66 Ⅱ . 함수의 극한과 연속 2 소득이 있는 우리나라 국민은 소득세 납부의 의무가 있다. 소득세는 개인이 회사에서 월급을 받거나, 장사를 해서 이익이 났을 경우에 그 개인의 소득에 대 하여 납부하는 세금이다. 특히 회사에서 받는 월급이 개인의 주 소득일 경우에 그 개인을 근로 소득 자라고 하며, 근로 소득에 대한 세금을 근로 소득세라고 한다. 하지만 소득이 많은 사람과 적은 사람이 모두 똑같이 세금을 내는 것은 아니다. 국세청에서는 소 득이 높아 과세 표준 금액이 많은 사람에게는 더 높은 세율을 통해 누진세를 부과하고 있다. 2012년 9월 개인의 과세 표준 금액에 대한 기본세율은 다음과 같다. 그런데 과세 표준 금액의 경계에 있는 사람은 소득 차이가 얼마 나지 않더라도 세율이 크게 달라지는 불합리한 면이 있다. 이 단원을 배우면서 다음 과제를 해결하여 보자. 71`쪽 근로 소득세 부과의 불합리한 면을 보완할 수 있는 방법은 무엇일까? 함수의 연속 1200 4600 8800 30000 과세 표준 금액(만 원) 세액 (만 원) O 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 과세 표준 금액 1200만 원 이하 1200만 원 초과 4600만 원 이하 4600만 원 초과 8800만 원 이하 8800만 원 초과 3억 원 이하 3억 원 초과 <국세청, http://www.nts.go.kr> 세율 6% 15 % 24 % 35 % 38 % 근로 소득 간이세액표
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66 Ⅱ.함수의극한과연속
2소득이있는우리나라국민은소득세납부의의무가있다.
소득세는개인이회사에서월급을받거나, 장사를해서이익이났을경우에그개인의소득에대
하여납부하는세금이다. 특히회사에서받는월급이개인의주소득일경우에그개인을근로소득
자라고하며, 근로소득에대한세금을근로소득세라고한다.
하지만소득이많은사람과적은사람이모두똑같이세금을내는것은아니다. 국세청에서는소
득이높아과세표준금액이많은사람에게는더높은세율을통해누진세를부과하고있다.
2012년9월개인의과세표준금액에대한기본세율은다음과같다.
그런데과세표준금액의경계에있는사람은소득차이가얼마나지않더라도
세율이크게달라지는불합리한면이있다.
이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 71̀쪽
근로소득세부과의불합리한면을보완할수있는방법은무엇일까?
함수의연속
1200 4600 8800 30000과세 표준 금액(만 원)
세액(만 원)
O
100020003000400050006000700080009000
10000110001200013000
과세표준금액
1200만원이하
1200만원초과 4600만원이하
4600만원초과 8800만원이하
8800만원초과 3억원이하
3억원초과
<국세청, http://www.nts.go.kr>
세율
6 %
15 %
24 %
35 %
38 %
근로소득간이세액표
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:34 PM 페이지66 mac02 T
2.함수의연속 67
함수 f(x)=x+1에서
f̀(x)=f(1)
이성립하고, 그그래프는오른쪽그림과같이x=1에서
연결되어있다.
그러나함수 g(x)= 에서
g̀(x)+g(1)
이성립하고, 그그래프는오른쪽그림과같이x=1에서
끊어져있음을알수있다.
limx⁄1
x¤ -1112 (x+1)x-1
1 (x=1)
({9
limx⁄1
01●함수의연속의뜻을안다.
함수의연속
함수의 연속이란 무엇인가?
탐구 활동 다음은세함수 y=f(x), y=g(x), y=h(x)의그래프이다. 다음물음에답하여보자.
㉠ ㉡ ㉢
1. x=1에서의함숫값이존재하는그래프를찾아보자.
2. x ⁄ 1일때의극한값이존재하는그래프를찾아보자.
