带电物体在电磁 场中的运动（下）

带电物体在电磁带电物体在电磁场中的运动（下）场中的运动（下）

一、带电粒子在电场中的运动二、带电粒子在磁场中的运动三、带电粒子在电磁场中的运动056. 08 年苏北四市第三次调研试题 4gk003. 2008年高考理综北京卷19

060. 徐州市07—08学年度第三次质量检测16 042. 08年苏、锡、常、镇四市教学情况调查(一)17 051. 北京西城区08年4月物理一模23 052. 2008年北京东城区第一次模拟试题22 056. 08年苏北四市第三次调研试题16 058. 08年苏、锡、常、镇四市教学情况调查（二）17065. 08年南京一中第三次模拟16gk001. 2008年高考理综全国卷 25Ⅰgk007. 2008年高考理综天津卷23 gk011. 2008年高考物理海南卷16

带电物体在电磁场中的运动（下）带电物体在电磁场中的运动（下）

1 、 带电粒子的加速由动能定理

2 、 带电粒子的偏转带电粒子在初速度方向做匀速运动 L=v0t t=L/ v0

带电粒子在电场力方向做匀加速运动 F=qE a=qE/m

带电粒子通过电场的侧移

偏向角 φ φ

vy vt

v0

0dU

UL

v

L

dm

Uqy

0

22

0 42

1 ）（

L

y

dU

UL

dmv

qUL

v

at

v

vtan y 2

2 02000

02

2

1qUmv

一、带电粒子在电场中的运动

3 、处理带电粒子在电场中的运动问题的一般步骤：

① 分析带电粒子的受力情况，尤其要注意是否要考虑重力、电场力是否是恒力等② 分析带电粒子的初始状态及条件，确定粒子是作直线运动还是曲线运动③ 建立正确的物理模型，进而确定解题方法

④ 利用物理规律或其它解题手段（如图像等）找出物理量间的关系，建立方程组

1.带电粒子的速度与磁感应线平行时 , 能做匀速直线运动

2.当带电粒子以垂直于匀强磁场的方向入射，受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动。

当带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力时，其余各力的合力一定为零 .

3. 带电粒子在磁场中的运动常因各种原因形成多解，通常原因有：① 带电粒子的电性及磁场方向的不确定性，② 粒子运动方向的不确定性及运动的重复性，③ 临界状态的不唯一性等。

二、带电粒子在磁场中的运动

当带电粒子在电磁场中作多过程运动时，关键是掌握基本运动的特点和寻找过程的边界条件。

当带电粒子做电磁场中运动时，电场力和重力可能做功 ,而洛仑兹力始终不做功。

带电粒子在电磁场中的运动，其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题。

三、带电粒子在电磁场中的运动

056.08 年苏北四市第三次调研试题 44. 如图所示，相距为 d 的两平行金属板水平放置，

开始开关 S 合上使平行板电容器带电．板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．一个带电粒子恰能以水平速度 v 向右匀速通过两板间。在以下方法中 ，要使带电粒子仍能匀速通过两板，（不考虑带电粒子所受重力）正确的是 （ ）A ．把两板间距离减小一倍， 同时把粒子速率增加一倍B ．把两板的距离增大一倍， 同时把板间的磁场增大一倍C ．把开关 S 断开，两板的距离增大一倍，同时把板 间的磁场减小一倍D ．把开关 S 断开，两板的距离减小一倍，同时把粒 子速率减小一倍

S

v

A

gk003.2008 年高考理综北京卷 1919. 在如图所示的空间中，存在场强为 E 的匀强电场，同时存在沿 x 轴负方向，磁感应强度为 B 的匀强磁场。一质子 ( 电荷量为 e) 在该空间恰沿 y 轴正方向以速度v 匀速运动。据此可以判断出 （ ）A. 质子所受电场力大小等于 eE ，运动中电势能减小；沿 z 轴正方向电势升高B. 质子所受电场力大小等于 eE ，运动中电势能增大；沿 z 轴正方向电势降低C. 质子所受电场力大小等于 evB ，运动中电势能不变 ;沿 z 轴正方向电势升高D. 质子所受电场力大小等于 evB ，运动中电势能不变 ; 沿 z 轴正方向电势降低 O

