Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E

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M A S C H I N E N E L E M E N T E

Achsen und Wellen:

Dimensionierung

Stephan Voigt, M.Eng.

Hochschule AnhaltAnhalt University of Applied Sciences

Übung Maschinenelemente Achsen und Wellen: Dimensionierung


Agenda

1. Einleitung

2. Achsen

3. Wellen

4. Beispiel

Stephan Voigt, M.Eng. 2



1. Einleitung

Auf Basis der aus den äußeren Lasten resultierenden Schnittgrößenverläufe der Achse bzw. Welle lässt sich ein

überschlägiger Durchmesser 𝑑𝑑üb ermitteln:

• an der Stelle der größten Belastung oder

• über die gesamte Trägerlänge Schnittgrößenverläufe müssen vorliegen!

Der tatsächliche Durchmesser muss jedoch Schwächungen des Querschnitts bspw. durch Passfedernuten, Profile

oder Eindrehungen berücksichtigen.




2. Achsen

Die bei Achsen maßgebende Biegespannung lautet:

Mit 𝑊𝑊b = 𝜋𝜋/32 ⋅ 𝑑𝑑3 und 𝜎𝜎b zul = 𝜎𝜎b üb folgt

Als überschlägige zulässige Biegespannung (Festigkeit) ist näherungsweise

(Biegewechselfestigkeit) einzusetzen. Kleinere Werte bei umlaufenden, größere bei ruhenden Achsen.


𝜎𝜎b =𝑀𝑀b

𝑊𝑊b≤ 𝜎𝜎b zul

𝑑𝑑üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀b

𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb

𝜎𝜎b üb ≈ 0,15 … 0,25 ⋅ 𝜎𝜎bW



Bei Hohlachsen ist

mit dem (zunächst angenommenen) Durchmesserverhältnis 𝑘𝑘 = 𝑑𝑑i/𝑑𝑑a.

Demnach lautet die Dimensionierungsformel


𝑊𝑊b =𝜋𝜋

32⋅𝑑𝑑a4 − 𝑑𝑑i4

𝑑𝑑a=

𝜋𝜋32

⋅ 𝑑𝑑a3 ⋅ 1 −𝑑𝑑i4

𝑑𝑑a4=

𝜋𝜋32

⋅ 𝑑𝑑a3 ⋅ 1 − 𝑘𝑘4

𝑑𝑑a_üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀b

𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)



Der so ermittelte Durchmesser 𝑑𝑑a bzw. 𝑑𝑑a_üb ist

theoretisch nur der Stelle des größten Biegemomentes

𝑀𝑀b = 𝑀𝑀bmax erforderlich.

Zur Werkstoff- und Gewichtsersparnis kann der

Wellendurchmesser der Belastung angepasst werden,

indem nicht das Maximum des Biegemomentes 𝑀𝑀bmax

sondern der Biegemomentenverlauf 𝑀𝑀b(𝑥𝑥) verwendet

wird:


𝑑𝑑(𝑥𝑥)üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀b(𝑥𝑥)

𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb



So lassen sich Träger gleicher Festigkeit gestalten.

nahezu konstante Biegespannung über die gesamte Welle keine Spannungs-Hotspots!

Die höheren Fertigungskosten sollten nur dann in Kauf genommen werden, wenn sie durch Werkstoffeinsparung,

kleinere (und somit günstigere) Lager und geringere Transport- und Montagekosten amortisiert werden.




3. Wellen

Analog zu Achsen ergibt sich für rein auf Torsion beanspruchte Wellen:

Als überschlägige zulässige Torsionsspannung (Festigkeit) ist näherungsweise

(Torsionswechselfestigkeit) einzusetzen. Kleinere Werte bei schwellender bzw. wechselnder, größere bei statischer

Torsion.

3.1 Torsionsbeanspruchte Wellen


𝑑𝑑a_üb ≥3 16 ⋅ 𝑀𝑀t

𝜋𝜋 ⋅ 𝜏𝜏t üb ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)𝑑𝑑üb ≥3 16 ⋅ 𝑀𝑀t

𝜋𝜋 ⋅ 𝜏𝜏t übbzw.

𝜏𝜏t üb ≈ 0,27 … 0,47 ⋅ 𝜏𝜏tW



Beispiel einer ausschließlich torsionsbeanspruchten Welle: Kardanwelle

Da die Torsion über die Wellenlänge konstant bleibt, ist der Wellendurchmesser ebenfalls konstant.




