Page 1
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
МАТЕМАТИК-2Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Д.Баттөр
2010 оны 3-р сарын 16
Page 2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Агуулга
1 Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ)ЕДТ-ийн эрэмбэЕДТ-ийн шийдЕДТ-ийн Кошийн бодлого
2 Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлХялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд
Page 3
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн эрэмбэ
Тодорхойлт
Аргумент, түүнээс хамаардаг үл мэдэгдэх функц болон угфункцийн уламжлалуудыг холбосон тэгшитгэл
F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0 (1)
-г ийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэгхувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийндифференциал тэгшитгэл харин үл мэдэгдэх функц нь олонхувьсагчтай функц байвал тухайн уламжлалтдифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.
Page 4
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн эрэмбэ
Тодорхойлт
Аргумент, түүнээс хамаардаг үл мэдэгдэх функц болон угфункцийн уламжлалуудыг холбосон тэгшитгэл
F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0 (1)
-г ийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэгхувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийндифференциал тэгшитгэл
харин үл мэдэгдэх функц нь олонхувьсагчтай функц байвал тухайн уламжлалтдифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.
Page 5
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн эрэмбэ
Тодорхойлт
Аргумент, түүнээс хамаардаг үл мэдэгдэх функц болон угфункцийн уламжлалуудыг холбосон тэгшитгэл
F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0 (1)
-г ийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэгхувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийндифференциал тэгшитгэл харин үл мэдэгдэх функц нь олонхувьсагчтай функц байвал тухайн уламжлалтдифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.
Page 6
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн эрэмбэ
Тодорхойлт
Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд орж байгаа үлмэдэгдэх функцийн уламжлалуудын хамгийн дээд эрэмбэ ньуг тэгшитгэлийн эрэмбэ болно. n эрэмбийн ердийндифференциал тэгшитгэл
F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0
энд y = y(x) үл мэдэгдэх олох ёстой функц юм.
Page 7
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн эрэмбэ
Тодорхойлт
Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд орж байгаа үлмэдэгдэх функцийн уламжлалуудын хамгийн дээд эрэмбэ ньуг тэгшитгэлийн эрэмбэ болно. n эрэмбийн ердийндифференциал тэгшитгэл
F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0
энд y = y(x) үл мэдэгдэх олох ёстой функц юм.
Page 8
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Тодорхойлт
Өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулан тавихад уг тэгшитгэлийгадилтгал болгодог функц бүр нь энэ тэгшитгэлийн шийдгэнэ.
Жишээлбэл
y ′ = f (x) (∗)
1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийд
y =
∫f (x)dx + C = φ(x ,C ); ∀C = const
Page 9
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Тодорхойлт
Өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулан тавихад уг тэгшитгэлийгадилтгал болгодог функц бүр нь энэ тэгшитгэлийн шийдгэнэ.
Жишээлбэл
y ′ = f (x) (∗)
1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийд
y =
∫f (x)dx + C = φ(x ,C ); ∀C = const
Page 10
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Тодорхойлт
Өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулан тавихад уг тэгшитгэлийгадилтгал болгодог функц бүр нь энэ тэгшитгэлийн шийдгэнэ.
Жишээлбэл
y ′ = f (x) (∗)
1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийд
y =
∫f (x)dx + C = φ(x ,C ); ∀C = const
Page 11
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд
C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C
(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n , өгвөл уг тэгшитгэлийн тухайн
шийд y = φ(x ,C(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n ) үүснэ.
Page 12
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ.
Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C
(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n , өгвөл уг тэгшитгэлийн тухайн
шийд y = φ(x ,C(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n ) үүснэ.
Page 13
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).
Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C
(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n , өгвөл уг тэгшитгэлийн тухайн
шийд y = φ(x ,C(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n ) үүснэ.
Page 14
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C
(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n , өгвөл уг тэгшитгэлийн тухайн
шийд y = φ(x ,C(0)1 ,C
(0)2 , ...,C
(0)n ) үүснэ.
Page 15
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.
Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn
хэмжигдэхүүнүүдийг зайлуулах замаар φ(x , y , y ′, ..., y (n)) = 0хэлбэрийн тэгшитгэлд хүрнэ:{
Φ(...) = 0;d
dxΦ(...) = 0; · · · ;
dn
dxnΦ(...) = 0
};
Page 16
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.
Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn
хэмжигдэхүүнүүдийг зайлуулах замаар φ(x , y , y ′, ..., y (n)) = 0хэлбэрийн тэгшитгэлд хүрнэ:{
Φ(...) = 0;d
dxΦ(...) = 0; · · · ;
dn
dxnΦ(...) = 0
};
Page 17
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад
үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn
хэмжигдэхүүнүүдийг зайлуулах замаар φ(x , y , y ′, ..., y (n)) = 0хэлбэрийн тэгшитгэлд хүрнэ:{
Φ(...) = 0;d
dxΦ(...) = 0; · · · ;
dn
dxnΦ(...) = 0
};
Page 18
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn
хэмжигдэхүүнүүдийг зайлуулах замаар φ(x , y , y ′, ..., y (n)) = 0хэлбэрийн тэгшитгэлд хүрнэ:{
Φ(...) = 0;d
dxΦ(...) = 0; · · · ;
dn
dxnΦ(...) = 0
};
Page 19
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Жишээлбэл
x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
x + y · y ′ = C ;
Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;
Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
y ′ =y2 − x2
2xy
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Page 20
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Жишээлбэл
x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
x + y · y ′ = C ;
Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;
Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
y ′ =y2 − x2
2xy
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Page 21
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Жишээлбэл
x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
x + y · y ′ = C ;
Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;
Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
y ′ =y2 − x2
2xy
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Page 22
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Жишээлбэл
x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
x + y · y ′ = C ;
Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:
{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;
Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
y ′ =y2 − x2
2xy
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Page 23
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Жишээлбэл
x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
x + y · y ′ = C ;
Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;
Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
y ′ =y2 − x2
2xy
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Page 24
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Жишээлбэл
x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
x + y · y ′ = C ;
Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;
Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
y ′ =y2 − x2
2xy
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Page 25
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн шийд
Жишээлбэл
x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.
Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
x + y · y ′ = C ;
Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;
Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
y ′ =y2 − x2
2xy
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Page 26
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн Кошийн бодлого
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдээс тухайншийдийг нь ялган авахын тулд дифференциал тэгшитгэлийнзэрэгцээ ямар нэгэн нэмэлт нөхцлүүдийг шаардах бөгөөдтэдгээр нь эхний нөхцлүүд гэж нэрлэгддэг ба уг процессийнанхны төлөв байдлыг илэрхийлдэг. Эхний нөхцлүүд нь
y0 = y(x)|x=x0 , y′(x)|x=x0 = v0
гэх мэт бичигдэнэ.
Ерөнхий тохиолдолд n эрэмбийн дифференциалтэгшитгэлийн тухайн шийдийг тодорхойлох эхний нөхцлүүдn ширхэг
y(x0) = y0, y′(x0) = y ′0, ..., y
n−1(x0) = y(n−1)0
байна.
Page 27
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн Кошийн бодлого
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдээс тухайншийдийг нь ялган авахын тулд дифференциал тэгшитгэлийнзэрэгцээ ямар нэгэн нэмэлт нөхцлүүдийг шаардах бөгөөдтэдгээр нь эхний нөхцлүүд гэж нэрлэгддэг ба уг процессийнанхны төлөв байдлыг илэрхийлдэг. Эхний нөхцлүүд нь
y0 = y(x)|x=x0 , y′(x)|x=x0 = v0
гэх мэт бичигдэнэ.Ерөнхий тохиолдолд n эрэмбийн дифференциалтэгшитгэлийн тухайн шийдийг тодорхойлох эхний нөхцлүүдn ширхэг
y(x0) = y0, y′(x0) = y ′0, ..., y
n−1(x0) = y(n−1)0
байна.
Page 28
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн Кошийн бодлого
Тодорхойлт
Дифференциал тэгшитгэлийн өгөгдсөн анхны нөхцлүүдэдхангах тухайн шийдийг олох бодлого нь Кошийн бодлогогэж нэрлэгддэг.
Тодорхойлт
Ерөнхий шийдийн илэрхийлэлд орж байгаа тогтмолхэмжигдэхүүний ямар ч утгаар илэрхийлэгдэж чадахгүйшийд нь уг дифференциал тэгшитгэлийн онцгой шийд гэжнэрлэгддэг.
Page 29
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
ЕДТ-ийн Кошийн бодлого
Тодорхойлт
Дифференциал тэгшитгэлийн өгөгдсөн анхны нөхцлүүдэдхангах тухайн шийдийг олох бодлого нь Кошийн бодлогогэж нэрлэгддэг.
