Квантовые алгоритмы: возможности и ограничения. Лекция 10: Моделирование квантовых схем классическими средствами. О реализации квантового компьютера М. Вялый Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской Академии наук Санкт-Петербург, 2011 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 10 Санкт-Петербург, 2011 1 / 37
108
Embed
Квантовые алгоритмы: возможности и ограничения, весна 2011: Моделирование квантовых схем классическими
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Квантовые алгоритмы:возможности и ограничения.
Лекция 10: Моделирование квантовых схемклассическими средствами. О реализации квантового
Симплектический базис — это базис из операторов{c-NOT,H,K (π/2)}.Симплектический базис не является универсальным: операторы изэтого базиса образуют конечную подгруппу U((C2)⊗n).
Теорема Готтесмана – НиллаВероятность наблюдения 1 в первом кубите при измерении состояния,которое получено применением схемы в симплектическом базисе,вычисляется классическим алгоритмом за полиномиальное время.
СледствиеМатричные элементы оператора, заданного схемой в симплектическомбазисе, можно вычислять классическим алгоритмом заполиномиальное время.
Симплектический базис — это базис из операторов{c-NOT,H,K (π/2)}.Симплектический базис не является универсальным: операторы изэтого базиса образуют конечную подгруппу U((C2)⊗n).
Теорема Готтесмана – НиллаВероятность наблюдения 1 в первом кубите при измерении состояния,которое получено применением схемы в симплектическом базисе,вычисляется классическим алгоритмом за полиномиальное время.
СледствиеМатричные элементы оператора, заданного схемой в симплектическомбазисе, можно вычислять классическим алгоритмом заполиномиальное время.
Симплектический базис — это базис из операторов{c-NOT,H,K (π/2)}.Симплектический базис не является универсальным: операторы изэтого базиса образуют конечную подгруппу U((C2)⊗n).
Теорема Готтесмана – НиллаВероятность наблюдения 1 в первом кубите при измерении состояния,которое получено применением схемы в симплектическом базисе,вычисляется классическим алгоритмом за полиномиальное время.
СледствиеМатричные элементы оператора, заданного схемой в симплектическомбазисе, можно вычислять классическим алгоритмом заполиномиальное время.
Симплектический базис — это базис из операторов{c-NOT,H,K (π/2)}.Симплектический базис не является универсальным: операторы изэтого базиса образуют конечную подгруппу U((C2)⊗n).
Теорема Готтесмана – НиллаВероятность наблюдения 1 в первом кубите при измерении состояния,которое получено применением схемы в симплектическом базисе,вычисляется классическим алгоритмом за полиномиальное время.
СледствиеМатричные элементы оператора, заданного схемой в симплектическомбазисе, можно вычислять классическим алгоритмом заполиномиальное время.
Сцепленность как явление означает существование в тензорномпроизведении пространств неразложимых в вычислительном базисесостояний, например ЭПР пара
|ЭПР〉 =1√2|00〉+
1√2|11〉.
В квантовой теории информации вводятся разнообразные мерысцепленности и количество сцепленности (скажем, ЭПР-пар) являетсяважным информационным ресурсом.Теорема Готтесмана – Нилла показывает сомнительность пользы отпонятия сцепленности для квантовых вычислений. Сцепленностьпорождается операторами из симплектического базиса
Сцепленность как явление означает существование в тензорномпроизведении пространств неразложимых в вычислительном базисесостояний, например ЭПР пара
|ЭПР〉 =1√2|00〉+
1√2|11〉.
В квантовой теории информации вводятся разнообразные мерысцепленности и количество сцепленности (скажем, ЭПР-пар) являетсяважным информационным ресурсом.Теорема Готтесмана – Нилла показывает сомнительность пользы отпонятия сцепленности для квантовых вычислений. Сцепленностьпорождается операторами из симплектического базиса
Сцепленность как явление означает существование в тензорномпроизведении пространств неразложимых в вычислительном базисесостояний, например ЭПР пара
|ЭПР〉 =1√2|00〉+
1√2|11〉.
В квантовой теории информации вводятся разнообразные мерысцепленности и количество сцепленности (скажем, ЭПР-пар) являетсяважным информационным ресурсом.Теорема Готтесмана – Нилла показывает сомнительность пользы отпонятия сцепленности для квантовых вычислений. Сцепленностьпорождается операторами из симплектического базиса
СледствиеСимплектические схемы порождают конечную группу унитарныхматриц.
ЛеммаЕсли оператор U задается симплектической схемой, тоU†σ(f )U = iUa(f )σ(Uf ), причем Ua и Uf вычисляются заполиномиальное время классическим алгоритмом.
