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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Inhalt : Der Teil II ergänzt die Grundlagen der Darstel-lenden
Geometrie und Architekturperspektive des Teil I um die Themen:
. Kegelschnitte
. Abbildung von Kreis und Kugel
. Die Spiegelung
. Das Schattenbild
5. Auflage 2007 © Prof. Dipl.Ing. S.H. Bucher
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Kegelschnitte. Kreis und Ellipse 03
2-Tafelprojektion. Körperschnitte mit Höhenebenen. Ellipse
04Körperschnitte mit erstprojizierenden Ebenen. Ellipse 05
Körperschnitte mit Höhenebenen. Parabel 062 - Tafelprojektion.
Vom Kreis zur Ellipse 07
Axonometrie. Konjugierte Durchmesser der Ellipse 08Haupt - und
Nebenachse der Ellipse. Rytzsche Konstruktion 09
Korbbogenkonstruktion 10Tangentenkonstruktion 10
Scheitelkrümmungskreiskonstruktion �� Papierstreifenkonstruktion
��
Faden - oder Gärtnerkonstruktion 12
Perspektive. Kreis parallel zur Bildebene = Kreis 13Kreis
senkrecht zur Bildebene = Ellipse 14
Bestimmung der konjugierten Durchmesser der Ellipse 15Kreis
senkrecht zur Bildebene = Parabel 16
Abbildung der Kugel in der 3 - Tafelprojektion und in der
Axonometrie 17Abbildung der Kugel in der Perspektive 18
Abbildung der Kugel mit Hilfe von Schnittebenen 19Abbildung der
Kugel mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse 20
Die Spiegelung 21Die konstruktiven Bedingungen der Spiegelung
22
Perspektive. Spiegelkonstruktion einer Geraden
23Spiegelkonstruktion eines Prismas 24
Spiegelkonstruktion eines Prismas mit geneigten Ebenen 25
Das Schattenbild 26Beleuchtungsarten 27Das Lichtdiagramm 28
2 -Tafelprojektion. Schatten allgemein 29Schattenbild eines
Punktes im Grundriß 30
Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß 31Schattenbild
eines Punktes im Auf- und Grundriß 32
Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden 33Schattenbild
einer zweitprojizierenden Geraden 34
Schattenbild einer beliebigen Geraden 35Schattenbild einer
erstprojizierenden Geraden auf schräge Fläche 36
Schattenbild einer Fläche 37Schattenbild eines Würfels 38
Schattenbild eines Würfels auf horizontale Fläche 39Schattenbild
eines Würfels auf horizontale und vertikale Fläche 40
Schattenbild eines Würfels auf horizontale,vertikale und schräge
Fläche 41Schattenbild einer Kugel 42
Axonometrie. Das Schattenbild 43Schattenbild auf waagrechte und
senkrechte Fläche 44Schattenbild auf waagrechte und senkrechte
Fläche 45
Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche
46Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche 46
Perspektive. Das Schattenbild 47Konstruktionsidee 48
Parallel - und Zentralbeleuchtung. Lichtarten
49Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive
und dem Schattenbild 50Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der
Anlage der Perspektive und dem Schattenbild 50
Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation
der Geradenrichtungen 51Schattenbild einer Geraden in der schrägen
Ebene 52
Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation
der Geradenrichtungen 53Schattenbild eines Würfels bei Seitenlicht
54
Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene
55Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene
bei Rückenlicht 56
Schattenbild eines Würfels auf vertikale und schräge Ebene bei
Gegenlicht 57Zentralbeleuchtung. Schattenbild einer Geraden bei
endlicher Lichtquelle 58
Schattenbild eines Würfels auf horizontale Ebene 59Schattenbild
eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene 60Schattenbild
eines Würfels auf horizontale und schräge Ebene 61
Geometrische Grundkonstruktionen 62Geometrische
Grundkonstruktionen 63Geometrische Grundkonstruktionen
64Geometrische Grundkonstruktionen 65
Index Teil I 66Index Teil II 67
Symbole 68
Literaturliste 69
Inhalt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Kegelschnitte. Kreis
und Ellipse
Schneidet eine Ebene (Schnittebene) einen Kreiskegel unter der
Voraussetzung, daß die Schnittebene nicht durch die Spitze des
Ke-gels geht, entstehen folgende Schnittfiguren :Der Kreis als
Schnittfigur, wenn die Schnit-tebene senkrecht zur Kegelachse
verläuft.
Die Ellipse als Schnittfigur, wenn der Nei-gungswinkel der
Schnittebene kleiner als der Neigungswinkel der Kegelmantellinie
ist.
Schnittebene �
Schnittebene 2
Neigungswinkel der Schnittebene =Neigungswinkel der
Kegelmantellinie
Die Parabel als Schnittfigur, wenn der Nei-gungswinkel der
Schnittebene und der der Kegelmantellinie gleich sind.
Die Hyperbel als Schnittfigur, wenn der Nei-gungswinkel der
Schnittebene größer als der der Kegelmantellinie ist.
am Bsp. ist die Schnittebene parallel zur Rotationsachse des
Doppelkegels.
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II 2-Tafelprojektion.
Körperschnitte mit Höhenebenen. Ellipse
Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grund- und Aufriß und eine
schräge, 2. - projizieren-de Ebene.Gesucht ist die Schnittfläche,
mit Hilfe von horizontalen Hilfsschnittebenen und die wah-re Größe
der Schnittfläche.
2 - Tafelprojektion
Aufriß
Grundriß
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Körperschnitte mit
erstprojizierenden Ebenen. Ellipse
Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grund- und Aufriß und eine
schräge, 2. - projizieren-de Ebene.Gesucht ist die Schnittfläche,
mit Hilfe von erstprojizierenden Ebenen, und die wahre Größe der
Schnittfläche.
2 - Tafelprojektion
Aufriß
Grundriß
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grund- und Aufriß und eine
schräge, 2. - projizieren-de Ebene.Gesucht ist die Schnittfläche,
mit Hilfe von horizontalen Hilfsschnittebenen und die wah-re Größe
der Schnittfläche.
2 - Tafelprojektion
Aufriß
Grundriß
Körperschnitte mit Höhenebenen. Parabel
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Definition :
Die Ellipse ist definiert als der geometri-sche Ort aller
Punkte, deren Summe der Abstände von zwei festen Punkten ( den
Brennpunkten F 1 und F 2 ) konstant ist.
. die im Kreis zueinander senkrecht stehen-den Durchmesser des
Kreises werden in der Ellipse zu konjugierten = zugeordneten
Durchmesser.
. nur ein Rechtwinkelpaar des Kreises bleibt in der
Ellipsenzuordnung rechtwinklig, die sog. Haupt- und Nebenachse der
Ellipse.
. ein Kreisbogen um einen Endpunkt der Nebenachse der Ellipse,
mit dem Kreisradius r, ergibt als Schnittpunkte mit der Hauptachse
der Ellipse, die Brennpunkte F1 und F2.
. die Tangente an den Punkt A der Ellipse (beliebiger Punkt),
ergibt sich aus dem Tangentenlot, das die Winkelhalbierende des
2 - Tafelprojektion. Vom Kreis zur Ellipse
Winkels F1 und F2 mit A darstellt.
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Axonometrie.
Konjugierte Durchmesser der Ellipse
Der konstruktive Zusammenhang von Kreis und Ellipse, Objekt und
Bild oder Objekt und Schattenbild ergibt sich aus der Vorstellung
zweier, einander affin zugeordneten Ebenen.
Konstruktion der Grundrißfigur aus dem gegebenen Aufrißbild und
den konstruktiven Bedingungen der Affinität.Entspricht der
Spiegelung der Figur.
In der axonometrischen Darstellung ist die Abdrehung der Fläche
und die Verkürzung gegeben.am Bsp. Kavalierprojektion.
Abdrehung der y-Achse zur Horizontale 45 Grad.
Verkürzung x : y : z = 1 : 2/3 : 1
Das affine Bild des Kreises der Aufrißebene in der Grundrißebene
ist eine Ellipse, deren konjugierte Durchmesser in der
Grundrißebe-ne dargestellt sind.
Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse lassen sich mit
Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt- und Nebenachse der
Ellipse ermitteln.
Kavalierprojektion
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
In welcher Darstel-lungsart die konju-gierten Durchmesser der
Ellipse gegeben sind spielt keine Rolle. Die Rytzsche Konstruktion
ist ein Verfahren in der Zeichenebene.
Haupt - und Nebenachse der Ellipse. Rytzsche Konstruktion
In der axonometrischen Darstellung ist die Abdrehung der Fläche
und die Verkürzung gegeben.am Bsp. Trimetrie.Das affine Bild des
Kreises der Aufrißebene in der Grundrißebene ist eine Ellipse,
deren konjugierten Durchmesser in der Grundriße-bene darzustellen
sind.Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse lassen sich mit
Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt- und Nebenachse der
Ellipse ermitteln.
Gegeben sind die konjugierten Durchmesser einer Ellipse.Gesucht
sind die Richtungen und die Länge von Haupt- und Nebenachse der
Ellipse.
Konstruktion : Ein konjugierter Durchmesser M1A wird um 90 Grad
gedreht = (A). Der Endpunkt (A) wird mit dem Endpunkt des
stehengelassenen Durchmessers D verbun-den und verlängert. Um den
Mittelpunkt der Strecke (A)D = M2 schlägt man einen Kreis durch M
und erhält auf der verlängerten Strecke (A)D die Punkte U und V.
Verbindet man beide Punkte mit M, so erhält man die Richtungen der
Ellipsen-achsen.
Die Länge der Hauptachse entspricht der Strecke DV. Die Länge
der Nebenachse der Strecke DU.
Die Rytzsche Konstruktion erfolgt in der Zeichenebene, obwohl
die Vorgabe = die konjugierten Durchmesser der Ellipse der
Vorstellung einer räumlichen Figur ent-sprechen.
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Vom Mittelpunkt des Haupt- und Nebenkrei-ses ist eine Gerade in
beliebiger Richtung zu zeichnen.Die Gerade schneidet den Nebenkreis
in A und den Hauptkreis in B.Die Parallele zur Hauptachse durch A
und die Parallele zur Nebenachse durch B ergibt als Schnittpunkt
einen Punkt der Ellipse.Durch Wiederholung der Konstruktion bei
unterschiedlichen Richtungen der Geraden läßt sich das Bild der
Ellipse ermitteln.
Ausgehend von der Korbbogenkonstruktion läßt sich an die Ellipse
die Tangente konstru-ieren.Auf die Gerade sind im Punkt A und im
Punkt B Lote zu errichten.Das Lot in A schneidet die verlängerte
Ne-benachse und das Lot in B die verlängerte Hauptachse. Die
Verbindung ist die Tangente an die Ellipse in dem Punkt, der sich
aus der Korb-bogenkonstruktion dieser Geradenrichtung ergibt.
TangentenkonstruktionKorbbogenkonstruktion
In der Zeichenebene ist die Haupt - und Nebenachse der Ellipse
gegeben.
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Die Tangenten an die Scheitelpunkte ,des horizontalen
Durchmessers des Hauptkrei-ses und an die Scheitelpunkte des
vertikalen Durchmessers des Nebenkreises, bestimmen ein
Rechteck.Von einem Eckpunkt dieses Rechteckes ist auf die Diagonale
des Rechteckes ein Lot zu fällen.Das verlängerte Lot bestimmt auf
der Haupt-achse den Mittelpunkt M� des kleinen
Schei-telkrümmungskreises und auf der verlän-gerten Nebenachse den
Mittelpunkt M2 des großen Scheitelkrümmungskreises.
Für die Papierstreifenkonstruktion(auch Faden- oder
Gärtnerkonstruktion ge-nannt) ist ein Papierstreifen der
Gesamtlänge a + b auszuschneiden(die Länge b entspricht dem Radius
des Nebenkreises und die Länge a entspricht dem Radius des
Großkreises) .Wenn man die Endpunkte des Papierstrei-fens auf der
Haupt- und gleichzeitig auf der Nebenachse wandern läßt, können am
Schnittpunkt von a und b alle Punkte der Ellipse markiert
werden.
Die Konstruktion der Ellipse aus gegebener Haupt - und
Nebenachse erfolgt in allen Konstruktionen punktweise. Je mehr
Punkte konstruiert werden, desto genauer kann die Darstellung der
Ellipse sein.
Scheitelkrümmungskreiskonstruktion PapierstreifenkonstruktionIn
der Zeichenebene ist die Haupt - und Nebenachse der Ellipse
gegeben.
M�
M2
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Aus der allgemeinen Definition der Ellipse ergibt sich die
sogenannte Faden- oder Gärtnerkonstruktion.
Der Faden mit der Länge 2a wird in den Brennpunkten F1 und F2
fixiert. Bei gespanntem Faden kann dann die ellipti-sche Figur in
den Boden graviert werden.
Faden - oder Gärtnerkonstruktion
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das perspektive Bild des Kreises, der parallel zur Bildebene
steht, ist der Kreis.Die Bildgröße ist abhängig von der Lage des
Kreises zur Bildebene und von der Lage der Bildebene zum
Augpunkt.
Perspektive. Kreis parallel zur Bildebene = Kreis
Trimetrie
Horizontebene
Grundrißebene
Augpunkt
Perspektive AnlageHorizont
Spur
Augpunkt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das Bild des Kreises, der senkrecht zur Bildebene liegt ist eine
Ellipse.Da der projizierte Mittelpunkt des Kreises (auf Grund der
perspektiven Teilung der Strecke) nicht dem tatsächlichen
Mittelpunkt der Strecke entspricht, ist für die
Ellipsenkon-struktion aus den konjugierten Durchmessern eine
weitere Konstruktion notwendig.
Kreis senkrecht zur Bildebene = Ellipse
Augpunkt
Perspektive AnlageHorizont
Spur
Augpunkt
Trimetrie
Horizontebene
Grundrißebene
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Bestimmung der
konjugierten Durchmesser der Ellipse
Konjugierte Durchmesser einer Ellipsestehen im Orginalkreis
senkrecht aufeinan-der.Für die Perspektive wählt man einen
Durchmesser, der senkrecht zur Bildebene verläuft= Tiefenlinie mit
Fluchtpunkt in H.Dieser Durchmesser wird perspektiv abge-bildet.Das
perspektive Bild des Mittelpunktes desDurchmessers kann nicht
Mittelpunkt derEllipse werden, da der gefundene Mittelpunkt die
Strecke perspektiv teilt, die konjugierten Durchmesser sich aber
halbieren.
Das perspektive Bild des Durchmessers ist zuteilen und der
Teilpunkt in das Grundrißbild zu rekonstruieren.Durch den
Grundrißpunkt zeichnen Sie eine Sehne (parallel zur Bildebene), die
den Kreisin 2 Punkten schneidet.Damit sind, im perspektiven Bild
wieder abgebildet, die konjugierten Durchmesser derEllipse
gegeben.
Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse sind dann mit
Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt - und die Nebenachse zu
ermitteln.
Perspektive AnlageHorizont
Spur
Augpunkt
M ?
M Kreismittelpunkt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Trimetrie
Punkt A
Perspektive Anlage
Horizont
Spur
Augpunkt
Verschwindungsgerade Für den Punkt A des Kreises ist bei der
per-spektiven Abbildung, mit dem Projektions-strahl durch den
Augpunkt, kein Bild = Durchstoßpunkt mit der Bildebene zu finden,
da die Projektionsrichtung parall zur Bildebene liegt. Dadurch
ergibt sich die nach unten offene Figur der Parabel, die punktweise
dargestellt wird.
