ότι το 120596119909119910 είναι ανεξάρτητο των σημείων 119909 και 119910 Πράγματι αν πάρουμε
120596119909119911 times (119909 minus 119910) minus 120596119909119911 times (119911 minus 119910) = 120596119909119911 times (119909 minus 119911) = 119907119909 minus 119907119911
= (119907119909 minus 119907119910) minus (119907119911 minus 119907119910)= 120596119909119910 times (119909 minus 119910) minus 120596119911119910 times (119911 minus 119910)
Αλλά η τελευταία μπορεί να ισχύει για κάθε 119909 119910 119911 isin 119870 μόνο αν
120596119909119911 = 120596119909119910 = 120596119911119910 Το κοινό αυτό διάνυσμα 120596 λοιπόν είναι χαρα-
Η κινητική ενέργεια ενός σημείου του 119909 είναι 119864119909 = 121198981199091199071199092 όπου
119898119909 η σημειακή μάζα στο 119909 και 119907119909 η ταχύτητά του Έτσι αν το σώμα 119870έχει πυκνότητα 1 η κινητική του ενέργεια είναι 119864 = 1
Η στροφορμή ενός σημείου 119909 isin 119870 ορίζεται ως το διάνυσμα 119871119909 =119898119909119909 times 119907119909 και άρα για το σώμα 119870 με πυκνότητα 1 η στροφορμή του είναι
119871 = int119870119909 times 119907119909 119889119909 Αντικαθιστώντας το 119907119909 με 120596 times 119909 παίρνουμε
119871119909 = 119898119909(11990922120596 minus ⟨120596 119909⟩119909) = 119898119909119868119909120596
του 119870 είναι 119871 = 119868120596 όπου 119868 ο πίνακας αδράνειας του 119870 Χρησιμοποιώντας
Αν ο ροπή που ασκήσαμε για την έναρξη της κίνησης του 119870 ήταν
κάθετη σε κύριο άξονα του 119870 τότε η στροφορμή 119871 είναι στη διεύθυνση
του κύριου άξονα Αλλά τότε το 119871 είναι ιδιοδιάνυσμα του 119868 και συνεπώς
120596 = 119868minus1119871 = 120582minus1119871 όπου 120582 η ιδιοτιμή του 119868 που αντιστοιχεί στον κύριο
άξονα Δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα είναι παράλληλη με τη στροφορμή
Αυτό σημαίνει ότι το σώμα θα κάνει μια απλή ομαλή περιστροφική
κίνηση γύρω από αυτόν τον κύριο άξονα
Αν η ροπή δίνει στροφορμή που δεν είναι στη διεύθυνση κύριου
άξονα τότε αυτή η γωνιακή ταχύτητα δεν είναι απαραίτητα παράλληλη
με τη στροφορμή 119871 Παραμένει όμως σταθερή η συνιστώσα της στη
διεύθυνση της στροφορμής 119871 αφού 119864 = 12⟨119871 120596⟩ και τόσο η κινητική
ενέργεια όσο και η στροφορμή είναι σταθερές
Έτσι ένα ελλειψοειδές με άνισους ημιάξονες στο οποίο ασκείται ροπή
ώστε να αποκτήσει στροφορμή 119871 η οποία δεν είναι στη διεύθυνση κύριου
άξονα θα κάνει μια σύνθετη κίνηση στον χώρο η οποία περιλαμβάνει
τόσο περιστροφή γύρω από τον άξονα της στροφορμής όσο και περι-
στροφική κίνηση γύρω από τον εαυτό του Τέτοια είναι η κίνηση που
εκτελεί ο πλανήτης μας περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του αλλά
και ο άξονας περιστροφής δεν είναι σταθερός αλλά εκτελεί και αυτός
περιστροφική κίνηση γύρω από τη διεύθυνση της στροφορμής της
Αν τώρα το ελλειψοειδές έχει για παράδειγμα κύριους άξονες με
ίσες ιδιοτιμές τότε αν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο επίπεδο που
παράγουν αυτοί οι δύο άξονες η κίνηση είναι απλή περιστροφική μια
και όπως πριν η στροφορμή είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα αδράνειας
οπότε προκύπτει γωνιακή ταχύτητα στη διεύθυνση της στροφορμής
Τέλος αν το 119870 είναι στην ισοτροπική του θέση κάθε άξονας περι-στροφής οδηγεί σε απλή περιστροφική κίνηση με τη γωνιακή ταχύτηταστη διεύθυνση της στροφορμής Αυτό είναι προφανές από τα παρα-
πάνω αφού στην ισοτροπική θέση ο πίνακας αδράνειας 119868 του 119870 είναι
πολλαπλάσιο του ταυτοτικού
Π Να σημειώσουμε εδώ μια και αναφέρθηκε ότι ο
πλανήτης μας δεν είναι στερεό σώμα αφού έχει ατμόσφαιρα νερό υγρό
πυρήνα κλπ Άρα η κίνηση του δεν είναι και τόσο προβλέψιμη όπως
θα ήταν αν επρόκειτο για στερεό σώμα Οι στρατιωτικοί οργανισμοί
καταγράφουν συνεχώς την τροχιά του άξονα του πλανήτη χρησιμο-
ποιώντας αστρονομικά δεδομένα ώστε να ενοπίζουν τη μεταβολή της
θέσης του Αυτό γίνεται βεβαίως με σκοπό να στοχεύουν με ακρίβεια οι
πύραυλοί τους τις πόλεις μαςhellip
Το ελλειψοειδές αδράνειας και το ελλειψοειδές κινητικής ενέργειας
Ας υποθέσουμε για λόγους απλοποίησης αλλά χωρίς βλάβη της
γενικότητας ότι η κινητική ενέργεια 119864119870 του Κ ισούται με 12 Εφόσονλοιπόν η κινητική ενέργεια 119864119870 = 1
2⟨119868120596 120596⟩ είναι σταθερή η γωνιακή
ταχύτητα 120596 ανήκει στο ελλειψοειδές με εξίσωση ⟨119868120596 120596⟩ = 1 Το ελλειψο-
ειδές αυτό ονομάζεται ελλειψοειδές αδρανείας ή ελλειψοειδές Poinsot καιείναι σταθερό (ακίνητο) ως προς το σώμα 119870 καθώς αυτό περιστρέφεται
Το ότι δεν κινείται σε σχέση με το 119870 προκύπτει εύκολα αφού αν αλλά-
ξουμε στο σύστημα συντεταγμένων των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα
αδρανείας 119868 τότε η εξίσωσή του παραμένει αναλλοίωτη στον χρόνο και
είναι η119899
sum119895=1
1198681198951205962119895 = 1
όπου τα 119868119895 είναι οι κύριες ροπές αδρανείας και 120596119895 οι συντεταγμένες
της γωνιακής ταχύτητας 120596 O Poinsot παρατήρησε ότι η 119864119870 = 12⟨119871 120596⟩
συνεπάγεται ότι 119871 = 2grad120596119864119870 Δηλαδή η στροφορμή 119871 είναι κάθετη
στο εφαπτόμενο επίπεδο του ελλειψοειδούς 119864119870 = σταθερά δηλαδή
στο εφαπτόμενο επίπεδο του ελλειψοειδούς αδρανείας στο 120596 Αυτή
η κατασκευή είναι γνωστή ως κατασκευή Poinsot και περιγράφει με
ακρίβεια την περιστροφική κίνηση του 119870 Πράγματι αφού η στροφορμή
119871 είναι σταθερή για να μπορεί να είναι πάντα κάθετη στο παραπάνω
εφαπτόμενο επίπεδο θα πρέπει το ελλειψοειδές αδρανείας να περιστρέ-
φεται κατάλληλα και μαζί του και το σώμα 119870 Πάλι από το γεγονός ότι
η κινητική ενέργεια 119864119870 είναι σταθερή και το ότι 119864119870 = 12⟨119871 120596⟩ προκύπτει
ότι η προβολή του 120596 στη διεύθυνση του 119871 είναι σταθερή δηλαδή είναι
σταθερή η απόσταση του κέντρου του ελλειψοειδούς αδρανείας από
το εφαπτόμενο επίπεδο στο 120596 Συνεπώς το εφαπτόμενο επίπεδο είναι
αναλλοίωτο στον χρόνο και για αυτό ονομάζεται αναλλοίωτο επίπεδο(invariable plane) Το 120596 είναι το σημείο επαφής του ελλειψοειδούς αδρα-
νείας καθώς αυτό περιστρέφεται και του αναλλοίωτου επιπέδου Κατά
την κίνηση αυτή το 120596 διαγράφει μια καμπύλη πάνω στο ελλειψοειδές
αδρανείας η οποία ονομάζεται πολική καμπύλη (στα αγγλικά ονομάζεται
laquopolhoderaquo από τις λέξεις πόλος+οδός) Αντίστοιχα το σημείο επαφής
διαγράφει μια καμπύλη πάνω στο αναλλοίωτο επίπεδο που ονομά-
ζεται αντιπολική καμπύλη (στα αγγλικά laquoherpolhoderaquo από τις λέξεις
έρπω+πόλος+οδός)
Ενδιαφέρον όμως παρουσιάζει και η κίνηση του διανύσματος της
στροφορμής 119871 ως προς έναν παρατηρητή που βρίσκεται μέσα στο σώμα
και κινείται μαζί του Για αυτόν προφανώς το 120596 είναι τώρα σταθερό
r
Σ Το ελλειψοειδές Poinsot το σταθερό διάνυσμα στροφορμής 119871η μεταβαλλόμενη γωνιακή ταχύτητα 120596 και το αναλλοίωτο επίπεδο Το 120596παραμένει σταθερά στο σημείο επαφής του ελλειψοειδούς με το επίπεδο
Καθώς το ελλειψοειδές στρέφεται γύρω από τον ευατό του το σημείο
επαφής με το επίπεδο (ισοδύναμα το 120596) διαγράφει πάνω στο ελλειψοειδές
την πολική καμπύλη ενώ καθώς το ελλειψοειδές περιστρέφεται και γύρωαπό τον άξονα του 119871 το σημείο επαφής με το επίπεδο (ισοδύναμα το
120596) διαγράφει την αντιπολική καμπύλη πάνω στο επίπεδο
και αλλάζει το 119871 Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι ως προς το σύστη-
μα συντεταγμένων των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα αδρανείας το 119871βρίσκεται πάντα στο ελλειψοειδές sum
119899119894=1 119868minus1
119894 1198712119894 = 1 Αυτό το ελλειψοειδές
ονομάζεται ελλειψοειδές της κινητικής ενέργειας ή ελλειψοειδές Binet του119870 Επειδή επιπλέον ισχύει sum
119899119894=1 1198712
119894 = 11987122 το οποίο είναι σταθερό συμ-
περαίνουμε ότι το διάνυσμα της στροφορμής 119871 παραμένει στην τομή της
σφαίρας ακτίνας 1198712 και του ελλειψοειδούς Binet Παρατηρούμε τέλοςότι το ελλειψοειδές κινητικής ενέργειας Binet είναι το πολικό ελλειψοειδέςτου ελλειψοειδούς αδρανείας Poinsot
Π Στη βιβλιογραφία της κυρτότητας ως ελλειψοειδές
αδρανείας δεν ορίζεται το ελλειψοειδές Poinsot αλλά κατά παράβαση των
φυσικών εννοιών που περιγράψαμε παραπάνω ένα ελλειψοειδές που
φέρει το όνομα του Legendre και είναι διαφορετικό από το προηγούμενο
αν και έχει τους ίδιους κύριους άξονες Θα περιγράψουμε αυτό το
ελλειψοειδές στην υποενότητα Ομοίως το ελλειψοειδές Binet δεν
ορίζεται σύμφωνα με τις παραπάνω φυσικές έννοιες αλλά ως δυϊκό του
ελλειψοειδούς Legendre Σε κάθε περίπτωση δεν κατέστη εφικτό να
βρω στη βιβλιογραφία από που προκύπτει η απόδοση στον Legendre
Πιθανώς να είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ότι η πολικότητα μπορεί
να περιγραφεί μέσω του μετασχηματισμού του Legendre Δηλαδή από
τη μία το ελλειψοειδές Binet δεν ορίζεται ως το ελλειψοειδές κινητικής
ενέργειας όπως παραπάνω και από την άλλη το δυϊκό του ονομάζεται
ελλειψοειδές Legendre (δείτε και Άσκηση )
Π Οι όροι polhode και herpolhode προέρχονται από
τον ο αιώνα και βρίσκονται στο Πόρισμα της Πρότασης της
Ενότητας στο πρώτο βιβλίο του Principia του Isaac Newton Με το
πρόβλημα της περιστροφής ενός στερεού σώματος ασχολήθηκε τόσο ο
Newton όσο και ο Leonhard Euler αργότερα ο οποίος παρήγαγε ένα
σύνολο εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση Αφορμή για αυτές τις
μελέτες ήταν η παρατήρηση των Jean drsquo Alembert και Louis Lagrange και
άλλων ότι υπήρχαν μετατοπίσεις του γεωγραφικού πλάτους της Γης
λόγω ταλάντευσής της γύρω από τον πολικό άξονα περιστροφής της
Στα μέσα του ου αιώνα ο Louis Poinsot περιέγραψε γεωμετρικά την
περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος με τη βοήθεια της laquoκατα-
σκευής Poinsotraquo που περιγράψαμε παραπάνω δίνοντας μια γεωμετρική
ερμηνεία των αλγεβρικών εξισώσεων του Euler Περισσότερα για αυτά
τα θέματα μπορεί να βρει κανείς στα [GPS] και [KO]
Άσκηση Για κάθε κυρτή συνάρτηση 119891 ∶ 119883 sube ℝ119899 rarr ℝ όπου το 119883είναι κυρτό σύνολο ορίζουμε τον μετασχηματισμό Legendre της 119891 να είναι η
συνάρτηση ℒ(119891) ∶ 119883lowast rarr ℝ όπου
119883lowast = 119909lowast isin ℝ119899 ∶ sup119909isin119883
(⟨119909lowast 119909⟩ minus 119891(119909)) lt infin
με
ℒ(119891)(119909lowast) = sup119909isin119883
(⟨119909lowast 119909⟩ minus 119891(119909))
Αποδείξτε (χρησιμοποιώντας τεχνικές απειροστικού λογισμού εύρεσης μεγί-
στου) ότι αν το ℰ είναι οποιοδήποτε ελλειψοειδές στον ℝ119899 και ℰ∘ το πολικό
του τότε ισχύει
ℒ (12
sdot 2ℰ) =
12
sdot 2ℰ∘
Συμπεράνεται ότι το ελλειψοειδές Poinsot είναι το Legendre δυϊκό ελλειψοειδές
του ελλειψοειδούς Binet με την έννοια ότι
ℒ (12
sdot 2Binet) =
12
sdot 2Poinsot
Άσκηση Στην άσκηση αυτή γενικεύουμε την Άσκηση για κάθε
σώμα 119870 και το πολικό του 119870∘ Το ζητούμενο δηλαδή είναι να αποδειχθεί ότι
ισχύει
ℒ (12
sdot 2119870) =
12
sdot 2119870∘
για κάθε κυρτό σώμα 119870 με το 0 στο εσωτερικό του (ώστε να ορίζεται το πολικό
σώμα) ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα
(i) Δείξτε ότι υπάρχει 119877 gt 0 ώστε για κάθε 119909 isin ℝ119899 με 1199092 gt 119877 η
ποσότητα ⟨119906 119909⟩ minus 121199092
119870 είναι αρνητική Συμπεράνετε από αυτό ότι η
προηγούμενη ποσότητα έχει μέγιστη τιμή έστω στο 1199090
(ii) Αποδείξτε ότι
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) le
12
ℎ119870(119906)
παρατηρώντας ότι
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) = ⟨119906 1199090⟩ minus
12
11990902119870 le max
119903ge0(119903⟨119906
11990901199090119870
⟩ minus12
1199032)
(iii) Για την αντίστροφη ανισότητα
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) ge
12
ℎ119870(119906)
δείξτε ότι υπάρχει 1199090 isin bd(119870) ώστε ℎ119870(119906) = ⟨119906 1199090⟩ και παρατηρήστε
ότι για κάθε 119903 ge 0 θέτοντας 119909 = 1199031199090 ισχύει
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) ge max
119903ge0(119903⟨119906 1199090⟩ minus
12
1199032)
Παρατήρηση Είναι δυνατόν να αποδείξει κανείς ότι ισχύει και η ℒ( sdot 119870)(119906) =119906119870∘ αλλά η απόδειξη είναι αρκετά πιο περίπλοκη και απαιτεί επιπλέον
υποθέσεις (να είναι η sdot 119870 κλάσης 1198622 στο ℝ119899 ⧵ 0 καθώς και το 119870 να είναι
γνήσια κυρτό (δείτε [GH] Κεφάλαιο Πρόταση ))
Αν και εξηγήσαμε παραπάνω ότι κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα έχει
ισοτροπική θέση θα γράψουμε μια σύντομη και τυπικότερη απόδειξη
Π Για κάθε κεντρικά συμμετρικό κυρτό σώμα 119870 sube ℝ119899
υπάρχει 119879 isin GL(119899) ώστε το 119879(119870) να είναι ισοτροπικό
Απόδειξη Θεωρούμε την απεικόνιση 119872 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 όπου
119872(119910) = int119870⟨119909 119910⟩119909 119889119909 = (int
119870⟨119909 119910⟩119909119895 1198891199091 hellip 119889119909119899)
119899
119895=1
Η Μ είναι μια γραμμική απεικόνιση με πίνακα τον 119872 = (int119870119909119894119909119895 119889119909)119894119895 Ο
119872 είναι φανερά συμμετρικός αλλά και θετικά ορισμένος αφού αν 119910 ne 0ισχύει
⟨119872(119910) 119910⟩ = int119870⟨119909 119910⟩2 119889119909 gt 0
Οπότε υπάρχει συμμετρικός και θετικά ορισμένος 119899 times 119899 πίνακας 119878 ώστε
1198782 = 119872 Θέτουμε 119870 = 119878minus1(119870) Παρατηρούμε ότι ο 119878minus1 είναι και αυτός
συμμετρικός οπότε ισούται με τον ανάστροφό του (119878minus1)lowast Για κάθε
120579 isin 120138119899minus1 θέτουμε 119910 = 119878119909 και χρησιμοποιώντας τον τύπο αλλαγής
μετβλητής στον ℝ119899 έχουμε
int119870⟨119909 120579⟩2 119889119909 = | det 119878|minus1 int
119870⟨119878minus1119910 120579⟩2 119889119910
= | det 119878|minus1 int119870⟨119910 (119878minus1)lowast120579⟩2 119889119910
= | det 119878|minus1 int119870⟨119910 119878minus1120579⟩2 119889119910
= | det 119878|minus1⟨int119870⟨119910 119878minus1120579⟩119910 119889119910 119878minus1120579⟩
= | det 119878|minus1⟨119872(119878minus1120579) 119878minus1120579⟩= | det 119878|minus1
δηλαδή είναι ανεξάρτητο του 120579 Μένει να κανονικοποιήσουμε τον όγκο
θέτουμε 119879 = vol119899(119878minus1(119870))minus1119899119878minus1(119870)
Το επόμενο που θέλουμε να δείξουμε είναι ότι η ισοτροπική θέση
για ένα συμμετρικό κυρτό σώμα είναι μοναδική εκτός από ορθογώνιους
μετασχηματισμούς (στροφές-ανακλάσεις και συνδυασμούς τους) Για
αυτό θα χρειαστούμε το παρακάτω πόρισμα του Θεωρήματος και
ένα ακόμα λήμμα
Π Αν ο 119879 είναι ένας συμμετρικός θετικά ημιορισμένος 119899times119899πίνακας τότε
tr(119879)119899
ge (det 119879)1119899
με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν ο 119879 είναι πολλαπλάσιο τουταυτοτικού
Απόδειξη Ένας συμμετρικός θετικά ημιορισμένος πίνακας είναι διαγωνο-
ποιήσιμος Αν 1205821 hellip 120582119899 οι (μη αρνητικές) ιδιοτιμές του τότε
tr(119879)119899
=1205821 + ⋯ + 120582119899
119899ge (1205821 hellip 120582119899)1119899 = (det 119879)1119899
Αν ισχύει ισότητα τότε όλες οι ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους ίσες οπότε ο
119879 είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού
Λ Η ισοτροπική θέση ελαχιστοποιεί την πολική ροπήαδρανείας PI119870 το ίχνος του πίνακα αδρανείας 119868119870 και το ίχνος του πίνακασυνδιακύμανσης 119862119870 Ισοδύναμα αν το 119870 βρίσκεται σε ισοτροπική θέσηκαι 119879 isin GL(119899) με det(119879) = 1 ισχύει
int119870
11990922 119889119909 le int
1198791198701199092
2 119889119909()
Απόδειξη Από τη σχέση () αρκεί να αποδείξουμε την () Παρα-
τηρούμε πρώτα ότι για κάθε 119899 times 119899 πίνακα 119878 ισχύει
int119870⟨119909 119878119909⟩ 119889119909 = sum
119894119895(int
119870119909119894119909119895 119889119909) 119904119894119895 = tr(119862119870119878)()
Εφαρμόζουμε την () για 119878 = Id και 119870 ισοτροπικό (οπότε 119862119870 = 1198712119870 Id)
int119870
11990922 119889119909 = int
119870⟨119909 119909⟩ 119889119909 = tr(1198712
119870 Id) = 1198991198712119870()
Εφαρμόζουμε ξανά την () για το σώμα 119879(119870) και αλλάζοντας μετα-βλητή (θέτοντας 119910 = 119879minus1119909) παίρνουμε
int119879(119870)
11990922 119889119909 = int
119879(119870)⟨119909 119909⟩ 119889119909 = int
119870⟨119910 119879lowast119879119910⟩ 119889119910 = tr(119862119870119879lowast119879)
()
Αλλά το 119870 είναι ισοτροπικό οπότε 119862119870 = 1198712119870 Id και από την ανισό-
τητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου tr(119879lowast119879)119899 ge det(119879lowast119879)1119899 = 1(Πόρισμα ) και την () παίρνουμε
int119879(119870)
11990922 119889119909 = 1198712
119870tr(119879lowast119879) ge 1198712119870119899 det(119879lowast119879)1119899 = int
1198701199092
2 119889119909()
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Από το παραπάνω λήμμα προκύπτει άμεσα ότι
αν ένα εξάρτημα μιας μηχανής θα περιστρέφεται στο επίπεδο στο οποίο
ανήκει τότε η ενεργειακά συμφέρουσα επιλογή είναι το εξάρτημα να
βρίσκεται στην ισοτροπική του θέση Διότι τότε θα έχει την ελάχιστη
πολική ροπή αδρανείας δηλαδή απαιτείται μικρότερη ροπή για την
απόκτηση της ίδιας γωνιακής ταχύτητας από οποιαδήποτε άλλη θέση
Π Η σχέση () και το Λήμμα μας δίνουν
άλλους δύο τύπους για τη σταθερά ισοτροπίας 119871119870 Από την () αν
το 119870 είναι ισοτροπικό τότε
119871119870 = (1119899
int119870
11990922 119889119909)
12
Από την () και το Λήμμα
119871119870 = inf⎧⎨⎩
(1119899
int119879(119870)
11990922 119889119909)
12
∶ det 119879 = 1⎫⎬⎭
= inf⎧⎨⎩
⎛⎜⎝
1
vol119899(119879(119870))1+ 2
119899
1119899
int119879(119870)
11990922 119889119909⎞⎟
⎠
12
∶ 119879 isin GL(119899)⎫⎬⎭
Π Η ισοτροπική θέση είναι μοναδική εκτός από ορθογώ-νιους μετασχηματισμούς
Απόδειξη Αν το Κ είναι ισοτροπικό και ο 119879 είναι ένας 119899 times 119899 πίνακας
ώστε το 119879(119870) να είναι και αυτό ισοτροπικό τότε θα δείξουμε ότι ο 119879είναι ορθογώνιος Πράγματι από το Λήμμα τόσο το 119870 όσο και το
119879(119870) ελαχιστοποιούν το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της Ευκλείδειας
νόρμας ανάμεσα σε όλες τις θέσεις του 119870 Συνεπώς ισχύει ισότητα
στη σχέση () Άρα ισχύει ισότητα στην ανισότητα αριθμητικού-
γεωμετρικού μέσου tr(119879lowast119879)119899 ge det(119879lowast119879) και συνεπώς ο 119879lowast119879 είναι
πολλαπλάσιος του ταυτοτικού (Πόρισμα ) Αλλά επειδή πρέπει να
έχει και ορίζουσα ίση με 1 είναι ο ταυτοτικός Έτσι 119879lowast119879 = Id δηλαδή ο
119879 είναι ορθογώνιος
Εύκολα βλέπει κανείς ότι το 119870 είναι ισοτροπικό αν και μόνο αν ισχύει
η ()
Π Αν ισχύει
int119870
11990922 119889119909 le int
1198791198701199092
2 119889119909()
για κάθε 119899 times 119899 πίνακα ορίζουσας 1 τότε το 119870 είναι ισοτροπικό
Απόδειξη Πράγματι όπως και στην απόδειξη της Πρότασης έτσι
και εδώ αν το Τ(119870) είναι ισοτροπικό για κατάλληλο 119879 τότε πάλι θα
ισχύει ισότητα στην () οπότε όπως και πριν ο 119879 είναι ορθογώνιος
δηλαδή το 119870 είναι ισοτροπικό
Ελλειψοειδές Binet και ελλειψοειδές Legendre
Στο κλασικό τους άρθρο [MP] οι V Milman και A Pajor δίνουν
τους ορισμούς του ελλειψοειδούς Binet και του Legendre-δυϊκού του
Όμως αντί να χρησιμοποιήσουν τον πίνακα αδρανείας 119868(119870) χρησιμο-
ποιούν τον πίνακα συνδιακύμανσης 119862119870 Έτσι ορίζουν το ελλειψοειδές
Binet με τη σχέση
() 1205792Binet = int
119870∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909
Αυτό το ελλειψοειδές είναι διαφορετικό από το ελλειψοειδές Binet όπως
ορίζεται στην Κλασική Μηχανική και παρουσιάσαμε νωρίτερα Έχει
βέβαια τους άξονές του στις ίδιες διευθύνσεις με το ελλειψοειδές Binet της
Κλασσικής Μηχανικής αφού οι πίνακες συνδιακύμανσης 119862119870 και αδρανείας
119868(119870) έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσματα λόγω της σχέσης
119868(119870) = (int119870
11990922119889119909) Id minus119862119870
αλλά διαφορετικά μήκη ημιαξόνων Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι
η βάση του χώρου 1198901 1198902 hellip 119890119899 έχει επιλεχθεί να είναι τα ιδιοδιανύσματα
του πίνακα αδρανείας οπότε Ι(Κ) = diag(119868119895)119899119895=1 και 119862119870 = diag(119862119895)119899
119895=1
δηλαδή οι πίνακες αδρανείας και συνδιακύμανσης είναι διαγώνιοι Επίσης
ισχύει 119868119895 + 119862119895 = int1198701199092
2119889119909 Σύμφωνα με την () ισχύει
1198901198952Binet = int
119870∣⟨119909 1198901⟩∣
2119889119909 = int119870
1199092119895 119889119909 = 119862119895 = int
1198701199092
2119889119909 minus 119868119895
Όμως ο ορισμός του ελλειψοειδούς Binet και του ελλειψοειδούς Poinsot
στην Κλασική Μηχανική όπως τον παρουσιάσαμε στην υποενότη-
τα εrsquo δίνει
1198901198952Binet =
1119868119895
και 1198901198952Poinsot = 119868119895
Επίσης ορίζουν το ελλειψοειδές laquoLegendreraquo ℰLegendre θέτοντας
() intℰLegendre
∣⟨119909 120579⟩∣2119889119909 = int
119870∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909
για κάθε 120579 isin ℝ119899 Με αυτούς τους ορισμούς αποδεικνύουν ότι
ΕBinet =radic
119899 + 2vol(ℰLegendre)
ℰ∘Legendre
ταυτότητα που θα αποδείξουμε παρακάτω Από αυτήν εύκολα προκύ-
πτει ότι
1198901198952ℰLegendre
=119899 + 2
vol(ℰLegendre)1119862119895
Συνεπώς βλέπουμε ότι ενώ οι δύο διαφορετικοί ορισμοί δεν συμπίπτουν
εν τούτοις γνωρίζοντας τα ελλειψοειδή από την Κλασική Μηχανική μπο-
ρούμε να υπολογίσουμε και τα αντίστοιχα ελλειψοειδή όπως ορίζονται
στο [MP] και αντίστροφα Επίσης αν το σώμα 119870 είναι ισοτροπικό
τότε τόσο ο πίνακας αδρανείας 119868(119870) όσο και ο πίνακας συνδιακύμανσης
119862119870 είναι πολλαπλάσιοι του ταυτοτικού και όλα αυτά τα ελλειψοειδή
είναι πολλαπλάσια της Ευκλείδειας μπάλας ℬ1198992 Οπότε με τις κατάλληλες
κανονικοποιήσεις τα ελλειψοειδή των δύο ορισμών ταυτίζονται
Π Με τους ορισμούς του [MP] ισχύει
ΕBinet =radic
119899 + 2vol(ℰLegendre)
ℰ∘Legendre
Απόδειξη Για κάθε ελλειψοειδές ℰ και119879 isin GL(119899)ώστε ℰ = 119879(ℬ1198992) εύκολα
ελέγχουμε ότι ισχύει 120579ℰ∘ = 119879lowast(120579)2 για κάθε 120579 isin ℝ119899 Επιπλέον
αλλάζοντας μεταβλητές παίρνουμε εύκολα τον τύπο
1vol(ℰ)
intℰ∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909 =1
vol(ℬ1198992)
intℬ119899
2
∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣2119889119909
Το δεύτερο όμως ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί με αλλαγή σε
πολικές συντεταγμένες ως εξής
1vol(ℬ119899
2)int
ℬ1198992
∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣2119889119909 = 119899 int
120138119899minus1∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣
2(int
1
0119903119899+1119889119903) 119889120590(119909)
=119899
119899 + 2int
120138119899minus1∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣
2119889120590(119909)
=1
119899 + 2119879lowast(120579)2
2 =1
