III- 1 BÖLÜM III ÜÇ BOYUTLU HALDE GERİLME VE DEFORMASYON 37. Üçgen gerilme hali: Sürekli bir ortam içindeki herhangi bir noktadan boyutları . . x y z ∆∆ ∆ olsun çok küçük bir prizmatik eleman çıkartalım. Bu elemanın yüzeylerine gelen gerilmeler, , , , , , , , , x y z xy yx yz zy zx xz σ σ σ τ τ τ τ τ τ olsun. Denge şartı gereği olarak, Şekil III- 1 Şekil III- 2
27
Embed
ÜÇ BOYUTLU HALDE GER İLME VE DEFORMASYONw3.balikesir.edu.tr/~miren/MUKAVEMET3.pdf · III- 1 BÖLÜM III ÜÇ BOYUTLU HALDE GER İLME VE DEFORMASYON 37. Üçgen gerilme hali: Sürekli
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
III- 1
BÖLÜM III
ÜÇ BOYUTLU HALDE GERİLME VE DEFORMASYON
37. Üçgen gerilme hali:
Sürekli bir ortam içindeki herhangi bir noktadan boyutları . .x y z∆ ∆ ∆ olsun çok küçük bir
prizmatik eleman çıkartalım. Bu elemanın yüzeylerine gelen gerilmeler, , , , , , , , ,
x y z xy yx yz zy zx xzσ σ σ τ τ τ τ τ τ olsun. Denge şartı gereği olarak,
Şekil III- 1
Şekil III- 2
III- 2
0x
R =
0y
R =
0z
R =
0x
M = yz zy
τ τ=
0y
M = xz zx
τ τ=
0z
M = xy yx
τ τ= (68)
bulunur. Bir başka deyişle, aynı ayrıtta bulunan kayma gerilmelerinin şiddeti eşittir.
Şimdi göz önüne aldığımız prizmayı, GAC düzlemi ile kesip iki parçaya ayıralım ve açığa çıkan düzlem üzerindeki gerilmeleri hesaplayalım. Bunu için ayrı ayrı denge denklemlerini yazalım.
0x
R =
. . . .
. . .
x ACG x OCG xz OAC xy OGA
OCG OAC OGAx x xz xy
ACG ACG ACG
s A A A A
A A As
A A A
σ τ τ
σ τ τ
= + +
= + +
( )cosOCG
ACG
Aa
Aα= =
( )cosOAC
ACG
Ab
Aβ= =
( )cosOGA
ACG
Ac
Aγ= =
0x
R = . . .x x xy xz
s a b cσ τ τ= + + (69)
Benzer şekilde,
0y
R = . . .y xy y yz
s a b cτ σ τ= + + (70)
0z
R = . . .z xz yz z
s a b cτ τ σ= + + (71)
yazılabilir. Bu yüzeyin dış normal birim vektörü,
a b c= + +n i j k� � � ��
III- 3
olduğundan, bu yüzeydeki normal gerilmenin şiddeti,
( )
( )( )( )
2 2 2
.cos
. . .
. . .
. . .
. . . 2 2 2 .
x y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x y z xy yz xz
s a s b s c
a b c a
a b c b
a b c c
a b c ab bc ca
φ
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
σ σ σ σ τ τ τ
= = = + +
= + +
+ + +
+ + +
= = + + + + +
σ s s.n
σ
σ
� � � �
�
�
(72)
olarak elde edilir. Bu yüzeydeki kayma gerilmesinin şiddeti
( )( )( )
2 2
2
2
2
22 2 2
. . .
. . .
. . .
. . .
2 2 2 .
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x y z
xy yz xz
s
a b c
a b c
a b c
a b c
ab bc ca
τ σ
σ τ τ
τ σ τ
τ τ τ σ
σ σ σ
τ τ τ
= −
+ + + + + = + + + + + − + + +
(73)
Yukarıdaki denklemler matris formuna getirilirse,
( )( )( )
cos
cos
cos
x x xy xz
y xy y yz
z xz yz z
S
S
S
σ τ τ ατ σ τ βτ τ σ γ
= ⋅
(74)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
cos cos cos
cos
cos cos cos cos
cos
x
y
z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
S
S
S
σ α β γ
σ τ τ αα β γ τ σ τ β
τ τ σ γ
= ⋅ = ⋅ ⋅
(75)
elde edilir.
