ТЕОРИЯРИСКА дляактуариев взадачахmech.math.msu.su/~falin/files/Фалин_Г.И.,Фалин_А.И.(2004... · Среднее значение потерь

ТЕОРИЯ РИСКАдля актуариев

в задачах

Г.И. Фалинкафедра теории вероятностей

механико-математический факультетМГУ им.М.В.Ломоносова

А.И. Фалинкафедра общей математики

факультет вычислительной математикии кибернетики

МГУ им.М.В.Ломоносова

Издание второе, исправленное и дополненное

Рекомендовано учебно-методическим советом по прикладнойматематике и информатике УМО по классическому университетскомуобразованию для студентов высших учебных заведений, обучающихсяпо специальности 010200 ”Прикладная математика и информатика” ипо направлению 510200 ”Прикладная математика и информатика”

Москва 2004

Рецензенты:доктор физ.-мат. наук, профессор А.А.Васин (факультет вычислитель-

ной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова),кандидат экономических наук, доцент И.Б.Котлобовский (экономиче-

ский факультет МГУ им.М.В.Ломоносова).

Фалин Г.И., Фалин А.И.Теория риска для актуариев в задачах. – М.: Мир, ”Научный

мир”, 2004. – 240 с., ил.

ISBN 5-03-003607-5 (”Мир”)ISBN 5-589176-286-2 (”Научный мир”)

С помощью большого числа специально подобранных задач, для кото-рых приведены подробные решения, излагаются основные понятия и идеитеории оценки рисков в деятельности страховых компаний (модели индиви-дуальных потерь, наступления страховых случаев, индивидуального и кол-лективного риска, разорения и перестрахования). Основу книги составляютзадачи по теории риска, предлагавшиеся в последние годы на квалификаци-онных экзаменах Общества актуариев (США). Для понимания материалачитателю достаточно владеть основами математического анализа и теориивероятностей.

Для студентов экономико-математических специальностей, изучающихактуарную математику, а также для работников страховых компаний, пен-сионных фондов, банков.

c©Г.И.Фалин, А.И.Фалин 2002

Предисловие

Договоры страхования заключаются для того, чтобы избавиться от финан-совых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иныхслучайных событий. До заключения договора страхования страховательимел некоторый риск, который мог привести к случайным потерям X (амог и не привести к ним). После заключения договора страхования, запла-тив некоторую (в простейших случаях неслучайную) сумму p страховательизбавился от этого риска. Иными словами, страхователь идет на неболь-шие расходы с тем, чтобы избавиться от случайных потерь, которые хоть ималовероятны, но могут быть катастрофически большими для него. Одна-ко, сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компания. Поэтомуфинансовый риск и связанная с ним опасность разорения объективно при-сутствуют в деятельности любой страховой компании. Оценка этого рискапредставляет фундаментальный интерес для компании и служат основойдля принятия важнейших решений.

Проблема обеспечения финансовой устойчивости страховой компанииявляется комплексной; ее изучение и решение предполагает усилия специ-алистов в разных областях, прежде всего руководства компании, юристов,экономистов. Однако многие важные задачи носят чисто математическийхарактер. В рамках специальной математической теории – теории риска,разработана система понятий, моделей и методов, которые позволяют ко-личественно оценивать финансовые риски в деятельности страховой компа-нии. Имея в виду присутствие факторов случайности, общематематическойбазой для теории риска служат теория вероятностей и математическая ста-тистика. Соответственно, читателю достаточно владеть основами этих раз-делов математики в объеме обычных курсов высшей школы.

Теория риска традиционно входит в программу подготовки и аттеста-ции актуариев. Скажем, в старой аттестационной программе Общества ак-туариев США (The Society of Actuaries) (которая действовала до 2000 г.)был специальный экзамен по теории риска (экзамен 151). В новой атте-стационной программе (действующей с 2000 г.) вопросы по теории рискавключены в курс/экзамен 1 ("Математические основы актуарной науки"),в курс/экзамен 3 ("Актуарные модели") и в курс/экзамен 4 ("Построениеактуарных моделей").

Следует отметить, что Общество актуариев рассматривает теорию рискакак инструмент для решения реальных задач страхового бизнеса, а не как

4 Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin

чисто математическую теорию, навеянную задачами страхования. Задачиквалификационных экзаменов имеют ярко выраженную практическую на-правленность и позволяют получить определенное представление не толькооб актуарных расчетах, но и о разработке страховых продуктов, андеррай-тинге и т.д.

Основу книги составили задачи по актуарной математике квалификаци-онных экзаменов Общества актуариев, а также оригинальные задачи авто-ров. Некоторые задачи взяты из зарубежных и отечественных учебников имонографий по актуарной математике. При этом некоторые условия былиуточнены и их формулировки отредактированы.

В теории риска (как и в других разделах актуарной математики и, болеешироко, современных разделах экономики) нет общепринятой терминоло-гии на русском языке. Чтобы избежать недоразумений, при первом употреб-лении термина мы обычно приводим его английский вариант (хотя полнойстандартизации нет и в англоязычной литературе).

Первое издание книги было выпущено небольшим тиражом факульте-том вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносовадля использования в учебном процессе на тех факультетах, где имеетсяпрограмма подготовки актуариев (кроме факультета ВМиК, это – меха-нико-математический и экономический факультеты). Настоящее изданиедополнено большим количеством новых задач.

Мы признательны заместителю декана факультета ВМКМГУ Б.М.Щед-рину за помощь в подготовке первого издания и сотрудникам издательства"Мир"за кропотливую работу по подготовке второго издания.

Книга может использоваться в учебном процессе не только как сбор-ник задач, дополняющий общий теоретический курс теории риска, но и какоснова самостоятельного курса для студентов экономико-математическихспециальностей, интересующихся актуарной математикой. Она также бу-дет полезна работникам страховых компаний, пенсионных фондов, бан-ков. Большое число дополнительных учебных материалов по теории рис-ка можно найти на учебно-методическом сайте профессора Г.И.Фалина:http://mech.math.msu.su/∼ falin.

Мы были бы признательны читателям за советы и пожелания по поводукниги, которые просим направлять по адресу:

119991 Москва, МГУ, механико-математический факультет, кафедра тео-рии вероятностей, проф.Г.И.Фалину.

д.ф.м.н., проф. Г.И.Фалин

к.ф.м.н., доцент А.И.Фалин

30 сентября 2002 г.

Глава 1

Модели индивидуальныхпотерь

Элементарной составляющей финансового риска страховой компании являют-ся выплаты (потери, убытки) по индивидуальному договору. В ряде случаев(например, при страховании жизни) в рамках договора страхования может про-изойти только один страховой случай. В других примерах (скажем, при стра-ховании автомобилей) за время действия одного договора может произойтинесколько страховых случаев. Поэтому теория риска начинается с построениямоделей для индивидуальных убытков. В рамках теории риска интересуют-ся только величиной индивидуального убытка X, измеренной в тех или иныхденежных единицах. Основным является следующий вывод.

Относительно величины убытка, связанного с отдельным конкретным до-говором, нельзя сказать ничего опpеделенного (кроме простой констатациифакта, что он либо будет, либо нет). Однако, если мы имеем дело с большойодноpодной гpуппой договоров и не интеpесуемся судьбой конкретных догово-ров из этой гpуппы, то мы находимся в pамках теоpии веpоятностей как науки омассовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.Соответственно, мы можем говоpить о величине потерь X как о случайнойвеличине.

Случайные величины, моделирующие размер индивидуальных потерь, неявляются совершенно произвольными, а имеют определенные свойства. В ходеразвития актуарной математики были выделены основные типы этих случай-ных величин и основные операции над ними, которые представляют интересдля моделирования конкретных ситуаций, встречающихся в страховом деле.Эти вопросы и рассматриваются в настоящей главе.

В теории риска принято определенным образом структурировать случай-ную величину X, описывающую индивидуальные потери. Во многих случаях

5


естественно записать величину X в виде произведения

X = I · Y, (1.1)

где случайная величина I равна 1 или 0 в соответствии с тем, был или нетстраховой случай, а величина Y описывает размер страхового возмещенияпосле наступления страхового случая.

Если с одним договором за время его действия может быть связано несколь-ко страховых случаев, то величину X естественно записать в виде суммы

X = Y1 + Y2 + ... + Yν , (1.2)

где случайная величина ν описывает число страховых случаев, которые про-изошли за время действия договора, а случайные величины Yi описываютвеличины страховых возмещений после этих случаев.

Если принять обычное соглашение о том, что∑0

i=1 Yi = 0, то модель(1.1) является частным случаем модели (1.2). Отметим, что модель (1.2) вматематическом плане идентична модели коллективного риска для суммарныхпотерь страховой компании за определенный период. Поэтому мы поместилисоответствующие задачи в главу 4; см., например, задачу 4.23.

Описание индивидуальных потерь с помощью моделей (1.1), (1.2) (и по-добных им) удобно тем, что позволяет разделить влияние разных факторов навеличину потерь по отдельному договору. Как правило, на частоту наступлениястраховых случаев, q = P (I = 1) , влияют одни факторы, а на величину стра-хового возмещения, описываемого переменной Y, совсем другие. В качествепримера рассмотрим страхование автомобиля от повреждения при дорожно-транспортном происшествии. Ясно, что вероятность попасть в аварию зависитпрежде всего от возраста застрахованного; она велика для молодых людей(по причине лихачества) и для пожилых людей (из-за замедленной реакции).Однако величина расходов на ремонт автомобиля после аварии не зависит отвозраста; она связана с маркой автомобиля. В западной актуарной литературедля среднего размера страхового возмещения после наступления страховогослучая, m = EY , используется термин mean severity (средняя тяжесть илисредний размер) или просто severity (тяжесть, размер).

Величина EX = P (I = 1)·EY = qm описывает ожидаемые потери по до-говору страхования. Поэтому при назначении платы за страховое покрытие (ееназывают премией) страховая компания прежде всего принимает в расчет этусумму. Эта составляющая премии называется нетто-премией (net premium)или чистой премией (pure premium). Полная премия включает расходы наведение дела, прибыль страховщика и т.д. В некоторых случаях нетто-премиясоставляет лишь 10% от общей премии.

В простейших схемах страхования индивидуальный убыток X принимаетконечное число дискретных значений

b0 = 0, b1, . . . , bn.

Как мы знаем из общего курса теории вероятностей, стохастическая природа

Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin 7

дискретной случайной величины X описывается распределением вероятно-стей, т.е. набором вероятностей

p0 = P (X = b0), . . . , pn = P (X = bn)

возможных значенийb0, b1, . . . , bn.

Величина индивидуальных потерь X не может иметь непрерывное распре-деление, так как всегда имеется положительная вероятность того, что потериравны 0 (например, если страховой случай по договору вообще не наступил);более того, эта вероятность очень близка к 1. Однако величину страховоговозмещения Y в представлении X = I · Y часто естественно моделироватьс помощью непрерывных случайных величин. Как мы знаем из общего курсатеории вероятностей, стохастическая природа непрерывной случайной величи-ны Y описывается функцией распределения

F (x) = P (Y < x)

или плотностьюf(x) = F ′(x).

Поскольку в приложениях к страхованию величина Y положительна, то и функ-ция распределения F (x), и плотность f(x) тождественно равны 0 для отрица-тельных значений x. Поэтому ниже мы будем предполагать, что всегда x ≥ 0.

Для приложений важны такие макрохарактеристики индивидуальных по-терь X, как среднее значение mX = EX, дисперсия V arX = EX2 − (EX)2,среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение) σX =

√V arX,

коэффициент вариации cX = σX/mX , коэффициент асимметрии γ1 =E(X−mX)3

c3X

.В соответствии с общими формулами теории вероятностей, для дискретной

случайной величины X с распределением

p0 = P (X = b0), . . . , pn = P (X = bn)

мы имеем:

EX =n∑

i=0

bipi,

EX2 =n∑

i=0

b2i pi.

Для непрерывной случайной величины Y с функцией распределения F (x) =P (Y < x) и плотностью f(x) = F ′(x) в соответствии с общими формуламитеории вероятностей мы имеем:

EY =∫ ∞

0

xdF (x) =∫ ∞

0

xf(x)dx,

EY 2 =∫ ∞

0

x2dF (x) =∫ ∞

0

x2f(x)dx.


Задача 1.1 ([14]) Найдите коэффициент вариации выплат по договорустрахования жизни на один год. Страховая сумма b = 100 000 руб., веро-ятность смерти застрахованного в течение года q = 0.0025.

Решение задачи Пусть случайная величина X описывает выплаты подоговору. Тогда

EX = b · q = 105 · 25 · 10−4 = 250 (руб.),

аV arX = b2 · (1− q) · q = 1010 · (1− 25 · 10−4) · 25 · 10−4 ≈ 25 · 106,

так что среднее квадратичное отклонение

σX =√

V arX ≈ 5 000 (руб.),

а коэффициент вариации

cX = σX/EX ≈ 5 000/250 = 20.

2

Задача 1.2 ([14]) Подсчитайте среднее значение и коэффициент вари-ации выплат по договору страхования жизни на один год с зависимо-стью страховой суммы от причины смерти. Страховая сумма при смер-ти от несчастного случая b1 = 500 000 руб., а при смерти от "есте-ственных"причин b2 = 100 000 руб. Вероятность смерти в течение годаот несчастного случая q(1) = 0.0005, а вероятность смерти в течениегода от "естественных"причин q(2) = 0.0020.

Решение задачи Пусть случайная величина X описывает выплаты подоговору. Тогда

EX = b1 · q(1) + b2 · q(2) = 450 (руб.),

а

V arX = b21 · q(1) + b2

2 · q(2) − (EX)2

≈ 145 · 106,

так что среднее квадратичное отклонение

σX =√

V arX ≈ 12 042 (руб.),


cX = σX/mX ≈ 26.76.

2


Таблица 1.1:Размер Вероятность

страховоговозмещения

20 0.1530 0.1040 0.0550 0.2060 0.1070 0.1080 0.30

Задача 1.3 ([21]) Распределение размера страхового возмещения для до-говоров страхования автомобилей задается таблицей 1.1.

Какова доля страховых возмещений, которые отличаются от своегосреднего значения меньше, чем на одно стандартное отклонение? 1

(A) 45%

(B) 55%

(C) 68%

(D) 85%

(E) 100%

Решение задачи Пусть Y – размер страхового возмещения. Тогда

EY = 20 · 0.15 + 30 · 0.10 + 40 · 0.05 + 50 · 0.20+ 60 · 0.10 + 70 · 0.10 + 80 · 0.30 = 55,

EY 2 = 202 · 0.15 + 302 · 0.10 + 402 · 0.05 + 502 · 0.20+ 602 · 0.10 + 702 · 0.10 + 802 · 0.30 = 3500,

V arY = EY 2 − (EY )2 = 475,

σY ≡√

V arY = 21.794 . . .

Нас интересует вероятность события {|Y −EY | < σY }. Это событие равно-сильно тому, что {33.205 · · · < Y < 76.794 . . . }, и поэтому его вероятностьравна

P (Y = 40) + P (Y = 50) + P (Y = 60) + P (Y = 70) = 0.45.

Следовательно, верным является вариант (A). 2

1В этой и подобных задачах требуется установить, какой из предложенных вариантовответов (A,B,C,D или E) является правильным.


Задача 1.4 Величина индивидуального убытка X по договору за некото-рый период времени представима в виде:

X = IY,

где I – индикатор события "произошел страховой случай", а Y описываетвеличину ущерба вследствие страхового случая.

Известно, что

1. нетто-премия равна 2,

2. дисперсия случайной величины Y равна 16,

3. дисперсия случайной величины X равна 30.

Определите вероятность наступления страхового случая и средний раз-мер страхового возмещения.

Решение задачи Пусть q = P (I = 1) – вероятность наступлениястрахового случая. m = EY – средний размер страхового возмещения. Поформуле полного математического ожидания:

EX = P (I = 0) · E(X|I = 0) + P (I = 1) · E(X|I = 1)= 0 + P (I = 1) · E(Y |I = 1) = P (I = 1) · E(Y ) = qm,

EX2 = P (I = 0) · E(X2|I = 0) + P (I = 1) · E(X2|I = 1)= 0 + P (I = 1) · E(Y 2) = qE(Y 2),

так чтоV arX = EX2 − (EX)2 = qV arY + q(1− q)m2.

Решая систему уравнений

qm = 2,qV arY + q(1− q)m2 = 30,

V arY = 16,

мы получим для q квадратное уравнение

8q2 − 17q + 2 = 0.

Это уравнение имеет два корня: q = 2 и q = 1/8. Поскольку q – вероятность,значением вероятности наступления страхового случая будет 1/8. Соответ-ственно, средний размер страхового возмещения равен m = 16. 2

Задача 1.5 ([20]) Распределение размера потерь для договора страхова-ния склада от пожаров задается таблицей 1.2.

Подсчитайте средний размер страхового возмещения после пожара.


Таблица 1.2:Размер Вероятностьпотерь

0 0.900500 0.060

1 000 0.03010 000 0.00850 000 0.001

100 000 0.001

(A) 290

(B) 322

(C) 1 704

(D) 2 900

(E) 32 222

Решение задачи Пусть I – индикатор события "на складе произошелпожар", Y – размер страхового возмещения после пожара, X = I · Y – раз-мер потерь по договору. Распределение случайной величины X приведенов таблице 1.2, а среднее значение величины Y нам нужно найти.

Прежде всего отметим связь между распределениями этих случайныхвеличин:

P (X = n) ={

P (I = 0), если n = 0,P (I = 1) · P (Y = n), если n > 0.

Действительно, потери по договору равны 0, если только не было пожара.Иначе говоря, события {X = 0} и {I = 0} совпадают. Соответственно,равны и их вероятности. Если n > 0, то по договору производится выплатав размере n, если на складе произошел пожар и страховое возмещение послепожара в точности равно n. Иначе говоря, события {X = n} и {I = 1, Y = n}совпадают. Соответственно, равны и их вероятности: P (X = n) = P (I =1, Y = n). Поэтому, P (X = n) = P (I = 1) · P (Y = n|I = 1) = P (I =1) · P (Y = n).

Отсюда следует, что

EX = P (I = 1) · EY,

или, что то же самое,

EY =EX

P (I = 1).


Вероятность пожара P (I = 1) может быть непосредственно найдена из пер-вой строки таблицы 1.2:

P (I = 1) = 1− P (I = 0) = 1− P (X = 0) = 0.1.

Среднее значение потерь по договору, EX, без труда подсчитывается постандартной формуле для среднего значения дискретной случайной вели-чины:

EX =∑

n

n · P (X = n)

= 500 · 0.060 + 1 000 · 0.030 + 10 000 · 0.008+ 50 000 · 0.001 + 100 000 · 0.001= 30 + 30 + 80 + 50 + 100 = 290.

Поэтому EY = 290/0.1 = 2 900, так что верным является вариант (D). 2

Задача 1.6 ([14]) Предположим, что вероятность пожара на застрахо-ванном объекте стоимостью 6 млн. руб. равна q = 10−4. В случае пожараущерб Y равномерно распределен от нуля до полной стоимости объекта.Подсчитайте среднеее значение и дисперсию потерь по договору X.

Решение задачи Случайная величина Y имеет равномерное распре-деление на отрезке [a, b], если ее плотность f(x) постоянна на этом отрезке(и равна нулю вне этого отрезка): 2

f(x) ={

1b−a , если a < x < b,

0, если x < a или x > b.

Поэтому для среднего значения случайной величины Y имеем:

EY =∫ ∞

0

xf(x)dx =∫ b

a

x

b− adx

=x2

2(b− a)

∣∣∣∣b

a

=b2 − a2

2(b− a)=

b + a

2.

В рассматриваемом случае a = 0, b = M , где M – максимальная стоимостьобъекта, и мы получим более простую формулу:

EY =M

2.

Подставляя числовые значения параметров, мы имеем:

EY =6000000

2= 3 · 106руб..

2Плотность f(x) может быть произвольно определена в точках a и b, где функцияраспределения случайной величины Y не дифференцируема.


Аналогично,

EY 2 =∫ b

a

x2

b− adx =

x3

3(b− a)

∣∣∣∣b

a

=b3 − a3

3(b− a)=

b2 + ab + a2

3,

так что

V arY = EY 2 − (EY )2

=b2 + ab + a2

3− b2 + 2ab + a2

4

=b2 − 2ab + a2

12=

(b− a)2

12.

В случае a = 0, b = M мы получим более простые формулы:

EY 2 =M2

3,

V arY =M2

12.


V arY =36 · 1012

12= 3 · 1012.

Далее, так как X = I · Y, где I – индикатор события "произошел пожар",по формуле полного математического ожидания мы имеем:

EX = P (I = 0) · E(X|I = 0) + P (I = 1) · E(X|I = 1)

= 0 + P (I = 1) · E(Y |I = 1) = qEY = qb + a

2.


EX2 = P (I = 0) · E(X2|I = 0) + P (I = 1) · E(X2|I = 1)= 0 + P (I = 1) · E(Y 2|I = 1) = qE(Y 2)

= qb2 + ab + a2

3,

так что

V arX = qE(Y 2)− (qEY )2 = q · V arY + q(1− q) · (EY )2.

В случае a = 0, b = M мы получим более простые формулы:

EX = qM

2,

EX2 = qM2

3,

V arX = q(4− 3q)M2

12.



EX = 3 · 106 · 10−4 = 3 · 102 = 300 руб.,V arX ≈ 12 · 108.

Соответственно, для среднего квадратического отконения σX и коэффици-ента вариации cX имеем:

σX =√

V arX ≈ 3.46 · 104 руб.,cX = σX/EX ≈ 115.

2

Задача 1.7 ([11]) Статистический анализ данных о размерах страховыхвозмещений по некоторому портфелю договоров показал, что если Y –размер страхового возмещения, то величина Z = ln Y имеет нормальноераспределение со средним 6.012 и дисперсией 1.792. 3

Подсчитайте вероятность того, что страховое возмещение превыша-ет 200, но меньше, чем 500.

Решение задачи Искомая вероятность P = P (200 < Y < 500) можетбыть записана в виде:

P = P (200 < eZ < 500) = P (ln 200 < Z < ln 500).

Центрируя и нормируя гауссовскую величину Z, мы имеем (ниже ζ – стан-дартная гауссовская величина):

P = P

(ln 200− EZ√

V arZ<

Z − EZ√V arZ

<ln 500− EZ√

V arZ

)

= P

(ln 200− 6.012√

1.792< ζ <

ln 500− 6.012√1.792

)

= Φ(

ln 500− 6.012√1.792

)− Φ

(ln 200− 6.012√

1.792

)

≈ Φ(0.151)− Φ(−0.533).

Здесь, как обычно,

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−t2/2dt

– функция распределения стандартной гауссовской величины.

3Такое распределение индивидуальных потерь называется логарифмически нормаль-ным (или лог-нормальным).


Значения функции Φ(x) могут быть найдены в таблицах, приведенныхв конце большинства учебников по теории вероятностей, или подсчитаны спомощью Microsoft Excel, функция НОРМСТРАСП(x):

Φ(0.151) = НОРМСТРАСП(0.151) ≈ 0.560,

Φ(−0.533) = НОРМСТРАСП(-0.533) ≈ 0.297,

так что P ≈ 0.262.Отметим, что Microsoft Excel, функция

ЛОГНОРМРАСП(x; a; σ),

позволяет сразу найти значение лог-нормальной функции распределения сосредним a и стандартным отклонением σ в произвольной точке x. Поэтомуискомую вероятность можно подсчитать, набрав в строке формул

ЛОГНОРМРАСП(500; 6.012;КОРЕНЬ(1.792))−ЛОГНОРМРАСП(200; 6.012;КОРЕНЬ(1.792))

2

Задача 1.8 ([21]) Ежемесячные выплаты страховой компании модели-руются как непрерывная положительная случайная величина X с плот-ностью, пропорциональной (1 + x)−4 (при x > 0).

Определите средние выплаты компании за один месяц.

(A) 16

(B) 13

(C) 12

(D) 1

(E) 3

Решение задачи Пусть f(x) – плотность случайной величины X. Поусловию,

f(x) =C

(1 + x)4, x > 0,

где C – некоторая константа.Интегрируя это равенство по x от 0 до +∞, мы получим слева 1, а справа

∫ +∞

0

C

(1 + x)4dx = − C

3(1 + x)−3

∣∣∣∣+∞

0

=C

3.


Следовательно, C = 3 и поэтому

f(x) =3

(1 + x)4, x > 0.

Теперь для искомой величины EX мы имеем:

EX =∫ +∞

0

xf(x)dx =∫ +∞

0

3x

(1 + x)4dx

= 3∫ +∞

0

x + 1− 1(x + 1)4

dx

= 3∫ +∞

0

1(x + 1)3

dx− 3∫ +∞

0

1(x + 1)4

dx

=(

3(x + 1)−2

−2+ (x + 1)−3

)∣∣∣∣+∞

0

=12,

и поэтому верным является вариант (C).Распределение с плотностью вида

f(x) =α

λ

(λ

λ + x

)α+1

, 0 < x < +∞,

где λ > 0 и α > 0 – некоторые параметры, называется распределением Па-рето. Таким образом, случайная величина X имеет распределение Паретос параметрами λ = 1 и α = 3.

Повторяя только что проведенные выкладки, можно получить следую-щую общую формулу для произвольного распределения Парето:

EX =λ

α− 1.

Укажем еще один метод решения нашей задачи. Он основан на следую-щей формуле для среднего значения непрерывной положительной случай-ной величины X с плотностью f(x) и функцией распределения F (x):

EX =∫ ∞

0

(1− F (x))dx.

Эта формула может быть легко получена формальным интегрированием почастям из обычной формулы

EX =∫ ∞

0

xf(x)dx.

Аккуратное доказательство потребует немного усилий.


Прежде всего отметим, что∫ +∞

A

xf(x)dx ≥ A

∫ +∞

A

f(x)dx = A(1− F (A)).

Поскольку EX < ∞, при A → +∞ интеграл в левой части этого неравен-ства стремится к нулю. Значит,

limA→+∞

A(1− F (A)) = 0.

Далее,∫ A

0

xf(x)dx =∫ A

0

xdF (x) = −∫ A

0

xd(1− F (x))

= − x(1− F (x))|A0 +∫ A

0

(1− F (x))dx

= −A(1− F (A)) +∫ A

0

(1− F (x))dx.

Переходя к пределу при A → +∞, мы и получим требуемое равенство. 4Применим этот результат к нашей задаче. Прежде всего подсчитаем до-

полнительную функцию распределения ежемесячных потерь:

F (x) = 1− F (x) =∫ +∞

x

f(t)dt =∫ +∞

x

3(1 + t)4

dt

= −(t + 1)−3∣∣+∞x

= (1 + x)−3.

Теперь

EX =∫ +∞

0

(1− F (x)dx =∫ +∞

0

(1 + x)−3dx

=(x + 1)−2

−2

∣∣∣∣+∞

0

=12.

Отметим следующую общую формулу для дополнительной функции рас-пределения произвольного распределения Парето, которую легко получитьпростым повторением только что проведенных выкладок:

F (x) =(

λ

λ + x

)α

.

2

4Подобным образом можно получить аналогичную формулу для второго момента:

EX2 = 2

∫ +∞

0x(1− F (x))dx.


Задача 1.9 ([24]) Договор группового страхования покрывает медицин-ские расходы сотрудников небольшой компании. Суммарные годовые вы-платы страховщика, V , даются формулой

V = 100 000Y,

где Y – случайная величина с плотностью вида (ниже k – некоторая кон-станта):

fY (y) ={

k(1− y)4, если 0 < y < 1,0 в противном случае.

Чему равна вероятность того, что V превысит 40 000, при условии, чтоV больше, чем 10 000?

(A) 0.08

(B) 0.13

(C) 0.17

(D) 0.20

(E) 0.51

Решение задачи Прежде всего подсчитаем дополнительную функциюраспределения FY (y) ≡ 1 − FY (y) случайной величины Y . Ясно, что приy ≤ 0 FY (y) ≡ 1, а при y ≥ 1 FY (y) ≡ 0. При y ∈ (0, 1) мы имеем:

FY (y) =∫ 1

y

fY (t)dt =∫ 1

y

k(1− t)4dt

= −k

5(1− t)5

∣∣∣∣1

y

=k

5(1− y)5.

Поскольку FY (0) = 1, при y = 0 отсюда можно найти значение параметраk:

k = 5,

так что

FY (y) =

1, если y ≤ 0,(1− y)5, если y ∈ (0, 1),

0, если y ≥ 1.

Искомая вероятность P может быть записана как

P (V > 40 000|V > 10 000).


В терминах случайной величины Y ее можно переписать как P (Y > 0.4|Y >0.1). Поэтому по определению условной вероятности мы имеем:

P =P (Y > 0.4, Y > 0.1)

P (Y > 0.1)=

P (Y > 0.4)P (Y > 0.1)

=FY (0.4)FY (0.1)

=(1− 0.4)5

(1− 0.1)5=

32243

≈ 0.13169,

и поэтому верным является вариант (B). 2

Задача 1.10 ([30]) Ущерб от возможного пожара в магазине моделиру-ется случайной величиной Y с плотностью:

fY (x) ={

0.005(20− x), если 0 < x < 20,0 в противном случае.

Если ущерб от пожара больше 8, чему равна вероятность того, что ущерббольше 16?

Решение задачи Как и при решении задачи 1.9, прежде всего подсчи-таем дополнительную функцию распределения FY (x) ≡ 1− FY (x) случай-ной величины Y . Ясно, что при x ≤ 0 FY (x) ≡ 1, а при x ≥ 20 FY (x) ≡ 0.При x ∈ (0, 20) мы имеем:

FY (x) =∫ 20

x

fY (t)dt =∫ 20

x

0.005(20− t)dt

= 0.005(

20t− t2

2

)∣∣∣∣20

x

= 0.005(

200− 20x +x2

2

).

Искомая вероятность P может быть записана как

P (Y > 16|Y > 8).

Поэтому по определению условной вероятности мы имеем:

P =P (Y > 16, Y > 8)

P (Y > 8)=

P (Y > 16)P (Y > 8)

=FY (16)FY (8)

=200− 20 · 16 + 162

2

200− 20 · 8 + 82

2

=19.

2


Задача 1.11 ([24]) Актуарий установил, что размер страхового возме-щения для определенного вида несчастных случаев является случайной ве-личиной X с производящей функцией моментов 5

ψX(t) =1

(1− 2500t)4.

Определите среднее квадратичное отклонение для размера страхового воз-мещения.

(A) 1 340

(B) 5 000

(C) 8 660

(D) 10 000

(E) 11 180

Решение задачи Раскладывая функцию ψX(t) ≡ (1 − 2500t)−4 в рядпо степеням t, 6 мы получим:

ψX(t) =+∞∑n=0

(−4n

)(−2500t)n

=+∞∑n=0

(−4) · (−4− 1) · · · · · (−4− n + 1)n!

(−2500)ntn

=+∞∑n=0

4 · 5 · · · · · (n + 3)n!

2500ntn.

ОтсюдаEXn = 4 · 5 · · · · · (n + 3) · 2500n.

В частности,

EX = 4 · 2500 = 10 000,

EX2 = 4 · 5 · 25002 = 125 000 000.

Поэтому

V arX = EX2 − (EX)2 = 25 000 000,

σX =√

V arX = 5 000.

5Производящая функция моментов случайной величины X, ψX(t), определяется каксумма ряда

+∞∑

n=0

tn

n!E (Xn) .

Переставляя сумму и математическое ожидание, мы получим ряд для экспоненты, чтопозволяет записать ψX(t) как EetX .

6Напомним, что (1 + x)α =∑+∞

n=0

(αn

)xn.


Следовательно, верным является вариант (B). 2

Задача 1.12 ([24]) Время от момента приобретения оборудования до мо-мента его отказа имеет экспоненциальное распределение со средним 10лет. Владелец оборудования решил застраховать его на случай раннегоотказа. По условиям договора страховая компания выплачивает опреде-ленную страховую сумму x в случае отказа в течение первого года экс-плуатации, 50% от этой суммы в случае отказа в течение второго илитретьего года эксплуатации и не платит ничего, если оборудование про-работает без отказа три года.

Известно, что ожидаемые выплаты страховой компании по этому до-говору составляют 1000. Найдите размер страховой суммы x.

(A) 3858

(B) 4449

(C) 5382

(D) 5644

(E) 7235

Решение задачи Обозначим через T время до отказа оборудования.Тот факт, что случайная величина T имеет экспоненциальное распределе-ние означает, что ее плотность имеет вид

f(t) = λe−λt, t ≥ 0,

где λ > 0 – некоторый параметр.Соответственно, функция распределения случайной величины T дается

формулой:F (t) = 1− e−λt, t ≥ 0.

Для среднего значения имеем:

ET =∫ +∞

0

(1− F (t))dt =∫ +∞

0

e−λtdt

= − 1λ

e−λt

∣∣∣∣+∞

0

=1λ

.

Эта формула для среднего значения экспоненциально распределенной слу-чайной величины может быть получена и с помощью преобразования Ла-пласа ϕ(s) = Ee−sT ; для экспоненциального распределения:

ϕ(s) =∫ +∞

0

e−stλe−λtdt =λ

s + λ.


Теперь для ET мы имеем:

ET = −ϕ′(0) =λ

(λ + s)2

∣∣∣∣s=0

=1λ

.

Таким образом, параметр λ экспоненциально распределенной случайной ве-личины T имеет простой вероятностный смысл; он равен 1/ET . 7 Следова-тельно, в рассматриваемом случае λ = 0.1.

Пусть X – выплаты страховщика по договору страхования. Условия до-говора относительно размера страхового возмещения можно выразить сле-дующим образом:

X =

x, если T ≤ 10.5x, если 1 ≤ T ≤ 3

0, если T > 3

Поэтому

EX = x · P (T ≤ 1) + 0.5x · P (1 ≤ T ≤ 3)= x · (1− e−λ

)+ 0.5x · (e−λ − e−3λ

)

= 0.5x · (2− e−λ − e−3λ).

Отсюда для страховой суммы x мы имеем:

x =2EX

2− e−λ − e−3λ=

20002− e−0.1 − e−0.3

≈ 5644.23,

и поэтому верным является вариант (D). 2

Замечание. Как и равномерное распределение, экспоненциальное рас-пределение позволяет получать простые аналитические формулы при ре-шении различных актуарных задач, и потому часто используется в иллю-стративных примерах. Однако, в отличие от равномерного распределения,экспоненциальное распределение отражает некоторые характерные особен-ности реальных статистических данных при различных видах страхования.Именно, экспоненциальная модель означает большое число небольших по-терь и возможность хоть и редких, но очень больших убытков.

Вместе с тем следует отметить, что хотя в рамках экспоненциальноймодели теоретически и возможны сколь угодно большие убытки, реальноони почти никогда не наблюдаются. Это связано с тем, что вероятностьущерба , превышающего среднее значение, скажем, в 10 раз, равна P (T >10/λ) = e−λ·10/λ ≈ 4.5 · 10−5, т.е. крайне мала.

Кроме того, для экспоненциально распределенных величин среднее зна-чение равно дисперсии. Это довольно жесткое условие, которое не выпол-няется для многих видов страхования.

7Для второго момента ET 2 аналогично имеем: ET 2 = 2λ2 , и поэтому V arT = 1

λ2 .

Соответственно, среднее квадратичное отклонение σT = 1λ, а коэффициент вариации

cT = 1.


Задача 1.13 ([30]) В небольшом приморском городе годовые потери отштормов, пожаров и хищений имущества являются независимыми экс-поненциально распределенными случайными величинами со средними зна-чениями 1, 1.5 и 2.4 соответственно.

Найдите вероятность того, что максимальный из этих ущербов бу-дет больше, чем 3.

Решение задачи Пусть X, Y , Z – годовые потери от штормов, пожарови хищений имущества соответственно, U = max(X, Y, Z). Тогда:

P (U > t) = 1− P (U ≤ t) = 1− P (X ≤ t, Y ≤ t, Z ≤ t)= 1− P (X ≤ t)P (Y ≤ t)P (Z ≤ t) == 1− (

1− e−at) (

1− e−bt) (

1− e−ct),

где

a =1

EX= 1,

b =1

EY=

23,

c =1

EZ=

512

.

При t = 3 имеем:

P (U > 3) = 1− (1− e−3

) (1− e−2

) (1− e−5/4

)≈ 0.414.

2

Задача 1.14 ([27]) Размер ущерба (в тысячах долларов), причиненногожилым домам ураганным ветром, моделируется независимыми случай-ными величинами с плотностью

f(x) ={

3x4 , если x > 1,0 в противном случае.

Предположим, что было заявлено три таких страховых случая. Чему рав-но среднее значение наибольшего из них?

Решение задачи Пусть Y1, Y2, Y3 – размеры потерь по заявленнымстраховым случаям, U = max(Y1, Y2, Y3). Среднее значение случайной ве-личины U удобно найти с помощью формулы

EU =∫ +∞

0

P (U > x)dx.


Фигурирующая здесь дополнительная функция распределения P (U > x)в силу независимости и одинаковой распределенности величин Y1, Y2, Y3

имеет вид:

P (U > x) = 1− P (U ≤ x) = 1− P (Y1 ≤ x, Y2 ≤ x, Y3 ≤ x)

= 1− P (Y1 ≤ x)P (Y2 ≤ x)P (Y3 ≤ x) = 1− (F (x))3 ,

где F (x) – общая функция распределения величин Y1, Y2, Y3. Функцию F (x)можно найти через плотность f(x); для x > 1 имеем:

F (x) =∫ x

1

3t4

dt = − 1t3

∣∣∣∣x

1

= 1− 1x3

.

Поэтому для x > 1

P (U > x) = 1−(

1− 1x3

)3

.

Для x ≤ 1, очевидно, P (U > x) = 1. Следовательно,

EU = 1 +∫ +∞

1

(3x3− 3

x6+

1x9

)dx

= 1 +(− 3

2x2+

35x5

− 18x8

)∣∣∣∣+∞

1

= 1 +32− 3

5+

18

=8140

= 2.025,

или в абсолютных цифрах, $2025. 2

Задача 1.15 ([27]) Страховая компания изучает страховые случаи, вы-званные торнадо, по договорам страхования ферм.

Пусть X – доля ущерба, связанная с повреждением дома, а Y – доляущерба, связанная с повреждением другого имущества. Совместное рас-пределение случайных величин X и Y имет плотность

f(x, y) ={

6[1− (x + y)], если x > 0, y > 0, x + y < 1,0 в противном случае.

Определите вероятность того, что ущерб, причиненный дому, составля-ет менее 20% от величины общего ущерба.

Решение задачи Найдем распределение случайной величины X, опи-сывающей долю ущерба, связанную с повреждением дома. Для плотностиимеем (ниже мы предполагаем, что 0 < x < 1):

f(x) =∫ +∞

0

f(x, y)dy =∫ 1−x

0

f(x, y)dy

=∫ 1−x

0

6(1− x− y)dy = 6(1− x)y − 3y2∣∣1−x

0

= 3(1− x)2.


Теперь можно найти функцию распределения:

F (x) =∫ x

0

f(u)du = −(1− u)3∣∣x0

= 1− (1− x)3.

Искомая вероятность P (X < 0.2) – это F (0.2); она равна 1− 0.83 = 0.488. 2

Задача 1.16 Пусть X – суммарная годовая премия, собранная страховойкомпанией, а Y – общий размер страховых возмещений, выплаченных втечение этого года. Отношение r = Y

X часто используется в качествепростейшей характеристики успешности ведения страхового бизнеса втечение данного года.

Допустим, что X и Y являются независимыми случайными величи-нами, распределенными по экспоненциальному закону со средними 2 и 1соответственно.

Найдите среднее значение величины r.

Решение задачи Найдем дополнительную функцию распределенияслучайной величины r:

P (r > t) ≡ P

(Y

X> t

)= P (Y > tX)

=∫ +∞

0

fX(x)P (Y > tx)dx =∫ +∞

0

12e−

x2 e−txdx

=12

∫ +∞

0

e−(t+ 12 )xdx = −1

21

t + 12

e−(t+ 12 )x

∣∣∣∣+∞

x=0

=1

2t + 1.

Поэтому

Er =∫ +∞

0

P (r > t)dt = +∞.

Обратим внимание читателя на то, что EYEX = 0.5, т.е. средний размер стра-

ховых возмещений в течение года составляет 50% от среднего объема со-бранных премий за этот год. Тем не менее, оказалось, что E

(YX

)= +∞. 2

Задача 1.17 После того как страховая компания получает уведомление опожаре на застрахованном объекте, производится предварительная оцен-ка X величины страхового возмещения. Пусть Y – реальное страховоевозмещение, выплаченное страхователю после окончательного урегулиро-вания страхового случая.


Статистический анализ деятельности компании за предыдущие годыпоказал, что совместное распределение случайных величин X и Y имеетплотность

f(x, y) =2

x2(x− 1)y−

2x−1x−1 , x > 1, y > 1.

Допустим, что известна предварительная оценка величины страхово-го возмещения X = x. Насколько в среднем отличается реальное страхо-вое возмещение, выплаченное страхователю после окончательного урегу-лирования страхового случая, от этой оценки?

Решение задачи Искомая величина может быть выражена как E(Y −X|X = x). Для ее подсчета прежде всего найдем плотность случайной ве-личины X:

fX(x) =∫ +∞

1

f(x, y)dy =∫ +∞

1

2x2(x− 1)

y−2x−1x−1 dy

= − 2x3

y−x

x−1

∣∣∣∣+∞

y=1

=2x3

.

Таким образом, X − 1 имеет распределение Парето с параметрами α = 2,λ = 1.

Теперь мы можем найти плотность условного распределения величиныY при условии, что X = x:

fx(y) =f(x, y)fX(x)

=x

x− 1y−

2x−1x−1 .

Таким образом, при условии, что X = x, случайная величина Y − 1 имеетраспределение Парето с параметрами α = x

x−1 , λ = 1.Используя общую формулу для среднего значения распределения Паре-

то, полученную в задаче 1.8, мы имеем:

E(Y − 1|X = x) =1

xx−1 − 1

= x− 1.

Соответственно,E(Y |X = x) = x.

Итак, в среднем реальное страховое возмещение, выплаченное страхо-вателю после окончательного урегулирования страхового случая, не отли-чается от предварительной оценки.

2

Задача 1.18 ([30]) Договор автомобильного страхования покрывает рас-ходы X по ремонту автомобиля страхователя после аварии. Кроме того,


Рис. 1.1:

6

- x

y

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

r

r

r

r

r

r

rr

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

10.5

1

0.5

2

Π

T

y = x

y = x + 1

если виновником аварии является страхователь, то оплачивается и сто-имость ремонта Y других поврежденных в результате аварии автомо-билей.

Случайная величина X равномерно распределена на промежутке (0, 1),а при условии, что X = x, случайная величина Y равномерно распределенана промежутке (x, x + 1).

Допустим, что по вине страхователя произошла авария. Найдите ве-роятность того, что Y > 0.5.

Решение задачи Плотность совместного распределения случайноговектора (X, Y ) дается формулой

f(x, y) = f(x) · f(y|x),

где f(x) – плотность распределения величины X, а f(y|x) – плотность рас-пределения величины Y при условии, что X = x (условная плотность).Поэтому вектор (X,Y ) равномерно распределен на параллелограмме Π ={(x, y)|0 < x < 1, x < y < x + 1} (см. рис. 1.1).

Событие {Y < 0.5} соответствует попаданию точки (X,Y ) в треуголь-ник T = {(x, y)|0 < x < 0.5, x < y < 0.5}, площадь которого равна 1/8.


Поскольку площадь параллелограмма Π равна 1, P (Y < 0.5) = 1/8, а иско-мая вероятность P (Y > 0.5) = 7/8.

2

Задача 1.19 ([21]) Для того чтобы покрыть случайные потери Y , рас-пределение которых имеет плотность

f(x) =

38x2, если 0 ≤ x ≤ 2б

0 в противном случае,

был заключен договор страхования.При наступлении страхового случая с величиной потерь x, 0 ≤ x ≤

2, время его обработки отделом урегулирования убытков (измеренное вчасах) равномерно распределено на интервале (x, 2x).

Подсчитайте вероятность того, что обработка займет не менее трехчасов.

(A) 0.17

(B) 0.25

(C) 0.32

(D) 0.58

(E) 0.83

Решение задачи Пусть T – время обработки. По условию,

P (T ≥ t|Y = x) =

1, если t ≤ x,

2− tx , если x ≤ t ≤ 2x,

0, если t ≥ 2x.

Теперь по формуле полной вероятности мы имеем:

P (T ≥ 3) =∫ 2

0

P (T ≥ 3|Y = x)f(x)dx

=∫ 1.5

0

P (T ≥ 3|Y = x)f(x)dx

+∫ 2

1.5

P (T ≥ 3|Y = x)f(x)dx.

В первом интеграле x ∈ [0, 1.5] и поэтому t = 3 удовлетворяет неравенствуt ≥ 2x. Значит, в первом интеграле

P (T ≥ 3|Y = x) = 0


и соответственно сам первый интеграл равен 0.Во втором интеграле x ∈ [1.5, 2] и поэтому t = 3 удовлетворяет неравен-

ству x ≤ t ≤ 2x. Значит, во втором интеграле

P (T ≥ 3|Y = x) = 2− 3x

и соответственно сам второй интеграл равен∫ 2

1.5

(2− 3

x

)38x2dx =

(x3

4− 9x2

16

)∣∣∣∣2

1.5

=1164≈ 0.171875.

Поэтому верным является вариант (A). 2

Задача 1.20 ([21]) Для того чтобы покрыть потери Y , которые равно-мерно распределены на отрезке [0, 1000], рассматривается вопрос о заклю-чении договора страхования.

Чтобы уменьшить премию, страховая компания предложила стра-хователю заключить договор страхования чрезмерных потерь, в соот-ветствии с которым страхователь самостоятельно покрывает потеривплоть до некоторого предела d, а остаток оплачивает страховщик. Ина-че говоря, страховщик оплачивает потери за вычетом суммы d (и не пла-тит ничего, если потери меньше, чем d). 8

На каком уровне нужно установить вычет, чтобы средняя тяжестьстрахового случая снизилась в 4 раза?

Решение задачи Пусть d – вычет, Y(d) – размер страхового возмещенияпри наличии вычета:

Y(d) =

0, если Y ≤ d,

Y − d, если Y > d.

С использованием обозначения a+ = max(a, 0) для величины Y(d) можнонаписать более короткую формулу

Y(d) = (Y − d)+.

