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Responsable : Pr M. ANOUA
UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
EL JADIDA
TRAVAUX PRATIQUES :
1- Etude de la réaction d’un jet d’eau sur un obstacle
2- Calcul des pertes de charges dans un circuit hydraulique
3- Tube de Venturi
4- Tube de Pitot
Option :
EVALUATION : Note du module =1/3 TP + 2/3 Examen
: MECANIQUE DES FLUIDES
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I- INTRODUCTION
II- CINEMATIQUE DES FLUIDES
1- Particule fluide
2- Descriptions lagrangienne et Eulérienne des écoulements
3- Trajectoires, lignes de courant
4- Champs de vitesse dans un liquide (Théorème de Chauchy)
5- Applications
1- La mécanique des milieux indéformable et déformables?
SOMMAIRE
MECANIQUE D E S F L U I D E S
2- Objet de la mécanique des fluides
3- Milieux déformables : solides et Fluides
4- Approche adopté à mécanique des fluides
5- Hypothèses en mécanique des fluides
6- Points géométriques et matériels
7- Définition d’un fluide
2
-
III- ÉQUATIONS FONDAMENTALES DE LA MÉCANIQUE DES FLUIDES
1- Introduction: solide, liquide, gaz; qu'est-ce qu'un fluide
?
2- Propriétés du fluide parfait en équilibre
3- Théorème fondamental de la statique des fluides
4- Applications :surface libre; surface de séparation de
liquides non miscibles;
vases communicants; pression atmosphérique; variation avec
l'altitude;
transmission des pressions; paradoxe hydrostatique
Applications : poids apparent, mélange; iceberg, équilibre d’un
solide flottant...
Applications : Force de pression sur une paroi
1- conservation de la masse
2- conservation de la quantité des mouvements
3- conservation d’énergie
4- Equations d’états
5- Conditions aux limites et initiales
IV- STATIQUE DES FLUIDES
5- THÉORÈME D'ARCHIMÈDE
6- CALCUL DES EFFORTS SUR LES PAROI
3
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V- DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
1- Conservation du débit.
2- Équation de Bernoulli
3 - Applications:
- orientation du tube
- Tube de Pitot
- Effet Venturi
- Force associée à la dissymétrie,
- Limites d'application (variation brusque de section)
- Extension aux cas des gaz
VI- NOTIONS SUR LES FLUIDES VISQUEUX
1- Viscosité: phénomène macroscopique i.e. résistance au
mouvement,
valeurs de viscosité; faibles / grandes vitesses
2- Viscosité: phénomène microscopique, loi fondamentale des
fluides
visqueux
- Loi de Poiseuille, profil de vitesse
- Débit, vitesse moyenne
- Applications: arrosage; transfusion sanguine,...
- Notion de régime turbulent et nombre de Reynolds 4
-
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
MECANIQUE DES SOLIDES INDERFORMABLES (solide)
MECANIQUE DES SOLIDES DERFORMABLES (Mécanique Fluide.)
Système :Point Matériel M(m)
1- La mécanique ?
Chapitre I: INTRODUCTION
Système :Milieu indéformable (solide), définition???
Système :Milieu déformable (Particule fluide)
Champ de vitesse :translation, pas de rotation? mais on étudié
la rotation WR/R0
Champ de vitesse :translation + rotation : Wsolide/R0 = 3
rotations (y , q , j )
Champ de vitesse :translation + rotation + Déformation
0 0/ R / R R / RV(M') V(M) + (M) MM' W
0 0/ R / R R / RV(M') V(M) + (M) MM' W D MM'
0/)()( Ra MVMV
5
Rr MVMV /)()(,
MOOVMV RRRe ')'()(, 00 // W
Trajectoire absolue, trajectoire relative , Mouvement
d’entraînement
Trajectoire, ligne de courant
Trajectoire (base , roulante)
Echelle?
Echelle?
[Difficultés: dérivée un vecteur]
[Difficultés: imagination dans l’espace et I ]
[ Difficultés: calcul de la vitesse ]
-
6
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
La mécanique des milieux continus a pour objet la
modélisation
mathématique des corps matériels (solides ou fluides)
déformables.
Elle constitue une matière scientifique fondamentale dont
l'étude est
indispensable pour aborder d'autres disciplines scientifiques
et
techniques plus spécialisées telles que :
La mécanique des solides et
le calcul des structures,
la mécanique des sols et des roches,
la mécanique des fluides et l'hydraulique,
la mécanique des phénomènes vibratoires,
le béton armé ou précontraint, les constructions
métalliques.
-
PAR CONTRE, en Mécanique des solides indéformables
Pour connaître la vitesse d’un point d'un solide indéformable,
on a :
0 0/ R / R R / RV(M') V(M) + (M) MM' W
2- Objet de la mécanique des fluides
La mécanique des fluides fait partie de la mécanique des milieux
déformables. En
fait, ce cours devrait s'appeler:
MÉCANIQUE DES MILIEUX DÉFORMABLES
Par exemple,
- Air sortant d'un ventilateur,……..
- Eau s'écoulant dans un canal,
sont des milieux continus déformables, c'est-à-dire que la
distance entre deux
particules du milieu peut varier au cours du mouvement.
Donc : le nombre de paramètres pour décrire le mouvement d'un
milieu
continu déformable est infini : définir un champs de
vitesse,….
7
-
On peut distinguer les solides déformables et les fluides :
Les solides soumis à des efforts ne subissent qu'une déformation
limitée (RDM)
alors que le fluide ne cesse de se déformer : il
s'écoule.(Mécanique des Fluides.)
Pour un solide déformables la relation entre effort et
déformation est représentée
sur le graphe de la figure 1 :
domaine élastique : la relation est linéaire et réversible,
domaine plastique : la relation n'est ni linéaire ni
réversible.
On distingue deux domaines :
rupture
Domaine élastique Domaine plastique
Déformation
Contrainte
3- Milieux déformables : solides et Fluides
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-
Or, les connaissances de physique moléculaire et atomique, vu
par une approche
microscopique, sont en contradiction flagrante avec cette
hypothèse !
La définition mathématique précédente suppose que pour deux
points très
proches, la définition de la grandeur physique a encore un
sens.
La Méca.flu. traite les milieux avec une approche Macroscopique
ou
phénoménologique .
En effet les notions de masse volumique, de pression ou de
vitesse du milieu n'ont
aucun sens à cette échelle, puisque la matière vue à cette
échelle est
essentiellement constituée de vide.
4- Approche adopté à la mécanique des fluides
Si l'on regarde la matière de « très près » (échelle
macroscopique), la matière est
granulaire, faite d'atomes.
A notre échelle, un objet solide semble continu,
c'est-à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement
:
Approche microscopique
Approche macroscopique
9
-
Mécanique des fluides
10
-
- isotrope : ses propriétés ne dépendent pas du repère dans
lequel elles sont observées ou mesurées. Assure que les propriétés
sont identiques dans toutes les directions de l'espace.
5- Hypothèses en mécanique des fluides L'hypothèse de la
mécanique des fluides consiste à considérer des milieux
dont les propriétés caractéristiques, masse volumique,
déformation,
élasticité, etc. sont continues
Des hypothèses supplémentaires peuvent éventuellement être
faites:
- homogène : ses propriétés sont les mêmes en tout point (
quelque soit x ).
- compressible et incompressible :
- la viscosité : dans un écoulement chaque molécule de fluide ne
s’écoule pas à la même vitesse : on dit qu’il existe un profil de
vitesse
Un fluide est dit incompressible lorsque son volume demeure
quasiment constant sous l'action d'une pression externe.
- Fluide parfait: En mécanique des fluides, un fluide est dit
parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en
compte les effets de viscosité
11
http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5755
-
en termes mathématiques, cela signifie que la masse volumique
d'un tel fluide est supposée constante ρ = ρ0 = constante
le fluide est incompressible
En réalité, tous les fluides sont compressibles, certains plus
que d'autres. La compressibilité d'un fluide mesure la variation de
volume d'une certaine quantité de ce fluide lorsqu'il est soumis à
une pression extérieure.
Ainsi si l'on bouche l'orifice de sortie d'une pompe à vélo et
que l'on pousse sur la pompe, on voit que l'on peut comprimer l'air
contenu à l'intérieur.
C'est pour cette raison que pour simplifier les équations de la
mécanique des fluides, on considère souvent que les liquides sont
incompressibles. En effet,
(r= constante)
Exemple :
c'est parce que la compressibilité de l'eau (et de tous les
liquides) est très faible
En revanche si l'on faisait la même expérience avec de l'eau à
l'intérieur, on ne pourrait quasiment pas déplacer la pompe :
12
http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2367http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5778http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1697http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5799http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=13294http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5754
-
Ecoulement permanent en moyenne :
Très souvent, les grandeurs physiques décrivant le fluides
dépendent du temps
mais restent constantes en moyenne.
V
temps
(On se place en un point fixe de l’écoulement et on mesure la
vitesse à des instants
différents) : si ces vitesses st des ctes donc l’écoul. est
permenent
Écoulement permanent (ou stationnaire) :
On dit qu’un écoulement est permanent si le champ des vitesses,
la pression, la
masse volumique en chaque point ne dépendent pas du temps.
-Ecoulement uniforme si le champ des vitesses est indépendant de
l’espace : V(t)
(On mesure la vitesse en différents points de l’écoulement, au
même instant) :
Si ces vitesses st des ctes donc l’écoulement est uniforme
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6- Points géométriques et matériels
L'espace E3 est constitué de points géométriques. Le milieu
matériel est constitué
de points matériels appelés aussi particules.
