Περιληπτική έκδοση (και ελαφρώς πιο κατανοητή) της διπλωματικής εργασίας στη ΣΤΕΑΜΧ.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΕΠΙΡΡΟΗ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗΣ
ΣΤΡΕΒΛΩΣΗΣ
Λγός (ΜΧ) Πάνος Στέργιος
Επιβλέπων καθηγητής:
Σαπουντζάκης Ευάγγελος, Καθηγητής Στατικής ΣΤΕΑΜΧ, Τακτικός
Καθηγητής ΕΜΠ
ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΗ ΈΚΔΟΣΗ
Αθήνα, Ιανουάριος 2015
II
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε κατά τη διάρκεια του Ε'
εξαμήνου εκπαίδευσης της 67ης Εκπαιδευτικής Σειράς της Σχολής Τεχνικής
Εκπαίδευσης Αξιωματικών Μηχανικού, στο μάθημα της Στατικής.
Στα κεφάλαια 1 έως 3, παρουσιάζονται στοιχεία από τις θεωρίες
Στον αριθμητικό υπολογισμό της μέγιστης ορθής τάσης, οι αποκλίσεις της
θεωρίας Euler-Bernoulli από την ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων
στοιχείων ξεπερνούν το 18%, σε αντίθεση με την ανάλυση της γενικευμένης
στρέβλωσης που η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη και βρίσκεται σε ποσοστό
6,5% (Σχήμα 34 και Σχήμα 35).
Σχήμα 34 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων σε απόσταση 1,85μ. από την
πάκτωση
Μητρωική Ανάλυση Φορέων με Επιρροή Διατμητικής & Στρεπτικής Στρέβλωσης (Π)
- 39 -
Σχήμα 35 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων σε απόσταση 1,85μ. από το μέσο
της γέφυρας
6o Κεφάλαιο – Αριθμητικές Εφαρμογές
- 40 -
6.3 Προβλήματα – Δυσχέρειες
Τα βασικά προβλήματα που αντιμετωπίστηκαν κατά τη διάρκεια της
παρούσας εργασίας, περιστρέφονται, κυρίως, γύρω από τη διαδικασία
μοντελοποίησης και ανάλυσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η
μέθοδος αυτή, ενώ διαθέτει το πλεονέκτημα της εξαιρετικής ακρίβειας στην
ανάλυση, έχει και μειονεκτήματα, δύο από τα οποία και αντιμετωπίστηκαν.
Το πρώτο πρόβλημα αφορά στη δυσκολία διαμόρφωσης του φορέα.
Ιδιαίτερα στη διαμόρφωση στηρίξεων όπως η άρθρωση, η οποία ενώ εισάγεται
εύκολα στη ραβδοστατική, ακόμα και από αρχάριους χρήστες, στα πεπερασμένα
στοιχεία η υλοποίησή τους είναι εξαιρετικά δύσκολη. Προβλήματα παρατεταμένης
παύσης της λειτουργίας του υπολογιστή παρουσιάστηκαν κατά τη διάρκεια της
διαμόρφωσης του φορέα, λόγω της αδυναμίας του υπολογιστή να διαχειριστεί τον
όγκο των δεδομένων των πεπερασμένων στοιχείων. Μερικές φορές, οι παύσεις
αυτές ήταν οριστικές, με αποτέλεσμα την απώλεια των, μέχρι εκείνο το σημείο,
δεδομένων.
Το δεύτερο πρόβλημα αφορά στη διαδικασία της ανάλυσης του φορέα των
131.262 πεπερασμένων στοιχείων (solid elements), κατά τη διάρκεια της οποίας, ο
υπολογιστής έφτασε στο όριο των δυνατοτήτων του.
Σχήμα 36 Διάγραμμα επιδόσεων CPU και μνήμης RAM αντίστοιχα, κατά τη
διάρκεια ανάλυσης με μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (131.262 solid elements)
Σχήμα 37 Διάγραμμα επιδόσεων CPU και μνήμης RAM αντίστοιχα, κατά τη
διάρκεια ανάλυσης με μέθοδο γενικευμένης στρέβλωσης (30 ράβδοι)
Μητρωική Ανάλυση Φορέων με Επιρροή Διατμητικής & Στρεπτικής Στρέβλωσης (Π)
- 41 -
Συνοπτικά, τα κυριότερα μειονεκτήματα που παρουσιάζει η μέθοδος των
τρισδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων (solid elements), σε σχέση με τις
μεθόδους ραβδωτών στοιχείων είναι τα εξής:
Η διαδικασία προσομοίωσης (μοντελοποίησης) ενός τεχνικού έργου
είναι πολύ απαιτητική. Ακόμα και σε απλές κατασκευές, οι απαιτήσεις σε χρόνο και
υπολογιστική ισχύ, στο στάδιο της μοντελοποίησης (pre-processing), είναι πολύ
μεγαλύτερες σε σχέση με τις αντίστοιχες των ραβδωτών στοιχείων.
H εισαγωγή στο μοντέλο των στηρίξεων (δεσμεύσεων κινήσεως) και
των φορτίσεων είναι πολυπλοκότερη και στερούν από το μηχανικό την εποπτική
αίσθηση που προσφέρουν οι συνήθεις στηρίξεις των ραβδωτών στοιχείων
(πάκτωση, άρθρωση, κύλιση, κλπ.).
Παρουσιάζει δυσκολίες στη διακριτοποίηση πολύπλοκων κατασκευών
και δημιουργεί τεράστιο αριθμό βαθμών ελευθερίας κίνησεις (dof’s), οδηγώντας σε
χρόνους υπολογισμού μη πρακτικούς για το μηχανικό.
Παρουσιάζει δυσκολίες και κίνδυνο σφάλματος κατά τη διακριτοποίηση
λεπτότοιχων διατομών, λόγω των φαινομένων του διατμητικού και μεμβρανικού
κλειδώματος (shear-locking, membrane-locking phenomena), ενώ η
χρησιμοποίηση πεπερασμένων στοιχείων κελύφους (shell elements) δε δίνει
ακριβή αποτελέσματα, καθώς δε λαμβάνειι υπόψη τη στρέβλωση της διατομής.
Δεν επιτρέπει τη διενέργεια παραμετρικών αναλύσεων.
Απαιτεί τον προσδιορισμό συναρτήσεων σχήματος για τα κινηματικά
μεγέθη, αυξάνοντας τον αριθμό των απαιτούμενων πεπερασμένων στοιχείων.
Δεν επιτρέπει, στο στάδιο της εξαγωγής αποτελεσμάτων (post-
processing), την παρατήρηση και ερμηνεία γνωστών στατικών φαινομένων και
μεγεθών, όπως εντατικά μεγέθη, στροφές, παραμέτρους στρέβλωσης, κλπ.. Τα
πεπερασμένα στοιχεία εξάγουν μόνο τάσεις και μετατοπίσεις.
6.4 Συμπεράσματα
Στο παρόν κεφάλαιο διενεργήθηκαν τέσσερις αναλύσεις σε ένα μεταλλικό
πλαίσιο και μία καμπύλη γέφυρα από σκυρόδεμα, με βάση τις θεωρίες των Euler –
Bernoulli – Saint-Venant και Timoshenko – Saint-Venant (μητρωική ανάλυση με
μητρώο στιβαρότητας μέλους 12Χ12), με επιρροή διατμητικής και στρεπτικής
στρέβλωσης (μητρωική ανάλυση με μητρώο στιβαρότητας μέλους 20Χ20) και με
τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (131.262 εξαεδρικών, οκτακομβικών
στοιχείων - solid elements και 85.317 τετραεδρικών, δεκακομβικών,
πεπερασμένων στοιχείων -solid elements).
6o Κεφάλαιο – Αριθμητικές Εφαρμογές
- 42 -
Οι συγκρίσεις των εξαγόμενων αποτελεσμάτων έδειξαν τα παρακάτω:
Στα κινηματικά μεγέθη, η θεωρία της γενικευμένης στρέβλωσης
προσέγγισε ελαφρώς καλύτερα τα αποτελέσματα των πεπερασμένων στοιχείων,
σε σχέση με τα αντίστοιχα των θεωριών Euler – Bernoulli και Timoshenko.