Kreis senkrecht zur Bildebene = Parabel
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
3 - Tafelprojektion Trimetrie
Abbildung der Kugel in der 3 - Tafelprojektion und in der
Axonometrie
Der Schnitt durch den Mittelpunkt = Großkreis parallel zum
Grundriß ergibt das Bild der Kugel im Grundriß.Der Schnitt durch
den Mittelpunkt= Großkreis parallel zum Aufriß ergibt das Bild der
Kugel im Aufriß.Der Schnitt durch den Mittelpunkt= Großkreis
parallel zum Seitenriß ergibt das Bild der Kugel im Seitenriß.
Die Hüllzylinder der Projektionsstrahlen der Kugel stehen
jeweils senkrecht zu den Bild-tafeln und ergeben als Schnittfläche
einen Kreis mit der Tafel = Bild der Kugel, das in der Trimetrie
als Ellipse erscheint. Das Bild der Kugel in den Tafeln entspricht
der Schnittfläche durch den Mittelpunkt der Kugel parallel zur
entsprechenden Tafel= Großkreis der Kugel.
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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Abbildung der Kugel
in der Perspektive
Entgegen der eigenen Seherfahrung er-scheint die Kugel im
perspekiven Bild ellip-tisch.Die Umrißellipse ergibt sich am
Beispiel durch die Summe der abgebildeten Schnit-tebenen,
einschließlich des Großkreises
Trimetrie
Horizont
Spur
Hauptpunkt
Augpunkt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist der Grundriß der Kugel und die perspektive
Anlage.Gesucht ist das perspektive Bild der Kugel.
Abbildung der Kugel mit Hilfe von SchnittebenenPerspektive
AnlageHorizont
Spur
Augpunkt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Abbildung der Kugel
mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse
Gegeben ist der Grundriß der Kugel und die perspektive
Anlage.Gesucht ist das perspektive Bild der Kugel.
Perspektive Anlage
Horizont
Spur
Augpunkt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Die Spiegelung
Flache Arbeit. 1992 Adrian SchiessAutolack auf Verbundglas
4teilig2 x 110 x 600 cmDocumenta 9. Kassel 1992
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Trimetrie
einfallender Lichtstrahl
reflektierter Lichtstrahl
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Wir unterscheiden waagrechte, senkrechte, schräge oder gekrümmte
Spiegelflächen.In Architekturdarstellungen finden wir meist die
senkrechte Fensterfläche oder die waag-rechte Wasserfläche als
Spiegelebene.Die konstruktiven Bedingungen der Spiege-lung beziehen
sich ausschließlich auf das Spiegelbild in waagrechter
Spiegelebene.
�. Der einfallende Lichtstrahl und der auf der Spiegelebene
reflektierte Lichtstrahl liegen in einer zur Spiegelbebene
senkrechten Ebene.2. Einfallswinkel = Ausfallswinkeloder. der
Winkel zwischen Lot und einfallen-dem Lichtstrahl und der Winkel
zwischen Lot und reflektiertem Lichtstrahl sind gleich.
3. Alle durch Punkt P einfallenden Strahlen werden so
reflektiert, daß sich die rück-wärtigen Verlängerungen der
reflektierten Strahlen in einem Punkt = Spiegelpunkt schneiden.
4. Die Distanz von Punkt 1 zur Spiegelebene entspricht der
Distanz des Spiegelpunktes � zur Spiegelebene.entsprechend weitere
Punkte.
5. Das vom Auge erkannte Spiegelbild ist nicht symmetrisch dem
Orginal. Das Spiegelbild ist abhängig von der Lage des Objektes zum
Augpunkt. am Bsp. liegen die Punkte 1 und 2 optisch hintereinander
auf einem Sehstrahl. Dies gilt aber nicht für die
Spiegelpunkte.
Die konstruktiven Bedingungen der Spiegelung
Punkt P
Soiegelpunkt
Punkt �
Spiegelpunkt �
Augpunkt Punkt �
Punkt 2
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gerade in der Spiegelebene
Konstruktionsschritte :�. von einem beliebigen Punkt P auf dem
Horizont sind die Endpunkte der Geraden auf die Spur der
Spiegelebene zu verlängern.2. Geradenlänge in der Spiegelspur
spiegeln und Endpunkt mit P verbinden.3. Diese Verbindung begrenzt
die Spiegelung senkrecht unterhalb der Geraden. Die Spie-gelung
wird außerdem begrenzt durch die Spiegelspur.
Gerade über der Spiegelebene
Konstruktionsschritte wie a, wobei hier über den sog.
Kellergrundriß der Geraden, Grund-rißpunkt der Geraden in 0.00
gespiegelt wird und
4. Das Spiegelbild ist begrenzt durch die gespiegelte, erhöhte
Standebene selbst.
Perspektive Anlage mit Fußpunkt der Geraden in der
Spiegelebene
Horizont
Spur
Spiegelgerade im persp. Bild
Augpunkt
Perspektive Anlage mit Fußpunkt der Geraden über der
Spiegelebene
Horizont
Höhe der Standebene über 0.00Spur in 0.00
Höhe der Standebene im persp. Bild
gespiegelte Höhe der Standebene
Spiegelgerade
Augpunkt
Perspektive. Spiegelkonstruktion einer Geraden
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Spiegelkonstruktion
eines Prismas
Perspektive Anlage mit Prisma in der Spiegelebene
Horizont
Spur
Spiegelgerade im Grundriß
Augpunkt
Perspektive Anlage mit Prisma über der Spiegelebene
Horizont
Höhe der Standebene über 0.00
Spur
Spiegelgerade im Grundriß
Augpunkt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
zur Konstruktion :
Die wahre Größe des Winkels der Dachneigung ist über die, in den
Grundriß geklappte, Giebelwand zu ermitteln.Über den auf den
Horizont eingedrehten Aug-punkt, in dem die wahre Winkelgröße
angetragen wird, ergibt sich als Schnitt mit der Senkrechten über
dem entsprechenden Horizon-talfluchtpunkt der
Rampenfluchtpunkt.
Geneigte Richtungen fluchten im Spiegelbild zu den
entgegengesetzte = gespiegelten Höhenfluchtpunkten.
Rampenfluchtpunkt links
Horizontalfluchtpunkt links
gespiegelter Rampenfluchtpunkt links
beliebiger Punkt eingedrehter Augpunkt Horizont
Höhe der Standebene über 0.00
Spur
Spiegelgerade im Grundriß
Konstruktion der wahren Größe der Dachneigung
Spiegelkonstruktion eines Prismas mit geneigten Ebenen
Augpunkt
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das Schattenbild, der Körperschatten und der Schlagschatten,
unterstreicht die plasti-sche Wirkung der architektonischen
Erschei-nung und betont ihre zeitliche Dimension in Abhängigkeit
von der gewählten Lichtsitua-tion.
Das Schattenbild
Eames House. Los Angeles
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
ParallelbeleuchtungBei der Annahme einer Lichtquelle im
Unendli-chen sprechen wir von Parallelbeleuchtung. Dies gilt
insbesondere für das Sonnenlicht, da die Entfernung Sonne zu Objekt
im Verhältnis der Entfernung von Objekt zu Schattenbild als
unendlich groß angenommen werden Kann.Die konstruktiven
Zusammenhänge von Objekt und Schattenbild sind durch die affine
Beziehung von Objekt, als Körperschnitt eines Zylinders und
Schattenbild, als Grundfläche des Zylinders erläutert.Die
einfallenden Lichtstahlen bestimmen die Mantellinien des
Zylinders.s.S. 35 Skript 1.Semester: Der Kör-perschnitt des
Zylinders und die Affinität
ZentralbeleuchtungBei einer punktförmigen Lichtquelle in
endlicher Entfernung sprechen wir von Zentralbeleuch-tung.Dies gilt
für alle künstlichen Lichtquellen.Die konstruktiven Zusammenhänge
von Objekt und Schattenbild sind durch die kollineale Bezie-hung
von Objekt, als Körperschnitt eines Kegels und Schattenbild, als
Grundfläche des Kegels erläutert.Die einfallenden Lichtstahlen
bestimmen die Mantellinien des Kegels.
s.S. 36 Skript 1.Semester: Der Kör-perschnitt des Kegels und die
Kol-lineation
Mehrfach - ZentralbeleuchtungBei der Mehrfach -
Zentralbeleuchtung ergeben sich je nach Lage des Objektes zu den
Licht-quellen mehrere unterschiedliche Schattenbil-der.z.B
Theaterlicht oder Flutlicht.
