INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO EN EL ANÁLISIS DE ESTUDIOS ELASTO-PLÁSTICOS TESIS QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO EN ROBÓTICA INDUSTRIAL PRESENTA: OSCAR MAMRE JUÁREZ CORRAL DIRECTORES: DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA SOSA M. en C. BEATRIZ ROMERO ÁNGELES México, D. F., a 11 de Marzo de 2011
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO EN EL ANÁLISIS DE ESTUDIOS ELASTO-PLÁSTICOS
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO EN ROBÓTICA INDUSTRIAL
PRESENTA:
OSCAR MAMRE JUÁREZ CORRAL
DIRECTORES:
DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA SOSA
M. en C. BEATRIZ ROMERO ÁNGELES
México, D. F., a 11 de Marzo de 2011
CAPÍTULO I
ESTADO DEL ARTE
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
CAPÍTULO III
ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PROBETA EN FLEXIÓN PURA,
CASO DE ESTUDIO ELÁSTICO LINEAL, ELASTO-PLÁSTICO PERFECTO Y COMPORTAMIENTO BILINEAL
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PROBETA EN FLEXIÓN PURA CON HISTORIA PREVIA
CONCLUSIONES
Índice General i
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Contenido
Índice General i
Resumen iv
Objetivo v
Justificación vi
Índice de figuras vii
Índice de tablas x
Introducción xi
Capítulo I
I.1.- Generalidades 2
I.2.- Breve reseña histórica 3
I.3.- Elasto-plasticidad 16
I.4.- Sumario 17
1.5.- Referencias 18
Capítulo II
II.1.- Deformación elástica y permanente 21
II.2.- Teoría de deformación 24
II.3.- Relación elástica y perfectamente plástica 25
II.4.- Método del elemento finito 27
II.4.1.- Los sistemas discretos en general 27
II.4.2.- Definición 31
II.4.3.- ¿Cómo trabaja el MEF? 31
II.4.4.- Discretización o generación de malla 32
II.4.5.- Limitaciones 34
II.4.6.- Programas comerciales con aplicación al MEF 34
II.5.- Plasticidad en flexión 36
Índice General ii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
II.5.1.- Flexión Elasto-plástica perfecta 36
II.5.1.1.- Método de superposición 38
II.5.2.- Flexión con endurecimiento superficial 39
II.6.- Sumario 40
II.7.- Referencias 40
Capítulo III
III.1.- Introducción 43
III.2.- Características del método del elemento finito 44
III.3.- Casos de análisis 45
III.4.- Aplicación de las propiedades mecánicas para el desarrollo del análisis numérico 47
III.5.- Análisis numérico 48
III.5.1.- Primer caso de estudio 48
III.5.2.- Segundo caso de estudio 51
III.5.3.- Tercer caso de estudio 56
III.6.- Desarrollo analítico sobre los casos de estudio 59
III.6.1.- Desarrollo analítico para el primer caso de estudio 59
III.6.2.- Desarrollo analítico para el segundo caso de estudio 61
III.7.- Sumario 65
III.8.- Referencias 66
Capítulo IV
IV.1.- Introducción 68
IV.2.- Endurecimiento por deformación 68
IV.2.1.- Simulación numérica de la aplicación del esfuerzo homogéneo y descarga 69
IV.3.- Inducción de esfuerzos residuales en un material con historia previa 73
IV.3.1.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta tensionada 74
IV.3.2.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta comprimida 77
IV.4.- Cálculo analítico de los esfuerzos residuales 81
Índice General iii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
IV.5.- Sumario 85
IV.6.- Referencias 85
Conclusiones y trabajos futuros 87
Resumen iv
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Una de las razones por la que el diseño mecánico es la base de casi todos los sistemas de
producción, se debe a la actual exigencia de estándares que se deben cumplir con requisitos que
primordialmente responden a solicitudes de seguridad y economía. En este mismo sentido, nace la
necesidad de poder desarrollar materiales ingenieriles más seguros y esto a su vez despierta en los
Ingenieros el interés de investigar el comportamiento de los componentes y desarrollar técnicas para
fortalecer a estos.
El uso de la cerámica junto con los metales ha permitido a la humanidad el desarrollo que se conoce
hasta la fecha, ya que permitió el desarrollo productivo y de supervivencia por el uso de
herramientas más eficaces. Un claro ejemplo de la importancia en la actualidad, es que sin el uso de
metales la transformación de energía sería inconcebible y la civilización tal como se conoce sería
una utopía, los metales únicos por su propiedad de absorber sin falla gran cantidad de energía por
unidad de área o volumen dependiendo del caso de aplicación; sin embargo a pesar de su tenacidad
o capacidad de absorber grandes cantidades de energía sin fracturarse, los componentes se rompen
de una manera instantánea, cuando están sometidos a cargas estáticas y/o dinámicas.
Hasta hace poco se pudo resolver el problema del diseño mecánico ante condiciones de carga
estáticas y a temperatura ambiente, todo esto en base a las condiciones de carga que sólo producen
deformaciones elásticas que en cierta forma garantizan una estabilidad estructural. A pesar de esto,
las fallas repentinas en algunos componentes mecánicos o estructuras no pudieron evitarse, y bajo el
mismo sentido comenzó el estudio elasto-plástico de los materiales, ahora ya considerando
deformaciones plásticas que antes se consideraban de presencia indeseable en el tiempo de servicio.
En esta tesis de investigación se realiza varios estudios numéricos de una barra prismática sometida
a deformaciones de tensión y compresión, ambas deformaciones plásticas, con la finalidad de
proveer una historia previa al material y después realizar una flexión en cuatro puntos de apoyo para
poder inducir un campo de esfuerzos residuales y de esta manera observar y decidir, si las
propiedades mecánicas del material fueron incrementadas o en su defecto aumento el riesgo de falla.
Objetivos v
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Objetivo General
Este trabajo de investigación analiza numéricamente el efecto de las condiciones de historia previa
en un material y de cómo se ve modificada la inducción de un campo de esfuerzos residuales cuando
ha sido sometido a una pre-deformación plástica homogénea, todo esto mediante un ensayo a flexión
con cuatro puntos de apoyo, con el objetivo de poder ver y analizar qué condiciones de historia
previa favorecen o perjudican al material cuando es inducido un campo de esfuerzos residuales. Por
otro lado el principal objetivo, es hacer uso del método numérico de los elementos finitos para
realizar estudios elasto-plásticos simplificando el análisis analítico y poder comparar el método
analítico con el numérico, lo anterior con el propósito de comprobar la teoría de la Mecánica
Clásica.
Objetivos particulares
Conocer las condiciones de elasto-plasticidad y comportamiento bilineal.
Obtener conocimiento de los tipos de endurecimiento por deformación para entender el
comportamiento del material ante deformaciones plásticas.
Conocer y reproducir las condiciones para el ensayo de flexión pura en el MEF.
Aplicar el ensayo de cuatro puntos de flexión para poder obtener la condición de flexión
pura.
Aplicar las condiciones iniciales de las pruebas (tensión – compresión) y posteriormente
someter una carga no homogénea en la probeta con la finalidad de inducir un campo de
esfuerzos residuales.
Comprobar la existencia de manipulación alguna, del campo de esfuerzos residuales
mediante el pre-deformado homogéneo de la viga, considerándose esta deformación como
historia previa en la probeta.
Justificación vi
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Justificación
El uso creciente de sistemas computacionales ha permitido poder realizar ejercicios ingenieriles y
ensayos mecánicos en un tiempo más corto y sobre todo más económico. Siendo el método del
elemento finito (MEF) uno de los métodos numéricos aplicados a dichos sistemas más usados para
este fin.
La caracterización de los materiales con el objeto de conocer sus propiedades mecánicas es muy
importante en el diseño mecánico, ya que comprendiendo estas características se puede realizar un
análisis más confiable; por otro lado los resultados obtenidos por MEF se consideran exactos aunque
en realidad tienen un margen de error muy próximo a cero.
Este trabajo de tesis está basado en el estudio numérico de una viga prismática sometida a flexión
pura, aplicando cargas homogéneas para establecer las condiciones iniciales del material (historia
previa), después se aplicarán cargas no homogéneas para conocer el comportamiento real mecánico
y en este mismo sentido establecer las condiciones favorables o perjudiciales del material antes y
después del análisis. La mayoría de los análisis realizados en la industria consideran al material
como libre de deformaciones y esfuerzos, y la finalidad de este trabajo de investigación es poder dar
un preámbulo al estudio de los componentes mecánicos como portadores de una historia previa, que
aunque sean nuevos dichos elementos existen casos donde la historia se genera desde la producción
de dicho componente.
Índice de figuras vii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Índice de figuras
Capítulo I
Figura I.1.- Piezas con deformación plástica considerable 2
Figura I.2.- Fallas con grandes deformaciones plásticas 3
Figura 1.3.- Caracterización del material 4
Figura I.4.- Elasticidad 5
Figura I.5.- Comportamiento elasto-plástico perfecto 6
Figura I.6.- Estudios hechos por Galileo Galilei de flexión a una viga biapoyada 8
Figura I.7.- De potentia Restitutiva, Robert Hooke, 1678 8
Figura I.8.- Boceto de estudios realizados por Galileo Galilei 9
Figura I.9.- Investigaciones de Jacob Bernoulli con respecto a la fibra neutra 10
Figura I.10.- Ecuaciones de equilibrio interno, Auguste Cauchy 11
Figura I.11.- Criterio de Tresca y Von Misses 13
Figura I.12.- Efecto Bauschinger 15
Figura I.13.- Comportamiento elasto-plástico de un material
Capítulo II
17
Figura II.1.- Curva característica de un componente elástico 22
Figura II.2.- Curva característica de descarga elástica 23
Figura II.3.- Curvas representativas de la transición del estado elástico al plástico 24
Figura II.4.- Diferente comportamiento a descarga (leyes de endurecimiento) 25
Figura II.5.- Curva esfuerzo-deformación elasto-plástico perfecto 25
Figura II.6.- Comportamiento Multi-lineal 26
Figura II.7.- Continuos 28
Figura II.8.- Modelación del sistema por medio de elementos finitos 29
Figura II.9.- Evolución del elemento finito 31
Figura II.10.- Simulación del continuo, con malla y patrón de solución 33
Figura II.11.- Carga de una viga y su descarga 36
Figura II.12.- Comportamiento elasto-plástico perfecto 37
Figura II.13.- Método de superposición 39
Figura II.14.- Endurecimiento por deformación
40
Índice de figuras viii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Capítulo III
Figura III.1.- Material elasto-plástico perfecto
44
Figura III.2.- Viga prismática 46
Figura III.3.- Elemento plano de 8 nodos
Figura III.4.- Discretización del especimen
Figura III.5.- Material elástico lineal
47
47
48
Figura III.6.- Material elástico lineal 49
Figura III.7.- Esfuerzos de carga, caso elástico por medio de simulación numérica 49
Figura III.8.- Comportamiento elástico lineal del material 50
Figura III.9.- Estado de esfuerzos para descarga en el caso elástico 51
Figura III.10.- Propiedades elasto-plástica perfectas del material 51
Figura III.11.- Cuatro puntos de flexión, segundo caso de estudio 52
Figura III.12.- Comportamiento simulado elasto-plástico perfecto 52
Figura III.13.- Viga flexionada de manera elasto-plástica perfecta 53
Figura III.14.- Esfuerzos de carga para el comportamiento elasto-plástico perfecto 53
Figura III.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido, comportamiento elasto-plástico
perfecto
Figura III.16.- Distribución de esfuerzos residuales, comportamiento elasto-plástico perfecto
Figura III.17.- Comportamiento bilineal
Figura III.18.- Comportamiento bilineal del material. a) Distribución de esfuerzos a tensión y
compresión en la viga sometida a flexión. b) Línea de carga del material (comportamiento
bilineal)
Figura III.19.- Esfuerzos residuales ante un comportamiento bilineal. a) Esfuerzos residuales
en la viga b) Distribución del campo de esfuerzos residuales
Figura III.20.- Incremento de la zona plástica en una sección rectangular
54
55
56
57
58
63
Capítulo IV
Figura IV.1.- Representación del endurecimiento por deformación
69
Figura IV.2.- Propiedades del material 69
Figura IV.3.- Discretización del espécimen y carga aplicada 70
Figura IV.4.- Esfuerzos de tensión en el espécimen a presión 70
Índice de figuras ix
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura IV.5.- Deformación unitaria en el espécimen a presión 71
Figura IV.6.- Efecto de descarga en el esfuerzo de tensión en el espécimen a presión 72
Figura IV.7.- Valor de la deformación unitaria del espécimen al ser descargado 72
Figura IV.8.- Comportamiento bilineal simulado del material
Figura IV.9.- Configuración de la flexión con cuatro puntos de apoyo
Figura IV.10a.- Esfuerzos en plena carga del material. a) Resultado del MEF a la flexión de
cuatro puntos
Figura IV.10b.- Esfuerzos en plena carga del material. b) Curva de esfuerzos en plena carga,
nótese el endurecimiento por deformación (tensión)
Figura IV.11.- Campo de esfuerzos residuales inducido. a) Esfuerzos residuales en MEF. b)
Curva del campo de esfuerzos residuales en la viga
Figura IV.12.- Compresión del especimen
Figura IV.13.- Cargas aplicadas en la configuración de cuatro puntos de apoyo
Figura IV.14a.- Curva de esfuerzos (carga)
Figura IV.14b.- Curva de esfuerzos a plena carga
Figura IV.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido. a) Esfuerzos residuales en MEF b)
Curva de esfuerzos residuales en la viga
Figura IV.16.- Representación gráfica de los esfuerzos obtenidos y su posición
Figura IV.17.- Representación gráfica de los esfuerzos con respecto a su posición
73
74
74
75
76
78
78
79
79
80
83
84
Índice de tablas x
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Índice de tablas
Capítulo III
Tabla III.1.- Propiedades mecánicas para el análisis 48
Tabla III.2.- Valores obtenidos del componente, caso elástico 50
Tabla III.3.- Valores obtenidos por MEF 54
Tabla III.4.- Distribución de los esfuerzos residuales 55
Tabla III.5.- Esfuerzos a carga
Tabla III.6.- Distribución de esfuerzos residuales
Tabla III.7.- Valores obtenidos por MEF
Tabla III.8.- Valores analíticos obtenidos para casos de estudio elasto-plástico
perfecto y elasto plástico bilineal
58
59
61
65
Capítulo IV
Tabla IV.1.- Esfuerzos y deformaciones unitarias en el espécimen por el efecto de la
presión
71
Tabla IV.2.- Esfuerzos y deformaciones en el especimen al momento de descarga
Tabla IV.3.- Esfuerzos a plena carga
Tabla IV.4.- Esfuerzos residuales
Tabla IV.5.- Esfuerzos en plena carga
Tabla IV.6.- Esfuerzos residuales
Tabla IV.7.- Cálculo de los Esfuerzos residuales para el caso de estudio con pre-
deformación a tensión
Tabla IV.8.- Esfuerzos obtenidos para el caso de estudio con pre-deformación a
compresión
72
75
77
79
81
82
83
Introducción xi
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Introducción
Es muy utilizado para propósitos ingenieriles analizar las deformaciones plásticas en componentes
de máquinas o sistemas dejando de lado las condiciones de elasticidad para poder predecir una
condición de falla llamada “falla plástica”. En todos los diseños mecánicos se involucra una relación
de cargas entre las esperadas de servicio y las máximas soportadas de los materiales llamado factor
de seguridad y por lo tanto el estudio de los esfuerzos y deformaciones, acompañados a las
deformaciones plásticas, es de gran importancia. Los materiales usados para resistir cargas
mecánicas, se conocen como ingenieriles y pueden pertenecer a muchas clases como; metales,
polímeros, cerámicos, vidrios y compuestos. Estos se ligan a los procesos de diseño a nivel
industrial o de investigación.
Como indica la teoría mecánica, cuando el material es sometido a deformaciones elásticas, los
enlaces atómicos son “estirados” (en algunos casos son “comprimidos”) y esto da como resultado
una relación constante entre el esfuerzo y la deformación (módulo de Young, E), la cual, tiene un
valor muy elevado en materiales sólidos covalentes (que poseen un enlace covalente), un valor
intermedio en los metales y en los polímeros generalmente tienen un valor muy bajo.
Por otro lado, un material que contiene las mismas características en todos los puntos del sólido, se
dice que es homogéneo y si las propiedades son las mismas en todas las direcciones, el material es
isotrópico y para que obedezca a este tipo de idealizaciones es necesario discretizarlo en partes
diferenciales, ya bajo estas consideraciones los resultados son verdaderos o muy próximos para
muchos materiales y cerámicos. Por todo lo anterior, se expresa que un material es elástico cuando
las deformaciones tienen una relación lineal con el esfuerzo o con la carga aplicada y si la carga es
retirada a cero, la deformación también se restaura a cero, como un resorte. La deformación plástica,
es una deformación que no depende del tiempo y no es recuperada después de retirar la carga en el
material, esto es por el desequilibrio entre los planos de los átomos de los granos del material, la
cual incrementa en manera de que aumenta el movimiento de dislocación del material.
Lo anterior puede ser considerado como preámbulo a los esfuerzos residuales; considerados como el
efecto de cargar del material más allá de su punto de cedencia y después de retirar la carga,
provocando que en el material aparezcan esfuerzos auto-equilibrantes que tratan de contrarrestar el
Introducción xii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
efecto de la deformación plástica que fue sometido el material. Es por esto, que las deformaciones
plásticas sometidas intencionalmente, son las estudiadas para hacer el manejo idóneo de los campos
de esfuerzos residuales.
Capítulo I 2
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
I.1.- Generalidades
La plataforma de inicio sobre la moderna teoría de la Plasticidad fue asentada en el siglo XIX. Esta
moderna consideración sobre Plasticidad fue desarrollada con trabajos pioneros de Tresca, Saint-
Venant, Lévy y Bauschinger [I.1]. Posteriormente, a principios del siglo XX se realizaron algunos
avances en la comprensión de este fenómeno por parte de Prandtl, Von Misses y Reuss [I.1]. En esta
primera fase se introdujo el concepto de deformación irreversible, criterios de falla, endurecimiento
por deformación y plasticidad perfecta. Además de la forma incremental de las ecuaciones
constitutivas de la deformación plástica [I.2].
Justo después de la Segunda Guerra Mundial, aparecieron los trabajos de Prager, Drucker y Hill.
Donde se logró una mayor claridad de la formulación y se estableció la convexidad de las
superficies de fluencia [I.3]. Poco después, a partir de 1960, se produjeron ciertos avances
matemáticos en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y las desigualdades variacionales que
resultarían ser particularmente provechosos para la teoría de la Plasticidad. Esos avances probaron
que el marco natural para resolver los problemás de valor incial en sólidos elastoplásticos eran las
desigualdades variacionales [I.4]. La confluencia de ciertos avances en el terreno de la mecánica de
sólidos y las matemáticas dieron lugar a nuevos desarrollos teóricos, de los cuales son un ejemplo
los artículos de Moreau, las monografías de Duvaut y Lions, y Temam [I.5].
Figura I.1.- Piezas con deformación plástica considerable
Capítulo I 3
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
I.2.- Breve reseña histórica
En el estudio de Mecánica, es de vital importancia clasificar los materiales con base en sus
propiedades. Es por esto, que una de las razones más prácticas e importantes para trabajar al material
es determinar la resistencia mecánica del componente, mediante la identificación del tipo y
magnitud de los esfuerzos a los que se encuentran sometidos. Lo anterior se realiza con el fin de
identificar el tipo de deformación que sufrirá, si se deformará excesivamente o en el peor de los
casos si se producirá una falla o fractura que podría desarrollarse brusca y progresivamente (Figura
I.2) [I.6].
Figura I.2.- Fallas con grandes deformaciones plásticas
Por ejemplo, si se efectúan ensayos de tensión en dos barras, ambas de sección recta. Mientras que
una de las barras tiene el doble de espesor que la otra. Por lo que se puede esperar, que la barra con
doble sección recta soporte lo doble que la barra más delgada. Es probable que este fuera el primer
pensamiento que llevó al desarrollo de la evaluación de la resistencia mecánica del material. De ahí
parte la relación existente entre las fuerzas que actúan sobre el material y el área transversal del
Capítulo I 4
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
elemento o componente estructural. Esta puede expresarse como el coeficiente entre la fuerza y el
área de la sección transversal (Figura I.3) [I.7].
Figura I.3.- Caracterización del material
Conociendo los esfuerzos que puede alcanzar y ser sometido el material, el diseñador es capáz de
proporcionar o desarrollar miembros de tamaño lo suficientemente resistentes para los agentes
externos a los que será sometido. En general, el esfuerzo tendrá valores distintos en diferentes
puntos. Además, al variar el área de la sección transversal se puede variar de forma directa el valor
del esfuerzo, Asimismo, si se disminuye los valores de la carga aplicada se obtiene, en
consecuencia, esfuerzos menores. Por lo regular, en el área de la Ingeniería Mecánica se tiene una
relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación producida, a este comportamiento del
material se le conoce como lineal o elástico, ya que si se grafican los valores correspondientes de
fuerza y área de la sección transversal se obtiene un linea recta, donde la pendiente de este
comportamiento se le conoce como módulo de Young (Figura I.4) [I.8].
Cedencia
Máximo
Ruptura
Capítulo I 5
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura I.4.- Elasticidad
En los materiales elásticos, en particular en muchos metales dúctiles, un esfuerzo de tracción
pequeño lleva aparejado un comportamiento elástico. Eso significa que pequeños incrementos en la
tensión se comporta con pequeños incrementos en la deformación. Es decir, se tiene una
deformación completamente reversible. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que
existe un límite, llamado límite elástico o punto de cedencia [I.9].
De tal manera que si cierta función homogénea de las tensiones supera dicho límite, entonces al
desaparecer la carga quedan deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su
forma. Es decir, aparecen deformaciones no-reversibles. Este tipo de comportamiento elasto-
plástico, es el que se encuentra en la mayoría de metales conocidos, y también en muchos otros
materiales.
Por otro lado, el comportamiento perfectamente plástico es algo menos frecuente, e implica la
aparición de deformaciones irreversibles por pequeña que sea la tensión. Materiales que presentan
similitud con este tipo de comportamiento es la arcilla de modelar y la plastilina (Figura I.5) [I.10].
E = /
Capítulo I 6
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura I.5.- Comportamiento elasto plástico perfecto
Otros materiales, además presentan plasticidad con endurecimiento y necesitan esfuerzos
progresivamente más grandes para aumentar su deformación plástica total. Incluso los
comportamientos anteriores, pueden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen que las
tensiones sean mayores en casos de velocidades de deformación altas, dicho comportamiento se
conoce con el nombre de visco-plasticidad [I.11].
La plasticidad de los materiales está relacionada con cambios irreversibles en estos materiales. A
diferencia del comportamiento elástico que es termodinámicamente reversible, un cuerpo que se
deforma plásticamente experimenta cambios de entropía, como desplazamientos de las
dislocaciones. En el comportamiento plástico, parte de la energía mecánica se disipa internamente,
en lugar de transformarse en energía potencial elástica [I.12].
Microscópicamente, en la escala de la red cristalina de los metales, la plasticidad es una
consecuencia de la existencia de ciertas imperfecciones en la red llamadas dislocaciones [I.13]. En
1934, Egon Orowan, Michael Polanyi y Geoffrey Ingram Taylor, más o menos simultaneamente
llegaron a la conclusión de que la deformación plástica de materiales dúctiles podía ser explicada en
términos de la teoría de dislocaciones [I.14].
E = /
Capítulo I 7
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Para describir la plasticidad usualmente se usa un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales y
no integrables que describen los cambios en las componentes del tensor deformación y el tensor
tensión con respecto al estado de deformación-tensión previo y el incremento de deformación en
cada instante. Asimismo, antiguamente no estaban muy preocupados por el precio de los materiales
de construcción, pero si era de importancia sus características. Es decir, que tuvieran una calidad
especificada. Todo esto más la experiencia empírica pudo hacer posible que se construyeran
construcciones duraderas.
Los primeros estudios sobre Mecánica de Materiales fueron realizados por el astrónomo, filósofo,
matemático y físico Galileo Galilei. Los estudios que realizó, este destacado científico, fueron del
funcionamiento de la palanca, como se compone la fuerza y los esfuerzos, y el comportamiento de
los cables y vigas (Figura I.6) [I.15]. Galileo Galilei escribe en el año de 1638 el primer tratado en
donde se habla por primera vez de una forma seria y científica sobre el comportamiento de las vigas
y las columnas.
Mientras que muchos años después, Robert Hooke que realiza experimentos en la conocida
institución científica inglesa llamada Royal Society, en donde se engendra una de las bases de la
Mecánica de sólidos. En el escrito llamado De Potentia restitutiva realizado en 1678, se establece la
proporcionalidad entre las cargas o fuerzas aplicadas y sus deformaciones o alargamientos en los
cuerpos elásticos, conocida esta como la ley de Hooke (Figura I.7) [I.16].
Capítulo I 8
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura I.6.- Estudios hechos por Galileo Galilei de flexión a una viga biapoyada
Figura I.7.- De Potentia Restitutiva, Robert Hooke, 1678
Capítulo I 9
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En los primeros años de estudio, se tenían dos problemás fundamentales:
No se podía tener una expresión matemática que represente la resistencia máxima de una
viga en cantiléver sometida a una fuerza en su extremo.
¿Como se determina el eje de rotación de la viga?, cuando esta se rompe; que era el
problema principal de Galileo.
Galileo efectuó los estudios correspondientes y estableció que la resistencia de la ménsula (viga en
cantiléver) es idéntica a la de la pieza sometida exclusivamente a tensión y se distribuye sobre la
sección transversal. También se define que el eje de rotación de la viga en el momento de que se
rompe está situado en la arista inferior de la sección de donde se empotra (Figura I.8). Años después
es denominado como fibra neutra.
Figura I.8.- Boceto de estudios realizados por Galileo Galilei
En el siglo XV, Mariotte después de hacer unos estudios a los trabajos previos de Galileo y llevando
inicialmente la hipótesis que formuló Galileo que se refería al eje de rotación de la viga llegó a la
conclusión de que la resistencia que presenta la ménsula (viga empotrada) es la mitad de la
resistencia de la misma pieza fraccionada [I.17].
Capítulo I 10
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En el año de 1713, Parent realizó los mismos estudios y corrigió los errores que Mariotte cometió y
colocó la fibra neutra en el centro de la sección de una viga hecha por ménsulas de sección
simétrica. El trabajo de Parent introdujo la idea de una distribución de fuerzas interiores actuando
sobre las fibras que forman parte de la sección. El problema de Galileo respecto a sus estudios fue
resuelto finalmente por Coulomb, incluso introdujo las leyes de comportamiento para sistemas no
lineales, esto fue escrito de forma matemática en las ecuaciones de equilibrio estático [I.17].
Posteriormente, Jacob Bernoulli estableció la proporcionalidad entre el momento flector que actúa
sobre cada sección de la viga y el radio de curvatura que une los ejes de rotación de las secciones
(Figura I.9). Después Leonhard Euler resolvió el problema de la elástica minimizando el funcional
que representa la energía potencial de flexión y esta se dedujo a partir de la relación momento-
curvatura que fue propuesta por Bernoulli [I.18].
Figura I.9.- Investigaciones de Jacob Bernoulli con respecto a la fibra neutra
Euler dedujo la ecuación diferencial de la elástica por medio del cálculo de variaciones, y estudió las
soluciones de la ecuación, entre las que se encuentra la de la inestabilidad de una columna
Capítulo I 11
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
comprimida (que se conoce como el pandeo de Euler) [I.17]. Augustus Love en 1927, en su tratado
sobre la elasticidad retoma los trabajos de Euler el trabajo es llamado A Treatise on the
Mathematical Theory of Elasticity [I.19].
Los fundamentos de la teoría de la elasticidad fueron establecidos en 1822 por Auguste Cauchy.
Cauchy fue quién introdujo en una forma axiomática el concepto de tensión actuando sobre un plano
y dedujo la expresión de esa tensión en función de la orientación del plano [I.20]. También
desarrolló las ecuaciones de equilibrio en la forma que hoy las conocemos y expresó el cambio de la
forma de un punto con respecto a los seis componentes de la deformación (Figura I.10).
Figura I.10.- Ecuaciones de Equilibrio interno, Auguste Cauchy.
En el siglo XIX, la teoría de la elasticidad tuvo un desarrollo muy rápido, principalmente por las
investigaciones realizadas en Francia por Saint-Venant y Clapeyron, en Alemania por Kirchhoff,
Capítulo I 12
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Clebsch y Mohr, y en Gran Bretaña por Maxwell, Green y Love entre otros grandes investigadores
de la época [I.21].
El avance se frena a principios del siglo XX, porque en esa época era difícil disponer de cálculos sin
herramientas que proporcionen resultados confiables y prácticos. A pesar de que no se contaba con
herramientas que se usen con facilidad, el desarrollo tecnológico no se vio impulsado sino hasta la
segunda guerra mundial y se desarrolla principalmente en Estados Unidos y Gran Bretaña. En estas
fechas se impulsa mucho el desarrollo del diseño mecánico y es un parte aguas en la primera mitad
del siglo.
La necesidad básica en la Segunda Guerra Mundial fue el mejoramiento de armamento y máquinas
de ataque, que sean más durables y económicos para los países involucrados en el conflicto. Además
de que dio inicio del desarrollo de la computadora u ordenador. Bajo el contexto del desarrollo de
los computadores o máquinas capaces de realizar una gran cantidad de operaciones en un tiempo
muy reducido fueron capaces de desarrollar herramientas de análisis confiables y prácticos. Es
entonces que surge la aplicación real del método de elementos finitos que permite la aplicación de
los resultados teóricos de la Mecánica de sólidos a la resolución de problemas aplicados, ideado
principalmente al mismo tiempo por dos grupos de investigación liderados por Argyris y por Clough
[I.21].
Truesdell fue el investigador que durante la década de 1960 revisó y formuló los fundamentos de la
Mecánica del Continuo a partir del material generado hasta el momento [I.22]. El libro de
Timoshenko es una referencia clave en lo referente a la historia de la Mecánica de los Sólidos [I.23].
Por otro lado, la teoría de la plasticidad fue desarrollada a partir de 1930, pero sus estudios y
pruebas tienen un poco mas de historia y ésta empieza cuando Tresca empieza sus estudios en los
materiales y en la propiedad de fluir de los mismos. Inicialmente fue para tratar con metales aunque
años después fue aplicada a todos los materiales conocidos. Como ya se había mencionado Tresca,
Saint-Venant, Lévy y Bauschinger fueron los pioneros en este campo de estudio [I.24].
Capítulo I 13
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Henri Éduard Tresca fue un Ingeniero Mecánico y profesor en el Conservatoire National des Arts et
Métiers en París. Es considerado como el padre del campo de la plasticidad o deformaciones que no
siguen la ley de elasticidad (no-recuperables), sus estudios empezaron en el año de 1864 con una
serie de experimentos considerados a la fecha, brillantes por los resultados y las aportaciones que
hizo al estudio de la mecánica. Su mayor aporte fue el criterio de Tresca, que en realidad es un
criterio de falla propuesta en 1868, el cual predice cuando un material va a fluir a cualquier tipo de
carga. También llamada Teoría del esfuerzo cortante máximo indica que la fluencia del material se
inicia cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en el material, llega al esfuerzo cortante máximo
que hace que fluya el mismo material. Por lo consiguiente el esfuerzo máximo cortante que se le
puede aplicar, según esta teoría tiene que mantener un valor de mucho menos que la mitad del
absoluto soportado por el material [I.24].
El criterio de Tresca es uno de los dos más usados actualmente, el segundo criterio más usado es el
de Von Misses, véase la siguiente figura para una comparativa entre los criterios, Figura I.11.
Figura 1.11.- Criterio de Tresca y Von Misses
Tresca también ayudó a construir la torre Eiffel y su nombre ocupa el tercer lugar de las personas
que intervinieron en el proyecto. Participó en la creación de Metro Standard, el diseño los perfiles de
los metros estándar y de los cuales se seleccionó uno para designarlo como patrón universal. En el
Criterio de Tresca
Criterio de Von Misses
Capítulo I 14
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
año de 1882, Tresca fue nombrado como miembro honorario de la Asociación Americana de
Ingenieros Mecánicos (ASME por sus siglas en inglés) [I.24].
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1876) fue un mecánico y matemático que
contribuyo tempranamente al análisis de esfuerzos. También desarrollo el flujo unidimensional no
estacionario del agua o ecuaciones de Saint-Venant. El desarrollo de la Elasticidad y Resistencia de
Materiales le debe mucho a Saint-Venant, quién realizó un trabajo teórico muy importante en la
fecha sobre el campo de análisis estáticos, dinámico y plástico (estableciendo las ecuaciones
fundamentales de la plasticidad). Su trabajo lo presenta en forma de tablas y diagramas para que
pueda ser entendido [I.25]. También editó el libro de Navier al cual le introdujo muchas ideas y
anotaciones propias de Saint-Venant. Estudió la torsión en probetas prismáticas y estudios
relacionados a la torsión y flexión de cilindros de pared delgada y gruesa.
Maurice Lévy (1838-1910) fue un Ingeniero francés y miembro del Institute de France. Lévy cambio
la hipótesis de la Teoría de la Deformación total propuesta por Saint-Venant y propuso Las
direcciones de las deformación principales coinciden con aquellas de los esfuerzos principales y esa
fue el primer intento de usar una ecuación de flujo incremental. Considerando la deformación de los
materiales como un flujo, es por eso que Saint-Venant considera que el material fluye. [I.26].
John Bauschinger fue un Ingeniero alemán que fue el pionero en estudiar el comportamiento de
endurecimiento por deformación en el año de 1881 a 1886. En sus trabajos habló sobre el
comportamiento anisotrópico del material cuando es presentada una pre-deformación uniaxial, el
comportamiento del material ante la pre-deformación uniaxial se le conoce como efecto
Bauschinger, Figura 1.12 [I.27].
Capítulo I 15
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura 1.12.- Efecto Bauschinger
Bauschinger realizó sus pruebas con acero dulce y dedujo que, si una probeta es cargada a tensión y
se pasa el límite elástico, se descarga la misma probeta y de nuevo se carga en la misma dirección
que se hizo anteriormente, el límite elástico de la probeta se mueve y aumenta de valor [I.27].
Existen algunos casos en lo que la carga se produce en sentido contrario, el límite de cedencia
reduce y esto trae consigo que el material pierda propiedades como ductilidad [I.7].
Aunque en la época no se contaba con equipo de alta precisión para las pruebas que realizó
Bauschinger los avances en el campo de la plasticidad fueron muy fructuosos, ya que personalidades
como Wilson, Ashby, Gould, Hirsch y Humphreys por mencionar algunos, obtuvieron similares
resultados en sus respectivas pruebas y se pudo comprobar gran parte de los estudios realizados por
Bauschinger.
Recientemente Takeda y Nasu en el año de 1989, realizaron una serie de pruebas de flexión para
poder determinar las propiedades de tensión y compresión en placas, en esos mismos resultados
fueron estudiados el efecto Bauschinger y la anisotropía planar de los materiales [I.28].
σmax
σy
-σmax
-σy
2σy
Capítulo I 16
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
I.3.- Elasto-plasticidad
Para poder definir lo que significa elasto-plasticidad, o bien poder definir un comportamiento elasto-
plástico de un material, es importante señalar las propiedades elásticas y plásticas de un material.
Pero como es el caso de la mayoría de los materiales en la Ingeniería, existen diferentes propiedades
que caracterizan a cada uno de ellos, es por eso que se hace uso de una gráfica muy útil para el caso
de caracterizar a los materiales [I.29].
Este tipo de curvas es obtenida de una simple prueba de tensión, la cual indica puntos muy
importantes, en otras palabras indica las propiedades del material ensayado. En los materiales
elásticos, en específico en materiales que fluyen o son muy dúctiles, un esfuerzo de tensión pequeño
lleva consigo un comportamiento elástico del material. Esto significa que pequeño incrementos de
tensión provoca pequeños incrementos de deformación; si la carga se devuelve a cero el cuerpo
recupera su forma original, dicho de otra forma, la deformación que se presenta es completamente
reversible [I.30]. Se ha comprobado muchas veces que los materiales tienen un límite, llamado
límite elástico o punto de cedencia, tal que si bajo ciertas cargas homogéneas supera el dicho límite
existen deformaciones remanentes y el cuerpo no recupera su forma original, es decir, aparecen
deformaciones no-reversibles. Este tipo de comportamiento se le conoce como elasto-plástico y se
presenta en la mayoría de los metales conocidos y también en muchos otros metales usados en la
Ingeniería.
El comportamiento plástico perfecto es mucho menos frecuente que se presente en los materiales,
porque induce la presencia de deformaciones no reversibles aun por más insignificante que sea el
agente externo. En la Figura I.13, se puede observar en una curva esfuerzo-deformación las
propiedades elasto-plásticas de un material, estas propiedades son obtenidas de un ensayo de tensión
[I.31].
Capítulo I 17
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura 1.13.- Comportamiento elasto-plástico de un material
Aparte de las propiedades elasto-plásticas también se presentan otro tipo de propiedades, como se
mencionó anteriormente algunos materiales presentan propiedades de plasticidad con
endurecimiento (Efecto Bauschinger) y necesitan esfuerzos progresivamente más grandes para poder
alcanzar una deformación plástica total o máxima. Hablando termodinámicamente la energía
mecánica se disipa internamente, y no se transforma en energía potencial elástica [I.31].
