蔡金法 (Jinfa Cai) jcai@udel University of Delaware 2013 年 11 月

蔡金法(Jinfa Cai)

[email protected] of Delaware

2013年 11 月

促进学生学习的有效策略 :

中美比较研究的若干启示

谢谢 !

孔爱群

霍丽珊

我们到底要培养一个什么样的人？

促进学生学习的有效策略

1. 一个出发点2. 一个故事3. 一个研究4. 一个精神5. 一个心

我们到底要培养一个什么样的人？

促进学生学习的有效策略

1.一个问题2.一个游戏3.一个理论4.一个案例5.一个希望

出发点

使学生更好地学习数学

一个故事

一个发生在幼儿园的故事

家长应该怎么办？

中美学生在四类任务上的表现

13 个计算题

18 个简单问题解决的任务

6 个过程限制的问题解决任务

6 个过程开放的问题解决任务

中国学生在计算题上的绝对优势并没有在一些过程开放的复杂问题解决上表现出来

图 1 中美学生在四类问题上的平均分数（用百分数表示）

是否需要重新考虑对“双基”的投入？ 中国学生在计算题上的绝对优势并没有在一些过程开放的

复杂问题解决上表现出来

图 1 中美学生在四类问题上的平均分数（用百分数表示）

基本知识 + 基本技能 + 问题解决能力 VS ．

地下基础 + 地面楼层

地下基础

地面楼层

基本技能基础知识

问题解决能力

在基础和楼层之间需要找到一种平衡

总的资金投入是定额的、有限的

教与学的时间和精力是有限的

地面楼层的投入？

基础的

投入？基础知识基本技能

？

问题解决能力？

?%

对“双基”的合理投入应能导致学生在下述四类问题中的表现如图 2 所示

图 2 理想的数学教育下学生在四类问题上的表现

“ 在这个世界上，也许好的工厂的工作是有限的，但是创造新理念的工作是永无止尽的。” (p.230)

我们的证据：一组数据

选择题“ 5 ＋（－ 4 ）＝” 。大约 15% 的中国学生甚至没有通过猜测去选一个可能的答案

“ 奇数模式问题”。正确解答的中国学生的百分比43% ，美国学生 24% ，但在那些没有正确解答此问题的学生中，中国近 50% 的学生是空白，而美国只有 10% 的学生留下了空白，即在那些没有正确解答此问题的美国学生中， 90% 都尝试着解决此问题

我们的观点是：

并不是中国学生不具备创造性的潜能，而是我们不重视营造培养学生创造性品质的环境，我们的社会和教育并不能很好地提供学生发挥创造性的环境

“ 一旦一个孩子到了六、七岁，文化和学校教育的影响力已经变得如此普遍以致于很难想象若缺乏如此文化的支持他们的发展会是怎样的。”

——Gardner（ 1991, 1999 ）

教育与被教育者 如果你培育他人，却容忍让他们

依赖你，

你实际上是害他们， 而不是帮助他们。

Longitudinal Longitudinal Investigation of the Investigation of the Effect of CurriculumEffect of Curriculum

on Algebra Learningon Algebra Learning ((LieCal ProjectLieCal Project))

Achievement Growth on Open-Ended Tasks

合作

现代社会离不开合作

• Bill Gates 在被问及什么是“天才（ genius ）”时，回答道：“我认为天才不仅仅关乎纯粹的智力，而且还需要具备在开辟或探索一个全新的领域时的合作共进的能力”（ Carrieri, 2005 ）

• 中央电视台国际频道 2005年 12月 16日的“让世界了解你” 。中国东南大学校长与美国宾夕法尼亚大学校长之间的对话：社会、企业对“三高”人才的需求：高合作精神、高专业水平、高敬业精神。

我们的发现：

• 当美国教师在备课时，就已经把小组学习的过程和内容安排在教案中，小组合作学习是美国学生日常的数学学习模式，尽管中国的数学课堂也可以见到小组学习的形式，但远没有达到“日常”的程度

我们的建议（续）：

学生的角色：

• 责任分担者• 监督员• 问题提出者• 解答提供者• 评估者• 领导者• 合作者

教师的角色：• 促进者• 观察者• 任务设计者• 管理者

学业 成就合作能力

在学习过程中，学会与他人相处和合作，共同进步

自信心 为什么要培养孩子的自信心？• 成功与否及生活质量的好坏，仅有学业成绩是远远不够的，更需要包括自信心在内的良好的心理素质，也就是应具备较高的“情商”