ДоказательствоИз формул умножения операторов Паули и формул действия дляобразующих симплектической группы следует, что U — линейноепреобразование на F2n.Фазовый множитель вычисляется эффективно по тем же формулам.
СледствиеСимплектические схемы порождают конечную группу унитарныхматриц.
ЛеммаЕсли оператор U задается симплектической схемой, тоU†σ(f )U = iUa(f )σ(Uf ), причем Ua и Uf вычисляются заполиномиальное время классическим алгоритмом.
ДоказательствоИз формул умножения операторов Паули и формул действия дляобразующих симплектической группы следует, что U — линейноепреобразование на F2n.Фазовый множитель вычисляется эффективно по тем же формулам.
СледствиеСимплектические схемы порождают конечную группу унитарныхматриц.
ЛеммаЕсли оператор U задается симплектической схемой, тоU†σ(f )U = iUa(f )σ(Uf ), причем Ua и Uf вычисляются заполиномиальное время классическим алгоритмом.
ДоказательствоИз формул умножения операторов Паули и формул действия дляобразующих симплектической группы следует, что U — линейноепреобразование на F2n.Фазовый множитель вычисляется эффективно по тем же формулам.
В доказательстве теоремы Готтесмана – Нилла групповаяструктура не существенна. Нужны два ингредиента:множество Sn эрмитовых операторов такое, что 〈0n|S |0n〉вычисляется эффективно для S ∈ Sn, нужно также, чтобы этомножество содержало σ(f1);множество унитарных операторов Kn, сохраняющих Sn, т. е.K †SK ∈ Sn для K ∈ Kn, S ∈ Sn.
В случае теоремы Готтесмана – Нилла Sn — это группа σ-операторов сфазовыми подкрутками, Kn — группа симплектических операторов.
В доказательстве теоремы Готтесмана – Нилла групповаяструктура не существенна. Нужны два ингредиента:множество Sn эрмитовых операторов такое, что 〈0n|S |0n〉вычисляется эффективно для S ∈ Sn, нужно также, чтобы этомножество содержало σ(f1);множество унитарных операторов Kn, сохраняющих Sn, т. е.K †SK ∈ Sn для K ∈ Kn, S ∈ Sn.
В случае теоремы Готтесмана – Нилла Sn — это группа σ-операторов сфазовыми подкрутками, Kn — группа симплектических операторов.
В доказательстве теоремы Готтесмана – Нилла групповаяструктура не существенна. Нужны два ингредиента:множество Sn эрмитовых операторов такое, что 〈0n|S |0n〉вычисляется эффективно для S ∈ Sn, нужно также, чтобы этомножество содержало σ(f1);множество унитарных операторов Kn, сохраняющих Sn, т. е.K †SK ∈ Sn для K ∈ Kn, S ∈ Sn.
В случае теоремы Готтесмана – Нилла Sn — это группа σ-операторов сфазовыми подкрутками, Kn — группа симплектических операторов.
В доказательстве теоремы Готтесмана – Нилла групповаяструктура не существенна. Нужны два ингредиента:множество Sn эрмитовых операторов такое, что 〈0n|S |0n〉вычисляется эффективно для S ∈ Sn, нужно также, чтобы этомножество содержало σ(f1);множество унитарных операторов Kn, сохраняющих Sn, т. е.K †SK ∈ Sn для K ∈ Kn, S ∈ Sn.
В случае теоремы Готтесмана – Нилла Sn — это группа σ-операторов сфазовыми подкрутками, Kn — группа симплектических операторов.
ОпределениеДвухкубитовый элемент Вэлианта (matchgate) задается матрицей
G (A,B) =
p 0 0 q0 w x 00 y z 0r 0 0 s
, где A =
(p qr s
), B =
(w xy z
)
две унитарные матрицы с одинаковым детерминантом.
Плоская схема ВэлиантаВ такой схеме кубиты упорядочены и элементы Вэлианта применяютсятолько к соседним кубитам. Предполагается также, что матричныеэлементы в схеме Вэлианта эффективно вычислимы.
ОпределениеДвухкубитовый элемент Вэлианта (matchgate) задается матрицей
G (A,B) =
p 0 0 q0 w x 00 y z 0r 0 0 s
, где A =
(p qr s
), B =
(w xy z
)
две унитарные матрицы с одинаковым детерминантом.
Плоская схема ВэлиантаВ такой схеме кубиты упорядочены и элементы Вэлианта применяютсятолько к соседним кубитам. Предполагается также, что матричныеэлементы в схеме Вэлианта эффективно вычислимы.