I.4.- Sumario
En éste capítulo se presento de forma general, una reseña histórica de los estudios que iniciaron el
estudio de las propiedades de los materiales. Desde Da Vinci hasta Takeda y Nasu actuales
desarrolladores de conocimiento científico de esta rama de la física. Se presentaron las
características de las propiedades más representativas para este tipo de análisis, la elasticidad como
parte fundamental en el estudio de la plasticidad.
Deformación elástica
Deformación plástica
Esfuerzo de cedencia
Esfuerzo último
Deformación
Esfuerzo
Capítulo I 18
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En el próximo capítulo se presentará de manera más explicita los conceptos fundamentales para los
estudios elasto-plásticos, así como los teoremas desarrollados por grandes investigadores
mencionados en el actual capitulo. Se usará el método de elemento finito para poder comprobar que
la teoría es correcta, ya que como se mencionará este método nos proporciona resultados muy
cercanos a la realidad, es por esto que es un método aceptado mundialmente para el análisis de la
respuesta de los materiales ante agentes externos.
I.5.- Referencias
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2.- Alcalá-Cabreles, J. y Llanes-Pitarch, L. M., Fractura de materiales, Ed. Politext, pp 215, 2002.
3.- Prager, W., An Introduction of plasticity, Ed. Thomson, 1959.
4.- Ciarlet, P. G., Basic Error estimates for elliptic problems - Handbook of numerical Analysis Vol.
II, Ed. North-Holland, Amsterdam, 1991.
5.- Krieg, R. D. y Key, S. W., Implementation of a time dependent plasticity theory into structural
computer programs, Constitutive Equations in Viscoplasticity; Computational and Engineering
Aspects, Ed. AMD-20 ASEM, New York, pp 125-137, 1995.
6.- Hernández-Albañil, H. y Espejo-Mora, E., Mecánica de la fractura y análisis de falla, Ed. Sede,
pp 14-15, 2002.
7.- Urriolagoitia-Sosa, G., Analysis of prior strain history effect on mechanical properties and
residual stresses in beams, Ph D Thesis, Oxford Brookes University, pp 52-57, 2005.
8.- Gere, J. M., Mecánica de materiales, Ed. Thomson, pp 2-29, 2005.
9.- Shigley, J. E. y Mitchell, L. D., Diseño en Ingeniería Mecánica, Ed. McGraw-Hill, pp 2-18,
1985.
10.- Alarcón-Álvarez, E., Modelos matemáticos en Ingeniería moderna, Ed. Consejo de Desarrollo
Científico y Humanístico, pp 198-200, 2000.
11.- Zienkiewics, O., El método de los elementos finitos, Ed. Reverté, pp 551, 1964.
12.- Timoshenko, S. y Gere, J. M., Mecánica de Materiales. Ed. Cengage Learning, pp 25-27, 2001.
13.- Landau, L. D. Lifshitz, F., Teoría de la elasticidad, Ed. Reverté, pp 188, 1982.
14.-Kittel, C., Introducción a la física del estado sólido, Ed. Reverté, pp 667, 1997.
15.- Flores, F. y Aguirre, M. E., Educación en Física, Ed. UNAM, pp 45, 2003.
16.- San Juan, F. J., Historia de la ciencia y de la técnica; Vol. 50, Ed. Akal, pp 42-44, 1993.
Capítulo I 19
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
17.- Heyman, J., La ciencia de las estructuras, Ed. Imperial College Press, pp 70, 1999.
18.- Cervera-Ruíz, M., Mecánica de estructuras, pp 155, 2001.
19.- Love, A. E. H., A treatise on the mathematical theory of elasticity, Ed. Dover Publications,
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20.- López-Cela, J. J., Mecánica de los medios continuos, Ed. DCLU, pp 40-43, 1999.
21.- Michavila, F. y Gavete, L., Programación y cálculo numérico, Ed. Reverté, pp 274, 1985.
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24.- Tresca, H. E., Tresca yield condition, Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, Vol. 59, 1864.
25.- Sanchis-Sabatar, A., Fundamentos físicos para Ingenieros, Ed. Universidad Politécnica de
Valencia, pp 374-375, 1999.
26.- Levy, E., Diccionario Akal de Física, Ed. Akal, pp 263, 1999.
27.- Bauschinger, J., On the changes of the elastic limit and strength of iron and steel, by drawing
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technischen laboratoriumder k, Hochschule in Munchen, pp 463-465, 1886.
29.- Takeda, T. y Nasu, Y., Determination of the Bauschinger effect and planar anisotropy from
Figura III.19.- Esfuerzos residuales ante un comportamiento bilineal. a) Esfuerzos residuales en la viga. b) Distribución del campo de esfuerzos residuales.
a)
b)
Altura (mm)
Esf
uerz
o (M
Pa)
Capítulo III 59
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En la Figura III.19a se observa la viga con esfuerzos residuales, después de retirar la carga en la
simulación numérica, donde es posible observar el campo de esfuerzos residuales denotado por los
distintos colores que son ploteados por el análisis numérico. En la curva de la Figura III.12b se
observa la distribución de los esfuerzos residuales en la viga, que como se había explicado
anteriormente cambia con respecto a la altura de viga.
En la Tabla III.6 se observan los esfuerzos obtenidos por MEF correspondientes a cada sección de la
altura de la sección transversal de la viga.
Tabla III.6.- Distribución de esfuerzos residuales