Si le milieu matériel est en mouvement, les points matériels se
déplacent et leur
position coïncide à chaque instant avec des points géométriques
différents.
A chaque particule sont attachées des grandeurs physiques
(pressions,
température, vitesse, tenseur des contraintes, tenseur des
déformations, etc.)
La position à l'instant t est donc un vecteur OM de E3.
Points géométriques
Points matériels
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-
- Trajectoire
On appelle trajectoire de la particule P, l'ensemble des
positions géométriques
occupées par la particule P au cours du temps.
- ligne de courant
On détermine, à un instant t donné, l’ensemble des vitesses
associées à chaque point
de l’espace occupé par le fluide :
Ligne de courant à t1 M1 M2
M3
V1 (t1 )
V2 (t1 )
V3 (t1 )
V1 (t2 )
V2 (t2 )
V3 (t2 )
Ligne de courant à t2
Photo instantanée de l’écoulement
P(t0) P(t1)
P(t2)
P(tn)
La vitesse est tangente à la trajectoire
V(t)
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7- Définition d’un fluide:
Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand
nombre de
particules matérielles, très petites et libres de se déplacer
les unes par rapport
aux autres. ( un paquet de molécules dans un volume dV autour de
M) :
Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides
et gaz.
Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans
rigidité et qui
peut s'écouler.
La propriété physique qui permet de faire la différence entre
les deux est
la compressibilité.
16
La vitesse de la particule fluide est donc la vitesse moyenne
des molécules
contenues à chaque instant dans dv. Elle est attribuée à M
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17
IL s’agit de l’étude des fluides en mouvement : On fera une
description des
écoulements sans faire le calcul des forces mises en jeu.
I- Définitions :
I.1-La particule fluide : C’est un ‘‘paquet’’ de molécules
entourant un point M donné : Les molécules
sont toutes à la même vitesse à l’instant t et possèdent les
mêmes propriétés
cinématiques et physiques ( V, p, T, r )
La cinématique, c'est l'étude du mouvement des fluides sans
tenir compte des
forces qui lui donne naissance.
Choix du volume élémentaire représentatif (VER)?
VER
r
Volume
-
18
Soient M(x0 ,y0, z0 ) les coordonnées d’une particule de fluide
à l’instant to dans le
repère 0,x,y,z.
Les coordonnées indépendantes (x0 ,y0, z0 ,t) sont appelées
variables de Lagrange.
La position de la particule à l’instant t est M(x, y, z, t).
x=f1(x0, y0, z0, t)
y=f2(x0, y0, z0, t)
z=f3(x0, y0, z0, t)
Pour déterminer l’évolution du fluide ,
il faut déterminer les relations suivantes:
Remarque : M décrit une trajectoire
M à t0
M à t
O
x
y
z
I.2- DESCRIPTION LAGRANGIENNE.
Dans cette description l’observateur suit une particule donnée
au cours de son
mouvement à partir de l’instant initial.
C’est la même particule M
-
19
Exemple : Mouvement défini par une description Lagrangienne :
0
0
0
x x (1 t)
y y
z z
b) Par définition La vitesse de M est : x
t
yV(M)
t
z
t
Soit :
0 x
V(M) 0
0
2
2
2
2
2
2
x
t
y(M)
t
z
t
0
(M) 0
0
Et l’accélération de M : Soit:
a) Quelles sont les variables de Lagrange ,
b) Déterminer la vitesse et l’accélération de M
a) Les coordonnées indépendantes (x0 ,y0, z0 ,t) sont appelées
variables de Lagrange.
-
20
- Trajectoires d’une particule fluide
Il suffit donc de suivre l’évolution de la particule fluide au
fil du temps.
Ainsi le lieu géométriques (trace) des positions successives
occupées par une
particule constitue ce qu’on appelle la « trajectoire » de cette
particule M
M(t0 ) M(t1 )
M(t2 )
M(t3 )
L a trajectoire donc
dy dzdxdtu v w
dM V dt Et si ( )V u, v, w , On peut écrire donc :
3 équation du premier ordre
3 constantes d’intégrations.
O
x
y
z
-
21
Par intégration :
dydxdta t b
Soit dxdt
a t
( )a t dt dx
dydt
b
bdt dy
2
1
t at x a
2
2bt y a
1°) l’unité de a et b ont l’unité d’une vitesse (m/s) et a est
une accélération (m/s2) 2°) Pour une particule fluide qui
appartient à la trajectoire:
2
1
t x at a
2
2y bt a Équation paramétrique
Et par élimination de t : ( ) ( )2
2 2 12
aa a a
2b by x y
C’est l’équation cartésienne de la trajectoire :
La nature de cette Trajectoires : Paraboles
Exemple : Soit un écoulement tel que le vecteur vitesse d’une
particule fluide est :
a t
V(M) b
0
Où a a et b sont des constantes
1°) quelle est l’unité de a, a et b
2°) Déterminer la trajectoire de cette particule fluide
Par séparation
de variable
-
22
Cette fois l’observateur est placé en un point M fixe du repère,
et regarde passer les
particules fluides devant lui. Ainsi, à deux instant différents,
ce n’est pas la même
particule qui occupe la position de M de l’observateur.
I.3- DESCRIPTION EULÉRIENNE
Et on calcule les variables (vitesse, pression, température,) du
point qui passe par M. Cette description de l’écoulement consiste à
établir à un instant donné l’ensemble
des vitesses associées à chaque point de l’espace occupé par le
fluide
M1
M2
V1(t1)
V2(t1)
V1(t2)
V2(t2)
A chaque instant t , l’écoulement du fluide est décrit au moyen
d’un champ de
vecteur vitesse. « photo instantanée de l’écoulement »
On étudie ce qui se passe, à chaque instant (on fixe le temps),
en chaque point de
l’espace :
A l’instant t1 , M1 à une vitesse V1(t1)
et M2 à une vitesse V2(t1)
A l’instant t2 , M1 à une vitesse V1(t2)
et M2 à une vitesse V2(t2)
(x,y,z,t) sont appelées variables d’Euler
Toutes les grandeurs relatives à la particule (vitesse,
pression, température, ...) sont
données en fonction du vecteur lieu actuel (x, y, z) et le temps
t
O
x
y
z
-
- DÉTERMINATION DE L’ACCÉLÉRATION EN VARIABLES D’EULER :
dt 0
V(t dt) V(t) dV(M)(M) lim
dt dt
Mais en description Eulérienne les vitesses sont des vitesses de
particules fluides différentes .
En cinématique, pour déterminer l’accélération, on cherche le
taux de
variation de la vitesse d’une même particule fluide au cours du
temps :
Si V(x,y,z,t) est le champ eulérien de vitesse,
Et g (x,y,z,t) celui d’accélération .
Rappel :
dt 0
V(x, y,z, t dt) V(x, y,z, t)(x, y,z, t) lim
dt
23
-
24
dV(x, y, z, t)
dtV V V V
dV dx dy dz dtx y z t
dV V dx V dy V dz V
x ydt zdt d dt tt
On a :
dV(M)
dgr VdV
t ta
V
Donc, on doit calculer la dérivée :
V u v wi j k
x x x x
,
V u v wi j k
y y y y
V u v wet i j k
z z z z
dV u v w dxi j k
dt x x x dt
u v w dyi j k
y y y dt
u v w dz Vi j k
z z z dt t
dV
dt(
u dx
x dt
u dy
y dt
) ( ) ( )..... .....
