ลิมิต (Limits)¹€อกสาร อ.สมเจตน์/511104/limit.pdf · 1 a x x x x ลิมิต (Limits) 1.1 ลิมิตของฟ ชงกัน “x

1

a

x

x

x

x

ลิมิต (Limits) 1.1 ลิมิตของฟงกชัน “ x เขาใกล a ” ( x a→ ) หมายถึงการพิจารณาคาของ x ที่มีคาเขาใกล a มากขึ้นเรื่อยๆ x เขาใกล a ทางซาย ( x a−→ ) ถา x เขาใกล a และ x a< x เขาใกล a ทางขวา ( x a+→ ) ถา x เขาใกล a และ x a> ดังแสดงความหมายเหลานี้ในรูป 1.1.1 รูป 1.1.1 บทนิยาม ให f เปนฟงกชันซึ่งขึ้นกับตัวแปรอิสระ x ถา ( )f x มีคาเขาใกลคาคงตัว 1L ∈ เมื่อ x a−→ เราจะเรียก L1 วาลิมิตซายของ ( )f x ที่ a (สัญลักษณ 1lim ( )

x af x L

−→= )

คาคงตัว L ∈2 เปนลิมิตขวาของ ( )f x ที่ a ถา ( )f x มีคาเขาใกล L2 เมื่อ x a+→ และเขียนแทนดวยสัญลักษณ 2lim ( )

x af x L

+→=

หมายเหตุ 1. ถาไมมีจํานวนจริง 1L หรือ 2L สอดคลองตามบทนิยาม เรากลาววา f ไมมีลิมิตทางซาย (หรือทางขวา ตามลําดับ)

2. เราเรียกสัญลักษณ limx a−→

( )f x หรือ limx a+→

( )f x วา “ลิมิตดานเดียวหรือลิมิตทาง

เดียว (one-sided limit)’’ ของ ( )f x ที ่ a

2

− π3

−π π

π32− π

2π

y

x

ตัวอยาง 1 พิจารณาลิมิตทางซายของ sin( ) xf xx

= ที่ 0

จะไดวา ( )f x มีคาเขาใกลคาคงตัว 1 เมื่อ 0x −→ นั่นคือ 0

sinlim 1x

xx−→

=

พิจารณาลิมิตทางขวาของ sin( ) xf xx

= ที่ 0

จะไดวา ( )f x มีคาเขาใกลคาคงตัว 1 เมื่อ 0x +→ นั่นคือ 0

sinlim 1x

xx+→

=

รูป 1.1.2

บทนิยาม

จากตัวอยาง 1 จะไดวา sin( ) xf xx

= มีลิมิตเทากับ 1 ที่ 0 หรือ 0

sinlim 1x

xx→

=

x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.1 -0.01 sinxx 0.8415 0.8967 0.9411 0.9736 0.9934 0.99833 0.99998

x 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.01 sinxx 0.8415 0.8967 0.9411 0.9736 0.9934 0.99833 0.99998

ถาลิมิตซายเทากับลิมิตขวา ( 1 2L L L= = ) แลว เราเรียกวา f มีลิมิตเทากับ L ที่ a หรือ

lim ( )x a

f x L→

=

ลิมิตของฟงกชัน f มีคาเทากับ L เมื่อ x เขาใกล a

3

หมายเหตุ 1.เรียกสัญลักษณ limx a→

( )f x วา “ลิมิตสองดาน (two-sided limit)’’ ของ

( )f x ที่ a 2. ถา 1 2L L≠ หรือ ไมมีลิมิตทางเดียวดานใดดานหนึ่ง แลวเรากลาววา f ไมมีลิมิต ที่ a (หรือ ลิมิตหาคาไมไดที่ a )

ตัวอยาง 2 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของ f แสดงดังรูป จะเห็นวาขณะที่ x เขาใกล 2 จากทางซายคา ( )f x เขาใกล 1 นั่นคือ

2lim ( ) 1

xf x

−→=

และขณะที่ x เขาใกล 2 จากทางขวาคา ( )f x เขาใกล 3 นั่นคือ

2lim ( ) 3

xf x

+→=

เนื่องจาก 2 2

lim ( ) lim ( )x x

f x f x− +→ →

≠ จึงไดวา ( )f x ไมมีลิมิตที่ 2

ตัวอยาง 3 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูป

จากรูปจะเห็นวา

3lim ( ) 2

xf x

−→= และ

3lim ( ) 2

xf x

+→= จึงไดวา

3lim ( ) 2x

f x→

=

1 2 3 4

2

1

3 ( )y f x=

y

x

3 2

1

2

y

x

( )y f x=

4

4

ตัวอยาง 4 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูป

จากรูป เมื่อ 6x −→ จะไดวา ( )f x มีคาเขาใกล 1 ดังนั้น

6lim ( ) 1

xf x

−→=

แตเมื่อ 6x +→ คาของฟงกชัน f แปรเปลี่ยนไปมาระหวาง 3− ถึง 3 จึงกลาวไดวาไมมีคาคงตัวคาใดเลยในชวง [ 3,3]− นี้ที่คา f เขาใกลคานั้น หรือกลาวคือ f ไมมีลิมิตทางขวา หรือ

6lim ( )

xf x

+→ ไมมี (หรือ หาคาไมได)

ดังนั้น 6

lim ( )x

f x→

ไมมหีรือ หาคาไมได

ตัวอยาง 5 ให 1( )f xx

= เมื่อ 0x ≠ ซึ่งมีกราฟดังรูปขางลางนี้

จะเห็นวาขณะที่ x เขาใกล 0 จากทางขวา ( )f x มีคามากขึ้นๆ หรืออาจ

กลาววาคาของ ( )f x ไมมีขอบเขตบน ดังนั้น 1( )f xx

= ไมมีลิมิตทางขวาที่ 0 หรือ

0 0

1lim ( ) limx x

f xx+ +→ →

= ไมมี (หรือหาคาไมได)