Ясно, что d должно быть меньше, чем 1000 (в противном случае страховаякомпания вообще не участвовала бы в покрытии потерь). Поэтому среднее

8Английский термин – excess-of-loss insurance. Иногда такое покрытие называют stop-loss insurance – страхование, останавливающее потери. Предел d называют вычетом(deductible) или простым вычетом (straight deductible). Если сумма вычета достаточнобольшая, то обычно используется термин retention – удержание. В случае перестрахо-вочных договоров термин excess-of-loss используется, если предел d применяется к ин-дивидуальным потерям, в то время как термин stop-loss используется, если предел dприменяется к суммарным потерям по какому-то виду бизнеса за определенный проме-жуток времени. Подробнее по поводу таких покрытий см. [10], пп.1.2, 5.3, и [4], пп. 1.5,13.5.


значение величины Y(d) может быть подсчитано следующим образом (нижеfY (x) – плотность случайной величины Y ; она равна 1/1000 на отрезке[0, 1000] и 0 вне этого отрезка):

EY(d) =∫ 1000

d

(x− d)fY (x)dx

=∫ 1000

d

x− d

1000dx

=1

1000

(x2

2− dx

)∣∣∣∣1000

d

= 500− d +d2

2000.

По условию EY(d) = 0.25EY . Поскольку EY , очевидно, равняется 500, длянахождения d мы имеем квадратное уравнение:

d2 − 2000d + 750000 = 0.

Это уравнение имеет два корня: d1 = 1500 и d2 = 500. Первый корень неудовлетворяет отмеченному в начале решения условию d < 1000. Поэтомуискомым значением d является 500. 2

Задача 1.21 ([30]) Компания продает договоры страхования автомоби-лей на один год с простым вычетом d = 2. Вероятность того, что договорприведет к страховому случаю, равна q = 0.05 (по одному договору за вре-мя его действия возможен только один страховой случай). Размер потерьпосле наступления страхового случая, Y , имеет распределение вида

P (Y = n) =K

n, n = 1, . . . , 5,

где K – некоторая константа.Определите нетто-премию для этого договора.

Решение задачи Прежде всего определим значение константы K.Поскольку ∑

n

P (Y = n) = 1,

верно равенство:

K

(11

+12

+13

+14

+15

)= 1,

откуда

K =60137

.


Пусть Y(d) = max(Y −d, 0) – размер страхового возмещения по договорупосле наступления страхового случая. Для среднего значения этой случай-ной величины мы имеем:

EY(d) =5∑

n=3

(n− 2)P (Y = n)

= 1 · P (Y = 3) + 2 · P (Y = 4) + 3 · P (Y = 5)

=(

13

+24

+35

)· 60137

=86137

.

Теперь легко подсчитать нетто-премию:

Π = q · EY(d) =43

1370≈ 3.14%.

2

Задача 1.22 ([30]) Владелец автомобиля застраховал его на случай по-вреждения в аварии. Договор предусматривает простой вычет d = 250.

Найдите среднее значение и стандартное отклонение величины стра-хового возмещения, если стоимость ремонта автомобиля после аварииравномерно распределена от 0 до 1500.

Решение задачи Пусть Y – стоимость ремонта автомобиля после ава-рии, Y(d) ≡ Y(250) – размер страхового возмещения при наличии вычета:

Y(250) =

0, если Y ≤ 250,

Y − 250, если Y > 250 .

Обозначим также через fY (x) – плотность случайной величины Y ; она рав-на 1/1500 на отрезке [0, 1500] и 0 вне этого отрезка.

Для среднего значения величины Y(250) имеем:

EY(250) =∫ 1500

250

(x− 250)fY (x)dx

=∫ 1500

250

11500

(x− 250)dx

=1

1500(x− 250)2

2

∣∣∣∣1500

250

=55

6≈ 520.83.


Аналогично для второго момента:

EY 2(250) =

∫ 1500

250

(x− 250)2fY (x)dx

=∫ 1500

250

(x− 250)21

1500dx

=1

1500(x− 250)3

3

∣∣∣∣1500

250

=2 · 59

9.

Поэтому

V arY(250) =59

12и, значит, стандартное отклонение

σY(250) =55

√60≈ 403.44.

2

Задача 1.23 ([14]) Вероятность аварии в течение года для определен-ной марки автомобиля равна q = 0.1, а величина ущерба после аварии, Y ,имеет распределение Парето со средним значением m = 500 руб. и коэффи-циентом вариации cY =

√3. В соответствии с условиями договора, если

ущерб меньше, чем d = 100 руб., то страховая компания его не покрывает;если же ущерб превышает 100 руб., то страховая компания оплачиваетлишь ту его часть, которая превышает предел 100 руб.

Подсчитайте вероятность того, что убыток будет заявлен, и опреде-лите распределение величины страхового возмещения. Как повлияло вве-дение вычета на размер нетто-премии по этому договору?

Решение задачи Напомним, что случайная величина Y имеет рас-пределение Парето с параметрами λ > 0 и α > 0, если ее плотность даетсяформулой

f(x) =α

λ

(λ

λ + x

)α+1

, 0 < x < +∞,

так что

FY (x) ≡ P (Y > x) =(

λ

λ + x

)α

EY =λ

α− 1,

V arY =λ2α

(α− 1)2(α− 2).


Отсюда, среднее квадратичное отклонение

σY =√

V arY =λ

α− 1

√α

α− 2,


cY =σY

EY=

√α

α− 2.

Из этих равенств можно найти значения параметров α и λ для случайнойвеличины Y , описывающей ущерб после аварии:

α =2c2

Y

c2Y − 1

= 3, λ = mc2Y + 1

c2Y − 1

= 1000.

Обозначим через X потери для страхователя по рассматриваемому догово-ру. Ясно, что

X = I · Y,

где I – индикатор события "автомобиль попал в аварию."Поскольку вы-платы X(d) по договору со стороны страховой компании не совпадают свеличиной потерь страхователя по договору, индикатор I(d) события "былзаявлен страховой случай"дается формулой:

I(d) = I · I{Y >d},

а в случае I(d) = 1 величина страхового возмещения Y(d) = Y − d. Поэтомувероятность того, что страховой случай будет заявлен, есть

q(d) ≡ P (I(d) = 1) = P (I = 1, Y > d)= P (I = 1) · P (Y > d|I = 1)

= q · FY (d) = 0.1 ·(

10001000 + 100

)3

≈ 0.07513.

Таким образом, введение вычета снизило частоту наступления страховыхслучаев (не аварий, а именно страховых случаев, т.е. событий, при наступ-лении которых страховщик обязан возмещать убытки) с 10% до 7.5%, т.е.примерно на четверть.

Распределение величины страхового возмещения Y(d) связано с распре-


делением величины действительных потерь страхователя Y формулой:

P (Y(d) > x) = P (Y > d + x|I = 1, Y > d)

=P (Y > d + x, I = 1, Y > d)

P (I = 1, Y > d)

=P (Y > d + x, I = 1)

P (I = 1, Y > d)=

P (Y > d + x|I = 1)P (Y > d|I = 1)

=P (Y > d + x)

P (Y > d)=

FY (d + x)FY (d)

=(

λ

λ + d + x

)α

·(

λ + d

λ

)α

=(

λ + d

λ + d + x

)α

.

Эта формула показывает, что страховое возмещение имеет распределениеПарето с параметрами α′ = α = 3 и λ′ = λ + d = 1100.

Отметим, что m(d) ≡ EY(d) = 550 руб. Таким образом, введение вычетаувеличило средний размер страхового возмещения. Коэффициент вариациив рассматриваемом случае остался неизменным: cY(d) =

√3.

Если бы договор не предусматривал наличие вычета в размере 100 руб.,то нетто-премия Π равнялась бы ожидаемым выплатам:

Π = q ·m = 50 руб.

В случае договора страхования чрезмерных потерь нетто-премия такжеравняется ожидаемым выплатам по договору, но теперь

Π(d) = q(d)m(d) ≈ 41.32 руб.

Таким образом, введение вычета уменьшило премию на 17%. 2

Задача 1.24 ([30]) Размер ущерба после наступления страхового случая(в тысячах) моделируется случайной величиной Y с плотностью

f(y) = ye−y, y > 0.

В наступающем году страховщик ожидает N = 100 страховых случаев.Как изменится эта величина, если страховщик введет простой вычет

d = 1 (тыс.)?

Решение задачи Обозначим через X потери для страхователя по од-ному договору, I – индикактор события "был страховой случай", Y – размерстрахового возмещения после наступления страхового случая.


После введения вычета индикатор I(d) события "был заявлен страховойслучай"дается формулой:

I(d) = I · I{Y >d}.

Поэтому вероятность наступления страхового случая после введения выче-та есть

q(d) ≡ P (I(d) = 1) = P (I = 1, Y > d)

= P (I = 1) · P (Y > d|I = 1) = q · FY (d),

где q – вероятность наступления страхового случая до введения вычета.Соответственно, среднее число страховых случаев после введения вычета,N(d), есть

N(d) = NFY (d).

Но

FY (d) =∫ +∞

d

xe−xdx = −∫ +∞

d

xde−x

= − xe−x∣∣+∞d

+∫ +∞

d

e−xdx

= de−d − e−x∣∣+∞d

= (1 + d)e−d

= 2e−1 ≈ 0.736.

Следовательно,N(d) ≈ 74.

2

Задача 1.25 Вероятность попасть в аварию в течение года для опреде-ленной марки автомобиля равна q = 0.1, а величина ущерба после аварии,Y , имеет распределение Парето со средним значением m = 500 руб. и ко-эффициентом вариации

√3.

Для защиты от этого риска был заключен договор страхования чрез-мерных потерь с возвращаемым вычетом 9 в размере d = 100 руб. Иначеговоря, если ущерб меньше, чем d = 100 руб., то страховая компания егоне покрывает; если же ущерб превышает 100 руб., то страховая компанияполностью его оплачивает.

Подсчитайте нетто-премию.

9Английский термин – franchise deductible. Этот вид страхования избавляет страховуюкомпанию от необходимости заниматься большим числом страховых случаев с неболь-шим страховым возмещением.


Решение задачи Нетрудно видеть, что для простого вычета и длявозвращаемого вычета события "был заявлен страховой случай"совпадают.Используя результат задачи 1.23, для вероятности того, что по рассматри-ваемому договору будет заявлен страховой случай, имеем:

qstraight(d) = qfranchise

(d) = q(d) ≈ 0.07513.

Величина страхового возмещения Y franchise(d) для возвращаемого вычета свя-

зана с величиной страхового возмещения Y straight(d) для простого вычета фор-

мулой:Y franchise

(d) = Y straight(d) + d.

Используя результат задачи 1.23, для среднего размера страхового возме-щения после наступления страхового случая по рассматриваемому договоруимеем:

mfranchise(d) ≡ EY franchise

(d) = 100 + 550 = 650.

Поэтому нетто-премия равна

Πfranchise(d) = qfranchise

(d) ·mfranchise(d) ≈ 48.84 руб.

В отличие от простого вычета, введение возвращаемого вычета практическине уменьшило премию (напомним, что нетто-премия по договору страхова-ния рассматриваемого риска без вычета равна 50 рублей). 2

Задача 1.26 В ситуации, описанной в задаче 1.25, иногда после наступ-ления страхового случая страхователи старались завысить ущерб, кото-рый был немного ниже возвращаемого вычета d = 100 руб., с тем, чтобыущерб превысил порог d = 100 руб. и страховая компания полностью воз-местила все убытки. Для того чтобы страхователь не был заинтересованв подобном поведении, компания решила впредь предлагать следующий виддоговора страхования чрезмерных потерь с уменьшающимся вычетом: 10

если ущерб для страхователя после наступления страхового случая, Y ,меньше, чем d = 100 руб., то страховая компания его не покрывает; еслиущерб превышает d∗ = 1100 руб., то страховая компания оплачивает егополностью (так что вычет отсутствует), а если ущерб больше 100 руб.,но меньше 1100 руб., то страховая компания оплачивает сумму

d∗Y − d

d∗ − d= 1.1 · (Y − 100) = (Y − 100) +

Y − 1001000

· 100,

т.е. полностью покрывает ту часть потерь, которая превышает вычет100 руб., и возвращает часть вычета, пропорциональную полностью по-крываемым потерям.

Подсчитайте вероятность того, что убыток будет заявлен, ожидае-мый размер страхового возмещения и нетто-премию.

10Английский термин – disappearing deductible.


Решение задачи Нетрудно видеть, что для простого вычета, возвра-щаемого вычета и уменьшающегося вычета события "был заявлен страхо-вой случай"совпадают. Используя результат задачи 1.23, для вероятноститого, что по рассматриваемому договору будет заявлен страховой случай,имеем:

qdisappearing(d) = qstraight

(d) = qfranchise(d) = q(d) ≈ 0.07513.

Для договора страхования чрезмерных потерь с уменьшающимся вычетомвеличина страхового возмещения после наступлении страхового случая,

Y disap.(d) ≡ Y disappearing

(d) ,

связана с величиной потерь после аварии, Y , формулой:

Y disap.(d) =

{1.1 · (Y − 100), если 100 < Y ≤ 1100,

Y, если Y > 1100.

Введем функцию

h(z) ={

1.1 · (z − 100), если 100 < z ≤ 1100,z, если z > 1100.

Обратная функция h−1(x) дается формулой:

h−1(x) ={

x+1101.1 , если 0 < x ≤ 1100,x, если x > 1100.

Поскольку Y disap.(d) = h(Y ), для дополнительной функции распределения

P (Y disap.(d) > x) мы имеем:

P (Y disap.(d) > x) = P (h(Y ) > x|Y > 100)

= P (Y > h−1(x)|Y > 100)

=P (Y > h−1(x), Y > 100)

P (Y > 100)

=P (Y > h−1(x))

P (Y > 100).

Если x > 1100, то

P (Y disap.(d) > x) =

P (Y > x)P (Y > 100)

=(

11001000 + x

)3

.

Если 0 < x ≤ 1100, то

P (Y disap.(d) > x) =

P(Y > x+110

1.1

)

P (Y > 100)=

(1210

1210 + x

)3

.


Поэтому

mdisap.(d) ≡ EY disap.

(d)

=∫ +∞

0

P (Y disap.(d) > x)dx

=∫ 1100

0

(1210

1210 + x

)3

dx +∫ +∞

1100

(1100

1000 + x

)3

dx

=12103(1210 + x)−2

−2

∣∣∣∣1100

0

+11003(1000 + x)−2

−2

∣∣∣∣+∞

1100

≈ 590 руб.

Теперь для нетто-премии мы имеем:

Πdisap.(d) = qdisap.

(d) ·mdisap.(d) ≈ 44.33 руб.

2

Задача 1.27 Страховая компания занимается автомобильным страхо-ванием. В течение года 1% автомобилей попадает в аварии, после кото-рых они не подлежат восстановлению, а 2% автомобилей попадает в ава-рии, в результате которых получают частичные повреждения. В послед-нем случае, принимая стоимость автомобиля в качестве единицы, размерущерба можно моделировать случайной величиной Y с плотностью

f(x) ={

48x(0.5− x), если 0 < x < 0.5,0 в противном случае.

Предполагая, что в течение года автомобиль может попасть в авариютолько один раз, найдите среднее значение выплаты по договору страхо-вания автомобиля стоимостью $4000 на один год с простым вычетом вразмере $200.

Решение задачи Пусть X – величина выплаты по рассматриваемомудоговору в тысячах $.

Если автомобиль не попадет в аварию в течение года (вероятность этогособытия равна 0.97), то X = 0.

Если в течение года автомобиль попадет в аварию, после которой неподлежит восстановлению (вероятность этого события равна 0.01), то X =3.8.

Если в течение года автомобиль попадет в аварию, после которой по-лучит частичные повреждения (вероятность этого события равна 0.02), тоX = max(Z − 0.2, 0), где Z = 4Y – размер ущерба в тысячах долларов.


Средний размер страхового возмещения в этом случае равен∫ 0.5

0.05

(4x− 0.2)f(x)dx =∫ 0.5

0.05

(4x− 0.2)48x(0.5− x)dx

=∫ 0.5

0.05

48(−4x3 + 2.2x2 − 0.1x)dx

=(−48x4 + 35.2x3 − 2.4x2

)∣∣0.5

0.05= 0.8019.

Усредняя, получим:EX = 0.054038,

или в абсолютных цифрах, примерно $54.2

Задача 1.28 ([25]) Распределение тяжести страхового случая являет-ся экспоненциальным со средним значением 1 000. Страховая компанияоплачивает потери, превышающие вычет величиной 100.

Подсчитайте дисперсию страхового возмещения, выплачиваемого стра-ховой компанией после наступления страхового случая, включая возмож-ность того, что выплата равна 0.

(A) 810 000

(B) 860 000

(C) 900 000

(D) 990 000

(E) 1 000 000

Решение задачи Пусть d = 100 – размер вычета, Y – тяжесть стра-хового случая, Y(d) – размер страхового возмещения:

Y(d) =

0, если Y ≤ d,

Y − d, если Y > d.

Случайная величина Y(d) может быть равна 0 с положительной вероятно-стью, 11 равной вероятности того, что ущерб Y не превосходит вычет:

P (Y(d) = 0) = P (Y ≤ d) = 1− e−d/m,

где m – средний размер ущерба.11В этом случае говорят, что точка x = 0 является атомом распределения случайной

величины Y(d), а P (Y(d) = 0) называют массой атома.


При y > 0 дополнительная функция распределения случайной величиныY(d) есть:

P (Y(d) > x) = P (Y > d + x) = e−(d+x)/m

= e−d/m · e−x/m = P (Y(d) > 0) · e−x/m.

Это соотношение означает, что Y(d) можно рассматривать как произведениеиндикаторной величины I, которая равна 1 или 0 в соответствии с тем,превышает или нет ущерб размер вычета, и не зависящей от I случайнойвеличины Z, которая имеет экспоненциальное распределение со среднимm: Y(d) = IZ. Поэтому по формуле полного математического ожидания мыимеем:

EY(d) = P (I = 1) · EZ = me−d/m,

EY 2(d) = P (I = 1) · EZ2 = 2m2e−d/m,

V arY(d) = m2(2e−d/m − e−2d/m

)

= 1 000 000 · (2e−0.1 − e−0.2) ≈ 990 944,

так что верным является вариант (D). 2

Задача 1.29 ([24]) Предприятие покупает годовой страховой полис длятого, чтобы застраховать свой доход в случае плохой погоды, котораявынуждает временно прекратить работу. В течение года число случаевухудшения погоды, приводящих к прекращению работы предприятия, име-ет распределение Пуассона со средним 1.5.

В соответствии с условиями договора страховщик не платит ничегов первом случае такого ухудшения погоды, но выплачивает по 10 000 закаждое последующее ухудшение погоды.

Чему равны ожидаемые выплаты страховщика по такому договору?

(A) 2 769

(B) 5 000

(C) 7 231

(D) 8 347

(E) 10 578

Решение задачи Пусть ν – число случаев ухудшения погоды, приво-дящих к прекращению работы предприятия за время действия договора,т.е. за один год. По условию случайная величина ν распределена по законуПуассона. Это означает, что

P (ν = n) =λn

n!e−λ, n = 0, 1, . . . ,


где λ – некоторый параметр.Найдем среднее значение величины ν:

Eν =+∞∑n=0

nP (ν = n) =+∞∑n=1

nλn

n!e−λ =

+∞∑n=1

λn

(n− 1)!e−λ

=+∞∑

k=0

λk+1

k!e−λ = λ

+∞∑

k=0

λk

k!e−λ = λeλe−λ = λ.

Таким образом, для пуассоновской величины параметр совпадает со сред-ним значением.

Этот результат очень легко получить с использованием производящейфункции g(z) ≡ Ezν . Для пуассоновской случайной величины производя-щая функция может быть подсчитана без всякого труда:

g(z) ≡ Ezν =+∞∑n=0

znP (ν = n) =+∞∑n=0

zn λn

n!e−λ

=+∞∑n=0

(λz)n

n!e−λ = eλze−λ = eλz−λ.

Поскольку g′(z) = E(νzν−1

), мы имеем:

Eν = g′(1) = λeλz−λ∣∣z=1

= λ.

Выплаты страховщика X в соответствии с условиями договора даютсяформулой:

X ={

0, если ν = 0, 1,10000 · (ν − 1), если ν ≥ 2.

Поэтому ожидаемые выплаты страховщика, EX, по рассматриваемому до-говору есть:

EX = 10000+∞∑n=2

(n− 1)P (ν = n) = 10000+∞∑n=1

(n− 1)P (ν = n)

= 10000

(+∞∑n=1

nP (ν = n)−+∞∑n=1

P (ν = n)

)

= 10000 (Eν − P (ν ≥ 1)) = 10000 (Eν − 1 + P (ν = 0))= 10000

(λ− 1 + e−λ

)= 10000

(0.5 + e−1.5

) ≈ 7231.3,

и поэтому верным является вариант (C). 2

Замечание. Для пуассоновской случайной величины ν дисперсия так-же равняется параметру: V arν = λ. Действительно, поскольку g′′(z) =


E(ν(ν − 1)zν−2

), для любой величины (с конечной дисперсией) верно ра-

венство g′′(1) = Eν(ν − 1). Используя явный вид g(z) для пуассоновскойвеличины, мы имеем:

Eν(ν − 1) = g′′(1) = λ2eλz−λ∣∣z=1

= λ2.

Следовательно, Eν2 = g′′(1)+g′(1) = λ2+λ, и поэтому V arν = Eν2−(Eν)2 =λ.

Задача 1.30 ([20]) Актуарий провел исследование величины ущерба по-сле аварии по договорам автомобильного страхования и установил, чтоэта величина имеет экспоненциальное распределение, а вероятность то-го, что ущерб меньше, чем 1000, равна 0.25.

Спустя десять лет частота аварий и их характер не изменились,но из-за инфляции ущерб после аварии вырос в два раза по сравнению сущербом после аналогичной аварии десять лет назад.

Подсчитайте вероятность того, что в настоящее время ущерб послеаварии меньше, чем 1000.

(A) 0.063

(B) 0.125

(C) 0.134

(D) 0.163

(E) 0.250

Решение задачи Пусть Y – размер ущерба после аварии десять летназад, Y ′ – размер ущерба после аварии в настоящий момент. Условие за-дачи относительно влияния инфляции означает, что случайная величинаY ′/2 распределена так же, как и Y . Поэтому для искомой вероятностиP (Y ′ < 1000) мы имеем:

P (Y ′ < 1000) = P

(Y ′

2< 500

)= P (Y < 500) = 1− e−λ·500,

где λ – параметр экспоненциальной величины Y .По условию,

P (Y < 1000) = 0.25.

ПосколькуP (Y < 1000) = 1− e−λ·1000,

можно преобразовать формулу для P (Y ′ < 1000) следующим образом:

P (Y ′ < 1000) = 1− (e−λ·1000)1/2

= 1− (1− P (Y < 1000))1/2

= 1−√

0.75 = 1−√

32≈ 0.13397.


Поэтому верным является вариант (C).Полученный результат можно следующим образом интерпретировать в

терминах договоров страхования чрезмерных потерь. Предположим, чторассматриваемый риск покрыт одним из вариантов договора страхованиячрезмерных потерь с вычетом d = 1000. Тогда вероятность того, что будетзаявлен страховой случай равна

q(d) = q · FY (d),

где q – вероятность попасть в аварию, а FY (d) – дополнительная функцияраспределения размера ущерба для страхователя после аварии.

Через 10 лет эта вероятность будет равна

q′(d) = q · FY ′(d).

Отсюда:q′(d)

q(d)=

FY ′(d)FY (d)

≈ 1− 0.133971− 0.25

≈ 1.155.

Таким образом, в случае договора страхования чрезмерных потерь с вы-четом 1000руб. частота наступления страховых случаев (не аварий!) уве-личится примерно на 15%. Этот факт является одной из причин эффек-та рычага (leveraging): в случае договора страхования чрезмерных потерьнетто-премия растет быстрее, чем инфляция. 2

Задача 1.31 ([22]) Страховой агент получает вознаграждение, если позаключенным им договорам убыточность меньше, чем 70%.


1. убыточность рассчитывается как отношение всех выплаченных стра-ховых возмещений к собранным премиям,

2. агент получает долю от собранной премии, равную 1/3 разностимежду 70% и убыточностью,

3. вознаграждение не платится, если убыточность больше 70%,

4. агент заключил ряд договоров с общей премией 500 000,

5. суммарные потери по договорам распределены по закону Парето:

F (x) = 1−(

600 000x + 600 000

)3

, x > 0.

Подсчитайте ожидаемое вознаграждение.

(A) 16 700


(B) 31 500

(C) 48 300

(D) 50 000

(E) 56 600

Решение задачи Пусть P = 500 000 – собранная премия, S – сум-марные потери по заключенным договорам. Тогда убыточность k даетсяформулой:

k =S

P=

S

500 000.

Условие задачи относительно размера B вознаграждения можно записатьследующим образом:

B =

0, если S ≥ 350 000,

13

(0.7− S

500 000

) · 500 000, если S < 350 000.

Поэтому ожидаемое вознаграждение есть:

EB = −∫ 350 000

0

350 000− x

3d(1− F (x))

= − 350 000− x

3(1− F (x))

∣∣∣∣350 000

0

−∫ 350 000

0

(1− F (x))dx

3

=350 000

3− 1

3

∫ 350 000

0

(600 000

x + 600 000

)3

dx

=350 000

3+

16

(600 000

x + 600 000

)2

· 600 000

∣∣∣∣∣

350 000

0

=350 000

3+ 100 000 ·

((600 000950 000

)2

− 1

)

≈ 56 556,

и, значит, верным является вариант (E).2

Задача 1.32 ([14]) Предположим, что величина ущерба при пожаре (приусловии, что он произошел) имеет экспоненциальное распределение со сред-ним значением m = 2 000 руб. Страховая компания установила верхний


предел своей ответственности L = 5 000 руб. (иными словами, если поте-ри страхователя меньше, чем L, то компания полностью возмещает их;если же потери превышают уровень L, то компания возмещает толькосумму L).

Подсчитайте средний размер реальных выплат компании по одномустраховому случаю.

Решение задачи Обозначим через Y ущерб для страхователя по рас-сматриваемому договору, через Y (L) размер страхового возмещения. Мате-матически условие ограниченной ответственности компании можно выра-зить следующей формулой:

Y (L) = min(Y,L).

Следовательно, дополнительная функция распределения величины страхо-вого возмещения есть

P (Y (L) > x) ={

0, ecли x ≥ L,P (Y > x) = e−x/2000, ecли x < L.

Отметим, что точка L всегда является атомом распределения величиныY (L) с массой P (Y ≥ L) = e−5000/2000 ≈ 0.082.

Поэтому среднее значение величины страхового возмещения есть

m(L) ≡ EY (L) =∫ +∞

0

P (Y (L) > x)dx =∫ L

0

P (Y > x)dx

=∫ 5000

0

e−x/2000dx = −2000e−x/2000∣∣∣5000

0

= 2000 · [1− e−5/2] ≈ 1836 руб.

2

Задача 1.33 ([21]) Страховая компания возмещает стоматологическиерасходы Y вплоть до максимального уровня 250. Плотность случайнойвеличины Y есть

f(x) ={

ce−0.004x, если x ≥ 0,0 в противном случае,

где c – некоторая константа.Подсчитайте медиану распределения величины страхового возмеще-

ния.

(A) 161

(B) 165


(C) 173

(D) 182

(E) 250

Решение задачи Подсчитаем прежде всего функцию распределенияслучайной величины Y :

F (x) ≡∫ x

0

f(t)dt =∫ x

0

ce−0.004tdt

=c

−0.004e−0.004t

∣∣∣∣x

0

= 250c(1− e−0.004x

), x ≥ 0.

Поскольку F (+∞) = 1, отсюда следует, что c = 0.004, и поэтому

F (x) = 1− e−0.004x, x ≥ 0.

Отметим, что этот результат немедленно следует из условия задачи; фор-мула для f(x) означает, что случайная величина Y имеет экспоненциальноераспределение с параметром λ = 0.004.

Пусть теперь Y (250) – размер страхового возмещения. По условию дого-вора:

Y (250) ={

Y, если X ≤ 250,250, если X > 250.

Поэтому функция распределения случайной величины Y (250), FY (250)(x) ≡P (Y (250) < x), есть:

FY (250)(x) =

0, если x ≤ 0,1− e−0.004x, если 0 < x ≤ 250,

1, если x > 250.

Поскольку FY (250)(0) = 0, FY (250)(250) = 1− e−1 ≈ 0.632, а на промежут-ке [0, 250] функция FY (250)(x) строго возрастает, уравнение FY (250)(m) = 0.5имеет единственный корень m = 250 ln 2 ≈ 173.287, который и являетсямедианой распределения FY (250)(x). Таким образом, верным будет вариант(C). 2

Задача 1.34 ([31]) Распределение тяжести страхового случая по догово-рам страхования гражданской ответственности владельцев автотранс-портных средств имеет распределение

F (x) = 1− 0.8e−0.02x − 0.2e−0.001x, x ≥ 0.

Ответственность страховщика по возмещению убытков ограничена сум-мой 1000 (по каждому страховому случаю).

Найдите средний размер страхового возмещения по одному страховомуслучаю.


Решение задачи Пусть Y – размер потерь после наступления стра-хового случая, Y (1000) = min(Y, 1000) – размер страхового возмещения. По-скольку

P (Y (1000) > x) ={

0, ecли x ≥ 1000,1− F (x), ecли x < 1000,

для среднего размера страхового возмещения имеем:

EY (1000) =∫ +∞

0

P (Y (1000) > x)dx =∫ 1000

0

(1− F (x))dx

=∫ 1000

0

(0.8e−0.02x + 0.2e−0.001x

)dx

= − 0.80.02

e−0.02x

∣∣∣∣1000

0

− 0.20.001

e−0.001x

∣∣∣∣1000

0

= 40 · (1− e−20)

+ 200 · (1− e−1) ≈ 166.42.

2

Задача 1.35 ([24]) Годовые потери Y предприятия (в миллионах долла-ров) имеют плотность

f(x) =

2.5·(0.6)2.5

x3.5 , если x > 0.6,

0 в противном случае.

Для того, чтобы покрыть эти расходы, предприятие покупает договорстрахования, останавливающий потери, с собственным удержанием 2.

Найдите среднее значение потерь предприятия, не оплачиваемых стра-ховщиком.

(A) 0.84

(B) 0.88

(C) 0.93

(D) 0.95

(E) 1.00

Решение задачи Пусть Z = Y − Y(2) – размер потерь предприятия,не оплачиваемых страховщиком. Условия договора относительно размерастрахового возмещения можно выразить следующей формулой:

Z = min(Y, 2).


Иначе говоря,

Z ={

Y, если Y < 2,2, если Y ≥ 2.

Таким образом, Z совпадает с размером страхового возмещения по договорустрахования с верхним пределом ответственности страховщика в размере2: Z = Y (2). Поэтому среднее значение случайной величины Z есть:

EZ =∫ +∞

0.6

min(x, 2)f(x)dx =∫ 2

0.6

xf(x)dx +∫ +∞

2

2f(x)dx.

Первый интеграл в правой части этого равенства равен∫ 2

0.6

x2.5 · (0.6)2.5

x3.5dx =

∫ 2

0.6

2.5 · (0.6)2.5

x2.5dx

= −2.51.5

0.62.5x−1.5

∣∣∣∣2

x=0.6

=2.51.5

(0.6)2.5

(0.6)1.5− 2.5

1.5(0.6)2.5

21.5

= 1− 103

0.32.5 = 1− 0.3−10.32.5 = 1− 0.31.5.

Второй интеграл в правой части этого равенства равен∫ +∞

2

2 · 2.5 · (0.6)2.5

x3.5dx = −2 · 0.62.5x−2.5

∣∣+∞x=2

= 2 · (0.6)2.5

(2)2.5= 2 · 0.32.5 = 0.6 · 0.31.5.

Поэтому

EZ = 1− 0.31.5 + 0.6 · 0.31.5 = 1− 0.4 · 0.31.5 ≈ 0.934273.

Таким образом, верным будет вариант (C). 2

Задача 1.36 ([20]) По договору группового страхования страховщик обя-зуется оплатить 100% всех медицинских расходов сотрудников некоторойнебольшой компании, но в сумме не более 1 миллиона долларов за один год.

Общая сумма годовых медицинских расходов, X, является случайнойвеличиной с плотностью (X измеряется в миллионах долларов):

f(x) =

x(4−x)9 , если 0 < x < 3,

0 в противном случае.

Подсчитайте ожидаемые выплаты страховщика по этому договору (вмиллионах долларов).


(A) 0.120

(B) 0.301

(C) 0.935

(D) 2.338

(E) 3.495

Решение задачи Пусть X(1) – размер выплат страховщика по до-говору (в миллионах долларов). Условия договора относительно размерастрахового возмещения можно выразить следующей формулой:

X(1) = min(X, 1).

Иначе говоря,

X(1) ={

X, если X < 1,1, если X ≥ 1.

Поэтому среднее значение случайной величины X(1) есть:

EX(1) =∫ +∞

0

min(x, 1)f(x)dx =∫ 1

0

xf(x)dx +∫ +∞

1

f(x)dx

=∫ 1

0

xf(x)dx +∫ 3

1

f(x)dx.

Первый интеграл в правой части этого равенства равен

∫ 1

0

xx(4− x)

9dx =

∫ 1

0

4x2 − x3

9dx =

(4x3

27− x4

36

)∣∣∣∣1

x=0

=427− 1

36=

13108

.

Второй интеграл в правой части этого равенства равен

∫ 3

1

x(4− x)9

dx =(

2x2

9− x3

27

)∣∣∣∣3

x=1

=(

2 · 99

− 2727

)−

(2 · 19

− 127

)=

2227

.

Поэтому

EX(1) =13108

+2227

=101108

≈ 0.935185.

Таким образом, верным будет вариант (C). 2


Задача 1.37 Предприятие приобрело сложное оборудование и застрахо-вало его на n лет. В случае выхода оборудования из строя в течение пер-вого года действия договора страховое возмещение равно n. В каждый по-следующий год страховая сумма уменьшается на 1.

Вероятность выхода оборудования из строя на протяжении года равнаq вне зависимости от времени его работы.

Найдите

• вероятность наступления страхового случая;

• средний размер страхового возмещения после выхода оборудования изстроя во время действия договора.

Решение задачи Примем момент начала работы оборудования в ка-честве начального и будем измерять время годами. Пусть T – время довыхода оборудования из строя, τ = [T ] + 1 – год выхода оборудования изстроя. Случайная величина τ имеет геометрическое распределение

P (τ = n) = (1− q)n−1q ≡ pn−1q, n ≥ 1,

где p = 1− q.Страховой случай наступает, если τ ≤ n. Вероятность этого события

равнаn∑

k=1

P (τ = k) =n∑

k=1

pk−1q =1− pn

1− pq = 1− pn.

Индивидуальный убыток по договору дается формулой

X = (n + 1− τ)+ ≡ max(n + 1− τ, 0).

Поэтому

EX =n∑

k=1

(n + 1− k)P (τ = k) =n∑

k=1

(n + 1− k)pk−1q

=n−1∑

k=0

(n− k)pkq = nq

n−1∑

k=0

pk − pq

n−1∑

k=0

kpk−1.

Поскольку

n−1∑

k=0

pk =1− pn

q,

n−1∑

k=0

kpk−1 =

(n−1∑

k=0

pk

)′

=1− npn−1 + (n− 1)pn

q2,

средний убыток по договору есть

EX = n− p

q(1− pn).


Теперь мы можем легко найти средний размер страхового возмещения послевыхода оборудования из строя во время действия договора:

EY =EX

P (X > 0)=

n

1− pn− p

q.

2

Задача 1.38 ([20]) Компания, занимающаяся страхованием автомобилей,делит страхователей на две группы: группу хороших водителей и груп-пу плохих водителей. Для хороших водителей средний размер выплат подоговору равен 1400 и имеет среднее квадратичное отклонение 200. Дляплохих водителей средний размер выплат по договору равен 2000 и име-ет среднее квадратичное отклонение 500. Хорошие водители составляют60% всех страхователей.

Подсчитайте дисперсию размера выплат по случайно выбранному до-говору.

(A) 124 000

(B) 145 000

(C) 166 000

(D) 210 400

(E) 235 000

Решение задачи Для договора страхования обозначим через X размервыплат по договору и введем следующие события:

1. G={страхователь является хорошим водителем},

2. B={страхователь является плохим водителем}.

По условию, P (G) = 0.6 и

E(X|G) = 1 400,√

V ar(X|G) = 200,

E(X|B) = 2 000,√

V ar(X|B) = 500.

Отсюда,

V ar(X|G) = 40 000,

E(X2|G) = V ar(X|G) + (E(X|G))2 = 2 000 000,

V ar(X|B) = 250 000,

E(X2|B) = V ar(X|B) + (E(X|B))2 = 4 250 000.

Кроме того, поскольку события G и B образуют полную группу несовме-стимых событий, P (B) = 1− P (G) = 0.4.


Теперь по формуле полного математического ожидания мы имеем:

EX = E(X|G) · P (G) + E(X|B) · P (B) = 1 640,

E(X2) = E(X2|G) · P (G) + E(X2|B) · P (B) = 2 900 000.

Значит,V arX = E(X2)− (EX)2 = 210 400,


Задача 1.39 ([11]) Компания, которая занимается страхованием квар-тир, получила за месяц 20 заявлений о страховых случаях. Данные о за-явленных убытках представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3: Данные о заявленных убытках по договорам страхования квар-тир

250 280 50 314250 90 450 180150 250 309 2100206 150 146 220300 50 220 688

Оцените средний размер страхового возмещения и среднее квадратич-ное отклонение.

Решение задачи Пусть n = 20 – общее число страховых случаев,x1 = 250, . . . , x20 = 688 – размеры убытков. В качестве оценки среднегоразмера страхового возмещения мы берем выборочное среднее

x =1n

n∑

i=1

xi ≡ 120

(250 + · · ·+ 688) = 332.65.

Эту величину очень удобно вычислять на компьютере. Например, исполь-зуя такую простую программу как Microsoft Excel, нужно прежде всего вве-сти в ячейки числовые значения убытков (скажем, в виде столбца, в ячейкиA1,...,A20). После этого в ячейку, где должно быть значение среднего разме-ра страхового возмещения нужно ввести формулу СРЗНАЧ(А1:А20). Послеэтого нужная величина автоматически будет вычислена и записана в этуячейку.

В качестве оценки дисперсии можно взять выборочную дисперсию

s2 =1n

n∑

i=1

(xi − x)2 =1n

n∑

i=1

(xi)2 − (x)2

≡ 120

(2502 + · · ·+ 6882

)− (332.65))2 = 183 687.6.


Соответственно, оценкой стандартного отклонения будет величина s =√

s2 =428.59.

Для вычисления этих величин на компьютере с помощьюMicrosoft Excel,нужно прежде всего ввести в ячейки числовые значения убытков (скажем,в ячейки A1,...,A20). После этого в ячейку, где должно быть значение вы-борочной дисперсии размера страхового возмещения, нужно ввести фор-мулу ДИСПР(А1:А20). После этого выборочная дисперсия автоматическибудет вычислена и записана в эту ячейку. Для вычисления соответствую-щей оценки стандартного отклонения используется функция СТАНДОТ-КЛОНП(А1:А20).

Оценка s2 является смещенной (ее среднее значение отличается от ис-тинного значения σ2 множителем n−1

n ; в нашем случае этот множительравен 19/20). Несмещенной оценкой дисперсии будет величина

S2 =1

n− 1

n∑

i=1

(xi − x)2

≡ 119

((250− 332.65)2 + · · ·+ (688− 332.65)2

)

= 193 355.4.

Оценкой стандартного отклонения будет S =√

S2 = 439.72.Для вычисления несмещенной оценки дисперсии и соответствующей оцен-

ки стандартного отклонения в Microsoft Excel используются функции ДИСПи СТАНДОТКЛОН. 2

Задача 1.40 ([11]) Актуарий компании, которая предполагает занятьсямедицинским страхованием, должен оценить размер расходов на лечениеодного пациента. Из доступных статистических данных он установил,что за прошлый год в городе в больницы обратилось 7821 человек. Данныео стоимости лечения, опубликованные городским центром статистики,представлены в таблице 1.4.

Оцените средний размер расходов на лечение одного больного, стан-дартное отклонение и коэффициент асимметрии.

Решение задачи Так как мы не имеем точных данных о медицинскихрасходах для каждого больного (доступна лишь обобщенная информация изтаблицы 1.4), будем считать, что расходы на лечение равны средней точкесоответствующего интервала.

Тогда выборочные начальные моменты первого, второго и третьего по-рядков будут равны

α1 =1

7821(25 · 1728 + · · ·+ 1200 · 149) ≈ 216.61,

α2 =1

7821(252 · 1728 + · · ·+ 12002 · 149) ≈ 96 632.62,

α3 =1

7821(253 · 1728 + · · ·+ 12003 · 149) ≈ 65 142 656


Таблица 1.4: Данные о стоимости лечения больныхСтоимость Числолечения случаев

0-50 172850-100 1346100-200 1869200-400 1822400-800 907800-1600 149

Всего 7821

соответственно.Оценкой среднего, как обычно, является первый выборочный начальный

момент. Стандартное отклонение можно оценить с помощью выборочнойдисперсии s2 = α2 − (α1)

2:

s =√

α2 − α21 =

√96 632.62− (216.61)2 ≈ 222.96.

Соответственно, третий центральный момент оценивается как

α3 − 3α2α1 + 2α31 ≈ 22 674 514,

а коэффициент асимметрии – как

22 674 514222.963

≈ 2.05.

2

Задача 1.41 ([11]) Страховщик установил тариф по определенному видурисков исходя из предположения, что средняя тяжесть страхового слу-чая равна $1200. В течение года по этому портфелю было заявлено 1243страховых случая. При этом средний размер ущерба составил $1283.70, авыборочное стандартное отклонение было равно $1497.31.

Можно ли утверждать, что актуарий компании ошибся в процессеразработки этого продукта, предположив слишком низкую среднюю тя-жесть страхового случая?

Решение задачи Предположим, как обычно, что размеры потерьдля различных страховых случаев – независимые в совокупности и оди-наково распределенные случайные величины Y1, . . . , YN . Пусть m = EYi,σ2 = V arYi – (неизвестные) среднее значение и дисперсия страхового возме-щения. Если число страховых случаев N достаточно велико, распределение


центрированной и нормированной суммы

S∗N ≡ Y1 + · · ·+ YN −Nm√Nσ

является приблизительно стандартным нормальным распределением:

P (S∗N < x) ≈ Φ(x).

Пусть

Y ≡ Y1 + · · ·+ YN

N

– выборочный средний размер страхового возмещения. Так как S∗N =√

N Y−mσ ,

можно утверждать, что

P

(√N

Y −m

σ< x

)≈ Φ(x),

Обозначая xσ√N

через y, мы получим:

P (Y ≥ m + y) ≈ 1− Φ

(y√

N

σ

).

Если бы средний размер страхового возмещения действительно был равен$1200, то это означало бы отклонение выборочного среднего Y от его ис-тинного значения m по меньшей мере на y = $83.7. Вероятность P такогособытия, в силу приведенной формулы, примерно равна

1− Φ

(y√

N

σ

)≡ 1− Φ

(83.7

√1243

σ

).

Неизвестное стандартное отклонение σ можно приблизительно заменитьвыборочным стандартным отклонением $1497.31, откуда

P ≈ 1− Φ

(83.7

√1243

1497.31

)≈ 1− Φ(1.97) ≈ 2.4%.

Эта вероятность довольно маленькая. Поэтому, видимо, первоначальноепредположение о средней тяжести страховых случаев слишком оптимистич-ное. 2

Задача 1.42 ([9]) В таблице 1.5 приведены данные о среднем размере ущер-ба после наступления страхового случая для определенного вида страхова-ния за последние восемь лет (года t−8, . . . , t−1, где t – текущий год). Дай-те прогноз среднего размера ущерба после наступления страхового случаяна год t. Общеэкономическая ситуация была стабильной все эти годы иникаких существенных изменений не предвидится и в следующем году.


Таблица 1.5:Год Средний размер

ущерба

t− 8 3 864t− 7 3 696t− 6 3 908t− 5 3 754t− 4 3 320t− 3 3 932t− 2 3 734t− 1 3 976

Рис. 1.2:

6

- Время

Сумма

hhhh((((hhhhPPPP©©©©hhhh((((

Решение задачи На рисунке 1.2 графически представлены данныетаблицы 1.5. Из этого графика можно заключить, что, хотя размер ущербаменяется от года к году, эти колебания, видимо, чисто случайные. Стабиль-ность общеэкономической ситуации является дополнительным аргументомв пользу этой гипотезы. Поэтому в качестве прогноза среднего размераущерба после наступления страхового случая на текущий год естественновзять среднее арифметическое данных за восемь лет, т.е. 3773.

2

Задача 1.43 ([9]) В таблице 1.6 приведены данные о среднем размере ущер-ба после наступления страхового случая для определенного вида страхова-ния за последние семь лет (года t−7, . . . , t−1, где t – текущий год). Дайтепрогноз среднего размера ущерба после наступления страхового случая нагод t. На протяжении рассматриваемого периода инфляция существенновлияла на стоимость товаров и услуг. Данные о размере инфляции (ростецен в следующем году по сравнению с рассматриваемым годом) приведены


в таблице 1.7. Предполагается, что в текущем году цены вырастут при-мерно на 7% по отношению к предыдущему году.

Таблица 1.6:Год Средний размер

ущерба

t− 7 1 182t− 6 1 164t− 5 1 434t− 4 1 540t− 3 1 453t− 2 1 710t− 1 1 867

Таблица 1.7:Год Инфляция

t− 7 8.8%t− 6 11.4%t− 5 10.6%t− 4 6.7%t− 3 8.2%t− 2 5.6%t− 1 7% (прогноз)

Решение задачи Из таблицы 1.6 ясно видна тенденция роста номи-нального среднего размера ущерба. Это совершенно естественно, если иметьв виду довольно высокую инфляцию.

Чтобы исключить влияние инфляции, будем выражать все расходы вценах года t− 1.

Средний ущерб за год t− 2 в ценах года t− 1 равен

1710 · 1.056 ≈ 1806.

Аналогично, средний ущерб за год t− 3 в ценах года t− 1 равен

1453 · 1.082 · 1.056 ≈ 1660.

Подобным же образом можно пересчитать и другие данные таблицы 1.6 вценах года t− 1. Результаты приведены в таблице 1.8.