u z
dtk
d
zi j
u u u
x y z
v v v
x y z
w w
dx
dt
dy V
dt t
dw
x y z
t
t
d
d
d
z
V
V E V u v i k j w V V V , , s'écrivent :x y z
et
En reportant ces expressions dans (1) :
(1)
V
t
-
25
dV V(M) gradV V
dt t
Vai
t
u u u
x y z
v v vgradV
x y z
w w w
x y w
On a: Et puisque : et
0 0 0
b 0 0
0 0 0
Donc : (M) ai atbj
Exemple :La représentation eulérienne d’ un mouvement est donnée
par :
V(M) =at i +bx j . Déterminer l’accélération d’une particule
fluide de ce mouvement
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26
On appelle « Ligne de courant» la courbe qui, en chacun de ses
points, est tangente aux
vecteurs vitesses (à instant t fixe)
O
x y
z
M1
M2
V1(t1) V2(t1)
V1(t2)
V2(t2) M1 M2
L’équation d’une ligne de courant:
Ligne de courant à t1 Ligne de courant à t2
V3(t1)
M3
M3 V3(t2)
Le long d’une telle ligne, à to on a : dx et V(x,y,z,t0 ) sont
colinéaires :
Donc : dx V 0
0
0
0
u(x, y, z, t )dx 0
dy v(x, y, z, t ) 0
dz 0w(x, y, z, t )
dx dy dz
u v w
- Ligne de courant
-
27
Exemple : Soit un écoulement tel que le vecteur vitesse d’une
particule fluide est :
a t
V(M) b
0
Où a a et b sont des constantes
1°) quelle est l’unité de a, a et b
2°) Déterminer la trajectoire de cette particule fluide
3°) donner la ligne de courant à t0
0
dydxa t b
3°) La ligne de courant à t0, vérifiée l’équation suivante :
( )0bdx a t dy ( )0
bcte
a ty x
Donc les lignes de courant sont des droites
dx dy dz
u v w Soit :
-
28
- Ecoulement stationnaire (permanent)
Dans ce cas, les trajectoires sont données par :
dy dzdxdtu(x, y,z) v(x, y,z) w(x, y,z)
Et les lignes de courants par : (u , v, w ne dépendent pas de t
(implicitement ils dépendent de t))
dy dzdxu(x, y,z) v(x, y,z) w(x, y,z)
Donc si l’écoulement est permanent : ligne de courant =
trajectoire
dx dy dz
u v w
dy dzdxdtu v w
Exemple 1: de robinet :
On a donc la vitesse qui dépende que de x,y,z :
Le champ de vitesse ne dépend pas du temps :
à t1
V(A)
V(B)
V(C)
Quant on ouvre un robinet, après le régime transitoire,
le régime devient permanent si : V=V(x,y,z)
car
car
A l’instant t1 : VA=1m/s, VB= 4m/s , VC=1m/s
VA’=2m/s, VB’= 6m/s , VC’=2m/s
Si à l’instant t2 ces vitesses
gardent les mêmes valeurs
Donc :
le régime est permanent
C-à-d :
à t2
V(A)
V(B)
V(C)
A
B
C
A’
B’
C’
Exemple 2 : d’un écoulement dans un canal :
Définition :Un écoulement est permanent si en description
eulérienne
les grandeurs sont indépendantes du temps
-
29
Exercice
La description du mouvement d ‘un fluide est donnée par les
équations suivantes :
x (x0, y0, z0,t) = x0 exp( t)
y (x0, y0, z0,t) = y0 exp(- t)
z(x0, y0, z0,t) = z0
x0, y0, z0 sont les coordonnées d'une particule dans la
configuration de référence,
et les x,y,z sont les coordonnées de la particule au temps
t.
est une constante positive.
1- Par quelle description est définie ce mouvement?
2- A quel instant t0 (donner sa valeur) correspond la
configuration de référence ?
3- Quelle est la description lagrangienne des composantes du
vecteur vitesse ?
4-Quelle est la description eulérienne des composantes de ce
même vecteur
vitesse ? L’écoulement est-il permanent ?
5- Quelles sont les composantes Dij du tenseur des taux de
déformation ?
(voir fin de chapitre)
-
30
Solution :
Ce mouvement est décrit par la description de Lagrange
2°) La configuration de référence est : 0 00 0OM i y z kx j
On a: x (x0, y0, z0,t) = x0 exp( t)
y (x0, y0, z0,t) = y0 exp(- t)
z(x0, y0, z0,t) = z0
Pour que : x (x0, y0, z0,0) = x0
y (x0, y0, z0,0) = y0
z(x0, y0, z0,0) = z0
Il faut que le temps soit égale à t=0 , donc t=0 correspond à la
configuration de
référence
3- Quelle est la description lagrangienne des composantes du
vecteur vitesse ?
On a : 0
0( )
0B
t
t
xx
t
yy
e
V M
z
et
t
4-Quelle est la description eulérienne des composantes de ce
même vecteur vitesse ?
La vitesse doit être fonction de x, y, z ,t : soit V=V(x,y,z,t)
:
1- Par quelle description est définie ce mouvement?
-
31
0
0( )
0
t
B
tx e
V eyM
On a:
Et puisque :
x = x0 exp( t)
y = y0 exp(- t)
z= z0
Donc la vitesse s’écrit en description d’Euler : ( )
0B
x
yV M
L’écoulement est-il permanent ?
Remarque pratique : Dans un écoulement permanent la vitesse
dépend de x, y, z
mais ne dépend pas explicitement du temps t, dans la description
d’Euler.
A noter que x, y, z dépendent implicitement du temps t.
( )
( )
0
0( )
0
t
t
B
e x
V M e y
x
y
?V
t
0
V
t
On calcule : On trouve
Donc L’écoulement est permanent
-
32
1 u v 1 u w
2 y x 2
1 v uD
2 x y
1
z x
u
x
v
y
w
z
1 v w
2 z
w u 1 w v
2 x z z
y
2 y
( )
0B
u
M v
w
yV
x
Le tenseur de déformation s’écrit:
Dans notre cas :
0
D
0
0 0
0 0
0
Donc :
Remarque : Calculer la divergence de V(M) ?
( ) 00u v w
x ydi V M
zv
Pas de variation de volume
On peut le constater en calculant la trace de : D Trace de = 0
D
5- Quelles sont les composantes du tenseur des taux de
déformation ? D
-
33
1 u v 1 u w
2 y x 2
1 v uD
2 x y
1
z x
u
x
v
y
w
z
1 v w
2 z
w u 1 w v
2 x z z
y
2 y
( )
0B
u
M v
w
yV
x
Le tenseur de déformation s’écrit:
Dans notre cas :
0
D
0
0 0
0 0
0
Donc :
Remarque : Calculer la divergence de V(M) ?
( ) 00u v w
x ydi V M
zv
Pas de variation de volume
On peut le constater en calculant la trace de : D Trace de = 0
D
5- Quelles sont les composantes du tenseur des taux de
déformation ? D
-
34
- CHAMP DE VITESSE DANS UN FLUIDE ( milieu déformable)
Soient un domaine élémentaire de centre le point C, tel que:
M C
(D)
B
x
OC y
z
B
x dx
OM y dy
z dz
Et le point M de (D) tel que :
Pour déterminer le champ de vitesse dans le domaine (D), on
détermine la vitesse
de M par rapport à R:
On a: / RR
dOMV(M)
dt
Et puisque : OM OC CM
R R R
d d dOM OC CM
dt dt dt
Soit :
/ R / R
R
dV(M) V(C) CM (1)
dt
Soit un repère R( oxyz) muni d’une base orthonormée B =( i, j, k
) fixe galiléen
R
dCM ?
dt
Pour déterminer (la vitesse de M)/R , il nous reste à déterminer
:
et u, v, w les composantes de sa vitesse/R à t. R
et u’, v’, w’ les composantes de sa vitesse/R :
V(C)
B
u
v
w
V(M)
/ R u ' i v ' j w 'k
x
y
z
O
-
iCM dx dy dj z k
R
dCM ?
dt
CM CO OM
B B
x x dx
CM OC OM y y dy
z z dz
35
On a :
Et sa dérivée/t / R :
On a :
( ) ( ) ( )R
dCMdx i j k
d d d
dt dt dt dy dz
dt
(i, j et k sont liés à R)
R
idCM d
d d ddt d
x
t dt
dy dz
dtj k
Soit :
du d di v kwj
u u udu dx dy dz
x y z
v v vdv dx dy dz
x y z
w w wdw dx dy dz
x y z
-
/ R / R
R
dV(M) V(C) CM (1)
dt
B B
u ' u
v ' v
w ' w
/ R / RV(M) V(C) gradV(C) CM
v v vdx dy dz
x y z
36
En reportant ces expression dans l’équation (1):
u u udx
x y z
v v v dy
x y z
w w wdz
x y z
u u udx dy dz
x y z
B
Vitesse de translation
d’ensemble de son centre
d’inertie
Vitesse de rotation (en bloc) de
(D)+ déformation de (D)
w w wdx dy dz
x y z
Vitesse générale
de la particule fluide
-
/ R / RV(M) V(C) gradV(C) CM
v v vv ' v dx dy dz
x y z
w w w
w ' w dx dy dzx y z
1
2
w
zp
v
y
37
- Décomposition du mouvement général d’une particule fluide:
u u uu ' u dx dy dz
x y z
On a : Ou encore :
Posons : 1
2q
u w
z x
1
2
v
yr
u
x
Le système (I) , devient :
u 1 u v 1 u wu ' u dx dy dz
x 2 yq rdz d
x 2 z xy
(I)
v 1 v w 1 v uv ' v dy dz dx
y 2 zr pdx d
y 2 x yz
w 1 w u 1 w vw ' w dz dx dy
z 2 xp qdy d
z 2 y zx
(II)
et
-
38
Dans le système ci-dessus (II), les composantes : qdz yrd
rdx zpd
pdy xqd
Représentent les composantes du produit vectoriel suivant:
dx
r z
p
q dy
d
u 1 u v 1 u wdx dy dz
x 2 y x 2 z x
v 1 v w 1 v udy dz dx
y 2 z y 2 x y
w 1 w u 1 w vdz dx dy
z 2 x z 2 y z
On pose le vecteur W de composantes p, q, r et puisque le
vecteur CM est de
Et soit D le vecteur de composantes:
Qui peut se mettre sous la forme suivante :
dx
d M
p
q
r
y C
dz
W
D
B
composantes dx, dy, dz . Ce produit vectoriel s’écrit :
-
39
u 1 u v 1 u wdx dy dz
x 2 y x 2 z x
v 1 v w 1 v udy dz dx =
y 2 z y 2 x y
w 1 w u 1 w vdz dx dy
z 2 x z 2 y z
1 v u
2 x y
1
1 u v 1 u wu
x
v
y
dx2 y x 2 z x
1 v wdy
2 z y
w u 1 w v
2 x z y zd
2
wz
z
D
B
Tenseur symétrique(déformation pure) = D
-
40
Avec ces notations on obtient la relation vectorielle suivante
:
/ R / R CM DV(M) V(C) W
/ R / RV(M) V(C C) CM D MW
V(C)
B
u
v
w
1
2
w vp
y z
1
2
u wq
z x
1
2
v ur
x y
w vu
y zx
u wV(C) v
y z x
v uw
r
y
ot
xz
Et puisque :
On obtient : 1
rot )2
V(CW
Remarque : 1- le rotationnel de V(C), s’écrit : On a : Donc
:
Ou encore :
C’est le vecteur tourbillon
L’écoulement du fluide est dite irrotationnel si 0 W CotV( )
0r
-
41
.. .. .. dx
CM .. .. .. dy
.. .. .. dz
W
1
2
w
zp
v
y
1
2q
u w
z x
1
2
v
yr
u
x
p dx
CM dy
d
q
zr
W
1 v u 1 u wdx
2 x y 2 z x
1 w vdy
2 y z
d
0
0C
z
M
0
W
2- le tenseur des rotations pures , noté G ?
