This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Для заданной функции f (x) вычислить значение определенногоинтеграла
I =
∫baf (x)dx .
Желательно, чтобы метод численного интегрирования обладалследующими свойствами:• Универсальность. Функция f (x) может быть задана в виде«черного ящика», как способ вычисления f (x) по данному x .
• Экономичность. Количество вычислений функции f (x) повозможности должно быть сведено к минимуму.
• Хорошая обусловленность. Неустранимые погрешности ∆f взначениях f (x) не должны приводить к значительной итоговойошибке ∆I .
Уткин П.С. Интегрирование 2 / 45
Численное интегрирование Введение
Приложения
Численное интегрирование может применяться для• интегрирования функций, известных только в некоторых точках,например, полученных в результате измерений;
• интегрирования сложных выражений, не имеющих элементарныхпервообразных, либо имеющих слишком громоздкие выражениядля них;
• построения методов численного решения уравнений вобыкновенных и частных производных (методы конечныхэлементов, интегро-интерполяционные методы).
Уткин П.С. Интегрирование 3 / 45
Численное интегрирование Простейшие методы
Методы, основанные на определении интеграла
Вспомним, как определяется определенный интеграл Римана.Рассмотрим на отрезке интегрирования [a, b] сеткуa = x0, x1, . . . , xN = b. Возьмем от каждого отрезка по однойточке-представителю ξi ∈ [xi−1, xi ] и составим интегральную сумму
SN =
N∑i=1
f (ξi )∆xi
Значение интеграла определяется как предел при max∆xi → 0значений интегральных сумм:∫b
af (x)dx = lim
max∆xi→0
N∑i=1
f (ξi )∆xi
Уткин П.С. Интегрирование 4 / 45
Численное интегрирование Простейшие методы
Формула прямоугольников
Возьмем в качестве приближенного значения интеграла значениенекоторой интегральной суммы:∫b
af (x)dx ≈ SN =
N∑i=1
f (ξi )∆xi .
Возьмем в качестве ξi середину отрезка [xi−1, xi ]:∫baf (x)dx ≈
N∑i=1
f
(xi−1 + xi
2
)∆xi .
Методы численного интегрирования называют квадратурнымиформулами или просто квадратурами. Данный метод называетсяформулой средней точки или формулой средних прямоугольников.
Уткин П.С. Интегрирование 5 / 45
Численное интегрирование Простейшие методы
Формула средних прямоугольников
∫baf (x)dx ≈
N∑i=1
f
(xi−1 + xi
2
)∆xi .
Уткин П.С. Интегрирование 6 / 45
Численное интегрирование Простейшие методы
Формулы односторонних прямоугольников
Выбор в качестве ξi средней точки интервала не принципиален, можновзять, например, левый или правый конец интервала.Соответствующие формулы называются формулами левых и правыхпрямоугольников.
∫baf (x)dx ≈
N∑i=1
f (xi−1)∆xi .
∫baf (x)dx ≈
N∑i=1
f (xi )∆xi .
Уткин П.С. Интегрирование 7 / 45
Численное интегрирование Простейшие методы
Составные квадратурные формулы
Построенные формулы прямоугольников являются составнымиквадратурными формулами. Квадратурная формула называетсясоставной, если является результатом применения некоторойэлементарной квадратурной формулы к каждому интервалу [xi−1, xi ].
Элементарная квадратура Составная квадратура∫baf (x)dx ≈ (b − a)f
(a + b
2
) ∫baf (x)dx ≈
N∑i=1
f
(xi−1 + xi
2
)∆xi∫b
af (x)dx ≈ (b − a)f (a)
∫baf (x)dx ≈
N∑i=1
f (xi−1)∆xi∫baf (x)dx ≈ (b − a)f (b)
∫baf (x)dx ≈
N∑i=1
f (xi )∆xi
Будем дальше строить только элементарные квадратурные формулы,составные получаются из них тривиально.
Пусть подынтегральная функция f (x) хорошо приближается некоторойпросто интегрируемой функцией P(x). Тогда∫b
af (x)dx ≈
∫baP(x)dx .