Из таблицы 1.8 можно заключить, что, хотя размер ущерба в ценах го-да t− 1 меняется от года к году, эти колебания, видимо, чисто случайные.Поэтому в качестве прогноза среднего размера ущерба после наступления


Таблица 1.8:Год Средний размер ущерба

в ценах года t− 1

t− 7 1 932t− 6 1 748t− 5 1 934t− 4 1 877t− 3 1 660t− 2 1 806t− 1 1 867

страхового случая на текущий год естественно взять среднее арифметиче-ское данных за семь лет, т.е. 1832. С учетом прогнозируемой инфляции,предполагаемый средний размер ущерба в текущем году в ценах текущегогода составит

1832 · 1.07 ≈ 1960.

2

Задача 1.44 ([26]) Для прогноза среднего размера ущерба после наступ-ления страхового случая актуарий использует метод скользящего средне-го за последние три года. В текущем году средний ущерб равен 101, годназад – 99, а два года назад – 100.

Дайте прогноз среднего ущерба за год на ближайшие пять лет.

Решение задачи Примем текущий год за начальный и обозначимчерез yn средний ущерб за n-й год, а через yn – его прогноз на n-й год. Поусловию задачи

y−2 = 100, y−1 = 99, y0 = 101.

Тогда:

y1 =y−2 + y−1 + y0

3= 100,

y2 =y−1 + y0 + y1

3= 100,

y3 =y0 + y1 + y2

3= 100

13≈ 100.33,

y4 =y1 + y2 + y3

3= 100

19≈ 100.11,

y5 =y2 + y3 + y4

3= 100

427≈ 100.15.

2


Задача 1.45 ([29]) Размер ущерба после наступления страхового случаяимеет экспоненциальное распределение с неизвестным средним θ. Вели-чина страхового возмещения ограничена суммой 1000. Используя данныетаблицы 1.9, найдите оценку наибольшего правдоподобия для θ.

Таблица 1.9:Величина Число Суммастрахового страховых всехвозмещения случаев выплатменьше 1 000 62 28 140

1 000 38 38 000Итого 100 66 140

Решение задачи Величина страхового возмещения Y связана с вели-чиной ущерба после наступления страхового случая Z соотношением

Y = min(Z, 1000).

Распределение величины Y является смесью непрерывного распределенияс плотностью 1

θ e−x/θ, 0 < x < 1000, и вырожденного распределения, сосре-доточенного в точке 1000 (с весом P (Z > 1000) = e−1000/θ).

Поэтому для n = 62 наблюдений x1, . . . , xn ∈ (0, 1000) и m = 38 наблю-дений y1, . . . , ym = 1000 функция правдоподобия имеет вид:

L(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym|θ) =n∏

i=1

1θe−xi/θ ·

m∏

j=1

e−1000/θ

=1θn

e−∑n

i=1 xi/θ · e−1000m/θ

≡ 1θ62

e−28140/θ · e−38000/θ

=1

θ62e−66140/θ.

Максимум функции правдоподобия достигается в точке

θ =66140

62≈ 1067.

Это и есть искомая оценка неизвестного параметра θ. 2

Задача 1.46 ([29]) Размер ущерба после наступления страхового случаямоделируется как экспоненциально распределенная случайная величина. Заистекший год были заявлены десять страховых случаев; сведения об ихтяжести приведены в таблице 1.10 (случаи упорядочены по величине ущер-ба). Оцените средний размер страхового возмещения в году N + 2 (N –истекший год), если


Таблица 1.10:Случай Величина ущерба Случай Величина ущерба

1 18 6 3132 78 7 4103 125 8 5404 168 9 6775 250 10 1100

1. в предстоящие 2 года ожидается 5% инфляции;

2. в году N + 2 будет введен простой вычет в размере 100 и, крометого, введено условие, в соответствии с которым страхователь са-мостоятельно покрывает часть ущерба, превышающую 1000 (такимобразом, максимальная величина страховой выплаты равна 900).

Решение задачи Пусть Y – размер ущерба по случайно выбранномустраховому случаю, наступившему в году N . По условию

P (Y < x) = 1− e−x/θ, x > 0,

где θ – неизвестное среднее.

Размер ущерба по случайно выбранному страховому случаю, наступив-шему в году N + 2, можно записать как Y ′ = 1.052Y . Его распределениеимеет вид:

P (Y ′ < x) = P(1.052Y < x

)= P

(Y <

x

1.052

)

= 1− e−x/(1.052θ).

Таким образом, величина Y ′ имеет экспоненциальное распределение со сред-ним θ′ = 1.052θ.

Для величины Z страхового возмещения в году N + 2 имеем:

Z =

0, если Y ′ < 100,Y ′ − 100, если 100 < Y ′ < 1000,

900, если Y ′ > 1000.


Поэтому

EZ =∫ 1000

100

(x− 100)fY ′(x)dx + 900P (Y ′ > 1000)

=∫ 1000

100

(x− 100)1θ′

e−x/θ′dx + 900e−1000/θ′

= −∫ 1000

100

(x− 100)de−x/θ′ + 900e−1000/θ′

= −(x− 100)e−x/θ′∣∣∣1000

100+

∫ 1000

100

e−x/θ′dx + 900e−1000/θ′

= −900e−1000/θ′ − θ′e−x/θ′∣∣∣1000

100+ 900e−1000/θ′

= θ′(e−100/θ′ − e−1000/θ′

).

Итак, проблема свелась к оценке неизвестного среднего значения исходно-го экспоненциального распределения. Используя в качестве оценки среднееарифметическое наблюдений, мы имеем:

θ = 367.9,

θ′ ≈ 405.61,

откудаEZ ≈ 282.52.

2


Глава 2

Модели процессанаступления страховыхслучаев

Страховые случаи происходят в непредсказуемые моменты времени. Неопре-деленность этих моментов является столь же важной компонентой риска вдеятельности компании, как и неопределенность величин потерь вследствиестраховых случаев. Одно из центральных предположений теории риска заклю-чается в том, что процесс наступления страховых случаев и величины связан-ных с этим выплат могут и должны изучаться раздельно.

Простейшая модель, описывающая наступление страховых случаев, ба-зируется на следующих упрощающих предположениях: 1

1. анализируется фиксированный промежуток времени;

2. число договоров N фиксировано и неслучайно;

3. по каждому договору за рассматриваемый промежуток времени можетпроизойти только один страховой случай;

4. риски, связанные с договорами, независимы, т.е наступление или нетстрахового случая по одному договору не влияет на наступление страхо-вых случаев по другим договорам;

5. договора однородны в том смысле, что вероятность q наступления стра-хового случая по одному договору за рассматриваемый промежуток вре-мени одна и та же для всех договоров;

1Эта модель является статической, т.е. не содержит сценарий наступления страховыхслучаев во времени.

63


6. мы интересуемся только общим числом ν страховых случаев за рассмат-риваемый промежуток времени, не обращая внимания на моменты ихнаступления.

Общее число страховых случаев в этой модели имеет биномиальное рас-пределение:

P (ν = i) =(

N

i

)qipN−i.

В описанной выше модели естественно предположить, что число догово-ров N велико, а вероятность наступления страхового случая q мала. При этомсреднее число страховых случаев Eν = Nq за рассматриваемый промежутоквремени обычно является "средним"по величине числом λ. В этой ситуации(когда N →∞, q → 0, но Nq → λ ∈ (0;+∞)) можно приблизить биномиаль-ное распределение для числа страховых случаев более простым распределени-ем – распределением Пуассона:

P (ν = i) → λi

i!e−λ.

Более интересной, чем статическая, является динамическая модель про-цесса наступления страховых случаев, которая описывает динамику наступ-ления страховых случаев во времени. В самом общем случае процесс наступ-ления страховых случаев – это произвольный точечный процесс, т.е. произ-вольная случайная последовательность точек T1, T2, . . . на оси времени.

Однако реальные статистические данные указывают на то, что этот про-цесс обладает определенными свойствами и может быть весьма точно описанс помощью относительно простых моделей. Наиболее важной является пуас-соновская модель, в которой предполагается, что

1. процесс наступления страховых случаев является стационарным, т.е.распределение числа страховых случаев за некоторый промежуток вре-мени зависит от его длины и не зависит от его положения на оси времени.

2. процесс является ординарным в том смысле, что наступление двух илиболее страховых случаев за малый промежуток времени ∆t практическиневозможно.

3. процесс наступления страховых случаев не обладает последействием,т.е. случайные величины, выражающие число страховых случаев за непе-ресекающиеся промежутки времени, независимы.

Введенные предположения довольно естественны как при описании наступ-ления страховых случаев от всего портфеля договоров, так и при описаниинаступления страховых случаев от индивидуального договора в случае, когдадоговор за время своего действия может произвести несколько страховых слу-чаев (как это имеет место, например, при страховании автомобилей).

Можно показать, что это определение процесса Пуассона с помощью егокачественных свойств равносильно тому, что интервалы между страховыми


случаями (ниже T0 = 0) T1−T0 = T1, T2−T1, T3−T2, . . . – независимы и оди-наково распределены по экспоненциальному закону с некоторым параметромλ. Этот параметр равен среднему числу страховых случаев в единицу времении называется интенсивностью пуассоновского процесса.

Задача 2.1 ([16]) В некотором городе каждую неделю происходит 7 ав-томобильных катастроф. Предположим, что каждая отдельная ката-строфа с равной вероятностью может произойти в любой день недели идни, в которые происходят катастрофы – независимы.

Неделю, в которую катастрофы равномерно распределены по дням неде-ли (т.е. в день происходит ровно одна катастрофа), назовем "обычной",а неделю, которая содержит дни, в которые произошло не менее двух ка-тастроф, назовем "катастрофической".

Найдите среднее число "обычных"и "катастрофических"недель в те-чение трех лет.

Решение задачи Найдем вероятность P того, что катастрофы будутравномерно распределены по дням недели.

Будем описывать аварийность в течение данной недели набором (d1, d2, . . . , d7),где di – день, когда произошла i-я катастрофа (напомним, что по условиюзадачи каждую неделю происходит ровно 7 катастроф). Общее число раз-личных исходов равно 77.

"Обычной"неделе соответствует набор (d1, d2, . . . , d7), где все di различ-ны, т.е. перестановка из 7 элементов; их общее число равно 7!.

В силу условия все исходы равновероятны. Поэтому

P =7!77≈ 0.00612.

Считая, что год состоит из 52 недель, теперь можно найти среднее число"обычных"недель в течение трех лет; оно равно 3 ·52 ·0.00612 ≈ 1. Соответ-ственно, среднее число "катастрофических"недель ≈ 155. 2

Задача 2.2 ([30]) Число страховых случаев за один месяц моделируетсяслучайной величиной ν с распределением:

P (ν = n) =1

(n + 1)(n + 2), n ≥ 0.

Найдите вероятность того, что за месяц произойдет хотя бы один стра-ховой случай, если известно, что число страховых случаев за этот месяцне превосходит 4.


Решение задачи В терминах величины ν искомая вероятность P мо-жет быть записана, как P (ν ≥ 1|ν ≤ 4). Используя определение условнойвероятности, мы имеем:

P (ν ≥ 1|ν ≤ 4) =P (1 ≤ ν ≤ 4)

P (ν ≤ 4).

Но

P (1 ≤ ν ≤ 4) = P (ν = 1) + P (ν = 2) + P (ν = 3) + P (ν = 4)

=1

2 · 3 +1

3 · 4 +1

4 · 5 +1

5 · 6=

13,

P (ν ≤ 4) = P (ν = 0) + P (ν = 1) + P (ν = 2)+ P (ν = 3) + P (ν = 4)

=1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 +1

4 · 5 +1

5 · 6 =56,

так чтоP =

25.

2

Задача 2.3 ([21]) Совместное распределение числа торнадо в странах Aи B задается таблицей 2.1.

Таблица 2.1:Годовое число

торнадо в стране B

0 1 2 3Годовое число 0 0.12 0.06 0.05 0.02торнадо 1 0.13 0.15 0.12 0.03в стране A 2 0.05 0.15 0.10 0.02

Подсчитайте условную дисперсию годового числа торнадо в стране Bпри условии, что в стране A не было ни одного торнадо.

(A) 0.51

(B) 0.84

(C) 0.88

(D) 0.99


(E) 1.76

Решение задачи Пусть X и Y – число торнадо в стране A и B соот-ветственно. Условное распределение случайной величины Y при условии,что X = 0, дается формулой:

P (Y = i|X = 0) =P (X = 0, Y = i)

P (X = 0).

Вероятности P (X = 0, Y = i), i = 0, 1, 2, 3, содержатся в первой строкетаблицы 2.1, а вероятность P (X = 0) получается суммированием элементовэтой строки. Поэтому

P (X = 0) = 0.12 + 0.06 + 0.05 + 0.02 = 0.25,

а условное распределение случайной величины Y при условии, что X =0, задается таблицей 2.2. Теперь для моментов условного распределения

Таблица 2.2:i 0 1 2 3

P (Y = i|X = 0) 0.48 0.24 0.20 0.08

случайной величины Y при условии, что X = 0, мы имеем:

E(Y |X = 0) = 0 · 0.48 + 1 · 0.24 + 2 · 0.20 + 3 · 0.08 = 0.88,

E(Y 2|X = 0) = 02 · 0.48 + 12 · 0.24 + 22 · 0.20 + 32 · 0.08= 1.76,

так что

V ar(Y |X = 0) = E(Y 2|X = 0)− (E(Y |X = 0))2 = 0.9856,


Задача 2.4 ([30]) Число страховых случаев, заявленных на протяженииодной недели, является случайной величиной ν с распределением

P (ν = n) =1

2n+1, n ≥ 0.

Кроме того, число страховых случаев, заявленных на протяжении неде-ли, не зависит от числа страховых случаев, заявленных на протяжениилюбой другой недели.

Подсчитайте вероятность того, что за две недели будет заявленоровно 7 страховых случаев.


(A) 1256

(B) 1128

(C) 7512

(D) 164

(E) 132

Решение задачи Пусть ν1 и ν2 – числа страховых случаев, заявленныхна протяжении первой и второй недели соответственно. В силу независимо-сти этих случайных величин для распределения суммы ν1 + ν2 имеем:

P (ν1 + ν2 = n) =n∑

k=0

P (ν1 = k) · P (ν2 = n− k)

=n∑

k=0

12k+1

· 12n−k+1

=n∑

k=0

12n+2

=n + 12n+2

,

так что искомая вероятность P (ν1 + ν2 = 7) равна 829 = 1

26 . Следовательно,правильным будет ответ D.

2

Задача 2.5 ([24]) Перед заключением договора страхования жизни стра-ховая компания проводит медицинский андеррайтинг, который включаеттест для диагностики некоторого заболевания. Этот тест имеет двавозможных исхода: Y = 1, если тест показывает наличие болезни, иY = 0, если тест не показывает наличие болезни. Пусть X = 1 или 0в соотвествии с тем, имеется или нет в действительности это заболе-вание. Совместное распределение случайных величин X и Y есть:

P (X = 0, Y = 0) = 0.800,

P (X = 1, Y = 0) = 0.050,

P (X = 0, Y = 1) = 0.025,

P (X = 1, Y = 1) = 0.125.

Найдите V ar(Y |X = 1).

(A) 0.13

(B) 0.15

(C) 0.20

(D) 0.51

(E) 0.71


Решение задачи Прежде всего подсчитаем условное распределениеслучайной величины Y при условии, что X = 1:

P (Y = 0|X = 1) =P (Y = 0, X = 1)

P (X = 1)

=P (Y = 0, X = 1)

P (X = 1, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1)

=0.050

0.050 + 0.125=

27,

P (Y = 1|X = 1) =P (Y = 1, X = 1)

P (X = 1)

=P (Y = 1, X = 1)

P (X = 1, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1)

=0.125

0.050 + 0.125=

57.

Поэтому,

E(Y |X = 1) = 0 · P (Y = 0|X = 1) + 1 · P (Y = 1|X = 1)

= P (Y = 1|X = 1) =57,

E(Y 2|X = 1) = 02 · P (Y = 0|X = 1) + 12 · P (Y = 1|X = 1)

= P (Y = 1|X = 1) =57,

V ar(Y |X = 1) = E(Y 2|X = 1)− (E(Y |X = 1))2 =1049

≈ 0.2041,

так что верным является вариант (C). 2

Задача 2.6 ([24]) Вероятность того, что случайно выбранный мужчинаимеет проблемы с системой кровообращения, равна 0.25. Мужчина, име-ющий такие проблемы, является курильщиком с вероятностью в два разабольше, чем мужчина, у которого нет никаких проблем с системой кро-вообращения.

Чему равна условная вероятность того, что мужчина, который ку-рит, имеет проблемы с системой кровообращения.

(A) 14

(B) 13

(C) 25

(D) 12


(E) 23

Решение задачи Введем в рассмотрение следующие события:

1. H1={у мужчины есть проблемы с системой кровообращения},

2. H2={мужчина не имеет никаких проблем с системой кровообраще-ния},

3. A={мужчина является курильщиком},

4. B={мужчина не курит}.

В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это P (H1|A).По условию P (H1) = 0.25. Поскольку события H1 и H2 образуют полную

группу несовместимых событий, то P (H2) = 1− P (H1) = 0.75.Кроме того, мы знаем, что P (A|H1) = 2P (A|H2). Вспоминая определе-

ние условной вероятности, мы можем переписать это равенство в виде:

P (AH1)P (H1)

= 2P (AH2)P (H2)

.

Поскольку события H1 и H2 образуют полную группу несовместимых со-бытий, то P (AH1)+P (AH2) = P (A). Поэтому можно продолжить преобра-зования следующим образом:

P (AH1)0.25

= 2P (A)− P (AH1)

0.75m

3P (AH1) = 2P (A)− 2P (AH1)m

5P (AH1) = 2P (A)m

P (AH1)P (A)

=25

mP (H1|A) =

25


Задача 2.7 ([21]) Таблица 2.3 содержит данные о состоянии автомо-бильного парка.

Автомобиль, выпущенный в период между 1997 и 1999 гг. (включи-тельно), попал в аварию.

Найдите вероятность того, что этот автомобиль был выпущен в1997 г.


Таблица 2.3:Год Доля среди Вероятность

выпуска всех машин попасть вмашины аварию

1997 0.16 0.051998 0.18 0.021999 0.20 0.03

Прочее 0.46 0.04

(A) 0.22

(B) 0.30

(C) 0.33

(D) 0.45

(E) 0.50

Решение задачи Введем события:

1. H1={автомобиль был выпущен в 1997 г.},



4. A={автомобиль попал в аварию},

5. B = A(H1 + H2 + H3)={автомобиль, выпущенный в 1997, 1998 или1999 гг., попал в аварию}.

Первые три строки второго столбца таблицы 2.3 фактически содержатчисловые значения P (H1), P (H2), P (H3), а первые три строки третьегостолбца таблицы 2.3 содержат числовые значения P (A|H1), P (A|H2), P (A|H3).В терминах этих событий искомая вероятность P может быть записана, какP (H1|B).

Поскольку B ⊂ ⋃3i=1 Hi, а P (AHi) = P (BHi), i = 1, 2, 3, используя


определение условной вероятности, мы имеем:

P =P (BH1)P (B)

=P (BH1)

P (BH1) + P (BH2) + P (BH3)

=P (AH1)

P (AH1) + P (AH2) + P (AH3)

=P (A|H1)P (H1)

P (A|H1)P (H1) + P (A|H2)P (H2) + P (A|H3)P (H3)

=0.05 · 0.16

0.05 · 0.16 + 0.02 · 0.18 + 0.03 · 0.20

=80176

≈ 0.45,

и поэтому верным является вариант (D). 2 2

Задача 2.8 ([24]) Актуарий изучал вероятность попадания в аварию хо-тя бы один раз в год для различных возрастных категорий водителей. Ре-зультаты его исследования приведены в таблице 2.4.

Таблица 2.4:Номер Возраст Доля среди Вероятностьгруппы водителя всех хотя бы одной

водителей аварии в год

1 до 25 лет 8% 0.152 от 26 до 30 лет 16% 0.083 от 31 до 50 лет 45% 0.044 старше 50 лет 31% 0.05

всего 100%

При условии, что водитель попал в аварию хотя бы один раз на про-тяжении года, определите, чему равна вероятность того, что водителюот 26 до 30 лет.

(A) 0.06

(B) 0.16

(C) 0.19

(D) 0.22

(E) 0.25

2Полученная формула для P ≡ P (H1|B) является прямым следствием формулы Бай-еса, если учесть, что P (A|Hi) = P (B|Hi), i = 1, 2, 3.


Решение задачи Обозначим через Hi событие {водитель входит в i−ювозрастную категорию}, i = 1, 2, 3, 4, а через A – событие {водитель попалв аварию хотя бы один раз на протяжении года}. Третий столбец таблицы2.4 фактически содержит числовые значения P (Hi), а последний столбецтаблицы 2.4 содержит числовые значения P (A|Hi).

В терминах этих событий искомая вероятность P может быть записана,как P (H2|A).

Поскольку события H1, H2, H3, H4 образуют полную группу несовме-стимых событий, используя определение условной вероятности, мы имеем:3

P ≡ P (H2|A) =P (AH2)P (A)

=P (AH2)

P (AH1) + · · ·+ P (AH4)

=P (A|H2)P (H2)

P (A|H1)P (H1) + · · ·+ P (A|H4)P (H4)

=0.08 · 0.16

0.15 · 0.08 + 0.08 · 0.16 + 0.04 · 0.45 + 0.05 · 0.31

=128583

≈ 0.219554,


Задача 2.9 ([20]) Страховая компания занимается страхованием жиз-ни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Еслизастрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении годаравна 0.01. Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.

Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерлив течение года?

(A) 5%

(B) 20%

(C) 36%

(D) 56%

(E) 90%


1. H1={застрахованный – курильщик},

2. H2={застрахованный – не курильщик},

3. A={застрахованный умер в течение года}.3Фактически мы повторяем вывод формулы Байеса.


Условие задачи означает, что

P (H1) = 0.1, P (A|H1) = 0.05, P (A|H2) = 0.01.

Кроме того, поскольку события H1 и H2 образуют полную группу несовме-стимых событий, P (H2) = 1− P (H1) = 0.9.

Интересующая нас вероятность – это P (H1|A). Используя формулу Бай-еса, мы имеем:

P (H1|A) =P (A|H1)P (H1)

P (A|H1)P (H1) + P (A|H2)P (H2)

=0.05 · 0.1

0.05 · 0.1 + 0.01 · 0.9=

514≈ 0.35714,


Задача 2.10 ([20]) Десять процентов договоров из портфеля страховойкомпании, являются договорами с высокой степенью риска, а оставшиеся90% договоров являются договорами с низкой степенью риска.

Число страховых случаев по одному договору в течение года распре-делено по закону Пуассона со средним θ; риски, связанные с различнымидоговорами, независимы друг от друга. Для договоров с высокой степеньюриска θ = 0.6, а для договоров с низкой степенью риска θ = 0.1.

Сколько в среднем можно ожидать страховых случаев в наступающемгоду по договору, который в прошлом году привел к одному страховомуслучаю?

(A) 0.15

(B) 0.18

(C) 0.24

(D) 0.30

(E) 0.40

Решение задачи Введем следующие события:

1. H1={договор имеет высокую степень риска},

2. H2={договор имеет низкую степень риска},

3. A={договор привел к одному страховому случаю в прошлом году}.

По условию, P (H1) = 0.1, P (H2) = 0.9.


Используя формулу Байеса, подсчитаем апостеорную вероятность того,что договор имеет высокую степень риска:

P (H1|A) =P (A|H1)P (H1)

P (A|H1)P (H1) + P (A|H2)P (H2)

=0.6e−0.6 · 0.1

0.6e−0.6 · 0.1 + 0.1e−0.1 · 0.9

=2

2 + 3√

e≈ 0.287929.

При условии, что договор имеет высокую степень риска, ожидаемое числостраховых случаев в наступающем году есть 0.6.

Соответственно, апостеорная вероятность того, что договор имеет низ-кую степень риска, равна

P (H2|A) = 1− P (H1|A) =3√

e

2 + 3√

e≈ 0.712071,

а при условии, что договор имеет низкую степень риска, ожидаемое числостраховых случаев в наступающем году есть 0.1.

Отсюда ожидаемое число страховых случаев в наступающем году подоговору, который в прошлом году привел к одному страховому случаю,равно

0.6 · 0.287929 + 0.1 · 0.712071 = 0.243964.

Поэтому верным является вариант (C).Более аккуратное решение выглядит следующим образом.Пусть ν′ – число страховых случаев по договору в прошлом году (так

что введенное выше событие A ≡ {ν′ = 1}), а ν′′ – число страховых случаевпо этому же договору в наступающем году. При условии, что известно,какое из двух событий, H1 или H2, наступило, случайные величины ν′ иν′′ – независимы, 4 и имеют одинаковые условные распределения, которыеявляются распределениями Пуассона с параметрами θ1 и θ2 соответственно:

P (ν′ = n|H1) = P (ν′′ = n|H1) =θn1

n!e−θ1 , n = 0, 1, 2, . . . ,

P (ν′ = n|H2) = P (ν′′ = n|H2) =θn2

n!e−θ2 , n = 0, 1, 2, . . . ,

где θ1 = 0.6, θ2 = 0.1.В частности,

E(ν′′|H1) = θ1 = 0.6,

E(ν′′|H2) = θ2 = 0.1.

4Это означает, что условное совместное распределение случайных величин ν′ и ν′′,P (ν′ = n′, ν′′ = n′′|Hk), распадается в произведение маргинальных распределений P (ν′ =n′|Hk) и P (ν′′ = n′′|Hk), k = 1, 2.


Интересующая нас величина – это E(ν′′|ν′ = 1). Используя определениеусловной вероятности и условную независимость величин ν′, ν′′, мы имеем:

E(ν′′|ν′ = 1) =∑

n

nP (ν′′ = n|ν′ = 1)

=∑

n

nP (ν′′ = n, ν′ = 1)

P (ν′ = 1)

=∑

n

∑

Hk

nP (ν′′ = n, ν′ = 1,Hk)

P (ν′ = 1)

=∑

n

∑

Hk

nP (ν′′ = n, ν′ = 1|Hk)P (Hk)

P (ν′ = 1)

=∑

n

∑

Hk

nP (ν′′ = n|Hk)P (ν′ = 1|Hk)P (Hk)

P (ν′ = 1)

=∑

n

∑

Hk

nP (ν′′ = n|Hk)P (ν′ = 1,Hk)

P (ν′ = 1)

=∑

Hk

∑n

nP (ν′′ = n|Hk)P (Hk|ν′ = 1)

=∑

Hk

E(ν′′|Hk)P (Hk|A) =∑

Hk

θkP (Hk|A)

≡ θ1P (H1|A) + θ2P (H2|A)≈ 0.6 · 0.287929 + 0.1 · 0.712071 = 0.243964.

2

Задача 2.11 ([26]) Число страховых случаев по одному договору страхо-вания в течение года распределено по закону Пуассона. Для половины дого-воров среднее число страховых случаев в год равно 2, а для другой половины– 4.

По случайно выбранному договору два года подряд было заявлено по 4страховых случая в год.

Сколько в среднем можно ожидать страховых случаев по этому дого-вору в следующем году?

(A) 3.2

(B) 3.4

(C) 3.6

(D) 3.8

(E) 4.0


Решение задачи Введем следующие события:

1. H1={договор входит в группу со средним числом страховых случаевв год, равным 2},

2. H2={договор входит в группу со средним числом страховых случаевв год, равным 4},

3. A={договор два года подряд привел к 4 страховым случаям}.

По условию, P (H1) = 0.5, P (H2) = 0.5. Кроме того, поскольку число стра-ховых случаев в год имеет распределение Пуассона, а риски в различныегода – независимы,

P (A|H1) =24

4!e−2 24

4!e−2 =

49e−4,

P (A|H2) =44

4!e−4 44

4!e−4 =

10249

e−8.

Используя формулу Байеса, подсчитаем апостеорную вероятность того, чторассматриваемый договор входит в первую группу:

P (H1|A) =P (A|H1)P (H1)

P (A|H1)P (H1) + P (A|H2)P (H2)

=49e−4 · 0.5

49e−4 · 0.5 + 1024

9 e−8 · 0.5

=1

1 + 256e−4≈ 0.17578.

Соответственно, апостеорная вероятность того, что договор входит во вто-рую группу, равна

P (H2|A) = 1− P (H1|A) ≈ 0.82422.

При условии, что договор входит в первую (вторую) группу, ожидаемоечисло страховых случаев в следующем году есть 2 (соответственно, 4).

Поэтому безусловное ожидаемое число страховых случаев в очередномгоду по договору, который два года подряд приводил к 4 страховым случа-ям, равно

2 · 0.17578 + 4 · 0.82422 = 3.64844,


Задача 2.12 ([21]) Компания устанавливает цену на страхование убыт-ков от ураганов, используя следующие предположения:

1. на протяжении одного календарного года не может быть большеодного урагана;


2. вероятность того, что на протяжении одного календарного года бу-дет ураган, равна 0.05;

3. число ураганов на протяжении любого календарного года не зависитот числа ураганов на протяжении любого другого календарного года.

Используя предположения компании, подсчитайте вероятность того,что за 20 лет будет меньше трех ураганов.

(A) 0.06

(B) 0.19

(C) 0.38

(D) 0.62

(E) 0.92

Решение задачи Обозначим через ν число ураганов за N = 20 лет.Для анализа этой величины введем индикаторные величины I1, . . . , IN , гдеIi = 1 или 0 в соответствии с тем, был или нет ураган в i−м году (инымисловами, Ii – число ураганов в i−м году). Это позволит записать интересу-ющую нас величину ν в виде суммы:

ν = I1 + · · ·+ IN .

Случайные величины I1, . . . , IN одинаково распределены по закону :

P (Ii = 1) = q, P (Ii = 0) = p ≡ 1− q,

где q = 0.05, и имеют одну и ту же производящую функцию

z0 · P (I = 0) + z1 · P (I = 1) = p + zq.

Поскольку случайные величины I1, . . . , IN независимы, производящая функ-ция π(z) величины ν равна произведению производящих функций величинI1, . . . , IN :

π(z) = (p + zq)N . (2.1)

Напомним, что по определению,

π(z) =N∑

i=0

P (ν = i)zi.

С другой стороны, по формуле бинома Ньютона

(p + zq)N =N∑

i=0

(N

i

)(zp)ipN−i =

N∑

i=0

(N

i

)qipN−izi,


где (N

i

)=

N !i!(N − i)!

=N(N − 1)...(N − i + 1)

i!.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частяхравенства (2.1), мы получим распределение числа ураганов за N = 20 лет:5

P (ν = i) =(

N

i

)qipN−i. (2.2)

Эта формула может быть получена и с помощью комбинаторных со-ображений. Всего имеется

(Ni

)вариантов развития событий, при которых

происходит ровно i ураганов. Вероятность каждого конкретного вариантаравна qipN−i, что влечет справедливость формулы (2.2).

В терминах случайной величины ν искомая вероятность P может бытьвыражена следующим образом:

P = P (ν < 3) = P (ν = 0) + P (ν = 1) + P (ν = 2).

Используя формулу (2.2), мы имеем:

P =(

200

)q0p20 +

(201

)q1p19 +

(202

)q2p19

= 0.9520 + 20 · 0.051 · 0.9519 + 190 · 0.052 · 0.9518

≈ 0.3585 + 0.3774 + 0.1887 = 0.9246

и поэтому верным является вариант (E).Еще одно решение этой задачи может быть получено, если мы заметим,

что параметр N (число лет) достаточно большой (N = 20), а вероятностьурагана q мала (q = 0.05). При этом среднее число ураганов Eν = Nq за рас-сматриваемый промежуток времени является "средним"по величине чис-лом λ = 1. В этой ситуации (когда N → +∞, q → 0, но Nq → λ ∈ (0;+∞))можно приблизить биномиальное распределение (2.2) для числа урагановболее простым распределением – распределением Пуассона с параметромλ. Действительно, при сделанных предположениях:

(1− q)N−i = exp((N − i) ln(1− q)) = exp((N − i)(−q + o(q)))= exp(−Nq + o(1)) = exp(−λ + o(1)) → e−λ.

Кроме того,

N(N − 1) . . . (N − i + 1)qi = Nq(Nq − q) . . . (Nq − (i− 1)q)→ λ · · · · · λ = λi.

5Распределение (2.2) называется биномиальным распределением, а случайная величи-на ν – биномиальной случайной величиной. Отметим также, что в общем курсе теориивероятностей модели, подобные нашей, обычно называют схемой Бернулли; параметр Nназывают числом испытаний, а параметр q – вероятностью успеха.


Поэтому

P (ν = i) → λi

i!e−λ.

Здесь в правой части стоит распределение Пуассона с параметром λ.Применяя этот результат к рассматриваемой задаче, мы можем напи-

сать для искомой вероятности P = P (ν < 3) приближенное равенство: 6

P ≈(

1 + λ +λ2

2

)e−λ

≡ (1 + 1 + 0.5) e−1 ≈ 0.92.

2

Задача 2.13 ([21]) При моделировании числа страховых случаев, заяв-ленных владельцами договоров страхования автомобилей за трехлетнийпериод, актуарий страховой компании сделал упрощающее предположе-ние, что для всех целых n ≥ 0 верно равенство

pn+1 =15pn,

где pn – вероятность того, что страхователь заявил n страховых случаевна протяжении рассматриваемого периода времени.

Какова, при сделанных предположениях, вероятность того, что стра-хователь заявил более одного страхового случая.

(A) 0.04

(B) 0.16

(C) 0.20

(D) 0.80

(E) 0.96

Решение задачи Рекуррентная формула

pn+1 =15pn, n ≥ 0,

может быть переписана в виде

pn = λpn−1, n ≥ 1,

где λ = 15 .

6Отметим замечательную точность приближения Пуассона; относительная погреш-ность при расчете искомой вероятности составляет около 0.5%.


Отсюда последовательно имеем:

pn = λnp0, n ≥ 1. (2.3)

При n = 0 это равенство превращается в тождество. Поэтому можно счи-тать, что уравнение (2.3) верно при всех n ≥ 0.

Суммируя соотношение (2.3) по n ≥ 0 и учитывая тот факт, что∑+∞

n=0 pn =1, мы получим:

p0 = 1− λ,

так что распределение pn является геометрическим:

pn = λn(1− λ), n ≥ 0. (2.4)

Искомая вероятность может быть записана как 1− p0− p1 и из выраже-ния (2.4) мы немедленно получаем, что она равна λ2 = 1

25 . Поэтому вернымявляется вариант (A). 2

Задача 2.14 ([21]) Актуарий страховой компании установил, что за вре-мя действия определенного вида договоров застрахованные заявляют двастраховых случая в три раза чаще, чем четыре.

Найдите дисперсию числа заявляемых страховых случаев, если оно име-ет распределение Пуассона.

(A) 1√3

(B) 1

(C)√

2

(D) 2

(E) 4

Решение задачи Пусть ν – число заявляемых страховых случаев дляодного договора. По условию

P (ν = n) =λn

n!e−λ,

P (ν = 2) = 3 · P (ν = 4).

Отсюда немедленно вытекает, что λ = 2.Для распределения Пуассона с параметром λ, как известно, дисперсия

в точности равна λ, так что верным является вариант (D). 2


Задача 2.15 ([24]) Страховая компания заключила 1250 договоров стра-хования. Число страховых случаев, заявленных по одному договору на про-тяжении одного года, имеет распределение Пуассона со средним значени-ем 2. Предполагая, что количества страховых случаев, заявленных раз-личными страхователями, не зависят друг от друга, подсчитайте веро-ятность того, что по всему портфелю за год будет заявлено от 2450 до2600 страховых случаев.

(A) 0.68

(B) 0.82

(C) 0.87

(D) 0.95

(E) 1.00

Решение задачи Пусть νi – число страховых случаев, заявленных поi−му договору на протяжении одного года, N = 1250 – общее число дого-воров, S = ν1 + · · · + νN – общее число страховых случаев, заявленных повсему портфелю за год. Поскольку случайные величины νi имеют распре-деление Пуассона со средним λ = 2, их дисперсии также равняются λ = 2.Поэтому

ES = N · Eνi = 1250 · 2 = 2500,

V arS = N · V arνi = 1250 · 2 = 2500.

Искомая вероятность P ≡ P (2450 ≤ S ≤ 2600) может быть записана как

P

(2450− ES√

V arS≤ S − ES√

V arS≤ 2600− ES√

V arS

),


P

(−1 ≤ S − ES√

V arS≤ 2

).

Прменяя гауссовское приближение для распределения центрированной инормированной суммы, мы имеем:

P ≈ Φ(2)− Φ(−1) = Φ(2) + Φ(1)− 1≈ 0.97725 + 0.84134− 1 = 0.8186,


Задача 2.16 ([25]) Распределение числа страховых случаев является ран-домизированным пуассоновским распределением со средним значением, ко-торое равномерно распределено на отрезке [0, 5].

Подсчитайте вероятность того, что произойдет по меньшей мере двастраховых случая.


(A) 0.61

(B) 0.66

(C) 0.71

(D) 0.76

(E) 0.81

Решение задачи Условие задачи означает, что распределение числастраховых случаев πi = P (ν = i) дается формулой

πi = Eπi(Λ),

где πi(x) = xi

i! e−x – распределение Пуаcсона, а случайный параметр Λ имеет

плотность

fΛ(x) ={

15 , если 0 < x < 5,0 в противном случае.

По формуле полного математического ожидания мы имеем:

πi =∫ ∞

0

πi(x) · fΛ(x)dx

=15

∫ 5

0

xi

i!e−xdx.

Для конкретных значений i этот интеграл легко подсчитать по частям:

π0 =15

∫ 5

0

e−xdx =15

(−e−x)∣∣∣∣

5

0

=1− e−5

5,

π1 =15

∫ 5

0

xe−xdx = −15

∫ 5

0

xde−x

=−xe−x

5

∣∣∣∣5

0

+15

∫ 5

0

e−xdx

= −e−5 + π0 =1− 6e−5

5.

Поэтому искомая вероятнось P (ν ≥ 2) равна

P (ν ≥ 2) = 1− P (ν = 0)− P (ν = 1) =3 + 7e−5

5≈ 0.6094.

Следовательно, верным является вариант (A). 2

Задача 2.17 ([22]) Известно, что


1. число страховых случаев ν имеет распределение Пуассона со среднимΛ,

2. Λ имеет гамма-распределение со средним 1 и дисперсией 2.

Подсчитайте вероятность того, что ν = 1.

(A) 0.19

(B) 0.24

(C) 0.31

(D) 0.34

(E) 0.37

Решение задачи Напомним, что случайная величина Λ имеет гамма-распределение с параметрами λ > 0 и α > 0, если ее плотность даетсяформулой:

fΛ(x) =λα

(α)xα−1e−λx, x > 0,

где

(α) =∫ ∞

0

tα−1e−tdt

– классическая гамма-функция. Среднее значение и дисперсия величины Λсвязаны с параметрами λ и α формулами:

EΛ =α

λ, V arΛ =

α

λ2,

так что

α =(EΛ)2

V arΛ, λ =

EΛV arΛ

.

В нашем случае

α =12, λ =

12.

Для подсчета распределения числа страховых случаев в рассматриваемоймодели мы должны усреднить распределение Пуаcсона πi ≡ πi(x) = xi

i! e−x

в соответствии с плотностью fΛ(x). Иными словами, распределение случай-ной величины ν дается формулой:

πi = Eπi(Λ) =∫ ∞

0

πi(x) · fΛ(x)dx

=∫ ∞

0

xi

i!e−x λα

Γ(α)xα−1e−λxdx

=λα

i!Γ(α)

∫ ∞

0

xi+α−1e−(λ+1)xdx.


С помощью замены переменной t = (λ + 1)x мы получим:

πi =λα

(λ + 1)i+αi!Γ(α)

∫ ∞

0

ti+α−1e−tdt.

Вспоминая определение гамма-функции, отсюда имеем:

πi =λα

(λ + 1)i+αi!Γ(α)· Γ(i + α).

И наконец, используя классическую формулу Γ(x) = (x − 1) · Γ(x − 1), мыполучим: 7

πi =α · (α + 1) · · · · · (α + i− 1)

i!pαqi,

где

p =λ

λ + 1, q =

1λ + 1

.

В нашем случае

α =12, p =

13, q =

23,

так чтоP (ν = 1) = αpαq =

13√

3≈ 0.1924501,

и поэтому верным является вариант (A). 2

Задача 2.18 ([28]) Актуарий компании, занимающейся страхованием ав-томобилей, установил, что для случайно выбранного застрахованного ав-томобиля распределение числа страховых случаев, заявленных в течениегода, имеет отрицательное биномиальное распределение со средним 0.2 идисперсией 0.4.

С другой стороны, для каждого конкретного застрахованного автомо-биля распределение числа страховых случаев, заявленных в течение года,имеет распределение Пуассона; его параметр для случайно выбранного за-страхованного автомобиля имеет гамма-распределение.

Найдите дисперсию этого гамма-распределения.

Решение задачи Для отрицательного биномиального распределения спараметрами p и α дисперсия и среднее числа страховых случаев по одномудоговору даются формулами

Eν =α(1− p)

p,

V arν =α(1− p)

p2,

7Полученное распределение называется отрицательным биномиальным распределе-нием с параметрами p и α.


откуда

p =Eν

V arν= 0.5,

α =(Eν)2

V arν − Eν= 0.2.

Далее, как мы установили в задаче 2.17, если отрицательное биноми-альное распределение рассматривать как рандомизированное распределе-ние Пуассона с параметром Λ, распределенным в соответствии с гамма-распределением, то

1. параметр α этого гамма-распределения совпадает с параметром α ос-новного отрицательного биномиального распределения;

2. параметр λ этого гамма-распределения связан с параметром p основ-ного отрицательного биномиального распределения соотношением:

p =λ

λ + 1.

Поэтому наше гамма-распределение имеет параметры

α =(Eν)2

V arν − Eν= 0.2,

λ =p

1− p=

Eν

V arν − Eν= 1,

и, значит,

EΛ =α

λ= Eν = 0.2,

V arΛ =α

λ2= V arν − Eν = 0.2.

2

Задача 2.19 ([22]) Число страховых случаев за один день по договорамстрахования автомобилей зависит от состояния погоды (дождливая илинет). Для проведения актуарных расчетов актуарий страховой компаниимоделирует состояние погоды в последовательные дни как стационарнуюцепь Маркова с двумя состояниями:

1. если сегодня был дождь, то вероятность того, что дождь будет изавтра, равна 0.50,

2. если сегодня не было дождя, то вероятность того, что завтра будетдождь, равна 0.30.


Подсчитайте стационарную вероятность того, что два последователь-ных дня будут дождливыми.

(A) 0.12

(B) 0.14

(C) 0.16

(D) 0.19

(E) 0.22

Решение задачи Пусть Xk – состояние погоды в k−й день: Xk =1, если дождь был, Xk = 0, если дождя не было. Матрица вероятностейперехода pij = P (Xk+1 = j|Xk = i) цепи Xk имеет вид:

(0.7 0.30.5 0.5

).

Поэтому уравнения Колмогорова для стационарного распределения π0 =P (Xk = 0), π1 = P (Xk = 1) есть:

π0 = π0 · 0.7 + π1 · 0.5,

π1 = π0 · 0.3 + π1 · 0.5.

Поскольку π0 + π1 = 1, отсюда сразу получим:

π0 =58, π1 =

38.

Теперь для искомой вероятности P = P (Xk = 1, Xk+1 = 1) имеем:

P = P (Xk = 1) · P (Xk+1 = 1|Xk = 1)

= π1p11 =38· 0.5 = 0.1875,


Задача 2.20 ([25]) Муниципалитет устраивает пикник 14 июля каж-дого года. В случае дождливой погоды пикник отменяется и муниципа-литет теряет 1000, потраченную на его организацию. После очереднойотмены пикника из-за плохой погоды муниципалитет решил купить наследующие три года страховку, которая покрыла бы эти потери.

При проведении актуарных расчетов страховая компания моделируетсостояние погоды как стационарную цепь Маркова с двумя состояниями:состояние 1 соответствует хорошей погоде, а состояние 0 – плохой. Приэтом предполагается, что вероятность дождя в какой-то день равна 0.50,


если накануне также был дождь, и равна 0.20, если накануне не было до-ждя.

Техническая процентная ставка i, используемая компанией в актуар-ных расчетах, равна 10%.

Подсчитайте разовую нетто-премию по этому договору.

(A) 340

(B) 420

(C) 540

(D) 710

(E) 760

Решение задачи Примем день заключения договора в качестве началаотсчета времени и обозначим состояние погоды в k−й день через Xk: Xk =1, если дождь был, Xk = 0, если дождя не было. Матрица вероятностейперехода pij = P (Xk+1 = j|Xk = i) цепи Xk имеет вид:

(0.8 0.20.5 0.5

).

Поэтому уравнения Колмогорова для стационарного распределения π0 =P (Xk = 0), π1 = P (Xk = 1) есть:

π0 = π0 · 0.8 + π1 · 0.5,

π1 = π0 · 0.2 + π1 · 0.5.

Поскольку π0 + π1 = 1, отсюда имеем:

π0 =57, π1 =

27.

Пусть T = 365 – число дней в году. Тогда XT , X2T , X3T – состоянияпогоды в дни 14 июля, покрытые страховкой. Поскольку T = 365 – доста-точно большое число, приближенно можно считать, что распределения этихслучайных величин совпадают со стационарным распределением:

P (XT = 1) = P (X2T = 1) = P (X3T = 1) ≈ π1 =27.

Современная стоимость обязательств компании по рассматриваемому дого-вору есть:

Z = 1000 · (v · I(XT = 1) + v2 · I(X2T = 1) + v3 · I(X3T = 1)),

где v = 1/(1 + i) = 10/11 – коэффициент дисконтирования.


Соответственно, актуарная современная стоимость обязательств компа-нии равна

EZ = 1000 · (vP (XT = 1) + v2P (X2T = 1) + v3P (X3T = 1))

= 1000π1 · (v + v2 + v3) =6 620 000

9 317≈ 710.53.

Принцип эквивалентности обязательств влечет, что разовая нетто-премияравна актуарной современной стоимости обязательств компании. Поэтомуверным является вариант (D). 2

Задача 2.21 ([27]) Промежуток времени от момента заключения дого-вора страхования гражданской ответственности водителей до моментанаступления первого страхового случая для хороших водителей имеетэкспоненциальное распределение со средним 6 лет, а для плохих водителей– экспоненциальное распределение со средним 3 года. Для разных водителейэти промежутки времени являются независимыми случайными величи-нами.

Рассмотрим двух водителей, одного хорошего, а второго – плохого. Че-му равна вероятность того, что для хорошего водителя время до наступ-ления страхового случая меньше, чем 3 года, а для плохого – меньше, чем2 года.

Решение задачи Пусть T ′ (T ′′) – промежуток времени от моментазаключения договора до момента наступления первого страхового случаядля хорошего (плохого) водителя. Искомая вероятность P может быть за-писана как P (T ′ < 3, T ′′ < 2). В силу независимости случайных величин T ′,T ′′ имеем:

P = P (T ′ < 3) · P (T ′′ < 2)

=(1− e−3/6

)·(1− e−2/3

)≈ 19.15%.

2

Задача 2.22 ([18]) Процесс наступления страховых случаев является пуас-соновским с параметром 2.

Определите среднее время до наступления пятого страхового случая.

(A) 2.0

(B) 2.5

(C) 5.0

(D) 7.5


(E) 10.0

Решение задачи Пусть T1, T2, . . . – моменты наступления страховыхслучаев (T0 = 0). Тот факт, что этот процесс – пуассоновский с параметромλ = 2, означает, что интервалы между страховыми случаями τ1 ≡ T1−T0 =T1, τ2 ≡ T2−T1, τ3 ≡ T3−T2, . . . – независимы и одинаково распределены поэкспоненциальному закону с параметром λ (т.е. со средним Eτi = 1

λ = 12 ).

Поэтому момент наступления пятого страхового случая, T5, представим ввиде суммы пяти независимых экспоненциально распределенных величин спараметром λ:

T5 = τ1 + · · ·+ τ5.

Отсюда,

ET5 = Eτ1 + · · ·+ Eτ5 = 5 · 1λ

=52.

Таким образом, верным является вариант (B). 2

Задача 2.23 ([25]) Страховая компания имеет два портфеля договоровстрахования. Страховые случаи по портфелю A наступают в соответ-ствии с пуассоновским процессом со средним 3 случая в год. Страховыеслучаи по портфелю B наступают в соответствии с пуассоновским про-цессом со средним 5 случаев в год. Эти два процесса – независимы.

Найдите вероятность того, что по портфелю A 3 страховых случаяпроизойдут раньше, чем 3 страховых случая произойдут по портфелю B.

(A) 0.28

(B) 0.33

(C) 0.38

(D) 0.43

(E) 0.48

Решение задачи Пусть T ′n и T ′′n – моменты наступления n-го стра-хового случая по портфелю A и B соответственно. Интересующая нас ве-роятность P может быть записана как P (T ′3 < T ′′3 ). По формуле полнойвероятности мы имеем:

P ≡ P (T ′3 < T ′′3 ) =∫ +∞

0

P (T ′′3 > t)fT ′3(t)dt.

Таким образом, нам нужно найти функцию распределения случайной ве-личины T ′′3 и плотность случайной величины T ′3.

Рассмотрим некоторый пуассоновский процесс с интенсивностью λ иобозначим через ν(t) число событий этого процесса к моменту t, а через


Tn – момент наступления n-го события. Для любого точечного процессасобытия {Tn > t} и {ν(t) ≤ n− 1} совпадают. Поэтому

P (Tn > t) = P (ν(t) ≤ n− 1) =n−1∑

k=0

P (ν(t) = k).

Для пуассоновского процесса, как известно, случайная величина ν(t) имеетраспределение Пуассона с параметром λt:

P (ν(t) = k) =(λt)k

k!e−λt, k = 0, 1, 2, . . . .

Поэтому дополнительная функция распределения момента наступления n-го события есть:

P (Tn > t) =n−1∑

k=0

(λt)k

k!e−λt.

Дифференцируя эту формулу по t, мы получим следующее выражение дляплотности случайной величины Tn:

fTn(t) = λ(λt)n−1

(n− 1)!e−λt.

Возвращаясь к нашей задаче, из этих общих формул мы имеем:

P (T ′′3 > t) =(

1 + 5t +25t2

2

)e−5t,

fT ′3(t) =27t2

2e−3t.

Поэтому

P =∫ +∞

0

2716

(t2 + 5t3 +

252

t4)

8e−8tdt.

Интеграл вида ∫ +∞

0

tnλe−λtdt

можно рассматривать как n-й момент экспоненциального распределения спараметром λ. Как известно, этот момент равен n!

λn . Следовательно,

P =2716

(2!82

+ 5 · 3!83

+252· 4!84

)=

901832768

= 0.2752075,


Задача 2.24 ([19]) Пусть Vk – время между окончанием обработки (k−1)−го и k−го заявлений о страховых случаях отделом урегулирования убыт-ков страховой компании. Известно, что


1. V1, V2, . . . независимы в совокупности и одинаково распределены,

2. плотность каждой из случайных величин Vk есть 0.2e−0.2t, t > 0,где t измеряется в минутах.

Определите вероятность того, что в течение 10 минут будет обработа-но по меньшей мере 2 заявления.

(A) 0.2

(B) 0.3

(C) 0.4

(D) 0.5

(E) 0.6

Решение задачи Поскольку плотность случайной величины Vk имеетвид λe−λt, t > 0 (при λ = 0.2), случайные величины Vk распределены попоказательному закону с параметром λ. Вместе с первым условием относи-тельно взаимной независимости случайных величин Vk, 1 ≤ k < +∞, этоозначает, что моменты окончания обработки заявлений образуют пуассо-новский поток с интенсивностью λ заявлений/мин. Поэтому число событийэтого потока за фиксированный промежуток времени t, ν(t), имеет распре-деление Пуассона с параметром λt:

P (ν(t) = n) =(λt)n

n!e−λt, n = 0, 1, 2, . . . .

Искомая вероятность P может быть записана как P (ν(10) ≥ 2). Ее удобнопредставить в виде:

P = 1− P (ν(10) = 0)− P (ν(10) = 1),

так чтоP = 1− e−2 − 2e−2 = 0.593994,

и поэтому верным является вариант (E). 2

Задача 2.25 ([21]) Страховщик продает два вида договоров страхованияавтомобилей – базовые и элитные. Страховые случаи по базовым дого-ворам наступают в среднем через два дня, а по элитным – в среднемчерез три дня. В обоих случаях промежутки времени между наступле-нием страховых случаев взаимно независимы и имеют экспоненциальноераспределение. Кроме того, наступление страховых случаев по базовымдоговорам не зависит от наступления страховых случаев по элитным до-говорам.

Найдите вероятность того, что очередной страховой случай будетсвязан с элитным договором.


(A) 0.172

(B) 0.223

(C) 0.400

(D) 0.487

(E) 0.500

Решение задачи Условие задачи означает, что моменты наступле-ния страховых случаев по базовым (элитным) договорам образуют процессПуассона с интенсивностью λ1 = 1/2 (λ2 = 1/3); сами эти процессы не зави-сят друг от друга. В этой ситуации объединенный процесс также являетсяпуассоновским; его интенсивность равна λ = λ1 + λ2 = 5/6, а при усло-вии, что произошло событие объединенного потока (т.е. наступил страхо-вой случай), вероятность того, что это событие из первого (второго) потока(т.е. наступил страховой случай по базовому (элитному) договору) равнаλ1/λ = 3/5 (соответственно, λ2/λ = 2/5). Поэтому верным является вари-ант (C). 2

Задача 2.26 ([24]) Часть портфеля автомобильного страхования состо-ит из договоров с высокой степенью риска. Для каждого такого договорапромежуток времени от начала года до момента наступления страховогослучая имеет одно и то же экспоненциальное распределение. Страховаякомпания предполагает, что в течение первых 50 дней календарного годапроизойдут страховые случаи по 30% договоров с высокой степенью риска.

Определите среднюю долю договоров с высокой степенью риска, по ко-торым произойдут страховые случаи в течение первых 80 дней календар-ного года.

(A) 0.15

(B) 0.34

(C) 0.43

(D) 0.57

(E) 0.66

Решение задачи Пусть N – число договоров с высокой степеньюриска, Ti – промежуток времени от начала года до момента наступлениястрахового случая по i−му договору. Тогда число договоров, по которымпроизойдут страховые случаи в течение первых t дней календарного года,можно выразить формулой:

νt = I(T1 < t) + · · ·+ I(TN < t).


Соответственно, доля таких договоров – это νt/N , а средняя доля есть

ft ≡ E( νt

N

)=

1N

Eνt =1N

NP (Ti < t) = P (Ti < t).

Поскольку случайные величины Ti имеют показательное распределение,P (Ti < t) = 1−e−λt, где λ – некоторый положительный параметр. Поэтому,

ft = 1− e−λt.

По условию, f50 = 0.3. Отсюда можно найти параметр экспоненциальногораспределения:

λ = − ln(1− f50)50

= − ln(0.7)50

.

Искомая величина – это f80. Используя полученую выше формулу для ft,мы имеем:

f80 = 1− e−80λ = 1− e80 ln(0.7)

50 = 1− 0.71.6 ≈ 0.43486.

Значит, верным является вариант (C). 2

Задача 2.27 ([20]) В процессе медицинского андеррайтинга у каждого че-ловека, желающего застраховать свою жизнь, проверяется давление кро-ви. Пусть X – число людей, у которых было проведено измерение кровя-ного давления, до того, как был выявлен очередной случай повышенногодавления крови. Случайная величина X имеет среднее значение 12.5.

Подсчитайте вероятность того, что после выявления случая повы-шенного давления крови следующий такой случай будет выявлен при ше-стом обследовании.

(A) 0.000

(B) 0.053

(C) 0.080

(D) 0.316

(E) 0.394

Решение задачи Пусть q – вероятность того, что у человека повы-шенное давление, p = 1− q – вероятность того, что у человека нормальноедавление. Тогда P (X = n) = pn−1 · q, n ≥ 1. Теперь мы можем найти EX.Проще всего это сделать с помощью производящей функции случайной ве-личины X:

g(z) ≡ EzX =+∞∑n=1

znP (X = n) =+∞∑n=1

znpn−1q =qz

1− pz.


Поэтому,

EX = g′(1) =q · (1− pz)− qz · (−p)

(1− pz)2

∣∣∣∣z=1

=q

(1− pz)2

∣∣∣∣z=1

=1q.

По условию EX = 12.5. Значит, q = 0.08, p = 0.92, и поэтому искомая ве-роятность P (X = 6) равна p5 · q = 0.925 · 0.08 ≈ 0.0527, так что вернымявляется вариант (B). 2

Задача 2.28 ([25]) За один месяц происходит в среднем 100 страховыхслучаев. При этом 2% из них приводят к ущербу, превышающему 30 000.

Предполагая, что моменты наступления страховых случаев образу-ют пуассоновский процесс, а размеры потерь не зависят от моментовнаступления страховых случаев, подсчитайте, сколько полных месяцевнужно собирать данные, чтобы зафиксировать по меньшей мере 3 стра-ховых случая, превышающих 30 000, с вероятностью не меньше, чем 90%.

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

Решение задачи Рассмотрим моменты наступления страховых слу-чаев, превышающих 30 000. Этот процесс получается в результате "просе-ивания"пуассоновского процесса и поэтому также является пуссоновским спараметром λ = 100 · 0.02 = 2.

Если период наблюдения за портфелем равен n месяцев, то число стра-ховых случаев, превышающих 30 000, которые произойдут за этот период,имеет распределение Пуассона со средним λn = 2n:

P (ν = i) =(λn)i

i!e−λn.

Интересующую нас вероятность P = P (ν ≥ 3) удобнее преобразовать квиду

P = 1− P (ν = 0)− P (ν = 1)− P (ν = 2)

= 1−(

1 + λn +(λn)2

2

)e−λn

= 1− (1 + 2n + 2n2

)e−2n.

В таблице 2.5 приведены значения вероятности P для интересующих насзначений числа месяцев наблюдения n. Первое значение n, для которого P


Таблица 2.5:n P

1 32.3%2 76.2%3 93.8%4 98.6%5 99.7%

становится больше, чем 90%, равно 3. Поэтому верным является вариант(C). 2

Задача 2.29 Страховая компания получает от страхователей заявле-ния о наступлении страховых случаев в соответствии с пуассоновскимпроцессом с интенсивностью λ = 2 (случая/день). Время T (в днях), ко-торое требуется отделу урегулирования убытков для окончательного уре-гулирования, является случайной величиной со средним значением m = 3.Найдите среднее число страховых случаев, заявленных в течение года, нонеурегулированных к его концу.

Решение задачи Примем начало года в качестве нулевого моментавремени, так что концу года соответствует момент t = 365. Пусть Tn –момент поступления n-го заявления о наступлении страхового случая, ν(t)– число страховых случаев, заявленных к моменту t, q(t) - число страховыхслучаев, заявленных в течение года, но неурегулированных к его концу.Распределение случайной величины q(t) можно записать в виде:

P (q(t) = k) =+∞∑

n=k

P (q(t) = k|ν(t) = n)P (ν(t) = n).

Поскольку страховая компания получает от страхователей заявления о на-ступлении страховых случаев в соответствии с пуассоновским процессом синтенсивностью λ, случайная величина ν(t) имеет распределение Пуассонас параметром λt:

P (ν(t) = n) =(λt)n

n!e−λt.

Далее, известно, что, если фиксировано число n событий процесса Пуассонана промежутке (0, t), то моменты их наступления распределены так же, каки порядковая статистика, соответствующая n независимым случайным ве-личинам, которые равномерно распределены на (0, t). Поэтому при условии,что ν(t) = n, каждый отдельный страховой случай из этих n заявленныхне будет урегулирован к моменту t независимо от других с вероятностьюp = P (T > U), где U – случайная величина, равномерно распределенная


на (0, t), а T – время урегулирования. Следовательно, при условии, чтоν(t) = n, q(t) соответствует числу "успехов"в схеме n независимых испыта-ний с вероятностью "успеха"p:

P (q(t) = k|ν(t) = n) =(

n

k

)pk(1− p)n−k.

Для безусловного распределения числа неурегулированных случаев имеем:

P (q(t) = k) =+∞∑

n=k

(n

k

)pk(1− p)n−k (λt)n

n!e−λt

=+∞∑

n=k

n!k!(n− k)!

pk(1− p)n−k (λt)n

n!e−λt

=+∞∑

n=k

1k!(n− k)!

pk(1− p)n−k(λt)ne−λt.

Введем новый индекс суммирования i = n− k:

P (q(t) = k) =+∞∑

i=0

1k!i!

pk(1− p)i(λt)i+ke−λt

=(λtp)k

k!e−λt

+∞∑

i=0

(λt(1− p))i

i!

=(λtp)k

k!e−λteλt(1−p)

=(λtp)k

k!e−λtp.

Таким образом, число неурегулированных случаев имеет распределение Пуас-сона со средним λtp. Фигурирующую здесь вероятность p можно преобра-зовать к более простому виду:

p ≡ P (T > U) =∫ t

0

1tP (T > u)du,

так что

Eq(t) = λ

∫ t

0

P (T > u)du.

Поскольку t достаточно большое число, интеграл∫ t

0

P (T > u)du

можно приближенно заменить его пределом при t → +∞, который равенET . Итак, среднее число страховых случаев, заявленных в течение года, нонеурегулированных к его концу, приближенно равно λET = 2 · 3 = 6. 2


Задача 2.30 ([11]) Страховая компания установила тариф по опреде-ленному виду рисков исходя из предположения, что частота наступлениястраховых случаев равна 0.01 (в течение года), а средняя тяжесть стра-хового случая равна $980, и заключила 1000 договоров страхования этихрисков. Через год оказалось, что по этому портфелю наступило 15 стра-ховых случаев, а средний размер страхового возмещения составил $989.70.В то время как реальный средний размер страхового возмещения довольнохорошо соответствует исходному предположению, реальное число стра-ховых случаев на 50% превышает ожидавшееся (1000 · 0.01 = 10). Мож-но ли утверждать, что актуарий компании ошибся, предположив слиш-ком низкую частоту наступления страховых случаев, или это расхож-дение просто является следствием неблагоприятного стечения обстоя-тельств?

Решение задачи Предположим, что частота наступления страховыхслучаев действительно равна q = 0.01. Тогда число страховых случаев попортфелю из N = 1000 договоров будет иметь биномиальное распределение

P (ν = i) =(

N

i

)qi(1− q)N−i, i = 0, 1, . . . , N.

В рассматриваемой ситуации число договоров N достаточно велико, а веро-ятность наступления страхового случая q достаточно мала. При этом сред-нее число страховых случаев Eν = Nq за рассматриваемый промежутоквремени является "средним"по величине числом λ = 10. В этой ситуацииможно приблизить биномиальное распределение для числа страховых слу-чаев более простым распределением – распределением Пуассона:

P (ν = i) ≈ λi

i!e−λ ≡ 10i

i!e−10.

Поэтому вероятность P того, что ν превысит свое среднее значение 10 поменьшей мере на 50% равна

P =+∞∑

i=15

10i

i!e−10 = 1−

14∑

i=0

10i

i!e−10 ≈ 8.3%.

Эта вероятность достаточно велика и поэтому наступление 15 страховыхслучаев не является чем-то необычным. 2

Задача 2.31 ([11]) Рассмотрим еще раз ситуацию, описанную в предыду-щей задаче, и предположим, что на следующий год компания заключила2600 договоров. По истечении года выяснилось, что эти договора приве-ли к 32 страховым случаям, что опять превышает ожидавшееся числостраховых случаев 2600 · 0.01 = 26 (хотя уже не на 50%, а лишь на 23%).

Что можно сказать о точности исходных предположений относи-тельно частоты наступления страховых случаев?


Решение задачи Предположим, что частота наступления страховыхслучаев действительно равна q = 0.01. Тогда число страховых случаев задва года можно рассматривать как число случаев по портфелю из N = 3600договоров, так что оно будет иметь биномиальное распределение

P (ν = i) =(

N

i

)qi(1− q)N−i, i = 0, 1, . . . , N.

Как и в предыдущей задаче, это распределение можно приблизить распре-делением Пуассона с параметром λ = Nq = 36:

P (ν = i) ≈ 36i

i!e−36.

Мы наблюдали за два года 47 страховых случаев. Иначе говоря, наблюдае-мое значение величины ν превысило ожидаемое на 11 случаев (т.е. на 30%).Вероятность такого события равна

P =+∞∑

i=47

36i

i!e−36 = 1−

46∑

i=0

36i

i!e−36.

Поскольку параметр λ = 36 – достаточно большой, эту вероятность можнооценить с помощью гауссовского приближения:

P ≡ P (ν ≥ 47) = P

(ν − Eν√

V arν≥ 47− Eν√

V arν

)

= P

(ν − Eν√

V arν≥ 47− 36√

36

)

≈ 1− Φ(1.83) ≈ 3.4%.

Эта вероятность достаточно мала и поэтому, видимо, исходное предполо-жение относительно частоты наступления страховых случаев слишком оп-тимистическое. Если конкуренция на страховом рынке не очень сильная,было бы разумно повысить тариф. Однако в условиях высокой конкурен-ции нужны более убедительные доказательства того, что тариф занижен. 2

Задача 2.32 ([11]) Страховая компания заключила 4000 договоров стра-хования. Договоры статистически однородны и риски, связанные с ними,независимы. Данные о числе страховых случаев, заявленных по одному до-говору на протяжении одного года, приведены в таблице 2.6. Предполагая,что число страховых случаев, заявленных по одному договору, распределе-но по закону Пуассона, оцените среднее число страховых случаев по дого-вору, λ, и найдите 95% доверительный интервал для этой величины.

Решение задачи Точечной оценкой для параметра λ будет выборочноесреднее:

λ =1

4000(0 · 3288 + 1 · 642 + 2 · 66 + 3 · 4) =

7864000

= 0.1965.


Таблица 2.6:Число страховых Число

случаев договоров

0 32881 6422 663 4

Чтобы получить доверительный интервал для параметра λ, отметим, чтообщее число страховых случаев по всему портфелю, ν, будет пуассоновскойвеличиной со средним 4000λ. Поскольку λ ≈ 0.2, это среднее примерноравно 800, т.е. является достаточно большим. Поэтому распределение цен-трированной и нормированной величины

ν − Eν√V arν

≡ ν − 4000λ√4000λ

приближенно можно считать стандартным нормальным распределением.Следовательно, можно утверждать, что вероятность события

−x97.5% <ν − 4000λ√

4000λ< x97.5%,

где x97.5% ≈ 1.96 – квантиль стандартного нормального распределения, при-мерно равна 95%. Это неравенство можно переписать в виде:

λ− < λ < λ+,

где

λ− =2ν + x2

97.5% − x97.5%

√4ν + x2

97.5%

8000,

λ+ =2ν + x2

97.5% + x97.5%

√4ν + x2

97.5%

8000.

Подставляя сюда значение ν = 786, мы получим следующий доверительныйинтервал для λ:

0.183 < λ < 0.211.

2

Задача 2.33 ([32]) Страховая компания занимается страхованием граж-данской ответственности владельцев автомобилей.


Некоторые страхователи завышают число автомобилей ν, поврежден-ных в результате дорожно-транспортных происшествий, которые про-изошли по их вине (предполагая получить долю от незаконно полученногострахового возмещения).

В таблице 2.7 приведены данные

1. о числе автомобилей, поврежденных в результате 1000 недавнихДТП, виновниками которых были владельцы автомобилей, застра-хованных в компании;

2. о распределении вероятностей числа автомобилей, поврежденных врезультате одного ДТП, которое получено на основании статисти-ческого анализа тщательно расследованных страховых случаев (чтоисключает всякую возможность мошенничества).

Таблица 2.7:Число поврежденных Вероятность Число ДТП

автомобилей

1 0.25 2352 0.35 3353 0.24 2504 0.11 1115 0.04 476+ 0.01 22

Итого 1.00 1000

Используя критерий χ2 с уровнем значимости 0.005, проверьте гипо-тезу о том, что в заявленных 1000 страховых случаях не было случаевмошенничества.

Решение задачи Фактически речь идет о проверке простой гипотезыо виде распределения числа ν поврежденных автомобилей в результате од-ного ДТП для 1000 рассматриваемых страховых случаев. Для этих целейиспользуется статистика Пирсона:

X2 =m∑

i=1

(Ni −Npi)2

Npi,

где N = 1000 – объем выборки, m = 6 – число групп, на которые раз-бито множество возможных значений случайной величины ν, Ni – числонаблюдений, когда ν = i, pi – гипотетическое распределение вероятностейвеличины ν.

Величина X2 приближенно имеет распределение χ2. Поскольку числоинтервалов наблюдения равно 6 и ни один параметр по результатам наблю-дений не оценивался, число степеней свободы этого распределения χ2 равно5.


Квантиль порядка 0.995 распределения χ2 с пятью степенями свобо-ды, χ2

0.995;5, может быть подсчитан с помощью Microsoft Excel, функцияХИ2ОБР(0.005;5); он равен 16.75.

В нашем случае наблюдаемое значение статистики Пирсона равно

X2 =(235− 250)2

250+

(335− 350)2

350+

(250− 240)2

240

+(111− 110)2

110+

(47− 40)2

40+

(22− 10)2

10≈ 17.59.

Поскольку эта величина попадает в критическую область y > χ20.995;5, мы

должны отвергнуть гипотезу о том, что мошенничества не было, с уровнемзначимости α = 0.005. 2

Задача 2.34 ([23]) В таблице 2.8 приведены данные о числе страховыхслучаев, заявленных за один день на протяжении года. Используя крите-

Таблица 2.8:Число страховых Числослучаев в день дней

0 501 1222 1013 924+ 0

рий χ2, проверьте гипотезу о том, что распределение числа страховыхслучаев, заявленных за один день, имеет распределение Пуассона.

(A) Отвергнуть при уровне значимости 0.005.

(B) Отвергнуть при уровне значимости 0.010, но не отвергать при уровнезначимости 0.005.

(C) Отвергнуть при уровне значимости 0.025, но не отвергать при уровнезначимости 0.010.

(D) Отвергнуть при уровне значимости 0.050, но не отвергать при уровнезначимости 0.025.

(B) Не отвергать при уровне значимости 0.050.

Решение задачи Точечной оценкой для параметра λ будет выборочноесреднее:

λ =1

365(0 · 50 + 1 · 122 + 2 · 101 + 3 · 92) =

600365

≈ 1.643836.


Рассмотрим распределение Пуассона со средним, равным выборочному сред-нему:

π0 = e−1.643836 ≈ 0.193237,

π1 = 1.643836e−1.643836 ≈ 0.317651,

π2 =(1.643836)2

2e−1.643836 ≈ 0.261083,

π3 ≡ 1− π0 − π1 − π2 ≈ 0.228029,

и с его помощью подсчитаем ожидаемое число дней, когда заявлено 0, 1, 2,3 и более страховых случаев:

N0 = 365 · 0.193237 ≈ 70.53,

N1 = 365 · 0.317651 ≈ 115.94,

N2 = 365 · 0.261083 ≈ 95.30,

N3 ≡ 365−N0 −N1 −N2 ≈ 83.23.

Теперь подсчитаем наблюдаемое значение статистики Пирсона:

X2 =(50− 70.53)2

70.53+

(122− 115.94)2

115.94+

(101− 95.30)2

95.30

+(92− 83.23)2

83.23≈ 7.5587.

Она приближенно имеет распределение χ2. Поскольку число интерваловнаблюдения равно 4, а один параметр (это параметр анализируемого пуас-соновского распределения) оценивался по результатам наблюдений, числостепеней свободы этого распределения χ2 равно 2. Вероятность того, чтослучайная величина χ2

(2), распределенная по закону χ2 с двумя степенямисвободы, примет значение, не меньшее, чем 7.5587, может быть подсчитанас помощью Microsoft Excel, функция ХИ2РАСП(x;r):

P (χ2(2) ≥ 7.5587) = ХИ2РАСП(7.5587; 2) ≈ 2.28%.

Поэтому верным является вариант (C).2

Задача 2.35 ([14]) В начале года в страховой компании было застрахо-вано 50 тыс. автомобилей. В конце года была собрана статистика о числестраховых случаев, заявленных каждым страхователем в течение года.Оказалось, что 40544 человека вообще не попадали в аварию, 8082 человекапопадали в аварию один раз каждый, 1205 человек – 2 раза, 145 человек –3 раза, 20 человек – 4 раза, 3 человека – 5 раз, и один человек попадал ваварии 6 раз.

Какая модель, пуассоновская или отрицательная биномиальная, лучшеописывает число аварий в течение года для владельца застрахованногоавтомобиля.


Решение задачи Пусть N = 50 000 – общее число застрахованныхавтомобилей, xi – число страховых случаев по i-му договору. С помощьюисходных данных задачи мы без труда можем подсчитать выборочные мо-менты первого и второго порядка для числа страховых случаев по одномудоговору:

α1 ≡ x =1N

N∑

i=1

xi

=1 · 8082 + 2 · 1205 + 3 · 145 + 4 · 20 + 5 · 3 + 6 · 1

50 000= 0.22056,

α2 =1N

N∑

i=1

x2i

=1 · 8082 + 4 · 1205 + 9 · 145 + 16 · 20 + 25 · 3 + 36 · 1

50 000= 0.29276.

Соответственно выборочная дисперсия равна

s2 = α2 − (α1)2 = 0.244113.

Поскольку выборочное среднее x примерно на 10% больше, чем выборочнаядисперсия, распределение Пуассона вряд ли будет хорошей моделью дляраспределения числа страховых случаев (для распределения Пуассона, какизвестно, среднее совпадает с дисперсией).

Чтобы подробнее проанализировать эту ситуацию, рассмотрим распре-деление Пуассона со средним, равным выборочному среднему, и подсчитаеможидаемое число договоров, приводящих к 0,1,2 и т.д. страховым случаям.Результаты этих расчетов приведены в таблице 2.9 (мы объединили в однугруппу все договора с числом аварий 4 и больше, так как ожидаемое числодоговоров, приводящих к 5 и 6 авариям слишком мало – соответственно,0.17 и 0.00662). Для проверки гипотезы о пуассоновской модели, обозначим

Таблица 2.9:Число договоров с данной аварийностью

Число Реально Пуассоновскаяаварий модель

0 40544 401031 8082 88452 1205 9753 145 72≥ 4 24 4


через Ni число договоров с аварийностью i (N4 – число договоров с аварий-ностью 4 и больше), а через pi теоретическую (пуассоновскую) вероятностьсоответствующей аварийности, и подсчитаем статистику Пирсона:

X2 =4∑

i=0

(Ni −Npi)2

Npi≈ 295.

Она приближенно имеет распределение χ2. Поскольку число интерваловнаблюдения равно 5, а один параметр (это параметр анализируемого пуас-соновского распределения) оценивался по результатам наблюдений, числостепеней свободы этого распределения χ2 равно 3. Квантиль порядка 0.999распределения χ2 с тремя степенями свободы, χ2

0.999;3, может быть подсчи-тан с помощью Microsoft Excel, функция ХИ2ОБР(0.001;3); он равен 16.27.Поскольку в нашем случае статистика X2 попадает в критическую областьy > χ2

0.999;3, мы должны отвергнуть гипотезу о том, что распределениечисла аварий по договору является пуассоновским, с уровнем значимостиα = 0.001. Конечно, крайне низкая точность пуассоновской модели виднаиз таблицы 2.9 даже без специальных статистических критериев.

Для отрицательного биномиального распределения с параметрами p иα распределение числа страховых случаев по одному договору есть

P (ν = i) =α · (α + 1) · · · · · (α + i− 1)

i!pα(1− p)i.

Среднее и дисперсия даются формулами

Eν =α(1− p)

p,

V arν =α(1− p)

p2,

и поэтому дисперсия всегда больше среднего. Поэтому можно надеяться,что отрицательное биномиальное распределение будет более адекватной мо-делью для числа аварий.

Как и раньше, проблема заключается в выборе значений параметров αи p. Мы опять будем использовать метод моментов, т.е. приравняем теоре-тические среднее и дисперсию выборочным среднему x и дисперсии s2:

α(1− p)p

= x,α(1− p)

p2= s2,

и из полученных уравнений определим параметры p и α:

p =x

s2≈ 0.903515,

α =(x)2

s2 − x≈ 2.06539.


Таблица 2.10 содержит реальные значения числа договоров с данной ава-рийностью и значения, которые предсказывает отрицательное биномиаль-ное распределение. Из этой таблицы хорошо видно, что теоретические зна-чения очень близки к наблюдаемым. Отметим, кроме того, что отрицатель-ная биномиальная модель предсказывает, что в среднем 19 договоров приве-дут к 4 авариям, 2.24 договора – к 5 авариям, 0.25 договоров – к 6 авариям,что очень близко к наблюдаемым значениям 20, 3 и 1 соответственно.

Таблица 2.10:Число договоров с данной аварийностью

Число Реально Отрицательнаяаварий биномиальная модель

0 40544 405471 8082 80802 1205 11953 145 156≥ 4 24 22

Для точного анализа опять подсчитаем статистику Пирсона:

X2 =4∑

i=0

(Ni −Npi)2

Npi≈ 1.158.

Она приближенно имеет распределение χ2. Поскольку число интервалов на-блюдения равно 5, а два параметра (это параметры p и α анализируемогоотрицательного биномиального распределения) оценивались по результа-там наблюдений, число степеней свободы этого распределения χ2 равно 2.Вероятность того, что случайная величина χ2 с двумя степенями свободыпримет значение, не меньшее, чем 1.158, может быть подсчитана с помощьюMicrosoft Excel:

P (χ2(2) ≥ 1.158) = ХИ2РАСП(1.158; 2) ≈ 0.56.

Таким образом, гипотеза о том, что распределение числа аварий по дого-вору является отрицательным биномиальным, не противоречит реальнымданным.

Отрицательное биномиальное распределение с параметрами α и p можнорассматривать как пуассоновское распределение, параметр которого случа-ен и имеет гамма-распределение

fλ(x) =βα

Γ(α)xα−1e−βx,

гдеβ =

p

1− p.


Применительно к рассматриваемой задаче это означает следующее. Мож-но считать, что число страховых случаев по договору имеет распределе-ние Пуассона, однако договора неоднородны в том смысле, что параметр λэтого распределения меняется от договора к договору. Чем этот параметрбольше, тем больше риск наступления страхового случая по этому догово-ру. Распределение параметра λ характеризует структуру портфеля с этойточки зрения.

В нашем случае α = 2.06539, β = 9.3643 и поэтому можно подсчи-тать функцию распределения Fλ(x) параметра λ для любого конкретно-го значения x. В Microsoft Excel это удобно делать с помощью функцииГАММАРАСП(x; α; 1/β; 1).

Этим методом можно подсчитать, например, что договора с аварийно-стью, вдвое превышающей среднюю (напомним, что среднее по всему порт-фелю ожидаемое число страховых случаев по одному договору равно 0.22)составляют примерно 9% от всех договоров. Более подробные данные оструктуре рассматриваемого портфеля приведены в таблице 2.11.

Таблица 2.11:Ожидаемое число Доля договоров саварий по договору данной аварийностью

меньше 0.1 22.4%0.1-0.2 31.5%0.2-0.3 21.7%0.3-0.4 12.3%0.4-0.5 6.3%0.5-0.6 3.1%0.6-0.7 1.5%0.7-0.8 0.7%0.8-0.9 0.3%0.9-1.0 0.1%

больше 1.0 0.1%

2


Глава 3

Модель индивидуальногориска

Модель индивидуального риска – это простейшая модель функционирова-ния страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения.Она базируется на следующих упрощающих предположениях:

1. анализируется фиксированный относительно короткий промежуток вре-мени (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход отинвестирования активов) – обычно это один год;

2. число договоров страхования N фиксировано и неслучайно;

3. премия полностью вносится в начале анализируемого периода; никакихпоступлений в течение этого периода нет;

4. мы наблюдаем каждый отдельный договор страхования и знаем стати-стические свойства связанных с ним индивидуальных потерь X. 1

Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные вели-чины X1, . . . , XN – независимы (в частности, исключаются катастрофы, когдаодновременно по нескольким договорам наступают страховые случаи).

В рамках этой модели разорение определяется суммарными потерямипо портфелю S = X1 + · · ·+ XN . Если эти суммарные выплаты больше, чемактивы компании u, то компания не сможет выполнить все свои обязательстваи разорится. Поэтому вероятность разорения компании равна

R = P (X1 + · · ·+ XN > u).

1Поскольку не все договоры приводят к страховому случаю, некоторые из случайныхвеличин X1, . . . , XN , где Xi – потери по i−му договору, равны нулю.

109


Иными словами, вероятность разорения – это дополнительная функция рас-пределения величины суммарных потерь компании за рассматриваемый про-межуток времени.

Поскольку суммарные выплаты S представляют собой сумму независимыхслучайных величин, распределение случайной величины S может быть под-считано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей.

Прежде всего это использование сверток. Напомним, что если η1 и η2 –две независимые неотрицательные случайные величины с функциями распре-деления F1(x) и F2(x) соответственно, то функция распределения их суммыη1 + η2 может быть подсчитана по формуле:

F (x) =∫ x

0

F1(x− y)dF2(y).

Применяя эту формулу несколько раз, можно подсчитать функцию распреде-ления суммы любого числа слагаемых.

Если случайные величины η1 и η2 – непрерывны, то обычно работают сплотностями f1(x), f2(x). Плотность суммы может быть подсчитана по фор-муле

f(x) =∫ x

0

f1(x− y)f2(y)dy.

Если случайные величины η1 и η2 – целочисленны, то вместо функцийраспределения обычно работают с распределениями

p1(n) = P (η1 = n), p2(n) = P (η2 = n).

Распределение суммы p(n) = P (η1 + η2 = n) может быть определено по фор-муле:

p(n) =n∑

k=0

p1(k) · p2(n− k).

Подсчет вероятности разорения часто упрощается, если использовать про-изводящие функции и/или преобразования Лапласа.

Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэто-му подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределе-ния суммы большого числа слагаемых. В этом случае точный непосредствен-ный численный расчет может привести к проблемам, связанным с малостьювероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открыва-ет возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано стем, что при росте N вероятность P (X1 + · · · + XN ≤ x) часто имеет опре-деленный предел (обычно нужно, чтобы x определенным образом менялосьвместе с N), который можно принять в качестве приближенного значенияэтой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика иудовлетворяет практическим потребностям. Основным является нормальное(гауссовское) приближение.

Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореметеории вероятностей. В простейшей формулировке эта теорема выглядит сле-дующим образом:


если случайные величины X1, . . . , XN независимы и одинаково распреде-лены со средним a и дисперсией σ2, то при N → ∞ функция распределенияцентрированной и нормированной суммы

S∗N =X1 + ·+ XN −Na

σ√

N=

SN − ESN√V arSN

имеет предел, равный

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−t2/2dt.

Существуют многочисленные обобщения центральной предельной теоремына случаи, когда слагаемые Xi имеют разные распределения, являются зависи-мыми и т.д. Детальное обсуждение этого вопроса увело бы нас слишком далеков сторону от изучаемого предмета. Поэтому мы ограничимся утверждением,что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы N имело бы по-рядок нескольких десятков), а каждое слагаемое относительно мало влияет насумму, то применимо гауссовское приближение для

P

(SN − ESN√

V arSN

< x

).

Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая централь-ная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного ука-зания на сферу применения. 2

Стандартная гауссовская фунция распределения Φ(x) детально изучена втеории вероятностей. Существуют подробные таблицы как для самой функциираспределения Φ(x), так и для плотности

f(x) =1√2π

e−x2/2.

Значения 1−Φ(x) в наиболее интересном диапазоне 1 < x < 4 приведеныв таблице 3.1.

Полезно также иметь таблицу квантилей xα, 3 отвечающих достаточномалой вероятности разорения 1− α; они приведены в таблице 3.2.

Сумма p, за которую человек или организация покупает себе страховку,называется премией. Вопрос о том, какую плату страховая компания должнаназначать за то, что принимает на себя тот или иной риск, крайне сложен.При его решении учитывается большое число разнородных факторов: веро-ятность наступления страхового случая, ожидаемая величина страхового воз-мещения и возможные флуктуации, связь с другими рисками, которые уже

2Подробнее о центральной предельной теореме можно прочитать, например, в книгахВ.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. том 2, Москва, "Мир", 1984,стр.297-305, стр. 576-584, и Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей. Москва, "Наука",1988, стр.248-256.

3Квантиль xα определяется как корень уравнения Φ(x) = α.


Таблица 3.1:x 1− Φ(x) x 1− Φ(x) x 1− Φ(x)

1.0 15.87% 2.0 2.28% 3.0 0.14%1.1 13.57% 2.1 1.79% 3.1 0.10%1.2 11.51% 2.2 1.39% 3.2 0.069%1.3 9.68% 2.3 1.07% 3.3 0.048%1.4 8.08% 2.4 0.82% 3.4 0.034%1.5 6.68% 2.5 0.62% 3.5 0.023%1.6 5.48% 2.6 0.47% 3.6 0.020%1.7 4.46% 2.7 0.35% 3.7 0.011%1.8 3.59% 2.8 0.26% 3.8 0.007%1.9 2.87% 2.9 0.19% 3.9 0.005%

Таблица 3.2:1− α 0.1% 0.5% 1% 2%xα 3.090 2.576 2.326 2.054

1− α 3% 4% 5% 10%xα 1.881 1.751 1.645 1.282

приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела, со-отношение между спросом и предложением по данному виду рисков на рынкестраховых услуг и т.д. Однако основным обычно является принцип эквива-лентности финансовых обязательств страховой компании и страхователя.В простейших видах страхования, когда плата за страховку полностью вносит-ся в момент заключения договора, обязательства страхователя выражаютсяв уплате суммы p. Обязательства компании заключаются в оплате потерь X.Однако мы не можем выразить принцип эквивалентности обязательств равен-ством p = X, поскольку p – детерминированная величина, а X – случайная.

Чтобы решить эту проблему, можно заменить случайную величину X еесредним значением EX, т.е. назначить в качестве платы за страховку ожида-емую величину выплат по договору. Однако равенство p = EX на самом делене выражает эквивалентности обязательств компании и страхователя. Хотя всреднем и компания, и страхователь платят одну и ту же сумму, компания име-ет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств ей, может быть,придется выплатить гораздо большую сумму, чем EX. Страхователь же тако-го риска не имеет. Поэтому было бы справедливо, чтобы плата за страховкувключала некоторую надбавку l, которая служила бы эквивалентом случайно-сти, влияющей на компанию. Поэтому в качестве платы за страховку обычноберут сумму p′ = EX + l, где l – некоторая добавочная сумма. Первое сла-гаемое называют нетто-премией. Добавочную сумму l называют страховой(или защитной) надбавкой, а θ = l/EX – относительной страховой (илизащитной) надбавкой.


Задача 3.1 ([19]) Договор группового страхования сотрудников неболь-шого предприятия гарантирует выплаты в случае временной нетрудо-способности из-за болезни. Страховое возмещение выплачивается в концекаждого полного месяца нетрудоспособности, но не более, чем за шестьмесяцев.

Размер возмещения зависит от професионального класса работника;соответствующие данные приведены в таблице 3.3.

Вероятность заболевания в течение определенного промежутка вре-мени для работника первого (второго) профессионального класса в три(соответственно, в два) раза больше, чем вероятность заболевания дляработника третьего профессионального класса. За рассматриваемый про-межуток времени вероятность того, что сотрудник заболеет два илибольше раз, равна нулю.

Вероятность выздоровления больного работника в течение ближайше-го месяца равна 0.1, 0.2 или 0.3 в соответствии с тем, к какому профес-сиональному классу (первому, второму или третьему) он принадлежит,и не зависит от того, как долго он уже болен.

Таблица 3.3:Профессио- Число Ежемесячныенальный работников выплаты в случаекласс нетрудоспособности

I 100 50II 10 100III 2 200

Ожидаемые суммарные выплаты по договору за рассматриваемый про-межуток времени равны 4900.

Определите вероятность заболевания в течение рассматриваемого про-межутка времени для работников третьего профессионального класса.

(A) 0.01

(B) 0.03

(C) 0.05

(D) 0.07

(E) 0.09

Решение задачи Для каждого работника i-го профессионального клас-са обозначим:

1. Di – число полных месяцев временной нетрудоспособности;


2. Xi = min(Di, 6) – число оплаченных месяцев временной нетрудоспо-собности;

3. bi – размер ежемесячного страхового возмещения;

4. Bi = biXi – общие выплаты по временной нетрудоспособности;

5. qi – вероятность заболевания;

6. ki – вероятность того, что больной работник не поправится в течениемесяца.

Исходные данные задачи позволяют легко найти дополнительную функциюраспределения случайной величины Di:

P (Di ≥ n) = qikni , n = 1, 2, . . . .

Действительно, чтобы работник был нетрудоспособен по меньшей мере nмесяцев, нужно, чтобы

1. работник заболел (вероятность этого события равна qi);

2. работник был нетрудоспособен полностью весь первый месяц (вероят-ность этого события равна ki);

3. при условии, что работник не мог работать в конце первого месяца, онбыл нетрудоспособен полностью весь второй месяц (вероятность этогособытия равна ki), и т.д.;

4. при условии, что работник не мог работать в конце (n− 1)-го месяца,был нетрудоспособен полностью весь n−й месяц (вероятность этогособытия равна ki).

Отсюда для распределения числа оплаченных месяцев временной нетрудо-способности для одного работника i-го профессионального класса мы име-ем:

P (Xi ≥ n) = P (Di ≥ n) = qikni , n = 1, 2, . . . , 6,

P (Xi ≥ n) = 0, n = 7, 8, . . . .

Среднее число оплаченных месяцев временной нетрудоспособности, EXi,удобно подсчитать с помощью формулы

EXi =+∞∑n=1

P (Xi ≥ n),

что дает:

EXi = qi(ki + k2i + · · ·+ k6

i ) = qiki1− k6

i

1− ki.


Соответственно, ожидаемые общие выплаты по временной нетрудоспособ-ности для одного работника i-го профессионального класса, EBi, даютсяформулой:

EBi = biqiki1− k6

i

1− ki.

Подставляя числовые значения параметров bi и ki, мы получим следующиеданные для ожидаемых общих выплат по временной нетрудоспособностидля одного работника каждого из трех профессиональных классов:

1. класс I: EB1 = 210.8516q1;

2. класс II: EB2 = 295.1424q2;

3. класс III: EB3 = 411.7638q3.

Поскольку q1 = 3q3, q2 = 2q3, общие ожидаемые выплаты по всему портфе-лю будут равны

100 · EB1 + 10 · EB2 + 2 · EB3 ≈ 69 981.8406q3.

С другой стороны, по условию эта величина равна 4900. Отсюда q3 ≈ 0.07и поэтому верным является вариант (D). 2

Задача 3.2 ([22]) Страховая компания продала 300 полисов страхованияот пожара. Структура портфеля задается таблицей 3.4.

Таблица 3.4:Число Страховая Вероятность

договоров сумма страховогопо договору случая

для одногодоговора

100 400 0.05200 300 0.06


1. величина ущерба для каждого договора (в случае наступления стра-хового случая) равномерно распределена от 0 до страховой суммы,

2. вероятность более, чем одного страхового случая по договору равна0,

3. страховые случаи происходят независимо. 4

4Если явно не оговорено противное, в последующих задачах также предполагается,что страховые случаи по различным договорам наступают независимо друг от друга.


Подсчитайте дисперсию суммарных выплат по всему портфелю.

(A) 150 000

(B) 300 000

(C) 450 000

(D) 600 000

(E) 750 000

Решение задачи Пусть Ik – индикатор события "по k−му договорунаступил страховой случай", Yk – величина ущерба по k−му договору приусловии, что наступил страховой случай, Xk = Ik · Yk – выплаты по k−мудоговору, N = 300 – число договоров, qk = P (Ik = 1), Mk – страховая суммапо k−му договору.

Тогда суммарные выплаты по портфелю, S, даются формулой:

S = X1 + · · ·+ XN ,

так чтоV arS = V arX1 + · · ·+ V arXN .

Поскольку в пределах двух групп договора статистически неотличимы,

V arS = N ′ · V arX ′ + N ′′ · V arX ′′,

где N ′ = 100, N ′′ = 200 – число договоров первого и второго вида соответ-ственно, V arX ′, V arX ′′ – дисперсия выплаты по одному договору первогои второго вида соответственно. Как мы установили в задаче 1.6, для слу-чайной величины X = I · Y, где величины I и Y – независимы, I – инди-каторная величина (P (I = 1) = q), величина Y – равномерно распределенана промежутке (0, M),

V arX =qM2

12· (4− 3q).

Поэтому

V arX ′ ≈ 2567,

V arX ′′ = 1719,

так что V arS ≈ 100 · 2567 + 200 · 1719 = 600 500 и поэтому верным являетсявариант D. 2


Задача 3.3 ([13]) Рассмотрим портфель из четырех одинаковых догово-ров страхования жизни. Страховая сумма зависит от причины смерти; вслучае смерти от "естественных"причин страховая сумма равна 250 000руб., а если смерть наступила от несчастного случая, то выплачивает-ся удвоенная страховая сумма. Для каждого из застрахованных вероят-ность смерти от несчастного случая равна 0.1, вероятность смерти отестественных причин равна 0.1. Найдите распределение суммарных вы-плат.

