Тройной интеграл Лекция 9
Тройной интеграл
Лекция 9
Трехмерная область
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью G. Пусть в области V и на её границе определена некоторая непрерывная функция u=f(x,y,z), где (x,y,z) – прямоугольные декартовы координаты точки области. Например, если f(x,y,z)≥0, то эту функцию можно считать плотностью распределения некоторого вещества в области V.
Составление интегральных сумм
Разобьём эту область V произвольным образом на элементарные ячейки с объёмами (i=1, 2, …, n). В каждой такой ячейке выберем произвольную точку Mi, вычислим значения функции в этих точках и составим интегральную сумму
.
iviv
.)(1
n
iii vMf
Определение
Назовём диаметром области максимальное расстояние между двумя точками области, лежащими на границе. Устремим максимальный диаметр ячеек к нулю и перейдём к пределу в интегральных суммах .
Определение
Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что максимальный диаметр ячеек стремится к нулю, не зависящий ни от разбиения области V на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то этот предел называется тройным интегралом по области V от функции f(x,y,z) и обозначается .),,(
v
dvzyxf
Правильная трехмерная область
Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G, удовлетворяет условиям:
1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведённая через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность G в двух точках;
2) вся область V проектируется на плоскость Oxy в правильную область D.
Тогда область V мы будем называть правильной трёхмерной областью.
Вычисление тройного интеграла
Если область имеет вид как на рисунке, то тройной интеграл по такой области вычисляют по формуле
= v
dxdydzzyxf ),,(
D
yxz
yxz
dzzyxfdxdy),(
),(
2
1
),,(
Вычисление тройного интеграла
Пример 1. Вычислить
где V ограничена плоскостями
x=0, y=0, z=0.
,)1( 3 V zyx
dxdydz
,1 zyx
Решение.
yx
DV zyx
zyxddxdy
zyx
dxdydz1
033 )1(
)1(
)1(
)1(
1
4
1
2
1
)1(
1
2
12
1
0
2dxdy
yxdxdy
zyx D
yx
D
dxyx
ydy
yxdx
xx 1
0
1
0
1
02
1
0 1
1
42
1
)1(
1
4
1
2
1
1
0
2
)1ln(2
1
4
1
2
)1(
8
1xx
x
.16
52ln
2
1
16
1
4
12ln
2
1
dx
x
x1
0 1
1
2
1
4
1
2
1
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
При переходе от декартовых координат к цилиндрическим по формулам x=rcosφ, y=rsinφ, z=z тройной интеграл по области V преобразуется к виду
где - это элемент объёма dv в цилиндрических координатах.
V V
drdzrdzrrfdxdydzzyxf ,),sin,cos( ),,(
drdzrd
Объем тела
В декартовых координатах объем тела равен
V
V dxdydz
Объем тела
Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координат) имеет вид
V
dvV
Объем тела
Объём пространственной области V в цилиндрических координатах
V
drdzrdV
Найти объем тела
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
,2xy ,yz
.2 yz
Решение
Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это y=1.
D
y
yD
y
yDV
dxdyydxdyzdzdxdydxdydzV )22(
22
dyyydyxydxdyyy
y
y
y
2)1(2)1(2)1(21
0
1
0
1
0
.15
16
5
2
3
244
1
0
2
5
2
31
0
3
yydyyy
Найти объем тела
Вычислить объём тела, ограниченного сферой
и параболоидом
(внутри параболоида).
2222 4azyx
azyx 322
Решение
Вычислим объём тела, переходя к цилиндрическим координатам. Для этого запишем уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:
. Очевидно, поверхности пересекаются при z= .
Вычислим теперь объём тела.
,4 222 azr 23 raz a
Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим .3ar
a
drrdzdzdrrddrdzrdV
ra
a
rD
ra
a
rDV
22
2
22
2
4
3
4
3
dr
a
rrarddrrd
a
rra
a
D
3
0
222
2
0
222
34
34
dr
a
rradra
aa 3
0
33
0
2222
344
2
12
2
322
32
3
0
4
2
322 4
3
2
3
2
43
24
3
2aa
a
rra
a
.
6
19
2
3
3
2
3
16
43
23 3333
4
aaaaa
a