Page 1
Лекция по эконометрике №2,
4 модуль
Системы одновременных уравнений
1
Демидова
Ольга Анатольевна
https://www.hse.ru/staff/demidova_olga
E-mail:[email protected]
14.04.2020
Demidova Olga, HSE, Moscow, 14.04.2020
www.hse.ru
Системы одновременных уравнений
Page 2
План лекции
1) Проблемы, возникающие при оценке систем
уравнений на примерах
2) Общий вид системы одновременных уравнений
3) Условие порядка и условие ранга
2
photo
3) Условие порядка и условие ранга
4) Способы оценки параметров системы
одновременных уравнений
5) Пример проверки условия порядка и условия ранга
Page 3
Примеры систем линейных уравнений
Пр.1. qt – спрос (в отклонениях от среднего),
pt – цена (в отклонениях от среднего),
int – доход (в отклонениях от среднего).
Система в равновесии:
3
photo
Система в равновесии:
−++=
−+=
)2(уравнение
(1),япредложениуравнение
спросаuinpq
pq
tttt
ttt
γβ
εα
Page 4
Примеры систем линейных уравнений
Разрешим систему.
(1) = (2) <═>
0),cov(p(1)в ⇒≠⇒−−
+−
= tttt
uinp
εβαε
βαγ
4
photo
(2).уравнения дляпроблемаяАналогична
МНК.помощьюсоцениватьнельзяего0),cov(p(1)в t ⇒≠⇒
−−tεβαβα
Page 5
Примеры систем линейных уравнений
− βεααγ u
уравнений.системыформаяструктурна)2(),1(
).2(уравнение
(1),япредложениуравнение
−
−++=
−+=
спросаinpq
pq
tttt
ttt
εγβ
εα
5
photo
уравнений.системыформаяприведенна)4(),3(
)4(,
)3(,
−
−−
+−
=
−−
+−
=
βαε
βαγ
βαβεα
βααγ
tttt
tttt
uinp
uinq
Page 6
Примеры систем линейных уравнений
−−
+−
=
−−
+−
=
)4(,
)3(,
βαε
βαγ
βαβεα
βααγ
tttt
tttt
uinp
uinq
6
photo
+=
+=⇔ −−
)4(,
)3(,
22
11
νπ
νπ
βαβα
tt
tt
inp
inq
Page 7
Примеры систем линейных уравнений
)4(,
)3(,
βαε
βαγ
βαβεα
βααγ
⇔
−−
+−
=
−−
+−
=
tttt
tttt
uinp
uinq
7
photo
Squares).Least(IndirectILSоценкаЭто
(1)уравненияиз оценитьможнот.е.,ˆ
ˆˆ
,
)4(,)3(,
2
1
21
22
11
αππ
α
βαγ
πβα
αγπ
νπνπ
=⇒
−=
−=
+=+=
⇔
tt
tt
inpinq
Page 8
Примеры систем линейных уравнений
)4(,
)3(,
βαε
βαγ
βαβεα
βααγ
⇔
−−
+−
=
−−
+−
=
tttt
tttt
uinp
uinq
8
photo
Squares).Least(IndirectILSоценкаЭто
(1)уравненияиз оценитьможнот.е.,ˆ
ˆˆ
,
)4(,)3(,
2
1
21
22
11
αππ
α
βαγ
πβα
αγπ
νπνπ
=⇒
−=
−=
+=+=
⇔
tt
tt
inpinq
Page 9
Примеры систем линейных уравнений
inpinq
ILS
ttt
ttt
=⇒
+=+=
ππ
α
νπνπ
.ˆ
ˆˆ
)4(,)3(,
2
1
22
11
9
photo
inp
inqinni
inp
inni
inq
ILS ⋅′
⋅′=
⇒⋅′
⋅′=
⋅′
⋅′=
α
ππ
π
ˆ
ˆ,ˆ
ˆ
21
2
Page 10
Примеры систем линейных уравнений
).1(
.
ˆ
уравнениивпеременнойальнойинструментнияиспользовапомощьюС
другомупополучитьможнооценкуЭту
inp
inqILS
−⋅′
⋅′=α
10
photo
ниже).(ссмpсткоррелируеисткоррелируенекактакp,дляинструмент
).2(уравнение(1),япредложениуравнение
ε
γβεα
−
−++=−+=
inспросаuinpq
pq
tttt
ttt
)4(,βαε
βαγ
−−
+−
= tttt
uinp
!!!ˆˆILSIV
inp
inqαα =
⋅′
⋅′=
Page 11
Примеры систем линейных уравнений
−+= (1),япредложениуравнениеpq ttt εα
Пр.2. qt – спрос (в отклонениях от среднего),
pt – цена (в отклонениях от среднего),
int – доход (в отклонениях от среднего),
rt – процентная ставка (в отклонениях от среднего).