v

y

x

z

C

解见下页

由电子沿 y 轴正方向匀速直线运动受平衡力，

eEevBFF ：，即电洛

由电子运动方向和磁感应强度方向，用左手定则可判断电子所受洛伦兹力方向沿 z 轴负方向，则电场力方向沿 z 轴正方向，则对电子不做功，电势能不变。

综上分析，正确答案为 C 。

则沿 z 轴正方向电势逐渐升高。

负电荷所受电场力方向与场强方向相反，故电场方向沿 z 轴负方向。沿电场线方向电势逐渐降低，

解析：

所以

060. 徐州市 07—08 学年度第三次质量检测16 16 ． (14 分 ) 如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场 E 与匀强磁场 B1 ， E 的大小为 0.5×103V/m,

B1 大小为 0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场 B2 ，磁场的下边界与 x

轴重合 . 一质量 m=1×10-14kg 、电荷量 q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度 v 沿与 y 轴正方向 60° 角从 M 点沿直线运动 , 经 P 点即进入处于第一象限内的磁场 B2 区域 .一段时间后 , 小球经过 y 轴上的 N 点并与 y 轴正方向成60° 角的方向飞出。 M 点的坐标为（ 0 ， -10 ） , N 点的坐标为（ 0 ， 30 ），不计粒子重力，g 取 10m/s2 ．

x/cm

y/cm

OM

N

P60°

60°

(1) 请分析判断匀强电场 E1 的方向并求出微粒的运动速度 v ；(2) 匀强磁场 B2 的大小为多大？；(3) B2 磁场区域的最小面积为多少？解： (1) 由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动 . 　　　　　　　　

由力的平衡有 Eq=B1qv　　

m/s10m/s50

1050 33

1

.

.

B

Ev

x/cmO

M

P

60°

y

v

Eq

B1qv

这样，电场力和洛仑兹力大小相等 , 方向相反 , 电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与 y 轴负方向成30° 角斜向下 .

(2) 画出微粒的运动轨迹如图．由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为　　 m

15

3R

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供即R

mvqvB

2

2

解之得 T2

32 B

(3) 由图可知，磁场 B2 的最小区域应该分布在图示的矩形 PACD 内．由几何关系易得

m20602 0 .sinRPD

m30

3601 0 )cos(RPA

所以，所求磁场的最小面积为2m

150

3

30

3

5

1 APDPS

O1

60°

x/cm

y/cm

OM

N

60° P

D C

A

题目

042.08 年苏、锡、常、镇四市教学情况调查（一） 17 17 ．（ 17 分）某同学设想用带电粒子的运动轨迹做出“ 0” 、“ 8”字样，首先，如图甲所示，在真空空间的竖直平面内建立 xoy 坐标系，在 y1=0.1m 和 y2= -0.1m

处有两个与轴平行的水平界面和把空间分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，在三个区域中分别存在匀强磁场 B1 、 B2 、B3 ，其大小满足 B2=2B1=2B3=0.02T ，方向如图甲所示 .

在Ⅱ区域中的 y 轴左右两侧还分别存在匀强电场 E1 、E2 （图中未画出），忽略所有电、磁场的边缘效应 . A

BCD 是以坐标原点 O 为中心对称的正方形，其边长 L=0.2m.现在界面 PQ 上的 A 处沿 y 轴正方向发射一比荷的带正电荷的粒子（其重力不计），粒子恰能沿图中实线途经 BCD 三点后回到 A 点并做周期性运动，轨迹构成一个“ 0”字 .己知粒子每次穿越Ⅱ区域时均做直线运动 .（ 1 ）求 E1 、 E2 场的大小和方向 .