Diffuse BeleuchtungVon einer diffusen Beleuchtung spricht man,
wenn sich kein Schattenbild entwickelt.Man kann sich auch
vorstellen, daß das Ojekt von unendlich vielen Lichtquellen
beleuchtet wird.z.B. Nebel.
Wir unterscheiden:Schlagschatten = das Schattenbild eines
Objektes auf einer Schattenauffangfläche.Rot anlegenKörperschatten
= der Schatten der sich am Objekt selbst entwickelt.Grün
anlegen
Beleuchtungsarten
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Würfel in Trimetrie
geklapptes Lichtdreieck
Eine Lichtsituation (Rückenlicht von links. technischer
Lichtstrahl)) ist in einem Würfel dargestellt.Für die Konstruktion
der wahren Größe des Winkels zwischen Grundrißfläche und
räumli-chem Lichtstrahl, wird das Lichtdreieck in die Ebene
geklappt.Die Lichtsituation muß in mindestens 2 Tafeln gegeben
sein.
s.S. 17 Skript 1.Semester: Wahrer Winkel und wahre Länge einer
Ge-raden. Grundrißklappung
wir unterscheiden :
eine Lichtsiuation bei allgemeinem Lichtstrahl
Rückenlicht von linksRückenlicht von rechts
Gegenlicht von linksGegenlincht von rechts
Seitenlicht von linksSeitenlicht von rechts
und eine Lichtsituation bei technischem Licht-strahl, d.h. die
Lichtrichtungen in den Tafeln sind jeweils 45 Grad zur Horizontalen
geneigt und die räumliche Lichtrichtung beträgt 35 Grad.
Das Lichtdiagramm
Würfel in 2 - Tafelprojektion
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II 2 -Tafelprojektion.
Schatten allgemein
Der räumliche Lichtstrahl, das Grundrißbild des Lichtstrahls und
die Gerade, die den Schatten wirft, bilden eine Ebene, das sog.
Lichtdreieck, das senkrecht auf dem Grund-riß steht.Der
Schlagschatten der Geraden ist be-stimmt durch- die
Grundrißrichtung oder Grundrißabwei-chung des Lichtes = bestimmt
die Schattenrichtung in der
Schattenauffangebene und- die räumliche Lichtrichtung oder
Höhenab-weichung des Lichtes = bestimmt die Schattenlänge.
Als Konstruktionsvorgaben benutzt man in1. der 2 -
Tafelprojektion die Grund- und Aufrißrichtung des Lichtes in2. der
Axonometrie die Grundrißrichtung des Lichtes und den räumlichen
Licht-strahl und in3. der Perspektive die Grundrißrichtung des
Lichtes, dargestellt im Fußpunkt der Lichtquelle und den räumlichen
Licht-strahl, dargestellt in der Lichtquelle.
Trimetrie
räuml. Lichtstrahl
Lichtdreieck
Grundrißrichtung
Schattenauffangebene
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem
Lichtstrahl und Gegenlicht von rechts, die Grundrißfläche eine
horizontale Fläche = Schattenauffangebene.
Konstruktionsschritte in der Axonometrie:
�. räumliche Lichtrichtung durch Raumpunkt geschnitten mit
der
Schattenbild eines Punktes im Grundriß
2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grund-rißpunkt, ergibt den
Schattenpunkt.
Konstruktionsschritte in der 2 - Tafelprojekti-on:
�. Aufrißrichtung des Lichtes durch Aufriß-punkt, der
Grundrißrichtung durch Grundriß-punkt zugeornet, ergibt den
Schattenpunkt im Grundriß und2. Grundrißrichtung des Lichtes durch
Grund-rißpunkt, der Aufrißrichtung durch Aufrißpunkt zugeordnet,
ergibt den Schattenpunkt im Aufriß. am Bsp. ergibt sich kein
Schattenpunkt im Aufriß.
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Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem
Lichtstrahl und Rückenlicht von rechts die Grundrißfläche und die
Aufrißflä-che, unterhalb der x - Achse, Schattenauffan-gebene.Der
Schattenpunkt in der Aufrißebene wird mit - gekennzeichnet ( - SP
im Aufriß ).
Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß
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Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem
Lichtstrahl und Rückenlicht von rechts, die Aufrißebene und die
Grundrißflä-che, hinter der x - Achse, Schattenauffange-bene. Der
Schattenpunkt im Grundriß wird mit - ge-kennzeichnet (-SP im
Grundriß ).
Schattenbild eines Punktes im Auf- und Grundriß
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das Schattenbild einer Geraden wird punkt-weise ermittelt. Die
Konstruktion der Darstellung des Schat-tenbildes des Punktes P der
Geraden, ent-spricht der vorhergehenden Konstruktion.
s.S. 31: Schattenbild eines Punk-tes im Grund- und Aufriß
Das Schattenbild der Geraden entspricht der Verbindung
Schattenpunkt P mit Fußpunkt der Geraden in der Grundrißebene.Das
Schattenbild der Geraden bricht über die x - Achse.
Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das Schattenbild einer Geraden wird punkt-weise ermittelt. Die
Konstruktion der Darstellung des Schat-tenbildes des Punktes P der
Geraden, ent-spricht der vorhergehenden Konstruktion.
s.S. 31: Schattenbild eines Punk-tes im Grund- und Aufriß
Das Schattenbild der Geraden entspricht der Verbindung
Schattenpunkt P mit Fußpunkt der Geraden in der Aufrißebene.Das
Schattenbild bricht über die x - Achse.
Schattenbild einer zweitprojizierenden Geraden
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Steht die Gerade nicht in der Grundriß - oder Aufrißebene, sind
die zwei Endpunkte der Geraden als Schattenpunkte zu ermitteln. Die
Verbindung beider stellt das Schattenbild der Geraden dar. Dabei
werden die Schattenbilder der Geradenpunkte A und B im Grundriß -
und im Aufriß dargestellt.Das Schattenbild der Geraden bricht am
Bsp. über die x - Achse.Ohne die Darstellung der unsichtbaren
Schattenpunkte ist das Schattenbild der Geraden nicht
konstruierbar.
Schattenbild einer beliebigen Geraden
-
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das Lichtdreieck, das aus der gegebenen Geraden, der räumlichen
Lichtrichtung und der Grundrißrichtung des Lichtes gebildet wird,
steht senkrecht auf der Grundrißebene.Das Lichtdreieck ergibt mit
der schrägen Flä-che, der Schattenauffangebene geschnitten, eine
gemeinsame Schnittebene (schraffiert).Auf der beiden Ebenen
gemeinsamen Schnitt-spur liegt der gesuchte Schattenpunkt, das
Schattenbild des Geradenpunktes A.Es ist der Schnittpunkt von
Schnittspur und räumlicher Lichtrichtung.
Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden auf schräge
Fläche
-
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Die Schattenbilder von komplexen, regelmäßig oder unregelmäßigen
Figuren werden punktweise ermittelt. Die Verbindung der
Schattenpunkte mit-einander ergibt die Schattenfläche.
Schattenbild einer Fläche
Konstruktionsschritte am Bsp. in der 2 - Tafelprojektion :�.
Aufrißrichtung des Lichtes durch Aufriß-punkte,der Grundrißrichtung
durch Grundrißpunkte zuordnen,ergibt die Schattenpunkte im
Grundriß.2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grund-rißpunkte, der
Aufrißrichtung durch Aufriß-punkte zuordnen,ergibt die
Schattenpunkte im Aufriß. Steht die schattenbildende Fläche
paral-lel zur Schattenauffangebene, wird das Schattenbild versetzt,
gleichgerichtet und gleich groß abgebildet. (Am Beispiel das
Schattenbild im Aufriß).