3. x=1에서의함숫값과 x ⁄ 1일때의극한값이같은그래프를찾아보자.
생각 열기
O x
y
1
y=f{x}
21
O x
y
1
1
y=Ì{x}
21
O x
y
1
1
y=h{x}
함수가 정의되지 않는 점에
서도극한값은존재할수있다.
1
2
1
-1
y=f{x}
O x
y
1
2
1
-1
y=Ì{x}
O x
y
그래프가어떤점에서
끊어지지않았다는걸
어떻게알수있을까?
그래프를직접
그려보면되지.
그래프를그려야만
알수있는거야?
아니, 함수의극한을
이용해서알아볼
수도있어.
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:34 PM 페이지67 mac01 T
68 Ⅱ.함수의극한과연속
일반적으로함수 f(x)가실수 a에대하여다음조건을만족시킬때, 함수 f(x)는
x=a에서연속이라고한다.
한편함수 f(x)가 x=a에서연속이아닐때, 함수 f(x)는 x=a에서불연속이라
고한다. 즉, 함수 f(x)가❶, ❷, ❸ 중에서어느한가지라도만족시키지않으면
f(x)는x=a에서불연속이다.
예제 01
⑴함수 f(x)=x¤ +x에대하여
❶ f(1)=2
❷`f(x)=2
❸`f(x)=f(1)
따라서 f(x)는 x=1에서연속이다.
⑵함수 g(x)=‡ 에대하여
❶ g(1)=1
❷`g(x)=2
❸`g(x)+g(1)
따라서 g(x)는 x=1에서불연속이다.
답 ⑴연속 ⑵불연속
limx⁄1
limx⁄1
x+1 (x+1)
1 (x=1)
limx⁄1
limx⁄1
다음함수가 x=1에서연속인지불연속인지조사하여라.
⑴ f(x)=x¤ +x ⑵ g(x)=‡
x+1 (x+1)
1 (x=1)
풀이 y=f{x}
-1 O x
y
1
2
1
2
1
-1
y=Ì{x}
O x
y
다음함수가 x=2에서연속인지불연속인지조사하여라.
⑴ f(x)=x¤ -1 ⑵ f(x)=
⑶ f(x)=‡ ⑷ f(x)=
x¤ -3x+2111132 (x+2)x-2
1 (x=2)
({9
'ƒx-2 (xæ2)
-1 (x<2)
x¤ -4111x-2
1문제
❶함숫값 f(a)가정의되어있다. 즉, a는함수 f의정의역에속한다.
❷극한값 f(x)가존재한다.
❸ f(x)=f(a)limx ⁄a
limx ⁄a
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.30 10:32 AM 페이지68 mac02 T
2.함수의연속 69
이제어떤범위에서함수의연속에대하여알아보자.
먼저어떤범위에속하는모든실수를기호로나타내는방법에대하여알아보자.
두실수 a, b (a<b)에대하여실수의집합
{x|a…x…b}, {x|a<x<b}
{x|a…x<b}, {x|a<x…b}
를각각구간이라하고, 차례로기호
[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]
와같이나타낸다.
이때 [a, b]를닫힌구간, (a, b)를열린구간이라하고,
[a, b), (a, b]를반닫힌구간또는반열린구간이라고한다.
또실수의집합
{x|x…a}, {x|x<a}
{x|xæa}, {x|x>a}
도구간이라하고, 차례로기호
(-¶, a], (-¶, a), [a, ¶), (a, ¶)
와같이나타낸다.
특히실수전체의집합도하나의구간으로보고, 기호로(-¶, ¶)와같이나타낸다.
함수 f(x)가어떤열린구간의모든점에서연속일때, 함수 f(x)는그구간에서
연속이라고한다.
또닫힌구간 [a, b]에서정의된함수 f(x)가열린구간 (a, b)에서연속이고
f̀(x)=f(a), f̀(x)=f(b)
일때, 함수 f(x)는구간 [a, b]에서연속이라고한다.
