第 8 章数字信号处理典型算法程序设计

第 8 章数字信号处理典型算法程序设计本章将要讲解通信与信号处理中常见的下列几种具有代表性的算法在 C54x 芯片中的具体实现方法：• 卷积• 有限冲激响应 (FIR) 数字滤波器• 无限冲激响应 (IIR) 数字滤波器• 快速傅立叶变换 (FFT)

第 8 章数字信号处理典型算法程序设计目录：8.1 卷积运算的DSP实现

8.2 数字滤波器的DSP实现

8.3 IIR滤波器的DSP实现

8.4快速傅立叶变换的DSP实现

第 8 章数字信号处理典型算法程序设计

8.1 卷积运算的 DSP 实现

数字卷积运算通常采用两种方法：

线性卷积

圆卷积


8.1.1 信号的卷积

函数 f(t)与 h(t) “的卷积积分，用符号 ﹡ ”表示，即：

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t h t f h t d

读作 f(t)与 h(t)的卷积积分，简称卷积。


8.1.2 离散系统的卷积分析 1. 离散时间信号的时域分解

( )k i 根据单位序列及单位移位序列的选择性，( )k

可将任意序列 f(k) 用单位序列及其移位序列表示，即：

( ) ( 1) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1) ( ) ( )i

f k f k f k f k f i k i


例：如图所示离散时间序列，可表示为：( ) 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)f k k k k k

1

2

3

0 1 2 3


2. 离散系统的卷积计算过程1( )f k 2 ( )f k 1( )f k

2 ( )f k设两个离散时间信号为和，定义与的卷积和运算为：

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )k

f k f k f i f k i

与卷积积分一样，离散卷积也可通过图解法来计算，分为反折、平移、相乘、取和等过程。


3. 卷积的计算在实际应用中，参与卷积运算的两个序列长度往往差距较大，比如我们要实时的对一长序列语音信号进行“过滤”处理，可以采用有限冲激相应序列与该语音信号进行卷积的方法来实现。

比如：重叠保留法


8.1.3. 重叠保留法卷积运算在 C54x 上的实现

1. 利用 C54x 自带的 dsplib 库函数实现

TI 公司提供了以 C54x 系列芯片为基础的DSPLIB 库函数，在 CCS 开发系统内包含DSPLIB 库函数。这些库函数均为经过优化处理的符合 C 语言标准的函数。


DSPLIB 库提供了一个直接进行线性卷积运算的函数，形式如下：

oflag = short convol (DATA *x, DATA *h, DATA *r, ushort nr, ushort nh)

其中 x ， h 为输入数组，即进行卷积的两序列，r 为输出数组。


其算法为：

0

( ) ( ) ( )nh

k

r j h k x j k

0 <=j <=nr

通常我们将分段后的待滤波数据放于 X 数组中，而将滤波器冲激响应序列放于 h 数组。按前述方法， x

长度为 L+M-1 ， h 长度为 M ，则 nr 应为 L+M-1 。计算得到结果后，舍弃 r 的前 M-1 个值。


2. 汇编语言设计C54x 指令集内提供了单周期乘累加指令 MAC 和循环寻址方式，使每个样值的乘累加计算可以在一个周期内完成。

卷积运算就是实现两组数对应项乘积的累加和。可采用 RPTZ 和 MAC 指令，结合循环寻址方式去方便地实现这一运算：

RPTZ 累加器， N-1MAC （双访问数据），（双访问数据），累加

器


其中， RPTZ 指令将累加器清零初始化，并将立即数 N-1 （ 16 位）装入到重复计数器，使下一条指令重复执行 N 次。

MAC 指令实现将两存储区数据的乘积累加到累加器，再通过存储区指针以循环寻址的方式指向下一个存储区。


程序设计的要点简要分析如下：

为了能高效的利用 DSP 流水线，待卷积的两组数据都应存放在 DARAM 中

如果使用双操作数指令，辅助寄存器只能用AR2~AR5 ，在此我们选择 AR3 和 AR4 作为双操作数寻址辅助寄存器

汇编语言的代码设计要充分考虑到资源的优化等

重叠保留法卷积运算算法程序在此经常使用一种零长度循环缓冲区，循环体对应的汇编程序如下：（修改书中的红色部分）

.bss x,239 .bss y,233 .bss h,8BEGIN STM # 233,BRC STM # h,AR1 STM # x,AR4 STM # h,AR3 STM # y,AR5 STM # -7, AR0 ; loop starts