119899 + 21205792
ℰ∘
Δείξαμε έτσι ότι
120579ℰ∘ = radic119899 + 2vol(ℰ) (int
ℰ∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909)12
Αντικαθιστώντας το ℰ με το ελλειψοειδές Legendre και χρησιμοποιώντας
την () και την () καταλήγουμε στο ζητούμενο
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε 119879 isin GL(119899) αν θέσουμε ℰ = 119879(ℬ1198992) τότε
ισχύει1
vol(ℰ)int
ℰ∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909 =1
vol(ℬ1198992)
intℬ119899
2
∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣2119889119909
για κάθε 120579 isin ℝ119899 Συμπληρώστε όλες τις λεπτομέρειες της απόδειξης της
Πρότασης
Άσκηση Ας συμβολίσουμε με ℰ119875(119870) το ελλειψοειδές αδρανείαςPoinsot
του κυρτού σώματος 119870 Αποδείξτε ότι για την πολική ροπή αδρανείας του
ℰ119875(119870) ισχύει ότι
PI(ℰ119875(119870)) = 119888119899vol119899(ℬ119899minus1
2 )vol119899(ℬ119899
2)vol119899(ℰ119875(119870))
119899
sum119894=1
1119868119894
όπου (119868119894)119899119894=1 οι πρωτεύουσες ροπές αδρανείας του 119870 και
119888119899 =Γ(32)Γ ( 119899+1
2 )
Γ ( 119899+44 )
≃2radic612058711989032
111989932
Επιπλέον ο πίνακας αδρανείας του ℰ119875(119870) είναι διαγώνιος όπου το 119894στοιχείο της διαγωνίου του είναι το
119868(ℰ119875(119871))119894119894= 119888119899
vol119899(ℬ119899minus12 )
vol119899(ℬ1198992)
vol119899(ℰ119875(119870)) sum119895ne119894
1119868119895
όπου 119888119899 η προηγούμενη σταθερά
Συμπεράνετε ότι το ελλειψοειδές αδρανείαςPoinsot δεν είναι πολλαπλάσιο
του ελλειψοειδούς Legendre
(Υπόδειξη Ξεκινήστε από τον υπολογισμό του 119868(ℰ119875(119871))119894119894 ολοκληρώνοντας
ως προς 120596119894 και παρατηρώντας ότι το ℰ119875(119870) cap (120596119894119890119894 + [119890119894]⟂) είναι ελλειψοειδές
με μήκη ημιαξόνων 119868minus12119895 (1 minus 1198681198941205962
119894 )12 όπου τα 119890119894 είναι η ορθοκανονική βάση
που ορίζεται από τους πρωτεύοντες άξονες αδρανείας Για την εκτίμηση για
το 119888119899 χρησιμοποιείστε την Άσκηση Β)
Η γεωμετρία ενός κυρτού συμμετρικού σώματος 119870 στην ουσία
καθορίζει μια κατανομή μάζας στον ℝ119899 όπου η πυκνότητα είναι η
χαρακτηριστική συνάρτηση 120594119870 Κάθε ολοκλήρωμα που χρησιμοποιείται
για τον ορισμό της έννοιας της ισοτροπίας θα μπορούσε αντί να γραφτεί
ως ολοκλήρωμα πάνω στο 119870 να γραφτεί πάνω σε όλο το ℝ119899 με τη
βοήθεια της χαρακτηριστικής συνάρτησης του 119870 Για παράδειγμα το
int119870⟨119909 120579⟩2 119889119909 μπορεί να γραφτεί ως intℝ119899⟨119909 120579⟩2120594119870(119909) 119889119909 Συνεπώς η έννοια
της ισοτροπίας μπορεί να οριστεί και για άλλες συναρτήσεις εκτός
των χαρακτηριστικών συναρτήσεων κυρτών συμμετρικών σωμάτων
Πράγματι αυτό είναι εφικτό για οποιοδήποτε laquoτρόποraquo διαθέτει κανείς
να περιγράψει την κατανομή μιας μάζας στον ℝ119899 Δύο πολύ συνήθεις
τέτοιοι τρόποι παρέχονται από τις λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις και
κατrsquo επέκταση από λογαριθμικά κοίλα μέτρα
Ο Μια συνάρτηση 119891 ∶ ℝ119899 rarr [0 infin) λέγεται λογαριθμικάκοίλη αν για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 και για κάθε 120582 isin [0 1] ισχύει
119891((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge 119891(119909)1minus120582119891(119910)120582()
Ο Ένα μέτρο 120583 στο ℝ119899 λέγεται λογαριθμικά κοίλο ανγια οποιαδήποτε Lebesgue μετρήσιμα σύνολα 119860 119861 στον ℝ119899 και για κάθε120582 isin [0 1] για το οποίο το (1 minus 120582)119860 + 120582119861 είναι μετρήσιμο ισχύει
120583((1 minus 120582)119860 + 120582119861) ge 120583(119860)1minus120582120583(119861)120582()
Μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση 119891 ορίζει ένα μέτρο 120583119891 μέσω
του τύπου 120583119891(119860) = int119860119891(119909) 119889119909 για κάθε Lebesgue μετρήσιμο σύνολο
119860 sube ℝ119899 Το μέτρο αυτό είναι λογαριθμικά κοίλο σύμφωνα με την
ακόλουθη πρόταση
Π Αν η 119891 ∶ ℝ119899 rarr [0 infin) είναι μια λογαριθμικά κοίλησυνάρτηση τότε το 120583119891 είναι λογαριθμικά κοίλο μέτρο
Απόδειξη Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Prekopa-
Leindler (Θεώρημα ) Πράγματι αν τα σύνολα 119860 119861 είναι Lebesque
μετρήσιμα στον ℝ119899 και για 120582 isin [0 1] το σύνολο (1 minus 120582)119860 + 120582119861 είναι
Lebesque μετρήσιμο τότε εύκολα ελέγχουμε ότι για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899
ισχύει
(119891120594(1minus120582)119860+120582119861)((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge (119891120594119860)(119909)1minus120582(119891120594119861)(119910)120582
Συνεπώς ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος οπότε
παίρνουμε
int 119891120594(1minus120582)119860+120582119861 ge (int 119891120594119860)1minus120582
(int 119891120594119861)120582
δηλαδή
int(1minus120582)119860+120582119861
119891 ge (int119860
119891)1minus120582
(int119861
119891)120582
Άρα
120583119891((1 minus 120582)119860 + 120582119861) ge 120583119891(119860)1minus120582120583119891(119861)120582
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Η παραπάνω πρόταση ισχύει και αντίστροφα (η απόδειξη παραλεί-
πεται δείτε [Borel])
Π (Borel) Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 στον ℝ119899 πουδεν φέρεται από κανένα υπερεπίπεδο είναι απολύτως συνεχές ως προςτο μέτρο Lebesque και υπάρχει λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση 119891 ∶ ℝ119899 rarr[0 infin) ώστε 120583 = 120583119891
Η επιλογή αυτών των δύο κατηγοριών γίνεται για τουλάχιστον
δύο λόγους
ndash Μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με πεπερασμένο ολοκλήρωμα
έχει πεπερασμένες ροπές οποιασδήποτε τάξης (Πρόταση
παρακάτω)
ndash Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο αποτελεί ευθεία γενίκευση της έννοιας
του όγκου αφού η () βρίσκεται σε πλήρη αντιστοιχία με
την πολλαπλασιαστική μορφή της ανισότητας Brunn-Minkowski
(Θεώρημα )
Π Μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση 119891 ∶ ℝ119899 rarr [0 infin)με πεπερασμένο ολοκλήρωμα έχει πεπερασμένες ροπές οποιασδήποτετάξης
Απόδειξη Η πρόταση προφανώς ισχύει αν 119891 = 0 Ας υποθέσουμε ότιυπάρχει 1199090 isin ℝ119899 ώστε 119891(1199090) gt 0 Θα αποδείξουμε ότι για κάθε 119898 isin ℕτόσο το ολοκλήρωμα intinfin
1199090119891(119909)119909119898 119889119909 όσο και το int1199090
minusinfin119891(119909)119909119898 119889119909 είναι
πεπερασμένα
Πράγματι υπάρχει 1199091 gt 1199090 ώστε 119891(1199091) le 119890minus1119891(1199090) διότι αλλιώς
το ολοκλήρωμα intinfin1199090
119891(119909) 119889119909 δεν είναι πεπερασμένο άρα ούτε και το
int 119891 το οποίο αντιφάσκει με την υπόθεση Έτσι για κάθε 119909 gt 1199091 ισχύει
1199091 = (1 minus 120582)1199090 + 120582119909 για 120582 = (1199091 minus 1199090)(119909 minus 1199090) Οπότε αφού η 119891 είναι
λογαριθμικά κοίλη θα ισχύει
119891(1199091) ge 119891(1199090)1minus120582119891(119909)120582
Ισοδύναμα
119891(119909) le 119891(1199090) (119891(1199091)119891(1199090))
1120582
le 119891(1199090)119890minus1120582 le 119891(1199090)119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)
Έτσι
intinfin
1199090
119891(119909)119909119898 119889119909 = int1199091
1199090
119891(119909)119909119898 119889119909 + intinfin
1199091
119891(119909)119909119898 119889119909
le int1199091
1199090
119891(119909)1199091198981 119889119909 + 119891(1199090) int
infin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
le 1199091198981 int
1199091
1199090
119891(119909) 119889119909 + 119891(1199090) intinfin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
le 1199091198981 int
ℝ119891(119909) 119889119909 + 119891(1199090) int
infin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
Εύκολα ελέγχουμε ότι η τελευταία παράσταση είναι πεπερασμένη
Ομοίως αποδεικνύουμε ότι και το int1199090
minusinfin119891(119909) 119889119909 είναι και αυτό πεπε-
ρασμένο
Π Η Προτάση μας επιτρέπει να συμπεράνου-
με ότι η τυπική κατάσταση για τα λογαριθμικά κοίλα μέτρα είναι να
προκύπτουν από λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις που τις έχουν ως
πυκνότητες Επιπλέον η Πρόταση προσθέτει την πληροφορία
ότι αν το μέτρο είναι πεπερασμένο (δηλαδή η πυκνότητά του έχει πε-
περασμένο ολοκλήρωμα) τότε θα έχει και οποιασδήποτε τάξης ροπή
πεπερασμένη Για αυτούς τους λόγους στη συνέχεια θα περιοριστούμε σεπεπερασμένα (και μη μηδενικά) λογαριθμικά κοίλα μέτρα με λογαριθμικάκοίλη συνάρτηση πυκνότητας
Οι κανονικοποιήσεις που θέσαμε στον ορισμό της ισοτροπίας για
ένα κυρτό συμμετρικό σώμα 119870 ήταν ότι αυτό πρέπει να έχει όγκο ίσο
με 1 και κέντρο μάζας στο μηδέν Δηλαδή
1 = int119870
119889119909 = intℝ119899
120594119870(119909) 119889119909
και
0 = int119870
119909 119889119909 = intℝ119899
119909 120594119870(119909) 119889119909
όπου 120594119870 η χαρακτηριστική συνάρτηση του 119870 Οι αντίστοιχες κανονικο-
ποιήσεις τώρα θα είναι
intℝ119899
119891(119909) 119889119909 = 1
δηλαδή η 119891 είναι πυκνότητα πιθανότητας και το μέτρο που ορίζει είναι
μέτρο πιθανότητας και
intℝ119899
119909 119891(119909) 119889119909 = 0
δηλαδή το μέτρο με πυκνότητα την 119891 έχει κέντρο μάζας στο μηδέν Θα
δούμε παρακάτω ότι για την ισοτροπική θέση των λογαριθμικά κοίλων
μέτρων με πυκνότητα 119891 θα χρειαστούμε άλλη μια κανονικοποίηση (που
δεν φαινόταν στην περίπτωση των κυρτών σωμάτων) και αυτή είναι η
sup119909isinℝ119899
119891(119909) = 1
Για τον ορισμό της ισοτροπίας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε τον
Ορισμό είτε τον εναλλακτικό Ορισμό
Ο Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με πυκνότητα 119891 ∶ℝ119899 rarr ℝ λέγεται ισοτροπικό όταν
supℝ119899
119891(119909) = 1 intℝ119899
119891(119909) 119889119909 = 1 intℝ119899
119909 119891(119909) 119889119909 = 0
και τα ολοκληρώματα
intℝ119899
⟨119909 120579⟩2119891(119909) 119889119909
είναι ανεξάρτητα του 120579 isin 120138119899minus1
Ισοδύναμα
Ο Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με πυκνότητα 119891 ∶ℝ119899 rarr ℝ λέγεται ισοτροπικό όταν
sup119909isinℝ119899
119891(119909) = 1 intℝ119899
119891(119909) 119889119909 = 1 intℝ119899
119909 119891(119909) 119889119909 = 0
intℝ119899
119909119894119909119895119891(119909) 119889119909 = 0 αν 119894 ne 119895
και τα ολοκληρώματα
intℝ119899
1199092119894 119891(119909) 119889119909
είναι ανεξάρτητα του 119894 = 1 hellip 119899
Αν ισχύουν τα παραπάνω για την 119891 τότε ο πίνακας συνδιακύμανσης
Cov(119891) = (intℝ119899 119909119894119909119895119891(119909) 119889119909)119894119895 είναι φανερά πολλαπλάσιος του ταυτοτι-
κού Id Ορίζουμε τη σταθερά ισοτροπίας 119871120583
Ο Αν το λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με πυκνότητα 119891είναι ισοτροπικό τότε ορίζουμε τη σταθερά ισοτροπίας 119871120583 να είναι ο
αριθμός
119871120583 = (intℝ119899
1199092119894 119891(119909) 119889119909)
12
Παρατηρούμε ότι
119871120583 = (det Cov(119891))12119899()
Επίσης αν η 119891 είναι η πυκνότητα ενός ισοτροπικού μέτρου 120583 τότε για
κάθε 120582 gt 0 και 119886 gt 0 η συνάρτηση 119892(119909) = 119886120582119899119891(120582119909) δεν αλλάζει
ουσιαστικά τον τρόπο με τον οποία κατανέμεται η μάζα στον ℝ119899 Και
πράγματι εύκολα ελέγχουμε ότι ο πίνακας συνδιακύμανσης της 119892 είναι
και πάλι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού για 119894 ne 119895 και αντικαθιστώντας
με 119910 το 120582119909 ισχύει
intℝ119899
119909119894119909119895119892(119909) 119889119909 = 119886 intℝ119899
1120582
1199101198941120582
119910119895119891(119910) 119889119909 = 0()
και αν 119894 = 119895
intℝ119899
1199092119894 119892(119909) 119889119909 =
1198861205822 int
ℝ1198991199102
119894 119891(119910) 119889119910()
το οποίο είναι ανεξάρτητο το 119894 αφού η 119891 ορίζει ισοτροπικό μέτρο Αλλά
και διαισθητικά το γράφημα της 119892 δεν είναι παρά το γράφημα της 119891όπου κάθε ισοϋψής της 119891 μεγεθύνθηκε κατά 120582minus1 και ανυψώθηκε κατά
119886120582119899 Είναι λογικό λοιπόν να θέλουμε το μέτρο που ορίζει η 119892 να έχει την
ίδια σταθερά ισοτροπίας με το μέτρο που ορίζει η 119891 Από τις () και
() τον ορισμό του πίνακα συνδιακύμανσης και το ότι intℝ119899 119892 = 119886παίρνουμε ότι
det Cov(119892) =1
1205822119899 det Cov(119891)
οπότε
120582(det Cov(119892))12119899 = (det Cov(119891))
12119899 = 119871120583
Όμως supℝ119899 119892 = 119886120582119899 άρα
120582 = (sup
ℝ119899 119892119886 )
1119899
= (sup
ℝ119899 119892
intℝ119899 119892 )1119899
Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη καταλήγουμε στην
(sup
ℝ119899 119892
intℝ119899 119892 )1119899
(det Cov(119892))12119899 = (det Cov(119891))
12119899 = 119871120583
Από αυτή τη σχέση λοιπόν καταλήγουμε στο να επιλέξουμε τον ακόλουθο
ορισμό για τη σταθερά ισοτροπίας οποιουδήποτε λογαριθμικά κοίλου
μέτρου 120583 με συνάρτηση πυκνότητας 119891
Ο Για κάθε λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με συνάρτηση
πυκνότητας 119891 ορίζουμε τη σταθερά ισοτροπίας να είναι η ποσότητα
119871120583 = (sup
ℝ119899 119891
intℝ119899 119891 )1119899
(det Cov(119891))12119899
Θα ολοκληρώσουμε αυτή την ενότητα δείχνοντας ότι κάθε λογα-
ριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με συνάρτηση πυκνότητας 119891 έχει ισοτροπική
θέση
Θ Για κάθε λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 ne 0 με συνάρ-τηση πυκνότητας 119891 και κέντρο μάζας στο 0 υπάρχει 119899 times 119899 πίνακας 119879 μεdet 119879 ne 0 και σταθερά 119886 gt 0 ώστε το μέτρο 119886120583 ∘ 119879 να είναι ισοτροπικό
Απόδειξη Αφού το κέντρο μάζας είναι στο 0 ισχύει intℝ119899 119909119891(119909) 119889119909 = 0Επίσης μπορούμε να υποθέσουμε ότι το 120583 είναι μέτρο πιθανότητας δη-
λαδή intℝ119899 119891(119909) 119889119909 = 1 επιλέγοντας 119886 = 120583(ℝ119899)minus1 Θεωρούμε την γραμμική
απεικόνηση 119877 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 με
119877(119910) ∶= int ⟨119909 119910⟩119909 119889120583(119909) = intℝ119899
⟨119909 119910⟩119909119891(119909) 119889119909
και παρατηρούμε ότι είναι θετικά ορισμένη και συμμετρική Συνεπώς
υπάρχει πίνακας 119878 που είναι η τετραγωνική ρίζα του 119877 δηλαδή 119877 = 1198782
Θεωρούμε το μέτρο 120584 = 120583 ∘ 119879 όπου
119879 =119878
(sup 119891)1119899(det 119878)1119899
Ελέγχουμε εύκολα υπολογίζοντας το 120584(119860) για κάθε μετρήσιμο σύνολο
119860 ότι το 120584 έχει πυκνότητα τη συνάρτηση 119892 = (119891 ∘ 119879) supℝ119899 119891 οπότε
φανερά supℝ119899 119892 = 1 Το 120584 είναι βεβαίως μέτρο πιθανότητας αφού
120584(ℝ119899) = 120583(119879(ℝ119899)) = 120583(ℝ119899) = 1
και έχει κέντρο μάζας στο 0 διότι λόγω της γραμμικότητας του 119879 και
με την αντικατάσταση 119910 = 119879119909 ισχύει
intℝ119899
119909119892(119909) 119889119909 =1
supℝ119899 119891
intℝ119899
119909119891(119879119909) 119889119909 =1
supℝ119899 119891
119879minus1 (intℝ119899
119910119891(119910) 119889119910) = 0
Τέλος ελέγχουμε το ότι το ολοκλήρωμα intℝ119899⟨119909 120579⟩2119892(119909) 119889119909 είναι ανεξάρ-
τητο του 120579 isin 120138119899minus1 όπως και στην απόδειξη της Πρότασης
intℝ119899
⟨119909 120579⟩2119892(119909) 119889119909 =1
supℝ119899 119891
intℝ119899
⟨119909 120579⟩2119891(119879119909) 119889119909 = intℝ119899
⟨119879minus1119910 120579⟩2119891(119910) 119889119910
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899 intℝ119899
⟨119910 119877minus1120579⟩2119891(119910) 119889119910
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899 ⟨intℝ119899
⟨119910 119877minus1120579⟩119910119891(119910) 119877minus1120579⟩ 119889119910
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899⟨119878119877minus1120579 119877minus1120579⟩
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Άσκηση Αποδείξτε ότι το ολοκλήρωμα
intinfin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
στην απόδειξη της Πρότασης είναι πεπερασμένο ανάγοντας τον υπολο-
γισμό του στον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος της μορφής intinfin1199091
119890minus119909119909119898 119889119909
Η ΘΕΣΗ ΤΟΥ JOHN
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει ελλειψοειδέςμεγίστου όγκου μέσα στο 119870
Απόδειξη Κατrsquo αρχάς αφού το 119870 είναι κυρτό σώμα έχει μη κενό εσωτερικό
άρα περιέχει ελλειψοειδή Συνεπώς ο αριθμός
120572 = supvol(ℰ) ∶ exist 119909 isin 119870 με 119909 + ℰ sube 119870
είναι θετικός όπου τα ℰ στον παραπάνω ορισμό του 120572 είναι ελλειψοειδή
με κέντρο το μηδέν Επιπλέον αφού το 119870 είναι φραγμένο σύνολο το 120572 είναι
πεπερασμένο Δηλαδή 0 lt 120572 lt infin Θεωρούμε ακολουθία (119909119898)119898isinℕ με
119909119898 isin 119870 και ελλειψοειδή ℰ119898 με μήκη ημιαξόνων (119886119896119898)119899119896=1 ώστε 119909119898 +ℰ sube 119870
για κάθε 119898 isin ℕ και vol(ℰ119898) rarr 120572 Από τη συμπάγεια του 119870 περνώντας
σε υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι η 119909119898 συγκλίνει έστω στο
1199090 isin 119870 Μεταφέροντας το 119870 κατά minus1199090 μπορούμε να υποθέσουμε ότι η
119909119898 συγκλίνει στο μηδέν Επίσης τα ελλειψοειδή ℰ119898 έχουν συγκλίνουσα
υπακολουθία από το θεώρημα επιλογής του Blaschke (Θεώρημα )
Ας υποθέσουμε ότι ℰ119898 rarr 119864 Από τη συνέχεια του όγκου ως προς
τη μετρική Hausdorff ισχύει vol(119864) = 120572 Μένει να δείξουμε ότι το 119864είναι ελλειψοειδές Παρατηρούμε ότι οι ακολουθίες (119886119896119898)infin
119898=1 είναι άνω
φραγμένες για κάθε 119896 = 1 hellip 119899 (αφού το 119909119898 + ℰ119898 περιέχεται στο Κκαι η 119909119898 είναι φραγμένη ως συγκλίνουσα) Οπότε υπάρχει θετικός 119872ώστε 119886119896119898 le 119872 για κάθε 119896 = 1 hellip 119899 και για κάθε 119898 isin ℕ Επιπλέον είναι
και κάτω φραγμένες από κάποιον θετικό αριθμό 119888 gt 0 αφού αλλιώς
τα ℰ119898 θα είχαν υπακολουθία με όγκο που να συγκλίνει στο μηδέν το
οποίο είναι άτοπο Άρα υπάρχει 119888 gt 0 ώστε 119888 le 119886119896119898 le 119872 για κάθε
119896 = 1 hellip 119899 και για κάθε 119898 isin ℕ
Ας υποθέσουμε ότι
ℰ119898 = 119909 isin ℝ119899 ∶119899
sum119896=1
⟨119909 119907119896119898⟩2
1198862119896119898
le 1
όπου τα (119907119896119898)119899119896=1 είναι ορθοκανονική βάση του ℝ119899 Η ακολουθία των
διανυσμάτων (1199071119898 hellip 119907119899119898 1198861119898 hellip 119886119899119898) για 119898 isin ℕ ανήκει στο συμπαγές
σύνολο (120138119899minus1)119899 times[119888 119872]119899 Άρα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Επιλέγον-
τας την αντίστοιχη υπακολουθία των ℰ119898 μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς
βλάβη της γενικότητας ότι η ίδια η ακολουθία (1199071119898 hellip 119907119899119898 1198861119898 hellip 119886119899119898)συγκλίνει για119898 rarr infin έστω στο (1199071 hellip 119907119899 1198861 hellip 119886119899) Επειδή lim119898rarrinfin 119907119896119898 =119907119896 για κάθε 119896 = 1 hellip 119899 εύκολα ελέγχουμε ότι τα 1199071 hellip 119907119899 ικανοποιούν
τις ⟨119907119896 119907ℓ⟩ = 1 αν 119896 = ℓ και ⟨119907119896 119907ℓ⟩ = 0 αλλιώς οπότε συνιστούν
ορθοκανονική βάση του ℝ119899 Θεωρούμε τώρα το ελλειψοειδές
ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶119899
sum119896=1
⟨119909 119907119896⟩2
1198862119896
le 1
Θα δείξουμε ότι 119864 = ℰ και έτσι το 119864 θα είναι ελλειψοειδές
Αν 119909 isin int(119864) τότε 119909119864 lt 1 Αλλά 119909ℰ119898rarr 119909119864 συνεπώς υπάρχει
1198980 isin ℕ ώστε 119898 ge 1198980 τότε 119909ℰ119898lt 1 Άρα sum
119899119896=1⟨119909 119907119896119898⟩21198862
119896119898 lt 1 γιακάθε 119898 ge 1198980 Αφήνοντας το 119898 να πάει στο άπειρο οδηγούμαστε στην
sum119899119896=1⟨119909 119907119896⟩21198862
119896 le 1 δηλαδή 119909 isin ℰ Δείξαμε ότι int(119864) sube ℰ Άρα 119864 sube ℰΑντίστροφα αν 119909 isin int(ℰ) τότε sum
119899119896=1⟨119909 119907119896⟩21198862
119896 lt 1 Συνεπώς αφού
lim119898rarrinfin 119907119896119898 = 119907119896 και lim119898rarrinfin 119886119896119898 = 119886119896 για κάθε 119896 = 1 hellip 119898 υπάρχει
1198980 isin ℕ ώστε αν 119898 ge 1198980 να ισχύει sum119899119896=1 ⟨119909 119907119896119898⟩21198862
119896119898 lt 1 για κάθε
119898 ge 1198980 Άρα 119909 isin ℰ119898 και περνώντας στο όριο ως προς 119898 συμπεραίνουμε
ότι 119909 isin 119864 Δείξαμε int(ℰ) sube 119864 άρα ℰ sube 119864 ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 το ελλειψοειδές μεγί-στου όγκου μέσα στο 119870 είναι μοναδικό
Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι τα 1199091 +ℰ1 και 1199092 +ℰ2 είναι δύο διαφορετικά
ελλειψοειδή μέγιστου όγκου μέσα στο κυρτό σώμα 119870 και έστω ότι
vol(ℰ1) = vol(ℰ2) = 120572 Θεωρούμε τους πίνακες 1198791 1198792 isin 119866119871(119899) ώστε να
ισχύει ℰ1 = 1198791(ℬ1198992) και ℰ2 = 1198792(ℬ119899
2) Θέτουμε 119871 = 12(1199091 + 1199092) + 1
2(1198791 +
1198792)(ℬ1198992) Φανερά το 119871 είναι ελλειψοειδές και 119871 sube 119870 διότι το 119870 είναι κυρτό
και
119871 =12(1199091 + 1198791(ℬ119899
2)) +12(1199092 + 1198792(ℬ119899
2))
Άρα θα ισχύει vol(119871) le 120572 Αλλά από την ανισότητα Brunn-Minkowski
βλέπουμε εύκολα ότι
120572 ge vol(119871) ge (12vol(1199091 + 1198791(ℬ119899
2))1119899 +
12vol(1199091 + 1198791(ℬ119899
2))1119899
)119899
ge 120572
Συνεπώς επειδή ο όγκος είναι αναλλοίωτος στις μεταθέσεις
vol (1198791(ℬ1198992) + 1198792(ℬ119899
2))1119899 = vol(1198791(ℬ119899
2))1119899 + vol(1198792(ℬ119899
2))1119899
Δηλαδή ισχύει η ισότητα στην ανισότητα Brunn-Minkowski Έτσι από
το Θεώρημα το 1198791(ℬ1198992) είναι πολλαπλάσιο του 1198792(ℬ119899
2) Αλλά
επειδή και τα δύο έχουν ίδιο όγκο 120572 συμπεραίνουμε ότι είναι ίσα Άρα
1198791(ℬ1198992) = 1198792(ℬ119899
2) και συνεπώς 119879minus12 1198791(ℬ119899
2) = ℬ1198992
Γνωρίζουμε ότι 1199092 + 1198792(ℬ1198992) sube 119870 άρα 119879minus1
2 1199092 + ℬ1198992 sube 119879minus1
2 (119870) Επίσης1199091 + 1198791(ℬ119899
2) sube 119870 οπότε 119879minus12 1199091 + 119879minus1
2 1198791(ℬ1198992) sube 119879minus1
2 (119870) Επειδή όμως
είδαμε ότι 119879minus12 1198791(ℬ119899
2) = ℬ1198992 συμπεραίνουμε ότι 119879minus1
2 1199091 + ℬ1198992 sube 119879minus1
2 (119870)Αν θέσουμε λοιπόν 1199101 = 119879minus1
2 1199091 και 1199102 = 119879minus12 1199092 τότε και το 1199101 + ℬ119899
2και το 1199102 + ℬ119899
2 είναι υποσύνολα του 119879minus12 (119870) Το τελευταίο όμως δεν
μπορεί να περιέχει ελλειψοειδές 1199090 + ℰprime με vol(ℰprime) gt vol(ℬ1198992) διότι αν
αυτό μπορούσε να συμβεί τότε το 11987921199090 + 1198792(ℰprime) θα περιεχόταν στο 119870και θα είχε όγκο γνησίως μεγαλύτερο από τον όγκο του ℰ2 το οποίο
είνα άτοπο
Συνεπώς τα 1199101 + ℬ1198992 και 1199102 + ℬ119899
2 είναι ελλειψοειδή μεγίστου όγκου
στο Τminus12 (119870) Μένει να δείξουμε ότι 1199101 = 1199102 Ας υποθέσουμε ότι αυτό
δεν είναι σωστό Μετατοπίζουμε το Τminus12 (119870) ώστε το μηδέν να βρίσκεται
στο κέντρο του ευθύγραμμου τμήματος [1199101 1199102] Επιπλέον στρέφουμε το
Τminus12 (119870) ώστε το ευθύγραμμο τμήμα [1199101 1199102] να είναι στη διεύθυνση του
πρώτου άξονα του ℝ119899 Έτσι το ευθύγραμμο τμήμα [1199101 1199102] γράφεται
στη μορφή [minus119910 119910] για κατάλληλο 119910 και υπάρχει 120583 gt 0 ώστε 119910 = 1205831198901
Θεωρούμε το ελλειψοειδές
ℰ0 =⎧⎨⎩
119909 isin ℝ119899 ∶⟨119909 1198901⟩2
(1 + 1205832)
2 +119899
sum119896=2
⟨119909 119890119896⟩2 le 1⎫⎬⎭
Φανερά vol(ℰ0) = (1+1205832)vol(ℬ1198992) gt vol(ℬ119899
2) οπότε θα έχουμε καταλήξει
σε άτοπο αν δείξουμε ότι ℰ0 sube Τminus12 (119870) Αφού 1199101 +ℬ119899
2 1199102 +ℬ1198992 sube 119879minus1
2 (119870)αρκεί να δείξουμε ότι
bd(ℰ0) sube conv ((1199101 + ℬ1198992) cup (1199102 + ℬ119899
2))
Έστω ότι 1199090 isin bd(ℰ0) Αν ⟨1199090 1198901⟩1198901 isin [minus119910 119910] τότε υπάρχει 119905 isin [0 1]ώστε ⟨1199090 1198901⟩1198901 = (1 minus 119905)(minus119910) + 119905119910 οπότε
1199090 = ⟨1199090 1198901⟩1198901 +119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896
= (1 minus 119905) (minus119910 +119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896) + 119905 (119910 +119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896)
το οποίο είναι φανερά στοιχείο του conv((1199101 + ℬ1198992) cup (1199102 + ℬ119899
2)) αφού
∥119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896∥2
2
=119899
sum119896=2
∣⟨1199090 119890119896⟩∣2 le 11990902
2 = 1
Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση ⟨1199090 1198901⟩1198901 notin [minus119910 119910] Ας υποθέ-σουμε ότι ⟨1199090 1198901⟩ gt 120583 gt 0 Θα δείξουμε ότι τότε 1199090 isin 119910 + ℬ119899
2 (Ομοίως
εργαζόμαστε και στην περίπτωση όπου ⟨1199090 1198901⟩ lt minus120583 lt 0 για να
δείξουμε ότι τότε 1199090 isin minus119910 + ℬ1198992)
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι 1199090 minus1199102 le 1 Επειδή 1199090 isin bdℰ ισχύει
119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119897⟩2 = 1 minus⟨1199090 1198901⟩2
(1 + 1205832)2
και έχουμε
1199090 minus 11991022 = (⟨1199090 1198901⟩ minus 120583)
2 + 1 minus⟨1199090 1198901⟩2
(1 + 1205832)2
Εφόσον θέλουμε η τελευταία ποσότητα να είναι μικρότερη ή ίση του 1αρκεί να ισχύει
(⟨1199090 1198901⟩ minus 120583)2 minus
⟨1199090 1198901⟩2
(1 + 1205832)2 le 0
Αυτό θα ισχύει αν το ⟨1199090 1198901⟩ βρίσκεται ανάμεσα στις ρίζες του πολυω-
νύμου (119905 minus 120583)2 minus 1199052(1 + 1205832)2 Εύκολα ελέγχουμε ότι οι ρίζες αυτού
του πολυωνούμου είναι εκατέρωθεν του διαστήματος [120583 1 + 1205832] στο
οποίο βρίσκεται το ⟨1199090 1198901⟩ ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξη
Ο Λέμε ότι ένα κυρτό σώμα βρίσκεται στη θέση του Johnαν το ελλειψοειδές μεγίστου όγκου στο 119870 είναι η μοναδιαία Ευκλείδειαμπάλα ℬ119899
2
Παρατηρούμε κάθε σώμα 119870 μπορεί να τεθεί στη θέση του John αν
του εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό που απεικονίζει το ελλειψοειδές
μεγίστου όγκου του 119870 στο ℬ1198992 Επίσης η θέση αυτή είναι μοναδική εκτός
από ορθογώνιους μετασχηματισμούς (δηλαδή στροφές ανακλάσεις και
συνδυασμούς τους) Πράγματι αυτό προκύπτει εύκολα από το ότι το
ελλειψοειδές μεγίστου όγκου μέσα στο 119870 είναι μοναδικό
Θ (John) Έστω ότι το 119870 είναι ένα κεντρικά συμμετρικόκυρτό σώμα στη θέση του John Τότε ισχύει
ℬ1198992 sube 119870 sube radic119899ℬ119899
2
Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι 119870 ⊈ radic119899ℬ1198992 Τότε υπάρχει 1199090radic119899ℬ119899
2 ⧵ 119870δηλαδή 1199090 isin 119870 και 11990902 gt radic119899 Επειδή το 119870 είναι συμμετρικό ως προς
το 0 συμπεραίνουμε ότι plusmn1199090 isin 119870 και συνεπώς
conv(plusmn1199090 ℬ1198992) sube 119870
Θα δείξουμε ότι το 119885 = conv(plusmn1199090 ℬ1198992) περιέχει ελλειψοειδές με όγκο
μεγαλύτερο από το vol119899(ℬ1198992) αντιφάσκωντας με το ότι το ℬ119899
2 είναι το
ελλειψοειδές μεγίστου όγκου του 119870
Με κατάλληλη στροφή υποθέτουμε ότι 1199090 = 1205831198901 όπου 120583 gt radic119899Θεωρούμε το ελλειψοειδές
ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶1199092
1
1198862 +119899
sum119896=2
1199092119896
1198872 le 1
όπου τα 119886 gt 1 και 0 lt 119887 lt 1 θα επιλεγούν κατάλληλα ώστε vol119899(ℰ) gtvol119899(ℬ119899
2) και ℰ sube 119870 Το κυρτό σώμα 119885 είναι στερεό που προκύπτει από
περιστροφή του Σχήματος ως προς τον άξονα του 1199090 Η ευθεία που
περνάει από το 1199090 και εφάπτεται στον κύκλο ℬ22 του σχήματος στο
άνω ημιεπίπεδο έχει εξίσωση
119910 =1
radic1 minus 11205832
minus 1199051
120583radic1 minus 11205832
()
eeY
x Y eYy
Y
Σ Το κυρτό σώμα 119885 = conv(plusmn1199090 ℬ1198992) sube 119870 προκύπτει από
περιστροφή του παραπάνω σχήματος στον ℝ119899 ως προς τον πρώτο
άξονα
Θεωρούμε ένα σημείο 119909 = (1199091 hellip 119909119899) isin bd(ℰ) Θα βρούμε συνθήκες για
τα 119886 gt 0 και 0 lt 119887 lt 1 ώστε να ισχύει 119909 isin 119885
1η Περίπτωση Αν 1199091 gt 1120583 τότε για να ανήκει το 119909 στο 119885 αρκεί το
σημείο του (δισδιάστατου) επιπέδου (1199091 (sum119899119896=2 1199092
119896)12) να είναι laquoκάτωraquo
από την ευθεία με εξίσωση την () δηλαδή να ικανοποιεί την
(119899
sum119896=2
1199092119896)
12
le1
radic1 minus 11205832
minus 11990911
120583radic1 minus 11205832
Ισοδύναμα επειδή 119909 isin bd(ℰ) και συνεπώς (sum119899119896=2 1199092
119896)12 = 119887radic1 minus 11990921 1198862
119887radic1 minus1199092
1
1198862 le1
radic1 minus 11205832
(1 minus1199091
120583 )
Από αυτή καταλήγουμε ισοδύναμα με απλές πράξεις ότι το σημείο 119909βρίσκεται κάτω από την ευθεία () αν και μόνο αν ισχύει
1198862
1205832 + 1198872 (1 minus1
1205832 ) le 1()
2η Περίπτωση Αν 0 le 1199091 le 1120583 θέλουμε να ισχύει 119909 isin ℬ1198992 Εύκολα
ελέγχουμε ότι η απαίτηση 1199092 le 1 οδηγεί στην ανισότητα
11205832 (1 minus
1198872
1198862 ) + 1198872 le 1()
Αν θέσουμε
119886 =120583
radic119899gt 1 και 0 lt 119887 = radic1 minus 1119899
radic1 minus 11205832lt 1()
ελέγχουμε με απλές πράξεις ότι ικανοποιείται και η () και η ()
Συνεπώς με αυτές τις τιμές για τα 119886 και 119887 ισχύει ℰ sube 119885 sube 119870 Επιπλέον
όμως ισχύει 119886119887119899minus1 gt 1 που σημαίνει ότι το ℰ έχει όγκο μεγαλύτερο από
τον όγκο του ℬ1198992 που είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου μέσα στο 119870
καταλήγοντας έτσι σε άτοπο
Άσκηση Ελέγξτε ότι οι επιλογές γις τις παραμέτρους 119886 και 119887 στην ()
ικανοποιούν πράγματι τις () και ()
Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
Για απλοποίηση του συμβολισμού στα επόμενα όλες οι συναρτήσεις
που εμφανίζονται θα θεωρούνται μη αρνητικές
-
Η ανισότητα Houmllder μπορεί να γενικευτεί ως προς το πλήθος των
συναρτήσεων που συμμετέχουν σε αυτή εύκολα ελέγχει κανείς με ε-
παγωγή ότι αν 119892119896 isin 119871119901119896(ℝ119899) για 119896 = 1 hellip 119898 με sum
119898119896=1 1119901119896 = 1 τότε
prod119898119896=1 119892119896 isin 1198711(ℝ119899) και ισχύει
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119892119896(119909)) 119889119909 le119898
prod119896=1
119892119896119901119896
Αν θέσουμε 119888119896 = 1119901119896 και 119891119896 = 119892119901119896119896 = 1198921119888119896
119896 τότε οι 119891119896 είναι απλώς
ολοκληρώσιμες (στον 1198711(ℝ119899)) και η ανισότητα γράφεται ως εξής
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(119909)119888119896) 119889119909 le119898
prod119896=1
(intℝ119899
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
(Άσκηση ) Αυτή η ανισότητα μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω με
τις εξής αλλαγές
ndash οι συναρτήσεις μπορούν να ανήκουν στον 1198711(ℝ119899119896) δηλαδή οι 119891119896να είναι συναρτήσεις 119899119896 μεταβλητών αλλά για να έχει νόημα το
αριστερό ολοκλήρωμα στον ℝ119899
ndash να χρησιμοποιηθούν 119899119896 times119899 πίνακες 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896 στα ορίσματα
των 119891119896
Αυτές οι αλλαγές οδηγούν σε μια νέα ανισότητα όπου τώρα εμφανίζεται
μια σταθερά στο δεξιό μέλος που εξαρτάται από τους πίνακες 119861119896 Η
ανισότητα αυτή είναι η ανισότητα Brascamp-Lieb όπως εμφανίζεται στο
παρακάτω θεώρημα
Θ (Brascamp-Lieb Εκδοχή Α) Έστω ότι 119898 isin ℕ 119888119896 gt 0119899119896 isin ℕ για 119896 = 1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 119888119896119899119896 = 119899 και 119891119896 isin 1198711(ℝ119899119896) με 119891119896 ge 0
Αν 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896 γραμμική απεικόνιση (δηλαδή 119899119896 times119899 πίνακας) η οποίαείναι επί για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119898 τότε
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(119861119896119909)119888119896) 119889119909 le 119863minus12119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
με
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119861119905
119896119860119896119861119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899119896 times 119899119896 πίνακες⎫⎬⎭
όπου 119861119905119896 ο ανάστροφος του 119861119896 (και 119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)
Π Εύκολα βλέπει κανείς ότι στην περίπτωση της
ανισότητας Houmllder ο παραπάνω τύπος για τη σταθερά 119863 δίνει 1Πράγματι σε αυτή την περίπτωση 119899119896 = 119899 και 119861119896 = Id για κάθε
119896 = 1 hellip 119898 Οπότε
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119860119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899 times 119899 πίνακες
⎫⎬⎭
ge 1
από την Άσκηση Αλλά ισχύει η ισότητα αν επιλέξουμε 119860119896 = Idδιότι sum
119898119896=1 119888119896 = 1 Οπότε το 119863 ως infimum ισούται με 1 Συμπεραίνουμε
ότι η ανισότητα Brascamp-Lieb πράγματι γενικεύει την ανισότητα Houmllder
Θα δούμε τώρα πώς η ανισότητα Prekopa-Leindler ως ένα είδος
αντίστροφης της ανισότητας Houmllder (δείτε Παρατήρηση ) με τις
ανάλογες όπως πριν γενικεύσεις θα οδηγήσει σε μια επέκτασή της
γνωστή ως ανισότητα Barthe αντίστροφη της Brascamp-Lieb
Η ανισότητα Prekopa-Leindler λέει ότι αν οι 119891 119892 ℎ ge 0 είναι ολο-
κληρώσιμες συναρτήσεις στον ℝ119899 και 0 lt 120582 lt 1 αν
ℎ((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge 119891(119909)1minus120582119892(119910)120582
για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 τότε
intℝ119899
ℎ(119909) 119889119909 ge (intℝ119899
119891(119909) 119889119909)1minus120582
(intℝ119899
119892(119910) 119889119910)120582
-
(δείτε Θεώρημα σελίδα ) Η ανισότητα αυτή μπορεί να γενικευθεί
σε περισσότερες συναρτήσεις με επαγωγή (δείτε Άσκηση ) στην
εξής εκδοχή
Θ (Prekopa-Leindler Εκδοχή Β) Έστω ότι οι ℎ1198911 hellip 119891119898είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις από το ℝ119899 στο [0 infin) και 1205821 hellip 120582119898 gt 0με sum
119898119896=1 120582119896 = 1 Αν για κάθε 1199111 hellip 119911119898 isin ℝ119899 ισχύει
ℎ (119898
sum119896=1
120582119896119911119896) ge119898
prod119896=1
(119891119896(119911119896))120582119896()
τότε
intℝ119899
ℎ(119909) 119889119909 ge119898
prod119896=1
(intℝ119899
119891119896(119909) 119889119909)120582119896
Η περαιτέρω επέκτασή της για συναρτήσεις 119891119896 ∶ ℝ119899119896 rarr ℝ με
119891119896 ge 0 απαιτεί τη χρήση 119899 times 119899119896 πινάκων 119861119905119896 όπου 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896 στη
σχέση () (παρατηρούμε ότι αν ένας πίνακας 119899119896 times119899 είναι μια γραμμική
απεικόνιση από τον ℝ119899 στον ℝ119899119896 ο ανάστροφός του είναι ένας πίνακας
119899 times 119899119896 άρα μια γραμμική απεικόνιση από τον ℝ119899119896 στον ℝ119899) Αυτή η
επέκταση θα μας αναγκάσει να έχουμε μια επιπλέον σταθερά στο δεξιό
μέλος της ανισότητας που εξαρτάται από τους πίνακες 119861119896 όπως και πριν
(στην περίπτωση της ανισότητας Brascamp-Lieb) Η ανισότητα που
προκύπτει ονομάζεται ανισότητα Barthe και την αντιλαμβανόμαστε ως
αντίστροφη της ανισότητας Brascamp-Lieb Για λόγους άμεσης σύγκρισης
των δύο ανισοτήτων επαναδιατυπώνουμε την ανισότητα Brascamp-Lieb
μαζί με την ανισότητα Barthe
Θ Έστω ότι 119898 isin ℕ 119888119896 gt 0 119899119896 isin ℕ για 119896 = 1 2 hellip 119898με sum
119898119896=1 119888119896119899119896 = 119899 και 119891119896 isin 1198711(ℝ119899119896) με 119891119896 ge 0 Αν 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896
γραμμική απεικόνιση (δηλαδή 119899119896 times 119899 πίνακας) η οποία είναι επί για κάθε119896 = 1 2 hellip 119898 τότε(Brascamp-Lieb)
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(119861119896119909)119888119896) 119889119909 le 119863minus12119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb) Αν επιπλέον ℎ isin 1198711(ℝ119899) με ℎ ge 0
και
ℎ (119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896) ge
119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ()
για κάθε 119911119896 isin ℝ119899119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 τότε
intℝ119899
ℎ(119909) 119889119909 ge 11986312119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
όπου 119861119905119896 ο ανάστροφος του 119861119896 119899 times 119899119896 πίνακας και
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119861119905
119896119860119896119861119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899119896 times 119899119896 πίνακες⎫⎬⎭
(119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)Π Όπως και στην Παρατήρηση η σταθερά 119863
είναι ίση με 1 αν 119899119896 = 119899 και 119861119896 = Id Δηλαδή η ανισότητα Barthe
πράγματι γενικεύει την ανισότητα Prekopa-Leindler
Αν αντικαταστήσουμε τις 119891119888119896119896 με 119892119896 και τα 119888119896 με 1119901119896 τότε μπορούμε να
γράψουμε λίγο πιο συνοπτικά τις ανισότητες
Θ Έστω ότι 119898 isin ℕ 119901119896 gt 0 119899119896 isin ℕ για 119896 = 1 2 hellip 119898με sum
119898119896=1 119899119896119901119896 = 119899 και 119892119896 isin 119871119901119896
(ℝ119899119896) με 119892119896 ge 0 Αν 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896
γραμμική απεικόνιση (δηλαδή 119899119896 times 119899 πίνακας) η οποία είναι επί για κάθε119896 = 1 2 hellip 119898 τότε (Brascamp-Lieb)
∥119898
prod119896=1
119892119896(119861119896119909)∥1198711(ℝ119899)
le 119863minus12119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ119899119896)
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb) Αν επιπλέον ℎ isin 1198711(ℝ119899) με ℎ ge 0και
ℎ (119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896) ge
119898
prod119896=1
119892119896(119911119896)
για κάθε 119911119896 isin ℝ119899119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 τότε
ℎ1198711(ℝ119899) ge 11986312119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ119899119896)
-
όπου 119861119905119896 ο ανάστροφος του 119861119896 119899 times 119899119896 πίνακας και
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119861119905
119896119860119896119861119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899119896 times 119899119896 πίνακες⎫⎬⎭
με 119888119896 = 1119901119896 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899 (119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)
Για την απόδειξη της ανισότητας Barthe διευκολύνει να χρησιμοποι-
ήσουμε την μικρότερη συνάρτηση ℎ που ικανοποιεί την () Άμεσα
βλέπουμε ότι η μικρότερη τέτοια συνάρτηση δεν είναι άλλη από την
ℎ0(119909) = sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899119896 ()
Όμως μια τέτοια συνάρτηση δεν είναι απαραίτητα μετρήσιμη Για αυτό
τον λόγο η ανισότητα Barthe αποδεικνύεται στη μορφή
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899119896 119889119909
ge 11986312119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
υπό τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος όπου το ⨛ είναι το άνω
ολοκλήρωμα
Δεν θα αποδείξουμε αυτές τις ανισότητες σε αυτή τη γενικότητα
Όμως θα αποδείξουμε μια ειδική περίπτωση που χρειαζόμαστε για την
απόδειξη της αντίστροφης ισοπεριμετρικής ανισότητας Συγκεκριμμένα
ενδιαφερόμαστε για την περίπτωση όπου 119899119896 = 1 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899
Άσκηση Αποδείξτε με επαγωγή στο πλήθος των συναρτήσεων 119892119896 την
ανισότητα Houmllder δηλαδή ότι για οποιεσδήποτε μη αρνητικές συναρτήσεις
119892119896 isin 119871119901119896(ℝ119899) για 119896 = 1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 1119901119896 = 1 η συνάρτηση prod
119898119896=1 119892119896 είναι
στον 1198711(ℝ119899) και ισχύει
intℝ119899
119898
prod119896=1
119892119896 le119899
prod119896=1
119892119896119901119896
Άσκηση Αποδείξτε με επαγωγή στο πλήθος των συναρτήσεων 119891119896 την
ανισότητα Prekopa-Leindler στην Εκδοχή Βrsquo (Θεώρημα ) χρησιμοποιώντας
την βέλτιστη συνάρτηση ℎ0 της σχέσης () δηλαδή ότι για οποιεσδήποτε
μη αρνητικές ολοκληρώσιμες συναρτήσεις 119891119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 αν 119888119896 gt 0 ώστε
sum119898119896=1 119888119896 = 1 τότε
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899 119889119909 ge119898
prod119896=1
(intℝ119899
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
Υπόδειξη για το επαγωγικό βήμα παρατηρήστε ότι η ποσότητα
sup 119898+1
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898+1
sum119896=1
119888119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899
είναι τετριμμένα μεγαλύτερη ή ίση από την ποσότητα
sup⎧⎨⎩
(sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896
1minus119888119898+1 ∶ 119911 =119898
sum119896=1
1198881198961 minus 119888119898+1
119911119896 119911119896 isin ℝ119899)1minus119888119898+1
sdot 119891119898+1(119911119898+1)119888119898+1
∶ 119909 = (1 minus 119888119898+1)119911 + 119888119898+1119911119898+1 119911 119911119898+1 isin ℝ119899
-
Αν στις παραπάνω ανισότητες θέσουμε 119899119896 = 1 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899τότε οι θετικά ορισμένοι πίνακες 119860119896 στη διατύπωση των ανισοτήτων
είναι 1 times 1 δηλαδή θετικοί αριθμοί Θα τους μετονομάσουμε λοιπόν σε
120582119896 gt 0 Έτσι ο παρονομαστής στον ορισμό της σταθεράς 119863 ισούται με
prod119898119896=1 120582119888119896
119896 Επιπλέον οι πίνακες 119861119896 είναι 1 times 119899 οπότε οι 119861119905119896 θα είναι τώρα
πίνακες 119899 times 1 δηλαδή διανύσματα στον ℝ119899 Έτσι θα αντικαταστήσουμε
τους 119861119905119896 με 119906119896 isin ℝ119899 θεωρώντας τους όμως ως απεικονίσεις από το ℝ
στο ℝ119899 Δηλαδή 119861119905119896(120579) = 120579119906119896 για κάθε 120579 isin ℝ Οι ανάστροφοι των 119861119905
119896
δηλαδή οι 119861119896 θα ισούνται με 119906119905119896 Έτσι το άθροισμα στον αριθμητή του
ορισμού του 119863 γίνεται sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896119906119905
119896 Αλλά (εύκολα ελέγχει κανείς ότι)
119906119896119906119905119896 = 119906119896 otimes 119906119896 (δείτε Άσκηση ) Οπότε η σταθερά 119863 αλλάζει στην
-
εξής έκφραση
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
Τέλος επειδή το 119861119896119909 θα γίνει τώρα 119906119905119896 sdot 119909 = ⟨119906119896 119909⟩ και αλλάζοντας τα
119911119896 σε 120579119896 αφού τώρα ανήκουν στο ℝ (αφού 119899119896 = 1) άρα είναι αριθμοί τα
παραπάνω πολυδιάστατα θεωρήματα μετατρέπονται στα εξής
Θ (Εκδοχή Α) Έστω ότι 119898 isin ℕ 119888119896 gt 0 για 119896 =1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 119888119896 = 119899 και 119891119896 isin 1198711(ℝ) με 119891119896 ge 0 Αν 119906119896 isin ℝ119899 για
119896 = 1 2 hellip 119898 τότε(Brascamp-Lieb)
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 le 119863minus12119898
prod119896=1
(intℝ
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb)
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119896(120579119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ge 11986312119898
prod119896=1
(intℝ
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
όπου
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
(119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)
Θ (Εκδοχή Β) Έστω ότι 119898 isin ℕ 119901119896 gt 0 για 119896 =1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 1119901119896 = 119899 και 119892119896 isin 1198711(ℝ) με 119892119896 ge 0 Αν 119906119896 isin ℝ119899 για
119896 = 1 2 hellip 119898 τότε(Brascamp-Lieb)
∥119898
prod119896=1
119892119896(⟨119906119896 119909⟩)∥1198711(ℝ119899)
le 119863minus12119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ)
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb)
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119892119896(120579119896) ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ge 11986312119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ)
όπου
() 119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
με 119888119896 = 1119901119896 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899 (119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)Π Η τετριμμένη περίπτωση 119863 = 0 και άρα 119863minus12 =
infin δεν μπορεί να αποκλειστεί Για παράδειγμα αν τα 119906119896 δεν παράγουν
όλον τον ℝ119899 τότε οι συναρτήσεις 119891(⟨119906119896 119909⟩) είναι σταθερές για όλα τα
119909 isin (span1199061 hellip 119906119898)⟂ και συνεπώς το αριστερό σκέλος της Brascamp-
Lieb απειρίζεται Έτσι σε αυτή την περίπτωση το 119863minus12 δεν μπορεί να
είναι πεπερασμένο Ισοδύναμα το supremum στο αριστερό σκέλος της ανι-
σότητας Barthe υπολογίζεται σε ένα κενό σύνολο αν 119909 notin span1199061 hellip 119906119898δηλαδή είναι 0 Έτσι η ανισότητα Barthe δεν μπορεί να ισχύει για θετικό
119863 Άρα 119863 = 0 Και πράγματι αυτό το επιβεβαιώνει και ο ορισμός
() της 119863 διότι ο πίνακας sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896 μηδενίζεται σε όλον τον
μη τετριμένο υπόχωρο span1199061 hellip 119906119898⟂ άρα δεν είναι αντιστρέψιμος
και συνεπώς η ορίζουσά του είναι μηδέν για οποιαδήποτε θετικά 120582119896
Συμπεραίνουμε ότι η συνθήκη span1199061 hellip 119906119898 = ℝ119899 είναι απαραίτητη
για να έχουμε μη τετριμμένες ανισότητες Για αυτό τον λόγο στο εξήςθα θεωρούμε ότι τα 1199061 hellip 119906119898 παράγουν τον ℝ119899
Π Αν υποθέσουμε ότι οι ανισότητες ισχύουν με 119863 gt0 η συνθήκη sum
119898119896=1 119888119896 = 119899 δεν μπορεί να παρακαμφθεί Πράγματι αν
αλλάξουμε κάθε 119891119896(sdot) σε 119891119896(120582 sdot) το αριστερό σκέλος κάνοντας την
αλλαγή μεταβλητής 120582119909 = 119910 θα αλλάξει κατά τον παράγοντα 120582minus119899 ενώ
το δεξιό σκέλος κατά τον παράγοντα 120582minus(1198881+⋯+119888119898) Έτσι για να ισχύει η
ανισότητα με 119863 gt 0 είναι απαραίτητη η υπόθεση sum119898119896=1 119888119896 = 119899 (αλλιώς
θα οδηγηθούμε σε άτοπο αφήνοντας το 120582 να πάει στο 0+ ή στο infin)
-
Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι στην Εκδοχή Α των ανισοτήτων
μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το prod119898119896=1 (intℝ
119891119896)119888119896
οπότε
-
μπορούμε να αναχθούμε έτσι σε συναρτήσεις 119891119896 που έχουν ολοκλήρωμα
ίσο με 1 Έτσι αρκεί να δείξουμε ότι
sup intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1 le 119863minus12
και
inf ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1 ge 11986312
Θα αποδείξουμε ότι τα παραπάνω sup και inf επιτυγχάνονται όταν οι
119891119896 είναι Γκαουσιανές της μορφής radic120582119896120587sdot119890minus1205821198961199052 ώστε να ισχύει intℝ119891119896 = 1
Δηλαδή θα δείξουμε ότι
sup intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1
= sup intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1 119891119896(119905) = radic120582119896
120587sdot 119890minus1205821198961199052 =∶ 119860
και
inf ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1
= inf ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ∶
intℝ
119891119896 = 1 119891119896(119905) = radic120582119896
120587sdot 119890minus1205821198961199052 =∶ 119861
Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί δείχνοντας ότι 119860 = 119861minus1 = 119863minus12
Το ακόλουθο λήμμα είναι το κύριο τεχνικό βήμα για την απόδειξη
των παραπάνω ανισοτήτων Το βασικό εργαλείο της απόδειξής του
είναι η laquoμεταφορά του μέτρουraquo
Λ (Barthe) Έστω ότι 119898 ge 119899 1199011 hellip 119901119898 ge 1 με sum119898119896=1 119901minus1
119896 =119899 119888119896 = 119901minus1
119896 1199061 hellip 119906119898 isin ℝ119899 διανύσματα που παράγουν τον ℝ119899 και οι
1198911hellip 119891119898 ℎ1hellip ℎ119898 ∶ ℝ rarr [0 infin) είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις με
intℝ
119891119896(119905) 119889119905 = intℝ
ℎ119896(119905) 119889119905 = 1
για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119898 Θέτουμε
119868(1198911 hellip 119891119898) ∶= intℝ119899
119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (⟨119906119896 119909⟩) 119889119909
και
119870(ℎ1 hellip ℎ119898) ∶= ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (120579119896) ∶ 120579119896 isin ℝ 119909 =
119898
sum119896=1
120579119896119888119896119906119896 119889119909
Τότε119863 sdot 119868(1198911 hellip 119891119898) le 119870(ℎ1 hellip ℎ119898)
όπου
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις
119891119896 και ℎ119896 είναι συνεχείς και θετικές και ότι 0 lt 119863 lt infin (αν 119863 = 0η ανισότητα είναι προφανής) laquoΜεταφέρουμε το μέτροraquo με την εξής
έννοια αφού intℝ119891119896(119905) 119889119905 = intℝ
ℎ119896(119905) 119889119905 = 1 και οι 119891119896 και ℎ119896 είναι συνεχείς
και θετικές για κάθε 119905 isin ℝ υπάρχει μοναδικό 119879119896(119905) isin ℝ ώστε
int119879119896(119905)
minusinfinℎ119896(119904) 119889119904 = int
119905
minusinfin119891119896(119904) 119889119904
Από το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού συνεπάγεται
ότι
ℎ119896(119879119896(119905))119879prime119896(119905) = 119891119896(119905)()
για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119898 Για εξοικονόμηση χώρου ας γράφουμε ℎ0(119909)για την υπό ολοκλήρωση ποσότητα στον ορισμό του 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) Για
-
τον υπολογισμό του 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) αλλάζουμε τις μεταβλητές θέτοντας
119909 = 119882(119910) ∶=119898
sum119896=1
119888119896119879119896(⟨119910 119906119896⟩)119906119896()
Φανερά 119909119896 = ⟨119882(119910) 119890119896⟩ όπου 1198901 hellip 119890119899 η συνήθης βάση του ℝ119899 άρα η
Ιακωβιανή του μετασχηματισμού έχει στοιχεία τα
119908119894119895 = 119889119909119894119889119910119895 =119889
119889119910119895
119898
sum119896=1
119888119896119879119896(⟨119910 119906119896⟩) ⟨119906119896 119890119894⟩
=119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) ⟨119906119896 119890119895⟩ ⟨119906119896 119890119894⟩
= ⟨(119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) sdot 119906119896 otimes 119906119896) 119890119895 119890119894⟩
Αυτό δείχνει ότι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι ο πίνακας
119869119882 =119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) sdot 119906119896 otimes 119906119896
Επειδή η 119879119896 είναι γνησίως αύξουσα ισχύει 119879prime119896 gt 0 Επίσης 119888119896 gt 0
και κάθε 119906119896 otimes 119906119896 είναι φανερά θετικά ημιορισμένος Επειδή για κάθε
119907 isin ℝ119899 δεν μπορεί να συμβαίνει ⟨119906119896 otimes 119906119896(119907) 119907⟩ = ⟨119907 119906119896⟩2 = 0 αφού τα
119906119896 παράγουν τον ℝ119899 συμπεραίνουμε ότι ο 119869119882 είναι θετικά ορισμένος
και συνεπώς η 119882 είναι - (δείτε Άσκηση ) και έτσι μπορούμε
να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αλλαγής μεταβλητών στα παρακάτω
ολοκληρώματα
⨛ℝ119899
ℎ0(119909) 119889119909 ge ⨛119882(ℝ119899)
ℎ0(119909) 119889119909 = ⨛ℝ119899
ℎ0(119882(119910))| det 119869119882(119910)| 119889119910
ge intℝ119899
119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (119879119896(⟨119910 119906119896⟩)) det (
119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) 119906119896 otimes 119906119896) 119889119910
()
διότι
ℎ0(119882(119910)) = sup 119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (120579119896) ∶ 119882(119910) =
119898
sum119896=1
120579119896119888119896119906119896
και η ανασύσταση του 119882(119910) στην προηγούμενη ισχύει για 120579119896 =119879119896(⟨119910 119906119896⟩) από τον ορισμό της 119882 (σχέση ()) Συνεχίζοντας από
την () και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ποσότητας 119863 παίρνουμε
⨛ℝ119899
ℎ0(119909) 119889119909 ge intℝ119899
(119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (119879119896(⟨119910 119906119896⟩)) sdot 119863 sdot
119898
prod119896=1
(119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩))
119888119896
) 119889119910
και με τη βοήθεια της ()
⨛ℝ119899
ℎ0(119909) 119889119909 ge 119863 intℝ119899
119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (⟨119910 119906119896⟩) 119889119910
που είναι η ζητούμενη
Έχοντας αποδείξει λοιπόν ότι
119863 sdot 119868(1198911 hellip 119891119898) le 119870(ℎ1 hellip ℎ119898)
αν πάρουμε supremum ως προς τις 119891119896 και infimum ως προς τις ℎ119896 θα
συμπεράνουμε ότι
119863 sdot 119860 le 119863 sdot sup 119868(1198911 hellip 119891119898) le inf 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) le 119861()
όπου 119860 και 119861 οι ποσότητες που ορίστηκαν στη αρχή της Ενότητας
και τα sup και inf είναι ως προς όλες τις 119891119896 και ℎ119896 με ολοκλήρωμα 1 (όπως
στη διατύπωση του Λήμματος ) Συνεπώς για να ολοκληρωθεί η
απόδειξη της ανισότητας Brascamp-Lieb και της ανισότητας Barthe αρκεί
να αποδείξουμε ότι
(i) 119861 = 11986312 οπότε η () συνεπάγεται
119868(1198911 hellip 119891119898) le sup 119868(1198911 hellip 119891119898) le 119863minus12
δηλαδή την ανισότητα Brascamp-Lieb και
(ii) 119860 = 119863minus12 οπότε η () συνεπάγεται
11986312 le inf 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) le 119870(ℎ1 hellip ℎ119898)
δηλαδή την ανισότητα Barthe
Οι ποσότητες 119860 και 119861 όμως είναι ποσότητες που υπολογίζονται σε
γκαουσιανές συναρτήσεις και αυτό κάνει τον υπολογισμό τους εφικτό
-
Θα χρειαστούμε τον τύπο
intℝ
119890minus1205821199052 119889119905 =radic120587radic120582
()
ο οποίος ισχύει για κάθε 120582 gt 0 και αποδυκνύεται εύκολα με την αλλαγή
μεταβλητής 119904 = radic2120582 sdot 119905 και το γεγονός ότι intℝ119890minus11990422 = radic2120587
Απόδειξη του (ii) Έστω ότι οι 119892119896 είναι Γκαουσιανές συναρτήσεις της
μορφής 119892119896(119905) = 119890minus1205821198961199052 για 120582119896 gt 0 119896 = 1 hellip 119898 Θέτουμε 119880 να είναι η
γραμμική απεικόνιση
119880 =119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896
και έχουμε
intℝ119899
119898
prod119896=1
119892119888119896119896 ⟨119909 119906119896⟩) 119889119909 = int
ℝ119899exp (minus
119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2) 119889119909
= intℝ119899
exp (minus⟨(119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896) (119909) 119909⟩) 119889119909
= intℝ119899
exp(minus⟨119880119909 119909⟩) 119889119909
= intℝ119899
exp(minus1198801211990922) 119889119909
όπου 11988012 η τετραγωνική ρίζα του 119880 η οποία υπάρχει μια και ο 119880είναι φανερά θετικά ορισμένος αφού 119888119896 gt 0 120582119896 gt 0 119906119896 otimes 119906119896 θετικά
ημιορισμένος για κάθε 119896 = 1 hellip 119898 και τα 119906119896 παράγουν τον ℝ119899 (δείτε
Παρατήρηση ) Αλλάζοντας μεταβλητές και συγκεκριμμένα θέτοντας
119910 = radic211988012(119909) και χρησιμοποιώντας το ότι η ιακωβιανή αυτού του
μετασχηματισμού είναι (radic2119899 det 11988012)minus1 = 1(radic2119899radicdet 119880) η τελευταία
ποσότητα παραπάνω ισούται με 1205871198992radicdet 119880 Καταλήξαμε δήλαδή
στην
intℝ119899
119898
prod119896=1
119892119888119896119896 ⟨119909 119906119896⟩) 119889119909 =
1205871198992
radicdet 119880()
Για να προκύψει το ζητούμενο πρέπει να διαιρέσουμε κάθε 119892119896 με το ολο-
κλήρωμά της ή ισοδύναμα να διαιρέσουμε την () με την ποσότητα
prod119898119896=1(intℝ
119892119896(119905))119888119896 Αλλά χρησιμοποιώντας την () βλέπουμε ότι
119898
prod119896=1
(intℝ
119892119896(119905))119888119896
=119898
prod119896=1
(radic120587radic120582119896
)119888119896
=1205871198992
radicprod119898119896=1 120582119888119896
119896
()
Διαιρώντας την () με την () παίρνουμε ότι
119860 = sup⎧⎨⎩
radicprod119898119896=1 120582119888119896
119896
radicdet 119880∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
=1
inf det 119880
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
12 = 119863minus12
ολοκληρώνοντας την απόδειξη του (ii)
Απόδειξη του (i) Για τον υπολογισμό του 119861 παρατηρούμε ότι αν
119891119896(119905) = 1radic120582119896120587 sdot 119890minus1199052120582119896 (ώστε intℝ119891119896 = 1) τότε
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ
= sup⎧⎨⎩
1
radic120587119899 prod119898119896=1 120582119888119896
119896
sdot exp (minus119898
sum119896=1
1198881198961205792119896120582119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896
⎫⎬⎭
=1
1205871198992radicprod
119898119896=1 120582119888119896
119896
sdot exp (minus inf 119898
sum119896=1
1198881198961205792119896120582119896 ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896)
Για 119880 = sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896 όπως και πριν επειδή ο 119880 είναι θετικά
ορισμένος η ποσότητα
119909 = ⟨119880119909 119909⟩12 = (119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2)12
ορίζει μια νόρμα στον ℝ119899 Για να συνεχίσουμε την απόδειξη χρειαζόμαστε
ένα ακόμα τεχνικό λήμμα
-
Λ Η δυϊκή νόρμα της sdot είναι η sdot lowast με
1199102lowast = ⟨119880minus1119910 119910⟩ = inf
119898
sum119896=1
1198881198961205792119896120582119896 ∶ 120579119894 isin ℝ ώστε 119910 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896
Αναβάλουμε την απόδειξη του προηγούμενου λήμματος και συνεχί-
ζουμε τον υπολογισμό του 119870(1198911 hellip 119891119898) Από τα προηγούμενα προκύ-
πτει ότι
119870(1198911 hellip 119891119898) =1
1205871198992radicprod
119898119896=1 120582119888119896
119896
intℝ119899
119890minus⟨119880minus1119909119909⟩ 119889119909
Αν συμβολίσουμε με 119880minus12 την τετραγωνική ρίζα του θετικά ορισμένου
119880minus1 και αλλάξουμε μεταβλητές στο τελευταίο ολοκλήρωμα θέτοντας
119910 = radic2119880minus12119909 με ορίζουσα Ιακωβιανής radic(det 119880)2119899 θα πάρουμε
119870(1198911 hellip 119891119898) =1
1205871198992radicprod
119898119896=1 120582119888119896
119896radic
det 1198802119899 int
ℝ119899119890minus1199102
22 119889119910
=radic
det 119880
prod119898119896=1 120582119888119896
119896
= ⎛⎜⎜⎝
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896
⎞⎟⎟⎠
12
Παίρνοντας infimum ως προς όλες τις Γκαουσιανές με ολοκλήρωμα ίσο
με 1 δηλαδή ως προς όλα τα 120582119896 gt 0 καταλήγουμε στο ότι
119861 = ⎛⎜⎜⎝
inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
⎞⎟⎟⎠
12
= 11986312
που είναι η ζητούμενη
Απόδειξη του Λήμματος
Κατrdquo αρχάς έχουμε ότι
119910lowast = sup119909ne0
⟨119909 119910⟩119909
= sup119909ne0
⟨119909 119910⟩radic⟨119880119909 119909⟩
= sup119909ne0
⟨11988012119909 119880minus12119910⟩
radic⟨11988012119909 11988012119909⟩= sup
119909ne0⟨
11988012119909119880121199092
119880minus12119910⟩
= 119880minus121199102 = radic⟨119880minus12119910 119880minus12119910⟩ = radic⟨119880minus1119910 119910⟩()
Επειδή τα 119906119896 παράγουν τον ℝ119899 για κάθε 119910 isin ℝ119899 υπάρχουν 120579119896 ώστε
119910 = sum119898119896=1 119888119896120579119896119906119896 Έτσι από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουμε ότι
για κάθε 119909 isin ℝ119899
⟨119909 119910⟩ = ⟨119909119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896⟩ =119898
sum119896=1
119888119896120579119896⟨119909 119906119896⟩ =119898
sum119896=1
radic119888119896
120582119896sdot 120579119896 sdot radic119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩
le (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
(119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2)12
= (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
⟨119880119909 119909⟩12
= (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
119909
Άρα
119910lowast = sup119909ne0
⟨119909 119910⟩119909
le inf⎧⎨⎩
(119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
∶ 119910 =119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ⎫⎬⎭
Όμως ισχύει η ισότητα αν επιλέξουμε 119909 = 119880minus1119910 και 120579119896 = 120582119896⟨119909 119906119896⟩Πράγματι για αυτά τα 120579119896 ισχύει
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 =119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩119906119896 = 119880119909 = 119880119880minus1119910 = 119910
και
(119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
= (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205822
119896⟨119909 119906119896⟩2)12
= (119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2)12
= radic⟨119880119909 119909⟩ = radic⟨119910 119880minus1119910⟩
= 119910lowast
από την () ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Άσκηση Ελέγξτε ότι για κάθε 119906 isin ℝ119899 ισχύει 119906 otimes 119906 = 119906119906119905 όπου το 119906νοείται ως πίνακας 119899 times 1 (στήλη) και η 119906 otimes 119906 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 είναι η γραμμική
απεικόνιση 119906 otimes 119906(119909) = ⟨119906 119909⟩119906Άσκηση Έστω ότι η 119891 ∶ Ω rarr ℝ119899 έχει πεδίο ορισμού το κυρτό υποσύνολο
Ω του ℝ119899 Αποδείξτε ότι αν ο Ιακωβιανός πίνακας της 119891 είναι θετικά ορισμένος
τότε η 119891 είναι - ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα
(i) Αν 119909 119886 isin Ω με 119909 ne 119886 θέτουμε ℎ = 119909 minus 119886 ne 0 και θεωρούμε την
119909(119905) = 119886 + 119905ℎ ∶ [0 1] rarr Ω
(ii) Ορίζουμε Φ ∶ [0 1] rarr ℝ με
Φ(119905) = ⟨ℎ 119891(119909(119905)) minus 119891(119886)⟩ =119899
sum119896=1
ℎ119896(119891119896(119909(119905)) minus 119891119896(119886))
όπου 119891119896 οι συντεταγμένες συναρτήσεις της 119891 δηλαδή 119891119896 ∶ Ω rarr ℝ με
119891 = (1198911 hellip 119891119899)
(iii) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα της αλυσίδας για να δείξετε ότι Φprime(119905) =⟨119869119891ℎ ℎ⟩ gt 0 όπου 119869119891 ο Ιακωβιανός πίνακας της 119891
(iv) Συμπεράνετε από το Θεώρημα Rolle ότι αφού Φ(0) = 0 δεν μπορεί να
ισχύει Φ(1) = 0 οπότε 119891(119909) ne 119891(119886)
Έστω ότι το κυρτό συμμετρικό σώμα 119870 είναι στη θέση του John
Τότε τα σημεία επαφής του συνόρου του 119870 με την ευκλείδεια μπάλα
είναι αρκετά ώστε να αναπαριστούν την ταυτοτική απεικόνιση με την
εξής έννοια
Θ (F John) Αν το κυρτό και κεντρικά συμμετρικό σώμα119870 βρίσκεται στη θέση του John τότε υπάρχουν 119898 σημεία επαφής 1199061 hellip 119906119898του συνόρου του 119870 με την εγγεγραμμένη 120138119899minus1 ώστε να ισχύει
Id =119898
sum119896=1
119888119896119906119896 otimes 119906119896()
για κατάλληλους αριθμούς 119888119896 gt 0 Το 119898 μπορεί να επιλεγεί μικρότερο ήίσο του 1 + 119899(119899 + 1)2
Π Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα 119906119896 ικανοποιούν
την 119906119896119870 = 1199061198962 = 1 αφού είναι στο σύνορο τόσο του 119870 όσο και της
ℬ1198992
Π Παίρνοντας το ίχνος στη σχέση () και χρη-
σιμοποιώντας και την Άσκηση βλέπουμε ότι
119899 = tr Id = tr(119898
sum119896=1
119888119896119906119896 otimes 119906119896) =119898
sum119896=1
119888119896tr(119906119896otimes119906119896) =119898
sum119896=1
11988811989611990611989622 =
119898
sum119896=1
119888119896
Δηλαδή ισχύει sum119898119896=1 119888119896 = 119899 και άρα sum
119898119896=1 119888119896119899 = 1 Αυτό σημαίνει ότι η
ζητούμενη σχέση () μας λέει ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι ο πίνακας
119899minus1 Id ανήκει στην κυρτή θήκη των πινάκων 119906 otimes 119906 για 119906 σημείο του
bd(119870) cap 120138119899minus1
Π Οι πίνακες 119906 otimes 119906 επειδή είναι συμμετρικοί έχουν
τόσα ανεξάρτητα στοιχεία όσα τα στοιχεία στη διαγώνιο και κάτω από
αυτή Δηλαδή συνολικά 1+2+hellip+119899 = 119899(119899+1)2 Άρα αν δειχθεί ότι ο
119899minus1 Id είναι στην κυρτή θήκη των 119906 otimes 119906 με 119906 isin ℝ119899 τότε από το Θεώρημα
Καραθεοδωρή (Θεώρημα ) αρκούν 1 + 119899(119899 + 1)2 στοιχεία της
μορφής 119906 otimes 119906 (αντιλαμβανόμενοι τα 119906 otimes 119906 ως στοιχεία του ℝ1198992) Αυτό
αποδεικνύει ότι 119898 le 1 + 119899(119899 + 1)2
Απόδειξη του Θεωρήματος Σύμφωνα με τις παραπάνω πα-
ρατηρήσεις αρκεί να αποδείξουμε ότι ο πίνακας 119899minus1 Id βρίσκεται στην
κυρτή θήκη των πινάκων 119906otimes119906 όπου 119906 σημείο επαφής του bd(119870) και του
120138119899minus1 Θέτουμε 119880 = 119906 isin 120138119899minus1 ∶ 119906119870 = 1 και θέλουμε να δείξουμε ότι
119899minus1 Id isin conv119906 otimes 119906 ∶ 119906 isin 119880 Υποθέτουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει και
επειδή το τελευταίο σύνολο είναι φανερά συμπαγές εργαζόμενοι στον
ℝ1198992και εφαρμόζοντας το Θεώρημα υπάρχει στοιχείο 119860 του ℝ1198992
που διαχωρίζει το 119899minus1 Id από το conv119906 otimes 119906 ∶ 119906 isin 119880 (Παρατηρούμεότι τα στοιχεία του ℝ1198992
τα μεταχειριζόμαστε και ως διανύσματα και ως
πίνακες 119899 times 119899) Έτσι υπάρχει 120598 gt 0 ώστε να ισχύει
⟨119860 119899minus1 Id⟩ lt minus120598 lt 0 le ⟨119860 119906 otimes 119906⟩()
για κάθε 119906 isin 119880 Επειδή οι πίνακες 119899minus1 Id και 119906 otimes 119906 είναι συμμετρικοί
ελέγχουμε εύκολα ότι ⟨119860119905 119899minus1 Id⟩ = ⟨119860 119899minus1 Id⟩ και ⟨119860119905 119906otimes119906⟩ = ⟨119860 119906otimes119906⟩Συνεπώς η () συνεχίζει να ισχύει αν στη θέση του 119860 βάλουμε τον
συμμετρικό πίνακα (119860 + 119860119905)2 Άρα μπορούμε να υποθέσουμε εξrdquo αρχής
ότι ισχύει η () με 119860 συμμετρικό
Θέτουμε 119861 = 119860 minus (tr119860119899) Id και παρατηρούμε ότι ⟨119861 119899minus1 Id⟩ =tr119861119899 = 0 Έτσι έχουμε
0 = ⟨119861 119899minus1 Id⟩ = ⟨119860 119899minus1 Id⟩ minustr119860119899
lt minus120598 minustr119860119899
lt minustr119860119899
le ⟨119860 119906 otimes 119906⟩ minustr119860119899
⟨Id 119906 otimes 119906⟩
= ⟨119861 119906 otimes 119906⟩
όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ⟨Id 119906 otimes 119906⟩ = 11990622 = 1
Υποθέτοντας λοιπόν ότι ο 119899minus1 Id δεν ανήκει στην κυρτή θήκη των
119906 otimes 119906 για 119906 isin 119880 καταλήξαμε να βρούμε ένα πίνακα 119861 isin ℝ1198992και θετικό
αριθμό 119904 ∶= minus120598 minus tr119860119899 ώστε να ισχύουν τα εξής
(i) 119861 = 119861119905 και 119861 ne 0
(ii) tr119861 = ⟨119861 119899minus1 Id⟩ = 0 lt 119904 le ⟨119861 119906 otimes 119906⟩ για κάθε 119906 isin 119880
Για 120575 gt 0 αρκετά κοντά στο μηδέν ο πίνακας Id +120575119861 είναι θετικά
ορισμένος συνεπώς έχει τετραγωνική ρίζα έστω τον πίνακα 119879120575 Θεωρούμε
τα ελλειψοειδή
ℰ120575 = 119879minus1120575 (119861119899
2) = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨(Id +120575119861)119909 119909⟩ le 1
Ο όγκος του ℰ120575 ισούται με det 119879minus1120575 |ℬ119899
2| Αλλά εύκολα ελέγχουμε ότι
o Id +120575119861 δεν είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού Συνεπώς από την
Πρόταση η ακόλουθη ανισότητα είναι γνήσια
(det 119879120575)2119899 = det(Id +120575119861)1119899 lttr(Id +120575119861)
119899= 1
Άρα |ℰ120575| gt |ℬ1198992| με μόνο περιορισμό το 120575 gt 0 να είναι αρκετά μικρό
ώστε ο Id +120575119861 να είναι θετικά ορισμένος
Θα καταλήξουμε λοιπόν σε άτοπο αν δείξουμε ότι υπάρχουν κατάλ-
ληλα μικρά 120575 gt 0 ώστε να ισχύει ℰ120575 sube 119870 (διότι αυτό θα σημαίνει ότι το
ℬ1198992 δεν είναι το ελλειψοειδές μεγίστου όγκου μέσα στο 119870 αντιφάσκοντας
με την υπόθεση)
Για να το επιτύχουμε αυτό θέτουμε 119881 = 119907 isin 120138119899minus1 ∶ dist(119907 119880) ge1199042119861 όπου 119861 η νόρμα του119861ως πίνακας δηλαδή 119861 = sup
1199062=11198611199062
Αν 119870 = ℬ1198992 το 119881 είναι μεν κενό αλλά δεν έχουμε τίποτα να απο-
δείξουμε αφού μπορούμε να θέσουμε 119888119896 = 1 και 119906119896 = 119890119896 τα βασικά
διανύσματα του ℝ119899 και η () προφανώς ισχύει
Υποθέτουμε ότι 119870 ne ℬ1198992 οπότε μικραίνοντας αν χρειαστεί το 119904 gt 0
το σύνολο 119881 είναι μη κενό και φανερά συμπαγές υποσύνολο του 120138119899minus1
Αν 119907 isin 120138119899minus1 ⧵ 119881 έστω ότι 119906 isin 119880 με 119907 minus 1199062 lt 1199042119861 Έχουμε
