Б.В.Шабат ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ В этой книге дается единое изложение основных понятий теории функций одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная функциям одного переменного, содержит материал обязательного университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких переменных и содержит материал основного спецкурса. В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные приложения и богатые связи с другими разделами математики. Первоначальное изучение этой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое изложение значительно облегчает знакомство с ней. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Глава I. Голоморфные функции 13 § 1. Комплексная плоскость 13 1. Комплексные числа 13 2. Топология комплексной плоскости 17 3. Пути и кривые 20 4. Области 23 § 2. Функции комплексного переменного 26 5. Понятие функции 26 6. Дифференцируемость 31 7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация 36 § 3. Элементарные функции 42 8. Дробно-линейные функции 42 9. Геометрические свойства 47 10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы 50 11. Некоторые рациональные функции 54 12. Показательная функция 58 13. Тригонометрические функции 61 Задачи 65 Глава II. Свойства голоморфных функций 68 § 4. Интеграл 68 14. Понятие интеграла 68 15. Первообразная 72 16. Гомотопия. Теорема Коши 80 17. Обобщения теоремы Коши 86 18. Интегральная формула Коши 90 § 5. Ряды Тейлора 93
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Б.В.Шабат ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
В этой книге дается единое изложение основных понятий теории функций
одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная функциям одного переменного, содержит материал обязательного университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких переменных и содержит материал основного спецкурса.
В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные приложения и богатые связи с другими разделами математики. Первоначальное изучение этой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое изложение значительно облегчает знакомство с ней.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава I. Голоморфные функции 13 § 1. Комплексная плоскость 13
1. Комплексные числа 13 2. Топология комплексной плоскости 17 3. Пути и кривые 20 4. Области 23
§ 2. Функции комплексного переменного 26 5. Понятие функции 26 6. Дифференцируемость 31 7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация 36
§ 3. Элементарные функции 42 8. Дробно-линейные функции 42 9. Геометрические свойства 47 10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы 50 11. Некоторые рациональные функции 54 12. Показательная функция 58 13. Тригонометрические функции 61
Задачи 65 Глава II. Свойства голоморфных функций 68 § 4. Интеграл 68
19. Ряды Тейлора 94 20. Свойства голоморфных функций 100 21. Теорема единственности 103 22. Теорема Вейерштрасса 106
§ 6. Ряды Лорана и особые точки 112 23. Ряды Лорана 112 24. Изолированные особые точки 119 25. Вычеты 127
Задачи 134 Глава III. Аналитическое продолжение 137 § 7. Понятие аналитического продолжения 137
26. Элементы аналитических функций 137 27. Продолжение вдоль пути 144
§ 8. Понятие аналитической функции 151 28. Аналитические функции 151 29. Элементарные функции 156 30. Особые точки 164
§ 9. Понятие римановой поверхности 170 31. Элементарный подход 170 32. Общий подход 174
Задачи 181 Глава IV. Основы геометрической теории 183 § 10. Геометрические принципы 183
33. Принцип аргумента 183 34. Принцип сохранения области 187 35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца 192
§ 11. Теорема Римана 195 36. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы 195 37. Принцип компактности 199 38. Теорема Римана 204
§ 12. Соответствие границ и принцип симметрии 206 39. Соответствие границ 206 40. Принцип симметрии 211 41. Эллиптический синус и модулярная функция 216
Задачи 221 Глава V. Дополнительные вопросы 223 § 13. Разложения целых и мероморфных функций 223
§ 14. Гармонические и субгармонические функции 238 44. Гармонические функции 238 45. Задача Дирихле 243 46. Субгармонические функции 248
Задачи 254
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава I. Голоморфные функции нескольких переменных 259 § 1. Комплексное пространство 259
1. Пространство Сn 259 2. Простейшие области 264