1 2 3

-1 -2 -3

y

x ( )y f x=

1 2 3 4 5 6

( )y f x=

y

x

5

( )y f x=

y

x2

ในทํานองเดียวกัน ขณะที่ x เขาใกล 0 จากทางซาย ( )f x มีคานอยลงๆ หรืออาจ

กลาววาคาของ ( )f x ไมมีขอบเขตลาง ดังนั้น 1( )f xx

= ไมมลิีมิตทางซายที่ 0 หรือ

0 0

1lim ( ) limx x

f xx− −→ →

= ไมมี (หรือหาคาไมได)

หมายเหตุ จากตัวอยาง 5 แมวา 1( )f xx

= ไมมีลิมิตทัง้ทางซายและทางขวา แต

คาของฟงกชันนั้นเปลี่ยนแปลงอยางมีรูปแบบ กลาวคือคาของ 1( )f xx

= มีคามาก

ขึ้นเรื่อยๆ อยางไมมีส้ินสุดเมื่อ 0x +→ หรืออาจกลาววา f มีคาลูเขาใกลอนันต (infinity) เมือ่ 0x +→ ในกรณีนี้ เราจะเขียนแทนดวยสัญลักษณ

0 0

1lim ( ) limx x

f xx+ +→ →

= = +∞

และคาของ 1( )f xx

= มีคานอยลงขึ้นเรื่อยๆ อยางไมมีส้ินสุดเมื่อ 0x +→ หรือ

อาจกลาววา f มีคาลูเขาใกลลบอนันต เมื่อ 0x −→ ในกรณีนี้ เราจะเขียนแทนดวย

0 0

1lim ( ) limx x

f xx− −→ →

= = −∞

ตัวอยาง 6 ให

4 , 22( )6 , 22

x xxf xx xx

+⎧ <⎪⎪ −= ⎨ −⎪ >⎪ −⎩

ซึ่งมีกราฟดังรูปขางลางนี้

ซึ่งจะไดวา

2 2lim ( ) lim ( )

x xf x f x

+ −→ →= −∞ =

6

( )y f x=

y

x-3

หมายเหตุ จากตัวอยาง 6 เพราะวา2 2

lim ( ) lim ( )x x

f x f x+ −→ →

= เราจึงกลาววา f มีคา

ลูเขาสู −∞ เมื่อ x เขาใกล 2 และเขียนแทนดวย 2

lim ( )x

f x→

= −∞

ตัวอยาง 7 ให 1( )3

f xx

=+

เมื่อ 3x ≠ − ซึ่งมีกราฟดังรูปขางลางนี้

เนื่องจาก

3 3lim ( ) lim ( )

x xf x f x

+ −→− →−= +∞ = จึงไดวา

3lim ( )

xf x

→−= +∞

ตอไปนี้แสดงการพิจารณาลิมิตของฟงกชันเมื่อตัวแปรอิสระ x มีคาเพิ่มขึ้นหรอืลด ลงโดยไมมขีอบเขต บทนิยาม ถาตัวแปรอิสระ x มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขอบเขตจํากัด จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ x →+∞ และอานวา x เขาใกล “บวกอนันต” ในทํานองเดียวกันถา x มีคาลดลงอยางไมมีขอบเขตจํากัด เราจะเขียนแทนดวยสัญลักษณ x →−∞ และอานวา x เขาใกล “ลบอนันต” ถา x →+∞ หรือ x →−∞ แลว ( )f x มีคาลูเขาใกลคาคงตัว (หรือ ±∞ ) L จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ

lim ( )x

f x L→+∞

= หรือ lim ( )x

f x L→−∞

=

ตามลําดับ

7

y

4

-1 x

( )y f x=

1y = −

4y =

− π3 −π π π32− π 2π

y

ตัวอยาง 8 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูปขางลางนี้

ขณะที่ x เขาใกล +∞ จะเห็นวากราฟของ f เขาใกลเสนตรง 4y =

กลาวคือ ( )f x มีคาเขาใกล 4 นั่นคือ lim ( ) 4x

f x→+∞

=

ขณะที่ x เขาใกล −∞ จะเห็นวากราฟของ f เขาใกลเสนตรง 1y = − กลาวคือ ( )f x มคีาเขาใกล 1− นั่นคือ lim ( ) 1

xf x

→−∞= −

ตัวอยาง 9 จากตัวอยาง 1 กราฟของ sin( ) xf xx

= เมื่อ 0x ≠ คือ

เนื่องจาก 1 sin 1x− ≤ ≤ จึงไดวา เมื่อ x →+∞ คาของ sin( ) xf xx

= จะมีคาอยู

ในชวง 1 1,x x−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ซึ่งมีคาเขาใกล 0 เมื่อ x มีคามากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น

sinlim ( ) lim 0x x

xf xx→+∞ →+∞

= =

ในทํานองเดียวกัน จะไดวา sinlim ( ) lim 0

x x

xf xx→−∞ →−∞

= =

8

ตัวอยาง 10 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูปขางลางนี้

จะเห็นวาขณะที่ x เขาใกล −∞ คา ( )f x ไมมีขอบเขตบน นั่นคือ

lim ( )x

f x→−∞

= +∞

ขณะที่ x เขาใกล +∞ คาของ ( )f x กวัดแกวงขึ้นลงตามแนวเสนตรง y = 2− แตชวงของการกวัดแกวงยิ่งแคบลงเรื่อยๆ เมื่อ xมีคามากขึ้น จึงไดวาคาของ ( )f xเขาใกล -2 นั่นคือ

lim ( ) 2x

f x→+∞

= −

ตัวอยาง 11 ให ( ) sinf x x= ซึ่งมีกราฟดังนี้

จะเห็นวาคาของ ( )f x กวัดแกวงขึ้นลงไปมาอยูในชวง [ ]1,1− ไมวาคาของ x จะเขาใกล +∞ หรือ −∞ กลาวคือ ( )f x ไมมีลิมิต เมือ่ x →±∞

