О. Я. Біляніна, Г. І. Білянін, В. О. Швець · 2018. 4. 22. · Раціональні нерівності та способи їх розв’язування.

О. Я. Біляніна, Г. І. Білянін, В. О. Швець

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти(профільний рівень)

КиївГрамота

2018

ISBN

Біляніна О. Я.Алгебра і початки аналізу (профільний рівень) : підруч. для

10 кл. закл. загальн. середн. освіти / О. Я. Біляніна, Г. І. Білянін, В. О. Швець. — К. : Грамота, 2018.

ISBN

3

Шановний старшокласнику!

Набувши певної компетентності, ти її застосовуєш, зазвичай, не аналізу-ючи, як отримав. Математична компетентність є якісним інструментом для розв’язування різних життєвих прикладних задач. Вона розвиває розумо-ві якості, покращує можливості концептуального та абстрактного мислен-ня, формує здатність концентруватися, тренує пам’ять, підсилює швидкість мислення, розвиває інтелектуальні здібності, складає основу для успішного вивчення інших предметів.

Цей підручник містить новий курс математики, який називають «Алгебра і початки аналізу», об’єктами вивчення якого є методи дослідження, що ма-ють широкий спектр застосування у різних галузях науки, виробництва та побуту. Інакше кажучи, цей курс є необхідною потребою для кожної моло-дої людини, незалежно від того, ким вона стане у майбутньому: робітником, механізатором, лікарем, учителем, банкіром чи бізнесменом, військовим чи ученим. Адже у ньому вивчають змінні величини: формування понять – функція, границя, похідна, інтеграл; через дослідження – здійснення гра-ничних переходів; для удосконалення розвивального засобу – диференціаль-не та інтегральне числення.

Навчально-практичний матеріал підручника відповідає програмі про-фільного рівня навчання. Підручник поділено на п’ять модулів, кожний з яких має однакову структуру: назва модуля, його короткий зміст та очі-кувані результати; параграф – теоретичний матеріал, зразки застосування (розв’язання і коментар «Чому саме так?»), рівневі вправи (позначення: «°», «°°», «•», «••», «*»); рубрику «Задачі – компетентність», зміст яких орієнтова-ний на вибір проекту для учнівського дослідження, формуючи ключову ком-петентність – здатність застосовувати знаннєву компоненту алгебри і почат-ків аналізу; рубрику самоосвіти – «Читай більше!» та «З літопису алгебри»; рубрики самоконтролю – «Запитання для самоконтролю» (теоретична го-товність) та «Тест для самоконтролю» – завдання у тестовій формі за євро-пейською технологією (практична готовність). Окремі складніші параграфи (задачі) профільного рівня навчання мають позначки «*». Нумерація вправ подвійна (1.23°): 1 – номер модуля і 23° – номер вправи початкового рівня складності. Задачі початкового та середнього рівнів подано в тестовій формі з метою обговорення ситуацій та проведення тренінгів підготовки до зовніш-нього незалежного оцінювання.

Мабуть, ти розумієш, вибравши профільний рівень навчання, що мате-матика не є штучною наукою, вона виникла з потреб людини. Цю думку аргументовано підтверджують слова знаменитого вченого Ісаака Ньютона: «Алгебра є не що інше, як математична мова, пристосована для позначення відношень між кількостями».

Бажаємо тобі успіхів у цікавій та нелегкій праці – навчанні.

З повагою, автори

Пильне, глибоке вивчення природи є джерелом найбільш плідних відкриттів у математиці

Ж.Фур’є

МОДУЛЬ 1

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

5

Короткий зміст модуля Поняття множини, операції над множинами Поняття числових множин Операції над числовими множинами Перетворення звичайного дробу у десятковий та навпаки Нескінченні періодичні та нескінченні неперіодичні

десяткові дроби Множина дійсних чисел Функції та їх властивості: парні і непарні, періодичні,

взаємно обернені, складені Графіки основних видів функцій та їхня побудова за допомогою

геометричних перетворень відомих графіків функцій Ділення многочленів. Застосування теореми Безу

та наслідків з неї до розв’язування рівнянь. Схема Горнера Раціональні нерівності та способи їх розв’язування.

Метод інтервалів Рівняння і нерівності, що містять знак модуля Рівняння і нерівності з параметрами

Опрацювавши цей модуль, ви дізнаєтеся:• як визначають множини та як їх записують;• яка множина є підмножиною іншої множини;• як ілюструють поняття підмножини кругами Ейлера;• які операції виконують над множинами;• яка множина є порожньою та як шукають переріз

і об’єднання з нею;• як зображають на діаграмах чи числовій прямій об’єднання

і переріз множин;• які множини називаються числовими;• як і в яких випадках користуються різними способами

задання функцій;• як формулюють означення числової функції, зростання і спадання

функції, парності і непарності функції;• як знаходять область визначення функціональних залежностей,

значення функцій при заданих значеннях аргументу та значення аргументу, за яких функція набуває певного значення;

• як досліджують властивості функцій, заданих аналітично, та використовують одержані результати для побудови графіків функцій;

• як встановлюють за графіком функції її основні властивості;• як виконують і пояснюють перетворення графіків функцій.

МОДУЛЬ 1. Функції, многочлени, рівняння і нерівності

6

§ 1.1. Множини. Числові множини1. Поняття множини та її елементів. Підмножина. Поняття множи-

ни належить до первісних понять математики, якому не дається означен-ня (неозначуване). Тобто множину можна тільки уявити як сукупність, ко-лекцію, набір деяких предметів: зібрання, склад, компанія, колектив, клас, ансамбль, об’єднана територіальна громада – деякі сукупності людей. Ана-логічно для опису сукупностей інших предметів у побутовій мові використо-вують слова: зграя – птахів, звірів; рій – комах, бджіл; стадо – сукупність тва-рин; отара – овець; букет – квітів; мережа – банків, офісів; колекція – марок, антикваріату; асортимент – меблів, продуктів, овочів, фруктів; склад – чле-нів журі, футбольної команди, учнів класу, мешканців будинку тощо. Отже, кожною такою назвою визначено «об’єднання предметів» за певною характе-ристичною ознакою чи ознаками.

У математиці такі об’єднання предметів замінили одним універсальним словом – «множина». Тому кажуть: множина птахів, множина звірів, мно-жина комах, множина квітів, множина зірок на небі, множина планет Со-нячної системи, множина елементів таблиці Менделєєва, множина програм Windows, множина офісів з обслуговування мобільних телефонів, множи-на державних банків, множина учителів гімназії, множина учнів гуртка «Юний математик», множина розв’язків біквадратного рівняння, множина точок прямої (промінь, відрізок, інтервал), множина значень змінної, що за-довольняє деякий вираз (область визначення) і т. д.

Предмети, з яких складається множина, називають елемента-ми цієї множини. Їх у множині може бути скінченна або нескінченна кількість. Тому множини відповідно називають скінченними або не-скінченними. Наприклад, відомо, що елементами множини паперових купюр грошової системи України у 2018 році є: «1 гривня», «2 гривні», «5 гривень», «10 гривень», «20 гривень», «50 гривень», «100 гривень», «200 гривень», «500 гривень». Така множина складається із 9 елемен-тів (купюр), тобто скінченна. Чи пораховані зірки на небі? Ні, їх не-скінченна кількість. Множина точок на прямій також має нескінченну кількість елементів, тому є нескінченною. Нескінченних, як і скін-ченних множин, – багато.

Множини позначають великими літерами латинського або грецького ал-фавіту A, B, C, X, Y, …, а елементи множини – малими літерами {a, b, c, d, …, α, β, γ, …}. Символи «{«, «}» (фігурні дужки) використовують у записі множи-ни, коли її задають перерахуванням елементів.

Щоб коротко записати твердження: «елемент належить множині», вико-ристовують символ «∈», а твердження: «елемент не належить множині» – символ «∉». Наприклад, AdAa ∉∈ , читають: « a належить множині А», або ∈a {a, b, c}, ∉d {a, b, c} читають: « d не належить множині А».

Множина вважається заданою, якщо перераховані всі її елемен-ти або вказана характеристична властивість, яка дозволяє суди-ти про те, належить такий елемент множині чи ні. Отже, множи-

§ 1.1. Множини. Числові множини

7

ну задають двома способами: перераховуючи її елементи або описуючи властивості її елементів, тобто характеристичні властивості. Наприклад:

1) перелік: «елементами множини В є чотирикутник, трикутник і коло», тобто В = {4, 9, 5};

2) опис: «множина K складається з усіх парних чисел» – вказують ха-рактеристичну властивість її елементів: кожне число, що належить цій множині, ціле і ділиться на два». Записують це так:

K = {х∈Z|x2}, де фігурні дужки – запис множини; символ «∈» – належ-ності; позначення цілих чисел – Z, вертикальна риска «|» замінює слова «та-ких, що», символ « » – подільність націло. Скорочений запис можна читати: а) множина К – це множина цілих чисел х таких, що кожне з них націло ділиться на 2; б) К – множина цілих чисел, які діляться на 2; в) К – множина парних цілих чисел.

Дві множини А і В називають рівними (А = В), якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини А належить множині В і, навпаки, кожний елемент мно-жини В належить множині А.

Тобто множина складається з елементів і не залежить від упорядкуван-ня їхнього запису, окрім того, у множині елементи можуть повторюватися. Наприклад, множину, що містить три елементи a, b і c, можна записати 6-ма різними способами: {a, b, c}={a, с, b}={b, а, с}={b, с, а}={с, а, b}={с, b, а}. Оскільки з означення рівності випливає, що {a, b, c}={a, a, b, c}={a, с, с, с, b}={b, b, а, а, с, с}, то надалі розглядатимемо множини, які містять тільки різні елемен-ти. Наприклад, розглянемо підприємницьку ситуацію деякого приватного магазину, в якому на початку вересня залишилося в продажу літнє взут-тя усіх розмірів від 35 по 44, за винятком 38 і 43, причому 35 і 44 розміру залишилося по 2 пари. Математично це можна змоделювати за допомогою множини. Позначимо Х = {35, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 44, 44}. Тобто така мно-жина відображає увесь залишок взуття, однак рівна їй множина Y ={35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 44} відображає наявність взуття за розміром. Множини Х та Y рівні (Х = Y), оскільки кожен елемент множини Х належить множині Y і, навпаки, кожен елемент множини Y належить множині Х. У подальшому будемо розглядати тільки множини з різними елементами, типу Y. Тобто, за до-мовленістю, множина букв слова «математика» матиме не десять елементів {м, а, т, е, м, а, т, и, к, а} (усі букви слова), а шість: вигляд {м,а,т,е,и,к} (букви слова названі один раз).

Якщо сортувати взуття за характеристичними властивостями (модель, жіноче, чоловіче тощо), то отримаємо окремі партії – множини. Наприклад: 1) А = {35, 36}, 2) В = {35, 36, 37, 39}, 3) С = {40, 41, 42, 44}. Очевидно, що кожна така множина вміщає елементи, які містить множина Х. Множини А, В і С на-зивають підмножинами множини Х.

Множина А називається підмножиною множини В, якщо ко-жен елемент множини А є елементом множини В.


8

Тобто множина А є підмножиною множини В, однак множина В – не є під-множиною множини С і, навпаки, множина С не є підмножиною множини В.

Факт – «у магазині немає в залишку взуття 38-го розміру» математич-но подають як деяку множину М, що не має жодного елемента. Познача-ють: М = ∅.

Множини, які не містять жодного елемента, називають порожніми. Сим-вол «∅» використовують для короткого запису порожньої множини. Однак множина К={{∅}} не є порожньою, оскільки вона містить один елемент –{∅}.

Зауважте! {π}≠{{ π }}, адже множина {π} складається з одного елемен-та – числа π, а множина {{π}} складається з одного іншого елемента – мно-жини {π}, тому вони різні.

Отже, множина може складатися з одного, двох, скінченної, нескінченної кількості елементів, або не мати жодного.

Для запису підмножини використовують символи: «⊂ » або «⊃ » (є підмно-жиною); «⊄ » (не є підмножиною); «⊆ » (підмножина або дорівнює). Тобто сим-вол «⊂ » – визначає строге включення, а символ «⊆ » – нестроге. Якщо BA⊂ , то читають «множина елементів А міститься у множині В», а якщо BA⊆ , то читають «множина А міститься у множині В або дорівнює множині В». За вище наведеними прикладами, записи мають вигляд:

.,,,,,,,,, BCCBYCXCYBXBBAYAXAYX ⊄⊄⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂=

Зауважте! Порожня множина є підмножиною для будь-якої множини (∅⊂А). Кожна множина є підмножиною самої себе (А⊆А, В ⊆ В, …).

Нестроге включення має такі властивості:1) А⊆ А (рефлексивність);2) якщо А⊆В і В ⊆А, то А = В (антисиметричність);3) якщо А⊆ В і В ⊆ С, то А⊆ С (транзитивність).

Приклад 1. Запишіть усі підмножини множини А = {1, 2, 3}.Розв’язання Чому саме так?

{ } ;,1 11 AAA ⊂=

{ } ;,2 22 AAA ⊂=

{ } ;,3 33 AAA ⊂=

{ } ;,2,1 44 AAA ⊂=

{ } ;,3,1 55 AAA ⊂= { } ;,3,2 66 AAA ⊂= { } ;,3,2,1 77 AAA ⊂=

=8A ∅.

Підмножинами заданої мно-жини А можуть бути лише такі множини, які склада-ються з елементів множини А. Окрім того, порожня мно-жина є підмножиною кожної множини, у тому числі й заданої множини А.Оскільки кількість елементів множини А дорівнює 3, то підмножина може містити не більше трьох елементів: один, два, три.

Відповідь:{ } { } { } { } { } { } { },3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1 {∅}.


9

2. Потужність множини. Розвиток поняття про число. Нату-ральні числа

Математика вивчає кількісні відношення і просторові форми ре-ального світу. Основним знаряддям вивчення кількісних відношень ре-ального світу є число. Тому поняття числа було і є одним із фундаменталь-них понять математики. Насамперед з’ясуємо, що таке натуральне число. Для цього введемо поняття еквівалентних (рівнопотужних) множин.

Дві множини називають еквівалентними (рівнопотужними), якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність. Тобто кожному елементу однієї множини поставити у відповідність один і тіль-ки один елемент другої множини і, навпаки, кожному елементу другої множи-ни поставити у відповідність один і тільки один елемент першої множини.

У кількісній теорії розглядають натуральне число як кількісну харак-теристику деякого класу скінченних еквівалентних між собою множин, тобто як те спільне, незмінне (інваріант від латинського invarians – незмінний), що характеризує всі множини такого класу (незалежно від природи їх еле-ментів). Наприклад, число п’ять (5) – кількісна характеристика всіх множин Х, еквівалентних множині пальців однієї руки, позначають n(Х) = 5. Число нуль (0) є кількісною характеристикою порожньої множини – множини, що не містить жодного елемента, тобто n(∅) = 0. Множину усіх можливих цифр характеризує число 10, тобто, якщо В = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, то n(В) =10; множину днів тижня С характеризує число 7, тобто n(С) = 7. Отже, кожна множина має певну кількість елементів. Якщо дві множини мають однако-ву кількість елементів, то між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність. Скінченні множини, які мають однакову кількість елементів, визначають певний клас еквівалентності. Всі одноелементні множини утво-рюють один клас, двоелементні – другий і т. д.

Потужністю множини такого класу називають деякий інваріант, який відрізняє множину цього класу від інших множин.

Зауважте! Такий інваріант називають натуральним числом, що відпо-відає такому класу еквівалентних множин. Наприклад, у школі є п’ять класів по 28 учнів, чотири – по 29, три – по 32, два – по 30, один – 37, один – 22, Тобто натуральні числа 22, 28, 29, 30, 32 і 37 визначають потужність еквіва-лентних множин учнів певних класів.

Отже, кожне натуральне число – це потужність (чисельність, кількість елементів) множини деякого класу еквівалентних скін-ченних множин. Із останнього твердження стає зрозумілим означення, яке ми подавали раніше, у молодших класах: «натуральними називають-ся числа, які використовуються під час лічби».

Кожному класу еквівалентних скінченних множин відповідає одне і тіль-ки одне натуральне число і, навпаки, кожному натуральному числу відповідає один і тільки один клас еквівалентних скінченних множин. Тобто для кількісно-го порівняння нескінченних множин використовують інструмент взаємно-одно-значної відповідності, замінюючи поняття «кількість» на поняття «потужність».


10

Приклад 2. Дайте кількісну характеристику множини двоцифрових чи-сел, кратних 3.

Розв’язання Чому саме так?Якщо A = {10,11,12,…99},

то n(A) = 90, оскільки мно-жина має 90 елементів, причому кожний 3-й з них ділиться на 3.

Якщо B = {12,15,18,…99}, то n(В) = 30, тобто множина має 30 елементів.

Відповідь: 30 елементів.

Об’єднуючи певні класи чисел у мно-жини, підраховують їхню кількість. Тому спочатку можна визначити кількісну характеристику множини двоцифрових чисел, а в ній – кількісну характеристику множини чисел, кратних 3.

А можна одразу виписувати елементи множини В, зауважуючи, що вона моделює послідовність чисел, які є арифметичною прогресією (an), де a1 = 12, an = 99, d = 3.

Оскільки n-ий член арифметич-ної прогресії шукають за формулою an = a1 + d(n – 1), то 99 = 12 + 3(n – 1), звідки

n 1 399 12

29- =-

= . Отже, n = 30, тобто n(В) = 30.

Над множинами, як і над числами, виконують дії додавання, віднімання, множення (дії, результати яких не міняють множин, яким належать компо-ненти (числа). Такі дії з множинами називають операціями і на цьому ми зупинимось пізніше.

