ערוץ המו"פ | דף הבית - Achva Academic College of …web.macam.ac.il/.../publications/development-of-insight.docx · Web viewמיומנות זו היא ברמה תפישתית

1

אחווה – המכללה האקדמית לחינוך

התפתחות התובנה בבעיות בנייה בגיאומטריה עם מחשבובלי מחשב

מריטה ברבשאירינה גורביץדבורה גורב

2006

מחקר זה נערך בסיוע מכון מופ"ת

2

Achva Academic College of Education

The Development of Insight in Construction Problems of

Plane Geometry With or Without Computer Usage

Marita Barabash

Irena Gurevich

Dvora Gorev

2006

This research is supported by the MOFET Institute

3

תוכן הענייניםעמוד

3תארנים, תקציר, מטרת המחקר, שיטת המחקר4רשימת לוחות5רשימת איורים

11פרק ראשון – רקע תיאורטי ורציונל

מטרות בהצגת הוכחה בהנדסה1.1

מן התיאוריה של התפתחות החשיבה אל רמות התובנה1.2 סביבה ממוחשבת מאפשרת מגוון אפשרויות של ייצוג ויזואלי1.3 בעיות "שגרתיות" ובעיות "בלתי שגרתיות"1.4 היררכיה של בעיות בנייה1.5 מה בין תובנה לבין בעיות "שגרתיות" ו"בלתי שגרתיות"?1.6 מה בין תובנה ללמידה עם מחשב וללמידה ללא מחשב?1.7

פרק שני – מתודולוגיה24 שאלות המחקר2.1 אוכלוסיית המחקר2.2

מערך המחקר2.3משתני המחקר2.4

משתנים בלתי תלויים2.4.1משתנים תלויים2.4.2

כלי המחקר2.5מהלך המחקר2.6

4

30פרק שלישי - ממצאיםהבדלים בהתפתחות התובנה בהוכחות בגיאומטריה3.1 דרכים לשימוש במחשב עם שאלות בנייה בדרגות שונות של3.2

תובנה מעבר של בעיות בנייה ממעמד של "בלתי שגרתיות" למעמד של3.3

"שגרתיות" פרק רביעי - דיון בממצאים, במשמעותם ובהשלכותיהם

על ההכשרה להוראה61

66פרק חמישי – סיכום, מסקנות והצעות68רשימת מקורות

נספח

רשימת לוחות מספרהטבל

ה

שם הטבלה

התפלגות רמת התובנה לפי כתה1 ריכוז תוצאות ההתפלגות של רמת התובנה לפי רמות2

ואן הילה התפלגות השינוי ברמת התובנה אצל כלל הנבדקים3שינוי ברמת התובנה לפי שימוש במחשב4 אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ניתוח הבעיה5

1והבניה של שאלה אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ההוכחה של6

1שאלה אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב הניתוח של7

1שאלה אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ניתוח הבעיה8

2והבניה של שאלה אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ההוכחה של9

2שאלה

5

אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב הניתוח של102שאלה

אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ניתוח הבעיה113והבניה של שאלה

אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ההוכחה של123שאלה











הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי שימוש במחשב בהכשרה23ליסודי

הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי שימוש במחשב בהכשרה34לחט"ב

הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי שימוש במחשב בהכשרה25בשתי הכיתות

הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי מידת השיפור ברמת26

6

התובנה הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי קבוצת מחשב / לא27

מחשב טבלה מסכמת של הממצאים על השפעת המחשב לפי רמת28

התובנה של השאלה ולפי רמת התפתחות החשיבה )שלואן-הילה(

רשימת דיאגרמות מספר

הדיאגרמה

שם הדיאגרמה

תוצאות ההתפלגות של רמת התובנה לפי רמות ואן-1הילה

7

מריטה ברבש, אירנה גורביץ, דבורה גורב התפתחות התובנה בבעיות בנייה בגיאומטריה עם מחשב

ובלי מחשבהמכללה האקדמית לחינוך אחווה

[email protected] [email protected] [email protected]

תארנים בניות גיאומטריות, בעיות שגרתיות ובלתי שגרתיות, רמות התפתחות החשיבה בגיאומטריה של

ואן-הילה, רמות תובנה, סביבה של גיאומטריה דינאמית.תקציר

הדו"ח עוסק בהשוואה של התפתחות התובנה אצל סטודנטים הלומדים גיאומטריה עם מחשב לזו אצל סטודנטים הלומדים גיאומטריה ללא מחשב. בנוסף לכך, עוסק הדו"ח בבדיקת

לשימוש במחשב עבור שאלות בדרגות שונות של תובנה ברמות הנמוכות של הדרכים התפתחות החשיבה הגיאומטרית לפי ואן הילה וברמות הגבוהות של ואן הילה. כמו כן, הדו"ח

עוסק בהשפעה של המחשב על תהליך העברת בעיות ממצב המוגדר כ"בלתי שגרתית"ל"שגרתית".

לתהליך התפתחותבחלקו הראשון עוסק הדו"ח באיפיון התרומה של הלומדות בהקשר התובנה בבעיות בנייה אצל הלומדים. התוצאות של מבחן חי בריבוע מצביעות על הבדל מובהק בין הרמות הנמוכות והרמות הגבוהות בשני הסמסטרים, כלומר על גידול במספר

הסטודנטים בעלי רמות התובנה הגבוהות לקראת סוף שנת הלימודים יחסית לתחילתה. ההשוואה בין הסטודנטים אשר השתמשו בלומדה לבין אלה שלא שילבו מחשב במשך

לימודיהם מראה שבקבוצת המחשב אחוז הסטודנטים שאצלם חל שיפור רמת התובנה במשךשנת הלימודים יותר גבוה מאשר בקבוצה ללא מחשב.

בדקנו את האופנים השונים של שימוש בלומדה על ידי הסטודנטיםבחלקו השני של הדו"ח הנמצאים ברמות שונות של התפתחות החשיבה הגיאומטרית לפי ואן הילה תוך התמודדות עם

בעיות בניה מדרגות שונות של תובנה. התוצאות מראות שכל הסטודנטים נעזרים בלומדה לצורך ניתוח אך רק הסטודנטים ברמה הגבוהה מודעים לכך. העזרה של הלומדה לסטודנטים

mailto:[email protected]



8

הנמצאים ברמות הנמוכות היא בהבהרה ויזואלית של אי שוויון המשולש ומתן משמעות למשפט מעבר לציטוטו. העזרה של הלומדים לסטודנטים הנמצאים ברמות הגבוהות היא להנמקה

טובה יותר המשתפת הן את הכרת המשפט והן את הפרשנות למשפט זה. חקרנו את השפעתם גם של התפתחות התובנה וגם של שימושבחלקו השלישי של הדו"ח

בלומדה על תהליך העברת בעיות ממצב המוגדר כ"בלתי שגרתית" ל"שגרתית". מניתוח סטטיסטי של תוצאות הניסוי שנערך, לא נצפה הבדל משמעותי בתוצאות הלמידה בכל הקשור

בהעברת בעיות בנייה בסיסיות ממעמד של בעיות "בלתי שגרתיות" למעמד של "בעיותשגרתיות" בין אילו שלמדו

עם מחשב לבין אילו שלמדו ללא מחשב. בהקשר להשפעת התפתחות התובנה ניתן לציין כי בקבוצה שלמדה עם מחשב לכל הסטודנטים להם חלה עליית רמת התובנה התרחשה גם

הפיכת בעיית הבנייה ממעמד בלתי שגרתי לשגרתי.

מטרת המחקר ( בעת הצגת פתרון בעיה בגיאומטריה ובשיפור ההבנהinsightלחקור התפתחות של התובנה )

של התוכן הגיאומטרי. כלומר, התבוננות פנימה לעבר היכולות שמתפתחות בעת עיסוקבגיאומטריה

מיזוג של יכולת עבודה במצב לא מוכר, יכולת לבצע אתHoffer 1983שהן לפי הופר ))הפעולות שהסיטואציה דורשת במיומנות ויכולת לפתח שיטה שתפתור את הבעיה.

מטרת המחקר המוצע היא להשוות את התפתחות התובנה אצל סטודנטים הלומדים גיאומטריה עם מחשב לזו אצל סטודנטים הלומדים גיאומטריה ללא מחשב. ברצוננו היה לקשר

( ולבדוק מהן הדרכים האופייניות לשימוש2003מחקר זה למחקר קודם )גורביץ, גורב, ברבש במחשב בדרגות שונות של תובנה ברמות הנמוכות של התפתחות החשיבה הגיאומטרית לפי ואן

הילה ומהן הדרכים האופניות לשימוש במחשב בדרגות שונות של תובנה ברמות הגבוהות של ואן הילה. בנוסף לכך, התעניינו כיצד פיתוח התובנה בהתאם לרמות החשיבה השונות יכול

9

להשפיע על תהליך העברת בעיה המוגדרת עבור מחקר זה כ"בלתי שגרתית" למעמד של"שגרתית".

שיטת המחקר: המחקר משלב מחקר כמותי ומחקר איכותני. בעזרת שאלוני ואן הילה ושאלוני המשוב, באופן כמותי, בדקנו את האפיונים של תרומת הלומדות לפרחי הוראה בהתאם לסוג הבעיה, להרכב

השינוי ברמות לבדיקת tו- 2הקבוצה, בהתאם ללומדה ולסוג הקורס. ערכנו מבחני ההתפתחות של ואן הילה בהתאם לשימוש במחשבים ולבדיקת התרומה להישגים.

MARITA BARABASH, IRINA GUREVICH, DVORA GOREV –

The Development of Insight in Construction Probems of Plane

Geometry With or Without Computer Usage.

Achva Academic College of Education

[email protected] [email protected] [email protected]

Keywords:Basic Constructions in Geometry; Routine and Non-Routine Problems in Geometry; Van Hiele

levels of Geometrical Thought; Levels of Insight; Dynamic Geometry Environments.

Abstract




10

The report deals with the study of insights development of students being taught a geometry

course in computerized environment with respect to that of students who studied without any

computer usage. Besides that, the report deals with the investigation of various ways in which

the computer environment may be used to solve problem involving geometrical constructions

with students at different Van Hiele levels, and for problems of varying complicity. Furthermore,

the report deals with the contribution of computerized tools to the process of turning non-routine

geometrical problem into routine one.

The first part of the research deals with the impact of the computerized tools regarding to the

students' insights development in solving problems involving geometrical constructions. The

results obtained by 2 test indicate that the percent of the high levels insights' students was

significantly different at the end of the second semester by comparing to the same parameter at

the end of the first semester. This result point to the increase of insights level in the research

population by the end of the course. The comparison of the number of students that improve their

insight level in two groups: with the computer and without it, showed that the percent of students

that improve their insight level is higher in the computer group.

In the second part of the research we studied the different ways of DGE usage to solve problem

involving geometrical constructions by students at different Van Hiele levels, and for problems

of varying complicity. The obtained results showed that all the students used the computerized

environment in the analysis stage of solutions but only those belonging to the high level of

insights realized this fact. We focus on two key functions of DGEs: visualization and “imitation”

of geometric tools.

As to the second function, we find it equally applicable, efficient and useful for the students of

all levels as far as rather simple problems go. As to visualization, students who master inductive and deductive reasoning skills seem to take

advantage of possibilities DGE presents to them, both in search for solution for more

complicated problems, and in deeper analysis of simpler ones. On the other hand, students who

are less advanced in geometrical thinking, do not discern crucial details and properties of

geometrical objects on a display to the same extent as they do not discern them on the paper.

11

In the third part of the research we studied the contribution of both insights' development and

computer usage on the process of turning non-routine geometrical problem into routine one. The

obtained results didn't demonstrate any significant difference in the process of turning non-

routine geometrical problem into routine one between the students who used the DGE and those

who learned without computerizing tools. Refereeing to the contribution of insights'

development, it might be noticed that all the students from the computer group that demonstrated

the insight level' improvement succeeded in turning non-routine geometrical problem into

routine one as well.

The aim of the research: To investigate the development of students’ insights as far as constructions problems are

concerned. Referring to the insight as an integral part of Van Hiele theory, Hoffer (1983)

indicated among other components of insight “an ability to perform competently (correctly and

adequately) the acts required by the situation”. The aim of the present research is to compare the

insights development of students that learn the geometry course interlinked with computerized-

geometry course and of those who do not take an obligatory computers course. The presented

research is based on our previous research see Gurevich, Gorev, Barabash (2005) concerning the

DGE usage in geometry teaching to students of math-teacher training programs. We were

interested in studying the different ways in which DGE is used by students at different Van Hiele

levels in solving geometrical problem of different levels of complicity. Besides that, we were

interested to test how the insights' development related to different Van Hiele levels might

contribute to the transformation of non-routine geometrical problem into routine one.

Research tools:

The research combined quantitative and qualitative approaches. We used the Van Hiele tests

and specially designed questionnaires to test the contribution of DGE with respect to the type of

the problem, to the type of a course and to the structure of the learning group. We have set 2

tests to evaluate the change in students' insight levels as a result of computer usage as well as the

DGE contribution on students' achievements.

12

פרק ראשון - רקע תיאורטי ורציונל מטרות בהצגת הוכחה בהנדסה1.1

( טוענים שאחד משדות המחקר היותר מענייניםMarrades & Gutierrez, 2000מרדס וגוטיירה ) וקשים בחינוך המתמטי עוסק באופן שיש לסייע לסטודנטים להגיע לידי הבנה נאותה של

הוכחה מתמטית וכיצד לשפר את הטכניקות שלהם להוכחה. הוכחה טובה היא הוכחה שלא רק מוכיחה את הנכונות של המשפט, אלא גם עוזרת להבין

( קלות ביתר תתקבל כזו הוכחה והסברתו. הבהרתו ידי על המשפט ,Hannaאת 1998.) ( טוענת שפעמים רבות למילה הוכחה יש מובנים שונים אצל הלומד ואצל1992הרשקוביץ )

כלל מדוע מסבירה הלומד לדעת אשר ההצדקה, סוגי לכל להתייחס עלינו ולכן המורה

13

( מבדיל בין "הוכחות היחיד" – כל האמצעיםBalacheff, 1987גיאומטרי הוא הנכון. בלשף )יכולות לכלול יחיד שבעזרתם משתכנע )או משכנע( היחיד שכלל מסוים הוא נכון )הוכחות ההוכחה כל הבנת ללא לוגית בהוכחה שלב כל הבנת אינטואיטיבי, הסבר נאיבי, הסבר בשלמותה והבנת השלבים היסודיים של ההוכחה המתמטית ללא יכולת לפרט( ובין "ההוכחה

המתמטית הפורמלית" המקובלת על קהיליית מתמטיקאים. היא להתחיל את תהליך ההוראה בהסבריו של הלומד תוך כדיBalacheffמטרתנו כמורים לפי

הכוונה מדורגת לשלב ההצדקה הרצוי. ( טוען שהסטודנטים לא מבחינים בין הסברים, נימוקים או הוכחה. גםDreyfus, 1999 דרייפוס )

מתמטיקאים ופילוסופים מתקשים בכך אז בוודאי הסטודנטים. הוא מביא דוגמאות של עבודות של סטודנטים המצביעות על הבנה של החומר אך מציגים הסברים שאינם הוכחות מדויקות מבחינה הקהיליה המתמטית. מורים נוטים לקבל כל סימן על הבנה של סטודנטים כהסבר משביע רצון, אפילו אם השפה המתמטית והמניפולציות רחוקות מלהשביע רצון. המורה מחפש בתשובת הלומד כל קשר שהוא בין הנתון לבין ה"צריך להוכיח". נימוק ויזואלי יכול לעזור מאודהויזואלית התמונה ניתוח של במובן אנליטית היא ויזואלית הנמקה ההצדקה. בתהליך יכולה לכלול בנוסף ביצוע טרנספורמציות על התמונה המתקבלת המתקבלת. הנמקה כזו והסקת מסקנות על היחסים המתמטיים כתוצאה מפעולות אלה ואילו יכולות להיות הוכחות קפדניות. ההוכחות מהסוג הזה יכולות להיות הוכחות קפדניות מאוד מבחינה מתמטית, כיווןשאין הכוונה להתייחס לבדיקת ההשערות בדרך ניסויית, אלא, בהצדקת ההסברים. דרייפוס )

ibidטוען שקבלת הסברים כמדויקים מבחינה מתמטית היא גמישה והמורים צריכים להחליט ). בעצמם ולידע את הסטודנטים מה מתקבל כהסבר או להגיע להסכמים בין מורים לסטודנטים לגבי מה שמקובל או לא מקובל במתמטיקה. הקריטריונים המפרידים בין הסברים, נימוקים,

( אףWinslow, 1998( וונסלאו )Kleiner, 1991הצדקות והוכחות אינם חדים וברורים. קליינר )טוענים חוקרים ויותר יותר כיום משתנים. כלומר, בתקופה, תלויים שהקריטריונים טוענים שקבלתם או דחייתם של הקריטריונים מהווים אקט חברתי. השינויים המהירים בטכנולוגיה ובכלכלה בנוסף להתעניינות בגישות השליליות שיש לתלמידים ביחס ללימודי המתמטיקה הוביל

עם פרסום ה1989לקראת חשיבה מחדש על המטרות בחינוך המתמטי. התהליך החל ב- NCTM-וה -NRCשמיקדו את הלימוד בפיתוח הנמקה, תקשורת ופיתוח יכולות לפתרון בעיות

.Borasi, Siegal & Fonzi, 1998ולהבנת הרעיונות החשובים של המתמטיקה ))( בל של Bellעבודותיהם 1976( דה-ויליירס ושל )De Villiers 1990, למספר1996 הובילו )

הסכמות כלליות על מטרות של הוכחות מתמטיות:לאמת או להצדיק את הנכונות של טענה

14

להבהיר או להסביר למה טענה היא נכונה,על אקסיומות )מבוססות דדוקטיבי שהושגו באופן תוצאות סיסטמתי לארגן באופן

הגדרות, משפטים(לתקשר או להעביר ידע מתמטי.לספק אתגר אינטלקטואלי לכותבי ההוכחה

נוכל לסכם ולומר שהמטרות של המחקרים בנושא זה השתנו ממחקר של טעונים דדוקטיביים במתמטיקה ושיפור המיומנויות בהצגת הוכחה פורמלית של משפט לחקר ההתפתחות בתובנה של עשייה גיאומטרית ובדרכים לשיפור ההבנה. שינוי זה במטרות נעשה גם בעקבות מחקרים המראים שללומדים בכל הגילאים )כולל סטודנטים להוראת המתמטיקה( יש קשיים ברכישת

ורבים מהם בעלי תפיסות מוטעות ) ( בהקשר למושגיםmisconceptionsמושגים בגיאומטריה ( ,Hershkowitzהגיאומטריים 1987, Hoffer, 1981, Usiskin, לדימוי1982 יש מרכזי אפקט .)

המושגים בגיאומטריה שעשויים להיות חלקיים או לא נכונים )למשל, המושג ריבוע אשר משפיע( ( טוענת שקיימים קשרים אסוציאטיביים במוחם של1992על המושג מרובע(. הרשקוביץ

הלומדים והם המשפיעים על בחירת פריטי המידע שהם מתייחסים אליהם, תוך התעלמותצריך לקחת גיאומטריות הלומד מדובר בטענות כאשר שיש ברשותם. ושונה נוסף ממידע בחשבון בו זמנית כמות גדולה של מידע )קשרי תכונות בין אובייקטים, הגדרות, כללי היסקבין קשרים שיכיל מבנה ליצור עליו שברשותו במידע להשתמש יוכל שהלומד כדי וכו'(. האלמנטים ולא רק אלמנטים מבודדים. לטענתה, גם לאחר שנים רבות של לימוד גיאומטריה,

.( מסבירהibidוללא קשר עם רמת הלימוד, ללומדים רבים אין מבנים נאותים. הרשקוביץ ) את הכישלונות במתמטיקה בתהליך האינדוקטיבי של גילוי המשפט שהוזנח בהוראה הקלאסית של הגיאומטריה הדדוקטיבית. התכונות הכלליות )המשפטים( אינן "מומצאות מחדש" על ידי הלומדים, אלא, נכפות עליהם ולכן ההתמודדות של הלומד הנה עם תהליכי ההוכחה בלבד. בנוסף לכך, לדעתה, חלק מהקשיים נובעים מחוסר בגרות לוגית הדרושה להוכחה פורמלית,

או להרגשת צורך בהוכחה פורמלית. מחקרים נוספים מראים שרוב הלומדים גיאומטריה לא מגיעים למצב של שליטה בהצגת

(. יתר על כן, אין מחקר המאשרGalindo, 1998, Martin & Harel, 1989, Senk, 1985הוכחות ) & (Hiebertשפיתוח מיומנויות הוכחה בגיאומטריה מוביל ליישומם בתחומים אחרים במתמטיקה

Carpenter, 1992( קלמנטס .)Clements, 2002טוען שתוכניות לימוד וחומרי לימוד חייבים להיות ) האמפיריים הממצאים ועל התיאורטיים העקרונות את המתארים מחקרים על מושתתים תוכניות לבין המחקרים בין גומלין יחסי להיות צריכים לטענתו, אלה. במחקרים שנמצאו הלימודים וחומרי הלימוד. להלן, נציג את העקרונות התיאורטיים עליהם התבססנו במחקר,

15

נציג את הממצאים מהמחקר ואת המסקנות שלנו לגבי השפעת המחקר על תוכנית הלימודיםועל חומרי הלמידה.

מן התיאוריה של התפתחות החשיבה הגיאומטרית אל רמות התובנה1.2 במציאת דרכי מראה שכבר לפני שנים רבות הוא התעניין 1957עיון במחקרו של ואן הילה מ-

התפתחות הבנה אצל הלומדים. בעבודתו מאפיין ואן-הילה את ההבנה באופן הבא: הלומדפעילויות לבצע חדשה, בסיטואציה הנלמד את ליישם מסוגל הוא אם הנלמד, את מבין

,Van Hieleהנובעות מן הסיטואציה בדרך נכונה ומתאימה ולהציג את הדרך הזו בצורה מודעת )

1999 .)

על פי התיאוריה של ואן-הילה, ניתנת התפתחות החשיבה במתמטיקה, ובפרט בגיאומטריה, רמות.5לסידור היררכי בן

( ואן-דורמולן1987(, פטקין )1989תיאור הרמות הניתן כאן מבוסס על הרשקוביץ ) (. התיאור מוסר את החלוקה לרמות כפי שנקבעה2003( וגלבוב-גוברמן )1996אברהמי )

, ללא השינויים במספר הרמות שהוכנסו מאוחר יותר:1957על ידי פייר ואן-הילה ב-

( - ברמה זו יכול התלמיד ללמוד מכלול של צורות גיאומטריות,Recognition – הכרה )1רמה ( – ברמהAnalysis – אנליזה )2יודע לזהות צורות גיאומטריות, ולהבחין בין צורות שונות. רמה

( - התלמיד מבין אתOrdering – סידור )3זו התלמיד יכול לזהות ולנתח תכונות של צורות. רמה הסדר הלוגי של הצורות, את היחסים בין הצורות ותכונותיהן, ואת חשיבות ההגדרות המדויקות.

– דדוקציה )4רמה Deductionהתלמיד מבין את משמעות הדדוקציה כאמצעי לפיתוח - ) האקסיומות, ההגדרות, היסוד, מונחי של תפקידם את מבין הוא גיאומטרית, תיאוריה

– דיוק )5המשפטים וההוכחות )כחוליות בשרשרת של המבנה הדדוקטיבי(. רמה Rigor- ) דדוקציות מסוגל לבצע הוא שונים, מבין את חשיבות הדיוק. כשעוסקים במבנים התלמיד מופשטות, תוך שהוא מבין את ההיבט הפורמלי של דדוקציה. ואן-הילה מדגיש שהתקדמות מרמה אחת לרמה הבאה אחריה תלויה בתהליך ההוראה, ועל המורה לבנות את הוראתו על

פי השלבים הללו.

בשנות השמונים התחילו בארצות הברית במחקרים שמטרתם הייתה בחינת תוקף המודל של)ואן-דורמולן אברהמי, הניבוי והתוקף - התוקף התיאורי יוזכרו בקצרה1996ואן-הילה .)

