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数学文化 第9卷第1期 201892
动机为塑以数,弄数以塑,此吾之乐也!石
者,万世如斯 ;数者,亘古不灭。雕数于塑
之上,方得永恒。
我曾经觉得,要让生活有条不紊,还是
得把科学和艺术分得越开越好。我怕有人说
我在两方面都不够用心,而这样做才免得暴
露我这条把两者纠缠的灵魂。划清科学和
艺术的界线是我们这代人的教条之一。“鱼
和熊掌不可兼得!”父母们总是好言相劝,
“如果你刚好有点儿科学上的天赋并能从业
于此,那就再好不过——艺术家可混不到饭
吃。”
不过当下既是科学的黄金时代,也是艺
术的豆蔻年华。从业的选择更加丰富。现在,
我终于有机会同时从事科学和艺术,并将两
者结合起来。对此,我心怀感激 1。
数学家有他们自己的审美观,这种对于
“妙”与“美”的独特感受是难以言说的 2。
我的设计灵感总是来源于一些深刻的数学概
念。我的雕塑则在于表达出生活中常见的基
本形体和一些抽象数学概念的深刻联系。
人是一个环面。这就使我们的身体和抽
象的拓扑学有了关联。比如,拿商空间作为
抽象概念,环面就是一个简单的例子。我们
还可以考虑“握手”这个生活中的基本动作,
人们握手时手的空间位置对应的就是一个有
三个洞的环面——这个例子稍微困难一些。
在我的作品里头,几何学、拓扑学和人文学
科相得益彰,并能以各种形式表达在纸上、
电脑上、黏土、青铜或是石头里。
我设计的雕塑,你必须得摸。艺术博物
馆的工作人员总是警告我们“只能看,不能
摸”。而我的雕塑却需要被触摸、被把握,
你要用你的手指触摸、甚至用你的腿脚从它
中间爬过,最后用你的大脑三思,目的才算
达到。
普通的模型,我是不做的。但我有自己
的方式化无形为有形。我的每一具雕塑背后
都藏着一系列漂亮的数学定理。我对数学之
热爱难以诉诸言语,但可以凝聚在雕塑之中。
我渴望我们的艺术和科学中的美丽奇观能够
在一个更广阔的世界中存在 3。
青铜中的数学定理
失蜡铸青铜
和许多雕塑家一样,一开始我从青铜做
起。这个过程有很多复杂的步骤,比如从正
的原型,到负的铸模,到正的蜡模、负的陶
瓷,再到正的青铜。紧接着,还有镂刻、铜
天工数形
Helaman Ferguson, Claire Ferguson/ 文 崔继峰 林家声 / 译
1 Katherine Ungar, Helaman Ferguson: Carving
his own unique niche, in symbols and stone, Science 314 (2006), no. 373, 412–413.2 James A. Cannon, Mathematics in marble and bronze: The sculpture of Helaman Rolfe Pratt Ferguson, The Mathematical Intelligencer 13 (1991), no. 2, 30–39.3 C l a i r e F e r g u s o n , H e l a m a n F e r g u s o n : Mathematics in Stone and Bronze, Meridian Creative Group, Erie, Pennsylvania, 1994.
4 Sculptor Helaman Ferguson, Clay Mathemat- ics Institute Award, Clay Mathematics Institute, Cambridge, Massachusetts, 1998–present.5 Sculptor Helaman Ferguson, David and Bessie B o r w e i n Aw a r d , C M S / S M C C a r e e r Aw a r d . Canadian Mathematical Society, 2004 to present.6 Scu lp to r He laman Ferguson , AMS Pub l i c Service Award, American Mathematical Society, 2009 to present.7 Sculptor Helaman Ferguson, Gauss Society Donor Award, Mathematical Sciences Research Institute Gauss Society, 2009 to present.8 Sculptor Helaman Ferguson, Stephen Anson Coons Award, career award. ACM/SIGGRAPH, biennial, 1999–present.
