В. А. Власьева Теория вероятности Конспект практических занятий Выполнил студент 712 группы Димент А. В. СПбГУКиТ 2009
В. А. Власьева Теория вероятности Конспект практических занятий Выполнил студент 712 группы Димент А. В. СПбГУКиТ 2009
2
Элементарные исходы – которые не пересекаются меж-ду собой. Все остальные исходы формируются из эле-ментарных.
► Монета подбрасывается дважды.
А = {монета выпадает одной стороной}
B = {1 – орёл, 1 - решка}
С = {хотя бы 1 раз орёл}
Найти вероятности этих событий.
Чтобы найти вероятность, найдём количество благопри-ятных и всего исходов.
Элементарные события (Е): {о, р}, {о, р}, {р, р}, {р, о}. Они не пересекаются (не происходят одновременно), и кроме них ничего произойти не может.
Р(А)=2/4=1/2
Р(В)=2/4=1/2
Р(С)=3/4 ( ) = 1
► В коробке лежат шары: 10 белых + 8 чёрных + 2 жёл-тых. Вытаскиваем шар. События:
А = { белый или чёрный }
В = { ни белый, ни чёрный }
С = { либо не белый, либо не чёрный }
Всего исходов n = 20. А: благоприятных исходов 18. р(А)=18/20=0,9.
3
В: р(В)=2/20=0,1
С: р(С)=1.
► В лифт 9-этажного дома входят 4 человека. Какова вероятность того, что все они выйдут на разных эта-жах?
Р(А)=m/n
n=8^4= — для каждого по 8 вариантов. m=8⋅7⋅6⋅5=1680= p(A)=0,41
► Солдат пишет письма трём девушкам. Адреса писал на удачу.
А = { по адресу не попадёт ни одно письмо }
В = { попадёт ровно 1 письмо по адресу }
С = { попадёт два письма по адресу }
Всего исходов n=3!=6 — всевозможные перестановки девушек.
Для А: все цифры из 123 на чужих местах. m= B: = = 3
C: m=
► В электричке 10 вагонов. Там случайно получились преступник и комиссар Рекс. Событие А: {они оказались в одном вагоне}. В: {в соседних вагонах}.
4
Для каждого из них по 10 вариантов, следовательно, n=10*10=100.
p(A)=10/100=0,1
p(B)=18/100=0,18.
Парк. Там озеро. Начинается дождь. Какова вероят-ность, что первая капля попадёт в озеро? =
S1 — площадь озеро, S — общая площадь. — геометрич. опр-е вероятности.
► Двое договорились встретиться между 12 и 13. Реши-ли, что каждый ждёт каждого 20 минут, а потом уходит. какова вероятность, что они встретятся?
0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 1
Условие встречи: | − | ≤ . Модуль, так как неизвестно, кто приходит.
x
1
1
S1
y
5
−13 ≤ − ≤ 13
− 13 ≤ ≤ + 13 = 1 ед = 1 − 2 ⋅ 12 23 = 59
= = 59
ДЗ:
► Точку бросают в круг + ≤ 1. A: {расстояние от точки до центра круга превышает 1/2}. В: точка ока-жется вне квадрата, вписанного в круг. Найти вероят-ность. =
1. = вн = = 1 − = 0.75. 2. кв = = . = √ = − кв = 1 − 4 ⋅ 1 1 = 1 − 4
► Какая сумма очков – 9 или 10 – наблюдается чаще при подбрасывании а) двух игральных костей; б) трёх игральных костей.
6
Теорема сложения и умножения. Определим, какие событие зависимые и независимые, и какие совместные и несовместные.
Теорема. Рассмотрим два события А и В. Вероятность Р (А + В) = Р (А) + P (B) – P (AB).
( + - или, ⋅ - одновременно) Для несовместных событий Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Р (АВ) = Р (А | B) ⋅ P (B) = Р (В | А) ⋅ P (А)
Для независимых событий: Р (А|B) = Р (А), Р (В|A) = Р (B).
► Буквы: СТАТИСТИКА.
Вероятность получения слово ТИСКИ?
Р (ТИСКИ) = Р (Т) ⋅ P (И|T) ⋅ P (C|ТИ) ⋅ Р (К|ТИС) ⋅ Р (И|ТИСК) = 3/10⋅2/9⋅2/8⋅1/7⋅1/6.
А можно так: = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
► В семье двое детей. По крайней мере один из них мальчик. Мы собрались в гости и выбираем подарок. Какова вероятность, что второй тоже мальчик? (М |М ) = (М ⋅М ) (М ) М = {другой мальчик}
7
М = {мальчик} Варианты: ММ, МД. (ММ) = 1 4⁄ , (М) = 3 4⁄ , (М|М) =1 3⁄ .
► Есть трёхзначные числа. Из всех наугад выбирается одно. Какова вероятность, что выбранное число будет делиться хотя бы на 4 или 6?
А = {выбранное число делится на 4}
В = {на 6}
P (А + В) = P (A) + P (B) – P (AB)
P (A) = 900/4/900 = 225/900
P (В) = 150/900
Р (AB) = 75/900
P (A+B) = (225+150-75)/900 = 1/3
► Аналогично, но В = {делится на 10}
Р (В) = 900/10/900
Р (АВ)
► Из стандартного набора домино (28 костей) берется на удачу одна. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем, если известно, что сумма очков на этой кости чётное число.
А = {дубль}
В = {четное кол-во очков}
Р (A|B) = 7/16 = 0.43
8
► Вероятность попадания в цель равна 0.3, а вероят-ность уничтожения цели при попадании 0.05. Вероят-ность уничтожения?
1/6
► Колода карт 36. Из колоды наудачу выбирают три. Какова вероятность того, что среди них не будет ни од-ной шестёрки.
4/36=1/9
3/35
2/34=1/17
Всего исходов: = = ! ! ! = 7140. = ⋅ = 1 ∗ 4960 = 49607140 = 0.69
► Посчитать, что в этих трех картах не попадётся ни одной пики.
Всего исходов: = = ! ! ! = 7140. = ⋅ = 1 ⋅ 2925 = 29257140 = 0.41
► Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка 0.7, второго 0.8. Найти вероятность того, что мишень будет пораже-на.
А: попал первый, В: попал второй. Подключаем теорему о сложении вероятностей.
9
( + ) = ( ) + ( )− ( ) = 0.94
А можно иначе. Пусть мишень не поражена: С. p1=0.7, q1=1-0.7=0.3. q2=0.2. Вероятность события С p(c)=0.3*0.2=0.06 — вероятность обратного события. ( ̅) = 1 − ( ) = 0.94
ДЗ
► Среди ста лотерейных билетов 10 выигрышных. Най-ти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
►Только один из девяти ключей подходят к данному замку. Какова вероятность того, что придётся опробо-вать пять ключей для открывания замка?
Полная вероятность? Есть событие А и группа событий , … , которые попарно независимые. — гипотезы.
( ) = 1
Вероятность события А складывается из
( ) = ( ) ( | )
► Магазин. 45% телевизоров изготовлены на первом за-воде, 15% на втором, остальные 40 на третьем. Вероят-ность того, что телевизоры не поломаются с первого за-вода 0.96, второго – 0.84, третьего – 0.9. Выбираем нау-дачу телевизор. Какова вероятность того, что он не по-ломается?
10
За событие А примем событие {телевизор не поломается}.
Определимся с гипотезами.
H1={телевизор изготовлен на первом заводе}
H2={на втором}
H3={на третьем}
Определим вероятности гипотез и условные вероятно-сти. ( ) = 0.45 ( ) = 0.15 ( ) = 0.4 ( | ) = 0.96 ( | ) = 0.84 ( | ) = 0.9
( ) = ( ) ( | ) = 0.45 ⋅ 0.96 + 0.15 ⋅ 0.84 + 0.4 ⋅ 0.9= 0.918
► Для улучшения качества связи используют два ра-диоприёмника. Вероятность приёма сигнала каждым приёмником 0,8. События независимые. Определить ве-роятность приёма сигнала, если вероятность безотказ-ной работы во время сеанса каждого приёмника 0.9.
Определим событие А и гипотезы.
А={сигнал принят}
H1=оба приёмника примут сигнал.
H2=принят первым.
11
H3=принят вторым.
H4=оба не работают.
Мы разобрали все случаи. Определим вероятности гипо-тез. ( ) = 0.9 ⋅ 0.9 = 0.81 ( ) = 0.9 ⋅ 0.1 = 0.09 ( ) = 0.9 ⋅ 0.1 = 0.09 ( ) = 0.1 ⋅ 0.1 = 0.01
Определим условные вероятности. Сигнал принят при условии, что оба работают, то есть принимает либо пер-вый, либо второй, либо оба: ( | ) = ( ) + ( )− ( ) = 0.8 + 0.8− 0.64 = 0.96 ( | ) = 0.8 ( | ) = 0.8 ( | ) = 0 ( ) = 0.81 ⋅ 0.96 + 2 ⋅ 0.09 ⋅ 0.8 = 0.92
► Три стрелка произвели по одному выстрелу по наме-ченной цели. Вероятность попадания первым стрелком 0.6, вторым 0.7, третьим 0.8. При одном попадании в мишень вероятность поражения её 0.2. При двух – 0.6. При трёх 1. Найти вероятность поражения цели.
Событие А = {цель поражена}
Гипотезы:
H1 = {три попадания}
12
H2 = {1 попадание}
H3 = {двое попали}
H3 = {никто не попал} ( ) = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.336 ( ) = 0.6 ⋅ 0.3 ⋅ 0.2 + 0.4 ⋅ 0.7 ⋅ 0.2 + 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.8 = 0.188 ( ) = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.2 + 0.6 ⋅ 0.3 ⋅ 0.8 + 0.4 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.452 ( ) = 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.2 = 0.024 ( | ) = 1 ( | ) = 0.2 ( | ) = 0.6 ( | ) = 0 ( ) = 0.336 ⋅ 1 + 0.188 ⋅ 0.2 + 0.452 ⋅ 0.6 = 0.6448
► Легковых в 4 раза больше, чем грузовых. К месту, где расположена бензоколонка, подъезжает машина. Веро-ятность того, что они заедут на заправку, для легковых 0.15, для грузовых 0.05. Подъезжает машина. Чему ве-роятность того, что она подъедет к заправке?
Событие А: машина заедет на заправку.
Гипотезы:
По дороге едет: H1=легковая, H2=грузовая. ( ) = 0.8 ( ) = 0.2
Определяем условные вероятности. ( | ) = 0.15
13
( | ) = 0.05 ( ) = 0.8 ( ) = 0.2 ( | ) = 0.15 ( | ) = 0.05 ( ) = 0.8 ⋅ 0.15 + 0.2 ⋅ 0.05 = 0.13
► На сборку поступают детали с трёх автоматов. Пер-вый автомат выдаёт 0.2% брака, второй 0.1%, третий не даёт брака. На сборку поступило 2000 деталей с первого атомата, 3000 со второго, 5000 с третьего. Вероятность того, что деталь, выбранная наугад, будет бракован-ной?
А=деталь бракована.
Деталь с H1=1 авт
H2=2 авт
H3=3 авт
P(H1)=0.2, P(H2)=0.3, P(H3)=0.5. ( | ) = 0.002 ( | ) = 0.001 ( | ) = 0 ( ) = 0.002 ⋅ 0.2 + 0.001 ⋅ 0.3 = 0.0007
► Есть больница. Туда поступают больные с заболева-ниями А, В, С. 50% с А, 30% с В, 20% с С. Вероятности полного излечения от этих болезней равны соответст-венно 0.95, 0.9 и 0.85. Мы встречаем одного из пациен-тов. Какова вероятность, что он излечён полностью?
14
А=излечён полностью.
У него А: H1.
У него В: H2.
У него С: H3. ( ) = 0.5 ( ) = 0.3 ( ) = 0.2 ( | ) = 0.95 ( | ) = 0.9 ( | ) = 0.85 ( ) = 0.915
Теперь мы можем пересчитать вероятности гипотез. Для этого используется формула Байеса. ( | ) = ( ) ( | ) ( ) = 0.295 ( | ) = 0.519
► Посчитать вероятность того, что заправленная маши-на была грузовик. ( | ) = 0.2 ⋅ 0.050.13 = 0.077
ДЗ
►Система обнаружения самолёта из-за наличия помех может давать ложные показания с вероятностью 0.05. А при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с ве-роятностью 0.9. Вероятность появления противника в зоне 0.25. Определить вероятность ложной тревоги.
15
A={локатор обнаружил противника}
H1={есть}, H2={нет}
P(H2|A)={ложная тревога}
P(H1)=0.25, P(H2)=
►Предположим, что 5% мужчин и 0.25% женщин явля-ются дальтониками. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинако-вое количество, найти вероятность того, что этот чело-век а) мужчина; б) женщина.
А=нашли дальтоника.
H1=мужчина
P(H1|A)={мужчина при условии, что дальтоник} – найти
P(A|H1)=0.05
P(A|H2)=0.0025
P(H1)=P(H2)=0.5 ( | ) = 0.5 ⋅ 0.050.5 ⋅ 0.05 + 0.5 ⋅ 0.0025 = 0.95
► Известно, что в среднем 95% продукции удовлетворя-ет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодную продукцию с вероятностью 0.96, если она стандартна, и 0.06 — если нестандартна. Найти вероят-ность того, что взятое наугад изделие пройдёт упрощен-ный контроль.
H1 = по госту
H2 = не по госту
А = пройдёт
16
P(H1)=0.95
P(H2)=0.05
P(A|H1)=0.96
P(A|H2)=0.05
P(A)=0.95⋅0.96+0.05⋅0.06=0.915
► В студенческой группе 70% юноши. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовый телефон. В аудитории ос-тавили сотовый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал юноше?
Н1=юноши, Н2=девушки.
А=кто-то оставил телефон.
P(H1)=0.7, P(H2)=0.3.
P(A|H1)=0.2
P(A|H2)=0.4
Р(Н1|A)-? Р(Н | ) = ( ) ( | ) ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 0.54
Схема испытаний Бернулли Проводится n испытаний. В результате каждого может появиться событие А, а может не появиться. Вероят-ность появления события в ходе каждого испытания всегда одинаково: ( ) = . Вероятность непоявления события А ( ̅) = 1 − = . Вероятность (m раз в n испы-таниях): ( ) = .
17
— наивероятнейшее число появления события А − ≤ ≤ +
► Игральную кость кидают 10 раз. Найти вероятность того, что 6 выпадет а) два раза; б) не более восьми раз; в) хотя бы один раз.
Вероятность выпадения шестёрки p=1/6. q=5/6.
(2) = 16 56 = 0.29
Не более 8 посчитаем через более и вычтем из единицы. ( ≤ 8) = (0) + (1) + ⋯+ (8) = 1− ( > 8)= 1 − (9)− (10) (9) = ⋅ 16 56 = 10!9! 1! 16 56 = 8.26 ⋅ 10
(10) = ⋅ 16 = 16 ( ≤ 8) = 0.99
3) Посчитаем выпадения ни разу и вычтем, получим хо-тя бы один раз.
(0) = С 16 56 ( > 0) = 1 − 56 = 0.84
► Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.
18
n=240
p=0.7
q=0.3
m0-? ( − = 167.7) ≤ ≤ ( + = 168.3) = 168
► Брошено два кубика. 1) Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. 2) Что сумма равна 8, а разность 4. 3) Что сумма равна 8, если известно, что разность равна 4. 4) Того, что сумма 5, а произведение 4.
Посчитаем, сколько всего комбинаций: n=6*6=36.
1)Сумма 7:
6 и 1, 5 и 2, 4 и 3, 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4. ( ) = . 2) Сумма 8, разность 4. Всего: 6 и 2 или 2 и 6. p(a2)=2/36=1/18.
3) Разность 4: 1.5, 2.6, 5.1, 6.2. р(а3)=2/4=1/2.
4) 4.1 и 1.4. р=2/36.
► В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся 3 женщины.
Всего = ! ! ! = 120. Благоприятная комбинация: ⋅ = ! ! ! ⋅ ! ! ! = ⋅ ⋅ = 60.
19
p(A)=60/120=1/2.
► Набираем 7-значный телефон и забыли три послед-ние цифры. Знаем, что они различны. Найти вероят-ность того, что мы попали, куда надо.
Всего: = ! ! = 720. Благоприятных исходов: 1. Р=1/720=0.001389.
► В библиотеке на полке в случайном порядке расстав-лено 15 учебников. 5 из них в переплёте. Берем наудачу 3 учебника. Найти вероятность, что хотя бы один в пе-реплёте.
Тут лучше рассмотреть обратное событие (ни одного не будет в переплёте) и вычесть его вероятность из едини-цы.
А={хотя бы один в переплёте}. ̅ ={ни одного в переплёте} ( ) + ( ̅) = 1
Так лучше, т.к. одну вероятность найти проще, чем три.
Всего исходов: = = ! ! ! = 455.
Благоприятные. Из 5 в переплёте выбираем 0 – ни одно-го, из остальных 10 выбираем три. = ⋅ = 10!3! 7! = 120
p=m/n=0.26.
p(а)=1-0.26=0.74.
20
► Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попа-дания в мишень при одном выстреле для первого стрел-ка 0.7, для второго 0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков.
Найдём вероятность первого, вероятность второго и сложим.
Варианты: попал первый, не попал второй; попал вто-рой, не попал первый.
А=попал один стрелок. А1=первый, А2=второй.
р(а1)=0.7*0.2=0.14.
р(а2)=0.8*0.3=0.24.
р(а)=р(а1)+р(а2)=0.38.
► Вероятности того, что нужная сборщику деталь на-ходится в 1,2,3,4 ящике равны соответственно 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. 1) Найти вероятность того, что деталь содер-жится не более, чем в 3 ящиках. 2) Не менее, чем в 2х ящиках.
1) Не более, чем в трёх. Ни в одном: 0.4∙0.3∙0.2∙0.1. В первом: … это долго. Рассмотрим противоположное со-бытие лучше. Пусть находится в четырёх. ( ̅) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,9 = 0.3024. ( ) = 0.6976
2) Не менее, чем в двух, то есть в 2х, 3х и 4х, и сложим.
В двух: ( ) = 0.6 ∙ 0.7 ∙ 0.2 ∙ 0.1 + 0.6 ∙ 0.8 ∙ 0.3 ∙ 0.1 + 0.6 ∙ 0.9 ∙0.3 ∙ 0.2 + 0.7 ∙ 0.8 ∙ 0.4 ∙ 0.1 + 0.7 ∙ 0.9 ∙ 0.2 ∙ 0.4 + 0.8 ∙ 0.9 ∙ 0.4 ∙0.3 = 0.2144
21
( ) = 0.6 ∙ 0.7 ∙ 0.8 ∙ 0.1 + 0.7 ∙ 0.9 ∙ 0.2 ∙ 0.4 + 0.8 ∙ 0.9 ∙ 0.4 ∙ 0.3= 0.3332
P( )+P(A2)+P(A3)=0.9572
{Но и тут лучше рассмотреть противоположное, то есть в одном и ни в одном: (0) = 0,0024. (1) = 0.6 ∙ 0.3 ∙ 0.2 ∙0.1 + 0.7 ∙ 0.4 ∙ 0.2 ∙ 0.1 + ⋯, p(m≥2)=1-p(0)-p(1)=}
► Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что студент ответит на три предложенных ему во-проса. 2025 ∙ 1924 ∙ 1823 = 0,4956
Или иначе: = = 2300. = ⋅ = = = 0.4956
► Устройство содержит 2 независимо работающих эле-мента. Вероятности отказа этих элементов соответст-венно равны 0.05 и 0.08. Найти вероятность отказа уст-ройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
А1=отказал один, А2=отказал второй, A3=отказало оба.
Не забываем про другой!
Оба откажут: ( ) = 0.05 ∗ 0.08 = 0.004
Первый откажет, второй не откажет: ( ) = 0.05 ∗ 0.92 = 0.046
22
Второй откажет, первый не откажет: ( ) = 0.95 ∗ 0.08 = 0.076 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 0.126
Или можно было так: найдём вероятность того, что не отказал ни один, и вычтем из единицы. ( ̅) = 0.92 ∗ 0,95 ( ) = 1− ( ̅) ► Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разру-шен, если на него сбросили 4 бомбы, и вероятности по-падания их соответственно равны 0.3, 0.4, 0.6, 0.7.
Рассмотрим противоположное: ни одна не попадёт. ( ̅) = 0.7 ∗ 0.6 ∗ 0.4 ∗ 0.3 = 0.0504 ( ) = 1− 0.0504 = 0.9496
► Задача на полную вероятность. Есть пять винтовок. Три из них снабжены оптическим прицелом. Вероят-ность того, что убьём из винтовки с прицелом 0.95. А без — 0.7. Найти вероятность того, что мишень будет пора-жена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу выбранной винтовки.
А={цель поражена}.
H1={стреляли из винтовки с оптическим}
H2={без}
P(H1)=3/5, P(H2)=2/5.
P(A|H1)=0.95, P(A|H2)=0.7.
P(A)=3/5*0.95+2/5*0.7-0.85.
