This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
http://elearn.maths.gr/ , [email protected] , Τηλ: 6979210251 Ενδεικτικές απαντήσεις 2ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ12 2010-2011: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη.
Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
1 -1 0 6 62 1 2 5 9
-2 0 1 -5 4-1 1 4 -2 -9
Βρίσκουµε κάνοντας γραµµοπράξεις την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του:
1 -1 0 6 62 1 2 5 9
-2 0 1 -5 4-1 1 4 -2 -9
~
1
1 -1 0 6 62 1 2 5 9
-2 0 1 -5 4-1 1 4 -2 -9
+ Γ2 ---> Γ2 { }−2 Γ1
+ Γ3 ---> Γ3 { }2 Γ1
+ Γ4 ---> Γ4 { } Γ1
~
1 -1 0 6 60 3 2 -7 -30 -2 1 7 160 0 4 4 -3
Γ2 ---> { }Γ2
3
~
1 -1 0 6 6
0 12
3
-7
3-1
0 -2 1 7 160 0 4 4 -3
+ Γ1 ---> Γ1 { } Γ2
+ Γ3 ---> Γ3 { }2 Γ2
+ Γ4 ---> Γ4 { }0
~
2
1 02
3
11
35
0 12
3
-7
3-1
0 07
3
7
314
0 0 4 4 -3
Γ3 ---> { }3 Γ3
7
~
1 02
3
11
35
0 12
3
-7
3-1
0 0 1 1 60 0 4 4 -3
+ Γ1 ---> Γ1 { }−2
3 Γ3
+ Γ2 ---> Γ2 { }−2
3 Γ3
+ Γ4 ---> Γ4 { }−4 Γ3
~
1 0 0 3 10 1 0 -3 -50 0 1 1 60 0 0 0 -27
Γ4 ---> { }−Γ4
27
~
3
1 0 0 3 10 1 0 -3 -50 0 1 1 60 0 0 0 1
+ Γ1 ---> Γ1 { }− Γ5
+ Γ2 ---> Γ2 { }5 Γ5
+ Γ3 ---> Γ3 { }−6 Γ5
~
1 0 0 3 00 1 0 -3 00 0 1 1 00 0 0 0 1
Από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή παρατηρούµε ότι:
i) Τα τρία πρώτα διανύσµατα στήλες είναι γραµµικά ανεξάρτητα
επειδή αντιστοιχούν στον µοναδιάιο πίνακα 3 x 3
εποµένως τα v1,v2,v3 είναι βάση του V
άρα έχουµε dimV = 3.
Τα δύο τελευταία διανύσµατα στήλες είναι γραµµικά ανεξάρτητα
επειδή αντιστοιχούν στον µοναδιάιο πίνακα 2 x 2
εποµένως τα u1,u2 είναι βάση του U
άρα έχουµε dimV = 2.
ii)
Ο µέγιστος µοναδιαίος πίνακας που µπορεί να σχηµατιστεί από όλα
τα διανύσµατα µαζί είναι ο 4 x 4 κι αυτός σχηµατίζεται µε γραµµοπράξεις
από τα διανύσµατα v1,v2,v3 και το u2, άρα αυτά είναι µία βάση
του V + U κι εποµένως dim(V + U) =4
iii)
4
Γνωρίζουµε ότι ισχύει:
= ( )dim ∩ V U + − ( )dim V ( )dim U ( )dim + V U
=>
= ( )dim ∩ V U 1
iv)
Mόλις δείξαµε ότι η τοµή των V,U έχει διάσταση µη µηδενική, άρα αυτό δεν µπορεί να ισχύει.
http://elearn.maths.gr/ , [email protected] , Τηλ: 6979210251 Ενδεικτικές απαντήσεις 2ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ12 2010-2011: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη.