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在所有齐次二元二次型(2 个变量,3 个系数)
上,就得到了我们熟悉的椭圆、双曲线和抛
物线的二次曲线分类。这群还能作用在齐次
二元三次型上(2 个变量,4 个系数),就能
给出椭圆脐型、双曲脐型、抛物脐型和纯三
次型的分类 9。
我曾想以一定的数值精确度雕出径向截
面为(有三个尖的圆内摆线)、轴向截面是
心脏线的 1/3 扭曲环面,还想在表面上表示
出一个填满平面的皮亚诺—希尔伯特曲线。
三轴铣床采用硬质球头铣刀对材料进行切
割,铣刀的所有点对点移动都编写在一卷纸
带中并由其控制。制定刀具的路径时,我发
现用充满平面的曲线来作路径能做到既高效
又美观。刀具的所有偏移和运动都必须预先
编制好。在那会儿,用来控制铣床的 G- 码数据用掉的纸带都够塞满整个车间了!幸
好,实验室人员后来找了硬盘来控制铣床,
替代了纸条子。
在图 3 中我们可以看到三维空间中的刀
具路径曲线,坚硬的铣刀就沿着这条轨迹移
动。这一步机械雕刻只能做出最原始的、不
成形的一坨高密度塑料泡沫。然而要做出这
一原始的“数控脐环”模型,就得用到应用
数学、计算机和工程等不少专业知识。在这
许多繁复的正负形交替的失蜡铸造步骤之
后,我终于用古老的佛得青铜完成了这具“数
控脐环”。
在不少的微积分课本的封面上都能见到
脐环或是其它类似形状的身影。我遇到的许
多学生都和我说,他们都曾看这些封面图和
介绍看得出神。一位年轻的小姐姐还和我说,
由于她的微积分老师太无趣,她就一直看着
这脐环的图像和描述来打发课内时光。
岩石中的数学定理于雕石之上
石头是我最爱用的材料之一。也许是因
为我从小是由一位石匠带大的吧——他在一
块极其普通的野外的石头中也能发现美。我
的审美标准包括地质年代、起源以及减法。
我们是先学习加法再学习减法。减法比较难,
不是吗?
按照传统,做雕塑的过程不是加法就是
减法。加法比较受欢迎 :先把黏土做成想要
的形状,再把它粘到一个支架上 ;或者把几
块金属焊在一起。这些是对不同模块的操
作。大部分美术学院并不会通过雕石头来教
减法。这种从一整块石头开始、慢慢去掉不
想要的部分而留下所须部分的雕刻方法已经
老掉牙了。这方法不仅难做,更难教。但对
我来说,正是减法才比加法来得更有趣,特
别是当我自己就这么做的时候。
数学家最引人注目的一点就是他们喜欢
把事情都让自己做一遍。不能自己创造定理
来证明,就要无视已有的证法、把别人的定
理让自己证明一遍。雕塑家则与此相反。如
今,要做一个石雕艺术品就像大张旗鼓地录
制一张摇滚音乐专辑 ;足够有钱的雕塑家就
可以把刻石头的工作交给别人,即所谓的“外
包”。我所要关心的,即是“究竟要雕什么
图 3
9 Helaman R. P. Ferguson, Two theorems, two sculptures, two posters, American Mathematical Monthly 97 (1990), no. 7, 589–610.
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东西”这个问题。我如何来分包 C ∞ 函数?
负高斯曲率呢?更重要的是,我做了这件事
之后又学到了什么?
但并不是说,我们既然生活在这个有求
必应的好时代就要把工作都外包出去。我随
便去一个地方都完全可以在当地找一个五金
店,拿它的库存自己组建一个像模像样的石
雕工作室,甚至还能配备各种钻石锯。要是
我在四十年前想建一个这样的工作室,那所
有这一切都压根不可能——这得归功于近几
年来钻石切割技术的迅猛发展 10。随着人造
合成金刚石的生产,现在到处都可以找到加
工得棱角分明、表面光亮的石头。在不久之前,
加工这些石头的开销还高得令人望而却步呢。
通常我的雕塑会被放到各学院和大学当
中。这样的话,学校的教工、学生、职员还有
他们的家人及其世世代代就都能看到我的作品
了。我的作品大概会颠覆他们的种种成见,告
诉他们,数学的创造和艺术的创造何以共有这
种独特的、启迪灵魂并发人深省的生命力。
一块存在了几百万年的石头,再过个几
千年,它也还会在那里。尤其是经过我的雕
刻,它对军事和工业就毫无用处了,就更不
会有人去损坏它。我所用来做雕塑的石头本
身也就没什么价值,而且从功利角度来讲,
这石头经过我的雕刻反而变得更加一无是
处。艺人之意不在用,在乎藏之久也!