11
photo
−+++= ).2(уравнение спросаurinpq ttttt δγβ
−−
+−
+−
=
−−
+−
+−
=
)4(,
)3(,
βαε
βαδ
βαγ
βαβεα
βααδ
βααγ
ttttt
ttttt
urinp
urinq
Page 12
Примеры систем линейных уравнений
νππ
βαε
βαδ
βαγ
βαβεα
βααδ
βααγ
++=
−−
+−
+−
=
−−
+−
+−
=
,
)4(,
)3(,
ttttt
ttttt
rinq
urinp
urinq
12
photo
βαδ
πβα
γπ
βααδ
πβα
αγπ
νππνππ
−=
−=
−=
−=
++=++=
2221
1211
22221
11211
,
,,
,,
tttt
tttt
rinprinq
Page 13
Примеры систем линейных уравнений
ˆˆ
,
,,
2221
1211
ππ
βαδ
πβα
γπ
βααδ
πβα
αγπ
−=
−=
−=
−=
13
photo???
ˆ
ˆˆили
ˆ
ˆˆ
22
12
21
11
ππ
αππ
α ==
Page 14
Общий случай системы одновременных
уравнений
В структурной форме модели необходимо заранее разделить все
переменные на
эндогенные Y1, …, Ym и
Экзогенные X1, …, Xk (среди них могут быть лаги Y – в).
Эндогенных переменных столько же, сколько уравнений.
14
photo
Эндогенных переменных столько же, сколько уравнений.
Page 15
Общий случай системы одновременных
уравнений
=++++++
=++++++
tktktmtmtt
tktktmtmtt
XXYYY
XXYYY
εγγβββ
εγγβββ
KK
KK
221212222121
111111212111
Структурная форма системы уравненийСтруктурная форма системы уравнений
15
photo
=++++++ mtktmktmmtmmtmtm XXYYY εγγβββ KK
M
112211
Page 16
Общий случай системы одновременных
уравнений
=
=
= t
t
tt
t
tt
t
t
X
X
XY
Y
Yεε
εMM
KM
2
1
2
1
2
1
,,,,
Введение необходимых обозначений для перехода к
матричной форме.
16
photo
=Γ
=
=
=
=
mkmm
k
k
mmmm
m
m
mt
t
kt
t
mt
t
B
X
X
Y
Y
γγγ
γλγγγγ
βββ
ββββββ
ε
ε
K
MOM
K
K
MOM
K
MMK
M
21
22221
11211
21
22221
11211
,
,,,,
Page 17
Общий случай системы одновременных
уравнений
форма.яприведенна
,,
форма,яструктурна
111
−+Π=
Γ−=Π+Γ−=
−=Γ+
−−−
ν
ε
ε
XY
BBXBY
XBY
ttt
ttt
Матричная структурная и приведенная форма.
17
photo
руема.идентифицинесистемаслучаеобщемВтов.коэффициенmkформейприведенновА
.1т.к.,.их
формы,йструктурнотыкоэффициен-иBВ
форма.яприведенна
mm2211
2
====−+−Γ
−+Π=
βββ
ν
Kmmkmm
XY ttt
Page 18
Общий случай системы одновременных
уравнений
форма.яприведенна
форма,яструктурна
−+Π=
−=Γ+
ttt
ttt
XY
XBY
ν
ε
Проблемы идентификации коэффициентов структурной формы.
18
photo
формы.йструктурнотыкоэффициеноценитьможноиногдатонулей),многонапример,
яограничениьныедополнителналоженыформыйструктурнотыкоэффициеннаеслиНо
руема.идентифицинесистемаисходнаяслучаеобщемВ
тов.коэффициенmkформейприведенноВ
Page 19
Вопросы идентификации одного уравнения
Предположим, что некоторые структурные коэффициенты равны
0, т.е. соответствующие переменные исключены из уравнения.
Пусть в 1-м уравнении q коэффициентов при эндогенных
переменных и p коэффициентов при экзогенных переменных не
равны 0 (иначе перенумеруем эти переменные).
XXYYY εγγβββ =++++++ KK
19
photo
)5()00()00(
00
1
1
111
1
111
111111111
111111212111
t
kt
pt
t
p
mt
qt
t
q
tptptqtqt
tktktmtmtt
X
X
X
Y
Y
Y
XXYYXXYYY
εγγββ
εγγββεγγβββ
=
+
⇔
=++++++++=++++++
M
M
KK
M
M
KK
KKKK
KK
Page 20
Вопросы идентификации одного уравнения
)5()00()00( 1
1
111
1
111
=
+
t
kt
pt
t
p
mt
qt
t
q
YY
X
X
X
Y
Y
Y
εγγββM
M
KK
M
M
KK
20
photo
.)(,)(
,,
,Y,YПусть
111111*
)1(1
)1(
*t*
1
t*
′=′=
=
=
=
=
+
+
pxq
kt
tp
xxt
pt
t
xt
mt
tq
qt
t
X
X
XX
X
X
Y
Y
Y
Y
γγγβββ KK
MM
MM
Page 21
Вопросы идентификации одного уравнения
)5()00()00( 1
1
111
1
111 t
kt
pt
t
p
mt
qt
t
q
X
X
X
Y
Y
Y
εγγββ
⇔
=
+
M
M
KK
M
M
KK
21
photo.1
'
*
'
* txtxt XY εγβ =+⇔
Page 22
Вопросы идентификации одного уравнения
,
.разбиениемэтимсиисоответствв
YуравнениеПерепишем
xx*x*
ttt X ν
ΠΠΠΠ
=Π
+Π=
22
photo
.