3. Числові множини. Множина дійсних чисел. Число, як і множина, є первісне математичне поняття, якому не дають означення (неозначуване). Число – основне знаряддя кількісних відношень і просторових форм реаль-ного світу, які вивчає математика. Тому це поняття було і є одним із фунда-ментальних понять у математиці. У п. 2. введено опис натурального числа. Усі числа, з якими ви працювали у шкільній математиці, розбивають на чо-тири множини:

1) множина натуральних чисел (N);2) множина цілих чисел (Z);3) множина раціональних чисел (Q);4) множина дійсних чисел (R).У множині натуральних чисел можна ввес-

ти тільки дві операції – додавання і множен-ня. Це пов’язано з тим, що під час відніман-ня (ділення) отримують число, яке не завжди є натуральним, наприклад: 12 – 15 = –3, 12 : 15 = 0,75.

У множині цілих чисел визначені три опе-рації (додавання, віднімання і множення), у результаті яких завжди отримують ціле чис-ло. Однак операція ділення у цій множині не


11

завжди визначена: на 0 ділити не можна; 2 : 5 = 0,4 (не ціле число). Розв’я-зування практичних задач, пов’язаних з діленням і вимірюванням величин, привело до необхідності розширення множини цілих чисел – введенням дробових чисел. Цілі і дробові числа складають множину раціональних чисел (Q – скорочене позначення). Зупинимось на деяких їхніх закономір-ностях та властивостях, які нам доведеться часто використовувати.

Раціональними числами називають числа виду np

, де р – ціле число, n – натуральне.

Такі числа інколи називають ще дробами, при цьому р – чисельник дробу,

а n – знаменник. Якщо р = 0, n ≠ 0, то дріб існує і 00n = , тобто 0 – раціональ-

не число. Однак, якщо n = 0, то при будь-якому цілому значенні р дріб 0p

не існує, оскільки на 0 ділити не можна!

Отже, множина усіх дробів виду np

, де р – ціле число, n – нату-ральне, утворює множину раціональних чисел Q. У такий спосіб мно-жина раціональних чисел включає усю множину цілих чисел, оскіль-ки кожне ціле число можна записати у вигляді дробу, знаменник якого дорівнює 1. Окрім того, кожний дріб виду n

p, де р – ціле число, n –

натуральне, можна перетворити у десятковий, поділивши чисельник цьо-го дробу на знаменник. При цьому отримують або скінченний десятковий

дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб. Наприклад: ,410 25= ;

,252 5= ; , , ( )3

10 333 0 3f= = ; ,8

30 375= ; , , ( )11

50 4545 0 45g= = .

Отже, кожне раціональне число можна записати у вигляді скінченного або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Оскільки множина усіх натуральних чисел N є підмножиною множини всіх цілих чисел Z, а множина усіх цілих чисел Z є підмножиною множини усіх раціональних чисел Q, то множина усіх натуральних чисел N є підмно-жиною множини усіх раціональних чисел Q.

Чи всі життєві ситуації можна задовольнити, маючи в арсеналі раціональ-ні числа? Безумовно, ні! У восьмому класі ви знайомились із ще одним класом чисел – ірраціональних. Якщо хочете побачити, які практичні задачі привели до розширення класу раціональних чисел, – дивиться рубрику «Читай більше».

Як вам відомо, число 2 не є раціональним. Можна показати, що ,2 1 41421356f= , тобто його значення є нескінченним неперіодичним де-

сятковим дробом. Нескінченними неперіодичними десятковими дробами є також числа: ,3 1 732050f= , ,5 2 236067f= , ,3 14159fr = (відношен-ня довжини кола до діаметра), е = 2,7182818284590… (число Ейлера) тощо. Символом нескінченності числа є три крапки в кінці запису числа. Такі чис-ла назвали ірраціональними. Ці числа передбачають розширення множи-ни раціональних чисел, утворюючи окремо множину ірраціональних чисел, а разом з раціональними, – множину дійсних чисел.


12

Множину усіх раціональних та ірраціональних чисел назвали множиною дійсних чисел, а кожне таке число – дійсним числом (R – скорочене позначення).

Отже, множина усіх раціональних чисел Q є підмножиною множини усіх дійсних чисел R. Схематично це ілю-струє діаграма Ейлера (рис. 1.1).

Оскільки будь-яке раціональне чис-ло можна перетворити у скінченний або нескінченний періодичний десятковий дріб, а ірраціональне – у нескінченний неперіодичний десятковий дріб, то довільне дійсне число можна перетвори-ти у нескінченний десятковий дріб:

......, 143210 += nnaaaaaaax (такий десятковий запис дробу зручний, бо індекс визначає місце цифри у записі або, як ми говорили раніше, – розряд, який задає цифра). Дріб nn aaaax ..., 210= – скінченний, його називають n-им від-різком дробу х (n – визначає кількість знаків після коми).

Нехай задано два дійсні числа ..., 3210 aaaax = та ..., 3210 bbbby = , тоді yx = , якщо a b0 0= , a b1 1= , a b2 2= , a b3 3= , …, a bn n= …. Коротко записують yx = якщо nn yx = при довільному натуральному числі n, Ν∈n . Інакше

кажучи, дійсні числа х і y вважають рівними, якщо вони записані одним і тим самим нескінченним неперіодичним десятковим дробом. І якщо х ≠ y, то знайдеться таке m, що хm ≠ ym. Вважають, що число х більше від числа y ( yx > ), якщо знайдеться m таке, що хm > ym, при цьому вважають, що всі попередні т –1 цифри у числах х та y рівні.

Наприклад, 1,467…< 2,458…, бо 1 < 2 (тут m = 0); 1,467…< 1,476…, бо 1,46 < 1,47 (тут m = 2).

Над довільними двома дійсними числами можна також виконувати арифметичні дії. Однак, щоб знайти наближено суму, різницю, добуток і частку двох дійсних чисел, треба виконувати відповідні дії над n-ми відріз-ками цих нескінченних неперіодичних десяткових дробів:

x + y ≈ xn + yn; x – y ≈ xn – yn; x · y ≈ xn · yn; yx

yx

n

n. , y ≠ 0, yn ≠ 0.

Очевидно, що чим більше n, тим з більшою точністю будуть знайдені ре-зультати відповідних дій. Інколи, виконуючи обчислення з десятковими дро-бами, їх попередньо округлюють.

Суть виконання операції округлення десяткових дробів полягає у від-киданні одиниць менших розрядів, починаючи з деякого. Отримане число приймається за наближене значення цього дробу.

Існує три способи округлення додатних десяткових дробів: з недостачею, з надлишком та з найменшою похибкою.

Округлення з недостачею до одиниць деякого розряду полягає у відки-данні одиниць усіх «молодших» розрядів. При такому округленні всі цифри де-сяткового дробу до такого розряду включно не змінюються, а цифри «молодших» розрядів замінюються нулями. Наприклад, якщо х = 57,365, то округлення з не-

Z N Q

R

Рис. 1.1


13

достачею до сотих, десятих, одиниць, десятків відповідно рівні 57,36; 57,3; 57; 50. Похибки округлення відповідно дорівнюють: 0,005; 0,065; 0,365; 7,365.

Округлення з надлишком до одиниць деякого розряду відрізняється від округлення з недостачею тим, що число одиниць цього розряду (остання цифра, яка залишається) збільшується на одиницю. Для числа 57,365 отри-маємо: 57,37; 57,4; 58; 60. Похибки округлення відповідно дорівнюють: 0,005; 0,035; 0,635; 2,635.

Найбільш поширеним округленням є округлення з найменшою по-хибкою (округлення, в якому модуль різниці точного і наближеного значень числа є найменшим). Виконуючи таке округлення, одиниці «молодших» роз-рядів відкидаються, а число одиниць такого розряду (остання цифра, яка залишається) не змінюється, якщо цифра наступного «молодшого» розряду за цей (перша справа від останньої, яка залишається) менша 5; та збільшу-ється на одиницю, якщо цифра більша або рівна 5. Для х = 57,365 такі ок-руглення будуть: 57,37; 57,4; 57; 60. Похибки при округленні відповідно рівні 0,005; 0,035; 0,365; 2,635. Правило округлення з найменшою похибкою завж-ди називають правилом округлення десяткових дробів.

Якщо кількість десяткових знаків у числах а та b різна, то на практиці прийнято записувати в сумі (різниці) наближених значень стільки десяткових знаків, скільки їх має наближене зна-чення з найменшим числом десяткових знаків.

Для простоти обчислень доцільно проводити округлення за відповідними правилами округлення. Під час округлення наближених значень залишають на один десятковий знак більше, ніж їх є в найменш точному наближенні, тобто залишають «одну запасну цифру».

Приклад 4. Дано числа: х = 4,26 і y = 2,71854. Знайти: 1) х + y; 2) х – y.Розв’язання.

Крок 1. Аналізуємо ситуацію за кількістю знаків у кожному із заданих чисел: оскільки число х має два десяткові знаки, а число у – п’ять (число х має менше знаків, ніж число у), то округлюватимемо чис-ло y з точністю до тисячних, залишаючи не два, а три десяткові знаки (на один знак більше, ніж у числі х).

Крок 2. Виконуємо округлення: .719,271854,2 ≈Крок 3. Виконуємо арифметичні дії додавання і віднімання (обчислення):

1) 979,6=+ yx ; 2) .541,1=- yxКрок 4. Виконуємо округлення результатів дій до сотих: 1) 6,979 ≈ 6,98;

2) 1,541 ≈ 1,54.Крок 5. Записуємо висновок: 1) х + y ≈ 6,98; 2) х – y ≈ 1,54.

Відповідь: 1) 6,98; 2) 1,54.

Зауважте! Вищенаведене розв’язання можна записати коротше. На-приклад, так: х + y = 4,26 + 2,71854 ≈ 4,26 + 2,719 = 6,679 ≈ 6,98.

У рубриці «Читай більше» можна навчитися виконувати дії з дійсними числами, щоб досягати високої точності у відповідних життєвих ситуаціях.

14


ВПРАВИ1.1°. Виберіть правильні твердження.А) множиною артистів, які працюють в одному театрі, є трупа;Б) множиною музикантів, які виступають разом, є ансамбль;В) множиною квітів у вазі є композиція;Г) множиною точок площини, рівновіддалених від певної точки, є круг;Д) множиною підприємств, що виробляють електроенергію та забезпечу-

ють нею усіх споживачів, є міністерство енергетики.

1.2°. Виберіть правильні математичні твердження.А) множиною точок перетину двох площин є відрізок;Б) множиною точок Х серединного перпендикуляра відрізка АВ є верши-

ни рівнобедрених трикутників АХВ;В) множиною точок кута, рівновіддалених від його сторін, є його

бісектриса;Г) множиною точок площини, рівновіддалених від сторін трикутника, є

центр вписаного у нього кола;Д) множиною трикутників, довжини сторін яких складають відношення

3:4:5, є трикутники прямокутні.

1.3°. Відомо, що N – множина натуральних чисел, Z – множина цілих чисел, R – множина дійсних чисел. Укажіть варіант відповіді з-поміж (А–Д), що об’єднує правильні твердження.

1) ;RN ⊂ 2) ;NZ ⊂ 3) ;ZN ⊂ 4) ;RZ ⊂ 5) .ZR ⊂А) 1, 2 і 4; Б) 2, 3 і 4; В) 1, 3 і 4; Г) 2, 3 і 5; Д) 1, 4 і 5.

1.4°. Виберіть дві множини, які є підмножинами множини А = {4, 8, 10, 12}.А) В = {8, 12}; В) G = {4, 10, 20}; Д) M = {12};Б) С = {2, 4}; Г) K = {10, 11}; Е) L= {10, 11, 12}.

1.5°. Укажіть таку з-поміж (А–В) множину, яка має чотири підмножини, названими умовами (1–6).

А) М = {1, 2}; 1) X = {1}; А Б ВБ) N = {2, 3}; 2) Y = {1, 3}; В) L = {1, 3}. 3) Z = {1, 2};

4) V = {2, 3}; 5) W = {2};6) U = {Q}.

1.6°. Дано множини: А = {x – х=2k, Nk∈ }; B = {x – х=5k, Nk∈ }; C = {x – х=10k, Nk∈ }.

Укажіть варіант відповіді з-поміж (А–Д), що об’єднує правильні твердження.

1) ;BA⊂ 2) ;CA⊂ 3) ;CB ⊂ 4) ;BC ⊂ 5) .AC ⊂А) 1 і 4; Б) 4 і 5; В) 2 і 3; Г) 2 і 5; Д) 3 і 5.

15


1.7°. Умовами (А–Д) задано множини переліком елементів, а (1–5) – за до-помогою характеристичної властивості. Ідентифікуйте однакові множини.

А) {1, 2, 3, 4, 5}; 1) {x | 42, <<-∈ xZx }; А

Б) {–2, –1, 0, 1, 2}; 2) {x | 5, ≤Ν∈ xx }; Б

В) {–1, 0, 1, 2, 3}; 3) {x | 32, ≤≤-∈ xZx }; В

Г) {–2, –1, 0, 1, 2, 3}; 4) {x | 72, <≤Ν∈ xx }; Г

Д) {2, 3, 4, 5, 6}. 5) {x | 3, <∈ xZx }. Д

1.8°. Упорядкуйте парами однакові множини, задані за допомогою ха-рактеристичної властивості (А–Д) та переліком її елементів (1–5).

А) {x | 4, <∈ xZx }; 1) {–2, –1, 0, 1, 2, 3}; А

Б) {x | 33, ≤<-∈ xZx }; 2) {1, 2, 3, 4, 5}; Б

В) {x | 1, <Ν∈ xx }; 3) {0, 1, 2, 3, 4, 5}; В

Г) {x | 5, ≤∈ xZx }; 4) {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}; Г

Д) {x | 5, ≤Ν∈ xx }. 5) {Q}. Д

1.9°°. Визначте взаємне відношення множин А і В, якщоА = { x – 0652 =+- xx }, B = { x – 0442 =+- xx }.

А) ;BA = Б) ;BA ⊂ В) ;AB ⊂ Г) ;BA ⊆ Д) .AB ⊆

1.10°°. Між першими n натуральними числами і правильними дробами зі знаменником 11 установлено взаємно однозначну відповідність. Знайдіть значення n.

А) n = 9; Б) n = 10; В) n = 11; Г) n = 12; Д) n = 21.

1.11°°. Визначте десяткові наближення числа 0,5872 з точністю до 0,01 з недостачею і надлишком.

А) 0,57 < 0,5872 < 0,58; В) 0,58 < 0,5872 < 0,59; Д) 0,58 < 0,5872 < 0,60.Б) 0,56 < 0,5872 < 0,58; Г) 0,57 < 0,5872 < 0,59;

1.12•. Знайдіть цілі числа від 10 до 50, які діляться на: 4; 8; 3; 9; 6; 18; 15; 30.

1.13•. Чи існує двоцифрове число, яке рівне сумі своїх цифр? Відповідь обґрунтуйте.

1.14•. Знайдіть цілі числа, що задовольняють нерівність 52 <-x .

1.15•. Запишіть у вигляді десяткового дробу: 1) 91 , 9

4 , 603 , 3

2- , 5013 ;

2) 307 , 30

11 , 6013 , 11

13 , 1311 .

16

МОДУЛЬ 1. Функції, їхні властивості та графіки

1.16•. Порівняйте наступні пари дійсних чисел:1) 5,64217… і 5,64271… 2) 4,0872… і 0,9872… 3) 2,7272… і 2,2772…

4) –3,005… і –3,050… 5) –0,037… і –0,037… 6) 3

2 і 0,0967….

1.17•. Округліть числа із заданою точністю з недостачею, з надлишком, з найменшою похибкою.

1) 1,5783; 23,4997; 0,00025; 0,07964 до тисячних;2) 4,761; 31,009; 471,2583; 0,00126 до сотих;3) 159734; 28,34; 7654321; 984,56 до тисяч.

1.18••. Зобразіть на координатній площині множини точок:1) {(х; у) | х ∈ R, у ∈ R; у = х}; 4) {(х; у) – х | R, у ∈ R; у > х};2) {(х; у) | х ∈ R, у ∈ R; у < х}; 5) {(х; у) | х ∈ R, у ∈ R; у ≥ х};3) {(х; у) – х | R, у ∈ R; у ≤ х}.

1.19••. Зобразіть на координатній площині множину точок, якщо:1) А = {х | х ∈ R, –3 ≤ х ≤4}; В = {у | у ∈ R, 0 ≤ у ≤ 3};2) А = {х | х = 2}; В = {у | у ∈ R, –2 ≤ у ≤ 3};3) А = {х | х ∈ R, –2 ≤ х ≤ 3}; В = {у | у = 2}.

1.20••. Запишіть усі двоцифрові числа, в яких число десятків належить множині {1, 9, 7}, а число одиниць – множині {3, 4, 5}.

1.21••. Знайдіть суму, різницю чисел:1) 0,(3) і 1,(7); 2) –1,(21) і 0,(5); 3) 1,(2) і 1,0(4).

1.22••. Знайдіть суму х + у та різницю наближених значень х і у, якщо:1) х ≈ 1,34, у ≈ 2,30; 3) х ≈ 4,331, у ≈ 5,7;2) х ≈ 2,0·10 3, у ≈ 1,25·10 2; 4) х ≈ 1,7 ·10 2, у ≈ 7,1 · 101.

§ 1.2. Операції над множинамиНайпростішими операціями над множинами вважають переріз, об’єднання,

різницю, доповнення, декартів добуток тощо. Не всі названі операції вивчають у школі. Ми розглядатимемо дві операції над множинами – переріз та об’єднан-ня. Інші операції (різниця, доповнення та декартів добуток) подано у рубри-ці підручника «Читай більше!», які ви зможете опрацювати самостійно або, розробляючи спільний проект з однокласниками для подальшого обговорення.

Перерізом (перетином) двох множин А і В називають таку множину С, яка складається з тих, і тільки тих елементів, які належать кожній з цих множин А і В.