RPTB next-1

第 8 章数字信号处理典型算法程序设计 LD #0, A ;LD *AR4+, 13, A ; FIR,IIR 中常数项 ? Q14定标？ MAC *AR4 +, *AR3+, A MAC * AR4 +, *AR3+, A MAC *AR4 +, *AR3+, A MAC *AR4 +, *AR3+, A MAC *AR4 +, *AR3+, A MAC *AR4 +, *AR3+, A MAC *AR4 +, *AR3+, A MAC *AR4 -0%, *AR3-, A ; AR3- 可以没有 - SFTA A, 2 ;Q14定标？ RND A MVMM AR1, AR3 STH A, * AR5+

LD #0,A ; loop ends next:


8.2 数字滤波器的 DSP 实现

本节主要介绍 FIR 和 IIR 滤波器 DSP 实现方法。首先简要介绍滤波器的基本原理、结构和设计方法，然后通过实例介绍滤波器设计在 C54x

上的实现方法。

用 DSP 芯片实现数字滤波除了具有稳定性好、精确度高、不受环境影响等优点外，还具有灵活性好的特点。


8.2.1 FIR 滤波器的结构与设计

1.FIR 滤波器的结构一般时域离散系统或网络的描述方式：

差分方程

单位脉冲响应

系统函数进行描述。


则其系统函数，即滤波器的传递函数为：

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

如果系统输入、输出服从 N阶差分方程：

0 1

( ) ( ) ( )M N

k kk k

y n b x n k a y n k


ka

相应的传递函数为：

0

( ) ( )M

k

k

H z b k z

若所有的均为零，则有：

0

( ) ( )M

kk

y n b x n k


据上两式可直接画 FIR 滤波器的直接型结构：

( )x n 1z 1z 1z 1z

(0)h (1)h (2)h ( 3)h N ( 2)h N ( 1)h N

( )y n

FIR 滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。


FIR 滤波器主要具有如下几个特点：

可以在幅度特性随意设计的同时，保证精确、严格的线性相位

FIR 滤波器的单位脉冲响应是有限长序列，因此 FIR 滤波器系统总是稳定的


由于 FIR 滤波器一般为非递归结构，在有限精度运算中，不会出现像递归机构的滤波器那样的极限震荡等不稳定现象，误差较小

FIR 滤波器可采用 FFT 算法实现，从而提高运算效率


2. FIR 滤波器的设计方法

0

( ) ( )M

kk

y n b x n k

kb

kb

中，系数 (k=1~M）形成的序列

（ k=1~M）。就是单位冲激响应序列，滤波器设计的目标就是找到合适的序列

方法 1 ：傅立叶级数法

( )dH

是以 s 为周期的周期函数，所以可展开为傅立叶级数，即 :

(2 / )( ) sjkd k

k

H C e


/ s 这里我们用表示归一化频率，即，则有 :

2( ) j kd k

k

H C e

kC可由下式求得 :

1 2

1

1( )

2j n

k dC H e d


通常 ( )dH

为偶函数，这时 :

1 2

0

1( ) 0

2j n

k dC H e d k

且。 k kC C

因为 FIR 的系数为有限个，因此需将上式中的系数进行截取，到近似的传递函数为：

2( )Q

j ka k

k Q

H C e

式中 Q 为有限的正整数。


2jz e 令，则有：

( )Q

ka k

k Q

H z C z

上式即为所求系统的 Z 域传递函数。近似传递函数的冲激响应是由系数决定。


( )dh n

( )dh n( ) 0 1h n n N

方法 2 ：窗函数法设计 FIR

窗函数法的思路是寻找一有限长序列逼近理想的滤波器脉冲响应。是对做截

取处理。

用一个有限长度的窗函数序列来截取，即：( )w n

( )dh n

( ) ( ) ( )dh n w n h n


利用，就可得到一近似的传递函数 : ( )h n

( ) ( ) ( )Q

j jna d

n Q

H e w n h n e

如令，则有 : jz e

( ) ( ) ( )Q

na d

n Q

H z w n h n z


同样，为使式 8-17 具有因果性，需延迟 Q 个样值，可得 :

