Page 1
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١
: تعریف الدالة تسمى دالةصص الى سس مجموعتین غیر خالیتین فإن العالقة من صص ، سس إذا كانت
صص بعنصر واحد فقط من عناصر سس إذا ارتبط كل عنصر من عناصر ) س(د= أو ص صص C سس: و تكتب د
: نعبر عن الدالة بطریقتین صص C سس: د ) بیان الدالة ( بة كمجموعة من االزواج المرت) ١( ) س(د= ص ) :الصور التى تأخذھا الدالة ( بقاعدة ریاضیة تسمى قاعدة الدالة ) ٢(
:المجال و المجال المقابل و المدى : من الشكل المقابل لدالة ما : المجال
اتجیر س بحیث یكـون النـر التى یأخذھا المتغاصمجموعة العنھو
} ٤ ، ٣ ، ٢، ١{ = سس " .عـدد حقیقى " كمیة معرفة )الفترة المقابلة للشكل البیانى على محور السینات( و تكون قیمھ على محور السینات
}٩ ، ٨ ، ٧ ، ٦ ، ٥{ = صصھو مجموعة األعداد التى تأخذھا : المجال المقابل
} ٩ ، ٨ ، ٦{ : المدى
صص فى سسصر مجموعة صور عنا ) العناصر فى ص المرتبطة بعناصر س (
ھو مجموعة العناصر الحقیقیة التى یأخذھا المتغیر ص ونحصل علیھ بیانیا من محور الصادات
][أعلى قیمة ، أسفل قیمة ][
ح ھى دالة كل من مجالھا و مجالھا المقابل مجموعة جزئیة من : الدالة الحقیقیة
الدوال الحقیقیة: الوحدة األولى
Page 2
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢
اختبار الخط الرأسى ( القة تكون دالة بیانیا الع: ( إذا مثلث عالقة بمجموعة من النقاط فى مستوى احداثى متعامد و قطع الخط الرأسي
عند كل عنصر من عناصر المجال تمثیلیھما البیانى فى نقطة فقط فإن ھذه العالقة تمثل دالة
الة فى س و لماذا ؟ أیا من االشكال اآلتیة یمثل د: مثال
-٢
]١[
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٢
-٢ س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٢
-٢
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٣[ ]٢[ ٢- ٢[
]٤[ ]٥[ ]٦[
Page 3
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣
:الحل ] : ١[ الشكل
یقطع الشكل البیانى فى نقطتین ) ٠ ، ٠( ال یمثل دالة ألن الخط الرأسى المار بالنقطة ] : ٢[ الشكل
یقطع المنحنى فى ) المجال ( تمثل دالة ألن الخط الرأسي عند كل نقطة على محور السینات .دة فقط نقطة واح
.ال یمثل دالة ألن یوجد خط رأسي یقطع المنحنى فى أكثر من نقطة ] : ٣[ الشكل تمثل دالة ] : ٦ ، ٥ ، ٤[ االشكال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : قـواعــــد ھـــامة لتعیین المجال *
.ح = مھما كان درجتھا دالة كثیرة الحدودمجال أى ) ١
: الدالة كثیرة الحدود ھى الدالة التى ال تحتوى على متغیر فى المقام مثل
١+ س + ٢س) = س( ، د٥ س ــ ٢) = س( س ، د٣) = س( ، د٥) = س( د
) = س( ، د٤+ س ٢ ــ ٣س) = س( د
. أصفـــــــار المقــــــــام - ح = الدالة الكسریةمجال ) ٢
الدالة الكسریة ھى الدالة التى یكون مقامھا یحتوى على متغیر
صفر = مجموعة أصفار المقام ھى مجموعة قیم س التى تجعل المقام : ملحوظة
نوجد أصفار المقام ) =س( مثال لمعرفة مجال الدالة د
}٣ ، ــ ٣{ ح ــ ) = س( مجال دB ٣ ±= س B ٩ = ٢ سB ٠ = ٩ ــ ٢بوضع س
:ح فى الحاالت األتیة = مجال الدالة الكسریة : حـــالة خـــــاصة
. المقام دالة ثابتة *
+ ح Эأ ، زوجى ← حیث ن أ + نالمقام على الصورة س *
.حیث الممیز یكون سالبا : جـ + ب س + ٢المقام على الصورة أ س*
) = س(مجال الدالة د: مثال
٩= ج ، ٠= ب ، ١= ا حیث ٠ = ٩ + ٢نضع س
٣س ــ ٢
٢ س ــ ٩ ــ ٢س
٢ س ــ ٩ + ٢س
Page 4
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤
) لبة كمیة سا ( ٠ < ٣٦ــ = ٩ × ١ × ٤ ــ ٢ ) ٠ ( = ا ج ٤ ــ ٢ب= الممیز
Bح ) = س( مجال د
:مجال الدالة الجذریة) ٣
) یقال دالة جذریة إذا كانت قاعدة الدالة تشتمل على الجذر التربیعى (
٠ Xالمجال ھو الفترة ما تحت الجذر : إذا كان الجذر فى البسط : أوال
٠> المجال ھو الفترة ما تحت الجذر : إذا كان الجذر فى المقام : ثانیا
: حالة خاصة
كثیرة حدود ) س( ، ھـ + صص gن حیث ")"س"( ھـ ؟ ن) = س(الدالة د
تسمى دلیل الجذر ن ، ح= مجال الدالة : عدد فردى فإن ن عندما :أوال
٠ X) س(مجال الدالة ھو مجموعة قیم س التى تجعل ھـ: عدد زوجى فإن ن عندما : ثانیا
:ون دلیل الجذر فــردیا عندما یك : أوال
ح ) = س ( مجال د ← ) =س ( د مثال
:عندما یكون دلیل الجذر زوجیا : ثانیا
) = س ( د : مثال
[ ، ٥ ) = [س ( مجال د ← ٥ س ← ٠ ٥ ــ س ˙.˙
) = س ( د عین مجال : مثال
:لالح
٠ = ١٢ - س - ٢س بوضع
٠) = ٣+ س )( ٤ -س (
٠ = ٣+ س ٠ = ٤ -س ٣ -= س ٤= س
٣ - ٤
Page 5
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥
) ٠ ( مجال الدالة الجذریة كمیة غیر سالبة ˙.˙
] ٣ - ، - ]بآل [ ، ٤) = [ س ( مجال د . ˙.
[٤ ،٣ــ ] -ح =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد اآلتیة : مثال
" ٩"ــ " ٢س ؟ ) = س ( ٢ د ] ٢ [ " ٤"+ " س ؟) = س ( ١ د ] ١ [
) = س ( ٤د ] ٤) = [ س ( ٣د ] ٣ [
" ٣"+ " س ؟ ٣ ) = س ( ٦د ] ٦) = [ س ( ٥د ] ٥ [
:الحل ]١ [A دلیل الجذر زوجى B ٤+ س X ٠ C س X – ٤
B ضض ، ٤ - [ –ح = المجال ]
]٢ [ A دلیل الجذر زوجىB٩ – ٢ س X ٠ C٢ س X ٩ C س X ± ٣
B [ ٣ ، ٣ – ] -ح [ = ضض ، ٣ [ بآل ] ٣ - ، ضض -= ] المجال
١ أ، ٢= س C ٠ ) = ١ –س )( ٢ –س ( B ٠ = ٢+ س ٣ ــ ٢نضع س ] ٣[
B ٢ ، ١ { –ح = المجال {
ح = المجال B فیكون الممیز كمیة سالبة ٠ = ٩ + ٢نضع س ] ٤[
٣ - = ، س ٣= س C ٠ ) = ٣+ س )( ٣ –س ( B ٠ > ٩ – ٢نضع س ] ٥[
A ٠> المجال ھو الفترة ما تحت الجذر B ٣ ، ٣ - [ –ح = المجال [
]٦ [ A دلیل الجذر فردى B ح = المجال
٢ س ــ
٩ + ٢س ٣+ س ٢ ٢+ س ٣ ــ ٢ س
١
" ٩"ــ " ٢ س؟
Page 6
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦
:ایجاد المجال و المدى للدالة المعرفة بأكثر من قاعدة*
ارسم منحنى الدالة و اذكر مجالھا و مداھا : مثال ) = س(د) ب () = س(د) أ(
: الحل )١ - ، ٠( دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور السینات و یبدأ من ٠< عند س ) أ(
)١ ، ٠( دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور السینات و یبدأ من ٠> عند س
} ٠{ ح ــ = المجال
}١ - ، ١{ = المدى
نرسم جدول لكل قاعدة ) ب(
٠< س
٠ X س
[٢ ، ٢ -[ ح ــ = ح ، المدى = المجال
٠ س
- ١
- ٢
٤ - ٣ - ٢ - )س(د
٠ س
١
٢
٤ ٣ ٢ )س(د
٠< س ١ــ
٠> س ١ ٠ X س ٢+ س
٠< س ٢ –س
٣
-٣ ٢ ١ ١- ٢
١
-١
٢
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣
Page 7
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧
) = س(إذا كانت د: مثال
انى للدالة و من الرسم استنتج مجال و مدى الدالة ارسم الشكل البی
: الحل
[ ∞ ، ٢ -= [ مجال الدالة : من الرسم
[ ∞ ، ١-= ] المدى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢< س Y ٢ - س عندما – ٣: مثال ) = س( إذا كانت د
٥ Y س Y ٢ س عندما
لشكل البیانى للدالة و استنج من الرسم ارسم ا
مجال الدالة و مداھا
: الحل
]٥ ، ١= ] ، المدى ] ٥ ، ٢ -= [ المجال
٢ ١ ٠ ٠ ١- ٢- س ٣ ٢ ١ ١- ٠ ٣ )س(د
٠< س Y ٢ - ١ - ٢س
٠ X س ١+ س
١+ س ١ – ٢ س
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
Page 8
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨
ح حیثC ] ٤ ، ٢ -: [ إذا كانت الدالة د : مثال
٠< س Y ٢ - عندما ٣+ س ٢ ) = س ( د
٤ Y س Y ٠ ــ س عندما ١
ارسم الشكل البیانى للدالة د و من الرسم استنج مجال و مدى الدالة
: الحل
- ٢ Y ٠ ٠< س Y س Y ٤
]٤ ، ٢ -= [ المجال
[ ٣ ، ٣ -= [ المدى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ل ( كان ح محیط مربع طول ضلعھ ل اكتب محیط المربع كدالة فى طول ضلعھ ح إذا: مثال
( ) ح ) ب ) ( ٣( ح ) أ : ( ثم أوجد
:الحل A ل ( ح = (ل × ٤B ح )١٥= × ٤( ) = ، ح ١٢ = ٣ × ٤ ) = ٣
٤ ١ ٠ ٠ ١ - ٢ - س
٣ - ٠ ١ ٣ ١ ١ - ص
٤ ٣ ١ ١- ٢- ٢ -٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣ -٤
١٥ ٤
١٥ ٤
١٥ ٤
Page 9
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩
ـــــدوالالعملیات على الـــ
:نالحــظ من ھذا التعریف أن
صفر فى = ما عدا القیم التى تجعل دالة المقام ٢ م بال ١العملیات للدالة الجدیدة یساوى م جمیع .عملیة القسمة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ "١ـ "س ـ؟) = س( ، ر٤ ــ ٢س) = س(إذا كانت د ، ر دالتین حقیقیتین حیث د: مثال
( )،( ) ، ) ر . د( ، ) ر –د ( ، ) ر + د : ( مجال كل من الدوال اآلتیة ) أ : ( أوجد
:لكل من الدوال اآلتیة ) إن أمكن ( القیم العددیة ) ب (
)٢ -( )(، ) ٣( )(، ) ٢) (ر . د ( ، ) ٥) (ر + د ( : الحل A ٢ - ، ٢{= ، مجموعة اصفار د [ ∞ ، ١ = [ ٢م= ح ، مجال ر = ١م= مجال د{
} ٠{ = ، مجموعة اصفار ر
"١ـ "س ـ؟ + ٤ ــ ٢س) = س(ر) + س(د) = س) (ر + د ) ( أ (
B ١ [ = [ ∞ ،١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = ر + د ( مجال ، ∞ ]
"١ـ "س ـ؟ ــ ٤ ــ ٢س) = س(ــ ر) س(د) = س)(د ــ ر (
B ١ [ = [ ∞ ،١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = د ــ ر ( مجال ، ∞ ]
( )
( )
( )
د ر
ر د
د ر
ر د
١م ح
١
٢م
١
Page 10
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠
"١ـ "س ـ؟ ) ٤ ــ ٢س) = ( س(ر) . س(د) = س) (ر . د (
B ١ [ = [ ∞ ، ١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = ر . د ( مجال ، ∞ ]
) = = س ( ) (
) ر ( ــ ص٢ مبال ١م) = س( ) ( مجال
[ ∞ ، ١= ] } ١{ ــ [ ∞ ، ١ [ بالح =
) = = س ( ) (
) د ( ــ ص٢ مبال ١م) = س( ) ( مجال
} ٢ - ، ٢{ ــ [ ∞ ، ١ [ بالح =
٢ -= حیث الدالة غیر معرفة عند س } ٢{ ــ [ ∞، ١ [ =
[ ∞ ، ١ [ g لكل س "١ـ "س ـ؟ + ٤ ــ ٢س) = س) (ر + د ( ) ب (
A ٥ g ] ١ ، ∞ ] B ) ١٩ = " ١ "– ٥؟ + ٤ ــ ٢)٥) = (٥)(ر + د
[ ∞ ، ١ [ g لكل س "١ـ "س ـ؟ ) ٤ ــ ٢س) = ( س) (ر . د (
A ٢ g ] ١ ، ∞ ] B ) صفر = "١ـ " ـ٢؟ ) ٤ – ٢ ٢) = ( ٢) (ر . د
[ ∞ ، ١ ] gلكل س ) = س ( ) (
A ٣ g [ ١ ، ∞ ] B)( ) ٣ = = (
} ٢{ ــ [ ∞، ١ [ gلكل س ) = س ( ) (
A – ٢ h ] ٢{ ــ [ ∞، ١ { B)( ) -غیر معرفة ) = = ٢
د ر
)س( د )س(ر
٤ ــ ٢ س د "١ـ "س ـ؟
ر
١م ح
١
٢م
١
ر د
)س( ر )س( د
"١ـ "س ـ؟ ٤ ــ ٢ س
ر د
١ ١م ح ٢م
٢ - ٢
- ٢ ٢
د ر
٤ ــ ٢ س "١ـ "س ـ؟
د ر
٤ ــ ٢ ٣ "١ـ " ـ٣؟
٥ ٢؟
ر د
"١ـ "س ـ؟ ٤ ــ ٢ س
ر د
"١ـ " ٢-؟) -٤ – ٢)٢
" ٣- ؟ صفر
Page 11
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١
:مثال توضیحى
س حیث س= ) س(إذا كان ھناك مصنع یقوم بتصدیر جزء من انتاجھ و یمثل بالعالقة د
یمثل عدد الوحدات المنتجة فى العام األول ، و كان عدد الوحدات المصدرة فى العام التالى یعطى
كم یكون عدد . حیث د عدد الوحدات المصدرة فى العام األول ١٥٠٠ + د) = د ( ربالعالقة
:الوحدات المصدرة فى العام الثانى إذا كان انتاج المصنع فى العام األول
وحدة ٨٠٠٠٠) ب( وحدة ٢٠٠٠٠) أ (
:یمكن عمل رسم یوضح االنتاج و التصدیر كالتالى : الحل
Aدالة التصدیر العام الثانى ١٥٠٠+ د ) = د ( رس دالة التصدیر العام االول ، ) = س( د
B ١٥٠٠+ س ) = س ( ر
وحدة٦٥٠٠ = ١٥٠٠٠ + ٢٠٠٠٠× ) = ٢٠٠٠٠ × (ر B ٢٠٠٠٠= عند س
وحدة ٦٥٠٠= عدد الوحدات المصدرة فى العام الثانى
وحدة٢١٥٠٠ = ١٥٠٠٠ + ٨٠٠٠٠× ) = ٨٠٠٠٠× ( ر B ٨٠٠٠٠= عند س
وحدة ٢١٥٠٠= عدد الوحدات المصدرة فى العام الثانى
بعض حیث نعوض بدالة االتصدیر العام األول فى دالة الخالصة أن ھناك دالتین مرتبطتان ب
) ایجاد دالة داخلیة ثم ایجاد دالة خارجیة ( التصدیر العام الثانى و ھذه فكرة تركیب دالتین
تركیب الــــدوال
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
Page 12
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٢
: تعریف
إذا كانت ر، د دالتین وكان مدى الدالة د مجموعة جزئیة من مجال الدالة ر
ھىریدة تتركب من الدالتین د ، الجدع فإنھ یمكن ایجاد دالة التركیب
) ]س(د [ ر) = س) ( د º ر)= ( س( ع
بعد د ر أو تركیب د رو تقرأ
رحیث تطبق د أوال ثم الدالة
)س) ( د º ر( ممكن أن تكون الدالة :ملحوظة
] لیس لھا قیمةأولھا قیمة معینة [ معرفة أو غیر معرفة
. تركیبھما مھم و لذلك ترتیب الدالتین عند
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د ºر ( ، ) س)( ر ºد : ( س أوجد ٢) = س( ، ر٢ س٤) = س(إذا كان د: مثال )س)(
.ذا تالحظ و ما
٢ س١٦ = ٢) س ٢( × ٤) = س ٢( د)] = س(ر[ د ) = س)( ر ºد : ( الحل
د ºر ( ٢ س٨) = ٢ س٤( × ٢) = ٢ س٤( ر) ] = س(د[ ر = )س)(
د ºر ( {) س)( ر ºد : ( یالحظ أن ) تركیب الدوال لیس ابدالى ( )س)(
دºر ( الیجاد : ملحوظة نعوض بالدالة د بدال من المتغیر س فى الدالة ر)س)(
. نوجد الدالة د أوال ثم الدالة ر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ٣) = س( ، ر٦ + ٢س) = س(إذا كان د: مثال
٤٢) = س) ( ر ºد( حدد قیم س التى تجعل : ثانیا ) ٣) ( ر ºد ( أوجد : أوال
مدى د رمجال
)]س(د[ر )س(د س
مجال د
)]س(د[ ر
مدى ر
Page 13
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٣
:الحل ٦+ ٢ س٩ = ٦ + ٢) س٣) = ( س٣(د) ] = س(ر[ د ) = س) ( ر ºد : ( أوال
B ) دº ٨٧ = ٦ + ٢)٣ (٩) = ٣) ( ر
٨٧ = ٦ + ٢)٩) ] = (٣(ر[ د ) = ٣) ( ر ºد ( B ٩ = ٣ × ٣) = ٣( رA : حل آخر ٩ بالقسمة ٣٦ = ٢ س٩ B ٤٢ = ٦+ ٢ س٩ B ٤٢) = س) ( ر ºد ( A: ثانیا B٤ = ٢ س B ٢ ±= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ "٣ "س ــ؟) = س( ، ر١ + ٢س) = س(إذا كان د: مثال
)٣) ( ر ºد ( فى أبسط صورة محددا المجال ثم أوجد ) س)( ر ºد : ( أوجد : الحل
١ + ٢ )"٣ "س ــ؟ ) = ( "٣ "س ــ؟( د ) ] = س(ر[ د ) = س)( رºد ( ٢ –س = ١ + ٣ –س =
[ ∞ ، ٣= [ } ح g ، س ٣ Xس : س { ) = س)( رºد ( مجال
١ = ٢ – ٣) = ٣) ( ر ºد (
١ = ١ + ٢ )٠ ) = ( ٠( د ) = "٣ " ــ٣؟( د)] = ٣(ر[ د ) = ٣) ( ر ºد : ( حل آخر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
"٣ س؟) = س(إذا كان ع: سؤال للتفكیر كون فأوجد الدالتین د ، ر بحیث ی"٤ "–"
) س)( ر ºد ) = ( س( ع
)ھناك أكثر من حل لھذا السؤال : ( الحل A٣ " ــ")١"ــ " ٣س( ؟ = "٤ "–""٣ س؟) = س( ع " B س(ع تحقق "٣ "–" س ؟ ) = س( ، د١ ــ ٣س = )س(ر ) = ( دº ر )(س (
" ٢ " ــ")٢"ــ " ٣س( ؟ = "٤ "–""٣ س؟= )س( عA: حل آخر B س(ع تحقق "١ "–" س ؟ ) = س( ، د٢ ــ ٣س = )س(ر ) = ( دº ر )(س (
"٣ س؟) = س( عA: حل آخر "–" ٤" Bس(عتحقق س؟) = س( ، د٤ ــ ٣س) = س( ر ) = ( دº ر )(س(
Page 14
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٤
:ایا من العالقات اآلتیة ال تمثل دالة ] ١[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: جمیع العالقات اآلتیة تكون فیھا ص دالة فى ما عدا العالقة ] ٢[ حا س= ص ) ٤ (٢ – ٢ص= س ) ٣ (٤ ــ ٢س= ص ) ٢ (٣ س ــ ٢= ص ) ١ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد االتیة ] ٣[ "٣ــ " س ٢؟) = س(د) ٣ (٥ــ ) = س(د) ٢( س ٢ ــ ٢س) = س(د) ١(