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Bei räumlichen Objekten ist neben dem Schlagschatten immer auch
das Schattenbild am Objekt selbst = der Körperschatten zu
bedenken.Bei untenstehendem Beispiel ist die Lichtsituation, als
sog. Seitenlicht oder Streiflicht beschrieben, d.h. die Flächen,
die parallel zur Grundrißrichtung des Lichtes liegen sind nicht
beschattet.
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die Anlage in
der 2 - Tafelprojektion und die Lichtsituation.
Gesucht ist das Schattenbild des Würfels in der 2 -
Tafelprojektion.
Hinweis :Da am Beispiel nur in der Grundrißebene ein
Schattenbild zu erwarten ist, genügt es die Aufrißrichtung des
Lichtes durch die Aufrißpunkte, der Grundrißrichtung durch die
entsprechenden Grundrißpunkte zuzuord-nen, um die Schattenpunkte im
Grundriß zu ermitteln.
Schattenbild eines Würfels
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die Anlage in
der 2 - Tafelprojektion und die Lichtsituation.Gesucht ist das
Schattenbild des Würfels in der 2 - Tafelprojektion.
Schattenbild eines Würfels auf horizontale Fläche
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die Anlage in
der 3 - Tafelprojektion und die Lichtsituation.Gesucht ist das
Schattenbild des Würfels in der 3 - Tafelprojektion.
Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale
Fläche
-
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die Anlage in
der 3 - Tafelprojektion und die Lichtsituation.Gesucht ist das
Schattenbild des Würfels in der 3 - Tafelprojektion.
Schattenbild eines Würfels auf horizontale,vertikale und schräge
Fläche
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild einer Kugel im Grund- und Aufriß und die
Lichtsituation.Gesucht ist das Schattenbild der Kugel in den
Tafeln.
Hinweis : Die Konstruktion des Grundrißbildes des Schattens
erfolgt mit einer in Grundrißrich-tung des Lichtes 1. -
projizierenden Hilfsebe-ne.Die Konstruktion des Aufrißbildes des
Schattens erfolgt mit einer in Aufrißrichtung des Lichtes 2. -
projizierenden Hilfsebene.
Schattenbild einer Kugel
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Axonometrie. Das
Schattenbild
Five into one. 1992Matt Mullican
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das Stuhlobjekt Modell. Zig - Zag von Gerrit Rietveld ist im
Skript des �.Semesters zum Thema Grundrißaxonometrie
beschrieben.
Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation
(Grundrißlichtrichtung und Aufrißlichtrichtung)in der 2 -
Tafelprojektion.
Gesucht ist das Schattenbild.
Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche
Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation
(Grundrißlichtrichtung und räumliche Lich-trichtung) in der
Trimetrie.
Gesucht ist das Schattenbild.
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Die Konstruktionsvorgabe könnte einer Ausstellungssituation
entspre-chen, die den ZIG-ZAG in einer Raumecke zeigt.Die
Beurteilung des Schattenbildes nach gestalterischen
Gesichtspunk-ten ist negativ. Die Dynamik des Objektes ist nicht im
Schattenbild gespiegelt. Eine Reihe von Variationen der
Parameter.die Lage des Objektes zu der Raumecke und/oder die
Lichtsituation könnten in der Zeichnung oder im Modell Klarheit
schaffen.
Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation
(Grundrißlichtrichtung und räumliche Lich-trichtung) in der
Trimetrie.
Gesucht ist das Schattenbild .
Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche
-
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation
(Grundrißlichtrichtung und räumliche Lich-trichtung) in der
Trimetrie.
Gesucht ist das Schattenbild.
Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche
-
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive. Das
Schattenbild
Robert Wilson. Bühne zu Lohengrin von Richard Wagner. 3.Akt.
Zürich 1991
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Das Problem der Darstellbarkeit des Schat-tenbildes eines
komplexen Körpers wird zunächst - um die Konstruktion zu
erleichtern - auf die Frage nach dem Schattenbild einer, meist
senkrecht stehenden, Geraden redu-ziert.
Der Schatten einer Geraden wird bestimmt durch :
� den Winkel der einfallenden Lichtstrahlen (Höhenabweichung)
und
2 die Richtung der einfallenden Lichtstrahlen (seitliche
Abweichung). Die Koordinaten des Bildes der Lichtquelle zum
Augpunkt machen diese Abweichungen erkennbar.
Konstruktionsidee
Der Schatten einer Geraden ist die Schnittge-rade, die sich aus
der Durchdringung zweier Ebenen ergibt.� die Lichtebene ( = Ebene �
), die durch die Lichtquelle und die Gerade aufgespannt wird und2
die Schattenauffangebene ( = Ebene 2 ).
Konstruktionsüberlegungen
. Ebene � ist durch einen Punkt und eine Gerade definiert
(Lichtquelle, Endpunkt und Fusspunkt der Geraden in der Ebene
2).
. Die Schattenrichtung der Geraden in der Ebene 2 ist definiert
durch die Fluchtgerade der Ebene und die Ausbrei-tungsrichtung der
Geraden.. Die Schattenlänge definiert der Abstand der
Geraden zur Lichtquelle und die Länge der Geraden selbst.
Konstruktionsvorgang
In Ausbreitungsrichtung der Geraden durch die Lichtquelle,
finden wir als Schnittpunkt mit der Fluchtgeraden der
Schattenauffange-bene, den Fußpunkt der Lichtquelle.Verbindung von
Fußpunkt Lichtquelle mit Fußpunkt Gerade=
Schattenrichtung.Verbindung von Lichtquelle mit Endpunkt Gerade=
Schattenlänge.
Konstruktionsidee
Lichtquelle
Fußpunkt LichtquelleHorizont
Augpunkt
Endpunkt der Geraden
Fußpunkt
Schattenauffangebene
-
Seite 49
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Parallel - und
Zentralbeleuchtung. Lichtarten
Wir unterscheiden :
. die Zentralbeleuchtung, bei der eine Lichtquelle im Endlichen
angenom-men wird, was einer künstlichen Lichtsituation entspricht
z.B. Theaterlicht siehe : Beispiele ab Seite 58 ff . die
Parallelbeleuchtung, bei der die Lichtquelle im Unendlichen
ange-nommen wird. Die Vorstellung der Lichtquelle im Unendlichen,
entspricht dem natürlichen Licht.Zu den Bestimmungen der Grundriß-
und Raum-richtung des Lichtes für das Schattenbild in den
Axonometrien, kommt in der Perspektive die Bestimmung des
Betrachters, als weitere Relati-on des Bildes dazu.siehe :
Beispiele ab Seite 50 ff
. Seitenlicht
Die Lichtrichtung ist parallel zur Bildebene und hat deshalb
keinen endlichen Bildpunkt. Zur Konstruktion genügt die Angabe der
Neigung des Lichtstrahles zum Horizont.
. Gegenlicht
Bildpunkt Sonne oder die Lichtquelle ist oberhalb des
Horizontes.
- direktes Gegenlicht heißt, die Lichtquelle liegt auf dem
Hauptsehstrahl
- Gegenlicht von rechts heißt, die Lichtquelle liegt rechts vom
Hauptsehstrahl
- Gegenlicht von links heißt, die Lichtquelle liegt links vom
Hauptsehstrahl.
. Rückenlicht
Bildpunkt Sonne oder die Lichtquelle ist unter-halb des
Horizontes.
- direktes Rückenlicht heißt, die Lichtquelle liegt auf dem
Hauptsehstrahl
- Rückenlicht von rechts heißt, die Lichtquelle liegt links vom
Hauptsehstrahl
- Rückenlicht von links heißt, die Lichtquelle liegt rechts vom
Hauptsehstrahl.
-
Seite 50
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Für die Festlegung der Lichtquelle im perspektiven Bild sind 3
Bestimmungen notwendig :
Lichtquelle
Fußpunkt LichtquelleHorizont
Spur
Bildebene
�. die Lichtart (Seitenlicht, Rückenlicht oder Gegenlicht).
2. die Winkeldrehung der Grundrißrichtung des Lichtes zum
Hauptsehstrahl = seitliche Abweichung, die den Fußpunkt der
Lichtquelle definiert.