（ 2 ）去掉Ⅱ和Ⅲ区域中的匀强电场和磁场，其他条件不变，仍在 A 处以相同的速度发射相同的粒子，请在Ⅱ和Ⅲ区城内重新设计适当的匀强电场或匀强磁场，使粒子运动的轨迹成为上、下对称的“ 8”字，且粒子运动的周期跟甲图中相同，请通过必要的计算和分析，求出你所设计的“场”的大小、方向和区域，并在乙图中描绘出带电粒子的运动轨迹和你所设计的“场” .（上面半圆轨迹己在图中画出）

O

y/m

x/m

D

AB

C

Q

M N

P

B2

B1

B2

Ⅲ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅱ

B3乙

O

y/m

x/m

D

AB

C

Q

M N

P

B2

B1

B2

B3Ⅲ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅱ

甲

解：（ 1 ） Ⅰ、Ⅲ区域中

r

mvqvB

2

1

m/s101010010 581 ..m

qrBv

在Ⅱ区域的电磁场中运动满足

12 qEqvB

V/m10210020 3521 .vBE

方向水平向右

V/m102 32 E 方向水平向左。同理

题目

O

y/m

x/m

D

AB

C

Q

M N

P

B1

Ⅲ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅱ

答图

（ 2 ）根据对称性，在区域Ⅲ中只能存在匀强磁场,且满足 B3= B1=0.01T ，方向垂直纸面向外。

B3

由于周期相等，所以在区域Ⅱ中只能存在匀强电场，且方向必须与 x 轴平行，

从 B 点运动至 O 点做类平抛运动 , 时间s10

10

10 65

.

v

yt B

沿 x 轴方向的位移是 L/2, 则2

2

1

2at

L

由牛顿第二定律 qE=ma

代入数据解得 V/m102 3E

根据对称性电场方向如答图示。题目 第2页

051. 北京西城区 08 年 4月物理一模23 23 ．（ 18 分）如图所示，在 y >0 的区域内有沿 y 轴正方向的匀强电场，在 y<0 的区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。一电子（质量为 m 、电量为 e ）从y 轴上 A 点以沿 x 轴正方向的初速度 v0 开始运动。当电子第一次穿越 x 轴时，恰好到达 C 点；当电子第二次穿越 x 轴时，恰好到达坐标原点；当电子第三次穿越 x 轴时，恰好到达 D 点。 C 、 D 两点均未在图中标出。已知 A 、 C 点到坐标原点的距离分别为 d 、 2d 。不计电子的重力。求

E

O

A v0

y

x

B（ 1 ）电场强度 E 的大小；（ 2 ）磁感应强度 B 的大小；（ 3 ）电子从 A 运动到 D 经历的时间 t ．

102 tvd 212

1atd

m

eEa

ed

mvE

2

20

电子的运动轨迹如右图所示 （ 2 分） （若画出类平抛和圆运动轨迹给 1 分）

求出

设电子从 A到 C 的时间为 t1

（ 1 ）电子在电场中做类平抛运动

10 atv

解：

E

O

A v0

y

x

B

CD

10

1 v

attan

02vv

r

vmevB

2

dr 2

ed

mvB 0求出

由图可知

电子进入磁场后做匀速圆周运动 , 洛仑兹力提供向心力

求出

θ = 45°

E

O

A v0

y

x

B

CD

（ 2 ）设电子进入磁场时速度为 v, v 与 x 轴的夹角为 θ, 则

题目

01

63

v

dt

02 2

32

4

3

4

3

v

d

eB

mTt

021 2

433

v

)(dttt

电子从 A运动到 D的时间

（ 3 ）由抛物线的对称关系，电子在电场中运动的时间为

E

O

A v0

y

x

B

CD

电子在磁场中运动的时间

题目 第 2页

052.2008 年北京东城区第一次模拟试题 22 22 ．（ 16 分）如图所示， MN 、 PQ 是平行金属板，

板长为 L ，两板间距离为 d ， PQ 带正电 , MN 板带负电 , 在 PQ 板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为 q 、质量为 m 的带负电粒子以速度 v0