) = س(د) ٦ ("" ٢س" " ــ٤ ؟) = س(د) ٥) = (س(د) ٤(
)١( تمارین
٩ - ٢س
٣ –س
٢+ س ٣
"٢ " +" س؟
Page 15
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٥
٢< عندما س ٢ ــ
٢ X ـ س عندما س ٤
) = س(د) ٨) = (س(د) ٧( " ٦" -" س" " +٢" س؟ ٣) = س(د) ١٠) = (س(د) ٩(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثل الدوال االتیة بیانیا و عین مداھا ] ٤[
) = س( ح ، دC ] ٥ ، ١ -: [ إذا كانت د )١(
) ٥( ، د)٤(، د) ٣(، د) ٢(، د) ١(، د) ٠(، د) ١-( فأوجد كال من د . ثم ارسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) = س(إذا كانت د) ٢ (
) ٤ -( ، د ) ١ -( ، د) ٠(، د) ١(، د) ٤(، د) ٣(، د) ٢( فاوجد كال من د . ثم ارسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ح حیث C ] ٣ ، ٣ -: [ إذا كانت د ) ٣ (
) = س ( د
ارسم الشكل البیانى للدالة و من الرسم استنج مدى ھذه الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١ – س ٣) = س(١ ح حیث دCح : ١إذا كانت د) ٤(
٤+ س ٢) = س(٢ ح حیث دC ] ٣ ، ٢ - : [ ٢ د
.ل دالة مبیا مجال ك) س ) (٢ ــ د١د( ، ) س ) (٢د + ١د: ( أوجد
٢ س ــ
٦+ س ٥ ــ ٢ س
"٢ "س ــ؟ ١ ــ ٢ س
٢< س Y ١- س عندما -٤
٥ Y س Y ٢ س عندما
٢ X س عندما س ٢
٢< عندما س ٢+ س
٠< س Y ٣ - عندما ١ + ٢ س
٣ Y س Y ٠ عندما ٢+ س
Page 16
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٦
س ٢ + ٢س) = س (٢، د ] ٤ ، ٣ - = [ ١ و مجال د٢+ س ) = س(١د: إذا كان ) ٥(
:أوجد ] ٣ ، ١ - = [ ٢ و مجال د
مبیا مجال كل دالة ) س( )(، ) س( )(، ) س )(٢ ــ د١د( ، ) س )(٢د + ١د (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد ٢س) = س( ، ق٥ – ٢س) = س( ، ر١+ س ٣) = س(د: إذا كان ) ٦(
()١)(ق ºر ( )جـ( )س)(د ºر ) ( ب) (٢) ( رºد ) ( أ ( ( )د )٢-)(د ºق
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد ٣+ س ) = س(، ر) = س(د: إذا كان ) ٧(
. و حدد مجال كل منھما ) س)( د ºر ( ، ) س)( رºد (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
"٢ "س ــ؟) = س( ، ر٣ – ٢س) = س(إذا كان د) ٨( )٣) ( ر ºد ( بسط صورة محددا المجال ثم أوجد فى أ) س)( ر ºد : ( أوجد
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١د ٢د
٢د ١د
١ س
Page 17
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٧
: التماثل فى الدوال ] ١[
أن درسنا التماثل حول مستقیم و نقطة األصل حیث یمكن طى الشكل على لقد سبق
.لینطبق نصفا المنحنى تماما ) أو نقطة األصل ( المستقیم
: التماثل حول محور السینات )١(
: فى الشكل المقابل
الواقعة على الشكل البیانى) ص -س ، ( النقطة
) ص س ، ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة
الواقعة علیھ ایضا باالنعكاس حول محور السینات
: التماثل حول محور الصادات )٢(
:فى الشكل المقابل
الواقعة على الشكل البیانى) س ، ص -( النقطة
)س ، ص ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة
الواقعة علیھ أیضا باالنعكاس حول محور الصادات
) ٠ ، ١( صورة النقطة ) ٠ ، ١ -( النقطة : مثال
باالنعكاس حول محور الصادات
بعض خواص الدوال
Page 18
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٨
: التماثل حول نقطة األصل )٣(
:فى الشكل المقابل
الواقعة على الشكل البیانى) ص - س ، -( النقطة
)س ، ص ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة
الواقعة على نفس المنحنى أیضا باالنعكاس
حول نقطة األصل
: فى الشكل المقابل
المنحنى متماثل حول نقطة األصل
)١ - ، ١ -( صورة النقطة ) ١ ، ١( مثال النقطة
باالنعكاس فى نقطة األصل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]نوع الدوال [ :الدوال الزوجیة و الفردیة ] ٢[
: الدالة الزوجیة: أوال
تكون زوجیة ص ←س : الدالة د : جربيا
)س ( د ) = س -( د : إذا كانت
س -، س g الرمز [ . المجالیقال لكل [
.تكون الدالة زوجیة إذا كان الشكل البیانى لھا متماثال حول الصادات : بيانيا
ص ، س ( النقطة فإذا كانت (g منحنى الدالة فإن النقطة )- ص ، س (g منحنى الدالة .
Page 19
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٩
: الدالة الفردیة: ثانیا
ص تكون فردیة←س : الدالة د : جربيا
. المجال g س -، س ) س ( د -) = س -( د : إذا كانت
. كان الشكل البیانى لھا متماثال حول نقطة األصل تكون الدالة فردیة إذا: بيانيا
تقع أیضا ) ص -، س -( تقع على منحنى الدالة فإن النقطة ) ص ، س ( فإذا كانت النقطة
.على منحنى الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: خطوات بحث نوع الدالة جبریا *
فى الدالة االصلیة ) س -( بــ ) س ( و ذلك یتم باستبدال كل ) س -( نوجد د) ١
.نتعامل مع األقواس و نفكھا ) ٢
.ب ما سبق نقارن بین الدالة الناتجة و الدالة األصلیة و نحكم على نوع الدالة حس) ٣
: مالحظات ھامة عند بحث نوع الدالة جبریا*
نفس العدد الفردى ــ س = عدد فردى ) س -( ، نفس العدد الزوجى س = عدد زوجى ) س -) ( ١
.تعامل معاملة الربع الرابع فى إشارة الدوال المثلثیة ) س -( الزاویة السالبة )٢
حتا س ) = س -( ــ طا س ، حتا ) = س -( س ، طا ــ حا) = س -( حا : مثال
٠) = س -( د ) + س ( د ) ٣
مجال الدالة h س -كثیر من الدوال لیست زوجیة و لیس فردیة إذا كان س ، ) ٤
) س-( دون ایجاد د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
باستخدام البرامج الرسومیة مثل الدوال اآلتیة و ابحث أى من الدوال زوجیة أو فردیة أو : مثال . غیر ذلك ثم تحقق من اجابتك جبریا
س + ٣س) = س(د) ٢( س ٤ – ٢س) = س(د) ١ (
س حا س) = س(د) ٣ (
Page 20
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٠
: الحل س٤ – ٢س) = س(د: نكون الجدول ) ١(
الشكل البیانى لیس متماثال حول محور الصادات
و لیس متماثال حول نقطة األصل ) س -( × ٤ – ٢) س -) = ( س -( د
) س ( ــ د{ س ٤ + ٢س = B الدالة ال زوجیة و ال فردیة س + ٣س) = س(د) ٢(
الشكل البیانى متماثل حول نقطة األصل ) س - + ( ٣) س -) = ( س -( ، د
)س + ٣س ( -= س – ٣ س- = ) س (ــ د =
B الدالة فردیة
س
- ١
٠
١
٢
٣
٣ - ٤ - ٣ - ٠ ٥ )س(د
س
- ٢
- ١
٠
١
٢
١٠ ٢ ٠ ٢ - ١٠- )س(د
سس
Page 21
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢١
س حا س) = س(د) ٣(
الشكل البیانى متماثال حول محور الصادات
Aس(د= س حا س ) = س -( س حا -) = س -( د (
B الدالة زوجیة .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مثل بیانیا الدالة د حیث: مثال
) =س( د
. ثم بین ھل الدالة زوجیة أم فردیة أم غیر ذلك و تحقق من ذلك جبریا
٢ -< س ٢ – Xس : الحل
الشكل البیانى متماثال حول محور السینات Aس - ( د = (
=
) س( د- {
B ال فردیة الدالة لیست زوجیة و
٣ - ١ - ٢ - ٠ ١ - ٢ - س
١ ١ - ٠ ٢ ١ ٠ ص
٢ - X سC ٢+ س
٢ -< سC ٢ــ س ــ
٢ - X س - C ٢+ س -
٢ -< س - C ٢ س ــ
٢ Y س - C ٢+ س -
٢ - > س C ٢ س ــ
- ٢ سس
صص
١
٢
- ٣ - ١ - ١ ٠
٣
١
-٣
- ٢
Page 22
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٢
:الدالة األحادیة ] ٣*[
:أثبت أن كال من الدالتین د ، ر دالة أحادیة : مثال
) = س(ر) ٢ (٣ –س ) = س(د) ١ (
٣ –ب ) = ب ( ، د ٣ – ا) =ا ( ح ، دg ، ب ا إذا كان ) ١: (الحل
من الطرفین ) ٣ -( بحذف ٣ –ب = ٣ – ا B ) ب ( د) = ا ( بوضع د
B ب = ا B د دالة أحادیة
) = ب (ر، ) = ا (ر، } ٥ { - ح g ، ب ا إذا كان ) ٢ (
بالضرب التبادلى نجد = B) ب ( ر ) = ا( ربوضع
) ٣ – ب ٢ ( )٥ – ا ) = (٥ –ب ) ( ٣ – ا ٢ (
١٥ + ا ٣ – ب ١٠ – ب ا ٢ = ١٥ + ا١٠ – ب ٣ – ب ا ٢
ا ٣ – ا ١٠= ب ٣ – ب ١٠
B ا ٧= ب ٧ B ب = ا B دالة أحادیة ر
تسمى دالة أحادیة صص C سس: الدالة د ب = افإن ) ب(د ) = ا( ، دسس g، ب ا إذا كان لكل
) ب( د{ ) ا( ب فإن د{ اأو لكل
و یتحقق من ذلك بیانیا بالخط األفقى الذى ال یمر بأكثر من نقطة واحدة من بیان الدالة
٣ – س ٢
٥ – س
٣ – ا ٢
٥ – ا
٣ – ب ٢
٥ – ب ٣ – ا ٢ ٥ – ا
٣ – ب ٢ ٥ – ب
Page 23
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٣
:اختبار الخط األفقى*
) الموازي لمحور السینات ( فقىاألخط الإذا قطع دالة احادیة صص C سس: تكون الدالة د . واحدة نقطة عند كل عنصر من عناصر مدي الدالة یقطع منحنى الدالة فى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : بین أن كل من الدالتین لیست أحادیة : مثال
٦+ س ٥ – ٢س) = س(ر) ٢ (٣ + ٢س) = س(د) ١ ( :الحل
٣ + ٢س) = س(د )١( : نكون الجدول اآلتى
A ٤ = ٣ + ٢ ١ ) = ١( د
٤ = ٣ + ٢ )١- ) = ( ١ -( ، د
B١ -( د ) = ١( د (
A - ١ { ١ B د لیست أحادیة .
١ ، ١ –ظر قیمتین غیر متساویتین للمتغیر س ھما ینا٤= ونالحظ أن الخط األفقى عند ص
٦+ س ٥ – ٢س) = س(ر) ٢ (
A ٢ = ٦ + ١ × ٥ – ٢ ١ ) = ١( ر ٢ = ٦ + ٤ × ٥ – ٢ ٤ ) = ٤( ر ،
B ٤( ر ) = ١( ر ( A ٤ { ١
B دالة لیست أحادیة ر
٤ ، ١ یناظر قیمتین غیر متساویتین للمتغیر س ھما ٢= و نالحظ أن الخط األفقى عندما ص
٣- س - ٢ - ١ ٢ ١ ٠
٧ ٤ ٣ ٤ ٧ ١٢ )س(د
٤
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
٤٣
- ١ ١
٣
Page 24
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٤
)اطـــــــــراد الــدالـــــــة ( ] ٤[
تزایدیة تناقصیة ثابتة ]ب ، ا[الة أنھا تزایدیة فى الفترة یقال للد ) الدالة التزایدیة ( - ١
:یتحقق الشرط اآلتى ]ب ، ا [g ٢س ، ١ إذا كان لكل س ) ٢س ( د > ) ١س ( د ٢س > ١ إذا كان س
تكون تزایدیة إذا كانت ) س ( د : وبصفة عامــــة:
. بإزدیاد قیمة س قیمة الدالة تتزاید
تكون تزایدیة إذا كان المماس لمنحنى) س ( د : وبطریقة أخرى
.الدالة یصنع زاویة حادة مع االتجاه الموجب لمحور السینات
]ب، ا [ یقال للدالة أنھا تناقصیة فى الفترة ) الدالة التناقصیة ( -٢
]ب، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س : یتحقق الشرط اآلتى
) ٢س ( د < ) ١س ( د ٢س > ١إذا كان س
قیمة الدالة تتناقص بإزدیاد قیمة س :تكون تناقصیة إذا كانت ) س ( د : وبصفة عامــــة .
تكون تناقصیة إذا كان المماس) س ( د : وبطریقة أخرى
رجة مع االتجاه الموجب یصنع زاویة منف لمنحنى الدالة
.لمحور السینات
Page 25
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٥
]ب ، ا[ یقال للدالة أنھا ثابتھ فى الفترة ) الدالة الثابتھ ( -٣
]ب ، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س
ا ) = ٢س ( د ) = ١س ( د ٢س > ١إذا كان س : یتحقق الشرط اآلتى تكون ثابتة إذا كانت قیمة الدالة ثابتة مھما كانت قیمة س ) س ( د : وبصفة عامــــة.
:الخالصة
المجال و فترات االطراد تقرأ على محور السینات أما المدى یقرأ على محور الصادات : أنتذكر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: ابحث اطراد كال من الدوال االتیة مع ذكر المدى : مثال
) ٣(الشكل ) ٢(الشكل ) ١( الشكل
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢ -٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
Page 26
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٦
:الحل ] ٢ ، ٠= [ مدى ال) : ١(فى الشكل
] ٥ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٣ ، ٠[ ، ثابتة فى ] ٠ ، ٢ -[ الدالة متزایدة فى : االطراد [ ∞ ، ٢ -= [ المدى ) : ٢(فى الشكل
] ١ ، ∞ -] ، متناقصة فى [ ∞ ، ١[ متزایدة فى : االطراد ] ٣ ، ∞ –= ] المدى ) : ٣(فى الشكل
] ٣ ، ٠[ ، ثابتة فى [ ∞ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٠ ، ∞ -] متزایدة فى الدالة: االطراد
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) جبریا . ( ابحث نوع الدوال اآلتیة من حیث زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ] ١[ ) = س(د] ٣[ س ؟ ٤) = س(د] ٢ [٢ س– ٢) = س(د] ١ [ حتا س + ٣س) = س(د] ٥) = [س(د] ٤ [ )=س(د] ٧ ["٦"+ " ٢ س؟) = س(د] ٦ [ س حتا س) = س(د] ٨ [
تمارین على بعض خواص الدوال
٠> س C ٣ س ــ
٠< سC ٣ــ س ــ
س٣ حا ٣ س
٤س + ١
٠ X س C ١س ــ
٠< سC س ٧
Page 27
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٧
بب ؟حدد الدوال األحادیة المعرفة كما یلى مع ذكر الس] ٢[
٣ – س – ٢ س٢) = س(د) ٢ (١+ س ٣) = س(د) ١ (
) = س(د) ٤ (١+ س ٢ + ٤س) = س(د) ٣ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:أوجد مدى كل دالة وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ] ٣[
١+ س ٢
١ – س
٣
-٣ ٢ ١ ١- ٢
١
-١
٢
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
]٢[ ] ١ [
]٤[ ] ٣ [
Page 28
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٨
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ارسم كل من الدوال المعرفة كما یلى ثم بین أى منھا زوجیة و أى منھا فردیة و أیھا غیر ] ٤[
. ذلك و تحقق من ذلك جبریا
=) س(د) ب ( ) = س(د) أ ( ) = س(د) د ( ) = س(د) جـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٥ [ ]٦[
]٥[ ] ٦ [
٠> عندما س ٢
٠< سعندما ٢ -
٠ X س عندما س -
٠< سعندما س
٠ X عندما س ١ – س
٠< سعندما س ٧ قاعدة ( نون الجیب قا
)الجیب
٠ X عندما س ١+ س
Page 29
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٩
:الدالة كثیرة الحدود : الحدود التى قاعدتھا على الصورة سبق أن درست الدالة كثیرة
ن س نا + ٠٠٠٠ + ٣ س٣ا + ٢س٢ا+ س ١ا+ ٠ا) = س( د ٠ { ن ا، ح g ن ا، ٠٠٠٠ ، ٢ ا، ١ ا، ٠ا: حیث
و لذلك تسمى ھذه الدوال ) مالم یذكر خالف ذلك ( ح وعلمنا أن المجال و المجال المقابل ھو لدرجة ن ، و درجة كثیرة الحدود ھى أعلى قوة یأخذھا المتغیر بدوال كثیرة الحدود من ا
المستقل س
: مالحظات ھامة
.فإن د تسمى دالة كثیرة الحدود الثابتة ٠ {ا ، ا ) = س(إذا كان د) ١
دوال كثیرة الحدود من الدرجة األولى تسمى دواال خطیة ، و من الدرجة الثانیة تسمى دواال) ٢ .عیة ، ومن الدرجة الثالثة تسمى دواال تكعیبیة تربی
.عند جمع أو طرح دوال قوى مختلفة و ثوابت ، نحصل على دالة كثیرة الحدود ) ٣
.أصفار الدالة كثیرة الحدود ھى االحداثیات السینیة لنقط تقاطع منحنیھا مع محور السینات) ٤
لدرجة نفسھا و كانت معامالت قوى س تتساوى دالتا كثیرتا الحدود د ، ر إذا كان لھما ا) ٥ . المتناظرة فیھما متساویة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ )٥+ س ا = ( )س(إذا كان د ، ر كثیرتا حدود حیث د: مثال
، جـا أوجد قیمتى ) س(ر) = س( ، و كان د٤جـ ــ + س ٣٠ + ٢ س٩) = س( ، ر : الحل
٢٥+ س ا ١٠+ س ٢ا = ٢ )٥+ س ا ) = ( س( د Aس(ر) = س( د (B ٤جـ ــ + س ٣٠ + ٢ س٩ = ٢٥+ س ا ١٠+ س ٢ا Bة متساویة معامالت قوى س المتناظر.