ממצאים מיוחדים הרלוונטיים למחקר הנוכחי:

16

ניתן לקבוע את רמת החשיבה בגיאומטריה של תלמידים, אבל קשה לסווג בצורה (.Usiskin, 1982מהימנה תלמידים שנמצאים במעבר מרמה אחת לשניה )

הלימודים בתכנית שונים נושאים עבור שונות ברמות להיות יכולים תלמידים (Mayberry, 1983.)

א. למספר תלמידי תיכון יש רעיונות לא שלמים על צורות גיאומטריות בסיסיות ועל תכונות שלהן. ממצא זה מסביר חלק מהתסכול שיש לתלמידים ולמורים בגיאומטריה:תלמידים אוקלידית. גיאומטריה להבין כדי מספיק עמוקים שורשים אין לתלמידים ומורים פועלים ברמות ואן-הילה שונות, וזה המקור לחוסר הבנה בין המורה והתלמיד.

נראה שהרמות הן דינמיות ואינן סטטיות. תלמידים יכולים לנוע מספר פעמים הלוךב. וחזור בין רמות, בזמן שהם נמצאים במעבר בין רמה לרמה. בזמן הראיון, בביצועבין רמה אחת לשניה. תלמידים הנמצאים "התנדנדו" אותה משימה, התלמידים

ברמה מסוימת מעדיפים את הביטחון היחסי של הנמקה ברמה נמוכה יותר( Shaughnessy & Burger, 1985.)

0ישנם תלמידים הנמצאים ברמה“( non-level”( Senk, 1989, Clements &) Battista,

1992.) תוצאות מחקרה של סנק Senk, 1989מראות שהימצאות ברמה השניה היא קריטית ))

כמצב ראשוני של תחילת השנה כדי להגיע למצב של יכולת שליטה בהוכחות פורמליות. בקרב תלמידי התיכון הינה איטית4 לרמה 3 דרך רמה 2בנוסף, ההתקדמות מרמה

((.Senk, 1989 4ביותר ורק אחדים מהתלמידים מגיעים לרמה ,בזו זו תלויה בלתי ייחודית התפתחות ישנה קוגניטיבית פעילות של שונים לסוגים

כלומר, אותם סטודנטים יכולים לפעול ברמות שונות של ואן-הילה בהתאם למשימהDuval, 1998.))

( מייבריMayberry, 1983ביצע מבחן מהימנות של סולם גוטמן לרמות ההתפתחות של ) ואן-הילה והראה שהחלוקה מהימנה.

( נראה בבירור2003מן המחקרים שהצגנו לעיל וממחקרנו הקודם )גורביץ, גורב, ברבש, שקיימת שונות רבה ביכולות של הלומדים, כאשר יותר לומדים נמצאים ברמות הויזואליזציה שלאינם עדיין פורמלית ברמה גיאומטריה ללמוד שאמורים מהלומדים ניכר חלק ואן-הילה. מסוגלים לעשות זאת. זה כולל יכולת להציג או להבין הגדרה פורמלית של אובייקט גיאומטרי, לבנות או לעקוב אחר טיעון פורמלי ולעסוק בפתרון בעיות גיאומטריות ברמה מתאימה. מצב

זה יוצר סתירה בין הביצוע המצופה בגיאומטריה לבין הרמה החשיבתית בה נמצא הלומד.

17

, נתמצת את הגדרת אחדVan Hiele שהרחיב את התיאוריה של Hoffer(1983)בעקבות

האפיונים של הידע האישי במתמטיקה - תובנה, כמיזוג של שלושת היכולות הבאות:

o;יכולת תפקוד במצב לא מוכרo;יכולת לבצע את הפעולות במיומנות o.יכולת לפתח שיטה שתפתור את הבעיה

ניסחו כלי לאפיון התובנה של כל תלמיד ותלמיד ביחס לנושא לימוד,2006 ברבש וגוברמן ב –

יהיו נושא הלימוד ורמתו אשר יהיו. אנו נתייחס לכלי זה כאל סולם ברבש-גוברמן. באמצעות

כלי זה ניתן לאפיין את רמתו של כל לומד ביחס לנושא הלימוד השוטף ובהתאם לרמתו

המתמטית, על סמך המערך הדו- ממדי הבא:

רמות ההתפתחות

רמות התובנה

רמות נמוכות של ההתפתחות המתמטית –

VHמקבילות לרמות

(0-1נמוכות )

רמות ביניים של ההתפתחות המתמטית –

מקבילות לרמות בינייםVH (2 - 3)לפי

רמות גבוהות שלההתפתחות המתמטית –

VHמקבילות לרמות (4-5גבוהות )

רמת התובנההראשונה

רמת התובנההשנייה

רמת התובנההשלישית

רמת התובנה אנו משערות שברמתהרביעית

החשיבה הזאת רמות התובנה האלה אינןמושגות בדרך כלל

רמת התובנההחמישית

כאשר רמות התובנה מתוארות בטבלה הבאה:

18

רמות התובנה בקנה מידה של לומד בודד כמדד להתקדמות בלמידה:

רמת התובנההראשונה

רמת התובנההשנייה

רמת התובנההשלישית

רמת התובנההרביעית

רמת התובנה

החמישיתהבנה ראשונית

primary comprehension

הבנהאינסטרומנטאלית

instrumental level

קישור בלתיאמצעי

direct association

קישור בלתיישיר

indirect association

קישור התמצאות

חופשית free

orientation

יכולת התמודדות. 1 עם דוגמה פרטית

לזוהדומה מאד שבעזרתה הודגם

החומר החדש; . חוסר יכולת מצד2

הלומד להציע דוגמה פרטית בכוחות עצמו,

או יכולת להציע או להתמודד עם דוגמה

דומה מאד לזו או זושבהקניה

המתקשרת הישרלחומר שבהקניה;

. אם מדובר3 במיומנות חדשה או באלגוריתם חדש –

יכולת לחזור על תהליך בצורה שבה

הוא נלמד, כאשר במקרה הצורך ניתן

להיעזר בנלמדבשיעור;

. יכולת שליטה4 מוגבלת, לא בטוחה

ולא מדויקת במונחים חדשים שנלמדו; לומדים ברמה זו

יכולים לקרוא למספר "ספרה" ולהפך,

לצלע לקרוא "קדקוד", וכדומה: אם התקיים שיעור

. יכולת של יישום1 ישיר של החומר

הנלמד, כולל זיהוי התנאים של

הישימות שלו בקונטקסט

מתמטי ישיר; . יכולת2

התמודדות עם דוגמאות הדומות

לאילו של ההקניה או עם דוגמאות

המבססות באופן ישיר על ההקניה

אך בשינויים קלים, תוך

מודעות לשינוי ולקשר למה

שנלמד במהלךההקניה;

. אם מדובר3 במיומנות או

באלגוריתם חדש - יכולת יישום

בנסיבות דומות לאילו של

ההקניה, כאשר את רוב בתהליך

יכול הלומד לבצע לבד ברצף,

בהסתמך על זכירה ו / או עלהבנת השלבים.

. יכולת לקשר1 את המושג הנלמד עם

מושגים אחרים המוכרים

ללומד לפחות באותה רמה של חשיבה

מתמטית, אם המושגים האלה

"קרובים ממדרגה ראשונה"

למושג הנלמד, למשל, אם

אחד המושגים מוזכר בהגדרת המושג השני או ההפך, מסתמך

עליו. . יכולת לזהות2

את המושג החדש כשלב

ראשון או אחרון של פתרון בעיה

רב שלבית או של תהליך מתמטי רבשלבי אחר.

. אם מדובר3 במיומנות או באלגוריתם

חדש – יכולת

. יכולת1 לזהות את פריט הידע

הנרכש בנסיבות בהן

קיומו לא"שקוף".

. יכולת2 לזהות את

המושג החדש ולהשתמש בו

בנסיבות מתמטיות מורכבות,

כגון, באחד השלבים של

בעיות רב שלביות )שלבי

ביניים, לא שלב ראשון או אחרון(; כאחד

מתנאים במשפט רב

תנאים, ועוד. יכולת לקשר

את המושג החדש למושג

חדש אחר שנלמד או

למושג מתחום מתמטי אחר,אבל "קרוב".

. אם מדובר3

. שליטה1 חופשית במושג

הנרכש; עצמאות בקבלת החלטה

לגבי נכונות השימוש בו

במצבמורכב

. יכולת2 הסתמכות על המושג

ללמידת מושגיםחדשים;

. יכולת3 זיהוי נסיבות

השימוש במושג

החדש או באלגוריתם החדש בהם

שימוש זה לא נלמד

בכיתה ולא הוזכר על ידי

המורה. . שליטה4

חופשית ונכונה

במונחים

19

מתאים בהם הצביע המורה על אלמנטים שונים של מצולעים,

הם היודעים ש"צלע" ו"קדקוד" שייכים

לתחום זה, אך עדיין לא מבחינים היטב בהבדל, וזקוקים למספר רב של

דוגמאות מפורטות כדי ללמוד את שני

המושגים. ההסברים ברמה זו יכולים

להינתן רק כנתמכים על ידי דוגמאות,

"שיטת הוראה מסדרשני".

. אם מדובר4 במונחים חדשים כחלק מלמידת

חומר חדש – המונחים החדשים עדיין אינם שגורים

בפיו של הלומד, אבל השימוש בהם יותר רלוונטי ויותר

בטוח.

זיהוי נכון של נסיבות

רלוונטיות ליישומם ויכולת

יישום, כאשר התנאים ליישום

גלויים, "שקופים

ומוכנים". יכולת לבצע פעילות המבוססת על האלגוריתם או

המיומנות החדשה ברובה

בלי להזדקקלעזרה חיצונית.

. שימוש לשוני4 סביר במונח

חדש או במונחים

הקשורים לחומר החדש

הנלמד.

במיומנות או באלגוריתם

חדש – יכולת לקבל החלטה עצמאית לגבי רלוונטיות שלו כשלב בפתרון

בעיה או להשתמש בו

ברמת מורכבות

גבוהה יחסית.

. שימוש4 בטוח ונכון

במונחיםהחדשים.

בלשון מתמטית הקשורים

בידע החדש.

,Van Hieleהדגשים העיקריים בהתייחס לרמות ההתפתחות הגיאומטרית כפי שהוגדרו על ידי הם רמת ההתפתחות המתמטית של הלומד, המשקפת את הבשלות המתמטית שלו במכלול מושגים, מיומנויות ודפוסי חשיבה, כולל השפה המתמטית. הדינמיקה של תהליך השינוי של הלומד ביחס לרמות אלה, כלומר הדינמיקה של המעבר מרמה לרמה, מתאפיינת בקצב של תהליכים גלובליים עבור האישיות. לעומת זאת, כאשר מתייחסים לרמות התובנה, מתמקדים

, נושא הלמידהבנקודת הזמן הנתונהבמכלול של מספר מאפיינים: הלומד ורמתו המתמטית ורמת ההתקדמות של הלומד בלמידת הנושא. דינמיקה של תהליך השינוי של רמות כאלה מתאפיינת בקצב של למידה יומיומית של לומד ממוצע. מעקב אחרי תהליך זה והבנייתו הוא למעשה חלק מתהליך ההוראה. עובדה זו מאפשרת, מחד, לערוך מעקב בזמן אמת אחר ההתפתחות של רמות אלה, ומאידך, מאפשרת גם השפעה בזמן אמת על התרחשות תהליך זה. במחקר זה, אנו מסמכים על כל המאפיינים המתוארים כאן של רמות התובנה, לצורך

מעקב אחר השפעת המחשב עליהן.

20

סביבה ממוחשבת מאפשרת מגוון אפשרויות של ייצוג ויזואלי 1.3

לדור הראשון של התוכנות הייתה היכולת של בניות גיאומטריות ועריכת שינויים על ידי שינויים סימבוליים או גרפיים, יכולת של מדידות וחזרה על מדידות כך שנוצר מאגר נתונים. יכולות אילו

. הדור העכשווי של התוכנות הןHanna, 1998, )1996אפשרו שינוי בשיטות ההוראה )רייז, . הן מאופיינות בכך שקיימת בהןDGEs( - dynamic geometry environmentsתוכנות דינמיות )

,Healy( & Hoylesהאפשרות לשינוי רציף ודינמי על ידי גרירה של מרכיבים שונים של הצורה )

2001, Goldenberg & Cuoco,1998“ ,"הכלים הממוחשבים )למשל "המשער הגיאומטרי .Cabri” או "הנדסה בתנועה"( יכולים לשרטט במדויק כל בניית עזר גיאומטרית שהלומד מעונין ובכך לשפר את ההבנה של הוכחות – גם כתוצאה מהשרטוט המדויק, גם כתוצאה ממעקב אחר

.(ibidתהליך הבניה וגם כתוצאה מהצגה של דוגמאות מתאימות נוספות. גולדנברג וקושו ) מציינים שיש הבדל בהשפעה של הלומדה על הלומד אבל המשותף לעבודה עם לומדות הוא שהלומד נמצא באינטראקציה בו זמנית עם אלמנטים ויזואליים ועם תיאור אנליטי שלהם. כמו

כן, הם מציינים שיש להכיר בהבדלים שבאינטראקציות בין לומדים שכבר יודעים מתמטיקה לבין אלה הנמצאים בשלב ההכרות של מושגים ושל תהליכים רלוונטיים. קל יותר ללומדים

,(Cuocoלראות את המשמעות של היחסים המשתתפים בהוכחה או של היחסים שיש להוכיח Goldenberg & Mark, 1995( מסון .)Mason, 1993טוען שהמחשב יוצר תמונה מנטלית לבעיה )

( דנה בויזואליזציה שבגיאומטריה.1992ומספק לתלמיד משוב לנכונות המשפט. הרשקוביץ ) לטענתה, האלמנטים החזותיים הם מרכיב דומיננטי. העצמים הם ויזואליים והטרנספורמציות

שמפעילים על העצמים נותנות תוצאות ויזואליות ולכן הייצוגים במחשב עשויים לעזור ללומדים. תוכנות דינמיות בגיאומטריה יכולות לסייע בהעלאת השערות, בדיקתן, אישושן או הפרכתן תוך

(. לבניות בגיאומטריה, אותןChazan & Yerushalmy, 1992ייצור דוגמאות לפי צורכי הלומד ) ניתן להעריך כאשר הן מוצגות על דף, יש בנוסף לשרטוט גם משמעות השייכת לתיאוריה של

הגיאומטריה. כל בנייה מתייחסת לאקסיומה או למשפט בתיאוריה. התיאוריה מתקפת את נכונות הבנייה, כלומר, היחסים בין האלמנטים בשרטוט של הבנייה הגיאומטרית מושתתים על

.Mariotti, 2000התיאוריה בגיאומטריה לפיה עובדים )) ( טוענת שהעבודה בחקר מונחה עם מחשבים מושתתת על הגישהArtigue, 1997 ארטיג )

הקונסטרקטיביסטית הרואה את ההבנה כתהליך של הבניית הידע. הדס, הרשקוביץ ושוורץ )Hadas, Hershkowitz & Schwarz, ללומדים2000 שונות תמיכה אפשרויות שש מציינים )

גיאומטריה בסביבה דינמית: לשמש סביבה לימודית המאפשרת העלאת השערות, לאשש או להפריך השערות, להוביל סטודנטים מהשערה אחת לאחרת במקרה שההשערה לא אוששה

21

ולא הופרכה, להוביל תלמידים אל הצורך ביצירת מספר ניסיונות אינדוקטיביים מספיק ומגווןלספק לבעיה, המתאימה דוגמא של בנייה לאפשר נכונה, היא שמסקנה להשתכנע כדי מקורות הסבר נוספים. תפקיד נוסף של המחשב הוא לספק תמיכה גלובלית על ידי הקשרים

( כאשר שפת התוכנה מספקת הןdiSessa, 1985, Hoyles & Healy, 1997הנעשים בידי הלומד ) (. תכנון התוכנהHealy & Hoyles, 2001משוב והן הזדמנות לתקשורת על האסטרטגיות לפתרון )

מתמקד במתן אפשרות לסטודנט לבנות את הידע סביב תוכן מתמטי משמעותי, שבדרך כלל (. היברטYerushalmy, 1999לא מתקבל כאשר משתמשים בשפה המסורתית ובכלים מסורתיים )

( טוענים שהמשמעות המתמטית נבנית עבור הכלי כפי שמתכווניםHiebert et al., 1997ועמיתיו ) להשתמש בו ולכן הלומדים בונים משמעות מתמטית עם הכלי. בסביבה הממוחשבת המשמעות

מעוצבת מחדש שכן תשומת לב הלומד מופנה לאובייקטים חדשים וליחסים אחרים( Hoyles & Noss, 1992, Papert, 1992(( בטיסטה וקלמנטס .)Battista & Clements, 1995מצאו

במחקרם שבאופן אירוני הדרך הטובה ביותר לתת משמעות להוכחה גיאומטרית עבור רוב התלמידים היא להימנע מעיסוק בהוכחה בשלב ראשוני. במקום להתרכז בהוכחות ובנימוקיםאת להוביל יותר מאוחר ורק אמפירית בדרך הויזואלית ההבנה את כל קודם לבנות יש התלמידים להעריך את הצורך בהוכחה פורמלית. אם לומד נעשה מודע ליכולת של המחשב לתמוך בו בכיוונים אלה, אזי תמיכה זו תתרום לביצועים שלו, ליכולותיו האנליטיות ולפיתוח

התובנה שלו בהוכחות גיאומטריות.

בעיות "שגרתיות" ובעיות "בלתי שגרתיות"1.4 המתמטיקאית אמי נטר, כאשר נשאלה מה פירוש "לפתור בעיה במתמטיקה?" ענתה:

"פירוש הדבר להביא אותה למצב של בעיות אותן אנו כבר יודעים לפתור".

תהליך הלמידה במתמטיקה נבנה בצורה זו או אחרת על התרת בעיות. המדדים לטיב תהליך ההוראה הם מגוון הבעיות אותן לומדים התלמידים לפתור בהקשר לנושא מסוים, מגוון המיומנויות להן הם נזקקים על מנת לפתור סוג מסוים של בעיות, היכולת שלהם לשלב מספר פרקי ידע ומספר אלגוריתמים ומיומנויות מורכבות במהלך התמודדות עם בעיה, ועומק הבנתם

את המושג עצמו "פתרון" לבעיה.

אי לכך, על מנת להתקדם בלמידה, על הלומד לצבור יותר ויותר ניסיון בפתרון בעיות. יתרה מזאת, הלומד מרגיש בעצמו שהוא התקדם בלימודיו אם הוא מרגיש יותר ויותר בטוח לגבי

יכולתו להתמודד עם מגוון בעיות רחב ככל האפשר, גם ברמה וגם בתוכן.

22

בהתאם לאמירתה של אמי נטר המשקפת נאמנה את מבנה הדעת של המתמטיקה, למידתה מתבטאת בצבירת מגוון בעיות אותן יודע הלומד לפתור. למעשה, כאשר הוא מגיע לבעיה כזאת, הוא נושם לרווחה: הוא מגיע לשלב אתו הוא יודע להתמודד, וזה בעיניו שקול להשגת התוצאה הרצויה – ולא רק בעיניו – זו תוצאה רצויה בפועל. כך, אם התלמיד פותר

בעיית דרך ומגיע למשוואה מהסוג המוכר לו – הוא יודע שלמעשה פתר את הבעיה ולא נותרלו אלא לבצע מספר אלגוריתמים מוכרים והתשובה בידיו.

על כן, ללמד תלמידים מתמטיקה פירוש הדבר לצייד אותם ומגוון רחב ככל האפשר של בעיות אותן יידעו לפתור וגם לזהות בתוך התוכן המתמטי אתו הם מתמודדים. לבעיות כאלה

: Gorev, Gurevich, Barabash, 2004 ) )בעיות שגרתיותנקרא "The problems we are relating to, we subdivided essentially in two categories: routine

problems and non-routine problems. By routine problems we mean those familiar to the students

as far as their contents, assignment and algorithm of solution go. Thus, we regard the concept of

routine as one dependent to a great extent on a student and his experience in geometry. Any

problem, even a “simple” one, whose contents is unfamiliar to the student or in which the

question is posed that a student has never before come across, is by our definition, a non-routine

one. Hence, this approach is directly related to the students’ insight, i.e. to the ability of the

student to cope with unfamiliar situation, to adjust him or herself to a new content or to an

unusual way of thinking, and to demonstrate competence and an ability to decide upon the way

of solution" (Gorev, Gurevich, Barabash, 2004 ).

בהתאם להגדרות של "בעיות שגרתיות" ו"בלתי שגרתיות" במחקר שלנו )גורביץ, גורב, ברבש,בלתי2003 מה"מעמד" של הבעיות סוג לבין המעבר של אפיוני התובנה בין יש קשר ,)

שגרתיות למעמד של שגרתיות. הגדרנו בעיה כבלתי שגרתית עבור הלומד, אם הוא עדיין לא התנסה בפתרון בעיות מן הסוג הזה או בתחום או בנושא הזה של הגיאומטריה. כך, אפילו בעיות שכתוצאה מהלמידה עתידות להפוך לשגרתיות, מהוות אתגר בשלב ההיכרות איתן. משמעות הקשר של מושג זה לתובנה היא ביכולת להתמודד עם בעיות בלתי שגרתיות עד כדי שליטה בשיטה, דהיינו, עד אשר בעיות אלה חדלות להיות בלתי שגרתיות עבור הלומד. אנחנו מצפות וגורסות כי אחד האפיונים של שימוש משמעותי במחשב בלימוד הגיאומטריה הוא פיתוח

וחיזוק הקשר הזה.

23

היררכיה של בעיות בנייה1.5

בעיות בנייה בגיאומטריה של מישור נדחקו בשנים אחרונות מתכניות לימודים בגיאומטריה. לא ננתח כאן את הסיבות לכך – אין הן רלוונטיות למחקר הנוכחי. עם זאת, אנחנו בטוחות שסוג זה של בעיות הוא חלק בלתי נפרד מלמידה משמעותית של הגיאומטריה. בעיות אלה מיישמות את הידע הגיאומטרי ברמות השונות שלו, מעמיקות אותו ומביעות בצורה מובהקת כמה מאפיונים החשובים ביותר של מבנה הדעת של המתמטיקה. משמעות מיוחדת בבעיות אלה קיימת למושג "פתרון הבעיה", שכן לבעיות שונות ייתכן מספר פתרונות, ניתן לנתח את

התלות בין מספר פתרונות לתנאיי הבעיה; בעיות בנייה גיאומטריות קשורות קשר אמיץ למשפטי חפיפה, לאי שוויונים גיאומטריים, למושגים כמו המקום הגיאומטרי ולמושגים אחרים.

בהמשך, בניתוח דוגמאות, נאייר חלק מהנאמר כאן. בין היתר, משמשות בעיות בנייה כמכלול דוגמה בולטת להבניית הידע המתמטי בצורה של

צבירת בעיות שגרתיות ככלים לפתרון בעיות אחרות. כדי להסביר זאת, נעקוב אחרי ההיררכיהשל בעיות בנייה, ממיומנויות בסיסיות ועד לבעיות מורכבות יחסית בגיאומטריה של המישור:

מיומנויות בנייה בסיסיות בעזרת כלי שרטוט גיאומטריים - מחוגה וסרגל: התווית מעגל,.1שרטוט קטע ישר; מציאת נקודת חיתוך בין שני מעגלים, בין שני ישרים, בין מעגל לישר.

בניות בסיסיות המושתתות על המיומנויות הבסיסיות: העתקת קטע; העתקת זווית; חציית.2 קטע; חציית זווית; הטלת אנך מנקודה לישר הנתון; הצבת אנך בנקודה על הישר הנתון;

בעיות בניית משולשים המיישמות את שלושת משפטי החפיפה העיקריים. בניות אלה.3 מושתתות על הבניות הבסיסיות – לפחות על חלקן. ללא שליטה "שגרתית" בבניות הבסיסיות לא יתקדם התלמיד בבניית המשולשים. בניות אלה מיישמות את שלושת

משפטי החפיפה, מכיוון שלמעשה כתוצאה מביצוע כל אחת מהבניות של משולש: לפי צלע-זווית-צלע, לפי זווית-צלע-זווית, ולפי שלוש צלעות, הפתרון, אם וכאשר הוא

פתרון, על סמך משפטים אלה. אמנם בחלק מהבניות במהלך הבנייההמתקבל – הוא מתקבלים שני משולשים או יותר העונים לדרישות בעיית הבנייה, אך משולשים אלה

חופפים ביניהם. במקרים אלה אנו אומרים שקיים פתרון יחיד עד כדי חפיפה: אם לאמבחינים בין משולשים חופפים, אזי הפתרון לבעיה הוא יחיד.