Тодорхойлт
Ерөнхий шийдийн илэрхийлэлд орж байгаа тогтмолхэмжигдэхүүний ямар ч утгаар илэрхийлэгдэж чадахгүйшийд нь уг дифференциал тэгшитгэлийн онцгой шийд гэжнэрлэгддэг.
Page 30
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Тодорхойлт
F (x , y , y ′) = 0
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийндифференциал тэгшитгэл гэнэ. Түүнийг мөн уламжлалынхувьд бодогдсон,
y ′ = f (x , y) (2)
хэлбэрт бичдэг.
Энэ тэгшитгэлийн хувьд анхны нөхцөл
y |x=x0 = y0
хэлбэртэй байна.
Page 31
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Тодорхойлт
F (x , y , y ′) = 0
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийндифференциал тэгшитгэл гэнэ. Түүнийг мөн уламжлалынхувьд бодогдсон,
y ′ = f (x , y) (2)
хэлбэрт бичдэг. Энэ тэгшитгэлийн хувьд анхны нөхцөл
y |x=x0 = y0
хэлбэртэй байна.
Page 32
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Нэгдүгээр эрэмбийн y ′ = f (x , y) хэлбэрт бичигдсэндифференциал тэгшитгэлийн шийдийг бодож олох заримаргууд:
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэлАргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүдБүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Page 33
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Тодорхойлт
Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (3)
тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.
Энэ тохиолдолд
y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy
dx= φ(x) · ψ(y)
болно.
Page 34
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Тодорхойлт
Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (3)
тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.
Энэ тохиолдолд
y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy
dx= φ(x) · ψ(y)
болно.
Page 35
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)
dy
ψ(y)= φ(x)dx
хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд
тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫
dy
ψ(y)=
∫φ(x)dx + C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ.
Page 36
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)
dy
ψ(y)= φ(x)dx
хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫
dy
ψ(y)=
∫φ(x)dx + C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ.
Page 37
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.
- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
Page 38
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy
⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
Page 39
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.
Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
Page 40
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно.
Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
Page 41
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C
⇒ y = ±ec · ex2
Page 42
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
Page 43
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг.
Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
Page 44
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
Page 45
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана.
Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
Page 46
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд
∫φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
Page 47
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ.
Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
Page 48
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
Page 49
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dx
1 + x2+
dy
1 + y2= 0
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
arctg x + arctg y = C
болно.
Page 50
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dx
1 + x2+
dy
1 + y2= 0
болно.
Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
arctg x + arctg y = C
болно.
Page 51
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dx
1 + x2+
dy
1 + y2= 0
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
arctg x + arctg y = C
болно.
Page 52
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)
тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.
t = 1x гэж авбал
f (x , y) = f(1
x· x , 1
x· y)
= f(
1,y
x
)= φ
(yx
)хэлбэрт бичигдэнэ.
Тодорхойлт
y ′ = φ(yx
)(5)
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.
Page 53
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)
тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1
x гэж авбал
f (x , y) = f(1
x· x , 1
x· y)
= f(
1,y
x
)= φ
(yx
)хэлбэрт бичигдэнэ.
Тодорхойлт
y ′ = φ(yx
)(5)
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.
Page 54
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)
тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1
x гэж авбал
f (x , y) = f(1
x· x , 1
x· y)
= f(
1,y
x
)= φ
(yx
)хэлбэрт бичигдэнэ.
Тодорхойлт
y ′ = φ(yx
)(5)
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.
Page 55
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл
(5) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
Page 56
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл(5) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.
Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
Page 57
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл(5) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.
Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
Page 58
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл(5) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
Page 59
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраасy = u · x
орлуулга хийхэд
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
Page 60
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x
орлуулга хийхэд
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
Page 61
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраасy = u · x
орлуулга хийхэд
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
Page 62
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраасy = u · x
орлуулга хийхэд
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u,
x · dudx
=u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
Page 63
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраасy = u · x
орлуулга хийхэд
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.
Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
Page 64
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраасy = u · x
орлуулга хийхэд
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
Page 65
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C
x;
болно.
Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
y2
x2+ 1 =
C
x, ⇒ x2 + y2 = C · x
хэлбэрт бичигдэнэ.
Page 66
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C
x;
болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
y2
x2+ 1 =
C
x,
⇒ x2 + y2 = C · x
хэлбэрт бичигдэнэ.
Page 67
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого
НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C
x;
болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
y2
x2+ 1 =
C
x, ⇒ x2 + y2 = C · x
хэлбэрт бичигдэнэ.