٣= ا B ٣٠= ا ١٠: و بمقارنة معامل س نجد ٢٩= جـ B ٢٥ = ٤ -جـ : ، مقارنة الحد المطلق
التمثیل البیانى للدوال و التحویالت الھندسیة
Page 30
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٠
*رسم منحنیات الدوال *
: أوال رسم منحنیات دالة كثیرة الحدود
* حgكل س ثابت لا حیث ا ) = س(الصورة العامة للدالة الثابتة ھى د و تمثل بیانیا بمستقیم یوازى محور السینات
) ا ، ٠( و یقطع محور الصادات فى النقطة
:كما فى الشكل الموضح ، الدالة زوجیة } ا { = ح ، مداھا = مجالھا
و ھى الدالة الوحیدة التى مداھا نقطة أو مجموعة من النقاط
یم یكون أعلى محور السینات موجبة فإن المستقا إذا كانت : ملحوظة سالبة فإن المستقیم یكون أسفل محور السیناتا ، و إذا كانت
ومن الرسم ٣) = س(ارسم الدالة د حیث د: مثال
واالطراد والنوع عین المدى
: الحل } ٣{ = المدى
ثابتة على مجالھا دات زوجیة لتماثلھا حول محور الصا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠ {ا ، حح gب لكل س + س ا ) = س(الصورة العامة للدالة الخطیة ھى د و یقطع محور ) ، ب ٠( ، ویقطع محور الصادات فى النقطة ا = یلھ و تمثل بخط مستقیم م
، ب الجزء المقطوع من محور الصادات ) ٠، ( السینات فى النقطة
الدالة الثابتة: أوال
صص
سس
)ا ، ٠( ا ) = س(د
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
لدالة الخطیة ا( دالة الدرجة األولى أو : ثانیا (
ب- ا
Page 31
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣١
ح = ح ، مداھا = مجالھا :اطرادھا
)موجبة ( ٠> ا الدالة تزایدیة عندما متزایدة ٢ – س ٣ = )س(الدالة د: مثال
)سالبة ( ٠< ا الدالة تناقصیة عندما س متناقصة ٣ – ٢) = س(الدالة د: مثال
:نوعھا
٠= الدالة لیست زوجیة و لیست فردیة بصفة عامة و لكنھا فردیة عندما ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال ) =س( ارسم الدالة د
. و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا
: الحل
] ٢ ، ٠= [ ، المدى ] ٤ ، ٤ -= [ المجال
] ٢ ، ٢ –] ، ثابتة فى ] ٢ - ، ٤ -[ ة فى الدالة متزاید
] ٤ ، ٢] ، تناقصیة فى
الدالة زوجیة النھا متماثلة حول محور الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال ) =س( ارسم المنحنى للدالة د
و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا
) ، ب ٠(
ب- )٠، ( ا
سص
سس
]٢ - ، ٤ - [ g ، س ٤+ س ]٢ ، ٢ – ] g ، س ٢ ] ٢ ، ٠ [ g س ، س – ٤
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣- ٤
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
٠ X ، س ٢+ س
٠< ، س ٢ س ــ
Page 32
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٢
: الحل ٠< س ٠ X س
١- ٠ س ١ ٠ س ٣ ٢ ص
٣ - ٢ - ص
ح = مجال الدالة
[∞ ، ٢ [ بآل[ ٢ - ، ∞ -= ] مدى الدالة
[ ٢ ، ٢ -[ أو ح ــ
الدالة تزایدیة على مجالھا
الدالة لیست فردیة و لیست زوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( *
"٢ س؟= | س | . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) المقیاس العــدد ( *
= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٢٥ ؟= | ٥ -| : مثال
) خواص دالة المقیاس : ( لة المقیاسرسم دا*
١ ± = ك، ب+ | ا -س | ك) = س(د: الصورة العامة ھى
) ، ب ا( ھى نقطة رأس المنحنى ) ، ب ا( تمثل بیانیا بشعاعین من النقطة
ا= االزاحة الصادیة ، معادلة محور التماثل ھو س = االزاحة السینیة ، ب = ا
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
)القیمة المطلقة ( دالــة المقـیاس : ثالثا
١ ٢
١ ٢
Page 33
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٣
] ، ب ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞ب ، = [ مدى الدالة ]ا ، ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ ، ا[ الدالة تزایدیة فى [∞ ، ا[ ى الدالة تناقصیة ف ] ا ، ∞ -] الدالة تناقصیة فى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مثال
:الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مثال
)، ب ا (
) ، ب ا(
سالبة ( ٠< ك (
)موجبة ( ٠> ك
تناقصیة تزایدیة
تزایدیة
تناقصیة
:الحل
Page 34
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٤
و لكن بازاحة ثالث وحدات فى االتجاة الموجب | س|منحنى ھذه الدالة نفس منحنى :حل آخر ٠= ، و االزاحة الصادیة ٣= االزاحة السینیة . لمحور السینات
. ثم نكمـــــل الحل كما سبق : ملحوظة
صفر المقیاس = االزاحة على محور السینات )العدد المضاف الى المقیاس( العدد خارج المقیاس = االزاحة على الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مع ذكر المجال والمدى| س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د :مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
)٠ ، ٠( ى رأس المنحن المجال ح
]٠ ، -= ]المدى [٠، -]د متزایدة فى
[ ، ٠[د متناقصة فى د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
تمثل بیانیا شعاعین بدایتھما نقطة األصل فى الربع الثالث و الرابع و ینصفان الزاویة بین المحورین
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ التحویالت الھندسیة لدالة المقیاس
:)فى اتجاه محور الصادات ( االزاحة الرأسیة * لمدى ابحث اطرادھا وبین مع ذكر المجال وا٣+ | س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
′س )٠،٠ (
′ص
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٢ ١
-١ -٢
:الحل
Page 35
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٥
٣= ، االزاحة الصادیة ٠= االزاحة السینیة : حل آخر B تسمى نقطة الرأس للمنحنى نكمل الحل بنفس الحل ) ٣ ، ٠( مبدا الشعاعین
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ابحث اطرادھا وبین ثم مع ذكر المجال والمدى٢-| س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
)٢ - ، ٠( نقطة الرأس المجال ح
[ ، ٢-= [المدى [٠، -]د متناقصة فى [ ، ٠[د متزایدة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
.مع ذكر مجال و مدى الدالة | س | ــ ٢ ) =س(ارسم منحنى الدالة د :مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
المجال ح ]٢ ، -= ]المدى
[٠، -]د متزایدة فى [ ،٠[د متناقصة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ والمدى مع ذكر المجال٢ -| س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د: مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
المجال ح ]٢- ، -= ]المدى
[٠، -]د متزایدة فى [ ، ٠[د متناقصة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
)٢- ،٠( ′س س
′ص
ص
)٠ ،٢-( )٠ ،٢(
)٠ ، ٢(
′ص
′س س
ص
)٢ ، ٠( )-٠ ، ٢(
)٢- ،٠( ′س
′ص
ص
س
Page 36
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٦
):فى اتجاه محور السینات ( االزاحة األفقیة *
مع ذكر المجال والمدى | ٢ –س | ) =س(منحنى الدالة دارسم : مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
)الحل( )٠ ، ٢( راس المنحنى B ٠= ، الصادیة ٢= االزاحة السینیة
المجال ح [ ،٠= [المدى
[٢، -]د متناقصة فى [ ، ٢[ة فى د متزاید
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مع ذكر المجال والمدى | ٢+ س | ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :بحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ا
)الحل( ) ٠ ، ٢ -( ، راس المنحنى ٠= ، الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة
المجال ح [ ، ٠= [المدى
[٢-، -]د متناقصة فى [ ، ٢-[د متزایدة فى
د الزوجیة والفردیة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مع ذكر المجال والمدى| ٢ –س | ــ ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة
)الحل( ) ٠ ، ٢( نقطة رأس المنحنى
]٠ ، -= ]المدى ، المجال ح [ ، ٢[د متناقصة فى ، [٢، -]د متزایدة فى
د الزوجیة والفردیة
)٠ ، ٢( ′س س
ص
′ص
)٢ ، ٠(
)-٠ ، ٢( ′س س
ص
′ص
)٢ ، ٠(
)٢- ،٠(
س ′س
ص
′ص
)٠ ، ٢(
Page 37
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٧
مع ذكر المجال والمدى | ٢+ س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من
)الحل( ) ٠ ، ٢ -( نقطة راس المنحنى
المجال ح ]٠ ، -= ]المدى
[٢-، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :)فى اتجاھى محورى االحداثیات ( االزاحة األفقیة و الرأسیة *
مع ذكر المجال والمدى٣ + | ٢+ س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د: مثال :و فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أ
)الحل( ٣= ، االزاحة الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة
المجال ح ]٣ ، -= ]المدى
[٢ - ، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثال :الحل
)٢- ،٠(
س ′س
ص
′ص
)-٠ ، ٢(
)١ ،٠( س ′س
ص
′ص
)-٣ ، ٢(
Page 38
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٨
انعكاس دالة المقیاس:
| س | ــ ) = س( منحنى الدالة ر حیث ر
) س( ھو انعكاس لمنحنى الدالة د
على محور السینات|س | ) = س( حیث د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
| ٣+ س | - ٢) = س(ع) ب ( ٢ - | ١ –س | ــ ) = س(ر) أ (
:الحل )أ( ) ب(
Page 39
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٩
٠ {ا ، ج + ٢) س ــ ب ( ا ) = س(دالصورة العامة ھى : إذا كانت تمثل بیانیا بمنحنى ذو فرعین ألعلى أو ألسفل
) ب ، جـ = ( و تكون نقطة الرأس المنحنى ب = ، معادلة خط التماثل ھى س
ب ) = االنتقال فى اتجاه محور السینات( االزاحة السینیة جـ ) = االنتقال فى اتجاه محور الصادات ( ، االزاحة الصادیة
)سالبة ( ٠< ا : إذا كان ) موجبة ( ٠> ا : إذا كان ] ، جـ ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞جـ ، = [ مدى الدالة
] ، ب ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ فى الدالة تناقصیة ] ، ب ∞ -] الدالة تناقصیة فى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الدالة التربیعیة
)ب ، جـ (
)ب ، جـ ( تناقصیة تزایدیة
تزایدیة تناقصیة
قیمة صغرى ج =
٠> ا
٠< ا
قیمة عظمى ج =
Page 40
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٠
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات
) ج ب ، ( نقطة رأس المنحنى ھى نحدد ج+ ٢) ب-س (ا) = س(لرسم د .١ الدالة التربیعیة و دالة المقیاس لھما نقطة رأس للمنحنى .٢
فى محور السینات) س(ــ د) = س( ھو انعكاس للمنحنى د٢س) = س(المنحنى د .٣
:قبل رسمھا مثال ) القیاسیة ( یجب وضع الدالة فى صورتھا العامة .٤ ٢ -٢)٣ +س = (٩-٧ )+٩+س ٦ +٢س = (٧+س ٦ +٢س ) = س(د ) ٥ - س ٤+ ٢س (- = ٥ +س ٤-٢ س-) = س(د
٩+٢)٢+س (-= }٩ – ٢)٢+س( {- = } ٤- ٥ – )٤+س٤ + ٢س ( {-=
فى معادلة المنحنى٠=طع مع محور الصادات نضع س إلیجاد نقط التقا .٥
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إزاحة أفقیة ( سسإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور: (
: لتمثیل الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د : مثال
٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢ (٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١ (
:الحل
٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١( بإزاحة وحدتین فى االتجاه ٢س) = س(د ھو منحنى
. الموجب لمحور السینات
سص
)٠ ، ٢ (
)٤ ، ٠ س )
س
Page 41
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤١
٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢(
باالنعكاس فى محور السینات٢س) = س( ھو منحنى د
ثم ازاحتھ بثالث وحدات فى االتجاه السالب لمحور السینات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) :إزاحة رأسیة ( صصإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور * : لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢ (٢ + ٢س) = س(ر) ١ (
. و أوجد مدى الدالة و من الرسم عین نقطة رأس المنحنى
:الحل ٢ + ٢س) = س(ر) ١(
بازاحة وحدتین فى ٢س) = س( ھو منحنى د
االتجاه الموجب لمحور الصادات
) ٢ ، ٠( نقطة رأس المنحنى ھى
[∞ ، ٢= [ ، المدى
سص
سس )- ٠ ، ٣(
)٩ ، ٠(
)٢ ، ٠(
صص
صس
Page 42
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٢
١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢(
باالنعكاس فى محور السینات ٢س) = س( ھو منحنى د
ثم ازاحة وحدة واحدة فى االتجاه السالب لمحور الصادات
)١ - ، ٠( نقطة رأس المنحنى ھى
] ١ - ، ∞ -= ] ، المدى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :إزاحة منحنى الدالة فى اتجاھى محورى اإلحداثیات*
أوجد رأس المنحنى و المدى و ٢)١ -س ( - ٢) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
.دالة و معادلة محور التماثل االطراد ونوع ال
:الحل
٢ = ، االزاحة الصادیة ١ =االزاحة السینیة B ٢ ، ١( راس المنحنى (
للرسم بدقة نوجد نقطة التقاطع مع محور الصادات ) ١ ، ٠ ( C ٠= و ذلك بوضع س
و على نفس المسافة من محور التماثل ) ١ ، ٢( و نستنتج النقطة
ح= جال الم ] ٢ ، ∞ -= ] المدى
]١ ، ∞ -] متزایدة فى : االطراد [∞ ، ١[ متناقصة فى
ال زوجیة و ال فردیة : النوع لعدم تماثلھا حول محور الصادات أو نقطة االصل
١= معادلة محور التماثل س
صس
)١ - ، ٠(
صص
Page 43
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٣
الصورة ت علیھ ازاحات فأخذ المنحنى ثم أجری٢ س-) = س( رسم منحنى الدالة د:مثال عین ھذه اإلزاحات واذكر قاعدة الدالة مع ذكر ٢ - ٢)١ + س (- ) =س(د: اآلتیة
.المدى ومعادلة محور التماثل )الحل(
إزاحة مقدارھا وحدة واحدة فى االتجاه السالب مقدارھا وحدتین لمحور السینات متبوعة بإزاحة
.السالب لمحور الصادات جاهفى االت ٢ -٢)١+س (-) =س(د :قاعدة الدالة ھى
]٢- ، -= ]مدى الدالة
١-=س : معادلة محور التماثل ھى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
محور بحث اطرادھا واذكر مداھا ومعادلة وا٦+س٤+٢س= )س( ارسم منحنى الدالة د:مثال ٢س) = س(التماثل ، ثم بین كیف یمكن الحصول على منحنى الدالة من المنحنى د
)الحل( یجب اعادة تعریف الدالة الى الصورة القیاسیة للدالة
٢+ ٢) ٢ + س = ( ٤-٦ + )٤+ س٤ +٢س) = (س(د [ ، ٢-[د متزایدة فى ، [٢- ،-]، د متناقصة فى
، د لیست زوجیة والفردیة [ ، ٢= [، المدى
٢-=، معادلة محور التماثل ھى س ٦+ س ٤+٢س) = س(، ویتم الحصول على منحنى الدالة د
وذلك٢س) = س(من منحنى الدالة د الب بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه الس لمحور السینات ، متبوعة بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه الموجب لمحور الصادات