אולם, כאשר מבצע תלמיד בניות שגרתיות במהלך התרת בעיות הבנייה, הוא עלול להיתקל במצב שבו "לא יוצא": התהליך המתוכנן משתבש. למעשה, על המורה לתכנן את בעיות הבנייה במהלך התרגול בצורה כזאת שבשלב מסוים התהליך אמנם ישתבש: למשל, להציע לבנות משולש שבו שתי זוויות קהות, או משולש שבו שתי צלעות קצרות

24

מדי לעומת הצלע השלישית, כלומר, המשולש "לא נסגר". במצב כזה יתחיל התלמיד ליישם לא רק את משפטי החפיפה, אלא גם את התובנות הקשרים בין האלמנטים של

המשולש אותם הוא למד במהלך לימודי הגיאומטריה. במהלך לימוד כזה, גם קשריםאלה יהפכו ל"בעיות שגרתיות".

בעיות בנייה המיישמות את משפטי החפיפה של משולשים מיוחדים: משולשים שווי.4 שוקיים ומשולשים ישרי זווית. גם הן מתבססות על הבניות הבסיסיות, ובמהלך ביצוען

מבינים התלמידים מדוע יש משפטי חפיפה מיוחדים עבור משולשים אלה ומדוע אפשרלבנות אותם על סמך שני נתונים בלבד.

בעיות בנייה אשר אינן מיישמות את משפטי החפיפה הידועים, אך עדיין מתבססות על.5 צלעות וזוויות של משולש בלבד. בעיות בנייה אלה מובילות לתובנות ברמה גבוהה יותר: למשל, מדוע משפט החפיפה הרביעי מנוסח כפי שהוא מנוסח, מדוע לא קיים משפט חפיפה על סמך הזוויות בלבד, וכדומה. בעיות בנייה אלה מתבססות גם הן על הבניות

הבסיסיות אך גם על בניות משולשים המיישמות את שלושת משפטי החפיפה העיקריים: שליטה בביצוע בניות אלה, בניתוח מספר הפתרונות בהן ובתנאים לקיומם של

הפתרונות תביא לכך שהתרת בעיות הבנייה המוזכרת בשלב זה תוביל לתובנות.

בעיות בנייה של משולשים על סמך נתונים מסדר שני: תיכונים, גבהים, חוצי זוויות,.6 רדיוסים של המעגל החסום והחוסם, הפרשים בין צלעות; בעיות בנייה של מרובעים לפי

נתונים מסדר ראשון ושני ועוד. כדי לפתור בעיות אלה, חייבים התלמידים לשלוט בבעיות הבנייה המוזכרות קודם, ברמה

למשל, אפשר לבנות משולש לפי שתי צלעות וגובה לאחת מהן, אםבעיה שגרתית:של יודעים לבנות משולש ישר זווית לפי ניצב ויתר; אפשר לבנות משולש לפי שתי צלעות

ורדיוס המעגל החוסם, אם יודעים לבנות משולש שווה שוקיים לפי בסיס ושוק; לעומת זאת, אם יש לבנות משולש לפי זווית, צלע הסמוכה לה ותיכון לאותה צלע, אפשר לדעת

מראש שעשויים להיות שני פתרונות שונים זה מזה, שכן מעורבת כאן בנייה הקשורהלמשפט החפיפה הרביעי.

מעקב זה אחר ההיררכיה של בעיות בנייה אינו מלא, אך מספיק כדי להשתכנע שככל שתלמיד משתלט טוב יותר על בעיות ברמה מסוימת בהיררכיה זאת, כך הוא צובר יותר כלים

להתמודדות עם בעיות ברמה גבוהה יותר. על כן, כדי ללמד בעיות בנייה, יש לשאוף להפוךאותן בכל רמה לבעיות "שגרתיות".

25

מה בין תובנה לבין בעיות "שגרתיות" ו"בלתי שגרתיות"?1.6

המחקר הנוכחי מתייחס להתפתחות התובנה כאחד המדדים של התפתחות ולמידה

, נתמצת את אפיוני התובנה כ: Hoffer (1983)במתמטיקה, בפרט, בגיאומטריה. בעקבות

o;יכולת תפקוד במצב לא מוכרo;יכולת לבצע את הפעולות במיומנות o.יכולת לפתח שיטה שתפתור את הבעיה

אפשר לתרגם למונחים של הפיכת מגווןHofferבמילים אחרות, גם את אפיוני התובנה לפי בתיאור התובנה, מסתמכיםHofferבעיות לבעיות שגרתיות: שלושת הפרמטרים אותם כלל

במידה רבה על שליטה ברמות שונות של בעיות: תפקודו של הלומד במצב מתמטי לא מוכר תלוי ביכולת שלו לגלות בו בעיות אתן הוא יודע להתמודד; יכולת לבצע את הפעולות

במיומנות אינה אלא שליטה במגוון מיומנויות ובעיות שגרתיות; ויכולת לפתח שיטה שתפתור אתהבעיה לא תתפתח בלי היכרות עם שיטות של פתרון בעיות אחרות.

במחקר מקביל למחקר הנוכחי )ברבש, גוברמן, תשס"ו( נבנה כלי להערכת התובנה ברמות שונות של ההתפתחות המתמטית של הלומד. במחקר שלהן הפעלת הכלי מודגם על סוג אחר

של בעיות. כאן נשתמש בכלי זה בין היתר גם להערכת התובנה הבאה לידי ביטוי בהפיכתהבעיות מבלתי שגרתיות לשגרתיות.

מה בין תובנה ללמידה עם מחשב וללמידה ללא מחשב?1.7 כאשר חוקרים את השימוש במחשב ככלי להוראת הגיאומטריה, מחפשים "הקבלה" בין

שיטות ההוראה השונות, ועורכים השוואה בין דרך ההוראה ללא מחשב לדרך ההוראה משולבת המחשב. בין היתר, במהלך המחקר הנוכחי ראינו לנכון לבחון את תרומת המחשב

בהתמודדות עם בעיות בנייה, ובפרט, בהפיכת בעיות בנייה לבעיות שגרתיות במשמעות אותהפירטנו לעיל ובהתאם להיררכיה המוצגת.

, אחד הפרמטרים בהתפתחות התובנה1.2(, המוצג בסעיף 2006לפי סולם ברבש-גוברמן ) הוא התפתחות מיומנויות ההולמות את צרכי רמה גבוהה יותר בהשוואה לרמת התובנה

הקיימת אצל הלומד. כאשר מדובר בשימוש במחשב, מיומנות אשר נוספת כתנאי להתקדמות הלומד היא מיומנות השימוש במחשב בהקשר המוגדר על ידי צרכי הלמידה הספציפיים.

בפרט, כדי להעריך את השפעת השימוש במחשב על התפתחות התובנה של הלומדים בהקשר

26

לנושא בניות, היה צורך להקנות להם מיומנויות הולמות בשימוש בתוכנות גיאומטריות. לשם כך (. אחד היתרונות הבולטיםDynamic Geometry Environments - DGEבחרנו בתוכנות דינמיות )

של כלים דינמיים בשימוש לצורך פתרון בעיות בנייה הוא באינווריאנטיות אינהרנטית של תכונות של צורות גיאומטריות כפי שהיא משתמעת מחוקי גיאומטריה. למשל, כאשר בונים תיכונים

במשולש ומאוחר יותר משנים את צורתו, התיכונים משתנים בהתאם באורכם, אך שומרים על תכונותיהם הנובעים מהגדרתם וממשפטים גיאומטריים מתאימים, דהינו, למשל, חוצים את

. 1:2הצלעות המתאימות, נחתכים בנקודה אחת המחלקת כל אחד מהם ביחס

לצורך השוואה, נזכיר את המיומנויות הדרושות להתמודדות עם בעיות בנייה בסביבה גיאומטריה מסורתית: על הלומדים לשלוט במחוגה ובסרגל ולהיות מסוגלים לבנות את

המעגלים הדרושים לפי מרכזם ומחוגם, וכן לבנות את חלקי הישרים הדרושים. בנוסף לכך, על הלומדים לשלוט במיומנות של שרטוט סקיצות ידניות המשקפות נאמנה את תוכן הבעיה

הגיאומטרית, ולזהות בסקיצה את התכונות והתופעות המתמטיות ולדעת לנתח אותן. מיומנות זו היא ברמה תפישתית גבוהה מאד, משום שעל הלומד להיות מודע למצבים הדדיים של נקודות, קטעים וקוים המתקבלים באקראי בשרטוט לעומת מצבים המתחייבים מהתוכן

הגיאומטרי של הבעיה.

כך לדוגמה, כאשר מתווים שני מעגלים בעלי רדיוסים שווים ומרכזים בשני קצות קטע נתון ומחברים את נקודות החיתוך שלהם בישר, אפשר לראות במחשב שישר זה עובר דרך אמצע

הקטע, יהא הקטע אשר יהא, וגם יהיו מעגלים אשר יהיו, כל עוד הם נחתכים. התנסות זובמחשב אמורה להוביל להשערה שבדרך זו נבנה אנך אמצעי לקטע.

לעומת זאת, כאשר משרטטים שרטוט דומה באמצעות מחוגה וסרגל או כסקיצה ידנית, אין אפשרות לבדוק האם העובדה שהישר עובר דרך אמצע הקטע נתקבלה במקרה בשרטוט או שהיא התכונה הגיאומטרית שלו. על כן, על הלומד לדעת להסיק מסקנות ולהעלות השערות

ללא אפשרות לבדוק אותן קודם על מקרים רבים ואולי להפריך אותן )כמובן לא להוכיח אותןבדרך זו!(.

כפי שראינו, יכולת הסקת מסקנות מסרטוט גיאומטרי במחשב וללא מחשב מבנה את התובנה הגיאומטרית של הלומד בדרכים שונות, ובעזרת שאלת המחקר המתייחסת לנושא זה

ברצוננו לברר האם בסופו של דבר מגיעים לאותה רמת תובנה בשתי הדרכים.

27

פרק שני – מתודולוגיה

שאלות המחקר2.1 מהם ההבדלים בהתפתחות התובנה בבעיות בנייה בגיאומטריה אצל סטודנטים.1

הלומדים גיאומטריה עם מחשב לבין סטודנטים הלומדים גיאומטריה ללא מחשב.-0מהן הדרכים לשימוש במחשב בעת התמודדות עם שאלות בדרגות שונות של תובנה ).2

( עבור תלמידים הנמצאים ברמות הנמוכות של התפתחות החשיבה הגיאומטרית לפי4Van Hiele (0-2)ועבור תלמידים הנמצאים ברמות הגבוהות של התפתחות החשיבה

?Van Hieleהגיאומטרית לפי האם וכיצד התפתחות התובנה שנבעה משימוש במחשב יכולה לעזור להעביר סוג.3

מסוים של בעיות מהמעמד של "בלתי שגרתיות" במובן שהצגנו, למעמד של בעיות והמאמר2003"שגרתיות" )בהסתמך על המחקר הקודם שלנו )גורביץ, גורב, ברבש,

Gorev, Gurevich, Barabash, 2004.)

אוכלוסיית המחקר2.2 אוכלוסיית הניסוי כללה שתי קבוצות של סטודנטים שלמדו "גיאומטריה של המישור" – האחת לחטיבת הביניים והאחרת ליסודי ולגי"ר . כל אחת מן הקבוצות נחלקה לשניים: חלק למדו גם

בקורס "הוראת המתמטיקה באמצעות מחשב" וחלק שלא השתתפו בקורסי מחשב. (, הכשרה2( , "הכשרה חט"ב ללא מחשב" )1נקרא לקבוצות "הכשרה חט"ב עם מחשב" )

(". 4(, "הכשרה יסודי וגי"ר ללא מחשב )3יסודי וגי"ר עם מחשב" )

28

קבוצה נוספת של משתתפים בניסוי הם "מורים עולים" שהשתתפו בקורס "הוראת המתמטיקה(.5באמצעות מחשב" )

כל המשתתפים בניסוי מוינו לפי רמת התפתחות החשיבה של ואן-הילה.

כוללת את ארבע הקבוצות הראשונות -עבור השאלה הראשונה אוכלוסיית המחקר 15 סטודנטים שלמדו בקורס "גיאומטריה של המישור" ליסודי ולגי"ר ו-10(. 4( – )1קבוצות )

סטודנטים שלמדו בקורס "גיאומטריה של המישור" לחט"ב. למדו גם בקורס "הוראת10מתוך הסטודנטים המתמחים להוראה בבית הספר היסודי וגי"ר

למדו6המתמטיקה באמצעות מחשב" ומתוך הסטודנטים המתמחים להוראה בחטיבת הביניים גם בקורס "הוראת המתמטיקה באמצעות מחשב".

כוללת שתי קבוצות של סטודנטים שלמדו קורסעבור השאלה השנייה אוכלוסיית המחקר"הוראת המתמטיקה באמצעות מחשב".

סטודנטים הלומדים הוראת16( ביחד( השתתפו 3( ו-)1בקבוצה הראשונה )קבוצות ) מהסטודנטים11המתמטיקה ליסודי ולחט"ב והשתתפו גם בקורס "גיאומטריה של המישור".

סווגו לרמת התפתחות החשיבה5 ו-0-2סווגו לרמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית , כאשר אחת הסטודנטיות לא בצעה את המטלות של הסמסטר הראשון3-4הגיאומטרית

עקב לידה ובצעה את המטלה של הסמסטר השני אותה נפרט בהמשך. בקבוצה השנייה סטודנטים שהינם מורים עולים חדשים וכולם סווגו לרמת התפתחות16(( השתתפו 5)קבוצה )

.3-4החשיבה הגיאומטרית כמו האוכלוסייה עבור השאלה השלישית – עבור השאלה אוכלוסיית המחקר

הראשונה.

מערך המחקר2.7 המחקר משלב מחקר כמותי ומחקר איכותני. בחלק הכמותי אשר מתבסס על שאלוני ואן

הילה, טבלאות עם שאלות לגבי שימוש באפיונים בעבודות וגם על המבחנים, בדקנו את התפתחות התובנה, בדקנו את המידה בה השתמשו במחשב בכל איפיון ואת המעבר מ"בלתי

ההבדלים בחלוקת סטודנטים בין הרמות לבדיקת 2ערכנו מבחן . שגרתי" ל"שגרתי" . הנמוכות והרמות הגבוהות בשני הסמסטרים

משתני המחקר2.8

29

משתנים בלתי תלויים2.8.1לשאלה הראשונה:

)מסלול )יסודי, חט"ב)שימוש במחשב )כן/לא)'שלב של בדיקה )סמסטר א'/ב

לשאלה השנייה:( 3-4, 0-2רמת ההתפתחות לפי ואן הילה)( 1-4רמת התובנה של הבעיה)

לשאלה השלישית:)מסלול )יסודי, חט"ב)שימוש במחשב )כן/לאשינוי רמת התובנה

משתנים תלויים2.8.2לשאלה הראשונה: ( 1-4רמת התובנה)

לשאלה השנייה:

אופן שימוש במחשב

לשאלה השלישית:"מעבר של בעיות מהמעמד של "בלתי שגרתיות" למעמד ה"שגרתיות

)כן/לא(

כלי המחקר2.9שאלוני ואן הילה. 1

30

בתחילת שנת הלימודים תשס"ה התבצע מבחן בגיאומטריה לפי ואן-הילה הבודק את רמתהתפתחות החשיבה בגיאומטריה לפי ואן הילה.

עיבוד הנתונים של שאלוני ואן הילה התבסס על אותה השיטה ששמשה במחקר הקודם רמות כאשר בכל רמה4השאלות מחולקות על פי (: "12, עמוד 2003)גורביץ, גורב, ברבש,

5 מתוך 4 שאלות. שליטה ברמה מסוימת נקבעת על סמך תשובה נכונה על 5מוצגות השאלות הנתונות ברמה זו. בתהליך הבדיקה התברר שקיימים מצבים בהם אין שליטה ברמות

נמוכות ומתגלה שליטה ברמות גבוהות יותר. במהלך בדיקת התשובות של הסטודנטים על השאלון התגלתה תופעה של "רמות חסרות", כלומר, היו סטודנטים רבים שעברו שלא ענו היטב על רמה מסוימת, אך ענו על רמה גבוהה יותר. על מנת להתייחס ל"רמות החסרות"

יצגנו את כל רמה החסרה בעזרת סימן ה- "-" לאחר מספר הרמה. למשל, אם לנבדק נקבע , או , דוגמה נוספת : אם לנבדק נקבע3 אז הרמה שלו מיוצגת כ- -3 ו- 1שליטה ברמות . 4 בלבד, אז הרמה שלו מייצגת כ- ---4שליטה ברמה

עבודות סמסטר א.2

(:1כל אחד מן השאלות הוצגה באופן הבא )השאלות נמצאות בנספח

עבור כל תרגיל : יש לענות על השאלות שלהלן )בכתב על דף נייר( ולבצע את הבניות על פי הנתונים המוגדרים בקובץ הנתון. את תוצאת הבנייה יש לשמור על דיסקט תחת אותו שם )כפי

שזה מופיע בתרגיל(.

נסחו מילולית את בעיות בנייה אותה אתה/את פותר/ת.1____בנה משולש לפי הנתונים המופיעים בקובץ: .2כיצד נעזרתם במחשב )יש לסמן את המתאים(:.3

ככלי עזר בשרטוטים

לצורך הבנתהבעיה

(1)

ככלי עזר בגילויפתרון

(2)

ככלי בבניותעזר

(3)

לצורך תמונה

כללית או הנחיה

לפתרון(4)

ככלי עזר לתיקון

שגיאות או לאימות

פתרונות(5)

אחר )ציין,תאר(*

פרטפרטפרטפרטפרטפרט

לאיזה משפט מתאימה הבניה שבצעתם? נסחו את המשפט המתאים בניסוח מלא..4

31

כמה נתונים יש בקובץ ? מדוע? .5 היא אכן הבניה המבוקשת ?2כיצד תבדקו שהבנייה שביצעתם בסעיף .6כיצד נעזרתם במחשב )יש לסמן את המתאים(:.7

כיצד הבנייה בעזרת

המחשב תרמה

לתהליךההוכחה?

(6)

האם נעזרת בלומדה בבדיקת

נכונותהפתרון

(7)

האם נעזרת בלומדה בתיקון

פתרון שגוי(9)

האם נעזרת לצורך הבניית הוכחהעקבית

(10)

פרטפרטפרטפרט

האם תמיד הבנייה אפשרית? מדוע? האם תוכלו לנסח טענה כללית המהווה סיבה.8לחוסר האפשרות לבנות משולש לפי נתונים מסוימים?

כיצד נעזרתם במחשב )יש לסמן את המתאים(:.9

לצורך קביעת תנאיקיום הפתרון

(11)

לצורך בדיקת

פתרונותאפשריים

(12)


כללית אוהנחיה

(13)

לפתרון(14)

אחר )ציין,תאר(

פרטפרטפרטפרטפרט

עוסקות בניתוח הבעיה ובבניה עצמה, כאשר השאלה השלישית שואלת במפורש1-5שאלות אופנים ואפשרנו לסטודנטים להוסיף דרך4על אופן השימוש במחשב, כאשר אנו סיפקנו

שימוש אחרת. מתחת לכל איפיון ביקשנו פירוט על אופן השימוש, כאשר מתוך ניתוח תוכן של המשמשות הנמקה לבנייה הוספנו מידע על השפעת המחשב. 5 ו-4התשובות לשאלות

שואלת במפורש על אופן השימוש במחשב7 עוסקות בשלב ההוכחה. שאלה 6-7שאלות מנחה לבצע הוכחה וגם6 אופנים לשימוש במחשב עבור ההוכחה. שאלה 4כאשר אנו סיפקנו

32

עבורה ביצענו ניתוח תוכן בנוסף לפירוט שהסטודנטים הציגו בטבלה כדי ללמוד על הדרכיםהיעילות לשימוש במחשב.

עוסקות בניתוח הבניה עם הנחיה להגיע לניסוח של טענה כללית אודות8-9שאלות שואלת במפורש על אופן השימוש9האפשרויות לבניה על סמך נתונים מסוימים. שאלה

מנחה את הסטודנטים מה לבדוק במהלך ניתוח הבניה. ביצענו8במחשב עבור הניתוח ושאלה ניתוח תוכן לשאלה זו בנוסף לפירוט שהסטודנטים הציגו בטבלה כדי ללמוד על הדרכים

היעילות לשימוש במחשב.

יש לציין שהשתמשנו באפיונים מתוך דו"ח מחקר "תרומת הלומדות בלימוד גיאומטריה – שימוש(*.2003סלקטיבי על פי רמת הלומד" )גורביץ, גורב וברבש,

עבודות סמסטר ב.3

לקראת סיום סמסטר ב בקורס "גיאומטריה של המישור" ניתנה עבודה לקבוצה שלמדה (. השאלות2( + )1את הקורס "גיאומטריה של המישור" לחטיבת הביניים )קבוצות )

והן שאלות בנייה.1נמצאות בנספח

מבחנים.4

בתום כל סמסטר ניתנו מבחנים בשני הקורסים "גיאומטריה של המישור". לכל מבחן היו.1שני מועדים. השאלות נמצאות בנספח

מהלך המחקר2.10 בתחילת שנת הלימודים תשס"ה התבצע מבחן בגיאומטריה לפי ואן-הילה הבודק את רמת

התפתחות החשיבה בגיאומטריה לפי ואן הילה.

בתום סמסטר א, בתום הקורס "הוראת המתמטיקה באמצעות מחשב" התקיים תרגיל כתתי בסביבה ממוחשבת עם התוכנה "הנדסה בתנועה". כל אחת מן הקבוצות קיבלה שאלות שונות

( קיבלה תרגיל שבו שתי3(+)1ברמות שונות של תובנה: הקבוצה הראשונה – קבוצות )

33

. הקבוצה3 ושאלה אחת ברמת תובנה 2, שאלה אחת ברמת תובנה 1שאלות ברמת תובנה .4 ושאלה נוספת ברמת תובנה 2(( קיבלה שאלה אחת ברמת תובנה 5השנייה )קבוצה )

.1השאלות מוצגות בנספח

בתום סמסטר א, במהלך הקורס "גיאומטריה של המישור" התקיימו שני מבחנים: מבחן מועד.1א ומבחן מועד ב. המבחנים מוצגים בנספח

________________________________________________________________ ועמודה חמישית3*הערה: לא היו סטודנטים שהציעו דרך אחרת מהאיפיונים שהצענו )עמודה שישית בשאלה

( ולכן לא התייחסנו לשאלות אילו בעת כתיבת הממצאים.9בשאלה

לקראת סוף סמסטר ב, הסטודנטים הלומדים להוראה בחטיבת הביניים קיבלו עבודה.השאלות נמצאות בנספח א.

בתום סמסטר ב, בתום הקורס "גיאומטריה של המישור" התקיימו שני מבחנים: מבחן מועד א.1ומבחן מועד ב. המבחנים מוצגים בנספח

34

פרק שלישי - ממצאיםהבדלים בהתפתחות התובנה בהוכחות בגיאומטריה3.2

ניתוח תוצאות הניסוי נעשה בהתאם לרמות התובנה של השאלות לפי הסולם של ברבש.1.2( – סעיף 2006וגוברמן )

על מנת לבדוק ולבחון את התפתחות התובנה אצל כלל הסטודנטים, הערכנו שני מבחנים: אחד בסוף סמסטר א' )שני מועדים( והשני – בסוף שנת הלימודים )שני מועדים( עבור כל אחת

(. על15 מן הכתות שלמדו בקורס "גיאומטריה של המישור" )ראה בפרק המתודולוגיה, עמוד סמך ניתוח רמת התובנה של השאלות בכל אחד מהמבחנים, הגדרנו את רמות התובנה

(. ניתחנו את1הנדרשות לצורך פתרון נכון ומלא של כל אחת מהשאלות של המבחנים )נספח התשובות של הסטודנטים בשני המבחנים בכל אחד מן המועדים וקבענו את רמת התובנה של

כל סטודנט עבור כל מבחן. רמתו נקבעה לפי התוצאה הגבוהה מתוך שני המועדים שבכלסמסטר.

