= f (x)g( - askisopolis.gr · 15. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική του ερμηνεία. Έστω

ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση;

Έστω Α ένα υποσύνολο τουℝ . Ονομάζουμε πραγματική

συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με

την οποία κάθε στοιχείο Ax ∈ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο

πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και

συμβολίζεται με )(xf .

2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες

Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:

• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και

• για κάθε Ax ∈ ισχύει )()( xgxf = .

Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε

gf = .

3. Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων;

Ορίζουμε ως άθροισμα gf + , διαφορά g-f , γινόμενο fg και

πηλίκο g

f δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους

)()())(( xgxfxgf +=+

)()())(( xgxfxgf −=−

)()())(( xgxfxfg =

)(

)()(

xg

xfx

g

f=

.



Το πεδίο ορισμού των gf + , gf − και fg είναι η τομή BA∩ των

πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το

πεδίο ορισμού της g

f είναι το BA∩ , εξαιρουμένων των τιμών του x

που μηδενίζουν τον παρονομαστή )(xg , δηλαδή το σύνολο

Axx ∈| και Bx ∈ , με 0)( ≠xg .

4. Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g;

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε

ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof , τη

συνάρτηση με τύπο

))(())(( xfgxgof = .

g f

g(B) A

g

B f(A)

f

A1

g(f (x))

f(x)

x

Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του

πεδίου ορισμού της f για τα οποία το )(xf ανήκει στο πεδίο ορισμού

της g. Δηλαδή είναι το σύνολο

)(|1 BxfAxA ∈∈= .

Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν ∅≠1A , δηλαδή αν

∅≠∩ BAf )( .



ΣΧΟΛΙΑ

• Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog ,

τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες.

• Αν hgf ,, είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η )(gofho , τότε

ορίζεται και η ofhog)( και ισχύει ofhoggofho )()( = .

Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε

με hogof . Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες

από τρεις συναρτήσεις.

5. Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως

φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της;

Μια συνάρτηση f λέγεται:

• γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της,

όταν για οποιαδήποτε ∆xx ∈21 , με 21 xx < ισχύει:

)()( 21 xfxf < (Σχ. α)

• γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της,

όταν για οποιαδήποτε ∆xx ∈21 , με 21 xx < ισχύει:

)()( 21 xfxf > (Σχ. β)

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως

γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως

f Δ).

∆

Ο

(a)

x2 x1 x

y

f (x2)

f (x1)

∆

Ο x2 x1

f (x1)

f (x2)

x

y

(β)



6. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε

ελάχιστο;

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

• Παρουσιάζει στο Ax ∈0 (ολικό) μέγιστο, το )( 0xf , όταν

)()( 0xfxf ≤ για κάθε Ax ∈ (Σχ. α)

• Παρουσιάζει στο Ax ∈0 (ολικό) ελάχιστο, το )( 0xf , όταν

)()( 0xfxf ≥ για κάθε Ax ∈ (Σχ. β).

(a) C f

f (x0)

f (x)

O x

y

x0 x

(β)

C f

f (x0)

f (x)

O x

y

x0 x

7. Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1;

Μια συνάρτηση :f A →ℝ λέγεται συνάρτηση 11− , όταν για

οποιαδήποτε Axx ∈21 , ισχύει η συνεπαγωγή:

αν 21 xx ≠ , τότε )()( 21 xfxf ≠ .

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση :f A → ℝ είναι συνάρτηση 11− , αν και

μόνο αν για οποιαδήποτε Axx ∈21 , ισχύει η συνεπαγωγή:

αν )()( 21 xfxf = , τότε 21 xx = .



ΣΧΟΛΙΑ

• Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι

11− , αν και μόνο αν:

— Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση yxf =)(

έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

— Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια

τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη

γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ. α).

x

y

συνάρτηση 1-1

O

O x2 x1

B A

x

y

συνάρτηση όχι 1-1

• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς,

είναι συνάρτηση "11" − .

8. Δικαιολογήστε γιατί οι γραφικές παραστάσεις C και C′ των συναρτήσεων f και

-1f είναι συμμετρικές ως προς την

ευθεία y x= που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x Oy′ ′.

Ας πάρουμε τώρα μια −1 1 συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις

γραφικές παραστάσεις C και C′ των f και της 1f − στο ίδιο

σύστημα αξόνων . Επειδή

( ) ( )f x y f y x−= ⇔ =1,

αν ένα σημείο ( , )M α β ανήκει στη γραφική παράσταση C της f ,



τότε το σημείο ( , )β α′Μ θα ανήκει

στη γραφική παράσταση C′ της

1f − και αντιστρόφως. Τα σημεία,

όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως

προς την ευθεία που διχοτομεί τις

γωνίες xOy και x Oy′ ′ . Επομένως:

Oι γραφικές παραστάσεις C και C′

των συναρτήσεων f και1f −είναι

συμμετρικές ως προς την ευθεία

y x= που διχοτομεί τις γωνίες

xOy και x Oy′ ′ .

9. Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη;

Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ 10

• Αν 0)(lim0

>→

xfxx , τότε 0)( >xf κοντά στο 0x

• Αν 0)(lim0

<→

xfxx , τότε 0)( <xf κοντά στο 0x

ΘΕΩΡΗΜΑ 20

Αν οι συναρτήσεις gf , έχουν όριο στο 0x και ισχύει

)()( xgxf ≤ κοντά στο 0x , τότε )(lim)(lim00

xgxfxxxx →→

≤

10. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

Έστω οι συναρτήσεις hgf ,, . Αν

• )()()( xgxfxh ≤≤ κοντά στο 0x και

• ℓ==→→

)(lim)(lim00

xgxhxxxx ,τότε ℓ=

→)(lim

0xf

xx .

y=x

C΄

C

O x

M΄(β,α)

M(α,β) y



11. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 του

πεδίου ορισμού της;

Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού

της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0x , όταν )()(lim 00

xfxfxx

=→

.

12. Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής;

Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου

ορισμού της, θα λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση.

13. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β);

• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό

διάστημα ),( βα , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του

),( βα .

14. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β];

• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό

διάστημα ],[ βα , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ),( βα

και επιπλέον )()(lim αfxfαx

=+→

και )()(lim βfxfβx

=−→

15. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την

γεωμετρική του ερμηνεία.

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα .

Αν:

• η f είναι συνεχής στο ],[ βα και, επιπλέον, ισχύει

• 0)()( <⋅ βfαf ,

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),(0 βαx ∈ τέτοιο, ώστε

0)( 0 =xf .



Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης 0)( =xf

στο ανοικτό διάστημα ),( βα .

Γεωμετρική ερμηνεία

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη

γραφική παράσταση μιας συνεχούς

συνάρτησης f στο ],[ βα . Επειδή τα

σημεία ))(,( αfαA και

))(,( βfβB βρίσκονται εκατέρωθεν

του άξονα xx′ , η γραφική

παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.

ΣΧΟΛΙΟ

Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:

— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε

μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ∆x ∈ ή

είναι αρνητική για κάθε ∆x ∈ , δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο

διάστημα Δ. (Σχ. 1)

y

f (x)>0

O β a x

(α)

y

f (x)<0

O β a

x

1

(β)

— Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από

το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το

πεδίο ορισμού της.

′′x0 ′x0 x0

y

B(β, f (β))

Α(α, f (α)) f (a)

f (β)

O β a

x



y

ρ5

ρ4 ρ3

ρ2

ρ1

+

− − +

− +

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για

τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός

γίνεται ως εξής:

α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f.

β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές

ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f

στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f

στο αντίστοιχο διάστημα.

16. Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να

το αποδείξετε.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό

διάστημα ],[ βα . Αν:

• η f είναι συνεχής στο ],[ βα και

• )()( βfαf ≠

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των )(αf και )(βf υπάρχει ένας,

τουλάχιστον ),(0 βαx ∈ τέτοιος, ώστε ηxf =)( 0

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι )()( βfαf < . Τότε θα ισχύει )()( βfηαf <<

Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ηxfxg −= )()( , ],[ βαx ∈ ,

παρατηρούμε ότι:



• η g είναι συνεχής στο ],[ βα και

• 0)()( <βgαg ,

αφού

0)()( <−= ηαfαg και

0)()( >−= ηβfβg .

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει

),(0 βαx ∈ τέτοιο, ώστε 0)()( 00 =−= ηxfxg , οπότε ηxf =)( 0 .

17. Να διατυπώσετε για μια συνεχής συνάρτηση το θεώρημα

μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο ],[ βα , τότε η f παίρνει στο

],[ βα μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

Δηλαδή, υπάρχουν ],[, 21 βαxx ∈ τέτοια, ώστε, αν )( 1xfm = και

)( 2xfM = , να ισχύει

Mxfm ≤≤ )( , για κάθε ],[ βαx ∈ .

ΣΧΟΛΙΟ

Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με

πεδίο ορισμού το ],[ βα είναι το κλειστό διάστημα ],[ Mm , όπου

m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

• Τέλος, αποδεικνύεται ότι:

′x0 x0 ′′x0

y

B(β, f (β))

f (a)

f (β)

O β

y=η η

a x

Α(α , f (α))



Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα

ανοικτό διάστημα ),( βα , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα

αυτό είναι το διάστημα ),( ΒΑ όπου

)(lim xfΑαx +→

= και )(lim xfB

βx −→=

.

Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ),( βα ,

τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα

),( AB

Μορφή

Διαστήματος

Είδος

μονοτονίας

Σύνολο Τιμών

[ ]A ,α β= f γνησίως αύξουσα [ ]( ) ( ) , ( )f A f f= α β

[ )A ,α β= f γνησίως αύξουσα )( ) ( ) , lim ( )x

f A f f x−→

= βα

( ]A ,α β= f γνησίως αύξουσα (( ) lim ( ) , ( )x

f A f x fα

β+→

=

( )A ,α β= f γνησίως αύξουσα ( )( ) lim ( ) , lim ( )x x

f A f x f x+ −→ →

=α β

[ ]A ,α β= f γνησίως φθίνουσα [ ]( ) ( ) , ( )f A f f= β α

[ )A ,α β= f γνησίως φθίνουσα (( ) lim ( ) , ( )x

f A f x f−→

= βα

( ]A ,α β= f γνησίως φθίνουσα )( ) ( ) , lim ( )x

f A f f x+→

= αβ

( )A ,α β= f γνησίως φθίνουσα ( )( ) lim ( ) , lim ( )x x

f A f x f x− +→ →

=β α



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση:

22-x , x 1f(x)=

1-x, x>1

≤

Να βρείτε:

α. Το πεδίο ορισμού της f .

β. Τις τιμές f(1) και f(f(4)) .

γ. Τα ∈ℝα για τα οποία ισχύει 7

f(συνα)=4

.

δ. Τα λ ∈ℝ για τα οποία ισχύει f(λ - 4λ + 6) = 10−2.

2. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων:

α. 3 2f(x) = x + 3x - 2x + 1 και

2g(x) = x + x + 1.

β. 2 xf(x) = x 2 + 9⋅ και

2 xg(x) = x + 9 2⋅

3. Δίνεται η συνάρτηση 3 2 2f(x) = x (2 )x ( 3)x+α 5, αα α+ − − + − ∈ℝ .

α. Να βρεθούν οι τιμές του α∈ℝ έτσι, ώστε η Cf να διέρχεται από το

σημείο Μ(1, -6).

β. Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(1,-6), να βρεθούν τα κοινά

σημεία της Cf και του άξονα x x′ .

γ. Για α=1 να βρεθεί η σχετική θέση της Cf με τον άξονα x x′ .

4. Δίνονται οι συναρτήσεις:

2f(x) = x +αx + β και

3 2g(x) = x - 3x + β - 6α με α , β∈ℝ

Αν η fC τέμνει τον άξονα x x′ στο 3− και η Cg τέμνει τον άξονα y y′

στο 6− , να βρείτε:

α. Τους αριθμούς α και β.

