Ộ MÔN DUYỆT KẾ HO ¤ CH CHI TIẾT BÀI GI NG ủ nhi m B môn (4 ...fit.mta.edu.vn/files/FileMonHoc/KHCTBGDSTTVNG(4TC).pdf · Bài gi §ng: 1 LOGIC. TẬP HỢP Chương I,

BỘ MÔN DUYỆT

Chủ nhiệm Bộ môn

Tô Văn Ban

KẾ HOẠCH CHI TIẾT BÀI GIẢNG

(4 TC: 75 tiết /5 tiết bài)

Học phần: HGT & ĐSTT - TTVNG

Bộ môn: Toán

Khoa: CNTT

Thay mặt nhóm môn

học

Nguyễn Xuân Viên

Thông tin về giáo viên

TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị Đơn vị công tác (Bộ môn)

1. Nguyễn Xuân Viên PGS TS Bộ môn toán

2. Hy Đức Mạnh Giảng viên TS Bộ môn toán

3. Phạm Tiến Dũng GV chính TS Bộ môn toán

4. Nguyễn thị Thanh Hà GV chính ThS Bộ môn toán

5. Bùi Quốc Hưng Giảng viên ThS Bộ môn toán

Thời gian, địa điểm làm việc:

Địa chỉ liên hệ: Bộ môn toán nhà A1, P408

Điện thoại 069515330, email: [email protected]

Bài giảng: 1

LOGIC. TẬP HỢP

Chương I, mục: I.1, I.2.

Tiết thứ: 1- 5 Tuần thứ: 1

Mục đích, yêu cầu: Nắm được các định luật quan trọng của logic mệnh đề và các

tính chất của đại số tập hợp.

Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận trên giảng đường.

Thời gian: Lý thuyết (LT):4 tiết; Bài tập (BT): 1 tiết; Tự học: 9 tiếng

Địa điểm: P2 bố trí

Nội dung chính:

Глава I. Множество, Отображение и Алгебраические структуры

I.1. Основы логики (Л. # 1-2)

I.1.1. Высказывание, формула и теорема

Понятие высказывания, операции над высказываниями:

.

Тавталогия и теорема. Важные законы логики высказываний :

самочитание ОЛ.1, c.12

I.1.2. Кванторы и предикаты

Предикаты и их отрицания. Самочтение ОЛ.1, c.13-14.

Пример: Предикат (функция определена в окрестности

являетcя непрерывной в x = a) еcть ( | |

| | ) . Осюда его отрицания

( функция определена в окрестности являетcя разрывной в x = a)

( | | | | )

Практика 1час (# 3)

I.1.1. Высказывание, формула и теорема

I.1.2. Кванты и сложные высказывания

ОЛ.2

1.1.1; -5; -6; -8; -10; -11

1.1.6. a) Пара операции не польна, так как из них мы получим только

формулы с чѐтными числами истиности. Тогда как имеет не чѐтным

числом истиности это 1.

1.1.8.

a) | | ;

b) | | | | ;

c) | | | | ;

d) | | | | ;

e) | | ( | | | )

f) ( )

| |

( | | | )

g) простое число | ( )

h) взаимно простые

( | | )

i)

j)

Лекция 2 часа.

I.2. Множество (Л. # 4-5)

I.2.1. Множество

Понятие множества, элемента; операции над множествами; Важные

свойства операции над множествами (ОЛ.1, c.17-18.).

Декартово произведение. Отношение эквивалентности и класс

эквивалентности.

I.2.2. Частично упорядоченное множество

Отношение порядка (ОЛ.1, c.18-21.)

I.2.3. Математическая индукция

Метод математической индукции с доказательством (ОЛ.1, c.18-21.)

Утверждение будет верно для всех натуральных чисел если

удовлетворяет следующим условиям:

i) верно

ii) Из верно cледует верно для любого натурального

чисел .

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr.9-20), 2 (tr. 9-11), thời gian tự học 9

tiếng.

Ghi chú: Giáo trình và tài liệu tham khảo:

Литература

Пн Наименнование

литер.

Автор Год

изд.

Изд-во Гос-во

1. Đại số tuyến tính

(ОЛ)

Nguyễn Xuân

Viên

1996 HV KTQS Việt Nam

2. Bài tập ĐSTT và

HGT

(ОЛ)

Nguyễn Xuân

Viên, Nguyễn

Hoài Anh,

Nguyễn thị

Thanh Hà

2010 Nxb QĐND

Việt Nam

3. Аналитическая

геометрия

(ОЛ)

Ильин В.А.

Позняк Э.Г.

1999 Наука -

Москва

Россия

4. Линейная алгебра

(ОЛ)

Ильин В.А.

Позняк Э.Г.

1999 Наука -

Москва

Россия

1. Linear Algebra T. Scheick 1997 J., Graw-

with Application

(ДЛ)

Hill

2. Курс Аналит.

геометрии и Лин.

алгебры (bản đt)

(ДЛ)

Беклемешев

Д.В.

1998 Высшая

школа –

Москва

Россия

3. Линейная алгебра

и еѐ применения

(ДЛ)

Г.Стренг 1980 Мир-

Москва

Россия (dịch từ

tiếng Anh)

Bài giảng: 2

ÁNH XẠ. CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

Chương I, mục: I.3, I.4.

Tiết thứ: 6-10 Tuần thứ: 2

Mục đích, yêu cầu: Nắm được các khái niệm: ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song

ánh. Các cấu trúc đại số được sử dụng trong ĐSTT.


Thời gian: LT: 3 tiết; BT: 2 tiết; Tự học: 8 tiếng


Nội dung chính:

Л. 3 + Пр. 2

I.3. Oтображение (1 ч. # 6)

I.3. 1. Понятие отображения

Сюръективное, инъективное и биективное отображения.

Равномощные множества; Счѐтные множества. Множества континума.

I.3. 2. Теорема существования обратного отображения

Теорема существования обратного отображения с доказательством (ОЛ.1,

c.23.)

Для того чтобы отображение имело обратное отображение

необходимо и достаточно чтобы f – биекцией.

I.4. Некоторые алгебраические структуры (Л. 2 ч. # 7-8)

I.4.1. Закон композиции

- Закон композиции (внутренная операция); нейтральный элемент,

обратный элемент

I.4.2. Группа, Кольцо, Поле

Понятие внутренний закон композиции (операция), нейтральный элемент,

обратный элемент. Леммы о нейтральных, обратных элементах.

Понятие Группы, Кольца, Поля. Коммутативная группа, Абелева группа,

Коммутативное кольцо, Кольцо c единицей.

Группы ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Кольца ⟨ ⟩

Поля ⟨ ⟩; ⟨ ⟩; ⟨ ⟩, где - простое число.

Кольцо многочленов [ ]

Корень, кратность корней многочленов.

Для того чтобы было корнем кратности т многочлена необходимо

и достаточно чтобы

Разложение многочлена на множители над полями

Практика 2 часа (# 9-10) ОЛ.2:

I.2 (# 9): 1.1.17; -18; -20; -21.

Метод математической индукции: 1.1.11d,e

Указание: 1.1.18: В алгебре множества преобразовать сложные части от

равенства к простым; например для a) преобразовать правую часть к левой а

для b) преобразовать левую часть к правой.

Прак. 1ч. ОЛ. 2

I.3(# 10): 1.1.24; -25; -28;- 30; -32; -33

Указание: 1.1.28d): Обозначать множество всех отображений из X в

Y. Пусть - все подмножества множества Y, имеющие точно (m-

1) элементов, пусть . Ясно что число сюръективных

отображений из X в Y есть | | |

|

| | воспользовать задачей 1.1.26 и что

| | |

| |

|

мы получим число T как в ответе.

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr. 21-25), thời gian tự học 8 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 3

SỐ PHỨC

Chương I, mục: I.5.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được các phép toán trên số phức. Khai căn bậc n của số

phức. Giải được các bài tập cơ bản trong các mục I.4, I.5.


Thời gian: LT: 2 tiết; BT: 2 tiết; Kiểm tra: 1tiết; Tự học: 7 tiếng


Nội dung chính:

Лекция 2 часа

I.5. Комплексные числа (Л. 2 ч. # 11-12)

I.5.1. Поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел ⟨ ⟩; сопряжѐнное комплексное число;

обратное к комплексному числу.

I.5.2. Комплексная плоскость

Тригонометрическая форма комплексного числа: модул и аргумент

комплексного числа.