Решение задачи (1 способ). Примем 250 000 руб. в качестве единицыизмерения денежных сумм.

Пусть X1, X2, X3, X4 – индивидуальные выплаты по договорам. Слу-чайные величины X1, X2, X3, X4 независимы в совокупности и имеют однои то же распределение, задаваемое таблицей

n 0 1 2p(n) 0.8 0.1 0.1

Для подсчета распределения суммы X1 + X2 образуем матрицу из 3-хстрок и 3-х столбцов с элементами p1(i)p2(j) :

0.64 0.08 0.080.08 0.01 0.010.08 0.01 0.01

Для формирования этой матрицы удобно написать слева столбец из вероят-ностей p1(i), а сверху – строку из вероятностей p2(j), а затем перемножитьих поэлементно.

Суммируя по линии i + j = n, параллельной второй диагонали, мы по-лучим

p1(n)p2(0) + p1(n− 1)p2(1) + ... + p1(0)p2(n),

т.е. в точности P (X1 + X2 = n). Поэтому для q(n) = P (X1 + X2 = n) имеемтаблицу (поскольку X1, X2 ≤ 2, их сумма не превосходит 4):

n 0 1 2 3 4q(n) 0.64 0.16 0.17 0.02 0.01

Для подсчета r(n) = P (X1 + X2 + X3 = n) = P ((X1 + X2) + X3 = n)образуем матрицу из трех строк и пяти столбцов с элементами p3(i)q(j) :

0.512 0.128 0.136 0.016 0.0080.064 0.016 0.017 0.002 0.0010.064 0.016 0.017 0.002 0.001

Поэтому для распределения случайной величины X1 + X2 + X3 имеем таб-лицу:


n 0 1 2 3 4 5 6r(n) 0.512 0.192 0.216 0.049 0.027 0.003 0.001

Наконец, для подсчета распределения p(n) суммарных выплат S = X1 +X2 + X3 + X4 образуем матрицу из 3 строк и 7 столбцов с элементамиp4(i)r(j) :

0.4096 0.1536 0.1728 0.0392 0.0216 0.0024 0.00080.0512 0.0192 0.0216 0.0049 0.0027 0.0003 0.00010.0512 0.0192 0.0216 0.0049 0.0027 0.0003 0.0001

Отсюда мы немедленно можем подсчитать распределение p(n) (оно приве-дено во втором столбце таблицы 3.5) и, следовательно, функцию распреде-ления случайной величины S = X1+X2+X3+X4 (она приведена в третьемстолбце таблицы 3.5).

Таблица 3.5:n p(n) P (S ≤ n)

0 0.4096 0.40961 0.2048 0.61442 0.2432 0.85763 0.0800 0.93764 0.0481 0.98575 0.0100 0.99576 0.0038 0.99957 0.0004 0.99998 0.0001 1.0000

2

Подсчет распределения суммы независимых случайных величин с по-мощью сверток – крайне кропотливое и утомительное занятие, если делатьэто вручную. Однако при использовании компьютеров никаких проблем невозникает. Для аналитических же расчетов удобнее использовать произво-дящие функции.

Напомним, что производящей функцией ϕ(z) неотрицательной случай-ной величины η с распределением p(n) = P (η = n) называется сумма ряда∑∞

n=0 znp(n) (нетрудно понять, что эквивалентным образом мы могли быопределить производящую функцию как Ezη). Следующие свойства произ-водящих функций используются чаще всего:

1. Если производящие функции ϕ1(z) и ϕ2(z) двух случайных величин η1

и η2 совпадают, то совпадают и распределения этих величин. Инымисловами, распределение однозначно восстанавливается по своей про-изводящей функции.


2. ϕ′(1) = Eη, V arη = ϕ′′(1) + ϕ′(1)− [ϕ′(1)]2.

3. Если случайные величины η1 и η2 независимы, то производящая функ-ция их суммы, ϕ(z), равна произведению производящих функций сла-гаемых: ϕ(z) = ϕ1(z)ϕ2(z).

Используя производящие функции, можно предложить следующий 2способ решения:

Каждое слагаемое имеет одну и ту же производящую функцию:

ϕ1(z) = ϕ2(z) = ϕ3(z) = ϕ4(z)= 0.8 · z0 + 0.1 · z1 + 0.1 · z2

= 0.1(8 + z + z2).

Соответственно их сумма имеет производящую функцию

EzS = ϕ1(z)ϕ2(z)ϕ3(z)ϕ4(z)= 0.14(8 + z + z2)4

= 10−4 · (64 + z2 + z4 + 16z + 16z2 + 2z3)2

= 10−4(64 + 16z + 17z2 + 2z3 + z4)2

= 10−4 · (4096 + 256z2 + 289z4 + 4z6 + z8

+ 2048z + 2176z2 + 256z3 + 128z4 + 544z3

+ 64z4 + 32z5 + 68z5 + 34z6 + 4z7)= 10−4 · (4096 + 2048z + 2432z2 + 800z3

+ 481z4 + 100z5 + 38z6 + 4z7 + z8).

Отбирая коэффициенты при степенях z, мы немедленно получим такую жетаблицу для вероятностей p(n) = P (S = n), какую мы получили выше спомощью сверток.

Замечание. Уже этот пример позволяет сделать поучительный выводо величине премии. Допустим, что мы подсчитали нетто-премию в соответ-ствии с принципом эквивалентности обязательств страховщика и страхова-теля как p(n) = EX = 0 · 0.8 + 1 · 0.1 + 2 · 0.1 = 0.3 и приняли ее в качествеплаты за страховую защиту. Тогда суммарная премия по рассматриваемомупортфелю будет 1.2 и, значит, вероятность того, что для выплат не хватитэтих средств (вероятность ”разорения”) будет равна P (S > 1.2) = 0.3856,т.е. недопустимо велика. Из таблицы 3.5 видно, что для того, чтобы вероят-ность разорения не превосходила 10%, мы должны иметь активы в 3 едини-цы, т.е. стоимость одного полиса должна быть 0.75. Конечно, это слишкомбольшая плата (напомним, что мы взяли в качестве единицы измеренияденежных сумм 250 000 руб.) – это связано со слишком малым объемомпортфеля. Тем не менее, этот пример показывает, что реальная плата застраховку должна превосходить нетто-премию.

Задача 3.4 ([21]) Компания обеспечивает страховую защиту домов в трехгородах: J, K и L. Поскольку эти города находятся на достаточно большом


расстоянии друг от друга, разумно предположить, что потери компаниив этих городах не зависят друг от друга.

Производящие функции моментов величины потерь в этих городах да-ются формулами:

MJ(t) = (1− 2t)−3,

MK(t) = (1− 2t)−2.5,

ML(t) = (1− 2t)−4.5.

Пусть случайная величина X описывает общие потери во всех трехгородах. Подсчитайте EX3.

(A) 1 320

(B) 2 082

(C) 5 760

(D) 8 000

(E) 10 560

Решение задачи Пусть XJ , XK , XL – размеры потерь в городах J ,K, L соответственно, так что X = XJ + XK + XL. Используя независи-мость слагаемых XJ , XK , XL, можно подсчитать производящую функциюмоментов случайной величины X:

ψX(t) = EetX =(et(XJ+XK+XL)

)

=(etXJ etXK etXL

)= etXJ EetXK EetXL

= (1− 2t)−3−2.5−4.5 = (1− 2t)−10.

Поскольку

(1 + x)α =+∞∑n=0

(α

n

)xn,

раскладывая функцию ψX(t) в ряд по степеням t, мы получим:

ψX(t) =+∞∑n=0

(−10n

)(−2t)n

=+∞∑n=0

(−10) · (−10− 1) · · · · · (−10− n + 1)n!

(−2)ntn

=+∞∑n=0

10 · 11 · · · · · (9 + n)n!

2ntn.

ОтсюдаEXn = 10 · 11 · · · · · (9 + n) · 2n.


В частности,

EX3 = 10 · 11 · 12 · 8 = 10 560,

и поэтому верным является вариант (E). 2

Задача 3.5 ([4]) Компания заключила 32 договора страхования. Для каж-дого договора вероятность q наступления страхового случая равна 1/6, астраховое возмещение B, выплачиваемое после наступления страховогослучая, имеет плотность

fB(y) ={

2(1− y), если 0 < y < 1,0 в противном случае.

Пусть S – общие выплаты по всему портфелю. Используя нормальноеприближение, оцените P (S > 4).

Решение задачи Общие выплаты по всему портфелю являются сум-мой индивидуальных потерь:

S = X1 + · · ·+ XN ,

где N = 32 – общее число договоров, а Xi – выплаты по i−му договору.Поэтому

ES = EX1 + · · ·+ EXN = N · EXi,

V arS = V arX1 + · · ·+ V arXN = N · V arXi.

Случайные величины Xi, в свою очередь, удобно представить в виде:

Xi = Ii ·Bi,

где Ii – индикатор события "по i−му договору наступил страховой случай",а Bi – размер страхового возмещения, выплачиваемого после наступлениястрахового случая по i−му договору. Это позволит найти два первых мо-мента размера индивидуальных потерь:

EXi = P (Ii = 0) · E(Xi|Ii = 0) + P (Ii = 1) · E(Xi|Ii = 1)= 0 + P (Ii = 1) · E(Bi|Ii = 1) = qE(Bi),

EX2i = P (Ii = 0) · E(X2

i |Ii = 0) + P (Ii = 1) · E(X2i |Ii = 1)

= 0 + P (Ii = 1) · E(B2i |Ii = 1) = qE(B2

i ).

Итак, проблема сводится к расчету двух первых моментов случайной


величины B:

EB =∫ 1

0

yfB(y)dy =∫ 1

0

2y(1− y)dy

=(

y2 − 2y3

3

)∣∣∣∣1

0

=13,

EB2 =∫ 1

0

y2fB(y)dy =∫ 1

0

2y2(1− y)dy

=(

2y3

3− y4

2

)∣∣∣∣1

0

=16.

Теперь для двух первых моментов размера индивидуальных потерь Xi мыимеем:

EXi =118

,

EX2i =

136

,

V arXi = EX2i − (EXi)2 =

281

.

Соответственно,

ES =3218

,

V arS =6481

.

Теперь мы можем оценить искомую вероятность P (S > 4):

P (S > 4) = P

(S − ES√

V arS>

4− ES√V arS

)

≈ 1− Φ(

4− ES√V arS

)= 1− Φ(2.5) ≈ 0.62%.

2

Задача 3.6 ([21]) Общая величина выплат по договору медицинского стра-хования имеет плотность

f(x) =1

1000e−x/1000, x > 0.

Премия за этот продукт установлена на уровне, превышающем на 100ожидаемые выплаты.

Если продано 100 договоров, какова приблизительно вероятность того,что потери страховой компании будут превышать собранные премии?


(A) 0.001

(B) 0.159

(C) 0.333

(D) 0.407

(E) 0.460

Решение задачи Пусть X – величина выплат по одному договору.Формула для плотности случайной величины X может быть записана ввиде:

f(x) = λe−λx, x > 0,

где λ = 11 000 . Это означает, что X имеет экспоненциальное распределение с

параметром λ и поэтому ее функция распределения F (x) дается формулой:

F (x) = 1− e−λx, x > 0.

Для средней величины выплат по договору мы имеем:

EX =∫ +∞

0

(1− F (x)dx =∫ +∞

0

e−λxdx

= − 1λ

e−λx

∣∣∣∣+∞

0

=1λ

= 1000.

Аналогично, для второго момента:

EX2 =∫ +∞

0

2x(1− F (x)dx =∫ +∞

0

2xe−λxdx

=2λ

∫ +∞

0

xλe−λxdx

=2λ

∫ +∞

0

xf(x)dx =2λ

EX

=2λ2

= 2 000 000,

так что

V arX =2λ2−

(1λ

)2

=1λ2

= 1 000 000.

Премия p равна 1 000+100=1 100 и, значит, общий объем собранной премииесть 110 000.

Суммарные выплаты по портфелю, S, даются формулой:

S = X1 + · · ·+ XN ,


где N = 100 – число договоров, Xi – выплаты по i− му договору. Интере-сующая нас вероятность P ≡ P (S > Np) может быть записана в виде:

P = P

(S − ES√

V arS>

Np− ES√V arS

)

= P

(S − ES√

V arS>

Np−NEX√NV arX

)

= P

(S − ES√

V arS>√

Np− EX√

V arX

)

= P

(S − ES√

V arS> 1

).

Применяя гауссовское приближение для центрированной и нормирован-ной величины суммарных потерь по портфелю, мы имеем:

P ≈ 1− Φ(1) ≈ 15.87%,


Задача 3.7 ([15]) Предположим, что в компании застраховано N = 3000человек с вероятностью смерти в течение года q = 0.3%. Компания вы-плачивает сумму b = 250 000 руб. в случае смерти застрахованного втечение года и не платит ничего, если этот человек доживет до концагода.

Определите суммарную премию, достаточную, чтобы обеспечить ве-роятность разорения порядка 5%.

Решение задачи Как обычно, примем величину страховой суммы вкачестве единицы измерения денежных сумм. В этом случае выплаты поi−му договору, Xi, принимают два значения: 0 и 1 с вероятностями 1− q иq соответственно. Поэтому

EXi = (1− q) · 0 + q · 1 = q = 0.003,

EX2i = (1− q) · 02 + q · 12 = q,

V arXi = EX2i − (EXi)2 = q − q2 ≈ 0.003.

Теперь для среднего значения и дисперсии суммарных выплат S = X1 +· · ·+ XN мы имеем:

ES = NEXi = 3000 · 0.003 = 9,

V arS = NV arXi ≈ 3000 · 0.003 = 9.

Используя гауссовское приближение для центрированной и нормирован-ной величины суммарных выплат, мы можем представить вероятность нера-


зорения компании в следующем виде:

P (S ≤ u) = P

(S − ES√

V arS≤ u− ES√

V arS

)

≈ P

(S − ES√

V arS≤ u− 9

3

)

≈ Φ(

u− 93

).

Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина u−93 долж-

на быть равной x95% = 1.645, т.е. u = 3 · 1.645 + 9 ≈ 13.935 (величиныстраховой суммы) или в абсолютных цифрах около 3 483 750 руб.

2

Задача 3.8 ([4]) В страховой компании, которая занимается страхова-нием от пожаров, застраховано 160 зданий. В таблице 3.6 описана струк-тура портфеля. Вероятность пожара на отдельном объекте в течение

Таблица 3.6:Число Страховая

договоров сумма

80 10 00035 20 00025 30 00015 50 0005 100 000

года равна 0.04. В случае пожара ущерб равномерно распределен от 0 достраховой суммы. Все рассматриваемые риски – независимы. Пусть ν –общее число страховых случаев, S – суммарные выплаты компании за одингод.

Подсчитайте:

1. среднее значение и дисперсию случайной величины ν,

2. среднее значение и дисперсию случайной величины S,

3. относительную защитную надбавку θ, достаточную, чтобы с веро-ятность 99% собранных премий хватило для покрытия всех потерь(используйте нормальное приближение).

Решение задачи Поскольку вероятность пожара на всех объектах напротяжении года одна и та же, а все рассматриваемые риски – независи-мы, общее число страховых случаев ν имеет биномиальное распределение с


числом "испытаний"N = 160 и вероятностью "успеха"q = 0.04 (см. задачу2.12). Поэтому

Eν = Nq = 160 · 0.04 = 6.4,

V arν = Nq(1− q) = 160 · 0.04 · 0.96 = 6.144.

Размер выплат Xi по i−му договору удобно представить в виде Xi =Ii · Yi, где Ii – индикатор события "на i−м объекте был пожар", а Yi –размер ущерба после этого пожара. Как мы установили в задаче 1.6, дляслучайной величины X = I ·Y , где величины I и Y – независимы, I – инди-каторная величина (P (I = 1) = q), величина Y – равномерно распределенана промежутке (0, M),

EX = qM

2,

V arX =qM2

12· (4− 3q).

Для договоров с одной и той же страховой суммой M средние значения идисперсии индивидуальных потерь совпадают. Поэтому если S′ – суммар-ные потери для договоров с одной и той же страховой суммой, то ES′ =N ′ · V arX, V arS′ = N ′ · V arX, где N ′ – число договоров в группе.

Результаты расчетов по этим формулам для каждой из пяти рассмат-риваемых групп договоров удобно расположить в таблицу 3.7.

Таблица 3.7:N ′ M EX V arX ES′ V arS′

80 10 000 200 1 293 333 16 000 103 466 66735 20 000 400 5 173 333 14 000 181 066 66725 30 000 600 11 640 000 15 000 291 000 00015 50 000 1 000 32 333 333 15 000 485 000 0005 100 000 2 000 129 333 333 10 000 646 666 667

Поэтому

ES = 70 000,

V arS = 1 707 200 000.

Пусть u – активы, достаточные, чтобы с вероятностью 99% покрыть всевыплаты по портфелю:

P (S < u) = 99%.

Переходя к центрированным и нормированным потерям, мы получим:

P

(S − ES√

V arS<

u− ES√V arS

)= 99%.


Используя гауссовское приближение, левую часть этого равенства можнозаменить на Φ

(u−ES√V arS

):

Φ(

u− ES√V arS

)≈ 99%.

Поэтомуu− ES√

V arS≈ x99%,

откудаu = ES + x99%

√V arS.

Иными словами, суммарная защитная надбавка равна

l = x99%

√V arS = 96 106.

Соответственно, относительная защитная надбавка θ ≡ lES равна 1.37. 2

Задача 3.9 ([15]) Страховщик заключил N = 10 000 договоров страхова-ния жизни сроком на один год на следующих условиях: в случае смертизастрахованного в течение года от несчастного случая компания выпла-чивает выгодоприобретателю 1 000 000 руб., а в случае смерти от есте-ственных причин – 250 000 руб. Компания не платит ничего, если застра-хованный не умрет в течение года. Вероятность смерти от несчастногослучая одна и та же для всех застрахованных и равна 0.0005. Вероят-ность смерти от естественных причин зависит от возраста. Застрахо-ванных можно разбить на две возрастные группы, содержащие N1 = 4000и N2 = 6000 человек, с вероятностью смерти в течение года q1 = 0.0040и q2 = 0.0020 соответственно.

Подсчитайте премию, достаточную для выполнения компанией сво-их обязательств с вероятностью 95% без привлечения дополнительныхсредств. Защитная надбавка для индивидуального договора берется про-порциональной:

1. нетто-премии;

2. дисперсии выплат по договору;

3. среднему квадратичному отклонению выплат по договору.

Решение задачи Примем сумму 250 000 руб. в качестве единицы из-мерения денежных сумм.

Тогда для первой группы договоров индивидуальный убыток принимаеттри значения: 0, 1 и 4 с вероятностями 0.9955, 0.0040 и 0.0005 соответствен-но. Среднее значение и дисперсия величины индивидуального убытка есть

m1 = 1 · 0.0040 + 4 · 0.0005 = 0.0060,

σ21 = 12 · 0.0040 + 42 · 0.0005−m2

1 ≈ 0.0120.


Для второй группы договоров индивидуальный убыток принимает те жетри значения 0, 1 и 4, но с другими вероятностями: 0.9975, 0.0020 и 0.0005.В этой группе среднее значение и дисперсия индивидуального убытка есть

m2 = 1 · 0.0020 + 4 · 0.0005 = 0.0040,

σ22 = 12 · 0.0020 + 42 · 0.0005−m2

2 ≈ 0.0100.

Таким образом, для договоров первой группы нетто-премия есть m1 =0.006, а для договоров второй группы нетто-премия равна m2 = 0.004.

Займемся теперь защитными надбавками.Среднее значение и дисперсия суммарных выплат по всему портфелю

равны:

ES = N1 ·m1 + N2 ·m2 = 4000 · 0.006 + 6000 · 0.004 = 48,

V arS = N1 · σ21 + N2 · σ2

2 ≈ 4000 · 0.012 + 6000 · 0.010 = 108.

Предположим, что суммарная премия равна u. Используя гауссовскоеприближение для центрированной и нормированной величины суммарныхвыплат, мы можем представить вероятность неразорения компании в сле-дующем виде:

P (S ≤ u) = P

(S − ES√

V arS≤ u− ES√

V arS

)

≈ Φ(

u− ES√V arS

).

Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина u−ES√V arS

должна быть равной x95% = 1.645, т.е. суммарная премия должна бытьравна u = ES + x95%

√V arS. Первое слагаемое, ES = N1 · m1 + N2 · m2,

является суммарной нетто-премией (как мы видели, она равна 48), а второедает общую защитную добавку l:

l = x95% ·√

V arS ≈ 1.645 ·√

108 ≈ 17.095.

Относительно индивидуальных защитных надбавок l1, l2 для договоровиз первой и второй групп соответственно мы знаем пока лишь то, что

N1 · l1 + N2 · l2 = l.

1. Если индивидуальные защитные надбавки пропорциональны нетто-премиям:

l1 = θm1, l2 = θm2,

то относительная страховая надбавка θ одна и та же для всех догово-ров и равна

θ =l

ES≈ 35.6%.


Поэтому для договоров из первой группы премия равна

p1 = m1 · (1 + θ) ≈ 0.00814 = 2034руб.

Для договоров из второй группы премия равна

p2 = m2 · (1 + θ) ≈ 0.00542 = 1356руб.

2. Если добавочная сумма l делится пропорционально дисперсиям, токоэффициент пропорциональности k есть

k =l

V arS≈ 15.8%.

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

l1 = k · σ21 ≈ 0.001899,

так что премия есть

p1 = m1 + l1 ≈ 0.007899 = 1975руб.,

а относительная страховая надбавка

θ1 =l1m1

≈ 31.7%.

Для договоров из второй группы страховая надбавка равна

l2 = k · σ22 ≈ 0.001583,


p2 = m2 + l2 ≈ 0.005583 = 1396руб.,


θ2 =l2m2

≈ 39.6%.

3. Если добавочная сумма l делится пропорционально средним квадра-тичным отклонениям (они равны σ1 ≈ 0.1095 для договоров первойгруппы и σ2 = 0.1 для договоров второй группы), то коэффициентпропорциональности k есть

k =l

N1σ1 + N2σ2≈ 0.0165.

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

l1 = k · σ1 ≈ 0.001804,



p1 = m1 + l1 ≈ 0.007804 = 1951 руб.,


θ1 =l1m1

≈ 30%.

Для договоров из второй группы страховая надбавка равна

l2 = k · σ2 ≈ 0.001647,


p2 = m2 + l2 ≈ 0.005647 = 1412 руб.,


θ2 =l2m2

≈ 41%.

2

Замечание. Изменение принципа назначения индивидуальных премийприводит к уменьшению относительной страховой надбавки для договоровпервой группы:

θ1 = 35.6%, 31.7%, 30%.

Соответственно для договоров второй группы относительная защитнаянадбавка увеличивается:

θ2 = 35.6%, 39.6%, 41%.

Это связано с тем, что коэффициент рассеяния суммарного ущерба есть

V arS

ES− 1 = 1.25,

в то время как для договоров первой (второй) группы он равен σ21/m1 −

1 = 1 (соответственно, σ22/m2 − 1 = 1.5). Коэффициент вариации величины

индивидуального убытка для договоров первой группы есть

c1 = σ1/m1 ≈ 18.26,

а для договоров второй группы он равен

c2 = σ2/m2 = 25.


Средний коэффициент вариации, усредненный по всему портфелю с весамиNimi/ES, i = 1, 2, есть

c = c1 · N1m1

ES+ c2 · N2m2

ES

= c1 · 2448

+ c2 · 2448

=c1 + c2

2≈ 21.63.

Таким образом, хотя дисперсия величины индивидуального убытка длядоговоров второй группы меньше, чем для договоров первой группы, флук-туации индивидуальных убытков для договоров второй группы (измерен-ные как коэффициентом рассеяния, так и коэффициентом вариации) пре-вышают средние флуктуации по всему портфелю. Поэтому было бы оправ-дано принять один из принципов 2 или 3 в качестве основы для назначенияиндивидуальных премий.

Имея в виду только неразорение компании, совершенно неважно, какобщая защитная надбавка распределяется по индивидуальным договорам(в равной степени не играет роли распределение суммарной нетто-премиина индивидуальные нетто-премии). Однако, имея в виду маркетинговые со-ображения, важно сделать это "справедливым"образом. Прежде всего, яс-но, что в силу статистической однородности договоров в пределах однойгруппы (из двух рассматриваемых), защитная надбавка должна быть од-ной и той же для договоров из одной группы. Однако одного уравненияN1 · l1 + N2 · l2 = l недостаточно для однозначного определения индивиду-альных нагрузок l1, l2. Необходимо некоторое принципиальное решение о"справедливом"соотношении между ними.

Задача 3.10 ([19]) Компания продает договора страхования жизни наодин год. Информация относительно структуры покрытия приведена втаблице 3.8.

Таблица 3.8:Страховая Причина Вероятность

сумма смерти500 000 обычная 0.101 000 000 несчастный случай 0.01

Относительная защитная надбавка равна 20%.Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик ис-

пользует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.Определите, сколько договоров должен продать страховщик, чтобы со-

бранная премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты.

(A) 550

(B) 560


(C) 570

(D) 580

(E) 590

Решение задачи Пусть N – общее число проданных договоров, Xk –выплаты по k−му договору, S = X1 + · · · + XN – суммарные выплаты повсему портфелю, θ – относительная защитная надбавка, так что премия поодному договору равна p = (1 + θ)EXk.

По условию, P (S < Np) = 0.95. С другой стороны,

P (S < Np) = P

(S − ES√

V arS<

Np− ES√V arS

)

≈ Φ(

Np− ES√V arS

)

= Φ(√

NθEXk√V arXk

).

Поэтому √N

θEXk√V arXk

= x0.95 ≡ 1.645,

где x0.95 – корень уравнения Φ(x) = 0.95 (квантиль порядка 0.95 стандарт-ного гауссовского распределения).

Отсюда для искомого числа договоров имеем:

N =x2

0.95 · V arXk

θ2 · (EXk)2.

Поскольку для индивидуального договора,

EX = 500 000 · 0.10 + 1 000 000 · 0.01 = 60 000,

EX2 = 500 0002 · 0.10 + 1 000 0002 · 0.01 = 35 · 109,

V arX = 314 · 108,

искомое число договоров равно 590 и поэтому верным является вариант (E).2

Задача 3.11 ([19]) Известно, что:

1. условное распределение медицинских расходов для человека с геном,вызывающим раковые заболевания, имеет среднее значение 100 и дис-персию 500;

2. условное распределение медицинских расходов для человека, которыйне имеет гена, вызывающего раковые заболевания, имеет среднее зна-чение 10 и дисперсию 70;


3. число людей с геном, вызывающим раковые заболевания, в группе изn случайно выбранных человек имеет биномиальное распределение спараметрами n и p = 0.02.

Страховщик определяет премию по договору медицинского страхова-ния для группы как среднее плюс одно стандартное отклонение распреде-ления суммарных медицинских расходов для этой группы.

Определите премию для группы из 20 случайно выбранных людей.

(A) 235

(B) 275

(C) 305

(D) 335

(E) 375

Решение задачи Предположение о том, что число людей с геном,вызывающим раковые заболевания, в группе из n случайно выбранныхчеловек имеет биномиальное распределение с параметрами n и p = 0.02,означает, что для разных людей опасный ген присутствует независимо свероятностью p = 0.02.

Для некоторого человека, пусть C = 1 или 0 в соответствии с тем, имеетэтот человек ген, вызывающий раковые заболевания, или нет, а X – суммамедицинских расходов для этого человека. Тогда:

EX = P (C = 0) · E(X|C = 0) + P (C = 1) · E(X|C = 1)= 0.98 · 10 + 0.02 · 100 = 11.8,

EX2 = P (C = 0) · E(X2|C = 0) + P (C = 1) · E(X2|C = 1)= P (C = 0) · (V ar(X|C = 0) + (E(X|C = 0))2

)

+ P (C = 1) · (V ar(X|C = 1) + (E(X|C = 1))2)

= 0.98 · 170 + 0.02 · 10 500 = 376.6,

V arX = EX2 − (EX)2 = 237.36.

Отсюда для суммарных медицинских расходов S имеем:

ES = n · EX = 236,

V arS = n · V arX = 4747.2,√V arS ≈ 68.9,

так что премия за групповое медицинское страхование равна 304.9 и поэто-му верным является вариант (C). 2


Таблица 3.9:Профессиональный Число Страховая Вероятность

класс сотрудников сумма смерти

1 100 1 0.12 100 1 0.23 200 2 0.14 200 2 0.2

Задача 3.12 ([18]) Компания ABC предполагает организовать группо-вое страхование жизни для своих сотрудников. Структура персонала при-ведена в таблице 3.9.

ABC предполагает внести в страховой фонд сумму, равную ожидае-мым выплатам страховых возмещений.

Каждый сотрудник, в свою очередь, должен будет внести сумму, рав-ную определенной доле p от размера ожидаемой выплаты. Размер этойдоли определяется таким образом, чтобы с вероятностью 95% средствстрахового фонда хватило для выплаты страховых возмещений.

Определите размер взноса для работников четвертого профессиональ-ного класса.

(A) 0.060

(B) 0.066

(C) 0.072

(D) 0.078

(E) 0.084

Решение задачи Пусть q – вероятность смерти сотрудника, SA – раз-мер страховой суммы. Поскольку индивидуальные потери по договору при-нимают только два значения: 0 с вероятностью 1− q и SA с вероятностьюq, среднее значение индивидульных потерь есть EX = q · SA, а дисперсия– V arX = q(1− q) · SA2.

Далее, предполагая, как обычно, независимость времен жизни сотрудни-ков компании, можно подсчитать среднее и дисперсию суммарных выплатдля каждого профессионального класса. Для этого нужно среднее/дисперсиюиндивидуальных потерь умножить на число работников в классе:

ES′ = N · EX,

V arS′ = N · V arX.

Результаты расчетов приведены в таблице 3.10. Чтобы получить среднее


Таблица 3.10:Проф. Число SA q EX V arX ES′ V arS′

класс сотрудников

1 100 1 0.1 0.1 0.09 10 92 100 1 0.2 0.2 0.16 20 163 200 2 0.1 0.2 0.36 40 724 200 2 0.2 0.4 0.64 80 128

значение/дисперсию суммарных выплат S для всего портфеля нужно сло-жить средние/дисперсии суммарных потерь для всех четырех профессио-нальных классов, так что

ES = 150, V arS = 225.

Размер страхового фонда равен u = ES + p ·ES. По условию, должно бытьверно равенство

P (S ≤ u) = 0.95,


P

(S − ES√

V arS≤ u− ES√

V arS

)= 0.95.

Применяя гауссовское приближение для центрированной и нормированнойвеличины общих выплат, мы имеем:

u− ES√V arS

= x0.95.

В рассматриваемой ситуации это равенство примет вид:

p = 0.1x0.95 ≈ 0.1645.

Соответственно, защитная надбавка для работников четвертого професси-онального класса равна 0.1645 · 0.4 = 0.0658. Поэтому верным являетсявариант (B). 2

Задача 3.13 ([18]) Страховая компания продает договора, для которых

1. вероятность наступления страхового случая равна 1/2;

2. размер ущерба при наступлении страхового случая дается формулой1000e−0.05T , где T – случайная величина, равномерно распределеннаяна интервале (0, 20);

3. портфель состоит из N независимых договоров;


4. премия по договору равна 350;

5. общая премия равна ожидаемым суммарным выплатам по всему порт-фелю плюс 125% стандартного отклонения суммарных выплат отсвоего среднего.

Определите N .

(A) 158

(B) 160

(C) 162

(D) 164

(E) 166

Решение задачи Прежде всего найдем два первых момента размерастрахового возмещения после наступления страхового случая:

EY = 1000Ee−0.05T = 1000∫ +∞

0

e−0.05tfT (t)dt

= 1000∫ 20

0

e−0.05t 120

dt = 1000(−e−0.05t

)∣∣20t=0

= 1000 · (1− e−1) ≈ 632.1206,

EY 2 = 106Ee−0.1T = 106

∫ +∞

0

e−0.1tfT (t)dt

= 106

∫ 20

0

e−0.1t 120

dt = 106(−0.5e−0.1t

)∣∣20t=0

= 106 · 1− e−2

2≈ 432 332.3584.

Размер выплат по договору, X, связан с размером страхового возмещенияY формулой X = I ·Y, где I – индикатор события "наступил страховой слу-чай". Поэтому по формуле полного математического ожидания мы имеем:

EX = P (I = 0) · E(X|I = 0) + P (I = 1) ·E(X|I = 1)= 0 + P (I = 1) · E(Y ) ≈ 0.5 · 632.1206 = 316.0603,

EX2 = P (I = 0) · E(X2|I = 0) + P (I = 1) · E(X2|I = 1)= 0 + P (I = 1) · E(Y 2) ≈ 0.5 · 432 332.3584= 216 166.1792,

V arX = EX2 − (EX)2 ≈ 116 272.079.

Теперь можно определить среднее и дисперсию суммарных выплат по всемупортфелю:

ES = N · EX,

V arS = N · V arX.


По условию общая премия по всему портфелю равна ES + 1.25√

V arS =N ·EX + 1.25

√N√

V arX, так что премия по одному договору равна EX +1.25

√V arX/

√N . С другой стороны, по условию эта премия равна p = 350.

Отсюда легко найти N :

N = 1.252 V arX

(p− EX)2= 158.

Поэтому верным является вариант (A). 2

Задача 3.14 ([24]) Страховая компания занимается автомобильным стра-хованием. Пусть случайная величина X обозначает общие потери ком-пании по договорам страхования на случай повреждения автомобиля приаварии, а случайная величина Y обозначает общие потери компании по до-говорам страхования гражданской ответственности водителей (все сум-мы измеряются в млн. долларов). Известно, что совместное распределе-ние случайных величин X и Y задается следующей формулой:

f(x, y) =

2x+2−y4 , если 0 < x < 1 и 0 < y < 2,

0 в противном случае

Найдите вероятность того, что общие потери составят по меньшей ме-ре 1 млн. долларов.

(A) 0.33

(B) 0.38

(C) 0.41

(D) 0.71

(E) 0.75

Решение задачи Искомую вероятность P ≡ P (X + Y ≥ 1) можнонайти как двойной интеграл по формуле:

P =∫ ∫

D

f(x, y)dxdy,

где D – область на плоскости xOy, задаваемая условиями

x + y ≥ 1,0 < x < 1,0 < y < 2.

Эта область изображена на рисунке 3.1.


Рис. 3.1:

6

- x

y

r

r

r

1

1

2

D

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@@y = 1− x


Из рисунка ясно, что область D может быть задана и как

{(x, y)|0 < x < 1, 1− x ≤ y < 2}.

Поэтому наш двойной интеграл равен повторному интегралу∫ 1

0

dx

∫ 2

1−x

dy2x + 2− y

4.

Вычислим вначале внутренний интеграл:

∫ 2

1−x

2x + 2− y

4dy =

2xy + 2y − 0.5y2

4

∣∣∣∣y=2

y=1−x

=5x2 + 6x + 1

8.

Теперь можно подсчитать внешний интеграл; он равен

∫ 1

0

5x2 + 6x + 18

dx =53x3 + 3x2 + x

8

∣∣∣∣x=1

x=0

=1724≈ 0.7083.

Поэтому верным является вариант (D). 2

Задача 3.15 Предприятие заключило договор группового страхования сво-их рабочих от несчастных случаев на следующих условиях:

1. срок действия договора – 1 год;

2. если несчастный случай привел к инвалидности, пострадавший по-лучает сумму 1 и, кроме того, такую же сумму получает каждыйчлен его семьи;

3. первую выплату по договору производит страхователь, а последу-ющие – страховщик (иначе говоря, заключен договор страхования,останавливающий потери, с собственным удержанием страховате-ля r = 1).

Найдите нетто-премию по этому договору, предполагая, что:

1. индивидуальные риски независимы;

2. на протяжении года вероятность несчастного случая, который при-водит к инвалидности, для одного рабочего равна q;

3. число рабочих равно N ;

4. среднее число членов семьи рабочего равно a.


Решение задачи Пусть Xn – выплаты по договору для n-го рабочего.Эта случайная величина может быть записана в виде

Xn = In · (1 + Yn),

где In – индикатор события "с n-м рабочим произошел несчастный случай,который привел к инвалидности", Yn – число членов семьи n-го рабочего.

Общие потери по договору даются формулой

S =N∑

n=1

Xn.

Доля страховщика равна (S − 1)+ ≡ max(S − 1, 0) и поэтому для нетто-премии P0 имеем:

P0 ≡ E(S − 1)+ =+∞∑

k=1

(k − 1)P (S = k)

=+∞∑

k=1

kP (S = k)−+∞∑

k=1

P (S = k) = ES − (1− P (S = 0))

= N · EXn − 1 + (1− q)N = Nq(1 + a)− 1 + (1− q)N .

2

Глава 4

Модель коллективногориска

Так же как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного рискаанализируется относительно короткий промежуток времени и предполагается,что плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода.Однако, в отличие от модели индивидуального риска, в модели коллективно-го риска весь портфель заключенных договоров страхования рассматриваетсякак единое целое, без различения отдельных составляющих его договоров. Со-ответственно, наступающие страховые случаи не связываются с конкретнымидоговорами, а рассматриваются как результат суммарного риска компании.

Отсюда следует, что основной характеристикой портфеля является не чис-ло заключенных договоров N, а общее число страховых случаев ν за анали-зируемый период. Ясно, что ν является случайной величиной.

Второе важное отличие модели коллективного риска от модели индивиду-ального риска заключается в том, что предполагается одинаковая распреде-ленность случайных величин Y1, Y2, . . . , описывающих величины потерь вслед-ствие последовательных страховых случаев. Это предположение означает опре-деленную равноценность страховых случаев, связанную с тем, что страховыеслучаи рассматриваются как следствие общего риска компании, а не индиви-дуальных договоров с их специфическими особенностями.

Кроме того, важно подчеркнуть, что случайные величины Yi описываюттолько реальный ущерб и поэтому в отличие от величин Xj , фигурирующих вмодели индивидуального риска, строго положительны.

В теории коллективного риска также обычно предполагается, что числостраховых случаев и потери после наступления страховых случаев независимыв совокупности.

Так же как и в модели индивидуального риска, в модели коллективногориска "разорение"определяется суммарными выплатами S страховой компа-

141


нии. Однако теперь S записывается в виде:

S = Y1 + ... + Yν ,

и поэтому в модели коллективного риска вероятность разорения компанииопределяется как

R = P{Y1 + ... + Yν > u},где u – активы компании. Следует отметить, что в рамках модели коллективно-го риска (так же, как и для модели индивидуального риска) нельзя ответитьна многие практически важные вопросы. Например, нельзя оценить моментразорения, величину недостающего капитала в этот момент и т.д.

Многочисленные исследования показали, что реальные данные из прак-тики страхования о числе страховых случаев за фиксированный промежутоквремени хорошо описываются с помощью пуассоновского или отрицательно-го биномиального распределения (этот факт тесно связан с моделированиемпроцесса наступления страховых случаев как пуассоновского процесса). Еслиν имеет распределение Пуассона

P (ν = i) =λi

i!e−λ,

или отрицательное биномиальное распределение

P (ν = i) =α · (α + 1) · · · · · (α + i− 1)

i!pα(1− p)i,

то распределение случайной величины S называется составным пуассоновским(соответственно, составным отрицательным биномиальным).

Для распределения размеров индивидуальных страховых возмещений Yi

имеется гораздо больше возможностей, но все же класс возможных распреде-лений не слишком широк (дискретные распределения, экспоненциальное рас-пределение, распределение Парето, гамма-распределение и, возможно, еще 3-4типа распределений). Особенно важен случай, когда Yi принимают дискретныезначения. В сущности, этот частный случай покрывает все реальные ситуации,так как на практике страховые возмещения обычно измеряются целыми руб-лями (или даже округляются до сотен или тысяч рублей).

Специфические предположения о характере распределений случайных ве-личин ν и Yi позволяют установить ряд дополнительных свойств модели кол-лективного риска и сделать общие формулы более содержательными.

Задача 4.1 ([19]) Суммарные потери даются формулой S = X1 + X2 +· · ·+ Xν , где:

1. ν с равной вероятностью принимает только три значения 0, 1 и 2;


2. каждая из величин Xi имеет экспоненциальное распределение со сред-ним 0.5;

3. ν,X1, X2, . . . взаимно независимы.

Определите E[eS

].

(A) 1.9

(B) 2.1

(C) 2.3

(D) 2.5

(E) 2.7

Решение задачи Используя формулу полного математического ожи-дания, мы имеем:

E[eS

]=

∑n

P (ν = n) · E (eX1+···+Xν |ν = n

)

=∑

n

P (ν = n) · (EeXi)n

=13

(1 + EeXi +

(EeXi

)2)

.

Поскольку случайные величины Xi имеют экспоненциальное распределениесо средним 0.5, их плотность дается формулой

f(t) = λe−λt, t > 0,

где λ = 1/0.5 = 2, и поэтому,

E(eXi

)=

∫ +∞

0

et · λe−λtdt

=∫ +∞

0

λe−(λ−1)tdt

=λ

λ− 1

∫ +∞

0

(λ− 1)e−(λ−1)tdt.

Поскольку λ > 1, функция (λ−1)e−(λ−1)t является экспоненциальной плот-ностью, так что

∫ +∞0

(λ− 1)e−(λ−1)tdt = 1. Значит,

E(eXi

)=

λ

λ− 1= 2.

Объединяя полученные результаты, мы имеем:

E[eS

]=

13(1 + 2 + 4) = 2

13≈ 2.3,



Задача 4.2 ([18]) Для размера суммарных потерь S = X1 +X2 + · · ·+Xν

в модели коллективного риска известно, что:

1. ν имеет биномиальное распределение с числом "испытаний"N = 5 ивероятностью "успеха"p = 0.1;

2. каждая из величин Xi имеет распределение P (Xi = 1) = P (Xi = 2) =0.5;

3. ν, X1, X2, . . . взаимно независимы.

Определите MS(0.2), где MS(t) ≡ EetS – производящая функция моментовсуммарных потерь.

(A) 1.15

(B) 1.17

(C) 1.19

(D) 1.21

(E) 1.23

Решение задачи Используя формулу полного математического ожи-дания, мы имеем:

MS(t) ≡ EetS =N∑

k=0

P (ν = k) · E (etX1+···+tXν |ν = k

)

=N∑

k=0

P (ν = k) · (EetXi)k

=5∑

k=0

(5k

)0.1k0.95−k · (0.5et + 0.5e2t

)k

=(0.1 · 0.5 · (et + e2t

)+ 0.9

)5.

ПоэтомуMS(0.2) =

(0.05 · (e0.2 + e0.4

)+ 0.9

)5 ≈ 1.191486,


Задача 4.3 ([19]) Известно, что в модели индивидуального риска при на-ступлении страхового случая размер ущерба фиксирован. Для аппроксима-ции модели индивидуального риска с помощью составного пуассоновскогораспределения используется два варианта метода эквивалентных замен:


1. первый основан на совпадении средних значений числа страховых слу-чаев, Eν, в обеих моделях,

2. второй метод основан на совпадении вероятностей отсутствия стра-ховых случаев, P (ν = 0), в обеих моделях.

Пусть V1 (V2) – дисперсия числа страховых случаев для составного пуассо-новского распределения при первом (втором) приближении. Истинно илиложно неравенство V2 < V1?

(A) Истинно

(B) Ложно

Решение задачи Рассмотрим вначале модель индивидуального рис-ка. Пусть N – число договоров, Xk – величина потерь по k−му договору,Ik = I(Xk > 0) – индикатор события "k−й договор привел к страховомуслучаю", q = P (Xk > 0). Тогда суммарное число страховых случаев длямодели индивидуального риска есть ν′ = I1 + · · ·+ IN . Значит,

Eν′ = N · EIk = Nq,

P (ν′ = 0) = P (I1 = 0) . . . P (IN = 0) = (1− q)N .

Для составного пуассоновского распределения общее число страховыхслучаев, ν′′, имеет распределение Пуассона с некоторым параметром λ, такчто

Eν′′ = λ,

P (ν′′ = 0) = e−λ.

Первое приближение определяется равенством

Eν′ = Eν′′,

откудаλ ≡ λ1 = Nq.

Второе приближение определяется равенством

P (ν′ = 0) = P (ν′′ = 0),

откудаλ ≡ λ2 = −N ln(1− q).

Поскольку V1 = λ1, V2 = λ2, неравенство V2 < V1 равносильно неравенствуln(1− q) > −q, которое, как нетрудно установить, ложно.

Таким образом, верным является вариант (B). 2


Задача 4.4 ([18]) В модели коллективного риска распределение суммар-ных потерь характеризуется следующими данными:

1. распределение числа страховых случаев есть:

P (ν = n) =(

n + 33

)(12

)n+4

, n = 0, 1, 2, . . . ;

2. плотность распределения величины страхового возмещения есть:

f(x) = 4xe−2x, x > 0.

Определите дисперсию распределения суммарных потерь.

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 10

Решение задачи Прежде всего найдем производящую функцию числастраховых случаев:

π(z) ≡ Ezν =+∞∑n=0

zn

(n + 3

3

)(12

)n+4

=+∞∑n=0

zn (n + 3)(n + 2)(n + 1)1 · 2 · 3

12n+4

=+∞∑

k=3

zk−3 k(k − 1)(k − 2)6

12k+1

=112

(+∞∑

k=0

(z

2

)k)′′′

=112

((1− z

2

)−1)′′′

=116

(1− z

2

)−4

.

Теперь найдем преобразование Лапласа величины страхового возмещения:

ψ(s) ≡∫ +∞

0

e−sx4xe−2xdx =4

2 + s

∫ +∞

0

x(2 + s)e−(2+s)xdx.

Интеграл в правой части этого равенства можно рассматривать как среднеезначение экспоненциального распределения с параметром λ = 2 + s. Как


известно, это среднее равно 1/λ = 1/(2 + s). Таким образом, 1

ψ(s) =4

(2 + s)2.