일반적으로함수 f(x)가정의역전체에서연속일때, 함수 f(x)를연속함수라고
한다.
limx⁄b-
limx ⁄a+
[a,`b]
{a,`b}
[a,`b}
{a,`b]a b
a b
a b
a b
{- ,`a}
{- ,`a] a
a
{a, }
[a, }a
a
다음함수의정의역을구간의기호를이용하여나타내어라.
⑴ f(x)= ⑵ f(x)="√4-x¤2113
x-1
2문제
⑴함수 f(x)='ƒx+1의정의역을구간의기호로나타내면 [-1, ¶)이다.
⑵함수 g(x)=;[!;의정의역을구간의기호로나타내면 (-¶, 0)'(0, ¶)이다.
⑶함수 h(x)=x¤의정의역을구간의기호로나타내면 (-¶, ¶)이다.
보기
반열린구간이나구간
[a, ¶), (-¶, a]에서의함수
의 연속도 마찬가지 방법으로
정한다.
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:34 PM 페이지69 mac01 T
70 Ⅱ.함수의극한과연속
예를들어함수 f(x)='ƒx-1은
⁄ 구간 (1, ¶)에서연속이고
¤ f(x)=f(1)
이므로함수 f(x)는구간 [1, ¶)에서연속이다.
또함수 g(x)=x¤ 은
⁄ 열린구간 (1, 2)에서연속이고
¤ g̀(x)=g(1), g̀(x)=g(2)
이므로함수 g(x)는구간 [1, 2]에서연속이다.
limx⁄2-
limx⁄1+
limx⁄1+
O x
y
f{x}=Âx°-·1·
1
O x
y
21
1
4
Ì{x}=x@
다음함수가연속인구간을구하여라.
⑴ f(x)=x¤ -3x-4 ⑵ f(x)='ƒ2x+3 ⑶ f(x)=2x+1111x-1
3문제
함수 f(x)= 의연속성을조사하여라.x« -11124x« +1
limn⁄¶4문제
예제 02x의값에따라구간을나누어함수 f(x)를구하면다음과같다.
⁄ |x|<1일때, x¤ « =0이므로 f(x)= =0
¤ |x|>1일때, x¤ « =¶이므로 f(x)= = =1
‹ |x|=1일때, x¤ « =1이므로 f(x)= =
f(x)=
따라서함수 f(x)는 x=1, x=-1에서불연속이고, 그밖의모든점에서연속이다.
답 x=1, x=-1에서불연속, 그밖의모든점에서연속
0 (|x|<1)
1 (|x|>1)
;2!; (|x|=1)
(\{\9
112
x¤ «111x¤ « +1
limnڦ
limnڦ
111121
1+12x¤ «
limnڦ
x¤ «111x¤ « +1
limnڦ
limnڦ
x¤ «111x¤ « +1
limnڦ
limnڦ
함수 f(x)= 의연속성을조사하여라.x¤ «1123
x¤ « +1limn⁄¶
풀이
O x
y
21
1
-1 1
y=f{x}
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:34 PM 페이지70 mac02 T
2.함수의연속 71
함수 f(x)= 가모든실수 x에서연속이되도록하는실수 a, b의값
을구하여라.
'ƒx+3+a11113 (x+1)x-1
b (x=1)
({95문제
예제 03
함수 f(x)가모든실수 x에서연속이려면 x=2에서연속이어야하므로
`f(x)=f(2)에서 =b yy`①
의값이존재하고 (x-2)=0이므로
(x¤ -ax+2)=0에서 a=3
a=3을①에대입하면
= = (x-1)=1=b
따라서 a=3, b=1
답 a=3, b=1
limx⁄2
(x-2)(x-1)1111112x-2
limx⁄2
x¤ -3x+2111123x-2
limx⁄2
limx⁄2
limx⁄2
x¤ -ax+2111123x-2
limx⁄2
x¤ -ax+2111123x-2
limx⁄2
limx⁄2
함수 f(x)= 가 모든 실수 x에서 연속이 되도록 하는 실수 a, b
의값을구하여라.
x¤ -ax+2111123 (x+2)x-2
b (x=2)
({9
풀이
앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.
