Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 188, Seite 332 im Skript) Kontextfreie Sprachen Kellerautomaten Theorem Es sei G =(N , T , P , S ) eine CFG ohne -Produktionen. Dann gibt es einen PDA M mit N (M )= L(G ). Beweis. M =({q}, T , N ∪ T , δ, q, S ) wobei δ(q, a, a)= {(q,)} f¨ ur alle a ∈ T δ(q, , A)= { (q,α) | A → α ∈ P } f¨ ur alle A ∈ N . Behauptung: (q, w , S ) * ‘ (q, , ) gdw. S * ⇒ w
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= (N T P S eine CFG ohne -Produktionen. Dann gibt M mit N ...
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Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 188, Seite 332 im Skript)
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Theorem
Es sei G = (N,T ,P,S) eine CFG ohne ε-Produktionen. Dann gibtes einen PDA M mit N(M) = L(G ).
Beweis.
M = ({q},T ,N ∪ T , δ, q, S) wobei
δ(q, a, a) = {(q, ε)} fur alle a ∈ T
δ(q, ε,A) = { (q, α) | A→ α ∈ P } fur alle A ∈ N.
Behauptung:
(q,w , S)∗` (q, ε, ε) gdw. S
∗⇒ w
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 189, Seite 334 im Skript)
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Beispiel
S → aSa | bSb | a | b
Zugehoriger PDA:
ε, S | aSaε, S | bSbε, S | aε, S | ba, a | εb, b | ε
bzw.
a, S | Sab, S | Sba, S | εb, S | εa, a | εb, b | ε
Das Kellerbodensymbol ist S .
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 190, Seite 338 im Skript)
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Theorem
Es sei M = (Q,Σ, Γ, δ, q0, Γ0) ein PDA.
Dann gibt es eine CFG G mit L(G ) = N(M).
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 191, Seite 338 im Skript)
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Beweis.
Fur jedes p ∈ Q erzeuge eine GrammatikGp = (N,Σ,P, [q0, Γ0, p]) wobei N = {[q,Z , r ]|q, r ∈ Q,Z ∈ Γ}.P enthalt folgende Regeln: