Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word

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3o

( ...) 04/02/2017

1. , f

0x , .

7

2. Rolle ;

4

3. f 0x

;

4

4. ,

, , .

) ,f g 0x ,

f g 0x 0 0 0

f g x f x g x

) 13 3 x xx , x

) 0x 1

ln xx

) 1a , lim 0

xx

a

) f , 0 f x

0 0, , x a x x , 0 0, ,a x x

10

B

2 1 , 0

1 , 0

x xf x

x x

B1. f


8

B2. f

1,1

8

B3.

f 5

0,4

9

: f , :

1 4 f x x f x x , x 0 1f

1. 24 1 f x x x , x

7

2. lim 1

x

f x x

6

3.

f 3

4

x x

6

4. 0 2,2 x ,

3 40 0 0 0 04 16 x f x f x x f x

6

: f , 0 f x

x , :

2 xf x e f x , x


2 0 1 0 f

0 ln 2f

1. 11

x

x

ef x

e , x

6

2. f (3 )

2 2 1 4 f x f x f x x (3 )

6

3. ln 1 xf x e , x

5

4. . f

4

. f

1f

4

3

:

1. , 99

2. , 128

3. , 95

4. )

)

)

)

)

1. x < 0 f .

x > 0 f .

x = 0 :

2

x 0 x 0

x 0 x 0

imf(x) im( x 1) 1

imf(x) im( x 1) 1

x 0 x 0im f(x) imf(x) f 0 1

f x0 = 1,

f R .

2. f 1, 1 1.

x < 0, f f x 2x

x > 0, f f x 1 .

x = 0 :

2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

x 0 x 0 x 0

f(x) f(0) x 1 1 xim im im im x 0

x 0 x x

f(x) f(0) x 1 1 xim im im 1

x 0 x x

x 0 x 0

f(x) f(0) f(x) f(0)im im

x 0 x 0

f x0 = 0,

f (1, 1).

[1, 1].

3. 0 0B x , f x , 0x 0 f 0.

, : 0 0 0y f x f x x x

0x 0 , : 2 2

0 0 0 0 0y x 1 2x x x y 2x x x 1

5

A 0,4

:

2 20 0 05 1

2x 0 x 1 x4 4

0x 0 , 01

x2

, :

5

: y x4

0x 0 , : 0 0y x 1 x x y x 1

5

A 0,4

.

1. : f x x f x 1 4x f x x f x x 4x

2 f x x f x x 8x

2 2f x x 4x

2

f x x , 24x R cR

: 2 2f x x 4x c xR

x = 0, : 2

f 0 c c 1

, 2 2f x x 4x 1 xR

, 24x 1 0 xR 2

f x x 0 xR ,

f x x 0 xR

f , .

f 0 1 0 , f x x 0 xR

2 2f x x 4x 1 f x 4x 1 x xR

2. : 2 2f x 1 x 4x 1 x x x 4x 1 x

: 2 2 2x x x1

im 4x 1 x im 4x 1 x im x 4 xx

x

2 2x x x x

1 1im x 4 x im x 4

x x

:

2 0 2 xim f x 1 x

2 0 2 xim f x 1 x

2 0 2

2 2 x

x x x x x

2 2 2

4x 1 4x 1 1im im im 0

1 1 1x 4 2x x 4 2x x 4 2

x x x

2x x

1 1im im 0

x x

3. 0 0A x , f x .

f

3

4

, : 0

3f x 1

4

, 22 2

1 4xf x 4x 1 1 1

2 4x 1 4x 1

: 0 00 0

2 2

0 0

4x 4x1 1 0 4x 0 x 0

4x 1 4x 1

, y f 0 f 0 x 0 y 1 x y x 1

4.

3 4g x 4x f x 16f x x f x

g 2, 2 , .

: 3 4

g 2 4 2 f 2 16f 2 2 f 2

24f 2 16f 2 16f 2

24 17 2 0

3 4g 2 4 2 f 2 16f 2 2 f 2

24f 2 16f 2 16f 2

24 17 2 0

g 2 g 2 0

, Bolzano, 0x 2, 2 :

3 40 0 0 0 0 0g x 0 4x f x 16f x x f x 0

3 40 0 0 0 04x f x 16f x x f x

4 4g x x f x 16f x x 16 f x

g 2, 2 , .

g 2, 2 ,

. 3 4g x 4x f x x f x 16f x

: 4g 2 2 16 f 2 0

4g 2 2 16 f 2 0

g 2 g 2 0

, Rolle, 0x 2, 2 :

3 40 0 0 0 0 0g x 0 4x f x 16f x x f x 0

3 40 0 0 0 04x f x 16f x x f x

1. :

2x x x

2

f x 1f x e f x e e

f xf x

1

f x

, xe R cR

:

x1 e cf x

xR

x = 0, :

01 e c 2 1 c c 1f 0

,

x

x x

1 1 1e 1 f x f x 1 1

f x e 1 e 1

x x

x x

e 1 1 ef x 1 f x 1

e 1 e 1

2. f R

x x x xx

2x x

e e 1 e e 1ef x 1

e 1 e 1

x x x x x x x x x

2 2x x

e e 1 e e e e e e e

e 1 e 1

x

2x

e0

e 1

f R

f R x 2, x 1

f R x 2, x 1

1 x 2, x 1

1

f x 1 f x 2 f x 1 f x 2f

x 1 x 2 3

f R x 1, x 4

f R x 1, x 4

2 x 1, x 4

2

f x 4 f x 1 f x 4 f x 1f

x 4 x 1 3

: f

1 2 1 2x 2 x 1 x 4 f f

1

f x 1 f x 2 f x 4 f x 1

3 3

f x 1 f x 2 f x 4 f x 1

2f x 1 f x 4 f x 2

3. xg x f x n 1 e

g R :

x x

x

x x x

1 e eg x f x 1 e 1

1 e e 1 e 1

x x x xx

x x x x x x

x

1

e e 1 e e 1 1e1 1 01e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1

1e

g x 0 xR g , g ,

cR : xg x c f x n 1 e c

x = 0, : 0f 0 n 1 e c c 0

, x xf x n 1 e 0 f x n 1 e , xR

4. . :

x x x x

x x x x x

e e e e 1 1f x 1 f x 1 0

e 1 e 1 e 1 e 1 e 1

f R

f = R , :

x x

f A im f x , im f x 0,

: xx xim f x im n 1 e

xu 1 e x0x

u im 1 e 1

x u 1im f x im nu 0

xx xim f x im n 1 e

xu 1 e x0x

u im 1 e

x uim f x im nu

. f R , 1 1,

1f 1fA f A 0,

: x x y x yf x y n 1 e y 1 e e e e 1

y yx n e 1 x n e 1

, 1 xf x n e 1 , x 0,

3o---20173--_apantiseis

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