Наконец, для преобразования Лапласа Ψ(s) суммарных потерь S = Y1 +Y2 + · · · + Yν , где Y1, Y2, . . . , Yν – размеры потерь для последовательныхстраховых случаев, имеем:

Ψ(s) = Ee−s(Y1+···+Yν)

=+∞∑n=0

E(e−s(Y1+...+Yν) |ν = n) P (ν = n)

=+∞∑n=0

E(e−s(Y1+...+Yn) |ν = n) P (ν = n)

=+∞∑n=0

(ψ(s))nP (ν = n)

= Eψ(s)ν = π(ψ(s)) =116

(1− 2(2 + s)−2

)−4.

Из этой формулы дифференцированием по s в точке s = 0 имеем:

ES = −Ψ′(0) = − 116

(−4)(1− 2(2 + s)−2

)−5

(−2 · (−2) · (2 + s)−3)∣∣

s=0= 4.

Аналогично,ES2 = Ψ′′(0) = 26,

так чтоV arS = ES2 − (ES)2 = 10,

и поэтому верным ответом будет (E). 2

Задача 4.5 ([18]) Распределение общих потерь имеет следующие пара-метры:

1. распределение числа страховых случаев:

P (ν = 0) = 0.5, P (ν = 1) = 0.3, P (ν = 2) = 0.2;

2. распределение размера индивидуальных потерь:

P (Y = 1) = 0.8, P (Y = 4) = 0.2.

1Преобразование Лапласа ϕ(s) экспоненциального распределения с параметром λ = 2дается формулой ϕ(s) = 2/(2+ s). Поскольку ψ(s) = (ϕ(s))2, отсюда следует, что страхо-вое возмещение можно рассматривать как сумму двух независимых экспоненциальныхвеличин.


Подсчитайте вероятность того, что суммарные потери превысят своесреднее более, чем в два раза.

(A) 0.132

(B) 0.138

(C) 0.144

(D) 0.150

(E) 0.156

Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1, Y2, . . . , Yν –размеры потерь для соответствующих страховых случаев. Тогда производя-щая функция числа страховых случаев, π(z) ≡ Ezν , и производящая функ-ция величины ущерба при наступлении страхового случая, 2 g(z) ≡ EzYi ,даются формулами:

π(z) = 0.5z0 + 0.3z1 + 0.2z2 = 0.1 · (5 + 3z + 2z2),g(z) = 0.8z1 + 0.2z4 = 0.2z · (4 + z3).

Величина суммарных потерь S = Y1 + ... + Yν является целочисленнойслучайной величиной. Поэтому мы будем характеризовать ее распределе-ние (как и распределение размера индивидуальных потерь) производящейфункцией G(z) ≡ EzS . По формуле полного математического ожидания мыимеем:

G(z) =+∞∑n=0

P (ν = n)E(zY1+···+Yν

∣∣ ν = n)

=+∞∑n=0

P (ν = n)E(zY1+···+Yn

)=

+∞∑n=0

P (ν = n)(EzYi

)n

=+∞∑n=0

P (ν = n) (g(z))n = π(g(z))

= 0.1 · (5 + 3g(z) + 2g2(z))= 0.5 + 0.24z + 0.128z2 + 0.06z4 + 0.064z5 + 0.008z8.

Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 можно получить среднеезначение суммарных потерь ES:

ES = 1.12.

Кроме того, коэффициенты при степенях z дают распределение вероятно-стей случайной величины S; оно приведено в таблице 4.1.

2Поскольку случайные величины Yi принимают только целые значения, мы характе-ризуем их распределение производящей функцией, а не преобразованием Лапласа. Кро-ме того, поскольку случайные величины Yi одинаково распределены, g(z) не зависит отномера i страхового случая.


Таблица 4.1:n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P (S = n) 0.5 0.24 0.128 0 0.06 0.064 0 0 0.008

Поэтому искомая вероятность P (S > ES) равна

P (S > 2.24) = P (S ≥ 3)= 1− P (S = 0)− P (S = 1)− P (S = 2)= 1− 0.5− 0.24− 0.128 = 0.132.

Значит, верным является вариант (A). 2

Задача 4.6 ([25]) В таблице 4.2 приведено распределение числа заявлен-ных страховых случаев по некоторому портфелю. Когда происходит стра-

Таблица 4.2:n P (ν = n)

0 0.72 0.23 0.1

ховой случай, размер страхового возмещения равен 0 или 10 с вероятно-стями 0.8 и 0.2 соответственно. Число страховых случаев и страховыевозмещения независимы в совокупности.

Подсчитайте вероятность того, что суммарные выплаты по портфе-лю превысят свое среднее больше, чем на два стандартных отклонения.

(A) 0.02

(B) 0.05

(C) 0.07

(D) 0.09

(E) 0.12

Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1, Y2, . . . , Yν –размеры потерь для соответствующих страховых случаев. Тогда производя-щая функция числа страховых случаев, π(z) ≡ Ezν , и производящая функ-ция величины ущерба при наступлении страхового случая, g(z) ≡ EzYi ,даются формулами:

π(z) = 0.7z0 + 0.2z2 + 0.1z3 = 0.1 · (7 + 3z2 + z3),g(z) = 0.8z0 + 0.2z10 = 0.2 · (4 + z10).


Суммарные выплаты S = Y1 + ... + Yν являются целочисленной случайнойвеличиной. Поэтому мы будем характеризовать ее распределение (как ираспределение размера индивидуальных потерь) производящей функциейG(z) ≡ EzS . По формуле полного математического ожидания мы имеем:

G(z) =+∞∑n=0

P (ν = n)E(zY1+···+Yν

∣∣ ν = n)

=+∞∑n=0

P (ν = n)E(zY1+···+Yn

)=

+∞∑n=0

P (ν = n)(EzYi

)n

=+∞∑n=0

P (ν = n) (g(z))n = π(g(z))

= 0.1 · (7 + 3g2(z) + g3(z))= 0.8792 + 0.1024z10 + 0.0176z20 + 0.0008z30.

Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 можно получить моментыслучайной величины S:

ES = 10 · 0.1024 + 20 · 0.0176 + 30 · 0.0008 = 1.4,

E(S(S − 1)) = 10 · 9 · 0.1024 + 20 · 19 · 0.0176 + 30 · 29 · 0.0008= 16.6,

V arS = E(S(S − 1)) + ES − (ES)2 = 16.04,

так что стандартное отклонение σS ≡ √V arS ≈ 4.005. Поэтому искомая

вероятность P ≡ P (S > ES+2σS) равна P (S > 9.41). Поскольку случайнаявеличина S принимает только значения 0, 10, 20, 30 (это хорошо видно изполученной нами формулы для ее производящей функции), для искомойвероятности имеем:

P = P (S = 10, 20, 30) = 1− P (S = 0) = 1− 0.8792 = 0.1208.

Значит, верным является вариант (E). 2

Задача 4.7 ([18]) В модели коллективного риска суммарные потери Sимеют составное пуассоновское распределение с λ = 63 и распределениемвеличины страхового возмещения, приведенным в таблице 4.3. С помощьюнормального приближения подсчитайте вероятность P (S > 315).

(A) 0.03

(B) 0.04

(C) 0.05

(D) 0.06


Таблица 4.3:x p(x)

1 0.55 0.310 0.2

(E) 0.07

Решение задачи Нормальное приближение предполагает рассмотре-ние центрированной и нормированной величины потерь

S∗ ≡ S − ES√V arS

.

Чтобы найти среднее значение и дисперсию случайной величины S, мыполучим формулу для ее производящей функции EzS (S, как сумма цело-численных слагаемых, принимает только целые значения), а затем диффе-ренцированием в точке z = 1 подсчитаем требуемые моменты.

Прежде всего найдем производящую функцию размера индивидуально-го страхового возмещения Yi после наступления i−го страхового случая:

g(z) ≡ EzYi = 0.5z + 0.3z5 + 0.2z10.

Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 получим моменты размераиндивидуального страхового возмещения:

EYi = g′(z)|z=1 =(0.5 + 1.5z4 + 2z9

)∣∣z=1

= 4,

EYi(Yi − 1) = g′′(z)|z=1 =(6z3 + 18z8

)∣∣z=1

= 24,

EY 2i = EYi(Yi − 1) + EYi = g′′(1) + g′(1) = 28.

Теперь для производящей функции суммарных потерь мы имеем:

G(z) ≡ EzS =+∞∑n=0

P (ν = n)E(zY1+···+Yν

∣∣ ν = n)

=+∞∑n=0

P (ν = n)E(zY1+···+Yn

)=

+∞∑n=0

λn

n!e−λ

(EzYi

)n

= eλg(z)−λ.

Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 получим моменты вели-


чины суммарных потерь:

ES = G′(z)|z=1 =(λg′(z)eλg(z)−λ

)∣∣∣z=1

= λg′(1) = λEYi = 63 · 4 = 252,

ES(S − 1) = G′′(z)|z=1 =(λg′′(z) + (λg′(z))2

)eλg(z)−λ

∣∣∣z=1

= λg′′(1) + (λg′(1))2 ,

V arS = ES(S − 1) + ES − (ES)2

= λg′′(1) + (λg′(1))2 + λg′(1)− (λg′(1))2

= λ(g′′(1) + g′(1)) = λEY 2i = 63 · 28 = 1764,√

V arS = 42.

Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы применить гауссов-ское приближение для подсчета P (S > 315):

P (S > 315) = P

(S − ES√

V arS>

315− ES√V arS

)

= P (S∗ > 1.5) ≈ 1− Φ(1.5) ≈ 6.68%.

Поэтому верным является вариант (E). 2

Задача 4.8 ([25]) Человек старше 65 лет на протяжении одного годапокупает лекарства случайное число раз, которое имеет распределениеПуассона со средним 25. При каждой покупке расходы на лекарства равно-мерно распределены на отрезке [5, 95]. Число случаев покупки лекарств иразмеры покупок независимы в совокупности.

Определите вероятность того, что общие годовые расходы на лекар-ства превысят 2000 (используйте нормальное приближение).

(A) 1− Φ(1.33)

(B) 1− Φ(1.66)

(C) 1− Φ(2.33)

(D) 1− Φ(2.66)

(E) 1− Φ(3.33)

Решение задачи Пусть ν – число случаев покупки лекарств в течениегода, Y1, . . . , Yν – соответствующие расходы, S = Y1 + · · ·+ Yν – суммарныегодовые расходы на лекарства.


Для преобразования Лапласа случайной величины S по формуле пол-ного математического ожидания мы имеем:

Ψ(s) ≡ Ee−sS =+∞∑n=0

P (ν = n)E(

e−s(Y1+···+Yν)∣∣∣ ν = n

)

=+∞∑n=0

P (ν = n)E(e−s(Y1+···+Yn)

)

=+∞∑n=0

λn

n!e−λ

(Ee−sYi

)n= eλψ(s)−λ,

где λ = 25 – параметр пуассоновской величины ν, ψ(s) = Ee−sYi – преобра-зование Лапласа величины разовых расходов на лекарства.

Отсюда дифференцированием по s в точке s = 0 мы получим моментывеличины S:

ES = −Ψ′(s)|s=0 =(−λψ′(s)eλψ(s)−λ

)∣∣∣s=0

= −λψ′(0) = λEYi,

ES2 = Ψ′′(s)|s=0 =(λψ′′(s) + (λψ′(s))2

)eλψ(s)−λ

∣∣∣s=0

= λψ′′(0) + (λψ′(0))2 ,

V arS = ES2 − (ES)2

= λψ′′(0) + (λψ′(0))2 − (λψ′(0))2

= λψ′′(0) = λEY 2i .

Далее, так как случайные величины Yi равномерно распределены наотрезке [5,95], используя формулы для моментов равномерного распределе-ния, полученные в задаче 1.6, мы имеем:

EYi =5 + 95

2= 50,

EY 2i =

52 + 5 · 95 + 952

3= 3 175.

Таким образом, среднее и дисперсия суммарных годовых расходов налекарства равны:

ES = 25 · 50 = 1 250,

V arS = 25 · 3 175 = 79 375.

Чтобы применить нормальное приближение, запишем искомую вероят-ность P (S > 2000) того, что суммарные годовые расходы на лекарства пре-


высят 2000, в виде:

P (S > 2000) = P

(S − ES√

V arS>

2000− ES√V arS

)

= P

(S − ES√

V arS>

2000− 1250√79 375

)

= P

(S − ES√

V arS>

750√79 375

).

Используя нормальное приближение, имеем:

P (S > 2000) ≈ 1− Φ(

750√79 375

)≈ 1− Φ(2.66),


Задача 4.9 ([22]) В таблице 4.4 приведены характеристики распределе-ния числа страховых случаев и распределения величины ущерба после на-ступления страхового случая для модели коллективного риска.

Таблица 4.4:Среднее Стандарноезначение отклонение

Число страхо-вых случаев

8 3

Размер ущерба 10 000 3 937

Используя нормальную аппроксимацию, определите вероятность того,что суммарные потери превысят 150% от ожидаемых потерь.

(A) Φ(1.25)

(B) Φ(1.5)

(C) 1− Φ(1.25)

(D) 1− Φ(1.5)

(E) 1.5Φ(1)

Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1, Y2, . . . , Yν

– размеры потерь для соответствующих страховых случаев, π(z) = Ezν –производящая функция числа страховых случаев, ψ(s) = Ee−sYi – преоб-разование Лапласа величины ущерба при наступлении страхового случая


(поскольку случайные величины Yi одинаково распределены, ψ(s) не зави-сит от номера i страхового случая).

Тогда для преобразования Лапласа Ψ(s) суммарных потерь S = Y1 +· · ·+ Yν мы имеем:

Ψ(s) = Ee−s(Y1+···+Yν)

=+∞∑n=0

E(e−s(Y1+...+Yν) |ν = n) P (ν = n)

=+∞∑n=0

E(e−s(Y1+...+Yn) |ν = n) P (ν = n)

=+∞∑n=0

(ψ(s))nP (ν = n)

= Eψ(s)ν = π(ψ(s)).

Из этой формулы дифференцированием по s в точке s = 0 можно полу-чить формулы для моментов суммарных потерь ES и V arS; эти моментыпотребуются для получения гауссовского приближения для функции рас-пределения суммарных потерь.

1. ПосколькуΨ′(s) = π′(ψ(s)) · ψ′(s),

при s = 0 получим:

Ψ′(0) = π′(ψ(0)) · ψ′(0).

Однако,

ψ(0) = 1,

π′(1) = Eν,

ψ′(0) = −EY,

Ψ′(0) = −ES.

Значит,ES = Eν · EY = 8 · 10 000 = 80 000.

2. Поскольку

Ψ′′(s) = π′′(ψ(s)) · (ψ′(s))2 + π′(ψ(s)) · ψ′′(s),

при s = 0 получим:

Ψ′′(0) = π′′(ψ(0)) · (ψ′(0))2 + π′(ψ(0)) · ψ′′(0).


Однако,

ψ(0) = 1,

π′(1) = Eν,

π′′(1) = Eν(ν − 1) = Eν2 − Eν = V arν − Eν + (Eν)2,ψ′(0) = −EY,

ψ′′(0) = EY 2 = V arY + (EY )2,Ψ′′(0) = ES2 = V arS + (ES)2.

Отсюда,

V arS = V arν · (EY )2 + V arY · Eν

= 9 · 108 + (3 937)2 · 8= 1 023 999 752,

так что для суммарных потерь среднее квадратичное отклонение есть√

V arS ≈ 32 000.

Искомая вероятность P = P (S > 1.5ES) может быть записана в виде:

P = P

(S − ES√

V arS>

0.5ES√V arS

).

Гипотеза о нормальном приближении означает, что

P

(S − ES√

V arS> x

)≈ 1− Φ(x).

Значит,

P ≈ 1− Φ(

0.5ES√V arS

)= 1− Φ(1.25),

и поэтому верным ответом будет (C). 2

Задача 4.10 ([31]) Грузчики на электроламповом заводе иногда роняютящики с готовой продукцией. Таблица 4.5 содержит статистические дан-ные о потерях при погрузке в течение одного месяца. Если общие потериза месяц не превышают 8000, бригада грузчиков получает премию.

Используя гауссовское приближение, подсчитайте вероятность того,что грузчики получат премию.

Решение задачи Пусть ν – число разбитых ящиков (за один месяц),Y1, Y2, . . . , Yν – стоимость разбитых ламп в одном ящике, S = Y1 + ... + Yν –общие потери за месяц.


Таблица 4.5:Среднее число разбитых ящиков 50Дисперсия числа разбитых ящиков 100Средняя стоимость разбитых лампв одном ящике 200Дисперсия стоимости разбитых лампв одном ящике 400

Используя результаты задачи 4.9, мы имеем:

ES = Eν · EY = 50 · 200 = 10 000,

V arS = V arν · (EY )2 + V arY · Eν

= 100 · (2002) + 400 · 50= 4 020 000,√

V arS ≈ 2 005.

Искомая вероятность P = P (S ≤ 8 000) может быть записана в виде:

P = P

(S − ES√

V arS≤ 8 000− ES√

V arS

)≈ P

(S − ES√

V arS≤ −0.9975

).

Гипотеза о нормальном приближении означает, что

P

(S − ES√

V arS≤ x

)≈ Φ(x).

Значит,P ≈ Φ(−0.9975) ≈ 16%.

2

Задача 4.11 ([14]) Предположим, что для некоторого портфеля догово-ров за определенный промежуток времени может произойти 0, 1, 2 или3 страховых случая с вероятностями 0.2, 0.3, 0.4 и 0.1 соответственно(возможность больше, чем трех страховых случаев пренебрежимо мала).Когда происходит страховой случай, величина потерь равна 1, 2, или 3 свероятностями 0.6, 0.3, и 0.1 соответственно.

Определите наиболее вероятное значение суммарных потерь за рас-сматриваемый промежуток времени.

Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев за рассматри-ваемый промежуток времени, Y1, Y2, . . . , Yν – размеры потерь для соответ-ствующих страховых случаев, π(z) = Ezν – производящая функция числа


страховых случаев, g(z) = EzYi – производящая функция величины ущер-ба при наступлении страхового случая (поскольку случайные величины Yi

одинаково распределены, g(z) не зависит от номера i).Тогда для производящей функции G(z) суммарных потерь S = Y1+ · · ·+

Yν мы имеем:

G(z) = EzY1+···+Yν

=∞∑

n=0

E(zY1+···+Yν |ν = n) P (ν = n)

=∞∑

n=0

E(zY1+···+Yn |ν = n) P (ν = n)

=∞∑

n=0

(g(z))nP (ν = n) = Eg(z)ν = π(g(z)).

В рассматриваемом случае производящая функция числа страховых случа-ев есть π(z) = 0.2+0.3z +0.4z2 +0.1z3, а производящая функция величиныущерба есть g(z) = 0.6z + 0.3z2 + 0.1z3. Поэтому производящая функциявеличины суммарных потерь есть

G(z) = π(g(z))= 0.2 + 0.3g(z) + 0.4(g(z))2 + 0.1(g(z))3

= 0.2 + 0.3(0.6z + 0.3z2 + 0.1z3)+ 0.4(0.6z + 0.3z2 + 0.1z3)2 + 0.1(0.6z + 0.3z2 + 0.1z3)3.

Раскрывая скобки, приводя подобные члены и затем отбирая коэффициен-ты при последовательных степeнях z, мы получим распределение величинысуммарных потерь S; оно приведено в таблице 4.6. Поэтому наиболее веро-

Таблица 4.6:n P (S = n) n P (S = n)

0 0.2000 5 0.05101 0.1800 6 0.01752 0.2340 7 0.00453 0.1956 8 0.00094 0.1164 9 0.0001

ятное значение суммарных потерь равно 2. 2

Задача 4.12 ([14]) Распределение числа страховых случаев за анализиру-емый промежуток времени описывается геометрическим законом со сред-ним 9, т.е.

πn = P (ν = n) = 0.9n · 0.1, n = 0, 1, 2, . . . ,


а убытки после наступления страхового случая имеют экспоненциальноераспределение со средним 1, т.е.

P (Yi < x) = 1− e−x.

Определите зависимость вероятности разорения от величины активовкомпании.

Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1, Y2, . . . , Yν –размеры потерь для последовательных страховых случаев. Как известно,величина Y1 + ... + Yn имеет гамма-распределение с параметрами λ = 1 иα = n, т.е. ее плотность есть

fY1+...+Yn(x) =

xn−1

(n− 1)!e−x.

Поэтому плотнoсть суммарных потерь S при x > 0 есть

fS(x) =∞∑

n=1

P (ν = n)fY1+...+Yn(x)

=∞∑

n=1

0.9n0.1xn−1

(n− 1)!e−x

= 0.09∞∑

k=0

(0.9x)k

k!e−x

= 0.09e0.9x−x = 0.09e−0.1x.

Если u – размер активов компании, то вероятность разорения равна

R(u) ≡ P (S > u) =∫ ∞

u

f(x)dx = 0.9e−0.1u.

3 2

Задача 4.13 ([22]) Страховая компания обеспечивает страховую защи-ту концертного зала от потерь вследствие отказов системы электро-снабжения. Известно, что

1. число отказов системы электроснабжения в течение года имеетраспределение Пуассона со средним 1,

2. распределение величины ущерба вследствие одного отказа системыэлектроснабжения задается таблицей 4.7.

3Отметим, что распределение суммарных потерь всегда имеет атом в нуле с массой,равной вероятности того, что не было ни одного страхового случая. В нашем случае этавероятность равна 0.1. Интеграл

∫∞0 f(x)dx дает вероятность того, что 0 < S < +∞ и

поэтому должен равняться 1 − P (S = 0) = 0.9. Непосредственный подсчет показывает,что это действительно так.


Таблица 4.7:x Вероятность значения x

10 0.320 0.350 0.4

3. число отказов системы электроснабжения и величины потерь неза-висимы,

4. страхователь оплачивает потери сам до тех пор, пока они не пре-высят предел 30.

Подсчитайте ожидаемые выплаты страховщика за один год.

(A) 5

(B) 8

(C) 10

(D) 12

(E) 14

Решение задачи Пусть ν – число отказов системы электроснабженияза один год. Так как случайная величина ν имеет распределение Пуассона,верны равенства:

P (ν = n) =1n!

e−1, Eν = 1.

Пусть, далее, Y1, . . . , Yν – величины потерь вследствие отказов. Прини-мая сумму 10 в качестве единицы измерения денежных сумм, мы получимдля распределения случайных величин Yi таблицу 4.8, так что EYi = 2.9,EzYi = 0.3z + 0.3z2 + 0.4z5.

Таблица 4.8:x P (Yi = x)

1 0.32 0.35 0.4


Наконец, пусть S = Y1 + · · ·+ Yν – суммарные потери за один год. Про-изводящая функция случайной величины S есть

EzS =+∞∑n=0

E(zS | ν = n

)P (ν = n)

=+∞∑n=0

(EzYi

)nP (ν = n)

=+∞∑n=0

(0.3z + 0.3z2 + 0.4z5)n

n!e−1

= e0.3z+0.3z2+0.4z5−1.

Дифференцируя по z в точке z = 1, мы имеем:

ES = Eν · EY = 1 · 2.9 = 2.9.

Кроме того, раскладывая производящую функцию EzS в ряд по степенямz вплоть до z2, мы получим:

EzS = e−1 ·(1 + (0.3z + 0.3z2 + 0.4z5)

+(0.3z + 0.3z2 + 0.4z5)2

2+ . . .

)

= e−1 · (1 + 0.3z + 0.3z2 + 0.045z2 + . . .)

= e−1 · (1 + 0.3z + 0.345z2 + . . .),

что дает распределение суммарных потерь за один год в точках 0, 1 и 2: 4

P (S = 0) = e−1, P (S = 1) = 0.3e−1, P (S = 2) = 0.345e−1.

По условиям договора, страховая компания покрывает только превы-шение потерь над собственным удержанием страхователя (в размере 3), т.е.выплаты страховой компании даются формулой:

S′ ={

0, если S ≤ 3,S − 3, если S > 3.

4Этот результат легко получить и непосредственно по формуле полной вероятности:

P (S = 0) = P (ν = 0) = e−1,

P (S = 1) = P (ν = 1) · P (Y1 = 1) = 0.3e−1,

P (S = 2) = P (ν = 1) · P (Y1 = 2)

+ P (ν = 2) · P (Y1 = 1) · P (Y2 = 1) = 0.345e−1.


Значит,

ES′ =+∞∑n=0

nP (S′ = n) =+∞∑n=0

nP (S − 3 = n)

=+∞∑n=0

nP (S = n + 3) =+∞∑n=3

(n− 3)P (S = n)

=+∞∑n=0

(n− 3)P (S = n)−2∑

n=0

(n− 3)P (S = n)

= ES − 3 + 3 · P (S = 0) + 2 · P (S = 1) + 1 · P (S = 2)= 2.9− 3 + (3 + 0.6 + 0.345)e−1

≈ 1.3513 (условных единиц).


Задача 4.14 ([31]) Число страховых случаев по групповому договору ме-дицинского страхования имеет отрицательное биномиальное распределе-ние со средним Eν = 300 и дисперсией V arν = 800.

Распределение тяжести страхового случая задается таблицей 4.9.

Таблица 4.9:Тяжесть Вероятность

40 0.2580 0.25120 0.25200 0.25

Подсчитайте среднее значение общих выплат по договору, если

1. тяжесть страхового случая увеличится на 50%,

2. частота наступления страховых случаев не изменится,

3. будет введен простой вычет в размере d = 60.

Решение задачиПусть Y – размер медицинских расходов по одному страховому случаю,

Y ′ = max(1.5Y − 60, 0) – размер страхового возмещения по одному случаюзаболевания после увеличения тяжести страховых случаев на 50% и введе-ния простого вычета в размере d = 60. Распределение случайной величиныY ′ задается таблицей 4.10.

Отсюда легко подсчитать среднее значение EY ′:

EY ′ = (20 + 80 + 200)/4 = 75.


Таблица 4.10:Возмещение Вероятность

0 0.2520 0.2580 0.25200 0.25

Поскольку частота наступления страховых случаев не изменилась, среднеезначение общих выплат по договору в рассматриваемой новой ситуациибудет равно

Eν · EY ′ = 22 500.

2

Задача 4.15 Число страховых случаев в течение года по договору груп-пового медицинского страхования имеет пуассоновское распределение сосредним λ = 500.

Распределение размера расходов по одному страховому случаю задаетсятаблицей 4.11.

Таблица 4.11:Расходы Вероятность

50 0.3100 0.2200 0.2300 0.1400 0.1500 0.1

Актуарий страховой компании предполагает, что в наступающем годуиз-за инфляции медицинские расходы по одному страховому случаю вырас-тут на 20%.

Подсчитайте среднее значение и коэффициент вариации общих выплатпо договору в наступающем году, если будет заключен договор страхова-ния чрезмерных потерь с возвращаемым вычетом в размере d = 60.

Решение задачиПусть Y – размер медицинских расходов по одному страховому случаю в

прошедшем году, Y ′ = 1.2Y – размер медицинских расходов по одному стра-ховому случаю в наступающем году. Распределение случайной величины Y ′

задается таблицей 4.12. Для возвращаемого вычета событие "был заявлен



60 0.3120 0.2240 0.2360 0.1480 0.1600 0.1

страховой случай"имеет вероятность q(d) = P (Y ′ > d) = 0.7. Поэтому чис-ло страховых случаев после введения вычета будет иметь распределениеПуассона со средним λ′ = λ · q(d) = 350. Величина страхового возмещенияпосле введения вычета, Y(d), будет иметь распределение, задаваемое табли-цей 4.13. Отсюда


120 2/7240 2/7360 1/7480 1/7600 1/7

EY(d) =2160

7≈ 308.57,

E(Y(d)

)2 =864 000

7≈ 123 428.57.

Поэтому для среднего значения и коэффициента вариации суммарных вы-плат по договору в наступающем году имеем:

ES(d) = λ′ · EY(d) = 350 · 21607

= 108 000,

c =

√V arS(d)

ES(d)≈ 6%.

2

Задача 4.16 В течение прошедшего года по групповому договору меди-цинского страхования работников большого завода было заявлено 800 стра-ховых случаев.



50 0.3100 0.2200 0.2300 0.1400 0.1500 0.1

Распределение размера возмещения по одному страховому случаю зада-ется таблицей 4.14.

Урегулирование каждого страхового случая обходится страховой ком-пании в сумму 50. Кроме того, вне зависимости от числа страховых слу-чаев компания имеет общие административные расходы в размере 50 000.

Актуарий страховой компании предполагает, что в наступающем году

1. из-за инфляции медицинские расходы по одному страховому случаювырастут на 20%;

2. мероприятия по улучшению условий труда уменьшат заболеваемостьна 5%;

3. из-за инфляции все административные расходы вырастут на 15%.

Чтобы не увеличивать стоимость покрытия, страховщик предпола-гает ввести по каждому страховому случаю простой вычет в размереd = 60.

Подсчитайте ожидаемые выплаты по договору в наступающем году.

Решение задачи Пусть Y – размер медицинских расходов по одномустраховому случаю в прошедшем году, Y ′ = 1.2Y – размер медицинскихрасходов по одному страховому случаю в наступающем году. Распределе-ние случайной величины Y ′ задается таблицей 4.15. Для простого вычета


60 0.3120 0.2240 0.2360 0.1480 0.1600 0.1

событие "был заявлен страховой случай"имеет вероятность q(d) = P (Y ′ >


d) = 0.7. Поэтому ожидаемое число страховых случаев в наступающем годупосле введения вычета будет равно n′ = 800 · 0.95 · 0.7 = 532.

Величина страхового возмещения после введения вычета, Y(d), будетиметь распределение, задаваемое таблицей 4.16. Отсюда


60 2/7180 2/7300 1/7420 1/7540 1/7

EY(d) =1740

7≈ 248.57.

Поэтому для среднего значения суммарных выплат по договору в наступа-ющем году имеем:

ES(d) = n′ · EY(d) = 532 · 17407

= 132 240.

Суммарные административные расходы будут в среднем равны

50 000 · 1.15 + 532 · 50 · 1.15 = 88 090,

так что ожидаемые общие расходы страховщика равны 220 330. ПосколькуEY = 195, в прошедшем году общие расходы страховщика были равны

800 · (EY + 50) + 50 000 = 246 000,

т.е. в наступающем году можно ожидать их уменьшения примерно на 10.4%.2

Задача 4.17 ([31]) Производственная компания в среднем 2 раза в годтерпит убытки от непредвиденных аварий. Индивидуальный убыток при-нимает значения 1, 2 или 3 с вероятностями 1/3 каждое.

Для защиты от этих потерь компания заключила договор страхова-ния чрезмерных потерь, в соответствии с которым страховщик покры-вает все потери, превышающие собственное удержание страхователя вразмере 2 (в год).

Подсчитайте ожидаемые годовые выплаты страховщика по этому до-говору, предполагая, что число страховых случаев в год распределено позакону Пуассона.


Решение задачи Пусть ν – число аварий за год, Y1, . . . , Yν – величиныиндивидуальных потерь, S = Y1 + · · ·+ Yν – суммарные потери за один год.

Производящая функция случайной величины S есть

G(z) ≡ EzS = eλg(z)−λ,

где

λ ≡ Eν = 2,

g(z) ≡ EzYi =z + z2 + z3

3.


ES = Eν · EY = 2 · 2 = 4.

Кроме того, по формуле полной вероятности:

P (S = 0) = P (ν = 0) = e−2,

P (S = 1) = P (ν = 1) · P (Y1 = 1) =23e−2.

По условиям договора, страховая компания покрывает только превы-шение потерь над собственным удержанием страхователя (в размере 2), т.е.выплаты страховой компании даются формулой:

S′ ={

0, если S ≤ 2,S − 2, если S > 2.

Значит,

ES′ =+∞∑n=2

(n− 2)P (S = n)

=+∞∑n=0

(n− 2)P (S = n)−1∑

n=0

(n− 2)P (S = n)

= ES − 2 + 2 · P (S = 0) + 1 · P (S = 1)

= 4− 2 + (2 +23)e−2

≈ 2.3609.

2

Задача 4.18 ([19]) Для составного распределения Пуассона, которое опи-сывает суммарные выплаты страховой компании, известно, что:

1. λ = 2;


2. страховые возмещения могут равняться только 1, 2 или 3;

3. ES = 4.6;

4. V arS = 11.8.

Подсчитайте P (S = 3).

(A) 0.17

(B) 0.20

(C) 0.23

(D) 0.26

(E) 0.29

Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, π(z) = Ezν =eλ(z−1) – производящая функция числа страховых случаев, Y1, Y2, . . . , Yν

– размеры потерь для соответствующих страховых случаев, g(z) = EzYi

– производящая функция величины ущерба при наступлении страховогослучая (поскольку случайные величины Yi одинаково распределены, g(z)не зависит от номера i страхового случая).

Тогда для производящей функции G(z) = EzS суммарных потерь S =Y1 + ... + Yν мы имеем:

G(z) = EzY1+...+Yν

=∞∑

n=0

E(zY1+...+Yν |ν = n) P (ν = n)

=∞∑

n=0

E(zY1+...+Yn |ν = n) P (ν = n)

=∞∑

n=0

(g(z))nP (ν = n)

= Eg(z)ν = eλ(g(z)−1).


G′(z) = eλ(g(z)−1) · λg′(z),G′′(z) = eλ(g(z)−1) · (λg′(z))2 + eλ(g(z)−1) · λg′′(z).

Полагая здесь z = 1, мы получим:

ES = G′(1) = λg′(1) = λEYi,

ES2 = G′′(1) + G′(1) = (λg′(1))2 + λg′′(1) + λg′(1)= (λEYi)2 + λEY 2

i ,


откудаV arS = ES2 − (ES)2 = λEY 2

i .

Мы знаем, что λ = 2, ES = 4.6, V arS = 11.8. Поэтому из полученныхформул немедленно следует, что EYi = 2.3, EY 2

i = 5.9.В рассматриваемом случае случайные величины Yi принимают только

три значения 1, 2, 3; пусть p1, p2, p3 – соответствующие вероятности. Тогда

EYi = p1 + 2p2 + 3p3,

EY 2i = p1 + 4p2 + 9p3.

Таким образом, для вероятностей p1, p2, p3 верны уравнения:

p1 + 2p2 + 3p3 = 2.3,

p1 + 4p2 + 9p3 = 5.9.

Кроме того, для этих вероятностей верно очевидное соотношение

p1 + p2 + p3 = 1.

Решая эту систему трех уравнений с тремя неизвестными, мы получим:

p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.5.

Теперь вернемся назад, к полученной формуле для производящей функ-ции G(z) суммарных потерь. Поскольку производящая функция величиныиндивидуальных потерь g(z) есть

g(z) = p1z + p2z2 + p3z

3

= 0.2z + 0.3z2 + 0.5z3

= 0.1z(2 + 3z + 5z2),

производящая функция величины суммарных потерь примет вид

G(z) = e0.2z(2+3z+5z2)−2.

Раскладывая экспоненту в ряд, мы получим следующее разложение в рядпо степеням z для функции G(z) (имея в виду решаемую задачу, мы огра-ничиваемся членами не выше z3):

G(z) = e−2 ·(

1 + 0.4z + 0.68z2 +3.752

3z3 + . . .

).

Отсюда

P (S = 3) =3.752

3e−2 ≈ 0.16926,

и поэтому верным является вариант (A).2


Задача 4.19 ([28]) Число несчастных случаев на заводе в течение годаимеет распределение Пуассона со средним 12. Число пострадавших в ре-зультате несчастного случая может быть равно 1, 2 или 3 с вероятно-стями 1/2, 1/3 или 1/6 соответственно.

Подсчитайте дисперсию общего числа пострадавших в результате несчаст-ных случаев в течение года.

Решение задачи Общее число пострадавших в результате несчастныхслучаев, S, можно представить в виде:

S = Y1 + ... + Yν ,

где ν – число несчастных случаев в течение года, Y1, Y2, . . . , Yν – числопострадавших в результате соответствующих несчастных случаев.

Следовательно, случайная величина S имеет составное пуассоновскоераспределение, и, как мы установили при решении задач 4.7, 4.8, 4.18, еедисперсия может быть подсчитана по формуле:

V arS = λ · EY 2i .

В нашем случае λ = 12, а

EY 2i = 12 · 1

2+ 22 · 1

3+ 32 · 1

6=

103

,

так что V arS = 40.2

Задача 4.20 ([32]) Число страховых случаев в модели коллективного рис-ка распределено по закону Пуассона со средним λ = 10, а величина стра-хового возмещения после наступления страхового случая равна 1 или 2 сравными вероятностями (так что средняя тяжесть страхового случаяравна 1.5).

Для упрощения расчетов актуарий решил использовать более простуюмодель, предположив, что величина страхового возмещения после наступ-ления страхового случая не является случайной, а равна в точности 1.5.

Найдите коэффициент корреляции между размерами суммарных по-терь в исходной и аппроксимирующей моделях.

Решение задачи Пусть

S = Y1 + · · ·+ Yν ,

S′ = 1.5 · ν

– размеры суммарных потерь в исходной и аппроксимирующей моделяхсоответственно.


Коэффициент корреляции ρ между случайными величинами S и S′ опре-деляется как отношение

E (S · S′)− ES · ES′√V arS · V arS′

.

Величины ES, ES′, V arS, V arS′ находятся без труда с помощью общихформул для составного распределения Пуассона:

ES = λEY = 10 · 1.5 = 15,

ES′ = λ · 1.5 = 15,

V arS = λ · EY 2 = 10 · 12 + 22

2= 25,

V arS′ = λ · 1.52 = 22.5.

Подсчет E (S · S′) потребует немного больше усилий:

E (S · S′) = E

(1.5ν

ν∑

i=1

Yi

)

=+∞∑n=0

P (ν = n) · E(

1.5ν

ν∑

i=1

Yi

∣∣∣∣∣ ν = n

)

=+∞∑n=0

P (ν = n) · E(

1.5n

n∑

i=1

Yi

)

=+∞∑n=0

P (ν = n) · 1.5n · (1.5n)

= 2.25+∞∑n=0

n2P (ν = n)

= 2.25Eν2 = 2.25 · (λ + λ2)

= 247.5.

Таким образом,

ρ =247.5− 15 · 15√

25 · 22.5=√

0.9 ≈ 0.95.

2

Задача 4.21 ([28]) Страховая компания застраховала большой парк ав-томобилей. Известно, что суммарные выплаты по этому портфелю втечение месяца описываются составным распределением Пуассона; сред-нее число страховых случаев в течение месяца равно λ = 20, а страховоевозмещение по одному заявленному случаю характеризуется экспоненци-альным распределением со средним значением s = 200.

Чтобы уменьшить стоимость страхового покрытия, компания пред-лагает


1. не страховать определенные марки автомобилей, что позволит сни-зить частоту наступления страховых случаев на 20%;

2. ввести простой вычет в размере 100 по каждому страховому слу-чаю.

Подсчитайте ожидаемые выплаты по портфелю до и после внесения этихизменений в условия страхования.

Решение задачи Ожидаемые выплаты по портфелю до внесения из-менений равны

ES = λ · s = 4000.

После внесения изменений ожидаемое число страховых случаев в месяцуменьшится до 16. При этом естественно считать, что распределение числастраховых случаев останется пуассоновским.

Кроме того, введение вычета приведет к тому, что из наступивших стра-ховых случаев будут заявлены лишь те, для которых потери больше 100;доля этих случаев равна

P (Y > 100) = e−100200 = e−

12 ≈ 0.606531.

Таким образом, после внесения изменений ожидаемое число заявленныхстраховых случаев в месяц будет равно

λ′ = 16 · e− 12 ≈ 9.7045.

При этом естественно считать, что распределение числа страховых случаевостанется пуассоновским.

В силу свойства отсутствия памяти у экспоненциального распределения,статистические свойства тяжести страхового случая после внесения изме-нений не изменятся.

Поэтому, ожидаемые выплаты по портфелю после внесения измененийбудут равны

ES′ = λ′ · s ≈ 1941.

2

Задача 4.22 ([30]) Для некоторого вида договоров относительно числастраховых случаев в течение года по одному договору, ν, известно, что

P (ν = 0) =12,

P (ν = 1) =13,

P (ν > 1) =16.


Пусть X – суммарное страховое возмещение за один год по одному дого-вору. Если ν = 1, то X имеет экспонециальное распределение со средним5, а если ν > 1, то X имеет экспонециальное распределение со средним 8.

Найдите P (4 < X < 8).

Решение задачи По формуле полной вероятности,

P (4 < X < 8) = P (ν = 1) · P (4 < X < 8|ν = 1)+ P (ν > 1) · P (4 < X < 8|ν > 1).

Далее,

P (4 < X < 8|ν = 1) = P (X > 4|ν = 1)− P (X > 8|ν = 1)

= e−45 − e−

85 ,

P (4 < X < 8|ν > 1) = P (X > 4|ν > 1)− P (X > 8|ν > 1)

= e−48 − e−

88 .

Поэтому

P (4 < X < 8) =13·(e−

45 − e−

85

)+

16·(e−

48 − e−

88

)≈ 0.122253.

2

Задача 4.23 ([19]) Для договора медицинского страхования страховыеслучаи, связанные с обычными заболеваниями и стоматологическими про-блемами, описываются независимыми составными распределениями Пуас-сона с характеристиками, приведенными в таблице 4.17.

Таблица 4.17:Характер Распределение величины λ

заболевания медицинских расходов

Обычное Равномерное на (0,1000) 2

Стоматологическое Равномерное на (0,200) 3

По условиям договора, если медицинские расходы по некоторому стра-ховому случаю меньше, чем 100, то их полностью оплачивает застрахо-ванный. Если же эти расходы больше, чем 100, то застрахованный опла-чивает первые 100, а страховая компания оплачивает оставшуюся часть.

Подсчитайте среднее значение одного страхового возмещения.

(A) 161

(B) 167


(C) 172

(D) 177

(E) 183

Решение задачи Рассмотрим вначале следующую общую ситуацию.Предположим, что случайные величины S1, S2, . . . – независимы и име-

ют составное пуассоновское распределение с параметрами λ1, F1(x); λ2, F2(x); . . .соответственно. Предположим, далее, что ряд

∑∞i=1 λi сходится; это условие

заведомо выполнено, если число слагаемых конечно. Найдем распределениесуммы S = S1 + S2 + . . . .

Обозначим через

ψi(s) =∫ ∞

0

e−sxdFi(x)

преобразование Лапласа–Стилтьеса функции Fi(x) и подсчитаем преобра-зование Лапласа величины S:

Ψ(s) ≡ E exp(−sS) = E exp

(−s

∞∑

i=1

Si

)

=∞∏

i=1

E exp (−sSi)

=∞∏

i=1

exp (λiψi(s)− λi)

= exp

( ∞∑

i=1

λiψi(s)−∞∑

i=1

λi

)

= exp

(λ

∞∑

i=1

λi

λψi(s)− λ

),

где

λ =∞∑

i=1

λi.

Функция

ψ(s) =∞∑

i=1

λi

λψi(s)

может рассматриваться как преобразование Лапласа–Стилтьеса функциираспределения F (x), задаваемой формулой

F (x) =∞∑

i=1

λi

λFi(x).


Действительно,

∫ ∞

0

e−sxdF (x) =∞∑

i=1

∫ ∞

0

e−sxd

(λi

λFi(x)

)

=∞∑

i=1

λi

λ

∫ ∞

0

e−sxdFi(x)

=∞∑

i=1

λi

λψi(s) = ψ(s).

ПоэтомуΨ(s) = exp{λψ(s)− λ}.

Это означает, что величина S имеет составное пуассоновское распределениес параметрами λ и F (x).

Доказанное свойство следующим образом можно интерпретировать втерминах модели коллективного риска.

Предположим, что мы имеем несколько независимых групп договоровстрахования; наступление страховых случаев от i−й группы за анализиру-емый промежуток времени описывается пуассоновской величиной со сред-ним λi, а величина страхового возмещения имеет распределение Fi(x). То-гда, если мы объединим все договора в один портфель, то наступление стра-ховых случаев от этого суммарного портфеля будет характеризоваться рас-пределением Пуассона со средним λ = λ1 + λ2 + ..., а величина страховоговозмещения будет иметь распределение F (x), являющееся средним с весамиλi/λ значением распределений Fi(x).

Применяя этот общий результат к нашей задаче, мы можем сказать,что распределение числа страховых случаев по рассматриваемому договоруявляется пуассоновским со средним λ = 2+3 = 5, а распределение величинымедицинских расходов Y после наступления страхового случая являетсясмесью с весами 2/5 и 3/5 равномерных распределений на (0, 1000) и (0, 200)соответственно. Поэтому плотность случайной величины Y есть

fY (x) =

0, если x < 0,

175000 , если 0 < x < 200,

25000 , если 200 < x < 1000,

0, если x > 1000.

Размер страхового возмещения B после наступления страхового случая свя-зан с величиной медицинских расходов Y соотношением:

B ={

0, если Y ≤ 100,Y − 100, если Y > 100.


Поэтому искомая величина равна

EB =∫ 1000

100

(x− 100)fY (x)dx

=∫ 200

100

(x− 100)fY (x)dx +∫ 1000

200

(x− 100)fY (x)dx

=17

5000

∫ 200

100

(x− 100)dx +2

5000

∫ 1000

200

(x− 100)dx

= 17 + 160 = 177,


Задача 4.24 ([31]) Число страховых случаев за определенный промежу-ток времени имеет распределение Пуассона со средним 3000. Страховыеслучаи бывают двух видов; вероятность того, что страховой случай име-ет тип 1 равна 1/3, а размер ущерба после наступления страхового случаяпервого типа равен ровно 10.

Найдите дисперсию суммарных потерь, связанных со страховыми слу-чаями второго типа, если дисперсия суммарных потерь равна 2 100 000.Вид конкретного страхового случая не зависит от вида других страховыхслучаев, числа страховых случаев и размеров индивидуальных потерь.

Решение задачи Пусть ν1 и ν2 – число страховых случаев первого ивторого типа соответственно. В силу условия задачи эти случайные вели-чины независимы и распределены по закону Пуассона со средними

λ1 ≡ Eν1 =13· 3000 = 1000,

λ2 ≡ Eν2 =23· 3000 = 2000

соответственно.Суммарные потери S можно рассматривать как сумму S1 + S2, где

S1 =ν1∑

n=1

Y ′n,

S2 =ν2∑

n=1

Y ′′n

– суммарные потери, связанные со страховыми случаями первого и второ-го типа соответственно (Y ′

n и Y ′′n – размеры индивидуальных потерь для

страховых случаев первого и второго типа соответственно).


Поскольку случайные величины S1 и S2 – независимы и имееют состав-ное пуассоновское распределение,

V arS = V arS1 + V arS2

= λ1 · E(Y ′n)2 + V arS2

= 1000 · 100 + V arS2,

откудаV arS2 = 2 100 000− 100 000 = 2 000 000.