要是几千年以后,有人把我的雕塑从土
里挖了出来,他也一定能猜出此中蕴藏的深
意,并继续为数学欢呼喝彩。我的雕塑还
得够大、够坚固,才能让这些漂亮的数学定理
图 4
图 5
1 0 H o w a r d Tr a c y H a l l , U l t r a h i g h p r e s s u r e research: Tetrahedral anvil press, Science 128 (1958), 445–449.
图 6
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在课本和教室之外也找到一席之地,并能超
脱于当下而“存在”。比如 11, 12, 13, 14, 15, 16。
接下来我们就用数学来谈谈雕塑中的减
法,并把它用到石头上面。然后,以我的两
件石雕作品作为例子总结全文。
减法
欧几里得算法是历史上最古老的数学算
法之一。其对于整数对的算法记录在《原
本》第七卷中,对于实数对的算法则写在第
十一卷。欧氏将这一方法称为“辗转相除法”。
1977 年诺德尼 • 福卡德(Rodney Forcade)和
我发现并证明了,欧氏算法之于 n 元有序实
数组、复数组甚至四元数组都有不可数无穷
多种推广 17。这些算法都是辗转相除法,现
11 Sculptor Helaman Ferguson, Eightfold Way, volume Carrara White Marble and Albemarle Virginia Serpentine, Mathematical Sciences Research Institute, 17 Centennial Way, Berkeley, California, 1993.12 Sculptor Helaman Ferguson, Four Canoes: Two Linking Klein Bottles, volume 12 tons with plaza, billion-year-old Texas red granite, half-billion-year-old Academy Black California quartz diorite. University of St. Thomas, Sabo Square, University of St. Thomas, corner of Cretin and Summit Avenues, St. Paul, Minnesota, 1995.13 Sculptor Helaman Ferguson, Fibonacci Fountain: Essential Singularity II, volume 42 tons of red and beige Texas billion-year-old granite, concrete, and steel. Dean Morehouse, Lake Fibonacci, Maryland Science and Technology Center, Bowie, Maryland, 2000.14 Sculptor Helaman Ferguson, Invisible Hand- shake I, volume 9' × 5' × 6', negative Gaussian curvature carving; base is 10’ diameter hyperbolic disk tiled by right-angled pentagons forming a checkerboard in two colors of granite. Merck Pharmaceutical, Upper Gwynedd, Pennsylvania, 2002.15 Sculptor Helaman Ferguson, SYZYGY: Venus and Mars redux, volume billion-year-old Texas red and beige granite, articulated Poincaré discs with Mayanmars and Venus pyramids. Hamilton College, in front of the Science Center, Hamilton College Campus, Clinton, New York, 2006.16 Sculptor Helaman Ferguson, Invisible Hand- shake II, volume 3-ton quartz diorite, half-billion-years-old, negative Gaussian curvature, Macalester College, Olin-Rice Science Center, Macalester College, St. Paul, Minnesota, 2008.17 Helaman R. P. Ferguson, Analysis of PSLQ, an integer relation finding algorithm, with David H. Bailey and Steve Arno, Mathematics of Computation 68 (1999), no. 225, 351–369.18 David H. Bailey, Integral relation detection, Communications in Science and Engineering, Top 10 Algorithms of the Century: 24–28, January/February 2000.19 Simon Plouffe, David H. Bailey, and Peter B. Borwein, On the rapid computation of various polylogarithmic constants, Mathematics of Computation 66 (1997), no. 218, 903–913.