• 问题解决的成功与否并非取决于被试所拥有的数学知识及相关数学内容的理解，而是取决于他们对自己思维过程的监控即元认知能力

我们的研究发现（续）：

数学教师数学教师：• 美国教师：往往从较正面的角度去评判学生的答卷，他们的一个普遍的评分标准是，因为学生的答题过程具有了这点或那点，所以该答卷就可以得到某个分数

• 中国教师：往往从负面的角度评判学生的答卷，他们的一个普遍的评分标准是，因为学生缺少这点或那点，所以该答卷就要扣掉多少分。

自信的教育困难本身很少击倒人，

让人挫败的往往是缺乏自信

信心的教育• 90% 以上入狱的犯人都曾听父母对自己说过：“他们会把你关到监狱中。” （ Bill Glass ）

• 大部分人可以分辨谁对自己有信心• 大部分人会竭力活出你对他的信心

促进学生学习的有效策略

1.一个问题2.一个游戏3.一个理论4.一个案例5.一个希望

何为理解 ?

•在我们成人眼里本以为很好学、特好懂的知识，我们在课上也上得顺顺当当、一气呵成，可是怎么到做练习、做作业的时候，学生却是漏洞百出、不尽如人意呢？这时的我们才幡然醒悟：原来学生根本没听懂，没能完全理解、明白这部分的知识内容，此刻的我们只能快马加鞭进行“查缺补漏”……

“ 什么是理解”这是一个数学老师似乎再清楚不过的问题，可真要说清楚好像不知怎么阐述 .

理解是指运用过去已有的知识经验，或在已有的知识经验基础上，掌握新的知识经验。

理解是指初步把握学习内容的由来、意义和主要特征，是对知识的一般认识。

 两个平均数问题

1. 在一次食品捐赠活动中，小张、小王、小李和小赵分别捐赠了一些罐头食品。其中小张11 罐，小王 6 罐，小李 5 罐，小赵 2 罐。这四人所捐赠的食品罐头的平均数是多少 ?

 两个平均数问题（续）

2. 一商店出售帽子。下图列出了该商店在前三个星期售出的帽子数 :

第四个星期?

第一个星期

第三个星期

第二个星期

这家商店在第四个星期应该卖掉多少顶帽子，才能使售出帽子的平均数为 7 ？

写出你的全部解答过程。

策略知识的评估举例 ( 续 )  

中美学生解答平均数问题 1 和问题 2 的正确率：

中国 美国

两题全对 67% 42%

两题全错 6% 31%

第一题对但第二题错 23% 24%

第一题错但第二题对 4% 3%

策略知识的评估举例 ( 续 )  

中美学生对平均数算法的错误主要有以下 6 类：

A. 将前 3 周所卖的帽子数加起来得到 18 ，然后用这个

和除以 3 ，得到 6 ，但是题目中所指的平均数是 7 ，

于是在前三周的和的基础上再加上 3 ，然后除以 3 ，

即得 7 ，于是给出最后的答案是 3 。

B. 将前 3 周所卖的帽子数加起来得到 18 ，然后用这个

和除以 3 ，得到 6 ， 6+1=7 ，于是给出最后答案

是 1 。

C. 将前 3 周所卖的帽子数加起来得到 18 ，然后用这个

和除以 3 ，得到 6 ，就用 6 作为最后答案。

策略知识的评估举例 ( 续 )  

