Геометрия 7 класс

Геометрия 7 класс

Простейшие геометрические фигуры и их свойства

Взаимное расположение прямых на плоскости

Треугольники

Введение в науку геометрия

Окружность

Введение Геометрия – это наука о геометрических фигурах и их свойствах.

Геометрия возникла как наука об измерении земли

(греческое: гео – «земля», метрео – «меряю»).

Еще 3000 лет назад в Египте умели измерять расстояния, углы, площади земельных участков. Геометрия, которую изучают школьники, называется евклидовой.

Евклид - древнегреческий ученый (III в. до н.э.), великий греческий геометр, который кроме математики занимался астрономией, оптикой и теорией музыки. До нас дошли его сочинения, посвященные прикладным вопросам: "Феномены" (элементарная сферическая астрономия), "Оптика" (учение о перспективе) и "Сечение канона" ( теория музыки). Евклид является для нас автором "Начал", по которым учились математики всего мира.

Эта удивительная книга пережила более двух тысячелетии, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и самой математике. Созданная там система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. Как-то царь Птолемей I спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем штудирование "Начал". На это Евклид смело

ответил, что "в геометрии нет царской дороги".

Фалес Милетский (VI в до н.э.) имел титул одного из семи мудрецов Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и, вообще, первым по всем наукам в Греции.

Введение

Пифагор СамосскийРодился на острове Самос около 580 г. до

н.э. «Числа правят миром через свойства

геометрических фигур».Теорема Пифагора одна из

основополагающих теорем евклидовой геометрии:

Введение

Самая простая геометрическая фигура – точка.

Любая другая фигура (отрезок, прямая, окружность многоугольник, цилиндр) состоит из множества точек.Фигуры, расположенные на одной плоскости называются плоскими. А такие фигуры, как куб, шар, прямоугольный параллелепипед – неплоские.

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на одной плоскости называется планиметрией (латинское platium – плоскость).

Раздел геометрии, в котором изучаются не плоские фигуры называется стереометрией.

A

B

CА

О

ВО

А

ВС

Д

48 куб. ед

П.1. Точки и прямые

П.2. Отрезки и их длины

П.3. Углы и их меры

Точка. Прямая. Самая простая геометрическая фигура – точка. А

Две точки А и В, соединим из линейкой и начертим прямую. Прямая в геометрии идеально ровная и бесконечная в обе стороны. Как и любая прямая она состоит из множества точек.

Аксиома1.Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и ей не принадлежащие.

АВ

С

Обозначают прямую либо двумя точками: «прямая АВ», либо одной маленькой латинской буквой «прямая a».

АВ

0 1 2 3 4 5

a

a

Аксиома2.Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

С

ВА

Д

Через одну точку можно провести множество прямых.

Две прямые которые имеют одну общую точку называются пересекающимися.

Точка. Прямая.

А ВС Д

А В

Если прямые имеют две общие точки, то они совпадают.

Точка. Прямая.

АВ

Сд

Если прямые не пересекаются и не совпадают, т.е не имеют общих точек, то они параллельны.

АВ

С

Всегда ли можно провести прямую через три точки?

Можно лишь в таком случае. Тогда говорят, что точки лежат на одной прямой, причем одна из них между другими (точка В лежит между А и С).

Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

АВ

О

На прямой АВ возьмем точку О. Она делит прямую АВ на две части. Каждая из этих частей имеет начало ( точка О), но не имеет конца.

Это и называют лучом. Говорят: «луч ОА», «луч ОВ».

Лучи, образованные точкой на одной прямой называют дополнительными друг другу.

Например: Луч ОА является дополнительным лучу ОВ и наоборот.

С

ОА

Д

А

В

О

Точка. Прямая.

1. Сколько лучей изображено на рисунке?

2. Какие лучи пересекаются?

3. Какие прямые параллельны?

4. Какие точки принадлежат прямой АВ?

5. Определите, на сколько частей прямые разбивают плоскость.

Прямая. Луч.

Задачи.

В

А

с D E

KF N

KA BC

DL

LA

BC

DM

N

6 4 2 3

BE и FK AD и CNBE и AD

CN и FK

BE и CN

AD и FK

AB и KLCD и KL AB и CD

N M AC L

106 9

Возьмем отрезок длиной 1см. Если отложить такой отрезок АВ, что его длина состоит из пяти единичных отрезка, то говорят длина отрезка АВ равна 5 см. Длину отрезка можно измерять линейкой.