В качестве функции P(x) могут выступать• многочлены;• тригонометрические многочлены;• экспоненциальные многочлены и тому подобные.
Остановимся на случае, когда P(x) — многочлен. Тогда задачаприближения f (x) с помощью функции P(x) может быть решена,например, с помощью алгебраической интерполяции.
является универсальным, и мог быть написан из общих соображенийлинейности квадратурной формулы по значениям подынтегральнойфункции (по аналогии с линейностью самого интеграла).Величины wk называются весами квадратурной формулы. Веса независят от конкретного отрезка интегрирования, и могут бытьвычислены на некотором «стандартном» отрезке. Обычно используютотрезок [0, 1] или [−1, 1].Соответственно xk называются узлами квадратурной формулы. Онитакже обычно приводятся для стандартного отрезка, а дляконкретного отрезка [a, b] они получаются линейным преобразованием.
Будем говорить, что квадратурная формула имеет алгебраическуюстепень точности m, если она точно интегрирует все многочленыстепени не более m, а некоторые многочлены степени m + 1 уже нет.Например, формула средней точки имеет алгебраическую степень 1:она точна для всех линейных функций∫b
a(αx + β)dx = (b − a)β+ α
b2 − a2
2= (b − a)
(αa + b
2+ β
)и не точна для 3x2∫b
a3x2dx = b3 − a3 = (b − a)(a2 + ab + b2) 6= (b − a)
Утверждение 5.2.Для того, чтобы квадратурная формула имела алгебраическуюстепень m необходимо и достаточно, чтобы она точно интегрировалафункции 1, x , x2, . . . , xm.
Функционал E [f ] назовем остаточным членом квадратуры или просто,погрешностью квадратуры.Если квадратура имеет алгебраическую степень m, то E [Pm] ≡ 0.
— функция, зависящая только от конкретного вида квадратурнойформулы и ее степени m. Заметим, что Q(t) достаточно вычислитьтолько для стандартного отрезка τ ∈ [−1, 1].
Теперь ясна связь между алгебраическим порядком квадратурнойформулы и порядком сходимости:
Утверждение 5.3.Для составной квадратурной формулы алгебраической степени m ееостаточный член стремится к нулю как O(hm+1), где h — шаг сеткисоставной формулы. Иначе говоря, формула имеет порядоксходимости m + 1.
Недостаточная гладкостьЕсли m + 1-я производная функции f (x) не ограничена, остаточныйчлен квадратурной формулы m-ой степени может стремиться к нулюмедленнее, чем O(hm+1). Остаточный член может быть найден тем жеспособом, но с заменой m на m ′ < m, где m ′ + 1 — числоограниченных производных у f (x).
Оценки остаточного члена при недостаточной гладкости
Построим для формулы Симпсона (m = 3) оценку остаточного членадля функции f (x) только с тремя (m ′ = 2) ограниченнымипроизводными. Построим функцию q(τ):
q(τ) =
∫1τ
(ξ− τ)m′dξ− 2
∑xik>τ
wk(ξk − τ)m ′
=
=(1− τ)3
3−
13(1− τ)2 −
43(−τ)2+ = −
τ(1− τ)2
3−
13(|τ|− τ)2 =
= −τ(|τ|− 1)2
3
Функция q(τ) не знакопостоянна на [−1, 1], и, следовательно,
Оценки остаточного члена при недостаточной гладкости
Построим для формулы Симпсона (m = 3) оценку остаточного членадля функции f (x) только с двумя (m ′ = 1) ограниченнымипроизводными. Построим функцию q(τ):
q(τ) =
∫1τ
(ξ− τ)m′dξ− 2
∑xik>τ
wk(ξk − τ)m ′
=
=(1− τ)2
2−
13(1− τ) −
43(−τ)+ =
(1− 3τ)(1− τ)6
−23(|τ|− τ) =
=16+τ2
2− 2
|τ|
3
Функция q(τ) не знакопостоянна на [−1, 1], и, следовательно,
|E [f ]| ≤ M2(b − a)3
23 · 1!