где | |

I.5.3. Степень и корень комплексных чисел

Формула Маувра:

Корень n-ой степени из комплексного числа (с доказательством) (ОЛ. 1,

с.37)

Корень n-ой степени из комплексного числа имеет

точно n значений, задаваемых формулой

,√

(

)- . Эти n

комплексных чисел лежат на окружности с цетром O, c радиусом | | и

составляют n вершин n-равностороннего многоугольника с одной вершиной

√

(

).

Практика 1час (# 13) ОЛ. 2

I.4: 1.2.5; -6; -8. -10; -11; -12; -13.

Практика 1час (# 14)

I.5. Поле комплексных чисел - ОЛ.2

1.2.14; -16; -17; -19; -21;

Доп. 1. Найти место изображения следующих комплексных чисел на

плоскости (VT351)

a) | | | |

b) | | | |

c) | |

d) | |

Доп. 2. Найти место изображения следующих комплексных чисел на

плоскости если (VT347) { | | | | | |

Указание:

Доп. 1. а) По опр. есть эллипс

c фокуcами

b)

c) c фокуcом и нормаль

d)

Доп. 2. Вершины равностороннего треугольника ABC на окружности с

центром O(0,0) радиуса | |.

Многчлены и рациональные дроби: 1.3.3a,b; 1.3.4a; 1.3.5a,c; 1.3.6a,b

Указание: Использовать метод Горнера (ОЛ.1, с.12-13) для 1.3.3a,b;

1.3.4a.

Для 1.3.5 найти все комплексные корни

Для 1.3.6 найти все действительные корни ; комплексные cопряжѐнные

корни дают множитель

.

Контрольная работа главы 1 (1ч. # 15)

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr.33-38), 2 (tr. 13), thời gian tự học 7

tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 4

MA TRẬN. ĐỊNH THỨC

Chương II, mục: II.1, II.2.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được các phép toán trong đại số ma trận. Khái niệm định

thức cấp n. Các tính chất và cách tính định thức.




Nội dung chính:

Лек. 4 часа. ОЛ.1,2,3,4; ДЛ.1,2,3

Глава II. Матрицы и Системы линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ)

II.1. Алгебра матриц (Л. 1 ч. # 16) ОЛ.1, 4. ДЛ.1, 2, 3.

II.1.1. Матрица над полем ( или )

Матрица порядка (m,n) над полем

‖ ‖ [

]

Квадратная матрица порядка n над полем

‖ ‖ [

]

– множество всех матриц порядка (m,n) над полем

– множество всех квадратных матриц порядка n над полем

Диагональная матрица

[

]

или

Верхняя треугольная матрица:

[

]

Нижняя треугольная матрица:

[

]

Единичная матрица: - ⟧ где {

есть

символ Кронекер.

Матрица блок и матрица блок- треугольник.

II.1.2. Кольцо Mn(K).

Операция над матрицами: cложение матриц; Абелева группа

⟨ ⟩; умножение матрицы на число умножение матриц,

ассоциативность умножения матриц, дистбутивность умножения матриц

относительно cложения.

Кольцо матриц ⟨ ⟩ с единицей E.

Обратная матрица (Ол.1, с.44-47):

- Понятие обратимой матрицы и обратной матрицы

- Линейная группа

- Обратная матрица произведения обратимых матриц:

ОЛ.1,2,3. ДЛ.1, 2,3.

II.2. Определитель n-порядка (Л.3 ч. # 17-19)

II.2.1. Перестановка и инверсия (ОЛ.1, с.48):

Лемма: Перемещение двух элементов в перестановке изменяет чѐткость

этой перестановки.

II.2.2. Определитель n-порядка.

Определение определителя n-порядка: Для каждой матрицы ‖ ‖

определим число | |, и называем определителем матрицы А

по следующей формуле:

∑

Где сумма берѐтся по всем n! перестановок от { }

Важные слествия из определения определителя n-порядка:

- Определитель (матрицы) с одной строки (или оним столцом) нули

равен 0

- Определитель c двумями пропоциональными строками (столцами)

равен 0

- Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на

диагонали

Примеры определителей порядков 2, 3.

Три характеристических свойства определителей и их слествия (ОЛ.1,

,с.53-57)

Слествие:

Для кратности вместо того, что говорить некоторое преоброзование матрицы

А следует соотвествующее свойство определителя мы будем говорить о

преоброзовании определителя . На пример, вместо того, что говорить

переменять место двух строк матрицы А то меняет знак мы будем

говорить, для кратности, что переменять место двух строк определителя, то

определитель меняет знак.

Три элементарные преобразования определителей:

- Переменять место две строки (или два столбца) (определитель меняет

знак)

- К некоторой строке придавить другую строку, умноженную на

некоторое число (определитель неизменяетcя ). Аналогично для

столбцев.

- Умножить строку (столбец) на некоторое число (определитель

умножается на это число)

Элементарные преобразования для вычисления определителей

(вычислить определителей методом Гаусса). Пример для иллюстрации

||

|| |

|

|| |

|

||

||

|| |

|

||

||

|| . Где на третьем шаге

мы уже вынесли множитель 2 из определителя и меняли строки

II.2.3. Методы вычисления определителей.

- Метод Гаусса

- Метод разложения по строке и столцу (или по k строкам, k столцам)

- Метод формулы конгруэнции

- Метод определителя Ван Дер Вандена

Практика 1 час (# 20)

II.1. Алгебра матриц . Прак. (1 ч.)

2.1.22b, c, d; 2.1.23a, b; -25a, b, c; -30a, b, c;

2.1.25, 2.1.26. Когда найти можно считать непосредственно, если

писать и заметить, что поэтому

2.1.30. Указание:

a) ;

b) Очевидно

c) Переумножить

т.е.

d) Переумножить.

2.1.34. Пусть *

+ Условие даст систему, решив эту

систему мы получим два рода матриц

*

+ [

]

2.1.42. Можно непосредственно доказать, что матрица A удовлетворяет

уравнению ; где *

+

, отсюда имеем

и конечно

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr.44-69), 2 (tr. 27), thời gian tự học 9

tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 5

HẠNG CỦA MA TRẬN. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Chương II , mục: II.3


Mục đích, yêu cầu: Hiểu được khái niệm hạng của ma trận. Các tính chất của

hạng ma trận. Giải được các bài tập cơ bản về tính định thức.




Nội dung chính: Л. 2 + Пр. 3.

Лекция 2часа. ОЛ.1,2,3; ДЛ.1,2,3

II.3. Ранг матрицы (Л.2 ч. # 21-22) ОЛ.1, 2, 4. ДЛ.1, 2,3.

II.3.1. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Свойства ранга

матрицы.

1. Определение ранга матрицы: , свойства .

2. Метод Гаусс приведения квадратной матрицы к диагональному виду:

Матрицы элементарных преобразований

‖ ‖ где {

остальные

‖ ‖ где {

остальные

‖ ‖ где {

остальные

эквивалентно переменить места строк i,j

эквивалентно переменить места cтолцев i,j

эквивалентно к i- ой строке прибавить j- ую, умноженную на

− эквивалентно к j – ому столбцу прибавить i – ый, умноженный

на .

эквивалентно умножить i- ую строку на .

эквивалентно умножить i- ый столбец на .

- Разложение квадратной матрицы в виде где D диагональная

матрица ; B, C обратимые матрицы и кажжая есть произведение матриц

элементарных преобразований (самочтение Ол.1.74-76).

3. Метод Гаусса вычисления ранга матриц (ОЛ. 2, c.27)

Элементарными преобразованиями строк и столбцев привести матрицы А

к виду, где имеется несколько отличных от нуля элементов, находящихся на

разных cтроках и разных столбцах. Количество их равно В процессе

этого метода Гаусса если встречается случай, когда на каком нибудь столбце

имеется только один элемент отличен от нуля то можно ставить нулями все

остальные элементы на строке этого элемента. Аналогично если встречается

случай, когда на какой нибудь строке имеется только один элемент отличен

от нуля то можно ставить нулями все остальные элементы на столбце этого

элемента. Если матрица зависит от параметра m то нужно выполнить

метода Гаусса до тех пор пока не встретился случай, когда на какой либо

строке или каком либо столбце имеется общий множитель, зависящий от

параметра m. В случае имеется общий множитель, зависящий от параметра

m мы должны рассмотреть два случая:

- Первый случай: общий множитель равен нулю, параметр -

определѐно

- Второй случай: общий множитель отличен от нуля. Тогда сокротить

этот общий множитель и продолжать процесс метода гаусса.