∣⟨(Id +120575119861)119907 119907⟩ minus ⟨(Id +120575119861)119906 119906⟩∣ = 120575∣⟨119861119907 119907⟩ minus ⟨119861119906 119906⟩∣
= 120575∣⟨119861119907 119907⟩ minus ⟨119861119907 119906⟩ + ⟨119861119907 119906⟩ minus ⟨119861119906 119906⟩∣
le 120575(∣⟨119861119907 119907 minus 119906⟩∣ + ∣⟨119861(119907 minus 119906) 119906⟩∣)
le 1205752119861 1199072119907 minus 1199062 lt 120575119904
Άρα
⟨(Id +120575119861)119907 119907⟩ gt ⟨(Id +120575119861)119906 119906⟩ minus 120575119904 = 1 + 120575⟨119861119906 119906⟩ ge 1 + 120575119904 minus 120575119904 = 1
Δηλαδή
1 lt ⟨(Id +120575119861)119907 119907⟩ le ⟨(Id +120575119861)119907
119907119870
119907119907119870
⟩
διότι 119907119870 le 1199072 = 1 αφού ℬ1198992 sube 119870 Συμπεραίνουμε ότι 119907119907119870 isin
bd(119870) ⧵ ℰ120575
Δείξαμε λοιπόν ότι για κάθε διεύθυνση 119907 isin 120138119899minus1 ⧵ 119881 η ημιευθεία
με αρχή το 0 που περνάει από το 119907 αναγκαστικά τέμνει πρώτα το
bd(ℰ120575) και μετά το bd(119870) Αν δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για τις
διευθύνσεις 119907 isin 119881 θα έχουμε δείξει ότι ℰ120575 sube 119870 καταλήγοντας σε άτοπο
και ολοκληρώνοντας την απόδειξη Αυτό όμως προκύπτει ως εξής λόγω
της συμπάγειας του 119881 και κατά συνέπεια της θετικής του απόστασης
από το bd(119870) (αφού δεν το τέμνει) υπάρχει 120598 gt 0 ώστε
(1 + 120598)119881 cap bd(119870) = ()
Αλλά τα ℰ120575 συγκλίνουν (με τη μετρική Hausdorff (δείτε Άσκηση ))
στο ℬ1198992 Οπότε υπάρχει 1205750 gt 0 ώστε για κάθε 0 lt 120575 lt 1205750 να ισχύει
ℰ120575 sube (1 + 120598)1198611198992 Έτσι για κάθε 119907 isin 119881 χρησιμοποιώντας την ()
ισχύει
(ℝ+119907) cap ℰ120575 sube (ℝ+119907) cap (1 + 120598)ℬ1198992 sube (ℝ+119907) cap 119870
Σκοπός μας στη συνέχεια είναι να δείξουμε ότι αν χρησιμοποιηθούν
στην ανισότητα Brascamp-Lieb τα 119906119896 που αναπαριστούν τον ταυτοτικό
πίνακα όπως παραπάνω τότε η σταθερά 119863 της ανισότητας ισούται με 1Για να το καταφέρουμε αυτό χρειαζόμαστε μια επέκταση της ανισότητας
Hadamard Η ανισότητα Hadamard λέει ότι για κάθε 119899 times 119899 πίνακα 119860ισχύει
det 119860 le119899
prod119896=1
1198601198901198962
όπου τα 1198901 hellip 119890119899 είναι η συνήθης βάση του ℝ119899 Δεν χρειάζεται να
αποδείξουμε αυτή την ανισότητα αφού θα αποδείξουμε την ακόλουθη
επέκτασή της
Π (Ανισότητα Hadamard) Αν τα 119906119896 και 119888119896 αναπαριστούντον ταυτοτικό πίνακα όπως παραπάνω τότε για κάθε 119899 times 119899 πίνακα 119860ισχύει
det 119860 le119898
prod119896=1
1198601199061198961198881198962
Απόδειξη Παρατηρούμε ότι η ζητούμενη ανισότητα είναι αναλλοίωτη
στους ορθογώνιους πίνακες οπότε αντικαθιστώντας τον 119860 με τον 119876119860όπου ο 119876 ανήκει στην ορθογώνια ομάδα μπορούμε να υποθέσουμε ότι
ο 119860 είναι συμμετρικός και θετικά ημιορισμένος (δείτε Άσκηση )
Επειδή αν η ορίζουσα του 119860 ισούται με μηδέν τότε η ανισότητα είναι
προφανής υποθέτουμε ότι ο 119860 είναι θετικά ορισμένος Συνεπώς είναι
διαγωνοποιήσιμος με θετικές ιδιοτιμές δηλαδή ισχύει
119860 =119899
sum119896=1
120572119896119890119896 otimes 119890119896
με 119886119896 gt 0 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899 Επειδή sum119899119896=1⟨119906119896 119890119896⟩2 = 1199061198962
2 = 1
εφαρμόζοντας την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου παίρνουμε
ότι
11986011990611989622 =
119899
sum119896=1
1205722119896⟨119906119896 119890119896⟩2 ge
119899
prod119896=1
1205722⟨119906119896119890119896⟩2
119896
Πολλαπλασιάζοντας για όλα τα 119894 έχουμε119898
prod119896=1
1198601199061198961198881198962 ge
119898
prod119896=1
119899
prod119896=1
120572119888119896⟨119906119896119890119896⟩2
119896
=119899
prod119896=1
120572sum119898119896=1 119888119896⟨119906119896119890119896⟩2
119896
=119899
prod119896=1
120572⟨(sum
119898119896=1 119888119896119906119896otimes119906119896)119890119896 119890119896⟩
119896
=119899
prod119896=1
120572⟨Id 119890119896119890119896⟩119896 =
119899
prod119896=1
120572119896 = det 119860
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Αν τα διανύσματα 119906119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 με 1199061198962 = 1ικανοποιούν την Id = sum
119898119896=1 119888119896119906119896 otimes 119906119896 για κατάλληλες σταθερές 119888119896 isin ℝ
τότε η σταθερά 119863 στην ανισότητα Brascamp-Lieb ισούται με 1
Απόδειξη Η σταθερά 119863 είναι η ποσότητα
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
Αν επιλέξουμε 120582119896 = 1 για κάθε 119896 = 1 hellip 119898 θα έχουμε φανερά ότι
119863 ledet (sum
119898119896=1 119888119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 1119888119896
= det Id = 1
Για την αντίστροφη ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε 120582119896 gt 0ισχύει
det (119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896) ge119898
prod119896=1
120582119888119896119896
Ας θέσουμε 119860 = sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896 Εύκολα ελέγχουμε ότι ο 119860 είναι
συμμετρικός και θετικά ορισμένος συνεπώς είναι αντιστρέψιμος και ο
αντίστροφος ως θετικά ορισμένος έχει τετραγωνική ρίζα την οποία θα
συμβολίσουμε με 119860minus12 Ολοκληρώνουμε την απόδειξη δείχνοντας ότι
det 119860 ge prod119898119896=1 120582119888119896
119896
1 =1119899tr(119860minus1119860) =
1119899tr(119860minus1
119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
=1119899tr(
119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes (119860minus1119906119896)) =1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896tr(119906119896 otimes (119860minus1119906119896))
=1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119906119896 119860minus1119906119896⟩ =1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119860minus12119906119896 119860minus12119906119896⟩
=1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896119860minus1211990611989622 =
119898
sum119896=1
119888119896
119899 (120582119896119860minus1211990611989622)
(χρησιμοποιούμε την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου αφού
sum119898119896=1 119888119896119899 = 1)
ge119898
prod119896=1
(120582119896119860minus1211990611989622)
119888119896119899
= (119898
prod119896=1
120582119888119896119899119896 ) sdot (
119898
prod119896=1
119860minus121199061198961198881198962 )
2119899
ge (119898
prod119896=1
120582119888119896119899119896 ) sdot (det 119860minus12)2119899
όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε την ανισότηταHadamard
(Πρόταση ) ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Τo επόμενο θεώρημα θα μας δώσει αμέσως την αντίστροφη ισοπερι-
μετρική ανισότητα
Θ (K Ball) Ανάμεσα σε όλα τα κυρτά συμμετρικά σώμα-τα στη θέση του John ο κύβος έχει μέγιστο όγκο Δηλαδή αν 119876119899 = [minus1 1]119899
ο μοναδιαίος κύβος στον ℝ119899και 119870 κεντρικά συμμετρικό κυρτό σώμα στονℝ119899 στη θέση του John τότε vol119899(119870) le 2119899 = vol119899(119876119899)
Απόδειξη Έστω ότι τα 119906119896 είναι σημεία επαφής του συνόρου του 119870 με
την Ευκλείδεια σφαίρα και 119888119896 isin ℝ ώστε να ισχύει Id = sum119898119896=1 119888119896119906119896 otimes 119906119896
Από την προηγούμενη πρόταση η ανισότητα Brascamp-Lieb ισχύει με
119863 = 1 Φανερά
119870 sube 119872 ∶= 119909 ∶ ∣⟨119909 119906119896⟩∣ le 1 119896 = 1 hellip 119898
Άρα εφαρμόζοντας την ανισότητα Brascamp-Lieb παίρνουμε
vol119899(119870) le vol119899(119872) = intℝ119899
(119898
prod119896=1
1119888119896[minus11](⟨119909 119906119896⟩)) 119889119909
le 1 sdot119898
prod119896=1
(intℝ
1[minus11])119888119896
=119898
prod119896=1
2119888119896 = 2119899 = vol119899(119876119899)
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Η ισοπεριμετρική ανισότητα (δείτε Άσκηση ) λέει ότι για κάθε
κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 ισχύει
(|119870||ℬ119899
2|)1119899
le (120597119870120597119861119899
2)
1(119899minus1)
(όπου υπενθυμίζουμε ότι με | sdot | συμβολίζουμε τον 119899-διάστατο όγκο vol119899)
η οποία με απλές πράξεις συνεπάγεται ότι
120597119870 ge (119899 sdot |ℬ1198992|1119899) sdot |119870|(119899minus1)119899 ≃ radic119899 sdot |119870|(119899minus1)119899
Η αντίστροφη ανισότητα γενικώς δεν ισχύει όπως εύκολα βλέπει κανείς
θέτοντας 119870 ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με όλες τις ακμές του
μεγάλες και μία πολύ μικρή (ώστε να διατηρείται ο όγκος ίσος με 1 αλλάνα μπορεί να μεγαλώσει ανεγξέλεκτα το εμβαδόν επιφανείας) Όμως από
τα προηγούμενα προκύπτει ότι θα ισχύει μια αντίστροφη ανισότητα
αν το 119870 βρίσκεται σε κατάλληλη θέση
Θ (Αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα) Για κάθε κυρ-τό κεντρικά συμμετρικό σώμα 119870 υπάρχει θέση 119870 ώστε
120597119870 le 2119899 |119870|(119899minus1)119899
και η ποσότητα 2119899 στην προηγούμενη ανισότητα είναι βέλτιστη
Απόδειξη Θεωρούμε ότι το 119870 είναι στη θέση του John Έτσι ℬ1198992 sube 119870
και από το προηγούμενο θεώρημα έχουμε |119870| le 2119899 Οπότε
120597119870 = lim119905rarr0+
|119870 + 119905ℬ1198992| minus |119870|119905
le lim119905rarr0+
|119870 + 119905119870| minus |119870|119905
= |119870| sdot 119899 = |119870|(119899minus1)119899|119870|1119899 sdot 119899 le 2119899 sdot |119870|(119899minus1)119899
Επειδή ισχύει η ισότητα όταν το 119870 είναι ο κύβος 119876119899 = [minus1 1]119899 συμπαι-
ρένουμε ότι η ποσότητα 2119899 είναι βέλτιστη
Π (Αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα) Από όλα τακυρτά κεντρικά συμμετρικά σώματα 119870 που βρίσκονται στη θέση του Johnκαι έχουν ίδιο εμβαδόν επιφανείας με τον κύβο 119876119899 τον ελάχιστο όγκο τονέχει ο κύβος
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι το 119870 είναι κεντρικά συμμετρικό και κυρτό
σώμα στη θέση του John και επιπλέον ότι
120597119870 = 120597119876119899 = |119876119899| sdot 119899
Αφού 120597119870 le 2119899|119870|(119899minus1)119899 έχουμε
|119870| ge (1
2119899120597119870)
119899119899minus1
= (1
21198992119899119899)
119899119899minus1
= 2119899 = |119876119899|
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Ανάλογο αποτέλεσμα υπάρχει και για κυρτά
σώματα που δεν είναι απαραίτητα κεντρικά συμμετρικά Εκεί η σύγκριση
γίνεται με το simplex Δεν θα ασχοληθούμε με αυτή την περίπτωση
Άσκηση Αποδείξτε ότι τα ελλειψοειδή ℰ120575 που ορίστηκαν στην απόδειξη
του Θεωρήματος συγκλίνουν ως προς τη μετρική Hausdorff στην Ευκλείδεια
μπάλα ℬ1198992 Αυτό μπορείτε να το κάνετε αποδεικνύοντας ότι
1radic1 + 120575119861
ℬ1198992 sube ℰ120575 sube
1radic1 minus 120575119861
ℬ1198992
για κάθε 0 lt 120575 lt 1119861 Για να το επιτύχετε αυτό θα πρέπει πρώτα με τη
βοήθεια του φασματικού θεωρήματος για τον πίνακα 119879120575 να αποδείξετε ότι
119879minus2120575 = 119879minus1
120575 2 και ότι (Id +120575119861)minus1 = suminfin119896=0(minus120575)119896119861119896
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε κυρτό κεντρικά συμμετρικό σώμα 119870στον ℝ119899 υπάρχει θέση 119870 ώστε να ισχύει
(120597119870120597119876119899
)1(119899minus1)
le (|119870||119876119899|)
1119899
Συγκρίνετε με την Άσκηση
Η ΘΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ
Θ Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει θέση ελα-χίστου μέσου πλάτους Δηλαδή υπάρχει 1198790 isin SL(119899) ώστε το 1198790(119870) ναέχει ελάχιστο πλάτος
119908(1198790(119870)) = inf119908(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)
Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι
για κατάλληλο 119886 gt 0 ισχύει 119886ℬ1198992 sube 119870 sube ℬ119899
2 πολλαπλασιάζοντας με
κατάλληλο συντελεστή το 119870 και χρησιμοποιώντας το ότι για κάθε 120582 gt 0ισχύει 119908(120582119870) = 120582 119908(119870) Θέτουμε 1199080 = inf119908(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)Έστω ότι η (119879119898)119898isinℕ ακολουθία γραμμικών απεικονίσεων στο SL(119899)ώστε lim119898rarrinfin 119908(119879119898(119870)) = 1199080 Θα δείξουμε με απαγωγή στο άτοπο ότι
η (119879119898)119898isinℕ είναι φραγμένη στον 119872119899times119899 με την νόρμα sdot Πράγματι ανδεν είναι φραγμένη τότε υπάρχει ακολουθία (119906119898)119898isinℕ στη σφαίρα 120138119899minus1
ώστε 1198791198981199061198982 rarr infin για 119898 rarr infin Έτσι το ελλειψοειδές ℰ119898 ∶= 119879119898(ℬ1198992)
με μήκη ημιαξόνων 1198861119898 hellip 119886119899119898 gt 0 έχει τουλάχιστον ένα ημιάξονα
μεγαλύτερο του 1198791198981199061198982 έστω τον 119886119895119898119898 Δηλαδή lim119898rarrinfin 119886119895119898119898 = infin
Από την Άσκηση ισχύει
119908(119879119898(ℬ1198992)) = 119908(ℰ119898) = int
120138119899minus1ℎℰ119898
(119906) 119889119906 = int120138119899minus1
(119899
sum119895=1
11988621198951198981199062
119895 )12
119889119906
ge 119886119895119898119898 int120138119899minus1
|119906119895119898| 119889119906 = 119886119895119898119898 int
120138119899minus1|1199061| 119889119906 rarr infin
όπου 119906119895 οι συντεταγμένες του 119906 ως προς ορθοκανονική βάση του ℝ119899
στη διεύθυνση των κύριων αξόνων του ελλειψοειδούς ℰ119898 Αλλά από την
άλλη μεριά η ακολουθία 119908(119879119898(ℬ1198992)) είναι φραγμένη αφού
119908(119879119898(ℬ1198992)) le 119886minus1119908(119879119898(119870)) rarr 119886minus11199080
καταλήγοντας σε άτοπο
Άρα η (119879119898)119898isinℕ είναι φραγμένη και από την Πρόταση και το
Πόρισμα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Ας συμβολίσουμε πάλι με
(119879119898)119898isinℕ αυτή την υπακολουθία και έστω ότι συγκλίνει στο 1198790 Δηλαδή
119879119898 minus 1198790 rarr 0 Παρατηρούμε ότι για κάθε 119906 isin 120138119899minus1
∣ℎ119879119898119870(119906) minus ℎ1198790119870(119906)∣ = ∣ℎ119870(119879119905119898119906) minus ℎ119870(119879119905
0119906)∣()
le ℎ119870((119879119905119898 minus 119879119905
0)(119906)) = sup119910isin119870
⟨(119879119905119898 minus 119879119905
0)(119906) 119910⟩()
le sup119910isinℬ119899
2
⟨119906 (119879119898 minus 1198790)(119910)⟩
le sup119910isinℬ119899
2
1199062119879119898 minus 1198790 1199102 le 119879119898 minus 1198790
όπου στην () χρησιμοποιήσαμε την Άσκηση και στην ()
χρησιμοποιήσαμε την κάτω τριγωνική ανισότητα αφού κάθε συνάρτηση
στήριξης είναι νόρμα (του πολικού σώματος) από την Πρόταση
Συνεπώς η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη πάνω στο 120138119899minus1 οπότε
119908(119879119898(119870)) = int120138119899minus1
ℎ119879119898(119870)(119906) 119889119906 rarr int120138119899minus1
ℎ1198790(119870)(119906) 119889119906 = 119908(1198790(119870))
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Στη συνέχεια θέλουμε να αποδείξουμε ότι η θέση του ελαχίστου
μέσου πλάτους είναι στην ουσία μοναδική Για αυτό θα χρειαστούμε
δύο λήμματα
Λ Θεωρούμε ένα γνήσια κυρτό σώμα 119870 του οποίου ησυνάρτηση στήριξης ℎ119870 είναι διαφορίσιμη Έστω ότι το 119909 είναι το μοναδικόσημείο τομής του επιπέδου στήριξης του 119870 στη διεύθυνση 119906 isin 120138119899minus1 με το119870 Τότε nablaℎ119870(119906) = 119909
Απόδειξη Αφού η ℎ119870 είναι διαφορίσιμη συμπεραίνουμε ότι για κάθε 119907 isinℝ119899 ⧵ 0 και για κάθε 119906 isin 120138119899minus1 υπάρχει η κατευθυνόμενη παράγωγος
120597119907ℎ119870(119906) στη διεύθυνση 119907 Παρατηρούμε πρώτα ότι
120597minus119907ℎ119870(119906) = lim120582rarr0
ℎ119870(119906 + 120582(minus119907)) minus ℎ119870(119906)120582
= minus lim120582rarr0
ℎ119870(119906 + (minus120582)119907) minus ℎ119870(119906)minus120582
= minus120597119907ℎ119870(119906)()
Επιπλέον από τον ορισμό της συνάρτησης στήριξης το ότι ℎ119870(119906) = ⟨119909 119906⟩και 119909 isin 119870 παίρνουμε
120597119907ℎ119870(119906) = lim sup120582rarr0
ℎ119870(119906 + 120582119907) minus ℎ119870(119906)120582
= lim sup120582rarr0
ℎ119870(119906 + 120582119907) minus ⟨119909 119906⟩120582
ge lim sup120582rarr0
⟨119909 119906 + 120582119907⟩ minus ⟨119909 119906⟩120582
= ⟨119909 119907⟩()
Άρα αν 119890119894 119894 = 1 hellip 119899 τα διανύσματα της συνήθους βάσης του ℝ119899 θα
έχουμε 120597119890119894ℎ119870(119906) ge ⟨119909 119890119894⟩ για κάθε 119894 = 1 hellip 119899 Αλλά από την () και
την () συνεπάγεται ότι
120597119890119894ℎ119870(119906) = minus120597minus119890119894
ℎ119870(119906) le minus⟨119909 minus119890119894⟩ = ⟨119909 119890119894⟩
Άρα 120597119890119894ℎ119870(119906) = ⟨119909 119890119894⟩ για κάθε 119894 = 1 2 hellip 119899 οπότε nablaℎ119870(119906) = 119909
Λ Ένα κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 με διαφορίσιμη συνάρτησηστήριξης ℎ119870 έχει ελάχιστο μέσο πλάτος αν και μόνο αν
int120138119899minus1
⟨nablaℎ119870(119906) 119879119906⟩ 119889119906 =tr(119879)
119899119908(119870)()
για κάθε γραμμική απεικόνιση 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899
Απόδειξη Αν το 119870 έχει ελάχιστο μέσο πλάτος τότε για 120598 gt 0 αρκετά
μικρό η απεικόνιση 119878 = (Id +120598119879)119905(det(Id +120598119879))1119899 είναι καλά ορισμένη
και έχει ορίζουσα 1 Συνεπώς 119908(119878(119870)) ge 119908(119870) οπότε
int120138119899minus1
ℎ119878(119870)(119906)119889119906 ge int120138119899minus1
ℎ119870(119906)119889119906
Απλές πράξεις οδηγούν στην
int120138119899minus1
ℎ119870(119906 + 120598119879119906) 119889119906 ge det((Id +120598119879))1119899 int
120138119899minus1ℎ119870(119906)119889119906
Αντικαθιστώντας τις ℎ119870(119906 + 120598119879119906) και (det(Id +120598119879))1119899 με τα Taylor ανα-
πτύγματά τους πρώτης τάξης οδηγούμαστε στην
int120138119899minus1
(ℎ119870(119906) + 120598⟨nablaℎ119870(119906) 119879119906⟩ + 119900(120598)) 119889119906 ge (1 + 120598tr(119879)
119899+ 119900(120598)) 119908(119870)
όπου γράψαμε με 119900(120598) τα υπόλοιπα του αναπτύγματος Taylor τα οποία
ικανοποιούν την lim120598rarr0+ 119900(120598)120598 = 0 Αφήνοντας το 120598 να πάει στο 0 από
δεξιά οδηγούμαστε στην
int120138119899minus1
⟨nablaℎ119870(119906) 119879119906⟩ 119889119906 getr(119879)
119899119908(119870)
Αλλά η τελευταία ισχύει για κάθε 119879 οπότε αν την ξαναγράψουμε για
τον minus119879 στη θέση του 119879 παίρνουμε την αντίστροφη ανισότητα δηλαδή
το ζητούμενο
Αντίστροφα έστω ότι ισχύει η () και ο 119879 έχει ορίζουσα 1Από την Άσκηση υπάρχουν ορθογώνιοι πίνακες 119880 και 119881 και
διαγώνιος πίνακας 119863 = diag(1205821 hellip 120582119899) με 120582119895 gt 0 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899ώστε να ισχύει 119879 = 119880119863119881 Οπότε (119880119881)119905119879 = 119881119905119863119881 Επειδή ο πίνακας
(119880119881)119905 είναι ορθογώνιος ισχύει 119908((119880119881)119905119879(119870)) = 119908(119879(119870)) συνεπώς
αρκεί να αποδείξουμε ότι το σώμα 119878(Κ) για 119878 ∶= (119880119881)119905119879 = 119881119905119863119881ικανοποιεί την 119908(119878(119870)) ge 119908(119870) Αλλά ο πίνακας 119878 είναι συμμετρικός
και θετικά ορισμένος οπότε από το Πόρισμα ισχύει η ανισότητα
tr(119878)119899 ge det(119878)1119899 = 1 Από αυτό και το ότι nablaℎ119870(119906) isin 119870 (Λήμμα )
έχουμε ότι
119908(119878(119870)) = int120138119899minus1
ℎ119878(119870)(119906) 119889119906 = int120138119899minus1
ℎ119870(119878119905119906) 119889119906
ge int120138119899minus1
⟨nablaℎ119870(119906) 119878119905119906⟩ 119889119906 =tr(119878)
119899119908(119870) ge 119908(119870)()
Δηλαδή το 119870 βρίσκεται στη θέση ελάχιστου μέσου πλάτους
Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε τη μοναδικότητα της θέσης
ελάχιστου μέσου πλάτους
Π Αν το κυρτό σώμα 119870 βρίσκεται στη θέση ελάχιστουμέσου πλάτος και το ίδιο συμβαίνει και για το 119879(119870) όπου 119879 isin SL(119899)τότε o 119879 είναι ορθογώνιος
Απόδειξη Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ℎ119870 είναι διαφορίσιμη συνάρ-
τηση αλλιώς προσεγγίζουμε το 119870 με μια ακολουθία σωμάτων που έχουν
διαφορίσιμες συναρτήσεις στήριξηςmdashπαραλείπουμε τις λεπτομέρειες
Αν 119908(119879(119870)) = 119908(119870) τότε 119908(119878(119870)) = 119908(119870) όπου 119878 ο πίνακας που
προκύπτει από τον 119879 όπως στην απόδειξη του Λήμματος Από
τη σχέση () θα ισχύει tr(119878)119899 = (det 119878)1119899 Οπότεmdashσύμφωνα με το
Πόρισμα mdashο 119878 είναι ορθογώνιος άρα και ο 119879
Η ΘΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ
Σε αυτό το κεφάλαιο θα αποδείξουμε ότι κάθε κυρτό σώμα 119870 στον
ℝ119899 έχει μια στην ουσία μοναδική θέση ελάχιστου εμβαδού επιφανείας Η
απόδειξη χρειάζεται το γεγονός ότι το εμβαδό επιφανείας ως συνάρτηση
από τα κυρτά σώματα στο ℝ είναι συνεχής Η κυρτότητα δεν είναι
απαραίτητη μόνο για την ύπαρξη του εμβαδού επιφανείας διότι εύκολα
μπορεί να δει κανείς ότι η συνάρτηση αυτή δεν είναι συνεχής σε μη
κυρτά σύνολα όπως βλέπουμε στο Σχήμα Η συνέχεια του εμβαδού
Uuml c
a
4
Σ Η περιφέρεια του 119870119898 είναι 4 για κάθε 119898 isin ℕ τα 119870119898 συγκλί-
νουν με τη μετρική Hausdorff στο 119870 το οποίο έχει περίμετρο 2+radic2 ne 4
επιφανείας στα κυρτά σώματα έχει αρκετή δουλειά για να αποδειχθεί
και την αποδεικνύουμε στην Ενότητα Για τα επόμενα υποθέτουμε
ότι η συνέχεια είναι δεδομένη
Θ Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει θέση ελάχι-στου εμβαδού επιφανείας Δηλαδή υπάρχει 1198790 isin SL(119899) ώστε το 1198790(119870)να έχει το ελάχιστο εμβαδό επιφανείας
120597(1198790(119870)) = inf120597(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)
Απόδειξη Χρησιμοποιώντας το ότι 120597(120582119870) = 120582119899minus1120597(119870) μπορούμε να
υποθέσουμε πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο 120582 gt 0 ότι 119870 sube ℬ1198992
Θέτουμε
1205970 = inf120597(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)
και θεωρούμε ακολουθία 119879119898 isin SL(119899) ώστε lim119898rarrinfin 120597(119879119898(119870)) = 1205970 Αρκεί
να δείξουμε ότι η 119879119898 έχει συγκλίνουσα υπακολουθία διότι αν αυτή
η υπακολουθία συγκλίνει έστω στον 1198790 τότε από τη συνέχεια του
εμβαδού επιφανείας θα πάρουμε ότι 1205970 = 120597(1198790(119870)) ολοκληρώνοντας
την απόδειξη
Από την Άσκηση υπάρχουν ορθογώνιοι πίνακες 119880119898 119881119898 και
διαγώνιος πίνακας 119863119898 = diag(1205821198981 hellip 120582119898119899) με 120582119898119895 gt 0 για κάθε 119898 isin ℕκαι για κάθε 119895 = 1 2 hellip 119899 ώστε 119879119898 = 119880119898119863119898119881119898 Επιπλέον εύκολα
ελέγχουμε με τον ορισμό ότι το εμβαδό επιφανείας είναι ανεξάρτητο
από ορθογώνιους μετασχηματισμούς δηλαδή
