LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Appunti ed esercizi su: funzioni elementari: formule e dimostrazioni 24 dicembre 2010 1 Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/ Indirizzo email: [email protected]http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com
26
Embed
francescomarchi.wordpress · Blog personale: Indirizzo email:[email protected] ://francescomarchi.wordpress.com.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI
MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi1
Appunti ed esercizi su:
funzioni elementari: formule edimostrazioni
24 dicembre 2010
1Per altri materiali didattici o per informazioni:
Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/Indirizzo email: [email protected]
Tutte le formule dimostrate in questo capitolo sono riportate e numerate, percomodita, nell’appendice A e ad esse faremo riferimento con indicazioni del tipo:“utilizzando la A.3b . . . ”, “tramite la formula A.4b . . . ” e simili.
1.1 Funzioni circolari
1.1.1 Definizioni e fatti basilari
Definizione 1. Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di rag-gio unitario avente centro nell’origine degli assi cartesiani.
Usando la formula che da l’equazione della circonferenza, noti centro e raggio,possiamo facilmente trovare che l’equazione della circonferenza goniometrica ela seguente:
x2 + y2 = 1
Definizione 2. Si dice seno di un angolo l’ordinata del punto di intersezionetra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.
Definizione 3. Si dice coseno di un angolo l’ascissa del punto di intersezionetra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.
Definizione 4. Si dice tangente di un angolo l’ordinata del punto di inter-sezione tra la retta che individua l’angolo e la retta di equazione x = 1.
Teorema 1. (Relazione analitica tra sin, cos, tan). Tra le funzioni goniomet-riche sussiste la seguente relazione algebrica:
Dimostrazione. Si consideri il grafico rappresentato in figura 1.1; sia x l’angolo
AOB. I triangoli AOB e A′OB′ sono simili, percio . . .
Figura 1.1: Grafico utilizzato per la dimostrazione della relazione algebrica sussistente frale funzioni seno, coseno, tangente.
1.1.2 La relazione goniometrica fondamentale
Con considerazioni di geometria analitica, si dimostra che:
sin2 x+ cos2 x = 1
1.1.3 Espressione di una funzione in termini delle altre
Dimostriamo in questa sezione che tra le funzioni goniometriche sussistono lerelazioni sintetizzate nella tabella 1.1.
Relazione tra seno e coseno
Dimostrazione. Utilizzando la A.1, con banali passaggi algebrici, e possibileottenere le relazioni cercate.
Tangente in funzione di seno e coseno
Dimostrazione. Si utilizza la relazione algebrica che lega tangente, seno e coseno(A.2) e le formule appena dimostrate che esprimono il seno in funzione del cosenoe viceversa.
Tabella 1.1: Espressione di una funzione goniometrica in termini delle altre.
sinx cosx tanx
sinx / ±√
1− cos2 x ± tan x√1+tan2 x
cosx ±√
1− sin2 x / ± 1√1+tan2 x
tanx ± sin x√1−sin2 x
±√1−cos2 xcos x /
Seno e coseno in funzione della tangente
Dimostrazione. A partire dalle formule che esprimono la tangente in funzionedel solo seno o del solo coseno, con passaggi algebrici, e possibile ricavare leformule cercate.
1.1.4 Archi associati
Basandoci su considerazioni geometriche, si nota che:
Dimostriamo qui di seguito che valgono le seguenti formule di addizione esottrazione di seno, coseno e tangente:
cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ
cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ
sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ
sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ
tan(α− β) =tanα− tanβ
1 + tanα tanβ
tan(α+ β) =tanα+ tanβ
1− tanα tanβ
Sottrazione del coseno
Dimostrazione. Si faccia riferimento alla figura 1.2.
Siano α = AOC e β = AOB gli angoli assegnati. Si costruisce nel primoquadrante un triangolo congruente al triangolo OBC. Utilizzando le definizionidi seno e coseno e di circonferenza goniometrica, risulta che:
C(cosα, sinα);
B(cosβ, sinβ);
C′(cos(α− β), sin(α− β));
A(1, 0)
Poiche AOC′ ∼= OBC, risultera CB = C ′A, ossia:√
(cosα− cosβ)2 + . . .
Sviluppando i calcoli ed utilizzando la A.1, otteniamo la formula cercata.
Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 18-30 pag. 614 di [?], con-siderando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui di seguito,riportiamo alcune identita riprese da tale testo.
Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 4-8 pag. 656 di [?] e 92-99pag. 661, considerando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Quidi seguito, riportiamo alcune identita riprese da tale testo.
Dimostrare le formule e relazioni proposte di seguito, mettendo in evidenza, inogni passaggio in cui lo si ritenga opportuno, le altre formule, definizioni e fattinotevoli utilizzati per la dimostrazione.