在被称为 PSLQ 算法。首先取一列有序实数
列 x ∈ ! n,并构造一有序整数列 m∈! n,
使得所取的实数以这些整数为系数线性相
关,即 x ∙ m = 0,如果这样的整数m存在的话。
如果不存在这样的线性相关性,则 PSLQ 至
少可以给出这种相关性大小的下界。PSLQ算法发现一 n 维线性关系所用的时间,是
维数 n 以及其系数组之欧氏范数之对数的
多项式函数 ;在我看来,我的算法即是用
GL(n, ! ) 中矩阵的求逆来进行的“辗转相除
法”。目前为止,这种“辗转相除法”已经
催生了不少新的发现 18。
我来举一个这类发现的例子 :PSLQ 给
出了一个新的算 π 的公式 19。这公式有一个
惊人之处,即可以直接算出 π 的小数点后任
意位置起的二进制小数,而不用算出前面的
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任何一位。
图 6 看起来就是减法 :其中黑色的区域
就是一个大的圆盘减去三个小的圆盘,从而
使得整个图形的面积是 π。图中所印的这个
被挖去一部分的圆盘是符合原来的比例的,
也就是和我用笛卡尔激光机器人切出来的丙
烯胶片有相同的比例,而后者只有千分之一
英寸长。
这个缺损的圆盘的面积 π 由一个实数域
上的向量 x = (x1, x4, x5, x6) ∈ ! 4 和一个整数
格点 m = (4, —2,—1, —1) ∈!4 的内积给出。其
中三个负的分量即表示三个被挖走的小圆盘。
在这定理中,
π = x ∙ m,
其中
x j =
116kk≥0
∑ ⋅ 18k + j
,
我们只需要 j =1, 4, 5, 6 这几个值就能表达
出 π。这些由上述呈几何级数速度收敛的和
式给出的 xj 均为实数 ;我们能以任意的精确
度算出它们的值。
发现这个算 π 的新公式 19,在于对向量
y=(—π, x1,x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) ∈! 9
使用 PSLQ 算法。假设 y⊥的一组基由一个
秩为 8 的 9 阶矩阵 H 给出,即 yH = 0。接着,
PSLQ 算法就将这组 y, H 作为足够长的十进
位字符串来进行迭代。每次迭代都会产生一
个整数矩阵 A ∈ GL(9, ! ),使得 A-1H 越变
越小。在这过程中 yA 也会越变越小,而最
重要的是,yA 的某个坐标可能会变为 0,这
就 A 的一个列向量给出 y 的坐标间一个线性
关系。
就这个例子来说,我们取 y 和 H 的 32位十进制数值,在 50 次迭代之后,PSLQ算法就给出了 GL(9, ! ) 中的矩阵
率和最小曲率,叫主曲率,分别记作κmax (x, y, z) 和κmin (x, y, z)。这两个曲率之积
κ = κ (x, y, z)= κmax (x, y, z) ∙ κmin (x, y, z)
称为在点 (x, y, z) 的高斯曲率。高斯证明了,
这个乘积曲率是曲面 S 的一个内蕴不变量。
也就是说,曲面 S 经过等度变换,高斯曲率
是不变的。
如果对于 S 上的每一点 (x , y , z),两
个主曲率都满足绝对值相等、符号相反,
那么 S 就叫做极小曲面,即
κmax = —κmin , κ =—κmax2
.
图 13 弗格森和《无形的握手》
图 14
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极小曲面的魏尔斯特拉斯参数表示 23 由下
列映射的实部或虚部决定 :
z! f (w) 1− g(w)2 , −1(1+ g(w)2 ),2g(w)( )z0
z
∫ dw,
其中 f 和 g 是 w 的亚纯函数,z 和 z0 则在复
平面的适当区域内。
这些魏尔斯特拉斯参数表示提供了不
可数无穷多种将极小曲面浸入三维(欧氏)
空间的方式。也就是说,有不可数无穷多
个“潜在”的雕塑。我该拿它们怎么办呢?