س
ص
) -٢-،١( )٣- ،٠(
′س
′ص
و
س
ص
)-٢ ، ٢(
)٦ ، ٠(
′س و
′ص
Page 44
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٤
١ ± =ا ، جـ + ٣)س ــ ب ( ا ) = س(د: الصورة العامة تمثل بیانیا بمنحنى ذو فرعین أحدھما ألعلى و اآلخر ألسفل
)نقطة التماثل ( و ھى رأس المنحنى ) ب ، جـ ( ى الدالة متماثل حول النقطة منحن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات* )٠ب ، ( صفر فإن نقطة التماثل ھى = ا كانت جـ إذ-١ و تكون الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( صفر فإن نقطة التماثل = جـ = إذا كانت ب -٢ بعكس | ب | جـ بعد إزاحتھ أفقیا مقدار ) + ب –س ( ا ) = س( نحصل على منحنى الدالة د-٣
ة و للیسار إذا كانت ب سالبة إشارتھا على محور السینات للیمین إذا كانت ب موجب ألعلى إذا كانت جـ موجبة و ألسفل إذا كانت جـ سالبة | جـ | وازاحتھ رأسیا مقدار -٤ : فى الشكل المقابل -٥
صورة الدالة التكعیبیة باالنعكاس فى محور السینات
)موجبة ( ٠> ا
)ب ، جـ ( )ب ، جـ (
)سالبة ( ٠< ا
الربع الثانى و الرابع الربع االول و الثالث
الدالة تناقصیة على ح الدالة تزایدیة على ح الدالة ال زوجیة و فردیة الدالة ال زوجیة و فردیة
)الدالة التكعیبیة(دالة الدرجة الثالثة
٣س) = س(مثال د
٣ــ س) = س(مثال د
Page 45
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٥
إزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محورى اإلحداثیات: اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٢ + ٣)١ - س () = س(دارسم : مثال
)الحل(
) ٢ ، ١( نقطة التماثل ھى المدى ح
ح متزایدة على مجالھا الدالة الزوجیة والفردیة الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اذكر مداھا وابحث اطرادھا ١ + ٣)١ + س ( -) = س(د ارسم : مثال
)الحل( ) ١ ، ١-( نقطة التماثل ھى
ح=المدى ح متناقصة على مجالھاالةد ال دیة والزوجیة الفرالةد ال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٣)١ + س ( - ٢) = س(دارسم : مثال : الحل
) ٢ ، ١-( نقطة التماثل ھى ح = ح ، المدى = المجال تناقصیة على مجالھا : االطراد
ال زوجیة و ال فردیة : نوع الدالة
′س
′ص
)٢ ، ١( س
ص
س
ص
)-١ ، ١( ′س
′ص
س
ص
)-٢ ، ١(
′س
′ص
Page 46
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٦
لتمثیل كل من الدوال اآلتیة ٣س) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال : ثم أوجد نقطة التماثل
٣ ــ ٣س) = س(ر) ب (٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ ( ٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د ( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ(
: الحل ٣ ــ ٣س) = س(ر) ب( ٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ (
)٣ - ، ٠( اثل ھى نقطة التم ) ٠ ، ٢( نقطة التماثل ھى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ(
)١ ، ٢ -( نقطة التماثل ھى ) ٤ ، ٠( نقطة التماثل ھى
Page 47
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٧
ب {، س ٠ {جـ ، ك ) = + س(د: الصورة العامة
)ب ، جـ ( نقطة التماثل ھى
}جـ { –ح = ، مداھا } ب { –ح = ویكون مجالھا
فأن الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( إذا كانت نقطة التماثل :ملحوظة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[، ٠]، [ ٠ ، -]د متناقصة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل
ك ب -س
) ب ، جـ-( س
ص
′س
′ص
′س س
ص
′ص
)جـ ب ،(
[ ، ب∞ -] ، [ ∞ب ، ] الدالة تناقصیة فى المنحنى یقع فى الربعین االول و الثالث
الدالة ال زوجیة وال فردیة
[∞ ب،-]، [ ب -، ∞ -] الدالة تزایدیة فى منحنى یقع فى الربعین الثانى و الرابعال
الدالة ال زوجیة وال فردیة
سریةالكالدالة
س )٠ ، ٠(
ص
′س
′ص
١ س
Page 48
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٨
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا ) = س(الدالة دارسم منحنى : مثال :من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
:الحل
}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[، ٠]، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ )فى اتجاھى محورى االحداثیات : ( التحویالت الھندسیة للدالة الكسریة *
ابحث اطرادھا واذكر المجال والمدى و ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
}٢ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[ ، ٢] ، [ ٢ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ٢ +- ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
}١- {–ح = المجال }٢ {– ح= المدى
[، ١-] ، [ ١- ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
- ١ س
س )٠ ، ٠(
ص
′س
′ص
- ١ ٢ - س
س )٠ ، ٢(
ص
′س
′ص ١ ١+ س
)-٢ ، ١( س
ص
′س
′ص
Page 49
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٩
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
- ٢ = -) = س( د
}٠ {–ح = المجال }٢ {–ح = المدى
[، ٠] ، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س( منحنى الدالة دارسم: مثال
:واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
+ ٣) = = = س( د
}١ {–ح = المجال }٣ {–ح = المدى
[ ، ١] ، [ ١ ، -]متناقصة فى د د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
– ٢) = = = س( د
١ - س ٢ س
س٢ س
١ س
١ س
ص
)٢ ، ٠( ′س س
′ص ٢ - س ٣
١ - س
٣ + ٢ – ٣ – س ٣ ١ - س
١) + ١ –س ( ٣ )١ –س (
١ ١ - س
′س س
ص
′ص
)٣ ، ١(
١ - س ٢ ١+ س
٢-١ – ٢+ س ٢ ١+ س
٣ –) ١+س (٢ ١+ س
٣ ١+ س
Page 50
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٠
) ٢ ، ١-( نقطة التماثل
}١- { –ح = المجال }٢ { –ح = المدى
[∞ ، ١ – ] ، [ ١- ، ∞ -] ایدة فى الدالة متز الدالة ال فردیة و ال زوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: لتمثیل ٠ {حیث س ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
٣) = + س(د) ب) = (س(د) أ ( :الحل
) ب) (أ(
)-٢ ، ١( س
ص
′س
′ص
١ ١ - س
١ ١ س
٣+ س
Page 51
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥١
اعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقو . دالة و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
٣+ س ٢) = س(د ] ٢[ س ) = س(د ] ١[ ) = س( د ]٤) = [ س(د ] ٣[ ) =س(د ] ٦) = [ س(د ] ٥[
) = س(د ] ٨) = [ س(د ] ٧[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:اختر االجابة الصحیحة من بین االجابات المعطاة : مثال
..........ھو : مدى الدالة الممثلة بالشكل المقابل ) ١(
ح ) د ( } ١ -{ ) جـ( } ١ - ، ١{ ) ب( } ١{ ) أ ( ................. س تكون – ٣) = س( د:الدالة د ) ٢(
تناقصیة على ح ) ب(تزایدیة على ح ) أ (
[ ∞ ، ٣[ تناقصیة فى ) د [ ( ∞ ، ٣] تزایدیة فى ) جـ (
تمارین على رسم المنحنیات
تدریب على الدالة الثابتة و الخطیة
٣ ــ ٢ س٣
١ – ٢ س
ــ س٣ س
س– ٢ س ٠ Y ، س ٢
٠> ، س ٢ــ
٠ Xس ، س
٠< ــ س ، س
]٢ ، ٠[ g س ، س ٣
[٤ ، ٢] g ، س ٦
]٦ ، ٤ [ g ، س ٢+ س
١< ، س ١+ س
٣< س < ١ ، ٢
٠ X س ، س
و
١
- ١
س
ص
Page 52
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٢
: على دالة المقیاستدریب*
اعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل دالة مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقو] ١ [
. و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
. و اذكر معادلة محور التماثل إن وجد
| ٣ –س | ) = س(د) ٢ (٤+ | س | ) = س(د) ١ (
١ – س ٣+ | ٣+ س ٢| ) = س(ر) ٤(س + | س | ) = س(ر) ٣ (
٣+ | ٢ –س | ) = س(د) ٦( | ٣+ س | ) = س(د) ٥ (
٣ــ | س ٢ – س ٤| ) = س(د) ٨( | ٢ –س | ــ ١) = س(د) ٧ (
| س | ــ ٢) = س(د) ١٠ ( | ٣س ــ | س ــ ) = س(د) ٩ (
:لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ٢ [
| ٢ –س | ) = س ( ع) ب( | ٤+ س | ) = س(ر) أ (
٦+ | س | ) = س(ع) ء (٥ -| س | ) = س(ر) حـ (
٤+ | ٢ –س | ) = س(ع) و (١ - | ٣+ س | = ) س(ر) ھـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:تدریب على الدالة التربیعیة * : لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(الة د حیث داستخدم منحنى الد] ١[
٢ )٣س ــ ( ــ ٢) = س(ع) ب (٤ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(ر) أ (
و من الرسم عین إحداثى نقطة رأس المنحنى و إحداثیات نقط تقاطع المنحنى .تین مع محورى اإلحداثیات ، و ابحث إطراد كل من الدال
: لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ٢[ ٢ ــ ٢ــ س) = س(ع) ب (١ + ٢س) = س(ر) أ (
. ومن الرسم عین نقطة رأس المنحنى و عین مدى الدالة
Page 53
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٣
وجد من الرسم رأس المنحنى ، ثم أ٩+ س ٦ ــ ٢س) = س(ارسم منحنى الدالة د ]٣[ المدى ، االطراد نوع الدالة ، معادلة محور التماثل
.ارسم كل من الدوال اآلتیة ثم عین المدى و االطراد و النوع و معادلة محور التماثل ]٤[
٢ )١س ــ ) = ( س(د) ٣ (٢ ــ س١) = س(د) ٢ (١ ــ ٢س) = س(د) ١( ١ + ٢ )٢ –س ) = ( س(د) ٥ (٢ )٢ –س ) = (س(د) ٤( ٢ )١ –س ( ــ ١) = س(د) ٧ (٢ )١س ــ ( ــ ) = س(د) ٦( ٢ )١ –س ( ــ ٤ــ ) = س(د) ٩ (١ + ٢س) = س(د) ٨( ح C ] ٣ ، ١ -: [ حیث د ٢س) = س(د) ١٠(
٤+ س ٤ ــ ٢س) = س( د)١٢ (٢ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(د) ١١(
| س | س ) = س(د) ١٤ (١+ س ٤ ــ ٢س) = س(د) ١٣(
)١٥ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ة التكعیبیة على الدالتدریب
]١ [
Page 54
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٤
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٢ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٣ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ: ى الدالة الكسریةعلتدریب
مثل كال من الدوال المعرفة بالقواعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل دالة و ابحث ] ١[ : اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا فردیة أو زوجیة أو غیر ذلك
٣) = + س(د) ٣) = (س(د) ٢= () س(د) ١ ) = س(د) ٦) = (س(د) ٥) = (س(د) ٤ ) = س(د) ٩) = (س(د) ٨) = (س(د) ٧
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٢[
- ٢ س
٢ س
١ س
١ ٣+ س
١ ٣ - س
٤+س ٢ ٣ - س
١ |٣+ س |
٢ )٢ –س (
|٣)٢ –س ( | ١ - س ٣ س
Page 55
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٥
]٣ [
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٤ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
Page 56
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٦
حل المعادالت و المتباینات :حـل المعـــادالت: أوال
: تذكر أن* ) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) مقیاس العــدد (
= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٥ = ٢٥ ؟= | ٥ - | : مثال
: المقیاس" فك " تعریف *
= | ٢س ــ | = | س |
= | ٦+ س ٢ |
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حل معادالت المقیاس بیانیا *
ھو مجموعة قیم س لنقاط تقاطع منحنیى الدالتین) س(٢د) = س(١الحل البیانى للمعادلة د
: الطریقة العامة للحل
نجعل المقیاس فى طرف لوحده) ١
]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیمن من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن د) ٢
]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیسر من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن ر) ٣
نحسب اإلحداثیات السینیة لنقط تقاطع الدالتین د ، ر ، و نكتب مجموعة الحل ھى قیم س) ٤
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١ ٢
١ ٢
٠، س س ٠< ، س س -
٢، س ٢ - س ٢< ، س ٢+ س -
٣ - ، س ٦+س ٢ ٣ - < ، س ٦ –س ٢ -
Page 57
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٧
٣س ، ٥ – ٣ – س ٣< ، س ٥ - ٣+ س -
٣، س ٨ – س ٣< ، س ٢ س ــ -
١> ــ س عندما س ٣ ) = س(ارسم الدالة د: مثال
١ Yا س س عندم + ١
٠) = س( ثم أوجد قیم س التى تجعل د
: الحل ١ Y س ١> س
١ -= ، س ٣= عند س ٠) = س( د }١ - ، ٣{ = ح . م
: التحقق الجبرى
٠) = س( حیث د تحقق الفترة المعطاة [ ∞ ، ١ ] g ٣= س B ٠= ــ س ٣ن فإ١> عندما س تحقق الفترة المعطاة[ ١ - ، ∞ - ] g ١ــ = س B ٠= س + ١ فإن ١ Yعندما س
}١ - ، ٣{ ھى ٠) = س(مجموعة حل المعادلة د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حـ= | ــ ب ا س ــ| حل المعادلة على الصورة ] ١[
بیانیا وحقق الناتج جبریا٥= | ٣ – س |حل المعادلة : مثال ٠ = ٥ - |٣ –س | : نضع المعادلة على الصورة : الحل البیانى ٥ - |٣ –س | ) = س(نفرض أن د
=
) = س(د
١ - ٠ ١ ٢ ٣ ٤ س
٠ ١ ٢ ١ ٠ ١ - )س(د
′ص
ص
′س س ٠
) ٥ -، ٣(
٢ - ٣ ٨
Page 58
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٨
) ٠ ، ٢ -( ، ) ٠ ، ٨( من الرسم المنحنى یقطع محور السینات فى
} ٢ - ، ٨{ = ح . م
:الحل الجبرى
[∞ ، ٣ [ g ٨ = س ٠=٨ - س فإن ٣ عندما س [٣ ، ∞ - ] g ٢ - = س ٠ = ٢ – س –فإن ٣< س عندما
٢ - ، ٨ {= مجموعة الحل{
٥) = س(، ر | ٣ –س | ) = س(د: نرسم : حل أخر
)س(یقطع منحنى الدالة د) س( منحنى الدالة ر ) ٥ ، ٢ -( ، ) ٥ ، ٨( فى النقاط
} ٢ - ، ٨{ = ح . م
:الحل الجبرى
٥= | ٣ –س | B ٥ ± = ٣ – س
B ٥ - = ٣ – س ٥ = ٣ – س تحقق٢ -= تحقق س ٨= س
B ٢ - ، ٨{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا و جبریا ٠ = ١+ | س | حل المعادلة : مثال
: الحل البیانى = ١+ | س|) = س( نرسم د
Ø= ح . م B منحنى الدالة ال یقطع محور السینات
: الحل الجبرى [∞ ، ٠[ h ١ -= س B ٠ = ١+ فإن س ٠ Xعندما س
[ ٠ ، ∞ -] h ١= س B ٠ = ١+ س – فإن ٠< س عندما Ø= ح . م B ال یحقق المعادلة ١ ، ١ -
صص
′سس سس
′صص
) ٢ - ) ٠ ، ٣
٥٠
٨
٠ X عندما س ١+ س ٠< عندما س ١+ س -
سس١
صص
١ ١ - ٠
Page 59
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٩
٠ X| س| مرفوض الن ١ -= | س |B ٠ = ١+ | س |A : خرآحل جبرى B ح . م =Ø
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ء+ جـ س = | ب + س ا | حل المعادلة على الصورة ] ٢[
بیانیا و جبریا ٣+ س = | ٣ – س ٢| حل المعادلة : مثال
|٣ – س ٢| ) = س(نرسم الدالتین د : الحل البیانى ٣+ س ) = س( ، ر
و من الرسم نجد نقط تقاطع منحنیى الدالتین ) ٩ ، ٦( ، ) ٣ ، ٠ ( B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {
:الحل الجبرى ١ Xعندما س .٥
