1 ΘΕΜΑ 1 Σε ένα δείγμα 5 παρατηρήσεων με μέση τιμή x 11 , οι τέσσερις παρατηρήσεις είναι οι 8,12,14 και 11 . Ε1. Να αποδείξετε ότι η παρατήρηση που λείπει είναι ο αριθμός 10 Ε2. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή του δείγματος. Ε3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει τυπική απόκλιση S 2 . Ε4. Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές. ΘΕΜΑ 2 Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου 50 μαθητών της Γ΄λυκείου αναγράψεται στον παρακάτω ελλιπή πίνακα. Αν i x το κέντρο κλάσης και 2 5 ν 4ν , τότε: Ε1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Ε2. Να βρεθεί η μέση τιμή Ε3. Το πλήθος των μαθητών που πήραν τουλάχιστον 16 Ε4. Το ποσοστό των μαθητών που είχαν βαθμό μικρότερο από 14 ΘΕΜΑ 3 Δίνονται οι παρατηρήσεις 2,6,7,3,7,x με μέση τιμή 6 Ε1. Να αποδείξετε ότι x 11 Ε2. Να βρείτε την διάμεσο δ , την επικρατούσα τιμή 0 M και το εύρος R του δείγματος. Ε3. Να αποδείξετε ότι ισχύει 0 0 3R 2 δ M M για τα παραπάνω μεγέθη. Ε4. Αν όλες οι τιμές που είναι μικρότερες της μέσης τιμής αυξηθούν και γίνουν ίσες με την μέση τιμή, να υπολογίσετε την μέση τιμή του νέου δείγματος.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 11
Σε ένα δείγμα 5 παρατηρήσεων με μέση τιμή x 11 , οι τέσσερις παρατηρήσεις
είναι οι 8,12,14 και 11.
Ε1. Να αποδείξετε ότι η παρατήρηση που λείπει είναι ο αριθμός 10
Ε2. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή του δείγματος.
Ε3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει τυπική απόκλιση S 2 .
Ε4. Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές.
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 22
Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου 50 μαθητών της Γ΄λυκείου αναγράψεται
στον παρακάτω ελλιπή πίνακα. Αν i
x το κέντρο κλάσης και 2 5
ν 4ν , τότε:
Ε1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
Ε2. Να βρεθεί η μέση τιμή
Ε3. Το πλήθος των μαθητών που πήραν τουλάχιστον 16
Ε4. Το ποσοστό των μαθητών που είχαν βαθμό μικρότερο από 14
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 33
Δίνονται οι παρατηρήσεις 2,6,7,3,7,x με μέση τιμή 6
Ε1. Να αποδείξετε ότι x 11
Ε2. Να βρείτε την διάμεσο δ , την επικρατούσα τιμή 0
M και το εύρος R
του δείγματος.
Ε3. Να αποδείξετε ότι ισχύει 0 0
3R 2δ M M για τα παραπάνω μεγέθη.
Ε4. Αν όλες οι τιμές που είναι μικρότερες της μέσης τιμής αυξηθούν και
γίνουν ίσες με την μέση τιμή, να υπολογίσετε την μέση τιμή του νέου
δείγματος.
2
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 44
Δίνονται οι αριθμοί: 4,5,7,9,8,5,4
Ε1. Βρείτε τη διάμεσό τους.
Ε2. Ποιον αριθμό α πρέπει να προσθέσουμε σε καθέναν από τους
παραπάνω , ώστε η μέση τιμή τους να γίνει 9
Ε3. Αποδείξτε ότι όποιον (ίδιο) αριθμό α και αν προσθέσουμε σε καθέναν
από τους αριθμούς αυτούς, η διακύμανσή τους παραμένει σταθερή.
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 55
Οι αριθμοί, 6,7,12,8,α,β (μεα β ) έχουν μέση τιμή 8. Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν
δύο επικρατούσες τιμές.
Ε1. Αποδείξτε ότι: α 7,β 8
Για α 7,β 8
Ε2. Υπολογίστε τη διάμεσο των αριθμών.
Ε3. Βρείτε τη διακύμανσή τους.
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 66
Σε μια επιχείρηση εργάζονται 50 υπάλλοιλοι, οι οποίοι έχουν μέσο μηνιαίο μισθό
1.120€. Από τους 50 εργαζόμενους, οι 20 είναι γυναίκες και οι30 αντρές.
