НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных

неопределенных интегралов.

В дифференциальном исчислении решается задача:

по данной функции ( )F x найти ее производную

Интегральное исчисление решает обратную задачу:

найти функцию ( ),F x если известна ее

производная ( ) ( ).f x F x

( ) ( ).F x f x

Определение 1. Функция )(xF называется

первообразной функции ( ),f x заданной на

некотором множестве ,X если для Xxвыполняется равенство

).()( xfxF

Пример. Пусть 3( ) .f x x

Тогда первообразной для данной функции является функция

4

( ) ,4

xF x так как

).(44

1

4)( 33

4

xfxxx

xF

Очевидно, что первообразными будут также любые функции

,4

)(4

Cx

xF где ,constC поскольку

4 4

3 3

( )4 4

14 0 ( ).

4

x xF x C C

x x f x

Таким образом, если )(xF и )(x − две

первообразные одной и той же функции ( ),f x то

.)()( CxFx

Определение 2. Множество CxF )(всех первообразных функции )(xf на множестве

X называется неопределенным интегралом

и обозначается

.)()( CxFdxxf

Здесь − знак интеграла,

)(xf − подынтегральная функция,

dxxf )( − подынтегральное выражение,

x − переменная интегрирования.

Нахождение первообразной для данной функции )(xfназывается интегрированием функции ( ).f x

Теорема. Для всякой непрерывной на );( baфункции )(xf существует на этом промежутке

первообразная, а, значит, и неопределенный интеграл.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, зависящих от одного параметра

,C которые получаются одна из другой путем

параллельного сдвига вдоль оси .Oy

Перечислим основные свойства неопределенного интеграла:

1) );()( xfdxxf

2) ;)()( Cxfdxxf

3) ,)()( dxxfCdxxCf

;constC

4) ,)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf

5) Если ,)()( CxFdxxf то ( ) ( ) ,f u dx F u C где )(xu − произвольная функция, имеющая

непрерывную производную.

6) Если ( ) ( ) ,f x dx F x C то

1( ) ( )f kx b dx F kx b C

k

для , , 0k b k R

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:

3)

2)

1) ;dx x C 1

, ( 1);1

nn x

x dx C nn

;2

dxx C

x

7)

6)

5)

4) ln ;dx

x Cx

;x xe dx e C

;ln

xx a

a dx Ca

cos sin ;xdx x C

11)

10)

9)

8) sin cos ;xdx x C 2

1;

cosdx tgx C

x

2

1;

sindx ctgx C

x

2

1;

1dx arctgx C

x

12) 2

1arcsin ;

1dx x C

x

15)

14)

13) 2 2

1 1;

xdx arctg C

a x a a

2 2

1arcsin ;

xdx C

aa x

2

2

1ln .dx x x a C

x a

Приведенные в данной таблице интегралы

называют табличными.

§2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

2.1. Метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называют

интегрирование с помощью свойств 3, 4 и 6,

тождественных преобразований

подынтегральной функции и таблицы основных

интегралов.

Примеры.

1) 55 5

5 1 4

4

1

1;

5 1 4 4

dxdx x dx

x x

x xC C C

x

2)

13 3 2x xdx x x dx

7 911 7 2 23

2 2

7 91

2 2

x xx dx x dx C C

9 8 42 2 2;

9 9 9x C x x C x x C

3)

2 22

arcsin ;33 3

dx dx xC

x x

4) 7

5sin 4xx dxx

15 sin 4 7xxdx dx dx

x

45cos 7 ln ;

ln 4

x

x x C

5)

5 43

5

2x x xdx

x

15 43

5 5 5

2x x xdx

x x x

15

3 12x dx

x

14

3 12x dx dx dx

x

14

13

2 ln14

13

xx x C

11

332 ln ;

11x x x C

6) 6 5 3 7 6 5 3 7

5 5 5

x x x x

x x xdx dx

7 76 3 6 3

5 5

x x

dx dx dx

75

75

6 3 ;ln

x

x C

7) cos(5 1)x dx

( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( ) ;

cos sin , 5, 1f x F x

f x dx F x C

f kx b dx F kx b Ck

x dx x C k b

1sin(5 1) ;

5x C

8) 1

22 9 2 9xdx x dx

1 3

2 2

( )( )

( ) ( )

1( ) ( ) ;

2, 9, 2

3f xF x

f x dx F x C

f kx b dx F kx b Ck

x dx x C k b

3

2

3

1 22 9

9 32

2 9 .27

x C

x C

2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной.