٣+ س = ٣ – س ٢فإن B ٦= س g ] تحقق [ ∞ ، ١.٥
١.٥< عندما س ٣+ س = ٣+ س ٢ –فإن
B – ٠= س ٣ B ٠= س g [ - ∞ ، ١.٥ ] تحقق B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ و جبریا بیانیا٤ –س = | ٥+ س ٢| حل المعادلة : مثال
٤ –س ) = س(، ر | ٥+ س ٢| ) = س( نرسم الدالتین د:الحل البیانى نالحظ انھ ال یوجد نقط تقاطع للمنحیین
B مجموعة الحل =Ø : الحل الجبرى
٤ –س = ٥+ س ٢ B ٢.٥ – Xعندما س B ٩ -= س h ]- ال تحقق [ ∞ ، ٢.٥
٤ – س =٥ – س ٢ – B ٢.٥ -< عندما س B – ١= س ٣ B س =- h [ - ∞ ، - ٢.٥ ] ال تحقق
B مجموعة الحل =Ø
٠، ٢.٥ -( ٤( - ٤
٥
صص
سس١٣
Page 60
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٠
: |ء + ج س | = | ب + ا س | حل المعادلة على الصورة ] ٣[
بیانیا وحقق الناتج جبریا | ٣+ س | = | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل البیانى
|٢ –س | = ١نرسم د |٣ +س | = ٢، د
)٢.٥ ،٠.٥-(نجد أن نقطة التقاطع ھى :الحل الجبرى
٢) |٣+ س | = ( ٢) | ٢ –س | : ( بتربیع الطرفین
٢ )٣+ س = ( ٢)٢ –س ( ٩+ س٦ +٢س= ٤+ س ٤-٢ س - ٥= س ١٠ س = = مجموعة الحل ={ }
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا وجبریا ٣= | ١ –س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال
٣+ | ١ –س | -= | ٢ –س | باعادة التعریف للمعادلة : الحل البیانى
٣+ | ١ –س | -) = س(، ر | ٢ –س | ) = س( نرسم الدالتین د
من الرسم نقط تقاطع المنحنین
) ٢ ، ٠( ، ) ١ ، ٣( ھى
B ٣ ، ٠{ = مجموعة الحل {
باعادة التعریف للمعادلة : الحل الجبرى
} ٣ ، ٠{ = ح . م
٢ –س ١ –س - ٣ ٣= س
٢+ س - ١ –س - ٣ - ٢
مرفوض
٢+ س - ١+ س -
- ٣ ٠= س
ص
′س )٠ ، ٢(
′ص
)٠.٥،٠-( )٠ ،٣-( س
١د ٢د
٢.٥
- ٥ ١٠
- ١ ٢
- ١ ٢
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
٢ ١
Page 61
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦١
بیانیا١= | س | + | ٢س ــ | أوجد مجموعة حل المعادلة : مثال :الحل
: نضع المعادلة على الصورة
| س | ــ ١= | ٢س ــ |
|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ ١) = س(٢ ، د
Z= مجموعة الحل : من الرسم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا ٤= | س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل
: نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٤= | ٢س ــ |
|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ ٤) = س(٢ ، د
}٣ ، ١ -{ = مجموعة الحل : من الرسم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢= | س | + | ٢+ س | أوجد مجموعة الحل للمعادلة بیانیا : مثال :الحل
نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٢= | ٢+ س | | س | ــ ٢) = س(٢، د | ٢+ س | ) = س(١نرسم د
:نوجد نقط تقاطع الشكلین البیانیین فنجد ] ٠ ، ٢ -= [ ح . م
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
Page 62
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٢
١+ س ٣ – س
*حـل المعــــادالت جبریا* : العددمقیاسخواص *
٠= س إذا كان ٠= | س | ، ٠ X| س | ) ١(
مقیاس معكوسھ الجمعى = مقیاس العدد ) ٢( | س – ٢| = | ) س – ٢ ( -| = | ٢س ــ | ، | ٣ -| = | ٣| ، | ا -| = | ا | : مثال
| س – ٥| = | ٥ –س |
| ٤| + | س | Y | ٤+ س | مثال | ص | + | س | Y| ص + س | ) ٣(
|ص | × | س | = | س ص | حاصل ضرب مقیاسیھما = مقیاس حاصل ضرب عددین ) ٤( | س | ٣= | س | × | ٣ -| = | س ٣ -| : مثال
| ٥س ــ | ٢= | ٥س ــ | × |٢ -| = | ) ٥س ــ ( ٢ - | |٤ ــ ٢س| = | )٢س ــ )( ٢+ س ( | = | ٢س ــ | | ٢+ س |
= خارج قسمة مقیاسیھما = مقیاس خارج قسمة عددین ) ٥(
: = مثال الجذر التربیعي الموجب لمربع ھذا العدد = مقیاس العدد ) ٦(
٩ = ٢) |٣ -| ( ، ٢ا = ٢ )|ا | ( ، ٥ = ٢٥؟= | ٥| ، ٢ا ؟= | ا | : مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:تذكر أن
صفر المقیاس ھو قیمة س الناتجة من وضع ما بداخل المقیاس مساویا الصفر ٣= و منھا س ٠ = ٦ – س ٢نضع | ٦ – س ٢| إلیجاد صفر : مثال
B لةو ھو یفید فى تحقیق الحل لمعادلة المقیاس بسھو } ٣{ صفر ھذا المقیاس ھو
: فكــرة حل معادالت المقیاس
)صفر المقیاس ( X نأخذ ما بداخل المقیاس بنفس إشارتھ عندما س ) صفر المقیاس ( < ، و نأخذه بعكس إشارتھ عندما س
س ص
|س |
|١+ س | |ص |
|٣س ــ |
Page 63
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٣
٣= | ٧ س ــ ٢| أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل
٣.٥= = س G ٧= س ٢ G ٠ = ٧ – س ٢بوضع : صفر المقیاس
٣.٥< عندما س ٣.٥ X عندما س ٣ = ٧+ س ٢ – G ٣ ) = ٧ – س ٢ ( - ١٠= س ٢ G ٣ = ٧ س ــ ٢ G ٤ -= س ٢ - تحقق ٥= س G ق تحق٢= س
} ٥ ، ٢{ = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢= س ٣ــ | ٥ س ــ ٢| : أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل ٢.٥= = س G ٠ = ٥ ــ س٢
٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س
٢= س ٣ ــ ٥+ س ٢ - ٢= س ٣ ــ ٥ س ــ ٢
G – ٧= س G مرفوض ٧ -= س G – ٣ -= س ٥ G ق تحق= س
{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠= | ٣ –س | + ٥: أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل
٣= س G ٠ = ٣ –س : اس صفر المقی ٣< عندما س ٣ X عندما س
٠ = ٣+ س – ٥ G ٠ ) = ٣ –س ( – ٥ مرفوض ٢ -= س G ٠ = ٣ –س + ٥ مرفوض ٨= س
Z= ح . م
و ھذا مرفوض الن ناتج أى ٥ -= | ٣ –س | : بالنظر للمعادلة األصلیة نجد أن : حل آخر . مقیاس البد أن یكون موجبا و بالتالى فال یوجد حل اذھھ المعادلة
٧ ٢
٥ ٢
٣ ٥
٣ ٥
Page 64
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٤
١٨ -= | س | س ٣ ــ ٢ |س | : حل المعادلة : مثال :الحل
٠< عندما س ٠ X س عندما
١٨ -) = س -( × س ٣ ــ ٢ س١٨ -= س × س ٣ ــ ٢ س G – ١٨ - = ٢ س٢ G٩ = ٢ س G١٨ - = ٢ س٣ + ٢ س
G مرفوض ٣ -= ، س ٣= س G ١٨ - =٢ س٤ Gمرفوض = ٢ س
B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = : أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل
) ٤+ س ٧ ( ٢= | ٥ – س ٢ | ٥: ینتج أن ١٠ بالضرب فى
٢.٥= = س G ٠ = ٥ – س ٢: صفر المقیاس
٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س
)٤+ س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ - ) ٤ + س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ G ٨+ س ١٤ = ٢٥ – س ١٠ G - ٨+ س ١٤ = ٢٥+ س ١٠ G – ٣٣= س ٤ G مرفوض ٨.٢٥ -= س G – ١٧ -= س ٢٤
G تحقق = س
{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٥ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟دلة مثال أوجد مجموعة الحل للمعا : الحل
٥= | ١+ س | G ٥ = " ٢)" ١"+ "س ( ؟ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟
-١٨ ٤
٤+ س ٧ ٥
| ٥ – س ٢ | ٢
٥ ٢
١٧ ١٧ ٢٤
٢٤
Page 65
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٥
: تابع الحل ١ -< عندما س ١ – X عندما س
٥ = ١ – س – G ٥ ) = ١+ س ( - تحقق ٤= س G ٥ = ١+ س G - ٦= س G تحقق ٦ -= س
B س g } - ٤ ، ٦ { ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢: = أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال
٢ ± = B ٢ = A: الحل
= ٢ - = ٢
)١+ س ( ٢ - = ٣+ س ) ١+ س ( ٢ = ٣+ س
٥ -= س ٣ G ٢ – س ٢ - = ٣+ س ١ -= س - G ٢+ س ٢ = ٣+ س تحقق= تحقق س ١= س
} ، ١ { =ح . م
| ١+ س | ٢= | ٣+ س | G ٢ = G ٢ : = حل آخر
٢ )١+ س ( ٤ = ٢ )٣+ س : ( وبتربیع الطرفین
٤+ س ٨ + ٢ س٤ = ٩+ س ٦ + ٢س G ) ١+ س ٢ + ٢س ( ٤ = ٩+ س ٦ + ٢ س
٠ ) = ١ –س )( ٥+ س ٣ ( G ٠ = ٥ س ــ ٢ + ٢ س٤ G ٠ = ١ – أو س ٠ = ٥+ س ٣ G تحقق ١= تحقق أو س = س B ١{ = ح . م ، {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠= | ٣س ــ | ــ | ٥+ س | حل المعادلة : مثال
)الحظ أن التربیع یلغى المقیاس ( بتربیع الطرفین | ٣ –س | = | ٥+ س | : الحل } ١ -{ = ح . نحل السؤال كما فى الحل اآلخر م
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
- ٥ ٣
- ٥ ٣
٣+ س ١+ س
|٣+ س |
|١+ س |
- ٥ ٥ - ٣
٣
Page 66
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٦
٣= | ١ –س | | ١+ س | حل المعادلة : مثال :الحل
٣ ± = ١ – ٢ سG ٣= | ١ – ٢س | G ٣= | ) ١ –س )( ١+ س ( |
٣ - = ١ ــ ٢ س٣ = ١ – ٢ س
مرفوض ٢ - = ٢ تحققان س٢ ±= س G ٤ = ٢ س B ٢ - ، ٢{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ٠.٥ ) + ١ -| س | )( ١+ س : ( أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل
= | س |
٠< عندما س ٠ عندما س
٠ = ٠.٥ ) + ١ – س - )( ١+ س ( ٠ = ٠.٥ ) + ١ –س )( ١+ س ( ٠ = ٠.٥+ س ٢ – ١ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ + ١ – ٢ س ١ - × ٠ = ٠.٥ – س ٢ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ – ٢ س ٢ × ٠ = ٠,٥+ س ٢ + ٢س = ٠.٥ = ٢ س
٠ = ١+ س ٤ + ٢ س٢ ±= س
: تحقق باستخدام القانون العام = = س ١= ، جـ ٤= ، ب ٢= ا
٨ = ١ × ٢ × ٤ – ١٦= ا ج ٤ – ٢ب= الممیز مرفوض = س
± ١- = = س تحققان } - ١-، + ١-، { = ح . م
٠، س س ٠< ، س س -
١ ٢
٢؟٢
١ ٢؟
-١
حـ ا ٤ –۲ ب± ب – ٢؟ ا ۲
٢؟٢
١ ٢؟
٢؟٢
٢؟٢
٢؟٢
Page 67
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٧
المعادالت حل على حیاتیة تطبیقات
٢ - | ٣ –س | ) = س(د ، ر حیث د الدالتین منحنیى ینب محصورة أرض قطعة: مثال أمتار ٨ الوحدة طول كان وإذا المربعة بالوحدات مساحتھا احسب ٣) = س(، ر .المربعة باألمتار األرض مساحة إحسب :الحل
بتمثیل منحنى الدالتین د ، ر بیانیا نجد انھما )٣ ، ٨( ، ب )٣ ، ٢ -( ا یتقاطعان فى النقط
ا ب ج و تكون قطعة االرض على شكل مثلث وحدات ١٠= ا ب القائم فى جـ حیث
وحدات ٥ ) = ٢ــ ( ــ ٣= ج ء ،
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثال
: الحل
Page 68
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٨
*حـل المتبــــایــنـات*
مجموعة حل المتباینة فى متغیر واحد ھى قیمة أو قیم المتغیر التى تجعل المتباینة صحیحة
:تذكر أن
ا ±= فإن س ا = | س | إذا كان ) ١(
ا < س < ا - فإن ا | < س | ) ٢(
ا < ب - س < ا - فإن ا | < ب –س | ) ٣(
ا Y ب - س Yا -فإن ا Y| ب –س | ) ٤(
ا > ، س ا -< س فإن ا | > س | ) ٥(
ا X ب –أو س ا - Y ب – فإن س ا X| ب –س | ) ٦(
:مالحظات ھامة تستخدم عند حل متباینات المقیاس
ال نستخدم صفر المقیاس ) ١(
: اصغر من ) < ( عندما تكون عالمة التباین ) ٢( . تصبح مجموعة الحل على شكل فترة إما مفتوحة أو مغلقة
:اكبر من ) > ( عندما تكون عالمة التباین ) ٣( تصبح مجموعة الحل على شكل ح ــ فترة معكوسة
فى بدایة الكالم قبل حل المتباینة ) التى داخل المقیاس ( یجب جعل س ) ٤( | ٥ س ــ ٣| تصبح | س ٣ ــ ٥| ، | ٣ –س | تصبح | س - ٣| : مثال
عالمة التباین عند ضرب أو قسمة طرفى المتباینة فى عدد سالب فإننا نعكس ) ٥( ٣ -> فإن س ٣< ، ــ س ٥ -< س ٢ فإن ٥> س ٢ــ : مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : فترة مجموعة حل كل من المتباینات اآلتیة أوجد على صورة: مثال
٥ Y | ٣+ س ٢| ) ٢ ٢ | < ٥ –س | ) ١
٠ X | ٧+ س | ) ٤ ٥ | > ٤ – س ٣| ) ٣
Page 69
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٩
:الحل ٢ | < ٥ –س | )١(
٧< س G ٥ + ٢< س G ٢ < ٥ – إما س ٣> س G ٢ - > ٥ – س G ٢< ) ٥س ـ ( - أو
B [ ٧ ، ٣= ] ح . م
٥ Y | ٣+ س ٢| )٢(
١ Y س G ٢ Y س ٢ G ٣ – ٥ Y س ٢ G ٥ Y ٣+ س ٢ إما ٤ - X س G ٨ – X س ٢ G ٥ – X ٣+ س ٢ G ٥ Y ) ٣+ س ٢( أو ــ
B س g ] - ١ ، ٤ [
٥ | > ٤ – س ٣| )٣(
٣> س G ٩> س ٣ G ٥ > ٤ – س ٣ إما < سG ١ -< س ٣ G ٥ - < ٤ – س ٣ G ٥> ) ٤ – س ٣( أو ــ
B ٣، [ ح ــ = ح . م [
٠ X | ٧+ س | )٤(
٧ – X س G ٠ X ٧+ إما س ٧ – Yس G ٠ Y ٧+ س G ٠ X ) ٧+ س ( أو ــ
B ح= ح . م
)٤( و الحظ الفرق عن ٠ | < ٧+ س | عزیز الطالب أوجد مجموعة حل المتباینة : مالحظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:أوجد على صورة فترة حل كل من المتباینات اآلتیة : مثال
٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢ ٣ < "١٦ "+"س " ٨ـ " ـ٢ س؟) ١
| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣
- ١ ١ - ٣
٣
Page 70
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٠
:الحل ٣ | < ٤ –س | G ٣< " ٢ )"٤ –" "س ( ؟ G ٣ < ""١٦ "+"س "٨ –" ٢ س؟) ١(
٧< س G ٤ + ٣< س G ٣ < ٤ – إما س ١> س G ٣ - > ٤ – س G ٣< ) ٤ –س ( - أ،
B س g [ ٧ ، ١ ] ٢ X | ٥ – س ٣ | G ٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢(
X س G ٧ X س ٣ G ٢ X ٥ – س ٣ إما
١ Y س G ٣ Y س ٣ G ٢ - Y ٥ – س ٣ G ٢ X ) ٥ – س ٣ ( - أ،
B س g [ ، ١ ] - ح | ٦ – س ٤ | - ٩ | > ٣ – س ٢ | G| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣(
G | ٣ – س ٢ | ٢ – ٩ | > ٣ – س ٢ | G | ٩ | >٣ – س ٢ | ٢+ | ٣ – س ٢ G ٩ | > ٣ – س ٢ | ٣ G | ٣ | > ٣ – س ٢
٣> س G ٦> س ٢ G ٣ > ٣ – س ٢ إما ٠< س G ٠> س ٢ – G ٣ > ٣+ س ٢ - G ٣> ) ٣ –س ٢ ( - أ،
B ٣ ، ٠ [ -ح = ح . م [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ | ٤ - س ٣| : ینة حل المتبا: مثال ٥ - ٤ - س ٣ ٥ ٤ - س ٣ : الحل
١ - س ٣ ٩ س ٣
س ٣ س
] ، -= ] ح . م [ ، ٣= [ ح . م
] ، - ] بآل [ ، ٣= [ ح . م
[٣، ] -ح = ح . م
٧ ٣
٧ ٣
- ١ ٣
- ١ ١- ٣
١ - ٣ ٣
Page 71
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧١
تتمارین على حل المعادالت و المتباینا :أوجد جبریا مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة ] ١[
س + ٤= | ٥+ س | ٢) ب ٠ = ٥ - | ١+ س | ٢) أ
٤ = " ٤" + " س"٤–" ٢ س؟) د ٠= | س – ٢ | ٢ - | ١ –س | ٣ ) جـ
]٢ [ ]٣[ ]٤ [
١(
٢( ٣( ٤(
٥(
٦( ٧( ٨(
٩(
١٠(
١١(
١٢(
Page 72
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١( ٢( ٣(
٤( ٥( ٦(
٧( ٨(
١( ٢( ٣( ٤( ٥(
٦( ٧( ٨( ٩(
١٠(
١١(
١٢(
١٣(
١٤(
١١(
٣( ٤(
١( ٢(
Page 73
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٣
:تذكر أن ا × ٠٠٠× ا × ا × ا × ا = نا : فإن + صص gن ، حح gا : إذا كان ) ١(
نأس ا : یقرا نا من المرات و الرمز ن امل مكرر كعا حیث اأ، لألساس ا أ، القوة النونیة للعدد
٢٥ × ١٦ = $ ]٥ة[ × $ ٢= ٤٤ ]٥ ة٢[ : مثال
رف غیر معصفر) صفر ( الن ٠{ ا بشرط ١ = صفر ا ) ٢ ( صفر = فإن ص ١ = ص ٥ ، ١ = صفر ]٧ - [ مثال مث
عدد صحیح موجب نن صفر ، {عدد حقیقى ا إذا كان ) ٣ (
= نن - ا ، = نن ا : فإن