,
*xx**x*
xx*x*
**
*
*xx**x*
txxt
xt
t
t
X
X
Y
Y ν+
ΠΠΠΠ
=
ΠΠ
=Π
Page 23
Вопросы идентификации одного уравнения
:1Для
,
ой
1
получаемстроки
B
B
⇒Γ−=Π
Γ−=Π −
23
photo
.
)0()0(
*xx**x*
xx*x*
**
*
'
*xx**x*
xx*x*'
*
txxt
xt
t
t
pkxqm
X
X
Y
Y ν
γβ
+
ΠΠΠΠ
=
−=
ΠΠΠΠ
−−
Page 24
Вопросы идентификации одного уравнения
кактак(-1,ипеременным1)-q(суравненийp)-(kизсистема*)2(
*)2(0
*)1(
'
xx*
'
*
'
x*
'
*
pk
x
β
γβ
−
=Π
−=Π
−
24
photo).0элементовизодин
кактак(-1,ипеременным1)-q(с'
* равенβ
Page 25
Условие порядка идентификации одного
уравнения
⇔≥ 1-qp-k
Число включенных в уравнение эндогенных переменных – 1 не
превышает (т.е. ≤) числа исключенных из этого уравнения
экзогенных переменных.
25
photo
экзогенных переменных.
Это условие порядка для идентификации уравнения
(необходимое условие идентификации).
Равносильно: число Y - в, для которых нужны инструменты, не
меньше числа исключенных из уравнения X-в, которые могут
служить инструментами.
Page 26
Условие порядка идентификации одного
уравнения
1-mq)-(mp)-(k
1-qp-k
≥+
⇔≥
Число исключенных из уравнения экзогенных
переменных + число исключенных их уравнения
26
photo
переменных + число исключенных их уравнения
эндогенных переменных ≥ число уравнений – 1.
Или
Число нулевых коэффициентов в уравнении ≥ число
уравнений – 1.
Это условие порядка легко проверить.
Page 27
Условие ранга идентификации одного
уравнения
:достаточноинеобходимо
решение,имеласистемаэтаЧтобы
*)2(0'
xx*
'
*
−=Π
=Π − pkβ
27
photo
ции).идентификаусловиеедостаточноиенеобходимо(
ранга.условиеЭто
1rank xx* −=Π q
Page 28
Проверка условия ранга
1rank xx* −=Π q
Существует более простое для проверки условие ранга
для 1-го уравнения (см пример далее).
28
photo
Page 29
Виды уравнений
•Если для уравнения выполняются условия порядка и
ранга, причем условие порядка со знаком = , т.е.
K-p = q-1, то это уравнение является точно
идентифицируемым.
•Если для уравнения выполняются условия порядка и
29
photo
•Если для уравнения выполняются условия порядка и
ранга, причем условие порядка со знаком > ,
т.е. K-p > q-1, то это уравнение является
сверхидентифицируемым.
•Если для уравнения не выполняется условие порядка
или условие ранга, то это уравнение называется не
идентифицируемым.
Page 30
Способы оценки систем одновременных
уравнений
•Если все уравнения точно идентифицируемы, то
применяется косвенный метод наименьших квадратов.
Оцениваются уравнения приведенной формы и из них
выражаются коэффициенты структурной формы.
30
photo•Если среди уравнений есть сверхидентифицируемые,
то применяется двухшаговый МНК. Каждый Y в
уравнении, кроме Y с коэффициентом 1, заменяется на
оценку Y из уравнения регрессии на все X. И
оценивается каждое уравнение регрессии.
Page 31
Пример
Я.Магнус, П.Катышев, А.Пересецкий, С.Головань.
Сборник задач к начальному курсу эконометрики.– М.:
Дело, 2007, задача 9.2.
31
photo
Page 32
Пример. Решение
32
photo
Page 33
Пример. Решение
33
photo
Page 34
Пример. Решение
34
photo
Page 35
Использованная литература
Я.Магнус, П.Катышев, А.Пересецкий, Эконометрика.
Начальный курс: Учебник. – 8-е издание. – М.: Дело,
2007, глава 9.
35
photo
Page 36
36
20, Myasnitskaya str., Moscow, Russia, 101000
Tel.: +7 (495) 628-8829, Fax: +7 (495) 628-7931
www.hse.ru