На практике часто встречаются интегралы вида

( ) ( )f x x dx или интегралы, которые сводятся к такому виду

Подведем в этом интеграле множитель ( )xпод знак дифференциала:

( ) ( ) ,x dx d x

а затем произведем подстановку

( ) .x t

В результате получим формулу подстановки в неопределенном интеграле:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x x dx x dx d x

f x d x t x f t dt

Следовательно, задача свелась к нахождению интеграла

( ) ,f t dtкоторый либо уже табличный, либо легко сводится к табличному, и обратной подстановке

( ).t x

Примеры поднесения под знак дифференциала:

, , 0a b const a

( );dx d x b 1

( );dx d axa

1( );dx d ax b

a

21( ),

2xdx d x

21( );

2xdx d ax b

a

11( ), 1;

2 ( 1)n nx dx d ax b n

a n

1ln ;dx d x

x

1 1ln ;dx d a x b

x a

1cos( ) sin( ) ;ax b dx d ax b

a

1sin( ) cos( ) ;ax b dx d ax b

a

1( );

lnx xa dx d a b

a

( );x xe dx d e b

2

1 1( ) ;

cos ( )dx d tg ax b

ax b a

2

1 1( ) ;

sin ( )dx d ctg ax b

ax b a

2

1arcsin ;

1dx d x

x

2

1arccos ;

1dx d x

x

2

1;

1dx d arctgx

x

2

1.

1dx d arcctgx

x

Примеры.

1 1sin 4 (4 ) sin 4 (4 )

4 4xdx dx d x x d x 1)

1sin 4 (4 ) 4

4xd x t x

1 1 1sin cos cos 4 ;

4 4 4tdt t C x C

2) 1

(6 5)6 5 6

dxdx d x

x

1 (6 5)6 5

6 6 5

d xt x

x

1 1 1ln ln 6 5 ;

6 6 6

dtt C x C

t

3) 4 1cos 2 sin 2 sin 2 cos 2

2x xdx xdx d x

41cos 2 cos 2 cos 2

2x d x t x

54 51 1 1

cos 2 ;2 2 5 10

tt dt C x C

4) 14

4 ln 1 1ln ln

xdx x dx dx d x

x x x

14ln ln lnx d x t x

14 551

44 4

1

14

4 4ln ;

1 5 5

tt dt C t C x C

5) 2 2

1 1

4 cos 4 4 cos 4

dxdx

tg x x tg x x

2

1 14

cos 4 4dx d tg x

x

1 14 4

4 4d tg x t tg x

tg x

1 1 1 1ln ln 4 ;

4 4 4dt t C tg x C

t

6)

33

2 2

1arcsin 6

6

arcsin 6 1arcsin 6

1 36 1 (6 )

d x

xdx x dx

x x

31arcsin 6 arcsin 6 arcsin 6

6x d x t x

43 41 1 1

arcsin 6 ;6 6 4 24

tt dt C x C

7)

33

2 2

13

3

2 12

1 9 1 (3 )

arctg xarctg x

d arctg x

dx dxx x

312 3 3

3arctg x d arctg x t arctg x

31 1 2 22 ;

3 3 ln 2 3ln 2

t arctg xt dt C C

8) 42 212 1 2 1

4x x dx xdx d x

42 2 212 1 2 1 2 1

4x d x t x

525 54

2 11 1;

4 4 5 20 20

xt tt dt C C C

9) 22

3 33 3

1

7 4 7 4

xdx x dx

x x

133 2 2 31

7 4 7 421

x x dx x dx d x

133 3 31

7 4 7 4 7 421

x d x t x

1 23 31

3

1

1 23 3

1 1 1

21 9 1 9

t tt dt C C

22 33 31 3 1

3 4 .21 2 14

t C x C

2.3. Метод интегрирования по частям.

Пусть ( )u u x и ( )v v x

дифференцируемые функции. Тогда справедлива

следующая формула интегрирования по частям:

udv uv vdu (2.1)

С помощью этой формулы вычисление интеграла

udvсводится к отысканию другого интеграла

vduПрименение формулы целесообразно в тех случаях, когда

интеграл vdu более прост для нахождения, чем

исходный, либо подобен ему.

