大学文科数学 之 线性代数与 概率统计

大学文科数学之

线性代数与概率统计

北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院

2004-2005 学年第二学期欧阳顺湘 2005.4.18

第三讲 条件概率及相关 条件概率 独立事件 全概率公式 贝叶斯公式

条件概率 引言 一个随机试验往往包含着多个随机事件 , 研究随机事件的之间的关系以及相关的概率

是自然的 . 下面我们就来讨论已知一个事件发生时另一

个事件发生的条件概率和事件之间的相互独立性

人们对一个事件发生的可能性大小的评价往往依赖于所获取的信息 . 例如 ,

如果已知在一夏日某地下雨了 , 则该地气温下降的的概率将增大 ;

如果投掷一颗均匀的骰子 , 并被告知所得点数为偶数 , 则你得到 1 点的概率显然是 0.

条件概率 : 记号 我们将这种已知事件 A 发生的条件下事件 B

发生的概率记为 P(B|A), 这个概率也常简称为给定 A 时 B 发生的条

件概率 怎样计算 ( 定义 )P(B|A) 呢 ? 我们先来分析一下下面的两个问题

问题 1 在一个盒子中装有 5 个白球和5 个彩球 : 3 个红球和 2 个蓝球 .

现从中任意取出一个球 , 求取出红球的概率 .

如果已知取出的球是彩色的 , 那么 , 取出红球的概率又是多少呢 ?

分析理解 用 A 表示取出彩球 , 用 B 表示取出红球 . 从这盒子中任取一球共有 10 种等可能的取

法 ; 其中有 3 种取法使取出的球的为红色 . 因此 , 从这 10 个球中取得一个红球的概率为 P(B)=3/10

如果已知 A 发生 , 即已知取的得球是彩色的 , 则从盒子中任取一球只有 5 种可能的情形 : 取 3 个红球或 2 个蓝球中的某一个 ;

其中有 3 种取出红球 (B 发生 ) 的方法 . 由此可知 , 这时取得红球的概率为

P(B|A)=3/5 由此可见 , 已知 A 发生的条件下 B 发

生的概率 P(B|A) 一般不同于 `` 无条件“时 B 发生的概率 P(B).

由于盒子中的 10 个球中有５个彩球 , 　易知从中取出彩球，即 A 发生的概率为 P(A)=5/10.

A, B 同时发生指的是取出的球既是彩球又是红球，或说取出的球是红色的，即事件 B 发生了 .

因此， A, B 同时发生的概率为 P(AB)=P(B)=3/10. 将 P(B|A) 的值 3/5 的分子、分母同除以 10,

并利用上述计算结果，我们可以注意到给定A 时 B 发生的条件概率可以写成

抽象概括 条件概率的定义

问题 随机地选择一个有两个孩子的家庭 , 并假定

生男孩和生女孩是等可能的 . 如果已知 A: 其中一个孩子是女孩 , 求 B:

另一个孩子是男孩的概率 . 如果从性别的等可能性来考虑 , 你可能很快

就回答说答案是 1/2. 这是否正确呢 ?

设 A:= {有一个孩子是女孩 } B:= {有一个孩子是男孩 } 则所求得概率为 P(B|A) P(B|A)=P(AB)/P(A) 按照出生顺序 , 这个家庭的两个孩子共

有如下 4 种等可能的情形 : 男男 , 男女 , 女男 , 女女 .

这个家庭中有一个女孩 , 即事件 A 包含如下3 种可能的情形 :

男女 女男 女女 (A) P(A)=3/4 而该家庭中有一个男孩 , 即事件 B 则包含如

下 3 种可能的情形 : 男男 男女 女男 (B) 家庭中既有一个男孩又有一个女孩的可能情

形为 男女 女男 (AB) P(AB)=2/4

乘法公式 P(AB)=？ P(B|A)=P(AB)/P(A) P(AB) =P(A)P(B|A) (P(A)>0) 一般地， P(A1A2A3)=?

乘法公式 应用 例 某工厂有一批零件共 100 个 , 其中有 1

0 个次品 , 从这批零件中随机抽两次 , 每次抽取一件 , 取后不放回 , 求两次都取到正品的概率 .

用 Ai表示第 i 次 ( i =1, 2) 取到正品，即 用 A1 表示第 1 次取到正品 用 A2 表示第 2 次取到正品 P(A1A2)=? P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=?