至少,我可以用立体像对计算机来模拟它
们,然后选几个我最喜欢的。在当下,有了 Mathematica 这样的软件,要从几个积分算
出图像来已经不是难事了。
从雕塑的角度看,高斯曲率于我意味着
什么呢?对坚硬的实体雕塑来说,关键不在
于两个主曲率之间的等式,而在于高斯曲率
所要满足的一个不等式,也就是说它必须是
负的,
κ (x, y, z) < 0。
这个性质对我的雕塑有着深远的意义 :
在负高斯曲率的曲面上,每一点都有一个鞍
形邻域。用石头的话来说,这就意味着从局
部看,每一点都是一组拱的楔石,经过每一
点的经线和纬线都弯向相反的方向。这样的
石雕,其结构就应该非常坚固,事实确实如
此。翻译成解剖学的语言,这就能让我们认
出许多皮肤表面上的鞍形。比如,在两个人
握手时,就是将两人大拇指和手掌之间的这
块有负高斯曲率的部分拼到了一起。
对我来说,通过科斯塔嵌入的雕塑和! 3中
三个洞的环面的魏尔斯特拉斯浸入的雕塑,
负高斯曲率的那些推论就变得触手可及了。
我把它和椭圆曲线 y2 = x3 + ax + b 还有开
普勒定律(木星和太阳握手)联系在了一起。
在早些时候,我的负高斯曲率的雕塑都
是在虚拟图像投影的帮助下,用白理石来完
成的。这些高科技里头都是些有关斯图尔特
平台和电缆计量学的理论。这儿又用到了“减
法”这个老概念 :把不需要的地方镂掉。新
科技能帮我把参数方程的图像以虚像的形式
投影到石头的里面。最重要的是,在这些科
技的帮助下,我还学到了许多新的具有负高
斯曲率的形状,并能直接把它们雕刻出来 3。
数学就是我的隐形模具。
雕刻石英闪长岩
《无形的握手》所采用的石英闪长岩比
一般采石场开采的都要大得多。把它直立起
来,高九英尺,宽六英尺,厚五英尺。我这
块石头首先是从南非被海运到新奥尔良港
口,接着搭乘驳船沿密西西比河北上到明尼
苏达州,最后由货车运到我的工作室。这块
石头重 24 吨,用一辆半拖车来运的话,刚
好是高速所允许的最大载重量不到一点儿。
图 15
图 16
23 Alfred Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Sur faces wi th Mathemat ica , xxiv+1053 pages. CRC Press, Boca Raton, second edition; 1998. 第 22 章第 2 节论述了高斯的绝妙定理(拉丁语 Theorema Egregium);第 32 章735-760 页论述了通过魏尔斯特拉斯表示的最小曲面问题(此节第一版未包括)。
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我又用了一辆 70 吨的起重机把它卸下来放
进了我的工作室,然后我就可以用我的钻石
刀把它加工了。
我在上面挖了第一个洞之后,它的拓扑
性质就永远地改变了,即从单连通变成了一
个环。我把脚手架卸了又搭,最后又把它从
一个洞的环变成了三个洞的环。
即便有全新的钻石切割技术的帮忙,我
也没有说这样的雕刻就变得简单了。我的钻
石链锯只是所用到的各种形形色色的工具中
的一种。
从图 15 你可以看到,用来驱动锯齿的
十六马力的马达是由一台水力泵推动的,压
力为 2500 磅每平方英寸的液体在连接着马
达的胶水管里循环。一旁,又有高压水枪来
不断冲走锯链上的碎石并冷却金刚石的锯
齿。花岗岩会把钢铁磨损,让金刚石暴露
在外,这就会给切割带来不便。暴露在空气
中时,金刚石只要微小的热量就会燃烧——
因为金刚石不是别的,而只是碳罢了——所
以得不断用水来冷却它们。有了高压循环的
液体和水,我就可以一口气切到花岗岩里头
十八英寸深的地方。要做出图 16 中供孩子
们玩耍的六条隧道,我就需要这样的工具。
这些孩子们正手脚并用地学习负高斯曲率的
概念呢。
背景和底面
我把我的《无形的握手 I》放在一个直
径十英尺的花岗岩圆盘上,上面铺满了双
曲五边形的瓷砖。雕塑的底面(着地部分)
恰好是中央的 212英尺半径的直角正五边形。
我用电脑制作了一张由庞加莱双曲圆盘
上的直角五边形组成的双曲棋盘图片,每个
五边形上都有一个被拉紧的、移动的数字
“5”的图样。这是我对威廉姆斯(William Carlos Williams)的诗作《图样“5”》及其
好友德姆斯(Charles Demuth)有关画作的
回应。
在图 17 的右边,我把这些直角的双曲
五边形织成了一张“塑像毛毯”,图案是具
有全等五边形镶嵌的棋盘,还是一张有负高
斯曲率的棋盘。这条毯子恰好适合一个人身
体的形状,但恰如同身体的形状,它仅仅局
部可展,而整体不可展。
《无形的握手》完成后,总重 712吨,其底
面是我细细雕镂出来的五边形。这五边形恰好
和那个直径十英尺的庞加莱圆盘用两种颜色的
双曲五边形瓷砖铺完后的中间那块重合。
左边的图 18 中是一小块展示了这种底
面情况的黄铜雕塑。
这座雕塑底部恰好适合共形庞加莱圆盘
图 17
图 18
图 19
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数学文化 第9卷第1期 2018104
中间的这块瓷砖。这些顶点与顶点相接的
五边形所围成的封闭的“项链”中,五边
形的个数按照斐波那契数列中各数的五倍
递增 24。
我们无意中发现了图 19 中的这口 9 吨
重的“钟”。
好大一口“钟”!