23
► Задача на схему Бернулли. Играют 2 равносильных шахматистов. Ничьей нет. Что вероятнее: выиграть 2 из 4 партий или 3 из 6.
(2) = 12 12 = 38
(6) = 12 12 = 516
То есть вероятнее выиграть, если играть меньше.
Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона В схеме Бернулли событие А появлялось с вероятностью р или не появлялось с вероятностью q. ( ) =
Если → ∞, → 0, то можно применять формулу Пуассо-на. Вводится новая константа = — интенсивность потока. Тогда
( ) = !
Например. Вероятность сбоя в работе телефонной стан-ции при каждом выводе 0,007. За время t поступило 1000 вызовов. Определить вероятность девяти сбоев. = ⋅ = 7 = 9 (9) = 7 9! = 0,1014
24
► Завод-изготовитель отправил на базу 12 000 добро-качественных изделий. Число изделий, повреждённых при транспортировке, составляет 0,05%. Найти вероят-ность того, что 1) на базу поступит не более трёх повре-ждённых изделий; 2) хотя бы два повреждённых.
Если n⋅p большая, будем применять функцию Гаусса ( ). ( ) = ( )
= − −
(− ) = ( ) — локальная теорема Муавра — Лапласа.
Часто нам нужно определить вероятность появления со-бытия в промежутке: не более чем m1 раз и не менее чем m2. Для этого используется интегральная теорема Муав-ра — Лапласа. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) Ф(x) — функция Лапласа. = −
= −
Φ(− ) = −Φ( ) Эти функции: ( ) = 1√2 Ф( ) = ( )
25
► Вероятность того, что изделие окажется бракован-ным, равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных. = −1,45 ( ) = 0,1394 (40) = 0.0202
► Контрольную работу по теории вероятности в сред-нем выполняет 70% студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят:
1) 150 студентов
2) не менее 100 студентов
3) не более 150 студентов = 0,7 = 200
1) = 1.54 ( ) = 0.1213 = 0.0187
2)
при x>4 Ф=1/2..
► Вероятность рождения девочки 0.485.
Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей а) девочек будет 300; б) девочек будет больше чем мальчи-ков.
26
а) = 0.02487
б) = 0.2437
► Из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры. Какова вероятность, что из 400 семей 340 имеют цвет-ные телевизоры? = 0.055863
ДЗ:
► Какова вероятность того, что из 2450 ламп, осве-щающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.
p=0.64, m1=1500, m2=1600, n=2450. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) = − = 1500 − 2450 ⋅ 0,64 2450 ⋅ 0,64 ⋅ (1 − 0,64) = −2.8621
= − = 1600 − 2450 ⋅ 0,64 2450 ⋅ 0,64 ⋅ (1 − 0,64) = 1.3469
(1500 < < 1600) = Ф(1.3469)−Ф(−2.8621)= Ф(1.3469) +Ф(2.8621) = 0.9124
► Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.005. Какова вероятность попадания в цель не менее 3х раз, если число выстрелов равно 800.
p=0.005, n=800.
27
m≥3: m=3…800. m1=3, m2=800. = − = 3 − 800 ⋅ 0.005 800 ⋅ 0.005 ⋅ (1− 0.005) = −0.5013
= − = 800 − 800 ⋅ 0.005 800 ⋅ 0.005 ⋅ (1 − 0.005) = 398.9987
(3 > > 800) = 0.7763
► Сколько чисел больше 100 без повторений можно со-ставить из цифр 0, 1, 3, 5, 6.
Трёхзначные: = 60
Из них пятая часть начинается с нуля, отбросим их: = 60− 12 = 48
Четырёхзначные: = 5!1! = 120 = 120− 24 = 96
Пятизначные: = 120 = 120− 24 = 96
Всего = ∑ = 240.
► Вероятность наступления события А 0,1. Проводятся испытания. Какое минимальное число испытаний доста-точно провести для того, чтобы с вероятностью больше, чем 0.95, событие А наступило хотя бы один раз?
28
Используем схему Бернулли. (хотя бы 1 раз) = 0,95 (хотя бы 1 раз) = 1 − (0) ≥ 0,95 (0) = = ≥ 0,95 1 − (0,9) ≥ 0,95 0,9 ≤ 0,05 ≤ ln 0,05 = 28
► Планируется ракетный залп из четырех ракет. Веро-ятность попадания каждой ракеты 0.4. Вероятность то-го, что цель будет поражена при попадании одной раке-ты 0.3, при попадании двух ракет 0.4, трёх – 0.5, четы-рёх – 0.6. Найти вероятность того, что цель будет пора-жена.
Определим гипотезы. = {1 ракета попала} = {2} = {3} = {4} = {ни одной} ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,3456 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,3456 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,1336 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,0256 ( ) = 0.1296
29
( | ) = 0.3 ( | ) = 0,4 ( | ) = 0.5 ( | ) = 0.6 ( | ) = 0
► На шахматной доске случайным образом поставлены чёрная и белая ладьи. Найти вероятность того, что они не могут бить друг друга. То есть они не должны стоять на одной горизонтальной или вертикальной линии. = = 1 – на любую клетку.
= 6464 ⋅ 4963 = 79
► В первой урне 12 белых и 8 чёрных шаров. Во второй 10 белых и 20 черных. Наугад выбирается одна из этих урн и из неё вытаскивается шар. Он оказался чёрным. Затем он возвращается в эту же урну, и из нее же из-влекается еще один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? = {ч} = {б} : 12 б+ 8 ч : 10 б+ 20 ч
События независимые. Мы должны найти вероятность того, что первый был черным, а второй белым: ( | ) = ( ) ( ) .