Теорема (Valiant, 2001)Существует алгоритм, который за полиномиальное время вычисляетвероятности наблюдения исходов для состояния, которое получаетсяиз |0n〉 применением плоской схемы Вэлианта.
Теорема (Josza, Miyake, 2008)Схемы, в которых элементы Вэлианта применяются к кубитам нарасстоянии не больше 2, универсальны для квантового вычисления.
Теорема (Valiant, 2001)Существует алгоритм, который за полиномиальное время вычисляетвероятности наблюдения исходов для состояния, которое получаетсяиз |0n〉 применением плоской схемы Вэлианта.
Теорема (Josza, Miyake, 2008)Схемы, в которых элементы Вэлианта применяются к кубитам нарасстоянии не больше 2, универсальны для квантового вычисления.
Наблюдение фон НейманаАналоговые системы более чувствительны к шуму, чем дискретные.Вероятность неправильного изменения бита невелика и может бытьбыстро и эффективно уменьшена применением корректирующих кодов.
Квантовые системы, описываемые стандартной моделью, —аналоговые.За счет линейного накопления ошибок для ограниченной ошибкина выходе схемы необходима точность реализации операторов,обратно пропорциональная размеру схемы. Уже это плохо.Что еще хуже: помимо неточностей в реализации элементов схем,в реальных системах имеется шум: случайные сбои в работе.Для классических компьютеров проблема шума не слишкомтяжела (см. наблюдение фон Неймана).Квантовые алгоритмы подвержены шуму в большей степени.
Наблюдение фон НейманаАналоговые системы более чувствительны к шуму, чем дискретные.Вероятность неправильного изменения бита невелика и может бытьбыстро и эффективно уменьшена применением корректирующих кодов.
Квантовые системы, описываемые стандартной моделью, —аналоговые.За счет линейного накопления ошибок для ограниченной ошибкина выходе схемы необходима точность реализации операторов,обратно пропорциональная размеру схемы. Уже это плохо.Что еще хуже: помимо неточностей в реализации элементов схем,в реальных системах имеется шум: случайные сбои в работе.Для классических компьютеров проблема шума не слишкомтяжела (см. наблюдение фон Неймана).Квантовые алгоритмы подвержены шуму в большей степени.
Наблюдение фон НейманаАналоговые системы более чувствительны к шуму, чем дискретные.Вероятность неправильного изменения бита невелика и может бытьбыстро и эффективно уменьшена применением корректирующих кодов.
Квантовые системы, описываемые стандартной моделью, —аналоговые.За счет линейного накопления ошибок для ограниченной ошибкина выходе схемы необходима точность реализации операторов,обратно пропорциональная размеру схемы. Уже это плохо.Что еще хуже: помимо неточностей в реализации элементов схем,в реальных системах имеется шум: случайные сбои в работе.Для классических компьютеров проблема шума не слишкомтяжела (см. наблюдение фон Неймана).Квантовые алгоритмы подвержены шуму в большей степени.
Наблюдение фон НейманаАналоговые системы более чувствительны к шуму, чем дискретные.Вероятность неправильного изменения бита невелика и может бытьбыстро и эффективно уменьшена применением корректирующих кодов.
Квантовые системы, описываемые стандартной моделью, —аналоговые.За счет линейного накопления ошибок для ограниченной ошибкина выходе схемы необходима точность реализации операторов,обратно пропорциональная размеру схемы. Уже это плохо.Что еще хуже: помимо неточностей в реализации элементов схем,в реальных системах имеется шум: случайные сбои в работе.Для классических компьютеров проблема шума не слишкомтяжела (см. наблюдение фон Неймана).Квантовые алгоритмы подвержены шуму в большей степени.
Наблюдение фон НейманаАналоговые системы более чувствительны к шуму, чем дискретные.Вероятность неправильного изменения бита невелика и может бытьбыстро и эффективно уменьшена применением корректирующих кодов.
Квантовые системы, описываемые стандартной моделью, —аналоговые.За счет линейного накопления ошибок для ограниченной ошибкина выходе схемы необходима точность реализации операторов,обратно пропорциональная размеру схемы. Уже это плохо.Что еще хуже: помимо неточностей в реализации элементов схем,в реальных системах имеется шум: случайные сбои в работе.Для классических компьютеров проблема шума не слишкомтяжела (см. наблюдение фон Неймана).Квантовые алгоритмы подвержены шуму в большей степени.
Предположим, что при реализации элемента квантовой схемывозникает ошибка, причем вероятность ошибки мала (но не скольугодно мала) и каждая ошибка влияет только на небольшоеколичество кубитов.Можно ли, используя такие элементы строить сколь угодно большиесхемы, которые дают ответ с небольшой вероятностью ошибки?
Предположим, что при реализации элемента квантовой схемывозникает ошибка, причем вероятность ошибки мала (но не скольугодно мала) и каждая ошибка влияет только на небольшоеколичество кубитов.Можно ли, используя такие элементы строить сколь угодно большиесхемы, которые дают ответ с небольшой вероятностью ошибки?
Предположим, что при реализации элемента квантовой схемывозникает ошибка, причем вероятность ошибки мала (но не скольугодно мала) и каждая ошибка влияет только на небольшоеколичество кубитов.Можно ли, используя такие элементы строить сколь угодно большиесхемы, которые дают ответ с небольшой вероятностью ошибки?
Ошибка возникает из-за взаимодействия с окружающей средой.Поэтому наша модель (унитарные операторы) недостаточна.
ПримерВозьмем ЭПР пару
|ψ〉 =1√2|00〉+
1√2|11〉.
Предположим, что ошибка состоит в том, что потерялся второй кубит.В каком состоянии оказывается первый кубит?Ответ: Первый кубит с вероятностью 1/2 находится в состоянии |0〉 ис вероятностью 1/2 в состоянии |1〉.Не существует чистого квантового состояния, которое давало бы такиевероятности наблюдения исходов.
Ошибка возникает из-за взаимодействия с окружающей средой.Поэтому наша модель (унитарные операторы) недостаточна.
ПримерВозьмем ЭПР пару
|ψ〉 =1√2|00〉+
1√2|11〉.
Предположим, что ошибка состоит в том, что потерялся второй кубит.В каком состоянии оказывается первый кубит?Ответ: Первый кубит с вероятностью 1/2 находится в состоянии |0〉 ис вероятностью 1/2 в состоянии |1〉.Не существует чистого квантового состояния, которое давало бы такиевероятности наблюдения исходов.
Ошибка возникает из-за взаимодействия с окружающей средой.Поэтому наша модель (унитарные операторы) недостаточна.
ПримерВозьмем ЭПР пару
|ψ〉 =1√2|00〉+
1√2|11〉.
Предположим, что ошибка состоит в том, что потерялся второй кубит.В каком состоянии оказывается первый кубит?Ответ: Первый кубит с вероятностью 1/2 находится в состоянии |0〉 ис вероятностью 1/2 в состоянии |1〉.Не существует чистого квантового состояния, которое давало бы такиевероятности наблюдения исходов.
ОпределениеДва вероятностных распределения на чистых состоянияхнеразличимы, если они дают одинаковые распределения исходов приодинаковом наблюдении.Класс неразличимых распределений на чистых состояниях называетсясмешанным состоянием.
ТеоремаСмешанное состояние однозначно описывается оператором плотностиρ, удовлетворящим условиям:
ρ† = ρ; 〈ψ|ρ|ψ〉 > 0; Tr ρ = 1.
Вероятность наблюдения исхода x в состоянии ρ равна
Пусть мы имеем ρ — смешанное в общем случае состояниесоставной системы AB, где возможные результаты наблюдениясистемы A — это {a1, . . . , an}, а системы B — это {b1, . . . , bm}.Как определить состояние подсистемы A?Для этого нужно посчитать вероятность наблюдения результата aiв составной системе и выразить ее с помощью подходящегооператора плотности:
Pr(ρ, aj) =∑k
Pr(ρ, ajbk) = Pr(TrB ρ, aj).
Здесь TrB ρ обозначает искомый ответ, который называетсячастичным следом оператора.
Пусть мы имеем ρ — смешанное в общем случае состояниесоставной системы AB, где возможные результаты наблюдениясистемы A — это {a1, . . . , an}, а системы B — это {b1, . . . , bm}.Как определить состояние подсистемы A?Для этого нужно посчитать вероятность наблюдения результата aiв составной системе и выразить ее с помощью подходящегооператора плотности:
Pr(ρ, aj) =∑k
Pr(ρ, ajbk) = Pr(TrB ρ, aj).
Здесь TrB ρ обозначает искомый ответ, который называетсячастичным следом оператора.
Пусть мы имеем ρ — смешанное в общем случае состояниесоставной системы AB, где возможные результаты наблюдениясистемы A — это {a1, . . . , an}, а системы B — это {b1, . . . , bm}.Как определить состояние подсистемы A?Для этого нужно посчитать вероятность наблюдения результата aiв составной системе и выразить ее с помощью подходящегооператора плотности:
Pr(ρ, aj) =∑k
Pr(ρ, ajbk) = Pr(TrB ρ, aj).
Здесь TrB ρ обозначает искомый ответ, который называетсячастичным следом оператора.
Пусть мы имеем ρ — смешанное в общем случае состояниесоставной системы AB, где возможные результаты наблюдениясистемы A — это {a1, . . . , an}, а системы B — это {b1, . . . , bm}.Как определить состояние подсистемы A?Для этого нужно посчитать вероятность наблюдения результата aiв составной системе и выразить ее с помощью подходящегооператора плотности:
Pr(ρ, aj) =∑k
Pr(ρ, ajbk) = Pr(TrB ρ, aj).
Здесь TrB ρ обозначает искомый ответ, который называетсячастичным следом оператора.
ОпределениеЧастичный след — это линейное отображение операторов напространстве A⊗ B в операторы на пространстве A, которое наразложимых операторах задается формулой
TrB(X ⊗ Y ) = X Tr Y ,
а на остальные операторы продолжается по линейности.
УпражнениеДокажите корректность определения частичного следа (значение независит от представления оператора в виде суммы разложимых).
УпражнениеПроверьте, что для разложимых чистых состояний ρ = ρ1 ⊗ ρ2
ОпределениеЧастичный след — это линейное отображение операторов напространстве A⊗ B в операторы на пространстве A, которое наразложимых операторах задается формулой
TrB(X ⊗ Y ) = X Tr Y ,
а на остальные операторы продолжается по линейности.
УпражнениеДокажите корректность определения частичного следа (значение независит от представления оператора в виде суммы разложимых).
УпражнениеПроверьте, что для разложимых чистых состояний ρ = ρ1 ⊗ ρ2
ОпределениеЧастичный след — это линейное отображение операторов напространстве A⊗ B в операторы на пространстве A, которое наразложимых операторах задается формулой
TrB(X ⊗ Y ) = X Tr Y ,
а на остальные операторы продолжается по линейности.
УпражнениеДокажите корректность определения частичного следа (значение независит от представления оператора в виде суммы разложимых).
УпражнениеПроверьте, что для разложимых чистых состояний ρ = ρ1 ⊗ ρ2
Код повторений: кубит |0〉 кодируется кубитом |0n〉, а кубит |1〉 —кубитом |1n〉.В классическом случае можно обнаружить и исправить чуть меньшеполовины ошибок.В квантовом случае это не так. Уже ошибка на одном кубите, причемунитарная, приводит к совпадению кодовых векторов. Рассмотрим двавектора из кодового пространства:
|ψ1〉 = |0n〉+ |1n〉; |ψ2〉 = |0n〉 − |1n〉.
Пусть ошибка имеет вид E = σz [j ]. Тогда E |ψ2〉 = |ψ1〉. После такойошибки у нас не остается шансов различить эти два кодовых вектора.
ОпределениеКвантовый код, исправляющий ошибки из множества E — этоподпространство V пространства (C2)⊗n такое, что
∀ |ξ1〉, |ξ2〉 ∈ V ∀X ,Y ∈ E (〈ξ2|ξ1〉 = 0) ⇒(〈ξ2|Y †X |ξ1〉 = 0
). (*)
Коды, исправляющие r ошибокВ этом случае E состоит из линейных отображений, которые являютсясуммами r -локальных (действующих только на r кубитах).В этом случае условие (*) упрощается до
ОпределениеКвантовый код, исправляющий ошибки из множества E — этоподпространство V пространства (C2)⊗n такое, что
∀ |ξ1〉, |ξ2〉 ∈ V ∀X ,Y ∈ E (〈ξ2|ξ1〉 = 0) ⇒(〈ξ2|Y †X |ξ1〉 = 0
). (*)
Коды, исправляющие r ошибокВ этом случае E состоит из линейных отображений, которые являютсясуммами r -локальных (действующих только на r кубитах).В этом случае условие (*) упрощается до
ТеоремаКодовое расстояние кода, задаваемого подпространством F , равно
min(‖f ‖ : f ∈ F⊥ \ F ), где F⊥ = {g : ∀f ∈ F ω(f , g) = 0}.
Эта теорема позволяет применять конструкции классическихкорректирующих кодов (с дополнительными условиями) дляпостроения квантовых кодов.
Неформальная аннотация теории квантовых корректирующихкодовВсё хорошо. Есть конструкции кодов, исправляющих любое заданноеколичество ошибок. Есть асимптотически хорошие квантовые коды.Возможны каскадные конструкции. Есть процедуры декодирования(причем реализуются в симплектическом базисе).
ТеоремаКодовое расстояние кода, задаваемого подпространством F , равно
min(‖f ‖ : f ∈ F⊥ \ F ), где F⊥ = {g : ∀f ∈ F ω(f , g) = 0}.