( ) ( ) ( ) ( )Q

Q n Qa d

n Q

H z z H z w n h n z

令 ,n Q k 上式成为：

2

0

( ) ( ) ( )Q

kd

k

H z w n h n z


( ) ( ) ( )dh k w k Q h k Q 再令， 2N Q ，得到：

0

( ) ( )N

k

k

H z h k z

设计 FIR 滤波器时，加窗是一个重要的计算步骤。采用矩形窗函数是简单并且直接的方法。而在实际设计中，一般采用其他窗函数，比较常用的窗函数有 Hanning 、 Hamming 、 Blackman 、 Kaiser窗等。


FIR 滤波器分为低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波。

下面给出各种滤波器具体的设计方法：

1 ）低通滤波器的设计

sin[2 ( / )]

2c s

n

n f fC

n


2 ）高通滤波器的设计高通滤波器可以由一个幅度为 1 的响应减去一个低通滤波的响应来获得。

(n) 函数的表达式为：1 0

0 0n

n

n

高通滤波器的系数可由下式计算得到：

sin[2 ( / )]( )

2c s

n

n f fC n

n


3) 带通滤波器的设计带通滤波器可以由两个截止频率不同的低通滤波器获得，其系数等于两个低通滤波器的系数之差。

2 1sin[2 ( / )] sin[2 ( / )]

2 2c s c s

n

n f f n f fC -

n n

fc1 和 fc2 为低通滤波器的截止频率， fs 为采样频率。


4) 带阻滤波器的设计

带阻滤波器可由 (n) 和带通滤波器相减获得，其系数可以由一个幅度为 1 的响应减去一个带通滤波的响应来获得。


3.FIR 滤波器的设计工具

在 MATLAB 中，提供了两种 FIR 滤波器设计方法：

一种是标准通带滤波器的设计 FIR1

一种是多带 FIR 滤波器的设计 FIR2


函数 FIR1 ：只能设计标准的低通、高通、带通和带

阻线性相位 FIR 滤波器。函数 FIR2 ：还可设计加窗的 FIR 滤波器，但它针

对任意形状的分段线性频率相应，这一点在 FIR1

中是受到限制的。


1) fir1 函数具体调用格式为 :

(1)b = fir1(n,Wn);

(2) b = fir1(n,Wn,'ftype');

(3) b = fir1(n,Wn, Window);

(4)b=fir1(n ， Wn ，‘ ftype’ ， Window)


n ：滤波器的阶数；

Wn ：滤波器的截止频率；

ftype ：用来决定滤波器的类型：当 ftype=high 时，可设计高通滤波器；当 ftype=stop 时，可设计带阻滤波器。

Window ：用来指定滤波器采用的窗函数类型，其默认值为汉明（ Hamming ）窗。


①设计低通 FIR 滤波器 :

使用 b=fir1(n ， Wn) 可得到低通滤波。 0 Wn

1, Wn=1 相当于 0.5fs 。格式： b=fir1(n ， Wn)

②设计高通 FIR 滤波器 :

在 b=fir1(n ， Wn) 中，当Wn=[ W1 W2 ] 时，可得到带通滤波器，其通带为 W1 <w<W2 ， W1

和 W2 分别为通带的下限频率和上限频率。格式： b=fir1(n ， [ W1 W2 ])


③设计带通 FIR 滤波器 :

在 b=fir1(n ， Wn) 中，当Wn=[ W1 W2 ] 时，可得到带通滤波器，其通带为 W1 <w<W2 ， W

1 和 W2 分别为通带的下限频率和上限频率。格式： b=fir1(n ， [ W1 W2 ]) ④设计带阻 FIR 滤波器在 b=fir1(n ， Wn ，‘ ftype’) 中，当 ftype= sto

p ， Wn=[ W1 W2 ] 时， fir1 函数可得到带阻滤波器。

格式： b=fir1(n ， [ W1 W2 ] ，‘ stop’)