Отрезки можно сравнивать с помощью циркуля и измерять с помощью линейки.

0 1 2 3 4 5

А В

AB

CD

E M

A B

Так, отрезок АВ длиннее отрезка CD и короче отрезка EM.

1см

А В0 1 2 3 4 5

А В

Отрезки и их длины

А В

0 1 2 3 4 5

А ВС

С

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

AB=AC+CB

Свойство длины отрезка

А В

СЕсли точка не принадлежит отрезку, то

AB < AC+CB

В треугольнике отрезки AB, BC, CA называются сторонами треугольника, а точки A, B и С называются вершинами треугольника.

Чтобы назвать многоугольник перечисляют по порядку все его вершины. Например говорят: «треугольник ABC»,

«пятиугольник OTLPN».

Возьмем несколько отрезков разной длины и соединим их, получим ломанную линию.

Если концы ломанной линии соединить, то получиться многоугольник. Так образуются треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д.

C

A

B

D

E

F

A

B

C D

E F

KN

OT

L

P

Отрезки и их длины

1. Сколько отрезков изображено на рисунке?

2. Сколько отрезков изображено на рисунке?

3. Какие точки принадлежат отрезку АВ?

4. Точка К принадлежит отрезку АВ. АК=5см, АВ=16см, чему равна длина отрезка КВ?

Точка. Отрезок.

Задачи.

А В

E D C L

K

А К В

8 6 7 10

11 21

12 810

А B D CE L

12

Есть точки, которые лежат внутри угла АОВ (С), точки, которые лежат вне угла (Д) и точки, лежащие на сторонах угла (М)

Тогда, лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а общая точка – вершиной угла.Углы называют по названию лучей, с вершиной внутри. Так, на рисунке изображен угол АОВ, со сторонами ОА и ОВ, вершиной О. Для обозначения используют специальный знак . Так, ОАВ, или О.

Угол. Измерение угла.

А

О

В

Два луча, выходящие из одной точки разбивают плоскость на две полуплоскости.

Сами лучи и одна из этих полуплоскостей образуют фигуру, которую называют углом.

О

А

В

СМД

Наложим углы так, чтобы вершины совпали и одни стороны совпали, то тот угол который будет находиться внутри другого назовем меньшим.

В нашем примере АОВ и CKF расположили так, что вершины О и К совпали и стороны ОВ и FK совпали. Видно, что CFK лежит внутри АОВ, тогда CFK < AOB

АО

В

С

K F

А

О

В

C

K

FА

О

В

C

FK

Углы можно сравнивать методом наложения.

Если при наложении углов вершины и стороны углов совпадут, то углы называют равными. Пишут: АОВ= CKF

ОА В

Возьмем лист бумаги и согнем его пополам.

Угол, образованный стороной листа называется развернутый.

Такой угол можно получить дополнительными лучами. Угол АОВ – развернутый.Два дополнительных луча образуют развернутый угол.

Сложим лист еще пополам. Образовался угол. Если развернуть лист бумаги, то видим, что таких угла образовалось 4. Каждый из них равен половине развернутого. Такие углы называются прямыми. Прямым углом называется угол, равный половине развернутого.

Чтобы изобразить прямой угол используют чертежный треугольник. Угол АОВ – прямой.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

АО

В

В жизни мы часто видим и используем прямые углы: углы стола, углы стен и т.д.

Для измерения углов применяют транспортир. Шкала транспортира располагается по окружности. Центр этой полуокружности обозначен на транспортире черточкой.

Полуокружность транспортира разделена на 180 равных частей. Принято считать, что градусная мера развернутого угла равна 180°.

Тогда градусом называют -ю долю развернутого угла.

Углы измеряются в градусах.

Чтобы измерить угол нужно совместить вершину угла с меткой центра полуокружности транспортира, а одну из сторон угла с нулевой отметкой (началом отсчета), на продолжении второй стороны угла нужно увидеть отметку, которая и определит размер угла.

180

1

Например: АОВ=50°, СОВ=120°

О

А

В

С

Равные углы имеют равную градусную меру, меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Транспортир применяют для построения углов заданной градусной меры.

Развернутый угол имеет градусную меру 180°.

Прямой угол равен 90°.

О

А

ВС

Углы меньше 90° называются острыми.

Например: АОВ=45° - острый.

Углы больше 90° называются тупыми.

Например: CKF=135° - тупой.

А

О

В

45°

С

K

F

135°

А

О

В

C

Построим угол AOB. С помощью транспортира измерьте его градусную меру (пусть угол AOB=40 гр). Разделим градусную меру на 2 (40/2=20гр).