Эта теорема позволяет применять конструкции классическихкорректирующих кодов (с дополнительными условиями) дляпостроения квантовых кодов.
Неформальная аннотация теории квантовых корректирующихкодовВсё хорошо. Есть конструкции кодов, исправляющих любое заданноеколичество ошибок. Есть асимптотически хорошие квантовые коды.Возможны каскадные конструкции. Есть процедуры декодирования(причем реализуются в симплектическом базисе).
ТеоремаКодовое расстояние кода, задаваемого подпространством F , равно
min(‖f ‖ : f ∈ F⊥ \ F ), где F⊥ = {g : ∀f ∈ F ω(f , g) = 0}.
Эта теорема позволяет применять конструкции классическихкорректирующих кодов (с дополнительными условиями) дляпостроения квантовых кодов.
Неформальная аннотация теории квантовых корректирующихкодовВсё хорошо. Есть конструкции кодов, исправляющих любое заданноеколичество ошибок. Есть асимптотически хорошие квантовые коды.Возможны каскадные конструкции. Есть процедуры декодирования(причем реализуются в симплектическом базисе).
ФормулировкаСуществует такое число p0, что любая квантовая схема размера `может быть реализована с вероятностью ошибки не более ε схемойразмера O(poly(log `/ε)`) из неточных элементов, вероятность ошибкикаждого из которых не превосходит p0.
Важные уточнения.Пороговая теорема доказана лишь при очень малых значенияхпорога: p0 ∼ 10−5. Один из критических вопросов в областиквантовых вычислений: определить точную величину порога.Неизбежность высокого параллелизма. Схемы из неточныхэлементов, в которых одновременно преобразуются лишь O(1)кубитов, при любой ненулевой величине порога ошибкимоделируются вероятностными алгоритмами.
ФормулировкаСуществует такое число p0, что любая квантовая схема размера `может быть реализована с вероятностью ошибки не более ε схемойразмера O(poly(log `/ε)`) из неточных элементов, вероятность ошибкикаждого из которых не превосходит p0.
Важные уточнения.Пороговая теорема доказана лишь при очень малых значенияхпорога: p0 ∼ 10−5. Один из критических вопросов в областиквантовых вычислений: определить точную величину порога.Неизбежность высокого параллелизма. Схемы из неточныхэлементов, в которых одновременно преобразуются лишь O(1)кубитов, при любой ненулевой величине порога ошибкимоделируются вероятностными алгоритмами.
ФормулировкаСуществует такое число p0, что любая квантовая схема размера `может быть реализована с вероятностью ошибки не более ε схемойразмера O(poly(log `/ε)`) из неточных элементов, вероятность ошибкикаждого из которых не превосходит p0.
Важные уточнения.Пороговая теорема доказана лишь при очень малых значенияхпорога: p0 ∼ 10−5. Один из критических вопросов в областиквантовых вычислений: определить точную величину порога.Неизбежность высокого параллелизма. Схемы из неточныхэлементов, в которых одновременно преобразуются лишь O(1)кубитов, при любой ненулевой величине порога ошибкимоделируются вероятностными алгоритмами.
Квантовые компьютеры1 никогда не будут созданы, потому что их вычислительные
возможности не стоят усилий по их созданию.2 никогда не будут созданы из-за непреодолимых технологических
трудностей.3 невозможны, поскольку противоречат (еще не открытым) законам
природы.
4 будут построены, но будут реализовывать более слабую, чемстандартная, модель квантового вычисления.
5 на основе известных законов квантовой механики возможны ибудут построены в обозримом будущем.
6 могут быть гораздо мощнее, чем нам сейчас кажется из-занеполноты знаний законов квантового мира. Когда они будутсозданы, квантовые компьютеры смогут решать алгоритмическинеразрешимые задачи.
Квантовые компьютеры1 никогда не будут созданы, потому что их вычислительные
возможности не стоят усилий по их созданию.2 никогда не будут созданы из-за непреодолимых технологических
трудностей.3 невозможны, поскольку противоречат (еще не открытым) законам
природы.
4 будут построены, но будут реализовывать более слабую, чемстандартная, модель квантового вычисления.
5 на основе известных законов квантовой механики возможны ибудут построены в обозримом будущем.
6 могут быть гораздо мощнее, чем нам сейчас кажется из-занеполноты знаний законов квантового мира. Когда они будутсозданы, квантовые компьютеры смогут решать алгоритмическинеразрешимые задачи.
Квантовые компьютеры1 никогда не будут созданы, потому что их вычислительные
возможности не стоят усилий по их созданию.2 никогда не будут созданы из-за непреодолимых технологических
трудностей.3 невозможны, поскольку противоречат (еще не открытым) законам
природы.
4 будут построены, но будут реализовывать более слабую, чемстандартная, модель квантового вычисления.
5 на основе известных законов квантовой механики возможны ибудут построены в обозримом будущем.
6 могут быть гораздо мощнее, чем нам сейчас кажется из-занеполноты знаний законов квантового мира. Когда они будутсозданы, квантовые компьютеры смогут решать алгоритмическинеразрешимые задачи.
Квантовые компьютеры1 никогда не будут созданы, потому что их вычислительные
возможности не стоят усилий по их созданию.2 никогда не будут созданы из-за непреодолимых технологических
трудностей.3 невозможны, поскольку противоречат (еще не открытым) законам
природы.
4 будут построены, но будут реализовывать более слабую, чемстандартная, модель квантового вычисления.
5 на основе известных законов квантовой механики возможны ибудут построены в обозримом будущем.
6 могут быть гораздо мощнее, чем нам сейчас кажется из-занеполноты знаний законов квантового мира. Когда они будутсозданы, квантовые компьютеры смогут решать алгоритмическинеразрешимые задачи.
Квантовые компьютеры1 никогда не будут созданы, потому что их вычислительные
возможности не стоят усилий по их созданию.2 никогда не будут созданы из-за непреодолимых технологических
трудностей.3 невозможны, поскольку противоречат (еще не открытым) законам
природы.
4 будут построены, но будут реализовывать более слабую, чемстандартная, модель квантового вычисления.
5 на основе известных законов квантовой механики возможны ибудут построены в обозримом будущем.
6 могут быть гораздо мощнее, чем нам сейчас кажется из-занеполноты знаний законов квантового мира. Когда они будутсозданы, квантовые компьютеры смогут решать алгоритмическинеразрешимые задачи.
Квантовые компьютеры1 никогда не будут созданы, потому что их вычислительные
возможности не стоят усилий по их созданию.2 никогда не будут созданы из-за непреодолимых технологических
трудностей.3 невозможны, поскольку противоречат (еще не открытым) законам
природы.
4 будут построены, но будут реализовывать более слабую, чемстандартная, модель квантового вычисления.
5 на основе известных законов квантовой механики возможны ибудут построены в обозримом будущем.
6 могут быть гораздо мощнее, чем нам сейчас кажется из-занеполноты знаний законов квантового мира. Когда они будутсозданы, квантовые компьютеры смогут решать алгоритмическинеразрешимые задачи.
Фотоны.Ионные ловушки.ЯМР.Ядерные спины в полупроводниках.Экзотические физические системы. Пример: топологическиеквазичастицы — анионы. К сожалению, анионов нужного сортапока открыть не удалось.
Фотоны.Ионные ловушки.ЯМР.Ядерные спины в полупроводниках.Экзотические физические системы. Пример: топологическиеквазичастицы — анионы. К сожалению, анионов нужного сортапока открыть не удалось.
Фотоны.Ионные ловушки.ЯМР.Ядерные спины в полупроводниках.Экзотические физические системы. Пример: топологическиеквазичастицы — анионы. К сожалению, анионов нужного сортапока открыть не удалось.
Фотоны.Ионные ловушки.ЯМР.Ядерные спины в полупроводниках.Экзотические физические системы. Пример: топологическиеквазичастицы — анионы. К сожалению, анионов нужного сортапока открыть не удалось.
Фотоны.Ионные ловушки.ЯМР.Ядерные спины в полупроводниках.Экзотические физические системы. Пример: топологическиеквазичастицы — анионы. К сожалению, анионов нужного сортапока открыть не удалось.
Чтобы реализовать универсальное квантовое вычисление, нужнынелинейные оптические элементы.Это плохо из-за большого затухания в таких элементах.Если ограничиться только линейными элементами (светоделителии фазовращатели — почти то же самое, что полупрозрачныепластинки и поляризационные фильтры), то получаетсяинтересная ограниченная модель квантового вычисления.
Чтобы реализовать универсальное квантовое вычисление, нужнынелинейные оптические элементы.Это плохо из-за большого затухания в таких элементах.Если ограничиться только линейными элементами (светоделителии фазовращатели — почти то же самое, что полупрозрачныепластинки и поляризационные фильтры), то получаетсяинтересная ограниченная модель квантового вычисления.
Чтобы реализовать универсальное квантовое вычисление, нужнынелинейные оптические элементы.Это плохо из-за большого затухания в таких элементах.Если ограничиться только линейными элементами (светоделителии фазовращатели — почти то же самое, что полупрозрачныепластинки и поляризационные фильтры), то получаетсяинтересная ограниченная модель квантового вычисления.