在上述滤波器设计中， Window 参数可采用的窗口函数有：

BoxcarHanningBartlettBlackmanKasierchebwin 等

默认的窗函数为汉明（ Hamming ）窗。


2) fir2 函数它可用来设计有任意频率响应的各种加窗 FIR 滤波器。

具体调用格式为：

b=fir2 （ n ， f ， m ）b=fir2 （ n ， f ， m ， Window ）b=fir2 （ n ， f ， m ， npt ）b=fir2 （ n ， f ， m ， npt ， Window ）b=fir2 （ n ， f ， m ， npt ， lap ）b=fir2 （ n ， f ， m ， nptt ， lap ， Windo

w ）


n ：滤波器的阶数；

f ：频率点矢量，且 f[0 ， 1] ， f=1 对应于 0.5fs 。矢量 f 按升序排列，并且第一个元素必须为0 ，最后一个元素必须为 1 ，并可以包含重复的频率点；

m: 参数 m 为幅度点矢量，在矢量m 中包含了与 f 相对应的期望得到的滤波器幅度；


Window ：用来指定所使用的窗函数类型，其默认值为汉明（ Hamming ）窗；

Npt ：用来指定 fir2 函数对频率响应进行内插的点数；

Lap ：用来指定 fir2 函数在重复频率点附近插入的区域大小。


8.2.2 FIR 滤波器在 C54x 上的实现

1. 利用 C54x 自带的 dsplib 库函数实现 DSPLIB 库提供了几个与 FIR 滤波直接有关的函数，分别是 :cfir

firfirdecfirinterpfirsfirs2firlat


2.FIR 滤波运算的汇编语言程序设计采用汇编的方法主要有：

线性缓冲区法

循环缓冲区法

{单值更新缓存法

区域更新缓存法


1) 线性缓冲区法单值更新缓存法：

具体实现步骤如下：(1) 在数据存储器中开辟一个 N单元的缓冲区，

用来存放最新的 N个输入样本；

(2)从最老样本开始取数，每取一个数后，样本向下移位；

(3)读完最后一个样本后，输入最新样本并存入缓冲区的顶部。


2) 用循环缓冲区实现 FIR 滤波器循环缓冲区算法的过程如下：(1) 在数据存储器中开辟一个 N个单元的缓冲区

(滑窗 ) ，用来存放最新的 N个输入样本；

(2)从最新样本开始取数；

(3)读完最老样本后，输入最新样本来代替最老样本，而其他数据位置不变；

(4) 用 BK 寄存器对缓冲区进行间接寻址，使缓冲区地址首尾相邻。


3) 区域更新缓存法

区域更新缓存法就是每次批量输入一批新样值，然后对这一批数进行滤波处理后批量存储结果，然后更新缓存。

适合于采样与传输数据很快，而处理时间相对较慢的场合。


4) 系数对称 FIR 滤波器的实现对称 FIR 滤波器的实现方法如图所示：

b(0)

b(1)

b(2)

b(3)

x(n-4)

x(n-5)

x(n-6)

x(n-7) AR4

x(n)

x(n-1)

x(n-2)

x(n-3)

AR3

新旧系数


具体过程如下： (1) 在 RAM 中开辟两个 N/2 长度的循环缓冲区

New 和 Old ，分别存放 N/2 个新数据和老数据； (2) 设置循环缓冲区指针： AR3 指向 New 区中

的最新数据， AR4 指向 Old 区中的最老数据；

(3) 在程序存储器中设置系数表；

(4) 进行 (AR3)+(AR4)AH 加法运算，并修改数据指针， AR3+1AR3 ， AR4-1AR4；


(5) 保存和输出结果 ;

(6)修正数据指针， AR3 指向 New 区的最老数据；

AR4 指向 Old 区的最老数据。

(7) 用 New 区的最老数据替代 Old 区的最老数据，输入新数据替代 New 区的最老数据；

(8) 重复执行 (4)~ (7) 。


8.3 IIR 滤波器的 DSP 实现

IIR 滤波器的结构简单，运算量小，具有经济、灵活、高效等特点。8.3.1 IIR 滤波器的基本原理和设计方法

1. IIR 滤波器的特点

IIR 滤波器差分方程的一般形式为：

0 1

( ) ( ) ( )M N

k kk k

y n b x n k a y n k


IIR 滤波器具有无限长的单位脉冲响应，在结构上存在反馈回路，即是递归型的。

当M=N 时，在零初始条件下，对上式进行 z 变换，得到传递函数：

-10 1

-111

... -( )