רמת התובנה של כל נבדק נקבעה על פי כל התשובות של אותו סטודנט במבחן נתון כרמת התובנה המכסימלית מתוך כל שאלות המבחן. במצבים בהם הסטודנט לא פתר בעיות בעלות רמות יותר נמוכות, או פתר אותן באופן חלקי, החסרנו לו מהרמה המכסימלית שליש נקודה , שני שליש או נקודה אחת )בהתאם לתשובתו לשאלה כזו(. נציג מספר דוגמאות: למשל, אם

כרמת התובנה שלו, אך אותו3 מגיע לסטודנט 3על פי התשובה הנכונה לשאלה ברמת תובנה

35

. במידה והפתרון2, נקבעה לו רמת התובנה 2הסטודנט לא פתר כלל שאלה ברמת תובנה בהתאם לתשובתו. אם למשל,3 או –3שלו לבעיה זו נכון באופן חלקי, הוא מקבל או -

הוא פתר באופן חלקי, אז2 ושאלה נוספת מרמה 4הסטודנט פתר נכון שאלה אחת ברמה . 2 , שוב בהתאם לפתרון של הבעיה מרמה 4 או –4רמת הבנה הסופית שלו היא : -

תוצאות סטטיסטיות של התפלגות רמת התובנה בשני המבחנים )סמסטר א'וסמסטר ב' ( בשתי הקבוצות )יסודי וחט"ב( מוצגות להלן:

רמתהתובנה

סה"כחט"ביסודיב'א'ב'א'ב'א'

1001010-2230023

26151112--3022123-3012627

3006262--4000101-4011314

4000303

: התפלגות רמת התובנה לפי כתה1טבלה

בטבלה ובגרף להלן מיוצגת התפלגות הרמות סה"כ בשתי הקבוצות באופן מרוכז ( וכל2 )כולל 2 ל- 0כאשר הרמות מתחלקות לשתי קבוצות : כל הרמות בין

(:4 , כולל 4 )עד רמה 2הרמות מעל

סמסטר ב'סמסטר א'חלוקת רמות התובנה 2הרמות הנמוכות )

ומטה(145

הרמות הגבוהות )מעל2)

1120

36

: ריכוז תוצאות ההתפלגות של רמת התובנה לפי רמות ואן הילה2טבלה

התפלגות רמת התובנה לפי רמות ואן - הילה

41

5

11

02

סמסטר א' סמסטר ב'

הרמות הנמוכות (2 ומטה) הרמות הגבוהות (מעל 2)

תוצאות ההתפלגות של רמת התובנה לפי רמות ואן- הילה :1דיאגרמה

מבחן חי בריבוע מצביע אל הבדל מובהק בין חלוקת סטודנטים בין הרמות הנמוכות והרמות

התוצאות מצביעות על כך שמספר. )p<0.008, 2=6.88, df=1 (הגבוהות בשני הסמסטרים

הסטודנטים בעלי רמות התובנה הגבוהות גדל לקראת סוף שנת הלימודים יחסית לתחילתה.

במילים אחרות – מן התוצאות הסטטיסטיות נובע שבקרב הנבדקים חל גידול ברמתהתובנה.

כדי לבדוק את התפתחות רמת התובנה אצל כלל הנבדקים בדקנו שינוי רמת התובנה אצל כל

נבדק. לצורך כך חישבנו את ההפרש בין רמת התובנה של הנבדק בסמסטר ב' לבין הרמה

שלו בסמסטר א'.

בטבלה הבאה מוצגים תוצאות על שינוי רמת התובנה אצל כלל הנבדקים :

37

שינוי רמתהתובנה

סה"כחט"ביסודי

(48% )4812שיפור(32% )268ללא שינוי

(20% )235פיגור

: התפלגות השינוי ברמת התובנה אצל כלל הנבדקים3טבלה

( חל שיפור ברמת התובנה48%התוצאות מצביעות על כך שאצל כמחצית הנבדקים )כ- בסוף שנת הלימודים בהשוואה לסוף סמסטר א'.

מצביעות על כך1לסיכום, התוצאות האחרונות, יחד עם התוצאות המוצגות בטבלה שהקורס "גיאומטריה של המישור" בשילוב עם קורס מחשב המתואם עם הקורס

בגיאומטריה תרם לשיפור רמת התובנה של המשתתפים.

המקרים - הפיגור שנמצא היה רק5חשוב לציין שבמקרים של פיגור רמת התובנה - בכל סטודנטים5בשליש של רמה ולא יותר ולכן בהמשך הניתוח נדלג על הפיגור הקטן המצוי ל

אלה ונייחס תלמידים אלה לקטגוריה של "ללא שינוי" .

על מנת לבדוק האם שימוש במחשב תרם להתפתחות רמת התובנה, השוונו שינוי רמתהתובנה בשתי האוכלוסיות )עם מחשב וללא מחשב(. להלן התוצאות המתקבלות:

שינוי רמתהתובנה

קבוצתמחשב

קבוצהללא מחשב

)6שיפור55%)

6( 43%)

)5ללא שינוי45%)

8( 57%)

: שינוי ברמת התובנה לפי שימוש במחשב4טבלה

38

מנתוני הטבלה ניתן לראות שבקבוצת ה"מחשב" אחוז הסטודנטים שאצלם חל שיפור ברמת התובנה במשך שנת הלימודים יותר גבוה מאשר בקבוצה "ללא מחשב".

מראה שאין הבדל מובהק בין אחוז הסטודנטים ששיפרו את 2לסיכום: למרות שמבחן המדדp<0.73, 2=0.12, df= 1רמת התובנה בשתי הקבוצות : עם מחשב וללא מחשב ))

שהתקבל מהבדיקה יכול לשמש כאינדיקציה לפוטנציאל של סביבה ממוחשבת מתאימה התומכת להתפתחות התובנה. אנו משערות שבדיקה דומה עבור אוכלוסייה

יותר גדולה יכולה להביא אל תוצאות מובהקות יותר.

דרכים לשימוש במחשב עם שאלות בנייה בדרגות שונות של תובנה3.3

ננתח את הממצאים של העבודות בסמסטר הראשון של הסטודנטים המתכשרים להוראה ושל הסטודנטים שהם מורים עולים ואת העבודות שנעשו בסמסטר השני של הסטודנטים

המתכשרים להוראה בחטיבת הביניים )פירוט בפרק המתודולוגיה(.

בשלב ראשון ננתח את העבודות שנעשו בסמסטר הראשון עבור כל שאלה בנפרד. ( ואת1.2בשלב שני ננתח את השימוש במחשב לפי רמת התובנה של השאלה )לפי סעיף

השפעת העבודה עם המחשב על סטודנטים בכל אחת מהדרגות השונות של התפתחות נוסיף ניתוח של3 ו-2החשיבה הגיאומטרית לפי ואן-הילה. בניתוח שאלות ברמות

העבודות שבוצעו בסמסטר השני.

1שאלה

צלעות המאפשרות בניית משולש.3( – נתונות 1השאלה היא בניה לפי צ.צ.צ. )נספח כי היא בודקת יכולת התמודדות עם דוגמה פרטית דומה מאוד לזו1השאלה היא ברמת תובנה

שבעזרתה הודגם בכתה, שכן הנתונים ניתנו בשרטוט על ידי קטעים.

שלב ניתוח הבעיה והבניה

ככלי עזר האיפיון בשרטוטים

ככלי עזר בגילוי

ככלי בבניות


ככלי עזר לתיקון

39

רמה לצורך הבנת

(1הבעיה )הפתרון )

2) כללית או(3עזר )

הנחיהלפתרון )

4)

שגיאות או

לאימותפתרונות )

5)0-22745820183-47550507550

1: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ניתוח הבעיה והבניה של שאלה 5טבלה

0-2 רמה מספר רב של סטודנטים ציינו שהם השתמשו בתוכנה ככלי לבניות עזר. ניתוח ההערות שלהם

מעיד על כך שהם לא שולטים במושג "בניות עזר". עבורם בניית עזר5 ו-4וההסברים לשאלות היא תהליך הבניה, כלומר, שרטוט המעגלים ברדיוסים של הצלעות הנותרות. ניתן לומר

שהסטודנטים מרמה זו משתמשים בתוכנה לצורך גילוי הפיתרון ולצורך הבניה עצמה ולא כפי שציינו ככלי בבניות עזר, שכן אין צורך בשאלה זו בבניית עזר. במילים שלהם: "בבניית עזר

מעידה1-3לבנות את המשולש", "עוזר מבחינת הדיוק וחסכון בזמן". התבוננות בטבלאות שהשימוש שלהם בתוכנה היה בעיקר לשלב הבניה. אחוז קטן השתמש במחשב לצורך הבנת

הבעיה או לצורך תמונה כללית או הנחיה לפתרון.

3-4 רמה .0-2הסטודנטים ברמה זו ציינו שימוש במחשב במידה רבה יותר מאשר הסטודנטים ברמה

האיפיון שציינו במידה הרבה ביותר היה לצורך מתן תמונה כללית: "עוזר וממחיש לראות את השאלה באמצעות נתונים" ולצורך הבנת הבעיה: "בדקתי אם אפשר לבנות משולש על פי

הנתונים", אך גם לצורך גילוי פתרון: "לא הייתי בטוחה שאי שוויון המשולש מתקיים והמחשב עוזר לגלות אם ניתן לבנות משולש" ולצורך אימות פתרון: "אימת לי את הפתרון – הצלחתי

בבניית המשולש על פי הנתונים". גם סטודנטים אלה השתמשו במושג "בניית עזר" באותו אופן.

לפי ואן הילה משתמשים במחשב במידה רבה לצורך0-2לסיכום, סטודנטים ברמת החשיבה ניתוח הבעיה וביצוע הבניה של שאלה ברמה הראשונה. במילים שלהם: "ניסיתי לראות אם

אפשר לבנות משולש מהצלעות הנתונות", "עוזר מבחינת המחשת משפטים בגיאומטריה". הם

40

התקשו בזיהוי נכון של איפיון השימוש שלהם אך בעזרת ניתוח תוכן התשובות ניתן לראות שהם האיפיונים השונים מהאיפיון "ככלי לבניות עזר". הסטודנטים ברמה הגבוהה4השתמשו בכל

השתמשו גם כן במידה רבה במחשב לצורך ניתוח הבעיה וביצוע הבניה של שאלה ברמה הראשונה, ומהנימוקים שלהם נראה שהם חיפשו כיצד אפשר להכליל, לתת תשובה יותר

מעמיקה, חיפשו היכן המחשב יכול לסייע וניסו לנמק באופן יותר כללי. 1 ענו על שאלה ברמה האינסטרומנטאלית – רמה 0-2הסטודנטים ברמה התפתחות החשיבה

ניסו לראות תמונה כללית3-4באופן ביצועי בעוד שהסטודנטים ברמת התפתחות החשיבה ולהכליל.

שלב ההוכחה:7להלן תשובות הסטודנטים על שאלה

השאלה

רמה


המחשב תרמה

לתהליך(6ההוכחה )


נכונות(7הפתרון )


פתרון שגוי )8)

האם נעזרת לצורך הבניית הוכחה

(9עקבית )

0-2450003-45025050

1: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ההוכחה של שאלה 6טבלה

0-2 רמה הסטודנטים ציינו שהשתמשו במחשב רק עבור תהליך ההוכחה, כאשר הבניה עצמה מהווה

את ההוכחה: "הבנייה עזרה בכך שהוכחתי שאכן ניתן לבנות בעזרת הנתונים משולש". מסתבר שהאופציה הדינמית של התוכנה6יחד עם זאת מניתוח תשובותיהם לשאלה

והאפשרות להזיז את אחד מקודקודי המשולש קלקלה במקרים רבים את ההנמקה. בנוסף לכך הם ערבבו בין הדיון בהוכחה לבין הדיון בניתוח וליתר דיוק – הם לא הוכיחו שאכן זו הבניה המבוקשת. מה שהם ציינו כתוצאה מהזזת אחד הקודקודים במשולש שבנו – שכל עוד מתקיים אי שוויון המשולש אפשר לשנות את הנתונים וכתשובה להוכחה הם ביצעו ניתוח לבעיה. דוגמה

לתשובה שבה האופציות שהמחשב מאפשר מביאה להנמקה לא נכונה: "אבדוק שהבנייה

41

שביצעתי היא אכן הבנייה המבוקשת על ידי הזזת המשולש עם העכבר. כך גם הצלעות שבניתי ישתנו בהתאם לתזוזת המשולש ולכן – הבניה היא אכן לפי הצלעות". אם הסטודנטית ביצעה הזזה של הקטעים הנתונים אל המשולש – אזי אכן הייתה לעבודה במחשב תמיכה להוכחה.

אבל לפי המשפט השני בציטוט, נראה שהסטודנטית לא ביצעה הזזה של הצלעות, אלא, הזיזה את אחד הקודקודים ובכך שינתה את הנתונים ומכאן שלא פעלה לכיוון הוכחה שאכן הבניה

נכונה. יש כאן אי הלימה בין רמת התובנה לרמת הטיעון שנצפתה מן התלמידים, שכן השאלה ברמת

ורמת החשיבה שלהם מתאימה להתמודדות עם שאלה ברמה כזו. סביר להניח1תובנה שהבנייה עצמה שימשה עבורם הוכחה ולכן לא התעמקו במשמעות ההוכחה ובאפשרויות

שמציעה התוכנה לביצוע ההוכחה. יתכן שלא הבינו את משמעות ההוכחה. 3-4 רמה

הסטודנטים נימקו שהבניה נכונה בכך שטענו שניתן לבנות משולש נוסף, כך שסדר הבניה יהיה שונה: "נשנה את סדר הבנייה ונראה אם נקבל את אותו המשולש" או "צריך לשנות את הסדר

צלעות, לא חשוב עם איזה צלע אתחיל –3ולראות שהתקבל אותו משולש. בגלל שנתונות אקבל את אותו המשולש".

לסיכום, השאלה קלה ואף לומד לא נזקק לתיקון פתרון שגוי. מעניין שאף לומד לא ביצע הזזה של הנתונים אל המשולש או להיפך ולא בנה משולש לצורך הבנת הבעיה. יתכן שהסיבה

לכך היא רמתה של השאלה. בנוסף לכך שלא תמיד הצליחו0-2כאן האפשרויות של התוכנה פגעו ביכולת ההנמקה ברמה

לאפיין את אופן השימוש שלהם במחשב לצורך הצגת ההוכחה. גם כאן אנו רואים שהתשובות של הסטודנטים ברמה זו הן תשובות אינסטרומנטליות. דוגמא נוספת לדוגמה שהצגנו לעיל:

"אני אבדוק אם צלעות המשולש התחברו, ואם ייצא לי משולש, ואם השתמשתי בנתונים צלע,צלע, צלע".

הציגו תשובה שהיא הכללה ושוב ניסו לתת תשובה יותר מעמיקה3-4הסטודנטים ברמה בעזרת הלומדה עבור שאלה ברמת תובנה נמוכה. דוגמה לתשובה על "האם נעזרת בלומדה

בבדיקת נכונות הפתרון" – "לא – ידעתי מראש שניתן לבנות והלומדה חידדה לי את זה". כלומר, למרות שידעו מראש שההוכחה היא חפיפה לפי צ.צ.צ העבודה עם הלומדה תרמה.

מסתבר שגם ברמות גבוהות רוצים לראות את הבנייה.שלב הניתוח

:9להלן תשובות הסטודנטים על שאלה מספר לפתרון ) לצורך לצורך לצורך השאלה

42

קביעת תנאירמה קיום

הפתרון )10)

בדיקת פתרונות

אפשריים )11)

תמונה כללית או(12הנחיה )

13)

0-29270183-4100757550

1: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב הניתוח של שאלה 7טבלה יש לציין שכל הלומדים, ללא יוצא מן הכלל, הכירו את אי שוויון המשולש וכולם טענו שלא

תמיד הבנייה אפשרית.

0-2 רמה הסטודנטים מיעטו לציין שהשתמשו במחשב לצורך הניתוח. ידיעת המשפט בדבר אי שוויון

צלעות גדול2המשולש סיפק אותם והנימוקים היו נימוקים ביצועיים: "יכולנו לבדוק אם סכום מהשלישית". נראה שכאשר השאלה ברמה ראשונה והתשובה ידועה הם לא רואים צורך

בתמיכה מהלומדה. יחד עם זאת, מתוך ההנמקה ניתן לראות את תרומת הלומדה: "הבנייה הזו היא לא תמיד אפשרית על פי צלע צלע צלע מאחר שאם הבסיס יהיה ארוך מידי והשוקיים יהיו קצרות לא תהיה נקודת חיתוך )מפגש( בין שתי השוקיים. לכן, על מנת שהבנייה תתאפשר

צריך שהשוקיים יהיו ארוכות יחסית לשוק ותהיה נקודת חיתוך ביניהן. אם הסכום של שתי צלעות קטן מהצלע השלישית לא ניתן יהיה לבנות משולש". מתשובה זו ניתן ללמוד על

הבהרה ויזואלית של אי שוויון המשולש לסטודנטית שרמת ההמשגה של נמוכה מאוד – היא קוראת לצלעות בסיס ושוקיים למרות שכלל לא מדובר במשולש שווה שוקיים. קיים אצל הסטודנטית משפט אי שוויון המשולש ברמה של ציטוט והשימוש בלומדה הבהיר לה את

משמעות המשפט. 3-4 רמה

הסטודנטים ציינו שנעזרו במידה רבה בלומדה לצורך הניתוח. התרומה של המחשב התבטא בכך שההנמקה של הסטודנטים ברמה זה קישרה את הרמה

הויזואלית למשפט אי שוויון המשולש: "המעגלים לא יחתכו ולא ייווצר משולש". התשובות הצלעות2 מראות זאת היטב: "הבנייה לא תמיד אפשרית ותתאפשר רק אם סכום 8לשאלה

גדול מהצלע השלישית. וגם המעגלים לא ייחתכו אם המשפט לא יתקיים".

43

לסיכום, נראה שכל הסטודנטים נעזרים בלומדה לצורך ניתוח אך רק הסטודנטים ברמה היא בהבהרה ויזואלית של0-2הגבוהה מודעים לכך. העזרה של הלומדה לסטודנטים ברמה

אי שוויון המשולש ומתן משמעות למשפט מעבר לציטוטו. העזרה של הלומדים לסטודנטים היא להנמקה טובה יותר המשתפת הן את הכרת המשפט והן את הפרשנות3-4ברמה

למשפט זה.

במחשב היה בעיקר0-2 מעידה שהשימוש של הסטודנטים ברמה 1-3התבוננות בטבלאות השתמשו גם להוכחה.3-4בשלב הבניה ובניתוח. הסטודנטים ברמה

2שאלה

השאלה היא בניה בלתי אפשרית לפי ז.צ.ז כתוצאה מכך שהזוויות הנתונות הן זוויות קהות. כי היא בודקת יכולת התמודדות עם דוגמה פרטית דומה מאוד לזו1השאלה היא ברמת תובנה

שבעזרתה הודגם בכתה.

שלב ניתוח הבעיה והבניה:3להלן תוצאות תשובות הסטודנטים על שאלה

האיפיון

רמה


לצורך הבנת(1הבעיה )


הפתרון )2)

ככלי בבניות(3עזר )



לפתרון )4)

ככלי עזר לתיקון שגיאות

או לאימות

פתרונות )5)

0-204518903-47550505025

2: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ניתוח הבעיה והבניה בשאלה 8טבלה

לפי תשובות הסטודנטים – רובם זיהו מיד שלא ניתן לבנות משולש לפי שתי זוויות קהות וצלע.

44

0-2 רמה נראה שגם אם הסטודנטים בצעו את הבניה בגלל דרישות התרגיל בקורס הם לא השתמשו

הם מיעטו להיעזר במחשב. נוסף3בבניה לצורך העשרת התשובות. לפי תשובותיהם לשאלה לכך הם מיעטו לפרט ואף ציינו "לפי הנתונים רואים שאין אפשרות לבנות משולש", "הבנייה

שביצעתי מתאימה למשפט זווית, צלע, זווית אך מהנתונים שהוצגו בתרגיל לא היה ניתן לבנות משולש על פי הנתונים". יש לציין שאחדים טענו שהבניה לא מתאימה לאף משפט: "לשום

משפט הבנייה לא מתאימה כי לא יוצא כאן משולש". 3-4 רמה

. הם0-2הסטודנטים ברמה זו השתמשו במחשב במידה רבה יותר מאשר הסטודנטים ברמה השתמשו בכל האיפיונים ובעיקר לצורך הבנת הבעיה "ראיתי ששתי הזוויות קהות". כמו כן היה

שימוש בתיקון שגיאות או אימות פתרונות" "לאימות פתרון – היה שגוי". יחד עם זאת היו זוויות קהות וזה לא ייתכן.2סטודנטים שציינו שכלל לא בנו: "לא ביצעתי בנייה בגלל שיש

במידה והזוויות לא היו שתיהן קהות, אלא, אחת מהן קהה ואחרת חדה, או אחת חדה ואחת ישרה, או שתיהן חדות, הייתי יכולה לבנות לפי משפט החפיפה ז.צ.ז" – התבוננות כללית על

הנתונים.

לסיכום, הסטודנטים השתמשו במחשב לצורך ביצוע הבניה וניתוח הבעיה, גם אם ידעו שאי השתמשו במחשב במידה רבה יותר לצורך0-2אפשר לבנות לפי הנתונים. הסטודנטים ברמה

ביצוע הבניה וניתוח הבעיה מאשר להוכחה ולניתוח. הם לא ניסו ליצור תמונה כוללת ולהרחיב ניסו להרחיב את הידע שלהם בעזרת המחשב במגוון3-4את ההתבוננות. הסטודנטים ברמה

שימושים ובעיקר לצורך הבנת הבעיה.


45

השאלה

רמה


המחשב תרמה







(9עקבית )

0-21818003-475505025

2: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ההוכחה בשאלה 9טבלה

0-2 רמה הסטודנטים ברמה זו לא השתמשו כמעט במחשב לצורך הוכחה. הם מציינים: "רואים שסכום

מעלות" או "ראיתי שהנקודות לא נפגשות" – כנראה הכוונה שאין180 הזוויות גדול מ-2 נקודת מפגש בין השוקיים האחרות של הזוויות הקהות. כמו כן ציינו כולם שאי אפשר לבצע את

הבניה: "אי אפשר לבדוק את הבנייה כי לא ניתן לבנות את המשולש הזה" או "נבדוק שיוצא משולש ושהצלעות מתחברות, כלומר, שתהיה נקודת חיתוך בין הצלעות, נקודת מפגש

ושהשתמשנו בזווית צלע זווית". הנימוקים על שאלה ברמה אינסטרומנטלית הם נימוקיםמעשיים.

3-4 רמה הסטודנטים ברמה זו משתמשים במחשב לצורך ההוכחה ומנמקים: "בניתי במחשב וראיתי אם

זה אפשרי או לא" ובדקו בעזרת המחשב את נכונות הפתרון וגם טוענים: "על פי המשולש שנוצר גילינו שלא ניתן לבנות משולש כזה. בדרך כלל ניתן לבנות משולש על פי זווית צלע

הזוויות קהות וסכומן גדול יותר מזווית שטוחה ולא ניתן לבנות2זווית, אך במקרה זה לא ניתן – משולש כזה. הזוויות שנוצרו שוות לזוויות הנתונות וגם אורך הקטע" – כלומר, נעשתה בדיקה

לנכונות העתקת הנתונים.

ממעטים להשתמש במחשב לצורך ההוכחה ונימוקיהם הם0-2לסיכום, הסטודנטים ברמה משתמשים במחשב לצורך ההוכחה ולצורך הנמקה3-4נימוקים מעשיים. הסטודנטים ברמה

כוללת.

46

שלב הניתוח:9להלן תשובות הסטודנטים על שאלה מספר

השאלהרמה

לצורך קביעת תנאי

קיוםהפתרון )

10)


פתרונותאפשריים )

11)


כללית או(12הנחיה )

לפתרון )13)

0-20189183-450505050

2: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב הניתוח בשאלה 10טבלה

0-2 רמה הסטודנטים לא השתמשו הרבה במחשב לצורך ניתוח כי הם ידעו את התשובה. בנוסף לכך הם

לא הוסיפו פירוט. מן הנימוקים שלהם לא ניתן ללמוד על השפעת המחשב. 3-4 רמה

הסטודנטים השתמשו במחשב לצורך הניתוח. הם פירטו: "הנתונים עזרו לי להבין את הבעיה ומה צריך להיות" – באיפיון לצורך קביעת תנאי קיום הפתרון או "לחוסר פתרון במקרה זה".