3.2 Torsions- und biegebeanspruchte Wellen

Wirken Biege- und Torsionsmomente gleichzeitig, so ist zunächst das sogenannte Vergleichsmoment zu ermitteln:

Herleitung

Die Vergleichsspannung 𝜎𝜎v = 𝜎𝜎b2 + 3 ⋅ 𝜏𝜏t2 sei durch 𝜎𝜎v = 𝑀𝑀V/𝑊𝑊b gegeben, d.h. 𝜎𝜎v habe den Charakter eine

Biegespannung. Dann folgt mit 𝜎𝜎b = 𝑀𝑀b/𝑊𝑊b und 𝜏𝜏t = 𝑀𝑀t/𝑊𝑊t:

Wegen 𝑊𝑊t = 2 ⋅ 𝑊𝑊b folgt die obige Formel.


𝑀𝑀V = 𝑀𝑀b2 +

34⋅ 𝑀𝑀t

2

𝑀𝑀V

𝑊𝑊b=

𝑀𝑀b

𝑊𝑊b

2

+ 3 ⋅𝑀𝑀t

𝑊𝑊t

2

⇒ 𝑀𝑀V = 𝑀𝑀b2 + 3 ⋅

𝑊𝑊b

𝑊𝑊t

2

⋅ 𝑀𝑀t2



Damit gilt für 𝑑𝑑üb

mit

Mit 𝑀𝑀V(𝑥𝑥) lässt sich in Analogie zu angeformten Achsen ebenfalls ein Träger mit nahezu konstanter

Beanspruchung generieren.


𝑑𝑑a_üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀V

𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)𝑑𝑑üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀V

𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b übbzw.

𝜎𝜎b üb ≈ 0,15 … 0,25 ⋅ 𝜎𝜎bW



Alternativ zur Auslegung anhand der Spannungen, kann eine Welle auch auf Basis der zulässigen Verdrillung

dimensioniert werden. Der Verdrehwinkel 𝜑𝜑 ist gegeben durch:

Dabei ist

• 𝑙𝑙v die verdrehte Länge (Abstand von Torsionsein- bis -ausleitung)

• 𝐺𝐺 Schubmodel, 𝐺𝐺 ≈ 8 ⋅ 104 N ⋅ mm−2 für Stahl

• 𝐼𝐼p polares Flächenträgheitsmoment


𝜑𝜑 =𝑀𝑀t ⋅ 𝑙𝑙v𝐺𝐺 ⋅ 𝐼𝐼p

𝜑𝜑 = rad

𝐼𝐼p =𝜋𝜋

32⋅ 𝑑𝑑4



Mit 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑zul folgt:

Je nach Anwendungsfall ist

je Wellenmeter.

In die obigen Gleichungen ist 𝜑𝜑zul in Bogenmaß (Radiant) einzusetzen.


𝑑𝑑a_üb ≥4 32 ⋅ 𝑀𝑀t ⋅ 𝑙𝑙v𝜋𝜋 ⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝜑𝜑zul ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)

𝑑𝑑üb ≥4 32 ⋅ 𝑀𝑀t ⋅ 𝑙𝑙v𝜋𝜋 ⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝜑𝜑zul

bzw.

𝜑𝜑zul = 0,25° … 0,5°



4. Beispiel

Für die skizzierte Getriebewelle aus 41Cr4 ist der Verlauf des Vergleichsmomentes (mit 𝑀𝑀t = 2.500 Nm) sowie ein

daraus resultierender Wellenentwurf zu ermitteln.

Die Längen 𝑙𝑙 = 260 mm, 𝑙𝑙1 = 80 mm und 𝑙𝑙2 = 90 mm sind einem ersten Entwurf entnommen.


Gegebene Kraftgrößen

𝐹𝐹t2 = 10 kN

𝐹𝐹r2 = 3,67 kN

𝐹𝐹t3 = 26,33 kN

𝐹𝐹r3 = 9,58 kN



Definition einer Funktion in MathCAD zur Abbildung einer Wellengestaltung

• Die Abbildung zeigt den Entwurf einer Zwischenwelle.

• Definition der Absatzlängen und Durchmesser

als Vektoren:


𝑑𝑑vec =

𝑑𝑑1𝑑𝑑2𝑑𝑑3𝑑𝑑4

𝐿𝐿vec =

𝐿𝐿1𝐿𝐿2𝐿𝐿3𝐿𝐿4



• Wellendurchmesser als Funktion einer Laufvariable




• Mit den Zahlenwerten

und

ergibt sich beispielsweise folgender Graph:

• Für die Laufvariable 𝑥𝑥 gilt:


𝑑𝑑vec =

20405530

mm 𝐿𝐿vec =

4080

160195

mm

𝑥𝑥 ∈ [0, 𝐿𝐿max] mit 𝐿𝐿max = max(𝐿𝐿vec)

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