-2

y

x

( )y f x= y = -2

( )y f x=

9

•

2

y

x

( )y f x=

2=a

y

x 4

4a =

y

x -2 3a =

ตัวอยาง

1 2 3 4

2

1

3 ( )y f x= 2

y

x

10

b - δ bx

y

L

L+ ε

L- ε

a + δ ax

y

L

L+ ε

L- ε

1.2 บทนิยามของลิมิต บทนิยาม ให a b< เปนคาคงตัว และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , )a b เรากลาววา

lim ( )x a

f x L+→

= ∈

ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก ε จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให

| ( ) |f x L− < ε เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 x a δ< − < หรือ a x a δ< < + และเรากลาววา

lim ( )x b

f x L−→

= ∈

ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก ε จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให

| ( ) |f x L− < ε เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 b x δ< − < หรือ b x bδ− < <

11

ตัวอยาง 12 จงแสดงวา 0

lim 0x

x+→

=

บทพิสูจน ให ( )f x x= และ 0L = สําหรับจํานวนจริงบวก ε เลือก 2δ ε= จะไดวา ถา x สอดคลองกับอสมการ 0 0x δ< < + หรือ 20 x δ ε< < = แลวจะได

( ) 0f x L x x ε− = − = <

โดยนิยาม จะไดวา

0lim 0

xx

+→=

บทนิยาม ให a เปนคาคงตัวที่อยูในชวง ( , )b c และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , ) ( , )b a a c∪ เรากลาววา

lim ( )x a

f x L+→

= ∈ ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก ε จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให

| ( ) |f x L− < ε เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 | |x a δ< − <

x

y

x0 a x1

L

a δ− a δ+

L+ ε

L- ε δ δ

( )y f x=

12

ตัวอยาง 12 จงแสดงวา 0

1lim sin 0x

xx→=

บทพิสูจน ให 1( ) sinf x xx

= และ 0L = ให ε เปนจํานวนจริงบวก กอนอื่น

สังเกตวา สําหรับทุกๆ {0}x∈ −

1 1( ) sin 0 sinf x L x x xx x

− = − = ≤

เพราะวา 1sin 1x≤ จึงไดวา ถาเลือก δ ε= แลวสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับ

อสมการ 0 | 0 | | |x x δ< − = < จะไดวา

( ) f x L x δ ε− ≤ < =

โดยนิยาม จะไดวา 0

1lim sin 0x

xx→=

13

บทนิยาม ให a b< เปนคาคงตัว และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , )a b เรากลาววา lim ( )

x af x

+→= +∞ (และ lim ( )

x af x

+→= −∞ )

ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก M จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให ( )f x M> (และ ( )f x M< − ตามลําดับ) เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 x a δ< − < หรือ a x a δ< < +

ตัวอยาง 13 จงแสดงวา 0

1limx x+→

= +∞

บทพิสูจน ให 1( )f xx

= และให M เปนจํานวนจริงบวก กอนอื่นสังเกตวา

1 1M xx M> ⇔ <

จึงไดวา ถาเลือก 1M

δ = แลวสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 x δ< <

จะไดวา 1 1( )f x Mx δ

= > =

โดยนิยาม จะไดวา 0

1limx x+→

= +∞

หมายเหตุ เราสามารถใหบทนิยามสําหรับ lim ( )

x af x

→ −= ±∞ ไดในทํานองเดียวกัน

14

y

M−

x a-δ a + δ

L

x

y

NN

L+ ε L- ε

บทนิยาม ให a เปนคาคงตัวที่อยูในชวง ( , )b c และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , ) ( , )b a a c∪ เรากลาววา

lim ( )x a

f x→

= +∞ (หรือ −∞ ) ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก M จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให

( )f x M> (หรือ ( )f x M< − ตามลําดับ) เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 | |x a δ< − <

บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามไวบนชวงอนันต ( , )a +∞ เรากลาววา lim ( )

xf x L

→+∞= ∈

ถาสําหรับแตละ 0ε > จะมีจํานวนจริงบวก N ที่ทําให | ( ) |f x L ε− < สําหรับทุกๆ x N>

และถา f เปนฟงกชันที่นิยามไวบนชวงอนันต ( , )a−∞ เรากลาววา lim ( )

xf x L

→−∞= ∈

15

L

x

y

N

L+ ε L- ε

ถาสําหรับแตละ 0ε > จะมีจาํนวนจริงบวก N ที่ทําให | ( ) |f x L ε− < สําหรับทุกๆ x N< −

บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามไวบนชวงอนันต ( , )a +∞ เรากลาววา lim ( )

xf x

→+∞= +∞

ถาสําหรับแตละ 0M > จะมีจาํนวนจริงบวก N ที่ทําให ( )f x M> สําหรับทุกๆ x N>

ตัวอยาง 14 จงแสดงวา ( )lim sin

xx x

→+∞+ = +∞

บทพิสูจน ให ( ) sinf x x x= + และให M เปนจํานวนจริงบวก กอนอื่นสังเกตวา ( ) sin 1f x x x x= + ≥ −