:2 הם פירטו, למשל, "בנייה אינה תמיד אפשרית כפי שראינו בתרגיל 8בתשובותיהם לשאלה זוויות שסכומן גדול מזווית2 זוויות במשולש שווה לזווית שטוחה. ואם נתונות לנו 3סכום

שטוחה אנו לא יכולים לבנות משולש. על מנת לבנות משולש לפי משפט ז.צ.ז סכום שתיהזוויות הנתונות צריך להיות קטן מזווית שטוחה". התשובה היא כוללת וברמה של קישור ישיר.

47

על הניתוח נעשה ברמה של תמונה כללית בעוד3-4לסיכום, ההנמקה של הסטודנטים ברמה מתמקדת בחוסר היכולת לבנות את המשולש.0-2שההנמקה של הסטודנטים ברמה

במחשב היה בעיקר0-2 מעידה שהשימוש של הסטודנטים ברמה 1-3התבוננות בטבלאות השתמשו במחשב לכל השלבים.3-4בשלב ובשלב ניתוח הבעיה והבניה. הסטודנטים ברמה

3 שאלה

השאלה היא בנית משולש שווה שוקיים כאשר נתונה זווית קהה וצלע אחת ללא הגדרת ייעוד של הנתונים מה שמוביל לשתי אפשריות כאשר אחת מהן ניתנת לביצוע והאחרת - לא.

כי היא בודקת יכולת התמודדות עם בעיה שונה במקצת2השאלה היא ברמת תובנה מההקניה אך עדיין מהווה תרגול ישיר. הרמה שקופה אך לא מוכרת מידי שכן יש כאן שתי

אפשרויות.


האיפיון

רמה




הפתרון )2)




לפתרון )4)


או לאימות

פתרונות )5)

0-2272718093-475501007550


0-2 רמה

48

הסטודנטים בנו בעזרת המחשב את האופציה האפשרית: "נבנה משולש שווה שוקיים על פי זווית נתונה וצלע. לאחר הבנייה, הזווית הנתונה היא זווית הראש, והצלע הנתונה היא השוק.

ולכן בנינו משולש על פי צלע, זווית צלע" יחד עם זאת הם לא ציינו במידה רבה שהמחשב עזר הם בעיקר5 ו-4, 1להם. מתוך הטבלה ומתוך ניתוח התוכן של הפירוט ותשובותיהם לשאלות

נעזרו בו לצורך הבנת הבעיה לגילוי הפתרון: "בעזרת הנתונים הבנתי באיזה סדר לבצע את הבניה" או כדי לדעת איזה משולש יוצא". לכל מבצעי התרגיל היה ברור שלמרות שלכאורה

נתונים: "בתרגיל מופיעים שני נתונים: צלע וזווית אך בגלל3 נתונים, למעשה ישנם 2נתונים שאנחנו יודעים שהמשולש שאנחנו צריכים ליצור הוא שווה שוקיים אז בעצם ישנם שלושה

נתונים כי נתון לנו בעצם גם אורך השוק השנייה במשולש למרות שמופיעה רק צלע אחת בגלל שזה משולש שווה שוקיים. לכן, ישנם שלושה נתונים: צלע, זווית וצלע. אף אחד מן הסטודנטים ברמה הזו לא ציין שיש שתי אפשרויות באופן תיאורטי לבנות בעזרת נתונים אלה ומניתוח התוכן

אי אפשר לדעת אם הם ניסו לבנות לפי שתי זוויות קהות או מיד ידעו שהזווית הנתונה חייבת להיות זווית הראש. הם לא ציינו שהמחשב עזר לצורך תמונה כללית או הנחיה לפתרון או

לתיקון שגיאות או לאימות פתרונות ולכן אנו מניחות שהם מיד פנו לבניית האופציה האפשרית. נתונים ובתיאור הבניה הראו שהשתמשו בנתון הצלע פעמיים.2יש לציין שרבים כתבו שנתונים

כלומר, התשובה שלהם ישירה לשאלה בלי קישור בין התשובות לשאלות באותה הבנייה. 3-4 רמה

גם כאן הסטודנטים ציינו במידה רבה יותר שהשתמשו במחשב ובמספר רב יותר של איפיונים. כאן הם השתמשו נכון במושג בניית עזר למציאת זווית בסיס בעזרת הזווית הקהה הנתונה. הם

מציינים: "הנתונים עזרו לי להבין את הבעיה ומה צריך להיות", יכולנו ליצור במחשב זווית הם מפרטים את5משלימה, לחצות אותה ולבנות משולש שווה שוקיים. בתשובותיהם לשאלה

2. התבקשנו לבנות משולש על פי CDE וזווית AB נתונים: צלע 2האופציות שעמדו בפניהם: " נתונים – אך תלוי איזה. אני2נתונים והמשולש צריך להיות שווה שוקיים ובצב כזה מספיקים

בחרתי שוק וזווית הראש מכיוון שהזווית היא גדולה מזווית ישרה, והיא לא יכולה להיות זווית בסיס. ובשביל משולש שווה שוקיים מספיק שוק אחד ואז יודעים גם מהו השוק השני ועל פי

מהוות הרחבה והבהרה5זווית הראש ניתן לדעת את זווית הבסיס". התשובות לשאלה לשאלות קודמות: "בקובץ יש שני נתונים וזה מספיק לבניית משולש שווה שוקיים. כי אם

נתייחס לצלע כאחת השוקיים גם הצלע השנייה )השוק השנייה( שווה לאותה צלע, והזווית יכולה להיות זווית הראש. נבנה לפי צ.ז.צ. ניתן לבנות בצורה נוספת על פי ז.צ.ז ואז נתייחס

לזווית הנתונה כזווית בסיס ובמשולש שווה שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות, והצלע הנתונהיכולה להיות הבסיס ואז נבנה לפי ז.צ.ז. אך לא במקרה הספציפי שלנו כי הזווית קהה".

49

לגבי שלב הבניה וניתוח הנתונים היא ברמה של3-4לסיכום, ההנמקה של הסטודנטים ברמה יכולת לקשר מושג חדש למושגים שנלמדו קודם – מעבר לתרגול ישיר תוך שימוש בתמונה

היא ברמת תובנה של0-2הוויזואלית שהמחשב מספק. ההנמקה של הסטודנטים ברמה תרגול ישיר כך שגם אם השתמשו בתמונה הוויזואלית שהמחשב מספק אין לכך הוכחה

בתשובותיהם.

שלב ההוכחה

:7להלן תשובות הסטודנטים על שאלה השאלה

רמה


המחשב תרמה







(9עקבית )

0-2360003-450505025

3: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ההוכחה של שאלה 12טבלה 0-2 רמה

מעט מאוד סטודנטים מרמה זו ציינו שבנייה בעזרת המחשב תרמה לתהליך ההוכחה. יחד עם : "כדי לבדוק את6זאת, סטודנטית שלא ציינה שהמחשב תרם מנמקת בתשובתה לשאלה

הבנייה ננסה לשנות את סדר הפעולות ונראה שהדרך היחידה היא דרך צ.ז.צ" או "אבדוק ואבדוק שאכן הואABשהבנייה שלי היא אכן הבנייה המבוקשת אם אני אעתיק את הקטע

על פי הגדרת השוואת קטעים". התשובות הן תשובות המסתמכות עלFH ו-FGשווה לקטע עשייה ומכיוון שהבנייה נעשתה בעזרת המחשב סביר להניח שהייתה השפעה.

3-4 רמה ההוכחה עבורם היא עצם העובדה שהצליחו לבנות את המשולש: "על פי המשולש שנוצר –

הנתונים2על פי שוק וזווית הראש ניתן לראות שאפשר לבנות משולש שווה שוקיים. על פי האלו נוצרו לנו שתי שוקיים שוות באותו האורך וזווית ראש שהיא שווה לזווית הנתונה" או "אם

50

ישנן5הצלחנו ליצור משולש שווה שוקיים זו אכן הבנייה המבוקשת, אך כפי שהסברתי בסעיף נתונים. סדר הנתונים משפיע על הבנייה2מספר דרכים לבנות משולש שווה שוקיים על פי

במקרה זה".

מתייחסים לתשובותיהם לשאלות קודמות וממקדים אותם3-4לסיכום, הסטודנטים ברמה 0-2לשאלה החדשה או מרחיבים את תשובותיהם הקודמות. התשובות של הסטודנטים ברמה

לא מציינות שימוש במחשב אך הנמקותיהם מתייחסת לעשייה עצמה.


השאלהרמה



10)



11)



לפתרון )13)

0-21800183-450502525

3: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב הניתוח של שאלה 13טבלה

0-2 רמה הסטודנטים ציינו מעט שהשתמשו במחשב ואכן המחשב לא תרם לנימוקים. היו נימוקים

( לא ממוקדים: "אפשר כמעט תמיד רק שהזווית לא תהיה שטוחה", "הבניה8לניתוח )שאלה אפשרית אך לא תמיד המשולש ייצא משולש שווה שוקיים. אם בקובץ יהיה נתון רק קטע ובלי

זווית אז לא ניתן לבנות משולש שווה שוקיים", "הבניה לא תהיה אפשרית אם זווית הראש ישרה". היו נימוקים לא מושלמים: "הבנייה אפשרית בתנאי שהזווית הנתונה קטנה מזווית

שטוחה" והיו טענות הממוקדות במקרה הפרטי הזה: "הבנייה הנתונה אפשרית רק אם הזווית מעלות –180הנתונה היא זווית הראש כי אם היא הייתה זווית הבסיס אז במשולש היה יותר מ-

.2dזווית שטוחה. 3-4 רמה

51

הסטודנטים ברמה זו ציינו שנעזרו בכל מאפייני השימוש במחשב לצורך ניתוח אך במידה מועטה. ההנמקות שנתנו כללו את שתי האופציות לבניה בעזרת הנתונים ובעצם סיכמו את תשובותיהם הקודמות: "הבנייה תמיד אפשרית אם מתייחסים לזווית הנתונה כזווית הראש.

הבנייה לא אפשרית אם מתייחסים לזווית הנתונה כזווית בסיס כי אז יעלה סכום הזוויות מעלות". התשובות הן תשובות במבט כולל של המצבים האפשריים מעבר180במשולש על

לניתוח המקרה הפרטי.

4שאלה

השאלה היא בניה בעלת אינסוף פתרונות של בניית משולש ישר זווית בעזרת זווית חדה אחת. כי היא מהווה קישור בלתי אמצעי של בעיה מסוג חדש למושגים3השאלה היא ברמת תובנה

שנלמדו קודם. מדובר בקישור של בניה עם אינסוף פתרונות למושגים על בנייה המוכרים כבר, כאשר הבניות הן באותה רמה של חשיבה מתמטית שנעשתה בכתה. כמו כן, נדרשת כאן יכולת

זיהוי נכון של יישום.


האיפיון

רמה




הפתרון )2)




לפתרון )4)


או לאימות

פתרונות )5)

0-218459003-45050755025

52


0-2 רמה מן הטבלה רואים שהרוב השתמשו במחשב לצורך גילוי הפתרון וציינו: "ראיתי שאי אפשר

לבנות", "נתון יחיד", "לראות איזה משולש נוצר ואם זה אפשרי". שוב, הם לא ראו במחשבכמסייע ביצירת תמונה כללית או הנחיה לפתרון או ככלי לתיקון שגיאות או לאימות פתרונות.

אחדים ציינו שנתונות שתי זוויות ואחדים ציינו שמדובר בנתון אחד בלבד – הזווית החדה.טענותיהם העיקריות – אין משפט מתאים ולכן אי אפשר לבנות את המשולש.

3-4 רמה רק סטודנטית אחת טענה שניתן לבנות אינסוף משולשים – "לא התבצעה בנייה מכיוון שאי

זוויות בלבד. יש אינסוף משולשים כאלה". שאר3אפשר לבנות משולש מסוים על פי הסטודנטים ברמה זו טענו אף הם שלא ניתן לבנות משולש על פי שתי זוויות. הם ציינו שמדובר בשני נתונים – אחד מהדף – מכך שנתון שהמשולש ישר זווית ואחד מן הקובץ בתרגיל – הזווית החדה. המחשב שימש אותם עבור כל האיפיונים, כאשר גם כאן ראו את תהליך ניסיון הבנייה

עצמה כבבניות עזר.

לסיכום, רוב התלמידים לא הצליחו להתמודד עם שאלה זו ולא ראו שמדובר כאן ב"אינסוףתשובות" ולא ב"אין תשובה". המחשב לא עזר בראיית מגוון האפשרויות.


השאלה

רמה


המחשב תרמה







(9עקבית )

0-2027003-450502550

53


0-2 רמה הסטודנטים ברמה זו השתמשו במחשב רק לצורך בדיקת נכונות הפתרון. הסטודנטים היו

בטוחים בפתרונם – שאין תשובה. הבעיה שונה מההקניה והם לא הצליחו להתמודד עם מצבזה.

3-4 רמה הסטודנטים ברמה זו השתמשו במחשב עבור כל הקריטריונים אבל גם רוב הסטודנטים ברמה זו לא הצליחו להתמודד עם הבעיה, פרט לסטודנטית שטענה ש"ניתן לבנות אינסוף משולשים

זוויות )ישרה + שתי חדות("3שבכולם אותן

ההוכחה הייתה עצם העובדה שלא יכלו לבנות את המשולש, לפי טענתם., לסיכום


השאלהרמה



10)



11)



לפתרון )13)

0-29270183-4100757550


0-2 רמה

54

סטודנטים אחדים ניסו להשתמש במחשב אבל כנראה הרגישו שהתשובה ברורה - "הבניה אינה אפשרית כי אין מספיק נתונים", " ראיתי שהנתונים לא מספיקים לצורך פתרון הבעיה", "לא

הייתה בניה". 3-4 רמה

ההנמקה של הסטודנטים שטענו שהבניה בלתי אפשרית מנומקת ובוחנת מצבים אפשריים: "הבנייה הזאת לא אפשרית, בעזרת נתון אחד שהוא זווית לא ניתן לבנות משולש ישר זווית. אין

שום נתון על הניצבים או היתר והזווית הנתונה במחשב מייצגת זווית בלבד ולא אורכי צלעות. ניצבים או זווית חדה וניצב סמוך, או לפי ניצב ויתר. אך2בניית משולש ישר זווית ניתן בעזרת:

מעלות זה לא עוזר לבניית90לפי זווית אחת לא ניתן לבנות אפילו שיש עוד זווית שהיא בעצם המשולש. אין שום נתון על הצלעות". הסטודנטית שענתה נכון כתבה: "הבנייה אפשרית בתנאי

מעלות. )אם נתונה זווית חדה ומבקשים לבנות180שסך כול סכום הזוויות אינו עולה על משולש ישר זווית( אך ניתן לבנות אינסוף משולשים שיענו על הנתון. משולש אחד מסוים – לא

ניתן לבנות מכיוון שחסר נתון ניצב או יתר".

מקשרות בין3-4לסיכום, רואים הבדל בניסוח ההנמקות בין הרמות. ההנמקות של רמות מושגים אך בסך הכול כל הסטודנטים פרט לסטודנטית אחת לא הצליחו להתמודד עם מצב

שסותר את האינטואיציה שכאשר יש מעט מידי נתונים המשמעות היא שאין תשובה.

יתכן שלא היו בשלים להבחנה בין מצב של אין פתרון למצב של אינסוף פתרונות כתוצאה מכךשמדובר על סוף סמסטר א של שנה א.

של המורים העולים(1 )5שאלה

צלעות נתונות באופן מספרי, ללא הגדרת2השאלה היא בניה של משולש שווה שוקיים בעזרת כי היא בודקת יכולת התמודדות עם בעיה2ייעוד של הנתונים. השאלה היא ברמת תובנה

שונה במקצת מההקניה – קיימות שתי אפשרויות לבחור את הצלעות, אך אחת מהן אפשריתוהאחרת – לא, אך עדיין בניה זו מהווה תרגול ישיר.


55

האיפיון

רמה




הפתרון )2)




לפתרון )4)


או לאימות

פתרונות )5)

3-43831632556


3-4 רמה הסטודנטים ציינו שהשתמשו במחשב ובמגוון של אפיונים. הם מיעטו בפירוט השימוש במחשב.

נתונים. למרות שציינו שהשתמשו במחשב, ההנמקה3כולם, ללא יוצא מן הכלל ציינו שנתונים צלעות במשולש אחר, בהתאמה,3 צלעות שוות ל-3מסתמכת על משפט חפיפה צ.צ.צ "אם

אז המשולשים חופפים" – כלומר, סביר להניח שהם ידעו לפתור את השאלה ולא ניתן ללמודעל תרומת המחשב לשלב זה.


השאלה

רמה


המחשב תרמה







(9עקבית )

3-425811925

5: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב ההוכחה בשאלה 18טבלה 3-4 רמה

56

בשלב ההוכחה, הבנייה עצמה סיפקה להם את הבדיקה לנכונות הפתרון ואכן מספר רב של סטודנטים ציינו שהשתמשו בלומדה בבדיקת נכונות הפתרון. כאן הם ציינו שימושים שונים במחשב: "בנייה נוספת של משולש", "למדוד בעזרת המחשב אורך של כל צלע", "מדדתי

בעזרת המחשב )הנדסה בתנועה(", "אבנה משולש נוסף, אם יתלכדו המשולשים אז הבנייה נכונה", "אפשר לבדוק אם עושים בנייה בסדר אחר ולראות בהזזה שהמשולשים מתלכדים",

"אבנה משולש חופף ואכסה את הבנוי. אם יתלכדו המשולשים אז הבנייה נכונה". יש כאן שימוש מגוון של האופציות שהתוכנה "הנדסה בתנועה" מאפשרת ושימוש גם בעקרון התנועה,

גם בחפיפת משולשים וגם במדידות.


השאלהרמה



10)



11)



לפתרון )13)

3-431633850

5: אחוז המשתמשים בכל איפיון לפי רמה בשלב הניתוח שאלה 19טבלה

3-4 רמה הסטודנטים ציינו שימוש במחשב אך במידה די מועטה. בעיקר לצורך בדיקת פתרונות

אפשריים. יש לציין שכל הלומדים, ללא יוצא מן הכלל, הכירו את אי שוויון המשולש וכולם טענו שלא תמיד הבנייה אפשרית ונימקו בעזרת אי שוויון המשולש. נראה שכאשר התשובה ידועה

מראש השימוש במחשב לא בא לידי ביטוי בהנמקה.

במבחן של העולים(2 )שאלה 6 שאלה

שאלה זו היא בניית משולש לפי צלע, התיכון היורד אליה ורדיוס מעגל חוסם. השאלה היא ברמת התובנה הרביעית – קישור בלתי ישיר כי פריטי הידע הדרושים לביצוע המשימה אינם

שקופים. הבנייה היא רב שלבית והנסיבות המתמטיות מורכבות.שלב ניתוח הבעיה והבניה

57

:3להלן תוצאות תשובות הסטודנטים על שאלה האיפיון

רמה




הפתרון )2)




לפתרון )4)


או לאימות

פתרונות )5)

3-4755650630


3-4 רמה הסטודנטים ציינו שהשתמשו במחשב לצורך הבנת הבעיה ולצורך תמונה כללית או הנחיה

לפתרון בעיקר. בנימוקים הם תארו כיצד הם בנו את המשולש – קודם שרטטו משולש כלשהו ועשו לו בעזרת התוכנה מעגל חוסם, כלומר ניתחו את הבעיה ואחר כך תיארו את הבניה,

כאשר הם מתחילים מבניית אנך אמצעי לקטע הנתון. רק סטודט/ית אחד/ת תארו במדויק את הבנייה. רבים הסתמכו על נקודת פגישת האנכים האמצעיים כמרכז מעגל חוסם כאשר לא היה

אנך אמצעי נוסף.


השאלה

רמה


המחשב תרמה




3-41250


58

3-4רמה הסטודנטים מיעטו להיעזר במחשב לצורך ההוכחה. הם נעזרו במידה מועטת בעיקר לבדיקת

נכונות הפתרון.


השאלהרמה



10)



11)3-45067


3-4 רמה . הם ציינוr>a/2 או 2r>aכל הסטודנטים, ללא יוצא מן הכלל, ציינו שהבנייה אפשרית כאשר

שנעזרו במחשב בעיקר לשלב זה: "מחשב עוזר להראות אפשרות פתרונות של בעיה", "נעזרתי במחשב בעיקר בשלב חקירה של קיום הפתרונות". יחד עם זאת אף סטודנט לא דן

למרות שהצליחו לשרטט את השרטוט המבוקש במספר הפתרונות האפשריים – כלומר, בעזרת המחשב הם לא הצליחו לכתוב נכון כיצד מצאו את הקודקוד הנוסף ולא ציינו את

( על צג המחשב מציגה23-24מספר הפתרונות האפשריים למרות שבנייה נכונה )ראו עמודים זאת באופן ברור.

לסיכום, כאשר הבעיה קשה יותר הם פונים למחשב יותר מאשר בשאלה שעליה הם יודעים את התשובה. יחד עם זאת, המורים העולים לא רואים בהתבוננות הויזואלית חלק מהצגת

התשובה, כלומר, הם שרטטו במחשב, קיבלו אפשרות להעשיר את התשובות שלהם אך הםנשארו בהצגת תשובות פורמליות שאינן מסתמכות על ההצגה הויזואלית של הבנייה במחשב.

59

רמת תובנה ראשונה ( של העבודה בסמסטר1-7הניתוח התבצע בהתאם לשאלה הראשונה והשנייה )עמודים

הראשון.

היא בנייה אפשרית ובשאלה השנייה הבנייה לא אפשרית. כאשר הבניה1הבניה בשאלה ציינו שימוש מועט למדי במחשב 0-2 ברמת התפתחות חשיבה גיאומטרית אפשרית הסטודנטים

עבור שלושת השלבים: שלב ניתוח הבעיה והבנייה, שלב ההוכחה ושלב הניתוח. באופן כללי, בשלב של ניתוח הבעיה וביצוע הבנייה הסטודנטים השתמשו במחשב יותר מאשר לצורך הוכחה

וניתוח. - האיפיון בו הם ציינו שהשתמשו במידה הרבה ביותר הוא גילויניתוח הבעיה והבנייהבשלב

הפתרון. כאשר הבנייה אפשרית הם ציינו במיוחד את האיפיון "ככלי לבניות עזר" שזו עבורם הבנייה עצמה. כאשר הבנייה לא אפשרית – השימוש באיפיון זה נמוך ואלה שציינו אותו הםאותם סטודנטים שניסו לבנות, למרות שידעו שאי אפשר ליצור משולש בעזרת נתונים אלה. כל הסטודנטים ברמה זו ידעו לפתור את שתי השאלות ולא ניצלו את המחשב לצורך יצירת

תמונה כללית, לצורך הבנת הבעיה ולא כהנחיה לפתרון. הם גם לא נזקקו לתיקון שגיאות ולאחשו צורך באימות הפתרון.

, גם כן קיימים הבדלים בין שתי השאלות. כאשר הבנייה אפשרית – הבניהההוכחהבשלב עצמה שימשה כהוכחה עבור חלק מהסטודנטים. חלק אחר השתמש בתוכנה הדינאמית לצורך

הזזת אחד מקודקודי המשולש – פעילות שלא הובילה אותם להוכחה. כאשר הבנייה לא אפשרית – עצם העובדה שקרני הזוויות הקהות לא נפגשו – שימש להם כהוכחה. כיוון שידעו

זאת מראש לא ראו את התמונה במחשב כתרומה. הנימוקים שהציגו הם נימוקיםאינסטרומנטליים – נימוקים של עשייה/אי עשייה.

הסטודנטים נעזרו במחשב מעט לצורך בדיקת פתרונות אפשריים או לפתרוןהניתוח בשלב ומעט מאוד אם בכלל לצורך קביעת תנאי הפתרון או לצורך תמונה כללית או הנחיה.