Στην κατανομή των τάσεων, οι ευθείες ισοτασικές γραμμές των
θεωριών Euler – Bernoulli και Timoshenko, που οφείλονται στη βασική παραδοχή
αυτών περί επιπεδότητας της παραμορφωμένης διατομής, διαφέρουν ριζικά από
την «πραγματική» κατανομή των ορθών τάσεων, όπως αυτή εξάγεται από τη
μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Σχήμα 21 και Σχήμα 35). Η θεωρία
γενικευμένης στρέβλωσης προσεγγίζει με εξαιρετική ακρίβεια τις «πραγματικές»
κατανομές.
Στην τιμή της μέγιστης αναπτυσσόμενης ορθής τάσης (σmax), οι θεωρίες
των Euler – Bernoulli και Timoshenko εμφανίζουν ορθές τάσεις μέχρι και 37%
μικρότερες από τις «πραγματικές», σε αντίθεση με τη θεωρία γενικευμένης
στρέβλωσης που έχει αποκλίσεις έως 11% από τις εξαγόμενες από τη μέθοδο
πεπερσαμένων στοιχείων.
Καταλήγοντας, η ελαστική, στατική ανάλυση με επιρροή στρεπτικών και
διατμητικών παραμορφώσεων είναι σε θέση να μας αποδώσει αποτελέσματα με
ακρίβεια «πεπερασμένων στοιχείων», αλλά ταυτόχρονα με ελάχιστες
υπολογιστικές απαιτήσεις και ευκολότερη και αποδοτικότερη διαδικασία
μοντελοποίησης, καθώς βασίζεται σε αναλυση ραβδόμορφων φορέων.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
- 43 -
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Γκέσος Π. (2013), “Θεωρίες Κάμψης, Διάτμησης και Στρέψης δοκών, Κάμψη – Διάτμηση Timoshenko,Κάμψη Euler – Bernoulli,Ελαστική Θεωρία Διάτμησης,Ανομοιόμορφη Στρέψη,Ανομοιόμορφη Στρέψη με Δευτερογενείς Παραμορφώσεις”, Σχολή Τεχνικής Εκπαίδευσης Αξιωματικών Μηχανικού, Ιανουάριος 2013.
Beer, G., Smith, I. and Duenser, Ch. (2008). “The Boundary Element Method with Programming – For Engineers and Scientists”. Springer Wien New York.
Chang, P. and Hijazi, H. (1989). “General Analysis of Asymmetric Thin-Walled Members”. Thin-Walled Structures, 7, 159-186.
Chang, S.T. and Zheng, F.Z., (1987). “Negative Shear Lag in Cantilever Box Girder with Constant Depth”. Journal of Structural Engineering, 113(1), 20-35.
Dezi, L. and Mentrasti, L. (1985). “Nonuniform Bending-Stress Distribution (Shear Lag)”. Journal of Structural Engineering, 111(12), 2675-2690.
Dikaros, I.C. and Sapountzakis, E.J. (2013). “Nonuniform Shear Warping Analysis of Composite Beams of Arbitrary Cross Section using the Boundary Element Method”. Civil-Comp Press, Proceedings of the 14th International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing.
Dong, S.B., Ηarbas, S. and Taciroglu, E. (2013). “On Principal Shear Axes for Correction Factors in Timoshenko Beam Theory”. International Journal of Solids and Structures, 50, 1681-1688.
El Fatmi, R. (2007). “Non-uniform Warping Including the Effects of Torsion and Shear Forces. Part-II: Analytical and Numerical Applications”. International Journal of Solids and Structures, 44, 5930-5952.
El Fatmi, R. (2007a). “Non-uniform Warping Including the Effects of Torsion and Shear Forces. Part-I: A General Beam Theory”. International Journal of Solids and Structures, 44, 5912-5929.
El Fatmi, R. (2007b). “Non-uniform Warping Including the Effects of Torsion and Shear Forces. Part-II: Analytical and Numerical Applications”. International Journal of Solids and Structures, 44, 5930-5952.
El Fatmi, R. and Ghazouani, N. (2011). “Higher Order Composite Beam Theory built on Saint-Venant’s Solution. Part-I: Theoretical Developments”. Composite Structures, 93, 557-566.