... -

N N NN k

N NkN k

b z b z b z zH z C

z a z a z p


对于 IIR 滤波器，系统稳定的条件如下：若，当时，，系统稳定；若，当时，，系统不稳定；

| | 1kp n n

( ) 0h n

( ) 0h n | | 1kp

IIR 滤波器结构具有多种形式： (1) 直接 I 型 ( 也称直接型 )(2) 直接 II 型 ( 也称标准型 )(3)级联型(4) 并联型(5)格型 (lattice)


2. IIR 数字滤波器的结构与设计1)二阶 IIR 数字滤波器

0 1 2 1 2( ) ( ) ( -1) ( - 2) - ( -1) - ( - 2) y n b x n b x n b x n a y n a y n

二阶 IIR 数字滤波器是构成复杂 IIR 数字滤波器的基本单元，因此又称为二阶基本节。

一个二阶 IIR 滤波器，其输出可写：


直接型二阶 IIR 滤波器的结构图：


直接 I 型的二阶 IIR 数字滤波器：


标准型二阶 IIR 数字滤波器：

x(n) y(n)w(n)

a1

a2

b1

b2

1z

1z


2) 高阶 IIR 滤波器一个高阶 IIR 滤波器可由多个二阶基本节级联组成。

其传递函数为 :

1 2( ) ( ) ( )... ( )kH z CH z H z H z

式中 Hi(z) 为一阶或二节阶的传递函数。


其结构如图 :

x(n) y(n)HHkk((zz))HH11((zz))CC HH22((zz))

此外，一个高阶 IIR 滤波器可由多个二阶基本节并联组成。其传递函数为 :

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )kH z C H z H z H z


并联型高阶 IIR 滤波器结构如图 :

HH22 (z) (z)

x(n) y(n)HH11((zz))

HHkk(z)(z)

C


格型结构义可分为两种 :

一种是所谓的全极点结构 :全极点 IIR格型滤波器以多个基本节级联而成

一种是即有极点又有零点的零极结构


全极点格型 IIR 滤波器的基本节 :

yyii((nn)) yyi-1i-1((nn))

eeii((nn)) eei-1i-1((nn))

-k-kii

kkii

对于格型滤波器结构，只要 ik的绝对值小于 1，滤波器就是稳定的。。


3. IIR 数字滤波器的设计方法常用到的模拟滤波器的原型主要有以下几种：

1 ）巴特沃思滤波器，其幅度响应在通带内具有最平特性；

2 ）切比雪夫滤波器，在通带内具有等波纹特性 ,且阶数小于巴特沃思滤波器；

3 ）椭圆滤波器，在通带和阻带内具有等波纹特性，且阶数最小。


设计步骤如下：( )H s

( )H s ( )H z

1）根据模拟设计理论设计出满足要求的传递函数变换成数字滤波器的传递函数

。

2 ）将

常用的变换方法有 :

冲激不变法

双线性变换法


双线性变换的基本性质如下：

① s 平面上的 j轴映射到 z 平面的单位圆上；

② s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内；

③ s 平面的右半平面映射到 z 平面的单位圆外。


由双线性变换法设计数字滤波器，首先要设计符合指标要求的模拟滤波器。但一般只给出归一化原型滤波器的设计数据。

而对于截止频率为 Ωc 的滤波器，可通过适当的代换得到实际的模拟滤波器。

例如：对于低通滤波器，用 s/ Ωc 代替原型滤波器中的 s 即可。


实际应用中，需要设计各种类型的数字滤波器，—般有下列两种方法：

(1)把一个归一化模拟滤波器经频带变换化为所需类型的模拟滤波器，再通过双线性变换法数字化为所需类型的数字滤波器。

(2) 将模拟低通原型用双线性变换法数字化为数字低通滤波器，再变换成各种类型的数字滤波器。


第一种方法设计各型数字滤波器的一般步骤： (1)根据数字频率指标计算预畸变的模拟频率指标，计算方法为：

tan( / 2)T

(2)根据通带或阻带允许的波动，确定滤波器类型。根据阻带的衰耗要求，确定滤波器的阶数，进而求得归一化模拟低通滤波器的传递函数 Ha(s),然后用s/ Ωc 代替滤波器 Ha(s) 中的 s 即可得到实际的模拟滤波器传递函数 H(s) 。