∫1−1
|q(τ)|dτ =M2(b − a)3
81
Уткин П.С. Интегрирование 30 / 45
Численное интегрирование Апостериорное определение погрешности
Апостериорные оценки
• Построенные формулы и оценки для остаточного членаинтегрирования являются априорными3. На практике оценитьмаксимум нужной производной бывает сложно или вообщеневозможно (например, функция f (x) — «черный ящик»).
• Широкое распространение получили способы оценить ошибкупрямо в процессе вычислений. Оценки такого типа называютсяапостериорными4.
• Пусть I ∗ — точное значение интеграла, а Ih — приближенноезначение, вычисленное на сетке с шагом h по квадратурнойформуле порядка p (то есть степени p − 1):
I ∗ = Ih + E [f ] = Ih + (b − a)f (p)(ζ)hp
C
3лат. a priori — «от предшествующего», оценки известны до вычислений.4лат. a posteriori — «из последующего»
Уткин П.С. Интегрирование 31 / 45
Численное интегрирование Апостериорное определение погрешности
Правило Рунге
Сделаем предположение, что в выражении
I ∗ = Ih + E [f ] = Ih + (b − a)f (p)(ζ)hp
C
точка ζ слабо зависит от h:
I ∗ = Ih + chp + o(hp),
где c — константа и не зависит от h. Величина
εh = chp
может считаться главным членом ошибки (то есть ошибкой сточностью до бесконечно малой по h поправки).
Уткин П.С. Интегрирование 32 / 45
Численное интегрирование Апостериорное определение погрешности
Правило Рунге
Вычислим интеграл несколько раз на серии сгущающихся сеток сшагами h, h/2, h/4, . . . :
Численное интегрирование Апостериорное определение погрешности
Правило Рунге
Правило Рунге позволяет просто оценить главный член погрешностивычислении интеграла на мелкой сетке:
εh/2 =Ih/2 − Ih
2p − 1+ o(h).
Использование правила Рунге требует осторожности. Требуетсяконтролировать что фактический порядок сходимости численногометода соответствует номинальному p. Фактический порядок p∗
может в силу некоторых обстоятельств (например, недостаточнаягладкость f (x)) быть меньше номинального порядка сходимости p.Простейший способ контроля — следить за выполнением соотношения
p∗ ≡ log2∆h
∆h/2≈ p.
Уткин П.С. Интегрирование 34 / 45
Численное интегрирование Апостериорное определение погрешности
Использование правила Рунге, пример 1
Интегрирование методом Симпсона p = 4 функции 1√xна [1, 9].
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Степень интерполяционных формул
Утверждение 5.4Формулы интерполяционного типа, построенные по s + 1 узлугарантированно будут иметь алгебраическую степень не менее s.
Доказательство.На сетке из s + 1 узла интерполяция точно восстанавливаетмногочлены до степени s включительно. Следовательно, иквадратурная формула будет интегрировать их точно.
Формулы Ньютона-Котеса с нечетным количеством узлов имеютстепень на 1 выше, чем гарантируется утверждением 5.4:
Формула Количество узлов, s + 1 Алгебраическая степень, m
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Условия повышения степени
Пусть I [f ] =s∑
k=0
wk f (xk) — интерполяционная квадратурная формула.
Рассмотрим произвольный многочлен P(x), степени выше s. Разделимего с остатком на многочлен ω(x) =
∏sk=0(x − xk):
P(x) = V (x)ω(x) + Z (x).
Многочлен Z (x) имеет степень не выше s, и, следовательно,интегрируется точно E [Z ] = 0. Тогда ошибка интегрирования P(x)составляет
E [P] = E [Vω] =
∫baV (x)ω(x)dx − I [Vω] =
∫baV (x)ω(x)dx
Квадратурная формула для V (x)ω(x) дает 0 поскольку эта функцияобнуляется во всех узлах xk .
Уткин П.С. Интегрирование 38 / 45
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Условия повышения степени
Для многочленаP(x) = V (x)ω(x) + Z (x)
ошибка квадратурной формулы составляет
E [P] =
∫baV (x)ω(x)dx .