§ 2. Понятие голоморфности 270 3. Определение голоморфности 270 4. Плюригармонические функции 277 5. Основная теорема Хартогса 280
§ 3. Голоморфные функции 285 6. Простейшие свойства 285 7. Степенные ряды 293 8. Ряды Хартогса и Лорана 297
Задачи 301 Глава II. Интегрирование 304 § 4. Многообразия и формы 304
9. Понятие многообразия 304 10. Дифференциальные формы 309 11. Понятие интеграла от формы 314
§ 5. Теорема Коши — Пуанкаре 321 12. Цепи и их границы 322 13. Дифференцирование форм 326 14. Формула Стокса 331 15. Теорема Коши — Пуанкаре 334
§ 6. Интегральные представления 337 16. Формулы Мартинелли — Бохнера и Лере 337 17. Теорема Севери 344 18. Формула Вейля 350
Задачи 355 Глава III. Аналитическое продолжение 357 § 7. Области голоморфности 357
19. Теорема Хартогса о продолжении 357 20. Понятие области голоморфности 360 21. Голоморфная выпуклость 365 22. Свойства областей голоморфности 372
§ 8. Псевдовыпуклость 377 23. Принцип непрерывности 377 24. Выпуклость в смысле Леви 381 25. Плюрисубгармонические функции 386 26. Псевдовыпуклые области 395
29. Многолистные оболочки голоморфности 417 Задачи 422 Глава IV. Мероморфные функции и проблемы Кузена 424 § 10. Мероморфные функции 424
30. Понятие мероморфной функции 424 31. Первая проблема Кузена 429 32. Решение для поликругов 434 30. Применения. Вторая проблема Кузена 439
§ 11. Методы теории пучков 445 34. Основные определения 445 35. Группы когомологий 451 36. Точные последовательности пучков 455
§ 12. Применения 460 37. Решение первой проблемы Кузена 460 38. Решение второй проблемы Кузена 466 39. Решение ∂ -проблемы и проблемы Леви 469
Задачи 480 Глава V. Особенности и вычеты 484 § 13. Многомерные вычеты 484
40. Теория Мартинелли 485 41. Теория Лере 492 42. Логарифмический вычет 501
§ 14. Аналитические множества 507 43. Понятие аналитического множества 507 44. Локальное обращение голоморфных функций 515
§ 15. Аналитичность множества особенностей 519 45. Аналитичность множества особых точек 520 46. Существенно особые точки 523 47. Теорема о вложенном ребре 527
Задачи 530 Глава VI. Голоморфные отображения 533 § 16. Автоморфизмы простейших областей 533
48. Общие теоремы 534 49. Автоморфизмы пространства 540 50. Автоморфизмы некоторых областей 546
§ 17. Инвариантная метрика 551 51. Кернфункция 551 52. Метрика Бергмана 559 53. Поведение кернфункции на границе 564
296 Сохоцкого теорема 123, 544 — формула 135 Сохранение углов 39 Стебель пучка 447 Степенная функция 54 Степенные ряды 94, 293 Степень дифференциальной формы
312 Стереографическая проекция 16, 302 Стирлинга формула 221 Стокса формула 331, 333 Строго плюрисубгармоническая
функция 389 Субгармоническая функция 249, 390 Супергармоническая функция 254 Существенно особая точка 120, 523 Сфера комплексных чисел 16 — Римана 15 Сферическая метрика 16 Сходимость последовательности
множеств 377 — ряда 93 — — мероморфных функций 224 — — равномерная 93 Тейлора ряд 95 Тип целой функции 235, 254 Тонкое множество 358
Тор комплексный n -мерпый 355 Точка ветвления 166 — — бесконечного порядка 167 — — конечного порядка 167 — — логарифмическая 167 — — римановой поверхности 171 — критическая 171, 510, 513 — неопределенности 424 — обыкновенная 171, 509, 512 Точки в общем положении 322 — симметричные 48 Точная последовательность пучков
457 Трансцендентная целая функция 126 Угловое граничное значение 207 Угол в бесконечности 44 Унитарное преобразование 545 Уравнения Коши — Римана 33 — — — касательные 356 — — — неоднородные 434, 470 Условие Липшица 108, 398 Условия Даламбера — Эйлера 33 — локальной однолистности 190, 515 Усредняющее ядро 472 Факторпучок 456 Фату пример 541—544 Форма-вычет 495 Форма дифференциальная 79, 278,
310—314, 330, 384, 433, 471, 561
Функционал 202, 417 ϕ-вложение сильное 412 — слабое 412 ϕ -расширение функции 413
ϕ -сужение функции 413 F-выпуклость 366 Характеристическая функция 332,
472 Харнака теорема 242 Хартогса лемма 283 — область 268, 302, 407 — — полная 268 — ряд 298 — теорема основная 284 — теоремы 252, 357, 520, 523 Хартогса — Лорана ряд 301, 524 Хефера теорема 351, 441 Хёрмандера теоремы 478, 567 Цепь 322 Цикл 324 —, гомологичный нулю 324 — особый 489 Циклы гомологичные 324 Шар 264, 287, 546, 557 Шварца лемма 194, 281, 539, 550 — теорема 215 Шилова граница 287, 303, 570 Шпета — Картана теорема 531 Эйлера формула 59 Экстремальная функция 553, 558 Элемент аналитической функции