从 MN 板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从 PQ 板左边缘飞进磁场，然后又恰好从 PQ板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：（ 1 ）两金属板间所加电压 U 的大小；（ 2 ）匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；（ 3 ）在图中正确画出粒子再次进入电场中的运动轨迹 , 并标出粒子再次从电场中飞出的速度方向。

v0

B

Nm,-q

L

PdQ

M

分析和解：（ 1 ）设带电粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为 t ，由类平抛运动可知：

v0

Nm,-q

L

θ

dM

PQv

tvL 0 ①2

2

1atd ②

m

Eqa ③

d

UE ④

联立求解①～④式解得：

2

2202

qL

dmvU ⑤

或由动能定理和运动的合成、分解的方法，联立求解得出正确的结果同样给分。

v0

Nm,-q

L

θ

dM

PQv

设带电粒子第一次飞出电场时的速度为 v,即由动能定理

20

2

2

1

2

1mvmvqU

220

2yvvv

atv y

和①③④联立可得

2

20

22

qL

vmdU

题目

（ 2 ）带电粒子以速度 v 飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，由

v0

O

Nm,-q

L

Pθd

θ

Q

M

v

BR

vmqvB

2

⑥

⑦R

Lsin

2

⑧v

vsin y

atv y ⑨

联立求解①③④⑤⑥⑦⑧⑨可得

204

qL

dmvB ⑩

题目 第 2页

或由下列常规方法求解：atv y ⑴

0v

vtan y ⑵

⑶v

vcos 0

⑷R

Lsin

2

R

vmqvB

2

⑸联立以上有关方程求解可得：

204

qL

dmvB ⑹

（ 3 ）粒子的运动轨迹见上图。

v0

O

Nm,-q

L

Pθd

θ

Q

M

v

vN

B

题目 第 2页

第 3页

056.08 年苏北四市第三次调研试题 16 16. 如图所示， K 与虚线 MN之间是加速电场，虚线MN 与 PQ之间是匀强电场，虚线 PQ 与荧光屏之间是匀强磁场，且MN 、 PQ 与荧光屏三者互相平行，电场和磁场的方向如图所示，图中 A 点与 O 点的连线垂直于荧光屏 . 一带正电的粒子从 A 点离开加速电场，速度方向垂直于偏转电场方向射入偏转电场，在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰好垂直地打在荧光屏上 .已知电场和磁场区域在竖直方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为 ，式中的 d 是偏转电场的宽度，

EdU2

1 A

Bv0

EU N

MK d L 荧光屏

O

P

Q

磁场的磁感应强度 B 与偏转电场的电场强度 E 和带电粒子离开加速电场的速度 v0 关系符合表达式 .若题中只有偏转电场的宽度 d 为已知量，则（ 1 ）画出带电粒子轨迹示意图；（ 2 ）磁场的宽度 L 为多少？（ 3 ）带电粒子在电场和磁场中垂直于 v0 方向的偏转距离分别是多少？

B

Ev 0

AB

v0

EU N

MK d L 荧光屏

O

P

Q

A

Bv0

EU N

MK d L C

O

P

Q v

R

y

解：（ 1 ） 轨迹如图所示

v

θ

θ

（ 2 ）粒子在加速电场中，由动能定理有202

1mvqU

粒子在匀强电场中做类平抛运动，设偏转角为 θ

有0v

vtan y

atv y m

Eqa

0v

dt EdU

2

1

解得： θ=45º

02v由几何关系得，带电粒子离开偏转电场速度为题目

粒子在磁场中运动 , 由牛顿第二定律有：R

mvqvB

2

在磁场中偏转的半径为

dqE

mv

v/qE

mv

qB

mvR 2

22 20

0

0

由图可知，磁场宽度 L= Rsinθ= d

（ 3 ）由几何关系可得：带电粒子在偏转电场中距离为d.y 501

在磁场中偏转距离为

d.d)(

)cos(Ry

414022

21

12

A

Bv0

EU N

MK d L C

O

P

Q v

R

y

v

θ

θ

题目 第 2页

058. 08 年苏、锡、常、镇四市教学情况调查（二） 17 17 ．（ 17 分）电子扩束装置由电子加速器、偏转电

场和偏转磁场组成 . 偏转电场由加了电压的相距为 d的两块水平平行放置的导体板形成，匀强磁场的左边界与偏转电场的右边界相距为 s ，如图甲所示 . 大量电子（其重力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场．当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为 2t0 ，当在两板间加如图乙所示的周期为 2t0 、幅值恒为 U0 的电压时，所有电子均从两板间通过，进入水平宽度为 l ，竖直宽度足够大的匀强磁场中，最后通过匀强磁场打在竖直放置的荧光屏上。问：