Παρατηρούµε από την τελευταία γραµµή ότι το σύστηµα είναι αδύνατο
εποµένως η απάντηση είναι αρνητική.
ii)
Ο πίνακας µε γραµµές τα v1,v2 γίνεται µε γραµµοπράξεις:
1 -1 13 2 -1
~
1 -1 13 2 -1
+ Γ2 ---> Γ2 { }−3 Γ1
~
1 -1 10 5 -4
Γ2 ---> { }Γ2
5
~
8
1 -1 1
0 1-4
5
+ Γ1 ---> Γ1 { } Γ2
~
1 01
5
0 1-4
5
Άρα τα δύο διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα
κι επειδή παράγουν τον χώρο είναι µία βάση του.
iii)
= v1 v2 + + (1) (3) (-1) (2) (1) (-1)
= 0
=>
, ,v1 v2 είναι κάθετα µεταξύ τους, δηλ. σχηµατίζουν "ορθή γωνία" στον χώρο R3
Έστω ότι το διάνυσµα:
= v3
xyz
είναι κάθετο στα v1,v2. Αυτό σηµαίνει ότι:
= v1 v3 0
= v2 v3 0
<=>
= − + x y z 0
= + − 3 x 2 y z 0
9
<=>
= − + x y z 0
= + − 3 x 2 y z 0
+ Γ2 ---> Γ2 { }−3 Γ1
<=>
= − + x y z 0
= − 5 y 4 z 0
Γ2 ---> { }Γ2
5
<=>
= − + x y z 0
= − y4 z
50
+ Γ1 ---> Γ1 { } Γ2
<=>
= + xz
50
= − y4 z
50
10
<=>
= x −z
5
= y4 z
5
= z ∈ z R
Εποµένως ένα µη µηδενικό τέτοιο διάνυσµα είναι λ.χ. µε z=5 το:
= v3
-145
iv)
Είδαµε προηγουµένως στο iii) ότι κάθε διάνυσµα κάθετο στην βάση v1,v2 του V
εποµένως κάθε διάνυσµα του χώρου V_|_ γράφεται στην µορφή:
,
−z
54 z
5z
∈ z R
≠ άρα για κάθε τιµή του z 0
έχουµε και µία βάση, λ.χ. το διάνυσµα v3 του iii)
http://elearn.maths.gr/ , [email protected] , Τηλ: 6979210251 Ενδεικτικές απαντήσεις 2ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ12 2010-2011: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη.
Τα στοιχεία του πίνακα του εσωτερικού γινοµένου είναι:
= aij ei o ej
,όπου ei i=1,2 τα µοναδιαία διανύσµατα του R2
, , = e1
10
= e1
10
= a11 − − + 1 1 3 1 0 3 0 1 10 0 0
, , = e1
10
= e2
01
= a12 − − + 1 0 3 1 1 3 0 0 10 0 1
, , = e2
01
= e1
10
= a21 − − + 0 1 3 0 0 3 1 1 10 1 0
, , = e2
01
= e2
01
= a22 − − + 0 0 3 0 1 3 1 0 10 1 1
=>
= a11 1
= a12 -3
= a21 -3
= a22 10
=>
= A
1 -3-3 10
12
Έστω ένα τυχαίο διάνυσµα
= X ∈
xy
R2
Έχουµε ότι:
= XT A X + x ( ) − x 3 y y ( )− + 3 x 10 y
=>
= XT A X − + x2 6 x y 10 y2
=>
= XT A X + ( ) − x 3 y 2 y2
=>
≤ 0 XT A X
=>
Ο Α είναι θετικά ορισµένος
http://elearn.maths.gr/ , [email protected] , Τηλ: 6979210251 Ενδεικτικές απαντήσεις 2ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ12 2010-2011: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη.