Операція «перерізу» позначається символом «∩». Отже, С = А∩ В = = {х | х ∈А і х∈В}.

Нехай дано три множини: А = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}; В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}; С = {–6, –5, –3}. Знайдемо попарний їхній переріз – множини спільних елемен-тів кожної пари множин:

1) А ∩ В; 2) А ∩ C; 3) B ∩ C.

§ 1.2. Операції над множинами

17

Для множин А і В такими спільними елементами є числа 1, 2, 3. Тобто К = А∩ В = {1, 2, 3}; для А і С отримаємо множину, що складається з од-ного елемента – М = А ∩ C = {–3}; для В і С – одноелементну множину Р = B ∩ C = Q.

Переріз множин ілюструють схематично за допомогою овальних фігур, які називають діаграмами Ейлера (рис. 1.2).

Зауважте! Переріз будь-якої множини з порожньою множиною дорівнює порожній множині, тобто А∩ Q = Q.

Під час перетину множин отримують завжди множину, яка може бути не порожньою (рис. 1.2, а) або порожньою (рис. 1.2, б).

Якщо числові множини задають числовими проміжками, то перетин проміжків зручно виконувати на числовій прямій за допомогою штриховки. Наприклад, один проміжок, задають штриховкою вище прямої, а другий – нижче прямої, тоді частина прямої, де штриховка накладається, визначає перетин проміжків, включаючи чи виключаючи кінці проміжків. Якщо про-міжок закритий, то його кінці включають у множину перетину (на числовій прямій це включення зображують «затушованим» кружечком); якщо промі-жок відкритий, то його кінці не включають у множину (на числовій прямій це виключення зображують «порожнім» кружечком).

Наприклад, на рисунку 1.3 зображено такі перетини:

З практичними прикладами пошуку перерізу ви уже зустрічалися ра-ніше. Наприклад, під час розв’язування систем рівнянь (нерівностей) до-водилося шукати «спільні» пари значень змінних (множини пар), які пере-творюють кожне рівняння (нерівність) цієї системи у правильну рівність (нерівність). Спробуйте навести інші приклади застосування алгоритму по-шуку перерізу множин.

АВ

C B

K

Рис. 1.2

Рис. 1.3

a) А∩ В = K

1) (a; +∞)∩ (b; +∞) = (b; +∞), якщо a < b;

2) (–∞; a)∩ (–∞; b) = (–∞; a), якщо a < b;

3) (a; +∞)∩ (–∞; b] = (a; b;], якщо a < b;

4) (–∞; a)∩ (b; +∞) = Q порожня множина, якщо a < b.

б) B∩ C = Q

a b x ●

x b a

a b x

a b x

18


Об’єднанням (сумою) двох множин А і В називають таку множину С, яка складається з усіх елементів, що містять множини А і В, і лише з них.

Операція «об’єднання» позначається символом «∪». Отже, С = А ∪ В = = {х | х ∈ А або х ∈ В}. Причому, якщо множини А і В містять спільні елемен-ти, то множина їхнього об’єднання міститиме цей спільний елемент («беруть елемент тільки один раз»).

Зауважте! Будь-яка множина в об’єднанні з порожньою множиною до-рівнює тій самій множині А ∪Q = Q.

Знайдемо об’єднання попередньо заданих трьох множин А, В і С.1) D = А ∪ В = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} – усі елементи А та ті елементи В,

що не містить А;2) F = А ∪ C = {–6, –5, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} – усі елементи А та ті елементи С,

що не містить А;3) Q = B ∪ C = {–6, –5, –3, 1, 2, 3, …} – усі елементи В та ті елементи С,

що не містить В.Множини D і Q – нескінченні, а множина F – скінченна (має 9 елементів –

скінченну кількість).

Об’єднання множин також схематично ілюструють за допомогою діа-грами Ейлера (зафарбована частина на рисунку 1.4) або числовою прямою (штриховка на рисунку 1.5).

Зауважте! Під час виконання операції над множинами «об’єднання», можна отримати порожню множину, але лише у випадку, коли кожна з мно-жин, які об’єднують, є порожньою, тобто Q ∪Q = Q.

B CА C

Рис. 1.4

Рис. 1.5

a) А∩ C = F б) B∩ C = Q

1) (a; +∞)∩ (b; +∞) = (a; +∞), якщо a < b;

2) (–∞; a)∩ (–∞; b) = (–∞; b), якщо a < b;

3) (a; +∞)∩ (–∞; b) = (–∞; +∞), якщо a < b;

4) (–∞; a)∩ (b; +∞), a < b – єдиним проміжком записати неможливо.

a b x

x b a

a b x

a b x

§ 1.2. Операції над множинами

19

З прикладами пошуку об’єднання деяких множин розв’язків систем рів-нянь, систем нерівностей чи нерівностей виду (x – a1)(x – a2) … (x – an) ≤ 0, де an – деякі числа нерівності, ви зустрічалися. Адже для їх розв’язання треба знайти таку «сукупність» значень змінної, які б задовольняли рівняння (не-рівність). Наведіть інші відомі вам приклади застосування алгоритму пошу-ку об’єднання множин.

Приклад 3. Знайдіть переріз та об’єднання двох множин А і В, якщо А – множина дільників числа 32, а В – множина дільників числа 24.

Розв’язання Чому саме так?А = {1, 2, 4, 8, 16, 32},В = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.1) С = А ∩ В, С = {1, 2, 4, 8},2) K = А ∪ В,K = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32}.

Відповідь: 1) А∩ В = {1, 2, 4, 8};2) А∪ В={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32}.

Спочатку записують відповідно до умови дві множини А і В. Далі уважно застосовують означення пере-різу, об’єднання і різниці двох множин.

1) Переріз множин – множина спільних елементів, які містяться в кожній з множин А і В. Такими спільними дільниками є 4 числа: 1, 2, 4 і 8.

2) Об’єднання множин – множина чисел, які є дільниками або 32, або 24, тому дільників 10.

ВПРАВИ1.23°. Укажіть множину, що є перерізом множин А і В, якщо А = {1, 2, 3},

В = {2, 3, 4}.А) {1, 2, 3}; Б) {2, 2, 3, 3}; В) {1, 4}; Г) {1, 2, 3, 4}; Д) {2, 3}.

1.24°. Укажіть множину, що є об’єднанням множин M і N, якщо M = {2, 6, 9}, N = {1, 2, 3, 7}.

А) {2, 3, 9}; Б) {2}; В) {1, 2, 3, 6, 9}; Г) {1, 3, 6, 9}; Д) {1, 2, 3, 6, 7, 9}.

1.25°°. Визначте правильні твердження.

1) [4; 4] ∩ [1; 5] = [0; 5]; 3) [0; 1] ∩ [1; 5] = [0; 5]; 5) [0; 4] ∩ [4; 5] = {4}.

2) [0; 5] ∩ [1; 4] = [1; 4]; 4) [0; 5] ∩ [1; 6] = [1; 5];

А) 1, 2 і 3; Б) 2, 3 і 4; В) 3, 4 і 5; Г) 2, 4 і 5; Д) 1, 4 і 5.

1.26°°. Знайдіть переріз ДВОХ числових проміжків [0; 5] і [3; 7].А) [0; 5]; Б) [0; 7]; В) [5; 7]; Г) [3; 5]; Д) [0; 3].1.27°°. Виберіть такі проміжки серед нижчевказаних, перерізом яких

буде порожня множина.1) [–2; 2]; 2) [–1; 3]; 3) [0; 4]; 4) [2; 4]; 5) [3; 4].

А) 1 і 2; Б) 2 і 3; В) 1 і 3; Г) 3 і 4; Д) 1 і 5.

20


1.28°°. Відомо, що А1 – множина всіх паралелограмів, А2 – множина всіх прямокутників, А3 – ромбів, А4 – квадратів. Визначте до кожної операції над множинами, заданих умовами (А–Д), множину їхнього перерізу (1–5).

А) A1 ∩ A2 1) {паралелограми}; АБ) A2 ∩ A3 2) {прямокутники}; БВ) A3 ∩ A4 3) {ромби}; ВГ) A1 ∩ A3 4) {квадрати}; ГД) A2 ∩ A4 5) {Q}. Д

1.29°°. Поставте у відповідність кожній операції над множинами (А – Д), ви-користовуючи дані вправи 15°°, множину їхнього об’єднання (1–5).

А) A1 ∪ A2 1) {паралелограми}; АБ) A2 ∪ A3 2) {прямокутники}; БВ) A3 ∪ A4 3) {ромби}; ВГ) A1 ∪ A3 4) {квадрати}; ГД) A2 ∪ A4 5) {Q}. Д

1.30•. Знайдіть переріз та об’єднання множин А і В (А∩В та А∪В).1) А = {1, 2, 3, 7}, В = {8, 7, 3, 1}; 3) А = {{1, 2}, 1, 2, 3}, В = {{1, 2}, {1, 3}, 2};2) А = {1, 3, 5, 7}, В = {2, 4, 6, 8}; 4) А = {а, b, с}, В = { b, с, а}.

1.31•. Знайдіть об’єднання і перетин множин:1) рівнобедрених і рівносторонніх трикутників;2) рівнобедрених і прямокутних трикутників;3) променів, що лежать на одній прямій;3) відрізків, що лежать на одній прямій.

1.32•. Знайдіть об’єднання і перетин множин:1) простих і складених чисел;2) простих і непарних чисел;3) чисел, кратних 3 і 9;3) чисел, кратних 2 і 3.

1.33•. Знайдіть А∪В і А∩В, якщо:1) А = {х | (х2 – 1) (х2 + 2х – 3) = 0}; В = {х | (х2– 1)2 + (х2 + 2х – 3)2 = 0};2) А = {х | (х2 – 8х + 12) (х2 – 6х + 8) = 0}; В = {х | (х2 – 8х + 12)2 + (х2 – 6х + 8)2 = 0};3) А = {х | (х2 – 25)2 + (х2 – 4)2= 0}; В = {х | (х2 – 25) (х2 – 4) = 0}.

1.34•. Знайдіть множини А∪В, А∩В, А∪С, А∩С, В ∪С, В ∩С, якщо:А = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2}, В = {4; 3; 2; 1; 0; –1; –2}, С = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.

1.35•. Знайдіть переріз і об’єднання числових проміжків:1) [–π; π] і [–4; 2]; 2) [–2; 8] і [–2; 5]; 3) (–4; 1) і (0; ]; 4) (–∞; 2) і (–3; +∞).1.36•. Знайдіть переріз і об’єднання множин P і S та S і P, якщо:1) Р = {х | х ∈ Z, –4 ≤ х ≤ 6}, S = {х | х ∈ N, 3 ≤ х ≤ 10};2) Р = {х | х ∈ R, –7 ≤ х ≤ 0}, S = {х | х ∈ R, –3,5 ≤ х ≤3}.

21

§ 1.3. Числові функції та їх властивості

1.37•. Відомо, що А і В скінченні множини, причому А ∩В = Q. Доведіть, що n (A ∪B) = n (A) + n (B).

1.38•. У фізико-математичному класі 29 учнів, з яких 23 учні взяли участь в обласній олімпіаді з математики, а 19 – з фізики. Визначте, скільки учнів взяли участь в обох олімпіадах.

1.39**. Доведіть рівності: 1) (А∪В) ∩С = (А∩С) ∪ (В ∩С);2) (А∩В) ∪С = (А∪С) ∩ (В ∪С).

§ 1.3. Числові функції. Основні властивості функцій. Графіки функцій

1. Поняття функції, її області визначення та множини значень. В алгебрі ви мали можливість переконатися в тому, що функція є одним з ма-тематичних понять, в якому найбільш яскраво втілюється матеріалістична природа навколишнього середовища і людини. Адже у природі все перебуває у стані неперервної зміни, розвитку та в деякій залежності або незалежності. Тому у практичній діяльності людям доводиться постійно мати справу зі змін-ними та сталими величинами, які можуть набувати різних або однакових значень. Прикладів різних залежностей між змінними величинами у життє-вих ситуаціях є багато, однак спільним у них є те, що між змінними величи-нами описується зв’язок за певним правилом: кожному зі значень однієї змінної (яке вибирають) відповідає єдине значення другої змінної (значення якої отримують у результаті вибору значення першої). Таку залежність однієї змінної від іншої називають функціональною, а саме правило – функцією. При цьому: змінну величину, для якої вибирають значення, називають неза-лежною змінною, а змінну величину, значення якої отримують у результа-ті вибору значення першої, називають залежною змінною. Практично через функції відображається реальна дійсність діяльності людини. Тому великі математики, спостерігаючи за навколишнім світом, узагальнили та система-тизували окремі процеси, утворивши математичну модель – функцію.

Залежність однієї змінної від іншої називається функцією, якщо кожному значенню незалежної змінної за деяким правилом відповідає єдине значення залежної змінної.

Отже, поняття функціональної залежності є одним з основних по-нять усієї математики і математичною моделлю реальних процесів!

Зауважте! Кожна із залежних і незалежних величин характеризується кількістю (числом).

Якщо одна величина перебуває у залежності від іншої, то при зміні ос-танньої (незалежної змінної), перша (тобто функція) буде змінюватися за де-яким законом, тому кожне «приватне» значення незалежної змінної цілком однозначно визначає відповідне значення функції.

22


Спираючись на поняття множини, розглянутого у попередньому пара-графі, поняття функції можна сформулювати у більш загальному вигляді.

Нехай задані множини А і B. Через х позначимо довільний елемент мно-жини А, а через у – довільний елемент множини B. Виберемо деяке правило f, за яким ставитимемо у відповідність кожному елементу х із множини А тільки один елемент у із множини B, – у такий спосіб ми задали функцію f на множині А зі значеннями на множині B.

Відповідність (правило), при якій кожному елементу (х) з мно-жини А ставиться у відповідність один і тільки один елемент (у) з множини В, називається функцією.

Коротко записують: f: A → B, або у = f(x), де х ∈ А. Позначають функції малими або великими латинськими чи грецькими літерами: f, F, g, G, h, H, q, Q, y, Y, φ, і т. д.

Нехай задана функція у = f(x). Змінну х називають аргументом або незалежною змінною функції, а у – значенням функції або залежною змінною. Множину А – всіх значень х, називають областю визначення функції (позначають: D(y)), а множину B – всіх значень у, поставлених у від-повідність хоча б одному х, – областю значень функції (позначають: E(y)). Область визначення функції також називають областю значень аргументу або областю зміни незалежної змінної.

Наприклад, для функції у = х², х ∈ [–1; 1] проміжок [–1; 1] – є областю ви-значення (позначається: D(y) = [–1;1]), а проміжок [0; 1] – множина значень (позначається: Е(у) = [0; 1]).

Якщо функція являє собою якусь «дію» над аргументом (будь-яка арифме-тична дія, піднесення до степеня, добування кореня, обчислення синуса, ло-гарифмування тощо), то її називають елементарною.

Функція, в якої область визначення і область значень є множи-ни чисел, називається числовою.

Наприклад: 1) якщо у = 2х + 3, то х ∈ R, у ∈ R; 2) якщо у = x -1 , то х ≥ 1,

у ≥ 0; 3) якщо y xx

11= -+ , то х ∈R, х ≠ 1, а у ∈ R, у ≠ 1.

Приклад 1. Подайте таблицею залежність між натуральним числом, яке не більше 10, та його квадратом (кубом).

Розв’язанняn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

у1 = n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100у2 = n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

Ця таблиця є математичною моделлю функціональної залежності величин n2 і n3 від величини натурального числа n, яке не більше 10 (n ∈ N, n ≤ 10), оскільки кожному значенню змінної n відповідає єдине


23

значення змінної n2 чи n3. Тому обидві залежності квадрата і куба числа є

функціями, які можна записати формулою: y f n n1 12= ( ) = ; y f n n2 2

3= ( ) = , де n ∈ N, n ≤ 10.

Функція D(y)область визначення

Е(у)область значень

y1 = n2 1 ≤ n ≤ 10 n ∈[1; 10] E(y1)={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}

y2 = n3 1 ≤ n ≤ 10 n ∈[1; 10] E(y2)={1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000}

Висновок: дві однакові підмножини натуральних чисел n ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

дві різні підмножини натуральних чиселY1={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} і Y2={1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000}

Розглянуті вище функції – числові, оскільки їх аргументом є числа – елементи рівних скінченних підмножин натуральних чисел, і їхніми зна-ченнями функції є числа – елементи різних скінченних підмножин нату-ральних чисел.

Приклад 2. Два хлопці купили дві лотереї «Забава» і виграли по 500 грн. Скільки гривень виграють три хлопці, які купили такі ж три лотереї?

Розв’язання. У першій частині задачі розглядається залежність між двома величинами «число лотерей» і «два виграші по 500 грн». Тобто, за цієї умови, від кількості лотерей залежала загальна величина вигра-шу (1000 грн). Але, на жаль, така залежність не підтверджується між величинами: «число лотерей» і «трьома виграшами» для трьох хлопців. Тобто від кількості лотерей однозначно не залежить загальна величи-на виграшу.

Такий життєвий приклад демонструє залежність між двома величинами, яка не є функціональною. Прикладом нефункціональної залежності є рів-няння x2 + y 2 = 25, оскільки воно задає залежність між змінними х і у, однак

жодна з них однозначно не задає іншу, бо y x= ± −25 2 і x y= ± −25 2 (якщо х=3, то y = ±4). Задане рівняння задає коло з центром у початку відліку та ра-діусом 5 одиничних відрізків. Отже, коло не слугує графіком функції.

Зауважте! Не кожна залежність між змінними величинами є функціональною.

2. Способи задання функції. Існують різні способи задання функ-цій. Розглянемо найбільш поширені з них: табличний, аналітичний, сло-весний, графічний.

24


Табличний спосіб. Такий спосіб ми використали вище у прикладі 1 цього параграфа. Його часто застосовують на практиці, адже він наочно демонструє порядок розміщення змінних. У будь-якому випадку кожен ряд таблиці вміщає у певному порядку значення незалежної змінної, а інший – залежної змінної – відповідні їм значення функції.