근로 소득세 부과의 불합리한 면
을보완하기위하여국세청에서는
‘누진 공제’방법을 사용하여 세금
을 부과하고 있다. 즉, 오른쪽 표
와 같이 과세 표준 금액에서 누진
공제 금액 만큼을 빼서 세액이 급
격하게변화하지않도록하고있다.
과세표준금액을 x만원, 세액을 f(x)만원이라고할때, 물음에답하여라.
⑴함수 f(x)를구하여라.
⑵함수 f(x)가 x=1200에서연속인지불연속인지조사하여라.
⑶함수 f(x)가 x=4600에서연속이되도록하는상수 k의값을구하여라.
과세표준금액
1200만원이하
1200만원초과 4600만원이하
4600만원초과 8800만원이하
8800만원초과 3억원이하
3억원초과
(세액)=(과세표준금액)_(세율)-(누진공제)
세율
6 %
15 %
24 %
35 %
38 %
누진공제
-
108만원
k만원
490만원
900만원
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:34 PM 페이지71 mac02 T
72 Ⅱ.함수의극한과연속
02●연속함수의성질을이해하고, 이를활용할수있다.
연속함수의성질
연속함수에 대한 성질은 어떠한가?
탐구 활동 두함수 f(x)=x¤ , g(x)=x-1은 x=1에서연속이다. 다음 세 학생의의견중잘못된
의견을찾고, 그 이유를설명하여보자.
두함수 f(x), g(x)가x=a에서연속이면
f̀(x)=f(a), g̀(x)=g(a)
이므로함수의극한에대한성질에의하여
c̀f(x)=c f(x)=cf(a) (단, c는상수)
`{ f(x)+g(x)}= f(x)+ g̀(x)=f(a)+g(a)
`{ f(x)-g(x)}= f(x)- g̀(x)=f(a)-g(a)
f(x)g(x)= f(x)¥ g̀(x)=f(a)g(a)
가성립한다. 특히 g(a)+0이면
= =
가성립한다.
따라서함수 cf(x), f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), 도 x=a에서
연속이다.
f(x)112g(x)
f(a)112g(a)
lim f(x)x⁄a1111lim g(x)x⁄a
f(x)112g(x)limx ⁄a
limx⁄a
limx⁄a
limx ⁄a
limx⁄a
limx⁄a
limx ⁄a
limx⁄a
limx⁄a
limx ⁄a
limx⁄a
limx ⁄a
limx ⁄a
limx ⁄a
f(x)+g(x)=x¤ +x-1
도x=1에서연속이야.
f(x)g(x)=x‹ -x¤ 도
x=1에서연속이야.= 도
x=1에서연속이야.
x¤113x-1
f(x)113g(x)
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:34 PM 페이지72 mac02 T
2.함수의연속 73
일차함수 y=x는모든실수에서연속이므로연속함수의성질⑶에의하여이함수
의곱으로나타나는함수
y=x¤ , y=x‹ , y, y=x« (n은자연수)
도모든실수에서연속이다.
따라서연속함수의성질⑴, ⑵에의하여이들함수에상수를곱하여더한다항함수
f(x)=a«x« +a«–¡x« —⁄ +y+a¡x+aº (a«, a«–¡, y, a¡, aº은상수)
도모든실수에서연속이다.
또유리함수는두다항식의몫
f(x)= (P(x), Q(x)는다항식)
의꼴로나타나므로연속함수의성질⑷에의하여분모를 0으로하는 x의값을제외
한모든실수에서연속이다.
P(x)112Q(x)
이상을정리하면다음과같다.
연속함수의성질
두함수 f(x), g(x)가 x=a에서연속이면다음함수도모두 x=a에서연속이다.