β. Τα διαστήματα στα οποία η fC είναι κάτω από τη Cg .



5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται

Η γραφική παράσταση της

συνάρτησης

xlnx, x > 0f(x)=

0 , x = 0

Με τη βοήθεια της γραφικής

παράστασης:

α. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0 .

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

γ. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων:

i. f(x) = -1 ii.1

f(x)= - e

iii.1

f(x)= - 2

iv. f(x) = 0 v. f(x) = 2018

δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = α , για τις

διάφορες τιμές του α ∈ℝ .

6. Έστω f , g : →ℝ ℝ δύο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει

2f(x) = g(x) + x - 9 για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε τη σχετική θέση των

fC και gC .

7. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Αν όχι, να

βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες.

α.

2

2

x x 2 x 2f (x) και g(x)

x 1 x 1

− − −= =

− −

β. 2f (x) x και g(x) x= =

γ. ( )f (x) x x 2 και g(x) x x 2= + = ⋅ +

δ. 2 x 2 x

f (x) και g(x)2 x 2 x

− −= =

+ +

ε.

2 2

2 2

5x x 5x 6 x 1f (x) και g(x)=

x x x

− − +=

−

O

X1-e

y



8. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας

συνάρτησης f.

x

y

∆

Α

Β

Γ

Ε

Ζ

Η

Θ

y= -1

-4

-3

0

3

2

-2

-3

3

4 53

2

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.

β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών.

γ. Να βρεθεί το f(0).

δ. Να λυθεί η ανίσωση f(x)<0

ε. Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) f(x)=0 και ii) f(x)= -3

στ. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x)= -1.

9. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : →ℝ ℝ με την ιδιότητα:

2 2 2(f+g) (x)-(f-g) (x)-4x 2(f+g)(x)[(f+g)(x)-2x]≥ για κάθε x ∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι f = g .

10. Έστω f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α⊆ ℝ και

f(x)[f(x)+g(x)]-4[f(x)+g(x)] g(x)[f(x)-g(x)]-8≤ για κάθε x ∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι f = g .



11. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Δ. Να βρείτε

το πεδίο ορισμού της f g στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. 2g(x) = x 3− και Δ= [-2, 1]

β. 3g(x) = x x-3+ και Δ = [7, 27]

12. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [-11, +∞ ). Να βρείτε το

πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2h(x) = f(x 8x - 4)− .

13. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ 5, +∞ ). Να βρείτε το

πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2h(x) = f(x 10x + 21)− .

14. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

(f f )(x) = 4x-3 για κάθε x ∈ℝ . Να αποδειχθεί ότι: f(1) = 1.

15. Έστω f, g : →ℝ ℝ με 2(f g)(x) = x 7x+16, x− ∈ ℝ και

(g f )(4) = 4 . Να αποδειχθεί ότι οι Cf , Cg έχουν τουλάχιστον ένα κοινό

στοιχείο.

16. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις:

α. f(x) = 3 - 4 x - 2 β. 3f(x) = x + 2ln(x - 1) - 5

γ. 2 xf(x) = ln(x - 1) - e − δ.

1f(x) = - x - 2

x

17. Δίνετε η συνάρτηση x 1f(x) = 2 - e + , x ∈ℝ .

α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β. Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f f .

γ. Για κάθε x 0< να αποδείξετε ότι x xf (5 ) f (7 )< .

18. Δίνετε η συνάρτηση xf(x) = 2 + x - 3 , x ∈ℝ .


β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x η fC βρίσκεται κάτω από τον

άξονα x x′ .

γ. Να λύσετε την ανίσωση: 23x x 6 2x 22 2 x 5x 6− −− > − + .

19. Δίνετε η συνάρτηση f : →ℝ ℝ γνησίως φθίνουσα και για κάθε

x ∈ℝ ισχύει: f (3 x) f (x 5) 0− + + = . Να λύσετε την ανίσωση

2f (x 2x 4) 0+ − < .



20. Δίνετε η συνάρτηση f(x) = 2x -2+lnx , x 0> .


β. Να βρείτε το πρόσημο της f .

21. Δίνετε η συνάρτηση xf(x) = e + ln(x+1) - 1.


β. Να λύσετε την ανίσωση 2x 2e ln(x 1) 1+ + > .

γ. Να λύσετε την ανίσωση 2x x 2

2

x 3e e ln

x 1+ +

− >+

.

22. έστω xf(x) = e + x , x ∈ℝ .


β. Να λύσετε την ανίσωση 2 2x x 5 x 5e e x 0+ + +− + > .

23. Να λύσετε την ανίσωση:

α. 9 3x 1 10x 5 9(10x 5) e e (3x 1)− ++ − < − + − .

β. 2 2ln(x x) x ln(x 3) 3+ + > + + .

24. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x)) = f(x)+2x-2

για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

25. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x)) = 3x-2 , για

κάθε x ∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι f(1) = 1.

β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

γ. Αν η f είναι πρωτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση και γνησίως

φθίνουσα, να βρεθεί ο τύπος της.

26. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x 6

7

−.

α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f –1

β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .



27. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

f(f(x))+f 3(x) = 2x+3, x∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι η f είναι 1–1

β. Να λύσετε την εξίσωση f(2x3+x) = f(4–x).

28. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ , για την οποία ισχύει:

f(x)–2f 3(x)+x–1= 0, για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να βρεθεί η f –1

.

29. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: →ℝ ℝ , της οποίας η

γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(–1,5) και Β(2,4).

α. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f –1

.

β. Να λυθεί η εξίσωση f ( f –1

(x2)–3)=5.

γ. Να λυθεί η ανίσωση f(f –1

(ex+3)–3) > 5.

30. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: →ℝ ℝ , της οποίας η

γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α( 2,5) και Β(3,8).

α. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f –1

.

β. Να λυθεί η εξίσωση f ( -1+f –1

(x-1) ) = 5.

γ. Να λυθεί η ανίσωση f –1

(3+ f (x-5) ) < 3.

31. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : →ℝ ℝ με:

2 2(f f )(x) = x 5x+9 και g(x) = x xf(x)+3− − για κάθε x∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι:

α. f(3) = 3 .

β. Η συνάρτηση g δεν αντιστρέφεται.



32. Έστω η συνάρτηση f με 2019f(x) = x 4x+4+ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

β. Να υπολογίσετε το f –1

(9) .

γ. Να λύσετε την εξίσωση f –1

(2x 3x+11) = 1− .

δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .

33. Έστω η συνάρτηση f με 2019f(x) = x x 1+ − , x ∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να βρεθούν τα f –1

( 1− ) και f –1

( 3− ).

γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .

34. Έστω η συνάρτηση f με 3f(x) = x x+2+ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να λυθεί η εξίσωση f –1

(x) =1 .

γ. Να λυθεί η εξίσωση f –1

( x) = x 1− .

δ. Να λυθεί η ανίσωση 1f (x) x 1.− ≥ −

35. Έστω f : →ℝ ℝ με f( )=ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

f(x) 3e 2017f (x)+2018=x+ για κάθε x ∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β. Να βρείτε τον τύπο της -1f .

36. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ με σύνολο τιμών f( )=ℝ ℝ . Αν η f είναι

γνησίως μονότονη και η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1, 5) και Β(3,-1)

τότε:



α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β. Να λυθεί η εξίσωση: ( )( )1 1 2f 2 f x x+3 3− −− + + =

γ. Να λυθεί η ανίσωση: ( )2f(x) 5 4f(x)≤ +

37. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: 2

22

x 3x+2 lim

x x 2xA

→−

+=

+ −

3 2

21

x +4x 3x 2lim

x 3x+2xB

→

− −=

−

4 2

21

x 3x 4lim

x x 2x→−

+ −Γ =

− −

3 2

21

x x x+1lim

x 4x+3x→

− −∆ =

−

4 2

23

x 2x 3x 54lim

x 2x 3xE

→

− − −=

− −

3

21

2

8x 1lim

4x 1x

Z→

−=

−

38. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια:

21

x+3 2lim

x 1xA

→

−=

−

2

1

x 3 2xlim

x+1xB

→−

+ +=

21

2 x+3lim

x 1x→

−Γ =

−

0

x+9 3lim

9 x 3x→

−∆ =

− −

2

4x 1 3lim

x x+2xE

→

+ −=

−

3

5x+1 4lim

8x+1 5xZ

→

−=

−

39. Αν f(x) = 2

2αx+ 3β, x <1

x 1, x >1

x 1

− −

, να βρείτε τα α, β∈ℝ , αν είναι γνωστό

ότι υπάρχει το x 1limf(x)

→ και η Cf να διέρχεται από το σημείο Α(–2,–8).



40. Αν f (x)

2

2

x , x 1

2x+5, 1 x< 3

x x 2, x 3

xα β

β α

+ + ≤

= < + − − ≥

, να βρείτε τις τιμές των α, β,

ώστε να υπάρχουν τα 1 3

limf(x) και limf(x)x x→ →

41. Έστω οι συναρτήσεις f και g που είναι ορισμένες στο ℝ για τις

οποίες υποθέτουμε ότι: 1

lim(2f(x)+3g(x))=3x→

και 1

lim(f(x) 2 (x))=4x

g→

− .

Να βρείτε τα όρια: 1

limf(x)x→

και 1

lim (x)x

g→

.

42. Αν 2f(x) 3x+5 x− ≤ για κάθε x 0≠ , να βρεθεί το

0limf(x)x→

.

43. Αν για κάθε x∈ℝ ισχύει x–x3≤g(x)≤x+x

3, να βρεθεί το

x 0

g(x)lim

x→.

44. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ με την ιδιότητα 2f(x) x+2 x 2x+1− ≤ − για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι

1limf(x)= 1x→

− .

45. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

3x+3 (x 2)f(x)+3 3 x+7 6≤ − ≤ − για κάθε x∈(1,3) . Να

υπολογίσετε το 2

limf(x)x→

.

46. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

2 24x x +3 (x 1)f(x) + 8x 5x 3, x≤ − ≤ + ∈ℝ .

Να υπολογίσετε το όριο 1

limf(x)x→

.

47. Να υπολογιστούν τα όρια:

0

3lim x.ηµ

xxA

→

=

2

0

1lim x.ηµ

xxB ηµ

→

=

( )2

2

4x+3lim x 2x

x 2xηµ

→

Γ = − − ( )

1

2018lim x 1 .

x 1→

∆ = − − xηµ

0

2lim x.ηµ

xxE ηµ

→

=

2

0

x 4 2 1lim

x xxZ ηµ

→

+ −=




20

2xlim

x 2xA

x

ηµ→

=+

0

6lim

3xx

xB

ηµηµ→

=

0

3xlim

xx

εφεφ→

Γ = 0

9 x 3lim

x+1 1x

ηµ→

+ −∆ =

−

0

x+xlim

x+1 1xE

εφ→

=−

0

5x xlim

x+ηµxxZ

ηµ→

−=

49. Αν για κάθε x κοντά στο 0 ισχύει: αημx+βημ2x ≤γημ3x, να

αποδείξετε ότι: α+2β = 3γ

50. Αν x 2

f (x) 4lim 2018

x 2→

+=

− τότε:

α. Να βρείτε το x 2limf (x)

→.

β. Να βρείτε το [ ]

x 2

ηµ f (x) 4lim

x 2→

+

−.