30
= {первая урна} = {вторая} ( ) = ( ) = 12
( | ) = 820 = 25
( | ) = 23
( ) = 12 ⋅ 25 + 23 = 0,533
( | ) = 25 ⋅ 1220 = 625
( | ) = 23 ⋅ 13 = 29
( ) = 12 625 + 29
► Садоводческий кооператив застраховал на год свои дома от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внёс по 150 рублей. Вероятность пожара в одном доме в течение года 0.005, а страховая сумма в случае пожара 12 000 рублей. Какова вероятность того, что страховая компа-ния понесет убыток?
n=600, p=0.005 = 3
(≥ 800) = 1 − ( )
(0) = 0.0498
31
(1) = 0.1494 (2) = 0.2240 (3) = 0.2240 (4) = 0.1681 (5) = 0.1008 (6) = 0.0504 (7) = 0.0216
— из таблицы распределения Пуассона. = 0.9881 ( ) = 1− 0,9881 = 0.0119
► Книга издана тиражом 10 000 экз. Вероятность того, что она будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит менее пяти бракованных книг.
Пользуемся формулой Пуассона. λ = n ⋅ p = 2 (0) = 0,1353 (1) = 0,2707 (2) = 0,2707 (3) = 0,1805 (4) = 0,0902 = = 0,9474
32
► Вероятность изготовления доброкачественного изде-лия 0,9.Берут наудачу 300 изделий. Найти вероятность того, что среди них 95% доброкачественных.
Здесь применяем формулу Гаусса. = 0.95 ∗ 300 = 285
Игральная кость бросается 180 раз. Найти приближён-ные границы того, что выпадение единицы с вероятно-стью 0.997.
p=1/6, q=5/6. n=180, P=0,997. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) Ф(x) — функция Лапласа. = − = 5 − 6
= − = 5 − 6
Возьмём например m=40 и будем работать с табличкой.
Случайные величины Случайной величиной называют величину, которая при-нимает то или иное значение в результате опыта, неиз-вестное заранее.
Например, мы подбрасываем монету. Случайная вели-чина — число выпадений решки.
Обозначаются большими буквами X, Y, Z. Их значения: x, y, z.
33
Дискретная случайная величина — если она принимает либо конечное число значений, либо бесконечное, но их можно пронумеровать.
Все случайные величины задаются своим законом рас-пределения. Для дискретной случайной величины это табличка из двух строк: значения случайной величины и вероятности, которые принимают эти значения.
х х1 х2 … хn … р
Функция распределения определяется следующим обра-зом: ( ) = ( < ) То есть это вероятность, с которой случайная величина X принимает значение меньшее, чем x.
- Функция распределения — неубывающая, то есть для любых > ( ) ≥ ( ). - Значения функции распределения лежат между 0 и 1.
- На -∞ функция распределения принимает 0, а на +∞ принимает значение 1.
- Функция непрерывна слева.
- Вероятность того, что значение x будет лежать в про-межутке от а до b есть ( )− ( ). ( ≤ < ) = ( )− ( ) ► В урне 4 белых и 3 чёрных шара. Из нее последова-тельно вытаскивают шары до появления белого шара. Найти закон распределения дискретной случайной ве-личины Х, где Х — число извлечённых шаров.
34
Случайная величина х может принимать значения от 1 до 4.
х 1 2 3 4 р 4/7 2/7 4/35 1/35
= 47
= 37 ⋅ 46 = 27
= 37 ⋅ 26 ⋅ 45 = 435
= 37 ⋅ 26 ⋅ 15 ⋅ 44 = 135
= 1
► В урне 4 белых и 3 черных шара. Из неё наудачу из-влекают три шарика. Найти закон распределения числа извлечённых белых шаров. Найти вероятность события, что извлечено не менее двух белых шаров.
х 0 1 2 3 р 1/35 12/35 18/35 4/35
Всего исходов . = = 1 = 1 =
35
= ⋅ = 135
= ⋅ = 3 ⋅ 435 = 1235
= ⋅ = 1835
= ⋅ = 435
= 3535
Извлечено не менее двух — это либо два, либо три. ( ) = + = 2235
► Кубик подбрасывается пять раз. Найти закон рас-пределения дискретной случайной величины Х, где Х — число выпадений шестёрки.
х 0 1 2 3 4 5 р 3125/65 3125/65 1250/65 250/65 25/65 1/65
События независимые. Вероятность выпадения шестер-ки 1/6, невыпадения — 5/6. Используем схему Бернул-ли. ( ) =
(0) = 16 56 = 31256
(1) = 31256
36
(2) = 12506
(3) = 2506
(4) = 256
(5) = 16 Такой закон, где вероятности считаются по формуле Бернулли, называется биномиальным законом рас-пределения случайной величины .
► Метро. Бросаем жетон – не срабатывает. Вероятность того, что турникет сработает при бросании жетона 0,98. Построить закон распределения случайной величины, где случайная величина — число бросаний жетона. От одного до пяти.
х 1 2 3 4 5 р 0,98 0,0196
= 0,98 = 0,02 = 0,98 = 0,02 ⋅ 0,98 = 0,0196 = (0,02) 0,98 = (0,02) 0,98 = (0,02) 0,98 + (0,02) Закончились! В последнем заканчиваем с довеском.