(3)根据双线性变换法把模拟滤波器 H(s) 变换为数字滤波器 H(z) 。 H(s) 与 H(z)之间的对应关系为：

( ) | ( ) |s j z ej TH s H z

以上第 (2)步第 (3)步可以合并进行，即可参照下表给出的变换公式进行代换。


模拟低通原型到各种数字滤波器的变换方法：

变换类型变换方法说明

模拟低通原型→数字低通

表示低通预畸截频

模拟低通原型→数字高通

表示高通预畸截频

1 1

1c

zs

z

tan( T / 2)c c

tan( T / 2)c c ( 1)

1c zsz


模拟低通原型→数字带通

模拟低通原型→数字带阻

2 1

2 1

cos[( + )T / 2]

cos[( - )T / 2]c c

c c

a

2 1 tan[( - )T / 2]a c c

2

2

( 1)

2 1a zs

z az

2 1 tan[( - )T / 2]a c c

2 1

2 1

cos[( + )T / 2]

cos[( - )T / 2]c c

c c

a

2

2

1 2 1

1a

z azs

z

2c 1c 注：表示通带或阻带的上截频，表示通带或阻带的下截频， T 为采样周期


例 8-1 设计一个低通滤波器。要求：带宽 BW=1rad/s ，采样频率 fs=100Hz 。解：根据给定的指标，令 c = BW=1rad/s，

选择一个满足带宽条件的低通模拟T=1/ fs=0.01s 。滤波器，传递函数为：

1( )

s+1aH s

对进行预畸变，求 Ωc 。

1 tan( T / 2) tan(1 0.01/ 2)

200c c


用 s/ Ωc代换原型滤波器 ( )aH s中的 s，得：

根据表 8.1 得到：

1( )

200s+1H s

1 1

1c

zs

z

代入上式得数字滤波器的传递函数：

1 1

1

z+1( ) ( )

201z-199c

zs

z

H z H s


8.3.2 IIR 滤波器的 C54x 实现

1.巴特沃思型滤波器的设计1)butter 函数

函数形式为： [b,a] = butter （ n,Wn ） [b,a] = butter （ n,Wn,‘ftyp

e’ ）

•当设计截止频率为 Wn 的 n阶低通滤波器，其中截止频率应满足 0≤Wn≤1 ， Wn=1 相当于 0.5fs 。


•当 ftype = high 时，可设计截止频率为 Wn 的高通滤波器；

•当 ftype = stop 时，可设计带阻滤波器，此时 Wn = [ W1 W2] ，阻带为 W1< W<W2 。

•当Wn=[ W1 W2] 时， butter 函数产生一个 2n阶的数字带通滤波器，其通带为 W1 < w <W2 。


2)buttord 函数函数形式为： [n ， Wn] = buttord （ Wp,Ws,Rp,Rs ）•当Wp > Ws 时，为高通滤波器；

•当Wp, Ws 为二元矢量时，若Wp < Ws ，则为带通或带阻滤波器，此时 Wn 也为二元矢量。

利用 buttord 函数可得到滤波器的最小阶数 n ，并使通带 (0,Wp) 内的纹波系数小于 Rp ，阻带 (Ws, 1) 内衰减系数大于 Rs 。


2.切比雪夫滤波器的设计分为两种类型：

ChebyshevⅠ型：通带等波纹性能 ChebyshevⅡ型：阻带等波纹性能

1)cheby1 函数函数形式为： [ b,a ] = cheby1 （ n,Rp,Wn ） [ b,a ] = cheby1 （ n, Rp,Wn,‘ftyp

e’ ）可以设计低通、带通、高通和带阻 ChebyshevⅠ型数字滤波器，其通带内为等波纹，阻带内为单调。


2)cheb1ord 函数函数形式为： [n ， Wn] = cheb1ord （ Wp, Ws, Rp, Rs ）此函数用来选择 ChebyshevⅠ型滤波器的阶数。 Wp 和 Ws 分别为通带和阻带滤波器的截止频率，其值为 0≤Wp(或Ws)≤1 。