2

x+4lim

x 2x→Α =

−

25

x+8lim

x 25xB

→=

−

2

23

9lim

x 6x+9x

x→

−Γ =

−

22

x+5lim

x 4x+4x→∆ =

−

( )

2

31

x 5x 6lim

x 1xE

→

+ −=

−

1

x 4lim

x+1xZ

→−

+=

52. Να βρεθούν τα όρια:

( )5 2lim 2x 3x 2x+12x

A→+∞

= + + ( )3 2lim 4x 5x 3x+6x

B→−∞

= − +

2

2

6x 3x+5lim

2x 4x+3x→+∞

+Γ =

−

4 2

2

3x 4x 6x+3lim

x 5x 7x→−∞

+ −∆ =

+ −

2

3 2

3x 7x+4E= lim

4x 5x 2x+3x→+∞

−+ −

6 3

7 4 2

2x 4x 2x+24Z= lim

x 6x 3x 12x→−∞

+ −− − +

2x 3x

H= limx+6x→+∞

−

2x 5x+12lim

x+4x→−∞

+Θ =




( )2A= lim x 4x+6 x+7x→+∞

+ + ( )2B= lim x x+2 x+5x→−∞

+ −

( )2lim x 3x+4 x+5x→+∞

Γ = + − ( )2lim 4x 3x+5 2x 5x→−∞

∆ = − + −

( )2 2E= lim 4x 5 x x+1 3xx→+∞

+ + + −

54. Για τις διάφορες τιμές του α∈ℝ να υπολογίσετε τα όρια:

3

2

( 1)x x 3A= lim

( 2)x x+5x

αα→+∞

− + −− +

3

2

( 3)x ( 5)x+6B= lim

(α+1)x 5x+4x

α α→−∞

− − −−

3 2

2

( 2)x ( 7)x 5x 4lim

( 3)x ( 1)x+6x

α αα α→+∞

− + − + −Γ =

− + −

( )2lim 4x 3x+2 xx

α→−∞

∆ = − +

( )2E= lim 9x 5x+3 xx

α→+∞

+ −

( )2 2 2Z= lim x x 9xx

α α→−∞

+ − +

55. Να βρείτε τους α, β∈ℝ ώστε:

α. ( )2lim x 2x+4 x+β 5x

α→+∞

+ − =

β. ( )2lim x x+2 x+β 3x

α→+∞

+ + =

γ. 2x x+2

lim x+β 5x+1x

α→−∞

+− =




( )

4 2

x+1 2xΑ= lim

x 3x 2x

ηµ→−∞ + +

2

3

3x x+xσυνxB= lim

x 3x+4x

ηµ→−∞ −

2

2

2x xlim

x xx

ηµσυν→+∞

−Γ =

+ ( )2lim x 1 x 3x

xηµ

→+∞

∆ = + −

57. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0=1 τη συνάρτηση:

2x 3 2, x 1f(x)= x 1

3 , x=1

+ − ≠ −

58. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0=0 τη συνάρτηση:

2ηµxηµ , x 0

f(x)= x 0 , x=0

≠

59. Δίνεται η συνάρτηση:

2αx x 5 ,x 1

f(x)= x 1 6 , x=1

β + −≠

−

Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής.

60. Δίνεται η συνάρτηση f(x) 2

αx + β , x 2

x + 5- 3 3 , x=2

≠

=

.

Να βρεθούν τα α, β ∈ℝ αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής

στο ℝ .

61. Δίνεται η συνάρτηση 2

7αx+6β , x -1f (x)

x +2βx+4 , x>-1

≤=

.

Να βρεθούν τα α, β ∈ℝ , αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο

0x = -1 και η fC διέρχεται από το σημείο ( )M 3,1 .



62. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι 2 2f (x) 6f (x) 9 x 0− + συν ≤ για

κάθε x ∈ℝ , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0.

63. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f

στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. xf(x)=ηµ(2018x) για κάθε x ∈ℝ .

β. 2f(x)+ x x+2 1 x(f(x)+1)+ = + για κάθε x ∈ℝ .

γ. ( ) 2x 1 f (x) 2 x 3− + = + για κάθε x ∈ℝ .

64. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=0 και ισχύει:

3xf(x) 5x xηµ− ≤ για κάθε x ∈ℝ , να βρεθεί η τιμή f(0).

65. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0, να υπολογίσετε την τιμή

f(x0) στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. 2(x 1)f(x)=x 3 4x− + − για κάθε x ∈ℝ και x0=1.

β. 3 3x x xf(x) x+ xηµ ηµ− ≤ ≤ για κάθε x ∈ℝ και x0=0.

γ. [ ]xf(x) 2 f(x)+ηµ(x 2)≤ − για κάθε x ∈ℝ και x0=2.

δ. 4 2 3

xf(x) x xx

ηµ ηµ− ≤ για κάθε *x∈ℝ και x0=0.

ε. 2(x 2)f(x) x 5x+6− ≥ − για κάθε x ∈ℝ και x0=2.

66. Aν f , g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο ℝ και h(x)=f(x)g(x) . Αν η

συνάρτηση h(x) είναι συνεχής στο x0 με h(x0)≠ 0 και η f δεν είναι

συνεχής στο x0, τότε να δείξετε ότι η g(x) δεν είναι συνεχής στο x0.

67. Έστω f, g δυο συναρτήσεις στο ℝ για τις οποίες ισχύουν:

• Η g είναι συνεχής στο 2018.

•2018 2018

lim f(x)=2019 και lim f(x)=2017x x+ −→ →

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h(x)=f(x)g(x) είναι συνεχής στο x0=2018,

όταν και μόνο όταν g(2018)=0.



Αν δίνεται ότι η f είναι συνεχής σε κάποιο 0x α= και ζητείτε η

συνέχεια στο ℝ τότε εργαζόμαστε με βάση τον παρακάτω πίνακα

αν η σχέση

περιέχει τη

μορφή

Τότε θέτουμε Έτσι

όταν

Τότε

είναι Και θα έχουμε

f (x y)+ 0x x h α− = −

0x x→

h α→ 0f (x) f (x h α) ...= + − =

f (x y)− 0x x h α− = − − h α→ 0f (x) f (x h α) ...= − − =

f (x y)⋅

0

x h

x α= h α→ 0

hf (x) f (x ) ...

α= ⋅ =

x

f ( )y

0

x α

x h= h α→

0xf (x) f ( α) ...

h= ⋅ =

68. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: f(xy)=xf(y)–yf(x)

για κάθε x, y∈ℝ . Αν η f είναι συνεχής στο x0=4, να αποδειχθεί ότι η f

είναι συνεχής στο ℝ .

69. Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

f(x+y)=f(x)–f(y) για κάθε x, y∈ℝ . Αν η f είναι συνεχής στο x0=2, να

αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο ℝ .

70. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει 2

x 2

f(x) x 2x 5lim 2018

x 2→−

+ − −=

+. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται

από το σημείο Μ(–2,–3), να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο x0= –2.

71. Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο ℝ και τέτοιες, ώστε: f(x)<1

και g(x) > 1 για κάθε x∈ℝ . Αν υπάρχουν α, β*+∈ℝ με α < β και f(α)=α,

g(β)=β, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ∈(α, β) έτσι, ώστε: f(ξ)·g(ξ)=ξ.

72. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

g(x)=ln(x+2) και h(x)=4x–1, έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο με

τετμημένη 0x ∈(–1,e–2).



73. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x3+αx

2+2=0 με α<–3 έχει δύο,

τουλάχιστον, ρίζες στο (–1,1).

74. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x3–x

2+3 και g(x)=x

2+5x–4. Να δείξετε

ότι οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται σε ένα, τουλάχιστον,

σημείο Μ(x0, y0) με x0∈(1,2).

75. Να δείξετε ότι η εξίσωση x3+3x

2–1=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες

στο (–2,1).

76. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2018 2019x 2018 x 2019

0x 1 x

+ ++ =

− έχει

μια τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 , 1).

77. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β]

για την οποία ισχύει: ( ) ( ) [ ]2 2f(α) f(β) 5 2 f ( ) 2f ( )α β+ + ≤ − .Να

αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f κόβει τον άξονα x΄x σε ένα

τουλάχιστον, σημείο με τετμημένη x0∈(α, β).

78. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ για την οποία ισχύει:

x1+x f(x) e≤ ≤ για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι:

α. Η f είναι συνεχής στο x0=0.

β. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον,

0x ( 1, 1)∈ − τέτοιος ώστε 00

f(x )x

2018= .

γ. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον,

(0, 1)ξ ∈ τέτοιος ώστε 2f(ξ) e ξ= .

79. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει 0 f (x) 2< < για κάθε

x ∈ℝ να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22x f (x) 2f (x)+ = έχει μια

τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,2).

80. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,1]

με f(0)=α και f(1)=β, όπου α, β∈(0,1). Να αποδείξετε ότι υπάρχει

ξ∈(0,1) τέτοιος, ώστε f(ξ)=ξ.



81. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f(x)=x x+γβ+ και

2g(x)= x x+γβ− +

με γ≠ 0. Αν 1ρ είναι ρίζα της f και 2ρ ρίζα της g με 1 2ρ ρ< , να

αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + 2g(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα

στο ( )1 2,ρ ρ .

82. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ , η οποία ικανοποιεί τις

συνθήκες: 1

f(x)lim 2018

x 1x→=

− και

24 (x 2) (x 2)f(x) x 4ηµ − ≤ − ≤ −

για κάθε x∈ℝ . Nα αποδείξετε ότι:

α. f(1) = 0 και f(2) = 4.

β. Αν g(x) = x2-x+1, τότε η Cf τέμνει την Cg σε ένα τουλάχιστον σημείο

Μ(x0, y0) με x0 ∈(1, 2).

83. Έστω f συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα

στο διάστημα [0,1]. Αν είναι f(1) < 2018 < f(0), να αποδείξετε ότι:

α. Η συνάρτηση h(x) = f(x)-2018x είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1].

β. Υπάρχει μοναδικός x0∈(0,1) τέτοιος ώστε 0

0

f(x )2018

x= .

84. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: f(x)f(x) + e = 5 - 4x για κάθε για x ∈ℝ και f(1)=0 .

Να αποδειχθεί ότι:

α. Η f αντιστρέφεται

β. Η εξίσωση ( ) ( )3fof (x) - f 5-10x = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο

( )0,1 .

85. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

lim f(x)=2018x→+∞

. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + lnx= 5 έχει

τουλάχιστον μία θετική ρίζα.

86. Να δείξετε ότι η εξίσωση x2ln x 3e 0+ = έχει μία τουλάχιστον

ρίζα στο (0,1).

87. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 2ln x x 2x 7x 3= + − + έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).



88. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,1].

Aν ισχύει 2018f(0)+2019f(1) = 0, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [0,1].

89. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] με α < 2018 < β και 4f (2018) f(α)f(β)=0+ , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον

ξ∈[α, β], ώστε f(ξ)=0.

90. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και ef(α)+π f(β)=0eπ

να

αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ∈[α, β], ώστε f(ξ)=0.

91. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει 2 2x x f(x) x xβ α− ≤ ≤ − για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β].

92. Αν η συνάρτηση f:[α, β]→ [α, β] είναι συνεχής και α, β > 0, να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈[α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) β

α ξ= .

93. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι συνεχής και

γνησίως μονότονη στο ℝ και για την οποία ισχύει: 2 2f (0) 4f (1) 2 2f (0) 4f (1)+ + = +

α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο ℝ .

β. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x (0,1)∈

τέτοιος ώστε 0

0

f (x )1

x= .

94. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι συνεχής στο ℝ με

f (1) 2= − και x 2limf (x) 0→−

> , αν 1− και 2 είναι οι μοναδικές ρίζες της

εξίσωσης f (x) 0= , να υπολογίσετε το όριο 3

2x

f (0)x 5x 2lim

f ( 3)x 3x 7→+∞

+ −− + +

95. Αν για κάθε x [-4, 4]∈ η f είναι συνεχής και ισχύει 2 2x f (x)=16+ ,

να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-4, 4).



96. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : (1, + )∞ →ℝ τέτοια ώστε

( )2019

20182 2

x 1 f (x) 1 x 1x 1

+ − = + + + για κάθε x (1, )∈ +∞ .

Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (1, )+∞ .

97. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ , ώστε για κάθε x ∈ℝ

να ισχύει η σχέση 2g (x)+f(x)g(x) 2018≤ − . Να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ .

98. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει:

2 6 4 23f (x)+7f(x) 2018=5x 3x 2x 1− + + + για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε

ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ .

99. Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:

f(2019)+f(2018)=0 και f(x)≠ 0 για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν

είναι συνεχής στο ℝ .

100. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ με:

( )( )2 2 2f(x) x f(x)+x 2x 1− = + για κάθε x ∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 είναι αδύνατη.

β. Να βρείτε τον τύπο της f, αν f(2018)=24.1009 1+ .

101. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f: →ℝ ℝ , με f(0)=2, για την

οποία ισχύει: 2 2 2f (x) - 6f(x)ηµx - 9συν x = x , για κάθε x ∈ℝ .

102. Έστω f :[ 1, 1]− →ℝ μια συνάρτηση που είναι συνεχής με

f (0) 1= ,για την οποία ισχύει: 2 2f (x) + 2x 2xf(x) + 1= , για κάθε

x [ 1, 1]∈ − . Να βρείτε τον τύπο της f .

103. Έστω f :[ 1, 4]− → ℝ μια συνεχής συνάρτηση για την οποία

ισχύει: 2 2f (x) + x 3x + 4= , για κάθε x [ 1, 4]∈ − .

α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f (x) 0= .

β. Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y΄y

στο σημείο με τεταγμένη -2, να βρείτε τον τύπο της f .



104. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : →ℝ ℝ για τις

οποίες ισχύει: 2 2f (x) - x -2x + 1= για κάθε x ∈ℝ .

105. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : →ℝ ℝ για τις

οποίες ισχύει: ( ) ( )22 2 2f(x) +1 +2 x x + 1 2f ( )x= + για κάθε x ∈ℝ .

106. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2∈[α, β], να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈[α, β] τέτοιος, ώστε 3f(x1)+4f(x2)=7f(ξ).

107. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2,x3∈[α, β], να

αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈[α, β] τέτοιος, ώστε

f(x1)+2f(x2)+3f(x3)=6f(ξ).

108. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2,x3∈[α, β]. Aν

κ, λ, μ είναι θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=2018 να αποδείξετε ότι υπάρχει

ένα τουλάχιστον ξ∈[α, β] τέτοιος ώστε: 1 2 3κf(x )+λf(x )+µf(x )f(ξ)=

2018.

109. Έστω f: [0,6]→ℝ συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με

f(0)=8 και f(6)=2. Να αποδείξετε ότι:

α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈(0, 6) τέτοιος, ώστε

f(1) + 2f(2) + 3f(3) + 4f(4)

f(ξ) = 10

β. Η εξίσωση f(x)=7 έχει μοναδική ρίζα.

110. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [1,4]

με:

f(1)f(2)f(4)=8 και f(x)≠ 0 για κάθε x∈[1,4].

Να αποδείξετε ότι:

α. f(x)>0 για κάθε x∈[1,4].

β. Η εξίσωση f(x)=2 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,4].

γ. Η εξίσωση f(x)=x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,4].



111. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο ℝ με f(2) = 5 και

f(f(x))+f(x) = 20 για κάθε x ∈ℝ . Να βρείτε την τιμή f(10).

112. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο ℝ με f(8) = 5 και

f(f(x)).f(x) = 2 για κάθε x ∈ℝ . Να βρείτε την τιμή f(3).

113. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞)

με limx 0+→

f (x) = γ ℝ∈ και limx → +∞

f (x) = δ ℝ∈ , να αποδείξετε ότι υπάρχει

μόνο ένας αριθμός x0 > 0 τέτοιος ώστε να ισχύει: 0x +10 0f(x )+e +lnx =1.

114. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (0,3) →ℝ η οποία είναι γνησίως

αύξουσα στο (0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,3) . Αν f (1) 2= ,

x 0lim f (x) 1

+→= − και

x 3lim f (x) 2

−→= − , να βρείτε:

α. Το σύνολο τιμών της f .

β. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) 0= στο ( )0,3 .

115. Να δείξετε ότι , αν μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [ ]1, 3

και σύνολο τιμών το ( )3,6 , τότε η f δεν είναι συνεχής.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

1. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

2 1

xf (x) ηµ3x 4x 5x ηµx

+ = − ⋅ για κάθε x ∈ℝ .

α. Να βρείτε τον τύπο της f.

β. Να υπολογίσετε τα όρια xlim f (x)→−∞

και xlim f (x)→+∞

.

γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0= έχει μία τουλάχιστον

αρνητική και μία τουλάχιστον θετική ρίζα.

2. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[0,2] →ℝ για την οποία ισχύει ότι

f (0) f (2) 0+ = .

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0= έχει μια τουλάχιστον ρίζα

στο διάστημα [0,2] .

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [0,2]∈ τέτοιο ώστε:

f (1)

f (ξ)3

=

γ. Δίνεται η συνάρτηση g(x) f (x) (2x 1)f (x 1)= + − +

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g .

ii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα

x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο.

3. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : →ℝ ℝ . Οι fC και gC δεν

έχουν κανένα κοινό σημείο και ισχύει ότι f (2018) g(2018)> . Επίσης

ισχύουν οι σχέσεις:

2

x 1

(x 1)f (x) x 3 2 7lim

x 1 4→

− − + +=

− και

2x 0

xg(x) ηµxlim 1

x x→

−= −

+

α. Να αποδείξετε ότι f (x) g(x)> για κάθε x ∈ℝ .

β. Να βρείτε τις τιμές f (1) και g(0) .

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (0,1)∈ τέτοιο

ώστε: 0 0 03f (x ) g(x ) 4x+ = .



4. Έστω f : →ℝ ℝ μία συνάρτηση με f (0) 0= , η οποία είναι

συνεχής και ισχύει ότι: 2f (x) f (x)e 2x e 1+ ⋅ = , για κάθε x ∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι 2f (x) ln( x 1 x)= + − , για κάθε x ∈ℝ .

β. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2f (x)e 2017 1− = έχει, μια τουλάχιστον

ρίζα.