2.2.1 Esercizio 1 (esempio guidato)
Dimostrazione 1. Dimostrare che: sinx = ± tan x√1+tan2 x
Dimostrazione. Vogliamo innanzitutto far sparire la funzione coseno, per cui,utilizzando sia l’ipotesi 1 (definizione di tangente) che l’ipotesi 2, scriveremo:
tanx =sinx
±√
1− sin2 x
Elevando al quadrato entrambi i membri, dopo una serie di passaggi algebrici,si ottiene la formula cercata.
2.2.2 Esercizio 2 (esempio guidato)
Dimostrazione 2. Dimostrare la seguente formula, detta di prostaferesi:
sin p+ sin q = 2 sinp+ q
2cos
p− q2
a partire dalle formule di addizione e sottrazione del seno.
Qui di seguito proponiamo le linee guida della dimostrazione.
Dimostrazione. Si mettano a sistema le formule di addizione e di sottrazionedel seno e si sommino membro a membro tali equazioni. Si consideri il seguentecambiamento di variabili: {
α+ β = p
α− β = q
Si consideri la trasformazione inversa (che esprime cioe α e β in funzione di p e q).Si eseguano le opportune sostituzioni; si ottiene cosı la formula desiderata.
2.2.3 Esercizio 3
Con procedimento analogo a quello dell’esercizio precedente, dimostrare le for-mule che esprimono la differenza dei seni, la somma dei coseni, la differenza deicoseni (sin p− sin q; cos p+ cos q; . . . ).
2.2.4 Esercizio 4
Dimostrazione 3. Dimostrare la formula di duplicazione del coseno, con-siderando come nota la formula di sottrazione del coseno.
Dimostrazione. Per la formula di duplicazione del coseno, ci serve la formula diaddizione del coseno. Dovremo allora ricavare tale formula a partire da quelladi sottrazione del coseno . . .
2.2.5 Esercizio 5
Dimostrazione 4. A partire dalla formula di duplicazione del coseno (cos 2x =cos2 x−sin2 x), ed utilizzando la relazione goniometrica fondamentale, dimostrarela seguente versione alternativa per la formula di duplicazione del coseno:
cos(2x) = 2 cos2 x− 1
2.2.6 Esercizio 6
Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione del seno, ossia la formula cheesprime, in termini del solo sinx, il valore del sin(3x).
2.2.7 Esercizio 7
Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione della tangente, ossia la formulache esprime, in termini della sola tanx, il valore di tan(3x).
A partire dalla seguente formula di bisezione della tangente:
tan(x
2
)= ±
√1− cosx
1 + cosx
dimostrare la seguente versione alternativa della formula:
tan(x
2
)=
sinx
1 + cosx
2.2.9 Esercizio 9
Dimostrare, ricorrendo anche ad un grafico sul piano cartesiano, la formula disottrazione del coseno.
2.2.10 Esercizio 10
Dimostrare, avvalendosi anche di considerazioni geometriche, la formula che legaalgebricamente le funzioni seno, coseno, tangente.
2.2.11 Esercizio 11
Dimostrare la formula di addizione della tangente, note quelle di addizione delseno e del coseno.
2.2.12 Esercizio 12 (esempio svolto)
Dimostrare la formula che esprime la tangente in funzione del solo seno.
Dimostrazione. Per la A.2, vale:
tanx =sinx
cosx
Inoltre, considerando la A.3c, possiamo scrivere:
tanx = ± sinx√1− sin2 x
che e la formula cercata.
2.3 Il software yEd e i grafi delle dimostrazioni
In questa sezione, proponiamo di utilizzare il software yEd1 per rappresentaretramite grafi le relazioni esistenti fra definizioni, teoremi ed altri teoremi.E’ possibile estendere progressivamente il grafo, via via che vengono aggiuntenuove definizioni e nuovi teoremi.
1Tale software e liberamente scaricabile dal sito [?].
Costruire un grafo che illustri definizioni e teoremi utilizzati nella dimostrazionedella formula di sottrazione del coseno.Proponiamo tale grafo in figura 2.1, in cui abbiamo evidenziato in verde ledefinizioni ed in giallo le formule e i teoremi.
Figura 2.1: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.
2.3.2 Esercizio 2 (esempio svolto)
Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formuladi sottrazione della tangente e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a di-mostrarla.Ripercorrendo la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente, noti-amo che, oltre a vari passaggi algebrici banali, abbiamo bisogno della definizionedella funzione tangente e delle formule di sottrazione del seno e del coseno.Otterremo cosı il grafico proposto in figura 2.2.
Figura 2.2: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente.
Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formula diduplicazione del seno e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a dimostrarla.La formula di duplicazione del seno si dimostra a partire da quella di addizionedel seno, la quale a sua volta si dimostra a partire da quella di sottrazionedel seno; quest’ultima, infine, si dimostra usando le formule relative agli archiassociati e la formula di sottrazione del coseno.Tutto cio e sintetizzato nel grafico proposto in figura 2.3.
Figura 2.3: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)utilizzate per la dimostrazione della formula di duplicazione del seno.