Άρα ο πίνακας αναπαράστασης ως προς την κανονική βάση είναι
παίρνοντας τις συντεταγµένες κάθε f( ei ) ως στήλη i, ο εξής:
= A
0 1 -12 1 -21 4 -8
Παίρνοντας:
= X
xyz
Έχουµε ότι:
=
f
xyz
A X
=>
=
f
xyz
− y z + − 2 x y 2 z
+ − x 4 y 8 z
β) ii)
Για την εικόνα Ιmf έχουµε:
= ( )f , ,x y z
− y z + − 2 x y 2 z
+ − x 4 y 8 z
= + + [ ]x
021
[ ]y
114
[ ]z
-1-2-8
17
Ενώ στον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα:
, ,
114
021
-1-2-8
1 0 -11 2 -24 1 -8
παρατηρούµε ότι:
~
1 0 -11 2 -24 1 -8
+ Γ2 ---> Γ2 { }− Γ1
+ Γ3 ---> Γ3 { }−4 Γ1
~
1 0 -10 2 -10 1 -4
Γ2 ---> { }Γ2
2
~
18
1 0 -1
0 1-1
20 1 -4
+ Γ1 ---> Γ1 { }0
+ Γ3 ---> Γ3 { }− Γ2
~
1 0 -1
0 1-1
2
0 0-7
2
Γ3 ---> { }−2 Γ3
7
~
1 0 -1
0 1-1
20 0 1
+ Γ1 ---> Γ1 { } Γ3
+ Γ2 ---> Γ2 { }1
2 Γ3
~
1 0 00 1 00 0 1
άρα είναι γραµµικά ανεξάρτητα κι εποµένως µια βάση είναι:
19
= Imf
, ,
021
114
-1-2-8
= dimImf 3
β) iii)
= Για τον πυρήνα ισχύει dimkerf + dimImf = 3 ( )dim R3
=>
= dimkerf 0
=>
= Imf { }O
β) iv)
Επειδή ο πυρήνας είναι το µηδενικό διάνυσµα, η f αντιστρέφεται κι έχουµε για τον Α του ερ. β) i):
= ( )f X A X
=>
= f-1 (f(X)) f-1 (A X)
=>
= X f-1 (A X)
∈ Για να ισχύει η παραπάνω σχέση για κάθε Χ R3
θα πρέπει ο πίνακας της αντίστροφης απεικόνισης ως προς την κανονική βάση του R3
να είναι ο αντίστροφος του Α, δηλ. αρκεί να υπολογίσουµε τον Α-1
20
0 1 -1 1 0 02 1 -2 0 1 01 4 -8 0 0 1
Γ1 <---> Γ3
~
1 4 -8 0 0 12 1 -2 0 1 00 1 -1 1 0 0
+ Γ2 ---> Γ2 { }−2 Γ1
+ Γ3 ---> Γ3 { }0
~
1 4 -8 0 0 10 -7 14 0 1 -20 1 -1 1 0 0
Γ2 ---> { }−Γ2
7
~
1 4 -8 0 0 1
0 1 -2 0-1
7
2
70 1 -1 1 0 0
+ Γ1 ---> Γ1 { }−4 Γ2
+ Γ3 ---> Γ3 { }− Γ2
~
21
1 0 0 04
7
-1
7
0 1 -2 0-1
7
2
7
0 0 1 11
7
-2
7
~
1 0 0 04
7
-1
7
0 1 -2 0-1
7
2
7
0 0 1 11
7
-2
7
+ Γ1 ---> Γ1 { }0
+ Γ2 ---> Γ2 { }2 Γ3
~
1 0 0 04
7
-1
7
0 1 0 21
7
-2
7
0 0 1 11
7
-2
7
= A-1
04
7
-1
7
21
7
-2
7
11
7
-2
7
Άρα ο τύπος της αντίστροφης απεικόνισης θα είναι:
22
= f-1 (X) A-1 X
=>
= f-1 (x,y,z)
− 4 y
7
z
7
+ − 2 xy
7
2 z
7
+ − xy
7
2 z
7
http://elearn.maths.gr/ , [email protected] , Τηλ: 6979210251 Ενδεικτικές απαντήσεις 2ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ12 2010-2011: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη.