暨 兩岸港口及海岸開發研討會論文集 月 日 貝氏推估法分析海洋方 … · 第十七屆海洋工程研討會 暨1995兩岸港口及海岸開發研討會論文集

第十七屆海洋工程研討會暨 1995兩岸港口及海岸開發研討會論文集1995年11月9-10 日

貝氏推估法分析海洋方向波譜之研究

卓訓杰 l 莊士賢 2 高家俊 3

摘要

本文主旨在於介紹貝氏推估法分析海洋方向波譜之理論，利用數值模擬驗證其適用性，並以此法分析現場實測波浪資料之方向波譜 p 貝氏推估法分析方向波譜時，考慮資料中存在之隨機誤差，利用超參數 u將平滑函數引入計算過程中，使估算結果在波浪方向之分佈特性與光滑連續性兩者適當組合下，推求得一最佳估計之方向分佈。此法以分段近似的方式估算浪浪方向分佈，不以一固定函數形式表示方向分佈，故在描述海洋波向分佈時不因函數本身特質而受到限制。經由本文針對平滑函數之影響性、方向分佈寬度、非對稱方向分佈、雙峰方向分佈、儀器數目之多寡、儀器平均間距與波長比以及方向軸之切割精度共七項因素分別進行模擬驗證'結果顯示此法可應用於解析不同形態之波浪方向分佈。針對貝氏推估法、二階傅利葉級數法與最大概似法三種分析方法之優劣而言，二階傅利葉級數法因階數太低，所得之分佈平緩寬廣，對能量集中之方向分佈無法描述;最大概似法則由於資料隨機誤差之影響，造成計算之方向分佈易發生扭曲變形的現象;員氏推估法分析結果較上述二法為佳。頻譜及交錯譜誤差將影響估計方向波譜之正確性，此誤差對貝氏推估法分析結果在定量上之影響，有待進一步探討。

1前言

實際海洋波浪具有方向性，對海岸海洋工程而言，舉凡地形變遷、波浪折繞射、港口防渡堤方向、治岸漂沙流向、海洋結構物之受力方向等等，均與浪向有關。往昔學者提出多種分析方向浪譜的方法，冀望從有限的實測資料中分析得海洋方向波譜。在泉多分析方向波譜的方法中，本文選擇貝氏推估法加以討論，此法依據貝氏統計方法推得，就工程而言，貝氏統計方法能有系統地將觀測的樣本資料與工程判斷結合在一起，並將參數推估時的不確定性溶入計算過程中，推求得較佳的參數值以便較好地描述其物理現象。本文利用數值模擬的方法，針對可能影響分析結果的因素驗證此法之適用性，並且探討台西現場渡

l研究助理，國立成功大學水利及海洋工程研究所

2盲目研究員，國立成功大學水工試驗所

3教授，國立成功大學水利及海洋工程研究所

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高計陣列佈置形式，以證明此法能否應用於台西現場方向渡譜的觀測與分析，同時藉由貝氏推估法分析現場方向法譜，以便進一步討論此法的限制性。

2理論基礎自然現象或實驗結果之觀測物理量中存在二種誤差:一為系統誤差 (system

errors) ，如觀測儀器不當之率定所造成;男一為資料隨機誤差 (random errors) ，如雜訊平擾。假設實測波浪紀錄中系統誤差己修正，資料發生誤差僅受到隨機誤差之影響。往昔分析方向渡譜的方法多末考慮資料本身的隨機誤差 (random error)存在之影響，造成分析所得之方向波譜與實際間不符。本章將介紹 Hashimoto et al. (1987) 由貝氏定理所發展得之貝氏推估法分析方向渡譜，此法考慮資料中存在之隨機誤差，藉由對隨機誤差的平滑修正得到較符合真實的方向波譜。

Isobe et al.(1~84) 發展任意兩個波浪時序列間的交錯譜與方向渡譜之關係遇式，即交錯譜等於波浪特性與水位間之傳遞函數和方向波譜的乘積之傅利葉轉換，其關係式為

下式:

丸(1)=rHm(l，O)瓦(1，0)[∞s{吵鬧∞恥 y_sinθ)} -i叫你;，..cosO+ y_sinθ)*(1 ，θ知 (1)

式中: f :頻率 θ: 渡向

k : 波數 φ 闡 (1):交錯譜 (cross spectrum)

丸，y- 分別為第 n至第四個儀器間 x及y方向之距離

凡(1，θ，):傳遞函數 (transfer function)

H.(1，0) :傳遞函數之共輒函數

s(l，O) : 方向被譜密度函數，簡稱為方向波譜 (directional spectrum)

Hashimoto 將 (1)式改為下式:

執 (1)=fH，(J，O)G(~f)do i= l，...，N (2)

式中: N=Mx(M+l)/2 ;M: 儀器個數

月(1，0) =凡(1，θ疚(J，O){∞串(x_cosθ+y_sin 時]-i叫k(九∞恥 y_sin 時]}I ~cI>_(I知m(l)

叫f)= 丸 (I)/{s(l 川丸(1)恥的)

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G(~/)=S(l ，仿/s(l)

若將 0至2π範圍內方向分佈函數分為 K段，每段均句分佈且大於零，則可假設方向分佈函數為下式:

lnG(仇 1/)=x.(I) ， k=l"" ，K

將上式取對數，則:

G(θ1/) 自L抑制f)柄。)

式中:喲= {~(k 一位云:三k/19 ， k=l ，.....，K

由(4) 式知 G(~/)之值皆維持在正值，將 (4) 式代入 (2) 式可整理得:

ø，(I)=主叫x.(J)]fk(J ，θ)1. (9)dθ

上式積分式可以下式表示:

fÍi，(I成(吋dθ=ltp(fmIK( 伽自H，(I，的Aθ富的(力

為方便討論，本文將成、恥之實部及虛部分別表示如下:

:1Jill::::: 目::1:l j由於參數皆為頻率 f 之函數，因此以下討論皆略去頻率 f 之符號:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

統 =Lα"exp[x. ] i = 1).，...).N(9)

考慮實際觀測資料有隨機誤差存在並將誤差納入討論，則上式改寫為:

統 =Lα"exp[x.] +&， i=1 叉，...).N(10)

上式中院為獨立的隨機誤差，假設其分佈符合平均值為零且均方差為 σz 之常態分佈。

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對已知之妙，而言，在布及 σ2條件下之似然函數 L(x".. ，xc;OO')可由下式表示:

L帆，以，)= t::-叫 (11)

假設方向分佈在各個方向段上的能量是相互獨立的，而且方向分佈是光滑連續的，由此可得一限制條件:

x，-2x，.，+ x，.，'"0

為使方向分佈函數光滑連續，下式應取其最小值:

主(x，-2x ，.，+x，.，)'=丸z

(12)

(13)

由前述知，所求之方向分佈函數須同時兼顧資料本身的特性 (11) 式與連續光滑之分佈(13)式，故應使 (11) 式取最大值同時 (13)式取最小值。為平衡上述兩項要求，引入一超參數 u (hyperparameter) ，使其解為求下式之最大值:

lnL(x 叫，XX;o-2) 一至立(x，-2x ，.，叫

上式取指數得:

取 MZ)e什

(14)

(15)

(16)

式中之 L()為似然函數， exp{ }項則正比於 x值之在前分佈。根據在後分佈正比於似然函數和在前分佈乘積的關係'並將 (11)式代入 (15)式中並整理得 (16)式，故所求之方向分佈為取 (16) 式之最小值:

主(4-ZMP( 凡)r刊三(刊乳汁x，.，)'}可由上式求解不同 u1t直條件下對應之一組 x 近似解，其中當某一 u值的選取使

ABIC(Akaike' s Bayesian Information Criterion):

ABIC = -21nf 峙，σ加(xju' ，OO')dx

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(17)

p玲咐圳柳枷(←例仲W悼x叫咿收似|伊ν扒u'吭M叫叫2九Vγ沛，厚j圳亦σt叫作，)←)卜=(怯3誇本訶去乞封二~r\ιe缸叫x沖什p由00ω〉式及06的)式可知，員氏推估法計算 K個獨立之方向分佈值以描述方向分佈，即

以分段近似估計的方式加以推求而不以一固定函數形式表現方向分佈，故其方向解析能力不因函數本身性質而受侷限，所求之解能較準確估計各種波浪條件下的方向渡譜。

3貝氏推估法之適用性模擬驗證海洋方向波譜常視為一維頻譜和方向分佈函數的乘積，探討方向波譜的分析方法之適

用性時，可分別對頻譜的分析能力及方向分佈的解析能力加以討論。由於一維頻譜的相關研究己有相當的成果，所以本文研究貝氏推估法分析海洋方向波譜之適用性時，對頻譜的分析能力不擬多加討論，主要的研究為此法的方向解析能力，分別討論平滑園數之影響

性、方向分佈寬度、非對稱方向分佈、雙峰方向分佈、儀器數目之多寡、儀器平均間距與渡長比以及方向軸之切割精度共七項因素下貝氏推估法的適用性。最後將傅利葉級數法及最大概似法兩種常用於分析方向波譜的方法與貝氏推估法進行分析並比較三種方法之優劣。

為了使探討適用性時有一比較標準'本節以數值模擬的方法所獲得之波浪資料做為目標值並與貝氏推估法分析所得之估計值進行分析比較，藉以瞭解貝氏推估法之方向分析能力及其適用性。 3-1節中介紹數值模擬波浪資料的輸入條件及模擬的方法。

3.1數值模擬波浪資料

由0)式可知，模擬海洋波浪資料主要的輸入條件為:一維頻譜 s(J) 、方向分佈函數G(b1f) 和儀器陣列的形狀。目前常用之一維頻譜有 PM波譜、 Bretschneider 波譜、 JONSWAP

被譜及 Wallops 波譜等，由於模擬波浪資料進行分析比較時，渡譜僅為模擬時之工具，被譜之選定對方向分佈特性之探討並無影響，本文使用 PM渡譜作為輸入之一維頻譜，其公式如下:

如)=的叫一去;J(19)

式中 :α= 8.10x10-'β=0.74

ω: 角頻率 g: 重力加速度

U叫:水面上 19.5 公尺處風速。

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許多專家學者依據其分析渡浪的心得及經驗提出不同的方向分佈函數，本文則採用廣泛為人使用之 Mitsuyasu 型式方向分佈函數作為輸入分佈，因為其數學式易於表示單峰或多峰方向分佈且可簡單地修改為非對稱分佈(詳見 3-4節)，對海洋被向分佈特性能較完整的模擬。下式為 Mitsuyasu 型式之方向分佈函數:

G(θ|f)=ZAc叫于) I司計

式中: f :，頻率。()，:主波向。

(20)

再:方向分佈參數 (spread ing parameter) 0 ~ :係數。

n : n=1 波浪方向分佈為單峰; n=2 代表兩個不同主波向之波浪即雙峰分佈。

為配合台西現場資料蒐集方式及對現場波高計陣列形狀作一探討，本文利用設置於台西外海海氣象觀測樁之波高計陣列型式作為模擬波浪資料時輸入之陣列如圖 1 '波高計編號由架設於觀測樁東北角的浪高計起算，逆時鐘排列分別為 CH.l 、CH.2 、CH.3 及CH.4 '測樁整體之架構詳見蕭 (1994) 。

最後將上述條件代入 (1)式中可計算得各測點問之交錯譜，本章即利用模擬所得之交錯譜資料作為分析計算時的輸入資料。下簡起將以數值模擬之資料進行分析，討論前述七種影響方向解析能力之因素，並將貝氏推估法與傅利葉級數法和最大概似法作一比較。

3.2 平滑函數之影響性

由第二、三節介紹知，貝氏推估法在計算過程中為了彌補求解參數時方程式之不足，利用超參數 U將平滑函數引入計算過程中，使估算結果在波浪方向之分佈特性與光滑連續性兩者適當組合下，推求得一最佳估計之方向分佈。故平滑函數對分佈特性的影響，以及由不同 u值計算得到不同之 ABIC' 進而影響最佳分佈之決定皆有必要加以討論。本節利用模擬方向分佈參數 s=lO 之單一波向風浪資料，並加入 1O~階數之隨機誤差，將不同 u1r直計算之結果及其對應之 ABIC 繪於圖 2中。

平滑函數之影響性可由園中看出，當 u1i直大時，平滑性較資料本身似然性強烈，故所得之分佈較實際寬廣平緩;當 u值小時，資料之似然性主控所求之分佈'造成估計之分佈出現鋸齒振盪的現象，由此可預知，當 u1i直趨近零時，即不以平滑函數修正隨機誤差之影響，估計所得之分佈將振盪起伏，無法描述真實現象;唯有當選定某 -u值使平滑性與似然性達平衡時，其對應之分佈為估計之最佳方向分佈。

由第三節知，最佳方向分佈可由 ABIC 最小值時所對應之分佈求得，即為此一分佈兼具資料之似然性及分佈之平滑性。由上圖中可發現，不論在 u值大時平滑性強烈或 U值小時似然性主控之條件下，所得之 ABIC 值皆較平滑性與似然性兩者平衡時求得之 ABIC 值為大，ABIC 值最小(園中，可"號者)時，所求分佈與輸入分佈最為吻合。由上述可證明， ABIC 值最小時對應之分佈為最佳方向分佈。

3.3 方向分佈寬度

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渡浪的能量在方向上的集中程度隨著不同的海象條件而有所差異，風浪之能量在方向的分佈較寬廣，湧浪則因能量集中而造成方向分佈較窄。 Goda(l985) 曾建議 (20) 式之方向分佈參數 s可以下式求得:

s=l s-Y/f.I一ls，咀(J/f.t'

;/三f.;/這f.

(21)

式中」為頻譜中尖峰頻率的方向分佈參數，當一般風浪條件下 s_ = 10 .在湧浪時渡向

集中則」可達 75 。為驗証貝氏推估法在不同被浪條件下的適用性，本節依據 (20) 式取 n=1即單峰分佈條件，給定不同之方向分佈參數 s ' 模擬不同的技浪方向分佈寬度並予以分析比較。

圖3為方向分佈參數 s =10 、鈞、75及 100 四種單一主波向條件下由貝氏推估法計算結果與模擬資料之比較圖。由圖知它們皆能準確估計主波向且估算之方向分佈與模擬相符，在尖峰處由於計算精度之影響而產生些許誤差，其誤差範圍皆在百分之三以內。由於貝氏推估法計算過程中，將方向分佈以 K段表示，每段使用內差近似的方式求得一估計值，然後以 K{ 固估計值組成一分佈。此法不以一固定函數形式表現方向分佈'所以其描述方向分佈的能力不因該函數本身性質而受侷限，不論方向分佈較寬之風浪條件或方向集中之湧浪條件，貝氏推估法皆能正確的描述不同方向分佈寬度的故浪特性。

由前述討論知，貝氏推估法以每段獨立內差近似的方式求得估計分佈，故理論上任何波浪方向分佈形態皆可由此法估計得到正確的估計，為驗證上述論點， 3.4節及 3.5節分別針對非對稱及雙峰方向分佈之被浪條件加以討論。

3.4 非對稱方向分佈

往昔學者探討海洋渡浪的方向分佈常觀為對稱分佈，進而所提出之方向分佈函數也多以對稱函數表示，但實際海洋渡浪之方向分佈是否完全可以對稱分佈加以描述?欲研究此一問題首先應探討分析方向渡譜的工真是否具有分析不對稱性的能力。由前一節知，貝氏推估法以分段近似的方式估計方向分佈'理論上應具有分析非對稱分佈的能力，本文利用模擬不對稱之方向分佈'驗證此法分析非對稱分佈的能力，其中數值模擬之方法為下式:

G(~/)= A，COs'{平) (問世lenλ=λ1θ 這 θ'p thenλ=λz

(22)

式中: (}p :主渡向。

人，λ，.為一常數，當 λ，=λ ，=2 時即為 (20) 式之單峰方向分佈。

圖4為 (}p = o. 、λ，=4 和 λ，=2 之模擬非對稱條件下利用貝氏推估法分析不同方向分佈寬

度之結果;圖 5為方向分佈參數 s=75 條件下，以三種不同之非對稱函數 (λ ，=2 與 λ，=4 ，5及

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6) 利用貝氏推估法分析比較圈。由上述兩圖及上節所述原因可得知，貝氏推佑法不僅能描繪非對稱之趨勢且其估計值與目標值契合，證明此法真有分析不對稱方向分佈的能力。

3.5 雙峰方向分佈

在實際海洋中，相同頻率下可能出現來自多個不同方向的法浪，造成多峰方向分佈。對工程而言，許多波向之能量與主波向能量比較時可忽略，僅重視單一波向或至多兩個波向之方向分佈，為瞭解貝氏推估法在非單一波向時之方向解析能力，本文依據 (20) 式取n=2 模擬雙峰方向分佈進行比較，希望瞭解貝氏推估法分析雙峰方向分佈的能力。

圖 6為 S，= 10 、也=75 及 θ，=90' ，兩主浪向間相距 &θ 分別為 180' 、123' 、65'及 25'四種分

析之結果。當 &θ= 180'時右邊尖峰處估計值與輸入值相符，在左邊尖峰處則有誤差發生;

湖=123'時左邊尖峰處之分佈有扭曲現象; 110=65' 時估計值在左邊尖峰及兩峰間波谷處發生較大誤差;當兩個主波向靠近至 110=25' 時估計值與輸入值之間誤差減小。由圖中可知在上述模擬條件下，貝氏推估法對雙峰分佈之描述在較大尖峰部分能得準確估計，但對較小尖峰處則有誤差發生，此一誤差並不完全隨兩波向靠近而增大。

根據前述現象發現，貝氏推估法分析雙峰分佈時有較大誤差發生，探討其原因為計算過程中使用超參數 u決定平滑函數之影響性，當 u值大時即平滑之影響性高，方向分佈較平穩寬廣;當 u值小時，方向分佈則較尖銳集中。但當出現雙峰方向分佈時，由 -u值決定之平滑性無法同時滿足兩峰的特性， u{[直主要針對能量較集中明顯即較大主峰處之分佈特性作平滑處理，造成男一主峰的估算出現誤差。根據本節模擬之條件，當 Aθ=65' 時，在較低波峰之尖峰值誤差可達百分之十六，但貝氏推佑法對於雙峰分佈之趨勢皆能掌握。

3.6 儀器個數

陣列中儀器的多寡決定方向被譜計算時的方程組數，進而對分析結果造成影響。往昔學者曾使用不同儀器數目組成之陣列以獲得方向被譜。為瞭解儀器數目對貝氏推估法分析方向波譜的影響，本文以台西現場四支波高計組成之陣列排列方式為基礎，模擬佈置第五支波高計並編號為 CH.5 '為考量陣列形狀及未來施工佈置之方便性，將 CH.5 佈置於測樁東北角向北延伸 1.5 公尺處如圖 7 。依據模擬之波高計陣列佈置方式，分別以三支 (CH .1 、CH.3 、CH.4) 、四支 (CH.1 至CH.4) 及五支波高計 (CH.1 至 CH.5) 組成之陣列利用貝氏推估法進行分析和比較。

圖8為 0，= O. 、s=25 之單一波向分佈，其中" N3" 、"N4" 及"的"分別代表上述三支、四支及五支浪高計組成之陣列。由圖中可知，貝氏推估法在波高計數目為三支、四支及五支條件下皆能正確估計主波向且所得分佈與實際吻合，其中使用三支波高計時在 θp處的估計

值略大於輸入值而以四支和五支浪高計時則較契合。

上圖僅以主波向為零度之波浪條件討論儀器個數的影響，圈 9則為分別模擬不同入射波向之技浪條件與貝氏推估法估計之主波向() .'的比較圈。由圖可知，在模擬之不同陣列形狀

下不論使用上述三支、四支或五支波高計組成之陣列，皆不影響貝氏推估法正確估計不同入射波向的能力。即利用三支組成之陣列所提供迴歸計算之 6組方程式，已具有辨別主波向

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的能力，但對於主浪向能量之估算方面，是否使用三支儀器陣列便足夠正確估計?此點可

由圖 10及圖 11加以說明。

圖 10為貝氏推估法分析 s=25 時不同單一入射波向之方向分佈函數尖峰值 G咀與模擬之

G_ =1.41(虛線部分)的比較圖。由圖中發現，利用三支、四支或五支波高計陣列分析所得

之 G呵值與輸入值之間的誤差皆在百分之五以內。當以四支或五支波高計陣列估計之 G叩值

比較不受入射渡向不同的影響，其誤差值較以三支波高計所得結果為小。

圖11為與上圖相同波浪條件下，分別利用四種三支波高計陣列組合分析所得之 G咱值與

模擬值比較圖。圖中可看出，當以 Ch.l 、Ch.2 及Ch.3 之組合陣列分析時，在 (}p = 0﹒與180.

兩入射波向條件下計算得之 G_值小於其它入射波向之 G_值，其原因為上述兩種技向入射時，波向在儀器對連線之投影量相近，容易因為相似性造成計算過程中出現相依方程式，

進而使誤差增加。當以 Ch.1 、Ch.3 及Ch.4 之組合陣列分析 θp = 67.5"與 247.5" 兩入射波向條件

時，發生與上述相同之現象。綜合圖 10及圖 11可知，當波高計數目超過三支時，分析結果較不受兩儀器對相似性的影響。

由上述結果知，利用前述三支、四支或五支波高計的排列方式皆可以採用貝氏推估法正確估計主波﹒向及描述方向分佈特性，其中當以四支或五支波高計求解時，因為方程組數

增加使誤差之影響量減小，所以分析所得結果較以三支浪高計所得者為佳。

3.7 儀器平均間距 (D) 與波長 (L) t~

海洋波浪可視為由無數成份波組成，各成份坡的波長並不一致， Fan(1968) 指出儀器間距小於波長一半時有較佳的精確度， Borgman(1969) 則利用四支波高計的星形陣列進行數值模擬研究，發現平均間距 (0) 與渡長 (L) 比在 0.1 至 0.9 間有較佳方向解析。為瞭解貝氏推估法分析方向浪譜受儀器平均間距與渡長比之影響，利用如圖 7之波高計排列方式，模擬主波向為零度之單峰方向分佈進行分析，頻譜之尖峰頻率為 0.2Hz 。

圖 12為不同儀器數目組成之陣列型式與間距波長比之關係圖。計算過程中，方向分段數 K皆取 64 '其&θ為 5.6 度。以三支波高計陣列 (N3) 計算發現，當 0/L=0.55 及 0/L>0.74時估計之主波向偏移 γ 單位肘，即為 5.6 度;而以四支波高計陣列 (N4) 計算則在 0/L=0.31至 0.33 時也產生估計之主波向偏移 5.6 度的現象;當以五支波高計陣列 (N5) 計算之結果則完全符合模擬之波向。利用分散關係式將方向解析與問距波長比之關係可轉換成方向解析

與頻率的關係，如圖 13 。

圖 13為不同儀器數目組成之陣列型式與頻率之關係，以三支浪高計陣 (N3) 列計算時在高頻 f =O.402Hz 及 f >O.465Hz 時對主波向判斷產生 5.6"誤差;當頻率範團 f = 0.355Hz - 0.367Hz 以四支波高計 (N4) 估算主波向亦會產生偏差;當以五支波高計 (N5) 陣列計算，頻率範圍在f = O.05Hz - O.5Hz內估算所得主波向完全符合模擬之主波向。

根據現場觀測所得浪浪資料經由統計分析得其平均週期多為 3秒以上，即頻率小於O泊的。由圖 12及圖 13可知，以上述三種波高計陣列規模而言，皆可採用貝氏推估法分析方向波譜。

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3.8 方向軸之切割精度

貝氏推估法分析方向波譜的計算過程中，將方向分佈切割成 K段且其解析寬度為

2tr/K ' 亦即以 "K個點數來描述方向之分佈特性，因此 K值大小的決定此法在方向上的解析

力。為配合方位表示之習慣及考慮計算的時間，本文分別以方向分段數 K為 16 、32及“共三種條件作一討論。

圖14以 s=75 即在波浪方向較集中的單一波向條件下由不同方向分段數 K計算所得之方向分佈圈。由上圖可看出，當方向分佈較寬廣時 K=16 尚可以描述輸入分佈，但當方向分佈

集中時， K=16 則因解析寬度太大(湖 =225") ，對反曲點附近描述的點數過少，造成估計之

分佈較輸入寬廣進而使尖峰值降低無法得到良好的估計‧ K=32 時(MJ= 1125') 其解析點數增加，對 s=75 能量集中的方向分佈之描述效果較 K=16 時為佳，但在反曲點附近解析點數仍不足而略顯得粗糙;當 K = 64 ( M = 5.625')時，因解析點數增加，不論分佈為尖銳或寬廣，

皆可得較好的估計。圖 15為雙峰方向分佈採用 S，= 10'、s，= 75 、θ，=-90' 及 θ，=90' 。向前述討論， K=64 時分析結果最佳。

綜合圖 4一14- 圖4-15 可知，當 K=16 時因解析寬度太大，對渡浪分佈特性描述不佳;當K=32 時能得較好的描述，但對能量較集中之分佈因解析點數不足而無法精確估計浪向，其波向估計之誤差範因為封 .625' ; K=ω 時不僅能較正確描述波浪方向分佈特性，且浪向的掌握精度為土 2.8'較 K=32 時為佳，但因為計算時所使用的矩陣加大，造成運算時間約為 K=32時之 5至 6倍，此點不利於大量資料的分析。

3.9 貝氏推估法、傅利葉級數法和最大概似法分析方向波譜之比較

自從 1987年Hashimoto 發展貝氏推估法分析方向被譜以來，部分學者認為以此法分析方向渡譜在許多方面展現的分析能力較往昔使用的方法為佳，為瞭解方法間之優劣，本節依據台西現場四支波高計組成之陣列，選擇傅利葉級數法和最大概似法兩種常用的分析方法與貝氏推估法以數值模擬進行分析和比較。其中傅利葉級數法因為其四階解在低頻處有振盪起伏的現象(詳細說明請參考李、 1993) ，故只求其二階解加以討論。

圖 16及圖 17分別為方向分佈參數 s=lO 與 s=75 兩個不同條件下的單一浪向分佈，以三種方法分析之結果。由圖得知，三種分析方法皆可準確估計主渡向。但在兩園中二階傅利葉級數法所得之方向分佈均較模擬之分佈寬廣，其原因為傅利葉級數法以三角函數疊加描述方向分佈，當階數愈高則愈接近真實分佈形狀，反之則估計之分佈較實際寬廣;最大概似法在 s=lO 的分佈下發生扭曲變形的現象，當 s=75 時則能符合模擬之分佈;貝氏推估法分析結果皆吻合模擬之分佈。

圖18為三種方法分析不對稱分佈 λ，=4 、九=2 及 s=lO 之單一波向分佈圈。其中傅利葉級數法以調和函數近似表示方向波譜，因此無法描述非對稱性;最大概似法估計之主波向則產生偏差，方向分佈也因扭曲變形而與實際不符;貝氏推估法以分段內差近似的方法求得方向分佈，能良好的描述不對稱之方向分佈特性。

圖19為雙峰方向分佈 s，= 10，0，= -90﹒和令=75，0，= 90'之分析結果。由圖可得知，傅利葉級

數法無法描述雙峰趨勢;最大概似法所得結果雖然較傅利葉級數法為佳，但亦不足以描述

-216-

實際雙峰的特性;貝氏推估法則除了在較低之尖峰處產生一些偏佑之外，對雙峰分佈的估

計及特性的描述皆優於上述二法。

由前述討論得，三種分析方法在單峰分佈條件下皆能準確的估計主波向;但對雙峰及不對稱分佈時，僅貝氏推估法能得較好的估計。綜合而言，貝氏推估法能良好的描述波浪方向分佈特性，其原因在前面已有詳述;二階傅利葉級數法則因求解階數太低及三角函數性質而無法正確估計;最大概似法未對隨機誤差之影響加以修正，使得估計之分佈易發生

扭曲變形的現象。

4 貝氏推估法分析現場方向波譜根據前一章模擬驗證發現，員氏推估法對方向渡譜確實具備良好的分析能力，本章將

以此法對現場觀測之波浪資料進行方向波譜分析並討論現場資料之頻譜及交錯譜誤差對貝氏推估法分析方向波譜之影響。現場波浪資料則利用台西外海海氣象觀測樁上之四支超音渡式浪高計陣列蒐集，圖 l為陣列之示意圖，當地平均水深為 15公尺，每兩小時頡取 20分鐘渡浪資料，取樣頻率為 5 Hz '測樁之詳細架構及資料蒐集系統詳見蕭 (994) 。

由於台西地區潮差可達 4公尺以上，浪浪觀測取樣時間內，水位受潮汐影響的變化不容忽視，故資料進行分析前需先濾除潮汐之影響，本文以最小二乘法對潮汐進行濾波處理，詳細方法可參閱李 (1993)。浪向定義為被浪入射的方向，並定義正北為零度，順時鐘方向為正。

4.1 現場方向波譜

考量四支波高計之渡浪紀錄可能分別受到不同程度之系統誤差或雜訊平擾，由圖 20可發現同一時間內，四支波高計測得之一維頻譜並不一致，根據上述現象，本節於分析現場方向波譜時，針對各頻率下四支波高計對應之能量取其中三支較接近者進行分析。為兼顧貝氏推估法之解析能力及計算時間之長短，本章於分析現場方向渡譜之計算過程中，將方

向分段數 K取 32段。

圖21為民國 83年8月21日16時之波浪資料利用員氏推估法分析得之能譜分析圖，其中圖 (a) 為一維頻譜圖，圖中可看出此多峰頻譜之主要週期為 5 秒及 14秒左右，其主頻率為0.209Hz; 圖(b)為兩主頻率對應之方向分佈'其中虛線為 f = 0.073品，實線為 f = 0.209品，

其主浪向分別為 213.75度與 202.5度;圖 (c)為方向渡譜等能量線圖，由圖可發現，波浪大多來自南南西方，其中低頻波浪受折射影響而使波向較為偏西;圖 (d) 則為方向浪譜之立體圖。

由上圖可知，貝氏推估法可以明確地解析出現場波浪各頻率成份浪之波向及能量在方向上之分佈。圖 22為民國 83年10月10日晚上 8點之技浪能譜分析圖，此筆數據為強烈颱風席斯於臺灣北方海面通過後測得之被浪資料，由圖 (a) 可明顯看出，波浪能量在頻率分佈上相當集中，其主頻率為 0.083Hz; 圖(b)為主頻率對應之方向分佈'其主波向為 281.25度;由圖 (c) 可發現波浪的能量在方向上分佈皆集中於西北西之波向;圖 (d) 則為方向搜譜立體圖。

-217-

4.2 波浪資料中頻譜誤差之影響

本文於分析多筆現場被浪資料中發現一些不合理之異常方向分佈，為探討此異常估計之原因，本節將其中一筆分析結果繪於圖 23中。此為民國 83年7 月10日中午 12時之波浪資料分析結果，圖 (a) 為方向波譜圈，由此圖可發現當頻率為 o .1Hz 左右時，各方向皆有能量相近之波浪入射;將頻率為 0.1025Hz 時之方向分佈繪於圖 (b) ，發現其分佈近乎一直線，此一結果並不符合真實物理現象。

為瞭解上述錯誤估計之原因，本文則將上述資料中，四支浪高計量測分析得之未經平滑處理的頻譜圖繪於圖 24 '由圖可發現此筆數據中，四支波高計之頻譜分歧不一致，顯示有誤差影響存在。根據 (2)式知，當計算過程中若頻譜或交錯譜誤差存在時，估計之分佈值將受到影響。

圍的 (a) 、(b) 為上述現場資料中各儀器對之交錯譜。由圖 25(a) 可看出，頻率為0.1025Hz 之交錯譜能量值是微小的，當頻譜或交錯譜存在誤差時，此誤差在計算過程中之影響量將因此放大而易導致錯誤之分析結果。由於現場實測資料無法完全避免上述誤差之存在，故以貝氏推估法分析現場方向渡譜時，若有異常方向分佈產生，應可比較頻譜與交錯譜的差異性，進一步作適當調整。

由上述討論及第四章之模擬驗證知，貝氏推估法分析部份實測波浪資料時產生錯誤之估計，其原因應為頻譜誤差及交錯譜誤差所造成，並非分析方法之解析能力不佳所致。至於頻譜誤差及交錯譜誤差對貝氏推估法分析方向波譜之影響量及其修正方法，有 1恃學者進一步探討。

5 結論與建議本文利用電腦模擬波浪資料> ，驗證貝氏推估法分析方向波譜之適用性，以及比較貝氏

推估法、二階傅利葉級數法與最大概似法之優缺點，並以貝氏推估法分析現場實測之方向波譜，經綜合分析結果可歸納以下幾點結論與建議:

(1)貝氏推估法以分段近似的方式估算波浪方向分佈，不以一固定函數形式表示方向分佈'故在描述渡向分佈時不因函數本身特質而受到限制，不論方向分佈形狀為尖銳、寬廣、對稱與否或雙峰等特性，經由本文模擬驗證結果顯示，貝氏推估法皆能良好估計。

(2) 貝氏推估法分析方向波譜時，考慮資料中存在之隨機誤差，利用超參數 U將平滑函數哥|入計算過程中，使估算結果在法浪方向之分佈特性與光滑連續性兩者適當組合下，即當ABIC 值為最小時，其所對應之分佈為最佳估計之方向分佈。

(3) 貝-氏推估法求取各方向段上獨立之近似值，進而考慮平滑性將各方向段組成一方向分佈，故理論上真有分析非對稱性之能力。經由數值模擬驗證，貝氏推估法確實具有分析非對稱方向分佈的能力。

(4) 經由數值模擬驗證顯示，貝氏推估法能準確掌握雙峰浪向分佈之趨勢，並且其描述能力較二階傅利葉級數法和最大概似法為佳。

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(5) 最大概似法分析方向波譜時，由於未對資料隨機誤差之影響加以修正，故所得分佈易產生扭曲變形的現象。貝氏推估法針對上述缺點，利用平滑函數修正隨機誤差之影響，估計所得結果較最大概似法為佳。

(6) 貝氏推估法易因頻譜及交錯譜誤差影響而產生錯誤估計，故應用於分析現場方向波譜時，應先減小或濾除上述誤差，避免此誤差導致錯誤之判斷。唯頻譜及交錯譜誤差對分析結果在定量上之影響，有待進一步探討。

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圖 5 貝氏推估法分析三種非對稱方向分佈面數國 (S = 75)

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Study on the Wave DirectionalSpectrumAnalysis by the Bayesian Approach

孔1ethod

C.C. Cho1，Laurence Z.H. Chuang2，and C.C. Kao3

AbstractThis study is m叫V干tOOby the works of Hashimoto et al. in 1987 to 叩ply a Bayesian Approach

Method (BAM) on estimating dir前世onal 叩ectra. The relatOOtheorys were reviewOOfir鈍， and reliability of仕Us method was examined through numencal simulation based on proposed spatialMrays of wave probes.Also，the validity of the method is compared with the Finite Fourmr Series Method ovsbomd theMaximum Likelihood Method 仙且品。.Finally，the influence of observOOcross spec凶 biased by noises anderrors on estimating the directional spectrum was discussOO.

TheB 叮esian approach was evaluated on estimating the angular spreading function at each frequencyband consistent with the numerically simulatOO directional 叩 ectra. The unimo 也1 spreading function wassimulated by choosing diEerent directIons and spreading parmmtem.The estimations of the asymmetric or血e bimodaIspreading hnCHon were discussed ，too.The eEects of the hyperparameter ，也e 訂 rayarrangement ，the array dimension and the partitions of the spreading function were also investigatOO.

The methods of FFSM，MLM，and BAM for estimating the angular spreading function were alsocompar吋 against each other for a variety of the simulatOO directional spectra.α 伽臼 methods usOOin 血的paper ，也e Bayesian approach method has been shown to have theMghest directional resolving power-Finally，the effect of the observOO cross spectra bias on the estimatOO dire叫ional spec甘um was presentOOand disαlssed in the shIdy.However ，the quantItativeMUlysis of the innuence ofdle cross spec位a bias onthe estimatOO directional spectrum needs fur也er discussion.

12R臼目rchA 扭扭扭 nt，Department of Hydra叫ics and 0 扭扭 Engineering ，National Cheng Kung Unive 間ity

3A扭曲 íate Reserch 叮" T且nan Hydrau1i臼 Labora個旬，National Cheng K山19Univer 到你

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