Rp 和 Rs 分别是通带和阻带区的纹波系数。


3) cheby2 函数函数形式为： [ b,a ] = cheby2 （ n,Rs,Wn ） [ b,a ] = cheby2 （ n,Rs,Wn,‘ftype’ ）

cheby2 函数与 cheby1 函数基本相同，但是其通带内为单调的，阻带内为等波纹，由 Rs 指定阻带内的波纹。

cheby2 函数可以设计 ChebyshevⅡ型低通、带通、高通和带阻数字滤波器。


4) cheb2ord 函数函数形式为： [ n ， Wn ] = cheb2ord （ Wp, Ws, Rp, Rs ）可以利用该函数确定 ChebyshevⅡ型数字滤波器的最小阶数 n 和截止频率Wn 。


3.椭圆滤波器的设计 1)ellip 函数函数形式为： [ b ， a ] = ellip （ n, Rp, Rs, W

n ） [ b ， a ] = ellip （ n, Rp, Rs, Wn,‘ftyp

e’ ）此函数用来设计 Elliptic （椭圆）型滤波器。

可设计 n阶低通或带通滤波器。

也可设计 n阶高通或带阻滤波器。


2) ellipord 函数函数形式为： [ n ， Wn ] = ellipord （ Wp, Ws, Rp, Rs ）

此函数用来选择椭圆滤波器的阶数。


8.4 快速傅立叶变换的 DSP 实现8.4.1 FFT 算法介绍

FFT 算法的基本原理是把长序列的 DFT逐次分解为较短序列的 DFT 。

按照抽取方式的不同可分为： DIT-FFT （按时间抽取）和 DIF-FFT （按频率抽取）算法。

按照蝶形运算的构成不同可分为：基 2 、基 4 、基8 以及任意因子（ 2n,n为大于 1 的整数）。


1. 傅立叶变换和逆变换对于变换长度为 N 的序列 x(n) 其傅立叶变换可以表示如下：

-1

0

( ) ( ) , 0,1,..., 1

NknN

n

X k x n W k N

其中，W=exp(-2π/N),称为旋转因子或蝶形因子。

上式即为 DFT 的定义式。


NnkW 的特性：

1) 对称性： / 2nk nk N

N NW W 2) 周期性：

nk nk N nk NkN N NW W W

并由以上两条得到： ( ) ( )n N k n N k nk

N N NW W W / 2 ( / 2)1 1, ,nkN N k N k

N N N NW W W W


2. 基 2 、 DIT-FFT （按时间抽取）

按时间抽取的算法是在时间域内将输入序列不断根据奇偶划分为 2 个短序列。

这时要求序列的长度 N 为 2 的整数幂次，如不满足，可通过补零调整。

在时间域上，将每一级输入序列依次按奇偶分为两个短序列进行计算。


结果 N点 X(k) 可分为两部分：

1 2( ) ( ) ( ) 0,1,... / 2 1kNX k X k W X k k N

1 2( / 2) ( ) ( ) 0,1,... / 2 1kNX k N X k W X k k N

其中： / 2 1

1/ 2(2 ) ( )N

krN

r

x r W X k

0

/ 2 1

2/ 2(2 1) ( )N

krN

r

x r W X k

0


蝶形运算单元如图所示：

x (n)

x (n+N/2) x2 (n)

x1(n)

nNW

图 8-19 蝶形运算单元图基 2 、 DIT-FFT （按时间抽取）


另一种 FFT 算法——按频率抽取的 IF-FFT 算法，是把输出序列 X（ k） ( 也是 N点序列 ) 按其顺序的奇偶分解为越来越短的序列。

其蝶形运算单元如图 8-20 所示： X1 (k)

X2 (k)

X (k)

X (k+N/2)

nkNW

图 8-20 基 2 、 DIF-FFT （按频率抽取）蝶形运算单元图


8.4.2 FFT 算法在 C54x 上的实现

下面以 256 点的实数 FFT 算法为例，介绍 FFT 算法在 54x 系列 DSP 上的实现过程。

1. 存储区分配

由于 FFT 算法中大量使用了乘 - 累加指令，因而应尽可能将被乘数和乘数安排在 DARAM 中，以便程序能高速并行地执行。


0000h

015Fh

程序空间

FF80h

FFFFh

中断向量设置

FFT 实现程序存储器和数据存储器空间分布 :