3. der Winkel der einfallenden Lichtstrahlen zum Grundriß =
Höhenabweichung (sichtbar in geklappter Ebene), die die Lichtquelle
definiert.Am Bsp. handelt es sich um Gegenlicht von
rechts.seitliche Abweichung = 24 GradHöhenabweichung = 36 Grad
Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive
und dem Schattenbild
-
Seite 5�
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Fluchtpunkt
derGeraden in allgemeiner Richtung
Lichtquelle
Horizont
Spur
Bildebene
Alle Geradenrichtungen in der waagrechten Fläche , also auch die
Schattenrichtungen der Geraden in der waagrechten Fläche ha-ben
ihren Fluchtpunkt auf dem Horizont.
Der Fußpunkt der Lichtquelle, oder der
Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation
der Geradenrichtungen
Fluchtpunkt der Schattenrichtung ist je nach
Ausbreitungsrichtung der Geraden auf dem Horizont zu bestimmen.
� Gerade steht senkrecht auf der Standebe-ne.
2 Gerade steht auf der Standebene gekippt.
3 Gerade steht in allgemeiner Richtung, die durch den
Fluchtpunkt definiert ist.In Ausbreitungsrichtung der Geraden
bedeu-tet in dem Fall durch den Fluchtpunkt.
s.S.53 : Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die
Variation der Geradenrichtungen.
Augpunkt
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Seite 52
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
LichtquelleGegenlicht von links
HorizontFußpunkt Lichtquelle
Spur
Bildebene
Augpunkt
Schattenbild einer Geraden in der schrägen Ebene
Hinweis :
Die Fluchtgerade der Rampenebene, die der Schattenauffangebene
entspricht, ist durch den Rampenfluchtpunkt und den horizontalen
Fluchtpunkt der Ebene definiert.
-
Seite 53
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Die Fluchtgerade der Schattenauffange-bene = Wandebene ist in
den Beispielen eine durch den Fluchtpunkt der Wandfläche bestimmte
Senkrechte.
Der Fußpunkt der Lichtquelle ist je nach Ausbreitungsrichtung
der Geraden zu be-stimmen.
� Gerade steht senkrecht auf der Wandebe-ne.
2 Gerade steht auf der Wandebene gekippt.
3 Gerade steht in allgemeiner Richtung, die durch den
Fluchtpunkt definiert ist.In Ausbreitungsrichtung der Geraden
bedeu-tet in dem Fall durch den Fluchtpunkt.
s.S.51 : Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die
Variation der Geradenrichtungen.
Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation
der Geradenrichtungen
Lichtquelle und Fußpunkt Lichtquelle
Fluchtpunkt der Ge-raden in allgemeiner Richtung
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Seite 54
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die
perspektive Anlage und die Lichtsi-tuation.
Reines Seitenlicht, d.h. die Grundrißlich-trichtung des Lichtes
entspricht einer Grund-
rißrichtung des Körpers, der x - Achse oder der y - Achse.Die
Körperflächen in dieser Richtung erhalten Streiflicht. Da die
Grundrißrichtung des Lichtes in der Perspektive parallel zur
Bildebene verläuft ergibt sich bei dem Beispiel kein Fußpunkt
Lichtquelle, d.h. der Schatten kann wie in der Axonometrie
konstruiert werden. Allgemein gilt, dass der Fusspunkt Lichtquel-le
bei Streiflicht dem Fluchtpunkt der Grund-rissrichtung
entspricht.
s.S. 49: Lichtarten Gesucht ist das perspektive Schattenbild des
Würfels.
Schattenbild eines Würfels bei Seitenlicht
-
Seite 55
© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines
Würfels auf horizontale und vertikale Ebene
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die
perspektive Anlage und die Lichtsi-tuation.
Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.
Gegenlicht von links, d.h. die Lichtquelle liegt links vom
Hauptseh-strahl und oberhalb des Horizontes.
s.S. 49: Lichtarten
-
Seite 56
© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die
perspektive Anlage und die Lichtsi-tuation.
Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.
Rückenlicht von rechts, d.h. die Lichtquelle liegt links vom
Hauptseh-strahl und unterhalb des Horizontes.
s.S. 49: Lichtarten
Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene
bei Rückenlicht
-
Seite 57
© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die
perspektive Anlage und die Lichtsi-tuation.
Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.
Hinweis: Gegenlicht von links, d.h. die Lichtquelle liegt links
vom Hauptseh-strahl und oberhalb des Horizontes.
s.S. 49: Lichtarten
Schattenbild eines Würfels auf vertikale und schräge Ebene bei
Gegenlicht
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Seite 58
© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Lichtquelle
Horizont
Spur
Fußpunkt Lichtquellein der Standebene
Bildebene
Augpunkt
Gegeben ist das perspektive Bild eines Prismas und 2 senkrechte
Geraden in der Standebene und die Lichtsituation.
Die Lichtsituation bei der sog. Zentralbe-leuchtung
s.S. 49: Lichtartenwird beschrieben durch eine Gerade, de-ren
Endpunkt die Lichtquelle und deren Fußpunkt, meist in der
Standebene, den Fußpunkt der Lichtquelle im Endlichen darstellt.Die
Schattenkonstruktion entspricht der Konstruktion bei
Parallelbeleuchtung.Gesucht ist das perspektive Bild und das
Schattenbild.Die Lichtsituation entspricht künstlichem Licht,
wobei, wie bei einer Flutlichtanlage oder im Theater, mehrere
Lichtquellen denkbar sind.
Zentralbeleuchtung. Schattenbild einer Geraden bei endlicher
Lichtquelle
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Seite 59
© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die
perspektive Anlage und die Lichtsi-tuation.
Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.
Schattenbild eines Würfels auf horizontale Ebene
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Seite 60
© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die
perspektive Anlage und die Lichtsi-tuation.
Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.
Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale
Ebene
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Seite 61
© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive
Anlage und die Lichtsituation.
Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.
Schattenbild eines Würfels auf horizontale und schräge Ebene
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Seite 62
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Geometrische
Grundkonstruktionen
Strecken
Senkrechte im Punkt AKreisbogen mit r um A schlagen. Um B und C
Kreisbögen mit Radius BC. AD senkrecht auf BC.
Strecke AB halbieren und Mittelsenkrechte auf ABUm A und B
Kreisbögen mit r (r= größer als AB/2) schlagen. CD ist
Mittelsenkrechte und halbiert AB.
A B
C
D
Senkrechte im Punkt BUm B, C und D Kreisbögen mit r schlagen.
Die Verlängerung von CD über D hinaus schneidet den Kreis umd D in
E. BE ist in B senkrecht auf AB.
Goldener SchnittSenkrechte in B zeichnen und AB/2 abtragen. C
und A verbinden. Kreisbogen um C mit Radi-us BC schneidet AC in D.
Kreisbogen um A mit Radius AD schneidet AB in E. Es verhält sich a
: b = b : c . Der Goldene Schnitt a : b etwa 1000 : 618 = 1 :
0,618
Lot auf Gerade BCUm A, B und C Kreisbögen mit r schlagen. AD ist
senkrecht auf BC.
D E
D
B C
A
D
A B
E
D
C
Strecke AB teilenAC unter beliebigem Winkel zu AB.AC (z.B. in
drei gleich lange Teilstrecken) teilen. C mit B verbinden und
Parallelen zu BC durch D und E ziehen.
Parallele zu AB durch CUm D ( auf AB beliebiger Punkt ), C und E
Kreis-bögen mit Radius CD schlagen. C mit F verbin-den. Die Gerade
durch CD und F ist parallel zu AB.
C F
A D E B
A E B
D
C
A C B B A C
Winkel
Halbieren eines WinkelsUm A, B und C Kreisbögen mit r schlagen.
AD halbiert den Winkel CAB.
C
D
A B
-
Seite 63
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
P
Winkel von 30 Grad und 60 Grad konstruierenUm A, B und C
Kreisbögen mit gleichem Radius schlagen. AC ist Schenkel zu Winkel
CAB, AD ist Schenkel zu Winkel DAB.