G = Tenseur antisymétrique (rotation pure)
On a: qdz yrd
rdx zpd
pdy xqd
0 r q dx
CM r 0 p dy
q p 0 dz
W
En écriture matricielle:
Et puisque :
Il vient :
-
31 2 1
2 1 3 1
32
1
1
2
2
3
3
3 2
1 1
2 2
u
x
u
uu u u
x x x x
uu
x xD
x
u
x
31 2 1
2 1 3 1
32
3 2
1 10
0
0
2 2
uu u u
x x x x
Guu
x x
42
Ce qui implique que les composantes
de D et G sont : Soit en écriture indicielle :
jiij
j i
uu1
2 x x
jiij
j i
uu1
2 x x
i c’est la ligne
j c’est la colonne
-
43
/ R / RV(M) V(C C) CM D MW
1- d’une translation d’ensemble de son centre d’inertie,
/ R / R CM DV(M) V(C) W
/ R / RV(M) V G CM D CM(C)
0 r q
G r 0 p
q p 0
1 u v 1 u w
2 y x 2
1 v uD
2 x y
1
z x
u
x
v
y
w
z
1 v w
2 z
w u 1 w v
2 x z z
y
2 y
B
1rot
2
p
V(C) q
r
W
3- d’une déformation caractérisée par D
2- d’une rotation autour du centre d’inertie, caractérisée par
G
L’expression de V(M) montre que le mouvement le plus général de
la particule fluide
est formé :
Récapitulation :
1
2
w
zp
v
y
1
2q
u w
z x
1
2
v
yr
u
x
-
11 0 0
0 0
0 0
0
0
D
31 2 1
2 1 3 1
32
1
1
2
2
3
3
3 2
1 1
2 2
u
x
u
uu u u
x x x x
uu
x xD
x
u
x
44
A- ANALYSE DES TERMES DIAGONAUX (signification physique des
termes diagonaux)
I- ETUDE DU TENSEUR E DES DEFORMATIONS PURES
Soit D dans le cas où tous les termes sont nuls sauf e11 :
111
1
u
x
1
2
jiij
j i
uu
x x Donc : Et puisque :
On a donc :
D
On a :
(signification physique des termes de D)
-
( )1Détermin ation de N
MNM e
',
N
1
1 1
11 0 0
NN ' D 0 0 0
0 0
dx
dx e 0
0 0
11
N
MN
N '
45
Soit N un point voisin de M sur l’axe Ox1
N N’
et le point N se déplace en N’
x1 ( )1e
x2 ( )2e
( )1N
M,e'
MN
N
- Déterminer l’allongement relatif dans la direction e1 ?
M
NN' D MNOn peut écrire : 1- Puisque MN s’est transformé en NN’
,
Soit: 1
1
11
11
dx
0
0
N M e
On a, par définition, l’allongement relatif dans la direction e1
:
Et puisque NN’ = /NN’/ e1= NN’ e1
(1)
(2)
Donc 11 représente l’allongement relatif dans la direction
e1
Et par égalisation de (1) et (2): On obtient :
MN=dx1 e1 ___________> NN’
-
31 2 1
2 1 3 1
12 13
3221 23
3 2
31
1
1
11
222
2
32 33
3
3
1 1
2 2
uu
x
uD
x
u
x
u u u
x x x x
uu
x x
46
de même pour : ( )22 2M,e ( )33 3M,e
Donc 33 représente l’allongement relatif dans la direction
e3
Donc 22 représente l’allongement relatif dans la direction
e2
Donc 11 représente l’allongement relatif dans la direction
e1
Avec :
-
ii
i
l'allongement
rela
puisque représente
dans la direction tif
ε
e
47
Remarque : Variation relative de volume
Donc : 1 11 1 2 22 2' ( )( ) A
Et pour un volume:
Et se transforme en aire de MM’1 MM’2 = A’
M’2 N’
M’1
V
V
Car 11 22 est un infiniment petit du second ordre.
x1
x2
M M1
M2 N
V ' V
V
11 22 33 11 22 33 11 22 33
( ) ( ) ( )11 1 22 2 33 3 1 2 3
1 2 3
1 1 1
( )( )( )11 22 331 1 1 1
Soit le rectangle MM1NM2 de côté , 1 2L’aire de MM1MM2 = A = 1
2
11 1 22 2 33 3V' (1 ) (1 ) (1 )
-
0 divV=0V
V
Trace D
48
111
1
u
xEt puisque : 2
22
2
,
u
x
333
3
eu
tx
31 2
1 2 3
uu uV
V x x x
( )
V
div uV
11 22 33
A V
A V
La variation relative de volume est donc :
Remarque :
Si le fluide se déforme sans variation de volume (fluide
incompressible)
Donc :
s’ écrit : V
V
Qui représente la divergence de V(C) , soit :
-
1
1
2
2
3
3
31 2 1
2 1 3 1
32
3 2
1 1
2 2
1
2
uu u u
x x x x
uuD
u
x
u
u
xx
x
x
12
21
0
0
0 0
0
0
0
D
49
B- ANALYSE DES TERMES NON-DIAGONAUX
On a le tenseur des déformations pures :
Soit D dans un cas où tous les termes sont nuls sauf 12 =
21.
Dans ce cas D devient :
Soit N1 voisin de M sur Ox1 et N2 voisin de M sur Ox2
Déplacement de N1 à N’1et
Déplacement de N2 à N’2
x1 ( )1e
x2 ( )2e
M N1
N2 ???
MN1 = dr MN2 = dr
-
'
1 1 2
'
2 2 1
N N e
N N
est dans le direction de
est dans le direction de e
50
'
1 1N N D dr
12 1
21
0 0 dx
0 0 0
0 0 0 0
21 1 21 1 2
0
dx dx e
0
'
2 2N N D dr
12
21 2
0 0 0
0 0 dx
0 0 0 0
12 2
12 2 1
dx
0 dx e
0
Donc
Le transformé de dr : MN1 = dr MN2 = dr
N1
N’2
N’1
M
N2
x1 ( )1e
x2 ( )2e
MNi initial
MN’i final A noter que :
-
121 1
12
ε dx= =
dε
x
'
22 12
2 12 2
2 2
N N ε dxon a : = = =
MN dxtgθ ε
51
( )' '1 2π
M
La va
N M
riation de L'angle
est de N - α2
1
'
1 1
1
N Non a : tg =
MNθ
( ) ' '1 2L'angle passe dπ
MNMN 2
e à
Les angles étant petits on assimile donc angle en radian et
tangente :
1 21 2 12 1 2 e t q q q q
Pour des petites déformation, les angles q1 et q2 peuvent être
considérer petits :
q2
q1
On a :
Et soit q1 :
N’2
N’1 x1 ( )1e
x2 ( )2e
M N1
N2
donc
Et soit q2 :
On appelle la quantité (p/2 ) la
distorsion angulaire ou glissement en M
suivant 1 et 2
- Déterminer cette quantité en fonction de ij
-
( )
' '1 2
πM N M NLa variation de L'angle est de -
2
La variation d'angle 2
1 2 21 12 12 21π
- = =θ +θ =ε +ε 2ε ε2
52
Puisque : donc : 1 2π
( +θ +θ = ) 2
Ce qui représente la distorsion angulaire.
( )1 2M,e ,e en petite déformati2
onp
Donc on en déduit que :
On appelle distorsion angulaire ou glissement en M suivant la
quantité ,
notée:
1 2et e e
On a :
-
53
E=D
-
31 2 1
2 1 3 1
12 13
3221 23
3 2
3
1
2
2
2
1 3
1
0
0
1 1
2 20 0
10 0
20
0
0 00
0
0
uu u u
x x x x
uu
xG
x
54
Interprétation du tenseur de rotation pur G
On utilise la même démarche que pour le tenseur de déformation
pur D
On suppose que tous les ij sont nuls sauf 12 21
Soit N1 voisin de M sur Ox1 et N2 voisin de M sur Ox2
Soient :
Déplacement de N1 à N’1et
Déplacement de N2 à N’2
x1 ( )1e
x2 ( )2e
M N1
N2
Soit :
dx1 = MN1
dx2 = MN2
Avec :
-
21 1 21 1 2
0
dx dx e
0
55
On peut écrire, pour une variation d’un segment élémentaire
initiale,
dx1 :
'
1 1N N drG
21
21 2
0 0 0
0 x0
0 0 0 0
d
dx2 :
'
2 2N N drG
21 1
21
0 0
0 0 0
0 0
d
0 0
x
21 1
21 1 1
dx
0 dx e
0
N’1
N’2
dx2
dx1 x1
x2
M N1
N2
g21dx1
-g21 dx2
On peut remarquer
les rotations suivantes :
-
3e3
56
on a la tangente de l’angle q : tgq = 21 soit : q 21 3
Donc :
la rotation est d’angle : q 213 et de vecteur de rotation
est
Les composantes du tenseur G sont donc des rotations d’ angles
sans déformation.