Eğer AGC düzlemi asal düzlem ise,
0τ=
olur ve böylece
III- 4
s = σ� �
olur ki,
0x
R = . . .x x xy xz
s a b c aσ τ τ σ= + + =
0y
R = . . .y xy y yz
s a b c bτ σ τ σ= + + =
0z
R = . . .z xz yz z
s a b c cτ τ σ σ= + + = (76)
elde edilir. Bu denklemler yeniden düzenlenerek,
( ). . . 0x xy xza b cσ σ τ τ− + + =
( ). . . 0xy y yz
a b cτ σ σ τ+ − + =
( ). . . 0xz yz za b cτ τ σ σ+ + − = (77)
yazılır. Matris formuna getirilerek,
0
0
0
x xy xz
xy y yz
xz yz z
a
b
c
σ σ τ ττ σ σ ττ τ σ σ
− − = −
bulunur. bu üç denklemde 0a ≠ , 0b ≠ ve 0c ≠ olmak şartı ile çözüm elde etmek için,
determinant 0x xy xz
xy y yz
xz yz z
σ σ τ ττ σ σ ττ τ σ σ
− − = −
( )( )
3
2
2 2 2
2 2 2 2 0
x y z
x y y z z x xy yz zx
x y z x yz y xz z xy xy yz xz
σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ σ τ σ τ σ τ τ τ τ
− + +
+ + + − − −
− + + + − =
(78)
olmalıdır. Bu üçüncü dereceden denklemin üç reel kökü asal gerilmeler olup 1σ , 2σ ve 3σ
Şimdi b yı sabit tutalım ve içinde b bulunan terimi sağ tarafa geçirelim,
2 2 2 2 2 2 2 21 3 2
2 2 21 3 2
2 2 2
. . .
. . .
1
a c b
a c b
a c b
σ σ σ τ σ
σ σ σ σ
+ = + −
+ = −
+ = −
Böylelikle elimizde iki bilinmeyenli üç denklem olur. Bu üç denkleminde aynı çözüme sahip olabilmesi için matris formunda yazılmış bu denklemlerde katsayılar determinantı,
Şimdi de c yi sabit tutalım ve içinde c bulunan terimi sağ tarafa geçirelim,
2 2 2 2 2 2 2 21 2 3
2 2 21 2 3
2 2 2
. . .
. . .
1
a b c
a b c
a b c
σ σ σ τ σ
σ σ σ σ
+ = + −
+ = −
+ = −
Böylelikle elimizde iki bilinmeyenli üç denklem olur. Bu üç denkleminde aynı çözüme sahip olabilmesi için matris formunda yazılmış bu denklemlerde katsayılar determinantı,
Şimdi bu çemberleri çizelim. Şekilden de görüldüğü gibi üç boyutlu gerilme halinde gerilmeler şekilde görülen taranmış bölgeler içinde olmalıdır. Her üç şekil üst üste getirilirse elde edilecek şekil sayfanın altında görülmektedir. Gerilmeler ortak taralı alan içinde temsil edilmelidir.
III- 12
Şekil III- 5
Sonuçta üç boyutlu gerilme halini temsil etmek üzere 0 1a≤ ≤ , 0 1b≤ ≤ ve 0 1c≤ ≤ düzlemlerindeki Mohr çemberleri,
Şekil III- 6
olarak çizilmiş olur.
III- 13
38. Çeşitli özel durumların Mohr çemberi ile izahı:
Şekil III- 7
III- 14
ÖRNEK:
Aşağıdaki şekilde ABC düzlemi üzerindeki normal ve kayma gerilmesini hesaplayınız.
ABC düzleminin normalinin koordinat eksenleriyle yaptığı açılar:
Şekildeki üçgen gerilme hali asal gerilmelerle verilmiştir. Z ekseninden geçen ve x ekseniyle 300 lik açı yapan düzlem üzerindeki gerilmeleri hesaplayınız.
Bu düzlemin normali x ekseniyle 600, y ekseniyle 300 ve z ekseniyle 900 lik açı yapmaktadır. Buna göre,
( )0 1cos 60
2a = =
( )0 3cos 30
2b = =
( )0cos 90 0c = =
olur.
III- 17
( ) ( )
( )
01
2
. cos 60 . 4000
14000 2000N/cm
2
xS aσ= = −
= − =−
( )02
2
. cos 30 .12000
312000 6000 3 N/cm
2
yS bσ= =
= =
20 N/cmz
S =
x y zS S S= + +S i j k
� � � ��
2000 6000 3=− +S i j� � �
( ) ( )22 22000 6000 3 10583 N/cmS S= = − + =��
1 3
2 2= +n i j� � �
( ) ( ) 21 32000 6000 3 8000 N/cm
2 2σ= ⋅ = − + =n S� ��
σ=σ n� �
1 38000
2 2
= + σ i j� � �
( ) ( )
1 32000 6000 3 8000
2 2
2000 4000 6000 4000 3
6000 2000 3
= − =− + − +
= − − + −
=− +
τ S σ
τ i j i j
τ i j
τ i j
� � �
� � � � �
� � �
� � �
2 2 2 2 210583 8000 6928.203 N/cmSτ σ= − = − =
III- 18
ÖRNEK:
Üçgen gerilme hali 1σ , 2σ ve 3σ ile verildiğine, ( )1 2,σ σ düzlemindeki maksimum kayma
elde edilir. Buradan anlaşılmaktadır ki, şekil değiştiren bir cisim içindeki toplam birim hacim şekil değiştirme işi eksenlerin doğrultusundan bağımsız olup invaryanttır.