= ٢ – ٧ ، ٨١= = ٤ ٣ :مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مالحظات ١= صفرا = نن - ا × نن ا : حیث أن نن - ا معكوس ضربى للعدد نن ا العدد -١
١=٤ - ]٥ة[ × ٤ ]٥ة[ ، ١ = ٥ ٣ × ٥ – ٣: مثال
= ٤=[ ] ٤ - [ ]: مثال نن- = [ ]نن [ ]- ٢
ـــ ـــ ـــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) قوانین القوى الصحیحة فى ح : ( قوانین األسس
:فإن صص g ن ، حح g ب ، ا ـ : إذا كان
٩ = ٤ ]٣ة ] = [ ٣ة [ × ٣ ] ٣ة [ ، ٥ ٧ = ٢ ٧ × ٣ ٧مثال ن+ م ا = نا × ما - ١
٨١ = ٤ ٣ = ٣ – ٧ ٣ = ٣ ٣ ÷ ٧ ٣مثال ن- م ا = ن ا ÷ م ا - ٢
٥ ة ٥ - = ٣]٥ة- = [١٢ ] ٥ ة - [ ÷ ١٥ ] ٥ ة - [،
ة ي ن ا ث ل ا ة د ح و ل ا األسس و اللوغاریتمات و تطبیقات علیھا
١ نن- ا
١ ننا
١ ٤- ٣
١ ٧ @
ا ب
ب ا
٢ ٣
٣ ٢
١٦ ٨١
Page 74
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٤
ن ٥ × ن ٣ = ن ] ٥ × ٣ = [ ن ١٥مثال نب × نا = ن ]ا ب [ - ٣
ن= [ ]، = ن [ ] مثال نب ÷ ن ا = ن ] ب ÷ ا [ - ٤
س٢ ٣ = س ] ٢ ٣[ ـ ، ٦ س = ٢ ] ٣ س [ مثال م نا = ن ] م ا [ - ٥
: مالحظات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : اختصر البسط صورة : مثال
: = = الحل
٥ = ١ × ٥ = ٠ ٣ × ٥ = ن٣ – ن ٣ ٣× ن ٣ – ١+ ن ٣ ٥ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد فى ابسط صورة قیمة : مثال
= = المقدار : الحل
٣ = ١ × ٣ = صفر ٢ × ١ ٣ = ٤ – ٤ ٢ × ٨ + ٢ + ٩ – ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
فأوجد قیمة س ١٠ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣ كان إذا: مثال : الحل
١٠ = ١٠ × ١ - س ٣= ] ١ + ٩ [ ١ - س ٣ ] = ١ + ٢٣ [ ١ - س ٣ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣ B ١ = ١ – س ٣ B ٠ = ١ – س B ١= س
٣= × ١٠ = س ٣ G ١٠= × س ٣ G ١٠) = ١ – ٣ + ٣ ( س ٣: حل آخر
٥ ٧
٣ ٥
ن٣ ن٥
ن٥ ن٧
ن ب - نا { ن )ب - ا( ، نب+ نا { ن)ب + ا) ( ١ (
٨١ = ٤ ٣ = ٤ )٣ -( مثال) عدد زوجى نحیث ( ن ا= ن )ا -) ( ٢ (
٢٧- = ٣ ٣- = ٣ )٣ -( مثال ) عدد فردى نحیث ( ن ا -= ن )ا -) ( ٣ (
ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ١٥ ن ]٣ ٣[ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ] ٥ × ٣ [
ن ٣ ٣ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ٥ × ن٣ ٣
ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ١٥
) ٢)١٢( × ٣ -)٢٧ ٢ -)٨١( × ١٦
) ٢)٢ ٢ × ٣( × ٣ -)٣ ٣ ٢ -)٤ ٣( × ٤ ٢
٤ ٢× ٢ ٣× ٩ - ٣ ٨ - ٣ × ٤ ٢
١٠٣
٣ ١٠
Page 75
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٥
= أثبت أن : مثال
= = الطرف األیمن : الحل
الطرف األیسر= = × = ٥÷ = = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ة اختر االجابة الصحیح: مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات
..... ) ، ١١ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ٢( عند حل مسائل األسس البد من جعل األساس عددا أولیا )١
ص ٤ + ٢ صBص = س ٧ یمكن فرض س ٧ × ٤ + س ٢ ٧إذا كانت )٢
١ س ــ ٢ ــ ٥ ٧ × ص ــ س + س ٣إذا كان الكسر یمكن كتابتھ )٣
نستغنى عن شرطة الكسر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: الجذور النونیة*
٣ - ، ٣ لھا جذران حقیقیان ھما ٩ = ٢ المعادلة س .....و ھكذا ) و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٢ لھا حل وحید ھو ٨ = ٣ المعادلة س
من الجذورن لھا + صgن . ح gا حیث ا = نالمعادلة س : بوجة عام
:ا = ن سالحاالت المختلفة للمعادلة : موجباا إذا كان ن زوجیا ، ] ١ [
)باقى الجذور أعداد مركبة ( فإن المعادلة لھا جذران حقیقیان أحدھما موجب و اآلخر سالب
١ -ن٢ ٣ × ٤ - ن ٢ ٣ ×٥
ن٢ ٣ - ١+ ن ٢ ٣ × ٢
١١ ١٥
١ -ن٢ ٣×٢ ٢ - ن ٢ ٣ ×٥
)١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣ ) ١ – ٣ × ٢ ٢ – ٥ (ن٢ ٣ )١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣
ــ٥ ٥
٤٣١١
٣ ١١ ٣
١ ٥
١١ ١٥
ص ٣ × ٥ ٧ × س ٣ ١+ س ٢ ٣ ×س ٧
Page 76
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٦
بالجذر النونى ا یسمى الجذر النونى الموجب للعدد و ا؟ ن ، ــ ا؟ ن و یرمز لھما ااآلساسى للعدد
٣ــ = ٨١؟ ٤ ، ــ ٣ = " ٨١؟ ٤ لھا جذران ھما ٨١ = ٤المعادلة س: مثال ]حذورھا تخیلیة[ لیس لھل جذور حقیقیة ا = نالمعادلة س : سالبا ا إذا كان ن زوجیا ، ] ٢ [
] ت ٤ - ت ، ٤لھا جذران تخیلیان [ لیس لھا جذور حقیقیة ١٦ - = ٤لمعادلة سا: مثال : ح gا فردیا ، ن إذا كان ] ٣ [
)باقى الجذور أعداد مركبة ( ا ؟ ن لھا جذر حقیقى وحید ھو ا = ن فإن المعادلة س ٢ - = " ٣٢ــ ؟ ٥و لھا جذر حقیقى وحید ھ٣٢ــ = ٥المعادلة س: مثال
:صفر = ا ، + صg نا كان إذ] ٤ [
صفر لھا حل حقیقى وحید ھو صفر = ن فإن المعادلة س صفر = صفر فإن س = م المعادلة س: مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مجموعة حل كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال
٢٤٣ = ٥س) ب (١٦ = ٤س) أ (
)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٢ ±= " ١٦ ؟ ±= س B ١٦ = ٤س) أ : ( الحل B ٢ - ، ٢{ = ح . م {
)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٣ = " ٢٤٣؟ ٥= س B ٢٤٣ = ٥س) ب ( B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : األسـس الكسریة*
)٧ = ( ٧؟ ٣، ) ا =( ا ؟ ٣، ) ٣ = ( ٣ ؟، ) ا =( ا ؟: مثال
زوجى أو فردىن یراعى ا = ا = "نا ؟ ن ، ا = ا ؟ ن : بوجة عام
] ٢ =" ٤ |٢| ؟ ٤ = " ٤|"٢- |؟ ٤ = ١٦؟ ٤ مثال [ زوجى نإذا كان | ا | = نا ؟ ن] ١ : [ مالحظة ]٢ - = " ٣٢ -؟ ٥ ، ٢ = " ٣٢؟ ٥مثال [ فردى نإذا كان ا = نا ؟ ن] ٢ [
١ ٢
١ ٢
١ ٣٢
١ ٣١ ٢
ن ن ن
Page 77
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٧
: خواص الجذور النونیة*
:فإن ص g، م } ١{ ــ + ص g، ن } ٠{ - ح gا ، ح g ب؟ ن ، ا؟ ن إذا كان ٦ ؟ ٧ = ٣؟ ٧ × ٢؟ ٧ ، ٣ ؟ ٣ × ٥ ؟ ٣ = " ٣ " ×٥ ؟ ٣ مثال ب؟ ن × ا؟ ن= "ا ب؟ ن ] ١[
مب ٣ = مل مب ٣= ، = مل مب ٥ مثال ٠ {، ب = مل مب ن] ٢[ ) س = ( ٢ )س ؟ ٥ = ( " ٢س ؟ ٥ مثال ا = م ) ا ؟ ن( = ما؟ ن] ٣[
یمكن تعمیم قوانین األسس الكسریة حیث انھا تخضع لنفس قوانین االسس الصحیحة : ملحوظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:قیمة كل من ) إن أمكن ( أوجد : مثال ) ١٢٥ــ ] ( ٣ ) [٨١( ــ ] ٢ [" ٣٦؟ــ ] ١ [
) ٢٥ــ ] ( ٦ ) [٩ -] ( ٥[| "١٢٨ـ ؟ ٧ | ] ٤ [ : الحل
٦ــ = ٢ ٦؟ــ = " ٣٦؟ــ ] ١ [
٣ = ٣ ) ] = ٤ ٣[ ( ــ ) = ٨١( ــ ] ٢ [
) ٥ - ] = ( ٣ )٥ - ) = [ ( ١٢٥ــ ] ( ٣ [
٢= | ٢ -| = | ٧")٢ -( ؟ ٧ | =| "١٢٨ـ ؟ ٧ |] ٤ [
ح h "٢٥ - ؟ ٤ ) = ٢٥ -] ( ٦[ح h ٩ -؟ ) = ٩ -] ( ٥ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد فى أبسط صورة كل من : مثال
" ١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ " ١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣ [" ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[ " ٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١[
٣ ب٢ا ٢ -= ب × ا ٢ــ ــ = ٩ ب؟ ٣ × ٦ا ؟ ٣ × ٨ ؟ ٣ــ = "٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١: [الحل
ا ب
ا؟ ن ب؟ن
٣ ٥
٣ ؟ ٥ ٥ ؟ ٥
٢ ؟ ٣ ٤ ؟ ٣
٢ ٤
١ م ٢
٢ ن٥
١ ٤٥
١ ٣٤ ١
٢٣
١ ٤٢
١ ٤٥
١ ٤٥
٤٤٥ ١
٣٤
١ ٣٤
١ ٢٣
١ ٤٢
٦٣١
٩٣١
Page 78
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٨
٢ س ص٢ = ٢|ص|× | س | × ٢ = " ٨ص ؟ ٤ × " ٤س ؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = " ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[
٣ ا ٢= ا × ٢ = ١٢ا؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = "١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣[
٣) ص ٢+ س ) = ( ص ٢+ س = ( "١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد فى ابسط صورة : مثال
= = المقدار : الحل
١ = ١ × ١ = صفر ٧ × صفر ٣ = ــ ٧ × ــ + ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= ن أثبت أ: مثال
= = الطرف األیمن : الحل
١ – س ٣ – ١+ س ٣ ٤ × س ٦ – ١ – س ٦ ٧ =
األیسر = = ١× = صفر ٤ × ١ – ٧ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ سم٦٠٠ ، حجمھا مل مب ٣ = نقیعطى بالعالقة ) نق(إذا كان طول نصف قطر كرة : مثال
: حجم الكرة ح فأوجد مقربا الناتج لثالثة أرقام عشریة حیث
مساحة سطح الكرة ) ٢طول نصف قطر الكرة ) ١
١٢ ٤
١٨ ٦
١٤٧( × ٣(
)٦٣ (
١ ٢٣
١٦٥ ١
٣٦
٢ ٧ × ٣( × ٣(
) ٧ × ٢ ٣ (
٧ × ٣ × ٣
٧ × ٣
١ ٢٣
١٦٥ ١
٣٦
٢٣٦
١٣٦
١ ٢٣
١٦٥
١ ٣٢
١ ٢٣
١٦٥
٢٣٢
١ ٣٢
١ ٣٢
١+ س ٣ )٤( × س ــ ٢ )٣٤٣ (
٤ × س٣)١٩٦ (
١ ٣٢
١ ٧٣
١+ س ٣ )٤( × س ــ ٢ )٣ ٧ (
٤ × س٣)٤ × ٢ ٧ (
١ ٣٢
١+ س ٣ )٤( × ١س ــ ٦ )٧ (
٤ × س٣)٤( × س٦ ) ٧ (
١ ٧٣
١ ٧٣
ح ٣٤ π
Page 79
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٩
سم ٥.٢٣٢ T ٥.٢٣٢٢٣ T مل مل مب ٣ = مل مب ٣ = نق: الحل
٣٤٣.٩٨٩٦١٧٥ T ٢ )٥.٢٣٢( × π × ٤ = ٢نق π ٤= مساحة سطح الكرة
T ٢ سم٣٤٣.٩٨٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : األسیة فى حت حل المعــــادال*
:مالحظة ھامة حیث م عدد فردىا= فإن س ا = إذا كان س ) ١
٣= ، س ٨ = ٣ ٢ = ٢= س B ٢= س : مثال ل مشتركحیث م عدد زوجى ، م ، ن لیس بینھما عاما ±= فإن س ا = إذا كان س ) ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:لكل من المعادالت اآلتیة ح أوجد مجموعة الحل فى : مثال
٢٥ ) = ٢ –س ) ( ٢ ٢٧= س ) ١
٠ = ٤ س ــ ٣س ــ ) ٤ ٠ = ٩+ س ١٠س ــ ) ٣
٣٢ ) = ١+ س ) ( ٥
: حل آخر : الحل
برفع الطرفین للقوة ٢٧= س ٥ین للقوة برفع الطرف٢٧= س ] ١[
B ٢٧ = (٣ س( بأخذ الجذر التكعیبى للطرفین ٥ B س ) =٥ ٣ ] = ٣)٣) = [ (٢٧
B ٢٤٣ = ٥ ٣ = ٥ )٢٧؟ ٣= ( س B ٢٤٣= س
B ٢٤٣{ = ح . م { B ح . م = }٢٤٣ {
ح ٣٤ π
٦٠٠× ٣ ٤ π
٣٥٢
٢٣٥٢
٣٥
٤٣٥
٤٥٥
٢٥١ -٥
٢ - ٥ ٢
٣٥٢
٥٣
٣٥٢٥
٣٢
٥٣٢
م ن
ن م
١٣
٣١
٥٣
٣ ٥
م ن
ن م
Page 80
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٠
٣ برفع الطرفین للقوة ٢٥ ) = ٢ –س ] ( ٢[
B ) حل آخر ٣)٢٥ = ( × ٣ )٢ –س:
B ) ٣ ٥ ± = ٣)٢٥؟ ( ±) = ٢٥ (± = ٢ – س ٣)٢٥ = (٢ ) ٢ –س
B ٣ ٥ ± = ٣ )٢٥؟ (± = ٢ – س B ١٢٥ ± = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س
B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س
B ١٢٣ - ، ١٢٧{ = ح . م { B ح . م = }١٢٣ - ، ١٢٧ {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ =٤ س ــ ٣س ــ ] ٤ [٠ = ٩+ س ١٠س ــ ] ٣[
٠ ) = ١+ س ) ( ٤ -س ( بالتحلیل ٠ ) = ١ -س ) ( ٩ -س (
B ٠ = ١ - ، س ٠ = ٩ - س B ١ -= س ٤= س
B ٩= س B ١= س B ١ -= ٣)١ -= (٢ س ٣ ٤ = ٢ س
B٥ ٩ = ٢ س B ١ = ٥ ١ = ٢ س B ١ - ؟ ±= س ٣ )٤؟ ( ±= س h ح
B ٥ )٩؟ ( ±= س B ١ ±= س B ٨ ± = ٣ ٢ ±= س
B ٥ ٣ ±= س B ٨ - ، ٨{ = ح . م{
٢٤٣ ±= س
B ١ - ، ١ ، ٢٤٣ - ، ٢٤٣{ = ح . م {
٢٣٥٢
٣٥٣
٢٣
٤٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥
٢٣٥
٤٣٥٢٣٥
٢٣٥ ٢
٣٥
٢٣٥
Page 81
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨١
: حل آخر ٣٢ ) = ١+ س ] ( ٥[
٢ برفع الطرفین للقوة ٢برفع الطرفین للقوة ــ : الحل
B ) ١+ س ( ٥ بأخذ الجذر للقوة ٣٢ = ٥ B ) ١ - ٣٢ = ٥ ــ )١+ س
B ٢ = " ٣٢؟ ٥ = ١+ س B ) ٣٢= ٥ )١+ س
B ١ = ١ – ٢= س B ٢ ) = ٥ ٢ = ( ١+ س
B ١{ = ح . م { B ١ = ١ – ٢= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: اختصر ] ١[
.، ب الحقیقیة ا صحیحة لجمیع قیم ب ؟ ن× ا ؟ ن متى تكون العالقة ] ٢[
: أكمـل ما یأتى ] ٣[
.......فى ابسط صورة تساوى ) ٦) ( ب.......... (فى ابسط صورة تساوى ) ٨ ) (أ(
......فى أبسط صورة تساوى ١ -مل )٣مل( مب ٣) د ..... ( فى أبسط صورة تساوى ) ( ) جـ(
.......فى أبسط صورة ) ٢ ٣ ــ ٢ ٥) ( ھـ(
- ١ ٢
- ٥ ٢
١٥٥
تمارین على األسس الكسریة والجذورالنونیة والمعادالت
ــ ٢ × ١ــ ٤ ×٨؟ ٢ ٣ × ٢ – ٦
٢٣٥
٢٣٥
١٤٥
٣٢٥
١٦ ٦٢٥
- ٣ ١ ٤
٤٥
١٣٥
Page 82
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٢
:اكتشف الخطأ ] ٥[
٩ = ٨١؟ = ٢")٩ -( ؟ ) = ٩ - = ( ٩ــ ) أ ( ٣= س B ٨١؟ ٤= فإن س ٨١ = ٤إذا كان س) ب (
أوجد الزیادة= ( ) إذا كان طول نصف قطر كرة یعطى بداللة الحجم من العالقة نق ] ٦[
. وحدة مكعبة π ٣٦ إلى π فى طول نصف القطر عندما یتغیر الحجم من
]٧ [
ص + فما قیمة س ٢٧= ص ٣= إذا كان س ] ٨[
]٩ [
٢٢٥
ح ٣٤ π
١٢٥
٣٢ ٣
٣٢٥
٢٣٥
Page 83
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٣
]١٠ [
: اختر االجابة الصحیحة ] ١١[
] ١، ا س ، ١ –ا ، ا = ...... [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: و تطبیقاتھا الدالة األسیة *
} ١{ - + حgا لكل سا ) = س(حیث د+ ح Cح : إذا كانت د : تعریف +ح= ولھذا یكون مداھا + ح سا ، ح = ولھذا یكون مجالھا ح س ،
ا فإن د تسمى دالة أسیة أساسھا
، أسھا س ٣ اساسھا س ٣) = س(د: مثل ٢+ اساسھا ، أسھا س ٢+ س) = ( )س( ، د
: مثال
سا + ١+ س ا + ٢+ س ا
١ - سا + سا + ١+ س ا
١٢٥
١٢٥
: تذكر أن
ھو األساس أما األس عدد حقیقى) س ( یكون المتغیر المستقل : الدالة الجبریة] ١[ ٠٠٠٠س ، + ٣س) = س( ، د٢س) = س(د: مثل
ھو األس أما األساس ھوعدد حقیقى) س(یكون المتغیر المستقل : الدالة األسیة] ٢[ موجب ال یساوى الواحد
٠٠٠٠٠ ، ١ – س ٣) = س( ، د س ٢) = س(د: مثل
Page 84
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٤
: بیانى للدالة األسیةالتمثیل ال*
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الرسم أوجد و من] ٤ ، ٣ –[ في الفترة = (۲ ( دأرسم منحنى الدالة : مثال
) ١.٥( د ) ۲ ( ) ٠.٥ –(د ) ١ ( ١٠ ) =( دحل المعادلة ) ٤ ( /۲/٣خح [قیمة تقریبیة للعدد ) ٣(
: الحل
) :٠.٥ –(إلیجاد قیمة د یوازى محور الصادات٠.٥ – نرسم مستقیما عند
٠.٧لیقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا B ٠.٧ ) = ٠.٥ –( د
نرسم كما سبق ) ١.٥( إلیجاد قیمة د ۲. ٨ ) = ١.٥( د : نجد أن
٥ ۲= ٣۲: نالحظ أن /۲/٣خح [إلیجاد قیمة
B ونرسم كما فى السابق ) ۲ ٢؛! (د = ) ٢؛% ( نوجد د
B ٥.٧ = /۲/٣خح [ قیمة
٣ ٤ ۲ ١ – ٠ ١ – ۲ – ٣
٨؛! ٤؛! ٢؛! ١ ۲ ٤ ٨ ١٦ ص
Page 85
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٥
١٠) = س ( د : إلیجاد حل المعادلة یوازى محور السینات ١٠= نرسم مستقیما عند ص
٣.٣ یقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا B ٣.٣= عندما س ١٠) = س ( د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات
) ١ ، ٠( احداثیى نقطة تقاطع الدالة األسیة مع محور الصادات ھى ) ھـ (