У таблиці наведено окремі приклади незалежних та залежних змінних у професійній діяльності.

Незалежні змінні Залежні змінніМатематики х1, х2,…, хn у1, у2,…, уn

Метеорологи місцевість кількість опадів

Фінансисти грошова одиниця певної країни світу

еквівалент у гривнях

Економісти обсяг продукції витрати виробництва

Електрики діаметр дроту допустимість сили струму

Отже, перелічені вище залежності узагальнюють мовою математики, формуючи як значення аргументу і значення функції у вигляді таблиці. На-приклад у метеорологів та фінансистів:

Назва міста x ∈ A

К-сть опадів (липень), y ∈ B

Грошові одиниці x ∈ A

Еквівалент у гривнях, y ∈ B

Париж 200 мм 1 долар США 27,07Київ 250 мм 1 євро 33,23Лондон 420 мм 1 рос. рубль 0,48

Аналітичний спосіб – задання функції формулою чи кількома формула-ми. Найчастіше ним задають числові функції. Такий спосіб дає можливість для кожного значення аргументу, наприклад, х, знайти точно або з певною точністю відповідне йому числове значення функції у. Він зручний, бо ним вказується область визначення функції (множина А) або надається можливість її знайти та формулюється закон, заданий формулою, за яким кожному значенню однієї змінної ставиться у відповідність значення іншої змінної (кожному елементу х, x ∈ A ставиться єдиний, відповідний йому, елемент у, y ∈ B).

Математики, спостерігаючи за навколишнім світом, узагальнили і ма-тематично змоделювали деякі процеси у вигляді функцій, класифікуючи та систематизуючи їх за певними критеріями. Із деякими функціями, що задаються аналітично, їхніми властивостями та графіками ви уже знайомі. Зокрема, з лінійною: y = kx + b, прямою пропорційністю: y = kx, оберненою

пропорційністю: ykx

= , де x ≠ 0 k ≠ 0, квадратичною: y = ax2 + bx + c, де a ≠ 0, y x= , де x ≥ 0.

Словесний спосіб – описове задання функції. Цей спосіб задання функ-ції використовується значно рідше, ніж попередні два, однак інколи у прак-


25

тиці він потрібний, описуючи розміщення учнів під час уроку, алгоритму роботи деякої програми, правил гри, цін і вартості тощо. Зокрема, у кримі-налістиці досить часто доводиться описувати зовнішність людини з викорис-танням спеціальної термінології, за яким формують модель – робот. Тобто це ті випадки залежностей, коли формулою задання функції записати немож-ливо або важко. Наприклад:

1) кожній даті цього місяця і цього року визначено один із семи днів тижня;2) кожному працівникові відповідає один оклад на одному робочому місці;3) кожній позиції товару відповідає певна ціна;4) кожному дійсному числу х поставлено у відповідність ціле число, яке

його не перевищує ([x] – позначення цілої частини числа).Графічний спосіб – задання функції її графіком. Нагадаємо, що графі-

ком функції назвали множину точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють аргументу функції, а ординати відповідному значенню функції.

У медицині, наприклад, тільки графічним способом визначають стан функціонування кровообігу в організмі – роботу серця. Для цього використовують спеціальні прилади «електрокардіографи», якими обробляється інформація про роботу серця людини, а ре-зультат дослідження видає картинку – гра-фік. Ця крива відображає зміну електричних імпульсів, які виникають у м’язах серця, – електрокардіограму серця.

Графічний спосіб задання функції широко застосовується при досліджен-ні реальних процесів метрологами, астрологами, біологами, медиками та ін-шими фахівцями. Існує багато приладів, які обробляють певну інформацію, видаючи графічні зображення. У математиці також графічний спосіб є до-брим помічником під час розв’язування навіть достатньо складних вправ.

Зауважте! Фігура на площині може слугувати графіком функції у тому випадку, коли будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, перетинає цю фігуру тільки в одній точці.

Отже, кожен з перелічених способів задання функції має свої переваги:1) словесний найбільш простий та найбільш доступний, якщо звичайну

функцію можливо описати простими фразами;2) формули часто використовують тому, що з ними зручно проводити об-

числення, їх можна перетворювати й аналізувати, з’ясовуючи при цьо-му деякі властивості функції;

3) табличний використовують тоді, коли обчислити значення функції важко, або коли вона може приймати лише деякі конкретні значення;

4) графічний спосіб представляє функцію найбільш наочно, бо графік функції – це картинка, яка дає цілісне уявлення про характер зміни функції щодо зміни її аргументу.

26


Зауважте! Завдяки своїй наочності, графічний спосіб часто виступає в партнерстві з іншими способами задання функції, оскільки він інтерпретує залежність між заданими величинами.

На основі функціональної залежності будуються прилади, які автома-тично ведуть: облік – лічильники води, газу, електроенергії; розрахунки – лічильники в таксі; графічний друк – електрокардіографи, барографи; водночас графічний друк та розрахунки та інші. Отже, у практиці часто доводиться переходити від одного способу задання функції до іншого, що спричинює необхідність дослідження характеристичних властивостей окре-мих функціональних залежностей, які називають основними властивостя-ми функції.

3. Основні властивості функцій. Розглянемо такі основні властивості, як парність, монотонність, нулі, проміжки знакосталості, періодичність, найбільше та найменше значення.

Парність та непарність функції. Всі функції поділяють на: парні, непарні та індиферентні.

Функція f (х) з областю визначення А називається парною, якщо для будь-яких значень х і (–х) із множини А виконується рівність: f (–х) = f (х).

Наприклад, функції: f(х) = х2 + 2; f(х) =|х|+1; f(х) =-|х| є парними, оскільки коли замість х у кожну з формул поставити –х, то отримаємо рівність: f(-х) = f(х). Дійсно, f(-х) = (-х)2 + 2 = х2 + 2 = f(х); f(-х) = |-х| +1 = |х| +1 = f(х); f(-х) = -|-х|== -|х| = f(х). Отже, протилежним значенням аргументу відповідають однако-ві значення функції, тому графік парної функції симетричний відносно осі ординат (рис. 1.6, а).

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат (Оy).

1

1х

1

y y

1х

1

а)Рис. 1.6

б)


27

Функція f (х) з областю визначення А називається непарною, якщо для будь-яких значень х і (–х) із множини А виконується рівність: f (-х) = -f (х).

Наприклад, функції: f(х) = х3; f(х) = х|х|; f(х) = х3 + х є непарними, оскільки f(-х) = -f(х). Дійсно, f(-х) = (-х)3 = –х3 = -f(х); f(-х) = -х|-х| = -х|х| = -f(х); f(-х) = = -х3- х = -(х3 + х) = -f(х). Отже протилежним значенням аргументу відпо-відають протилежні значення функції, тому графік непарної функції симе-тричний відносно початку координат (рис. 1.6, б).

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Приклади індиферентних функцій: f(x) = x + 1; f(x) = x3 – 1; f(x) = x 11+

; f(x) = (x + 1)2 – 1; f(x) = x 1+ , оскільки f(–x) ≠ ±f(x).

Дійсно: ( ) ( )1 1f x x x- =- + =- - ; ( )1 11( ) ( )f x x x x3 3 3 !- = - =- =-- - +

( )f x!! ; ( ) ( )x x11

11f x f x!!- =

- +=-

-; ( ) ( )1 1f x x 2- = - + - =

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1x x f (x)2 2 2 !$ != - - = - -- .Отже, протилежним значенням аргументу відповідають різні значення

функції ( ( ) )f x f(x)!- , тому графік індиферентної функції не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі ординат.

Зауважте! Виконання рівності f(–x) = ±f(x) для будь-якого значення x ∈ A означає, що область визначення функції f має таку властивість: якщо x ∈ A, і – x ∈ A, то область визначення парної (непарної) функції симетрична відносно початку координат.

Отже, якщо область визначення функції не має симетрії відносно по-чатку координат, то вона не буде парною чи непарною. Однак симетрія області визначення не завжди підтверджує парність (непарність) функції. Наприклад, кожна функція, яка задана многочленом, має областю визна-чення множину всіх дійсних чисел, що симетрична відносно початку ко-ординат, однак з-поміж них є індиферентні: y = x + 1, y = x2 – 2x – 3, y = x3 – 1, y = –2 x – 3, … .

Якщо область визначення функції має симетрію відносно почат-ку координат, то не завжди ця функція парна чи непарна.

Монотонність функції. Функції називаються монотонними, якщо вони є строго зростаючими або спадними, неспадними або не зростаю-чими. Дамо означення кожної з них.

Функцію f називають строго зростаючою на деякому про-міжку з її області визначення, якщо більшому значенню аргументу завжди відповідає більше значення функції на цьому ж проміжку.

2

28


Якщо більшому значенню аргументу відповідає не менше зна-чення функції, то таку функцію називають зростаючою або неспадною.

Тобто, якщо для будь-яких значень x1 і x2 із деякого проміжку області визначення, що х2 > х1, виконується нерівність f (х2) > f (х1), то функція f (х) – строго зростаюча на цьому проміжку; якщо х2 > х1, а f(х2) ≥ f(х1), то функція f (х) – зростаюча або неспадна.

Функцію f називають строго спадною на деякому проміжку з її області визначення, якщо більшому значенню аргументу завжди відповідає менше значення функції на цьому ж проміжку.

Якщо більшому значенню аргументу відповідає не більше значення функції, то таку функцію називають спадною або незростаючою.

Тобто, якщо для будь-яких значень x1 і x2 із деякого проміжку облас-ті визначення, що х2 > х1, виконується нерівність f (х2) < f (х1), то функція f (х) – строго спадна; якщо х2 > х1, а f(х2) ≤ f(х1), то функція f (х) – спадна або незростаюча.

Для прикладу доведемо, що лінійна функція f(х) = kх + b, якщо k > 0, є строго зростаючою на множині дійсних чисел R.

Дійсно, якщо х1 < х2, то f(х2) – f(х1) = k (х2 – х1) > 0, тобто f(х2) > f(х1), що вимагалося довести.

Доведіть самостійно, що лінійна функція f(х) = kх + b, де k < 0 є строго спадною на R.

Розглянемо функцію f (х) = -х3 (х ∈ R) і покажемо, що вона строго спадна. Нехай х1 < х2, тоді f (х2) – f (х1) = -х2

3 + х13 = -(х2 – х1) (х2

2 + х1х2 + х12). Оскільки

(х22 + х1х2 + х1

2) > 0, для будь-яких х1 та х2, і (х2 – х1) > 0, то f (х2) – f (х1)< 0, тобто f (х2) < f (х1), що вимагалося довести.

Отже, функція f(х) = -х3 на всій області визначення строго спадна.Прикладами незростаючих, неспадних функцій є функції виду у = а, де

а – деяке дійсне число (у = 2, у = –3, у = π).

Нулі функції. Проміжки знакосталості. Значення аргументів х, при яких значення функції дорівнює нулю, називаються нулями функції (f(х) = 0). У таких точках графік або дотикається осі Ох, або перетинає її.

Більшість функцій, які вивчаються, мають графіком неперервну суцільну лінію. При деяких значеннях аргументу х неперервність може порушуватися, і графік розривається, тобто кажуть, що функція має розрив. Значення аргументу х, при яких відбувається розрив графіка функції, називають точками розриву. Якщо на числову пряму Ох нанести нулі функції та точки розриву, то на проміжках між сусідніми точками неперервна функція на своїй області визначення зберігає знак. Такі проміжки назвали

3


29

проміжками знакосталості функції. Вони вказують, де графік функції розміщений вище осі Ох, де – нижче. Знайдемо нулі та проміжки

знакосталості для функції f x xx

( ) =−

3

21

. Щоб знайти нулі функції, треба

розв’язати рівняння: xx

3

21

0−

= на області його визначення. ОДЗ: х2 – 1 ≠ 0,

х ≠± 1. Тоді х3 = 0, звідки х = 0. Отже, в точці (0; 0) графік цієї функції перетне вісь Ох.

Для знаходження проміжків зна-косталості наносимо на числову вісь чис-ла: -1, 0, 1. Шукаємо знак на кожному проміжку (див. рис. 1.7).

Отже, для х ∈ (-∞; -1) ∪ (0; 1) функція від’ємна і її графік міститься ниж-че осі Ох, а для х ∈ (-1; 0) ∪ (1; ∞) функція додатна і графік розташовується вище осі Ох.

Періодичність функцій. З періодами в житті ви знайомі, оскільки багато процесів і явищ у навколишньому світі повторюються через певний проміжок часу. Наприклад, через кожні 24 години наступає нова доба, через 7 днів – тиждень, 12 місяців – рік, 100 років – століття тощо. Такі процеси на-зивають періодичними, а функції, які моделюють їх, – періодичними функ-ціями. Із періодичними функціями в алгебрі ви зустрічалися рідко, частіше на уроках фізики (гармонійні коливання), але в цілому деякі уявлення про графік періодичної функції маєте.

Функція f(х) називається періодичною, якщо існує таке число Т ≠ 0, що при будь-якому х з області визначення функції f(х) вико-нуються рівності: f (х – Т) = f (х)= f (х + Т), де (х + Т) і (х – Т) також належать цій області.

Отже, періодична функція повторює свої значення через деякий ненульо-вий період – не змінює свого значення при додаванні (відніманні) до аргу-менту фіксованого ненульового числа Т – періоду функції f(х). Тому, напри-клад, функція виду у = b, де b – будь-яке дійсне число, не є періодичною, бо для будь-якого значення х, значення функції у повторюються (Т = 0).

Будь-яка періодична функція має нескінченну множину періодів: якщо Т – період функції f (х), то і число виду пТ – період цієї функції, де п ∈ Z, п ≠ 0. Коли говорять про період, то у більшості випадків мають на увазі най-менший додатний період (якщо такий існує). Найменший додатний період називають основним періодом.

Розглянемо приклад періодичної функції f (х) = {х} – функція дробової ча-стини числа х. Отримують таку функцію, коли кожному дійсному числу х ставлять у відповідність різницю х-[х], де [х] – ціла частина числа, що не перевищує числа х. Така різниця може дорівнювати 0, коли х – ціле число, або правильному дробу, коли х – дробове число, звідки пішла назва «функція дробової частини числа».

4

–1 0 1 x

_ _ + +

Рис. 1.7

30


Отже, для функції f(х) = {х} характерно: область визначення функції – множина дійсних чисел; область значень – проміжок [0; 1); виконується рів-ність: {х} = х -[х].

Для побудови графіка функції f(х) = {х} складемо таблицю значень (х; у):х – 2 – 1,8 – 1,2 – 1 – 0,8 – 0,2 0 0,2 0,8 1 1,2 1,8 2,2у 0 0,2 0,8 0 0,2 0,8 0 0,2 0,8 0 0,2 0,8 0,2

Отже, якщо до довільного дійсного числа, дробова частина якого дорівнює х, додавати будь-яке ціле число Т (Т≠0), то завжди отримаємо таке дійсне чис-ло, дробова частина якого також дорівнює тому самому числу х ∈ [0; 1).

Тобто f(х + Т) = (х + Т) – [(х + Т)] = (х + Т) – [х] – Т = х – [x] = f(х).Це означає, що задана функція f(х) = х – [х]

(або функція f(х) = {х}) – періодична, її період – будь-яке ціле число, однак найменший додатний період дорівнює 1 (рис. 1.8).

Із означення періодичності функції випли-ває, що графік періодичної функції буде «пов-торювати себе через проміжок Т». Тому, якщо треба побудувати графік періодичної функції, то його будують, як правило, на проміжку [0; Т], де Т – найменший додатний період, а відтак переміщу-ють по осі абсцис. Очевидно, що графік функції f(х) = х – [х] побудовано у та-кий спосіб: спочатку побудовано графік на проміжку 0 ≤ x < 1, а відтак його перемістили вздовж осі абсцис, отримуючи графік всієї функції (рис. 1.8).

Властивості і графіки деяких елементарних функцій. До ос-новних елементарних функцій відносять такі функції: лінійні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернено-тригонометричні, функції многочлена n-го степеня, дробово-раціональні, ірраціональні. Окре-мі з них вам відомі, окремі будемо вивчати в курсі алгебри і початків аналізу, а окремі ви зможете опрацювати самостійно. Однак, щоб побудувати графік довільної функції, на практиці розроблено етапи дослідження властивостей функції – певний алгоритм.

Алгоритм дослідження функції і побудови її графіка1. Знайти область визначення функції.2. Знайти область значення функції.3. Дослідити функцію на парність.4. Дослідити функцію на періодичність.5. Знайти нулі функції, проміжки знакосталості.6. Визначити проміжки зростання, спадання функції.7. Дослідити функцію на неперервність.8. Побудувати схематично її графік.

Якщо для функції не виконується один із пунктів, то його опускають. На прикладах відомих вам функцій проведемо такі дослідження.

5

12345678

y

х1 -1 0 2

Рис. 1.8


31

Лінійна функція. Лінійною називається функція, яка задається форму-лою виду у = kх + b, де х – змінна, k, b – дані числа. Сформулюємо її власти-вості та зобразимо графік.

ОВФ – множина всіх дійсних чисел, оскільки kх + b – многочлен, а отже, змінна х може приймати довільне значення. Тобто D(y) = R або D(y) = (–∞; +∞).

ОЗФ – множина всіх дійсних чисел, оскільки kх+b – многочлен, а отже змінна у може приймати довільне значення. Тобто E(y) = R або E(y) = (–∞; +∞)

Функція: індиферентна, якщо k ≠ 0, b ≠ 0 (y = kx + b); непарна, якщо b = 0, k ≠ 0 (y = kx); парна, якщо k = 0, b ≠ 0 (y = b).

Функція неперіодична.

Нулі функції: xbk

= − , де k ≠ 0 (абсциса точки перетину графіка функ-ції з віссю Ох).