镂着镂着,我把一块二十四吨的石头镂
到了九吨。为了用一个水力的切割模板(图
18 的右边)刻出这个直角五边形的底部,
我得将石头侧过来放。仅仅为做到这一点,
我就动用了一台六十吨的起重机,并聘请
了一位起重机驾驶员和一位装配工。要完成
这个高难度的翻转动作,一切都得准备就
绪。这个九吨重的石雕被横着悬在了离地
四英尺的高空中。就在我改装木制脚手架
时,忽然,我听见了“咔擦”一声。这座雕
塑下滑了一英寸。然而,这点摩擦产生的
热量就足以熔化六英寸宽的尼龙吊带——
这九吨的重量就这样砸在了地上!它的一
个角把水泥的地面砸出了直径六英寸的洞。
这声音就像敲了一口大钟!不过,令我没
想到的是,这次事故居然没有在这块硕大
的石头上留下丝毫痕迹。我以为有这么大
的一个力,这石头一定会撞裂呢。
后来我了解到,声音在这块石英闪长岩
当中的传播速度要比在钢铁中更快,即便
钢铁的密度比这石头大得多。在一个有负
高斯曲率的形状的任何一处都有一个局部
的鞍形(双拱)。直立的拱,相对重力来说,
它是非常坚固的。又由于一个负高斯曲率的
形状就像一张由拱组成的网,不管把它怎
么放,每一点都是一个有双拱的楔石,所
以即便经过雕镂之后石头变得更“空而不
实”,它依然有相当大的强度。显然,撞击
产生的冲力瞬间就被均匀地分散到了整个
雕塑上面。
这并不应该在我的意料之外。因为我已
经雕过不少有负高斯曲率的形状,也已经注
意到它们这些类似钟面的性质了。有一次
我制作一个负高斯曲率的雪雕(不是冰雕)
时,就注意到了它惊人的强度。它在阳光
的照射下变软了,但它并没有垮塌。 负高斯曲率的曲面,特别是极小曲面,
在 ! 3中必然有无穷多种。而要制作一个雕
塑,我就得把曲面确定下来。现在,我已
不再顺着石头被开采出来时的纹路雕刻了,
而是先通过解测地线的高斯 - 克里斯托菲尔
(Gauss-Christoffel)方程来决定出 中曲面
上的波前边界。主压力波总是会沿着测地
线扩散的。
未来
目前,我的雕塑工作室位于马里兰州巴
尔第摩市的一个工业园区里。我工作室的
空间大约有 45500 立方英尺。我的“工具
箱”是个集装箱,装满各种器械的时候重
达 14000 磅。每次我坐在这儿,每当我想着
那块十三吨重的有亿万年历史的德州红花岗
图 20
2 4 S c u l p t o r H e l a m a n F e rg u s o n , F i v e - F o l d Negative Gaussian Curvature, volume two-part bronze, triply punctured torus with right-angled pentagon footprint, cuneiform-inscribed Poincaré disk. 2005.
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本文译自:
Helaman ,C la i r e Fe rguson . Ce leb ra t ing Mathematics in Stone and Bronze, Notice of the AMS, 57(7), 840-850, 2010.