Puisque c’est une rotation, quel est le vecteur rotation
x1
x2
M N1
N2
N’1 N’2
dx2
dx1
21dx1
21 dx2
q
-
D
57
On peut le décomposer en somme de deux tenseurs, l’un sphérique
et
L’autre déviatorique ( trace nulle)
DÉCOMPOSITION DU TENSEUR DES DÉFORMATIONS PURES :
-
sD
58
12 13
21 23
11
3 331 32
22
3
3
3
q
q
q
On peut décomposer ce tenseur de la façon suivante :
Avec : q 11 22 33
On peut remarquer :
1- le premier tenseur est proportionnel au tenseur unité, noté
:
Décomposition du tenseur des déformations pures :
2- la trace de deuxième tenseur est nulle :
Où q 11 22 33 = la trace de D = Tr[ D ]
(Il est isotrope, les propriétés sont identiques dans toutes les
directions)
Ce tenseur dont la trace est nulle est appelé déviateur
0 0
0
1
13
1
0
0 0
q
Un tenseur proportionnel au tenseur unité est appelé tenseur
sphérique.
dD
D
On a donc : D sD
dD
11 12 13
21 22 23
31 32 33
D
-
ddE D
59
http://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htm
http://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htmhttp://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htmhttp://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htm
-
Chapitre III : THEOREMES GENEREAUX
Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de
mécanique des fluides
passe par la définition du système matériel S, particules de
fluide à l'intérieur d'une surface
fermée limitant S.
Dans ce chapitre , nous supposons que les fluides sont parfaits,
c’est-à-dire sans frottement
(fluides non visqueux ) et nous aborderons le cas des fluides
incompressibles.
A cette masse fluide, on applique les principes et théorèmes
généraux de mécanique :
1 - Principe de la conservation de la masse.
2 - Principe fondamental de la dynamique.
3 - Principe de la conservation de l'énergie
On isole par la pensée toutes les particules fluides qui se
trouvent à un instant
Donnée à l’intérieur d’une surface fermée S.
(S)
60
Remarque sémantique :
Nous avons employé le mot "Principe" pour traduire une relation
(démontrée à partir du
principe fondamental de la Mécanique) ; nous aurions du dire
Théorème ; en fait, cela se
produit souvent en Physique : ce qui était un Principe à une
époque devient un Théorème
avec l'avancement des connaissances et, souvent, à tort, on
garde la première terminologie.
-
61
Dérivation suivant la méthode d’Euler
Cette dérivée apparaît comme la somme de deux termes :
•le premier, qualifié de convectif ou advectif, est du à la
non-uniformité de
l’écoulement,
•le second, qualifié de temporel, est du au caractère
instationnaire de l’écoulement.
Soit un volume V (FIXE dans l’espace) entouré par une surface
S
fermée :
Variation de la masse dans le volume V par unité de temps =
Masse entrante par unité de temps − Masse sortante par unité
de
temps
-
La masse d’un domaine fluide (D) que l’on suit dans son
mouvement se
conserve au cours du temps (en l’absence de sources et/ou
puits).
On a alors :
( )
d 0
dtD
dVr
0 Ddm
dt
Et puisqu’on a quelle que soit f (M,t) :
( )( ) ( )
( , ) SD D
fdV dVf M t f
dn
dt tds
V Et posons f= r
(1)
L’équation (1) s’écrit :
( )D
dVd
dtr
( ) ( )
0SD
nt
dsdVr
r
V
( )) (
( )S D
n did VA vs A d Et d’après le théorème de la divergence :
la relation (2) devient :
(2)
( ) ( )
( ) 0D D
dV dVdivt
rr
V Soit :
C’est l’équation de conservation de masse ( ou équation de
continuité)
( )
d0 et puisque
ddm= d v
tD
dm r
( )
0S
dsnr V( )D
dVt
r
Et avec A= r V
62
( ) 0
Vdivt
rr
Green-Ostrogradski
-
Application :
Dans l’espace à trois dimensions Ox, Oy, Oz, on considère
l’écoulement
bidimensionnel d’un fluide incompressible caractérisé par le
champ des vitesses
suivant : u = (2x -3y )t
v = (3x-y )t
w = 0
Déterminer pour que l’équation de continuité soit
satisfaite.
L’équation de continuité s’écrit ( ) 0divt
rr
V
Et dans le cas d’un fluide incompressible (r=cte), on a : ( )
0div V
0u vx y
Soit :
2u
tx
vt
y
Et comme :
2 0t t On doit donc avoir : 2
et
63
-
Conséquences: Conservation de débit
1- Cas d’un écoulement permanent : 0t
r
( ) ( )
0 D S
V nt
dV dsr
r
Et de l’équation (2) suivante :
, On en déduire que : ( )
0S
n dsr V
Et si (S)= (S1)U (S2)U (S)
(S1)
(S)
(S2)
1n
2n
n
L’équation (3) s’écrit :
1 2
( 1) ( 2) ( )
0 S S
V n ds V n ds V n dsr r r
Et d’après le produit scalaire :
(3)
C’est la conservation de débit massique (kg/s) ρ VS =
contante
2- Si de plus r = cte: (fluide incompressible)
C’est la conservation de débit volumique (m3/s) V S =
contante
( 1) ( 2) ( )
0 0S S
V ds V dsr r
1 1 1 2 2 2 V S V Sr r Soit :
V(S)
64
-
D'après la loi de Pascal, la pression d'un fluide en milieu
fermé est transmise
uniformément dans toutes les directions et dans toutes les
parties du récipient,
à condition que les différences de pression dues au poids du
fluide soient négligeables.
Cette loi a des applications extrêmement importantes en
hydraulique.
S. L=constante
65
-
2- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE :
(conservation du quantité du mouvement )
où p mVextdp
Fdt
Quelque soit le domaine fluide (D) que l’on suit dans son
mouvement :
Pour, un milieu continu (fluide), on a la forme intégrale :
( ) ( )( ) ( )
d d dt dt
D D DS
dp V T fdV dVdsr r
Résultante des forces
extérieures de surface
(forces moléculaires)
Résultante des forces
extérieures de volume
(champs de pesanteur,
Magnétique, électrique..)
(1)
(2)
) )( ) ((
d
SD D
VT f
ddV dV
tdsr r
L’équation (2) est la forme intégrale de l’équation de
conservation de q.d.m :
(3)
dp = V= dm V dvret
(Forces de contactes) (Forces à distances)
66
-
3- Théorème de L’énergie Cinétique
Démonstration de Théorème de L’énergie Cinétique (T.E.C) :
On a :
R
dw V(M) dV(M)
m dtdt
dw V(M) dtF
R
dV(MdwV(M)
)m
d
dt t
2w 1m V(M)
d d dEc
dt dt d2 t
67
Et d’après le P.F.D, dw s’écrit :
Soit :
Ce qui implique :
La quantité Ec est appelée énergie cinétique de la particule M
de mase m,
Nous considérons maintenant F comme la résultante de toutes les
forces
appliquées à ce point matériel M de masse m.
Et le Théorème de L’énergie Cinétique s’écrit :
ou ( )C Fd d
Pdt dt
wE
dW dEc
( ) ( )2 1M M
W Ec Ec
-
3 - PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L'ÉNERGIE
- Conservation de l’énergie cinétique
On sait que pour un système de points matériels, le théorème de
la variation
d’énergie cinétique peut être mis sous la forme :
( )
( )
.
.
.
c f ex
f exc
f ex
d E dW
dWd EP
dt dt
21
2E m V
c exdE WF
12
cdE d mV Vdt dt
cdE dVm Vdt dt
( )cdE
m Vdt
cdE
V Fdt
Donc :
68
-
Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans
rigidité et qui peut
s'écouler.
Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes,
mobiles et visqueux. La propriété
physique qui permet de faire la différence entre les deux est la
compressibilité.
la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme
s'accompagne d'une
résistance (frottements).
1- Définition d’un fluide :
Chapitre IV : STATIQUE DES FLUIDES
2- Liquides et gaz
Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand
nombre de particules
matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par
rapport aux autres.
Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides
et gaz.
l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans
toutes les directions
de l'espace.
la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils
prennent la forme
du récipient qui les contient.
69
-
df
dfN
dfT
Mais cette force peut toujours être décomposée en : df
2
La force que la partie (1) exerce sur la partie (2) à travers
cet élément de surface réel ou
fictif dS a une direction quelconque.
- Définition de la pression:
Dans un milieu quelconque, donc aussi dans un milieu fluide,
Soit un élément de surface dS qui sépare le milieu fluide en deux
parties (1) et (2) :
dfT composante tangentielle
dfN une composante normale
La quantité dfT /dS représente la contrainte tangentielle
Où
Unité: Le Pascal (Pa)=1N/m2
est la pression normale Nn
dfP
ds
TT
dfP
ds est la pression tangentielle
Le rapport :
Le rapport :
dfN dfT df = +
1
dS
La quantité dfN /dS représente la contrainte normale
70
-
Pression en point d'un fluide statique :
En statique des fluides, seules interviennent les forces de
pression dfN, normales à l'élément
dS.