Проміжки знакосталості функції залежать від значення k: якщо k < 0,

то на проміжку (– ∞; kb- ) значення функції додатні (y > 0), а на проміжку

( kb- ; ∞) значення функції від’ємні (y < 0); якщо k > 0, то y < 0 на проміжку

(– ∞; kb- ), і y > 0 на проміжку ( k

b- ; ∞). Проміжки монотонності: якщо k > 0,

то у2 – у1 > 0 і функція на всій області зростає, якщо ж k < 0, то у2 – у1 < 0, функ-

ція на всій області визначення спадна. Функція неперервна, оскільки визначена на множині всіх дійсних чисел. Побудова графіка: можна довести, що графік кожної лінійної функції –

пряма. І навпаки, кожна пряма на координатній площині, яка не пер-пендикулярна до осі абсцис, є графіком деякої лінійної функції. Оскільки для побудови прямої достатньо мати дві точки, то визначаючи їх, будують графік лінійної функції. Схематично графік зображено на рисунку 1.9 залежно від коефіцієнта k. На рисунку 1.10 зображено окремі випадки графіка при k = 0 та при b = 0. Зокрема: якщо k = 0, то у = b і графік па-ралельний осі Ох; якщо b = 0, то у = kх (пряма пропорційність, її графік проходить через початок координат). Число k назвали кутовим коефіці-єнтом, оскільки від нього залежить кут нахилу прямої до додатної ча-стини осі Ох (при їх перетині). Наприклад, якщо графік проходить через

точки А(х1; у1) та В(х2; у2), то ky y

x x=

−

−2 1

2 1

.

1

2

3

4

5

67

y

1

х1 0 k

k< 0

k> 0b

b

b −

y

1

х1

k< 0

k> 0 у = b

0

Рис. 1.9 Рис. 1.10

32


Приклад 3. Побудуйте графік функції y = 2x + 1.

Побудова Чому саме так?

y

x

1

1 0 -0,5

•

•

Рис. 1.11

Функція y = 2x + 1 – лінійна, її графіком є пряма. Для побудови прямої задають, на свій розсуд, дві точки (можна таблицею):

х 0 –0,5

у 1 0

Далі ці точки позначають на ко-ординатній площині і через них бу-дують пряму.

Пряма містить безліч точок, ко-ординати кожної з яких перетворю-ють формулу y = 2x + 1 у правильну рівність (рис. 1.11).

Важливо вміти: характеризувати функцію за побудованим графіком.

Дайте характеристику функції y = 2x + 1 за побудованим графіком.

Обернена пропорційність. Функція виду y xk= , де k деяке число, при-

чому k ≠ 0, називається оберненою пропорційністю. Число k – коефіцієнт оберненої пропорційності. Сформулюємо її властивості та зобразимо графік.

ОВФ – множина всіх дійсних чисел крім нуля, бо на нуль ділити не можна, а отже, змінна х може приймати довільне значення, крім нуля.

Тобто D(y): x ≠ 0 або D(y) = (–∞; 0) ∪ (0; +). ОЗФ – множина всіх дійсних чисел, крім нуля, бо заданий дріб ніколи

в нуль не перетвориться, а отже, змінна у може приймати довільне значення, крім нуля.

Тобто E(y): y ≠ 0 або E(y) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞). Функція непарна, тому її графік симетричний відносно початку

координат. Функція нулів не має. Проміжки знакосталості функції залежать від знака коефіцієнта k:

1) якщо k < 0, то на проміжку (-∞; 0) значення функції додатні (y > 0), а на проміжку (0; ∞) – від’ємні (y < 0);

2) якщо k > 0, то на проміжку (-∞; 0) значення функції від’ємні (y < 0), а на проміжку (0; ∞) – додатні (y > 0).

Проміжки монотонності:1) якщо k > 0, то функція спадає на інтервалах (–∞; 0) і (0; ∞), адже при

виконанні нерівності х2 – х1 > 0 правильною є нерівність: у2 – у1 < 0 ;

1

2

3

4

5


33

2) якщо k < 0, то функція зростає на інтервалах (–∞; 0) і (0; ∞), оскільки: х2 – х1 > 0, а у2 – у1 > 0.

Функція не є неперервною: (0; 0) – точка розриву. Побудова графіка має два різні варіанти (рис. 1.12). У будь-якому варіан-

ті графіки симетричні відносно початку відліку. Тому достатньо побу-дувати таблицю значень для додатних значень аргументу і симетрич-но відобразити цю частину графіка відносно початку координат.

Отриману криву, яка наближається до осей Ох і Оу, але їх не перетинає, називають гіперболою.

Приклад 4. Побудуйте графік функції y x6= .


10

1 х

y •

•

••

•

•

••

Графіком цієї функції є гіпербола. Для її побудови достатньо укласти таблицю точок для додатних значень аргументу, здійснити побудо-ву частини графіка у І чверті, та симетрично її відобразити відносно початку координат у ІІІ чверті.

х 1 2 3 6

у 6 3 2 1Можна виконувати побудову навпаки

у ІІІ чверті та симетрично відображати у І чверті, отримуючи дві вітки гіперболи – гра-

фік функції yx

=8

.

За побудованим графіком легко визначити область значень цієї функції: y ∈ (–∞; 0) ∪ (0; +∞).

Важливо вміти: характеризувати функцію за побудованим графіком.

Дайте характеристику функції y x

6= за побудованим графіком.

67

y

O

k

kxy=—

х1

y

O

k

kxy=—

х1

Рис. 1.12

a) k > 0 б) k < 0

34


Знайдемо область значень цієї функції E(y) аналітичним способом: нехай

x a6 = , тоді ax = 6, де x ≠ 0, звідки x = 6: a, тобто a ≠ 0.Отже, y ≠ 0, або y ∈ (–∞; 0) ∪(0; +∞), або E(y) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞).

Квадратична функція. Функція виду y ax bx c= + +2 , де a, b, c – деякі числа, причому а ≠ 0, називається квадратичною. При-кладом квадратичних функцій можуть бути функції виду: y = x2, y = x2 + 3, y = – (x + 4)2, y = – 2(x – 1)2 + 4. Розглянемо квадратичну функцію виду у=ах2, сформулюємо її властивості та зобразимо графік.

ОВФ – множина всіх дійсних чисел R, бо функція задається многочленом.

ОЗФ: якщо а > 0, то вираз ах2 ≥ 0, тому Е(у) = [0; ∞); якщо а < 0, то вираз ах2 ≤ 0, тому Е(у) = (-∞; 0]. Функція парна, тобто графік функції симетричний відносно коорди-

натної осі Оу. Нулі функції: ах2 = 0, звідки х = 0, тобто (0; 0) – точка перетину графіка

з віссю Ох, що співпадає з початком координат.Проміжки знакосталості:1) якщо а > 0, то y > 0 при або x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; ∞), тобто графік функції

міститься вище осі Ох і дотикається до осі при х = 0, звідки отримує-мо, що найменше значення функції у = 0;

2) якщо а < 0, то y < 0 при або x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; ∞), тобто графік функції міститься нижче осі Ох і дотикається до осі при х = 0, звідки отримує-мо, що найбільше значення функції у = 0.

Монотонність функції: якщо а > 0, то функція на проміжку (–∞; 0] спадає, а на проміжку

[0; ∞) – зростає; якщо а < 0, то функція на проміжку (–∞; 0] зростає, а на проміжку

[0; ∞) – спадає (перевірте самостійно). Функція неперервна. Побудова графіка функції: можна виконати побудову графіка, ви-

користовуючи властивість парності функції, отримуючи криву (рис. 1.13), яку називають параболою. Точку (0;0) назвали верши-ною параболи. Парабола має дві вітки: якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору (графік спадає до абсциси вершини параболи, після чого зростає); якщо а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз (графік зростає до абсциси вершини параболи, після чого спадає).

1

2

3

4

5

67

Рис. 1.13

a) a > 0 б) a < 0y

хO

y

хO


35

Зауважте! Графіки функцій у = ах2 та y = ax2 + bx + c – однакові па-раболи, тільки по-різному розміщені на координатній площині. Для по-будови другого графіка шукаємо за формулою вершину параболи (m; n),

де m ab

2=- , n ab ac

442

=- - . Тобто точка ;ab

ab ac

2 442

- - -c m – вершина парабо-

ли. Ординату точки можна також знайти, підставивши у формулу значення її абсциси. Також можна обчислити координати ще кількох точок і побудувати схематично ескіз графіка.

Приклад 5. Побудуйте графік функції y = x2 + 2x + 3.


y

1х

1 0

••

•

т = -ba2

= -22

= -1; п = --b ac

a

2 44

= 44 12--

= 2.

Отже, вершина параболи – точка (–1; 2).Обчислюють координати ще кількох точок, що

належатимуть графіку функції:якщо х = 0, то у = 3;якщо х = 1, то у = 6;якщо х = –2, то у = 3.Відкладають отримані точки на координатній

площині і з’єднують плавною лінією, що є схематичним графіком заданої функції.

Зауважте! За побудованим графіком легко визначити область значень цієї функції: y ∈ [2; +∞).

Дайте характеристику функції y = x2 + 2x + 3 за побудованим графіком.

Знайдемо область значень цієї функції E(y) аналітичним способом: нехай x2 + 2x + 3 = a, тоді x2 + 2x + 3 – a = 0, звідки D1 = 12 – 1 · (3 – a) = 1 + a – 3 = a – 2. Квадратне рівняння матиме розв’язки, якщо D1 ≥ 0, тобто a – 2 ≥ 0, звідки a ≥ 2. Отже, y ≥ 2, або y ∈ [2; +∞), або E(y) = [2; +∞).

Приклад 6. Знайдіть область значень функцій: 1) x 1

2y 2=+

; 2) y xx

142=+

.Розв’язання

1) Нехай x 1

2 a2 += , тоді ax a 22 + = , ax a22 = - , x a

a22 = - , x aa2= - ,

звідки aa2 0$- , a

a 2 0#- , ( )a a

a2 0

0!#-* .

Отже, a ∈ (0; 2], тобто y ∈ (0; 2], E (y) = (0; 2].

2) Нехай xx a1

42 +

= , тоді ax a x42 + = , ax x a4 02 - + = , звідки

D a a a2 412 2$= - = - . Квадратне рівняння матиме розв’язки, якщо D1 0≥ ,

тобто a4 02 $- , або a 42 = , звідки a 2= , тобто a2 2# #- .

36


Отже, y ∈ [– 2; 2], або E (y) = [– 2; 2].

Відповідь: 1) E (y) = (0; 2]; 2) E (y) = [– 2; 2].

Чому саме так?

У більшості випадків знаходження області значень аналітичним спо-собом змінну виражають х через змінну у і шукають область допустимих значень для змінної у. Інколи, щоб полегшити цей процес, вводять замість змінної у деяку іншу змінну а (а – число або числовий проміжок), а далі виконують таку ж процедуру.

Отже, у першому завданні отримують неповне квадратне рівняння виду x2 = c, яке має розв’язки при c ≥ 0, бо x2 ≥ 0. Отримавши дробо-раціональну нерівність, застосовують один із способів її розв’язання. Очевидно, що знак дробу збігається із знаком добутку, тому можна розв’язувати рівносильну систему нерівностей.

У другому завданні отримують квадратне рівняння, яке матиме розв’яз-ки, коли дискримінант невід’ємний. Однак 2-й коефіцієнт рівняння – парне число, то зручніше користуватися спрощеним дискримінантом D1 .

Функція у = x (рис. 1.9). Сформулюємо її властивості та зобра-зимо графік.

D(у) = [0; ∞) – усі невід’ємні дійсні числа. Е(у) = [0; ∞) – усі невід’ємні дійсні числа. Функція індиферентна (доведіть самостійно). Монотонність функції: функція зростає на проміжку [0; ∞), оскільки: якщо х2 > х1, то у2 – у1 > 0.

Функція неперіодична. Нулі функції: точка (0; 0) – точка перетину графіка з віссю абсцис, що співпадає з початком координат. Проміжки знакосталості: у > 0 при x > 0, тобто на проміжку (0; ∞) гра-фік міститься вище осі Ох. Побудова графіка функції: використовуючи властивості функції, от-римаємо криву (рис. 1.14).

123

4

5

6

y

1х

1 •

Рис. 1.14


37

Приклад 6. Побудуйте графік функції y x= + 2 .


10

1х

y

••

••

ОВФ: x + 2 ≥ 0, звідки x ≥ –2.х –2 –1 2 7

у 0 1 2 3

Відкладаємо отримані точки на координатній площині і з’єднуємо плавною лінією, що є схематичним графіком заданої функції y x= + 2 .

Областю значень цієї функції є множина невід’ємних чисел – x ∈ [0; +∞).

Дайте характеристику функції y x= + 2 за побудованим графіком.

Складена функція**. Під час вивчення функцій вам довелося розглядати

такі, які мають простіший вигляд, наприклад y x2= , y x= , y x1= (їх

називають елементарними), і більш складний, наприклад, ( )y x2 1 2= + ,

y x 2= + , ( )

y x 11

2=-

(їх називають складеними).

Введемо поняття «складена функція», оскільки воно допомагає впізнати властивості деякої досліджуваної залежності, яка задана аналітично. Оче-видно, що складена функція складається певним чином з декількох елемен-тарних функцій.

Розглянемо, наприклад, дві функції: функцію ( )y z{= , яка визначена на множині Z, і функцію z g x= ( ) , яка визначена на множині Х. Тобто об-ласть визначення функції φ співпадає з областю значень функції g. Отже, от-римаємо: зовнішню функцію φ, яка у свою чергу, залежить від внутрішньої функції g. Коротко це записують формулою ( ( ))y g x{= . Функцію, задану формулою ( ( ))y g x{= , називають складеною із функцій { і g, або суперпози-цією функцій { і g.

Наприклад, функція y x 42= + складена із двох більш простих функ-цій: z x x( ) = +2 4 (внутрішня) та y z z( ) = (зовнішня); y x= +( )2 1

2 – із z x x( ) = +2 1 (внутрішня) та y z z( ) = 2 (зовнішня); y x= + 2 – із z x x( ) = + 2 (внутрішня) та y z z( ) = (зовнішня).

Аналогічно можна розглядати складені функції, які є суперпозицією біль-ше ніж двох функцій. Наприклад, функція y x= +( )2

3

може бути розглянута

як суперпозиція функцій: 1) z x x( ) = ; 2) ( )u z z 2= + і 3) y u u( ) = 3.

Зауважте! Результат суперпозиції двох різних функцій залежить від порядку, в якому ці функції задаються (зовнішня і внутрішня функції), тобто g(φ(x)) ≠ φ(g(х)), якщо φ(х) ≠ g(x).


38

Приклад 7. Для функцій g(x) = x2 + x i φ(x) = x3+1 складіть функції: 1) g(φ(x)); 2) φ(g(х)).

Розв’язання Чому саме так?У складеній функції g(φ(x)) вну-

трішньою функцією є функція φ, а зовнішньою g.

Позначимо: z = x3 + 1, тодіg(φ(x)) = g(z) і g(z) = z z2 + , z ≥ 0.

Тобто:( )g x x x1 13 2 3{ = + + +_ _i i , x 3 + 1 ≥ 0.

2) У складеній функції φ(g(x)) внутрішньою функцією є функція g, а зовнішньою φ.

Позначимо: t = x2 + x , x ≥ 0, тоді( ( )) ( )g x t{ {= і ( )t t 13{ = + .

Тобто: φ(g(х)) = (x2 + x )3 + 1, x ≥ 0.

Відповідь:1) ( )g x x x1 13 2 3{ = + + +_ _i i , x3 + 1 ≥ 0.2) ( ( )) ( )g x x x 12 3{ = + + , x ≥ 0.

Використовуючи означення складеної функції, отримують два різні випадки, в яких зовнішні і внутрішні функції міняються місцями.

Якщо функція g – зовнішня, то її значення складаються із суми квадрата незалежної змінної і кореня квадратного із незалеж-ної змінної на допустимій області визначення.

Якщо функція φ – зовнішня, то її значення складаються із суми куба незалежної змінної та 1.

Підпорядковуючи зовнішній функції відповідну їй внутріш-ню, визначають записи складе-них функцій.

ВПРАВИ1.40°. Функція задана формулою

33f (x)

x=

-. Укажіть область визна-

чення функції.А) D(f) = (–∞; 1) ∪ (1; +∞); Г) D(f) = (–∞; 3) ∪ (3; +∞);Б) D(f) = (–∞; –1) ∪ (–1; +∞); Д) D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞).В) D(f) = (–∞; –3) ∪ (–3; +∞);

1.41°. Укажіть ТРИ функції, областю визначення яких є множина всіх дійсних чисел.

А) у = x2 – 2x + 3; В) у = |x| – 24; Д) у = x2 + 4|x| – 5.

Б) у = x2 4- ; Г) у = 25 - x ;

1.42°. Дано функцію ( )f x x 25=- - . Ідентифікуйте кожному значенню ар-

гументу х із умов (А–Д) відповідне значення функції f (х) із висновків (1–5).

А) х = 1,2; 1) f (х) = 325 ; А

Б) х = 1,4; 2) f (х) = 225 ; Б

В) х = 1,5; 3) f (х) = 425 ; В

Г) х = 1,6; 4) f (х) = 25; Г

Д) х = 1,8. 5) f (х) = 10. Д

39


1.43°. Укажіть функцію, схематичний графік якої проходить через точку К (2; 3).1) y = 3x + 4; 3) y = –3x + 2; 5) y = 4x + 1.2) y = 5x – 7; 4) y = –2x + 7;А) 1 і 2; Б) 2 і 3; В) 3 і 4; Г) 2 і 4; Д) 3 і 5.

1.44°. Укажіть рисунок, на якому зображено графік парної функції.