120597(119879119898(119870)) = 120597(119880119898119863119898119881119898(119870)) = 120597(119863119898119881119898(119870)) = 120597(119863119898(119871119898))()
όπου θέσαμε 119871119898 = 119881119898(119870)
Για να αποδείξουμε ότι η 119879119898 έχει συγκλίνουσα υπακολουθία αρκεί να
δείξουμε ότι είναι φραγμένη Για αυτό αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία
των 119863119898 είναι φραγμένη διότι οι ακολουθίες 119880119898 και 119881119898 είναι φραγμένες ως
ακολουθίες ορθογώνιων πινάκων (Παράδειγμα Παρατήρηση
και Πόρισμα ) Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία 119863minus1119898
είναι φραγμένη (Άσκηση )
Αν η 119863minus1119898 = diag(11205821198981 hellip 1120582119898119899) δεν είναι φραγμένη εύκολα ε-
λέγχουμε ότι υπάρχουν δείκτες 119895119898 ώστε 0 lt 120582119898119895119898rarr 0 Αλλά τότε
έχουμε
120597(119863119898(119871119898)) = lim119905rarr0+
|119863119898(119871119898) + 119905ℬ1198992| minus |119863119898(119871119898)|119905
ge lim119905rarr0+
|119863119898(119871119898) + 119905ℒ119898| minus |119863119898(119871119898)|119905
ge |119871119898| lim119905rarr0+
det(119863119898 + 119905 Id) minus det(119863119898)119905
ge |119870| det(119863119898) lim119905rarr0+
det(Id +119905119863minus1119898 ) minus 1
119905ge |119870| sdot 1 sdot tr(119863minus1
119898 ) ge |119870|120582119898119895119898rarr infin (Άσκηση )
το οποίο είναι άτοπο αφού από την () ισχύει
120597(119863119898(119871119898)) = 120597(119879119898(119870)) rarr 1205970
καθώς 119898 rarr infin ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Για να αποδείξουμε τη μοναδικότητα της θέσης (εκτός από ορθογώ-
νιους μετασχηματισμούς) χρειαζόμαστε ένα τύπο για το πώς μεταβάλεται
το εμβαδό επιφανείας αν εφαρμοστεί ένας μετασχηματισμός 119879 isin SL(119899)Η απόδειξη αυτού του τύπου απαιτεί πολύ ισχυρά μετροθεωρητικά
εργαλεία και για αυτό θα την παραλείψουμε Οι σχετικές λεπτομέρειες
υπάρχουν στις Ενότητες και του [Gru] Όμως επειδή δεν
υπάρχει αυτούσιος ο τύπος που χρειαζόμαστε στο παραπάνω θα
δείξουμε πώς προκύπτει παραπέμποντας σε διάφορες προτάσεις στο
παραπάνω βιβλίο
Πρώτα ορίζουμε την απεικόνιση Gauss ΝΚ από το bd(119870) στα υπο-
σύνολα του 120138119899minus1 όπου απεικονίζει κάθε σημείο 119909 isin bd(119870) στο σύνολο
119906 isin 120138119899minus1 ∶ το 119909 + 119906⟂ είναι επίπεδο στήριξης του 119870 στο 119909
Η απεικόνιση 119873119870 αντιστρέφει υποσύνολα Borel της 120138119899minus1 σε υποσύνολα
Borel του bd(119870) ([Gru] Πρόταση )
Στη συνέχεια για κάθε κυρτό σώμα 119870 ορίζουμε ένα μέτρο 120590119870 πάνω
στην Ευκλείδεια σφαίρα 120138119899minus1 με τη βοήθεια της αντίστροφης εικόνας
μέσω της απεικόνισης του Gauss για κάθε Borel υποσύνολο 119860 της 120138119899minus1
θέτουμε
120590119870(119860) = 120583119899minus1(119873minus1119870 (119860))
όπου το 120583119899minus1 είναι το διάστασης 119899 minus 1 μέτρο Hausdorff πάνω στο bd(119870)(διαισθητικά το εμβαδόν επιφανείας του 119873minus1
119870 (119860) ως υποσύνολο του
bd(119870)) Φανερά 120590119870(120138119899minus1) = 120583119899minus1(119870) το οποίο μπορεί να δειχθεί ότι
ταυτίζεται με το 120597(119870)
Λ Για κάθε 119879 isin SL(119899) και για κάθε κυρτό σώμα 119870 ισχύει
() 120597(119879(119870)) = int120138119899minus1
(119879minus1)119905(119906)2 119889120590119870(119906)
laquoΑπόδειξηraquoΌλες οι αναφορές σε αυτή την απόδειξη είναι στο [Gru]
Από το Πόρισμα η ποσότητα 119899119881(119871 119870 hellip 119870) ισούται με
int120138119899minus1
ℎ119871(119906) 119889120590119870(119906)
Η ποσότητα 119899119881(119871 119870 hellip 119870) είναι ίση με την 119899119881(119870 hellip 119870 119871) (Θεώρη-
μα ) η οποία ισούται με το εμβαδόν επιφανείας του 119870 όταν 119871 = ℬ1198992
(ορισμός του εμβαδού επιφανείας και Θεώρημα ) Τέλος επειδή για
κάθε 119879 isin SL(119899) ισχύει 119881(Τ(Κ1) hellip 119879(119870119899)) = 119881(Κ1 hellip 119870119899) (Πρότα-
ση (ii) και η επόμενη Παρατήρηση) θα έχουμε
120597(119879(119870)) = 119899119881(119879(119870) hellip 119879(119870) ℬ1198992) = 119899119881(119870 hellip 119870 119879minus1(ℬ119899
2))
= int120138119899minus1
ℎ119879minus1(ℬ1198992)(119906) 119889120590119870(119906) = int
120138119899minus1ℎℬ119899
2((119879minus1)119905(119906)) 119889120590119870(119906)
= int120138119899minus1
(119879minus1)119905(119906)2 119889120590119870(119906)
Για την απόδειξη της επόμενης πρότασης ακολουθούμε το [AMG]
Π (Petty) Ένα κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 έχει ελάχιστοεμβαδόν επιφανείας αν και μόνο αν ισχύει
() int120138119899minus1
⟨119906 120579⟩ 119889120590119870(119906) =120597(119870)
119899
για κάθε 120579 isin 120138119899minus1
Απόδειξη Υποθέτουμε πρώτα ότι το 119870 έχει ελάχιστο εμβαδόν επιφανείας
Για κάθε γραμμική απεικόνιση 119879 στο ℝ119899 εφαρμόζουμε το Λήμμα
για τον (119860minus1)119905 όπου 119860 = (Id +119903119879)(det(Id +119903119879))1119899 ο οποίος για 119903 σε
μια περιοχή του μηδενός είναι καλά ορισμένος και ανήκει το SL(119899) Έτσι
από την () και επειδή 120597((119860minus1)119905(119870)) ge 120597(119870) παίρνουμε ότι
() int120138119899minus1
(Id +119903119879)(119906)2 119889120590119870(119906) ge (det(Id +119903119879))1119899120597(119870)
Εύκολα ελέγχουμε ότι η συνάρτηση
120593(119903) = (Id +119903119879)(119906)2 = radic1 + 2119903⟨119906 119879(119906)⟩ + 1205982⟨119879(119906) 119879(119906)⟩
είναι παραγωγίσιμη στο 119903 = 0 με παράγωγο ⟨119906 119879(119906)⟩ Έτσι από το
Θεώρημα Taylor υπάρχει συνάρτηση 1205931 με lim119903rarr0 1205931(119903) = 0 ώστε
() 120593(119903) = 1 + 119903⟨119906 119879(119906)⟩ + 1199031205931(119903)
Ομοίως η συνάρτηση 120595(119903) = (det(Id +119903119879))1119899 είναιmdashσύμφωνα με την
Άσκηση mdashπαραγωγίσιμη στο 119903 = 0 με παράγωγο tr(119879)119899 Άρα και
πάλι από το Θεώρημα Taylor υπάρχει συνάρτηση 1205951 με lim119903rarr0 1205951(119903) = 0ώστε
() 120595(119903) = 1 + 119903tr(119879)
119899+ 1199031205951(119903)
Αντικαθιστώντας τις () και () στην () και παίρνοντας όρια
μια φορά για 119903 rarr 0+ και μια φορά για 119903 rarr 0minus προκύπτουν οι
int120138119899minus1
⟨119906 119879(119906)⟩ 119889120590119870(119906) getr(119879)
119899120597(119870)
και
int120138119899minus1
⟨119906 119879(119906)⟩ 119889120590119870(119906) letr(119879)
119899120597(119870)
αντίστοιχα δηλαδή
int120138119899minus1
⟨119906 119879(119906)⟩ 119889120590119870(119906) =tr(119879)
119899120597(119870)
Αντιστρόφως αν ισχύει η () και 119879 isin SL(119899) τότε επειδή από
την ανισότητα Cauchy-Schwartz ισχύει (119879minus1)119905(119906)2 ge ⟨(119879minus1)119905(119906) 119906⟩ =⟨119906 119879minus1(119906)⟩ για κάθε 119906 isin 120138119899minus1 θα έχουμε
120597(119879(119870)) = int120138119899minus1
(119879minus1)119905(119906)2 119889120590119870(119906)
ge int120138119899minus1
⟨119906 119879minus1(119906)⟩ 119889120590119870(119906) =tr(119879minus1)
119899120597(119870)
ge (det 119879minus1)1119899120597(119870) = 120597(119870)()
όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα αριθ-
μητικού-γεωμετρικού μέσου Άρα το 119870 βρίσκεται σε θέση ελάχιστης
επιφάνειας
Θ Η θέση ελάχιστης επιφάνειας είναι μοναδική εκτός απόορθογώνιους μετασχηματισμούς
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι το 119870 βρίσκεται σε θέση ελάχιστης επιφάνειας
και το ίδιο συμβαίνει και με το 119879(119870) για κάποιον 119879 isin SL(119899) οπότε120597(119879(119870)) = 120597(119870) Εφαρμόζοντας έναν ορθογώνιο μετασχηματισμό στο
119879(119870) και στο 119870 μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο 119879 είναι θετικά ορισμένος
(Άσκηση ) Έτσι η () δίνει ότι tr(119879minus1)119899 = det(119879minus1)1119899 και από
το Πόρισμα ο 119879minus1 οπότε και ο 119879 είναι ορθογώνιος
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει ακολουθίαπολυτόπων 119875119898 η οποία συγκλίνει στο σώμα 119870 ως προς τη μετρικήHausdorff
Απόδειξη Θέτουμε 119875119898 να είναι οι κυρτές θήκες των κορυφών των πολυ-
παραλληλεπιπέδων της Άσκησης
Π Έστω ότι τα 1198751 και 1198752 είναι πολύτοπα Τότε για κάθε119905 119904 gt 0 το 119875 = 1199051198751 + 1199041198752 είναι πολύτοπο Επιπλέον υπάρχει πεπερασμένοσύνολο 119880 sube 120138119899minus1 ώστε για κάθε 119905 119904 ge 0 για τα οποία το 119875 = 1199051198752 + 1199041198752είναι κυρτό σώμα τα εξωτερικά μοναδιαία κάθετα διανύσματα των εδρώντου 119875 ανήκουν στο 119880
Απόδειξη Αν το 119911 isin 119875 είναι ακραίο σημείο και 119911 = 1199051199111 + 1199041199112 όπου
1199111 isin 1198751 και 1199112 isin 1198752 τότε τα 1199111 και 1199112 είναι ακραία σημεία των 1198751 και
1198752 αντίστοιχα διότι αν για παράδειγμα το 1199111 είναι γνήσιος κυρτός
συνδυασμός δύο σημείων του 1198751 τότε εύκολα βλέπουμε ότι το 119911 είναι
γνήσιος κυρτός συνδυασμός δύο σημείων του 119875 οπότε δεν είναι ακραίο
σημείο Επειδή καθένα από τα 1198751 και 1198752 έχουν πεπερασμένος πλήθος
ακραίων σημείων (τις κορυφές τους) συμπαιρένουμε ότι το ίδιο ισχύει
και για το 119875 συνεπώς το 119875 είναι πολύτοπο
Για το δεύτερο σκέλος αποδεικνύουμε πρώτα τον ισχυρισμό
Ι Για κάθε 119906 isin 120138119899minus1
119875 cap 119867119875119906 = 119905(1198751 cap 1198671198751119906) + 119904(1198752 cap 1198671198752119906)
[Πράγματι αν 119911 isin 119875 cap 119867119875119906 υπάρχουν 1199111 isin 1198751 και 1199112 isin 1198752 ώστε
119911 = 1199051199111 + 1199041199112 Θα δείξουμε ότι 119911119894 isin 119875119894 cap 119867119875119894119906 για 119894 = 1 2 Αν αυτό δεν
συμβαίνει για παράδειγμα για το 1199111 τότε ⟨119911 119906⟩ lt ℎ1198751(119906) Αλλά τότε
ℎ119875(119906) = ⟨119911 119906⟩ = ⟨1199051199111 + 1199041199112 119906⟩ lt 119905ℎ1198751(119906) + 119904ℎ1198752
(119906) = ℎ1199051198751+1199041198752(119906) = ℎ119875(119906)
το οποίο είναι άτοπο Συνεπώς
119875 cap 119867119875119906 sube 119905(1198751 cap 1198671198751119906) + 119904(1198752 cap 1198671198752119906)
Αντιστρόφως αν 1199111 isin 1198751 cap 1198671198751119906 και 1199112 isin 1198752 cap 1198671198752119906 έχουμε
⟨1199051199111+1199041199112 119906⟩ = 119905⟨1199111 119906⟩+119904⟨1199112 119906⟩ = 119905ℎ1198751(119906)+119904ℎ1198752
(119906) = ℎ1199051198751+1199041198752(119906) = ℎ119875(119906)
οπότε 119911 = 1199051199111 + 1199041199112 isin 119867119875119906]
Από τον παραπάνω ισχυρισμό αν τα 1198651 και 1198652 είναι έδρες των 1198751και 1198752 αντίστοιχα αν υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το
μηδέν ανήκει στα σχετικά εσωτερικά των 1198651 και 1198652 και το 1199051198651 + 1199041198652 είναι
έδρα του 119875 διάστασης 119899 minus 1 τότε το 1198651 + 1198652 είναι διάστασης 119899 minus 1 αφούέχει την ίδια γραμμική θήκη με το 1199051198651 + 1199041198652 Άρα ανεξάρτητα των 119905 και
119904 gt 0 το 119875 έχει το πολύ τόσες έδρες διάστασης 119899 minus 1 όσοι το πλήθος
των ζευγών εδρών του 1198751 και 1198752 δηλαδή πεπερασμένο πλήθος
Από το γεγονός ότι η σχετική διάσταση του 1198651 + 1198652 είναι πάντα
μεγαλύτερη ή ίση με τη σχετική διάσταση του 1198651 όπου 119865119894 έδρα του 119875119894(119894 = 1 2) άμεσα προύπτει το ακόλουθο
Π Αν 1198651 έδρα (όψη διάστασης 119899 minus 1) ενός πολυτόπου 1198751και 1198652 όψη ενός πολυτόπου 1198752 με 1198651 = 1198751 cap 1198671198751
(119906) και 1198652 = 1198752 cap 1198671198752(119906)
για κατάλληλο 119906 isin 120138119899minus1 τότε το 1198651 + 1198652 είναι έδρα (όψη διάστασης 119899 minus 1)του 1198751 + 1198752
Π Έστω ότι τα 1198751 και 1198752 είναι πολύτοπα στον ℝ119899 με το1198752 να έχει μη κενό εσωτερικό Τότε για κάθε 119905 gt 0 ο όγκος vol119899(1198751 + 1199051198752)είναι πολυώνυμο ως προς 119905 βαθμού 119899
Απόδειξη Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε πλήρη επαγωγή στο 119899Για 119899 = 1 αν 1198751 = [1198861 1198871] και 1198752 = [1198862 1198872] τότε 1198751+1199051198752 = [1198861+1199051198862 1198871+1198872]οπότε vol1(1198751 + 1198752) = (1198871 minus 1198861) + 119905(1198872 minus 1198862) δηλαδή πολυώνυμο του 119905πρώτου βαθμού Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει για πολύτοπα στον
ℝ119896 για κάθε 119896 le 119899 minus 1 και 119875 = 1198751 + 1199051198752 για πολύτοπα 1198751 1198752 στον ℝ119899
Χρησιμοποιώντας την Πρόταση έχουμε ότι
vol119899(119875) = vol119899(1198751 + 1199051198752) =1119899 sum
119906isin119880ℎ119875(119906)vol119899minus1(119875 cap 119867119875119906)
=1119899 sum
119906isin119880ℎ1198751+1199051198752
(119906)vol119899minus1(1198651 + 1199051198652)
όπου 119865119894 = 119875119894 cap 119867119875119894119906 για 119894 = 1 2
=1119899 sum
119906isin119880(ℎ1198751
(119906) + 119905ℎ1198752(119906))120601(119906 119905)
όπου τα 120601(119906 119905) είναι πολυώνυμα βαθμού το πολύ 119899 minus 1 ως προς 119905 από
την υπόθεση της πλήρους επαγωγής Έτσι το vol119899(119875) είναι πολυώνυμο
του 119905 το πολύ βαθμού 119899 Αλλά αφού υποθέσαμε ότι το 1198752 δεν έχει κενό
εσωτερικό αν υποθέσουμε ότι το vol119899(1198751 + 1199051198752) έχει βαθμό μικρότερο ή
ίσο το 119899 minus 1 τότε από τη συνέχεια του όγκου έχουμε
0 lt vol119899(1199051198752) = lim119904rarr0+
vol119899(1199041198751 + 1199051198752)
= lim119904rarr0+
119904119899vol119899 (1198751 +1199051199041198752) = lim
119904rarr0+119904119899
119899minus1
sum119895=0
119886119895 (119905119904)
119896
= 0
(όπου 119886119895 κατάλληλοι συντελεστές) το οποίο είναι άτοπο
Λ Έστω ότι τα 119901119898(119905) είναι ακολουθία πολυωνύμων βαθμού119899 που συγκλίνει στην 119891(119905) για κάθε 119905 ge 0 Τότε και η 119891 για 119905 ge 0 είναιπολυώνυμο βαθμού το πολύ 119899
Απόδειξη Απο τη μοναδικότητα του ορίου αρκεί να αποδείξουμε ότι η
ακολουθία
119901119898(119905) = 1198860119898 + 1198861119898119905 + 11988621198981199052 + ⋯ + 119886119899119898119905119899
συγκλίνει σε πολυώνυμο για 119905 ge 0 Για αυτό όμως αρκεί να αποδείξουμε
ότι οι συντελεστές 119886119895119898 συγκλίνουν σε κάποιον αριθμό 119886119895 για κάθε
119895 = 1 2 hellip 119899 καθώς 119898 rarr infin Παρατηρούμε ότι
1198860119898 = 119901119898(0)1198860119898 + 1198861119898 + 1198862119898 + ⋯ + 119886119899119898 = 119901119898(1)1198860119898 + 21198861119898 + 221198862119898 + ⋯ + 2119899119886119899119898 = 119901119898(2)1198860119898 + 31198861119898 + 321198863119898 + ⋯ + 3119899119886119899119898 = 119901119898(3)
⋮1198860119898 + 1198991198861119898 + 11989921198863119898 + ⋯ + 119899119899119886119899119898 = 119901119898(119899)
Λύνοντας το παραπάνω σύστημα από τους τύπους του Cramer κάθε
συντελεστής 119886119895119898 είναι γραμμικός συνδυασμός των 119901119898(0) 119901119898(1) hellip 119901119898(119899)τα οποία συγκλίνουν στα 119891(0) 119891(1) hellip 119891(119899) αντίστοιχα υπό την
προϋπόθεση ότι η ορίζουσα του συστήματος είναι φραγμένη laquoμακριάraquo
από το μηδέν καθώς 119898 rarr infin Αλλά η ορίζουσα αυτή είναι ορίζουσα
Vandermonde
∣∣∣∣∣
1 0 0 hellip 01 1 1 hellip 11 2 22 hellip 2119899
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 119899 1198992 hellip 119899119899
∣∣∣∣∣
η οποία είναι ανεξάρτητη του 119898 και θετική (Άσκηση για 119886119896 = 119896με 119896 = 1 hellip 119899) ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Για κάθε 119870 κυρτό σώμα στον ℝ119899 και για κάθε 119905 gt 0ο όγκος vol119899(119870 + 119905ℬ119899
2) είναι πολυώνυμο βαθμού 119899
Απόδειξη Προκύπτει άμεσα από την Προτάση το Λήμμα
προσεγγίζοντας τα 119870 και ℬ1198992 με πολύτοπα σύμφωνα με την Πρότα-
ση
Θ Το εμβαδό επιφανείας είναι συνεχής συνάρτηση στακυρτά σώματα
Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι τα 119870119898 είναι κυρτά σώματα που συγκλίνουν
με την μετρική Hausdorff στο 119870 Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση
τα vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) και vol119899(119870 + 119905ℬ119899
2) είναι πολυώνυμα του 119905 βαθμού 119899Έστω ότι
vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) = 1198860119898 + 1198861119898119905 + 11988621198981199052 + ⋯ + 119886119899119898119905119899
και
vol119899(119870 + 119905ℬ1198992) = 1198860 + 1198861119905 + 11988621199052 + ⋯ + 119886119899119905119899
για κατάλληλους συντελεστές 119886119895119898 και 119886119895 1198951 hellip 119899 Από τη συνέχεια του
όγκου η ακολουθία των πολυωνύμων vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) συγκλίνει στο
πολυώνυμο vol119899(119870 + 119905ℬ1198992) συνεπώς 119886119895119898 rarr 119886119895 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899 καθώς
119898 rarr infin Αλλά επειδή 1198860119898 = vol119899(119870119898) και 1198860 = vol119899(119870) έχουμε
120597119870119898 = lim119905rarr0+
vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) minus vol119899(119870119898)119905
= 1198861119898 rarr 1198861 = lim119905rarr0+
vol119899(119870 + 119905ℬ1198992) minus vol119899(119870)119905
= 120597119870
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Άσκηση Αποδείξτε ότι
119863119899 =
∣∣∣∣∣
1198861 11988621 hellip 119886119899
11198862 1198862
2 hellip 1198861198992
1198863 11988623 hellip 119886119899
3⋮ ⋮ ⋱ ⋮
119886119899 1198862119899 hellip 119886119899
119899
∣∣∣∣∣
= (119899
prod119894=1
119886119894) prod1le119894lt119895le119899
(119886119895 minus 119886119894)
(Υπόδειξη Παρατηρούμε ότι 119863119899 = 119865119899(119886119899) prod119899119894=1 119886119894 όπου
119865119899(119909) =
∣∣∣∣∣∣
1 1198861 11988621 hellip 119886119899minus1
11 1198862 1198862
2 hellip 119886119899minus12
1 1198863 11988623 hellip 119886119899minus1
3⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 119886119899minus1 1198862
119899minus1 hellip 119886119899minus1119899minus1
1 119909 1199092 hellip 119909119899minus1
∣∣∣∣∣∣
και έτσι αρκεί να δείξουμε ότι 119865119899(119886119899) = prod1le119894lt119895le119899(119886119895 minus 119886119894) Η απόδειξη αυτή
μπορεί να γίνει επαγωγικά στο 119899 Για το επαγωγικό βήμα παρατηρούμε ότι το
πολυώνυμο 119865119899(119909) έχει ρίζες τα 1198861 hellip 119886119899minus1 Άρα από το θεώρημα παραγοντοποί-
ησης ισχύει 119865119899(119909) = 119862 prod119899minus1119894=1 (119909 minus 119886119894) για κατάλληλη σταθερά 119862 Όμως από την
τελευταία έκφραση το 119862 είναι ο συντελεστής του 119909119899minus1 αλλά από τον ορισμό του
119865119899(119909) ο συντελεστής του 119909119899minus1 είναι το 119865119899minus1(119886119899minus1) Εναλλακτικά αν ονομάσουμε
με 119863119899(1198861 hellip 119886119899) την ζητούμενη ορίζουσα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε
τη 119899 minus 1 στήλη με 1198861 και να την αφαιρέσουμε από τη 119899-στη στήλη ώστε να
μηδενιστεί το στοιχείο στη θέση του 1198861198991 Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με
1198861 τη 119899 minus 2 στήλη και την αφαιρούμε από τη 119899 minus 1 στήλη ώστε να μηδενιστεί
το στοιχείο στη θέση του 119886119899minus11 Συνεχίζουμε μέχρι να μηδενιστεί όλη η πρώτη
γραμμή εκτός από το στοιχείο στη θέση του 1198861 Τότε βλέπουμε άμεσα ότι η
ορίζουσα ισούται με 1198861 prod119899119895=2(119886119895 minus 1198861) sdot 119863119899minus1(1198862 hellip 119886119899))
Μέρος III
Το φαινόμενο της συγκέντρωσης τουμέτρου
Όταν σε ένα μετρικό χώρο έχουμε τη δυνατότητα να έχουμε και
ένα μέτρο (συχνά πιθανότητας) τότε η αλληλεπίδραση της μετρικής
και του μέτρου αποδεικνύεται πολύ παραγωγική κυρίως διότι είναι
διαφορετική η έννοια του laquoμεγάλουraquo και του laquoμικρούraquo ως προς τη
μετρική και ως προς το μέτρο Ένα laquoμικρόraquo ως προς τη μετρική σύνολο
(για παράδειγμα με μικρή διάμετρο σε σχέση με τη διάμετρο του
χώρου) μπορεί να έχει laquoσχεδόνraquo πλήρες μέτρο (πολύ laquoκοντάraquo στο
μέτρο όλου του χώρου) Το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι ο
χώρος ℝ εφοδιασμένος με τη συνήθη απόσταση 119889(119909 119910) = |119909 minus 119910| και τοκανονικό (γκαουσιανό) μέτρο πιθανότητας 1205741 με πυκνότητα ως προς
το μέτρο Lebesgue την 119891(119909) = 119890minus11990922radic2120587 Δηλαδή
1205741(119860) = int119860
1radic2120587
119890minus11990922 119889119909
για κάθε Lebesgue μετρήσιμο σύνολο 119860 sube ℝ Η διάμετρος του χώρου
είναι άπειρη συνεπώς κάθε σύνολο της μορφής [minus119886 119886] ως υποσύνολο
του μετρικού χώρου (ℝ | sdot |) έχει laquoμικρόraquo μέγεθος (το ποσοστό της
διαμέτρου του ως προς τη διάμετρο του χώρου είναι μηδέν) αλλά ως
υποσύνολο του χώρου μέτρου (ℝ 1205741) έχει σχεδόν πλήρες μέτρο αφού
εύκολα βλέπουμε ότι
1205741([minus119886 119886]) = 1 minus2
radic2120587int
infin
119886119890minus11990922 119889119909 ge 1 minus 119890minus11988622
όπως προκύπτει εύκολα μετά από την αλλαγή μεταβλητής 119905 = 119909minus119886 στο
τελευταίο ολοκλήρωμα Αυτό το φαινόμενο γίνεται πολύ πιο ενδιαφέρον
όταν ο χώρος στον οποίο εργαζόμαστε βρίσκεται μέσα σε ένα γραμμικό
χώρο διάστασης 119899 Τότε στις εκτιμήσεις επεισέρχεται και η παράμετρος
119899 η διάσταση του χώρου Ας δούμε το παράδειγμα του ℝ119899 εφοδιασμένο
με την ευκλείδεια μετρική sdot 2 και το κανονικό (γκαουσιανό) μέτρο
δηλαδή το μέτρο 120574119899 με
120574119899(119860) =1
radic2120587int
119860119890minus1199092
22 119889119909
για κάθε Lebesgue μετρήσιμο σύνολο 119860 Θα δούμε στη συνέχεια ότι για
κάθε 0 lt 120598 lt 1 ισχύει
120574119899 (radic119899
1 minus 120598ℬ119899
2) ge 1 minus 119890minus12059821198994
Έτσι όταν η διάσταση 119899 είναι μεγάλη σχεδόν όλο το μέτρο 120574119899 βρίσκεται
μέσα στην ευκλείδεια μπάλα ακτίνας περίπου radic119899 Αυτό είναι ένα είδος
συγκέντρωσης του μέτρου (μέσα στην ευκλείδεια μπάλα κατάλληλης
ακτίνας) αλλά στην πραγματικότητα ισχύει κάτι ακόμα πιο εντυπωσια-
κό Το μέτρο της μπάλας radic(1 minus 120598)119899ℬ1198992 είναι laquoαμελητέοraquo Συγκεκριμένα
ισχύει
120574119899 (radic(1 minus 120598)119899ℬ1198992) le 119890minus12059821198994
Άρα η μεγάλη μάζα του μέτρου 120574119899 βρίσκεται στο σύνολο
119909 isin ℝ119899 ∶ radic(1 minus 120598)119899 le 1199092 le radic119899
1 minus 120598
δηλαδή σε μια laquoμικρή ζώνηraquo γύρω από την ευκλείδεια σφαίρα ακτίνας
radic119899
ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ
ΣΦΑΙΡΑ
ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ GAUSS
ΑΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ
ΣΩΜΑΤΩΝ