Si le fluide est en équilibre, donc pas de mouvement, les forces
de frottement sont nulles :
En effet :
Les forces tangentielles dfT n'apparaissent qu'en dynamique des
fluides* : elles correspondent
aux frottements visqueux des couches fluides en mouvement les
unes par rapport aux autres et
par rapport à la paroi de la conduite.
* A noter que même s’il ya mouvement et si le fluide est
parfait, on a dans ce cas :
Les forces de frottement sont nuls (dfT =0)
En tout point d'un fluide existe une certaine pression. Soit un
point M dans un fluide.
Si on considère une surface imaginaire dS passant par M,
( statique (en équilibre) : 0)fluide df
dS
df df p n dSdf n
Pds
Où n étant le vecteur unitaire de la normale à dS orienté
vers
l'extérieur.
n
M
71
-
1- Attention, il ne faudrait pas conclure que les forces de
pression s’exercent
verticalement. Elles s’exercent perpendiculairement à tout
élément de surface.
df df p n dS
df nP
ds
Où n étant le vecteur unitaire de la normale à dS orienté
vers
l'extérieur.
n
M dS
Remarque :
2-
72
-
- Unités de pression
Plusieurs unités existent:
• le pascal (Pa) : unité SI, peu employée en pratique
• le bar (bar) et son sous multiple le millibar (mbar)
• le millimètre de mercure ou Torr
• le millimètre de colonne d'eau ou le mètre de colonne d'eau (m
CE)
• l'atmosphère (atm)
La pression atmosphérique est la pression exercée par
l'atmosphère à la
surface de la terre.
Au niveau de la mer cette pression est équivalente à celle
exercée par une colonne d'environ
760 mm de mercure.
Elle varie tous les jours légèrement: elle est néanmoins
toujours voisine de 1 bar.
Po (en moyenne, niveau de la mer) = 1013 millibars = 1,013 bars
= 1,013 105 Pa
Exemple :
La correspondance entre ces unités est la suivante:
750 mm de mercure ≈ 10,2 m CE ≈ 0,987 atm
(voir l’expérience de Torricelli )
73
-
Cas du fluide statique
Fluide parfait
V 0
où est la pression p de fluideT pn
Dans ce cas, l’équation (1), devient :
( ( ))
0 S D
fd Vnp ds r
Et puisque, on a d’après le théorème de :
) ( )(
gradp DS
dnp d Vs
0pf gradr C’est l’équation fondamentale de statique
- EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE DES FLUIDES
( )( )( )
d
S DD
TV
dVdt
ds Vf dr r L'équation fondamentale de la dynamique s’écrit :
( () )
0S D
Td ds f Vr (1) donc :
( ) ( )
0 D D
p d f dVg Vrad r
Ce qui nous permet d’écrire : ( )( )
0 D
f dVgr pad r :∀( D) Et puisque
74
-
A partir de l’équation fondamentale de statique: 0 gradpfr
On peut déduire : Et puisque :
0
0
0
0
0
p
p
p
x
y
z
gr
p
)
z
(p z
d
dgr
ctegzp r C’est l’équation fondamentale de l’hydrostatique
Le fluide a pour masse volumique r et le champ de pesanteur est
le seul champ de forces
extérieures.
Dans le cas d'un liquide, (ou pour un gaz dans lequel la
variation de pression est faible), la
masse volumique r ne dépend pas de la pression.
De plus, si on suppose la température uniforme, la masse
volumique sera considérée
comme constante.
D'autre part, pour des différences d'altitude courantes,
l'accélération de la pesanteur g peut
aussi être considérée constante.
Dans ce cas on peut intégrer la relation précédente :
EQUATION FONDAMENTALE DE L’HYDROSTATIQUE
z
0
0
p
p
x
y
p
zgr
f = g (=constante)
zp
gd dr
(l’axe oz est vertical ascendant)
On appelle hydrostatique la statique des fluides incompressibles
(r constante).
75
-
76
Bibliographie ( à lire)
http://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html
-
77
Bibliographie ( à lire)
http://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html
-
78
Bibliographie ( à lire)
http://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html
-
A
B
r
z
P B= PA + ρ g h
h
PB, PA : pressions en B et A → kg/(m.s2) ou Pa (pascal)
ρ : masse volumique du liquide → kg/m3
g : accélération de la pesanteur → m/s2
p gz ct er On a : Soient :
B B p gzr ( )B A A B p p g z -z r
h : distance verticale entre A et B → m
On considère un liquide, de masse volumique r , immobile à
l'intérieur d'un récipient;
Soient deux points A et B du fluide, le principe s'écrit:
( ) ( )A B AB A B = g z -z où zp p -z 0hr
0
(l’axe oz est vertical ascendant)
Application : Méthodologie
Remarque:
On a : Donc B Ap p
On pose h = zA – zB, Donc :
Dans un fluide la pression croît de haut en bas.
UNITES :
On a : pB - pA = ρ.g.(zA- zB) ce qui nous permet d’écrire : dp =
-ρ.g.dz
z
A A p gzr
zA
zB
79
-
La différence de pression (en Pa) entre A et B est numériquement
égale au poids d'une
colonne de liquide de section unité 1 m2 et de hauteur h en m
:
On pourra dire que PB - PA exprimée en pascals est donc égale à
une pression de h m de
colonne de liquide de masse volumique ρ (kg/m3).
On peut toujours exprimer une pression avec une unité de hauteur
après avoir précisé le
liquide choisi.
La différence de pression entre deux points
quelconques d'un fluide en équilibre est
égale au poids d'un cylindre de fluide de
section unité et ayant pour hauteur la
dénivellation entre les deux points.
dz
z
z+dz
Cylindre de hauteur h en m et de section unité 1 m2
- Valeur de la Différence de pression entre deux points :
( ) ( )p z dz p z dp gdzr
h en m
A
B
r
80
-
Application de
Calculer la pression subie par un plongeur descendant à un
profondeur de 25 m
dans l’eau. On donne g=10ms-2 , re =1000 kg/m3 et p
Atmosphérique = 1 bar.
z
0
h=25m
p gz ct er On a : (si l’axe oz est vertical ascendant (montant
))
Dans notre cas : p gz cte- r
Entre 0 et la particule fluide M (plongeur M), on a : a - p 0g r
p- hgr
M
ap = p gh rDonc : A.N : P= 3.5 bars = 3.5 105 Pas
p Atmosphérique = pa=1 bar
(oz est vertical descendant ) Donc :
p gz ct er
1 bar = 1 kg / cm2.
81
-
a = p p ghr
82
La pression absolue en plongée est la pression totale =
Pression atmosphérique + Pression due à l'eau.
Donc : à -25 m de profondeur, la pression absolue est de 3.5 bar
=
1bar de pression atmosphérique + 2.5 bar de la pression due à
l’eau (rgh)
On trouve:
à -10 m de profondeur, la pression absolue est de 2 bar (1 bar
de pression atmosphérique +
1 bar du au poids de 10 m d'eau).
à -20 m elle sera de 3 bar,
à -30 m de 4 bar, etc...
Remarque :
En plongée sous-marine, on supporte 8bar , calculer h qui
correspond à 8bar :
En plongée sous-marine, le record est de -90m soit une pression
absolue de 10 bar.
Pabsolue =Patmosphérique+Phydrostatique
( ) ( )a5P -10 -
h= = ? 1000.10g
pph
r
( )5 58 10 -10 = ?
1000.10h 70h m
-
83
La notion de pression partielle est importante pour définir les
seuils de toxicité des gaz. Par exemple,
l'oxygène représente un danger pour les plongeurs à partir d'une
pression partielle de 1,6 bar. Quand on
plonge à l'air, cette valeur critique est atteinte à la
profondeur de 70 m.
Les plongeurs au nitrox respirent un mélange enrichi en oxygène,
la PpO2 limite de 1,6 bar sera atteinte
encore plus tôt. Les nageurs de combat qui respirent de
l'oxygène pur dans leur scaphandre à circuit
fermé ne pourront dépasser sans danger la profondeur de 6 m
!
Bibliographie ( à lire)
La pression est une force appliquée sur une surface. Par
exemple, chaque cm2(surface) de notre peau
supporte environ 1 kg (force) représentant le poids de
l'atmosphère. C'est la pression atmosphérique au
niveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est
incompressible et ses cavités (estomac,
poumons, sinus,... ) contiennent de l'air à la même
pression.
Si on s'élève de 5 000 m, la pression atmosphérique est deux
fois plus faible qu'au niveau de la mer car la
masse d'air au-dessus de notre tête est alors moitié moindre. A
la fin de cette page se trouve un tableau
des unités de pression. En plongée sous-marine, pour mesurer la
pression dans les problèmes, on utilise
de préférence le bar et on considère que 1 bar = 1 kg / cm2.
Qu'en est-il dans l'eau ? Plus on est loin de la surface, plus
la pression est élevée car il faut tenir compte
du poids de l'eau au-dessus de nous. A -10 mètres de profondeur,
chaque cm2 de notre peau supportera le
poids d'un litre d'eau (1 litre = 1 000 cm3). Sachant qu'un
litre d'eau pèse environ 1 kg, la pression due à
l'eau à -10 m de profondeur est donc de 1 kg / cm2, c'est-à-dire
1 bar. Si on descend à nouveau de -10 m,
la pression augmentera à nouveau de 1 bar.