独立事件课堂练习 : 掷一枚均匀的硬币两次 , 用 A 表示第一次正面朝上 , B 表示第二次正面朝上 , 求 P(B|A).

分析 : P(B|A) 是 A 发生的条件下 B 发生的概率 , 但 A 是第一次掷得的结果 , B 是第二次掷

得的结果 , 这前后两次之间能有什么影响呢 ? 直觉告诉我们 , A 已发生的信息不会改变 B

发生的概率 , 应有 P(B)=P(B|A). 我们下面认真地算一下 P(B) 和 P(B|A), 看看我们的猜测是否正确 .

掷一枚均匀的硬币两次 , 共有如下 4 种等可能的情形 正正 , 正反 , 反正 , 反反 . A 发生 , 即第一次掷得正面朝上可能结果 : 正正 , 正反 . 因此 , P(A)=2/4=1/2. B 发生 , 即第二次掷得正面朝上可能是 正正 , 反正 . 因此 , P(B)=2/4=1/2. 我们还可以看到 A, B 同时发生的情形只有一种 : 正正 . 因此 P(AB)=1/4. 由条件概率的计算公式可知

独立事件 一般而言，条件概率 P(B|A) 不等于绝

对概率 P(B), 如果 P(B|A)=P(B), 则这意味着事件 A 已发生的知识不能影响我们对事件 B 发生的推测 .

这时我们称 A 独立于 B

独立是相互的 A 独立于 B P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) ( + P(B)>0 ) P(A|B)=P(A) B 独立于 A

B=P(A)[1- P(B)]= P(A) P( )

= P(A)- P(AB)

BP(A )= P(A - A B)

A 、 B 独立

故 A 与 独立 . B

概率的性质

= P(A)- P(A) P(B)

证明 : 仅证 A 与 独立B

容易证明 ,若两事件 A 、 B 独立，则 BABABA 与与与 ,, 也相互独立 .

多个事件的独立性

多个事件的独立性

将两事件独立的定义推广到三个事件：

对于三个事件 A 、 B 、 C ，若

P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时

P(AC)= P(A)P(C) 成立 , 则称事件

P(BC)= P(B)P(C) A 、 B 、 C 相互

P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立 .

推广到 n 个事件的独立性定义 , 可类似写出：

包含等式总数为：

1201

)11(

32

nnn

n

nnn

nn

设 A1,A2, …,An 是 n 个事件，如果对任意 k

(1<k n), 任意 1 i1<i2< …<ik n,具有等式

则称 A1,A2, …,An 为相互独立的事件 .

) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1k ki i i i i iA P A P A P A A A P

请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系

两两独立相互独立

对 n(n>2) 个事件

?

在实际应用中 , 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立 .

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为 A 、 B 独立 .

甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中 }, B={乙命中 } ， A 与 B 是否独立？

例如

（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）

应用例 有三名队员彼此独立地向同一目标射击，集中率分别为 0.9, 0.8, 0.7, 求目标被击中的概率

Ai: 第 i人击中目标 B: 目标被击中 B: 至少有一人击中目标 B=A1+A2+A3 Ω\B= Ω\(A1+A2+A3)= P(B)=1 – P(Ω\B)=

概率论在法庭上的应用

全概率公式和贝叶斯公式 主要用于计算比较复杂事件的概率 , 它

们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用 .

综合运用

加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)

A 、 B 互斥

乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)

P(A)>0

全概率公式 与 应用例 完备事件组 与 事件的分解 公式（特例） 应用 一般公式

完备事件组 与 事件的分解 设 A1 、 A2 、 A3 满足 : 两两互斥：当 i<>j ， AiAj=Φ；且 A1+A2+A3= Ω

B=BΩ=B(A1+A2+A3)=BA1+BA2+BA3

全概率公式 B= A1B+A2B+A3B ， A1B 、 A2B 、 A3B 两两互斥 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)

3

1iii ABPAPBP )()()( ｜

应用例 根据某地气象和地震资料知：大旱年、大涝

年、正常年的概率分别为 0.6， 0.3 ， 0.4, 求当地有地震的概率

设 B: 有地震 （ 求 P(B) ） A1 A2 A3 分别表示 大旱年、大涝年、正常年

3

1iii ABPAPBP )()()( ｜

例 10 自学

一般公式

　 设 Ω 为随机试验的样本空间， A1,A2,…,An

是两两互斥的事件，且有 P(Ai)>0 ， i =1,2,…,

n,

n

iii ABPAPBP

1

)()()( ｜

全概率公式 :

称满足上述条件的 A1,A2,…,An 为完备事件组 .