ההנמקה היא הנמקה ויזואלית וסביר להניח שהמחשב תורם ביצירת שפה להנמקה, אך הםאינם מודעים לכך.

רואים את תרומת המחשב0-2לסיכום, הסטודנטים ברמת התפתחות חשיבה גיאומטרית בעצם גילוי הפתרון, למרות שידעו את הפתרון. הם לא חשבו שהתוכנה הדינמית תרמה

להוכחה ולעיתים אף קלקלה את ההוכחה כתוצאה משימוש לא מתאים באופציות הדינמיות.ההנמקה הייתה ברמת הבנה אינסטרומנטלית – יישום ישיר של החומר הנלמד.

60

ידעו על סמך הנתונים שהבנייה 3-4 ברמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית הסטודנטים בשאלה הראשונה אפשרית והבנייה בשאלה השנייה בלתי אפשרית. יחד עם זאת הם ציינו

שהמחשב תרם לעבודתם בשלושת השלבים יותר מאשר הסטודנטים ברמות הנמוכות. שהשתמשו במחשב לצורך הבנת הבעיהניתוח הבעיה והבנייהמעניין שהם הרבו לציין בשלב

ולצורך יצירת תמונה כללית או הנחיה לפתרון. כלומר, המחשב עזר להם לא רק בעשייה עצמה – בבניית המשולש ובגילוי הפתרון, אלא בחשיבה מעבר לבנייה. כמו כן, למרות שידעו לפתור שאלות אלה, אם נותנים להם כלי נוסף – הם מנצלים אותו לבדיקת נכונות התשובה. נראה שהסטודנטים, כבר בשלב הראשון, חיפשו כיצד אפשר להכליל וכיצד אפשר להעמיק

הם אכן עשו זאת: כאשר הבנייה אפשרית – ההוכחה שלהם היאההוכחהבתשובה. בשלב בניית משולש חופף בסדר בנייה אחר שהיא טענה כללית. העבודה במחשב חידדה את הראייה

לא בעשייה נוספת אלא בהצגת האפשרות לביצוע. נעשה קישור בין הרמה הויזואלית לבין משפט אי שוויון המשולש בבנייה הניתוח בשלב

האפשרית. כאשר הבנייה בלתי אפשרית ההנמקה גם כן מוצגת באופן כללי ומעמיק. לסיכום, השימוש במחשב מעשיר את אופן ההנמקה שלהם בכך שמקשר בין הרמה הויזואלית

לרמה הפורמאלית. הם ציינו את תרומת המחשב, למרות שידעו את התשובות מראש והשתמשו בעבודה עם התוכנה לצורך הכללה והעמקה של הצגת ההוכחה וניתוח הבעיה.

הסטודנטים חיפשו קישורים לידע הנוסף שלהם. כלומר, בהנמקה הגיעו לרמת התובנההשלישית ולא היה להם צורך בהפעלת רמות חשיבה גבוהות יותר.

רמת תובנה שנייה ( של13-14( והחמישית )עמודים 7-10הניתוח התבצע בהתאם לשאלה השלישית )עמודים

א של העבודה בסמסטר השני.1העבודות בסמסטר ראשון ועל שאלה

לא ציינו שימוש רב במחשב. הם ידעו מיד 0-2 ברמת התפתחות חשיבה גיאומטרית הסטודנטים שקיימת אפשרות לבחירת הנתונים כך שהבנייה אפשרית ובנו אותה. כמו כן, ידעו על סמך

הידע שלהם על משולש שווה שוקיים שמדובר בשלושה נתונים – כלומר – זיהו נתון סמוי. מתוך ניתוח התשובות ניתן ללמוד שהבנייה במחשב הבהירה להם את תהליך הבנייה. בשלב של

ניתוח הבעיה וביצוע הבנייה הם השתמשו במחשב יותר מאשר לצורך הוכחה ולצורך ניתוח.

61

שהשתמשו באיפיוןניתוח הבעיה והבנייהגם בשאלות ברמת התובנה השנייה הם ציינו בשלב "גילוי הפתרון" במידה הרבה ביותר, אך כאן נוסף גם האיפיון "ככלי עזר לצורך הבנת הבעיה".

התשובות מסתמכות על העשייה עצמה – הנמקה אינסטרומנטלית ובכל זאתההוכחהבשלב מידת השימוש במחשב עליו דווחו הייתה נמוכה.

חלק מהסטודנטים לא ניצל באופן יעיל את המעקב אחר העשייה במחשבהניתוח בשלב לצורך ההנמקה והנימוקים מעורפלים. חלק כתב טענות כלליות ולא ממוקדות. אחרים ניסחו

היטב שהזווית הקהה צריכה להיות זווית הראש והנימוקים שלהם הם נימוקים אינסטרומנטליים המקושרים קישור ישיר לטענות כלליות ידועות להם על משולשים. הטענות ממוקדות במקרה

הפרטי של השאלה. לסיכום, השימוש היעיל במחשב, לדעתם של הסטודנטים, היה לצורך הבנייה עצמה ועשיית

סדר והבהרה של תהליך הבנייה. מתוך תשובותיהם ניתן לראות את השפעת ביצוע הבנייה על ההוכחה, למרות שלא היו מודעים לכך. בתשובות לא בא לידי ביטוי הניתוח של בחירת נתונים המובילה לאי-יכולת בנייה – קיימת התעלמות ממצב זה. אם ההנמקה נכונה היא ניתנת מתוך

שילוב של הבנה אינסטרומנטלית וקישור בלתי אמצעי. שהתמודדו עם שאלות 3-4 ברמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית שתי קבוצות הסטודנטים

ברמה זו ידעו לפתור את השאלה. השאלות של שתי הקבוצות דומות באופיין. מדובר במשולש שווה שוקיים שבו שני נתונים כאשר לא הוגדר הייעוד של כל נתון וקיים מצב שבו אפשר לבנות

משולש ומצב אחר בו הבנייה לא אפשרית. , כאשרניתוח הבעיה והבנייההסטודנטים ברמה זו ציינו שימוש מגוון במחשב לצורך

הסטודנטים בהכשרה ציינו זאת במידה רבה יותר. התשובות של המתכשרים להוראה על השאלה "כמה נתונים יש בקובץ ומדוע?" שימשו להרחבה ולהבהרה של תשובות קודמות על

ניסוח הבעיה ולאיזה משפט מתייחסת הבנייה. כמו כן, הם התייחסו לבחירת נתונים שאינה מובילה לבנייה. ההנמקה של המורים עולים מתמקדת במשפט החפיפה המתאים ואין אזכור של בחירת נתונים בדרך האחרת – הדרך שלא מובילה לבנייה. הסטודנטים משתי הקבוצות

ציינו שימוש מרובה במחשב ככלי לבניות עזר כאשר הם מתכוונים לביצוע התהליך של הבנייה. יחד עם זאת הם פונים גם לאיפיונים אחרים: לצורך הבנת הבניה, לצורך תמונה כללית או

הנחיה, לפתרון ולאימות פתרונות. קבוצת המתכשרים להוראה ציינו שימוש במידה שווה לתרומת המחשבההוכחה בשלב

לתהליך ההוכחה, לבדיקת נכונות הפתרון ולתיקון פתרון שגוי. קבוצת העולים השתמשה בעיקר לבדיקת נכונות הפתרון. עצם בניית המשולש היא ההוכחה עבור הסטודנטים משתי

62

הקבוצות וכאן בא לידי ביטוי השימוש במחשב – אם על ידי מדידה, או על ידי חפיפה או על ידיבנייה בסדר אחר.

– הסטודנטים בהכשרה ציינו שימוש רב במחשב, ציינו את האופציות האפשריותהניתוחבשלב לבחירת נתונים והתשובה ניתנה באופן כללי ובהרחבה. כל תשובה לשאלה הוסיפה על המידע שכבר ניתן. ההנמקה היא ברמה של יכולת לקשר מושג חדש למושגים שנלמדו קודם – מעבר

לתרגול ישיר תוך שימוש בתמונה הויזואלית שהמחשב מספק – קישור בלתי אמצעי. המורים העולים הציגו תשובות פורמליות המבוססות על אי שוויון המשולש ולא הציגו את האופציה שאינה אפשרית לבנייה. גם תשובות אילו ניתנו ברמה של קישור בלתי אמצעי, אך הם לא

השתמשו בתמונה הויזואלית שהמחשב סיפק לצורך תיאור אופן בדיקת הפתרונות האפשרייםובהנמקה לא קישרו בין הייצוג הוויזואלי לייצוג הגיאומטרי הפורמלי.

3-4בניתוח תוכן של עבודות הסטודנטים הלומדים בהכשרה, שהם ברמת התפתחות החשיבה א, שהיא ברמת תובנה שנייה כל התשובות כוללות ניתוח הבעיה תוך הצגת מספר1על שאלה

האפשרויות לייעוד הנתונים, בנייה מושלמת של כל אחד מן המצבים האפשריים וניתוח הכולל תנאי קיום של הפתרון ומספר הפתרונות. השפעת המחשב ניכרת בשרטוט מעגלים ולא רק קשתות במהלך הבניה כדי למצוא את כל התשובות האפשריות או במילים אחרות – בראיית

התמונה הכוללת. כל הסטודנטיות פתרו שאלה זו באופן ממצה ומקיף.

רמת תובנה שלישית ( של העבודות בסמסטר ראשון ועל10-13הניתוח התבצע בהתאם לשאלה הרביעית )עמודים

של העבודה בסמסטר השני.2-6 ב ושאלות 1שאלות

ציינו שניצלו את המחשב לגילוי 0-2 ברמת התפתחות חשיבה גיאומטרית רוב הסטודנטים . הניתוחניתוח הבעיה והבנייההפתרון ונעזרו במידה מועטה במחשב לצרכים אחרים בשלב

שעשו בשלב זה שגוי. לפי טענתם לצורך בדיקת נכונות הפתרון וגםההוכחה,הסטודנטים ניצלו את המחשב, בשלב

שימוש זה בוצע במידה מועטה. גם עם עבודה במחשב הם לא הצליחו לזהות מצב של"אינסוף פתרונות" אלא זיהו מצב של "אין פתרון".

הם ניצלו את המחשב במידה מועטה לצורך בדיקת פתרונות אפשריים. בכלהניתוחבשלב מקרה, למרות שהמצב של "אינסוף פתרונות" הוא מצב שקוף הם לא זיהו אותו.

63

ציינו שימוש במחשב לצורך ניתוח 3-4 ברמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית הסטודנטים הבנת הבעיה ואף לצורך הניתוח ובכל זאת רק סטודנטית אחת ניתחה נכון את השאלה וענתה שהביצוע לא אפשרי כתוצאה ממצב של "אינסוף תשובות" אפשריות ולא כתוצאה ממצב של

"אין תשובה". כלומר, למרות שהם מסווגים לרמה גבוהה של התפתחות החשיבה הגיאומטרית הם לא

הצליחו להתמודד עם נתונים שאינם מובילים למספר סופי של פתרונות אפשריים. בשאלה הקודמת הם התייחסו לשני מצבים אפשריים – האחד המוביל לבנייה והאחר שאינו מוביל לבנייה. כאשר הנתונים הובילו לאפשרות של "אינסוף פתרונות" הם לא זיהו ולא הצליחו

ליישם. מבחינתם זה לא היה שקוף. מתוך העבודות של סמסטר ב, ניתן ללמוד שהסטודנטיות מסוגלות להתמודד בהחלט עם

שאלות ברמת התובנה השלישית – קישור בלתי אמצעי. נרחיב את התמונה גם בתשובותינו לשתי השאלות האחרות כאשר נדון במעבר מבעיות לא שגרתיות לבעיות שגרתיות וכאשר נדון

בהבדלים בין הסטודנטים שלמדו קורס מחשב לבין הסטודנטים שלא למדו קורס מחשב.ננתח את האופן שבו ניכרה השפעת המחשב בעבודות אילו:

– התמונה הניתנת בכל אחת מן העבודות, בכל אחת מןניתוח הבעיה והבנייה בשלב השאלות, היא תמונה של מצבים אפשריים. ברוב המקרים מוצגות כל האפשרויות וישנן עבודות

של אחת הסטודנטיות מופיע הניתוח2בהן מוצגות רוב האפשרויות. למשל, בפתרון שאלה הבא:

בתרגיל זה יש מספר אפשרויות:

מצב ג' מצב ב'' מצב א∠ A=d ∠ A<d ∠ A>d

a>b a>b a=b

ניתן לבנות משולש ניתן לבנות משולש לא ניתן לבנות משולש,כיוון

הם שוקיים ולכן a,b לפי צ.ז.צ. ש- במשולש זה זוויות הבסיס

64

הן שוות, ולא ייתכן במשולש

.2d זוויות גדול מ-2 סכום a=b a=b a<b

לא ניתן לבנות משולש. ניתן לבנות משולש לא ניתן לבנות משולשכי

לא ייתכן יתר וניצב שווים. שווה שוקיים על סמך מול זווית גדולה ישנהצלעa<b.משפט חפיפה צ.ז.צ גדולה

לא ניתן לבנות משולש,לא יתכן יתר קטן מניצב.

כלומר, הסטודנטיות מנסות להציג תמונה כללית של הבעיה, כאשר התנאים ליישום גלויים והןבעלות יכולת זיהוי נכון של נסיבות רלוונטיות ליישומם ואף מצליחות ליישם.

בשלב הבנייה, כאשר התוצאה ברורה )למשל, חציית קטע או העברת אנך לקטע( הקשתות המשורטטות קטנות ונמצאות במקום שם הן מצפות לתשובה. כאשר התוצאה לא ידועה

ומספר הפתרונות לא ברור הסטודנטיות משרטטות מעגלים שלמים. למשל, באופציה שבה∠ A=d ב משרטטת אחת הסטודנטיות את השרטוט הבא:1 בשאלה

ומוצגות בו מספר דוגמאות אפשריות כדי להבהיר שמדובר באינסוף תשובות.דוגמאות נוספות המעידות על השפעת המחשב:

65

השפעת המחשב ניכרת לצורך בדיקת פתרונות אפשריים ולצורך קביעת תנאיהניתוח בשלב קיום הפתרון והמהווה המשך ישיר של הבנייה.

מההשוואה של ניתוח עבודות אלה לניתוח השאלה איתה התמודדו בסמסטר א רואים שיפרו את יכולת ההתמודדות שלהם עם שאלות3-4שהסטודנטים ברמת התפתחות חשיבה

66

ברמת התובנה השלישית לעין שיעור. השפעת המחשב היא לטווח ארוך והיא באה לידי ביטוי באופן ההתבוננות על שאלה וניתוח הבעיה הניצבת מולם, בבנייה המאפשרת בדיקת תנאי

קיום הפתרון ופתרונות אפשריים ובניתוח הפתרונות.

הסטודנטים ברמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית הנמוכה לא התמודדו עם שאלות ברמת התובנה השלישית גם בסמסטר השני וסטודנטית אחת הלומדת הוראה לחט"ב והיא מסווגת לרמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית הנמוכה לא הגישה עבודה בסמסטר ב, כך שאין לנו

מידע על השפעת המחשב עליהם בטווח הארוך. אנחנו ממשיכות לאסוף נתונים גם השנה עלשאלה זו ומקוות להעשיר את הממצאים.

מתוך הממצאים על הסטודנטים ברמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית הגבוהה אנו רואים שאם אין בשלות של יכולת לקשר מצב חדש למושגים המוכרים גם האופציות שהמחשב מאפשר לא מועילות. התוכנה הדינמית במחשב לא עושה את תהליך החשיבה במקום

הסטודנטים, אלא, נותנת תמונת מצב שאותה צריך הלומד לנתח. לאחר הניסיון הבלתי מוצלח בסמסטר א חל שינוי בתרבות הצגת התשובה לשאלה כך שכל תשובה כללה את שלושת

השלבים, כל אחד מהמצבים האפשריים עובר ניתוח ומצבים של "אינסוף תשובות" או "אין תשובה" הופכים להיות טבעיים כמו מספר סופי של תשובות אפשריות. יש לציין שהחיפוש אחר הכללה, של חשיבה מעבר לפתרון שהם מציגים בפתרון שאלה ברמת התובנה השלישית בסוף

הסמסטר השני אנלוגי לאופן העבודה שלהם על שאלות ברמת התובנה השנייה בסוףהסמסטר הראשון.

רמת תובנה רביעית( של העבודות בסמסטר ראשון.15-16הניתוח התבצע בהתאם לשאלה השישית )עמודים

ברמתהמורים העולים הם היחידים שהתמודדו עם בעיית בנייה ברמת תובנה רביעית והם כולם . השאלה הייתה מורכבת יותר מהשאלה הראשונה איתה 3-4 התפתחות החשיבה הגיאומטרית

התמודדו ורואים פנייה רבה יותר אל המחשב בשלבים של ניתוח הבעיה והבנייה ובשלב הניתוחשל מספר הפתרונות ופתרונות אפשריים.

הם ציינו שנעזרו במחשב בעיקר לצורך הצגת תמונה כללית אוניתוח הבעיה והבנייהבשלב הנחיה לפתרון וככלי עזר בשרטוטים לצורך הבנת הבעיה. כלומר, כאשר פריטי הידע

67

הרלוונטיים לבנייה לא היו שקופים גדלה הפנייה למחשב. מתשובותיהם ניתן ללמוד שהם הכירו כל מושג בנפרד ובשאלה זו ניסו להתמודד עם השילוב שלהם, עם הדרך לביצוע הבנייה ועם

סדר הבנייה. בשלב שרטוט הבעיה – התוכנה נותנת מעגלים שלמים וכולם אכן ביצעו אתהבניה בעזרת המחשב ובכל זאת הם לא ראו שקיימות שתי אפשרויות.

נציג דוגמאות לשרטוטים שבוצעו בעזרת התוכנה "הנדסה בתנועה": השרטוט בצד שמאל למעלה מראה את ניתוח הבעיה ובו פתרון אחד. השרטוט למטה מראה

את הבניה במחשב.

דוגמה נוספת, שבה יש רק פתרון אחד שמסומן ואפשר לראות את הפתרון השני מתוךהשרטוט:

68

הסטודנטים לא מוצאים תפקידההוכחה.הסטודנטים ציינו שימוש מועט במחשב לצורך למחשב בשלב זה.

הבעיה, היו סטודנטים שבשרטוט שלהם הופיע רק משולש אפשרי והיו סטודנטיםניתוח בשלב שבשרטוט שלהם הופיעו שני משולשים כמו בדוגמה לעיל: בשרטוט העליון מופיעה רק תשובה

אחת ובשרטוט התחתון מופיעות בבירור שתי אפשרויות שונות של פתרון. אך אף אחד מן הסטודנטים לא ביצע בדיקה האם הן תשובות זהות, האם הן תשובות שונות ולא הציג שתי

תשובות אפשריות גם אם ראה אותן על הצג. הסטודנטים לא ניצלו את הייצוג הוויזואלי לצורך ניתוח הבעיה. אין תרומה הדדית בין הידע הוויזואלי שנראה במחשב לבין הידע הפורמלי הקיים.

יתכן, שכמו הסטודנטים בהכשרה שהתמודדו עם שאלה ברמת התובנה השלישית היו צריכים זמן, אך נראה שהתרבות של מתן תשובה פורמלית בגיאומטריה גברה והם לא הצליחו

להשתמש בתמונה הוויזואלית לצורך העשרת התשובה הפורמלית. הם ציפו לתשובה אפשריתאחת וכשקיבלו על הצג של המחשב שתי תשובות אפשריות – התעלמו מאחת מהן.

69

מעבר של בעיות בנייה ממעמד של "בלתי שגרתיות" למעמד של3.4"שגרתיות"

במהלך ההוראה שבו גם נערך המחקר הנוכחי, למדו סטודנטים של שנה א המתמחים בהוראת המתמטיקה קורס שנתי בגיאומטריה של מישור. הסטודנטים שייכים לשני מסלולי לימודים: לביה"ס היסודי ולביה"ס העל יסודי. במהלך הסמסטר הראשון של הקורס, הכירו הסטודנטים את הנושא "בניות גיאומטריות" שלרובם המכריע היה חדש, וכן הספיקו ללמוד

בניות בסיסיות. כמו כן, למדו הסטודנטים את האי שיוויונים הבסיסיים במשולש, דהיינו את משפט הזווית החיצונית בצורתו החלשה ואת המסקנות ממנו לגבי מספר זוויות ישרות וקהות במשולש, אי קיום זווית ישרה וקהה באותו משולש ואת אי שוויון המשולש. כמו כן, למדו את

שלושת משפטי החפיפה ואת משפטי החפיפה עבור קבוצות מיוחדות של משולשים: משולשיםשווי שוקיים ומשולשים ישרי זווית.

בהתאם למכלול זה של ידע גיאומטרי הנרכש במהלך הסמסטר הראשון, למדו הסטודנטים לקראת סיום הסמסטר הראשון להתמודד עם בעיות בנייה של משולשים לפי נתונים

המתאימים למשפטי החפיפה הבסיסיים, כולל משולשים מיוחדים.

חלק מהסטודנטים של המסלול העל יסודי וכל הסטודנטים של המסלול היסודי למדו במקביל בקורס "מבוא למתמטיקה באמצעות המחשב", כפי שמתואר בפרק המוקדש

למתודולוגיה של מחקר זה.

כל הלומדים הכירו את הבניות הבסיסיות במהלך שיעורי הגיאומטריה העיוניים, וכן קיבלו הוכחה מלאה לכך שכל אחד מתהליכי הבנייה כפי שמתואר באלגוריתם מתאים, אכן מוביל

לתוצאה הנדרשת. סטודנטים אשר למדו במקביל בקורס "מבוא למתמטיקה באמצעות מחשב", למדו גם ליישם את הנלמד בסביבה של גיאומטריה דינמית. תוך כדי לימוד קורס זה,

נחשפו הסטודנטים לתכונות של צורות גיאומטריות הקשורות בבניות שביצעו, ולמדו להעריךאת חשיבותן.

כך למשל, מן העובדה שלקו ישר ולמעגל תיתכנּה שתי נקודות חיתוך, נובעת העובדה שלבעיית בניה של משולש לפי שתי צלעות וזווית הסמוכה לאחת מהן יכולים שני פתרונות שונים

מהותית, דהינו, שני משולשים שאינם חופפים ביניהם )אם לא ידוע שהזווית היא הגדולה ביותר במשולש(. למעשה, התנסות בבנייה מובילה לתובנה הנדרשת על מנת להבין את הניסוח של

משפט החפיפה הרביעי.

70

למרות שגם בבנייה על הנייר אפשר לצפות באותה התופעה, וגם מבחינה גיאומטרית היא ידועה ואף מוכחת בשלב מסוים בקורס, שמנו לב שהסטודנטים אשר למדו את הבנייה

באמצעות מחשב היו הרבה יותר מודעים לאפשרות קיום שתי נקודות חיתוך שונות ומה שיותרחשוב – לצורך להתייחס אליהו במהלך ניתוח מספר הפתרונות.

על מנת להעריך את הצלחת התהליך של העברת בעיות הבנייה הבסיסיות למעמד של בעיות שגרתיות, נבנה מבחן סוף השנה בקורס "גיאומטריה של המישור" המכיל בעיית בנייה

כשאלת חובה, כאשר אחד הסעיפים בשאלה זו כלל בעיות בסיסיות כשלב בהתרת שאלת (. בדרך זו, הערכנו האם הבניות הבסיסיות הפכו לבעיות שגרתיות1המבחן )ראה נספח

בהתאם לאפיונן העיקרי של בעיות שגרתיות: הן מהוות כלי מוכר, מוכן ומזומן לשימוש בפתרוןבעיות אחרות מורכבות יותר ומוכרות פחות.

כפי שניתן לראות מניתוח סטטיסטי של תוצאות הניסוי שנערך, לא נצפה הבדל משמעותי בתוצאות הלמידה בכל הקשור בהעברת בעיות בנייה בסיסיות ממעמד של בעיות "בלתי

שגרתיות" למעמד של "בעיות שגרתיות" בין אילו שלמדו עם מחשב לבין אילו שלמדו ללאמחשב.