2

Задача 4.25 ([18]) Портфель договоров страховой компании, занимаю-щейся страхованием автомобилей, можно разбить на две группы. Длякаждой группы размер страхового возмещения после наступления стра-хового случая равномерно распределен на некотором интервале (a, b). Ха-рактеристики групп приведены в таблице 4.18.

Таблица 4.18:Группа Число Вероятность Параметры

договоров наступления a bв группе страхового случая

1 1000 α 100 20002 4000 0.1 500 5000

Распределение суммарных потерь в каждой группе приближено с помо-щью составного пуассоновского распределения; при этом ожидаемое числостраховых случаев, а также распределение размера страхового возмеще-ния после наступления страхового случая, в исходной модели индивиду-ального риска и в аппроксимирующей модели коллективного риска одно ито же.

Использование аппроксимирующей модели дает для вероятности то-го, что размер страхового возмещения лежит на интервале (1000, 2000),значение 0.32.

Определите значение параметра α.

(A) 0.15

(B) 0.17

(C) 0.19

(D) 0.21


(E) 0.23

Решение задачи Среднее число страховых случаев в первой груп-пе равно λ1 ≡ 1000 · α. Поэтому распределение суммарных потерь в пер-вой группе является составным пуассоновским с параметром λ1 и разме-рами страховых возмещений Y

(1)i , которые равномерно распределены на

(100, 2000).Аналогично, распределение общих потерь во второй группе является

составным пуассоновским с параметром λ2 ≡ 4000 · 0.1 = 400 и разме-рами страховых возмещений Y

(2)i , которые равномерно распределены на

(500, 5000).Используя результаты задачи 4.23, можно утверждать, что суммарные

потери по всему портфелю также имеют составное распределение Пуассонас параметром λ = 1000α + 400 и размером страхового возмещения, являю-щимся смесью с весами 1000α

1000α+400 и 4001000α+400 равномерных распределений

на (100, 2000) и (500, 5000) соответственно.Поэтому вероятность P того, что размер страхового возмещения лежит

на интервале (1000, 2000), является такой же смесью аналогичных вероят-ностей для этих равномерных распределений:

P =1000α

1000α + 400P (Y (1)

i ∈ (1000, 2000))

+400

1000α + 400P (Y (2)

i ∈ (1000, 2000)).

Поскольку интервал (1000, 2000) лежит внутри интервала (a, b),

P (Y (1)i ∈ (1000, 2000)) =

2000− 10002000− 100

=1019

,

P (Y (2)i ∈ (1000, 2000)) =

2000− 10005000− 500

=29.

Значит, условие P = 0.32 можно записать в виде:

10α

10α + 4· 1019

+4

10α + 4· 29

= 0.32,

откуда

α =668835280

≈ 0.18957,


Задача 4.26 ([23]) Портфель страховщика состоит из независимых рис-ков, не обладающих последействием.

Эти риски можно разбить на два однородных класса: A и B; в классеA в два раза больше рисков, чем в классе B.


Среднее число страховых случаев в течение года для одного риска изкласса A (B) равно 0.22 (соответственно, 0.11). В течение года по каж-дому риску может наступить только один страховой случай.

Статистические свойства распределения ущерба после наступлениястрахового случая приведены в таблице 4.19.

Таблица 4.19:Размер ущерба Вероятность

класс A класс B

50 000 0.60 0.36100 000 0.40 0.64

Суммарный убыток за два года по наудачу выбранному риску составил100 000. Найдите вероятность того, что этот риск принадлежит классуA.


1. H1={риск принадлежит классу A},

2. H2={риск принадлежит классу B},

3. E={суммарный убыток за два года составил 100 000}.

Интересующая нас вероятность – это P (H1|E). Для ее подсчета будемиспользовать формулу Байеса:

P (H1|E) =P (E|H1)P (H1)

P (E|H1)P (H1) + P (E|H2)P (H2).

Из условия задачи следует, что

P (H1) =23, P (H2) =

13.

Далее, для некоторого фиксированого риска пусть p – вероятность наступ-ления (единственного) страхового случая в течение года, q = 1− p, f1 и f2

– вероятности того, что ущерб после наступления страхового случая равен50 000 и 100 000 соответственно. За два года суммарный убыток величиной100 000 может образоваться только одним из следующих способов:

1. один страховой случай с ущербом 50 000 за первый год и один страхо-вой случай с ущербом 50 000 за второй год (вероятность этого событияравна p2f2

1 );

2. один страховой случай с ущербом 100 000 за первый год и ни одногострахового случая за второй год (вероятность этого события равнаpqf2);


3. ни одного страхового случая за первый год и один страховой случайс ущербом 100 000 за второй год (вероятность этого события равнаpqf2).

Поэтому

P (E|H1) = 0.222 · 0.602 + 2 · 0.22 · 0.78 · 0.40= 0.154704,

P (E|H2) = 0.112 · 0.362 + 2 · 0.11 · 0.89 · 0.64= 0.12688016.

Теперь по формуле Байеса имеем:

P (H1|E) =0.154704 · 2

3

0.154704 · 23 + 0.12688016 · 1

3

≈ 0.7092.

2

Задача 4.27 В соответствии с договором группового страхования стра-ховщик покрывает расходы на лечение заболевших сотрудников большогопредприятия.

В ходе предварительного медицинского обследования было установлено,что сотрудников можно разбить на L групп в соответствии с уровнемих здоровья; доля сотрудников с уровнем здоровья l равна hl. Для каждогосотрудника число случаев заболевания в течение года имеет распределениеПуассона, параметр λ которого зависит от уровня l здоровья сотрудника:

λ = λl, l = 1, . . . , L.

Расходы на лечение заболевшего сотрудника с уровнем здоровья l имеютэкспоненциальное распределение со средним al и не зависят от того, на-сколько часто он болеет, а также от расходов на лечение по другим слу-чаям заболеваний.

Наудачу выбранный сотрудник предприятия за прошедший год болел nраз; при этом расходы на его лечение составили x1, . . . , xn.

Подсчитайте ожидаемые расходы на его лечение в следующем году.Рассмотрите следующий частный случай [23]:

1. L = 2 уровня здоровья (”хорошее” и ”плохое”), h1 = 0.5, h2 = 0.5(ровно половина сотрудников имеет ”хорошее” здоровье);

2. сотрудник с ”хорошим” здоровьем болеет в среднем λ1 = 1 раз в год,а с ”плохим” – λ2 = 3 раза;

3. расходы на лечение заболевшего сотрудника с ”хорошим” (”плохим”)здоровьем имеют экспоненциальное распределение со средним a1 = 1(a2 = 3 соответственно);


4. наудачу выбранный сотрудник предприятия за прошедший год болелn = 2 раза; при этом расходы на лечение составили x1 = 1 и x2 = 3соответственно.

Решение задачи Пусть H – уровень здоровья сотрудника, ν – числослучаев заболевания сотрудника в течение года, Y1, . . . , Yν – соответствую-щие расходы на лечение.

Используя формулу Байеса, подсчитаем апостеорную вероятность того,что уровень здоровья рассматриваемого сотрудника равен k. По определе-нию,

P (H = k|ν = n, Yi = xi, i = 1, . . . , n)= lim

dx1 → 0· · ·

dxn → 0

P (H = k|ν = n, Yi ∈ (xi, xi + dxi), i = 1, . . . , n) .

По формуле Байеса вероятность под знаком предела,

P (H = k|ν = n, Yi ∈ (xi, xi + dxi), i = 1, . . . , n) ,

равна дроби

P (ν = n, Yi ∈ (xi, xi + dxi), i = 1, . . . , n|H = k)P (H = k)∑Ll=1 P (ν = n, Yi ∈ (xi, xi + dxi), i = 1, . . . , n|H = l)P (H = l)

.

Но (с точностью до бесконечно малой высшего порядка),

P (ν = n, Yi ∈ (xi, xi + dxi), i = 1, . . . , n|H = l)

=λn

l

n!e−λl

1al

e−x1/aldx1 · · · 1al

e−xn/aldxn

=λn

l

n!e−λl

1an

l

e−(x1+···+xn)/aldx1 · · · dxn.

Поэтому апостеорная вероятность того, что сотрудник имеет здоровьеуровня k, равна

h∗k =λn

ke−λk 1an

ke−(x1+···+xn)/ak · hk

∑Ll=1 λn

l e−λl 1an

le−(x1+···+xn)/al · hl

.

При условии, что сотрудник имеет здоровье уровня k, ожидаемые расходына его лечение в следующем году равны произведению ожидаемого числазаболеваний, λk, на средние расходы на лечение одного заболевания, ak.

Поэтому ожидаемые расходы на лечение рассматриваемого сотрудника


в следующем году равны

L∑

k=1

λkakh∗k

=

∑Lk=1 λkakλn

ke−λk 1an

ke−(x1+···+xn)/ak · hk

∑Ll=1 λn

l e−λl 1an

le−(x1+···+xn)/al · hl

.

Отметим, что эта величина зависит от расходов на лечение только черезсуммарные годовые расходы s = x1 + · · ·+ xn.

В описанном частном случае,

h∗1 =12

2! e−1 1

12 e−4/1 · 0.512

2! e−1 1

12 e−4/1 · 0.5 + 32

2! e−3 1

32 e−4/3 · 0.5

=1

1 + e2/3≈ 0.33924,

h∗2 = 1− h∗1 =e2/3

1 + e2/3≈ 0.66076,

так что ожидаемые расходы на лечение рассматриваемого сотрудника вследующем году равны примерно

1 · 1 · 0.33924 + 3 · 3 · 0.66076 ≈ 6.286.

2

Задача 4.28 ([18]) Случайная величина S1 имеет составное пуассонов-ское распределение с параметром λ1 = 4 и следующим распределением сла-гаемых Y

(1)i :

P (Y (1)i = 1) = 2P (Y (1)

i = 2) = 3P (Y (1)i = 3) = 6/11.

Случайная величина S2 имеет составное пуассоновское распределение спараметром λ2 = 2 и следующим распределением слагаемых Y

(2)i :

P (Y (2)i = 1) = 3P (Y (2)

i = 2) = 3/4.

Величины S1 и S2 – независимы. Подсчитайте вероятность того, чтоS ≡ 2S1 + 4S2 равняется 4.

Решение задачи Прежде всего отметим, что для случайных величинS1, S2 слагаемые Y

(1)i , Y

(2)i имеют следующие распределения:

P (Y (1)i = 1) = 6

11 , P (Y (1)i = 2) = 3

11 , P (Y (1)i = 3) = 2

11 ,

P (Y (2)i = 1) = 3

4 , P (Y (2)i = 2) = 1

4 .


Поэтому соответствующие производящие функции даются формулами:

g1(z) = EzY(1)

i =111

(6z + 3z2 + 2z3),

g2(z) = EzY(2)

i =14(3z + z2).

Используя результаты задачи 4.18, для производящих функций случайныхвеличин S1, S2 имеем:

G1(z) ≡ EzS1 = exp (λ1g1(z)− λ1)

= exp(

411

(6z + 3z2 + 2z3)− 4)

,

G2(z) ≡ EzS2 = exp (λ2g2(z)− λ2)

= exp(

12(3z + z2)− 2

).

Теперь мы можем найти производящую функцию суммы S ≡ 2S1 + 4S2:

G(z) ≡ EzS = Ez2S1+4S2 = E(z2

)S1 · E (z4

)S2

= G1

(z2

) ·G2

(z4

)

= exp(

2411

z2 +5722

z4 +811

z6 +12z8 − 6

). (4.1)

Искомая вероятность может быть найдена как коэффициент при z4 в раз-ложении G(z) в ряд по степеням z. Ясно, что для получения искомого ко-эффициента достаточно взять три первых члена в разложении экспоненты:

G(z) = e−6 + e−6

(2411

z2 +5722

z4 +811

z6 +12z8

)

+ e−6

(2411z2 + 57

22z4 + 811z6 + 1

2z8)2

2+ . . .

= e−6

(1 +

2411

z2 +1203242

z4 + . . .

).

Поэтому

P (S = 4) =1203242

e−6 ≈ 0.0123.

Еще один способ подсчета вероятности P (S = 4) заключается в следую-щем.

Перепишем формулу (4.1) для производящей функции G(z) в виде:

G(z) = eλg(z)−λ, (4.2)

где

λ = 6, g(z) =411

z2 +1944

z4 +433

z6 +112

z8.


Функцию g(z) можно рассматривать как производящую функцию следую-щего дискретного распределения:

pn =

411 , если n = 2,

1944 , если n = 4,

433 , если n = 6,

112 , если n = 8,

0, если n 6= 2, 4, 6, 8.

Используя результаты задачи 4.18, можно утверждать, что случайная ве-личина S имеет составное пуассоновское распределение с параметром λ = 6и распределением индивидуальных потерь pn, приведенным выше.

Для точного расчета распределения Pn ≡ P (S = n) составной пуассо-новской величины S с дискретным распределением pn величины индиви-дуальных потерь самым эффективным является использование следующейрекуррентной формулы:

Pn =λ

n

n∑

i=1

ipiPn−i. (4.3)

Начальное условие имеет вид:

P0 = e−λ. (4.4)

Для доказательства этой формулы продифференцируем почленно фор-мулу (4.2) для производящей функции G(z) и умножим результат на z:

zG′(z) = λzg′(z) ·G(z). (4.5)

Функция zG′(z) равна∑∞

n=0 nznPn и поэтому может рассматриватьсякак производящая функция последовательности nP (n). Аналогично, λzg′(z)является производящей функцией последовательности λnpn. Поскольку про-изведение производящих функций любых последовательностей являетсяпроизводящей функцией свертки этих последовательностей, λzg′(z) · G(z)является производящей функцией последовательности

λ

n∑

i=1

ipiPn−i.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частяхсоотношения (4.5), мы получим:

nP (n) = λ

n∑

i=1

ipiPn−i,


что немедленно влечет рекуррентное соотношение (4.3).Поскольку слагаемые Yi строго положительны, сумма S = Y1 + · · ·+ Yν

может равняться 0, если только ν = 0. Иначе говоря, P (S = 0) = P (ν = 0).Это влечет начальное условие (4.4).

Применительно к рассматриваемой задаче мы имеем следующую цепоч-ку рекуррентных формул:

P0 = e−λ = e−6,

P1 = λp1P0 = 0,

P2 =λ

2(p1P1 + 2p2P0) = λp2P0 =

2411

e−6,

P3 =λ

3(p1P2 + 2p2P1 + 3p3P0) = 0,

P4 =λ

4(p1P3 + 2p2P2 + 3p3P1 + 4p4P0)

=λ

4(2p2P2 + 4p4P0)

=1203242

e−6.

Рекуррентное соотношение (4.3) особенно удобно для численных расчетовна компьютере. 2

Задача 4.29 ([18]) Страховщик получил уведомления о наступлении 100страховых случаев двух видов. Информация о заявленных убытках приве-дена в таблице 4.20. Случайная величина ν имеет биномиальное распре-

Таблица 4.20:Тип Число Среднее значение Дисперсия

страхового страховых страхового страховогослучая случаев возмещения возмещения

1 ν 1 22 100− ν 2 5

деление с параметрами N = 100 и p = 0.5. Индивидуальные потери и νвзаимно независимы.

Определите дисперсию величины суммарных потерь.

(A) 300

(B) 325

(C) 350

(D) 375


(E) 400

Решение задачи Обозначим через X1, . . . , Xν , Y1, . . . , YN−ν размерыстраховых возмещений по ν страховым случаям первого типа и N −ν стра-ховым случаям второго типа. Пусть

a(s) = Ee−sXi , b(s) = Ee−sYi

– соответствующие преобразования Лапласа.Теперь для преобразования Лапласа величины суммарных потерь мы

имеем:

Ee−sS = Ee−s(X1+···+Xν+Y1+···+YN−ν)

=N∑

n=0

P (ν = n)(Ee−sXi

)n (Ee−sYi

)N−n

=N∑

n=0

(N

n

)pnqN−n(a(s))n(b(s))N−n

= (pa(s) + qb(s))N.

Отсюда дифференцированием по s в точке s = 0 можно получить сред-нее значение суммарных потерь:

ES = −((pa(s) + qb(s))N

)′∣∣∣∣s=0

= −N (pa(s) + qb(s))N−1 · (pa′(s) + qb′(s))∣∣∣s=0

= N · (pEXi + qEYi) = 100 · (0.5 · 1 + 0.5 · 2) = 150.


ES2 = N(N − 1) · (pEXi + qEYi)2 + N · (pEX2i + qEY 2

i )= 22 875.

ПоэтомуV arS = ES2 − (ES)2 = 375,


Глава 5

Динамические моделиразорения

Динамические модели отличаются от статических тем, что в них события раз-ворачиваются во времени. Простейшая модель такого рода включает толькодва процесса: процесс поступления премий и процесс выплаты страховых воз-мещений. Эти два процесса протекают в разных масштабах времени и имеютразные масштабы измерения. Премии поступают гораздо чаще, чем наступа-ют страховые случаи, и при этом величина премии намного меньше величиныубытков. Поэтому, если в качестве основного рассматривать процесс наступ-ления страховых случаев, то в масштабах этого процесса поступление премийможно мыслить как непрерывный детерминированный процесс.

В простейшем случае поступление премий характеризуется одним парамет-ром – скоростью поступления средств, которую мы обозначим c. Это означает,что если в некоторый момент времени t компания имела активы ut и до мо-мента t+h страховые случаи не наступали, то активы компании в момент t+hбудут равны ut+h = ut + ch. Отметим, что в этом рассуждении игнорируютсятакие важные факторы, как инвестиционный доход и инфляция.

В качестве простейшей модели процесса наступления страховых случаевберется пуассоновский процесс; пусть λ – интенсивность этого процесса. Обо-значим через Tn момент наступления n-го страхового случая, τn = Tn−Tn−1 –интервал между n-м и (n− 1)-м страховыми случаями (T0 условимся считатьравным нулю).

В нашей простейшей модели предполагается, что страховое возмещениевыплачивается немедленно после наступления страхового случая. Величиныпоследовательных страховых возмещений Y1, Y2, . . . считаются независимымии одинаково распределенными случайными величинами, которые, кроме того,не зависят от процесса наступления страховых случаев T1, T2, . . . .

Теперь изменение во времени активов компании можно описать следую-

187


щим образом. В момент t = 0 компания имеет некоторые начальные ак-тивы u0 = u. К моменту T1 = τ1 наступления первого страхового случаяактивы вырастут (за счет поступления премий) до величины u + cτ1. Одна-ко, в момент T1 страховая компания оплатит убытки величиной Y1 и активыуменьшатся до величины u + cτ1 − Y1. К моменту T2 наступления второгострахового случая активы увеличатся на сумму c(T2 − T1) = cτ2 и составятu + cτ1 − Y1 + cτ2 = u + c(τ1 + τ2) − Y1. В момент T2 оплачивается убытоквеличиной Y2 и активы уменьшаются до величины u + c(τ1 + τ2)− (Y1 + Y2).

Этот процесс продолжается до бесконечности, если только в момент на-ступления некоторого страхового случая средств компании не хватит, чтобыоплатить убытки. В этом случае мы говорим о разорении компании. Итак, врамках описываемой модели компания не разорится, если

u + cTn − (Y1 + · · ·+ Yn) ≥ 0, n = 1, 2, . . . .

Если же

u + cτ1 − Y1 ≥ 0,

u + c(τ1 + τ2)− (Y1 + Y2) ≥ 0,

.......................

u + c(τ1 + · · ·+ τn−1)− (Y1 + · · ·+ Yn−1) ≥ 0,

ноu + c(τ1 + · · ·+ τn)− (Y1 + · · ·+ Yn) < 0,

то в момент Tn наступления n−го страхового случая компания разорится.Основной характеристикой этой модели является вероятность разорения

R = R(u).За единицу времени наступает в среднем λ страховых случаев, что при-

водит к выплате в виде страховых возмещений в среднем суммы λm, гдеm = EYi. С другой стороны, за это же время компания получит в виде премийсумму c. Эта сумма должна равняться "нагруженной"средней сумме выплат:

c = (1 + θ)λm,

где θ – относительная защитная надбавка. Поэтому c обязательно должнобыть больше, чем λm.

Основные теоретические результаты для описанной модели заключаютсяв следующем:

1. Преобразование Лапласа вероятности разорения (как функции началь-ных активов страховой компании), дается формулой:

ρ(s) ≡∫ +∞

0

e−suR(u)du =1− ϕ(s)−ms

s(1− ϕ(s)− (1 + θ)ms), (5.1)

где ϕ(s) = Ee−sYi – преобразование Лапласа величины индивидуальныхпотерь; m = EYi – среднее значение величины индивидуальных потерь;θ = c−λm

λm – относительная защитная надбавка.


2. Вероятность разорения удовлетворяет неравенству Лундберга:

R(u) ≤ e−ru. (5.2)

Здесь r – так называемый характеристический коэффициент, которыйопределяется как положительное решение характеристического урав-нения (относительно z): 1

ψ(z) = 1 + (1 + θ)mz, (5.3)

где ψ(z) = ϕ(−z) = EezYi – производящая функция моментов величиныиндивидуальных потерь.

3. При u → +∞ верна асимптотика Крамера-Лундберга:

R(u) ∼ θm

ψ′(r)− (1 + θ)me−ru. (5.4)

Имея в виду неравенство Лундберга и асимптотику Крамера-Лундберга,можно сказать, что вероятность разорения мала, если характеристический ко-эффициент r большой. Иными словами, характеристический коэффициент r,который включает в себя основные параметры модели (интенсивность наступ-ления страховых случаев λ, распределение величин индивидуальных потерьYi, скорость поступления премий c), является интегральной характеристикойфинансовой безопасности компании. По этой причине многие задачи квалифи-кационных экзаменов Общества актуариев (США) связаны с этим понятием.

Задача 5.1 ([19]) Страховая компания имеет начальные активы 1 и порт-фель договоров, который может привести самое большее к одному стра-ховому случаю.


1. величина ущерба (при наступлении страхового случая) равна 5;

2. вероятность того, что страховой случай произойдет, равна 13 ;

3. время наступления страхового случая (при условии, что он действи-тельно наступил) задается следующей формулой для плотности

f(t) = 2t−3, t > 1.

Премия платится непрерывно со скоростью 3.Подсчитайте вероятность разорения.

1Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение можно записать и в видеλψ(z) = λ + cz.


(A) 0.03

(B) 0.06

(C) 0.09

(D) 0.12

(E) 0.15

Решение задачи Если единственный возможный страховой случай ненаступит (вероятность этого события равна 2

3 ), то компания, конечно, неразорится никогда.

Если же единственный возможный страховой случай наступит (вероят-ность этого события равна 1

3 ), то компания, разорится или нет в зависимо-сти от того, меньше или нет ее активы в момент T наступления страховогослучая, чем величина ущерба (которая равна в точности 5). Поскольку кмоменту T активы компании будут равны 1+3T , компания разорится, если1 + 3T < 5.

Таким образом, вероятность разорения P есть:

P =13P (1 + 3T < 5) =

13P

(T <

43

),

и задача сводится к расчету функции распределения случайной величиныT (в точке 4

3 ). Эта функция может быть легко подсчитана:

P (T < t) =∫ t

1

2u3

du = −u−2∣∣t1

= 1− 1t2

, t ≥ 1,

так что

P =13

(1− 1(

43

)2

)=

748≈ 0.1458,


Задача 5.2 ([22]) Для того чтобы застраховать одно предприятие, бы-ла организована специальная страховая компания. Риск заключается вединственном возможном страховом случае. Известно, что

1. величина ущерба (при наступлении страхового случая) имеет следу-ющее распределение:

Сумма Вероятность

100 0.60200 0.40


2. вероятность того, что страховой случай не произойдет до моментаt, равна 1

1+t ,

3. активы страховщика в момент t даются формулой U(t) = 60+20t−S(t), где S(t) – суммарные выплаты к моменту t,

4. страховое возмещение выплачивается немедленно.

Подсчитайте вероятность разорения страховой компании.

(A) 47

(B) 35

(C) 23

(D) 34

(E) 78

Решение задачи Пусть T – момент наступления страхового случая,Y – величина ущерба после его наступления. По условию задачи случайныевеличины T и Y – независимы,

P (T > t) =1

1 + t,

так что функция распределения величины T есть P (T < t) = t1+t , а плот-

ность fT (t) = 1(1+t)2 ,

P (Y = 100) = 0.60, P (Y = 200) = 0.40.

Обозначая через R событие "компания разорилась", по формуле полнойвероятности имеем

P (R) =∫ +∞

0

P (R | T = t, Y = 100)P (Y = 100)fT (t)dt

+∫ +∞

0

P (R | T = t, Y = 200)P (Y = 200)fT (t)dt

= 0.6∫ +∞

0

I(60 + 20t < 100)fT (t)dt

+ 0.4∫ +∞

0

I(60 + 20t < 200)fT (t)dt

= 0.6∫ +∞

0

I(t < 2)fT (t)dt + 0.4∫ +∞

0

I(t < 7)fT (t)dt

= 0.6∫ 2

0

fT (t)dt + 0.4∫ 7

0

fT (t)dt

= 0.6P (T < 2) + 0.4P (T < 7)

= 0.623

+ 0.478

=34,


и поэтому верным ответом будет (D). 2

Задача 5.3 ([18]) Относительно динамики активов страховой компанииизвестно, что:

1. размеры страховых возмещений взаимно независимы и равномернораспределены на интервале (0, 10);

2. в каждый момент времени 1, 2, 3, . . . происходит в точности одинстраховой случай;

3. в другие моменты времени страховые случаи не наступают;

4. относительная защитная надбавка равна 0.2;

5. премии платятся непрерывно;

6. начальные активы равны 1.

Подсчитайте вероятность разорения в момент 2.

(A) 0.05

(B) 0.06

(C) 0.07

(D) 0.08

(E) 0.09

Решение задачи Каждую единицу времени происходит ровно одинстраховой случай и страховое возмещение в среднем равно 5. Поэтому в еди-ницу времени должна собираться нетто-премия 5. Поскольку относитель-ная защитная надбавка равна 0.2, общий сбор премий в единицу временидолжен быть 1.2 · 5 = 6 (так что скорость поступления средств составляет6).

К моменту 1 активы компании будут равны 1+6=7. Так как компания недолжна разориться в этот момент, страховое возмещение Y1 по страховомуслучаю, наступившему в момент 1, не должно быть больше, чем 7:

Y1 ≤ 7.

После выплаты этого страхового возмещения активы компании будут рав-ны 7 − Y1 и к моменту 2 они вырастут до величины 7 − Y1 + 6 = 13 − Y1.В этот момент наступит второй страховой случай и компания должна бу-дет выплатить страховое возмещение величиной Y2. Компания разорится вмомент 2, если размер этого страхового возмещения больше, чем активыкомпании:

Y2 > 13− Y1.


Рис. 5.1:

6

- x

y

r

r r

r

r

73r

10

10

6 r

D

K

@@

@@

@@

@@

@@@

y = 13− x

Итак, искомая вероятность P равна

P (Y1 ≤ 7, Y2 > 13− Y1).

Проще всего подсчитать эту вероятность геометрически (см. рис. 5.1). Пос-кольку случайные величины Y1 и Y2 независимы и равномерно распределе-ны на интервале (0, 10), точка (Y1, Y2) равномерно распределена на квадрате

K = {(x, y)|0 < x, y < 10}.

Искомая вероятность может рассматриваться как вероятность попада-ния случайной точки (Y1, Y2) в область

D = {(x, y)|0 < x ≤ 7, y > 13− x}.

Поэтому P равняется отношению площадей фигур D и K. Площадь квадра-та K, очевидно, равна 100. Область D, как легко видеть, является равнобед-ренным прямоугольным треугольником с катетами, равными 4, и поэтому


ее площадь равна 8. Таким образом, P = 0.08, т.е. верным является вариант(D). 2

Задача 5.4 ([22]) Для страховой компании с начальными активами 2:

1. суммарные годовые выплаты S имеют следующее распределение:

P (S = 0) = 0.6, P (S = 3) = 0.3, P (S = 8) = 0.1;

2. страховые случаи оплачиваются в конце года;

3. в начале каждого года собирается премия 2;

4. i = 0.08.

Подсчитайте вероятность того, что страховщик не разорится к кон-цу третьего года.

(A) 0.74

(B) 0.77

(C) 0.80

(D) 0.85

(E) 0.86

Решение задачи Проследим динамику активов компании за первыйгод. Расчеты удобно проводить с помощью таблицы 5.1. Отрицательныеактивы в конце первого года в третьем случае (годовые выплаты величины8) означают разорение. Поэтому вероятность разорения в конце первогогода равна 0.1.

Таблица 5.1: Динамика активов компании за первый год(1) активы в конце предыду-

щего года2

(2) вероятность 1(3) годовая премия 2(4) активы в начале года:

(4)=(1)+(3)4

(5) выплаты за год 0 3 8(6) вероятность 0.6 0.3 0.1(7) активы в конце года: (7) =

(4) · (1 + i)− (5)4.32 1.32 -3.68

(8) вероятность: (6) = (2) · (6) 0.6 0.3 0.1


Расчеты для второго года зависят от величины активов в конце первогогода.

Динамика активов компании за второй год для первого сценария разви-тия событий за первый год (выплаты величины 0 с вероятностью сценария0.6) приведена в таблице 5.2. Отрицательные активы в конце второго го-да в третьем случае (годовые выплаты величины 8) означают разорение(вероятность этого события равна 0.06).

Таблица 5.2: Динамика активов компании за второй год; 1-й сценарий дляпервого года

(1) активы в конце предыду-щего года

4.32

(2) вероятность 0.6(3) годовая премия 2(4) активы в начале года:

(4)=(1)+(3)6.32


(4) · (1 + i)− (5)6.8256 3.8256 -1.1744

(8) вероятность: (6) = (2) · (6) 0.36 0.18 0.06

Динамика активов компании за второй год для второго сценария разви-тия событий за первый год (выплаты величины 3 с вероятностью сценария0.3) приведена в таблице 5.3.

Таблица 5.3: Динамика активов компании за второй год; 2-й сценарий дляпервого года


1.32


(4)=(1)+(3)3.32


(4) · (1 + i)− (5)3.5856 0.5856 -4.4144

(8) вероятность: (6) = (2) · (6) 0.18 0.09 0.03

Отрицательные активы в конце второго года в третьем случае (годо-вые выплаты величины 8) означают разорение (вероятность этого событияравна 0.03).

Поэтому общая вероятность разорения в конце второго года равна 0.06+0.03 = 0.09.


Динамика активов компании за третий год (в зависимости от величиныактивов в начале года) приведена в таблицах 5.4, 5.5, 5.6 и 5.7.

Таблица 5.4: Динамика активов компании за третий год; 1-й сценарий длявторого года


6.8256


(4)=(1)+(3)8.8256


(4) · (1 + i)− (5)9.531648 6.531648 1.531648

(8) вероятность: (6) = (2) · (6) 0.216 0.108 0.036



3.8256


(4)=(1)+(3)5.8256


(4) · (1 + i)− (5)6.291648 3.291648 -1.708352

(8) вероятность: (6) = (2) · (6) 0.108 0.054 0.018

Общая вероятность разорения компании в конце третьего года равна0.018 + 0.018 + 0.027 + 0.009 = 0.072.

Следовательно, вероятность разорения за три года есть 0.1 + 0.09 +0.072 = 0.262. Соответственно, вероятность того, что страховая компанияне разорится за три года равна 0.738 и поэтому верным ответом будет (A).

2

Задача 5.5 ([31]) Страховая компания начала операции в момент 0 сначальными активами 3. В начале каждого года она собирает премиив размере 2 и в течение года выплачивает страховые возмещения, об-щий размер которых за год имеет распределение, задаваемое таблицей 5.8.Размеры выплат за различные годы являются независимыми случайными




3.5856


(4)=(1)+(3)5.5856


(4) · (1 + i)− (5)6.032448 3.032448 -1.967552

(8) вероятность: (6) = (2) · (6) 0.108 0.054 0.018



0.5856


(4)=(1)+(3)2.5856


(4) · (1 + i)− (5)2.792448 -0.207552 -5.207552

(8) вероятность: (6) = (2) · (6) 0.054 0.027 0.009

величинами.Если активы компании в конце года больше, чем 3, разница выплачи-

вается акционерам в виде дивидендов (так что активы становятся рав-ными в точности 3).

Если компания не в состоянии произвести страховые выплаты или ееактивы уменьшаются до 0, она разоряется.

Предполагая, что у компании нет административных расходов, а ак-тивы не приносят инвестиционного дохода, найдите вероятность того,что компания не разорится на протяжении трех первых лет.

Решение задачи Пусть un – активы компании в конце n-го года (по-сле выплаты страховых возмещений и дивидендов), Sn – размер страховыхвозмещений, которые должны быть выплачены в течение n-го года. Приэтом будем считать, что если un−1 + 2 ≤ Sn (т.е. компания разоряется втечение n-го года), то un = un+1 = · · · = 0.

При сделанных предположениях последовательность случайных вели-чин un образует цепь Маркова с фазовым пространством {0, 1, 2, 3} (0 –


Таблица 5.8:Сумма Вероятность

0 0.151 0.252 0.404 0.20

поглощающее состояние) и следующей матрицей перехода:

P =

1 0 0 00.2 0.4 0.25 0.150.2 0 0.4 0.40 0.2 0 0.8


1. если un = 0, то в силу сделанного выше предположения на следую-щем, (n + 1)-м, шаге состояние не изменится. Иначе говоря, условноераспределение un+1 при условии, что un = 0, т.е. первая строка мат-рицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 0) = 1,

P (un+1 = 1|un = 0) = 0,

P (un+1 = 2|un = 0) = 0,

P (un+1 = 3|un = 0) = 0.

2. если un = 1, то (за счет собранных премий) в момент n + 0 активыувеличатся до величины 3 (здесь символом n + 0 мы подчеркиваем тообстоятельство, что активы в момент n учитывают премии, поступив-шие в момент n).Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этогособытия равна 0.2), то страховщик не сможет выплатить страховыевозмещения и разорится, т.е. un+1 = 0.Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятностьэтого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце(n+1)-го года активы будут равны 3, 2 или 1 соответственно. В любомслучае дивиденды не выплачиваются и поэтому un+1 = 3, 2 или 1соответственно. Итак, условное распределение un+1 при условии, чтоun = 1, т.е. вторая строка матрицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 1) = 0.2,

P (un+1 = 1|un = 1) = 0.4,

P (un+1 = 2|un = 1) = 0.25,

P (un+1 = 3|un = 1) = 0.15.


3. если un = 2, то (за счет собранных премий) в момент n + 0 активыувеличатся до величины 4.

Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этогособытия равна 0.2), то страховщик выплатит страховые возмещения,но его активы уменьшатся до величины 0, что означает, что un+1 = 0.

Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятностьэтого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце(n+1)-го года активы будут равны 4, 3 или 2 соответственно. В первомслучае будут выплачены дивиденды в размере 1 и активы уменьшатсядо 3. Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 2, т.е.третья строка матрицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 2) = 0.2,

P (un+1 = 1|un = 2) = 0,

P (un+1 = 2|un = 2) = 0.4,

P (un+1 = 3|un = 2) = 0.4.

4. если un = 3, то (за счет собранных премий) в момент n+0 активы уве-личатся до величины 5. Поскольку максимальная страховая выплатаравна 4, в этом случае разорение невозможно, т.е.

P (un+1 = 0|un = 3) = 0.

Если потери в течение (n+1)-го года равны 0, 1 , 2 или 4 (вероятностьэтого события равна 0.15, 0.25, 0.4 или 0.2 соответственно), то в конце(n + 1)-го года активы будут равны 5, 4, 3 или 1 соответственно. Впервом и втором случаях будут выплачены дивиденды в размере 2или 1 соответственно и активы уменьшатся до величины 3.

Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 3, т.е. чет-вертая строка матрицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 3) = 0,

P (un+1 = 1|un = 3) = 0.2,

P (un+1 = 2|un = 3) = 0,

P (un+1 = 3|un = 3) = 0.15 + 0.25 + 0.4 = 0.8.

Начальное распределение цепи un есть:

p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 1.

Распределение состояний цепи в момент 3 может быть получено умно-жением вектора π0 = (0, 0, 0, 1), образованного из начального распределе-ния, на матрицу P 3. Технически удобно последовательно находить векторы


π1 = π0 · P , π2 = π1 · P , π3 = π2 · P :

π1 = (0, 0, 0, 1) ·

1 0 0 00.2 0.4 0.25 0.150.2 0 0.4 0.40 0.2 0 0.8

= (0, 0.2, 0, 0.8),

π2 = (0, 0.2, 0, 0.8) ·

1 0 0 00.2 0.4 0.25 0.150.2 0 0.4 0.40 0.2 0 0.8

= (0.04, 0.24, 0.05, 0.67),

π3 = (0.04, 0.24, 0.05, 0.67) ·

1 0 0 00.2 0.4 0.25 0.150.2 0 0.4 0.40 0.2 0 0.8

= (0.098, 0.230, 0.08, 0.592).

Страховая компания не разорится на протяжении трех первых лет, еслиu3 > 0. Вероятность этого события равна

0.230 + 0.08 + 0.592 = 0.902.

2

Задача 5.6 Страховая компания начала операции в момент 0 с началь-ными активами 3. В начале каждого года она собирает премии в размере2 и в течение года выплачивает страховые возмещения, общий размеркоторых за год имеет распределение, задаваемое таблицей 5.9. Размеры

Таблица 5.9:Размер потерь Вероятность

0 0.151 0.252 0.404 0.20

выплат за различные годы являются независимыми случайными величи-нами.

Если активы компании в конце года больше, чем 3, акционерам выпла-чиваются дивиденды в точности равные 3.



Предполагая, что у компании нет административных расходов, а ак-тивы не приносят инвестиционного дохода, найдите средний размер ак-тивов в конце второго года при условии, что компания не разорилась.

Решение задачи Пусть un – активы компании в конце n-го года (по-сле выплаты страховых возмещений и дивидендов), Sn – размер страховыхвозмещений, которые должны быть выплачены в течение n-го года. Приэтом будем считать, что если un−1 + 2 ≤ Sn (т.е. компания разоряется втечение n-го года), то un = un+1 = · · · = 0.

При сделанных предположениях последовательность случайных вели-чин un образует цепь Маркова с фазовым пространством {0, 1, 2, 3} (0 –поглощающее состояние) и следующей матрицей перехода:

P =

1 0 0 00.2 0.4 0.25 0.150.2 0.15 0.4 0.250 0.45 0.15 0.4


1. если un = 0, то в силу сделанного выше предположения на следую-щем, (n + 1)-м, шаге состояние не изменится. Иначе говоря, условноераспределение un+1 при условии, что un = 0, т.е. первая строка мат-рицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 0) = 1,

P (un+1 = 1|un = 0) = 0,

P (un+1 = 2|un = 0) = 0,

P (un+1 = 3|un = 0) = 0.


Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этогособытия равна 0.2), то страховщик не сможет выплатить страховыевозмещения и разорится, т.е. un+1 = 0.

Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятностьэтого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце(n+1)-го года активы будут равны 3, 2 или 1 соответственно. В любомслучае дивиденды не выплачиваются и поэтому un+1 = 3, 2 или 1соответственно. Итак, условное распределение un+1 при условии, что


un = 1, т.е. вторая строка матрицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 1) = 0.2,

P (un+1 = 1|un = 1) = 0.4,

P (un+1 = 2|un = 1) = 0.25,

P (un+1 = 3|un = 1) = 0.15.


Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этогособытия равна 0.2), то страховщик выплатит страховые возмещения,но его активы уменьшатся до величины 0, что означает, что un+1 = 0.

Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятностьэтого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце(n+1)-го года активы будут равны 4, 3 или 2 соответственно. В первомслучае будут выплачены дивиденды в размере 3 и активы уменьшатсядо 1. Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 2, т.е.третья строка матрицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 2) = 0.2,

P (un+1 = 1|un = 2) = 0.15,

P (un+1 = 2|un = 2) = 0.4,

P (un+1 = 3|un = 2) = 0.25.

4. если un = 3, то (за счет собранных премий) в момент n+0 активы уве-личатся до величины 5. Поскольку максимальная страховая выплатаравна 4, в этом случае разорение невозможно, т.е.

P (un+1 = 0|un = 3) = 0.

Если потери в течение (n+1)-го года равны 0, 1 , 2 или 4 (вероятностьэтого события равна 0.15, 0.25, 0.4 или 0.2 соответственно), то в конце(n + 1)-го года активы будут равны 5, 4, 3 или 1 соответственно. Впервом и втором случаях будут выплачены дивиденды в размере 3 иактивы уменьшатся до 2 или 1 соответственно.

Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 3, т.е. чет-вертая строка матрицы P , есть

P (un+1 = 0|un = 3) = 0,

P (un+1 = 1|un = 3) = 0.25 + 0.2 = 0.45,

P (un+1 = 2|un = 3) = 0.15,

P (un+1 = 3|un = 3) = 0.4.



p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 1.

Распределение состояний цепи в момент 2 может быть получено умно-жением вектора π0 = (0, 0, 0, 1), образованного из начального распределе-ния, на матрицу P 2. Технически удобно последовательно находить векторыπ1 = π0 · P , π2 = π1 · P :

π1 = (0, 0, 0, 1) ·

1 0 0 00.2 0.4 0.25 0.150.2 0.15 0.4 0.250 0.45 0.15 0.4

= (0, 0.45, 0.15, 0.4),

π2 = (0, 0.45, 0.15, 0.4) ·

1 0 0 00.2 0.4 0.25 0.150.2 0.15 0.4 0.250 0.45 0.15 0.4

= (0.1200, 0.3825, 0.2325, 0.2650).

Условное распределение случайной величины u2 при условии, что u2 > 0есть:

P (u2 = 1|u2 > 0) =0.3825

1− 0.1200=

153352

,

P (u2 = 2|u2 > 0) =0.2325

1− 0.1200=

93352

,

P (u2 = 3|u2 > 0) =0.2650

1− 0.1200=

106352

.

Значит,

E(u2|u2 > 0) =1 · 153 + 2 · 93 + 3 · 106

352=

657352

≈ 1.87.

2

Задача 5.7 ([28]) Страховая компания начала операции в момент 0 сначальными активами 3. В начале каждого года она собирает премии вразмере 2 и в течение года выплачивает страховые возмещения, общийразмер которых за год имеет распределение, задаваемое таблицей 5.10.Размеры выплат за различные года являются независимыми случайнымивеличинами.

Если активы компании в конце года больше, чем 3, разница выплачи-вается акционерам в виде дивидендов (так что активы становятся рав-ными в точности 3).


Таблица 5.10:Сумма Вероятность

0 0.151 0.252 0.504 0.10


Предполагая, что у компании нет административных расходов, а ак-тивы не приносят инвестиционного дохода, найдите ожидаемый размердивидендов в конце третьего года.

Решение задачи Как и при решении задач 5.5 и 5.6, обозначим черезun активы компании в конце n-го года (после выплаты страховых возме-щений и дивидендов), Sn – размер страховых возмещений, которые долж-ны быть выплачены в течение n-го года. При этом будем считать, чтоесли un−1 + 2 ≤ Sn (т.е. компания разоряется в течение n-го года), тоun = un+1 = · · · = 0.

Если активы в конце второго года равны 0 или 1, то после поступленияпремий в начале третьего года они вырастут до 2 или 3 соответственно.Выплата страховых возмещений в конце третьего года только уменьшитэти активы. Поэтому не будет никакой возможности выплатить дивиденды.

Если активы в конце второго года равны 2, то после поступления премийв начале третьего года они вырастут до 4. Дивиденды в конце третьегогода можно будет выплать, если только эти активы не уменьшатся, т.е. напротяжении третьего года не будет заявлено ни одного страхового случая.Вероятность этого события равна 0.15, а размер дивидендов равен 1.

И наконец, если активы в конце второго года равны 3, то после поступ-ления премий в начале третьего года они вырастут до 5. Дивиденды в концетретьего года можно будет выплать, если только на протяжении третьегогода

1. не будет заявлено ни одного страхового случая (вероятность этогособытия равна 0.15); в результате к концу третьего года активы будутравны 5, что позволит выплатить дивиденды в размере 2;

2. будет заявлен ровно один страховой случай (вероятность этого со-бытия равна 0.25); в результате к концу третьего года активы будутравны 4, что позволит выплатить дивиденды в размере 1.

По формуле полного математического ожидания для среднего значениядивидендов в конце третьего года, ED3, имеем:

ED3 = P (u2 = 2) · 0.15 · 1 + P (u2 = 3) · (0.15 · 2 + 0.25 · 1) .


Итак, для решения задачи нужно найти вероятности P (u2 = 2) и P (u2 =3). Для этого отметим, что (как и в задачах 5.5, 5.6) при сделанных предпо-ложениях последовательность случайных величин un образует цепь Мар-кова с фазовым пространством {0, 1, 2, 3} (0 – поглощающее состояние) иследующей матрицей перехода:

P =

1 0 0 00.1 0.5 0.25 0.150.1 0 0.5 0.40 0.1 0 0.9


p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 1.

Распределение состояний цепи в момент 2 может быть получено умно-жением вектора π0 = (0, 0, 0, 1), образованного из начального распределе-ния, на матрицу P 2. Технически удобно последовательно находить векторыπ1 = π0 · P и π2 = π1 · P :

π1 = (0, 0, 0, 1) ·

1 0 0 00.1 0.5 0.25 0.150.1 0 0.5 0.40 0.1 0 0.9

= (0, 0.1, 0, 0.9),

π2 = (0, 0.1, 0, 0.9) ·

1 0 0 00.1 0.5 0.25 0.150.1 0 0.5 0.40 0.1 0 0.9

= (0.01, 0.14, 0.025, 0.825)

Теперь для ED3 имеем:

ED3 = 0.025 · 0.15 · 1 + 0.825 · (0.15 · 2 + 0.25 · 1) = 0.4575.

2

Задача 5.8 ([14]) Определите характеристический коэффициент, если рас-пределение индивидуальных потерь является экспоненциальным со сред-ним m.

Решение задачи Для экспоненциального распределения преобразова-ние Лапласа–Стилтьеса есть

ϕ(s) =1

1 + ms.


Соответственно, производящая функция моментов, ψ(z), есть:

ψ(z) =1

1−mz.

Поэтому характеристическое уравнение выглядит следующим образом:

11−mz

= 1 + (1 + θ)mz,

т.е.(1 + θ)m2z2 − θmz = 0.

Оно имеет тривиальный корень z = 0 и единственный положительный ко-рень

z =θ

(1 + θ)m=

c− λm

cm,

который по определению и является харатеристическим коэффициентом r.2

Задача 5.9 ([14]) Определите характеристический коэффициент, если ве-личина индивидуальных потерь равномерно распределена на отрезке [0, 2m].