Пример : Найти в зависимости от параметр m

[

]

После применения преобразования получим

[

] [

]

Третьй столбец имеет множитель рассматриваем два случая

- Сл.1:

получим

[

]

- Сл.2:

сократить множитель ( получим

[

]

На второй строке имеетcя множитель , рассматриваем два под

случая

(i) m = 1, аналогично Сл.1 имеем

(ii) , сократить множитель ( из второй строки получим

[

]

Таким образом получим окончательный результат :

{ если ,

-

если

□

II.3.2. Критерий существования обратной матрицы. (Ол.1, с.64)

Пусть ‖ ‖

Теорема: Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу

небходимо и достаточно чтобы

Формула нахождения в виде определителей следующее:

| |[

]

где - алгебраическое дополнение элемента матрицы

Матрица [

] называетя присоединнѐнной к

матрицей. Таким образом | |

Вышая формула нахождения желательно использовать только для

При применят метод Гаусс, который будет изложим в Л.11

разложение матрицы.

Верхняя треугольная матрица:

[

]

Нижняя треугольная матрица:

[

]

Дополнение: Частный случай теоремы разложения в Л. 10 квадратной

матрицы в виде

где D диагональная матрица; B, C обратимые матрицы и каждая из

которых есть произведение матриц элементарных преобразований получим

когда сама обратимая матрица:

Теорема:

Если обратимая матрица, такая что все главные ведущие элементы

метода Гаусса отличны от нуля то существуют и единственны верхняя

обратимая треугольная матрица на диагонали которой лежат

cоответствующие ведущие элементы и нижняя треугольная матрица на

диагонали которой стоят единицы, а элемент ( ) на месте под

диагоналей (i>j )которой соотвествует преобразованию: к ой строке

сложить ую, умноженную на ( ) такие что имеется место

разложения (cм. ДЛ3, с.38)

Примеры и упражнения

Найти разложение матрицы

1. [

]

2. [

] [

] [

]

3. [

]

[

] [

]

Решение 1.

Применить эл. преоб. строк привести A к верхней треугольной матрице

[

]

преобразоианями

[

] [

]

[

] [

]

[

]

[

]. Тогда

; где

[

]

Матрица можно найти методом решения СЛАУ если писать

[

]

И условие станет

[

] [

] [

]

Решение 2.

Применить эл. преоб. cтрок по очереди: что

[

] ; где

тогда (см. теорему для определения элемент ( ) матрицы на месте

под диагоналей (i>j ))

[

]

[

]

II.3.3. Найти обратной матрицы методом Гаусса.

Кажое элементарное преобразование строк матрицы А эквивалентно

умножению матрицы А c лева на одну из матриц элементарных

преобразований: . А кажое элементарное

преобразование столбцев матрицы А эквивалентно умножению матрицы А c

права на одну из матриц элементарных преобразований:

С другой стороны только элементарными преобразованиями строк матрицы

А мы можем привести А к единичной матрице: что

эквивалентно

где – некоторая из матриц элементарных

преобразований. Последние cоотнощения дают математическую основу

метода нахождения обратной матрицы методом Гаусса по схеме (только

элементарными преобразованиями строк)

| |

Более обще, имеем схему (только элементарными преобразованиями строк)

| |

Например для [

] процесс нахождения выглядит

следющим:

(

|

+ (

|

+

(

|

+

Таким образом [

] □

Практика 3 часа. (# 23-25 ч.)

II.2. Определитель n-порядка: 2.2.4; -6; 14f, h; 2.2.15a, b, c, d; -23; -25a; 2.1.45;

2.1.46; 2.1.47; 2.1.53.

2.2.4. Менять получим определитель блок-треугольника:

|

| |

|

2.2.6. есть коэффицтент x-а в , все

остальные слагаемые в содержат в степени больше или

равно двум поэтому в равны 0.

2.2.14. f): 1 - Элементарные преоб-ие в порядке

h)

Указание:

потом разлагать по первому

столбцу получим .

2.2.15a) Умножить n-ую строку на (-1) и сложить к всем высшим сткокам.

2.2.23.

Указание:

Использовать свойство аддитивности определителя, писать каждую

строку A+x в виде суммы или в виде вектор-строки

Потом разлагать в виде суммы определителей; в числе которых имеется

detA , остальные определители получаются из detA заменой какой нибуть

одной строки строкой только -ами. Легко видеть такой определитель равен

x , умноженному на сумму алгебраических дополнений всех элементов этой

строки.

2.2.25.

a) [ ]

1-ый cпособ: потом разлагать по

первому столбцу получим формулу простой конгруэнции .

2-ый cпособ: Воспользоваться задачей 2.2.23.

∑

∑

Если то умножить обе части (1) с b, обе части (2) с (- c) потом

cложить почленно мы так же получим предыдущий результат .

Когда b = c воспользоваться задачей 2.2.24 имеем

∑

∑

И мы так же получим предыдущий результат.□

Yêu cầu SV chuẩn bị: Ôn tập: đọc các GTr.1 (tr. 72-78), GTr.2 (tr. 27-29). Thời

gian tự học 7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 6

HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chương II , mục: II.4.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được công thức Cramer, hiểu được định lý Croneker-

Capelly. Tìm được hạng ma trận bằng PP biến đổi sơ cấp.




Nội dung chính:

Лек. 3ч.+ Пр. 2 - ОЛ.1,2,3; ДЛ.1,2,3

II.4. Системы ЛАУ (3ч. # 26-28)

II.4.1. Система Гаусса и формулы Крамера

Система n ЛАУ n неизвестных [ ] [ ]

Система Гаусса с имеет единственное решение (в виде матриц )

[ ] [ ]

Или в виде формулы Крамера

| |

| |

Где матрица, полученная из заменой k – ый столбец матрицы

столбцом свободных коэффициентов

II.4.2. Обшая система ЛАУ

Систем m ЛАУ n неизвестных [ ] [ ]

Теорема Кронекера-Капелли (cамочтение Ол.1, c. 81-85)

Понятие общего решения, частное решение. Найти все решения СЛАУ.

Для того чтобы система m линейных однородных уравнений n неизвестных

[ ] имела ненулевого решения необходимо и достаточно чтобы

.

Доказательство

Необходимоcть: Методом отпротивного: Если система m линейных

однородных уравнений n неизвестных [ ] имела ненулегого решения

но то это система Гаусс имела бы только нулевое решение.

Достаточноcть: Система [ ] имеет то имеет

число свободных неизвестных. Давать одному свободному неизвестн ому

значение, отличное от нуля мы получим отличное от нуля решение.

Основная система решений СОЛАУ (система однородных линейных

алгебраических уравнений):

Когда СОЛАУ имеет ненулевые решения то она имеет основную систему

решений. Основная система решений имеет (равно

количеству свободных неизвестных) решений. Чтобы получить основную

систему решений СОЛАУ нужно s раз задавать набор свободных

неизвестных упорядоченными наборами значений , такие что

[

]

Из формулы общего решения получить систему основных решений. В

частности можно взять – единичная матрица.

II.4.3. Метод Гаусса для решения СЛАУ

Рассмотрим систему m линейных уравнений n неизвестных:

{

Метод Гаусса решения СЛАУ- практический метод решения СЛАУ. В

сущности это метод эсключения неизвестных методом эквивалетного

преоброзования уравнений. Три следующих эквивалетных преоброзования

уравнений являются элементарными преоброзованиями (строк):

- Поменять место двух уравнений

- К некоторому уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое

число

- Умножение некоторого уравнения на отличное от нуля число

Три эти преоброзования только действуют на коэффициенты уравнений

но не на неизвестные. Поэтому в методе Гаусса не пишут неизвестных.

Первоначальная матрица метода Гаусса выглядит следующей

(

|

,

Неоднородная cистема имеет в этой матрице черту отделения с стобцом

свободных коэффициентов. Если нет черты понимаем что это однородная

cистема.

Первый шаг:

Пусть . Элементарными преоброзованиями приведѐм к

следующему виду

(

|

,

Элемент в этом случае называется ведущим элементом. Уранение,

содеражщее ведущий элемент будем называть основным. Из высшей

матрицы видим, что после первого шага неизвесное было исключенно из

остальных неосновных уравнений. На этом шаге мы оставляем первое

основное уравнение. Таким образом на каждом шаге мы оставляем одно

основное уравнение исключаем по меньшей мере одно неизвесное из

остальных неосновных уравнений. Основные уравнения мы оставляем на

верхней строке каждого шага.