จึงไดวา ถาเลือก 1N M= + แลวสําหรับทุกๆ x ที่ x N> จะไดวา

( ) sin 1 1f x x x x N M= + ≥ − > − =

โดยนิยาม จะไดวา ( )lim sin

xx x

→+∞+ = +∞

16

1.3 สมบัติและทฤษฎีบทของลิมิต ในสวนนี้เราจะใชสัญลักษณ lim ( )f x แทน

lim ( ),x

f x→±∞

lim ( ),x a

f x±→

และ lim ( )x a

f x→

และสัญลักษณ f และ g แทนฟงกชันเสมอ ทฤษฎีบท 1.3.1 ถา lim ( )f x มีลิมิตแลว ลิมิตนั้นตองมีเพียงหนึง่เดียว กลาวคือถา 1lim ( )f x L= และ 2lim ( )f x L= แลว 1 2L L= ทฤษฎีบทของลิมิต ให c เปนคาคงตัว 1. limc c=

2. lim limx a x a

x x a±→ →

= = เมื่อ a เปนคาคงตัว และ ±∞

3. lim ( ) lim ( )cf x c f x= เมื่อ 0c ≠ (ถา 0c = แลว lim ( ) lim0 0cf x = = )

4. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x± = ±

( ถา ไมอยูในรูป ∞ −∞ หรือ −∞ +∞ )

5. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x= i ( ถา ไมอยูในรูป 0 ∞i )

ซึ่งจะไดวา [ ] [ ]lim ( ) lim ( )n nf x f x= เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก

6. ( ) lim ( )lim( ) lim ( )

f x f xg x g x

= เมื่อ lim ( ) 0g x ≠ และไมอยูในรูป ∞∞

7. lim ( ) lim ( )n nf x f x= เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก และ n หาคาได

คาเกี่ยวกับ ±∞ที่ใชในทฤษฏีบทของลิมิต

c∞ ± = ∞ , ∞ +∞ = +∞ , −∞ −∞ = −∞ , 0c=

±∞, n +∞ = +∞

ถา 0c > แลว ( )c ±∞ = ±∞i และ ถา 0c < แลว ( )c ±∞ = ∞i ∓

แตคาตอไปนี้ไมนิยาม ,∞ −∞ −∞ +∞ , ±∞±∞

, 0 ∞i , 00

17

ตัวอยาง 15 จงหา ( )22

lim 3 5x

x x→

+ +

ตัวอยาง 16 จงหา 3 2

1

2 1lim5 3x

x xx−→

− −−

ตัวอยาง 17 จงหา lim 2 1

xx

→+∞+

18

ตัวอยาง 18 จงหา ( )( )2 33

lim 3 5x

x x x→

+ −

ตัวอยาง 19 จงหา 21lim

1x x→−∞ −

ตัวอยาง 20 จงหา 0

1limx x−→

, 0

1limx x+→

และ 0

1limx x→

19

หมายเหตุ ถา lim ( ) 0f x = เราจะใชสัญลักษณ lim ( ) 0f x += ถา ( ) 0f x > และ lim ( ) 0f x −= ถา ( ) 0f x < ในกรณีนี้เราจะนิยาม

10+

= +∞ และ 10−

= −∞

ระวัง! กรณี 10

ไมสามารถพิจารณาคาได

ตัวอยางเชน 0

0

1 1 1limlim 0x

xx x−

−

−→→

= = = −∞ และ 0

0

1 1 1limlim 0x

xx x+

+

+→→

= = = +∞

จึงไดวา 0 0

1 1lim limx xx x− +→ →

≠ ดังนั้น 0

1limx x→

ไมม ี

ตัวอยาง 21 จงหา 31

1lim1x

xx+→

+−

20

1.4 เทคนิคการหาคาลิมิต ทบทวน ฟงกชันพหุนาม คือฟงกชันที่อยูในรูป

11 1 0( ) n n

n nf x a x a x a x a−−= + + + +

เมื่อ {0}n∈ ∪ และ 0na ≠ เราเรียก na วาสัมประสิทธิ์นํา เทคนิค 1 ถา f เปนฟงกชันพหุนามแลว lim ( ) lim ( ) ( )

x ax af x f x f a

± →→= =

lim ( ) ( )n

nxf x a

→+∞= +∞i

ตัวอยาง

( )3 3lim 4 3 7 4 ( )x

x x→+∞

+ − = +∞ = +∞i

( )3 3lim 4 3 7 4 ( ) 4( )x

x x→−∞

+ − = −∞ = −∞ = −∞i

( )4 2 4lim 1 ( )x

x x→+∞

− + = − +∞ = −∞i และ ( )4 2 4lim 1 ( )x

x x→−∞

− + = − −∞ = −∞i

เทคนิค 2 ถา f และ g เปนฟงกชันพหุนาม และ ( ) 0g a ≠ แลว

ตัวอยาง จงหา 21

2lim4 3x

xx x→−

−+ −

( ) ( ) ( )lim lim( ) ( ) ( )x ax a

f x f x f ag x g x g a± →→

= =

21

เทคนิค 3 หารดวยกําลังสูงสุดของตัวหารใชในกรณีหาลิมิตที่อยูในรูป ( )lim( )x

f xg x→±∞

เมื่อ f และ g เปนฟงกเชิงพหุนาม

ตัวอยาง จงหา 2 5lim

3x

x xx→+∞

+ −−

ตัวอยาง จงหา 3

3lim3 1x

x xx x→+∞

+− +

ตัวอยาง จงหา 2

5lim4 1x

x

x→−∞

−

+

22

ตัวอยาง จงหา

522

2 4lim

3x

x x

x x→−∞

−

− +

สรุปเทคนิค 3 ถา 11 1 0( ) n n

n nf x a x a x a x a−−= + + + + และ

11 1 0( ) m m

m mg x b x b x b x b−−= + + + + เปนฟงกชันพหุนาม และ 0, 0n ma b≠ ≠

แลว

( ) , if

( )lim , if ( )