5. Έστω f :[0, )+∞ →ℝ μία συνεχής συνάρτηση με f (0) 1= , για την

οποία ισχύει ότι: 2f (x) 1 2x f (x)= + ⋅ , για κάθε x 0≥ .

α. Να βρείτε τη συνάρτηση f.

β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια, να βρείτε το

πεδίο ορισμού της 1f (x)−

.

γ. Για κάθε α,β 0≥ , να δείξετε ότι η εξίσωση f (α) f (β)

0x 1 x 2

+ =− −

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2) .

6. Δίνεται η συνάρτηση xf (x) x e 1= + − .

α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να λύσετε την εξίσωση xe 1 x= − .

γ. Να λύσετε την ανίσωση ( )1f f (x) x 1 1− − + >

δ. Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως μονότονη συνάρτηση

g : →ℝ ℝ η οποία για κάθε x ∈ℝ ικανοποιεί τη σχέση

g(x)g(x) e 2x 1+ = + . Να αποδείξετε ότι:

i. H g είναι γνησίως αύξουσα.

ii. Η gC διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )2018g g (x) g 1 x 0− − = , έχει μία

τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( )0,1 .

7. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει η σχέση: 32f (x) 3 2x 3f (x)− = − , για κάθε x ∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο ℝ .



β. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το ℝ , να αποδείξετε ότι η f

αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f −.

γ. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0= .

δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και 1f −.

8. Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0,1) →ℝ

για την οποία ισχύουν:

x 0

f (x) 2lim 3

x→

+=

22ηµ(x 1) (x 1)f (x) x 1− ≤ − ≤ − , για κάθε ( )x 0,1∈ .

α. Να βρείτε τα όρια x 0lim f (x)

+→ και

x 1lim f (x)

−→.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

g(x) f (x) ln x 3= − − , ( )x 0,1∈

γ. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f (x) 3h(x) e −= τέμνει την ευθεία y x= σε ένα τουλάχιστον 0x (0,1)∈ .

9. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία και για κάθε x ∈ℝ ,

ισχύει: ( ) ( )2 2f (x) x 2 f (x) x− ≤ +

α. Να δείξετε ότι στο σημείο 0x 1= − η f είναι συνεχής.

β. Να βρείτε το όριο 2x

f (x)lim

x→+∞ .

γ. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 6x=

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1

0, 2

.

10. Έστω συνάρτηση [ )f : 1, +− ∞ →ℝ που είναι συνεχής στο πεδίο

ορισμού της και για κάθε x 1≥ − ισχύει:

28x 8 4 (x 1) f (x) 2x 2 2+ − ≤ − ⋅ ≤ + −

α. Να βρείτε τον αριθμό f (1) .

β. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )0x 1, 1∈ − ώστε να ισχύει 0 0f (x ) 2x= .



11. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία και για κάθε

x ∈ℝ , ισχύει: 2xf (x) 2 f (x) 3x 1+ = + + . Να δείξετε ότι υπάρχει

0x (0,1)∈ , ώστε 0 04f (x ) 7x= .

12. Έστω η συνεχής συνάρτηση [ ]f : 0,2 →ℝ με f (0) 0 , f(1) = 5=

και f (2) 5= − . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f (x) 16 = έχει,

τουλάχιστον δύο ρίζες στο ( )0,2 .

13. Δίνονται οι συνεχείς στο ℝ συναρτήσεις f και g για τις οποίες

ισχύουν:f (x) 0≠ για κάθε x∈ℝ .Οι γραφικές τους παραστάσεις

τέμνονται στο A(2, 1)− . 1ρ 1= − και 2ρ 5= είναι δύο διαδοχικές ρίζες

τηςg(x) 0= . Να αποδείξετε ότι:

α. f(x) < 0 για κάθε x∈ℝ .

β. g(x) 0< για κάθε x ( 1,5)∈ − .

γ. 4 2

3x

f (3) x 2x 1lim

g(2) x 5→−∞

⋅ + += −∞

⋅ + .

14. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [-3,3] για την οποία ισχύει

2 23x 4f (x) 27+ = για κάθε x∈ [-3,3].

α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f (x) 0= .

β. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (-3,3).

γ. Να βρεθεί ο τύπος της f .

δ. Αν επιπλέον f (1) 6= να βρείτε το όριο x 0

3 3f (x)

2limx→

− .

15. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[0, )+∞ →ℝ για την οποία

ισχύει: 2 8 2 x

x 2x 9 3 x f (x) x ηµ 3x 3

+ + ≤ + ⋅ ≤ + + για κάθε x 0> .

Να βρείτε:

α. Το όριο: 2

x 0

x 2x 9 3lim

2x→

+ + −.

β. Το όριο: 7

x 0

2lim x ηµ

x→ .



γ. Το όριο: x 0limf (x)

→.

δ. Το f (0) .

16. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

(f f )(x) 2f (x) 2x 1+ = + για κάθε x∈ℝ και f (2) 5= .

α. Να βρείτε το f (5) .

β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

γ. Να βρείτε το 1f (2)−

.

δ. Να λύσετε την εξίσωση: ( )1 2f f (2x 7x) 1 2− + − = .

17. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν

οι συνθήκες:

21

3ηµx 2xf (x) x2

− ≤ , για κάθε x ∈ℝ .

24f (x) 3f (x 1) 2x 2019+ + = − , για κάθε x ∈ℝ .

α. Να βρείτε το όριο x 0limf (x)

→ .

β. Να βρείτε το f (1) .

γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης g(x) x 1= − σε ένα τουλάχιστον σημείο με

τετμημένη 0x (0,1).∈

18. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:

2 2f (x) x x 1= + + , για κάθε x ∈ℝ .

x 0

1 f (x) 1lim

x 2→

+= − .

α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία

με τον άξονα x΄x .

β. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι 2f (x) x x 1= − + + , x ∈ℝ .

γ. Να βρείτε το όριο xlim (x f (x))→−∞

− .

δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο g(x) x f (x)= − , έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο ( , 0)−∞ .

= f (x)g( - askisopolis.gr · 15. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική του ερμηνεία. Έστω

Documents