При этом в качестве u следует брать такую функцию,

которая при дифференцировании упрощается, а в качестве

dv ту часть подынтегрального выражения, интеграл

от которого известен или может быть найден. Иногда

формулу (2.1) приходится применяться несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно

вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида

( ) sin ,nP x kxdx( ) cos ,nP x kxdx( ) ,kx

nP x e dx( ) ,kx

nP x a dx

где ( )nP x многочлен, k число.

Удобно положить

( ),nu P xdv sin ,

cos ,

,kx

kx

kxdx

kxdx

e dx

a dx

а

соответственно.

Тогда формулу (2.1) надо применять столько раз, какова

степень многочлена ( ),nP x т.е. n раз.


( ) ln ,nP x kxdx( ) arcsin ,nP x kxdx( ) arccos ,nP x kxdx

( ) ,nP x arctgkxdx

( )nP x arcctgkxdx

В этом случае

u ln ,

arcsin ,

arccos ,

,

kx

kx

kx

arctgkx

arcctgkx соответственно,

а ( ) .ndv P x dx


sin ,axe bxdxcosaxe bxdx

Можно положить axu e

или

sinu bx ( cos )u bx

Примеры.

1) 2

2 2 2

4 cos 2

4 ( 4) ( 4) 2

1cos 2 cos 2 sin 2 ( 0)

2

dvu

x xdx

u x du d x x dx xdx

dv xdx v xdx x C

2 1 1

( 4) sin 2 sin 2 22 2 duu

v v

x x x xdx

2

( 2)sin 2 sin 22

1sin 2 sin 2 cos 2

2

u dv

xx x xdx

u x du dx

dv xdx v xdx x

2

( 2)sin 22

1 1cos 2 cos 2

2 2u du

v v

xx

x x x dx

2 1( 2)sin 2 cos 2 cos 2

2 2 2

x xx x xdx

2 1( 2)sin 2 cos 2 sin 2

2 2 4

x xx x x C

2 12 sin 2 cos 2

2 4 2

x xx x C

2 7sin 2 cos 2 ;

2 4 2

x xx x C

2) 3

3 3

4 24 2

ln 5 (4 6 3)

1 1ln 5 (ln 5 ) (ln 5 ) 5

5

(4 6 3) (4 6 3)

4 6 3 3 34 2

u dv

x x x dx

u x du d x x dx dx dxx x

dv x x dx v x x dx

x xx x x x

4 2 4 2 1ln 5 ( 3 3 ) ( 3 3 )

u v vdu

x x x x x x x dxx

4 2 3ln 5 ( 3 3 ) ( 3 3)x x x x x x dx

44 2 23

ln 5 ( 3 3 ) 34 2

xx x x x x x C

2.4. Интегрирование рациональных дробей.

Определение. Рациональной дробью называется функция, заданная в виде отношения двух многочленов:

11 1 0

11 1 0

( ) ...

( ) ...

n nn n n

m mm m m

P x a x a x a x a

Q x b x b x b x b

Если степень многочлена числителя меньше степени

многочлена знаменателя, т.е. ,n mто рациональная дробь называется правильной;

в противном случае, т.е. если ,n mдробь называется неправильной.

Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих типов:

3.

2.

1. ;A

x a

( )k

A

x a( 2, );k k

2

A

x px q 2( 4 0);D p q

5.

4. 2

Ax B

x px q

2( 4 0);D p q

2 k

Ax B

x px q

2

( 2, ,

4 0),

k k

D p q

где , , , ,A a B p q

2.4.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Интегрирование простейших рациональных дробей рассмотрим на примерах.

Примеры.

1)

1 (2 5)

2 5 2 2 5

1 1ln

2 21

ln 2 5 ;2

t

t

dx d x

x x

dtt C

t

x C

2)

4 4

1 (3 7 )

(3 7 ) 7 (3 7 )

t

t

dx d x

x x

34

4

1 1 1

7 7 7 3

dt tt dt C

t

3 3

1 1;

21 21(3 7 )C C

t x

3) 2 2

1

2 2 10 2 5

dx dxI

x x x x

Выделим в знаменателе последнего подынтегрального выражения полный квадрат.

Тогда

Вернемся к интегралу:

22

1 1( )

2 21 192 2

dxI dx d x

x

22

11 122 21 19

2 2

d xt x

x

2 19 192 2

2

1 1 1

2 2192

dt tarctg C

t

12

1 2

19 19

xarctg C

1 2 1;

19 19

xarctg C

4) 2

3 6

2 7

xdx I

x x

В числителе подынтегрального выражения нужно получить производную знаменателя, т.е.