Eurocode 3 (2004): Design of Steel Structures – Part 1.5: Plated Structural Elements, European Committee for Standardization, prEN 1993-1-5.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
- 44 -
Eurocode 4 (2004): Design of Composite Steel and Concrete Structures – Part 1.1: General Rules and Rules for Buildings, European Committee for Standardization, prEN 1994-1-1.
Eurocode 4 (2004): Design of Composite Steel and Concrete Structures – Part 2: General Rules and Rules for Bridges, European Committee for Standardization, prEN 1994-2.
FEMAP for Windows (2008). Finite element modeling and post-processing software. Help System Index, Version 10.
Ferradi, M.K., Cespedes, X. and Arquier, M. (2013). “A higher Order Beam Finite Element with Warping Eigenmodes”. Engineering Structures, 46, 748-762.
Gara, F., Ranzi, G. and Leoni, G. (2011). “Simplified Method of Analysis Accounting for Shear-lag Effects in Composite Bridge Decks”. Journal of Constructional Steel Research, 67, 1684-1697.
Genoese, A., Genoese, A., Bilotta, A. and Garcea, G. (2013). “A Mixed Beam Model with Non-Uniform Warpings Derived from the Saint Venànt Rod”. Computers and Structures, 121, 87-98.
Ghazouani, N. and El Fatmi, R. (2010). “Extension of the non-uniform warping theory to an orthotropic composite beam”. Comptes Rendus Mecanique, 338, 704-711.
Ghazouani, N. and El Fatmi, R. (2011). “Higher Order Composite Beam Theory built on Saint-Venant’s Solution. Part-II: Built-in Effects Influence on the Behavior of End-Loaded Cantilever Beams”. Composite Structures, 93, 567-581.
Gupta, P.K., Singh, K.K. and Mishra, A. (2010). “Parametric Study on Behaviour of Box-Girder Bridges Using Finite Element Method”, Technical Note. Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing), 11(1), 135-148.
Hjelmstad, K.D. (1987). “Warping Effects in Transverse Bending of Thin-Walled Beams”. Journal of Engineering Mechanics, 113(6), 907-924.
Ie, C.A. and Kosmatka, J.B. (1992). “On the Analysis of Prismatic Beams Using First-Order Warping Functions”. International Journal of Solids and Structures, 29(7), 879-891.
Katsikadelis, J.T. (2002). “The Analog Equation Method. A Boundary – only Integral Equation Method for Nonlinear Static and Dynamic Problems in General Bodies”. Theoretical and Applied Mechanics, 27, 13-38.
Katsikadelis, J.T. (2002a). “Boundary Elements: Theory and Applications, Elsevier”. Amsterdam-London.
Katsikadelis, J.T. (2002b). “The Analog Equation Method. A Boundary – only Integral Equation Method for Nonlinear Static and Dynamic Problems in General Bodies”. Theoretical and Applied Mechanics, 27, 13-38.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
- 45 -
Katsikadelis, J.T. and Sapountzakis, E.J. (2002). “A realistic estimation of the effective breadth of ribbed plates”. International Journal of Solids and Structures, 39, 897-910.
Koo, K.K. and Cheung, Y.K. (1989). “Mixed Variational Formulation for Thin-Walled Beams with Shear Lag”. Journal of Engineering Mechanics, 15(10), 2271-2286.
Koo, K.K. and Wu, X.S. (1992). “Shear Lag Analysis for Thin-Walled Members by Displacement Method”. Thin-Walled Structures, 13, 337-354.
Laudiero, F. and Savoia, M. (1990). “Shear Strain Effects in Flexure and Torsion of Thin-Wailed Beams with Open or Closed Cross-Section”. Thin-Walled Structures, 10, 87-119.
Le Corvec, V. and Filippou, F.C. (2011). “Enhanced 3D Fiber Beam-Column Element with Warping Displacements”. Proc. of the 3rd International Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering COMPDYN.
Luo, Q.Z. and Li, Q.S. (2000). “Shear Lag of Thin-Walled Curved Box Girder Bridges”. Journal of Engineering Mechanics, 126(10), 1111-1114.