（ 1 ）电子在刚穿出两板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比为多少？

（ 2 ）要使侧向位移最大的电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度为多少？

（ 3 ）在满足第（ 2 ）问的情况下，打在荧光屏上的电子束的宽度为多少？（已知电子的质量为 m 、电荷量为 e ）

2t0 4t0t0 3t0

t0

U0

U

乙l

B荧光屏

U

甲

e

解 : （ 1 ） 由题意可知，要使电子的侧向位移最大，应让电子从 0 、 2t0 、 4t0…… 等时刻进入偏转电场，在这种情况下，电子的侧向位移为　

200 2

1attvy ymax 2

002

002

00

2

3

2

1t

dm

eUt

dm

eUt

dm

eU

要使电子的侧向位移最小，应让电子从 t0 、 3t0……

等时刻进入偏转电场，在这种情况下，电子的侧向位移为

20

020 2

1

2

1t

dm

eUatymin

所以最大侧向位移和最小侧向位移之比为13 :y:y minmax

题目

（ 2 ）设电子从偏转电场中射出时的偏向角为 ，由于电子要垂直打在荧光屏上，所以电子在磁场中运动半径应为：

sin

lR

设电子从偏转电场中出来时的速度为 vt ，垂直偏转极板的速度为 vy ，则电子从偏转电场中出来时的偏向角为：

t

y

v

vsin 式中 0

0 tdm

eUv y

又Be

mvR t

由上述四式可得：

dl

tUB 00

l

B荧光屏

Ue

θ

R

题目 第 2页

（ 3 ）由于各个时刻从偏转电场中出来的电子的速度大小相同，方向也相同，因此电子进入磁场后的半径也相同，如图示：　由第（ 1 ）问可知电子从偏转电场中出来时的最大侧向位移和最小侧向位移的差值为：

minmax yyy

20

0 tdm

eUy

所以打在荧光屏上的电子束的宽度为20

0 tdm

eUy

l

B荧光屏

Ue

θ

题目 第 2页

第 3页

gk007.2008 年高考理综天津卷 23

23 ． (16 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，第 1 象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B 。一质量为m 、电荷量为 q 的带正电的粒子从 y 轴正半轴上的 M点以速度 v0 垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上的 N 点与x 轴正方向成 θ=60° 角射入磁场，最后从 y 轴负半轴上的 P 点垂直于 y 轴射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求(1)M 、 N 两点间的电势差 UMN 。(2) 粒子在磁场中运动的轨道半径 r ；(3) 粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t 。

v0

B

M

OxN

P

θ

y

解：（ 1 ）设粒子过 N 点时的速度为 v ，有

cosv

v0 ①

02vv ②

粒子从 M 点运动到 N 点的过程，有20

2

2

1

2

1mvmvqU MN ③

q

mvqU MN 2

3 20 ④

v0

B

M

OxN

P

θ

y

v

（ 2）粒子在磁场中以 O'为圆心做匀速圆周运动 ,半径为 O' N，有

O'θ

r

mvqvB

2

⑤

,Bq

mvr 02 ⑥

（ 3 ）由几何关系得 sinRON ⑦

设粒子在电场中运动的时间为 t1, 有

10tvON ⑧

Bq

mt

31 ⑨

v0

B

M

OxN

P

θ

y

v

题目

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期

Bq

mT

2 ⑩

设粒子在磁场中运动的时间为 t2, 有

Tt

22

⑾

Bq

mt

3

22

⑿

21 ttt

Bq

m)(t

3

233 ⒀

O'θ

v0

B

M

OxN

P

θ

y

v

粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t

题目 第2页

gk011.2008 年高考物理海南卷 16 16 、如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为 y 轴正方向，磁场方向垂直于 xy 平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从 P(x＝ 0 ， y＝ h) 点以一定的速度平行于x 轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R0 的圆周运动：若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从 P 点运动到 x＝ R0 平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x 轴交于 M 点．不计重力．求：⑴粒子到达 x＝ R0 平面时速度方向与 x 轴的夹角以及粒子到 x 轴的距离；⑵M 点的横坐标 xM ．