Второй шаг: Выполнить первый шаг для остальных неосновных

уравнений.

После неболее шагов мы получим один из двух следющих

случаев

Первый случай: Слева от черты только нули а справо от неѐ элемент

отличен от нуля- в этом случае система несовместная.

Второй случай: Слева от черты имеется элемент отличен от нуля. Тогда

система имеет решения. Чтобы найти решения системы, идут вверх найти

значения неизвесных ведущих элементов.

Если система зависит от параметра то нужно провести метод Гаусса до

тех пор не встречается общий множитель, зависящий от параметра на какой

либо строке матрицы системы. Когда имеется общий множитель, зависящий

от параметра на какой либо строке матрицы системы мы должны

рассмотреть два случая:

- Первый случай: общий множитель равен нулю, параметр имеет

определѐнное значение.

- Второй случай: общий множитель отличен от нуля – сокротить этот

множитель и продолжить процесс метода Гаусса.

Пример: Решить СЛАУ по параметру m . Найти основные системы решений

{

Методом Гаусс

[

] [

] [

]

Сл. 1: m = -2 имеем

*

+ {

или {

Элеметарная система решений { }

Сл. 2: сократить третью строку на ( m+2) мы получим

[

] [

]

Имеет общее решение {

Элеметарная система решений { }

Заключение:

(i) При m = -2 система имеет общее решение (1), элеметарную систему

решений { }

(ii) При система имеет общее решение (2), элеметарную

систему решений { } □

Практика 2 часа (# 29-30)

II.3: ОЛ.2

2.1.45a-e; 2.1.46a-f.; -47; -53.

2.1.47 j)

Первый способ: в ОЛ.2

Второй способ: Обозначить N- матрица в 2.1.30, тогда

.

Действительно интегрированием левую часть (1), cчитая

имеем

∫

взяв производную обе части (2)

мы получим (1). Теперь подставив в (1) получим

и в

развѐрнутой форме как ответ в ОЛ.2.□

2.1.47 o)

Обозначить N- матрица в 2.1.30, тогда

Имеем поэтому

в развѐрнутой форме как

ответ в ОЛ.2.

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1 (tr.78-85), GTr. 2 (tr. 27-32), thời gian tự

học 8 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 7

BÀI TẬP. ÔN TẬP CHƢƠNG. KIỂM TRA

Chương II.


Mục đích, yêu cầu: Giải được hệ PTTT bằng PP Gauss. Tìm được ma trận nghịch

đảo bằng PP biến đổi sơ cấp và giải hệ PTTT.




Nội dung chính:

Практика 3 часа. ОЛ.2

II.4: 2.3.6a, b; -7a, b; 2.3.7c, e; -9a, b,c; -10b, c; -16a, b; -19a.

2.3.16. Указание: Найти общее решение потом целые

{ }

(

| +

Общее решение:

Полагать

получим ответ.

2.3.19.

a) {

Решение: Пусть есть одно однородное

урав., которое принимает заданные вектора решениями.. Поставить

координаты векторов в (1) получим 4 линейных однородных

уравнения с 4 неизвестных . Решив систему получим общее

решение: {

с двумя свободными неизвестными .

Таким образом система с наибольшим числом независимых уравнений имеет

ранг системы 2. Система (2) имеет основную систему решений

{ } и получим высший ответ.□

b) {

c)

Контрольная работа Гл.2 на 2 часа (# 34-35)

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 2 (tr. 27-32). Thời gian tự học 7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 8

KHÔNG GIAN VECTƠ

Chương III , mục: III.1.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được khái niệm KGVT, KGVT con, dấu hiệu nhận biết.

Cơ sở và chiều của KGVT. Tọa độ vectơ khi đổi cơ sở. Hạng của hệ vectơ. Không

gian tổng, KG giao, tổng trực tiếp.




Nội dung chính:

Лекция 4 часа

Глава III. Линейное пространство и линейные отображения

III.1. Линейное пространство и подпространство (4 ч. # 36-39)

ОЛ.1, 2, 4. ДЛ.1, 2,3.

III.1.1. Линейное пр-во и линейное подпр-во.

Понятие Линейное пр-во над полем (м тогда говорим ⟨ ⟩ ЛП).

Примеры:

, ЛП вектор-радиус на плоскости, в пространстве c операцией

cложением по правилу диагонала параллелаграмы и умножением на число

как обычно;

– Пр-во n- координат над полем { }

- Пр-во всех матриц порядка (m,n) над полем ;

[ ]- Пр-во всех многочленов с действительными коэффициентами;

- Пр-во всех действительных функций, определѐнных на ннтервале

Понятие Линейное подпространство (ЛПП): Пусть ⟨ ⟩ ЛП, . Если

для операции сложения в и умножения вектора на число само образует

линейное пространство то называется Линейным подпространством

пространства .

Лемма: Для того чтобы подмножество в было линейным

подпространством линейного пространства необходимо и достаточно

чтобы замкнуто относительно операций сложения и умножения вектора

на число т.е. для любых чисел для любых векторов как только

то .

Примеры:

[ ] - Пр-во всех многочленов c действительными коэффициентами cо

степеней

ЛПП – оболочка векторов в ЛП ⟨ ⟩

- Пр-во всех решений СОЛАУ [ ]

III.1.2. Базис и размерность

Cистема зависимых и независимых векторов. Примеры.

Понятие базис ЛП, координаты в базисе.

Лемма : В ЛП ⟨ ⟩ имеется две системы векторов

{ }

Где (1)- независимая а (2)- линейно выражаеся через (1) имеет число

векторов . Тогда система (2) зависимая. (с доказательством)

Основная теорема о базисе (с доказательством)

Все базисы ЛП V (V { }) имеют одинаковое число векторов

Размерность ЛП V: - количество векторов в базисе.

Базис и размерность ЛПП всех решений СОЛАУ [ ]

(без доказательства): = n- rankA

Базис и размерность ЛПП

III.1.3. Координаты вектора в изменении базиса

Матрица перехода C- обратимая.

Координаты вектора в изменении базиса

Пусть { } некотоый фиксированный базис ЛП V,

[ ]

[ ]

Тогда конечно [ ] [ ] есть матрица – строки векторов

координаты вектора a в базисе { }, т.е.

или в виде матрицы

[ ] [ ]

Пусть { } другой базис ЛП V. Тогда существует чтобы

{

или в виде матрицы

[ ] [ ]

Матрица ‖ ‖ определяется по (1) или (2) называется матрицей

перехода от { } к { } Где координаты вектора

есть k-ый cтобец

матрицы C. Легко видеть, если { } базис а { } некоторая система векторов

прост-во V, определяемая по (2) то { } есть базис V тогда и только тогда,

когда C обратимая матрица.

Пусть

координаты одного вектора a в

базисах { } { } соовественно. Тогда имеем

[ ] [ ]

III.1.4. Ранг системы векторов

Понятие ранга системы векторов.

Ранг системы векторов { } в ЛП V обозначется

{ }

По определению { }

Пусть ‖ ‖ - матрица с а

( ) соовественно есть вектор i-ой строки , j – ого столбца

матрицы A.

Теорема о ранге матрицы (с доказательством):

Ранг матрицы А равен рангу системы векторов-строк и таже равен

рангу системы векторов-столцев . Таким образом:

{ } { }

Рангу системы векторов

Рангу системы векторов { } равен числу элементов

максимально- независимой подсистемы системы{ } В качестве

базиса можно взять любую максимально- независимую

подсистему системы { }.

Задача нахождения базиса и размерности ЛПП

сводится к задаче нахождения ранга матрицы А, составлентной из строк (или

столбцев) координат векторов Когда применить метод Гаусс для

нахождения ранга матрицы А в связи с нахождения базиса и размерности

ЛПП не надо менять мест строк. Число отличных от

нуля элементов в последней матрице метода Гаусс, находящихся в разных

строках и в разных cтолбцах, которые имееют номеры то можно

взять векторы в качестве базиса ЛПП Здесть

речь идѐт о нахождении базиса из заданых векторов { } .

Пример: Дано

–векторы в . Найти базис ЛПП в

зависимости от различных значенях параметра

Пусть есть матрица, составлентная из строк координат векторов

cоотвественно

[

]

Методом Гаусс, после первого шага мы получаем

[

]

и после процесса имеем

[

]

Случай 1: когда получаем

[

] [

]

Что даѐт нам базис L есть { } .