А) Б) В)

Г) Д)

1.45°°. Установіть, які з-поміж заданих функцій є парними.1) f (х) = x2 –5; 2) f (х) = x + 1; 3) f (х) = |x – 1|; 4) f (х) = |x| – 1; 5) f (х) = –x2.А) 1, 3 і 4; Б) 3, 4 і 5; В) 1, 3 і 5; Г) 2, 3 і 4; Д) 1, 4 і 5.

1.46°°. Визначте, які з нижчезаданих функцій – непарні.1) f (х) = x + 3; 2) f (х) = –x; 3) f (х) = –x4; 4) f(х) = –x3; 5) f (х) = x3 + 1.А) 1 і 4; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г) 4 і 5; Д) 3 і 4.

1.47°°. Визначте дві функції, які строго зростають при х > 0.

А) y = 2 – x2; Б) y = 2x – 1; В) y = –x + 4; Г) y = 2

x; Д) y = x2 – 5.

1.48°°. Визначте три функції, які строго спадають при х < 0.

А) y = –x – 5; Б) y = x + 5; В) y = x2 – 1; Г) y = –x2 + 1; Д) y = 5

x.

1.49°°. Визначте три правильні твердження для функції f(х) = [х].А) f(π)=3; Б) f(–3,4)= –3; В) f(–2,2)= –3; Г) f(0,7)=0; Д) f(–0,3)=0.

1.50°°. Визначте чотири правильні твердження для функції g(х) = {х}.А) g (2,7) = 0,7; Б) g(3,3) = 0,7; В) g(–2,3) = 0,7; Г) g(0,7) = 0,7;Д) g(–0,3) = 0,7.

1.51•. Знайдіть значення абсциси точки А, через яку проходить графік функції f (х).

1) f (х) = x3, якщо А(х; 64); 3) f (х) = 3x2 – 5x + 1, якщо А(х; 3);

2) f (х) = 3

1x -, якщо А(х; –2); 4) f (х) =

x

x

2 15

1

-

-, якщо А(х; 7).

1

y

х1 0

1

y

х1 0

1

y

х1 0

1

y

х1 0

1

y

х1 0

40


1.52•. Дослідіть на парність функцію:

1) f(х) = х2 – 5; 3) f(х) = |1 – x|; 5) f(x) = –x2; 7) f(x) = 1- x;

2) f(х) = х + 1; 4) f(x) = x3 + x; 6) f xx x

( ) =−

12

; 8) f(x) = 2 2x x- .

1.53•. Знайдіть нулі функції та проміжки знакосталості.

1) у = х2 – х; 3) y x= ; 5) yx

x x=

− +2

5 42

;

2) у = |x| – 2; 4) yxx

=−−

2 11

; 6) y xx

=−+

24

2.

1.54•. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою.

1) у = |x| – 2; 3) y = |5 – x|; 5) y = x

x

2 4

1

-

-; 7) y =

2

5 42

x

x x− +;

2) y = x - 4 ; 4) у = x2 – x – 2; 6) y = 1

2x x-; 8) y =

2

5 62

−

− +

x

x x.

1.55••. Побудуйте графіки функцій:

1) ( ),,,

f x101

=-

Z

[

\

]]]]]]]]

2) ( ),,

f xx

x2 1

2=--)

Зауважте! Функцію, задану умовою (1), також називають функцією зна-ків, оскільки кожному від’ємному числу відповідає число: –1, кожному додат-ному: 1, а нулю – число 0. Походження від латинського signum – знак. Позна-чають f(x)=sgn x, або у = sgn x.

1.56••. Доведіть, що x sgn x x$ = " ,.1.57••. Дослідіть на періодичність функцію.

1) f (x) = 7; 3) f (x) = {х} – 1; 5) yx

=

2 ;

2) f (x) = 2[x] + 1; 4) f (x) = x2

+ 1; 6)

,

,y

10

= *

Зауважте! Функцію, задану умовою (6), називають функцією Діріхле, по-значають у=d (x).

1.58••. Знайдіть область значення функції, заданої формулою.

1) у = 3 х2 – 2 х – 1; 3) у = – 2 х2 + 3 х – 1;2) у = 3 х2 – 2 х + 1; 4) у = – 2 х2 + 3 х + 1.

якщо x – раціональне числоякщо x – ірраціональне число

якщо x > 0,

якщо x = 0,

якщо x < 0.

якщо x ≥ 0,

якщо x < 0.

41

§ 1.4. Побудова графіків функцій

1.59••. Знайдіть найбільше або найменше значення функції, заданої формулою.

1) у = 3 х2 + 2 х – 1; 3) у = – 2 х2 – 3 х – 1;2) у = 3 х2 + 2 х + 1; 4) у = –2 х2 – 3 х + 1.

1.60••. Знайдіть область значень функції:

1) yxx

=+−

23

; 3) yxx

=−−

23

; 5) yxx

=+−

32

; 7) yxx

=−−

32

;

2) yxx

=−+

23

; 4) yxx

=++

23

; 6) yxx

=−+

32

; 8) yxx

=++

32

.

§ 1.4. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних

перетворень відомих графіків функцій

Часто доводиться досліджувати функцію, яку можна звести до відомої, тоді алгоритм побудови графіка дещо спрощується. У цьому параграфі ми обґрунтуємо геометричні перетворення (переміщення, симетрія відносно осі, стискання, розтягування графіка відносно осей тощо), які в таких випадках значно спрощують процедуру побудови графіків досліджуваних функцій. Розглянемо, як можна побудувати графіки функцій за відомими графіками інших функцій.

Нехай задано графік функції y = f(x). Побудуємо графіки нижчезаписа-них функцій (1–6):

1) y = –f(x); 2) y = mf(x); 3) y = f(–x); 4) y = f(kx); 5) y = f(x) + b; 6) y = f(x + a); та узагальнимо їхню побудову на прикладі графіка функції:

7) y = mf(kx + a) + b.1. Побудова графіка функції y = – f (x). Очевидно, що коли точка (x0; y0)

належить графіку функції y = f(x), то при x = x0 функція y = – f (x) набуватиме значення y = – f (x0) = – y0. Тобто точка (x0; – y0) належить графіку функції y = – f (x). Висновок:

1) одному й тому ж значенню аргументу x0 у двох функціях відповіда-ють два протилежні значення y0 і –y0;

2) між точками графіків цих функцій можна установити взаємно одно-значну відповідність.

Оскільки при певних значеннях аргументу x значення функцій y = f(x) і y = –f(x) відрізняються лише знаком, то їхні графіки будуть симетричними відносно осі абсцис (рис. 1.15). Отже, графік функції y = –f(x) можна отри-мати із графіка функції y = f(x) за допомогою перетворення симетрії від-носно осі Ох.

42


2. Побудова графіка функції y = mf(x). Якщо вибрати точки з коорди-натами (х; у), що належать графіку функції y = f(x), то відповідні їм точки графіка функції y = mf(x) матимуть координати (х; mу). Тобто між точками графіків цих функцій можна установити взаємно однозначну відповідність. Якщо m > 0, то абсциси кожної точки графіків функцій y = f(x) і y = mf(x) од-накові, а ординати відрізняються у m разів: кожну ординату точки графіка функції y = f(x) отримують із відповідної ординати точки графіка y = f(x), помноженої на число m. Очевидно, що таке перетворення графік функції y = f(x) буде або стискати до осі Оx при 0 < m < 1, або розтягувати від цієї осі Оx при m > 1 (рис. 1.16).

Кажуть: графік функції y = mf(x) отримано з графіка функції y = f(x)у результаті:

– розтягу від точки (0; 0) вздовж осі ординат Oу з коефіцієнтом m (у m разів), якщо m > 1;

– стиску до точки (0; 0) вздовж осі ординат Oу з коефіцієнтом m1

(у m1 разів), якщо 0 < m < 1.Якщо ж m < 0, то спочатку можна побудувати графік y = |m|f(x), який

отримують з графіка функції y = f(x) завдяки розтягу або стиску від точки (0; 0) вздовж осі ординат Oу з коефіцієнтом |m|, а відтак – графік функції y = –|m|f(x), за допомогою перетворення симетрії відносно осі Ох.

Доведіть самостійно: якщо точка (x0; y0) належить графіку функції y = f(x), то точка (x0; my0) належатиме графіку функції y = mf(x).

3. Побудова графіка функції y = f(–x). Якщо точка (x0; y0) належить графіку функції y = f(x), то при x = –x0 функція y = f(–x) набуватиме значення y = f (– (– x0)) = f(x0) = y0. Тобто точка (– x0; y0) належить графіку функції y = f(– x). Очевидно, що протилежним значенням аргументів x0 і – x0 відпові-дають однакові значення функцій – y0, і між точками графіків цих функцій можна установити взаємно однозначну відповідність. Оскільки ордината

y

1

х

1

f (x)

− f (x)

y

1

х

1

m f (x), m >1

f (x)

m f (x), 0 < m < 1

Рис. 1.15 Рис. 1.16


43

точки графіка функції y = f(–x) з деякою абсцисою х рівна ординаті точки графіка функції y = f(x) з деякою абсцисою –х, то це означає, що графік функ-ції y = f(–x) можна отримати з графіка функції y = f(x) за допомогою перетво-рення симетрії відносно осі Оу (рис. 1.17).

4. Побудова графіка функції y = f(kx). Очевидно, що k ≠ 0. Якщо k > 0, то ордината точки графіка функції y = f(kx) з абсцисою х рівна ординаті точки графіка функції y = f(x) з абсцисою kx. Тобто графік функції y = f(kx) можна от-римати з графіка функції y = f(x) у результаті стиску або розтягу відносно точки (0; 0) вздовж осі абсцис Oх (рис. 1.18). Зокрема:

1) якщо k > 1, то стиску до точки (0; 0) вздовж осі абсцис Oх з коефіцієн-том k (у k разів);

2) якщо 0 < k < 1, то розтягу від точки (0; 0) вздовж осі абсцис Oх з кое-фіцієнтом k

1 (у k1 разів).

Якщо ж k < 0, то спочатку будують графік функції y = f(|k|x), а відтак його симетрично відображають відносно осі Оу.

Доведіть самостійно: якщо точка (x0; y0) належить графіку функції

y = f(x), то точка ;kx

y0

0d n належатиме графіку функції y = f(kx).

5. Побудова графіка функції y = f(x) + b. Якщо точка (x0; y0) належить графіку функції y = f(x), то при x = x0 функція y = f(x) + b набуватиме значення y = f(x0) + b = y0 + b. Тобто точка (x0; y0 + b) належить графіку функції y = f(x) + b. Це означає, що між точками графіків цих функцій можна установити взаємно однозначну відповідність. Зрозуміло, що коли всі точки графіка функції y = f(x) змістити паралельно осі Оу на b одиниць угору, якщо b > 0 і на |b| одиниць униз, якщо b < 0, то отримаємо графік функції y = f(x) + b (рис. 1.19). Очевидно, що таке переміщення графіка функції y = f(x) можна здійснити двома способами:

а) зміщуючи увесь графік функції y = f(x) паралельним перенесенням вздовж осі Оу на вектор ;b0_ i;

б) зміщуючи вісь Ох на вектор ; b0 -_ i.

f (− x )

1

х

y

1

f (x )

y

x

1

1

f (kx), 0<k<1

f (kx), k>1

f (x)

Рис. 1.17 Рис. 1.18

44


6. Побудова графіка функції y = f(x + a). Якщо точка (x0; y0) належить графіку функції y = f(x), то при x = x0 – a функція y = f(x + a) набуватиме значення y = f(x0 – a + a) = f(x0) = y0. Тобто точка (x0 – a; y0) належить гра-фіку функції y = f(x + a). Отже, між точками графіків цих функцій y = f(x) і y = f(x + a) можна установити взаємно однозначну відповідність. Ордината точки графіка функції y = f(x) з абсцисою х дорівнює ординаті точки графі-ка функції y = f(x + a) з абсцисою (х – а). Тому, якщо (x; y) – точка графіка y = f(x), то (х – а; y) – точка графіка y = f(x + a). Точку (х – а; y) можна отримати з точки (х; y), якщо її перенести паралельно вздовж осі Ох на |a| одиниць, причому, якщо а > 0, то треба здійснити перенесення ліворуч, а якщо а < 0, то навпаки, – праворуч (рис. 1.20). Очевидно, що можна також застосовувати перенесення не графіка, а осі Оу, – на |a| одиниць відповідно до знака чис-ла а (якщо а > 0, то праворуч; якщо а < 0, то ліворуч).

7. Побудова графіка функції y = mf(kx + a) + b за відомим графіком функції y = f(x).

Для побудови цього графіка функції y = mf(kx + a) + b користуються та-ким алгоритмом:

1. Виносять за дужки число k – коефіцієнт аргументу х:

y mf k x ka b= + +d c mn .

2. Утворюють допоміжну функцію y = mf(kx) і будують її графік, наприклад, у пунктирній системі координат, використовуючи властивості функцій 2 та 4 (рис. 1.21).

3. За властивістю функції 6 переносять пунктирну вісь Оу на вектор

;ka 0c m. Це буде основна вісь Оу.

4. За властивістю функції 5 переносять пунктирну вісь Ох на вектор

; b0 -_ i. Це буде основна вісь Ох.5. Задають в основній системі координат такий самий масштаб, як і

у пунктирній.

y

1х

1

f (x)

f (x) + b, b>0

f (x) + b, b<0

y

1

1

х

f (x+a), a<0

f (x)

f (x+a), a>0

Рис. 1.19 Рис. 1.20


45

Часто доводиться будувати графіки функцій, які містять модулі та їхніх комбінації. Розглянемо правила найбільш поширених випадків:

а) За модулем взято аргумент, а саме: y = mf(k|x| + a) + b. Маючи графік функції y = mf(kx), легко отримати графік функції y = mf(k|x|). Остан-ня функція парна. Отже, при побудові її графіка після переносу осей, зберігаємо ту частину графіка y = mf(kx), яка розміщена праворуч від осі Оу, та на ній і відобразимо її симетрично відносно осі Оу.

б) Функція приймає тільки невід’ємні значення, а саме – y = |mf(kx + a) + b|. Отже, щоб побудувати графік цієї функції, потріб-но після переносу осей залишити без змін частину графіка функції, де y ≥ 0, а частину графіка функції, де y < 0, симетрично відобразити відносно осі Ох.

в) Якщо y mf k x ka b= + +d n , то функція парна відносно допоміжної осі

Оу. Отже, будуємо графік допоміжної функції, здійснюємо перенос осей та зберігаємо ту його частину, яка розміщена праворуч від допоміжної осі Оу та на ній і відобразимо її симетрично відносно допоміжної осі Оу.

г) Якщо y = |mf(kx + a)| + b, то функція приймає значення більші або рівні числу b. Отже, щоб побудувати її графік, потрібно побудувати графік допоміжної функції y = mf(kx), перенести осі та залишити без змін частину графіка функції вище допоміжної осі Ох та на ній, а ча-стину графіка функції нижче допоміжної осі Ох симетрично відобра-зити відносно неї.

Якщо є комбінація модулів, то їх розкриття рекомендуємо вико-нувати від внутрішніх до зовнішніх модулів. Покажемо на прикладах відомих вам функцій використання алгоритму та правил побудови графіків.

Приклад 1. Побудуйте графік функції y = x2 + 2x + 3.Побудова

У нашому випадку отримують до-поміжну функцію y = x2, оскільки x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)2 + 2 і задана функція набула вигляду: y = (x + 1)2 + 2. Будуємо графік функ-ції y = x2.

Чому саме так?Щоб побудувати графік цієї функції, спочатку спрощують праву ча-

стину квадратичної функції, утворюючи повний квадрат. Тобто зводять її до вигляду: y = a(x – m)2 + n.

Тоді допоміжною функцією буде функція виду: y = ax2.Побудувавши параболу y = x2, її зміщують ліворуч на 1 вздовж осі Ох

та вгору на 2 одиниці вздовж осі Оу (рис. 1.21).

y

х2

2

Рис. 1.21

46


Щоб не рухати параболу, можна рухати осі, тому спочатку в пунктирній системі координат будують параболу y = x2, а далі рухають осі: праворуч (по знаку) на 1 одиницю вісь Оу і вниз (протилежно знаку) на 2 одиниці вісь Ох.

Графік функції у будь-який спосіб побудови має однаковий вигляд (рис. 1.21).

Тому у подальшому рекомендуємо користуватися методом переносу осей.

Приклад 2. Побудуйте графіки функцій: а) y = 2x2 – 4|x| – 1; б) y = |2x2 – 4x – 1|; в) y = |2x2 – 4|x| – 1|.

Побудова Чому саме так?Якщо опустити модулі, то очевидно,

що у трьох випадках отримуємо функ-цію y = 2x2 – 4x – 1. Тому у випадках а) – в) спочатку будуємо її графік.

У квадратному тричлені виділяють повний квадрат:

2x2 – 4x – 1 = 2(x2 – 2x + 1) – 3 = = 2(x – 1)2 – 3.

Отримавши функцію вигляду y = 2(x – 1)2 – 3, виділяємо допоміжну функцію y1 = 2x2 та будуємо її графік (рис. 1.22, а, б, в).

За алгоритмом, наведеним вище, переносимо вісь Ох на 3 одиниці вгору, вісь Оу на 1 одиницю ліворуч.

Тепер перейдемо до заданих моду-лів. У випадку а) – аргумент за модулем, тому частину графіка лівіше осі Оу ви-тираємо і симетрично їй відбиваємо ча-стину графіка для додатних аргументів. Значення на осі зберігаємо (рис. 1.22, а).

У випадку б) – права частина функ-ції є модулем квадратного тричлена, тому функція набуває лише невід’єм-них значень. Тому частину графіка, що розміщений на осі Ох та вище неї, залишаємо, а частину що нижче осі Ох симетрично відносно неї відображаємо у верхню півплощину (рис. 1.22, б).