1

,n

ii

A

则对任一事件 B ，有

在较复杂情况下直接计算 P(B) 不易 ,但 B

总是伴随着某个 Ai 出现，适当地去构造这一组 Ai 往往可以简化计算 .

n

iii ABPAPBP

1

)()()( ｜

全概率公式的来由 , 不难由上式看出 :

“ 全”部概率 P(B) 被分解成了许多部分之和 .

它的理论和实用意义在于 :

某一事件 B 的发生有各种可能的原因 (i=

1,2,…,n) ，如果 B 是由原因 Ai 所引起，则B 发生的概率是

每一原因都可能导致 B 发生，故 B 发生的概率是各原因引起 B 发生概率的总和，即全概率公式 .

P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)

全概率公式 .我们还可以从另一个角度去理解

贝叶斯公式

该球取自哪号箱的可能性最大 ?

实际中还有下面一类问题，是“ 已知结果求原因”

这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小 .

某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球 ,求该球是取自 1 号箱的概率 .

1 2 3

1 红 4 白或者问 :

接下来我们介绍为解决这类问题而引出的

贝叶斯公式

有三个箱子，分别编号为 1,2,3 ， 1 号箱装有 1 个红球 4 个白球， 2 号箱装有 2 红球 3

白球， 3 号箱装有 3 红球 . 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球 , 求该球是取自 1 号箱的概率 .

1 2 3

1 红 4 白

?

某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自 1 号箱的概率 .

)(

)()|( 1

1 BP

BAPBAP

记 Ai={ 球取自 i 号箱 }, i=1,2

,3; B ={ 取得红球 }求 P(A1|B)

3

1

11

kkk ABPAP

ABPAP

)()(

)|()(

｜运用全概率公式

计算 P(B)

将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式

1 2 3

1 红 4 白

?

n

jjjiii ABPAPABPAPBAP

1

)()()()()|( ｜｜

该公式于 1763 年由贝叶斯 (Bayes) 给出 . 它是在观察到事件 B 已发生的条件下，寻找导致 B 发生的每个原因的概率 .

贝叶斯公式：

　 设 A1,A2,…,An 是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0 ， i=1,2,…,n, 另有一事件 B ，它总是与 A1

,A2,…,An 之一同时发生，则

ni ,,, 21

贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因 .

例 3 某一地区患有癌症的人占 0.005 ，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.95 ，正常人对这种试验反应是阳性的概率为 0.04 ，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大 ?

则 表示“抽查的人不患癌症” . C

CC

已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04

求解如下 : 设 C={ 抽查的人患有癌症 } ， A={ 试验结果是阳性 } ，

求 P(C|A).

现在来分析一下结果的意义 .

由贝叶斯公式，可得

)|()()|()(

)|()()|(

CAPCPCAPCP

CAPCPACP

代入数据计算得 : P(C｜ A)= 0.1066

2. 检出阳性是否一定患有癌症 ?

1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？

如果不做试验 , 抽查一人 ,他是患者的概率 P(C)=0.005

患者阳性反应的概率是 0.95 ，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜ A)= 0.1066

说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 .

从 0.005 增加到 0.1066, 将近增加约 21倍 .

1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？

2. 检出阳性是否一定患有癌症 ?

试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜ A)=0.1066

即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有 10.66% (平均来说， 1000 个人中大约只有 107 人确患癌症 ) ，此时医生常要通过再试验来确认 .

下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式

n

jii

iii

ABPAP

ABPAPBAP

1

)()(

)()()|(

｜

｜贝叶斯公式

在贝叶斯公式中， P(Ai) 和 P(Ai |B) 分别称为原因的验前概率和验后概率 .P(Ai)(i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事件 B 是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识 .

当有了新的信息（知道 B 发生），人们对诸事件发生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的估

计 .

贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。

在不了解案情细节 ( 事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为

比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯 .

例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人 .

甲乙丙P(A1) P(A2) P(A3)

但在知道案情细节后 , 这个估计就有了变化 . P(A1 | B)

知道 B发生后

P(A2 | B) P(A3 | B)

最大

偏小

这一讲我们介绍了

全概率公式 贝叶斯公式

它们是加法公式和乘法公式的综合运用 ,

同学们可通过进一步的练习去掌握它们 .

值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计” . 可见贝叶斯公式的影响 .

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