Παρακάτω βλέπουμε μερικά βασικά κυρτά σώματα του ℝ3 μέσα
στον κύβο [minus1 1]3
Σ Α Τα σύνολα 119909 isin ℝ119899 ∶ (sum119899119895=1 |119909119895|119901)
1119901 le 1 για 119901 = 06 και
119901 = 08 δεν είναι κυρτά
Σ Α Τα σύνολα 119909 isin ℝ119899 ∶ (sum119899119895=1 |119909119895|119901)
1119901 le 1 για 119901 = 1 και
119901 = 2
Σ Α Τα σύνολα ℬ119899119901 για 119901 = 4 και 119901 = 10 Όσο το 119901 μεγαλώνει
το σώμα προσεγγίζει τον κύβο
Σ Α Για 119901 = 20 το ℬ119899119901 είναι ήδη laquoπολύ κοντάraquo στον κύβο
ΒΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Γ
Σε αυτό το παράρτημα θα παρουσιάσουμε τις βασικές ιδιότητες της
συνάρτησης Γ η οποία ορίζεται με το ολοκλήρωμα
Γ(119909) = intinfin
0119905119909minus1119890minus119905 119889119905
για 119909 isin ℝ ⧵ 0 minus1 minus2 minus3 hellip Το γράφημα της συνάρτησης Γ(119909 + 1)δίνεται στο Σχήμα Β
YY
Y
Y Y Y
ΣΒ Το γράφημα της συνάρτησης Γ(119909+1) ∶ ℝ⧵minus1 minus2 minus3 hellip rarrℝ
Η συνάρτηση Γ ορίστηκε από το Euler το ως το απειρογινόμενο
Γ(119909 + 1) =1 sdot 2119909
1 + 119909sdot
21minus1199093119909
2 + 119909sdot
31minus1199094119909
3 + 119909⋯
=infin
prod119899=1
(1 +1119899)
119909
(1 +119909119899)
minus1
και μελετήθηκε στη μορφή του ολοκληρώματος int10(minus log 119905)119909 119889119905 στην
προσπάθειά του να ορίσει μια έννοια παραγοντικού για πραγματικούς
αριθμούς Επίσης και ο Gauss από το μελέτησε τη συνάρτηση Γ στη
μορφή
Π119909 = lim119896rarrinfin
1 sdot 2 sdot 3 ⋯ 119896 sdot 119896119909
(119909 + 1)(119909 + 2) ⋯ (119909 + 119896)δεδομένου του ότι Π119899 = 119899 (Άσκηση Β)
Β
Πριν προχωρήσουμε στη μελέτη της συνάρτησης Γ υπενθυμίζουμε
ότι το ολοκλήρωμα της γκαουσιανής συνάρτησης είναι ίσο με 1
1radic2120587
intinfin
minusinfin119890minus11990922 119889119909 = 1
Π Β Η συνάρτηση Γ ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες
(i) Γ(119909 + 1) = 119909Γ(119909)
(ii) Για κάθε φυσικό αριθμό 119899 ισχύει Γ(119899 + 1) = 119899
(iii) Γ(12) = radic120587
Απόδειξη (i) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση κατά παράγοντες
(ii) Αποδεικνύεται εύκολα από το (i) με επαγωγή
(iii) Γ(12) = intinfin0
119905minus12119890minus119905 119889119905 Αλλάζουμε μεταβλητές θέτοντας 119905 =11990922 οπότε παίρνουμε
Γ(12) = intinfin
0
radic2119909minus1119890minus11990922119909 119889119909 = radic2 intinfin
0119890minus11990922 119889119909 = radic2
12
radic2120587 = radic120587
Ο υπολογισμός τιμών της συνάρτησης Γ είναι πολύ δυσχερής Ό-
μως αυτό που συχνά είναι χρήσιμο να ξέρουμε είναι η ασυμπτωτική
συμπεριφορά των τιμών της Γ Συγκεκριμένα ισχύει ο ακόλουθος τύπος
lim119909rarr+infin
Γ(1 + 119909)radic2120587119909(119909119890)119909
= 1
Μια άμεση συνέπεια του τύπου αυτού είναι ο τύπος του Stirling ο οποίος
μας λέει πόσο είναι περίπου το 119899 για μεγάλα 119899 isin ℕ Αυτός προκύπτει
από το γεγονός ότι Γ(119899 + 1) = 119899 Οπότε
lim119899rarr+infin
119899radic2120587119899(119899119890)119899
= 1
Δηλαδή για μεγάλα 119899
119899 ≃ radic2120587119899 (119899119890)
119899
Αυτό συνεπάγεται και την (119899 )1119899 ≃ 119899119890Το υπόλοιπο αυτού του παραρτήματος θα αφιερωθεί στην παρουσί-
αση μια απόδειξης για την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης
Γ (υπάρχουν διάφορες στη βιβλιογραφία)
Β
Το ο Laplace παρουσίασε μια μέθοδο για τον υπολογισμό
του ορίου ολοκληρωμάτων της μορφής int119887119886
119890119899119891(119909) 119889119909 καθώς 119899 rarr infin(δείτε [Lap]) την οποία θα παρουσιάσουμε εδώ και θα την χρησι-
μοποιήσουμε για την εκτίμιση της συνάρτησης Γ Η μέθοδος αφορά σε
συναρτήσεις 119891 οι οποίες έχουν μέγιστη τιμή σε ένα και μόνο σημείο 1199090στο διάστημα [119886 119887] και επιπλέον 119886 lt 1199090 lt 119887 και η 119891 έχει συνεχή η
παράγωγο στο σημείο αυτό
Η ιδέα του Laplace είναι η εξής Αν η 119891 έχει μέγιστο σε ένα μόνο σημείο
1199090 τότε ενώ ο πολλαπλασιασμός 119899 επί 119891(119909) θα μεγαλώσει ανάλογα όλες
τις τιμές της 119891 στο διάστημα [119886 119887] κατά τον παράγοντα 119899 (συμπε-
ριλαμβανομένης της 119891(1199090)) δηλαδή 119899119891(1199090)119899119891(119909) = 119891(1199090)119891(119909) Ανόμως υψώσουμε σε εκθέτη μετά τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμμένα
αν θεωρήσουμε την 119890119899119891(119909) οι αντίστοιχοι λόγοι μεγενθύνονται εκθετικά
119890119899119891(1199090)119890119899119891(119909) = 119890119899(119891(1199090)minus119891(119909)) Αυτή η μεγέθυνση κάνει το ολοκλήρωμα
της 119890119899119891(119909) να εξαρτάται πολύ περισσότερο από τις τιμές κοντά στο 1199090παρά από αυτές που είναι πιο μακριά Αλλά για τις τιμές κοντά στο
1199090 μπορούμε να προσεγγίσουμε την 119891 από μια κατάλληλη γκαουσιανή
καμπύλη (καμπύλη της μορφής 119890minus119886(119909minus1199090)2) Αυτό είναι πράγματι εφικτό
διότι έχοντας η 119891 μέγιστο στο 1199090 έχει πρώτη παράγωγο στο 1199090 ίση
με το μηδέν Οπότε στο ανάπτυγμα Taylor της 119891 με κέντρο στο 1199090 δεν
υπάρχει γραμμικός όρος Δηλαδή μετά τον σταθερό όρο του αναπτύγ-
ματος ο επόμενος είναι ο 119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)22 όρος ο οποίος θα δώσει
την κατάλληλη γκαουσιανή
Το φαινόμενο αυτό το βλέπουμε στο Σχήμα Β όπου έχουμε σχεδιάσει
τη συνάρτηση exp(05((sin 119909)119909)) και στη συνέχεια την exp(3((sin 119909)119909))(μαύρη καμπύλη) σε σμίκρυνση ώστε να χωράει στη σελίδα Στη δεύτερη
περίπτωση η καμπύλη προσεγγίζεται πολύ καλά από την γκαουσιανή
(γκρι καμπύλη) Η προσέγγιση αυτή αιτιολογεί τόσο την εμφάνιση του
αριθμού 119890 όσο και την εμφάνιση του αριθμού 120587 στο αποτέλεσμα
13
Σ Β Η ιδέα της μεθόδου Laplace
Θα ξεκινήσουμε με την υπενθύμιση του Θεωρήματος Taylor από τον
απειροστικό λογισμό με το υπόλοιπο στη μορφή Peano
Θ Β (Taylor) Αν μια συνάρτηση 119891 ∶ ℝ rarr ℝ έχει συνεχήδεύτερη παράγωγο στο 1199090 isin ℝ τότε υπάρχει συνάρτηση ℎ2 ∶ ℝ rarr ℝώστε
119891(119909) = 119891(1199090) + 119891prime(1199090)(119909 minus 1199090) +12
119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)2 + ℎ2(119909)(119909 minus 1199090)2
και lim119909rarr1199090ℎ2(119909) = 0
Απόδειξη Η απόδειξη είναι απλή θέτουμε
ℎ2(119909) =119891(119909) minus 119891(1199090) minus 119891prime(1199090)(119909 minus 1199090) minus 1
2119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)2
(119909 minus 1199090)2
και υπολογίζουμε το όριο για 119909 rarr 1199090 με τον κανόνα Lrsquo Hospital
Λ Β1
radic2120587int
infin
minusinfin119890minus11991022 119889119910 = 1
Απόδειξη Θέτουμε 119868 = intinfinminusinfin
119890minus11991022 119889119910 και παρατηρούμε ότι
1198682 = (intinfin
minusinfin119890minus11990922 119889119909) (int
infin
minusinfin119890minus11991022 119889119910) = int
infin
minusinfinint
infin
minusinfin119890minus(1199092+1199102)2 119889119909 119889119910
Αλλάζουμε σε πολικές συντεταγμένες και παίρνουμε
1198682 = int2120587
0int
infin
0119890minus11990322119903 119889119903 119889120579
= 2120587(minus119890minus11990322) ∣infin
0
= 2120587
Έτσι 119868 = radic2120587 ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Λ Β
lim119905rarrinfin
1radic2120587
int119905
minus119905119890minus11991022 119889119910 = 1
Απόδειξη Επειδή η 119890minus11991022 είναι άρτια συνάρτηση καιradic2120587minus1intinfin
minusinfin119890minus11991022 119889119910 =
1 αρκεί να αποδείξουμε ότι
lim119905rarrinfin
intinfin
119905119890minus11991022 119889119910 = 0
Αλλά η αλλαγή μεταβλητής 119911 = 119910 minus 119905 δίνει
intinfin
119905119890minus11991022 119889119910 = 119890minus11990522 int
infin
0119890minus11991122119890minus1199111199052 119889119911 le 119890minus11990522 int
infin
0119890minus11991122 119889119911 =
radic21205872
119890minus11990522
η οποία έχει όριο το 0 για 119905 rarr infin
Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε το γενικό θεώρημα
Θ Β (Μέθοδος Laplace) Έστω ότι η 119891 ∶ [119886 119887] rarr ℝ είναιδύο φορές παραγωγίσιμη στο 1199090 με την 119891Prime συνεχή στο 1199090 το οποίο είναιτο μοναδικό σημείο στο [119886 119887] στο οποίο έχει μέγιστο Υποθέτουμε επίσηςότι 119891Prime(1199090) lt 0 και 1199090 isin (119886 119887) Τότε
(Β) lim119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
= 1
Απόδειξη (Κάτω φράγμα) Από το Θεώρημα Taylor όπως διατυπώθηκε
στο Θεώρημα Β για κάθε 120598 gt 0 υπάρχει 120575 gt 0 ώστε αν |119909 minus 1199090| lt 120575τότε |ℎ2(119909)| lt 1205982 δηλαδή minus1205982 lt ℎ2(119909) lt 1205982 Επιλέγουμε 120575 gt 0ώστε να ικανοποιούνται τα προηγούμενα και επιπλέον (1199090 minus120575 1199090 +120575) sube[119886 119887] Άρα από το Θεώρημα Taylor και το ότι 119891prime(1199090) = 0 αφού στο 1199090η 119891 έχει μέγιστο θα έχουμε
119891(119909) = 119891(1199090) +12
119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)2 + ℎ2(119909)(119909 minus 1199090)2
ge 119891(1199090) +12
(119891Prime(1199090) minus 120598)(119909 minus 1199090)2
Άρα
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909 ge int
1199090+120575
1199090minus120575119890119905119891(119909) 119889119909
ge 119890119905119891(1199090) int1199090+120575
1199090minus120575119890119905(119891Prime(1199090)minus120598)(119909minus1199090)22 119889119909
(αλλάζοντας μεταβλητή με 119910 = radic119905(minus119891Prime(1199090) + 120598)(119909 minus 1199090))
ge 119890119905119891(1199090)radic
1119905(minus119891Prime(1199090) + 120598)
int120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)
minus120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)119890minus 1
2 1199102119889119910
Έτσι
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
ge ⎛⎝
1radic2120587
int120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)
minus120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)119890minus 1
2 1199102119889119910⎞
⎠ radicminus119891Prime(1199090)
minus119891Prime(1199090) + 120598
Όμως σύμφωνα με το Λήμμα Β η τελευταία παρένθεση συγκλίνει στο
1 για 119905 rarr infin Οπότε παίρνοντας lim inf ως προς 119905 rarr infin συμπεραίνουμε
ότι
lim inf119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
ge radicminus119891Prime(1199090)
minus119891Prime(1199090) + 120598
για κάθε 120598 gt 0 Συνεπώς (για 120598 rarr 0+)
(Β) lim inf119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
ge 1
(Άνω φράγμα) Επιλέγουμε 120598 gt 0 ώστε 119891Prime(1199090) + 120598 lt 0 (θυμηθείτε ότι
119891Prime(1199090) lt 0) Εφαρμόζοντας το θεώρημα Taylor όπως και πριν παίρνουμε
ότι υπάρχει 120575 gt 0 ώστε για κάθε 119909 με |119909 minus 1199090| lt 120575 να ισχύει
119891(119909) le 119891(1199090) +12(119891Prime(1199090) + 120598)(119909 minus 1199090)2
Από την υπόθεση ότι η 119891 έχει μέγιστο μόνο στο 1199090 συμπεραίνουμε ότι
για κάθε 120575 gt 0 υπάρχει 120579 gt 0 ώστε αν |119909 minus 1199090| ge 120575 να ισχύει 119891(119909) le119891(1199090) minus 120579 Πράγματι αρκεί να θέσουμε 120579 = 119891(1199090) minus max|119909minus1199090|ge120575 119891(119909)το οποίο είναι θετικό εφόσον η 119891 έχει μοναδικό σημείο μεγίστου στο
1199090 Έτσι έχουμε
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909 = int
1199090minus120575
119886119890119905119891(119909) 119889119909 + int
1199090+120575
1199090minus120575119890119905119891(119909) 119889119909 + int
119887
119909+120575119890119905119891(119909) 119889119909
le ((1199090 minus 120575) minus 119886)119890119905(119891(1199090)minus120579) + 119890119905119891(1199090) int1199090+120575
1199090minus120575119890
1199052 (119891Prime(1199090)+120598)(119909minus1199090)2
119889119909
+ (119887 minus (1199090 + 120575))119890119905(119891(1199090)minus120579)
le (119887 minus 119886)119890119905(119891(1199090)minus120579) + 119890119905119891(1199090) int1199090+120575
1199090minus120575119890
1199052 (119891Prime(1199090)+120598)(119909minus1199090)2
119889119909
Αλλάζοντας μεταβλητές όπως και στο κάτω φράγμα καταλήγουμε στην
ανισότητα
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909 le (119887 minus 119886)119890119905(119891(1199090)minus120579) + 119890119905119891(1199090)
radic2120587
119905(minus119891Prime(1199090) minus 120598)
Παίρνοντας lim sup καθώς 119905 rarr infin οδηγούμαστε στην
lim sup119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
le radicminus119891Prime(1199090)
minus119891Prime(1199090) minus 120598
για κάθε 120598 αρκετά κοντά στο μηδέν (ώστε minus119891Prime(1199090)+120598 lt 0) Αφήνονταςτο 120598 να πάει στο μηδέν από δεξιά καταλήγουμε στην
(Β) lim sup119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
le 1
Οι (Β) και (Β) μαζί δίνουν το αποτέλεσμα
Η μέθοδος του Laplace μπορεί να εφαρμοστεί τώρα ώστε να υπολογίσουμε
την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης Γ
Π Β Για τη συνάρτηση Γ ισχύει
lim119909rarrinfin
Γ(119909 + 1)radic2120587119909(119909119890)119909
= 1
Απόδειξη Στο ολοκλήρωμα που ορίζει τη συνάρτηση Γ κάνουμε την
αλλαγή μεταβλητής 119905 = 119909119903 οπότε παίρνουμε
Γ(119909 + 1) = 119909119909+1 intinfin
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903
Διαιρούμε με 119909119909+1 και παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα στα δεξιά μπορεί
να εκτιμηθεί από τη μέθοδο Laplace πράγματι η συνάρτηση 119891(119903) =log 119903 minus 119903 έχει μέγιστο μόνο στο σημείο 1199090 = 1 και 119891Prime(1199090) = minus1 lt 0Έχουμε όμως να λύσουμε άλλο ένα πρόβλημα Η απόδειξη που κάναμε
στη μέθοδο Laplace χρησιμοποίησε κατά ουσιαστικό τρόπο το ότι
το πεδίο ολοκλήρωσης ήταν πεπερασμένο Τώρα το άνω άκρο του
ολοκληρώματος είναι +infin Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα
χωρίζουμε το ολοκλήρωμα σε δύο ολοκληρώματα το ένα μέχρι 2 και το
άλλο από 2 και πάνω Εύκολα βλέπουμε ότι για 119903 ge 2 ισχύει log 119903 le 119903119890(η (log 119903)119903 έχει μέγιστο στο 119903 = 119890) Γράφουμε τώρα
Γ(119909 + 1)119909119909+1 = int
2
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 + int
infin
2119890119909(log 119903minus119903) 119889119903(Β)
Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε ότι
intinfin
2119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 le int
infin
2119890minus119903119909(1minus119890minus1) 119889119903 = (119909(1 minus 119890minus1))
minus1119890minus2119909(1minus119890minus1)
Επιστρέφοντας στην (Β) και διαιρώντας με 119890minus119909radic2120587119909 παίρνουμε
1119890minus119909radic2120587119909
int2
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 le
Γ(119909 + 1)119909119909+1119890minus119909radic2120587119909
le1
119890minus119909radic2120587119909int
2
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 +
1radic2120587119909(1 minus 119890minus1)
119890minus119909(1minus2119890minus1)
Το όριο των ολοκληρωμάτων για 119909 rarr infin είναι ίσο με 1 από τη μέθοδο
Laplace ενώ το όριο του τελευταίου όρου είναι 0 Οπότε
lim119909rarrinfin
Γ(119909 + 1)119909119909+1119890minus119909radic2120587119909
= 1
δηλαδή το ζητούμενο
Π Β (Τύπος του Stirling) Ισχύει
lim119899rarrinfin
119899radic2120587119899(119899119890)119899
= 1
Δηλαδή για μεγάλα 119899 isin ℕ ισχύει
119899 ≃ radic2120587119899 (119899119890)
119899
Πιο συγκεκριμμένη εκτίμηση για το 119899 είναι η ακόλουθη
Π Β Για κάθε 119899 isin ℕ ισχύει
radic2120587119899 (119899119890)
119899
119890(12119899+1)minus1lt 119899 lt radic2120587119899 (
119899119890)
119899
119890(12119899)minus1
Απόδειξη Θεωρούμε την ακολουθία
119889119899 = log(119899 ) minus (119899 +12) log 119899 + 119899 = log
119899 119890119899
119899119899radic119899rarr log radic2120587
όπως αποδείχθηκε στο Θεώρημα Β Επίσης ως προς τη μονοτονία
αυτής της ακολουθίας έχουμε
119889119899 minus 119889119899+1 = (119899 +12) log
119899 + 1119899
minus 1
= (119899 +12) log
1 + (2119899 + 1)minus1
1 minus (2119899 + 1)minus1 minus 1
( 12
log 1+1199051minus119905
= 119905 + 1199053
3+ 1199055
5+ 1199057
7+ ⋯)
=1
3(2119899 + 1)2 +1
5(2119899 + 1)4 +1
7(2119899 + 1)6 + ⋯
Η τελευταία έκφραση είναι μικρότερη από
13(2119899 + 1)2 +
13(2119899 + 1)4 +
13(2119899 + 1)6 + ⋯
που ως γεωμετρική σειρά έχει άθροισμα
112119899(119899 + 1)
=1
12119899minus
112(119899 + 1)
και μεγαλύτερη από τον πρώτο της όρο (3(2119899 + 1)2)minus1 ο οποίος ελέγ-
χουμε με απλές πράξεις ότι είναι γνήσια μεγαλύτερος από
112119899 + 1
minus1
12(119899 + 1) + 1
Δείξαμε έτσι ότι η ακολουθία 119889119899 minus(12119899)minus1 είναι γνησίως αύξουσα με όριο
το log(radic2120587) άρα 119889119899minus(12119899)minus1 lt log radic2120587 και η ακολουθία 119889119899minus(12119899+1)minus1
είναι γνησίως φθίνουσα με όριο πάλι το log(radic2120587) άρα 119889119899 minus(12119899+1)minus1 gtlog radic2120587 Οι 119889119899 minus (12119899)minus1 lt log radic2120587 και 119889119899 minus (12119899 + 1)minus1 gt log radic2120587είναι οι ζητούμενες
Ανάλογη εκτίμηση ισχύει και για τη συνάρτηση Γ
Θ Β Για κάθε 119909 ge 0 ισχύει
Γ(119909 + 1) = 119909119909119890minus119909radic2120587119909 exp(120583(119909))
όπου η 120583(119909) είναι μια φθίνουσα συνάρτηση μη αρνητική για 119909 ge 1 και
120583(119909) =1
12119909minus
13
intinfin
0
1199013(119905)(119905 + 119909)3 119889119905
όπου η 1199013(119905) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 1 η οποία στο[0 1] δίνεται από τον τύπο 1199013(119905) = 1199053 minus 3
21199052 + 1
2119905
Η απόδειξη ξεφεύγει από τους σκοπούς του παρόντος και μπορεί να
βρεθεί στο [Rem] (σελίδα ) όπου διατηρήσαμε τον συμβολισμό
το συγκεκριμμένου βιβλίου
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι
Γ(119899 + 1) = 119899 = lim119896rarrinfin
1 sdot 2 sdot 3 ⋯ 119896 sdot 119896119899
(119899 + 1)(119899 + 2) ⋯ (119899 + 119896)
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι Γ(119909 + 1) = int1
0(minus log 119905)119909 119889119905
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι η συνάρτηση Γ είναι λογαριθμικά κυρτή δηλαδή
ότι η συνάρτηση log Γ είναι κυρτή
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι
Γ (119899 +12) =
(2119899)4119899119899
radic120587
Άσκηση Β Χρησιμοποιείστε τη συνάρτηση Γ για να αποδείξετε ότι
intinfin
0119890minus119905119886 119889119905 =
1119886Γ (
1119886)
όπου 119886 gt 0Άσκηση Β Η συνάρτηση laquoβήταraquo 119861 δίνεται από τον τύπο 119861(119909 119910) =int1
0119905119909minus1(1 minus 119905)119910minus1 119889119905 για 119909 gt 0 και 119910 gt 0 Αποδείξτε ότι
119861(119909 119910) =Γ(119909)Γ(119910)Γ(119909 + 119910)
ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα Γράψτε το γινόμενο Γ(119909)Γ(119910) ως διπλό
ολοκλήρωμα με δύο μεταβλητές 119906 119907 στο [0 infin) times [0 infin) Αλλάξτε μεταβλητές
θέτοντας 119906 = 119911119908 και 119907 = 119911(1 minus 119908) ώστε να οδηγηθείτε στο γινόμενο Γ(119909 +119910)119861(119909 119910)Άσκηση Β Αποδείξτε χρησιμοποιώντας την ασυμπτωτική συμπεριφορά
της συνάρτησης Γ ότι ασυμπτωτικά (για 119909 και 119910 μεγάλα) ισχύει
119861(119909 119910) ≃ radic2120587119909119909minus 1
2 119910119910minus 12
(119909 + 119910)119909+119910minus 12
Άσκηση Β Υποθέστε ότι 119891(119909 + 1) = 119909119891(119909) και 119891(1) = 1 Αποδείξτε ότι αν
lim119899rarrinfin
119891(119909 + 119899)(119899 minus 1) 119899119909 = 1
τότε
119891(119909) = lim119899rarrinfin
(119899 minus 1) 119899119909
119909(119909 + 1) hellip (119909 + 119899 minus 1)
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι για κάθε 119899 119896 isin ℕ με 119896 le 119899 ισχύει
(119899119896)
119896le (
119899119896) lt
1119890 (
119890119899119896 )
119896
Υπόδειξη Για το κάτω φράγμα παρατηρήστε ότι
(119899119896) =
119899119896
119896minus1
prod119894=1
119899 minus 119894119896 minus 119894
και119899 minus 119894119896 minus 119894
ge119899119896
για κάθε 119894 = 1 2 hellip 119896 minus 1 Για το άνω φράγμα
(119899119896) lt
119899119896
119896και 119890119896minus1 ge
119896minus1
prod119894=1
(1 +1119894)
119894=
119896119896
119896
από τη μονοτονία της (1 + 1119894)119894 (Παρατηρήστε επίσης ότι αν αντί για την
τελευταία ανισότητα χρησιμοποιηθεί η 119896119896119896 le suminfin119899=119900 119896119899119899 = 119890119896 θα πάρουμε
ασθενέστερη ανισότητα κατά τον παράγοντα 1119890)
Π Β Το άνω φράγμα για τον διωνυμικό συντελεστή δεν είναι
ακριβές όταν το 119896 είναι κοντά στο 119899 Για αυτό χρησιμοποιώντας το ότι
(119899119896) = ( 119899
119899minus119896) μπορούμε να γράψουμε την ακριβέστερη ανισότητα
max (119899119896)
119896 (
119899119899 minus 119896)
119899minus119896
le (119899119896) lt
1119890
min (119890119899119896 )
119896 (
119890119899119899 minus 119896)
119899minus119896
Επίσης και η κάτω ανισότητα είναι γνήσια αν 119896 lt 119899
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[ΠρΑναλ] Μιχάλης Ανούσης Αντώνης Τσολομύτης Βαγγέλης Φελου-
ζής Πραγματική Ανάλυση
[ΓρΑλγ] Δημήτριος Βάρσος Δημήτριος Δεριζιώτης Ιωάννης Εμμα-
νουήλ Μιχαήλ Μαλιάκας Αντώνιος Μελάς και Ολυμπία
Ταλέλλη Μια εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα τόμος ΙIΣοφία
[Για] Απόστολος Γιαννόπουλος Κυρτή γεωμετρική ανάλυση Ση-μειώσεις Μαθήματος Αθήνα
[ΘΜ] Στυλιανός Νεγρεπόντης Γεώργιος Κουμουλλής ΘεωρίαΜέτρου Συμμετρία
[ΕΓ] Πάρις Πάμφιλος Έλασσον Γεωμετρικόν ΠανεπιστημιακέςΕκδόσεις Κρήτης
[AMG] Shiri Artstein-Avidan Apostolos Giannopoulos and Vitali
Milman Asymptotic Gemetric Analysis Mathematical Surveys
and Monographs vol
[Bal] Keith Ball Some remarks on the geometry of convex setsGeometric aspects of functional analysis volume of LectureNotes in Math Springer-Verlag Berlin New York pp
--
[Borel] Christer Borel Convex set functions in 119889-space Period Math
Hung Vol () () pp ndash
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[BGVV] Silouanos Brazitikos Apostolos Giannopoulos Petros Valettas
and Beatrice-Helen Vritsiou Geometry of Isotropic ConvexBodies Mathematical Surveys and Monographs vol
[GH] Mariano Giaquinta and Stefan Hildebrandt Calculus ofVariations volume II Springer-Verlag Berlin Heidelberg New
York
[GPS] Herbert Goldstein Charles Poole and John Safko ClassicalMechanics rd edition Addison Wesley
[Gru] Peter M Gruber Convex and discrete geometry volume
of Grundelehren der mathematischen Wissenschaften Springer-
Verlag Berlin Heidelberg New York
[KO] Owe Krey and Anthony Owen Basic Theoretical PhysicsSpringer-Verlag Berlin Heidelberg New York
[Lap] Pierre Simon Laplace Memoir on the probability of causesof events tome sixiegraveme of Meacutemoires de Matheacutematique et dePhysique English translation by S M Stigler Statist Sci