2( 2 7) 2 2.x x x Тогда

2( 2 7) (2 2) .d x x x dx

2 2

3( 2) 23

2 7 2 7

x xI dx dx

x x x x

2 2

3 2( 2) 3 2 2 2 4

2 2 7 2 2 7

x xdx dx

x x x x

2 2 2

3 (2 2) 6 3 2 2 6

2 2 7 2 2 7 2 7

x xdx dx

x x x x x x

2 2

3 2 2 3 16

2 2 7 2 2 7

xdx dx

x x x x

2

2 2 2

3 ( 2 7) ( 1)9

2 2 7 ( 1) ( 6)

yt

ty

d x x d x

x x x

==

¿32

ln (𝑥2+2𝑥+7 )− 9 ∙1

√6𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥+1

√6+𝐶=¿

¿32

ln (𝑥2+2𝑥+7 )− 9

√6𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥+1

√6+𝐶 .

2.4.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на

простейшие дроби.

Перед интегрированием рациональной дроби ( )

( )n

m

P x

Q x

необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целую часть, разделив числитель на знаменатель столбиком, т.е. представить эту дробь в виде:

( ) ( )( ) ,

( ) ( )n

m m

P x R xM x

Q x Q x

где ( )M x многочлен,

( )

( )m

R x

Q x правильная рациональная дробь.

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

2( ) ( ) ( ) ... ( ) ...k s lmQ x x a x b x px q

где 2 4 0D p q

3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:

1 22

( )...

( ) ( ) ( )k

km

AA AR x

Q x x a x a x a

1 22

... ...( ) ( )

ss

BB B

x b x b x b

1 1 2 22 2 2 2

... ...( ) ( )

l ll

C x DC x D C x D

x px q x px q x px q

4. Вычислить неопределенные коэффициенты Для этого привести правую часть последнего равенства к общему знаменателю. В результате получим тождество, в котором равны знаменатели:

,

где – многочлен с неопределенными коэффициентами. Поскольку в последнем тождестве равны знаменатели, значит, должны быть тождественно равны и числители:

(2.2)

Далее, применяем один из методов.

Способ 1 (метод приравнивания коэффициентов). Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества (2.2) и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Способ 2 (метод частных значений). Придать в тождестве (2.2) переменной поочередно столько конкретных числовых значений, сколько неизвестных коэффициентов и решить систему.

Замечание. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов. В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Примеры.

1) 3 2 2

4 4

( 1)

x xdx dx I

x x x x

24 ( 1) ( 1)x Ax x B x Cx

1: 3

0 : 4

1: 5 2 2

x C

x B

x A B C

3

4

3

C

B

A

Тогда

2 2

4 3 4 3

( 1) 1

x

x x x x x

Итак,

2

3 4 3

1I dx

x x x

2

1 1 13 4 3

1dx dx dx

x x x

2 ( 1)3ln | | 4 3

1

d xx x dx

x

1

3ln | | 4 3ln | 1|1

xx x C

13ln | | 4 3ln | 1| .x x C

x

2)

4 2

3

2 16

8

x x xdx I

x

2

4 23

2 16 28

xx x x x

x

2

32

8

xI x dx

x

¿ 𝑥2+13𝑙𝑛|𝑥3+8|+𝐶 .

3)

=

=

Для нахождения применим метод приравнивания коэффициентов.

Тогда

Вернемся к вычислению интеграла.

+2

2.5. Интегрирование иррациональных функций.

2.5.1. Квадратичные иррациональности.

I. Интегралы вида

𝑑𝑥

√𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

с помощью выделения полного квадрата

и последующей замены

приводится к одному из интегралов:

(2.5)

1)

или

2) .

Пример.

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

II. Рассмотрим интеграл вида

Сначала в числителе подынтегральной дроби выделяют производную подкоренного выражения

.

После этого интеграл представляют в виде суммы двух интегралов, первый из которых сводится к интегралу

а второй (после выделения полного квадрата) к интегралу

или

.

Пример.

=

¿3 √𝑥2− 6 𝑥+2+13 𝑙𝑛|𝑥−3+√ (𝑥−3 )2− 7|+𝐶 .