中美学生对平均数算法的错误使用主要有以下6 类（续）：

D. 将前 3 周所卖的帽子数，再加上平均数 7 ，得到一

个和，用这个和除以 4 ，取商的整数部分 6 作为最后

答案。

E. 将前 3 周所卖的帽子数加起来得到 18 ，然后用这

个和除以 4 ，就用商 4.5 作为最后答案。

F. 将前 3 周所卖的帽子数加起来得到一个和，然后用

这个和除以 7 ，取商的整数部分 2 作为最后答案。

游戏A. 杭州 抄写 杭州

B. 蓝天 联想 白云

C. 杭州（抄写）杭州（联想）美丽

游戏A>B A=B A<B

B>C B=C B<C

均分

维果斯基的最近发展区概念受帮助后的发展水平

最近发展区

独立操作的发展水平

案例 : 比较两个带分数大小的教学片断

在比较“二又五分之三和二又五分之一”的大小时，其中一位学生说出了二又五分之三比二又五分之一大，然而任课教师和班上学生之间仍有下面的对话：

教师：许多同学都同意这个结论，为什么它是对的？在比较这两个分数大小时，首先比较什么？

学生 7 ：分子

教师：比较两个带分数时，我们首先应该看什么？

比较两个带分数大小的教学片断（续）

学生 7 ：整数部分。

教师：对的。我们首先比较整数，那么接下来呢？

学生 7 ：比较分数。

教师：什么？

学生 7 ：分子。

教师：分子。谢谢。大家还记得前面学过的比较两个分数时，首先看什么吗？（教师面向全体学生）学生 8 你说说看。

比较两个带分数大小的教学片断（续）

学生 8 ：分子。教师：那．．．．．．学生 8 ：分母。教师：分母。我们应该首先看分母是否相同，是吗？全体学生：是！教师：对，我们先比较整数部分，因为它们一样大，再看分母。五分之一和五分之三哪个更大？还记得把一块蛋糕分成 5 部分， 3 份和 1 份，哪一个更大？学生 9 ： 3 份。

教学的两个层面

可预测性

生成性

比较两个带分数大小的教学片断（续）

5 分钟时间教学片断，教师的提问与学生的回答使得整个课堂教学按很细碎的步子走下去，同时引导学生按一具体的顺序（整数、分数、分母）检查分数的不同部分，不鼓励学生跳过任一部分

教师很少关注学生的合理的回答，只是关心比较两个带分数的一般程序的获得

课堂教学的一大特点：

为了保证课堂教学结构的严谨性，教师要对整个教学过程进行周密的思考、精心的设计，从而为学生铺路，希望学生系统地了解概念的来龙去脉，或解题过程的详细步骤

结构化的教学尽管不乏师生之间的对话，但不是真正的师生互动。从长远来看势必会阻碍学生思维的灵活性的发展

课堂数学交流？

数学交流

第 1 类自我交流：自我沉思和反省

第 2 类与他人交流 ：任课教师和同班同学

中国课堂里的数学交流：

第 2类交流

第 1 类交流

我们的观点：

中国的数学课堂应该强化第二类数学交流。因为发生在课堂内与他人的数学交流是所有学生一起共同参与思考问题的过程

向他人表达自己的观点，相互质疑、辩解、并最终澄清，这些过程可以帮助学生对数学的更深入的理解

课堂提问的建议•尽量在提问之后，注意停顿（给学

生思考时间）•尽量避免提一些只需用“是”或“否”回答的问题

• 在学生给出答案后要问“为什么”，或者把该答案交给全班或其他同学讨论

•尽量少提一些仅仅依靠记忆即可回答的问题

课堂提问的建议（续）•避免把提问作为惩罚学生的手段•尽量不要提已经包含答案的问题• 在提问之前，绝不要特别地点上某位

学生•尽量提一些结果开放的问题•尽量不要给出问题的难度•尽量避免集体同时的言语应答

Behavioral activation system (BAS) Behavioral activation system (BAS) ((行为激活系统 )

Incentive – BASIncentive – BAS

Dopamine (Dopamine (多巴胺 ) – brain chemical – brain chemical or neurotransmitter (or neurotransmitter (大脑化学物质或神经递质 )

Spanagel & Weiss (1999)Spanagel & Weiss (1999)

Wise (1996)Wise (1996)

Engagement (参与 )

一个问题提出的活动 1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21 23 25 27 29

…… 按此模式继续下去 .

我想根据这一模式，为学生编一些问题。帮助我想出尽可能多的问题写在下面的空白处。

提出的问题

第 10排有多少个数？

第 n排有多少个数？

第 n排的第一个数是什么？

第 n排的最后一个数是什么 ?