Решение задачи Прежде всего, найдем производящую функцию мо-ментов для равномерного распределения:

ψ(z) =∫ 2m

0

ezx 12m

dx

=1

2mzezx

∣∣∣∣2m

x=0

=e2mz − 1

2mz.

Поэтому характеристическое уравнение выглядит следующим образом:

e2mz − 12mz

= 1 + (1 + θ)mz,

т.е.e2mz = 2(1 + θ)(mz)2 + 2mz + 1.

Отсюда следует, что зависимость характеристического коэффициента r ≡r(θ, m) от относительной защитной надбавки θ и средней величины страхо-вого возмещения m имеет вид:

r(θ, m) = r(θ, 1)/m.

Для коэффициента r(θ, 1) мы имеем более простое уравнение:

e2y = 2(1 + θ)y2 + 2y + 1.


Это уравнение уже нельзя решить аналитически. Однако численное реше-ние не вызывает затруднений. Для этого прежде всего локализуем харак-теристический коэффициент. С этой целью отметим, что

e2y > 1 + 2y + 2y2 + 4y3/3,

и поэтому

F (y) ≡ e2y − 2(1 + θ)y2 − 2y − 1 >43y3 − 2θy2 =

43y2(y − 3θ

2).

Правая часть этого неравенства обращается в нуль при y = 3θ/2. Поэтомулевая часть обратится в нуль в точке, которая лежит левее, чем 3θ/2. Итак,r < 3θ/2. Делением промежутка (0, 3θ/2) пополам нетрудно определить ха-рактеристический коэффициент с любой наперед заданной степенью точно-сти. Следующая программа определяет r(θ, 1) с абсолютной погрешностью10−6 для θ = 0.1; 0.2; . . . ; 1.0:

Program AdjustCo(Input,Output);Label

L1,L2;Var

theta,a,b,c,r:real;Function F(z:real):real;

beginF:=exp(2*z)-2*(1+theta)*z*z-2*z-1end;

Begintheta:=0;repeattheta:=theta+0.1;{числа a,b являются текущими значениямиконцов отрезка [a,b], содержащегохарактеристический коэффициент r}a:=0; {начальное значение левогоконца отрезка [a,b]}b:=3*theta/2; {начальное значениеправого конца отрезка [a,b]}

L2: c:=(a+b)/2;if (b-a)<1.0E-06 then goto L1;if F(c)=0 then goto L1;if F(c)<0 then a:=c;if F(c)>0 then b:=c;goto L2;

L1: r:=c;writeln(theta:3:1,r:8:3,’ ’,F(r));


until theta>1.0End.

Полученные с помощью этой программы данные приведены в таблице5.11.

Таблица 5.11:θ r(θ; 1) θ r(θ; 1)

0.1 0.140 0.6 0.6340.2 0.262 0.7 0.7080.3 0.370 0.8 0.7750.4 0.467 0.9 0.8380.5 0.555 1.0 0.897

2

Задача 5.10 ([14]) Определите вероятность разорения R(u), если вели-чина индивидуальных потерь имеет экспоненциальное распределение.

Решение задачи Преобразование Лапласа показательного распреде-ления со средним m дается формулой:

ϕ(s) =1

1 + ms.

Поэтому общее уравнение (5.1) для преобразования Лапласа вероятностиразорения примет вид

ρ(s) =m

θ + (1 + θ)ms=

m

θ

θ(1+θ)m

θ(1+θ)m + s

.

Поскольку дробь вида a/(a + s) является преобразованием Лапласа экспо-ненциальной плотности ae−au, отсюда обращением преобразования Лапласамы получим окончательный результат:

R(u) =m

θ· θ

(1 + θ)m· exp

(− θ

(1 + θ)mu

)

=1

1 + θ· exp

(− θ

(1 + θ)mu

).

2


Замечание. Интересно сопоставить эту точную формулу с неравен-ствoм Лундберга (5.2) и асимптотикой Крамера–Лундберга (5.4). Преждевсего отметим, что, как показано в задаче 5.8, характеристический коэффи-циент r в случае экспоненциально распределенных индивидуальных потерьдается формулой

r =θ

(1 + θ)m.

Это позволяет переписать нашу явную формулу в виде

R(u) =1

1 + θe−ru.

Кроме того, поскольку для экспоненциального распределения ψ(z) = 1/(1−mz), то верно соотношение

ψ′(r) = m(1−mr)−2 = m(1 + θ)2.

Значит, асимптотика Крамера–Лундберга (5.4) в рассматриваемом случаепримет вид

R(u) ∼ 11 + θ

e−ru,

т.е. совершенно идентична точной формуле для R(u).Относительная погрешность от замены R(u) оценкой Лундберга (5.2)

постоянна и равна|R(u)− e−ru|

e−ru=

θ

1 + θ.

Задача 5.11 ([18]) Процесс динамики активов страховщика описывает-ся составным пуассоновским процессом с экспоненциальным распределени-ем страховых возмещений.

Премии поступают непрерывно со скоростью 5.Кроме того, известно, что:

1. вероятность разорения при начальных активах u = 50 равна 1%;

2. относительная защитная надбавка равна 25%.

Определите среднее число страховых случаев в единицу времени.

(A) 1.75

(B) 2.00

(C) 2.25

(D) 2.50

(E) 2.75


Решение задачи Как было установлено в задаче 5.10, в случае экспо-ненциального распределения страховых возмещений зависимость вероятно-сти разорения R(u) от начальных активов u дается формулой:

R(u) =1

1 + θ· exp

(− θ

(1 + θ)mu

),

где m – средний размер страхового возмещения, θ – относительная защит-ная надбавка.

Отсюда

m = − θu

(1 + θ) ln((1 + θ)R(u)).

Поскольку интенсивность наступления страховых случаев λ связана со ско-ростью поступления премий c, относительной защитной надбавкой θ и сред-ним размером страхового возмещения m формулой

c = (1 + θ)λm,

искомая величина λ есть:

λ =c

(1 + θ)m= −c ln((1 + θ)R(u))

θu=

ln 802.5

≈ 1.7528.

Таким образом, верным является вариант (A). 2

Задача 5.12 ([14]) Предположим, что страховые случаи происходят синтенсивностью λ = 3, скорость поступления премий c = 1, а величи-на страхового возмещения с вероятностью 1/9 имеет экспоненциальноераспределение со средним 1/3, а с вероятностью 8/9 – экспоненциальноераспределение со средним 1/6. Определите зависимость вероятности ра-зорения R(u) от величины начальных активов u.

Решение задачи Прежде всего отметим, что безусловная плотностьf(x) величины страхового возмещения является смесью с весами 1/9 и 8/9экспоненциальных плотностей 3e−3x и 6e−6x :

f(x) =19· 3e−3x +

89· 6e−6x =

13e−3x +

163

e−6x.

Соответственно преобразование Лапласа ϕ(s) величины страхового возме-щения является смесью с весами 1/9 и 8/9 преобразований Лапласа экспо-ненциальных величин со средними 1/3 и 1/6:

ϕ(s) =19· 33 + s

+89· 66 + s

=17s + 54

3(s2 + 9s + 18).

Аналогичная формула верна и для безусловного среднего значения:

m =19· 13

+89· 16

=527

.


Поэтому относительная защитная надбавка есть

θ =c

λm− 1 =

13 · 5

27

− 1 =95− 1 =

45.

Подставляя эти явные выражения в общее уравнение (5.1) для преоб-разования Лапласа ρ(s) вероятности разорения R(u) и производя обычныеалгебраические упрощения, мы получим

ρ(s) =5s + 18

9(s2 + 6s + 8).

Для обращения преобразования Лапласа ρ(s) удобно разложить правуючасть этого равенства в сумму простейших дробей:

ρ(s) =49

s + 2+

19

s + 4=

29· 2s + 2

+136· 4s + 4

.

Поскольку дробь вида a/(a + s) является преобразованием Лапласа экспо-ненциальной плотности ae−au, отсюда обращением преобразований Лапласамы получим окончательный результат:

R(u) =29· 2 · e−2u +

136· 4 · e−4u =

49e−2u +

19e−4u.

2

Задача 5.13 ([19]) Для динамической модели разорения, которая описы-вается составным пуассоновским процессом, известно, что:

1. ожидаемое число страховых случаев к моменту t равно 5t, t > 0;

2. все выплаты имеют постоянную величину k;

3. скорость поступления премий равна 50;

4. характеристический коэффициент равен 0.85.

Определите k.

(A) 2.6

(B) 2.8

(C) 3.0

(D) 3.2

(E) 3.4


Решение задачи В рассматриваемой ситуации случайные величиныYi, описывающие размер индивидуальных потерь, являются детерминиро-ванными, так что ψ(z) ≡ EezYi = ekz. Кроме того, так как λ = 5, c = 50,m = k, относительная защитная надбавка есть:

θ =50− 5k

5k=

10k− 1.

Поэтому характеристическое уравнение (5.3) в рассматриваемом случае име-ет следующий вид:

ekz = 1 + 10z.

Поскольку z = r = 0.85 – корень этого уравнения, то

e0.85k = 9.5,

откуда

k =ln 9.50.85

≈ 2.64858,


Задача 5.14 ([28]) Для динамической модели разорения, которая описы-вается составным пуассоновским процессом, известно, что:

1. ожидаемое число страховых случаев в единицу времени равно 2;

2. страховые возмещения могут быть только 1, 2 или 3 с равнымивероятностями;

Подсчитайте интенсивность поступления премий, которая бы обес-печивала значение характеристического коэффициента, равное 0.5.

Решение задачи В рассматриваемом случае производящая функциямоментов величины страхового возмещения дается формулой

ψ(z) =13

(ez + e2z + e3z

).

Поэтому для интенсивности поступления премий непосредственно из харак-теристического уравнения имеем:

c =λ

r(ψ(r)− 1) =

20.5

(13

(e0.5 + e1 + e1.5

)− 1)≈ 7.798.

2

Глава 6

Перестрахование

Физические и юридические лица заключают договора страхования со страхо-выми компаниями для того, чтобы избавиться от финансовых потерь, связан-ных с неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. Дозаключения договора страхования страхователь имел некоторый риск, кото-рый мог привести к случайным потерям X (а мог и не привести к ним). Послезаключения договора страхования, страхователь избавился от этого риска (завыплату премии). Иными словами, страхователь идет на небольшие (как пра-вило, детерминированные) расходы с тем, чтобы избавиться от случайных по-терь, которые хоть и маловероятны, но могут быть катастрофически большимидля него. Однако, сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компа-ния. Другое дело, что имея большой портфель договоров, страховая компанияобеспечивает себе гораздо меньшую вероятность разорения. Тем не менее, воз-можны очень большие выплаты, которые приведут к разорению компании. Сэтой точки зрения страховая компания попадает в ту же ситуацию, в которойпервоначально (до заключения договоров страхования) находились страхова-тели – существует опасность финансовых потерь, связанная с возможностьювыплаты очень больших страховых возмещений. Для решения этой проблемыстраховые компании прибегают к страхованию своего риска в другой компа-нии. Такой вид страхования называется перестрахованием. Компания, непо-средственно заключающая договора страхования и желающая перестраховатьчасть своего риска, называется передающей компанией, а компания, котораястрахует исходную страховую компанию, называется перестраховочной ком-панией. При перестраховании могут перестраховываться как чрезмерно боль-шие индивидуальные риски, так и риск чрезмерно больших суммарных потерьза определенный период, скажем, за один год.

Если страховщик имеет большой портфель хорошо сбалансированных рис-ков, достаточные активы, хорошо поставленные службы андеррайтинга и уре-гулирования убытков и т.д., то он может практически гарантированно выпол-

213


нять свои обязательства, так что в перестраховании как механизме перераспре-деления страховых рисков, нет необходимости. На развивающихся рынках, длямолодых компаний, для формируемых портфелей и т.п. (все это в полной мереотносится к современному российскому страховому рынку и в особенности крынку страхования жизни) эти условия не выполнены. Формирование зрелогорынка страховых услуг, подготовка квалифицированного персонала, увеличе-ние финансовой мощи компаний и т.д. требует значительных затрат време-ни и средств. Перестраховочная защита может быть организована достаточнобыстро, требует относительно небольших ресурсов и поэтому сотрудничество сперестраховщиками является важным инструментом повышения финансовойустойчивости страховых компаний.

Следует отметить, что прямой страховщик может быть заинтересован в пе-рестраховании и по другим причинам: необходимость финансирования новогобизнеса, помощь в андеррайтинге нестандартных рисков, разработке новыхпродуктов и т.д. В связи с этим разработано много стандартных перестрахо-вочных схем. Впрочем, некоторые из этих схем являются перестраховочнымитолько по названию, так как решают не задачи передачи страховых рисков, азадачи уменьшения налогов, управления активами, высвобождения капиталапрямого страховщика и т.д. (часто их соответствие законодательству являетсяочень спорным).

Один из распространенных видов перестрахования заключается в следу-ющем. Передающая компания самостоятельно оплачивает все потери вплотьдо некоторого предела r руб.; для выплат, превышающих r руб., передающаякомпания выплачивает сумму r самостоятельно, а оставшуюся сумму выпла-чивает перестраховщик. Если это правило применяется к каждому индивиду-альному договору, то такой вид перестрахования называется перестраховани-ем чрезмерных (индивидуальных) потерь. Если же это правило применяетсяк общим выплатам по портфелю за некоторый период, то такой вид пере-стахования называется перестрахованием, останавливающим (суммарные)потери. Перестрахование, останавливающее суммарные потери, обеспечиваетзащиту прямого страховщика не только от больших индивидуальных потерь,но и от случайного наступления большого числа страховых случаев. Параметрr называется пределом удержания.

Задача 6.1 ([14]) Портфель компании состоит из N = 20 тысяч дого-воров страхования жизни сроком на 1 год. В соответствии с условиямидоговора компания выплачивает определенную сумму в случае смерти за-страхованного в течение года и не платит ничего, если застрахованныйдоживет до конца года. Все застрахованные имеют одну и ту же веро-ятность смерти в течение года, равную q = 0.01. Из 20 тысяч застрахо-ванных N1 = 10 тысяч человек заключили договор на сумму b1 = 100 000руб. каждый, N2 = 5 000 человек - на сумму b2 = 200 000 руб. каждый,N3 = 4 000 человек - на сумму b3 = 500 000 руб. каждый и N4 = 1 000 че-


ловек - на сумму b4 = 1 миллион руб. каждый. Относительная страховаянадбавка установлена компанией в размере θ = 15%.

Компания заключила договор перестрахования чрезмерных потерь припределе удержания r = 500 000 руб. Перестраховочная компания устанав-ливает свой тариф на основе той же статистики смертности, что ипередающая компания, но с относительной страховой надбавкой θ∗ = 20%.Определите, как изменится вероятность разорения передающей компаниии ее ожидаемый доход. 1

Решение задачи Прежде всего найдем вероятность разорения и ожи-даемый доход при отсутствии перестрахования. Ключевым элементом рас-четов (имея в виду применение гауссовского приближения) является опре-деление среднего значения ES и дисперсии V arS суммарных выплат S;они равны соответственно сумме средних значений и сумме дисперсий всехиндивидуальных потерь:

ES =N∑

i=1

EXi, V arX =N∑

i=1

V arXi.

Поскольку возможные выплаты по индивидуальному договору принимаюттолько два значения: 0 с вероятностью 1−q и bi с вероятностью q, мы имеем:

EXi = q · bi, V arXi = q(1− q) · b2i .

Для посчета величин ES и V arS удобно сгруппировать договора по вели-чине страховой суммы. В нашем случае мы получим 4 группы. Суммы сред-них значений и дисперсий индивидуальных потерь для договоров из k−йгруппы, k = 1, 2, 3, 4, равны Nkqbk и Nkq(1 − q)b2

k соответственно. Сложивэти величины, мы получим ES и V arS. Для численных расчетов удобноиспользовать 100 000 руб. как единицу измерения денежных сумм. Резуль-таты расчетов сведены в таблицу 6.1, последний столбец которой содержитокончательные результаты для исходной группы из N = 20 000 человек:

Общая сумма, собранная в виде страховых премий, есть

u = (1 + θ)ES = 575 условных единиц,

а ожидаемый доход компании есть

u− ES = θES = 75 условных единиц = 7.5 миллиона рублей.

Теперь мы можем подсчитать вероятность разорения R:

R ≡ P (S > u) = P

(S − ES√

V arS>

u− ES√V arS

)

≈ 1− Φ(

u− ES√V arS

)= 1− Φ

(575− 500√

2277

)

≈ 1− Φ(1.57) ≈ 5.82%.

1Как обычно, "разорение"означает, что для выплат по рассматриваемому портфелюне хватит собранных премий и, значит, придется привлекать дополнительные средства.


Таблица 6.1: Расчет среднего значения и дисперсии суммарных выплат безперестрахования

Номер группы 1 2 3 4 Исходная группа

Число застрахован-ных (тыс.)

10 5 4 1 20

Страховая сумма 1 2 5 10

Средние выплатыдля группы

100 100 200 100 500

Дисперсия суммар-ных выплат длягруппы

99 198 990 990 2277

Предположим теперь, что наша компания заключила договор перестра-хования с пределом удержания r = 500 000 руб., т.е. r = 5 условных единиц.При наступлении страховых случаев по договорам с величиной страховойсуммы b3 = 5 и b4 = 10 передающая компания выплачивает одну и ту жесумму r = 5. Поэтому все эти договора можно объединить в одну группу.Договора с величиной страховой суммы b1 = 1 и b2 = 2 по прежнему обра-зуют отдельные группы. Результаты расчетов для передающей компании вновой ситуации содержатся в таблице 6.2.

Таким образом, средние суммарные выплаты передающей компании умень-шились с 500 до 450, а дисперсия суммарных выплат уменьшилась с 2277 до1534.5 Одновременно и коэффициент вариации суммарных выплат умень-шился с 9.54% до 8.71%.

Разность ES−ES(r) = 500−450 = 50 дает средние суммарные выплатыперестраховочной компании. В соответствии с условиями перестрахованияплата за перестрахование равна 1.20 · 50 = 60. Поэтому активы передаю-щей компании уменьшатся с величины u = 575 до u(r) = 515 и, значит,ожидаемый доход передающей компании составит величину

u(r) − ES(r) = 65 условных единиц ≡ 6.5 миллионов рублей.

Для вероятности разорения после перестрахования мы имеем:

R(r) ≡ P (S(r) > u(r)) = P

(S(r) − ES(r)

√V arS(r)

>u(r) − ES(r)

√V arS(r)

)

≈ 1− Φ(

u(r) − ES(r)

√V arS(r)

)= 1− Φ

(515− 450√

1534.5

)

≈ 1− Φ(1.66) ≈ 4.85%.

Итак, перестрахование уменьшило вероятность разорения с 5.82% до 4.85%.


Таблица 6.2: Расчет среднего значения и дисперсии суммарных выплат пе-редающей компании после перестрахования

Номер группы 1 2 3 Исходная группа

Число застрахован-ных (тыс.)

10 5 5 20

Страховая сумма 1 2 5

Средние выплатыдля группы

100 100 250 450

Дисперсия суммар-ных выплат длягруппы

99 198 1237.5 1534.5

Однако, это достигнуто ценой уменьшения ожидаемого дохода с 7.5 милли-онов рублей до 6.5 миллионов рублей.

2

Задача 6.2 ([14]) Компания заключила N = 10 000 однотипных догово-ров страхования жизни сроком на 1 год. В соответствии с условиямидоговора компания выплачивает 1 млн. рублей в случае смерти застра-хованного в течение года от несчастного случая, 100 тыс. рублей в слу-чае смерти застрахованного в течение года от естественных причин ине платит ничего, если застрахованный доживет до конца года. Вероят-ность смерти от несчастного случая равна 5 · 10−4, вероятность смертиот естественных причин равна 2 · 10−3. Компания установила плату застраховку, исходя из 95% вероятности выполнения обязательств по рас-сматриваемому портфелю только за счет собранных премий.

Имея в виду значительный размер страхового возмещения в случаесмерти застрахованного от несчастного случая, страховая компания пред-полагает заключить договор перестрахования чрезмерных потерь c пре-делом удержания r между 100 000 руб. и 1 000 000 руб.

Перестраховочная компания берет в качестве платы за перестрахо-вание такого риска сумму равную 160% от величины ожидаемых выплат(т.е. перестраховочная компания устанавливает относительную стра-ховую надбавку, равную 60%).

Определите значение предела собственного удержания, которое бы ми-нимизировало вероятность того, что для выплат по рассматриваемомупортфелю будет нужно привлекать дополнительные средства (вероят-ность разорения).


Решение задачи Для расчетов удобно использовать 100 000 руб. какединицу измерения денежных сумм, так что выплата X по одному договорупринимает значения 10, 1 и 0 с вероятностями 5·10−4, 20·10−4 и 1−25·10−4

соответственно. Среднее значение выплаты по одному договору есть

EX = 5 · 10−4 · 10 + 20 · 10−4 · 1= 7 · 10−3 (условных единиц) = 700 руб.,

а дисперсия

V arX = EX2 − (EX)2

= 5 · 10−4 · 100 + 20 · 10−4 · 1− 49 · 10−6

≈ 5.2 · 10−2.

Таким образом, нетто-премия p0 ≡ EX = 7 · 10−3, а поскольку компанияустановила брутто-премию p такой, чтобы вероятность неразорения была95%, мы имеем: 2

p = EX +x95%

√V arX√N

= 7 · 10−3 +1.645 · √5.2 · 10−1

102

≈ 10.75 · 10−3 (условных единиц) ≡ 1075 руб.,

так что общая премия равна Np = 107.5 (условных единиц).Предположим теперь, что компания решает перестраховать иски, пре-

вышающие r рублей, 100 000 ≤ r ≤ 1 000 000, в перестраховочной компании.Поскольку мы используем 100 000 руб. как единицу измерения денежныхсумм, r меняется от 1 до 10. В этом случае выплата передающей компаниипо одному договору, X(r), принимает три значения: 1, r и 0 с вероятностя-ми 20 · 10−4, 5 · 10−4 и 1 − 25 · 10−4 соответственно. Ее среднее значение идисперсия равны

EX(r) = 1 · 20 · 10−4 + r · 5 · 10−4 = 5 · 10−4 · (r + 4)V arX(r) = 12 · 20 · 10−4 + r2 · 5 · 10−4 − 25 · 10−8 · (r + 4)2

≈ 5(r2 + 4) · 10−4.

2Таким образом, относительная страховая надбавка есть

θ =x95%√

N·√

V arX

EX=

1.645 · √5.2 · 10−1

102 · 7 · 10−3≈ 53.59%.

Довольно большое значение θ связано с очень большим значением коэффициента вари-ации величины возможных выплат по одному договору; он равен

√V arX

EX=

√5.2 · 10−1

7 · 10−3≈ 32.58.


Для перестраховочной компании среднее значение выплаты по одному до-говору есть

EX − EX(r) = 70 · 10−4 − 5 · 10−4 · (r + 4) = 5 · 10−4(10− r)

и поэтому плата за перестрахование одного договора равна

1, 6 · 5 · 10−4 · (10− r) = 8 · 10−4 · (10− r).

Для передающей компании среднее значение и дисперсия суммарных вы-плат по всему портфелю, S(r), есть:

ES(r) = N · EX(r) = 5 · (r + 4)V arS(r) = N · V arX(r) ≈ 5 · (r2 + 4).

Общая плата за перестрахование всего портфеля есть

104 · 8 · 10−4 · (10− r) = 8 · (10− r)

и поэтому после перестрахования премия, собранная компанией, уменьшит-ся с Np = 107.5 до величины

u(r) = 107.5− 8 · (10− r) = 27.5 + 8r.

Для вероятности R(r) того, что суммарные выплаты страховой компании,S(r), больше, чем активы компании, u(r), с помощью гауссовского прибли-жения имеем:

R(r) = P (S(r) > u(r)) = P

(S(r) − ES(r)

√V arS(r)

>u(r) − ES(r)

√V arS(r)

)

≈ 1− Φ(

u(r) − ES(r)

√V arS(r)

)= 1− Φ

(27.5 + 8r − 5r − 20√

5r2 + 20

)

= 1− Φ(

7.5 + 3r√5r2 + 20

).

Таким образом, если мы хотим минимизировать вероятность R(r), нужновыбрать параметр r таким образом, чтобы функция

h(r) =(7.5 + 3r)2

5r2 + 20

принимала наибольшее значение. Поскольку

h′(r) =2 · (7.5 + 3r)(12− 7.5r)

5(r2 + 4)2,

оптимальное значение r равно 127.5 = 1.6, что в абсолютных цифрах соответ-

ствует 160 000 руб. 2


Замечание. Поскольку√

h(1.6) ≈ 2.15, вероятность разорения приэтом пределе удержания равна приблизительно 1.6%. Ожидаемый доходкомпании до перестрахования был равен Np − Np0 = 3 750 000 руб. (онподсчитывается как разность между собранными премиями и ожидаемы-ми выплатами). После перестрахования ожидаемый доход компании сталu(r) − ES(r) = 7.5 + 3r = 12.3 (условных единиц) = 1 230 000 руб. Такимобразом, уменьшение вероятности разорения достигнуто ценой уменьшенияожидаемого дохода на 2 520 000 руб.. Отметим, кроме того, что для дости-жения такой же вероятности разорения без перестрахования необходимоувеличить премию до величины

p′ = EX +x98.4%

√V arX√

N

= 7 · 10−3 +2.2 · √5.2 · 10−1

102

≈ 12.02 · 10−3 (условных единиц) ≡ 1202 руб.,

т.е. на 12%. Это означает увеличение общей премии по всему портфелю до12 020 000 руб., а ожидаемого дохода компании до 5 020 000 руб. Конечно,с точки зрения страховой компании это гораздо лучше, чем 1 230 000 руб.ожидаемого дохода в случае приобретения перестраховочного покрытия, ноне надо забывать о рыночных факторах – страхователи могут не согласить-ся приобретать более дорогой продукт и тогда придется забыть вообще олюбой прибыли.

Задача 6.3 ([19]) Портфель страховой компании включает независимыедоговора страхования жизни на один год; структура этого блока бизнесаприведена в таблице 6.3.

Таблица 6.3:Число Страховая

договоров сумма

500 100300 50100 40

Страховщик оценивает вероятность наступления страхового случаяпо одному договору как 0.020 и назначает общую премию за этот блокбизнеса в размере 2000.

За перестраховочную премию в размере 860 перестраховщик предлага-ет покрыть все индивидуальные выплаты сверх собственного удержаниястраховщика в размере 40 по одному договору.

Нагрузка перестраховщика вдвое превышает относительную защит-ную надбавку страховщика.


Определите вероятность наступления страхового случая по одномудоговору с точки зрения перестраховочной компании.

(A) 0.014

(B) 0.018

(C) 0.022

(D) 0.026

(E) 0.030

Решение задачи Рассмотрим вначале ситуацию с точки зрения пря-мого страховщика.

Ожидаемые потери по одному договору каждого вида даются таблицей6.4. Поэтому ожидаемые выплаты по рассматриваемому портфелю равны

Таблица 6.4:Число Ожидаемые Ожидаемые

договоров выплаты по выплаты пов группе одному договору группе договоров

500 100 · 0.02 = 2 500 · 2 = 1000300 50 · 0.02 = 1 300 · 1 = 300100 40 · 0.02 = 0.8 100 · 0.8 = 80

1380 – это суммарная нетто-премия. Поскольку общая премия равна 2000,относительная защитная надбавка, используемая страховщиком, равна

θ =2000− 1380

1380≈ 0.45.

Соответственно, относительная защитная надбавка, используемая перестра-ховщиком, равна

θ′ = 2θ ≈ 0.9.

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения перестраховщика. Посколь-ку он покрывает только превышение индивидуальных выплат над собствен-ным удержанием прямого страховщика в размере 40, то по договорам пер-вого типа перестраховщик платит сумму 60, по договорам второго типа –сумму 10, а в договорах третьего типа не участвует вовсе. Поэтому для пере-страховщика ожидаемые потери по одному договору каждого вида даютсятаблицей 6.5 (где q – оценка вероятности наступления страхового случаяперестраховщиком).

Поэтому для перестраховщика ожидаемые выплаты по перестрахован-ному портфелю равны 33000q – это суммарная перестраховочная нетто-премия. Поскольку относительная защитная надбавка, используемая пере-страховщиком, равна 0.9, общая перестраховочная премия равна 62700q. С


Таблица 6.5:Число Ожидаемые Ожидаемые

договоров выплаты по выплаты пов группе одному договору группе договоров

500 60 · q = 60q 500 · 60q = 30000q300 10 · q = 10q 300 · 10q = 3000q100 0 0

другой стороны, по условию, эта премия составляет 860. Отсюда q ≈ 0.0137,и поэтому верным является вариант (A). 2

Задача 6.4 ([19]) Суммарные выплаты страховой компании за один годописываются составным отрицательным биномиальным распределением.Среднее число страховых случаев за год равно 9, а его среднее квадратичноеотклонение равно 6. Индивидуальные потери могут быть только 1 или 3с вероятностями 1/3 и 2/3 соответственно. Компания заключила дого-вор перестрахования, останавливающий потери, с пределом собственногоудержания d = 3.

Определите размер ожидаемых выплат перестраховщика.

(A) 18.1

(B) 18.3

(C) 18.5

(D) 18.7

(E) 18.9

Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев за один год. Таккак случайная величина ν имеет отрицательное биномиальное распределе-ние,

P (ν = n) ≡ α · (α + 1) · · · · · (α + n− 1)n!

pαqn,

где, как обычно, q = 1− p.Среднее значение Eν и дисперсия V arν связаны с параметрами α и p

следующими соотношениями:

Eν =αq

p,

V arν =αq

p2,

откуда легко найти, чтоα = 3, p = 1/4.


Поэтому,

P (ν = n) =(n + 1)(n + 2)

128·(

34

)n

,

а соответствующая производящая функция есть

π(z) =+∞∑n=0

znP (ν = n) =(

p

1− zq

)α

=1

(4− 3z)3.

Пусть, далее, Y1, . . . , Yν – величины индивидуальных потерь. Нетрудно ви-деть, что

EYi =73, EzYi =

z + 2z3

3.

Наконец, пусть S = Y1 + · · · + Yν – суммарные потери за один год. Произ-водящая функция случайной величины S есть

EzS =+∞∑n=0

E(zS | ν = n

)P (ν = n) =

+∞∑n=0

(EzYi

)nP (ν = n)

=+∞∑n=0

(z + 2z3

3

)n

P (ν = n) = π

(z + 2z3

3

)

=1

(4− z − 2z3)3.

Дифференцируя по z в точке z = 1, мы имеем ES = 21. Кроме того, рас-кладывая производящую функцию EzS в ряд по степеням z вплоть до z2,мы получим:

EzS =164· 1(1− z+2z3

4

)3

=164·(

1 +z + 2z3

4+

(z + 2z3)2

16+ . . .

)3

=164·(

1 +z

4+

z2

16+ . . .

)3

=164·(

1 +3z

4+

3z2

8+ . . .

),


что дает распределение суммарных потерь за один год в точках 0, 1, 2: 3

P (S = 0) =164

, P (S = 1) =3

256, P (S = 2) =

3512

.

По условиям договора перестраховщик покрывает только превышение по-терь над собственным удержанием 3, т.е. выплаты перестраховочной ком-пании даются формулой:

S′ ={

0, если S ≤ 3,S − 3, если S > 3.

Значит,

ES′ =+∞∑n=0

nP (S′ = n) =+∞∑n=0

nP (S − 3 = n)

=+∞∑n=0

nP (S = n + 3) =+∞∑n=3

(n− 3)P (S = n)

=+∞∑n=0

(n− 3)P (S = n)−2∑

n=0

(n− 3)P (S = n)

= ES − 3 + 3 · P (S = 0) + 2 · P (S = 1) + 1 · P (S = 2)

= 21− 3 +364

+6

256+

3512

= 1839512

≈ 18.076

и поэтому верным ответом будет (A).2

Задача 6.5 ([19]) Страховщик имеет портфель договоров, структура ко-торого описывается таблицей 6.6.

Потери, превышающие уровень 2 для каждого договора, перестрахова-ны за перестраховочную премию, равную 0.02 за покрытие риска потерьв размере 1.

Вероятность того, что сумма потерь по удержанному риску и стои-мости перестрахования превысит 30, равна 0.10.

Определите p.

(A) 0.013Этот результат легко получить и непосредственно по формуле полной вероятности:

P (S = 0) = P (ν = 0) =1

64,

P (S = 1) = P (ν = 1) · P (Y1 = 1) =9

256· 1

3=

3

256,

P (S = 2) = P (ν = 2) · P (Y1 = 1) · P (Y2 = 1) =27

512· 1

3· 1

3=

3

512.


Таблица 6.6:Вид Число Страховая Вероятность

договора договоров сумма страховогов группе случая

1 50 4 0.052 100 10 p

(B) 0.03

(C) 0.05

(D) 0.07

(E) 0.09

Решение задачи Ситуация с точки зрения перестраховщика после за-ключения перестраховочного договора представлена в таблице 6.7. Ожидаемое

Таблица 6.7:Вид Число Ответственность Вероятность

договора договоров перестраховщика страховогов группе случая

1 50 2 0.052 100 8 p

число страховых случаев по договорам первой группы, Eν1, равно 50·0.05 =2.5, а по договорам второй группы – Eν2 = 100p. Поэтому общие ожида-емые выплаты есть 2.5 · 2 + 100p · 8 = 5 + 800p. С другой стороны, общаяперестраховочная премия равна 0.02 · (50 · 2 + 100 · 8) = 18. Естественно,она должна быть достаточной, чтобы покрыть ожидаемые выплаты, т.е.18 > 5 + 800p. 4 Поэтому p < 0.01625. Уже этого вывода достаточно, чтобывыбрать один вариант ответа из предложенных пяти – это вариант (A).

Мы, однако, отметим лишь то, что как для договоров первой группы, таки для договоров второй группы, вероятность наступления страхового слу-чая достаточно мала. Поскольку число договоров в каждой группе доста-точно велико, число страховых случаев в каждой группе можно приближен-но считать пуассоновским с параметрами λ1 = Eν1 = 2.5 и λ2 = Eν2 = 100p

4Поскольку перестраховщик получает значительный инвестиционный доход на со-бранные перестраховочные премии, он может назначить плату за перестраховочное по-крытие в размере меньшем, чем ожидаемые выплаты. Кроме того, перестраховщик мо-жет уменьшить эту плату и из маркетинговых соображений, например, чтобы увеличитьсвою долю рынка. Однако, порядок платы за перестраховочное покрытие остается неиз-менным.


соответвенно. Общее число страховых случаев, ν = ν1 + ν2, также можносчитать пуассоновским с параметром λ = λ1 + λ2 = 2.5 + 100p.

После заключения перестраховочного договора, при наступлении стра-хового случая, прямой страховщик покрывает одну и ту же сумму 2. По-этому общие выплаты компании есть S = 2(ν1 + ν2) = 2ν. Используя пуас-соновское приближение, мы имеем:

ES = 2λ = 5 + 200p,

V arS = 4λ = 10 + 400p.

Теперь мы можем записать условие задачи (P (S + 18 > 30) = 0.1) в виде

P

(S − ES√

V arS>

6− λ√λ

)= 0.1.

Используя гауссовское приближение для распределения центрированной инормированной величины выплат прямого страховщика, мы имеем:

6− λ√λ

≈ x90% ≈ 1.282.

Решая это уравнение с помощью новой неизвестной y =√

λ, мы получим:

√λ =

√x2

90% + 24− x90%

2,

откуда λ ≈ 3.58 и, соответственно, p ≈ 0.0108. Поэтому верным, как и сле-довало ожидать, является вариант (A). 2

Задача 6.6 ([18]) Страхователь покупает договор группового страхова-ния для группы, состоящей из четырех человек.

Страховщик назначает премию за всю группу в размере 5 и заключа-ет договор перестрахования чрезмерных потерь с пределом собственно-го удержания 1. Относительная защитная надбавка, используемая пере-страховщиком, равна 20%.

В конце срока действия договора страховщик подсчитывает баланс до-ходов и расходов. Доходы включают премию, а расходы состоят из вы-плаченных страховых возмещений, платы за перестрахование и админи-стративных расходов в размере 20% от премии. Если доходы превышаютрасходы, страховщик возвращает разницу страхователю.

Определите ожидаемый размер выплаты страхователю по окончаниидоговора, если распределение индивидуальных потерь задается таблицей6.8.

(A) 0.90

(B) 0.92


Таблица 6.8:Величина Вероятностьпотерь

0 0.501 0.252 0.25

(C) 0.94

(D) 0.96

(E) 0.98

Решение задачи Пусть Xi – выплаты i−му застрахованному (таблица6.8 содержит распределение этих случайных величин), X ′

i = min(Xi, 1) –доля страховщика, X ′′

i = max(Xi−1, 0) – доля перестраховщика в страховомвозмещении i−му застрахованному.

Распределение случайных величин X ′i, X ′′

i есть:

P (X ′i = 0) = 0.50, P (X ′

i = 1) = 0.50,

P (X ′′i = 0) = 0.75, P (X ′′

i = 1) = 0.25.

Ожидаемые потери перестраховщика по одному застрахованному равныEX ′′

i = 0.25. Соответственно общие ожидаемые потери перестраховщикаравны 1. Значит, плата за перестраховочную защиту есть 1.2.

Пусть S′ = X ′1 +X ′

2 +X ′3 +X ′

4 – доля страховщика в суммарных потеряхпо договору. Найдем распределение этой случайной величины. Для этогоподсчитаем ее производящую функцию:

EzS′ =(EzX′

i

)4

= (0.5 + 0.5z)4 =116

(1 + z)4

=116

(1 + 4z + 6z2 + 4z3 + z4).

Коэффициенты при степенях z дают искомое распределение; оно приведенов таблице 6.9.

Таблица 6.9:

n 0 1 2 3 4

P (S′ = n) 116

416

616

416

116


Поскольку премия по договору страхования равна 5, плата за перестра-ховочное покрытие равна 1.2, административные расходы равны 1, размервыплаты страхователю по окончании договора равен D = 2.8−S′. Распреде-ление случайной величины D легко получить из распределения случайнойвеличины S′; оно приведено в таблице 6.10.

Таблица 6.10:

n 2.8 1.8 0.8 0

P (D = n) 116

416

616

516

Поэтому для среднего имеем:

ED =116· 2.8 +

416· 1.8 +

616· 0.8 = 0.925,

так что верным является вариант (B). 2

Задача 6.7 ([25]) Страховая компания в начале года заключает бессроч-ный договор перестрахования чрезмерных индивидуальных потерь по до-говорам автомобильного страхования. Известно, что:

1. общие ожидаемые потери страховщика по рассматриваемому блокубизнеса в наступающем году равны 10 000 000,

2. распределение размера индивидуального страхового возмещения опи-сывается законом Парето

F (x) = 1−(

2000x + 2000

)2

, x > 0,

3. перестраховщик оплачивает все индивидуальные выплаты сверх соб-ственного удержания страховщика в размере 3000 по одному догово-ру,

4. в начале каждого года перестраховщик получает перестраховочнуюпремию, равную 110% от своих ожидаемых потерь,

5. вследствие инфляции каждый год размер страхового возмещения по-сле наступления страхового случая увеличивается на 5%,

6. частота наступления страховых случаев не меняется.

Подсчитайте размер перестраховочной премии на наступающий год.Как изменится эта премия через год?


Решение задачи Прежде всего подсчитаем ожидаемый размер стра-хового возмещения после наступления страхового случая:

EY =∫ +∞

0

(1− F (x))dx =∫ +∞

0

(2000

x + 2000

)2

dx

= −20002 1x + 2000

∣∣∣∣+∞

0

= 2000.

Поскольку средние суммарные потери за год, ES, равны произведениюожидаемого числа страховых случаев, Eν, и среднего размера страховоговозмещения после наступления страхового случая, EY , ожидаемое числостраховых случаев за один год есть:

Eν =ES

EY=

10 000 0002 000

= 5 000.

Пусть d = 3000 – размер собственного удержания страховщика, Y – тя-жесть страхового случая, Y(d) ≡ Y(3000) – доля перестраховщика в страховомвозмещении:

Y(3000) =

0, если Y ≤ 3000,

Y − 3000, если Y > 3000 .

Точка x = 0 является атомом распределения случайной величины Y(3000);его масса равна вероятности того, что ущерб Y не превосходит собственноеудержание страховщика:

P (Y(3000) = 0) = P (Y ≤ 3000) = 1−(

20003000 + 2000

)2

=2125

.

При x > 0 дополнительная функция распределения случайной величиныY(3000) есть:

P (Y(3000) > x) = P (Y > 3000 + x) =(

20005000 + x

)2

.

Отметим, что

P (Y(3000) > x) =425

(5000

5000 + x

)2

,

т.е. Y(3000) можно рассматривать как произведение индикаторной величиныI, которая равна 1 или 0 в соответствии с тем, превышает или нет ущербразмер собственного удержания непосредственного страховщика, и не зави-сящей от I случайной величины величины Z, которая имеет распределениеПарето

FZ(x) = 1−(

5000x + 5000

)2

, x > 0,


Средний размер участия перестраховщика в одном страховом возмещенииесть

EY(3000) =∫ +∞

0

P (Y(3000) > x)dx =∫ +∞

0

(2000

x + 5000

)2

dx

= −20002 1x + 5000

∣∣∣∣+∞

0

= 800.

Средние суммарные потери перестраховщика за год, ESre, равны произве-дению ожидаемого числа страховых случаев, Eν, и среднего размера уча-стия перестраховщика в одном страховом возмещении, EY(3000):

ESre = 5 000 · 800 = 4 000 000.

Поэтому перестраховочная премия на наступающий год равна

110%ESre = 1.1 · 4 000 000 = 4 400 000.

Рассмотрим теперь ситуацию спустя год. Пусть Y ′ – размер ущерба по-сле аварии через один год. Условие задачи относительно влияния инфляцииозначает, что случайная величина Y ′/1.05 распределена так же, как и раз-мер ущерба после аварии в наступающем году, Y . Поэтому дополнительнаяфункция распределения случайной величины Y ′ дается формулой:

P (Y ′ > x) = P (Y >x

1.05) =

(2100

x + 2100

)2

, x > 0.

Соответственно, дополнительная функция распределения случайной вели-чины Y ′

(3000), описывающей участие перестраховщика в индивидуальных по-терях, есть:

P (Y ′(3000) > x) = P (Y ′ > 3000 + x) =

(2100

x + 5100

)2

.

Средний размер участия перестраховщика в одном страховом возмещенииесть

EY ′(3000) =

∫ +∞

0

P (Y ′(3000) > x)dx =

∫ +∞

0

(2100

x + 5100

)2

dx

= −21002 1x + 5100

∣∣∣∣+∞

0

≈ 864.7058824.

Средние суммарные потери перестраховщика за год, ES′re, равны произве-дению ожидаемого числа страховых случаев, Eν, которое не подверженовлиянию инфляции и по условию не изменилось, и среднего размера уча-стия перестраховщика в одном страховом возмещении, EY ′

(3000):

ES′re ≈ 4 323 529.


Поэтому перестраховочная премия на наступающий год равна

110%ES′re ≈ 4 755 882.

Таким образом, по сравнению с предыдущим годом перестраховочная пре-мия выросла на 8.1%, хотя инфляция выросла на 5%. 5

2

5Как мы отмечали ранее, это явление, когда нетто-премия растет быстрее, чем ин-фляция, называется эффектом рычага (leveraging).


Литература

[1] Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Введение в математическую теорию рис-ка, Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2000.

[2] Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование. Часть 1. Упорядо-чивание рисков, Изд-во механико-математического факультета МГУ,2001.

[3] Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory, Springer-Verlag,1970.

[4] Bowers N.L. et al. Actuarial Mathematics, Itasca, 1986

[5] Currie I.D. Loss Distributions, Heriot-Watt University, Edinburgh, 1992.

[6] Daykin C.D., Pentikainen T., Pesonen M. Practical Risk Theory forActuaries, Chapman & Hall, 1994.

[7] Dickson D.C.M., Waters H.R. Risk Models, Heriot-Watt University,Edinburgh, 1992.

[8] Dickson D.C.M., Waters H.R. Ruin Theory, Heriot-Watt University,Edinburgh, 1992.

[9] Hart D.G., Buchanan R.A., Howe B.A. The Actuarial Practice of GeneralInsurance, The Institute of Actuaries of Australia, 1996.

[10] Hogg R.V., Klugman S.A. Loss Distributions, John Wiley & Sons, 1984.

[11] Hossack I.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. Introductory Statistics withApplications in General Insurance, Cambridge University Press, 1983.

[12] Herber H.U. An introduction to Mathematical Risk Theory, S.S.HuebnerFoundation for Insurance Education, University of Pennsylvania, 1979.

[13] Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику, Изда-тельство Московского университета, Москва,1994.

[14] Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании, Россий-ский юридический издательский дом, Москва,1994.

233


[15] Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни ипенсионных схем, АНКИЛ, Москва, 2002.

[16] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том1, Москва, Мир, 1984.

[17] Мельников А.В. Риск-менеджмент: Стохастический анализ рисковв экономике финансов и страхования, АНКИЛ, Москва, 2001.

[18] Exam 151 – Risk Theory, Society of Actuaries, May 1994.

[19] Exam 151 – Risk Theory, Society of Actuaries, May 1999.

[20] Course1 (Mathematical Foundations of Actuarial Science) – RevisedSample Exam, The Society of Actuaries and the Casualty ActuarialSociety, August 1999.

[21] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, TheSociety of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2000.

[22] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, May 2000.

[23] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, May 2000.

[24] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, TheSociety of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2000.

[25] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, November 2000.

[26] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, November 2000.

[27] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, TheSociety of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2001.

[28] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, May 2001.

[29] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, May 2001.

[30] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, TheSociety of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2001.

[31] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, November 2001.

[32] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and theCasualty Actuarial Society, November 2001.


[33] Straub E. Non-life Insurance Mathematics, Springer-Verlag andAssociation of Swiss Actuaries, 1988.

[34] Panjer H.H., Willmot G.E. Insurance Risk Models, The Society ofActuaries, 1992.


Оглавление

1 Модели индивидуальных потерь 5

2 Модели процесса наступления страховых случаев 63

3 Модель индивидуального риска 109

4 Модель коллективного риска 141

5 Динамические модели разорения 187

6 Перестрахование 213

237

ТЕОРИЯРИСКА дляактуариев взадачахmech.math.msu.su/~falin/files/Фалин_Г.И.,Фалин_А.И.(2004... · Среднее значение потерь

Documents