La pression absolue en plongée est la pression totale : Pression
atmosphérique + Pression due à l'eau. A
-10 m de profondeur, la pression absolue est de 2 bar (1 bar de
pression atmosphérique + 1 bar du au
poids de 10 m d'eau). A -20 m elle sera de 3 bar, à -30 m de 4
bar, etc... On remarquera que de 0 à -10 m
la pression augmente de 100% alors que si on descend de -30 à
-40 m, elle n'augmente que de 20%. Il est
important de savoir que la pression change plus vite en fonction
de la profondeur si on est près de la
surface.
La pression hydrostatique est le nom savant pour la pression due
à l'eau. On l'appelle aussi pression
relative car c'est une pression par rapport à la surface. La
relation qui unit tous ces termes est donc :
P.absolue = P.atmosphérique + P.hydrostatique
http://www.thelin.net/laurent/plongee/nitrox.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html
-
84
Archimède (287 - 212 av.JC) Physicien et mathématicien né à
Syracuse en Sicile. Il est connu des plongeurs pour avoir posé
les bases du calcul de la flottabilité grâce à son principe
décrit sur la page Lois physiques.
C'était un génie, il a inventé le palan, le levier, les
engrenages et le téléphone portable (vérifier
ce dernier point).
Evangelista Torricelli(1608 - 1647) Physicien Italien qui a
mesuré en 1643 la pression atmosphérique à l'aide de
l'expérience
décrite en cours
Bibliographie
http://www.thelin.net/laurent/plongee/loisphysiques.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html
-
85
L'oxygène est toxique à partir d'une certaine pression. Si on
respire de l'oxygène à une pression
supérieure à 1,6 bar, on risque un malaise grave (crise à
caractère épileptique). L'air est composé
approximativement de 20% d'oxygène et 80% d'azote. Au niveau de
la mer, la pression atmosphérique est
de 1 bar. La part de pression due à l'oxygène est donc de 0,2
bar (c'est la "pression partielle" de l'oxygène).
En plongée, la pression de l'air respiré dans le détendeur
augmente avec la profondeur. Par exemple à une
profondeur de 20m, il règne une pression de 3 bar, l'air respiré
est donc lui aussi à 3 bar. La pression
partielle d'oxygène dans cet air représente toujours 20% de
cette pression, c'est-à-dire 0,6 bar. Si les
plongeurs continuent à descendre, la pression partielle de
l'oxygène respiré continue de croître et peut
atteindre ou dépasser la limite des 1,6 bar (à une profondeur de
70m environ).
L'azote est toxique à partir d'une certaine pression. Sa
toxicité se manifeste par ce qu'on appelle
couramment "l'ivresse des profondeurs" ou plus simplement
"narcose à l'azote". Un des symptômes est
une forte baisse de la concentration, ce qui peut s'avérer très
dangereux en cas d'incident.
Tous les sujets n'ont pas la même sensibilité à la narcose. De
plus une même personne peut être plus ou
moins sensible en fonction du moment. Cet état apparaît chez le
plongeur entre 30 et 40m de profondeur.
Au delà, tout le monde est plus ou moins narcosé.
En conclusion on peut dire que l'air est un gaz acceptable en
plongée de loisir pour des profondeurs ne
dépassant pas 40m. Les tables de plongées courantes sont prévues
pour des profondeurs maximum de
cet ordre.
Limites de la plongée à l'air
Bibliographie
http://www.thelin.net/laurent/plongee/photos/index.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html
-
- CONSÉQUENCES IMMEDIATES ET APPLICATIONS
1) Etude de la surface libre d'un liquide (dans un champ de
pesanteur uniforme) :
2) Etude de surface de séparation de deux liquides non miscibles
:
3) Etude des vases communicants contenant plusieurs liquides non
miscibles :
4) Mesure de la pression , par :
a- Un baromètre à mercure (Torricelli, ~ 1643),
b- Un manomètre à mercure à air libre.
5) Transmission des pressions (théorème de Pascal).
7) Présenter des "Paradoxes" en hydrostatique.
p gz cter
0) Les surfaces d’égales pressions dans un fluide sont des plans
horizontaux (plans
isobares)
Hypothèses : Fluide statique, Fluide parfait , Fluide
Incompressible et g=cte
L’équation fondamentale de l’hydrostatique :
Comme conséquences immédiates de cet équation, on tire les
propositions suivantes:
z
86
-
1) Surface libre d'un liquide (dans un champ de pesanteur
uniforme)
h
Et puisque * :PB = PA= P0
donc ρ g (zB- zA) = 0 Ce qui implique : zA =zB
La surface libre d'un liquide au repos est donc plane et
horizontale
On suppose, par l’absurde, que la surface libre d'un liquide au
repos n’est pas
horizontale, soit:
P B− PA =-ρ gh on peut écrire:
B B p gzr ( )B A A B p p g z -zr
On considère deux points A et B de cette surface de côte
respect. zA et zB :
p gz cter s'écrit entre A et B:
Conclusion : Les surfaces d’égale pression (isobares) sont
horizontaux
Dém. : P=constante z= cte et d’après p gz cter (plan
horizontaux)
z
0
donc (h=0)
A
B
P0 = pression atmosphérique
zA
zB
A A p gzrL’équation fondamentale de l’hydrostatique :
si h = zB - zA
A B
Remarque* : On pourra considérer que la pression de l’air
est la même pour des variation de z de l’ordre de 10 m.
(ce qu’on ne peut pas dire pour un liquide)
87
-
2) Surface de séparation de deux liquides non miscibles
dans le fluide I, PB -PA = ρ1gh
dans le fluide II, PB -PA = ρ2gh
A
B
h
z
(I)
(II)
r1
r2
ρ1gh = ρ2gh ==>
Or g≠ 0 et (ρ1 - ρ2) ≠ 0 donc :
La surface de séparation de deux liquides
non miscibles au repos est horizontale
Conclusion (puisque h=o) :
On considère deux fluides (I) et (II) non miscibles (ex. eau et
huile), de masse
volumique r1 et r2, dans un même récipient et
soient deux points A et B de la surface de séparation supposée
(par l’absurde)
non horizontale :
g h (ρ1 - ρ2) = 0
h = 0
Et puisque ρ1 - ρ2 > 0 => ρ2 > ρ1
Et par la suite le fluide (II)
le plus lourd est en dessous
z
(II) r2
(I) r1
88
-
3) Vases communicants contenant plusieurs liquides non miscibles
:
Les dénivellations de deux liquides non miscibles dans
des vases communicants sont en rapport inverse de leurs
masses volumiques.
A
B
C ρ1
ρ2
h1 h2
1
1
2
2 h
h
r
r
Remarque :
Si ρ1 = ρ2 (même fluide)
Et puisque g 0
PB -PA = ρ1gh1 et PB -PC = ρ2gh2
D’après ctegzp r Et si h1 =zA-zB et h2=zC-zB , cette équation
devient :
Or PA = PC = P0 d'où ρ1gh1 = ρ2gh2
P0 pression atmosphérique
On verse un liquide de masse volumique r1 dans un tube en U et
on ajoute ensuite
dans l’autre branche un autre liquide de masse volumique r2
:
Et soient les points A, B et C, tel que (voir figure), z
ascendant:
Un fluide est à la même hauteur dans deux vases
communicants :
Donc: h2 = h1
z
89
-
90
-
4) Mesure de la pression atmosphérique (Torricelli, ~ 1643)
PB - PC =ρHgg( zC – zB )= ρHg.g.h
Et l’expérience donne : h= 76cm=0,76(m)
Puisque : p g ct z er On a : B B C C p g z p g zHg Hgr r
[Pc = 0 (le vide)] PB =ρHg g ( zC – zB )= ρHg. g.h
PB = PA = P0 P0 = ρHg. g. h (1)
A.N. : ρHg = 13596(kg.m-3); g = 9,806(m.s-2).
P0 = 101325 kg/ms2
= 1,01325. 105 Pa
= 1,01325 bar (1 bar = 1 kg / cm2. )
C
B
vide
A h P0
Donc :
Avec ces données et d’après la relation (1), on trouve :
a- Un baromètre à mercure permet de mesurer la pression
atmosphérique locale P0
Il s’agit d’une colonne de mercure, au sommet de laquelle on a
fait le vide, et qui est
retournée sur une cuve à mercure (figure)
On applique la loi fondamentale de la statique des fluides au
système mercure :
Entre B et C (oz ascendant) :
Soit :
Et comme :
Question : Comment réaliser le vide ? Toriccelli a retourné une
éprouvette pleine de mercure
(métal liquide très lourd) dans une cuve de mercure. Un
vide s'est alors créé en haut de l'éprouvette
La mesure de pression absolue est effectuée par
rapport au vide. A l’aide du baromètre à mercure 91
-
92
Mesure de la pression :
Voici des précisions sur les unités utilisées pour mesurer la
pression. Dans les bouquins d'exercices et de
problèmes, on aime donner la pression en "cm de mercure" (cm
Hg). Cette vieille unité date d'une expérience
célèbre décrite par ce dessin :
Toriccelli a retourné une éprouvette pleine de mercure
(métal liquide très lourd) dans une cuve de mercure. Un
vide s'est alors créé en haut de l'éprouvette. En faisant
varier la position de l'éprouvette, il constata que la
distance entre la surface de mercure au contact du vide et
la surface de mercure au contact de la pression
atmosphérique était constante et de 76 cm.