Случай 2: когда , после сокращения 3 –й строки на ( )

получаем

[

]

Случатся два подслучая в этом случае 2

i) Когда получаем

[

]

что базис L есть { }

ii) Когда получаем

[

]

что базис L есть { }. В окочании получаем заключение: когда

базис L есть { }; когда базис L есть {

} ; когда

базис L есть { }

III.1.5. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма

подпространств

Сумма подпространств , пересечение подпространств .

Теорема (о размерности суммы и пересечения подпространств)

Понятие прямой суммы подпространств .

Теорема о прямой сумме подпространств (без док-ва): ОЛ.1, Лемма 3, с.186.

Практика III.1: 1час (# 40) (остаѐтся 3ч.)

(Прак. 1 ч.)

ОЛ.2: 3.1.4; 3.1.10b; 3.1.11a; 3.1.12.

3.1.11. c),d). Рассмотреть матрицу как вектор в

3.1.12. a), b). Рассмотреть многочлен в [ ]

как вектор

trong .

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr.95-118,186-188), 2 (tr.63-67), thời gian

tự học 9 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 9

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Chương III, mục: III.2.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được khái niệm AXTT, TTTT, các KGVT

các KGVT Bài tập về KGVT.




Nội dung chính:

Пр.3ч. + Л. 2 ч.

Практика 3часа.

III.1 (# 41-43).

ОЛ.2: 3.1.23 a, b, c, d, e, f, g; 3.1.24 a, b, c, d, e; 3.1.20 b; -30 a; -31 b; -32 c; -33

a; -34 a;

3.1.33.

a) { }

{ }

Указание: Применить метод нахождения ранга матрицы,

составленной из строк координат векторов { }

Лекция 2 часа: ОЛ.1, 2, 4. ДЛ.1, 2,3.

III.2. Линейное отображение и линейное оператор (Л. 2 ч. #44-45, ост. 2 ч.)

III.2.1. Линейное отображение и линейный оператор

Понятие Линейное отображение (ЛОТ) и линейный оператор (ЛОП),

примеры. Способ задания ЛОТ: Для каждого фиксированного базиса

{ } ЛП ⟨ ⟩ и произвольной системы из n векторов

{ } ЛП ⟨ ⟩ cуществует едиственный ЛОТ , такое

что (с док-ом)

III.2.2. Ядро и образ линейного отображения

Пусть есть ЛОТ из ЛП в ЛП .

{ } является ЛПП простраства V и назовѐм его

ядром f .

{ } является ЛПП простраства W и назовѐм

его пространством- образ f. Имеем

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1 (tr.119-124 ), GTr.2 (tr.67 )thời gian tự học

7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 10

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG

Chương III, mục: III.2.3, II.2.4, III.3.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được điều kiện tồn tại AXTT ngược. Ma trận của AXTT,

TTTT. Ma trận AXTT, TTTT khi đổi cơ sở. Hạng của AXTT.




Nội dung chính:

Лекция 3 часа.

III.2.3. Tеорема существования обратного отображения (2 ч. # 46-47)

(cравнить с ОЛ1,с.125-127)

Линейное отображение называется обратным отображением

линейного отображения если .

Где тождественное отображение на

Теорема о эквивалетных условиях линейных обратных отображений:

Пусть и - линейные пространства над одним и тем же полем ,

такие что , Тогда следующие четыре условия

эквивалетны (с док-ом)

i) - биекция

ii) Существует линейное обратное отображение линейного

отображения

iii) { }

iv)

Доказателсто этой теоремы точно также как доказателсто в случае ЛОП с

незначительным изменением в ОЛ1, с.125 (VT689).

III.2.4. Матрица линейного отображения

Понятие матрица линейного отображения: Пусть { } и

{ } – два фиксированных базисы линейных простраств ⟨ ⟩ и

⟨ ⟩ соотвественно, Матрица определѐнная

следующим образом

[ ] [ ] или [ ] [ ]

(1) называется

матрицей отображения (в данных фиксированных базисах)

Матрица линейного оператора в базисе { } линейного

пространстве определяется соотношением

[ ] [ ] или [ ] [ ]

(2)

(обозначения cм. ОЛ1, с.7)

Координатное выражение ЛОТ, матрица ЛОТ при изменении базиса,

матрица ЛОП при изменении базиса:

Пусть { } и { } – два фиксированных базисы линейных

простраств ⟨ ⟩ и ⟨ ⟩ соотвественно, матрица ЛОТ

в данных базисах; Тогда имеем

следующую формулу координатного выражения ЛОТ f:

[ ] [ ]

Пусть в фиксированных базисах { } и { }

линейных простраств и соотвественно ЛОТ имеет матрицу A. А в

других базисах { } простраства , { } простраства

f имеет матрицу Пусть далее B – матрица перехода от базиса

{ } к базису { } C- матрица перехода от базиса

{ } к базису { } Тогда имеем следующую формулу

Доказателство: согластно определению [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Из (7), (5) следует [ ]

[ ] [ ]

Từ (6), (8) следует [ ] [ ]

[ ]

Сравнив (9), (10) мы получим или

Пусть в некоторых фиксированных базисах простраства V и

простраства W линейное отображение f имеет матрицу A.

Согласно координатногу выражению ЛОТ f , если обозначить [ ] матрицу

столбца координат вектора a то эквивалентно

[ ]

т.е. координат вектора a удовлетворяют ОСЛАУ (11). Решив

(11) мы получим элементарную систему решений { } что

даѐт нам базис ЛПП с теми векторами в V , которые имееют

одинаковые координаты как и { } в

Пример: В зависимости от параметр найти базис где

и имеет матрицу

[

]

Решить систему (11) методом Гаусс, после первого шага получаем

[

]

Случай 1. получаем систему

*

+

которая имеет общее решение

,

где свободные неизвестные. Это даст один базис есть

{ }

Случай 2. получаем систему

[

]

Которая имеет общее решение

{

где свободное неизвестное; и получим один базис в этом случае

{ }.□

В том же примере теперь мы найдѐм базис Imf.

Поскольку то Imf имеет базис –

максимальную подсистему независимых векторов в системе

{ } . Так как координаты есть i-ой вектор-столбец

матрицы A то если отличные от нуля элементы в последней матрице метода

Гаусс нахождения ранга матрицы A имееют номеры строк то

можно в качестве базиса Imf взять векторы ( ) ( ) ( )

Применить к примеру найти rankA , слачала мы получаем матрицу

[

]

Случай 1. получаем матрицу

*

+ *

+

Даст базис Imf - два вектор-столбец 3, 4 т.е.

{ }

Можно взять в качестве базиса Imf - два вектор-столбец 1,2; или два

вектор-столбец 1, 3.

Аналогично для случая 2. получаем матрицу

[

]

Даст базис Imf - три вектор-столбец 1, 3, 4 т.е. векторы:

{ } □

III.3. Собственное значение и собственный вектор (1 ч. # 48)

III.3.1. Соб-ное значение и соб. век-р

Понятие соб-го значения и соб. век-ра линейного оператора

Инвариатное подпространство линейного оператора

Теорема о соб-ном значении и соб. век-ре линейного оператора.

Примеры

III.3.2. Диагонализация

Для того, чтобы линейный оператор f линейного пространства V был

диагонализируемым необходимо и достаточно, чтобы в V существует

базис из собственных векторов оператора f .

Базис линейного пространства V, состоящий из собственных векторов

линейного оператора f называется диагональным базисом оператора f . А

в этом случае f называеся диагонализируемым линейным оператором.

Если линейный оператор f имеет n различных соб-ных значений в поле

то n cоотвествующих соб. век-ов образуют диагональный базис оператора f .

В случае, когда f имеет n соб-ных значений, считая их кратности то вопрос

о диагонализации остаѐтся открытым. Конечно тогда надо выяснить вопрос о

существовании или нет базиса пространства V из собственных векторов

оператора f .

Пример: Пусть

[

]

Есть матрица ЛОП f в V c dimV = 3. Выяснить вопрос о диагонализации f.

Если f диагонализируем то найти его диагональную матрицу и матрицу

перехода от первоначальтного базиса к диагональному.

Имеем | | . Таким

образом спектр ЛОП есть { } где корень кратноcти двух.