Состояния вычислительной системы — многочлены изC[x1, . . . , xm] степени n, здесь m > n.Начальное состояние f0 = x1x2 . . . xn.Вычисление: применение унитарного преобразования U кпеременным:
ffinal(x) = f0(Ux).
Измерение в состоянии ∑S=(s1,...,sn)
αSx s11 . . . x sm
m
дает S с вероятностью Pr[S ] = |αS |2s1! . . . sm!.
Состояния вычислительной системы — многочлены изC[x1, . . . , xm] степени n, здесь m > n.Начальное состояние f0 = x1x2 . . . xn.Вычисление: применение унитарного преобразования U кпеременным:
ffinal(x) = f0(Ux).
Измерение в состоянии ∑S=(s1,...,sn)
αSx s11 . . . x sm
m
дает S с вероятностью Pr[S ] = |αS |2s1! . . . sm!.
Состояния вычислительной системы — многочлены изC[x1, . . . , xm] степени n, здесь m > n.Начальное состояние f0 = x1x2 . . . xn.Вычисление: применение унитарного преобразования U кпеременным:
ffinal(x) = f0(Ux).
Измерение в состоянии ∑S=(s1,...,sn)
αSx s11 . . . x sm
m
дает S с вероятностью Pr[S ] = |αS |2s1! . . . sm!.
Состояния вычислительной системы — многочлены изC[x1, . . . , xm] степени n, здесь m > n.Начальное состояние f0 = x1x2 . . . xn.Вычисление: применение унитарного преобразования U кпеременным:
ffinal(x) = f0(Ux).
Измерение в состоянии ∑S=(s1,...,sn)
αSx s11 . . . x sm
m
дает S с вероятностью Pr[S ] = |αS |2s1! . . . sm!.
Оценить квадрат модуля перманента | perm(X )|2 с аддитивнойточностью ±εn! и вероятностью ошибки δ за время poly(n, 1/ε, 1/δ) впредположении, что входом является матрица, выбранная извероятностного распределения N(0, 1)n×n, при котором значения всехматричных элементов независимы и каждый распределен по Гауссу(плотность вероятности exp(−t2/2)).
Теорема (Aaronson, Arkhipov, 2010)Если существует классический алгоритм, который приближаетраспределение, порождаемое схемой в модели невзаимодействующихбозонов, то задача оценки квадрата перманента принадлежит классуBPPNP (вероятностные вычисления с оракулами из NP).
Оценить квадрат модуля перманента | perm(X )|2 с аддитивнойточностью ±εn! и вероятностью ошибки δ за время poly(n, 1/ε, 1/δ) впредположении, что входом является матрица, выбранная извероятностного распределения N(0, 1)n×n, при котором значения всехматричных элементов независимы и каждый распределен по Гауссу(плотность вероятности exp(−t2/2)).
Теорема (Aaronson, Arkhipov, 2010)Если существует классический алгоритм, который приближаетраспределение, порождаемое схемой в модели невзаимодействующихбозонов, то задача оценки квадрата перманента принадлежит классуBPPNP (вероятностные вычисления с оракулами из NP).
Ааронсон надеется, что из принадлежности ОКП классу BPPNP
удастся получить коллапс полиномиальной иерархии (что почти стольже сомнительно как P = NP).Успех этой программы даст первое по-настоящему сильноесвидетельство в пользу трудности задач, которые решаютсяквантовыми устройствами.
Задача для оптимистовРеализовать программу Ааронсона.
Задача для пессимистовПостроить вероятностный алгоритм решения задачи оценки квадратаперманента.
Ааронсон надеется, что из принадлежности ОКП классу BPPNP
удастся получить коллапс полиномиальной иерархии (что почти стольже сомнительно как P = NP).Успех этой программы даст первое по-настоящему сильноесвидетельство в пользу трудности задач, которые решаютсяквантовыми устройствами.
Задача для оптимистовРеализовать программу Ааронсона.
Задача для пессимистовПостроить вероятностный алгоритм решения задачи оценки квадратаперманента.
Ааронсон надеется, что из принадлежности ОКП классу BPPNP
удастся получить коллапс полиномиальной иерархии (что почти стольже сомнительно как P = NP).Успех этой программы даст первое по-настоящему сильноесвидетельство в пользу трудности задач, которые решаютсяквантовыми устройствами.
Задача для оптимистовРеализовать программу Ааронсона.
Задача для пессимистовПостроить вероятностный алгоритм решения задачи оценки квадратаперманента.