להלן סיכום תוצאות הסטודנטים לגבי הפיכת בעיית הבנייה ממעמד בלתי שגרתי לשגרתי בשתי קבוצות )אלה שהשתמשו במחשב לעומת אלה שלא השתמשו בו( על פי המסלול )יסודי

וחט"ב( ובסה"כ :

הפיכהיסודי ללא

סה"כהפיכה מחשב )ציון

808גבוה(

מחשב )ציון011נמוך(

011ללא מחשב

82סה"כ

1

0

: הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי שימוש במחשב בהכשרה ליסודי23טבלה

71

הפיכהחט"ב ללא

סה"כהפיכה527מחשב

132ללא מחשב

1

5

184סה"כ

2

2

: הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי שימוש במחשב בהכשרה לחט"ב24טבלה

הפיכהסה"כ ללא

סה"כהפיכה אחוזהפיכה

מחשב1

3316

81%

ללא מחשב1

33

1

6

8

1%

: הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי שימוש במחשב בהכשרה בשתי הכיתות25טבלה

כפי שניתן לראות , אצל רוב הסטודנטים התבצעה הפיכת בעיית הבנייה למעמד שגרתי ללא מהלומדים הגיעו81%קשר בשימוש במחשב )בשתי הקבוצות – עם מחשב וללא מחשב – כ-

לרמת שליטה בבעיות הבנייה הבסיסיות ברמה של בעיה שגרתית( . בין היתר ניתן לראות כי אצל סטודנטים הלומדים במסלול היסודי, כאשר כולם בקבוצה זו השתמשו במחשב, הכישלון

היה אצל שני סטודנטים; מתוכם אחד קיבל ציון מאוד נמוך עבור מטלת הבנייה בקורס התרחשה8 סטודנטים שקיבלו ציון טוב במטלת בנייה אצל 9מחשב. לעומת זאת, מתוך

הפיכת בעיות הבנייה הבסיסיות לשגרתיות. נראה שהאוכלוסייה קטנה מידי לצורך הסקת מסקנות כמותיות של השפעת הלומדה על

תהליך ההפיכה של בעיה ממעמד של "בלתי שגרתית" למעמד "שגרתית". כפי הנראה, בשלב 3.2זה ניתן להסתמך רק על הערות של הסטודנטים על תרומתו של המחשב )ראה סעיף

הבודק את מידת השימוש במחשב שציינו הסטודנטים ועל ניתוח תוכן של תשובותיהם(. כמו כן, ביכולתנו להסתמך על הניתוחים של ההבדלים המהותיים שחלו ביכולת הסטודנטים לבצע

72

ניתוח מעמיק יותר ומלא יותר של כל שלבי פתרון בעיות בנייה: ניתוח ראשוני, בנייה, הוכחתנכונות הבנייה וחקירת מספר הפתרונות ותלותם בנתונים.

על מנת לבדוק האם )אם בכלל( התפתחות התובנה השפיעה על העברת בעיית בנייה ממעמד "בלתי שגרתי" למעמד "שגרתי", הבחנו בין הסטודנטים להם חלה עליה ברמת

התובנה לבין אלה שלא שיפרו את רמת התובנה. בטבלה להלן מוצגים נתוני ההתפלגות שלהנבדקים על פי שינוי רמת התובנה בהתאם להתרחשות ההפיכה:

הפיכהשינוי רמת תובנה ללא

סה"כהפיכה אחוז

הפיכה1211392%חל שיפור

13417לא חל שיפור

76%

2553083%סה"כ

: הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי מידת השיפור ברמת התובנה26טבלה

תוך התייחסות אל שאלת המחקר הנדונה, בחנּו רק את הסטודנטים שאצלם התרחשההתפתחות התובנה )שינוי רמת התובנה גדול מאפס(.

להלן סיכום תוצאות הסטודנטים בעלי שינוי חיובי ברמת התובנה על פי התרחשות /אי-התרחשות ההפיכה בשתי האוכלוסיות )עם מחשב וללא מחשב( :

הפיכהקבוצה ללא

סה"כהפיכה אחוז

הפיכה606100%מחשב

61786%ללא מחשב

1211392%סה"כ

: הפיכת בעיה ממעמד בלתי שגרתי לפי קבוצת מחשב / לא מחשב27טבלה

73

שוב, בגלל הגודל המצומצם של הקבוצות לא ניתן להסיק מסקנות מובהקות לגבי השפעת השימוש במחשב על התרחשות ההפיכה של בעיות בנייה מבלתי שגרתיות לשגרתיות. ניתן רק לציין כי בקבוצה שלמדה עם מחשב לכל הסטודנטים להם חלה עליית רמת התובנה התרחשה גם הפיכת בעיית הבנייה ממעמד בלתי שגרתי לשגרתי. לאור התוצאה האחרונה נראה חשוב

להמשיך לעקוב אחר תהליך התפתחות התובנה בהקשר עם שימוש בלומדות הרלוונטיות.

בסיכום, מעניין לבדוק האם יש השפעה של רמת התובנה ההתחלתית על הפיכת בעיות בנייהממעמד של "בלתי שגרתיות" למעמד של "שגרתי".

74

פרק רביעי - דיון בממצאים, במשמעותם ובהשלכותיהם עלההכשרה להוראה

במחקר זה התמקדנו בסוג מסוים של בעיות בגיאומטריה – בעיות בנייה. התמקדנו בבעיות אלה, שכן לדעתנו, אפשר ללמוד מן התשובות של הלומדים על מידת ההבנה שלהם

בגיאומטריה. בניסוי שערכנו, הסטודנטים הלומדים מתמטיקה במכללה האקדמית לחינוך "אחווה" מוינו לפי רמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית של ואן הילה וסווגו לשתי קבוצות – קבוצה ברמה

. 3-4 וקבוצה ברמה 0-2 את התפתחות התובנה בבעיות בנייה בדקנו לפי יכולת ההתמודדות שלהם עם בעיות ברמות תובנה שונות. רמות התובנה של השאלות נקבעו על פי סולם רמות התובנה של ברבש-גוברמן

(2006.) למדנו שמספר הסטודנטים שהצליחו להתמודד עם שאלות ברמה1 ומדיאגרמה 2מטבלה

ומעלה( של תובנה בסמסטר השני גדל באופן מובהק ממספר הלומדים שהצליחו2גבוהה )מ-.חלה התפתחות של התובנהבזאת בסמסטר הראשון. כלומר,

. מידת השינוי נקבעה כהפרש בין רמתמידת השינוי ברמת התובנההוספנו עוד ובדקנו את (3התובנה של הנבדק בסמסטר ב לבין הרמה שלו בסמסטר א. התוצאות מראות )טבלה

ופיגור קל של32שחל שיפור לרוב הסטודנטים. אחוז הסטודנטים שנשאר ללא שינוי היה מהאוכלוסייה הנבדקת.20%כשליש רמה היה בקרב

עוד הוספנו ובדקנו אם יש הבדלים בין אילו שלמדו עם מחשב לבין אילו שלמדו ללא מחשב מעידה על כך4. טבלה השפעת המחשב על התפתחות התובנהבמידת השיפור, כלומר, את

שאילו שעבדו עם מחשב שיפרו יותר, אך לא נמצא הבדל מובהק. יתכן שהסיבה לכך היא סטודנטים(.25האוכלוסייה הקטנה שנבדקה )

בהמשך למחקרנו הקודם התעניינו לדעת כיצד משתמשים הלומדים במחשב בעת התמודדות עם בעיות בנייה, כאשר הם פותרים אותן בסביבה ממוחשבת. הפעם התעניינו באופן השימוש

איתן התמודדו.לרמת התובנה של השאלותבהתאם מצאנו הבדלים בין הלומדים המסווגים לרמות החשיבה הגיאומטרית לפי ואן הילה הנמוכות

לבין הלומדים המסווגים לרמות הגבוהות. ההבדלים השתנו בהתאם לרמות התובנה שלהשאלות.

75

( הסטודנטים המסווגים לרמות5-10 )טבלאות לרמת התובנה הראשונהבשאלות המסווגות ואן הילה גבוהות השתמשו יותר במחשב, כאשר השימוש במחשב העשיר את אופן ההנמקה

וההנמקה שילבה בין התמונה הויזואלית לבין הידע הפורמלי. הם השתמשו בתוכנה לצורך הכללה והעמקה של הצגת ההוכחה ושל ניתוח הבעיה. נוסף לכך, הם קישרו מושגים שהופיעו

ראו את עיקר תרומת0-2בשאלה למושגים נוספים שהכירו. הסטודנטים ברמת החשיבה המחשב בעצם גילוי הפתרון וזאת למרות שידעו את הפתרון שכן השאלות היו דומות מאוד

לשאלות שבוצעו בכיתה. האופציות הדינמיות שהמחשב אפשר לא תרמו להוכחה ואף הזיקו לה, לעיתים. יתכן שלא הבינו את משמעות ההוכחה ומכאן לא ידעו כיצד להשתמש באופציות שבמחשב ויתכן שעצם הבנייה שימשה עבורם הוכחה ולא ראו בכך שום צורך ופשוט "שיחקו"

באופציות הדינאמיות. ההנמקה שהציגו הייתה ברמת הבנה אינסטרומנטלית. ( ענו שתי קבוצות של17-19, 11-13 )טבלאות לרמת תובנה שנייהעל השאלות המסווגות

לומדים. הלומדים בהכשרה ציינו שימוש רב יותר במחשב מאשר קבוצת המורים העולים. התבטא באופן מתן התשובות. הלומדים בהכשרה3-4ההבדל בין שתי הקבוצות ברמת חשיבה

ניצלו כל סעיף בשאלה להרחבה ולהבהרה של תשובותיהם מסעיפים קודמים תוך הצגת התמונה הכוללת וציון אפשרות שלא ניתנה לבניה. בתשובותיהם של המורים העולים לא באה לידי ביטוי העבודה עם המחשב – התשובות היו פורמליות והתבססו על משפטים בגיאומטריה.

הם לא דנו באפשרות שלא ניתנה לביצוע. בשתי הקבוצות אופיין השימוש במחשב לצורך הבנת הבעיה, לצורך תמונה כללית או הנחיה לפתרון ולאימות התשובות. בסמסטר ב, כאשר

הסטודנטים בהכשרה פתרו שאלה ברמת תובנה זו, תשובותיהם היו מקיפות וממצות ועברולאורך כל השלבים של הבנת הבעיה והבנייה, ההוכחה והניתוח.

ממצא זה מתקשר לשאלה השלישית בה עסקנו: הפיכת בעיות "בלתי שגרתיות" לבעיות"שגרתיות" ונדון על כך בהמשך.

לא ציינו שימוש רב במחשב. יחד עם זאת הם זיהו נתון סמוי ובחרו0-2הלומדים ברמת חשיבה בייעוד של הנתונים כך שהבנייה תתאפשר ומתוך תשובותיהם ניתן ללמוד שהבנייה במחשב

הבהירה להם את תהליך הבנייה. כאשר עלתה רמת השאלה הם הוסיפו את האיפיון כ"כלי עזר לצורך הבנת הבעיה" על האיפיון ל"גילוי הפתרון", המעיד על ניסיון להיעזר בכלי שניתן להם.

ההנמקות להוכחה הן אינסטרומנטליות והניתוח לא בהיר ולא ממוקד. כאשר ההנמקה בהירההיא מתמקדת במקרה הפרטי של השאלה.

ציינו0-2( הסטודנטים ברמה 14-16 )טבלאות לרמת תובנה שלישיתעל השאלה המסווגת שניצלו את המחשב לגילוי הפתרון ובמידה מועטה לצרכים אחרים. תשובתם הייתה שגויה – הם

כתבו ש"אין פתרון" לבעיה כאשר התשובה הייתה "אינסוף פתרונות".

76

בסמסטר הראשון, בעת התמודדות עם שאלה ברמת תובנה זו, רוב הסטודנטים לא הצליחו להתמודד עם הבעיה, למרות שציינו שניצלו את המחשב לצורך הבנת הבעיה ולצורך הניתוח

.3-4ולמרות שרמת התובנה של השאלה מתאימה לרמת התפתחות החשיבה שלהם – בסמסטר השני, בעת התמודדות עם שאלות ברמת תובנה זו תשובות הסטודנטים ברמת

היו כלליות, הניתוח מלא ברוב המקרים, מצב של אינסוף תשובות היה מצב ברור.3-4חשיבה השפעת המחשב באה לידי ביטוי בשרטוט כזה המאפשר לראות את מספר התשובות

האפשריות ומצבים שלא ניתנים לבנייה. בנו עם3-4( הסטודנטים מרמה 20-22 )טבלאות לרמת תובנה רביעיתבשאלה המסווגת

המחשב את השרטוטים וראו על צג המחשב את כל הפתרונות האפשריים, אך למרות שהתמונה הכוללת הייתה לפניהם – הדבר לא בא לידי ביטוי בתשובותיהם. הניתוח היה חלקי מאוד ומבוסס על משפטים בגיאומטריה. סטודנטים אלילו לא נבדקו במהלך הסמסטר השני

ולכן לא ניתן לדעת את ההשפעה לטווח ארוך.לסיכום השפעת המחשב על התמודדות עם שאלות ברמות תובנה שונות נציג טבלה מסכמת:

– טבלה מסכמת של הממצאים על השפעת המחשב לפי רמת התובנה של השאלה28טבלה ולפי רמת התפתחות החשיבה )של ואן-הילה(

רמת תוב

נה

רמתהתפתחות

החשיבה

רמת תובנהראשונה

רמת תובנהשנייה

רמת תובנהשלישית

רמת תובנהרביעית

- שימוש לא רב0-2במחשב

- בשלב של ניתוח הבעיה וביצוע הבניה

-שימוש לא רבבמחשב

-בשלב של ניתוח הבעיה וביצוע

-שימוש לא רבבמחשב

-ניצלו את המחשב בעיקר

77

משתמשים במחשב יותר מאשר לצורך

הוכחה ולניתוח. - האיפיון בו

השתמשו במידה הרבה ביותר הוא

גילוי הפתרון. - האופציות במחשב קלקלו לעיתים את ההנמקה – הם לא

בחרו באופציה מתאימה לביצוע

ההוכחה. -יתכן שלא הבינו את

משמעות ההוכחה ולכן לא מצאו את השימוש המתאים

במחשב. - הנימוקים מוצגים

ברמהאינסטרומנטלית.

-כאשר הבנייה אפשרית – הבנייה משמשת כהוכחה. כאשר הבנייה לא אפשרית – עצם

העובדה שלא מצליחים לבנות

משמשת כהוכחה.

הבנייה הם משתמשים במחשב יותר מאשר לצורך

הוכחה וניתוח. -האיפיון בו השתמשו במידה הרבה ביותר

הוא גילוי הפתרון וככלי עזר לצורך

הבנת הבעיה. -בונים רק את

האופציה האפשרית ולא דנים באופציה

האחרת. -הנימוקים מוצגים

ברמת הבנה אינסטרומנטלית ולא

דנים במצביםכלליים.

-ההנמקה מסתמכת על העשייה במחשב של המקרה הפרטי, אך הנימוקים חסרים

ולעיתים אף עמומים. אין מעקב

יעיל אחר תהליךהבנייה.

-נותנים תשובה ישירה לשאלה בלי לקשר בין השאלות

השונות של אותושלב.

בשלב ניתוח הבעיה וביצוע

הבנייה וגם קצתלשלב ההוכחה.

-האיפיון בו השתמשו במידה הרבה ביותר הוא

גילוי הפתרון. בשלב ההוכחה –לבדיקת הפתרון.

-לא ניצלו את המחשב לצורך

מתן תמונה כללית או לתיקון

שגיאות או לאימות

התשובות. -ההנמקה ניתנת במבט של דוגמה

פרטית. -העבודה עם המחשב לא

"מאירה" נתוניםסמויים.

-לא הצליחו להתמודד עם

מצב של "אינסוףפתרונות".

- ציינו שימוש רב3-4 יותר במחשב מאשר הסטודנטים ברמות

0-2. - נוסף לכך שידעו

לפתור בעיה ברמה זו הם חיפשו תמונה

כללית, תיקון שגיאות ואימות תשובות,

הרחבה על הבנתהבעיה.

- בחרו באופציות מתאימות שהתוכנה מאפשרת בהתאם

לצרכים.

-ציינו שימוש רב יותרבמחשב.

-שימוש במגוון אפיונים לכל

השלבים. -הסטודנטים

הלומדים בהכשרת המורים ציינו שימוש רב במחשב מאשר

המורים עולים. -הסטודנטים

בהכשרת המורים מחפשים תמונה

כללית, תיקון שגיאות ואימות

-ניצלו את המחשב במגוון

אפיונים הן לשלב ניתוח הבעיה

והבנייה, הן לשלב הוכחה והן לשלב

הניתוח. -ההנמקה ניתנה

במבט כולל ומתוך התייחסות

לניתוח מצבים אפשריים )הן

כשהתשובה נכונה והן כשהתשובה

שגויה(.

-פניה למחשב במידה רבה יותר מאשר

בעת התמודדות עם

בעיה ברמתתובנה שנייה. -הרגישו צורך

בתמונה כללית ולכן בשלב

ניתוח הבעיה והבנייה הם ציינו שנעזרו

במחשב בעיקר לצורך

78

-ההוכחה היא בנייהבסדר אחר.

- הנימוקים הם ברמות גבוהות מאשר הרמה

האינסטרומנטלית וכוללים קישורים למושגים אחרים, למתרחש על צג המחשב ולראייה

כללית.

תשובות – הרחבה על הבנת הבעיה.

המורים העולים מסתמכים על

משפטיםבגיאומטריה.

-הנימוקים של הסטודנטים

בהכשרה משלבים היבט ויזואלי והיבט

פורמלי. המורים עולים מנמקיםבאופן פורמלי. -הנימוקים לכל שאלה מהווים

הרחבה של התשובות לשאלות

קודמות אצל הסטודנטים

בהכשרה. -המורים העולים לא הציגו את האופציה

שאינה אפשריתלבניה.

-הנמקה ברמה של קישור בלתי אמצעי

בין המושגים. -ההנמקה ניתנת במבט כולל של

המצבים האפשריים מעבר לניתוח

המקרה הפרטי או בהיבט פורמלי של

הסתמכות עלמשפטים ידועים.

-עצם הבנייה מהווה הוכחה אם על ידי

מדיה, או על ידי חפיפה או על ידי

בנייה בסדר אחר. -בעבודות של סמסטר ב של

הסטודנטים הלומדים בהכשרה

השפעת המחשב באה לידי ביטוי

-מזהים נתוניםסמויים.

-ההנמקה מסתמכת על

ניסיונות בנייה עםהמחשב.

- בעבודות של סמסטר ב של

הסטודנטים הלומדים

בהכשרה השפעת המחשב באה

לידי ביטוי במבנה הכללי של

התשובה, בבניה של כל אחד מן

המצבים האפשריים

בעזרת מעגלים שלמים

המאפשרים לגלות פתרונות

אפשריים נוספים ומאפשרים ניתוח

התשובות. -שרטוט קשתות קטנות מתבצע רק כשהבנייה

היא בניה בסיסיתוהתוצאה מוכרת. -ההנמקה ניתנת מתוך התבוננות

כוללת בכל המצבים

האפשריים. -התנאים

בשאלות הם גלויים ליישום

והסטודנטיות אכןמיישמות אותן.

-בעבודה של סמסטר ב יש

הבחנה ברורה בין "אין פתרון",

"אינסוף פתרונות" ומספר

הצגת תמונה כללית או

הנחיה לפתרון וככלי עזר

בשרטוטים לצורך הבנת

הבעיה. -לא דיווחו על ניצול התמונה

במחשב לצורך ההוכחה, רק לצורך בדיקת

הפתרון. -לא ניתחו

כהלכה, גם אם התשובה הופיעה על

הצג.

79

במבנה הכללי של התשובה, בבניה מושלמת של כל אחד מן המצבים

האפשריים בעזרת מעגלים שלמים ולא

רק קשתות המאפשרים לגלות פתרונות אפשריים נוספים ומאפשרים

ניתוח התשובות.

סופי של פתרונות אפשריים השונים זה מזה. כלומר, יש חשיבה מעבר לפתרון המופיע

בשרטוט.

מעבר של בעיות בניה ממעמד של "בלתי שגרתיות"נושא נוסף שבו עסק מחקר זה הוא למעמד של "שגרתיות".

. נמצא שאצל רובשל ההפיכה לשימוש במחשב בקרב הקבוצות השונותבדקנו את הקשר הסטודנטים התבצעה הפיכת בעיית הבנייה למעמד "שגרתי" ללא קשר לשימוש במחשב

(. מבחינה סטטיסטית לא מצאנו הבדלים בין הקבוצה שלמדה עם מחשב23-25)טבלאות לבין הקבוצה שלמדה ללא מחשב. יתכן שאין הבדלים ויתכן שהאוכלוסייה הייתה קטנה מיד.

נציין שוב, שאנו ממשיכות בניסוי זהה גם בשנת הלימודים תשס"ו. ההבדלים בין שתי הקבוצות.3.2באו לידי ביטוי בניתוח האיכותני שתיארנו בסעיף

הפיכת בעיה מ"מבלתי שגרתית ל"שגרתית" לפי השינוי ברמתבצענו בדיקה נוספת של ( ניתן ללמוד26. לא מצאנו תוצאות סטטיסטיות מובהקות למרות שמן הטבלה )התובנה

אצל אילו76% לעומת 92שבקרב הסטודנטים ששיפרו את רמת התובנה אחוז ההפיכה היה שלא חל שיפור אצלם.

הפיכת בעיה מ"מבלתי שגרתית ל"שגרתית" לפי קבוצת מחשב/לא מחשבכמו כן, בדקנו ( מתוך אותם הסטודנטים שחל להם שיפור ברמת התובנה.27)טבלה

גם בטבלה זו לא התקבלו תוצאות סטטיסטיות מובהקות, אך מן הטבלה ניתן ללמוד שמתוך אותם הסטודנטים ששיפרו את רמת התובנה אחוז ההפיכה בקרב הקבוצה שלמדה עם

המחשב גבוה מזה של הקבוצה שלמדה ללא מחשב. לסיכום, מספר הסטודנטים עליו נעשה המחקר קטן מידי מכדי שהתוצאות הסטטיסטיות

תהיינה מובהקות, אך מסתמנת מגמה של השפעת המחשב על הפיכת בעיה ממעמד "בלתישגרתי" למעמד של "שגרתי".

השלכות להוראה:

80

הסטודנטים הלומדים שנה ראשונה במכללה לא מכירים את המשמעות של העלאת השערות והכללות כאפשרות להגיע למסקנות.

.יש להבנות מיומנויות של הצדקה המבוססת על ניתוח התמונה הויזואליתהדרך האינדוקטיבית מוזנחת לחלוטין ולכן במחשב הסטודנטים מאבדים את ערך

הכלי.יש צורך בפיתוח תרבות תשובה, הצדקה וניתוח המובילה לחשיבה מתמטית המשלבת

בין הדרך האינדוקטיבית לבין הדרך הדדוקטיבית.יש צורך לדון עם הסטודנטים שמגיעים ללימודי הוראת המתמטיקה במספר תשובות

אפשריות לשאלה, בתנאים לקיום הפתרון במצבים של מגוון אפשרויות של מספר פתרונות מ-"אינסוף תשובות" ו"אין תשובה" ושהמחשב יכול לעזור בבניית תובנה

מתמטית זו. הצורך בדיון זה לא ברור לסטודנטים הלומדים שנה ראשונה במכללה.יש להיות עקביים, לאורך זמן, בבניית הצדקות המשלבות את שתי הגישות ובמספר רב

של קורסים ככל האפשר.

81

פרק חמישי – סיכום, מסקנות והצעות בשנת הלימודים תשס"ו אנו מבצעות ניסוי נוסף זהה לניסוי שערכנו בתשס"ה כדי לאסוף נתונים נוספים על השאלות שנשאלו במחקר זה וכדי לבסס את הממצאים שהתקבלו בניסוי

של מחקר זה.

נוכל לסכם את הניסוי במחקר ולומר שהשפעת המחשב באה לידי ביטוי בטווח הארוך, כאשר היא מהווה צורת התמודדות עם בעיות בנייה מורכבות. יחד עם זאת יש צורך בהבניית תרבות

עבודה אינדוקטיבית. הסטודנטים הלומדים שנה ראשונה במכללה לא רואים בשיטת הניסוי והטעיה, בבחירת דוגמאות רלוונטיות ובבחינתן, בבדיקת מקרים קיצוניים – עשייה מתמטית

נכונה. הדרך בה הם רגילים לעבוד היא דדוקטיבית ולכן דרך העבודה עם המחשב לא תורמתכפי שהייתה יכולה לתרום.