⑴ cf(x) (̀단, c는상수) ⑵ f(x)—g(x)
⑶ f(x)g(x) ⑷ (̀단, g(a)+0)f(x)112g(x)
⑴함수 f(x)=x¤ -2x-3은모든실수에서연속이다.
⑵함수 g(x)= 는 x+-1인모든실수에서연속이다.2x113x+1
보기
다음함수의연속성을조사하여라.
⑴ f(x)=-x¤ +4 ⑵ f(x)=(3x+1)(x‹ -2) ⑶ f(x)=2x113
x+2
1문제
유리함수중실수전체의집합에서연속인예를말하여보자.
사고력기르기▶추론
▶의사소통
▶문제 해결 유리함수는분모를
0으로하는x의값에서
불연속이지?
음~
그렇지.
그럼, 유리함수는
항상모든실수에서
연속이될수없겠네.
글쎄……. 그렇지
않은예를찾아볼까?
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74 Ⅱ.함수의극한과연속
최대·최소 정리란 무엇인가?
위의그래프에서기온은측정시각에따라연속적으로변하므로일정한범위에서
반드시최댓값과최솟값을가진다.
이를테면닫힌구간 [-2, 1]에서연속인함수 f(x)=x¤
은이구간에서 x=-2일때최댓값 4를가지고, x=0일
때최솟값 0을가진다.
한편열린구간 (-2, 1)에서함수 f(x)=x¤ 은이구간
에서최댓값은갖지않고최솟값만을가진다.
일반적으로닫힌구간에서연속인함수에대하여다음과
같은최대·최소정리가성립한다.
1
1
4
-2
y=x@최댓값
최솟값
O x
y
최대·최소정리
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이면, f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값
을가진다.
닫힌 구간 [-1, 2]에서 함수 f(x)=2x¤ -4x-3은 연속이
므로최댓값과최솟값을가진다.
즉, 치역이 닫힌 구간 [-5, 3]이므로 x=-1일 때 최댓값
은 3이고, x=1일때최솟값은-5이다.
보기
닫힌 구간이 아닌 구간에서
정의된 연속함수는 최댓값과
최솟값을갖지않을수도있다.
1
1
4
-2
y=x@
최솟값
O x
y
다음주어진구간에서함수 f(x)의최댓값과최솟값을구하여라.
⑴ f(x)=-x¤ -2x+3 [-2, 1] ⑵ f(x)= [2, 5]
⑶ f(x)='ƒ2-x [-3, 2]
2113x-1
2문제
O x
y
1
3
-3
-5
2-1
y=2x@-4x-3
오른쪽그래프는어느날오전 6시부터오후 6시까지
12시간 동안 기온 변화를 측정하여 나타낸 것이다.
다음물음에답하여보자.
1. 기온이최대일때의시각과온도를말하여보자.
2. 기온이최소일때의시각과온도를말하여보자.
O 시각(시)
기온(æC)
6
5
16
22
15 18
탐구 활동
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:34 PM 페이지74 mac01 T
2.함수의연속 75
사이값 정리란 무엇인가?
김포 공항에서 제주 공항까지 가는 비행기에 탑승한
채영이는 이륙 후 기내의 화면에서 현재 고도가
5638 m임을확인하였다. 다음물음에답하여보자.
1. 이륙후부터착륙시까지비행기의고도는연속적으
로변하겠는가?
2. 착륙 시까지 비행기의 고도가 5000 m인 순간이 반
드시있다고할수있는지말하여보자.
비행기의 고도는 연속적으로 변하므로
시간에따른고도의그래프는연속이다. 따
라서 현재 고도가 5638 m이므로 이륙 후
5000 m인순간과착륙전 5000 m인순간
이반드시존재한다고할수있다.
이를테면함수 f(x)=x¤ 은닫힌구간 [1, 2]에서연속
이므로 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 두 점
A(1, 1), B(2, 4) 사이에서이어져있다.
따라서 1<k<4인임의의 k에대하여 x축에평행한직
선 y=k는이그래프와적어도한점에서만난다.
즉, 1과 4 사이의임의의값 k에대하여 f(c)=k인 c가
열린구간 (1, 2)에적어도하나존재한다.
일반적으로닫힌구간에서연속인함수에대하여다음과같은사이값정리가성립
한다.
10
500056388400
60시간(분)
고도(m)
O
10분간 순항
y=k
1
4
1 2c
y=x@
k
A
B
O x
y
사이값정리
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)+f(b)
이면, f(a)와 f(b) 사이의임의의값 k에대하여
f(c)=k (a<c<b)
인 c가적어도하나존재한다.
O x
y
y=k
y=f{x}
ba
k
f{b}
f{a}
c™c¡ c£
탐구 활동
비행기의고도변화
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:34 PM 페이지75 mac02 T
76 Ⅱ.함수의극한과연속
특히함수 f(x)가닫힌구간 [a, b]에서연속이고 f(a)
와 f(b)의부호가서로다르면, f(c)=0인 c가열린구간
(a, b)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 f(x)=0은
열린구간 (a, b)에서적어도하나의실근을가진다.
예제 01f(x)=x‹ +3x-2라고하면함수 f(x)는닫힌구간 [0, 1]에서연속이고
f(0)=-2<0, f(1)=2>0
이므로사이값정리에의하여 f(c)=0인 c가열린구간 (0, 1)에적어도하나존재
한다.
즉, 방정식 x‹ +3x-2=0은열린구간 (0, 1)에서적어도하나의실근을가진다.
방정식 x‹ +3x-2=0은열린구간 (0, 1)에서적어도하나의실근을가짐을보여라.
풀이
다음방정식이주어진구간에서적어도하나의실근을가짐을보여라.
⑴ x‹ -3x+1=0 (1, 2) ⑵ -5x+1=0 { , 1}112
31x
3문제
다음물음에답하여라.
⑴열린구간에서연속이지만, 최댓값또는최솟값을갖지않는예를찾아라.
⑵함수 f(x)가닫힌구간 [a, b]에서연속이고 f(a)와 f(b)의부호가같을때,
f(c)=0인 c가열린구간 (a, b)에존재하는지설명하여라.
4문제
발전
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 도형이 있다. 이 도형의
넓이를 y축과 평행한 직선으로 이등분할 수 있는지를 사이
값정리를이용하여설명하여라.
창up의
O x
y
O x
y y=f{x}
f{b}
f{a}
abc¡c¡ c£
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:34 PM 페이지76 mac02 T
2.함수의연속 77
중단원 기초 수준별학습
1 다음함수가 x=0에서연속이아닌이유를설명하여라.
⑴ ⑵
O x
y y=f{x}
1
2
O x
y y=f{x}
1
2
3 두함수 f(x)=x+1, g(x)=x¤ -3x+2에대하여다음함수가연속인 x값
의범위를구간의기호로나타내어라.
⑴ 2f(x)+g(x) ⑵ f(x)g(x) ⑶f(x)112g(x)
01 함수의연속
2 다음함수가연속인 x값의범위를구간의기호로나타내어라.
⑴ f(x)='ƒ5-x ⑵ f(x)= ⑶ f(x)=22112x+1
01 함수의연속
02 연속함수의성질
4 다음함수가주어진구간에서최댓값과최솟값을가지면그값을구하여라.
⑴ f(x)=x¤ -6x+4 [-2, 3]
⑵ f(x)= [1, 4]2x+11123x-1
최대·최소 정리
02 연속함수의성질
5 다음방정식이주어진구간에서적어도하나의실근을가짐을보여라.
⑴ x‹ +3x-2=0 (-1, 1)
⑵ x› +x‹ -8x+1=0 (1, 2)
사이값 정리
02 연속함수의성질
[̀해답 p.̀198 ]̀
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:34 PM 페이지77 mac01 T
78 Ⅱ.함수의극한과연속
중단원 기본 수준별학습
4 두함수 f(x), g(x)가 x=a에서연속일때, 다음함수중 x=a에서항상
연속인함수의개수를구하여라. (단, g(a)+0이고 g(x)의치역은 f(x)의
정의역에포함된다.)