У випадку в) – комбінація модулів перших двох випадків. Тому виконує-мо умови випадку а), як це зазначено вище, а потім – у випадку б), аналогічно. Отримуємо графік (рис. 1.22, в).Рис. 1.22

х

y

101

• •

• •

•

х

y

101

••

••

•

•••

•

•

х

y

101

••

••

•

•

•

•

••

•

а)

б)

в)


47

Приклад 3. Побудуйте графіки функцій: а) y x2 28=- - ;

б) ( )y x2 28 2= - - - .

Побудова Чому саме так?У нашому випадку отри-

мують допоміжнуфункцію

y x x28 4=- =- . Будуємо її график

для двох випадків:

Якщо опустити модулі, то очевидно, що у двох випадках отримуємо функцію

( )y x2 2

8 2=- - - . Тому у випадках а) –

б) спочатку будуємо її графік. Оскіль-ки допоміжна функція задає обернену пропорційність, тому вона непарна. Будуємо графік для додатних аргумен-тів за таблицею і симетрично відбива-ємо його відносно початку координат (рис. 1.23).

х 1 2 4

у –4 –2 –1

Побудувавши вітки гіперболи, далі рухають осі: ліворуч (по знаку) на 2 одиниці вісь Оу і вгору (протилежно знаку) на 2 одиниці вісь Ох.

Тепер перейдемо до заданих моду-лів. У випадку а) це|x – 2|, що задає правило в), тому частину графіка ліві-ше допоміжної осі Оу витираємо і симе-трично їй відбиваємо частину графіка для додатних аргументів (рис. 1.23, а).

У випадку б) – модуль задає правило г).

Тому частину графіка, що вище допоміжної осі Ох та на ній, – зали-шаємо, а частину нижче допоміж-ної осі Ох – симетрично відносно неї відображаємо у верхню півплощину (рис. 1.23, б).

ВПРАВИ1.61°. Укажіть пару функцій, графіки яких симетричні відносно осі Оу.

1) y x2= - ; 2) y x2 2= - ; 3) y x 2= - - ; 4) y x2 2= + ; 5) y x2 2= - .

А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 4; Г) 2 і 5; Д) 3 і 5.

Рис. 1.23

1 0 1 х

y

1 0 1 х

y

а)

б)

48


1.62°. Укажіть ДВІ пари функцій, графіки яких симетричні відносно осі Ох.1) y = x2 – 3; 2) y = 3 + x2; 3) y = –x2 – 3; 4) y = –x2; 5) y = 3 – x2.

А) 1 і 4; Б) 1 і 5; В) 2 і 3; Г) 2 і 4; Д) 3 і 5.

1.63°. Укажіть функції, графіки яких мають розтяг у k разів від точки (0; 0) вздовж ординат.

А) y = x2 + 2; Б) y x2= ; В) ,y x0 5= ; Г) y = 2x2; Д) y = 0,5x2.

1.64°. Укажіть функції, графіки яких мають стиск у k разів від точки (0; 0) вздовж абсцис.

А) y = (0,5x + 1)2; Б) ,y x0 5 1= + ; В) y = 0,5x + 1; Г) y = 0,5 + x; Д) ,y x0 5= + .

1.65°. Укажіть функції, графіки яких отримують, переміщуючи відповід-ний графік допоміжної функції на b одиниць униз відносно осі Ох.

А) y = (x – 2)3; Б) y = x3 – 2; В) y = (x + 2)3; Г) y = 2 – x3; Д) y = x3 + 2.

1.66°. Укажіть функції, графіки яких отримують, переміщуючи відповід-ний графік допоміжної функції на а одиниць праворуч уздовж осі Ох.

А) y x 5= - ; Б) y x 5= + ; В) y x 5= + ; Г) y x 5= - ; Д) y x5= .

1.67°°. Укажіть функцію, графік якої зображено на рисунку 1.24.А) y = (x + 4)2;

Б) y = (x – 4)2;

В) y = x2 + 4;

Г) y = x2 – 4;

Д) y = x2 – 4x.

1.68°°. Для побудови графіків функції використовують властивості пере-творення графіків відомих функцій. Доберіть для кожної функції (А–Д) до-поміжну їй функцію (1–4).А) y = x + 5; 1) y = x2; А

Б

В

Г

Д

Б) yx

= +−

1

12; 2) y x= ;

В) y = x2 – 4; 3) yx

=1

;

Г) y x= − +2 1; 4) y = x.

Д) y = x2 – 5x + 6.

1.69°°. Укажіть функції, графіки допоміжних функцій яких зміщено пра-воруч на 2 одиниці і розтягнуто у 3 рази від точки (0; 0) вздовж осі ординат.

1) y x6 3= - ; 2) y x 3= - ; 3) y x3 6= - ; 4) y x3 2= - ; 5) y x3 2= - ;

А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 4 Г) 1 і 5; Д) 3 і 5.

1

1

y

х

−4 0Рис. 1.24


49

1.70•. Побудуйте графік функції y = x2. Використовуючи цей графік, по-будуйте в одній системі координат графіки функцій.

1) y = x2 + 3; 2) y = (x – 3)2; 3) y = (x – 3)2 + 3; 4) y = (x + 3)2 – 3.

1.71•. Побудуйте графік функції y = –x2. Використовуючи цей графік, по-будуйте в одній системі координат графіки функцій.

1) y = –x2 + 4; 2) y = –(x + 4)2; 3) y = –(x – 4)2 + 4; 4) y = –(x + 4)2 – 4.

1.72•. Побудуйте графік функції y x8= . Використовуючи цей графік, по-

будуйте графік функції.

1) y x8 1= + ; 2) y x 1

8= - ; 3) y x 18 1= + - ; 4) y x 1

8 1= - + .

1.73•. Побудуйте графік функції y x= . Використовуючи цей графік, по-будуйте графік функці.

1) y x 2= + ; 3) y x2 1= - ; 5) ,y x0 5 1= + ; 7) y x2 3= - ;

2) y x 2= - ; 4) y x2 1=- - ; 6) ,y x0 5 1= - + ; 8) y x2 3=- + .

1.74••. Побудуйте графіки функцій, використовуючи властивості пере-творення графіків функцій.

1) y = x2 – 4; 3) y = (x – 2)2 – 1; 5) yx

= −−

1

13;

2) y = x2 – 5x + 6; 4) y x= − +2 1 ; 6) yx

= ++

2

12 .

1.75••. Побудуйте графіки квадратичної функції, попередньо звівши її до вигляду y = a(x – m)2+ n.

1) y = x2 – 6x + 5; 3) y = 2x2 – 4x + 5; 5) y = 0,5x2 + 4x + 6;

2) y = –x2 + 6x – 5; 4) y = –2x2 – 4x – 5; 6) y = –0,5x2 + 4x – 6.

1.76••. Побудуйте графіки функцій, попередньо звівши їх до

вигляду y x ak b= + + .

1) y xx5 2= + ; 3) y x

x23= -+ ; 5) y x

x1

2 5= ++ ;

2) y xx

1= - ; 4) y xx

32= +- ; 6) y x

x2

2 3= -- .

1.77*. Побудуйте графіки функцій, використовуючи властивості перетво-рення графіків функцій.

1) y x= −( ) +1 22 ; 3) y

x= +

−

1

21 ; 5) y x= − −2 1 ;

2) y x x= + −3 4 2 ; 4) y x= + −1 2 ; 6) y x x2 32= + - .

50


§ 1.5. Оборотні функції. Взаємно обернені функції

З-поміж різних функцій, які ми розглядали, були такі, які при різних значеннях аргументу, зі своєї області визначення, набувають різних значень

(y = x, y x= , y = 2x + 1, y x5= ), і такі, які свої значення повторюють (y = x2,

y = [x], y = {x}). Графічно те, що функція свої значення не повторює, означає, що деяка горизонтальна пряма y = a, де a ∈ E(y), перетинає графік функції не більше, як в одній точці, а якщо повторює, то точок перетину більше.

Наприклад, пряма y = 1 перетинає графік числової функції y = [x] безліч разів, оскільки при x ∈ [1; 2) значення функції одне і те ж: y = 1. Отже, ця функція свої значення може повторювати безліч разів. Інші випадки: пряма y = 1 перетинає графік функції y = x2 у двох точках (–1; 1) і (1; 1), тому повторює свої значення, що дорівнюють 1, двічі; пряма y = 1 перетинає графік функції y x= в одній точці (1; 1), тому повторює свої значення y = 1 лише один раз.

Розглянемо функцію y = x2, де x ∈R, тоді пряма y = a, де a ∈ [0; +∞), пе-ретинатиме її графік в одній точці при a = 0, у двох точках при a > 0. Отже, функція на всій області визначення, окрім x = 0, повторює свої значення дві-чі. Якщо розглядати іншу відому функцію y x= , де x ∈ [0; +∞), то пряма y = a, де a ∈ E(y) (a ∈ [0; +∞)), перетинатиме її графік не більше ніж в одній точці. Отже, функція y x= набуває кожного свого значення лише один раз на всій області визначення. Її називають оборотною.

Функцію, яка набуває кожного свого значення тільки в єдиній точці області визначення, називають оборотною.

Функція y = f(x), x ∈ A, називається оборотною, якщо кожному значенню у із множини значень функції поставлено у відповідність єдине значення x ∈ A.

Тобто деяка функція y = f(x) буде оборотною у тому випадку, коли для будь-якого значення y0 із області значень функції E(f) існує тільки одне зна-чення x0 із області визначення функції D(f), що y0 = f(x0). Отже, якщо функ-ція y = f(x) неперервна і строго монотонна, то для кожного значення y0 з множини значень функції E(f) знайдеться єдине значення x0 із області визначення функції D(f) таке, що y0 = f(x0).

Зауважте! Функція, яка на всій області визначення строго зростає (спадає), є оборотною.

Може трапитися так, що на деякому проміжку (a; b) функція неперервна, але не монотонна, тоді можна розглядати її оборотність на тих проміжках, на яких вона строго зростає (спадає).

Розглянемо функцію y = 2x + 1, яка зростає на множині дійсних чисел. Тобто область її визначення – вся числова пряма і область її значень – вся числова пряма.

§ 1.5. Оборотні функції

51

x –3 –1 0 1 2 3 5 7y = f(x) –5 –1 1 3 5 7 11 15Чи існує така функція x = g(y), у якої аргументом є значення функції

y = 2x + 1, а значенням функції є аргумент заданої?Виразимо у заданій функції y = 2x + 1 значення х через у: ( )x y2

1 1= - – функція, де незалежною змінною є значення у, а залежною – значення х. Задамо цю функцію табличним способом: виберемо значення у із множини значень функції y = 2x + 1 (таблиця вище) та обчислимо відповідні значення х, користуючись формулою x = g(y).

у –5 –1 1 3 5 7 11 15

x = g(y) –3 –1 0 1 2 3 5 7

Отже, f(–3) = –5, а g(–5) = –3, …, f(x0) = y0, а g(y0) = x0. Тобто отримана та-блиця нагадує першу, але з поміняними рядками.

Наведений приклад демонструє існування таких функцій y = f(x) і x = g(y), у яких областю визначення деякої функції y = f(x) є область значень функ-ції x = g(y), а областю визначення функції x = g(y) є область значень функ-ції y = f(x).

У таких випадках кажуть, що функція x = g(y) обернена до y = f(x). Можна показати, що у цьому випадку також функція y = f(x) обернена до x = g(y). Такі функції називають взаємно оберненими.

У подальшому обернену функцію до y = f(x) будемо позначати символом «f –1» (таке позначення зручне у використанні та читанні «обернена»). У за-писі: x = f –1(y) незалежною змінною є у, а залежною – х.

Якщо функція x = f –1(y) – обернена для функції y = f(x), то очевидно, що графіки цих функцій збігаються. Можна у функції x = f –1(y) перепозначити змінні, тоді y = f –1(x), х – аргумент оберненої функції, а у – залежна змінна, але при цьому ми повинні змінити назву осей координат: позначити верти-кальну вісь – Ох, а горизонтальну – Оу. Таке перепозначення самого графіка оберненої функції не змінить. Щоб повернути осі у традиційне положення, застосовують осьову симетрію координатної площини відносно бісектриси першого і третього координатних кутів. Завдяки цьому геометричному пе-ретворенню осі повернуться на звичні місця. Отже, якщо в одній і тій самій системі координат Оху зображати графіки обернених функцій y = f(x) і y = f –1(x), то ці графіки будуть симетричні відносно названої вище бісектриси.

Нехай B – множина значень оборотної функції у = f(х), де х ∈ А. Тоді на множині В визначена функція f –1: В → А, яка кожному значенню y, у ∈ В, ставить у відповідність таке значення х, х ∈ А, для якого f –1 (х) = у. Коротко кажуть, що функція f –1: В → А є оберненою функцією до f: А → В.

Інакше кажучи, щоб отримати обернену функцію до у = f(х), х ∈ А, потріб-но розв’язати рівняння f(х) = у відносно х, а потім поміняти місцями х та у.

Очевидно, якщо функція f: А → В має обернену f –1: В → А, то f –1: В → А теж має обернену функцію, якою буде функція f. Тому функції f і f –1 назива-ють взаємно оберненими.

52


Зауважте! Графіки взаємно обернених функцій y = f (x) та y = f –1(x) завж-ди симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів (рис. 1.25).

Якщо функцію y = x2 розглядати на множині значень [0; +∞), то пряма y = 1 перетинатиме її гра-фік також в одній точці, тоді функції y x= і y = x2, x ∈ [0; +∞), –оборотні. Окрім того, кожному значен-ню аргументу x ∈ [0; +∞) ставиться у відповідність значення функції y ∈ [0; +∞), і навпаки. Напри-клад, якщо для функції y = x2, x ∈ [0; 2], то y ∈ [0; 4], а для функції y x= , якщо x ∈ [0; 4], то y ∈ [0; 2]. Отже, функція y = x2 є оберненою на проміжку x ∈ [0; 2] до функції y x= , і, навпаки, функція y x= на цьому ж проміжку є оберненою до функції y = x2. Тобто функції y x= і y = x2 взаємно обернені на проміжку [0; 2]. Графічна інтерпретація цього факту – симетрія графіків функцій y x= і y = x2 на проміж-ку [0; 2] відносно бісектриси першого і третього координатних кутів (рис. 1.25).

Зауважте! Функція y = f –1(x), обернена до неперервної і строго монотон-ної функції y = f(x), також неперервна і строго монотонна.

Виконайте доведення цього твердження самостійно, використовуючи спосіб від супротивного та означення строго зростаючої (спадної) функції.

Властивості взаємно обернених функцій:1. Якщо функція f –1 обернена для функції f, то й функція f буде оберне-

ною для функції f –1.1. Область визначення функції f є областю значень функції f –1, а область

значень функції f є областю визначення функції f –1.1. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси

першого і третього координатних кутів координатної площини Оху.

Приклад 1. Виберіть оборотні функції, користуючись їхнім графічним зображенням.

Розв’язанняА) В) Д)

Б) Г) Е)

1

2

3

y y = x2, x > 0

1

1

х

Рис. 1.25

01

1

y

x

01

1

y

x

01

1

y

x

01

1

y

x

01

1

y

x

01

1

y

x

§ 1.5. Оборотні функції

53

Чому саме так?Використовуючи означення оборотної функції, отримують, що така

функція має набувати кожного свого значення лише один раз. Це оз-начає, що коли провести пряму, паралельну осі Ох (перпендикулярну Оу), то така пряма перетинатиме графік оборотної функції лише в єди-ній точці області її визначення. З-поміж заданих функцій такими є дві: А і Д.

Відповідь: А і Д.

Приклад 2. Задайте формулою функцію, обернену до функції y = 2x – 1, х ∈ (2; 5).

Розв’язання Чому саме так?Функція y = 2x – 1 оборотна,

оскільки кожному значенню х, х ∈ (2; 5) відповідає єдине значення у.

Розв’яжемо рівняння y = 2x – 1 відносно х:

y – 1 = 2x; 2x = y – 1, звідки xy

21

=+

.

Перепозначивши змінні х і у,

отримаємо функцію: y x2

1= + ; y = 0,5x + 0,5.

Отже, функція y = 0,5x + 0,5 обернена до функції y = 2x – 1, тому її область визначення є областю зна-чень прямої функції.

Знайдемо область зна-чень функції y = 2 x – 1. Оскіль-ки функція зростаюча, y(2) = 3, y(5) = 9, то y ∈ (3; 9). Отже, (3; 9) – проміжок, що є областю визначення функції y = 0,5 x + 0,5 при x ∈ (3; 9).

Відповідь: y = 0,5x + 0,5, де x ∈ (3; 9).

Щоб знайти обернену функцію, треба, насамперед, перевірити, чи є вона оборотною на цій області ви-значення: чи кожному значенню не-залежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. Лінійна функція y = 2x – 1 неперервна та зро-стаюча (k = 2 > 0), тому оборотна.

Далі можна шукати область зна-чень заданої функції або визначати формулу функції, оберненої до кон-кретно заданої.

Ці два етапи взаємно незалежні, тому порядок ролі не відіграє.

Областю визначення для цієї функції є відкритий проміжок, тому областю значень буде також відкри-тий проміжок.

Знайшовши формулу оберне-ної функції, наприклад, у вигляді

y x2

1= + , її спрощують не завжди.

Зауважте! Перепозначення х на у та у на х можна робити не завжди. Однак інколи буває зручніше мати ті ж самі позначення, що в заданої функції (щоб в оберненої функції залежна і незалежна змінні позначалися так само). Наприклад, під час побудови графіків взаємно обернених функцій в одній системі координат така заміна дає однакову функціональну залежність, яка також називається оберненою до заданої.

54


ВПРАВИ1.78°. З-поміж заданих функцій виберіть ті, які є оборотними.

1) y = x2; 2) y x= ; 3) y = |x|; 4) y = x3; 5) y = [x].