Ε1. Αν ο μέσος μηνιαίος μισθός των γυναικών είναι 1.000€, να βρείτε τον
μέσο μηνιαίο μισθό των αντρών.
Η ίδια επιχείρηση, τους καλοκαιρινούς μήνες προσελάβε εποχιακό προσωπικό, με
μέσο μισθό αυτών800 €
Ε2. Αν ο μέσος μισθός της επιχείρησης είναι πλεόν 1.000€, να βρεθούν
πόσα άτομα πρεσέλαβε η επιχείρηση για την καλοκαιρινή περίοδο;
3
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 77
Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατονομής συχνοτήτων
Ε1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα
Ε2. Να βρεθεί η διάμεσος
Ε3. Να βρεθεί η μέση τιμή
Ε4. Να βρεθεί το ποσοστό των παρατηρήσεων που οι τιμές τους είναι το
πολύ ίσες με 2
Ε5. Να βρεθεί η διακύμανση
Ε6. Να κρίνεται αν το δείγμα είναι ομοιογενές.
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 88
Οι βαθμόι των50 μαθητών της Γ τάξης ενός ΕΠΑΛ παρουσιάζονται στον παρακάτω
πίνακα.
Ε1. Να συμπληρωθεί ο πίνακας
Ε2. Να φτίαξετε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων
Ε3. Να βρεθεί η διάμεσος
Ε4. Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που είχε βαθμό τουλάχιστον 12
Ε5. Να βρεθεί η μέση τιμή
4
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 99
Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου
ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των
θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο
παρακάτω πίνακας:
Ε1. Να υπολογίσετε την τιμή του α .
Στη συνέχεια για α 3 να βρείτε:
Ε2. Τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.
Ε3. Τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.
Ε4. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον 3 βιβλία
Ε5. Τι ποσοστό των μαθητών διάβασε το πολύ 1 βιβλίο
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1100
Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων σε κλάσεις ίσου πλάτους (όπου
ix το κέντρο κάθε κλάσης )
Ε1. Να αποδείξετε ότι οι κλάσεις έχουν πλάτος c 4
Ε2. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει μέγεθος ν 40
Ε3. Να συμπληρώσετε τον πίνακα
Ε4. Να βρείτε την διάμεσο
Ε5. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή
5
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1111
Ο παρακάτω πίνακας δίνει την διάρκεια ζωής δύο τύπων λυχνίων Α και Β, σε
χιλιάδες ώρες
Μια λύχνιά τύπου Α κοστίζει67,5 €
Ε1. Ποιό τύπο λυχνίας θα προτιμήσετε να αγοράσετε, να μια λύχνιά τύπου Β
κοστίζει: α. 52,8€ , β. 55,72€, γ. 58,7€. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας
σε κάθε περίπτωση
Ε2. Ποιού τύπου λυχνίες παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς
την διάρκεια λειτουργίας του.
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1122
Το παρακάτω δείγμα μαθητών έχει μέσο όρο απουσιών x 4 απουσίες σε διάστημα
μιας εβδομάδας.
Ε1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α
Για α 2 , να βρείτε:
Ε2. Τη επικρατούσα τιμή του δείγματος
Ε3. Τη διάμεσο του δείγματος
Ε4. Τον μέσο όρο απουσιών αν στο δείγμα προστεθεί ο Μάκης ,που δεν
απουσιάζει ποτέ από τα μαθήματα
6
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1133
Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το
πολύγωνο των αθροιστικών
συχνοτήτων των ετών εργασίας ,των
εργαζομένων σε μια εταιρεία. Απο τα
δεδομένα το πολυγώνου να βρεθούν:
Ε1. Πόσους εργάζομενους απασχολεί η εταιρεία.
Ε2. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής με τις στήλες των i i i i
ν ,N ,f ,F%
Ε3. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος εργασίας, των εργαζόμενων στην εταιρεία.
Ε4. Να κατασκευάσετε το ιστογραμμα και το πολύγωνο των σχετικών
αθροιστικών συχνοτήτων της %
Ε5. Να υπολογίσετε την διάμεσο.
Ε6. Να βρεθεί το ποσοστό των εργαζομένων του εργάζονται 6 ή
περισσότερα χρονια στην εταιρεία.