На одной из сторон угла отложим новый угол. Полученные углы AOC и BOC равны.

Луч, который делит заданный угол пополам называется биссектрисой угла.

ОС – биссектриса угла AOB

А

О

В

C

Угол. Измерение угла.

Задачи.1. Какие из углов тупые?

2. Какие из углов острые?

3. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 3ч?

4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 6ч?

5. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 20ч?

6. Сколько углов изображено на рисунке?

7. Луч ОК делит развернутый угол АОВ на два угла так, что АОК=1200. Найдите ВОК.

А

О

В СК

AOK AOB AOC BOC BOK COK

AOB AOC COK BOK BOCAOK

18001200 900

9004501350

24001200 1800

63 4

6003000 400

А

О

В СК

Если соединить две любые точки окружности получится отрезок, который называют хордой. Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром, по длине он равен двум радиусам.

Хорда отделяет от окружности две дуги.

Основы геометрии.

Окружность и круг.

O

R

Установим ножку циркуля с иглой в точку О, а с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Тогда карандаш опишет замкнутую линию, которую называют окружностью.Окружность делит плоскость на две части. Та часть плоскости, которая находится внутри окружности называется кругом.Точку О называют центром окружности.Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра, которое называется радиусом.

О

А

ВС

Д

Ответ верен

Ответ не верен

Смежные и вертикальные углы

Перпендикулярные и параллельные прямые

Признаки параллельности прямых

Свойства параллельности прямых

Смежные и вертикальные углы Построим развернутый угол (180 гр) и из любой точки проведем луч.

Образовалось два угла у которых одна сторона общая, а две другие лежат на дополнительных лучах.

Такие углы называются смежными. (на рисунке углы AOC и COB – смежные)

OA B

C

Теорема 1. (о смежных углах)

Сумма смежных углов равна 180 гр.

Смежные и вертикальные углы Построим две прямые AB и CD. Образовались два угла AOC DOB

Если стороны одного угла являются продолжением другого, то такие углы называются вертикальными.

(на рисунке углы AOC и DOB – вертикальные)

O

AC

D

B

Теорема 2. (о вертикальных углах) Вертикальные углы равны.

Смежные и вертикальные углы.

Задачи.

Смежные и вертикальные углы.

Задачи.

Перпендикулярные и

параллельные прямые

O

A C

DBРасположение прямых на плоскости:

1. Прямые пересекаются ( т.е. имеют одну общую точку прямые AB и DC имеют общую точку O). При этом образуются четыре угла: две пары вертикальных (AOC и DOC; AOD и COD) и пары смежных (AOC и AOD; DOB и BOC).

2. Прямые пересекаются по углом 90 гр. (все вертикальные углы между собой равны 90 гр, и смежные углы равны 90 гр). Такие прямые называются перпендикулярными (AD BC).

1 2 3 4 5 6 7 8 9АО

В

D

C

Перпендикулярные и

параллельные прямые

12

34

56

78

9

А О В

C

K

От точки до прямой можно провести множество отрезков из которых дет будет наименьшим, этот отрезок перпендикулярен прямой (СО).

Расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляром (СО).

Очка пересечения прямой и перпендикуляра называется основанием перпендикуляра (О).

Любой другой отрезок называют наклонной (СК)

Теорема.

Через произвольную точку всегда можно провести перпендикуляр к прямой и только один.

Перпендикулярные и

параллельные прямые

a

b

3. Прямые не пересекаются. (не омеют общих точек). Такие прямые называются параллельными (a b).

Пример таких прямых в жизни очень много: края стола, книги, железнодорожные рельсы, нотный стан.

a

b

с

Если одну из параллельных прямых пересекает третья прямая, то она пересекает и вторую. (a b, прямая с пересекает прямую a, значит прямая с пересекает прямую b)

Признаки параллельности прямых

12

34

56

78

a

bc

Начертим две произвольные прямые a и b и пресечем их третьей с.

Образовались углы (1,2,3,4,5,6,7,8).

Дадим им определение:

1. Углы внутренние накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6.

2. Внутренние односторонние: 4 и 5; 3 и 6.

3. Соответственные: 3 и 7; 1 и 5; 2 и 6.

По градусной мере этих углов можно судить о поведении прямых

Признаки параллельности прямых Теорема 1.

Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные накрест лежащие углы. (угол 1 равен углу 2)

Теорема 2.