Например, для формулы Симпсона последний интеграл обнуляется,если V (x) = V — константа∫b
aV (x)(x − a)(x − b)
(x −
a + b
2
)dx =
= V
∫ba(x − a)(x − b)
(x −
a + b
2
)dx = 0
Стало быть, формула Симпсона будет точной для всех многочленов,которые при делении на ω(x) дают в частном константу, то есть длявсех многочленов степени s + 1.
Уткин П.С. Интегрирование 39 / 45
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Условия повышения степени
Причина повышения порядка формулы Симпсона — в удачномрасположении узлов квадратуры.
ЗадачаРазместить узлы xk , k = 0, . . . , s квадратуры так, чтобы интеграл∫b
aV (x)ω(x)dx
обнулялся для произвольного многочлена V (x) как можно большейстепени d .
Если удастся так расположить узлы квадратуры, то она будет иметьалгебраический порядок m = s + d + 1.
Уткин П.С. Интегрирование 40 / 45
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Ортогональные многочлены
Построим такой многочлен ω(x), который был бы ортогоналенмногочленам 1, x , . . . , x s в смысле
(x r ,ω(x)) ≡∫bax rω(x)dx = 0, r = 0, . . . , s
Для построения такого многочлена ω(x) можно использовать процессортогонализации Грама-Шмидта для набора функций 1, x , . . . , x s+1.В результате ортогонализции из многочлена x s+1 получится многочленω(x) = x s+1 + . . . , ортогональный всем функциям 1, x , . . . , x s , аследовательно, и любому многочлену V (x) степени degV 6 s.
Уткин П.С. Интегрирование 41 / 45
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Многочлены Лежандра
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
LHxL
L0HxL
L1HxL
L2HxL
L3HxL
L4HxL
Многочлены Лежандра Lm(x) ортогональны∫1−1
Lm(x)Ln(x)dx =2
n + 1δnm.
Каждый многочлен Lm(x) имеет m различных действительных корнейна отрезке [−1, 1].
Уткин П.С. Интегрирование 42 / 45
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Многочлены Лежандра
Построенный многочлен ω(x) = Cs+1Ls+1(2x−a−b
b−a
), где Cs+1 —
некоторый несущественный нормировочный множитель.Использование в качестве узлов квадратурной формулы корнеймногочлена Лежандра позволяет добиться обнуления всех интегралов∫b
aV (x)ω(x)dx
при degV (x) 6 s, то есть повысить степень квадратуры до 2s + 1, тоесть почти вдвое по сравнению с формулами с произвольным выборомузлов.Для degV (x) = s + 1 никакой выбор узлов не обеспечит обнуленияинтеграла (достаточно взять V (x) = ω(x)). Стало быть,максимальная степень квадратуры с s + 1 узлом — 2s + 1.
Уткин П.С. Интегрирование 43 / 45
Численное интегрирование Формулы наивысшей степени
Формулы Гаусса
Формулами Гаусса называются интерполяционные квадратурныеформулы, имеющие максимальную алгебраическую степень дляданного числа узлов. Формула Гаусса с K узлами имеет степень2K − 1 и порядок 2K . Формулы Гаусса обычно приводят длястандартного отрезка [−1, 1]:
Число узлов, K Узлы xk Веса wk E [f ]
1 0 1 f ′′(ζ)(b−a)3
24
2 ± 1√3
1/2 f IV (ζ)(b−a)5
4320
30 4/9 f VI (ζ)(b−a)7
2016000±√
155 5/18
Простейшая формула Гаусса совпадает с формулой средней точки.Узлы формул Гаусса не содержат крайних точек отрезкаинтегрирования.
Уткин П.С. Интегрирование 44 / 45
Численное интегрирование Заключение
Список использованных источников
1 Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы.3-е издание, Москва. БИНОМ, Лаборатория знаний, 2004, 636 с.
2 Н.Н. Калиткин, Е.А. Альшина. Численные методы: в 2 кн. Кн. 1Численный анализ. Москва, Издательский центр «Академия»,2013, 304 с.
3 И.П. Мысовских. Интерполяционные кубатурные формулы.Москва. Наука, Главная редакция физико-математическойлитературы, 1981, 336 с.