Ph

O

y

Mx

R0

解：⑴ 做直线运动有： BqvqE 0

做圆周运动有：0

20

0 R

vmBqv

只有电场时，粒子做类平抛，有：

m

qEa tvR 00 atv y

解得： 0vv y

此时粒子速度大小为： 022

0 2 vvvv y

速度方向与 x 轴夹角为：4

粒子与 x 轴的距离为：22

1 02 RhathH

⑵撤除电场加上磁场后，有：

R

vmqvB

2

解得： 00 2

2R

qB

mv

qB

mvR

粒子运动轨迹如图所示，圆心 C位于与速度 v

方向垂直的直线上，该直线与 x 轴和 y 轴的夹角均为 π/4 ，由几何关系得 C 点坐标为：

Ph

O

y

Mx

R0

C

D

H

v

02R02 RxC

20

0

RhRHyC

题目

过 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D ， 在 ΔCDM 中：

02 RRMC

20R

hyDC C

解得：2

020

22

4

7hhRRDCMCMD

M 点横坐标为：

20

200 4

72 hhRRRxM

Ph

O

y

Mx

R0

C

D

H

v

02R

题目 第2页

065.08 年南京一中第三次模拟 1616 ．（ 16 分）如图甲所示，两个几何形状完全相同的平行板电容器 PQ 和 MN ，水平置于水平方向的匀强磁场中（磁场区域足够大），两电容器极板的左端和右端分别在同一竖直线上，已知 P 、 Q之间和 M 、N之间的距离都是 d ，极板本身的厚度不计，板间电压都是 U ，两电容器的极板长相等。今有一电子从极板 PQ 中轴线左边缘的 O 点 , 以速度 v0 沿其中轴线进入电容器 , 并做匀速直线运动 , 此后经过磁场偏转又沿水平方向进入到电容器 MN之间 ,且沿 MN 的中轴线做匀速直线运动 ,再经过磁场偏转又通过 O 点沿水平方向进入电容器 PQ之间，如此循环往复。

M

N

P

Q

B

Ov0

甲图

已知电子质量为 m ，电荷量为 e 。不计电容器之外的电场对电子运动的影响。（ 1 ）试分析极板 P 、 Q 、 M 、 N 各带什么电荷？（ 2 ）求 Q 板和 M 板间的距离 x ；（ 3 ）若只保留电容器右侧区域的磁场，如图乙所示。电子仍从 PQ极板中轴线左边缘的 O 点，以速度 v0

沿原则电子进入电容器 MN 时距 M

N 中心线的距离？要让电子通过电容器 MN 后又能回到 O 点，还需在电容器左侧区域加一个怎样的匀强磁场？

eU

vmd

4

20

2

方向进入电容器，已知电容器极板长均为 。

乙图

M

N

P

QOv0

解： （ 1 ）电子受磁场力向下，则受电场力向上，所以 P 板带正电， Q 板带负电

同理可知， M 板带负电， N 板带正电（ 2 ）电子在电容器中由平衡条件有：

d

eUBev 0

M

N

P

Q

B

Ov0

电子在磁场中做圆周运动的半径为 R ，则：

R

vmBev

20

0

Q 板和 M 板间的距离，应满足：

deU

dmvdRx

202

2

题目

M

N

P

QO

v0

（ 3 ）电子离开电容器 P 、 Q 时的侧移量为：

v

822

1 2

0

2 d)

v

L(

md

eUaty

在右侧区域的磁场中，

r

r

O1

r

mvevB

2

0vcosv

Rcosrh 22

电子进入电容器 M 、 N之间的位置在中轴线以上y （即 d／ 8 ）处。

题目 第 2页

M

N

P

QO

v0

电子进入电容器 M 、 N 后，在电场力作用下作类抛体运动，根据对称性可知，电子在竖直方向上的位移为 y, 离开电容器 M 、 N 的位置在中轴线以上 2 y

（即 d/4 ）处，速度大小为 v0 ，方向与中轴线平行。

v0

在电容器左侧区域加一个匀强磁场 , 电子又能回到 O 点

B'

r'