Две прямые параллельны, если они при пересечении с секущей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180 гр. (сумма углов 3 и 2 равено 180 гр)

Теорема 3.

Две прямые параллельны, если они при пересечении с секущей образуют равные соответствующие углы. (угол 1 равен углу 4)

a

b

с

12

3

4

Признаки параллельности прямых

Свойства параллельности прямых Теорема1.

Через точку, не лежащую на прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Теорема2.

Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы, образованные ими с секущей, равны.

12

34

56

78

9

12

34

56

78

9

0 1 2 3 4 5

a

b

с

1 23

4

Свойства параллельности прямых

Теорема3.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

ab

c

Если а параллельна b,

и b параллельны с,

то а параллельна с

Свойства параллельности прямых

Признаки и свойства параллельности прямых

Задачи.

Признаки и свойства параллельности прямых

Задачи.

Треугольники Определение

Определение: часть плоскости, ограниченная замкнутой ломанной линией с тремя звеньями называется треугольник.

У треугольника: 3 вершины (А, В, С), 3 стороны (АВ, ВС, АС), 3 угла (АВС, ВАС, АСВ).

А

В

С

Треугольники Основные свойства треугольника

А

В

С

Признак существования треугольника:АВ < ВС+АСВС < АВ+АСАС < АВ+ВС

Свойство углов треугольника:0180

D

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним

Треугольники

А

В

С

•Остроугольный (все углы треугольника острые – меньше 90 гр)

Виды треугольников:

•Тупоугольный (один угол треугольника тупой – больше 90 гр, два угла острые – меньше 90 гр)

Треугольники Прямоугольный треугольник

катет

кате

тги

потенуз

а

•Прямоугольный (один угол треугольника прямой – равен 90 гр, два угла острые – меньше 90 гр)

Стороны при прямом угле называются катетами (их принято называть a, b)

Сторона против прямого угла называется гипотенуза (c). Гипотенуза всегда больше катета.

Свойства:

Если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен30 гр, то второй равен 60 гр. (180-(90+30)).

Против угла в 30 гр, лежит катет равный половине гипотенузы (с=2а)

Прямоугольный треугольник

Задачи.

Треугольники Виды треугольников:

Треугольник у которого две стороны равны называется равнобедренным.АВ=ВС - боковые стороны,АС - основаниеУ равнобедренного треугольника два угла при основании равны

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним.АВ=ВС=АСУ равностороннего треугольника все внутренние углы равны между собой и равны 60 гр.

Сумма углов треугольника

Задачи.

Равнобедренный треугольник

Задачи.

Треугольники Линии треугольника

Высота треугольника – отрезок, проходящий через вершину треугольника к противолежащей стороне под прямым углом (ВК – высота к стороне АС)

Биссектриса треугольника – отрезок, проходящий через вершину треугольника к противолежащей стороне, который делит угол пополам (ВМ – биссектриса угла АВС)

Медиана треугольника – отрезок, проходящий через вершину треугольника к противолежащей стороне, который делит противолежащую сторону пополам (ВL – медиана к стороне АС)

Треугольники Первый признак равенства

треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Если:

AB=A1B1,BC=B1C1

то

Треугольники Второй признак равенства

треугольников

Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника, соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то эти треугольники равны. Если:

то

Треугольники Третий признак равенства

треугольников

Если три стороны одного треугольника, соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны. Если:

то

Признаки равенства треугольников

Задачи.

Треугольники признаки равенства прямоугольных

треугольников1. Если гипотенузы и

один из острых углов треугольников равны, то эти треугольники равны.

Если с=с1, или

то

1 1

2. Если катет и один из острых углов треугольников равны, то эти треугольники равны.

Если а=а1, или

1 1

3. Если гипотенуза и катет треугольников равны, то эти треугольники равны.

Если а=а1, и с=с1

Прямоугольный треугольник

Задачи.

Окружность Определение

Окружность – геометрическое место точек равноудаленных от центра.

О – центр окружности

ОА – радиус окружности - отрезок соединяющий центр окружности и любую точку на окружности

СD – диаметр окружности – радиус, проходящий через центр окружности

АВ – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки окружности

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом

Окружность

Задачи.

Окружность и прямая Определение

Прямая АВ пересекает окружность, имеет две общие Точки с окружностью.

Прямая CD не пересекает окружность, не имеет общих точек с окружностью.

Пряма KL касается окружности – имеет одну общую точку N с окружностью

Окружность и касательная

Задачи.