ !^ЛП‘лЧ%-, Л5лШлЧчПчППЧПЗЧчЧ лллучЧя ЛйХуЛШ«ЯйУо‘«,лЛЛчЧЧ9ЛХ ЧчЧяЧЧШЛляЧуХАА'ШхяЧлМлкххЧ ЧляХуЛч'уЛуЯуЛуЧуЧчШУЯЯлУ Я Л ,у^Я 'Л Л )% Ж Л ;^Л > 7 (^ л®,у>,уЛ9Чшл1лйЧ<яуЯя АР>ЯХчл)ЛуХфЛгЛЧЛХХКЧЧяЧЧчЧлЧлЧЧЧлляау'ЧяЧ ЧЯЧхяллхуЯляЛЧЛлЛу(ЯччдаЛя8яЛЛЯ«ЯЛЛ^ЯоЯ7&Л('1' ЩУШУУУШаш 'УууаФущ1щ(у^Ф м у ^ Ф Ф М ш ^
ЯЛуЯ1':»9Хлж^Л9>ЯлХЧ^^;)о>ИлЛлЧЛ яПЧхяЯлЧ ЧЬуЧлЯхУлЛХлЛ№'Ла 4Xx<4'vA4y4$xwy44w4w/( <u4Щ Ш Ш м м ю> Л ч-Я Я Л Ж Л Я уЛ ^ йХ(Я'{ЛМлЛаЧХх1ЯЯЧЛу>Л V ЛЧЧ iy Л' ч ; <улЧ' Хл " Л тш-
уу уу Яу / а'у Я ,чЯЛ 'S s ч у ЛЯа ' Уу' Ч УЛЯ . Лу Яу > У' я лч Ч Ч я Ч Н 'V ' чЧ> лхш А
Ч \ л
^ЧЯладЧкууу^ k ^ i ’X ^ y y y ' - -'У vwfi'^V ЧЧ'» < *
Л у Л ? ч .." У У Xя П'
- Ч ч Ч х П . ? у у 7я <ч >у 4jXv УШШтч Ж Ч ;ч> я м , Л V