程序存储器

复位


0000h-0005Fh 存储器初始化0060h 记数组0061h 图形指标0062h 数据处理缓冲器指

标

0070h-007Fh 正弦

0800h-09FFh 余弦

0C00h-3FFh 数据处理区输入的数据存入下一半

1400h-17FFh 数据输出空间

数据存储器：d_grps_cnt

d_twid_idx

d_data_idx

正弦数据表

余弦数据表

real_fft_input

real_fft_output


2. 算法分析

根据傅立叶变换的对称性和周期性，可以将 DFT运算中某些项合并。

一般来说，输入被假定为连续、合成的。当输入为纯粹的实数的时候，我们就可以利用傅立叶变换的基本性质更高效地计算 DFT 。


将 2N点实数序列打包成为 N点复数序列，此过程称为“进包”。由复数 FFT 运算结果合成为 2N点的实数 FFT 结果的过程称为“解包” 其原理和过程如下：

(1)首先将变换序列 x(n)分为偶序列 r(n)和奇序列 i(n)

(2)构造 d(n)=r(n)+j*i(n)

(3) 对 d(n) 作复数 FFT, 则有：


[ ( )] [ ( ) * ( )] [ ( )] * [ ( )]FFT d n FFT r n j i n FFT r n j FFT i n

令： [ ( )] ( ) ( )FFT r n a k jb k

由此二式可得：

* [ ( )] ( ) ( )j FFT i n c k jd k

[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]FFT d n D k a k jb k c k jd k a k c k j b k d k

根据 DFT 的性质，序列的傅立叶变换可分为共轭对称和共轭反对称序列，其各自对应的傅立叶原序列分别是序列的实部和虚部乘 j 。


这样把 D(k) 分为共轭对称对称序列 De(k) 和共轭反对称序列 Do(k) ，即：

*1( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )

2eD k D k D N k RP k jIP k

*1( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )

2oD k D k D N k RM k jIM k

对应的是输入序列的实部部分即 r(n), 而 ( )eD k ( )oD k

对应的是输入序列的虚部部分乘以 j即 j*i(n)

,


对比可得 :

( ) ( )RP k a k ( ) ( )IP k b k

( ) ( )RM k c k ( ) ( )IM k d k展开 x(n) 的 FFT最终为：

这说明通过计算 N点的复数 FFT,然后附加一次迭代运算，可得到 2N点的实数 FFT 结果。


3. 程序组成针对于 C54x 的 RFFT 算法是基 -2 的按时间抽取（ DIT ）算法。它由 5 个阶段构成：

N 点位翻转使输入按新的次序排列；

进包过程；

N 点 FFT 的计算；

解包过程；

产生最终的输出。


程序由以下几个部分组成：1)主文件中的宏定义文件： fft_size.inc

2) 汇编文件： Bit_rev.asm 、 Fft.asm 、 Initcfft.asm 、 Power.asm 、 Rfft.asm 、 Unpack.asm 、Vectors.asm 。

各个文件的功能如下：

Bit_rev.asm ：第一步，对最原始的输入数据进行位翻转后的从新排序。


Initcfft.asm ：设置变量、缓存和平台。

Rfft.asm ：进行函数调用，把 FFT 计算按步骤组合起来。

Vectors.asm ：设置中断向量。

Fft.asm ：第二步，对翻转后的数据进行 FFT计算。

库文件： RTS.LIB, 作用：提供主文件的函数。


下面分 5 个阶段对 FFT 算法的实现做一个说明：第一阶段：使用文件 Bit_rev.asm 对最原始的输入数据进行位翻转后的从新排序。

第二阶段：使用文件 Fft.asm 对翻转后的数据进行 FFT 计算。

第三阶段：使用文件 Unpack.asm它包含了第三、四阶段，把输入数据分成实数的偶对称部分 RP(k),实数的奇对称部分 RM (k) ，虚数的偶对称部分 IP(k) 和虚数的奇对称部分 IM(k) ，计算出 RFFT 。


第四阶段：此阶段主要为了符合最初的 2N点的实数输入，由 N点复数 FFT最终产生 2N点实数序列的 FFT 结果，还需经过一个蝶形运算。输出数据保存在数据处理缓冲器中。

第五阶段：使用文件 Power.asm ，用来做计算结果的输出。把计算出来的功率谱输出，输出地址为0x1400 。


第 8 章 数字信号处理典型算法程序设计

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第 8 章数字信号处理典型算法程序设计