При собственный вектор удовлетворяет ОСЛАУ

[ ] Собственное подпространство имеет базис { };

где , .

При , собственное подпространство имеет базис { } где

.

Очевидно что { } есть базис пространства V, состоящий из

собственных векторов линейного оператора f поэтому он есть диагональный

базис f, матрица перехода C от первоначальтного базиса к диагональному

имеет столбцы, которые являются столбцами-координат векторов

соответственно:

[

]

В базисе f имеет матрицу

[

]

что □

Рассмотрим другой следующий пример:

Матрица

[

]

так же имеет три собственных действительных значения , .

Но при , собственное подпространство имеет базис { }

состоящего из только одного вектора , при собственное

подпространство имеет базис { } где . Таким образом

ЛОП в пространстве V c dimV = 3 имеет в максимальной системе

собственных векторов только два векторы поэтому недиагонализируем

хотя он как и в предыдущем примере также имеет три собственных

действительных значения. □

Практика 2часа (# 49-50)

III. 2 (2 ч. остаѐтся 2 ч.) ОЛ.3: 3.2.13; -14; -15; 2.3.11.

3.2.14.

a) [

]

b)

[

]

c) [

]

Указание: Матрица f в новом базисе есть C матрица перехода из

первоначального базиса к новому.

Yêu cầu SV chuẩn bị:

Đọc các GTr.1 (tr.), GTr.2 (tr.). Thời gian tự học 8 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 11

BÀI TẬP. ÔN TẬP CHƢƠNG. KIỂM TRA

Chương III.


Mục đích, yêu cầu: Giải được các bài tập cơ bản về AXTT, TTTT, trị riêng, vectơ

riêng.




Nội dung chính:

Пр. 3 + Ктр. 2

III.2 (2 ч. # 51-52) ОЛ.2: 3.2.16; -22; 25a, c; -26; -33; -28a, c; -30b; -32.

3.2.23.

a)

[

]

b) [

]

Указание: Найти матрицу перехода от базиса { } к базису { } по

формуле [ ] [ ]

отсюда

III.3 (1 ч. #53)

ОЛ.2: 3.3.1d, e, h; -2a, b, c; -3; -9; 3.3.19 с, d; 3.3.24.

Контрольная работа 2 часа главы 3 (# 54-55)

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, GTr.2 (tr.67-71 ), thời gian tự học 7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 12

DẠNG TOÀN PHƢƠNG TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ

Chương IV, mục: IV.1, IV.2, IV.3.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được định nghĩa DTP, ma trận DTP, ma trận DTP khi

đổi cơ sở. Dạng chính tắc, cơ sở CT của DTP. DTP xác định dương. Điều kiện

Silvester.




Nội dung chính:

Л.4 + Пр.1

Лек. ОЛ.1, 2, 4. ДЛ.1, 2,3.

Глава IV. Геометрия в Евклидовом пространстве

IV.1. Билинейная и КФ (Л.1ч. # 56)

IV.1. 1. Билинейная форма (БФ) симметрическая БФ. Квадратичная

форма (КФ)

IV.1. 2. Матрица КФ. Матрица КФ при изменении базиса

Понятие билинейной формы (БФ), cиметричной билинейной формы.

Квадратичная форма (КФ) в ЛП. Матрица БФ и КФ.

Матрица КФ в изменении базиса:

Пусть в базисе ⟨ ⟩ ЛП КФ имеет матрицу

А. В другом базисе ⟨ ⟩ имеет матрицу A’. По определению

{ [ ] [ ] [ ]

[ ] ,

где

[ ] [ ] матрица перехода от базиса ⟨ ⟩ к базису

⟨ ⟩.

Поставив (3) в (1) получаем

[ ] [ ]

Сравнив (4) с (2) получаем

IV.2. Канонический вид КФ (Л.2 ч.# 57-58)

IV.2.1. Канонический базис КФ

- Канонический вид и канонический базис КФ .

- Приведение КФ к каноническому виду методом Лагранжа

Метод Лагранжа и Якоби приведения КФ к каноническому виду

Метод Лагранжа в сущности есть метод постепенного выделения

квадратов. А метод Якоби есть метод нахождения канонического базиса

методом верхней треугольной матрицы. Для иллюстрации метода Лагранжа

мы рассмотрим

Имеем

[(

*

]

(

*

Полагая

{

{

В виде матрицы (3) есть [ ] [ ] ; где

[

⁄

⁄

]

Заменой переменных (3) согласно (2) мы получим

где

( ⁄ ⁄ +

и

- канонический базис КФ по методу Лагранжа; Матрица C -

матрица перехода от начального базиса к каноническому базису

.

Метод Якоби: Пусть КФ имеет полярную БФ C матрицей

‖ ‖ ( ) Обозначаем

[

]

И завѐм их главными минорами поряка k матрицы A. Пусть для всех k

= 1,2,…, n, - первоначальный базис ЛП Метод Якоби

строит базис

из который удовлетворяет три

условия:

(i) Матрица перехода из ( ) к ( ) есть верхная треугольная матрица так

чтобы для всех i = 1, 2,…, n;

(ii) ( ) (условие ортогональности);

(iii) (условие нормирования).

Пусть

∑

Коэффициенты нужно найти из (11) чтобы удовлетворяют

(i),(ii),(iii). Они являются корнями СЛАУ

[ ] [

]

Из (5) легко получить

Что мы получили канонический вид

{

∑

∑

Пример: Привести КФ к каноническому виду методом Якоби, указя

канонический базис и матрицу перехода к каноническому базису

КФ имеет матрицу

[

]

Что

Согласно (4),(5) имеем

{

*

+ *

+ * +

[

] [

] [ ] (

*

Получили канонический базис

методом Якоби, где

; Согласно (11) матрица перехода

C к каноническому базису имеет столбцы - столбцы координаты векторов

соотвественно

[

]

Таким образом после замены [ ] [ ] мы получим канонический вид

{

IV.2.3. Закон инерции

IV.3. Положительно-определённая КФ (1 ч. # 59)

IV.3.1. Критерий положительной определённости по сигнатуре

- Понятие положительно-определѐнная КФ.

- Критерий cигнатуры о положительно-определѐнности КФ

IV.3.2. Критерий Силвестра о положительно-определённости КФ (без

док-а)

Практика 1 час (# 60) ОЛ.2, ДЛ.1

IV.1. Билинейная и КФ (Прак. 1 ч.)

4.2.1; 4.2.2; 4.2.3.

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr. 156-177), 2 (tr. 110-112), thời gian tự

học 6 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 13

HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Chương IV , mục: IV. 4.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được khái niệm KG Euclid. Cơ sở trực chuẩn, quá trình

Gram-Schmidt. Phần bù trực giao. Định lý chéo hóa trực giao ma trận đối xứng.

Đưa DTP về dạng chính tắc bằng PP cheo hóa trực giao.




Nội dung chính:

Л. 4 ч. + Пр. 1

Л. 4 ч. ОЛ.1, 2, 4. ДЛ.1, 2,3.

IV.4. Евклидовое пространство (Л. # 61-64)

IV.4.1. Скалярное произведение

- Понятие скалярного произведения, Евклидова пространства

- Примеры о скалярном произведении, задание скалярного

произведения симетричной БФ

Пусть E- Евклидовое пространство, dimE = n, ⟨ ⟩- скалярное

произведение в E, ‖ ‖ √⟨ ⟩ - норма вектора a (ещѐ называют длиной

вектора a). Два вектора a, b называются ортогональными если ⟨ ⟩ ,

тогда cледуя геометрией иногда мы пишем

Система векторов называется ортогональной если ,

. Система векторов называется

ортонормированной если она – ортогональная и все векторы нормированные

т.е. все еѐ векторы имееют длину 1, ‖ ‖

Ортонормированная система векторов которая является

базисом E называется ортонормированным базисом пространства E.

Очевидно что в фиксированном ортонормированном базисе пространства

E cкалярное произведение есть евклидово т.е. если

то ⟨ ⟩ ∑ , тогда длина

‖ ‖ √∑

называется длиной Евклида.

IV.4.2. Основные неравенства скалярного произведения

IV.4.3. Ортогонально-нормированный базис

1. Процесс Грама- Шмидта

Процесс Грама- Шмидта позволяет нам строить ортонормированную систему

векторов пространства E исходя из любой системы

независимых векторов и удовлетворяет условию

( )

Строить ортонормированную систему в процессе Грама- Шмидта

производится индукцией по m:

Полагая

‖ ‖ . Если есть ортонормированная система,

строенная из cистемы независимых векторов и удовлетворяет

условию

( )

а cистема независимых векторов. Тогда выбирая

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Мы получим ортогональную cистему

Полагая

‖ ‖

мы получим ортонормированную cистему

с (k+1) векторов.

