ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН

ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН

Симметрия и метод инвариантов

Е.Л. Ивченко

2/10Е.Л. Ивченко Летняя школа 2013

2/13

в наноструктурах

• Введение. Примеры симметрийного анализа

• Симметрия кристаллов и наногетероструктур

• Представления групп. Применения

• Метод инвариантов для построения гамильтонианов

• Метод инвариантов для анализа матричных элементов

План лекций



3/13


• Феноменологические уравнения

• Спин-орбитальное взаимодействие

• Энергетические спектры

• Сложная валентная зона полупроводников

• Бесщелевой полупроводник HgTe

• X-точка зоны Бриллюэна в Ge

Введение. Примеры симметрийного анализа



Феноменологические уравнения

0 ω ‒ω

Фототоки


Фотогальванические эффекты


6/13

Спин-орбитальное взаимодействие



7/13

Энергетический спектр


8/13

Энергетический спектр - 2

Зона проводимости и валентная зона в графене


9/13

Сложная валентная зона

Подзоны тяжелых и легких дырок


10/13

Бесщелевой полупроводник HgTe


11/13

X-точка зоны Бриллюэна в Ge


12/13

Фононный спектр в Ge


13/13


• Пространственные и точечные группы

• Двумерные и слоевые группы

• Непрерывные точечные группы

• Группа волнового вектора k

Симметрия кристаллов и наногетероструктур



14/13

Пространственные группы


15/13


Точечные группы

C1 1 Ci -1 C2 2 Cs m C2h 2/m D2 222 C2v mm2 D2h mmm

C4 4 S4 -4 C4h 4/m D4 422 C4v 4mm D2d -42m D4h 4/mmm C3 3

C3i -3 D3 32 C3v 3m D3d -3m C6 6 C3h -6 C6h 6/m D6 622

C6v 6mm D3h -62m D6h 6/mmm T 23 Th m-3 O 432 Td -43m Oh m-3m

http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/rep/programs/sam/point.py?sg=1












16/10Е.Л. Ивченко Ge. Метод инвариантов 16/51

16/13

Структура алмаза


17/13

Зона Бриллюэна гцк решетки(алмаз, цинковая обманка)


18/13

Изоэнергетические поверхности в Ge


19/13

Пространственная группа Ge


20/13


Структура цинковой обманки


21/13


Двумерные и слоевые группы

17 двумерных групп (двумерные группы с двумерной трансляционной инвариантностью) и 80 слоевых, или плоских, групп (трехмерные группы с двумерной трансляционной инвариантностью).

Двумерные группы (wallpaper group) не содержат элементов, переворачивающих плоскость. Например, это группы симметрии полуограниченных кристаллов, рисунков обоев.


22/13


Симметрия объёмного кристалла – Td, направления и эквивалентны.Симметрия интерфейса – C2v, направления и неэквивалентны.

110[ ] 110[ ]

110[ ] 110[ ]

Идеальный интерфейс AC/A'C'


23/13

Примеры слоевых групп

Слоевая группа симметрии графена P6/mmm, точечная группа D6h , № 80.

Слоевая группа симметрии структур с квантовыми ямами, выращенными на основе кристаллов со структурой цинковой обманки:

Ось роста [001], симметричные интерфейсы: P42m, D2d

Ось роста [001], асимметричная яма: Pmm2, С2v , С2 ǁ [001], № 23

Ось роста [110], симметричные интерфейсы: Pm2m (или P2mm), С2v , С2 ǁ [001], № 23

Ось роста [110], асимметричная яма: P11m, Сs

Ось роста [111]: P3m1, С3v


24/13


R.A. EvarestovQuantum

Chemistry ofSolids, 2012

Двумерные и слоевые группы


2D решетка графена


26/13

Непрерывные точечные группы


27/13

Группа волнового вектора k


28/13

Группа волнового вектора k - 2

Точечная группа D4h

Точечная группа D3d


29/13


• Векторные представления

• Проективные и спинорные представления

• Состояния в X- и L-точках зоны Бриллюэна в Ge

• Симметрийный анализ уравнений Максвелла

• Линейно независимые компонент ы тензоров

• Энергетическая дисперсия квазичастиц

Представления групп. Применения



30/13

Оператор преобразования координат


31/13

Представления групп


32/13

Проективные представления


33/13

Спинорные представления


34/13

Группа волнового вектора k - 2


35/13

Малые представления


36/13

Малые представления в X-точке


37/13

Уравнения Максвелла


38/13

Уравнения Максвелла - 2


39/13

Симметрия тензоров


40/13

Фотогальванический тензор


41/13

Энергетическая дисперсия

42/10Симметрия и метод инвариантов

42/13


• Формализм метода инвариантов

• Примеры применения:

Ϟ Гамильтониан Латтинжера

Ϟ Линейные по k члены в гамильтониане

Ϟ Спиновое расщепление в магнитном поле

Метод инвариантов для построения гамильтонианов



43/13

Формализм метода инвариантов


44/13

Формализм метода инвариантов - 2


45/13

Валентная зона Γ8


46/13

Базисные матрицы Jx , Jy и Jz

↔


47/13

16 базисных матриц


48/13

Гамильтониан Латтинжера


49/13

Гамильтониан Бира–Пикуса


50/13

Линейные по k члены


51/13

Эффект Зеемана на тяжелых дырках


52/13

Эффект Зеемана на тяжелых дырках - 2


53/13

Эффективный гамильтониан в графене


54/13


• Общие положения

• Междолинное рассеяние L → Lt в Ge

• Пересечение групп векторов k(L) и k(Lt)

• Правила отбора при междолинном рассеянии на фононе

Метод инвариантов для анализа матричных элементов


55/13

Общие положения


56/13

Междолинное рассеяние


57/13

Группа С2h


58/13

Группа С2h - 2


59/13

Матрица междолинного рассеяния


60/13

Фононный спектр в Ge


Заключение


Заключение - 2



Спасибо за внимание!

ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН

Documents