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Amaldi, Dalla mela di Newton al bosone di Higgs CAPITOLO 15 • LA QUANTITÀ DI MOTO E IL MOMENTO ANGOLARE
Quindi la pallina da tennis deve viaggiare a una velocità pari a circa la metà della velocità della
luce!
13)
mg = bv ⇒ v1 =
m1gb
; v2 =m2g
b
p1
p2
=m1
m1gb
m2
m2gb
=m1
2
m22 ⇒
m1
m2
=p1
p2
= 160 kg ⋅m/s10 kg ⋅m/s
= 4,0
14)Perché così facendo diminuisce la forza, allungando il tempo di impatto.
15)La quantità di moto totale si conserva.
16)Sì. L’impulso è lo stesso, ma la durata dell’urto nel secondo caso è molto minore, perché la pallina di gomma, a differenza di quella di acciaio, tende a deformarsi, allungando la durata del contatto. In questo modo, a parità di impulso, la forza applicata dalla pallina di acciaio è più intensa.
17)Sì, perché il vettore velocità ha cambiato direzione, anche se non ha cambiato valore.
18)Il grafico b.
19)
I = FΔt = 50 N( )× 30 s( ) = 1,5×103 N ⋅s
20)
F = I
Δt= Δ p
Δt= mΔv
Δt=
64 kg( )× 7,7 − 0( )m/s1,8 s
= 274 g ⋅m/s2 = 2,7 ×102 N, verso l’alto.
21)
• I = 4 s+ 2 s( )× 2 N( )
2= 6 N ⋅s
Fm = I
Δt= 6 N ⋅s
4 s= 1,5 N
Amaldi, Dalla mela di Newton al bosone di Higgs CAPITOLO 15 • LA QUANTITÀ DI MOTO E IL MOMENTO ANGOLARE
• Il calcolo dell’energia cinetica dell’elettrone dà un valore univoco, mentre nell’esperimento si vede che non è fissato. Ciò significa che nel decadimento partecipa un’altra particella, il neutrino.
37)n = numero di mattoni; 20 km/h = 6,6 m/s
mtotvi i
= mtot − n ⋅mpietra( )vcarro i+ n ⋅mpietravpietra i
n mpietravpietra − mpietravcarro( ) = mtotvimtotvcarro
⇒ n =
mtot vi − vcarro( )mpietra vpietra − vcarro( ) =
225 kg × 0,80 m/s− 0 m/s( )0,55 kg × 5,56 m/s− 0 m/s( ) = 59
38)
mv0 = mvpalla + mvp.incl . v0 minima è tale che la pallina arriva in cima al piano inclinato fermandosi rispetto alla velocità del piano inclinato, quindi
vpalla = vp.incl . = v
mv0 = 2mv Per la conservazione dell’energia meccanica:
12
mv02 = mgh+ 1
2m+ m( )v2 ⇒ v0
2 = 2gh+v0
2
2
v0 = 2 gh = 2× 9,8 m/s2 ×1,63 m = 8,0 m/s
39)Sì, perché la quantità di moto totale del sistema è conservata.
40)Sì.
41)
Fm = Δp
Δt= 25 kg ⋅m/s
0,01s= 3×103 N
Fp = mg = 255 g( )× 9,8 m/s2( ) = 2,5 N
Fm
Fp
= 3×103 N2,5 N
= 1×103 ⇒ Fm Fp
42)I due oggetti rimangono uniti dopo l’urto: in questa situazione possono intervenire forze dissipative che trasformano parte dell’energia cinetica in altre forme (per esempio energia interna).
43)1) Le biglie invertono il senso di marcia e proseguono con la stessa velocità. 2) Le palline si fermano nel punto di impatto.
