اضيات / الرير مقر1 / 116 العاشرةضرة ا لمحاوفاتت الخطية والمصفلتطبيقاء ا فضا درسنالمحاضرة في السابقة اجهاتء المتوعات جزئية من فضا الخطي لمجمرتباطل واستق ا مع دراسةءاتلفضاذه ا أبعاد همت وت المتجهية أيضا الخطيرتباطت واوفا دراسة المصف. ندرس فيلمحاضرة اذه هوفاتت الخطية والمصفلتطبيقاء ا فضا حيث سيتم دراسةلخطية وفضاءت التطبيقا اولة متنوعة.ارين محل وإعطاء تمت الخطيةلتطبيقا ا10.1 ت الخطية:لتطبيقا اا أن إذا فرضن وجهات و فضائي مت تطبي ق من في نسميلتاليين :ق الشرطين ا إذا وفقط إذا حق خطيا تطبيقا نتيجة1 : حتى يكونلكافيزم وا الشرط الق الشرط: هو تحق خطيا تطبيقا أمثلة :1 - ليكن حيث التط)صر نفسهصورة كل عن( لمطابق بيق ا، إن هو تطبيق خطي .2 - لثابت من التطبيق ا في: كون خطيا ي واحدة هي في حالة إلحالةذه ايق به ويرمز لهذا التطب بسمى التطبيق وي الصفري .3 - التطبيقكل ل و من إنق خطي. تطبي4 - ليكن التطبيق : إنن :ق خطي تطبي1 V F 2 V F f 1 V 2 V f 1 1 , 1 , 2 xy V f x y f x f y F x V f x f x f 1 , , , 3 F xy V f x y f x f y I V F V F I I 1 V F 2 V F 1 x V f x c 0 c 0 2 2 : : , , T R R T xy xy x y R T 3 2 : : , , , T R R T xyz x yy z T
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
/ 1مقرر الرياضيات /
116
لمحاضرة العاشرةا
فضاء التطبيقات الخطية والمصفوفات
مع االستقالل واالرتباط الخطي لمجموعات جزئية من فضاء المتجهات السابقة في المحاضرة درسنا
في ندرس . دراسة المصفوفات واالرتباط الخطيأيضا المتجهية وتمت أبعاد هذه الفضاءات دراسة
التطبيقات الخطية وفضاء حيث سيتم دراسةفضاء التطبيقات الخطية والمصفوفات هذه المحاضرة
التطبيقات الخطية وإعطاء تمارين محلولة متنوعة.
ق منتطبي فضائي متجهات و و إذا فرضنا أنالتطبيقات الخطية: 10.1
تطبيقا خطيا إذا وفقط إذا حقق الشرطين التاليين : نسمي في
تطبيقا خطيا هو تحقق الشرط: الشرط الالزم والكافي حتى يكون:1نتيجة
: أمثلة
هو تطبيق إن ،بيق المطابق )صورة كل عنصر نفسه(التط حيث ليكن -1
خطي .
: في التطبيق الثابت من -2
ويسمى التطبيق ب ويرمز لهذا التطبيق بهذه الحالة إال في حالة واحدة هي ال يكون خطيا
الصفري .
تطبيق خطي. إن من و لكلالتطبيق -3
ليكن التطبيق : -4
تطبيق خطي ألن : إن
1V F 2V Ff1V
2Vf
1
1
, 1
, 2
x y V f x y f x f y
F x V f x f x
f
1, , , 3F x y V f x y f x f y
IV F V FII
1V F 2V F
1x V f x c
0c 0
2 2: : , ,T R R T x y x y xyRT
3 2: : , , ,T R R T x y z x y y z
T
/ 1مقرر الرياضيات /
117
هو تطبيق خطي . وبالتالي
فضاء متجهات وعرفنا التطبيق : و إذا فرضنا أن -5
هو تطبيق خطي . فإن
ذلك أن : ،ليس خطيا طبيق الت -6
.
نواة تطبيق خطي 10.2
تطبيقا خطيا نسمي المجموعة : ليكن
. نواة التطبيق الخطي
ذلك أن : فضاء متجهات جزئي من و ألن إن
. نواة التطبيق الصفري هي : 2وفي المثال : 1في المثال
هي حلول جملة المعادلتين: واةن : 5وفي المثال : 3في المثال
. يكون متباينا إذا وفقط إذا كان تطبيقا خطيا فإن إذا كان : 1نظرية
: متباين ولنبرهن أن نفرض أن البرهان :
متباين وبما أن عندئذ لنفرض اآلن أن إن
. وبالتالي فإن
متباين : ولنبرهن أن لنفرض اآلن أن
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
, , , , , ,
,
, ,
, , , ,
, , , , ,
, , ,
T x y z x y z T x x y y z z
x x y y y y z z
x y y z x y y z
T x y z T x y z
T x y z T x y z x y y z
x y y z T x y z
T
F V F
: :f V F V F f x x
f
3 2: : , , 2,f R R f x y z x y z
0,0,0 2,0 0,0f
1 2:f V V
21; 0VKer f x x V f x f
Ker f 2
0V Ker fKer f1V
2
, , , 0VF x y Ker f f x y f x f y
x y Ker f
2
0VKer f 1V
0,0Ker f T
0 0x y y z
ff 1
0VKer f
f 1
0VKer f
1
0V Ker fx Ker f 2 1
0 0V Vf x f f
10Vx
10VKer f
1
0VKer f f
/ 1مقرر الرياضيات /
118
متباين . اليوبالت
صورة تطبيق خطي 10.3
نسمي المجموعة : في تطبيقا خطيا من ليكن
. وفق صورة
عندئذ : ،تطبيقا خطيا إذا فرضنا : 2نظرية
. هو فضاء متجهات جزئي من صورة أي فضاء متجهات جزئي من -1
. هو فضاء متجهات جزئي من الصورة العكسية ألي فضاء متجهات جزئي من -2
. ب المعرف ليكن التطبيق : 1 مثال
خطي ومتباين . برهن أن التطبيق -1
أوجد قاعدة صورة هذا التطبيق . -2
الحل :
خطي ذلك أنه : إن -1
: متباينا إذا وفقط إذا كان يكون التطبيق
متباين . إذن
نجد أن : أن إذا فرضنا -2
ومنه :
2 2
1
1, 0 0
0
V V
V
x y V f x f y f x f y f x y
x y Ker f x y x y
f
f 1V F 2V F
2 1Im ; :f y y V x V f x y 1Vf
1 2:f V F V F
1V2V
2V1V
2 3:f R R , ,2 ,f x y x y x x y
f
f
2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2
, ; , , , , ,
, , ,
, 2 ,
, 2 , , 2 , , ,
R x y x y R f x y x y
f x y x y f x x y y
x x y y x x x x y y
x y x x y x y x x y f x y f x y
2 3:f R R 1
0VKer f
, 0,0,0 ,2 , 0,0,0
0 , 2 0 , 0
0
f x y x y x x y
x y x x y
Ker f
f
, , ,f x y X Y Z
2 0
X x y
Y x X Y Z
Z x y
2 3, , ; 0f R X Y Z R X Y Z
/ 1مقرر الرياضيات /
119
. و ل تشكل قاعدة ومنه :
مصفوفة التطبيقات الخطية 10.4
:و ل قاعدة ولتكن ،تطبيقا خطيا ليكن تعريف
: ل قاعدة
وليكن :
وبالتالي :
وبالتالي :
أو :
2 , , ; , 1,1,0 1,0,1 ; ,f R Y Z Y Z Y Z R Y Z Y Z R