Le poids de cette colonne de 0,76 m de mercure équilibre
parfaitement la pression atmosphérique. Petit calcul : le
mercure pèse 13,6 g / cm3, cette colonne applique donc
une pression de
13,6 × 76 = 1033 g / cm2 = 1,033 kg / cm2.
L'unité officielle de pression dans le système international est
le pascal (Pa) qui est égal à une pression de 1 newton par m2.
Le bar, plus facile à utiliser est un multiple du pascal : 1 bar
= 105 Pa. Dans les bulletins météo, on entend souvent parler de
l'hectopascal, qui est le nouveau nom du millibar.
La densité de l'eau douce est 1, c'est-à-dire qu'un litre d'eau
douce pèse 1 kg. Pour faire l'expérience de Torricelli avec de
l'eau il aurait fallu utiliser une éprouvette d'au moins 10,33 m
! Cette distance est bien connue des installateurs de pompes
aspirantes : Une telle pompe ne peut pomper de l'eau douce si
elle est située à plus de 10,33 m de la surface de la nappe. En
effet, au delà de cette distance elle ne pompe que de l'air et
devient de ce fait une "pompe à vide". Seule une pompe
refoulante placée au niveau de l'eau peut élever celle-ci
au-delà de 10,33 m.
L'eau de mer a une densité de 1,026 à cause du sel qu'elle
contient. Pour tous les exercices on admettra que la pression
hydrostatique augmente de 1 bar tous les 10 m. En réalité elle
augmente de 0,98 bar dans l'eau douce et de 1,007 bar dans
l'eau de mer. Voici le calcul pour l'eau de mer :
Masse d'une colonne d'eau de mer de 10 m de haut et 1 cm2 de
section :
1,026 kg
Poids de cette colonne :
p = 1,026 × 9,81 = 10,06506 N (pour la suite, on arrondi à
10,07)
Pression résultante :
P = 10,07 / 10-4 Pa = 100700 Pa = 1,007 bar
On remarque que cette approximation va dans le sens de la
sécurité pour l'eau de mer, pas pour l'eau douce !
Bibliographie ( à lire)
-
Bibliographie ( à lire)
93
-
- La pression atmosphérique vaut donc : Soit 76 cm de
mercure
ou ~ 10 m d'eau
Hauteur de la colonne d'eau équivalente :
Si on remplace par la pensée le mercure par de l’eau,
Et par le même raisonnement , on trouve : P0 = ρeau. g. heau
Donc : r eau. g. heau= ρHg. g. hHg Soit :
heau = 10,33 m
Pourquoi avoir choisi le mercure?
Hg
eau Hg
eau
h = h . r
r
A.N :
Le choix de mercure est dû d’une part à sa forte masse
volumique
qui permet de traduire 1atm par hauteur raisonnable de 76 cm
et
par contre avec l’eau il faudrait 10 m et
d’autre part à sa faible volatilité, car en tête de colonne
règne le vide et une partie du
mercure se vaporise et ceci risque de changer la pression qui
est supposée nulle
dans le vide
( la pression de vapeur saturante du mercure est très faible et
reste négligeable)
94
-
b- Un manomètre à mercure à air libre est relié à un enceinte
dont on veut
mesurer la pression : (figure)
- Déterminer la relation entre la pression
atmosphérique locale (P0 ) , la pression
P1 à mesurer et la dénivellation h du
mercure
au système mercure entre les points A et B (oz ascendant) :
p gz cter
A g (-h) p Hgr Entre A et B, la loi :
1 0 p g h pHgr Donc : 1 0 p p g hHgr
Et puisque : PA = PA’ = P1
A’
h
A
B
P1 = ???
P0
Manomètre
Gaz =(air)
z
0
En se reportant à la figure et on applique, la loi fondamentale
de la statique
des fluides,
Nous permet d’écrire:
Il vient :
1- C’est pourquoi la pression s’est exprimée pendant longtemps
en cm Hg :
1 atm = 1.013 bar = 76 cm Hg ( ou 1 bar = 75 cm Hg)
Remarque :
B g (o)p Hgr
Hg
2- La pression manométrique (ou effective) est mesurée par
rapport à la
pression atmosphérique. A l’aide du manomètre à mercure 95
-
96
Dans cette simulation Java, la pression hydrostatique est
mesurée dans un liquide
grâce à un manomètre :
http://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htm
Bibliographie :
http://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htm
-
5) Transmission des pressions (théorème de Pascal)
Soient deux points A et B (fixes) du fluide, fluide
incompressible:
la différence de pression ne dépend que de la différence
d’altitude (h), qui demeure
constante ,
Exemples d’applications:
Vérin hydraulique, Frein de voiture, ...
A
B
h
z
r
On a : PB-PA=r gh
Et puisque g est considérée constante, donc
Donc B subit la même variance de pression : PB→ PB + dp
Le théorème de Pascal : « Un fluide incompressible transmet
intégralement les
pressions »
donc : toute variation de pression en A se transmet en B,
si A subit une variation de pression dp : PA → PA + dp
S. L=constante
97
-
D'après la loi de Pascal, la pression d'un fluide en milieu
fermé est transmise
uniformément dans toutes les directions et dans toutes les
parties du récipient,
à condition que les différences de pression dues au poids du
fluide soient
négligeables.
Cette loi a des applications extrêmement importantes en
hydraulique.
En dynamique de fluide :
S1. L1= S2. L2
-
Vérin hydraulique Un vérin hydraulique est basé sur le fait
qu’un liquide au repos transmet
intégralement la pression et pas les forces.
BF
SA
pA
pB
sB
cette figure montre un vérin rempli d’huile
fermé par deux bouchons étanches de
surface SA et sB .
On a:
Comme les pressions en A et B (PA=PB) sont
proches (car h est supposé petit),
On a : FA= PA SA et FB= PBsB
Et puisque: SA >> SB alors FA >> FB On réalise ainsi
une très forte démultiplication. Avec un tel vérin un mécanicien
peut soulever à la main une voiture
ou un avion pour changer une roue de secours
,comme SA LA= SB LB
Il faut donc beaucoup de coup de pompe sur le vérin pour
soulever un avion.
p gz cter
B A Entre A et B : p p g h hr
B
z AF
h On peut définir les variables (voir figure) :
Remarque :
Par contre avec un tel système les travaux sont égaux en effet
:
WFA = FA .LA = PASA LA
on a donc : WFA=WFB
rh
A
et WFB = FB .LB = PBSB LB
-
Vérin hydraulique Un vérin hydraulique est basé sur le fait
qu’un liquide au repos transmet
intégralement la pression et pas les forces.
1F
S2
p2
p1
s1
cette figure montre un vérin rempli d’huile
fermé par deux bouchons étanches de
surface S1 et S2 .
Comme les pressions en S1 et S2 (P1=P2) sont
égales (loi de pascal) : transmission
Intégrale de la pression, donc :
On a : F1= P1 S1 et F2= P2S2
La presse multiplie la force F1 par S2/S1. On obtient ainsi une
très forte force.
Fluide incompressible , donc : S2 L2= S1 L1 et puisque :
P2=P1
z 2F
On peut définir les variables (voir figure) :
Remarque : Est- ce qu’on peut réaliser un gain en énergie ?
Par contre avec un tel système les travaux sont égaux en effet :
WF2 = F2 .L2 = P2S2 L2
on a donc : WF2=WF1
rh
et WF1 = F1 .L1 = P1S1 L1
S2 >> S1 alors F2 >> F1
Avec un tel vérin, peut soulever à la main une voiture ou un
avion pour changer une roue de secours
F1x S2/S1 = F2 Et puisque
La presse ne multiplie pas l’énergie
-
102
REMARQUES ET DEFINITIONS
Il existe donc trois types de mesures de pression :
manométrique (ou effective) :
La pression manométrique (ou effective) est mesurée par rapport
à la pression
atmosphérique
A l’aide du manomètre à mercure
différentielle.
La pression différentielle est similaire à la pression
manométrique, mais elle est
mesurée par rapport à une pression de référence spécifique.
absolue :
La mesure de pression absolue est effectuée par rapport au
vide.
A l’aide du baromètre à mercure
On peut différencier deux (2) pressions:
•Pression atmosphérique : pression de surface dans des
conditions habituelles
(normalement aux alentours de 1013 mb mais usuellement
considérée comme
équivalent à 1 bar)
* Pression hydrostatique : variable en fonction de la profondeur
atteinte - cette
pression augmente de 1 bar par tranche de 10 mètres sous l'eau
(0,98 bar dans
l'eau douce et 1,007 bar dans l'eau de mer)
La pression absolue en plongée
est la pression totale = Pression atmosphérique + Pression due à
l'eau.
ap = p gh r
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrostatiquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8trehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Eau_douce
-
103
-
En général, les Fluides compressibles sont les gaz.
La masse volumique dépend de la pression et de la
température.
On ne peut pas intégrer directement la relation dp = - r g
dz.
Il faut déterminer r en fonction de la pression et de la
température (relation d’état)
Cependant les masses volumiques des gaz sont faibles : Air dans
les conditions
courantes 1,3 Kg /m3
A l’échelle humaine courante, on négligera les variations de
pression avec l’altitude
dans les gaz
Seul l’air atmosphérique présente des différences d’altitude
suffisantes pour ne pas
négliger les variations de pression
(il faut compter de l'ordre de 1 km d'altitude pour q