A B
C D
Winkel ohne Scheitel halbierenParallele zu g 1 schneidet g 2 in
S. Um S Kreis-bogen mit r schlagen. A mit B verbinden und bis C
verlängern. Mittelsenkrechte auf AC ist die Winkelhalbierende.
g 2
g �
S
A
B
C
Rechten Winkel drittelnUm A, B und C gleichgroße Kreisbögen
schla-gen. AD und AE dritteln den rechten Winkel
A B
D
E
C
Winkel übertragenUm A und D Kreisbögen mit r schlagen.
Schen-kelneigung BC abgreifen und Kreisbogen mit Radius BC um E
schlagen. DF entspricht AC.
A B D E
C F
Kreise
Kreismittelpunkt Zwei nichtparallele Kreissehnen zeichnen. Die
Mittelsenkrechten dieser schneiden sich im Kreismittelpunkt.
Tangente in einem Punkt des KreisesPunkt P mit M verbinden. Auf
MP in P Senkrech-te zeichnen = Tangente.
Tangente an Kreis von einem Punkt ausP mit M verbinden und über
MP Thaleskreis zeichnen. Verbindung AP = Tangente an Kreis von P
aus.
MM
M
P
A
Geometrische Grundkonstruktionen
Umkreis eines DreiecksDer Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
zweier Dreiecksseiten = M.
M
-
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
Innkreis eines DreiecksDer Schnittpunkt der Winkelhalbierenden =
M
Abwicklung des KreisumfangesAuf Waagrechte durch M Durchmesser d
abtra-gen. Um A Kreisbogen mit d/2. Die Verbindung CB verlängern
auf Senkrechte über D = E. DE entspricht 1/12 des
Kreisumfanges.
M
A
M
C
BE
D M C
Regelmäßige Vielecke
Gleichseitiges DreieckKreisbogen mit r um D.
4 - 8 - ... EckPunkte A, B, C, D zu einem Quadrat verbin-den.
Die Teilung der Quadratseiten ergibt das 8 - Eck...
5 - 10 - ... EckMC halbieren und von E mit Radius EB Punkt F
darstellen. BF entspricht der Länge der Fünfeckseite.
EF
BA
B
C
D
D
M
6 - 12 - ... EckRadius r von A aus auf Kreis abtragen. Radius r
von B aus auf Kreis abtragen
B
A
7 EckUm A Kreisbogen mit r. BC/2 = 1/7 des Kreisumfanges.
B
A
A
B
CD
9 EckUm A und B mit d C und D darstellen. AB in neun Teile
teilen. Von C und D aus durch die gerad-zahligen Teilpunkte 2, 4,
6, und 8 auf den Kreis verbinden ergibt die Kreisteilpunkte.
D
Geometrische Grundkonstruktionen
-
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
11 EckAB in �� Teile teilen. Über A und über C hinaus verlängern
um 1/11 Teil der Strecke AB. Die Ver-bindung EF ergibt den
Schnittpunkt G mit dem Kreis. Die Verbindung GD entspricht 1/11 des
Kreises. D ist der 3. Teilpunkt.
E
G
F
C
A D M B
Geometrische Grundkonstruktionen
-
Seite 66
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Index Teil I
A
Abwicklung 46
Abwicklung durch Grundrißklappung 47
Abwicklung einer Pyramide über die Spitze 49Abwicklung mit Hilfe
der Höhenzuordnung 46Abwicklung mit Hilfe des Querschnittes 48
Abwicklung des Kreisumfanges 85Affinität 35Aufrißaxonometrie 8,
56Aufrißdrehung 18Augpunkt 67, 76Axonometrien 8, 50
B
Beliebige Gerade 16Besondere Geraden 19Bildebene 67,
76Bildtafeln 13
D
dimetrische Axonometrie 58dimetrische Darstellungen 52DIN 5 8,
58Distanzpunkte 81Durchdringungen 39
Höhenebenenverfahren 40Mantelebenenverfahren
41Parallelebenenverfahren 42Pendelebenenverfahren 43, 44, 45
Durchstoßpunkt 28Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch
eine 28Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch zwei
29Körperschnitt mit Hilfe der Durchstoßpunkte 37
E
Ebene 22Abstand eines Punktes von einer Ebene 26Besondere
Geraden einer Ebene 23
Fallinien 23Frontlinie 23Höhenlinie 23
Drei - Punkte - Ebene 25Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden
durch eine 28Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch zwei
29Pendelebenenverfahren 29Punkt und Ebene 24Punkt und Gerade
spannen eine Ebene auf 30Wahre Größe einer Ebene 33
Konstruktion mit hilfsprojizierender Ebene
34Konstruktion mit Stützdreieck 33
Wahre Größe und Neigung des Abstandes von einer Eb 27Wahrer
Winkel zwischen zwei Ebenen 32
Ebenenarten 88Einschneideverfahren 52
F
Fallinie 23Frontlinie 19, 23
G
Gerade 16Aufrißdrehung oder Mongsche Drehung 18Beliebige Gerade
16Besondere Geraden 19
Frontlinie 19
Hauptlinie 19Höhenlinie 19projizierende Gerade 19
Wahrer Winkel und wahre Länge 17Zwei beliebige Geraden 20Zwei
sich schneidende Geraden 21
Gleichseitiges Dreieck 85Goldener Schnitt 83Grundrißaxonometrie
8, 54
H
Hauptlinie 19Hauptpunkt 67Hauptsehstrahl 67Höhenebenenverfahren
40Höhenlinie 23Höhenübertragung 74Horizont 67Horizontebene 67
I
Ingineurprojektion 8Inhaltsverzeichnis 2Innkreis eines Dreiecks
85Isometrie 60isometrische Darstellungen 52
K
Koinzidenzebene �5Kollineation 36Koordinatenachsen 5�Körper
37
Abwicklung durch Grundrißklappung 47Abwicklung einer Pyramide
über die Spitze 49Abwicklung mit Hilfe der Höhenzuordnung
46Abwicklung mit Hilfe des Querschnittes 48Arten von
Durchdringungen 39Durchdringung und Höhenebenenverfahren
40Durchdringung und Mantelebenenverfahren 41Durchdringung und
Parallelebenenverfahren 42Durchdringung und Pendelebenenverfahren
43, 44, 45Körperschnitt mit Hilfe der 3. Projektion 38Körperschnitt
mit Hilfe der Durchstoßpunkte 37
kotierte Projektion 8, 11Kreise 84
L
Linienarten 88Literaturliste 87Lot 83
M
Mantelebenenverfahrens 41Mittelsenkrechte 83Mongsche Drehung
18
N
Normalebene 32
P
Parallele 83Parallelprojektion 9Pendelebenenverfahren
29Perspektive 64
Begriffe 67Die Höhenübertragung 74Die perspektive Anlage 75
Bildebene und Augpunkt 76Grundrißanlage
75Horizont und Spur 78Objektgrundriß und Augpunkt
79Skalierung 76Spur und Bildebene 77
Elemente der Perspektive 70Darstellung einer Geraden
71Darstellung einer im Grundriß beliebigen Geraden
72Darstellung einer im Raum beliebigen Geraden
73Darstellung eines Punktes 70
Klappung 69Konstruktionsverfahren 80
Perspektive aus dem Grundriß 80Perspektive aus zwei Rissen
80Übereckperspektive mit Meßpunkten
82Zentralperspektive mit Distanzpunkten 81
Perspektive bei geneigter Bildebene 66Übereckperspektive
66Verzerrung 68Zentrale Projektionen 65Zentralperspektive 66
Projektionsstrahlen 9projizierende Ebene 18projizierende Gerade
19Punkt 13
in der Symmetrie- und in der Koinzidenzebene �5Lage im Raum
14Umklappung der Bildtafeln 13
R
Rampenfluchtpunkt 73Rechten Winkel dritteln 84Regelmäßige
Vielecke 85
S