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pi = vi m1 − m2( ) = 4,0 m/s( )× 70 kg( )− 50 kg( )⎡⎣ ⎤⎦ = 80 kg ⋅m/s
p f = v f m1 + m2( )⇒ v f =
p f
m1 + m2( ) =80 kg ⋅m/s( )
70 kg( ) + 50 kg( )⎡⎣ ⎤⎦= 0,67 m/s
45)Dopo il primo urto
v2 =
2m1
m2 + m1
v1 =43
v1
Dopo il secondo urto
v3 =
2m2
m3 + m2
v2 =2m2
m3 + m2
43
v1
v3 = v1 ⇒
2m2
m3 + m2
43= 1
m3 + m2 =
83
m2 ⇒ m3 =53
m2 =56
m1 =56× 24 g = 20 g
46)Fisso il verso della velocità della biglia 1 come positivo, lungo la direzione nella quale si vanno incontro le biglie. Quindi la velocità della biglia 2 avrà segno negativo, cioè:
v1i − v2i = v1i − −v2i( ) = 3 m/s− −4 m/s( ) = 7,0 m/s Risolviamo il sistema per l’urto elastico:
m1v1i + m2v2i = m1v1 f + m2v2 f
12
m1v1i2 + 1
2m2v2i
2 = 12
m1v1 f2 + 1
2m2v2 f
2
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒
v1i + v2i = v1 f + v2 f
v1i2 + v2i
2 = v1 f2 + v2 f
2
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒
v1i − v1 f = v2 f − v2i
v1i2 − v1 f
2 = v2 f2 − v2i
2
⎧⎨⎪
⎩⎪
Dividendo le equazioni:
v1i + v1 f = v2 f + v2i ⇒ v1i − v2i = − v1 f − v2 f( )⇒ v1 f − v2 f = −7,0 m/s
47)
v f =
mbersaglio − mneutrone
mbersaglio + mneutrone
vi
1−K f
Ki
= 1−v f
2
vi2 = 1−
mbersaglio − mneutrone
mbersaglio + mneutrone
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
=4mbersagliomneutrone
mbersaglio + mneutrone( )2
ELEMENTO
mbersaglio
mneutrone
1−K f
Ki
=4mbersagliomneutrone
4mbersaglio + mneutrone( )2
Pb piombo 206 0,02 O ossigeno 16 0,22 C carbonio 12 0,28 H idrogeno 1 1,00
Il moderatore più efficace è l’elemento più leggero: l’idrogeno.
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L’urto è anelastico: l’energia totale non si conserva.
49)• Applichiamo la conservazione della quantità di moto:
p1 = mfrecciavfreccia ; p f = mfreccia + mbersaglio( )v f ⇒ vfreccia =
mfreccia + mbersaglio( )v f
mfreccia
Scriviamo le leggi del moto in presenza di attrito: a =
−Fa
m
⇒ a = µd g = 0,40× 9,8 m/s2 = 3,9 m/s2
•
v f − at = 0
s = v f t −12
at2
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒
t =v f
a
s =v f
2
a− 1
2a
v f
a⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= 12
v f2
a⇒ v f = 2sa = 2× 3,0 m( )× 3,9 m/s2( ) = 4,8 m/s
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
• vfreccia =
mfreccia + mbersaglio( )v f
mfreccia
= 0,25+ 2,5( )kg × 4,8 m/s0,25 kg
= 53 m/s
50)• Scegliamo come positive le velocità rivolte verso destra e negative quelle verso sinistra: il valore
della velocità iniziale del secondo blocco deve essere dunque preceduto dal segno meno, cioè v2 = –6,0 m/s:
m1v1 + m2v2 = m1 + m2( )v f ⇒ v f =
m1v1 + m2v2
m1 + m2( ) = 2,5 kg × 4,5 m/s− 30 kg × 6,0 m/s2,5+ 30( )kg
= −5,2 m/s
• Ki =
12
m1v12 + 1
2m2v2
2 = 0,5× 2,5 kg × 4,5 m/s( )2+ 0,5× 30 kg × 6,0 m/s( )2
= 565 J
K f =
12
m1 + m2( )v f2 = 0,5× 32,5 kg −5,2 m/s( )2
= 438 J
Ki − K f = 565− 438( )J = 127 J
51)• Dal problema modello nella teoria ricavo che: m = massa della freccetta, M = massa della patata, v = velocità della freccetta, V = velocità del sistema
mv = m+ M( )V12
M + m( )V 2 = M + m( )gh
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒ v = M + m
m2gh
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56)• Le due velocità sono uguali: 4,6 m/s. • v0 = vi 2 = 4,6 m/s( )× 2 = 6,5 m/s
57)• La velocità della molecola bersaglio è pari alla metà della velocità di quella incidente (corrisponde
al cateto di un triangolo rettangolo che è la metà di un triangolo equilatero), cioè 125 m/s. L’altra molecola avrà una velocità pari a 3 ×125 m/s = 217 m/s • 60° (poiché 60° + 30° = 90°).
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70#Sistema di riferimento centrato nel centro di massa ⇒ xcm = 0, ycm = 0
0 =
− L2
m+ L2
m+ L2
m+ xM
m+ m+ m+ M⇒ x = − Lm
21
2m= − L
4; Y = − L
4
d = x − xcm( )2
+ y − ycm( )2= L2
16+ L2
16= L
2 2= 7,1cm
71#• Il centro di massa segue una traiettoria parabolica, e la sua gittata si può trovare tramite la formula:
xcm =
2v02 cosαsinα
g=
2× 80,0 m/s( )2× 2
2× 2
29,8 m/s2 = 0,65 km
• Quando i due frammenti sono caduti a terra, il centro di massa si trova nella posizione appena calcolata. Perciò conoscendo la posizione di un frammento possiamo calcolare la posizione dell’altro:
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87#Per la legge di conservazione del momento angolare, il momento angolare di un sistema si conserva se il momento totale delle forze esterne che agiscono sul sistema è nullo.