Luo, Q.Z., Tang, J. and Li, Q.S. (2003). “Shear Lag Analysis of Beam-Columns”. Engineering Structures, 25, 1131-1138.
Lutz, E., Ye, W. and Mukherjee, S. (1998). “Elimination of Rigid Body Modes from Discretized Boundary Integral Equations”. International Journal of Solids and Structures, 35(33), 4427-4436.
Malcolm, D.J. and Redwood, R.G. (1970). “Shear lag in stiffened box-girders”. J. Struct. Div. ASCE, 96(ST7), 1403-15.
Moffatt, K.R. and Dowling, P.J. (1975). “Shear lag in steel box-girder bridges”. Struct. Engineer, 53, 439-48.
Mokos, V.G. and Sapountzakis, E.J. (2011). “Secondary Torsional Moment Deformation Effect by BEM”. International Journal of Mechanical Sciences, 53, 897-909.
Murín, J., Kutiš, V. (2008). “An effective finite element for torsion of constant cross- sections including warping with secondary torsion moment deformation effect”. Engineering Structures, 30(10), 2716-23.
Muskhelishvili, N.I. (1963). “Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity”. P. Noordhoff Ltd.
Park, S.W., Fuji, D. and Fujitani, Y. (1997). “A Finite Element Analysis of Discontinuous Thin-Walled Beams Considering Nonuniform Shear Warping Deformation”. Computers and Structures, 65(1), 17-27.
Prokić, A. (2002). “A New Finite Element for Analysis of Shear Lag”. Computers and Structures, 80, 1011-1024.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
- 46 -
Razaqpur, A.G. and Li, H.G. (1991). “A Finite Element with Exact Shape Functions for Shear Lag Analysis in Multi-Cell Box Girders”. Computers and Structures, 39(1), 155-163.
Reissner, E. (1946). “Analysis of shear lag in box beams by the principle of minimum potential energy”. Q. Appl. Math., 41, 268-78.
Sapountzakis, E.J. and Dikaros, I.C (2015), “Advanced 3D beam element of arbitrary composite cross section including generalized warping effects”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, DOI: 10.1002/nme.4849
Sapountzakis, E.J. and Katsikadelis, J.T. (2000). “Analysis of plates reinforced with beams”. Computational Mechanics, 26, 66-74.
Sapountzakis, E.J. and Mokos, V.G. (2003). “Warping Shear Stresses in Nonuniform Torsion of Composite Bars by BEM”. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192, 4337-4353.
Siemens PLM Software Inc. (2008), “NX Nastran User’s Guide”.
Tahan, N., Pavlović, M.N. and Kotsovos, M.D. (1997). “Shear-Lag Revisited: The Use of Single Fourier Series for Determining the Effective Breadth in Plated Structures”. Computers and Structures, 63(4), 759-167.
Tesar, A. (1996). “Shear Lag in the Behavior of Thin-Walled Box Bridges”. Computers and Structures, 59, 607-612.
Tsipiras, V.J. and Sapountzakis, E.J. (2012). “Secondary Torsional Moment Deformation Effect in Inelastic Nonuniform Torsion of Bars of Doubly Symmetric Cross Section by BEM”. International Journal of Non-linear Mechanics, 47, 68-84.
Vieira, R.F., Virtuoso, F.B.E. and Pereira, E.B.R. (2013). “A Higher Order Thin-Walled Beam Model Including Warping and Shear Modes”. International Journal of Mechanical Sciences, 66, 67-82.
Vlasov, V. (1963), “Thin-walled elastic beams”. Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem.
Wu, Y., Lai, Y., Zhang, X. and Zhu, Y. (2004). “A Finite Beam Element for Analyzing Shear Lag and Shear Deformation Effects in Composite-Laminated Box Girders”. Computers and Structures, 82, 763-771.
Wu, Y., Liu, S., Zhu, Y. and Lai, Y. (2003). “Matrix Analysis of Shear Lag and Shear Deformation Effects in Thin-Walled Box Beams”. Journal of Engineering Mechanics, 129(8), 994-950.
Zhou, S.J. (2010). “Finite Beam Element Considering Shear-Lag Effect in Box Girder”. Journal of Engineering Mechanics, 136(9), 1115-1122.