ממצא זה בולט במיוחד בקרב המורים העולים שהתמונה כולה הייתה מול עיניהם על צגהמחשב, אך הם לא מצאו לנכון לכלול בתשובותיהם את מה שראו.

צטטנו את דרייפוס האומר שהנמקה ויזואלית יכולה להיות אנליטית. הסטודנטים1.1בסעיף שלנו לא עסקו בסוג כזה של הצדקה בעבר וגם אלה מהם שלמדו מתמטיקה בצורה זו או

אחרת, לא נחשפו לסוג של הנמקה כהנמקה בת זכום קיום. עבורם ההנמקה הויזואלית לא נחשבת אנליטית. עם הופעת המחשב בלמידה, כפי שציטטנו את קלינר ווינסלאו – השתנו

הקריטריונים להצדקה בקהיליה המתמטית. נוכל אף לומר, בעקבות המחקרים שהצגנו והניסוי שבצענו שהשינוי שחל במחקרים בחינוך המתמטי מחלחל לאיטו בקרב המורים הצעירים ולא מחלחל כמעט את המורים הותיקים. ללומדים לקח זמן להפנים שאפשר ואף צריך לשלב בין

ההצדקות המסתמכות על הדרך האינדוקטיבית ובין ההצדקות המסתמכות על הדרך הדדוקטיבית. נראה שלצעירים קל יותר להפנים זאת מאשר למורים הוותיקים. בהתאם

לקלמנט, ניסינו בניסוי ליצור יחסי גומלין בין המחקרים לבין התו"ל וחומרי הלמידה, אך השינוימתרחש לאיטו.

.0-2 למעשה, לא נבדקה בניסוי השפעת המחשב לטווח הארוך על הסטודנטים ברמה ( מצאה במחקרה שאם מלמדים לומדים2003מעניין יהיה לחקור זאת בהמשך. גורב )

מתקשים את דרכי העבודה האינדוקטיביות בעזרת המחשב ועוזרים להם לקשר בין דרכי העבודה האינדוקטיבית לבין דרכי העבודה הדדוקטיבית התלמידים מצליחים לשחזר ולבנות

82

מחדש את הידע אותו הם לא זוכרים וכך הם מצליחים להגיע להישגים. כלומר, אין זה מספיק להציג כלי נוסף ולו בעל יכולות רבות, אלא יש צורך בבניית תרבות של עבודה בעזרת המחשב וכיצד מציגים תשובה נכונה במתמטיקה כאשר עובדים עם המחשב. בניסוי שלנו הסתבר שגם

לומדים מצליחים במתמטיקה לא מבצעים את הקישור באופן אוטומטי בעת עבודה עם כלי מציינים את היכולות של הכלים הממוחשבים1.3ממוחשב. החוקרים שציטטנו בסעיף

הדינמיים לספק תמונה ויזואלית ותיאור אנליטי, את הנוחיות שבכלי עבור שיטות עבודה אינדוקטיביות ואת התרומה של עבודה במחשב לגישה הקונסטרוקטיביסטית להוראה, אך מן

הניסוי נובע שההשפעה באה לידי ביטוי רק בטווח של זמן ובגישה עקבית של המרציםבקורסים השונים.

השפעת העבודה העקבית לאורך זמן היא זו שהביאה ל"בשלות" או כפי שקראנו לזה במחקרנו – התפתחות התובנה של הלומד כדי לענות על שאלות ברמות תובנה גבוהות בנושא

הלמידה ספציפי. אם הלומד לא נמצא ברמת התפתחות מתאימה המחשב לא יכול להועיל, שכן התוכנה הגיאומטרית איתה עבדנו משקפת את העשייה של הלומד ואת הקישורים עליו

לעשות בעצמו. התפתחות התובנה שנוצרה, למעשה, מצבירת יותר ויותר ניסיון בפתרון בעיות היא זו שגם הובילה להפיכת בעיות "בלתי שגרתיות" לבעיות "שגרתיות", כאשר תרבות כתיבת תשובה לבעיה במתמטיקה משלבת את הדרך האינדוקטיבית והדרך הדדוקטיבית באופן טבעי

ושגרתי.

83

רשימת מקורות

Artigue, M (1997). ‘Computer Environments and Learning Theories in Mathematics Education’. In B. Barzel (Ed.). Teaching Mathematics with Derive and the TI-92. Proceedings of the International Derive and TI-92 Conference. Bonn. pp. 1-17.

Bell, A. W. (1976). ‘A Study of Pupil’s Proof-Explanations in Mathematical Situations’’. Educational Studies in Mathematics. 7(1), 23-40/

Battista, M. T., Clements, D. H. (1995) ‘Geometry and Proof’, Mathematics Teacher, 88(1), 48-54.

Balacheff, N. (1987). ‘Aspects of Proof in Pupils’ Practice of School Mathematics’. In D. Pimm (ed.), Mathematics, Teachers and Children, Hodder and Stoughton, Llondon. pp. 216-235.

Borasi, R., Siegal, M., Fonzi, J. (1998). ‘Using Transactional Reading Strategies to Support Sense-Making and Discussion in Mathematics Classrooms: An Exploratory Study’. Journal of Research in Mathematics Education. 29(3). 275-305.

Chazan, D., Yerushalmy, M. (1992). ‘Research and Classroom Assessment of Students' Verifying, Conjecturing, and Generalizing in Geometry’. In Lesh and S. J. Lamon, (Eds.). Assessment of Authentic Performance in School Mathematics. AAAS Press Series on Assessment and Evaluation. pp. 89-118.

Clements, D. H. (2002). Linking Research and Curriculum Development. In Lyn D. English (ed.). Handbook of International Research in Mathematics Education. Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. London. Pp. 599-630.

Clements, D.H., Battista, M. (1992). Geometry and Spatial Reasoning. Grouws (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching Learning, NewYork: Macmillan Publishing Co.

Cuoco, A. A., Goldenberg, E. P., & Mark, J. (1995). ‘Connecting Geometry with the Rest of Mathematics’. In P. A. House & A. F. Coxford (Eds.), Connecting Mathematics across the Curriculum. NCTM Yearbook.

de Villiers M.(1990). ‘The Role and Function of Proof in Mathematics’. Pythagoras. 24, 17-24.

de Villiers M.(1996). ‘The Future of Secondary School Geometry’ , Slightly adapted version of Plenary presented at the SOSI Geometry Imperfect Conference, Pretoria

DiSessa, A. (1985). ‘A Principled Design for an Integrated Computational Environment’. Human Computer Interaction. Vol. 1. 1-47.

Dreyfus, T. (1999). ‘Why Johnny Can’t Prove’? Educational Studies in Mathematics. Vol. 38. 85-109.

84

Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive Point of view. In C. Mammana and V. Villani (eds.). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. Kluwer, Dodrecht, pp. 37-51.

Galindo, E. (1998). ‘Assessing Justification and Proof in Geometry Classes Taught Using Dynamic Sofyware’. The Mathematics Teacher. Vol. 91(1). 76-82.

Goldenberg, E. P., Cuoco, A. A. (1998). ‘What is Dynamic Geometry?’ In R. Lehrer and D. Chazan (eds.). Designing Learning Environments for Developing Understanding of Geometry and Space. Lawrence Erlbaum Associates, NJ. pp. 351-368.

Hadas, N., Hershkowitz, R., Schwarz, B. (2000). ‘The Role of Contradiction and Uncertainty in Promoting the Need to Prove in Dynamic Geometry Environment’. Educational Studies in Mathematics. 44, 127-150.

Hanna, G. (1998). ‘Proof as Explanation in Geometry’. Focus on Learning Problems in Mathematics. Center for Teaching/Learning of Mathematics. Vol. 20(2-3). 4-13.

Healy, L., Hoyles, C. (2001). ‘Software Tools for Geometrical Problem Solving: Potentials and Pitfalls’. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, 235-256.

Hershkowitz, R. (1987). ‘The Acquisition of Concepts and Misconceptions in Basic Geometry – or When “A Learning Is a Dangerous Thing”’. In Proceedings of the Second International Seminar on Misconceptions and Educational Strategies in Science and Mathematics. J. Novak (Ed.). Cornell University. Ithaca. New York.

Hiebert, J., Carpenter, T. P. (1992). ‘Learning and Teaching With Understanding’. In Grouws, D. A. (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan.

Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Murray, H. Olivier, A., Human, P. (1997). Making Sense: Teaching and Learning Mathematics With Understanding. Heinemann, Portsmouth, NH.

Hoffer, A. (1981). ‘Geometry is More than Proof’. Mathematics Teacher. Vol. 74(1). 11-18.

Hoffer, A. (1983). ‘Van Hiele-based research’. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp.205-227). Orland, FL: Academic Press.

Hoyles, C., Healy, L. (1997). ‘Unfolding Meanings for Reflective Symmetry’. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Vol 2(1). 27-59.

Hoyles, C., & Noss, R. (Eds.). (1992). Learning Mathematics and Logo. Cambridge, Ma.: MIT Press.

Kleiner, I. (1991). Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective. Mathematics Magazine. Vol. 64(5). 291-314.

85

Marrades, R., Gutierez, A. (2000). ‘Proofs Produced by Secondary School Students Learning Geometry in a Dynamic Computer Environment’. Educational Studies in Mathematics. 44, 87-125.

Mariotti, M. A. (2000). ‘Introduction to Proof: The Mediation of a Dynamic Software Environment’. Educational Studies in Mathematics. 44, 25-53.

Martin, W.G., Harel, G. (1989) ‘Proof Frames of Preservice Elementary Teachers’, Journal for Research in Mathematical Education, vol.20, No.1, pp. 41-51.

Mason, J. (1993). Questions about Geometry. In D. Pimm & E. Love (Eds.). Teaching and Learning Mathematics: A reader. London: Holder & Stoughton.

Mayberry J. (1983) ‘The Van Hiele Levels of Geometric Thought in Undergraduate Preservice Teachers’, Journal for Resarech in Mathematical Education, 14, 1, 58-69.

Papert, S. (1992). ‘Foreword’. In C. Hoyles & R. Noss (Eds .), Learning Mathematics and Logo. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. ΙΧ−ΧΙ .

Senk, S. L. (1985). ‘How Well do Students Write Geometry Proofs?’. Mathematics Teachers. Vol. 6. 448-456.

Senk, S. L. (1989). Van Hiele Levels and Achievement in Writing Geometry Proofs. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 20. 309-321.

Shaughnessy, J.M., Burger W.F. (1985) ’Spadework Prior to Deduction in Geometry’, Mathematics Teacher, September 1985.

Usiskin, Z. (1982). Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry. The University of Chicago.

Van Hiele, P.M. (1999). ‘Developing Geometric Thinking throuth Activities That Begin with Play’, Teaching Children Mathematics, 5(6), pp. 310-316.

Winslow, C. (1998). A Linguistic Approach to the Justification Problem in Mathematics Education . For the Learning of Mathematics. Vol. 18(1). 17-23

Yerushalmy, M. (1999). Making Exploration Visible: On Software Design and School Algebra Curriculum. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Vol. 4(2-3). 169-189.

)תשס"ו(, ר. גוברמן-גלבוב מ., ברבש בגיאומטריה של כלי להערכת התובנה פיתוח הלומדים

86

דוח מחקר שנכתב בסיוע מכון מופ"ת. ברמות שונות של חשיבה גיאומטרית.

הערכה בסביבה ממוחשבת: על ידע סמנטי של בעלי הישגים נמוכים(. 2003 גורב, ד. )בחשבון

אוניברסיטת חיפה.חיבור לשם קבלת תואר "דוקטור לפילוסופיה", דיפרנציאלי.

תרומת הלומדות בלימוד גיאומטריה – שימוש סלקטיבי(. 2003גורביץ, א. גורב, ד. ברבש, מ. ) דוח מחקר שנכתב בסיוע מכון, המכללה האקדמית לחינוך – אחווהעל פי רמות הלומד.

מופ"ת.

הקשר בין רמות החשיבה האריתמטית לבין המצופה מהם בלמידה(. 2006גלבוב-גוברמן, ר. ) חיבור לשם קבלת תואר "דוקטור לפילוסופיה", בית הספר. משמעותית של פרחי הוראה

לחינוך, אוניברסיטת באר-שבע )עדיין לא פורסם(.

,10עלה (. אספקטים קוגניטיביים בהוראה ובלמידה של גיאומטריה. 1992הרשקוביץ, ר. )המרכז להוראת המדעים, האוניברסיטה העברית, ירושלים.

חיבור לשם קבלת תואר.דימוי מושגים הנדסיים בסיסיים אצל תלמידים ומורים). 1989הרשקוביץ, ר. ( "דוקטור לפילוסופיה", בית הספר לחינוך, האוניברסיטה העברית, ירושלים.

) (עורכת), נ' אברהמי, הגיאומטריה). 1996ואן-דורמולן והוראת ואן-הילה ומשרדתיאוריית הטכניון . החינוך, התרבות והספורט, חיפה.

הוראת). הבעייתיות בלמידת מושגים בגאומטריה אוקלידית". בתוך: א' פרידלנדר (עורך), 1987פטקין, ד' ( , המחלקה להוראת המדעים – מכון ויצמן למדע,ההנדסה – אוסף מקורות ופעילויות לשיעורי מתודיקה

.7-8רחובות, עמ'

(. הפיכת בעיה בגיאומטריה מספרי הלימוד לבעיית חקירה במחשב והרחבותיה1996רייז ר. )המרכז להוראת המדעים, האוניברסיטה העברית, ירושלים.. 18עלה לכיווני חקירה נוספים.

87

1נספח ( סמסטר א: 3( + (1השאלות בעבודה של קבוצות (

להלן מוצגים הנתונים לשאלות שנשאלו בפירוט בתוספת השאלות על העבודה עם המחשב המוצגות

( :17-18במתודולוגיה (עמודים

tar 1 .geo

tar 2 .geo

88

tar 3 .geo

tar 4 .geo

( סמסטר א: 5השאלות בעבודה של קבוצה (

89

להלן מוצגים הנתונים לשאלות שנשאלו בפירוט בתוספת השאלות על העבודה עם המחשב המוצגות

( :17-18במתודולוגיה (עמודים

. 3 ו- 8( יש לבנות משולש שווה שוקיים על פי שתי צלעות כאשר אורכן 1)) 2) + (1מבחן מועד א סמסטר א חט"ב (קבוצות (

)רדיוס המעגל החוסם(.R, ו-a , ma( יש לבנות משולש לפי 2

((2( + (1מבחן מועד א סמסטר א חט"ב (קבוצות (

הערה כללית: בנספח אנו מציגות רק את חלקי המבחן העוסקים בבניות.

2 שאלה

סכום שלבמחברתהבניות נתונות שלוש זוויות. בעזרת מחוגה וסרגל בנו נק'( בדף7 )ב. זוויות. סמנו בצבע את זווית הסכום וסמנו גם את התחום הפנימי שלה. אם מכלכל שלוש ה

סיבה שהיא נראה לכם שלא ניתן לבצע משהוא מתוך המטלה, הסבירו מדוע. 3 שאלה

במחברתבדף בניות, נתונים ארבעה מקבצים של קטעים. בעזרת מחוגה וסרגל בנו ג. שאינו שווה צלעות, מאחד מהמקבצים לבחירתכם.ABC (AB=BC)משולש שווה שוקיים

הסבירו את בחירתכם. אין צורך להסביר את הבניה, אבל השאירו את קווי הבניה.

ב 4שאלה

הבניות נתונים ארבעה מקבצים שונים של קטעים וזוויות. בעזרת מחוגה וסרגל בנו בדף ב. לפי אחד המקבצים לבחירתכם. הסבירו אתABC (A=d ) משולש ישר זווית במחברת

בחירתכם. אין צורך להסביר את הבניה, אבל השאירו את קווי הבניה.

המקבצים:

ב: 2לשאלה

3

90

4מקבץ 3מקבץ 2מקבץ 1מקבץ

ג3לשאלה

c

a

b bc

a

91

ב4לשאלה

((2( + (1מבחן מועד ב סמסטר א חט"ב (קבוצות (

.2שאלה סכום שלבמחברתהבניות נתונות שלוש זוויות. בעזרת מחוגה וסרגל בנו נק'( בדף7 )ב.

זוויות. סמנו בצבע את זווית הסכום וסמנו גם את התחום הפנימי שלה. אם מכלכל שלוש הסיבה שהיא נראה לכם שלא ניתן לבצע משהוא מתוך המטלה, הסבירו מדוע.

.3שאלה נק'( בדף בניות, נתונים ארבעה מקבצים של קטעים. בעזרת מחוגה וסרגל בנו8)ג.

שאינו שווה צלעות, מאחד מהמקבציםABC (AB=BC) משולש שווה שוקיים במחברת לבחירתכם. הסבירו את בחירתכם. אין צורך להסביר את הבניה, אבל השאירו את קווי

הבניה. . 4שאלה

הבניות נתונים ארבעה מקבצים שונים של קטעים וזוויות. בעזרת מחוגה נק'( בדף8 )ב. לפי אחד המקבצים לבחירתכם.ABC (A=d ) משולש ישר זווית במחברתוסרגל בנו

הסבירו את בחירתכם. אין צורך להסביר את הבניה, אבל השאירו את קווי הבניה.

המקבצים:ב: 2לשאלה

b

a

c ab

3

92

4מקבץ 3מקבץ 2מקבץ 1מקבץ

ג3לשאלה

ב4לשאלה

((4( + (3מבחן מועד א סמסטר א יסודי וגי"ר (קבוצות (

. 1 שאלה

c

a

b bc

a

b

a

c ab

93

מחוצה לו. באמצעות מחוגה וסרגל, בנוA ונקודה BCעל דף בניות נתון קטע ג. כך שלא תהיה אף נקודה משותפתBC המאונכים ל – Aשלושה קטעים העוברים דרך

לשלושת הקטעים )אין צורך להסביר את שלבי הבנייה, אבל השאירו את כל קווי הבנייה(.

. 2 שאלה זוויות מתוךכל שתי סכום של במחברתהבניות נתונות שלוש זוויות. בעזרת מחוגה וסרגל בנו בדףב.

השלוש. סמנו בצבע את זוויות הסכום וסמנו גם את התחום הפנימי שלה. אם מכל סיבה שהיא נראה לכם

שלא ניתן לבצע משהוא מתוך המטלה, הסבירו מדוע.

3 שאלה

.c ותיכון לצלע B, חוצה זווית BC. בעזרת מחוגה וסרגל, בנו בו גובה ל – ABC בדף בניות, נתון משולש ג.

4 שאלה

סכום של כל שתי זוויותבמחברתהבניות נתונות שלוש זוויות. בעזרת מחוגה וסרגל בנו בדףב. מתוך השלוש. סמנו בצבע את זווית הסכום וסמנו גם את התחום הפנימי שלה. אם מכל סיבה

שהיא נראה לכם שלא ניתן לבצע משהוא מתוך המטלה, הסבירו מדוע. המקבצים: ג: 1לשאלה

ג: 3לשאלה

ב:4ב, 2לשאלות

A

C

94

((4( + (3מבחן מועד ב סמסטר א יסודי וגי"ר (קבוצות (

. 1 שאלה

מחוצה לו. באמצעות מחוגה וסרגל, בנוA ונקודה BC על דף בניות נתון קטע ג. )אין צורך להסביר את שלבי הבנייה, אבל השאירו את כל קוויABCמשולש החופף ל -

הבנייה(.

. 2 שאלה

כל שלוש סכום של במחברתהבניות נתונות שלוש זוויות. בעזרת מחוגה וסרגל בנו בדףב. זוויות. סמנו בצבע את זווית הסכום וסמנו גם את התחום הפנימי שלה. אם מכל סיבהה

שהיא נראה לכם שלא ניתן לבצע משהוא מתוך המטלה, הסבירו מדוע.

. 3 שאלה

. בעזרת מחוגה וסרגל, בנו את שלושת הגבהים שלו. ABC בדף בניות, נתון משולש ג.

. 4 שאלה

כל שלוש סכום של במחברתהבניות נתונות שלוש זוויות. בעזרת מחוגה וסרגל בנו בדףב. זוויות. סמנו בצבע את זווית הסכום וסמנו גם את התחום הפנימי שלה. אם מכל סיבהה

שהיא נראה לכם שלא ניתן לבצע משהוא מתוך המטלה, הסבירו מדוע

95

המקבצים: ג: 1לשאלה

ג: 3לשאלה

ב:4ב, 2לשאלות

B

C

C

3

96

((2( + (1מבחן מועד א + ב סמסטר ב חט"ב (קבוצות (

לביצוע משימה זו יש להשתמש במחוגה וסרגל בלבד נק'( 20)שאלת חובה( ) .1)הסרגל לא לצורכי מדידה(.

על דף הבניות נתונים ארבעה אוגדנים של נתונים לבניית משולש. בחרו באחד מהם בצעו את בנייה ואת חקירת הפתרון. אם ניתן לנסח משפט חפיפה על סמך הבנייה – נסחו אותו.

אם לא ניתן לנסח משפט חפיפה – הסבירו מדוע לא ניתן.1נתונים לבעיה

ma, mb, c: 1אוגדן c, b, hc: 2אוגדן , ha, A, B: 3אוגדן ,hc, A, B: 4אוגדן

((4( + (3מבחן מועד א סמסטר ב יסודי וגי"ר (קבוצות (

)שאלת חובה( 1 שאלה

לביצוע משימה זו יש להשתמש במחוגה וסרגל בלבד )הסרגל לא לצורכי מדידה(.

על דף הבניות נתונים ארבעה אוגדנים של נתונים. רק מאחד מהם אפשר לבנות משולש. נק'( הסבירו מדוע אי אפשר לבנות משולש מכל אחד מהאוגדנים האחרים.8 )א.

נק'( בנו את המשולש שאותו אפשר, לדעתכם, לבנות. 12)ב. אין צורך לתאר את הבנייה, אך יש להשאיר את קווי העזר שנוצרו במהלכה. את הבנייה

אפשר לבצע על דף הבניות או במחברת, אך יש להשתמש בנתונים של אוגדן מבלי לשנותם. : 1 נתונים לבעיה

:1אוגדן

97

:2אוגדן

:3אוגדן

:4אוגדן

c

c

c

98

((4( + (3מבחן מועד ב סמסטר ב יסודי וגי"ר (קבוצות (

– שאלת חובה : 1 שאלה

לביצוע משימה זו יש להשתמש במחוגה וסרגל בלבד )הסרגל לא לצורכי מדידה(.

על דף הבניות נתונים ארבעה אוגדנים של נתונים. רק מאחד מהם אפשר לבנות משולש. נק'( הסבירו מדוע אי אפשר לבנות משולש מכל אחד מהאוגדנים האחרים.8 )א.

נק'( בנו את המשולש שאותו אפשר, לדעתכם, לבנות. 12)ב. אין צורך לתאר את הבנייה, אך יש להשאיר את קווי העזר שנוצרו במהלכה. את הבנייה

אפשר לבצע על דף הבניות או במחברת, אך יש להשתמש בנתונים של אוגדן מבלי לשנותם.

b c

99

1נתונים לבעיה :1אוגדן

:2אוגדן

:3אוגדן

:4אוגדן

100

((2( + (1השאלות בעבודה בסמסטר ב חט"ב (קבוצות (

השאלות:∠.א. בניית משולש שווה שוקיים לפי 1 A וצלע a.ללא הגדרת ייעוד ∠.ב. בניית משולש ישר זווית לפי 1 A וצלע a.∠. בניית משולש לפי 2 A ,a, b..a, b, hb. בניית משולש לפי 3.a, b, ma. בניית משולש לפי 4∠ a, lb. בניית משולש לפי 5 A. b, ha, ma. בניית משולש לפי 6

אין הגדרת ייעוד של הנתונים. השאלות הן ברמת תובנה6.ב. – 1בכל אחת מהשאלות שלישית, שכן נוסף על הבנייה יש צורך בחקירה ובזיהוי נכון של יישום.

ערוץ המו"פ | דף הבית - Achva Academic College of …web.macam.ac.il/.../publications/development-of-insight.docx · Web viewמיומנות זו היא ברמה תפישתית

Documents