Page 86
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٦
:نكون الجدول اآلتى : الحل
٣ ٢ ١ ٠ ١ - ٢ - ٣ - س
٨ ٤ ٢ ١ )س(١د
١ ٢ ٤ ٨ )س(٢د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مثال
١٨٢
١٤٢
١٢٢١
٢٢
١٤٢
١٨٢
(
( (
Page 87
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٧
: ب = سا تطبیقات تؤول الى معادالت على الصورة
: دالة النمو األسي *
لتمثیل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات ن )ر + ١( ا ) = ن( تستخدم الدالة د
للنمو النسبة المئویة ر القیمة االبتدائیة ، ا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث
. فى الفترة الزمنیة الواحدة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: التضاؤل األسي*
ل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات لتمثین )ر ـــ ١( ا ) = ن( تستخدم الدالة د
النسبة المئویة للنمو ر القیمة االبتدائیة ، ا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث
. فى الفترة الزمنیة الواحدة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ كل أسبوع ، فإذا كان عدد النحل فى ٪ ٢٥یتكاثر النحل فى آحد الخالیا فیزداد بمعدل : مثال
اكتب دالة أسیة تمثل عدد النحل بعد ن أسبوع . نحلة ٦٠ البدایة . أسابیع٦ ، ثم قدرعدد النحل بعد
أسابیع ٦ = ن ، الفترة الزمنیة ٠.٢٥= = ر ، ٦٠= ا : الحل
: أسبوع ھى ن دالة النمو األسي بعد
ن )١.٢٥ ( ٦٠ = ن )٠.٢٥ + ١ ( ٦٠ = ن )ر + ١( ا ) = ن(د
نحلة ٢٢٩ T ٦ )١.٢٥ ( ٦٠ ) = ٦( د
نحلة ٢٢٩= أسابیع ٦ عدد النحل بعد ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جنیة فإذا كان سعر السیارة یتناقص بمعدل١٢٠٠٠٠اشترى كریم سیارة جدیدة بمبلغ : مثال . كل سنة ٪ ١٢
. سنة من شرائھا ناكتب دالة أسیة تمثل سعر السیارة بعد ) ١
. سنوات من شرائھا ٦قدر ألقرب جنیة سعر السیارة بعد مرور ) ٢
٢٥ ١٠٠
Page 88
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٨
: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حاول بنفسك : الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على الدالة األسیة و دالة النمو و التضاؤل
Page 89
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
Page 90
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٠
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
*حل المعادالت األسیة *
:قواعد ھامة
d ١ - ، ١ ، ٠ c - حح gا : حیث ن = م : فإن نا = ما : إذا كان -١
١ - = ٤ – ٣ = سB ٣ = ٤+ س فإن ٣ ٣ = ٤+ س ٣إذا كان : مثال
:فإن مب = ما : إذا كان -٢
ب _{ ا ، ٠{ ب ، ٠{ ا حیث ٠= م *
٤= س B ٠ = ٤ –س : فإن ٤ - س ٥ = ٤ - س ٧: مثال
٠{ ب ، ٠{ اا فردیا ، عددم إذا كان ب= ا *
= س B ٣ = [ ] = ٣ سإذا كان : مثال
٠{ ب ، ٠{ اعددا زوجیا ، م إذا كان | ب | = | ا | *
_= س B ٢= [ ] = ٢س : مثال
١ ٨
١ ٢
١ ٢
١ ٤
١ ٢
١ ٢
Page 91
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩١
٣ _= ص B ٤ )٣ - = ( ٤) ٣ = (٨١ = $، ص
١ _{ ا ، ٠{ ا حیث ٠= م :فإن ١ = ما : إذا كان -٣ ٢= س B ٠ = ٢ – س B ١ = ٢ - س ]٣ة [ إذا كان : مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال
: الحل
Page 92
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د حل المعادلة س٣) = س ( إذا كانت د: مثال :الحل
A ٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د B ٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١+ س ٣
B ١ ــ ٣ + ٣ ( س ٣ = (٢٧٠ B س ٣ ) ٢٧٠ + ) = ٣
B ٢٧٠= × س ٣ B ٤ ٣ = ٨١= × ٢٧٠ = س ٣
A االساس = االساسB األس = األسB ٤= س
ص = س ٣ بفرض٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١ + س ٣ : خرآحل
٢٧٠ = ١ــ ٣× ص + ٣× ص B ٢٧٠ = ١ــ ٣ × س ٣ + ٣ × س ٣
B ٢٧٠ + ) = ٣( ص B ٢٧٠= × ص B و بالتعویض ٨١= ص B ٤ ٣ = س ٣ B ٤= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=ــ : ن إثبت أ س٣) = س(إذا كان د: مثال
: الحل
١ –س – ١ – س ٣ – ١ +س -١ + س٣= ــــــــــــ - ــــــــــــ = یمن اال
=٩ = ٢- ٣ – ٢ ٣ - =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س ٢٧) = س ( ٢ د ، س٩) = س ( ١إذا كانت د: مثال
٢٥٢) = ١ –س ٢ (٢د) + س٣ (١د: حل المعادلة
١ ١٠ ٣
٣ ٣
١٠
١ ٣
١٠ ٣
١ + س٣ ١ – س ٣
١ - س٣ ١ – س ٣
١ ٩
٨٠ ٩
)١+س(د )١-س(د
)١-س(د )١+س(د
٨٠ ٩
Page 93
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٣
: الحل B ٢٥٢ = ١ -س ٢ ٢٧ + س ٣ ٩ B ٢٥٢= ٣ –س ٦ ٣ + س٦ ٣
B ٢٥٢ ) =١ + ٣ ٣ ( ٣ -س ٦ ٣ B ٢٥٢ = ٢٨ × ٣ -س٦ ٣
B ٩ = ٣ -س ٦ ٣ B ٢ ٣= ٣ –س ٦ ٣ B ٢ = ٣ – س ٦ B ٥= س ٦ }{ = ح ٠ م
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مثال
: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ٤) = س(٢ ، دس ٨) = س(١إذا كان د: مثال
٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ حل المعادلة د
س ٢ ٢ = س )٢ ٢) = ( س(٢ ، د س ٣ ٢ = س )٣ ٢) = ( س(١د: الحل
٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ د: المعادلة
B ٨٠ = )١ – س ٣ ( ٢ ٢ + س ٢ × ٣ ٢ C ٨٠ = ٢ – س ٦ ٢ + س ٦ ٢
C ٨٠) = ٢ - ٢ + ١( س ٦ ٢ C ٨٠= × س ٦ ٢
C ٨٠ = س٦ ٢ × B ٦ ٢ = ٦٤ = س ٦ ٢ B ٦= س ٦ B ١= س
٥ ٦
٥ ٤ ٤
٥
Page 94
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٤
:حل المعادالت بیانیا *
اطع دالة خطیة مثال ثم نوجد نقطة تق) س(٢دالة أسیة ، د) س(١ نرسم منحنیي الدالتین د
االحداثى السینى لنقطة التقاطع= فإن مجموعة الحل ) س ، ص ( منحنیي الدالتین و لتكن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س – ٣) = س(٢ ، دس ٢) = س(١كل واحد منحنیى الدالتین دارسم فى ش: مثال
س – ٣ = س ٢ و من الرسم أوجد مجموعة الحل للمعادلة
: ومن الرسم نجد ٢ ، د١نرسم منحنیى الدالتین د: الحل
)٢ ، ١( نقطة تقاطع المنحنیین
B ١{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على حل المعادالت و تطبیقاتھا
Page 95
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٥
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الدالة العكسیة *
)أبو ب ا ( ع ب تعنى ا حیث صص الى سسالشكل المقابل یمثل عالقة من : مثال توضیحى ھذه العالقة دالة أحادیةصص g ، ب سس gا لكل ، ) ل عبد هللا ، أم( ، ) عماد ، نیرة ( { =١ع بیان
}) عاطف ، غادة ( ، ) أسامة ، جنة ( دالة أحادیة) ا ب إبنة ( تعنى سس الى صص وإذا كانت العالقة من
) أمل ، عبد هللا ( ، ) نیرة ، عماد ( { = ٢ع بیان } ) غادة ، عاطف (، ) جنة ، أسامة ( ،
٢عدالة عكسیة للدالة ١ع الدالة : نالحظ أن
: الدالة العكسیة صص إلى مجموعة سسإذا كانت الدالة د أحادیة من مجموعة
تسمى دالة عكسیة للدالة د سس الى صصمن ١ - الدالة د: فإن
١ – د g) ص ، س ( د فإن g) س ، ص ( لكل إذا كان
Page 96
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٦
:مالحظات ھامة
س= ھو صورة منحنى الدالة د باالنعكاس فى المستقیم ص ١ــ منحنى الدالة د) ١
لكى یكون للدالة د دالة عكسیة یجب أن تكون د دالة أحادیة) ٢
خط األفقى أى یحقق منحنى د اختبار ال
إذا قطع أى مستقیم أفقى المنحنى فى نقطة واحدة (
) فإن المنحنى یمثل دالة أحادیة
) ال تحقق اختبار الخط األفقى ( إذا كانت الدالة لیست أحادیة ) ٣
)لیست أحادیة ( ٢س= مثل ص . فإن معكوسھا ال یمثل دالة
س ال یمثل دالة ؟= | ص | معكوسھا
.إلیجاد الدالة العكسیة أوال نقوم بتبدیل المتغیرات ثم نوجد ص بداللة س ) ٤
١+ س = ص ٣ B ١ – ص ٣= فإن س ١ – س ٣= إذا كان ص : مثال
B ١+ س = ( ص ( B١ــ د)١+ س ) = ( س(
س ) = س (١ــ دB ٣ص= فإن س ٣س= ، إذا كان ص
١ ٣
١ ١ ٣
٣
Page 97
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٧
:من خواص الدالة العكسیة دالة عكسیة لألخرى ) س(، ر) س(یقال أن د) ١
س) = س)( دºر( س ، ) = س) ( رºد ( إذا كان )س(١ـــمدى الدالة العكسیة د) = س(مجال الدالة د) ٢
)س(١ــ لة العكسیة دمجال الدا) = س( مدى الدالة د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
و مثل الدالة و معكوسھا بیانیا١+ س ٢) = س(أوجد الدالة العكسیة للدالة د حیث د: مثال . فى شكل واحد
١ –س = ص ٢ B ١+ ص ٢= س B ١+ س ٢= ص A: الحل
B ١ –س = ( ص ( B١ــ د)١ –س ) = ( س (
:و یالحظ أن
ھما متماثالن منحنا١ ــ الدالة د و الدالة العكسیة د
س = بالنسبة للمستقیم ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: فأوجد "١" –"س ؟ + ٣) = س(إذا كانت د دالة بحیث د: مثال و عین مجالھا و مداھا) س(١ــ د) ب) س(و مدى د) س(مجال د) أ
)س(١ــ ، د) س(مستخدما أحد البرامج الرسومیة ارسم الشكل البیانى لكل من د) جـ
١ X أى س ٠ X ١ –معرفة لجمیع قیم س ) س(د) أ : ( الحل
B١) = [ س( مجال د ، ∞ ]
A ١" –"س ؟" X لجمیع قیم س الواقعة فى مجال الدالة ٠
١ ٠ ١ - س
٣ ١ ١ - )س(د
٠ ٠.٥ - ١ - )س(١ــ د
١٢
١٢
)س( ١ــمجال د
)س(د س
)س(مجال د )س(مدى د
)س( ١ــمدى د
Page 98
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٨
B ١" –"س ؟ + ٣" X ٣ Gس( د (X ٣ Bمدى د )٣) = [ س ، ∞] باستبدال المتغیرات س ، ص "١" –"س ؟+ ٣= ص A) ب (
B ١" –"ص ؟+ ٣= س" B بتربیع الطرفین "١" –"ص ؟ =٣ – س B ) ٣ –س( ١ –ص = ٢ B ص ) = ١ + ٢ )٣ –س B١ + ٢ )٣ –س ) = ( س(١ــ د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على الدالة العكسیة
Page 99
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٦ (
Page 100
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٠
: بیانیاالدالة اللوغاریتمیة و تمثیلھا *
+ح gص ، ح g س ،}١ {– +ح g ا : إذا كان :تعریف ا= ص األسیةدالة عكسیة للدالة سالـــــو = ص الدالة اللوغاریتمیة: فإن
س ٥ ٢ = ٣٢ E ٥ = ٣٢ ٢ ، لــو٣ = ٨ ٢ لـــــــوE ٣ ٢ = ٨: مثال
، ٥ ٣ = ٢٤٣ E٥ = ٢٤٣ ٣ لـــــــو : مالحظات
األساسس لوغاریتم تقرأ س ا لـــــو* الدالة اللوغاریتمیة ھى الدالة العكسیة للدالة اآلسیة *
ال معنى لھ صفر ۲لو ، ٣ – ٤ لو: ال معنى للحدیث عن لوغاریتم عدد غیر موجب فمثال *
جبا یختلف عن الواحد الصحیح ا مو یجب أن یكون عددااألساس *
ال معنى لھ ٧صفرلو ، ٨ ۲ - لو: فمثال
:اللوغاریتمات المعتادة * ]وقد أتفق على حذف ھذا األساس [وال یكتب ١٠= للوغاریتمات التى أساسھا ھى ا
٣ ١٠لو تعنى ٣لو : فمثال : وعلى ذلك یكون
١٠لو = ١٠٠ ، لو ١ = ١٠لو ۲
وھكذا ٣= ٣ ١٠لو = ١٠٠٠، لو ۲= وھكذا ٣ - = ٠.٠٠١، لو ۲ – = ٠.٠١ ، لو ١ – = ٠.١، لو
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ جالو= فإن ب ج = ب ا: اللوغاریتمیة العكس التحویل من الدالة األسیة الى
: مثال
٧ = ١٢٨ ٢ لـوB ١٢٨ = ٧ ٢ A) أ : ( الحل
١٠ = ٣٢ ٢ ؟ لــو B ٣٢ = ١٠ )٢؟ ( A) ب (
٢ ٢ -= لــو B = ٢ ــ ( )A) جـ (٣
٩٤
٩٢ ٤
٣
Page 101
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠١
: التحویل من الدالة اللوغاریتمیة الى الدالة األسیة
: حول كل مما یأتى إلى الصورة األسیة : مثال
صفر = ١لــو ) جـ ( ٥ - = ٣لــو ) ب (١٠ = ٣٢ ٢؟لـو ) أ (
٢ = ٩ ٣لـو ) و ( ٣ -= لــو ) د ( ١ = ٧ ٧لــو ) ھـ (
صفر = ( )١) جـ (٥ــ ٣) = ب ( ١٠ )٢ ؟ = ( ٣٢) أ : ( الحل
٢ ٣ = ٩) و ( ٣ ــ ١٠ = )د ( ١ ٧ = ٧) ھـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ایجاد قیمة لوغاریتم عدد ألساس معلوم*
: مة كل من اوجد قی: مثال ٧ ٧ـوـل) ٤ ١۲٥ ٥ــو لـ) ٣ ۲٤٣ ٣ـولــ) ٢ ٦٤ ۲ــو لـ) ١
سB ۲ ٦٤ ۲ـو لــ= نفرض أن س ) ١ : الحل = ٦٤ = ۲ ٦
B ٦= س B ٦= ٦٤ ۲ـو لـــ
٣ B ٢٤٣ ٣ــــــــــولـ= نفرض أن س ) ۲ س
= ٣ = ٢٤٣ ٥
B ٥= س B٥ = ٢٤٣ ٣ لـــــــــــو
٥ B ١٢٥ ٥لـــــــــــو= نفرض أن س ) ٣ س
= ٥ = ١٢٥ ٣
B ٣= س B ٣ = ١٢٥ ٥لـــــــــــو
٧ B ٧ ٧ــــــــولـــ= نفرض أن س ) ٤ س
= ٧ = ٧ ١
B ١= س B ١ = ٧ ٧ لـــــــــــو
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧؟ ٤ ٣لــو ) ب (٠.٠٠١لـو ) أ : ( أوجد قیمة كل مما یأتى : مثال : الحل
١٢
١ ٢٤٣
١ ١٠٠٠
١ ٢٤٣
١٢
١ ١٠٠٠
Page 102
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٢
: حل المعادالت اللوغاریتمیة*
: مجموعة كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال
١=)١ -س ( ٣لو) ٤ (٢) = ٢+ س ( سلـو) ٣ (٢= س ٥ سلـو ) ٢= ( س ٨١لـو) ١(
: الحل
٢= س ٥ سلـو ) ٢ (= س ٨١لـو) ١ (
B ٣ ٣ ) = ٤ ٣ ) = ( ٨١= ( س B ٢س= س ٥
B ٢٧= س B ٢٧{= ح . م {B٠= س ٥ ــ ٢ س
٠ ) = ٥س ــ ( س Bـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــ
)٣ (A سلـو ) ٢ ) = ٢+ س B ٠= س h ٥= مجالھا ، س gمجالھا
B ٢س = ٢+ س B ٥{ = ح . م {
Bــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٠ = ٢ ــ س ــ ٢ س
B ) ٤ (٠ ) = ١+ س )( ٢ –س (A٣ لو ) ١) = ١ -س
B ١ــ = ، س ٢= س h المجال B ١ ٣ = ١ – س B ٤ = ١ + ٣= س
B ٢{ = ح . م { B ح . م = }٤{
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو :اوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو
A لجمیع قیم س ٠ > ١٥+ س ٧ ــ ٢س g٠ > ١٩= أ جـ ٤ ــ ٢ ح الن الممیز ب
B ٢ = ١ ٢ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س (٣ لـــو B٩ = ٢ ٣ =١٥+ س ٧ ــ ٢ س
B ٠ = ٦+ س ٧ ــ ٢س B ) ٠ ) = ٦ –س )( ١ –س
B ٦= ، س ١= س
٣٤
٣٣ ٤
٤٣٤
Page 103
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٣
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: الحل
Page 104
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٤
:إستخدام اآللة الحاسبة logإلیجاد اللوغاریتم المعتاد ألى عدد حقیقى موجب نستخدم
shift log ( 10( ، و إلیجاد العدد الحقیقى الموجب إذا علم لوغاریتمھ المعتاد نستخدم x
٥٧.٠٦ لو بإستخدام الحاسبة أوجد:مثال : الحل
= log 5 7 . 0 6: ة خطوات اآلل ١.٧٥٦٣ = ٥٧.٠٦لو : نجد أن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x
٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على الدالة اللوغاریتمیة و تمثیلھا
Page 105
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٥
Page 106
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٦
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: یكون }١ {– +حح g ا ، +حح gإذا كان س ، ص
: خاصیة الضرب فى اللوغاریتمات – ١
ص × س ا لـــــو= ص ا لـــــو+ س ا لـــــو
١٥ ا لـــــو ) = ٥ × ٣ ( ا لـــــو = ٥ ا لـــــو + ٣ ا لـــــو: فمثال ٨ جـلـــو + ٧ جـلـــو ) = ٨ × ٧ ( ج لــــو = ٥٦ جـ ، لــــو