Пример: ортонормировать в , где

.

Полагая

‖ ‖ (

√

√ )

⟨ ⟩

√ (

*

Тогда возмѐм

‖ ‖

(

√

√

√ *

Аналогично

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ √

√ (

) и тогда

‖ ‖

(

√

√

√ )

Таким образом ортонормированная cистема в уже

построена. □

2. Понятие ортогональной матрицы и матрица Грама .

Матрица называется ортогональной матрицей если

т.е. Если - ортогональная матрица то cистема векторов-

строк (векторов-cтолцев) образует ортонормированной системой в

Матрица Грама: матрица cкалярного произведения

[ ][ ] называется матрицей Грама для базиса { } Евклидового

пространства E. Очевидно, что базис { }- ортонормированный

тогда и только тогда, когда единичная матрица.

Следствие: Для любого базиса { } Евклидового пространства

E cущесвует ортонормированный базис { }, удовлетворяющий

условию ( )

Лемма (Vien): Пусть { } ортонормированный базис

Евклидового пространства E. А { } некоторая система векторов

в E. Матрица C определяется соотношением

[ ] [ ]

Для того чтобы { } была ортонормированным базисом

пространства E необходимо и достаточно чтобы C- ортогональная

матрица.

Док-во: Действительно, согласно высшему замечанию

[ ][ ] [ ][ ]

3. Обозначим - единичая матрица n-ого порядка.

Дополнение: разложение матрицы

Теорема: (Теорема о - разложении) (ДЛ1, с.114 ): Пусть -

матрица с независимыми столбцами. Тогда существует ,

такие что

1. .

2.

3. есть верхняя треугольная матрица c положительными

элементами на диагонали.

4. единственны.

Когда m = n то Q – ортогональная матрица.

Доказательство: (Vien)

Пусть имеет вектор-столбцы . Применить процесс Грама-

Шмидта получим ортонормированную систему векторов

Согласно (2)

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖

Соотношения (3) с можно писать в виде матриц

Где [ ] [ ] и

[ ‖ ‖ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

‖ ‖ ⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

‖ ‖ ]

Тем самым пункты 1, 2,3 доказаны.

То, что единственны так же следует из (3). Действительно, пусть

имеем другой разложение как в теореме. Где

[ ] , ортонормированная система; Тогда имеем

по процессу Грама- Шмидта получим эквивалентно соотношению

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖

Тогда первое равенство из (4’) даѐт

что ‖ ‖ ‖

‖

или ‖ ‖ тогда

‖ ‖ Второе равенство из (3) для (4’)

есть ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖ или ‖

‖

значит ‖ ‖ т.е. и так из соотношений (3), (4’) для

мы получим даѐт нам

4. Пример: Найти – разложение матрицы [

]

Здесь вектор-столбцы матрицы есть

Согласно (2) имеем

‖ ‖ (

√

√ ) ‖ ‖ √ ⟨ ⟩

√

⟨ ⟩ (

) ‖

‖

√ (

√

√

√ )

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (

) ‖

‖ √

(

√

√

√ )

Окончательно имеем где

[

√

√

√

√

√

√

√

√ ]

[ √

√

√

√

√ ]

Замечание: – разложение матрицы используется для нахождения

найлучщего приближения ‖ ‖ методом найменьщих квадратов

(ДЛ1,с.137; ДЛ2,с.157; )

IV.4.4. Ортогональное дополнение

Пусть L- ЛП Евклидова пространства E. Ортогональное подстранство

к L определяется

{ ⟨ ⟩ }

Теорема о ортогональном дополнении:

Согласно (1) каждый вектор единственным образом

представляется в виде

Где Вектор l в (2) называется ортогональной проекцией

вектора a в L и пишем

Теорема апроксимации: Пусть L –ЛП Евклидова пространства E,

ортогональная проекция элемента в L. Тогда имеется место

следующей формулы апроксимации

‖ ‖ ‖ ‖

Говорят тогда, что ‖ ‖ есть наименьшее растояние от a к

подпространству L или есть наилучшая апроксимация вектора а

векторами из подпространству L.

Пример: В найти наилучшую апроксимацию вектора

векторами из подпространству где .

Из (2) и (3) согласно высшему примеру, поскольку (

√

√ )

(

√

√

√ ) ортонормированный базис поэтому

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ √

√ (

*

Оператор ортогонального проектирования:

Пусть L –ЛП пространства Евклидова пространства E. Построим ЛОП

По правилу: если то положить

Полученный оператор называется оператором ортогонального

проектирования в подпространстве L.

Оператор параллельного проектирования:

Пусть два линейных подпространства Евклидова пространства E

такие что Построим ЛОП

По правилу: если то положить и

называем – оператором проектирования в параллельным

Пример: В задаются и

(i) Найти матрицу оператора ортогонального проектирования

(ii) Найти базис под-ва

(iii) Найти диагональный базис матрицу перехода из первоначального

канонического базиса к диагональному;

(iv) Найти матрицу B оператора √ где I – тождественный

оператор в Осюда следует √

Легко видеть что базис ЛПП есть . Применив

процесс Грамм- Шмидт мы получим ортонормированный базис под-ва L

(

√

√

√ * (

√

√

√ *

(i) В первоначальном каноническом базисе

про-ва имеем

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (

*

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (

*

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Таким образом имеет матрицу

[

]

Можно найти по формуле [ ][ ] [ ][ ]

; где как всегда

[ ] есть матрица-столбец координат вектора . Действительно можно

доказать следющую теорему:(*) Если ЛПП L в Евклидовом прострастве E

имеет ортонормированный базис то оператор

ортогонального проектирования имеет матрицу (в первоначальном

заданном ортонормированном базисе { } прострастве E)

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ]

(ii) { ⟨ ⟩ } Решив систему ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ мы

получим (e) - под-ва ;

(iii) имеет два собственных значения:

имеет собственный вектор

имеет два собственных вектора .

Получим - диагональный базис оператора Диагональная

матрица есть матрица перехода

[

]

[

]

(iv) Рассмотрим функцию √ , которой соответствует

оператор √ ( или матрица √ ), f(1) = 2, f(0)=1.

Согласно задаче 3.3.21 матрица оператора √ есть

[

]

Легко видеть что что √ есть ЛОП. □

IV.4.5. Теорема ортогонально - диагонализации симетрической матрицей

Понятие самосопряжѐнного оператора; матрица самосопряжѐнного

оператора. Собственные значения самосопряжѐнного оператора (без док-ва).

Теорема ортогонально - диагонализации симетрической матрицей (с док-

вом).

Легко видеть, что оператор ортогонального проектирования в

подпространстве L есть самосопряжѐнный оператор и поэтому его матрица в

ортонормированном базисе Евклидова пространства E есть симметрическая.

Он является диагонализируемым оператором и имеет спектр { }

(см VT757). Вектор eсть собственный вектор, которому соответствует

собственный значение тогда и только тогда, когда соответствует

собственный значение тогда и только тогда, когда

Легко видеть, что ортогональное преобразование, т.е. преобразование вида

[ ] [ ]

с матрицей C – ортогональной, сохраняет cкалярные произведения и

поэтому сохраняет длину вектора и угол между векторами . Действительно

⟨ ⟩ [ ] [ ] [

] [ ] [

] [ ] ⟨ ⟩

Где

(

).