Schräge Projektionen 50Senkrechte 83Senkrechte Axonometrie
62senkrechte Projektionen 8
Senkrechte Projektionen allgemein 10Spur 67, 77Spurgeraden
14Standebene 67Strecken 83Symbole 88Symmetrieebene �5
T
Tangente 84Tiefenlinie 71trimetrische Axonometrie 52trimetrische
Darstellungen 52
U
Übereckperspektive 8, 66Umkreis eines Dreiecks 84
V
Verkürzungsverhältnisse 51Verschschwindungsgerade 69Vielecke
85
W
Winkel 83Winkel ohne Scheitel halbieren 84Winkel von 30 Grad und
60 Grad konstruieren 84
Z
Zeichenebene 69Zentrale Projektionen 8, 64Zentralperspektive 8,
66Zentralprojektion 9ZIG - ZAG 53
Zweitafelprojektion 12
-
Seite 67
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Geometrie und Architekturperspektive. Teil II
A
Ausbreitungsrichtung der Geraden 48
B
Brennpunkte 7
D
Diffuse Beleuchtung 27
E
Ellipse 3, 4, 5, 7, 14Endpunkt der Geraden 48
F
Faden - oder Gärtnerkonstruktion 12Fluchtgerade der Ebene
48Fußpunkt der Lichtquelle 48Fußpunkt Lichtquelle 58
G
Gegenlicht 28, 49Geradenrichtung 53
H
Hauptachse der Ellipse 7
Höhenabweichung 48, 50Hüllzylinder 17Hyperbel 3
K
Kegel 4, 5, 6Konjugierte Durchmesser der Ellipse
8Korbbogenkonstruktion 10Kugel 17Kugel in der Perspektive 18Kugel
mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse 20Kugel mit Hilfe von
Schnittebenen 19
L
Lichtart 50Lichtdiagramm 28Lichtdreieck 28Lichtebene
48Literaturliste s.Skript �.Semester
M
Mehrfach - Zentralbeleuchtung 27
N
Nebenachse der Ellipse 7Neigungswinkel 3
P
Papierstreifenkonstruktion ��Parabel 3, 6, 16Parallelbeleuchtung
27
R
Rampenfluchtpunkt 52Rückenlicht 28, 49, 56Rytzsche Konstruktion
8, 9
S
Schattenauffangebene 48Schattenbild 34Schattenbild einer
beliebigen Geraden 35Schattenbild einer Fläche 37Schattenbild einer
Geraden 33, 34, 35Schattenbild einer Geraden auf 36Schattenbild
einer Kugel 42Schattenbild eines Punktes 30, 31, 32Schattenbild
eines Würfels 38, 39, 40, 41Schattenlänge
48Scheitelkrümmungskreiskonstruktion ��Seitenlicht 28, 49,
54seitliche Abweichung 48, 50Spiegelpunkt 22Spiegelspur
23Spiegelung 22
T
Tangente an den Punkt 7Tangentenkonstruktion 10technischer
Lichtstrahl 28
W
Winkel der einfallenden Lichtstrahlen zum Grundriß
50Winkeldrehung der Grundrißrichtung des Lichtes zum 50
Z
Zentralbeleuchtung 27
Zig - Zag von Gerrit Rietveld 44
Index Teil II
-
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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Symbole
PunktePunkt im Grundriß
Punkt im AufrißPunkt im Seitenriß
Schnittpunkt, Durchstoßpunkt, SpurpunktMittelpunkt
Brennpunkt. FluchtpunktAugpunkt
GeradenStrecken
kartesische KoordinatenSpurgeradenHöhenlinien
FrontlinienFallinien
EbenenGrundriß
Aufriß Seitenriß
Polygone
LängeHöhe
RadiusParallele
Winkel90 Grad - Winkel
LinienartenKörperkanten sichtbar Körperkanten sichtbar
Körperkanten unsichtbarKörperkanten unsichtbar
KonstruktionslinienKonstruktionslinien
Ergebnislinien sichtbarErgebnislinien unsichtbar
Ebenenartenherausgehobene Ebene
Schlagschattenebene Körperschattenebene
P �, P 2, P 3, ... A, B, C, ...P ‚P ‚‘P ‚‘‘SMF0.0
g �, g 2, g 3 ...AB, AC, BC ...x, y, zs �, s 2, s 3 ...h �, h 2,
h 3 ...v �, v 2, v 3 ...f �, f 2, f 3 ...
E �, E 2, E 3 ...π�π 2π 3
ABC, ABCD ...
lh
r||
α,β,γ
schwarz. voll 0,25schwarz. voll 0,15schwarz. gepunktet
0,35schwarz. gepunktet 0,25grün. voll 0,15grün. gepunktet 0,25rot.
voll 0.15rot. gepunktet 0.25
schraffiert. schwarzgefüllt. rotgefüllt. grün
-
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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende
Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Literaturliste
Anschauliche GeometrieHilbert. Cohn VossenSpringer Verlag 2.
Auflage 1996
ARCH + 137Anfänge moderner RaumkonzeptionJuni 1997
BaugeometrieDarstellende Geometrie als Zeichen- und
Kon-struktionshilfe für Architekten und Bauingenieure I,IIBrauner,
Heinrich, Kickinger, WalterWiesbaden, Berlin 1977
Darstellende GeometrieHochschulwissen in
EinzeldarstellungenGraf, BarnerHeidelberg 1973
Darstellende Geometrie Klix. NickelVEB Fachbuchverlag Leipzig
1990
Darstellende GeometrieFucke, Kirch, NickelVerlag Harri Deutsch,
Frankfurt 1989
Darstellende Geometrie für konstruierende BerufeMeyer. Heisig.
Weber. HohmannSchroedel.Gehlen Verlag 1975
Darstellende GeometrieW.Noli. Teil 1.2 und 3. Selbstverlag.
Gießen 1985
Darstellende GeometrieTeil 1 und 2. Pumann. Pumann Verlag.
Coburg
Darstellende GeometrieWalter Wunderlich. Verlag Bibliografisches
Insti-tut. Mannheim. 1984
Darstellende GeometrieBand 1 und 2. Fritz Reutter. Verlag G.
Braun. Karlsruhe. 1988
Darstellende Geometrie Prof. Arno Bonanni.Skriptum des
Fachgebietes für Architekturdar-stellung und -gestaltung der TU
Berlin. Berlin. 1985
Darstellende Geometrie W.Noli. Selbstverlag. Gießen. 1989
Darstellende Geometrie für konstruierende BerufeMeyer. Heisig.
Weber. HohmannSchroedel.Gehlen Verlag 1975
Entwerfen und Darstellen Die Zeichnung als Mittel des
architektonischen Entwurfs Roland KnauerErnst und Sohn-Verlag.
1991
Faszination des Scheins 500 Jahre Geschichte der Perspektive.
Otto PatzeltVerlag für Bauwesen GmbH. Berlin 1991
Geometrische Grundlagen der Architektur-
darstellungCornelie LeopoldKohlhammer. Architektur 1999
Geometrie der Architekturzeichnung Einführung in Axonometrie und
Perspektive. T. Hilpert Vieweg Verlag Braunschweig 1988
Grundlehre Geometrie Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen.
Kürpig. Niewiadomski Vieweg Verlag Braunschweig 1992
Grundlagen der DarstellungPerspektive und perspektives Zeichnen.
2 Bände. Vorlesungsskript der TU München. Prof. Wienands
Lehre der Perspektive und ihre AnwendungR.Schmidt. Augustus
Verlag. Augsburg 1991
Perspektiven. ProjektionenGrundlagen - Anwendungsbeispiele -
ÜbungenAndreas Wieser. Werner Verlag 97
PerspektiveSchritt für Schritt. R.Schmidt, Bauverlag 1988
Perspektive und Axonometrie R.Thomae, Kohlhammer 1976
Perspektive MPZ - München 1989
Zeichnen und Darstellende GeometrieK. HenkeUniversität
Stuttgart. Institut für Entwerfen und Konstruieren.
Vorlesungsskript. 1994
Zirkel und LinealKulturgeschichte des konstruktiven Zeichnens.
Jörg Sellenriek Callwey. München 1987