Ε7. Να βρεθεί ο μέσος μισθός των εργαζομένων, αν γνωρίζετε οτι:
• Οι εργαζόμενοι με λιγότερα απο 4 έτη εργασίας έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.300€
• Οι εργαζόμενoi που εργάζονται 4 ή περισσότερα χρόνια, αλλά λιγότερα απο
8χρονια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.600€.
• Οι εργαζόμενοι με 8ή περισσότερα χρόνια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.800€
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1144
Εξετάσαμε τους πελάτες μιας καφετέριας σχετικά με το χρόνο (σε λεπτά) παραμονής
τους σε αυτή.Τα αποτελέσματα ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και το
πολύγωνο των συχνοτήτων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
7
Ε1. Να προσδιορίσετε τις κλάσεις και να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα
συχνότητων
Ε2. Να κατασκευάσετε πινακά κατανομής συχνοτήτων με τις στήλες
i i i iν ,N ,f ,F%
Ε3. Να βρεθεί η μέση τιμή.
Ε4. Να βρεθεί το ποσοστό των πελατών που μένουν στην καφετέρια χρόνο
λιγότερο των 30 λεπτών.
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1155
Δίνεται στον παρακάτω πίνακα ένα ομαδοποιημένο δείγμα τιμών.
Ε1. Να υπολογίσετε την διάμεσο δ
Ε2. Να αποδείξετε ότι έχει μέση τιμή x 5
Ε3. Να αποδείξετε ότι έχει διακύμανση 2S x
Ε4. Να εξετάσετε εαν το δείγμα είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι 2
2,24 5
8
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1166
Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των βαθμών εξετάσεων
φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής σε μια σχολή ΤΕΙ.
Ε1. Να αποδείξετε ότι o
M δ όπου o
M ,δ η επικρατούσα τιμή και η
διάμεσος του δείγματος αντίστοιχα
Ε2. Να αποδείξετε ότι 2 x
S2
όπου 2S ,x η διασπορά και η μέση τιμή του
δείγματος αντίστοιχα
Ε3. Να εξετάσετε εαν το παραπάνω δείγμα είναι ομοιογενές
Ε4. Αν ο καθηγητής για να βοηθήσει κάποιους φοιτητές κάνει τους βαθμούς
από 4 έως 5 ίσους με 5 , να βρείτε το πλήθος των μαθητών που πέρασαν το
μάθημα
Δίνεται ότι 2
1,41 2 και πως στις σχολές βάση θεωρείται το 5 και άριστα το 10 .
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1177
Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ταχύτητες 400 οδηγών αυτοκινήτων
ομαδοποιημένες σε κλάσεις που κατέγραψε ένα περιπολικό της τροχαίας σε
διάστημα ενός μηνά σε σημείο του δρόμου με ανώτατο επιτρεπόμενο όριο ταχύτητας
τα 110 χιλιόμετρα την ώρα.
Ε1. Να αποδείξετε ότι α 3 .
Ε2. Να βρείτε το ποσοστό των οδηγών που έκαναν παράβαση.
Η τροχαία συμπεριφέρεται στους παραβάτες έως εξής:
9
• Όσοι καταγράφονται να κινούνται με ταχύτητα από 110 έως 120 χιλιόμετρα την
ώρα με παρατήρηση,
• Όσοι κινούνται με ταχύτητα από 120 έως 140 χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο
100 ευρώ,
•Όσοι κινούνται με ταχύτητα από 140 έως 160 χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο
200 ευρώ
• Όσοι κινούνται με ταχύτητα από 160 έως 180 χιλιόμετρα την ώρα με αφαίρεση
πινακίδων και πρόστιμο 500 ευρώ.
Ε3. Αν στους παραπάνω παραβάτες, 3 οδηγοί κινούμενοι με ταχύτητες
157,144 και 166 χιλιόμετρα την ώρα απαλλαγούν για διαφόρους λόγους, να
βρείτε τα έσοδα από τις εισπράξεις των προστίμων, θεωρώντας ότι όλα τα
υπόλοιπα πρόστιμα θα πληρωθούν κανονικά.
ΘΘΕΕΜΜΑΑ 1188
Εξετάσαμε ένα δείγμα συνδρομητών κινητής τηλεφωνίας σχετικά με τον αριθμό των
κλήσεων που πραγματοποίησαν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας και προέκυψαν τα