0 , if

n mn

m

nx m

a n mbaf x n m

g x bn m

−

→±∞

⎧ ±∞ >⎪⎪⎪= =⎨⎪⎪ <⎪⎩

i

ตังอยาง 1. 2

24lim2x

xx→−∞

−=

−

2. 2

3 22 4lim

2 7 2x

x xx x→+∞

+ −=

+ −

3. 1

4lim2x

x xx

−

→+∞

+=

+

4. lim1x

xx→+∞

=−

23

เทคนิค 4 ตัดตัวประกอบรวม ใชในกรณีหาลิมิตของ ( )lim( )x a

f xg x±→

และ

( )lim( )x a

f xg x→

ที่มี ( ) 0 ( )f a g a= =

ตัวอยาง 1. จงหา 2

2

4lim2x

xx→

−−

วิธีทํา 2

2 2 2

4 ( 2)( 2)lim lim lim( 2)2 2x x x

x x x xx x→ → →

− + −= = +

− −

2 2 4= + =

หมายเหตุ สังเกตวา ฟงกชัน 2 4( )

2xf xx−

=−

และ ( ) 2g x x= + มีคาเทากัน

สําหรับทุกๆ 2x ≠ และ (2) 4g = แต (2)f ไมนิยาม

2. จงหา 2

3

12lim3x

x xx→−

− ++

24

3. จงหา 9

9lim3x

xx→

−−

4. จงหา 3

21

1lim1x

xx→

−−

5. จงหา 2

0

(2 ) 8limx

xx→

+ −

25

เทคนิค 4 คูณดวยสังยุค (Conjugate) ใชในกรณีหาลิมิตของ ( )lim( )x a

f xg x±→

และ

( )lim( )x a

f xg x→

ที่มี ( ) 0 ( )f a g a= = เชนกัน แต f และ g ไมมีตัวประกอบรวมที่ a

ตัวอยาง จงหา 0

1 1limx

xx→

+ −

วิธีทํา

0 0

1 1 1 1 1 1lim lim1 1x x

x x xx x x→ →

+ − + − + += ×

+ +

( ) ( )

2 2

0 0

1 1 1 1lim lim1 1 1 1x x

x xx x x x→ →

+ − + −= =

+ + + +

( )0 0

1lim lim1 11 1x x

xxx x→ →

= =+ ++ +

1 120 1 1

= =+ +

ตัวอยาง 1. จงหา 0

lim4 2x

xx+→ + −

26

2. จงหา 0

2 2limx

xx→

− −

3. จงหา 0

lim1 3 1x

xx→ + −

27

เทคนิค 5 จดัรูปทั่วไป มักจะใชในกรณีที่ฟงกชันอยูในรูปที่ยุงยาก หรือ อยูในรูปที่เมื่อใชทฤษฏีบทของลิมิตแลวเกิดรูป ∞ −∞

ตัวอยาง 1. จงหา 0

1 12 2lim

xxx→

−+

วิธีทํา

2. จงหา 0

1 1lim1x xx x→

⎡ ⎤−⎢ ⎥+⎣ ⎦

วิธีทํา

28

3. จงหา limx→−∞

2 2x x x x+ − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

เทคนิค 6 พิจารณาคาขอบเขต มักจะใชในกรณีที่ฟงกชันคํานวณคาลิมิตลําบาก แตสามารถหาฟงกชันที่คํานวณคาลิมิตไดงาย และสามารถบอกแนวโนมของลิมิตของฟงกชันเดิมได

ทฤษฏีบท ให ( , )a b c∈ และ ,f g เปนฟงกชันที่นิยามบน ( , ) { }b c a− ถา ( ) ( )f x g x≤ สําหรับทุกๆ ( , ) { }x b c a∈ − และทั้งสองฟงกชันมีลิมิต (รวม ±∞ ) แลว

lim ( ) lim ( )f x g x≤

หมายเหตุ อสมการขางตนยังเปนจริงในกรณี lim

x→±∞ ดวย

ตัวอยาง 1. จงหา [ ]lim sinx

x x→+∞

+

วิธีทํา เนื่องจาก sin 1x ≥ − สําหรับทุกๆ x∈ จึงไดวา sin 1x x x+ ≥ − สําหรับทุกๆ x∈ ทําใหไดวา

[ ] [ ]lim sin lim 1x x

x x x→+∞ →+∞

+ ≥ − = +∞

ดังนั้น [ ]lim sinx

x x→+∞

+ = +∞

29

จากทฤษฏีบทขางตน เราสามรถสรุปไดวา

Squeeze Theorem ( or Sandwich Theorem ) ให ( , )a b c∈ และ , ,f g h เปนฟงกชันที่นิยามบน ( , ) { }b c a− ถา ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ สําหรับทุกๆ ( , ) { }x b c a∈ − และ lim ( ) lim ( )f x h x= มีลิมิตที่ a (รวม x a±→ ) แลว g มีลิมิตที่ a (รวม x a±→ ตามลําดับ) และ

lim ( ) lim ( ) lim ( )f x g x h x= =

ตัวอยาง 1. จงหา 0

1lim sinx

xx→

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

วิธีทํา

ทบทวน ถา f เปนฟงกชันตรีโกณมิติที่นิยามที่จุด a แลว จากกราฟจะไดวา

lim ( ) lim ( ) ( )x a x a

f x f x f a±→ →

= =

ตัวอยางเชน 0

lim tan tan 0 0x

x→

= = 3

1lim sec sec 23 cos

3x

xπ

ππ

→= = = เปนตน

30

2. จงแสดงวา 0

sinlim 1t

tt→

=

วิธีทํา พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยและให t เปนมุมที่วัดจากแกน X ทางดานบวก ทวนเข็มนาฬิกาขึ้นไปโดยที่ 0 2t π< < ดังรูป