٧ ا لـــــو × ٣ ا لـــــو × ۲ ا لـــــو { ) ٧ × ٣× ۲ ( ا لـــــو= ٤۲ ا لـــــو، :مالحظة ھامة
ص ا لـــــو+ س ا لـــــو ≠ ) ص+ س ( ا لـــــو ص ا لـــــو× س ا لـــــو ≠) ص × س ( ا لـــــو ،
:خاصیة القسمة فى اللوغاریتمات – ۲
ـــــــ ا لـــــو= ص ا لـــــو–س ا لـــــو
٧ب ــ لــو٣ بلـــو = ب، لـــو ا لـــــو = ٧ ا لـــــو – ٥ ا ـولــــ : فمثال
ص ا لـــــو – س ا لـــــو ≠) ص –س ( ا لـــــو : مالحظة ھامة ص ا لـــــو÷ س ا لـــــو ≠) ص ÷ س ( ا لـــــو ،
بعض خواص اللوغاریتمات
س ص
٥٧
٣٧
Page 107
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٧
: وغاریتم القوة خاصیة ل– ٣
س ا لـــــو ن
س ا لـــــون =
٣ ا لـــــو = ٩ ا لـــــو: فمثال ۲
٢ لــو ٣ = ٣ ٢ بلــو = ٨ ب ، لـــو ٣ ا لـــــو ۲ =
١= س ســــو ـل – ٤
١ = ٨٨ ، لــــــو ١ = ٧ ٧ ــولـــ ، ١ = ٦ ٦ لـــــو: فمثال
صفر = ١ ا لـــــو – ٥
صفر = ١ ٧ ، لــــــو صفر = ١ ٤ لـــــو: فمثال
= س صلـو : خاصیة تغیر األساس -٦
= = = = ٨ ٤ لـو: فمثال
١= ا بلو × ب ا حیث لو= ب ا لـو: خاصیة المعكوس الضربى -٧
١= × ٧ ٣لـو = ٣ ٧لـو × ٧ ٣لـو: فمثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣ "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢ "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١أوجد فى أبسط صورة : مثال
= ٥ ٥لـو ) = ٥ ( ٥لــو ) = ٣ ٥ ( ٥لـو = "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١: الحل
= ٣ ٣لـو ) = ٣ ( ٣لـو ) = ٥ ٣ ( ٣لـو = "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢
١ = ١٠لـو = لـو = ٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣
سالـو ص ا لـو
٨ الـو ٤ ا لـو
٣ ٢ الـو
٢ ٢ ا لـو
٢ ا لـو٣
٢ ا لـو٢
٣٢
١ ا ب لـو
١ ٧ ٣ لـو
١٤
٣٣ ٤
٤ ٣٤
١٥ ٧
٧
٥٥ ٧
٧ ٣٠
٣
Page 108
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٨
١.٤٦٥ T ٥ ٣ فى أبسط صورة إذا كان لـو١٥ ٣أوجد قیمة لـو: مثال
٢.٤٦٥ = ١ + ١.٤٦٥ = ٣ ٣لـو + ٥ ٣لـو = ٣ × ٥ ٣لـو = ١٥ ٣لـو: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣٠ لو – ٣ لو ٢( + ) + لو + ٢٥ لو ٢: اختصر البسط صورة : مثال
٣٠ ــ لو ٢ ٣لو + لو + ٢)٢٥(لو = المقدار : الحل
١٠٠لو = × ٩ × × ٢)٢٥(لو =
٢ = ١٠ لو ٢ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٩ ٧لو × ٨ ٩لو × ٥ ٨لو × ٤٩ ٥لو: اختصر: مثال
٢= = = × × × = المقدار : الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣= أثبت أن : مثال
٢ ( )لو ÷ ٦( ) لو = لو ÷ لو = االیمن : الحل
الیسر ا = ٣= لو ٢÷ لو ٦ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ٣ـو ل + ۲ـو لـ ( ۲ = ۲ــو س ص ل– لــو ص ٤+ لــو س ٣: إذا كان : مثال ]بنفس المعطى فى سؤال أخر یطلب قیمة س ص [ ٦= س ص : اثبت أن
:الحل ٣ــو ل۲ + ۲ــو ل۲ = ۲ـو س ص لـ– لــو ص ٤+ لــو س ٣
۲ )٣( ــول + ۲)۲( ـولــ = ۲ــو س ص لـ– ٤لــو ص + ٣ــو سل
٩ × ٤ــو لـ = ٩لـــــو + ٤ لــــو= ـــــــــــــــــ ــو ـــــلــ
٦= س ص B ٣٦ = ۲ ص۲س B ٣٦ـو لــ = ۲ ص۲ـــو سـل
١٣
١٥
٨ ١٥
٨ ١٥
١ ٣٠
٤٩ لـو ٥ لـو
٥ لـو ٨ لـو
٨ لـو ٩ لـو
٩ لـو ٧ لـو
٤٩لـو ٧ لـو
٧لـو٢ ٧ لـو
٦٤ ــ لو ٧٢٩ لـو
٤ ــ لو ٩ لـو ٧٢٩
٦٤ ٩ ٤
٣٢
٣٢
٣٢
٣٢
نجعل الطرف األیمن "لــو " بھ
واحد فقط باستخدام القوانین
٤ص × ٣ س ۲ص × س
Page 109
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٩
لو ص+ لو س + ١) = ص+س( لو ٢ س ص أثبت أن ٨ = ٢ص + ٢إذا كان س: مثال
س ص للطرفین٢ س ص باضافة ٨ = ٢ص + ٢ سA: الحل
Bس ص ٢ + س ص ٨ = ٢ص+ س ص ٢ + ٢ س
B ) س ص بأخذ لوغاریتم الطرفین ١٠ = ٢)ص + س
B س ص ١٠لو = ٢)ص + س ( لو
B لو ص + لو س + ١= لو ص + لو س + ١٠لو ) = ص + س ( لو ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ص ٣س ٢ لــو– ص ٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص : مثال :الحل
٢)س ص ( ٢لـــــو = ٢ ص٢ س٢لــــو= ـــــــــــــــــــــ ٢لــــــو= المقدار
٥ = ١ × ٥ = ٢ ٢ لــــو٥ = ٥ ٢ ٢لــــو= ٣٢ ٢لــــو = ٢ )٢ ؟ ٤ ( ٢ــــول = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١ - = ٦٤ ٨ لــــــو٤و لـــــ٢ لــــو: إثبت أن :مثال
٨ ٨ لـــــو٢ ٤ لــــــو٢لـــــو = ٢ ٨ ٨ لـــــو٤ لــــــو٢لـــــو= المقدار : الحل
٤ ٤ لـــو٢لــــو = ) ٤ (٤ لــــــو٢لــــو =
١ - = ٢ ٢لـــو١- = ١- ٢ ٢لــــو= ٢لــــــو = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال
: الحل A ــــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س B ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س
B ــــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س B ٥لــــو = لــــو س B ٥= س
٢ص × ٣س ٤ص × ٥س
١ ١ ٢
١ ٢ ٢
١٢٥ لو– ٢)٥لو( ٠.٠٠٥لو
٣ ٥ لو– ٢)٥لو( ١٠٠٠ لو – ٥لو
٥ لو٣ – ٢)٥لو( ٣ – ٥لو
٣ – ٥لو ]٣ – ٥لو [ ٥لو
Page 110
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٠
:اللوغاریتمیة المعادالتحل *
: أوجد مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة :مثال ٠ ) = ٣+ س ٢( لـــو س ــ لـــو ٢) ١
٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢
٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ( ) ٣
٢ لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س ( لو ) ٤
٢ = ٣ سلو+ س ٣لو) ٥
:الحل ١ ( A و س ــ لـــو لـــ٢ )٠ ) = ٣+ س ٢
B ٣+ س ٢( لــو = لــو س ٢ (
B٣+ س ٢( لــو = ٢ لــو س (
B ٣+ س ٢ = ٢ س B ٠ = ٣ – س ٢ – ٢ س B ) ٠ ) = ١+ س ) ( ٣ –س
B مرفوض ١ -= ، س ٣= س B ٣{= ح . م {
٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢
B٣ ٢ ٣لــو ) = ١+ س )( ١ –س ( ٣ لــو B٨ ٣لــو ) = ١ ــ ٢س ( ٣ لــو B٨ = ١ – ٢ س B٩ = ٢ س B مرفوض٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {
٣ (A ) ٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ
B )٠ = ٤ – ـو س لـ٣ – ٢) ـو س لـ B )٠ ) = ١+ ـو س لـ ) ( ٤ –ــو س ل
:مالحظة بالتعویض
عن قیمة س فى المعادلة األصلیة لمعرفة ما إذا كان یمكن قبول ھذا
العدد أم رفضھ حیث ال یوجد اریتم لعدد سالبلوغ
تذكر دائما أننا نجعل كل طرفواحد لنتمكن من " لــو " بھ
" لــو " الحل و ھنا نتخلص من بالتحویل الى الصورة األسیة
٢)لوغاریتم ( إذا وجدنا دائماتذكر دم التحلیل اعلم أننا سوف نستخ
لنتمكن من حل السؤال
Page 111
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١١
B ١٠= منھا س ٤= لــو س ٤
=١٠٠٠٠ ١٠= منھا س ١ –= ـو س لـ،
٠.١ = ١ــ B ٠.١ ، ١٠٠٠٠{ = مجموعة الحل {
٤ (A لو ) ٢لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س
B ٢ ــ لــو ١٠لــو ) = ٢س ــ ) ( ٢+ س ( لــو
B ٥لــو = لــو ) = ٤ ــ ٢س( لــو B٥ = ٤ ــ٢ س B٩ = ٢ س
B مرفوض ٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {
٥ (A ٢ = ٣ سلو+ س ٣ لو Bس٣ بالضرب فى لو٢+ = س ٣ لو
B ) س ٣لو (س ٣ لو٢ = ١ + ٢ B ) ٠ = ١+ لوس ٢ ــ ٢) س ٣لو B ) ٠ ) = ١ ــ س٣ لو ) ( ١ س ــ ٣لو B ١= س ٣ لو B ٣= س g المجال B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢لــو= " ٢" -" س؟ ٣لــو + "١- " س٣ ؟ ٣لو حل المعادلة : مثال : الحل
B ٢لو ) = " ٢ "– "س")( "١" - "س" ٣ ( ؟ ٣ لــــو
B )بالتكعیب ٢ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣
B )٨ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣ B ٨ = ٢+ س ٧ – ٢س٣
B ٠ = ٦ – س ٧ – ٢ س٣ B )٠ ) = ٣ –س ) ( ٢+س ٣
B ٣= س ، = س
B ٣، { = ح . م {
١٠ ٢
١ س٣ لـو
١ ٣
١ ٣
-٢ ٣
-٢ ٣
Page 112
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٢
:حل المعادالت األسیة باستخدام اللوغاریتمات*
٩ فاوجد قیمة المقدار ٣ـو لـ ÷ ٥لـــو = إذا كانت س : مثال س
– ٣ ٢+ ١+ س
:الحل A ـــــــــــــ = س B ٥لـــو = ٣ س لــو B ٣ لــو
س٣ B ٥لــو =
س =٥
B ٩= المقدارس – ٣
) ٢ ٣ = (٢+ ١+ س س – ٣
٢ + ٣ × س
) = ٣س
( ٣ – ٢ ١٢ = ٢ + ١٥ – ٢٥ = ٢ + ٣ × ٥ – ٢)٥= (٢ + ٣ × س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x
٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ) ٨: (اوجد مجموعة حل المعادلة : مثال
+ س
١) = ٩ (
–س ۲
:الحل للوغاریتم للطرفین نجد أنبأخذ ا
) ٨(لـــــــــــو + س
١
) ٩(لــــــــــــو = –س
۲ ٩لـــــــــو ) ۲ –س = ( ٨لــــــــــــو ) ١+ س (
٩ــو ـلـ۲ – ٩ــو س لــــ = ٨لـــــــو + ٨س لــــــــــو ٩ــو لــ۲ – ٨ـــو لــــ– = ٩ س لــــــو – ٨ـــو س لــــ
٩ـو لــ۲ – ٨ــــو ل– ) = ٩ لـــو – ٨ـو لـــ( س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س
: باستخدام اآللة الحاسبة من الیسار إلى الیمین كاآلتي ( - 2 log 9 – log 8 ) ÷ ( - log 8 – log 9 ) =
B ٥٤.٩٦٤٥= س
٥ـو لــ ٣ــو لـ
٩لـــــــــو ۲ – ٨ لــــــــــو –
٩ لــــــــــو – ٨لــــــــــو
"لــو " تذكر دائما أننا نأخذ الطرفین فى المعادالت التى
یصعب أن نجعل فیھا األساس= األساس
و المعادالت االسیة
Page 113
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٣
٥ ×۲: إذا كان : مثالص
فاوجد قیمة ص ألقرب رقم عشرى۲+ ص ۲ × ٥ = : الحل
: بأخذ اللوغاریتم للطرفین نجد أن ٥ ×۲( لــــــــــو
ص ) ۲+ ص ۲ × ٥(لـــــــــو ) =
٥لــــــــــو + ۲ لـــــــــوص
۲+ ص ۲لـــــــــو + ٥لـــــــــــو = ۲لــــــــو ) ۲+ ص + ( ٥لـــــــــو = ٥ص لـــــــــو + ۲ لــــــــو ۲لــــــــو ۲ + ۲ص لــــــــو + ٥لــــــــو = ٥ص لــــــــو + ۲ لــــــــو
۲ لــــــــو – ۲لــــــــو ۲ + ٥لــــــــو = ۲ ص لــــــــو – ٥ص لــــــــو ۲لــــــــو + ٥لــــــــو ) = ۲لــــــــو – ٥ـو لـــــــ( ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ص
( log 5 + log 2 ) ÷ (log 5 – log 2 ) =
۲ . ٥= ص ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ
٢+ س٣ × ٧= ١+س ٢ ٥أوجد قیمة س حیث : مثال :الحل
بأخذ لوغاریتم الطرفین A ٢+ س٣ × ٧لــــو = ١+س ٢ ٥لــو B ٢+ س٣لــو + ٧لــو = ١+س ٢ ٥و لـــ
B )٣لو)٢+س + (٧لو = ٥لو)١+س٢ B ٣لو٢ + ٣س لو + ٧لو = ٥لو+ ٥س لو٢
٥لو – ٣ لو ٢ +٧لو ) = ٣ لو – ٥لو٢(س B ٥ لو– ٣لو٢ +٧لو = ٣ س لو– ٥س لو٢
١.١٩= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧ = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨ : أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال
:الحل بأخذ لوغاریتم الطرفین
B ٢٧لـــو = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨لــو B ٢٧لو = ٢+ س ٩لـو + ١+س ٢ ٨ لـــو
۲لــــــــو + ٥ لــــــــو
۲ ــ لــــــــو ٥ لــــــــو
٥ لو– ٣ لو٢ + ٧لو ٣ لو– ٥لو٢
Page 114
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٤
B )٢٧لو = ٩لو) ٢+س +(٨لو) ١+س٢ B٢٧لو = ٩لو٢+٩س لو +٨لو + ٨س لو٢
B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو = ٩س لو + ٨س لو ٢
B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو ) = ٩لو + ٨لو٢( س
B ٠.٥ -= ـــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــ= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢ :أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال :الحل
٠ ) = ٥ – س٢) ( ٣ – س٢ (
٥ = س٢ ٣ = س٢
بأخذ لو الطرفین بأخذ لو الطرفین
٥لو = س٢ لو٣لو = س٢لــــو
٥لو = ٢ س لو٣لو = ٢س لو
ــــــــــــ= ـــــــــــ س = س
= ٢.٣= ١.٦
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٨ لو– ٩ لو٢ – ٢٧لو ٩لو + ٨ لو٢
٣لــو ٢لــو
٥لــو ٢لــو
تمارین على خواص اللوغاریتمات
Page 115
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٥
٢ص ٣س ٢ لــو– ص٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص ) ٩(
Page 116
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٦
:تمارین متنوعة على اللوغاریتمات
ــ: أوجد قیمــة كل من ] ١[
١٠ ٥لو + ١٦ ٥لو – ٤٠ ٥لو) ١
۲٤ ٤لو + ٤۲ ٤ لو – ٥٦ ٤لو+ ۲ ٤لو) ٢
٧٣ لـو - لـو ٤ - لـو ٢ - لـو ٣) ٣
٢٥ ٥ لــــــو٤ــــولـ ٢لــــو )٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــ: إثبــت أن ] ٢[
٢٧ ٣لـو = لـو + ٢ لـو- ٢لـو ) ١
٣٦ ٦وـ ل =٠.٣وـل ۲ – ١۲وـل + ٠.٧٥و ـل) ٢
٢) = ٣
)٣وـل + ٢وـل ( ٢ =٢ ص٥س وـل –وص ـ ل٤+وسـل ٧إذا كان = س ) ٤
س ص لو:ثم إثبت أن س صلو = ۲س وـل ) ٥
٣ س۲ص لو +
٦ سص لو ٦ =
ص ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد قیمــة س فیما یلى ] ٣[
١٧٥وـ ل + ١۲٥وـ ل –٣٥وـ ل =٤.٩وـل+ وس ـل) ١ ٠.٣ لـو ٢ - ١٢لـو + لـو = س ٢لـو ) ٢
٨لو ) = ١+ س ( و ـل ) + ١ –س ( وـل )٣ ١) = س٩ + ۲س( و ـل) ٤
١ ٢
٥ ٣
٥ ٧
١ ٣
٧ ١٢
٤٠ ١٣
٩١ ٦٠
٤٥ لو – ۲لو + ١ ١٥ لو – ١
٦ ص
٣ ٤
Page 117
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٧
:ادالت اآلتیةعأوجـد مجمـوعة حل الم] ٤[
٨= س ۲وـ ل۲ + ۲ ) س۲وـل () ٢ ٣) = ٢-س ( ٢لـــــو+ س ٢لـــو) ١
٤= ــــــــــــــ + س ۲لو) ٤ ٤لـــــو س = ٣)لــــو س( ) ٣
٣٢ = ٦٤ × ٢) ٦ ٢ = | ١+ س | ٣وـل) ٥
٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢) ٨ ٤+ س ٣ = ٣ – س ٢ ٥) ٧ ١ ) = ١٧ – ٢س ( ٢لـو ٣لـو) ١٠ ) ظا (٣لو= س ) ٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد قیمة س ألقرب رقمین عشریین فى كل مما یأتى ] ٥[
٧.١٢ = ٥ – س ٣ )١٨(إذا كان ) ٢ ١٧ = س ٥إذا كان ) ١
) ٣٦ ÷ س ٦ = (١ –س ٥) ٤ ٢ –س ٩ = ١+ س ٨ إذا كان) ٣
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : عشرى بإستخدام حاسبة الجیب أوجد قیم س مقربا الناتج لرقم] ٦[
١ (۲ ۲ × ١٠ – س ۲
س + ۲٠= ٤
٥ × ٣) ٢ ١+ س ۲
=۲٩ × ٥ ١+ س
٢ لـــــو٣ – ٧ لــــو ٢= س ) ٣
٢٠٠) = ٢ –س ( د) + س( د، س ٣) = س(إذا كان د) ٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نق ط ٣؛$ = إذا كان حجم الكرة ] ٧[٣
٣ سم٩٠٤.٣۲ = أوجد طول نصف قطر الكرة التى حجمھا
لقرب سم ٣.١٤= متخذا ط ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــ أوجد قیمتى س ، صــــــــ= ــــــــــــــ = إذا كان ــــــــــــ ] ٨[
٣ س ۲لو
)لــوس ( ٢)لــوس (
ط ٣
لـــو س ٥لـــو
٩لـــو ٣ـو لــ
٤٩لـــو لــــوص
Page 118
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٨
Page 119
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٩
Page 120
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٢٠