4

2

422

20 d

eU

dmvdRr

r

vmBev

20

0

edUdmv

UmvB

2

0

0

8

8

方向垂直于纸面向里（水平）。

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gk001.2008 年高考理综全国卷Ⅰ .2525 ．（ 22 分）如图所示，在坐标系 xOy 中，过原点的直线 OC 与 x 轴正向的夹角＝ 120 ，在 OC 右侧有一匀强电场，在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠，右边界为 y 轴，左边界为图中平行于 y 轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为 B ，方向垂直于纸面向里。一带正电荷 q 、质量为 m 的粒子以某一速度自磁场左边界上的 A 点射入磁场区域，并从 O 点射出，粒子射出磁场的速度方向与 x 轴的夹角＝ 30

, 大小为 v, 粒子在磁场内的运动轨迹为纸面内的一段圆弧 ,

且弧的半径

O

y

xA

B

C

θ v

为磁场左右边界间距的 2 倍，粒子进入电场后，在电场力的作用下又由 O 点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从 A 点射入到第二次离开磁场所用时间恰好粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求：

（ 1 ）粒子经过 A 点时的速度

方向和 A 点到 x 轴的距离；

（ 2 ）匀强电场的大小和方向；

（ 3 ）粒子从第二次离开磁场到

再次进入电场所用的时间。

O

y

xA

B

C

θ v

O

y

xA

B

C

θ v

dR

mvqvB

2

解 : （ 1 ） 设磁场左边界与 x 轴相交于 D 点，与 CO 相交于 O′点，由几何关系可知，直线 OO′与粒子过 O点的速度 v 垂直。在直角三角形 OO′D 中，∠ OO′D=30 ，设磁场左右边界间距为 d ，则 OO′=2d 。依题意可知，第一次进入磁场时运动轨迹的圆心即为 O′点，圆弧轨迹所对的圆心角为 30 ，且 O′A 为圆弧的半径R, 由此可见 , 粒子自 A 点射入磁场的速度与左边界垂直 , A 点到 x 轴的距离

③联立①②式得

②

由洛伦兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律得 ，

)cos(RDA 0301

)(qB

mvDA

2

31

①

v

O'

D

题目

P

O''

v

O'

DO

y

xA

B

C

θ v

d

,T

t121 ,

qB

mT

2

（ 2 ）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为 T ，第一次在磁场中飞行的时间为 t1 ，有

⑤

依题意，匀强电场的方向必与 v相反，即与 x 轴正向夹角应为 150 ，由几何关系可知，粒子再次从 O 点进入磁场时速度方向与磁场右边界夹角为 60 。

④

设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为 O", O" 必定在直线 OC 上，设粒子射出磁场时与磁场右边界交于 P 点，则，∠ OO"P=120.

题目 第2页

,T

t33

,T

ttTt12

7312

22 tm

qEvatvv

,Bv

E7

12

设粒子第二次进入磁场在磁场中运动的时间为

设带电粒子在电场中运动的时间为 t2 ，依题意得

由匀变速运动的规律和牛顿定律可知：

联立式得④⑤⑥⑦⑧得

⑦

⑧

⑥

题目 第2页 第3页

P

P'

O

y

xA

B

C

θ v

d

v

O'

D

O''

v

PPt

4

,RPP 3

,qB

m

v

Rt 3

34

（ 3 ）粒子自 P 点射出磁场后将沿直线运动，设其由P′ 点再次进入电场，由几何关系知，∠ O"P′P=30 ，三角形 OPP′ 为等腰三角形，设粒子在 P 、 P′ 两点间运动的时间为 t4 ，有

又由几何关系知

联立②⑨⑩式得

⑩

⑨

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