จากรูปจะไดวา 0 < พื้นที่ของ OBPΔ < พื้นที่ของจักรภาค OBP < พื้นที่ของ OBQΔ และเพราะพื้นที่ของจักรภาค OBP เทากับ 1

2 (ความกวางของมุม)(รัศม)ี 2 ทําใหได

21 1 10 (1)(sin ) ( )(1) (1)(tan )2 2 2t t t< < < หรือ sin tan0 2 2 2t t t< < <

เมื่อคูณตลอดดวย 2 0sint > จะได

1 sint

t< < 1cost หรือ sin1 cost tt> >

จะไดวา

0 0 0

sinlim cos lim lim 1t t t

ttt+ + +→ → →

≤ ≤

เนื่องจาก 0 0

lim cos lim 1 1t t

t+ +→ →

= = โดย Squeeze Theorem จึงไดวา 0

sinlim 1t

tt+→

= สังเกตวา 0t −→ ก็ตอเมื่อ 0t +− → ดังนั้นจากเอกลักษณ sin( ) sint t− = − จะไดวา

จึงสรุปไดวา 0

sinlim 1t

tt→

=

0

P(cos t, sin t)

B(1, 0) t •

•

0

P(cos t, sin t)

B(1, 0) t •

•

0

Q(1, tan t)

B(1, 0) t •

• •

0 0 0 0

sin sin( ) sin sinlim lim lim lim 1t t t t

t t t tt t t t− + + +→ → → →

− −= = = =

− −

31

ตังอยาง 1. 0

limt→

1 cos tt

− 0

limt→

= ( )1 cos tt

− ( )1 cos 1 cos

tt

++

0lim

t→=

2sin(1 cos )

tt t+

( )0sin lim

tt

t→= ( )0

sin lim1 cos tt

t→ + 0(1) 01 1⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

2. ( )0 0 0 0

sin 2 2sin cos sinlim lim 2 lim lim cos 2 1 1 2x x x x

x x x x xx x x→ → → →

⎛ ⎞= = = × × =⎜ ⎟⎝ ⎠

หมายเหตุ ให ( )u x เปนฟงกชันซึ่ง ( )u x b→ เมื่อ x a→ แลวจะไดวา

lim ( ( )) lim ( )x a u b

f u x f u→ →

=

เรียกวา การเปลี่ยนตัวแปร

3. ( )2 2 2

2 20 0 0 0

sin sin sinlim lim lim lim 1 0 0x x x x

x x x x xx x x→ → → →

⎛ ⎞= = = × =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

4. 0 0 0 0

tan 2 sin 2 sin 2 1lim lim lim limsin3 (sin3 )(cos2 ) sin3 cos2x x x x

x x xx x x x x→ → → →

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0 0

sin 2 3 2 1lim lim2 sin3 3 cos2x x

x xx x x→ →

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞= × × ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )0 0

2 sin 2 3lim lim 13 2 sin3x x

x xx x→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 1 13

= × ×

32

เทคนิค 7 พิจารณาคาลิมิตทางซาย-ขวา ใชในกรณีที่ฟงกชันมีนิยามที่แตกตางกัน ทางซายและทางขวาของจุด a

ตัวอยาง จงหา 0

1lim| |x x→

วิธีทํา ให 1( )| |

f xx

= เนื่องจาก , 0

| |, 0

x xx

x x≥⎧

= ⎨− <⎩ จึงไดวา

0 0 0

1 1lim ( ) lim lim| |x x x

f xx x+ + +→ → →

= = = +∞

และ

0 0 0 0

1 1 1lim ( ) lim lim lim ( )| |x x x x

f xx x x− − − −→ → → →

= = = − = − −∞ = +∞−

สรุปไดวา

0

1lim| |x x→

= +∞

ตัวอยาง จงหา 1

lim ( )x

f x→

เมื่อ 3

2

2 , 1( )

2 2 , 1

x x xf x

x x

<

≥

⎧ −⎪= ⎨−⎪⎩

วิธีทํา

33

ตัวอยาง จงหา 1

1lim| 1|x

xx→

−−

ตัวอยาง จงหา 0

1 1lim| |x x x→

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎣ ⎦

34

•

y

x

( , ( ))c f c2 2

( , ( ))c f c3 3

a b c1 c2 c3

ความตอเนื่องของฟงกชัน Continuity of functions

บทนิยาม เราจะเรียกฟงกชัน f วาตอเนื่องที่ a ถากราฟของ f ไมขาดตอนที่ จุด ( ), ( )a f a แตถากราฟขาดตอนที่ x a= เราจะกลาววา f ไมตอเนื่องที่ a ตัวอยาง พิจารณาจุดที่ฟงกชันตอเนื่องบนชวง [ , ]a b