37
= ⋅ — для бесконечного числа раз.
Эта последовательность составляет геометрическую про-грессию, поэтому закон называется геометрическим.
Если вероятности считаются с помощью формулы Пуас-сона, то закон называется пуассоновским (например, про телефонные вызовы на станции).
Для этих законов уже посчитаны мат. ожидание и дис-персия.
► Найти и построить функцию распределения.
х -2 1 2 3 р 0,08 0,4 0,32 0,2
По определению F(x) = P(X < ) (−2) = ( < −2) = 0
( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ (−2) = 0, < −2 (1) = 0,08, −2 ≤ < 1 (2) = 0,48, 1 ≤ < 2 (3) = 0,8, 2 ≤ < 31, ≥ 3
► Функцию см. выше. Вероятность того, что случайная величина лежит в пределах от [1,3) и (-2,2).
Здесь надо использовать свойство функции распределе-ния: взять разность на этих концах. (3) = 0,8 (1) = 0,48 = (3)− (1) = 0,72 (−2 ≤ < 2) = 0,48
38
ДЗ.
► Дана функция распределения:
( ) = 0, ≤ 00,3, 0 < ≤ 11, > 1 Найти закон распределения и вероятности: ( = 1) и (1 < ≤ 8). ( < 3) = (3) = 0,2 ( < 6) = 0,35 = 0,2 + , ( < 8) = (8) = 0,8 = 0,2 + 0,15 + , (8) = ( < 8) = 0,8 = 0,2 + 0,15 + 0,45 + ,
x 1 3 6 8 p 0,2 0,15 0,45 0,2
► Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по од-ному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соот-ветственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить закон распре-деления случайной величины Х, где Х — число попада-ний в цель.
X: ( = ) = Y: = = = + = + = 1, ⃗ , = 1, ⃗ , = =
39
= − = − = = Особый случай для возведения величины в квадрат и умножения на число. Например, ( = ) = — вероятность не меняется. = = ► Дан закон распределения дискретной случайной ве-личины Х:
x -2 -1 1 2 3 p 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1
Найти закон распределения для случайных величин = 2 и = . Y:
y -4 -2 2 4 6 q 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1
Z:
1: 0,25+0,3=0,55
40
4: 0,2+0,15
9: 0,1
z 1 4 9 q 0,55 0,35 0,1
► Возьмём две случайные величины Х и Y.
x 1 2 3 p 0,3 0,5 0,2
y -2 -1 q 0,4 0,6
а) = +
б) =
а) Z:
1+(-2)=-1 0,3*0,4=0,12
2+(-2)=0 0,5*0,4=0,2
3+(-2)=1 0,2*0,4=0,08
1+(-1)=0 0,3*0,6=0,18
2+(-1)=1 0,5*0,6=0,3
3+(-1)=2 0,2*0,6=0,12
z -1 0 1 2 q 0,12 0,2+0,18=0,38 0,08+0,3=0,38 0,12 б) W:
1*(-2)=-2 0,3*0,4=0,12
2*(-2)=-4 0,5*0,4=0,2
41
3*(-2)=-6 0,2*0,4=0,08
1*(-1)=-1 0,3*0,6=0,18
2*(-1)=-2 0,5*0,6=0,3
3*(-1)=-3 0,2*0,6=0,12
w -6 -4 -3 -2 -1 q 0,08 0,2 0,12 0,3+0,12=0,42 0,18
► Подброшены два кубика. Построить ряд распределе-ния а) суммы очков; б) разности (из большего меньшего) очков.
Составим для каждого кубика.
X или Y:
x 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2: 1+1 1/36
3: 2+1, 1+2 2/36
4: 1+3, 3+1, 2+2 3/36
5: 1+4, 4+1, 3+2, 2+3 4/36
6: 1+5, 5+1, 3+3, 2+4, 4+2 5/36
7: 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3 6/36
8: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4 5/36
9: 3+6, 6+3, 5+4 3/36
10: 5+5, 4+6, 6+4 3/36
11: 6+5, 5+6 2/36
12: 6+6 1/36
42
z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 q 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Для разности:
0: 6
1: (6-5, 5-4, 4-3, 3-2, 2-1)× 2→10 вар
2: (6-4, 5-3, 4-2, 3-1) × 2→8
3: (6-3, 5-2, 4-1) × 2→6
4: (6-2, 5-1) × 2→4
5: (6-1) × 2→2
0 1 2 3 4 5 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36
Числовые характеристики для дис-кретной случайной величины 1) Среднее значение случайной величины — матема-тическое ожидание.
М(X), MX, EX.
Для дискретной случайной величины вычисляется так: ( ) = Например,
0 1 2 3 4 5 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36
43
( ) = 1036 + 236 10 + 636 3 + 436 4 + 236 5 = 7036 ≈ 1,94
2) Дисперсия ( ), — рассеивание значения случай-ной величины вокруг среднего значения, то есть вокруг матожидания. ( ) = − ( ) ( ) = − ( ) ► Вероятность того, что студент найдёт в библиотеке нужную книгу, равна 0,4. Студент записан в четыре библиотеки. Найти закон распределения числа библио-тек, которые он может посетить. Найти матожидание и дисперсию.
= 0,6 ⋅ 0,4 = 0,24 = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 0,144 = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 + 0,6 = 0,216
— геометрическое распределение.