А) 1 і 2; Б) 1 і 3; В) 2 і 4; Г) 3 і 5; Д) 2 і 5.

1.79°. З-поміж заданих виберіть ДВІ функції, які є оборотними.

А) y x2 5= - ; В) y = 4 – |x|; Д) y = {x} + 2.

Б) y = x2 – 3; Г) y = (x – 1)3 + 2;

1.80°°. Укажіть функцію, обернену до функції f(x) = 2x – 5.

А) f xx− ( ) = −1 2

5; В) f x

x− ( ) = −1 5

2; Д) f x

x− ( ) = +1 5

2.

Б) f xx− ( ) = −1 5

2; Г) f x

x− ( ) = +1 2

5;

1.81°°. Укажіть функцію, обернену до функції f xx

( ) =+

1

2.

А) f xx

x− ( ) = +1 1 2 ; В) f x

x

x− ( ) =

−1

1 2; Д) f x

x− ( ) = +1 5

2.

Б) f xx

x− ( ) = −1 2 1 ; Г) f x

x

x− ( ) =

−1

2 1;

1.82•. Доведіть, що функції f(x) і f –1(x) є взаємно оберненими.

1) f(x) = 3 – 2x, f –1(x) = –0,5x + 1,5; 3) f(x) = 5 – 4x, f –1(x) = –0,25x + 1,25;

2) f(x) = 4x – 3, f –1(x) = 0,25x + 0,75; 4) f(x) = –2x – 3, f –1(x) = –0,5x – 1,5.

1.83•. Доведіть, що функції f(x) і f –1(x) є взаємно оберненими.

1) ( )f x x 13= - , ( )f x x

x 31 = +- ; 3) ( )f x x 23= + , ( )f x x

x3 21 = -- ;

2) ( )f x x 13= + , ( )f x x

x31 = -- ; 4) ( )f x x 23= - , ( )f x x

x2 31 = +- .

1.84•. Знайдіть функцію, обернену до представленої.

1) y = 3x + 5; 3) y = 1 – 4x; 5) y = 3x – 2;

2) y x 32= - ; 4) y x 5

2= + ; 6) y x3 22= - .

1.85•. Знайдіть функцію, обернену до представленої.

1) y = 5x – 7; 3) y = 5x + 9; 5) y = 3 – 5x;

2) y x2 158= - ; 4) y x4 5

9= + ; 6) y x3 57= - .

1.86•. Побудуйте в одній системі координат графік представленої функ-ції та графік функції, оберненої до представленої.

1) y x 2= + ; 2) y x 2=- + ; 3) y x 3= + ; 4) y x 3= - .

55

1.6. Ділення многочленів

1.87•. Побудуйте в одній системі координат графік представленої функ-ції та графік функції, оберненої до представленої.

1) y = 5x – 1; 2) y = 3x + 4; 3) y = 0,25x – 0,25; 4) y = –0,25x + 0,25

1.88••. Доведіть, що функції f(x) і f –1(x) є взаємно оберненими.

1) ( )f x xx4

2= + , ( )f x xx

241 = -

- ; 3) ( )f x xx

32 3= +- , ( )f x x

x2

3 31 = -+- ;

2) ( )f x xx7

5= - , ( )f x xx5

71 = -- ; 4) ( )f x x

x2

3 2= +- , ( )f x x

x33 21 = -+- .

1.89••. Знайдіть функцію, обернену до представленої.

1) y xx

2 35= + ; 3) y x

x4 3

7= - ; 5) y xx

5 74= + ;

2) y xx

5 315 2= +- ; 4) y x

x2 7

10 3= -+ ; 6) y x

x4 38 5= -+ .

1.90*. Визначте, при яких значеннях k і b буде збігатися функція y = f(x)

із оберненою до неї функцією, якщо: 1) y = kx + b, де k ≠ 0; 2) y kx b1= + , де k ≠ 0.

§ 1.6. Ділення многочленів. Теореми Безу та наслідки з неї

1. Ділення многочленів. Функція P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a1x + a0, де n – натуральне число, а a0, a1, a2, …, an – довільні сталі коефіці-єнти, причому an ≠ 0, називається цілою раціональною функцією степеня n.

Розділити цілу раціональну функцію P(x) на цілу раціональну функцію Q(x), яка не є нуль-многочленом, – значить знайти такі цілі раціональні функції S(x) і R(x), де степінь R(x) менший від степеня Q(x) або R(x) не є нуль-многочленом, щоб справджувалася тотожність: P(x) = Q(x) · S(x) + R(x).

Приклад 1. Виконати ділення P(x): S(x), якщо P(x) = x4 + 2x + x2 + x3 + 1 та S(x) = 1 + x2.

Таке ділення часто виконують (аналогічно діленню чисел) таким чином:

x +1

12x + x

11

3

3

22

2234

+ x++

++ x + x +2x+

xx4x

xx + x

x

Звідси: Q(x) = x2 + x; R(x) = x + 1, тобто: x4 + 2x + x2 + x3 + 1 = = (x2 + x) (1 + x2) + x + 1.

2. Застосування теореми Безу та наслідків з неї до розв’язуван-ня рівнянь. Схема Горнера. Одним із способів розв’язування рівнянь вищих степенів є спосіб розкладання на множники многочлена, що стоїть у лівій частині рівняння. Цей спосіб оснований на теоремі Безу та наслідків з неї. Сформулюємо і доведемо спочатку ці твердження, після чого вкажемо сам спосіб.

56


ТЕОРЕМА БЕЗУ. При діленні цілої раціональної функції P(x) на лінійний двочлен x – a, остачею є число R = P(a).

Доведення. Нехай при діленні P(x) на x – a часткою і остачею є від-повідно S(x) і R. Тоді за означенням ділення цілих раціональних функцій маємо тотожність: P(x) = (x – a) · S(x) + R.

Покладемо в цій тотожності х = а. Отримаємо: P(a) = (a – a) · S(a) + R. Звідси R = P(a).

Наслідок 1. Ціла раціональна функція P(x) ділиться без остачі на двочлен x – a тоді і тільки тоді, коли х = а є коренем рівняння P(x) = 0.

Доведення. Нехай P(x) ділиться на x – a (без остачі), тобто R = 0. За тео-ремою Безу R = P(a), тому P(a) = 0. Звідси х = а, є корінь рівняння P(x) = 0.

Навпаки: нехай x = a є корінь рівняння P(x) = 0. Тоді P(a) = 0. За теоре-мою Безу R = P(a) (при діленні P(x) на x – a). Тому R = 0. Отже, P(x) ділиться на x – a без остачі.

Наслідок 2. Якщо x1, x2, x3, …, xn – корені многочлена P(x), то його мож-на записати у вигляді: P(x) = an(x – x1)(x – x2)· … ·(x – xn).

Наслідок 3. Цілими коренями раціонального рівняння з цілими коефі-цієнтами є дільники вільного члена.

Доведення. Нехай задано рівняння з цілими коефіцієнтами an xn + an – 1 xn – 1 + … + a1 x + a0 = 0 i його коренем є число x = m. Тоді справджу-ється рівність an mn + an – 1mn – 1 + … + a1m + a0 = 0. Звідси: a0 = m: (–anmn – 1 + + an – 1mn – 2 – … – a1).

Ціле число a0 є добутком двох цілих чисел m і (– anmn – 1 + an – 1mn – 2 – … – a1). Отже, m – є дільник вільного члена a0.

Наслідок 4. Якщо многочлен P(x) з цілими коефіцієнтами має раціо-нальні корені, то їх можна записати у вигляді q

p, де p i q – взаємно прості,

причому p – дільник вільного члена, а q – дільник першого коефіцієнта.Доведення. Нехай x q

p= – раціональний корінь многочле-

на P(x), де p i q – взаємно прості. Тоді справджується рівність

...a qp a q

p a qp a 0n

n

n

n

1

1

1 0+ + + + =-

-

d d dn n n .

Домноживши на qn, отримаємо:…a p a p q a p q a pq a q 0

–

–

–

– –

nn

nn

nn n n

11

22 2

11

0+ + + + + = . (1)Звідси випливає, що a0 · qn = –p(an · pn – 1 + an – 1 pn – 1 q + … + a1 · qn – 1).Це означає, що a0 · qn h p. Але p i q – взаємно прості, тому a0 h p, тоб-

то вільний член ділиться на p. Подільність an на q доводиться аналогічно із рівності (1). Наслідок доведено.

Проілюструємо застосування доведених наслідків під час розв’язування рівнянь вищих степенів. Отже, якщо відомо хоч один корінь рівняння P(x) = 0 степеня п, то за наслідком 1 можна звести задачу до розв’язування рів-няння степені п – 1, тобто, як кажуть, понизити степінь рівняння. Зрозуміло, наслідки 3 та 4 вказують, як можна підбирати цілі та раціональні корені. Покажемо це на конкретних прикладах.

§ 1.6. Ділення многочленів

57

Приклад 2. Знайди цілі корені рівняння: x3 – 3x2 – 10x + 24 = 0.Дільниками числа 24 будуть числа: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24.

Знаходимо серед них таке значення, яке задовольняє рівняння. Усно встановлюємо, що коренем буде число 2. Виконуємо ділення многочлена x3 – 3x2 – 10x + 24 на двочлен (х – 2):

0

24_

22410_

2 12

224103_

2

2

23 2

23

− 12 x +

24− 12 x +

− x +

− −

− x − x +

−− − x +

x

xx x − x

xxx

Тоді, розклавши на множники, маємо: (x – 2)(x2 – x – 12) = 0. Прирівнює-мо до нуля кожний із співмножників і знаходимо всі корені рівняння.

x – 2 = 0, або x2 – x – 12 = 0,x1 = 2. x2 = – 3; x3 = 4.

Відповідь: {2; –3; 4}.

Ділення може бути спрощеним за правилом, яке має назву схема Горне-ра (названа на честь англійського математика Джорджа Горнера). Розкри-ємо суть цього правила. Вважаємо, що многочлен P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + … … + a1 x + a0 поділено на Q(x) = x – c і неповна частка S(x) знайдена та має вигляд: S(x) = bn – 1xn – 1 + … + b1x + b0, де остача – деяке число R. Тоді

P(x) = (x – c) S(x) + R, або anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = bn –1 xn + + (bn – 2 – c · bn – 1)xn – 1 + (bn – 3 – c · bn – 2)xn – 2 + … + (b0 – c · b1)x + (R – c · b0).

Прирівнявши коефіцієнти, отримаємо:an = bn – 1; an – 1 = bn – 2 – cbn – 1;an – 2 = bn – 3 – cbn – 2; … a1 = b0 – cb1; a0 = R – cb0.Утворені формули дозволяють послідовно знаходити коефіцієнти bn – 1,

bn – 2, …, b1, b0 – неповної частки та остачу R. Їх обчислення зручно здійснюва-ти за допомогою такої таблиці:

↓+ an an – 1

cbn – 1

an – 2

cbn – 2

… a1

cb1

a0

cb0

c bn – 1 bn – 2 bn – 3 … b0 R = 0Покажемо на прикладі, як користуватися цією схемою.

Приклад 3. Знайти цілі корені рівняння: x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = 0.Виписуємо всі дільники вільного члена: ±1; ±3; ±5; ±15.Підставляємо число 1 у рівняння і перевіряємо чи є воно коренем.

14 + 2 · 13 – 16 · 12 – 2 · 1 + 15 = 0. Отже, число 1 є коренем рівняння. Будуємо схему Горнера:


58

↓+ 1 21

– 163

– 2– 13

15– 15

1 1 3 – 13 – 15 0

Отже, частка буде x3 + 3x2 – 13x – 15, а остача 0. Шукаємо інші корені рівняння. Для цього число 1 підставляємо в рівняння x3 + 3 x2 – 13 x – 15 = 0, 13 + 3 · 12 – 13 · 1 – 15 ≠ 0. Беремо число (–1) і підставляємо в те ж рівняння: –1 + 3 + 13 – 15 = 0.

Отже, (–1) є коренем рівняння. Користуємося знову схемою Горнера:

↓+ 1 3– 1

– 13– 2

– 1515

– 1 1 2 – 15 0

Отже, частка х2 + 2х – 15, а остача 0. Решту коренів знайдемо, розв’язав-ши квадратне рівняння

х2 + 2х – 15 = 0. Отримаємо x3 = –5; x4 = 3.Відповідь: {–5; –1; 1; 3}.

Приклад 4. Розв’язати рівняння: x3 + 9 x2 + 11 x – 21 = 0.Виписуємо всі дільники вільного члена: ±1; ±3; ±7; ±21. Підставляємо

число 1 в рівняння і перевіряємо, чи є воно коренем: 13 + 9 · 12 + 11 · 1 – 21 = 0, тому 1 є коренем рівняння.

Будуємо схему Горнера:

↓+ 1 91

1110

– 2121

1 1 10 21 0

Отже, частка х2 + 10х + 21, остача 0.Розв’язуємо квадратне рівняння: х2 + 10 х + 21 = 0. Його корені

x1 = –3; x2 = –7.Відповідь: {–7; –3; 1}.

ВПРАВИ1.91•. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами.а) x3 – 2x2 – 5x + 6; б) x3 – 3x2 + x + 1;в) 2x3 + 5x2 + x – 2; г) x3 – 2x – 1;д) x4 + 4x3 – 25x2 – 16x + 84; е) x5 – 2x4 – 13x3 + 26x2 + 36x – 72.

1.92•. Знайдіть цілі корені рівнянь.а) x3 – 5x + 4 = 0; б) 2x3 + x2 – 13x + 6 = 0;в) x4 + 2x3 – 4x2 – 8x = 0; г) 4x4 – 11x2 + 9x – 2 = 0;

д) x5 + 4x4 – 10x3 – 65x2 –86x – 24 = 0;е) x5 + 3x4 – 9x3 – 21x2 – 10x – 24 = 0.

59

§ 1.6. Ділення многочленів

1.93••. Знайдіть раціональні корені рівнянь.а) x3 – 3x2 + 2 = 0; б) 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0;в) 6x4 – 7x3 – 6x2 + 2x + 1 = 0; г) 3x4 – 8x3 – 2x2 + 7x – 2 = 0.

1.94••. Розв’яжіть рівняння.

а) ( )x x x

xx x2 8 4

4 32 3 2

5 13 2 2+ + -+

-- -

= ; б) x x

x x x

x

x x

2

3 2

2

2

5 6

2 3 2 3

4 5

2 3

− −

+ − −

−

+ −=

( ) ;

в) 3 32 2 1

22 3 1

222 13 2

2

2 2

( )xx x x

xx x x x

−− − +

++

− +=

+ −.

1.95••. Розв’яжіть рівняння, використавши теорему Безу і наслідки з неї.1) x3 – x2 – 21x + 45 = 0; 2) 9x3 – 15x2 – 32x – 12 = 0;3) x3 – x2 – 4x + 4 = 0; 4) x3 – 4x2 + x + 6 = 0;5) x4 – x3 – 6x2 + 4x + 8 = 0; 6) 4x4 + 8x3 + 9x2 – 5x + 1 = 0;7) 3x4 + x3 – 12x2 – 4x = 0; 8) x4 + x3 – 4x2 + x + 1 = 0;9) x5 – 7x3 – 12x2 + 6x + 36 = 0; 10) x5 – x4 – 3x3 + 5x2 – 2x = 0;

11) x5 – 2x4 – 4x3 + 4x2 – 5x + 6 = 0

§ 1.7. Рівносильні перетворення нерівностей. Метод інтервалів

)(xf )(xg

)(xf )(xg

)(xf )(xg

Нехай і деякі аналітично задані функції відносно

аргументу х. Якщо поставлена задача знайти всі значення змінної х, при

яких нерівність > є правильною, то кажуть, що потрібно

розв’язати нерівність > зі змінною x. Таким чином, нерівність

> )(xg це символічний запис задачі на знаходження всіх значень

однієї змінної x, при кожному з яких значення функції )(xf більші від

f (x)

значень функції )(xg . Замість знаку «>» може бути знак «<», або «»,

або «».

)(xf )(xg

x

Якщо функції і раціональні, то нерівність називається

раціональною. Множину всіх значень змінної, для яких визначені обидві

частини нерівностей, називають областю допустимих значень (ОДЗ)

нерівності.

Розв’язати нерівність означає знайти всі значення змінної , при

яких ця нерівність правильна. Дві нерівності з однією змінною

називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

Нерівності з однією змінною мають такі властивості:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу частину доданок з

протилежним знаком, то отримаємо рівносильну їй нерівність. (Наприклад,

5,23,32 xxx ).

2. Якщо обидві частини нерівності поділити або помножити на одне й те

саме додатне число, то отримаємо рівносильну їй нерівність. Наприклад,

2,2125,0,15,0)2;4,2:82:2,82)1 xxxxxx .

3. Якщо обидві частини нерівності поділити або помножити на одне й те

саме від’ємне число, замінивши при цьому знак нерівності на

протилежний, то отримаємо рівносильну їй нерівність. Наприклад,

221250150242822821 x,x,,x,);x,::x,x) У

ніверсальним методом розв’язування алгебраїчних нерівностей є метод

заміни її рівносильною.

Для розв’язання нерівностей виду 0)(...)()( 21 xfxfxf n , де

)(...,),(,)( 21 xfxfxf n лінійні множники, застосовується метод інтервалів.

(При необхідності можна утворити таку нерівність, щоб її ліва частина

була записана у вигляді лінійних множників, а права – нуль).

Суть методу інтервалів розкриває наступне правило-орієнтир.

1) Знаходимо нулі лівої частини нерівності (числа, які перетворюють

кожен з лінійних множників в нуль).

2) Відкладаємо на числовій прямій знайдені нулі (ті з них, які є

розв’язками нерівності «включаємо», інші – «виколюємо»).

О. Я. Біляніна, Г. І. Білянін, В. О. Швець · 2018. 4. 22. · Раціональні нерівності та способи їх розв’язування.

Documents