IV.4.6. Приведение КФ к каноническому виду методом ортогонально-

диагонализации

Теорема: Существует ортонормированный базис в Евклидовом

пространстве E, в котором КФ имеет канонический вид

Доказательство:

Пусть А – матрица КФ в заданном ортонормированном базисе

Евклидова пространства E, - cамосопряжѐнный

оператор, имееющий матрицу А. Тогда существует ортонормированный

базис в E, cостоящих из собственных векторов оператора

. C – матрица перехода от к

тогда C – ортогональная матрица поэтому . В

базисе оператор имеет диагональную матрицу

, такая что – это есть матрица КФ

в новом базисе Таким образом

ортонормированный канонический базис КФ В этом базисе КФ

имеет канонический вид:

{

∑

∑

Доказательство теоремы:(*)(Vien)

По определению ый столбец матрицы А есть столбец - координаты

вектора в первоначальном заданном ортонормированном базисе

{ } прострастве E . Но вектор в ортонормированном

базисе ЛПП L имеет координаты:

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Чтобы найти координаты в { } мы заменним координаты ,

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ в (1) и получим

ый столбец матрицы А представляется в виде суммы матциц- строк

[

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

] ⟨ ⟩ [

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

] ⟨ ⟩ [

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

] ⟨ ⟩ , что А

представляется в виде суммы матциц ; где

имеет ый столбец есть

[ ⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩] ⟨ ⟩ что тоже самое

[ ⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩] [⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩]

[ ][ ] Заменитв (3) в (2) мы и получим требуемое соотношение

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ]

Практика 1 час (# 65)

IV.2 (1 ч., остаѐтся 1 ч.)

ОЛ. 2: 4.2.1; 4.2.2; 4.2.3

Дополнение:

Лемма: Собственные значения симметрической матрицы являются

действительными числами.

Доказательство: (В ОЛ.1, с.193 проводит доказательство леммы:

Собственные значения самосопряжѐнного оператора являются

действительными числами (не требуется условия симметричности матрицы

оператора )

Обозначим комплексно cопряжѐнное к z число.

Пусть симметрическая матрица; cобственное значение

матрицы cобственный вектор, которому

соответствует cобственное значение Тогда

[ ] [ ] отсюда [ ] [ ] [ ]

[ ]

Докажем, левая часть (1) есть действительное число. Для этого

траспортируя обе части (1) , учитывая получим

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

Теперь, очевидно взяв комплексно cопряжѐнное к обе части (3), учитывая

получим

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

Что означает [ ] [ ] действительное число, т.е. □

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr.183-196). Thời gian tự học 9 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 14

PHÂN LOẠI CÁC ĐƢỜNG CONG VÀ MẶT CONG BẬC HAI

Chương IV, mục: IV.5.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được PP




Nội dung chính:

Л. 2 + Пр. 3

IV.5. Клаcсификация линий и поверхностей второго порядка (Л. # 56-57)

IV.5.1. Приведение общего уравнения гиперповерхности второго

порядка к каноническому виду

Для удобства применить язык Геометрии мы зовѐм x – точкой; .

Фиксируем один ортонормированный базис Евклидова

пространства .

Общим уравнением гиперповерхности второго порядка является

уравнение вида

Где КФ,

{

∑

∑

∑ -линейная форма от ( ).

Мы будем применять ортогональное преобразование

[ ] [ ]

привести КФ к каноническому виду

{

∑

∑

где

- ортонормированный канонический базис КФ F(x). И

наконец применим параллельный сдвиг

{

привести уравнение ∑

, полученное из (1) после

применения (3) к каноническому виду; здесь ).

Пример: Ортогональным преобразованием и параллельным сдвигом

привести уравнение второго порядка к каноническому виду. Изображайте

эту поверхность

Имеем КФ

С матрицей

[

]

Характеристический многочлен | | имеет три

собственных значения Собственным векторам

соответствуют собственные значения

собственному вектору cоответствует собственное значение

Получим ортонормированный базис , содержащий только

собственные вектора матрицы A; где

√

√

√ Матрица перехода от первоначального ортонормированного

базиса к есть

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√

⁄ √

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄]

Ортогональным преобразованием [ ] [ ] т.е.

{

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√

⁄ √

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄

Получим из (2) канонический вид

{

Применив ортогональное преобразование (3) к уравнению (1) мы получим

уравнение

√

или

(

√

)

или

окончательное каноническое уравнение

где мы уже применили параллельный сдвиг

{

√

Таким образом после применения двух последовательных преобразований

сначала (3) а потом (6) или в одном сложном преобразовании

{

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√

⁄ √

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄

мы получили (5).

есть каноническое уравнение

однополосный Гиберболоид вращения вокрух оси где

новое начало канонической cистемы координат . Формула (7)

позволяет получить (5) двумями последовательными преобразованиями но в

обратном порядке: сначала сдвиг

по формуле

{

а потом вращением по формуле

{

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√

⁄ √

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄

III.5. 2. Клаcсификация линий и поверхностей второго порядка

Когда то уравнение гиперповерхности (1)

называется уравнением эллиптического типа;

Когда имеют разные знаки то уравнение

гиперповерхности (1) называется уравнением Гиперболического типа;

Когда то уравнение гиперповерхности (1) называется

уравнением Парболического типа;

Когда n = 2 имеем следующие канонические уравнения:

Эллипс (мнимый Эллипс или точка );

Гипербола оси Ox (Гипербола оси Oy или уравнение двух

пересекающих прямых);

Пaрабола оси Ox (Пaрабола оси Oy или уравнение двух

параллельных прямых)

Когда n = 3 имеем следующие канонические уравнения:

Эллипсоид (мнимый Эллипсоид или точка);

Однополюсный Гиперболоид ;

Двухполюсный Гиперболоид;

Канонический конус второго порядка;

Эллиптический Параболоид;

Гиперболический Параболоид (“седла”);

Эллиптический цилиндр;

Гиперболический цилиндр;

Параболический цилиндр.

Прак. 3 часа (# 58-60)

IV.2 (1 ч.), IV.3 (1 ч.), IV.4 (1 ч., ост. 3ч.)

ОЛ.2: 4.2.6; -7; 4.1.1; -2.

Дополнительная задача к 4.1.15.

Задача 4.1.15.1.

Доказать, что матрица Грама cистемы векторов

в Евклидовом пространстве E обратима тогда и только

тогда, когда независимая.

Доказательство(Vien): Рассмотрим Тогда

Переумножить обе части (1) скалярно на

получим

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

или в виде матрицы скалярного произведения:

[ ] [⟨ ⟩]

Cистема независимая, тогда и только тогда, когда

единствено определены из (1) или что тоже самое,

единственно определены из (2). Но (2) есть СЛАУ уравнений с

неизвестными; она имеет единственое решение тогда и только тогда, когда

т.е. матрица Грама cистемы векторов

обратима. □

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr.201-203 ), 2 (tr. 107-110), thời gian tự

học 7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 15

Chương IV


Mục đích, yêu cầu: Nắm vững kiến thức đã học áp dụng làm bài tập.

Hình thức tổ chức dạy học: Bài tập, thảo luận trên giảng đường.

Thời gian: BT: 5 tiết; Tự học: 8 tiếng


Nội dung chính:

Прак. 5ч.

IV.4 (3 ч. # 71 -73), ОЛ. 2: 4.1.3; -6; -7; -8; -10; -11; -9; -16b; -17a; -18a; -21a,b;

4.1.6.

a)

IV.5 (2ч. # 74 -75)

ОЛ. 2: 4.2.4a, b, c,d; -11a,c,d; -12a,b,g; -13a,c; -14a, b, c, d.

4.2.11.Указание : Центр симметрии линии второго порядка

в случае |

|

есть точка которая удовлетворяет СЛАУ

{

4.2.12.

g) Каноническое уравнение: - Парабола оси IY,

каноническая ортонормированная cистема координат XIY; с

ортонормированный канонический базис (

)

(

) c собственными значенями соотвественно.

преобразование к каноническому виду есть: Сначала вращать на угол –

с

(по часовой стрелке) с ортогональной матрицей

*

+ [

] а потом сделать параллельный сдвиг

. В итоге мы получим сложное преобразование

{

Согласно (7) можем заверщать преобразования в обратном порядке:

сначала надо сделать параллельный сдвиг а потом вращения на

угол к .

4.2.14 a, b, c, d.

a) Конус вращения оси OX.

Ортонормированная каноническая cистема координат OXYZ;

Ортонормированный канонический базис

√

√

с соответствующими собственными значенями

Направляющий вектор канонического конуса Ортогональное

преобразование с матрицей

√ [

√ ]

{

Таким образом только одним вращением вокруг оси Oz на угол

против

часовой стрелки мы получили каноническую систему координат OXYZ.

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1, 2 (tr. 107-112), thời gian tự học 8 tiếng.

Ghi chú:

Ộ MÔN DUYỆT KẾ HO ¤ CH CHI TIẾT BÀI GI NG ủ nhi m B môn (4 ...fit.mta.edu.vn/files/FileMonHoc/KHCTBGDSTTVNG(4TC).pdf · Bài gi §ng: 1 LOGIC. TẬP HỢP Chương I,

Documents