III. Интегралы вида

1

1, ,..., ,r

r

m m

n nR x x x dx

где R рациональная функция,

1 1,..., , ,..., ,r rm m n n ¥Zсводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

,sx t

где 1,..., .rs HOK n n

Пример.

1 133 24

4

dx dx

x xx x

1 2

6 6 6 5

3, 2

(3,2) 6

6

n n

s HOK

x t dx d t t dt t dt

5 5

1 1 2 36 63 2

6 6

44

t dt t dt

t tt t

2 2

2 2

4 46 6

4 4

t tdt dt

t t

2 2 2

4 16 1 6 24

4 2dt dt dt

t t

16 24

2 2

tt arctg C

16 66t x x t x

666 12 .

2

xx arctg C

IV. Интегралы вида



1

1, ,...,r

r

m m

n nR x ax b ax b dx


,sax b t

Пример.

1332 3 2 3

xdx xdx

x x

3

3

3

2 2

2 3

13

21

32

1 33

2 2

x t

x t

dx d t

dx t dt t dt

3 2

13 3

1 33

2 2t t dt

t

3 2

3 433 3 3

3 34 4 4

t t dtt tdt t t dt

t

5 25 23 3 9

34 5 2 20 8

t tC t t C

3

1

3

2 3

2 3

x t

t x

5 21 1

3 3

5 2

3 3

3 92 3 2 3

20 8

3 92 3 2 3 .

20 8

x x C

x x C

IV. Интегралы вида



1

1

, ,...,

r

r

m m

n nax b ax bR x dx

cx d cx d


,sax bt

cx d

2.6. Интегрирование тригонометрических выражений.

I. Интегралы вида

sin ,cos ,R x x dxгде R рациональная функция аргументов

sin x и cos ,xрациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

приводятся к интегралам от

.2

xt tg

В результате этой подстановки имеем

2

22 2 ,

1x arctgt dx d arctgt dt

t

22

2 22sin ,11

2

xtg t

xx ttg

22

22

1 12cos ,11

2

xtg t

xx ttg

2

2 2 2

2 1 2sin ,cos , .

1 1 1

t t dtR x x dx R

t t t

Универсальная подстановка

2

xt tg во многих

случаях приводит к сложным вычислениям, поэтому на практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции. Укажем эти случаи:

1. если (sin ,cos )R x x четная функция

относительно sin x и cos ,x т.е.

( sin , cos ) (sin ,cos ),R x x R x x

то применяется подстановка

.t tgxПри этом используются формулы

22

2

22

sin ,1

1cos .

1

tg xx

tg x

xtg x

2. если (sin ,cos )R x x нечетная функция

относительно sin ,x т.е.

( sin ,cos ) (sin ,cos ),R x x R x x то применяется подстановка

cos ;t x

3. если (sin ,cos )R x x нечетная функция

относительно cos ,x т.е.

(sin , cos ) (sin ,cos ),R x x R x x то применяется подстановка

sin ;t x

II. Интегралы вида

sin cos , ,m nx xdx m n ¥

находят

а) при нечетном n с помощью подстановки

sin ;t xб) при нечетном m с помощью подстановки

cos ;t x

в) если же nm и четные, то подынтегральную

функцию необходимо преобразовать с помощью формул тригонометрии:

1sin cos sin 2 ,

2x x x

2 1sin 1 cos 2 ,

2x x

2 1cos 1 cos 2 .

2x x

Примеры.

1)

5 4sin 3cos

dxI

x x

Так, как для подынтегральной функции

1(sin ,cos )

5 4sin 3cosR x x

x x

не выполняется ни одно из условий:

( sin , cos ) (sin ,cos ),R x x R x x

( sin ,cos ) (sin ,cos ),R x x R x x

(sin , cos ) (sin ,cos ),R x x R x x

то будем применять универсальную тригонометрическую подстановку:

2

2

2 2

222

,1

2 1sin ,cos

1 1

xt tg x arctgt

I dx dtt

t tx x

t t

2 2

2 2

1 2

2 1 15 4 3

1 1

dtt t tt t

2 2

2

5(1 ) 8 3(1 )

dt

t t t

2 2 2

2 2

5 5 8 3 3 2 8 8

dt dt

t t t t t

22 4 4 2

dt dt

t t t

1

2 ( 2)2 ( 2)

11 1 1

.2 2 2

2 2

tt d t C

C C Cx xt tg tg

2)

Поскольку для подынтегральной функции

выполняется условие

то

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Documents