()--
[MP] Vitali Milman and Alain Pajor Isotropic position and inertiaellipsoids and zonoids of the unit ball of a normed 119899-dimensional space Lecture Notes in Mathematics
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York σελ
ndash
[Rem] Reinhold Remmert Classical Topics in Complex FunctionTheory volume of Graduate Texts in Mathematics SpringerVerlag
[Sch] Rolf Schneider Convex Bodies The Brunn-MinkowskiTheory volume of Encyclopedia of Mathematics and itsApplications Cambridge University Press
Ευρετήριο Ελληνικών Όρων
Ααδράνεια
καμπύλη
αναλλοίωτο επίπεδο
ανάστροφος πίνακας
ανεξάρτητα σημεία
affine
ανισότητα
Blaschke-Santaloacute
Brunn-Minkowski
Brunn-Minkowski (αθροιστι-
κή μορφή)
Brunn-Minkowski (πολλαπλα-
σιαστική μορφή)
Cauchy-Schwartz
Hadamard
Houmllder
Houmllder για αθροίσματα
Houmllder για ολοκληρώματα
Jensen
Minkowski για αθροίσματα
Minkowski για ολοκληρώμα-
τα
Prekopa-Leindler
Young
αντίστροφη ισοπεριμετρική
αριθμητικού-γεωμετρικού μέ-
σου
ισοπεριμετρική
ανιστότητα
Barthe
Brascamp-Lieb
ανοικτή μπάλα
αντιπολική καμπύλη
αντίστροφη ισοπεριμετρική ανι-
σότητα
απόλυτα συνεχής συνάρτηση
απόσταση
Hausdorff
ευκλείδεια
αρχή του Brunn
Ββαρύκεντρο
Γγενική θέση σημείων
γνήσια κυρτή συνάρτηση
γνήσια κυρτό σύνολο
γνήσιος διαχωρισμός
Δδιαχωρισμός
γνήσιος
Εελάχιστη επιφάνεια
ελλειψοειδές
Binet
Legendre
Poinsot
αδρανείας
κινητικής ενέργειας
μεγίστου όγκου
εμβαδόν επιφανείας
συνέχεια
εσωτερικό γινόμενο
συνέχεια
εσωτερικό σημείο
εσωτερικό συνόλου
ευθύγραμμο τμήμα
ευκλείδεια απόσταση
ευκλείδεια μπάλα
ευκλείδεια νόρμα
συνέχεια
ευκλείδειο μήκος
Ηημίχωρος
Θθεση
ισοτροπική
Θέση
του John αναπαράσταση ταυ-
τοτικής
θέση
ελάχιστης επιφάνειας
ελαχίστου μέσου πλάτους
ισοτροπική μοναδικότητα
κυρτού σώματος
του John
θετικά ημιορισμένος πίνακας
θετικά ορισμένος πίνακας
θετική ομογένεια
θεώρημα
Fubini
αναπαράστασης ταυτοτικής
(John)
επιλογής του Baschke
Καραθεοδωρή
σφαιρικότητας του Gross
Ιιδιότητες όγκου
ισοπεριμετρική ανισότητα
ισοτροπική θέση
ίχνος πίνακα
Κκαμπύλη αδρανείας
κάτω τριγωνική ανισότητα
κεντρικά συμμετρικό σύνολο
κλειστή θήκη
κυκλικό πολύτοπο
κυρτή θήκη
κυρτή συνάρτηση
κυρτό σύνολο
κυρτό σώμα
θέση
κυρτός συνδυασμός
Λλήμμα του Borel
λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση
λογαριθμικά κοίλο μέτρο
λωρίδα
Μμέθοδος Laplace
μετασχηματισμός Legendre
μετρήσιμο
Jordan
μετρήσιμο σύνολο
μέτρο
ισοτροπικό
λογαριθμικά κοίλο
μέτρο Lebesgue
μήκος
ευκλείδειο
μοναδιαία ευκλείδεια μπάλα
μοναδιαία μπάλα
μοναδιαία σφαίρα
μοναδικότητα ισοτροπικής θέ-
σης
μπάλα
ανοικτή
ευκλείδεια
μοναδιαία ευκλείδεια
Ννόρμα
Οόγκος
ιδιότητες
κυρτού σώματος
παραλληλεπιπέδου
πολυπαραλληλεπιπέδου
του ℬ119899119901
ορθογώνια προβολή
ορίζουσα Vandermonde
Ππαράγωγο σύνολο
παραλληλεπίπεδο
πίνακας
singular value decomposition
ανάστροφος
θετικά ημιορισμένος
θετικά ορισμένος
ίχνος
πολική αναπαράσταση
πίνακας αδράνειας
πίνακας αδρανείας
πολική αναπαράσταση
πολική καμπύλη
πολική ροπή αδρανείας
πολικό σώμα
πολύτοπο
119896-neighborly κυκλικό
πρόβλημα των Busemann-Petty
προβολή
Ρροπή
αδρανείας
δύναμης
πολική αδρανείας
ροπή αδράνειας
Σσημεία
σε γενική θέση
σημείο
εσωτερικό
συσσώρευσης
σταθερά Lipschitz
σταθερά ισοτροπίας
λογαριθμικά κοίλου μέτρου
συμμετρικοποίηση Steiner
συμπαγές σύνολο
συνάρτηση
Lipschitz
απόλυτα συνεχής
Γ γνήσια κυρτή
κυρτή
λογαριθμικά κοίλη
στήριξης
συνεχής
συνέχεια εμβαδού επιφανείας
συνέχεια εσωτερικού γινομένου
συνέχεια ευκλείδειας νόρμας
συνεχής συνάρτηση
σύνολο
γνήσια κυρτό
εσωτερικό
κεντρικά συμμετρικό
κλειστή θήκη
κυρτό
μετρήσιμο
παράγωγο
συμπαγές
σύνορο
σχετικό εσωτερικό
φραγμένο
σύνορο συνόλου
σφαίρα
μοναδιαία
σχετικό εσωτερικό συνόλου
σώμα
μη ισοτροπικό
Ττετράεδρο (simplex)
τριγωνική ανισότητα
τύπος του Stirling
Υυπερεπίπεδο
υπερεπίπεδο στήριξης
υπερκύβος
Φφραγμένο σύνολο
Χχώρος
119862[119886 119887] 119871119901[119886 119887]
Ευρετήριο ξενόγλωσσων όρων
BBall Keith
Blaschke θεώρημα επιλογής
Blaschke-Santaloacute ανισότητα
Borel λήμμα
Brunn αρχή
Brunn-Minkowski ανισότητα
Brunn-Minkowski ανισότητα α-
θροιστική μορφή
Brunn-Minkowski ανισότητα πολ-
λαπλασιαστική μορφή
EEuler
FFubini
GGross θεώρημα σφαιρικότητας
Hherpolhode
Houmllder ανισότητα
Iinvariable plane
JJohn Fritz
Jordan μετρήσιμο
K119896-neighborly polytope
LLaplace μέθοδος
Lebesgue μέτρο
Nneighborly polytope
Ppolhode
Prekopa-Leindler ανισότητα
RRadon
Ssimplex
singular value decomposition
Steiner συμμετρικοποίηση
Stirling τύπος
Στοιχειοθεσία LuaLTEX
Postscript producer dvips
PDF distiller Ghostscript
Γραμματοσειρές GFS NeoHellenic
d-γραφικά PStricks
d-γραφικά PStricks amp Inkscape
Persistent Ray Tracer Povray
Ακολουθίες amp Σειρές
Αντώνης Τσολομύτης
Σάμος 2012ndash2017
sumlimnrarrinfinan
lim suplim suplim suplim suplim suplim sup(1+ 1
n
)n
(1+ 1
n
)n
(1+ 1
n
)n
Α Τσολομύτης Σάμος 2012ndash2017
Περιεχόμενα
I Ακολουθιες 5
1 Γενικά περί ακολουθιών 7
11 Ακολουθίες και υπακολουθίες 7
12 Πράξεις ακολουθιών 9
13 Εφαρμογές και παραδείγματα 11
2 Μονότονες ακολουθίες 15
21 Ορισμοί και ιδιότητες 15
22 Εφαρμογές και παραδείγματα 17
3 Φραγμένες ακολουθίες 19
31 Ορισμοί και ιδιότητες 19
32 Εφαρμογές και παραδείγματα 21
4 Σύγκλιση ακολουθιών 25
41 Μηδενικές ακολουθίες 25
42 Ιδιότητες μηδενικών ακολουθιών 26
43 Συγκλίνουσες ακολουθίες 30
44 Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών 32
45 Κριτήρια σύγκλισης 37
46 Ακολουθίες με όριο το +infin ή minusinfin 39
47 Βασικά όρια 40
5 lim sup και lim inf 47
51 Το σύνολο των υπακολουθιακών ορίων 47
52 Ιδιότητες των lim sup και lim inf 49
6 Αριθμητικοί γεωμετρικοί και αρμονικοί μέσοι 53
61 Η ακολουθία των αριθμητικών μέσων 53
62 Ο αριθμητικός-αρμονικός μέσος 56
63 Ο αριθμογεωμετρικός μέσος 58
4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
II Σειρες 61
7 Γενικά περί σειρών 63
71 Ορισμοί 63
72 Πράξεις με σειρές 66
8 Θεωρητικά κριτήρια σύγκλισης σειρών 67
81 Το κριτήριο φράγματος 67
82 Το κριτήριο Cauchy 68
83 Το κριτήριο σύγκρισης 71
84 Τηλεσκοπικές σειρές 73
841 Το κριτήριο Dini-Kummer 74
85 Το κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy 76
86 Το ολοκληρωτικό κριτήριο 79
9 Εφαρμογές του κριτηρίου σύγκρισης 81
91 Σύγκριση με τη γεωμετρική σειρά 82
911 Το κριτήριο λόγου 82
912 Το κριτήριο n-στης ρίζας του Cauchy 84
92 Σύγκριση με την ακολουθία 1np 86
93 Σύγκριση με την ακολουθία 1(n(logn)p) 88
94 Δεν υπάρχει καθολικό κριτήριο σύγκρισης σειρών 90
10 Εναλλάσουσες σειρές 95
101 Το κριτήριο Leibniz 95
102 Το κριτήριο Dirichlet 96
11 Αναδιατάξεις σειρών 99
111 Αναδιατάξεις των φυσικών αριθμών 100
112 Αναδιατάξεις σειρών 100
113 Το θεώρημα Riemann 102
Βιβλιογραφία 107
Ευρετήριο Ελληνικών Όρων 108
Μέρος I
Ακολουθίες
Κεφάλαιο 1
Γενικά περί ακολουθιών
11 Ακολουθίες και υπακολουθίες
Ορισμός 111 Κάθε συνάρτηση f A sube N ֏ R όπου το A είναιάπειρο σύνολο λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή απλά
ακολουθία
Για τις ακολουθίες δεν χρησιμοποιούμε το γράμμα f αλλά γράμ-ματα όπως a b c x y z α β γ κλπ Επίσης αντί να γράφου-με a(n) για την τιμή της a στο n isin N γράφουμε an Αν θέλουμενα αναφερθούμε σε μια ακολουθία δεν γράφουμε laquoη ακολουθία
a A rarr Rraquo αλλά laquoη ακολουθία (an)nisinAraquo Αν A = N εκτός από
laquoη ακολουθία (an)nisinNraquo μπορεί να γράψουμε και (an)infinn=1 Αν δεν
υπάρχει λόγος να δηλώσουμε το πεδίο ορισμού γράφουμε laquoη α-
κολουθία (an)raquo Τέλος αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης γιααπλοποίηση του συμβολισμού γράφουμε ακόμα και laquoη ακολουθία
anraquo παραλείποντας και τις παρενθέσεις Συχνά (αλλά όχι πάντα)το πεδίο ορισμού θα είναι όλο το σύνολο N
Παράδειγμα 112 Η συνάρτηση (an)nisinN με an = 1n είναι μια ακο-
λουθία Έχουμε a1 = 1 a2 = 12 a3 = 1
3 κλπ Μια άλλη είναι η
ακολουθία bn = n όπου b1 = 1 b2 = 2 = 1middot2 = 2 b3 = 3 = 1middot2middot3 = 6
b4 = 4 = 1 middot 2 middot 3 middot 4 = 24 κλπ
Ορισμός 113 Οι αριθμοί an δηλαδή οι τιμές της ακολουθίας(an)nisinA για κάθε n isin A λέγονται όροι της ακολουθίας Ο όρος an(δηλαδή η τιμή της ακολουθίας στο n) ονομάζεται n-στός όρος ήγενικός όρος της ακολουθίας (an)nisinA Το σύνολο an n isin A ονο-μάζεται σύνολο των όρων της ακολουθίας ενώ για κάθε m isin Nκάθε σύνολο της μορφής an n isin A και n gem ονομάζεται τελι-κό τμήμα της ακολουθίας
8 Γενικά περί ακολουθιών
Μια ακολουθία ορίζεται είτε με έναν τύπο για τον n-στό τηςόρο (όπως an = 1n) είτε αναδρομικά (για παράδειγμα a1 = 1 και
an+1 = an2 για κάθε n isin N) είτε με άλλο τρόπο με τον οποίο κα-θορίζονται με ακρίβεια όλοι οι όροι της και όχι με την παράθεση
λίγων όρων Με το τελευταίο εννοούμε ότι δεν έχει νόημα η φράση
laquoθεωρούμε την ακολουθία 11
21
31
4 raquo
διότι δεν είναι σαφές αν πρόκειται για την ακολουθία με τύπο
1n ή για την ακολουθία με τύπο
1
n+ (nminus 1)(n minus 2)(nminus 3)(n minus 4)
οι οποίες διαφέρουν από τον πέμπτο όρο και μετά ή κάποια άλλη
που ξεκινάει με αυτούς τους όρους
Αν περιορίσουμε μια ακολουθία σε ένα άπειρο υποσύνολο του
πεδίου ορισμού της τότε ο περιορισμός αυτός λέγεται υπακολου-
θία της αρχικής ακολουθίας
Ορισμός 114 Υποθέτουμε ότι η ακολουθία an είναι ορισμένη γιακάθε n isin A sube N Αν B άπειρο υποσύνολο του A τότε η ακολουθίαan|nisinB ονομάζεται υπακολουθία της an
Παράδειγμα 115 Θεωρήστε την ακολουθία an = 1n Αν αντί για
όλα τα n isin N χρησιμοποιήσουμε μόνο τους άρτιους n θα πάρουμεμια υπακολουθία της αρχικής Αυτή η υπακολουθία είναι η anμε n άρτιο Επειδή κάθε άρτιος είναι της μορφής 2n για n isin Nμπορούμε να πούμε ότι αυτή η υπακολουθία είναι η a2n = 1
2n
Έτσι ενώ η an έχει όρους τους
11
21
31
41
51
61
71
8
η υπακολουθία a2n έχει τους όρους
1
21
41
61
8
Παράδειγμα 116 Θεωρούμε ένα (σταθερό) m isin N και μια ακολου-θία (an)nisinN Ορίζουμε την ακολουθία bn = am+n για κάθε n isin NΗ bn είναι υπακολουθία της an αφού φανερά
bn = an∣∣nisinN ngtm
Παρατηρώντας ότι το σύνολο των όρων της bn είναι το σύνολο
am+1 am+2 am+3
συμπεραίνουμε ότι κάθε τελικό τμήμα της an είναι υπακολουθίατης
12 Πράξεις ακολουθιών 9
Ορισμός 117 (Ισότητα ακολουθιών) Δυο ακολουθίες (an)nisinAκαι (bn)nisinB λέγονται ίσες αν A = B και an = bn για κάθε n isin A
Ασκήσεις
Άσκηση 111 Περιγράψτε τις υπακολουθίες των laquoάρτιων όρωνraquo των
ακολουθιών
n (minus1)n
Άσκηση 112 Δείξτε ότι η φράση
laquoθεωρούμε την ακολουθία 4143475361718397113131 raquo
δεν αναφέρεται απαραίτητα σε μια υπακολουθία των πρώτων φυσικών
αριθμών εξετάζοντας τους όρους της an = n2minusn+41 μέχρι τον τεσσαρα-
κοστό πρώτο όρο
Ομοίως ελέγξτε ότι η ακολουθία bn = n2minus79n+1601 παράγει πρώτους
αριθμούς μέχρι τον ογδοηκοστό όρο αλλά b81 = 1763 = 41 middot 43
Άσκηση 113 Αν an είναι το πλήθος όλων των διαγωνίων ενός κυρτούn-γώνου δείξτε επαγωγικά ότι an = (n2 minus 3n)2
12 Πράξεις ακολουθιών
Αν δυο ακολουθίες an και bn ορίζονται για κάθε n isin A sube N ορίζο-ναι και όλες οι πράξεις μεταξύ τους με τον αναμενόμενο τρόπο
Ορισμός 121 Η ακολουθία sn όπου sn = an + bn για κάθε n isin Aονομάζεται άθροισμα των ακολουθιών an και bn Η ακολουθίαdn = an minus bn ονομάζεται διαφορά των ακολουθιών an και bn Ηακολουθία pn = anbn για κάθε n isin A ονομάζεται γινόμενο τωνακολουθιών an και bn
Αν an = 1n3 και bn = n2 τότε
an + bn = 1
n3+n2 = 1+n5
n3
an minus bn = 1
n3minusn2 = 1minusn5
n3
anbn = 1
n3middotn2 = 1
n
Ειδικά για το πηλίκο δύο ακολουθιών θα πρέπει να προσέξουμε
ώστε η ακολουθία στον διαιρέτη να μην έχει μηδενικούς όρους
10 Γενικά περί ακολουθιών
Ορισμός 122 Αν οι an και bn είναι ακολουθίες με n isin A sube N καιεπιπλέον bn ne 0 για κάθε n isin A τότε η ακολουθία qn = anbnονομάζεται πηλίκο των ακολουθιών an και bn
Αν an = 1n3 και bn = n2 όπως παραπάνω τότε ισχύει bn = n2 ne 0
για κάθε n isin N οπότε ορίζεται το πηλίκο anbn = 1n5
Τέλος ορίζεται και η σύνθεση ακολουθιών ως εξής
Ορισμός 123 Αν η kn είναι μια ακολουθία kn A rarr B όπου AB sube N και xn μια ακολουθία με πεδίο ορισμού το B τότε ορίζεταιη ακολουθία cn = xkn ονομάζεται σύνθεση των ακολουθιών kn καιxn
Παρατήρηση 124 Αν για την ακολουθία kn του προηγούμενουορισμού ισχύει
k1 lt k2 lt k3 lt
δηλαδή kn lt kn+1 για κάθε n isin N τότε η σύνθεση με την xn είναιμια υπακολουθία της xn Πράγματι αυτό είναι φανερό αφού
xkn = xn∣∣kn nisinN
Αυτό ισχύει και αντίστροφα έστω ότι η yn = xn|B μια υπακολου-θία της xn Χρησιμοποιώντας την καλή διάταξη του N το σύνολοB γράφεται στη μορφή B = kn n isin N με k1 lt k2 lt k3 lt α-φού το B έχει ελάχιστο στοιχείο έστω το k1 και στη συνέχεια το
B k1 έχει ελάχιστο στοιχείο έστω το k2 και ούτω κάθrsquo εξής
Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τις ακολουθίες kn = n2 isin N καιxn = 1n με πεδίο ορισμού το σύνολο N Η σύνθεσή τους είναι ηακολουθία cn = xkn = xn2 Δηλαδή πρόκειται για υπακολουθία της
xn η xn έχει όρους
1
11
21
31
41
51
61
71
81
9
1
10
1
11
ενώ η cn = xn2 έχει όρους
1
12= 1
1
1
22= 1
4
1
32= 1
9
Παρατήρηση 125 Αν θεωρήσουμε μια kn N rarr N η οποία δεν
ικανοποιεί την k1 lt k2 lt τότε δεν είναι απαραίτητο η xkn ναείναι υπακολουθία της xn Για παράδειγμα θεωρούμε την k1 = 2
k2 = 1 lt k1 kn = n για κάθε n ge 3 και την ακολουθία xn = 1nΤο πεδίο τιμών της cn = xkn είναι το ίδιο με αυτό της xn Έτσιαν ισχύει cn = xn|B για κάποιο B sube N ο μόνος τρόπος να ανήκειτο 12 στο πεδίο τιμών της cn είναι να ισχύει 2 isin B (αφού η xnισούται με 12 μόνο για n = 2 Αλλά τότε θα έπρεπε να ισχύει
c2 = x2 το οποίο είναι ψευδές αφού
c2 = xk2 = x1 = 1 ne1
2= x2
13 Εφαρμογές και παραδείγματα 11
13 Εφαρμογές και παραδείγματα
Πολλές φορές παρόλο που πεπερασμένο πλήθος όρων δεν μπο-
ρεί να ορίσει μια ακολουθία όπως είδαμε στην Ενότητα 11 ο-
ρίζουμε ακολουθίες ως αθροίσματα για παράδειγμα της μορφής
xn = 1+ 12+ 1
3+ + 1
n στο οποίο εμφανίζονται πεπερασμένο πλήθος
όρων Τέτοιες εκφράσεις όμως είναι σαφείς από τον γενικό προ-
σθετέο που φαίνεται στον τελευταίο όρο της έκφρασης Δηλαδή
ο υπολογισμός της xn απαιτεί να προσθέσουμε όλα τα κλάσματα1k για k isin N και k le n Έτσι για να καταλάβουμε μέχρι ποιοκλάσμα προσθέτουμε κάθε φορά κοιτάμε τον τελευταίο όρο του
αθροίσματος
Παράδειγμα 131 Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της ακολου-θίας xn = 1+ 1
2+ + 1
n
Για να βρούμε τον πρώτο όρο κοιτάμε με τι ισούται το 1nόταν n = 1 Επειδή αυτό ισούται με 11 = 1 συμπεραίνουμε ότι
το άθροισμα θα σταματήσει στο 1 δηλαδή x1 = 1 Για να βρούμε
τον x2 παρατηρούμε ότι το 1n ισούται με 12 όταν n = 2 άρα
το άθροισμα θα σταματήσει στο 12 δηλαδή x2 = 1+12 Ομοίωςx3 = 1+ 12+ 13
Υπάρχουν περιπτώσεις όπου μας δίνεται μια ακολουθία η ο-
ποία ορίζεται αναδρομικά για παράδειγμα a1 = 2 και an+1 =2 + an3 για κάθε n isin N και πρέπει να βρούμε τον n-στο όροτης an ως συνάρτηση του n Στις απλούστερες αυτών των προ-βλημάτων η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικαταστήσουμε τό-
σο την an όσο και την an+1 με x η οποία ονομάζεται laquoεξίσωσηαναδρομήςraquo έχει λύση Τότε ακολουθούμε το τέχνασμα που πα-
ρουσιάζεται στα παρακάτω παραδείγματα Μια γενικότερη θεω-
ρία των γραμμικών αναδρομικών ακολουθιών παρουσιάζεται στο
βιβλίο [5]
Παράδειγμα 132 Βρείτε τον γενικό όρο της ακολουθίας που ο-ρίζεται αναδρομικά θέτοντας a1 = 4 και an+1 = 2+ an3 για κάθεn isin NΣχηματίζουμε την εξίσωση αναδρομής x = 2+x3 η οποία έχει
μοναδική λύση την x = 3 Στη συνέχεια αφαιρούμε τον αριθμό 3
και από τα δύο μέλη του αναδρομικού τύπου
an+1 minus 3 = (2+ an3)minus 3 = 1
3(an minus 3)
Έτσι
anminus3 = 1
3(anminus1minus3) =
(1
3
)2
(anminus2minus3) = middotmiddot middot =(
1
3
)nminus1
(a1minus3) =(
1
3
)nminus1
12 Γενικά περί ακολουθιών
(Ο σωστός εκθέτης στην προτελευταία ισότητα είναι πράγματι
n minus 1 το βρίσκουμε παρατηρώντας ότι ο εκθέτης του κλάσμα-
τος 13 σε κάθε ισότητα αθροίζεται στο n όταν του προστεθεί οδείκτης του όρου της ακολουθίας που είναι στην παρένθεση (για
παράδειγμα 2+ (nminus 2) = n))Άρα ο γενικός όρος της an είναι an = 3+ (13)nminus1
Παράδειγμα 133 Βρείτε τον γενικό όρο της an με a1 = 5 και
an+1 = 5minus 6an
Η εξίσωση αναδρομής x = 5 minus 6x έχει δύο λύσεις τις 2 και
3 Αφαιρούμε από την αναδρομική εξίσωση της ακολουθίας τό-
σο τον 2 όσο και τον 3 Αφαιρώντας τον 2 μετά από πράξεις
παίρνουμε
an+1 minus 2 = 3
an(an minus 2)
και αφαιρώντας το 3
an+1 minus 3 = 2
an(an minus 3)
Τώρα θέλουμε να διαιρέσουμε κατά μέλη αλλά για να το κάνουμε
αυτό πρέπει να γνωρίζουμε ότι κανένας όρος της an δεν ισού-ται με 3 Αυτό όμως προκύπτει άμεσα από την τελευταία Αν
an+1 = 3 για κάποιο n τότε an = 3 Δηλαδή αν κάποιος όρος της
ακολουθίας ισούται με 3 τότε ισούται με 3 και ο προηγούμενος
Επαγωγικά θα καταλήξουμε σε άτοπο αφού a1 = 5 ne 3
Διαιρώντας λοιπόν κατά μέλη οδηγούμαστε στην
an+1 minus 2
an+1 minus 3= 3
2
an minus 2
an minus 3
Άρα
an minus 2
an minus 3= 3
2
anminus1 minus 2
anminus1 minus 3=(
3
2
)2 anminus2 minus 2
anminus2 minus 3= middotmiddot middot =
(3
2
)nminus1 a1 minus 2
a1 minus 3=(
3
2
)n
Λύνοντας ως προς an (αφαιρούμε αριθμητές από παρονομαστές )παίρνουμε αμέσως
an =3n
3n minus 2n
Παράδειγμα 134 Βρείτε τον γενικό όρο της an με a1 = 5 και
an+1 = 4anminus9anminus2
Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση αναδρομής x = (4xminus9)(xminus2) είναι ισοδύναμη με την (x minus 3)2 = 0 δηλαδή έχει διπλή ρίζα το
3 Σε αυτές τις περιπτώσεις κάνουμε το εξής τέχνασμα πρώτα
αφαιρούμε τη διπλή ρίζα για να καταλήξουμε στη σχέση
an+1 minus 3 = an minus 3
an minus 2
13 Εφαρμογές και παραδείγματα 13
Τώρα αντιστρέφουμε τους όρους
1
an+1 minus 3= an minus 2
an minus 3= an minus 3+ 1
an minus 3= 1+ 1
an minus 3
Συνεπώς
1
an minus 3= 1+ 1
anminus1 minus 3= 2+ 1
anminus2 minus 3= nminus 1+ 1
a1 minus 3= nminus 1
2
Αντιστρέφοντας τους όρους της εξίσωσης και λύνοντας ως προς
an παίρνουμε
an = 3+ 2
2nminus 1
Κεφάλαιο 2
Μονότονες ακολουθίες
21 Ορισμοί και ιδιότητες
Ας θεωρήσουμε την ακολουθία με γενικό όρο an = (n minus 1)n Πα-ρατηρούμε ότι
an+1 =(n+ 1)minus 1
n+ 1= 1minus 1
n+ 1gt 1minus 1
n= nminus 1
n= an
Δηλαδή για κάθε n isin N ισχύει an lt an+1 Για μια ακολουθία anμε αυτή την ιδιότητα λέμε ότι η an είναι γνησίως αύξουσα Έτσιδίνουμε τον ακόλουθο ορισμό
Ορισμός 211
bull Μια ακολουθία an λέγεται γνησίως αύξουσα και γράφουμεan αν για κάθε n isin N ισχύει an lt an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται αύξουσα και γράφουμε an rarr ανγια κάθε n isin N ισχύει an le an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται γνησίως φθίνουσα και γράφουμεan
αν για κάθε n isin N ισχύει an gt an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται φθίνουσα και γράφουμε an
rarr
αν
για κάθε n isin N ισχύει an ge an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται γνησίως μονότονη αν είναι είτεγνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα
bull Μια ακολουθία an λέγεται μονότονη αν είναι είτε αύξουσαείτε φθίνουσα
Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα ότι μια γνήσια μονότονη α-
κολουθία είναι και μονότονη μια γνήσια αύξουσα είναι και αύξου-
16 Μονότονες ακολουθίες
σα αφού αν an lt an+1 τότε an le an+1 και ομοίως γιατις γνήσια
φθίνουσες Το αντίστροφο δεν είναι βεβαίως σωστό αφού για
παράδειγμα μια σταθερή ακολουθία an = 3 για κάθε n isin N είναικαι αύξουσα και φθίνουσα αλλά δεν είναι ούτε γνήσια αύξουσα
ούτε γνήσια φθίνουσα
Συχνά για να εξετάσουμε τη μονοτονία μιας ακολουθίας an ε-ξετάζουμε αν οι διαφορές an+1 minus an έχουν το ίδιο πρόσημο γιακάθε n isin N Έτσι αν για κάθε n isin N ισχύει an+1 minus an ge 0 τό-
τε η an είναι αύξουσα και ομοίως για τις άλλες περιπτώσειςΑν μας ενδιαφέρει απλά ο έλεγχος της μονοτονίας (και όχι απα-
ραίτητα το είδος της) μπορούμε να εξετάσουμε αν το γινόμενο
(an+2 minus an+1)(an+1 minus an) έχει σταθερό πρόσημο για κάθε n isin N Αναυτό συμβαίνει φανερά η ακολουθία είναι μονότονη αφού σε αυ-
τή την περίπτωση κανένας παράγοντας (an+2 minus an+1) δεν μπορείνα αλλάζει πρόσημο σε σχέση με τον (an+1 minus an)
Πρόταση 212 Αν η ακολουθία an είναι μονότονη τότε κάθε υ-πακολουθία της έχει την ίδια μονοτονία με την an
Απόδειξη Έστω ότι η cn = akn είναι υπακολουθία της an μεkn N rarr N με k1 lt k2 lt δηλαδή η kn είναι γνήσια αύξουσαΥποθέτουμε ότι η an είναι άυξουσα Φανερά ισχύει
cn = akn le akn+1 le akn+2 le le akn+1 = cn+1
οπότε και η cn είναι αύξουσα Ομοίως αν η an έχει οποιοδήποτεάλλο είδος μονοτονίας
Δεν είναι βεβαίως αλήθεια ότι κάθε ακολουθία είναι μονότο-
νη Για παράδειγμα η ακολουθία an = (minus1)nn δεν είναι αύξου-σα αφού a3 = minus13 lt 12 = a2 αλλά ούτε και φθίνουσα αφού
a1 = minus1 lt 12 = a2 Παρατηρούμε όμως ότι η υπακολουθία των
αρτίων όρων της a2n = 1(2n) είναι φθίνουσα (και των περιττώντης όρων είναι αύξουσα) Βλέπουμε δηλαδή ότι παρόλο που η
ίδια η an δεν έχει κανένα είδος μονοτονίας εν τούτοις έχει τουλά-χιστον μια μονότονη υπακολουθία Αυτό είναι ένα γενικό φαινό-
μενο όπως διατυπώνεται στην επόμενη πρόταση
Πρόταση 213 Κάθε ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει μιαμονότονη υπακολουθία
Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο των σημείων κορυφής της ακο-
λουθίας anA = k isin N ak ge an για κάθε n ge k
Αν το A είναι άπειρο σύνολο έστω ότι περιέχει τα στοιχεία
k1 lt k2 lt lt kn lt kn+1 lt
22 Εφαρμογές και παραδείγματα 17
Αφού το kn είναι σημείο κορυφής (δηλαδή στοιχείο του A) καιkn+1 gt kn συμπεραίνουμε ότι akn ge akn+1 για κάθε n isin N και συνε-πώς η akn είναι φθίνουσαΑν σε αντίθετη περίπτωση το σύνολο A είναι πεπερασμένο
Έστω ότι m είναι το μεγαλύτερο στοιχείο του Τότε το k1 =m+1
δεν ανήκει το A οπότε υπάρχει k2 gt k1 ώστε ak1 lt ak2 Αλλά
τώρα k2 gt k1 = m + 1 οπότε k2 notin A Έτσι υπάρχει k3 gt k2 ώστε
ak2 lt ak3 Επαγωγικά αν έχουμε ορίσει τον akn για kn gt knminus1 gtk1 =m+ 1 ισχύει kn notin A οπότε υπάρχει kn+1 gt kn ώστε akn lt akn+1
Επαγωγικά λοιπόν ορίζεται η υπακολουθία akn η οποία από τηνκατασκευή της είναι γνησίως αύξουσα
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση η an έχει μια μονότονη υπακολου-θία
22 Εφαρμογές και παραδείγματα
Παράδειγμα 221 Ελέγξτε ως προς τη μονοτονία την ακολουθίαan = (n2 minus 1)(2n)Ελέγχουμε με απλές πράξεις ότι
an+1 minus an =n2 +n+ 1
2n(n+ 1)gt 0
για κάθε n isin N Συνεπώς η an είναι γνησίως αύξουσαΆλλος τρόπος
an =n2 minus 1
2n= n
2minus 1
2nltn+ 1
2minus 1
2(n+ 1)= an+1
Παράδειγμα 222 Ελέγξτε ως προς τη μονοτονία την ακολουθίαan με a1 = 1 και an+1 =
radic1+ an
Ο έλεγχος γίνεται εύκολα με επαγωγή για n = 1 ισχύει
a2 =radic
1+ a1 =radic
2 gt 1 = a1
Υποθέτοντας ότι an+1 gt an έχουμε
an+2 =radic
1+ an+1 gtradic
1+ an = an+1
Παράδειγμα 223 Αποδείξτε ότι η ακολουθία an = (1+1n)n είναιγνησίως αύξουσα χρησιμοποιώντας την ανισότητα Bernoulli στην
ακολουθία (1minus 1n2)nΣύμφωνα με την υπόδειξη
1minus 1
nlt(
1minus 1
n2
)n=(
1minus 1
n
)n (1+ 1
n
)n