每一排的中间数是一个完全平方数吗？

前 n排的所有数的和是多少？

前 n 排的所有数的和是多少？

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21 23 25 27 29

… …

前 n 排的所有数的和是多少？

1 =1

3 5 =8

7 9 11 =27

13 15 17 19 =64

21 23 25 27 29 =125

… … … …

前 n 排的所有数的和是多少？

1 =1

3 5 =8

7 9 11 =27

13 15 17 19 =64

21 23 25 27 29 =125

… … … …

前 n排的和

= 13 + 23 + 33 + 43 + … + (n-1)3 + n3

前 n 排的所有数的和是多少？

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … …

[1 + 3 + 5 + … + (2m-1) = m2 ]

前 n排的和 = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) 2

一个意外的发现：

13 + 23 + 33 + 43 + … + (n-1)3 + n3

= (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) 2

= [n(n+1)] 2

Note: 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n+1)/2

一滴水如果水龙头不关紧，

一年会浪费多少？

有 7 个女孩、 3 个男孩和 3块同样大小的比萨饼。 7 个女孩平分两块比萨饼， 3 个男孩平分另外一块比萨饼。

(1)每个男孩和每个女孩是否得到同样多的比萨饼？ 解释你的解答过程。

(2)如果每个女孩和每个男孩所得的比萨饼的多少不同，谁得的多？解释你的解答过程。

方法 1

每个男孩得到 1/3 的比萨饼，女孩得2/7 ，如果你把 1/3和 2/7 进行比较，你会发现 1/3比 2/7 要大一点，比较时将他们化为同分母（ 1/3=7/21， 2/7=6/21， 7/21-6/21=1/21 ）或者化为近似小数（ 1/3=0.33， 2/7=0.29， 0.33-0.29=0.04）

方法 2

如果有 6 个女孩，每个女孩和每个男孩得到的份额就一样，但是有 7 个女孩，所以每个女孩得到的相对男孩就少一些。

方法 3

3 个女孩分一个比萨饼，另三个女孩分另一个比萨饼，则这 6 个女孩中每个人得到的份额和三个男孩中每个人得到的份额就一样，但如果这样分的话，剩下的哪个女孩就没分到，所以每个男孩分得的要多一些

方法 4

3 个女孩分一个比萨饼，剩余 4 人分另一个比萨饼，则这 4 个女孩得到的份额比男孩要少一些，所以男孩分得多一些

方法 5

7 个女孩得 2 个比萨饼， 3 个男孩得一个，女孩的比萨饼总数是男孩的 2倍，但总人数是男孩的2倍多，所以男孩分得多一些。

方法 6

将每个比萨饼分成 4份，每个女孩拿一份，剩下一份，每个男孩拿一份，剩下一份，剩下的一份要被 7 个女孩来分，但另一份只有 3 个男孩来分，所以男孩分得多一些

方法 7

7/2=3.5， 3/1=3 ，所以平均 3.5个女生共享一个比萨饼，而 3 个男生共分一个，所以每个男生分得多一些。

方法 8

把每个比萨饼分成 21块，每个女孩得 6块，每个男孩得 7块。

Chinese & U.S. Students’ Distribution

U.S. China

方法 1 2 90方法 2 14 2方法 3 7 2方法 4 29 2方法 5 10 3方法 6 7 0方法 7 10 2方法 8 2 0

无畏的希望 • 人可以四十天没有食物，照样能活；

• 四天没有水喝，照样能活；• 四分钟没有氧气可以呼吸，照样

能活，• 但是，人只要是四分钟没有希望，就活不了。

三分钟 v.s. 三十六小时

作為一個數學教師

•愛數學

•關心學生

•對教學有熱情

一个发生在幼儿园的故事

家长应该怎么办？

一个发生在幼儿园的故事（续）

“ 过去亲亲那位大姐姐！”

妈妈对孩子说：

与大家共勉：• 在批评中成长的孩子，学会的是诅咒；• 在仇恨中成长的孩子，学会的是争斗；• 在嘲笑中成长的孩子，学会的是害羞；• 在耻辱中成长的孩子，学会的是内疚。• 在宽容中成长的孩子，学会的是耐心；• 在鼓励中成长的孩子，学会的是自信；• 在赞扬中成长的孩子，学会的是欣赏；• 在公平中成长的孩子，学会的是正义。• 在安全中成长的孩子，学会了有信心；• 在赞许中成长的孩子，学会了爱自己；• 在接纳与友谊中成长的孩子，学会了在世间寻找爱。

谢谢各位 !

蔡金法

University of Delaware

[email protected]