1 -2…x…2에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프
가오른쪽그림과같을때, 이구간에서함수 f(x)
의극한값이존재하지않는점의개수를 a, f(x)
가불연속인점의개수를 b라할때, a+b의값을
구하여라.
01 함수의연속
3 함수 f(x)= 가 x=1에서연속이되도록상수 a의값을구하
여라.
x« ±⁄ +a11125x« +1
limnڦ
01 함수의연속
2 함수 f(x)=
가 x=0에서연속이되도록상수 a의값을구하여라.
'ƒ1+x-'ƒ1-x11111123 (x+0)x
a (x=0)
({9
01 함수의연속
02 연속함수의성질
O x
y
21
-2-1
-1
21
㉠ f(x)-2g(x) ㉡ { f(x)}¤
㉢ ㉣ f(g(x))f(x)112g(x)
5 방정식 x¤ -2x+k=0이 구간 (1, 3)에서 실근을 갖도록 하는 실수 k값의
범위를구하여라. 사이값 정리
02 연속함수의성질
[̀해답 p.̀199]
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.9 2:16 PM 페이지78 mac01 T
2.함수의연속 79
중단원 실력 수준별학습
4 연속함수 f(x)가모든실수 x에대하여 f(x)=f(-x)를만족시키고
f(0)f(1)<0, f(2)f(3)<0일 때, 방정식 f(x)=0은 적어도 몇 개의 실근
을갖는지구하여라.
3 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
다음의함수 y=g˚(x) (k=1, 2, 3)의그래프중함
수 y=f(x)g˚(x)가 구간 [-1, 3]에서 연속이 되는
것을모두찾아라. O x
y
2
-1 32
y=f{x}
1 함수 f(x)= 가모든실수 x에서연속이되도록상수
a, b의값을구하여라.
x¤ « ±⁄ +ax+b1111114x¤ « +1
limnڦ
2 함수 f(x)=x¤ + + + +y에대하여다음물
음에답하여라.
⑴함수 f(x)의그래프를그려라.
⑵함수 f(x)가불연속인 x의값을구하여라.
x¤11115(1+x¤ )‹
x¤11115(1+x¤ )¤
x¤11241+x¤
㉠ ㉡ ㉢
O x
yy=Ì£{x}1
-1-1 2
3
-1 3
2 y=Ì™{x}
O x
y
O x
y
1
1-1 3
y=Ì¡{x}
01 함수의연속
01 함수의연속
02 연속함수의성질
사이값 정리
02 연속함수의성질
[̀해답 p.̀199 ]̀
(048~085)232교과2(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:34 PM 페이지79 mac01 T
80 Ⅱ.함수의극한과연속
이분법(Bisection method)
함수 f(x)가닫힌구간 [a, b]에서연속이고 f(a)f(b)<0이면, 사이값정리에의하여
방정식 f(x)=0의실근이열린구간 (a, b)에적어도하나존재한다.
이때열린구간 (a, b)를계속절반으로줄여가면서사이값정
리를 이용하면 방정식 f(x)=0의 실근에 가까운 값을 구할 수
있다. 즉, 구간 [a, ]와구간 [ , b]에사이값정리를
다시한번적용하면실근이둘중적어도한곳에반드시있다고
말할수있다.
이와같이주어진구간을절반씩나누어반드시실근이존재하
는구간을선택하는과정을반복하면방정식 f(x)=0의실근에거의가까운값을원하
는만큼정확하게구할수있다. 이런방법을이분법(Bisection method)이라고한다.
a+b1122
a+b1122
예를들어 f(x)=x‹ +3x-1이라고하면, 함수 f(x)는닫힌구간 [0, 1]에서연속이고