จะเห็นวากราฟขาดตอนที่ 1 2,x c c= และ 3c ดังนั้นฟงกชันนี้ตอเนื่องทุกๆจุดบน [ , ]a b ยกเวนที่ 1 2,x c c= และ 3c จากบทนิยามนี้ จะไดวาฟงกชันตอไปนี้เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวงตางๆกัน ฟงกชัน ชวงที่ตอเนื่อง

| |, sin , cos ,x x x 1 1tan , cot ,x x− − xa เมื่อ 0a >

( , )−∞ +∞

tan , secx x ( ),( 1)n nπ π+ เมื่อ n∈

cot , cscx x ,2 2

n nπ ππ π⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

เมื่อ n∈

1 1sin , cosx x− − [ 1,1]− 1 1csc , secx x− − ( , 1] [1, )−∞ − ∪ +∞

loga x เมื่อ 0a > (0,+∞

35

บทนิยาม เราจะเรียกฟงกชัน f วาตอเนื่องที่ c ก็ตอเมื่อ lim ( ) ( )x c

f x f c→

=

ซึ่งบทนิยามนี่มีความเดียวกับบทนิยามตอไปนี้

บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามที่ c เรากลาววา f ตอเนื่องที่ c ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก 0ε > จะมี 0δ > ที่ทําให

( ) ( )f x f c ε− < สําหรับทุก ( , )x c cδ δ∈ − + หมายเหตุ จากบทนิยาม จะสังเกตเห็นไดวา เราตรวจสอบความตอเนื่องของฟงกชันเฉพาะที่จุดในโดเมนของฟงกชันเทานั้น เพราะ ( )f c ไมนยิาม ถาc ไมอยูในโดเมน

ตังอยาง ฟงกชัน 2 1( )

1xf xx−

=−

ไมตอเนื่องที่ 1เพราะ (1)f ไมนยิาม ตอไป

พิจารณา 2 1, 1( ) 12, 1

x xf x xx

⎧ −≠⎪= ⎨ −

⎪ =⎩

เนื่องจาก 2

1 1 1 1

1 ( 1)( 1)lim ( ) lim lim lim( 1) 2 (1)1 1x x x x

x x xf x x fx x→ → → →

− − += = = + = =

− −

จึงไดวา f ตอเนื่องที่ 1 ( สังเกตวา f ตอเนื่องที่ทุกๆจุดใน ( , )−∞ +∞ ) บทนิยาม ให ( , )A⊂ −∞ +∞ เรากลาว f ตอเนื่องบน A ถา f ตอเนื่องที่ทุกๆ a A∈ ในกรณี ( , )A = −∞ +∞ เราอาจจะกลาวส้ันๆ วา f เปนฟงกชันตอเนื่อง

36

ตัวอยาง จงหาคาคงตัว cที่ทําใหฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเนื่อง เมื่อ

2

1, 3( )

1, 3

cx xf x

cx x

+ ≤⎧⎪= ⎨− >⎪⎩

วิธีทํา กอนอื่นสังเกตวา ถา 3a ≠ แลว lim ( ) ( )x a

f x f a→

= จึงไดวา f ตอเนื่อง

ที่ 3a ≠ ไมวา c จะเปนจํานวนจริงใดก็ตาม ตอไปพิจารณาเงื่อนไขของความตอเนื่องที่ 3a = ซึ่งไดวา

( )2 2

3 3lim ( ) lim 1 3 1 9 1

x xf x cx c c

+ +→ →= − = − = −

และ ( )

3 3lim ( ) lim 1 3 1 (3)

x xf x cx c f

− +→ →= + = + =

จากบทนิยาม f ตอเนื่องที่ 3ก็ตอเมื่อ

3 3lim ( ) lim ( ) (3)

x xf x f x f

+ −→ →= =

หรือ 9 1 3 1c c− = +16 23

c c⇔ = ⇔ =

ดังนั้น f เปนฟงกชันตอเนื่องถา 3c =

บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามที่ c เรากลาววา f ตอเนื่องทางขวาที่ c ก็ตอเมื่อ

lim ( ) ( )x c

f x f c+→

=

และ f ตอเนื่องทางซายที่ c ก็ตอเมื่อ lim ( ) ( )

x cf x f c

−→=

บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามบน [ , ]a b เรากลาววา f ตอเนื่องบน [ , ]a b ก็ตอเมื่อ ตอไปนี้เปนจริง 1. f เปนฟงกชันตอเนื่องบน ( , )a b 2. f ตอเนื่องทางซายที่ b 3. f ตอเนื่องทางขวาที่ a

37

x b a

( )f a

y

x

y

ba x

y

ba

ตัวอยาง พิจารณากราฟของฟงกชันตอไปนี้ จะไดวากราฟของ 2ฟงกชันแรกไมตอเนื่องบน [ , ]a b โดยที่ฟงกชันของกราฟแรกตอเนื่องทางซายที่ b แตไมตอเนื่องที่ a สวนฟงกชันของกราฟที่สองตอเนื่องทางขวาที่ a แตไมตอเนื่องที่ b

ตัวอยาง จงแสดงวา 2( ) 1 1f x x= − − ตอเนื่องบน [ 1,1]−

ทฤษฏีบท ให f และ g เปนฟงกชันตอเนืองที่ a และ c เปนคาคงตัว แลวฟงกชันตอไปนี้ตอเนื่องที่ a

1. f g± 2. cf 3. f g⋅ 4. fg

ถา ( ) 0g a ≠

จากทฤษฏีบทขางตนไดวา

1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่องบน ( , )= −∞ +∞

2. ฟงกชันตรรกยะ ( )( )( )

p xf xq x

= (เมื่อ p และq เปนฟงกชันพหุนาม)