х 1 2 3 4 р 0,4 0,24 0,144 0,216
= = 2,176
= − ( ) = 1,37
Свойства:
- ( ) = .
44
- ( ) = ( ) - ( + ) = ( ) + ( ) - Для независимых Х и Y. ( ) = ( ) ( ) - дисперсия неотрицательная.
- ( ) = 0
- ( ) = ( ) - ( + ) = ( ) + ( ) для независимых.
ДЗ.
► Автомобиль на пути к месту назначения встретит пять светофоров. Каждый светофор пропускает автомо-билиста с вероятностью 1/3. Найти закон распределе-ния числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, или до прибытия к месту назначения. = 13
х 1 2 3 4 5 р 1/3 2/3∙1/3 2/3∙2/3∙1/3 24/33∙1+(2/3)5
► Телефонная станция обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в течение трёх минут на станцию поступит вызов, равна 0,002. Найти закон распределе-ния случайной величины Х, равной числу вызовов, по-ступивших на станцию в течение трёх минут. Найти ве-роятность того, что за это время поступит более трёх вызовов.
45
Непрерывная случайная величина Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна.
В отличие от дискретной, ( = ) = 0.
Плотность распределния ( ) = ( ). 1) ( ) ≥ 0 2) ( )
= 1
3) ( < < ) = ( ) = ( )− ( )
4) ( ) = ( )
Числовые характеристики
Матожидание: в отличие от дискретной ( = ∑ ) = ( )
Дисперсия (дискретн: = ∑ − ( ) ): = ( ) − ( )
► Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
( ) = 0 ( − 3) 1 , < 33 ≤ ≤ 5 > 5
46
Найти:
1) С
2) ( ), графики ( ), ( ). 3) (3 ≥ ≥ 4)
1) Функция распределения непрерывна, посему пределы слева и справа равны. lim → ( ) = 1 lim → ( ) = (5− 3) = 4
= 14
2) ( ) = 0, < 30,5( − 3), 3 ≤ ≤ 50, > 5 3) (3 ≤ ≤ 4) = (4)− (3) = − 0 =
►
( ) = 0 (cos + )1 < − − ≤ ≤ 0 > 0
f(x) F(x)
47
1) a, c
2) f(x)
3) (− 3⁄ ≤ ≤ 2⁄ ) 1) lim → ( ) = 0 lim → ( ) = (−1 + ) lim → ( ) = 1 lim → ( ) = (0 + ) − = 0 + = 1 − 2 = 12 = 1 = 12 = 1 Получаем функцию распределения
( ) = 012 (cos + 1)1 < − − ≤ ≤ 0 > 0 ( ) = ( ) = 0−12 sin 0 < − − ≤ ≤ 0 > 0 − 3 ≤ ≤ 2 = 2 − − 3 = 1 − 34 = 14
► Задана плотность, надо найти функцию распределе-ния.
48
( ) = 0 ⋅ 0 < 00 ≤ ≤ 5,8 > 5,8 1) 2) ( ) 3) (3,3 < < 7,8) ( )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ ( )
= 0, < 0 ( )
= 0 + ⋅
= 0 = 2 | = , 0 ≤ ≤ 5,8 ( ) = 0 + ,
+ 0 , = 2 | , = , , > 5,8
→ = , , т.к. функция распределения на бесконечности
равна единице.
3) (3,3 < < 7,8) = (7,8)− (3,3) = 1 − ⋅ , = ⋯
Интегралы не просто кусками, а с учётом предыдущих!!
► Случайная величина задана своей плотностью ( ) = 0, ≤ 0 , > 0 Найдём m. ( ) = 1
49
= lim →
= 1−2 lim → | = −12 lim → ( − ) = −12 (0− 1) = 12 = 1 = 2 ( ) = 0, ≤ 02 , > 0 ( )= ⎩⎨⎧ 0, ≤ 0 0 + 2
= −1 | = − + 1, > 0⎭⎬⎫
Найдём матожидание.
= ( ) = 2
= 2 = = = = = −12
= 2 lim → −12 | + 12 = 2 lim → 12 −12 | = 12
Такое распределение (a⋅exp(-ax)) — Пуассоновское рас-пределение. MX=1/a. DX=1/a2.
Дисперсия: = ( ) − ( ) = 2
− 14= − ⋅ − ⋅ − 12 | − 14 = 12
50
► Дана плотность распределения
( ) = 14 , ∈ [0,4]0,
— равномерное распределение. В общем случае равно-мерное распределение задаётся так:
( ) = − ∈ [ , ] Найдём F(x), MX, DX.
( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 0, < 0 0
+ ( ) = 14
= 14 , [0,4] 0 + 14
+ 0 = 14 | = 1, > 4⎭⎪⎬
⎪⎫
= 0, < 014 , [0,4]1, > 4
В общем виде это ( ) = , < , [ , ] , >
Найдём матожидание.
51
= ( ) = 14
= 14 2 | = 2
На самом деле матожидание равномерного распределе-ние — это среднее арифметическое a и b.
ДЗ: дисперсия = ( ) − ( ) = 14
− 2 = 14 3 | − 4 = −2 23 И вынести всё это для равномерного и пуассоновского в табличка.
52
Оглавление Теорема сложения и умножения. ..................................... 6
Схема испытаний Бернулли ........................................... 16
Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона .......................................................... 23
Случайные величины ...................................................... 32
Числовые характеристики для дискретной случайной величины ........................................................................ 42
Непрерывная случайная величина ................................ 45