88#Alla persona cadrà la scatola dalle mani.
89#Lo sgabello inizia a ruotare.
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102#Perché cambia la distribuzione della massa rispetto all’asse scelto.
103#Quella con minore momento di inerzia, con la massa più vicina all’asse di rotazione (cioè la prima ruota) avrà maggiore accelerazione angolare.
104#
I A = mr 2 + m(2r)2 = 5mr 2
IB = mr 2 + mr 2 = 2mr 2
Quando il sistema ruota intorno ad A il momento d’inerzia è maggiore, infatti una delle due sfere rimanenti, la sfera C, ha distanza doppia dall’asse di rotazione.
105#L’accelerazione angolare non cambia, ma raddoppia il momento d’inerzia Ianello = 2Idisco , quindi raddoppia anche il momento, e dunque la forza, a parità di raggio.
109#Applichiamo a ognuno dei quattro oggetti la conservazione dell’energia, osservando che l’energia cinetica di traslazione del centro di massa è la stessa per tutti gli oggetti, poiché hanno la stessa massa e la stessa velocità del centro di massa alla base del piano inclinato. In ordine decrescente:
Esfera piena =12
Isfera pienaω2 + 1
2mvcm
2 = 12× 2
5mr 2ω2 + 1
2mvcm
2 = 15
mr 2ω2 + 12
mvcm2 =
= 15
mvcm2 + 1
2mvcm
2 = 710
mvcm2
Ecilindro =12
Icilindroω2 + 1
2mvcm
2 = 12× 1
2mr 2ω2 + 1
2mvcm
2 = 14
mr 2ω2 + 12
mvcm2 =
= 14
mvcm2 + 1
2mvcm
2 = 34
mvcm2
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13)Indicando con τ la tensione del filo, lungo l’asse y si ha: τ − mg = ma Calcoliamo il momento rispetto al centro del disco e indichiamo l’asse z perpendicolare al piano con verso positivo uscente dal foglio. Abbiamo quindi: −Rτ = Iα L’accelerazione tangenziale del disco è αR , ma il filo non slitta per cui a = αR e quindi
−Rτ = I a
R, cioè
−Rτ = 1
2MR2 a
R
Combinando con τ − mg = ma si ottiene:
a = −g 2m
M + 2m( ) = −g 2m4m+ 2m( ) = − g
3= 3,3 m/s2
14)• Ei = mgh
E f =
12
mv2 + 12
Iω2 = 12
mv2 + I vr
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 1
2m+ I
r 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ v2
E f = Ei ⇒12
m+ Ir 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ v2 = mgh⇒ v = 2gh
1+ Imr 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
vsfera =2gh
1+ 25
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 10
7gh vanello =
2gh1+1( ) = gh vdisco =
2gh
1+ 12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 4
3gh
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15)L’urto è impulsivo, le forze esterne hanno risultante nulla, e quindi si conserva la quantità di moto ma
non l’energia cinetica totale: mv = m+ M( )V , da cui V = mv
m+ M( ) .
Prendendo il sistema di riferimento con origine nel centro di massa del bersaglio dopo l’urto, quando il sistema bersaglio + freccetta comincia a salire si ha la conservazione dell’energia meccanica:
12
m+ M( )V 2 = m+ M( )gh
Sostituendo e ricavando v:
v = m+ M( )m
2gh =
=0,100 kg( ) + 1,0 kg( )
0,100 kg( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ × 2× 9,8 m/s2( )× 4,9×10−2 m( ) = 11m/s
16)• 0 = Iω − mv0R
ω =mv0R
I=
mv0R12
MR2=
2mv0
MR
Krot =
12
Iω2 = 12
12
MR2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2mv0
MR⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
=m2v0
2
M=
2,0 kg( )2× 2,0 m/s( )2
8,0 kg( ) = 2,0 J
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Quindi la velocità finale è diretta nel verso negativo, ossia il verso in cui si muove inizialmente m2. • Per il teorema dell’impulso (considerando solo i valori assoluti):
FΔt = m1 + m2( )v
F =
v(m1 + m2 )Δt
=(0,184 m/s) 1,0×104 kg + 9,0×103 kg( )
10 s= 3,5×102 N
19)Per la conservazione della quantità di moto: mv0 = m+ M( )v
Test) 1 D 2 A 3 C 4 A 5 C 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B 11 B 12 A 13 A 14 C 15 D 16 B 17 B 18 D 19 A 20 A 21 C 22 D 23 B 24 B 25 D 26 B 27 C 28 A 29 B 30 A 31 C