ตอเนื่องทุกๆ จุดใน ( , )a∈ = −∞ +∞ ยกเวนที่ ( ) 0q a =

38

ตัวอยาง 1. 1( )1

xf xx+

=−

ตอเนื่องทุกๆ จุด ยกเวนที่ 1

2. 21( )1

xg xx+

=+

ตอเนื่องบน ( , )= −∞ +∞ เพราะ 2 1 1x + ≥ สําหรับทุกๆ

จํานวนจริง x

ทฤษฏีบท ให n เปนจํานวนเต็มบวก และ ( ) nf x x= 1. ถา n เปนจํานวนคี่ แลว f เปนฟงกชันตอเนื่องบน 2. ถา n เปนจํานวนคู แลว f เปนฟงกชันตอเนื่องบน [ )0,+∞

ตัวอยาง จงหาชวงที่ฟงกชัน 21( )

1x xf x x

x x−

= + −+

ตอเนื่องบนชวงนั้น

39

ทฤษฎีบท ถา f ตอเนื่องที่ lim ( )

x ab g x

→= แลว

( )lim ( ( )) lim ( ) ( )x a x a

f g x f g x f b→ →

= =

พิสูจน เนื่องจาก f เปนฟงกชันตอเนืองที่ lim ( )

x ab g x

→= จึงไดวา

( )lim ( ) ( ) lim ( )u b x a

f u f b f g x→ →

= = ถาให ( )u g x= แลว จะไดวา

( )( )lim ( ( )) lim ( ) ( ) lim ( )

g x b u b x af g x f u f b f g x

→ → →= = =

หรือกลาวคือ ถา ( )g x b→ แลว ( ( )) ( )f g x f b→ เนื่องจาก lim ( )

x ag x b

→= หมายความวา ถา x a→ แลว ( )g x b→

ดังนั้น จะไดวา ถา x a→ แลว ( )g x b→ ซึ่งทําให ( ( )) ( )f g x f b→ กลาวอีกนัยหนึ่งคือ ถา x a→ แลว ( ( )) ( )f g x f b→ หรือ

( )lim ( ( )) ( ) lim ( )x a x a

f g x f b f g x→ →

= =

ตัวอยาง จงหา 2 1

0lim xx

e +

→

40

ตัวอยาง จงหา 1

1limarcsin1x

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

ตัวอยาง จงหา ( )lim sin sin

xx x

π→+

ตัวอยาง จงหา |tan 1|

0lim 2 xx

−

→

41

ทฤษฏีบท ให g เปนฟงกชันตอเนืองที่ a และ f เปนฟงกชันตอเนืองที่ ( )g a แลวฟงกชัน ( )( ) ( ( ))f g x f g x= ตอเนื่องที่ a

พิสูจน จากทฤษฎีบทกอนหนานี้ จะไดวา

( )lim ( ( )) lim ( ) ( ( ))x a x a

f g x f g x f g a→ →

= =

จึงไดวา lim( )( ) ( )( )

x af g x f g a

→= ซึ่งแสดงวา f g ตอเนื่องที่ a

ตัวอยาง จงหาชวงที่ฟงกชัน ( ) 3f x x= − ตอเนื่องบนชวงนั้น วิธีทํา เนืองจาก ( ) 3g x x= − เปนฟงกชันตอเนื่องบน และ ( )h u u= เปนฟงกชันตอเนื่องบน [0, )+∞ ดังนั้น ( ) ( )f x h g x= ตอเนื่องทุกๆ จุด x ที่

( ) 0g x ≥ เนื่องจาก ( ) 0 3g x x≥ ⇔ ≥ จึงไดวา f ตอเนื่องบน [3, )+∞ ตัวอยาง จงหาชวงที่ฟงกชัน 4( ) ln( 1)f x x= − ตอเนื่องบนชวงนั้น

42

x

y

a

( )f a

( )f b

c

b

( )y f x=

สมบัติของฟงกชันตอเนื่อง ทฤษฎีบทคาสุดขีด ( Extreme Value Theorem) ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบน [ , ]a b แลวจะมี 1x และ 2x ใน [ , ]a b ที่ทําให

1( ) ( )f x f x≤ และ 1( ) ( )f x f x≥ สําหรับทุกๆ [ , ]x a b∈

ทฤษฎีบทคาสุดขีดกลาววา ฟงกชันที่ตอเนื่องบนชวงปดจะตองมีจุดที่ใหคาสูงสุดและต่ําสุดของฟงกชันในชวงปดนั้น แตไมไดกลาววาจะหาไดอยางไร ซึ่งนักศึกษาจะไดเรียนเกี่ยวกับวิธีการหาคาเหลานี้ในบทที่ 3

ทฤษฎีบทคากลาง (Intermediate Value Theorem) ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบน [ , ]a b ถา c เปนคาคงตัวซึ่งอยูระหวาง

( )f a และ ( )f b [นั่นคือ ( ) ( )f a c f b< < หรือ ( ) ( )f b c f a< < ] แลวจะมี

0x ∈ [ , ]a b ที่ทําให 0( )f x c=

ตัวอยางการประยุกตใช IVT ตัวอยาง จงแสดงวารากของพหุนาม 3( ) 3 1P x x x= − + อยูในชวง ( )0,1 วิธีทํา กอนอื่นสังเกตวา ( )P x เปนฟงกชันตอเนื่องบน [0,1] และ (0) 1P = และ

(1) 1 3 1 1P = − + = − จึงไดวา 0 อยูระหวาง (0)P และ (1)P ดังนั้น โดย IVT จะไดวา มี (0,1)c∈ ที่ทําให ( ) 0P c = หรือกลาวคือ c เปนรากของ

( )P x นั่นเอง

43

ตัวอยาง จงแสดงวาสมการ 2 1x x= + มีอยางนอยหนึ่งคําตอบที่อยูใน (1,2) วิธีทํา ตัวอยาง ให 5 3 2( ) 2 2f x x x x= − + + จงแสดงวามีจํานวนจริง cที่ทําให ( ) 1f c = − วิธีทํา