Финансовая математика Минасян В.Б. к.ф.-м.н., доцент кафедры корпоративных финансов ВШФМ РАНХиГС при Президенте РФ. Certified International Investment Analyst (CIIA)
Финансовая математика
Минасян В.Б.к.ф.-м.н., доцент кафедры
корпоративных финансов ВШФМ РАНХиГС при Президенте РФ.
Certified International Investment Analyst (CIIA)
Типы моделей
В зависимости от глубины проникновения в реальные процессы, нужд практики и необходимой точности описания модели финансовой математики подразделяются на:
•Статические•Динамические•Детерминированные•Стохастические (случайные)
Динамические модели подразделяются на:
•Динамические модели с дискретным временем•Динамические модели с непрерывным временем
Модели финансовых процессов
Под финансовой математикой, в широком смысле, понимаются математические модели для описания процессов, происходящих на финансовых рынках, описания самих рынков и финансовых инструментов, применяемых на этих рынках.Данные модели применяются для оценки важнейших финансово-экономических показателей, описания их взаимной зависимости и динамики во времени.
Простые методы
Самыми простыми моделями являются статические детерминированные модели. Они присутствуют в финансовом менеджменте, когда мы анализируем ситуацию в данный момент, с помощью данных взятых из прошлого, рассматривая значения некоторых значимых финансовых величин или некоторых их комбинаций, имеющих важный смысл.Например, анализируя (диагностируя) ситуацию в компании с помощью отчетности – применяя соответствующие коэффициенты.
Что мы успеем рассмотреть
Мы сначала рассмотрим динамические детерминированные модели с дискретным временем.
Мы лишь коснемся динамических стохастических моделей с дискретным временем.
Простейшая ситуация, требующая введения дискретной
модели
В дискретных моделях вводят понятие стандартного единого промежутка времени (чаще всего – год). И ситуационно, процесс описывают через каждый стандартный временной промежуток.
Простейшая ситуация, требующая введения дискретной
моделиПредположим, что Вы отдали в долг в момент О сумму Р=PV, и долг должны вернуть через n стандартных временных промежутков.Общеизвестно, что должны вернуть сумму:S = FV = P + I0 nP S=P+II – процент,- доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами.
Схемы начисления процентов Процентная ставка
Проценты начисляют по процентной ставке i на стандартном промежутке
I – процент за единичный промежуток времени
PIi
Схемы начисления процентов Схема простых процентов
Проценты в размере i начисляются в конце каждого стандартного временного промежутка только на первоначально вложенную сумму Р
Схема сложных процентов
Проценты в размер i начисляются в конце каждого стандартного временного промежутка, но не только на первоначальную сумму Р, но и на все заработанные к этому моменту проценты.
Наращение процентов Наращение простых процентов
0 n P S=P(1+ni)
Наращение сложных процентов
Когда сумма Р вкладывается на банковский депозит, то в договоре между клиентом и банком фиксируется и ставка и схема начисления процентов.
0 n P S=P(1+i)n
Доходность = процентная ставка
При вложении суммы Р в финансовые инструменты (активы, бизнесы проекты) более сложные, чем банковский депозит, чаще всего сумма S=FV оказывается случайной.Роль процентной ставки i здесь играет ожидаемая (средняя) доходность от данных вложений за единичное время.
Машина времени из настоящегов будущее
Будет ли доходность i сложной или простой ставкой зависит от вас.Будете ли вы совершать реинвестирование полученных доходов в конце каждого единичного промежутка времени?
Концепция временной ценности денег.
S=P(1+i)n
S=P(1+ni)n (1+i) (1+ni)
при реинвестированиибез реинвестирования
и соответствующие коэффициенты наращения
Дисконтирование.Машина времени из будущего в
настоящееОперация оценки современной ценности вложения по известной его будущей ценности называется дисконтированиемДисконтирование по простой ставке.
0 n
SДисконтирование по сложной
ставке.0 nS
niSP
1
niSP)1(
Выбор ставки дисконтирования
Это нетривиальный вопрос.Иногда, в качестве неё выбирают ставку альтернативной доходности.Но финансовая теория рекомендует выбирать требуемую доходность, зависящую от уровня риска с которым сталкивается инвестор.Этот непростой вопрос решается в недрах корпоративных финансов с помощью различных алгоритмов её оценки в виде WACC – средне-взвешенной доходности, которая зависит от стоимости долга и стоимости собственного капитала инвестора, уровня левериджа с которым он связан и уровнем структурного риска среды, в которой принимается решение.
Влияние инфляции на процентную ставку
Формула И. Фишера
Где i – номинальная (с учетом инфляции) ставка- реальная ставка (очищенная от инфляции)
111
hiip
pi
pih – темп инфляции
Принцип: Номинальные денежные потоки дисконтировать по номинальным ставкам.Реальные денежные потоки дисконтировать по реальным ставкам
Учет векселей по простойи сложной учетной ставках
Вексель – это ордерная ценная бумага, подтверждающая безусловное обязательство векселедателя оплатить определенную сумму векселедержателю в определенное время в определенном месте.Учет векселя – это его продажа с передачей права требования новому владельцу (банку)
Учет векселей, учетная ставка
Банк определяет учетную ставку на стандартном временном промежутке d.И тогда учет векселей может происходить по простой и сложной учетной ставке d.
Учет векселей по простой учетной ставке
Векселедатель передает вексель банку и получает сумму Р
0 n
S)1( ndSP - Номинальная ценность векселя
Учет векселей по сложной учетной ставке0 n
S
Векселедатель передает вексель банку и получает сумму РОчевидно, что учет векселей связан с дисконтированием.
ndSP )1(
Наращение по учетной ставке
Если мы знаем сумму Р, которую получил векселедержатель при учете векселя, и учетную схему, то можно определить номинальную ценность векселя по одной из формул:O n
P ndP
ndPS
)1(,
1
В зависимости от того d – простая или сложная учетная ставка
Наращение годовой ставки чаще, чем раз в год
Эффективная ставка
Jm – годовая номинальная ставка.Её m-ая доля начисляется в конце каждого интервала деления года на m равных частей с реинвестированием.
01 год
mm1
m2
m3
Эффективная годовая доходность(Эффективная ставка)
Ценность вложения суммы Р через n лет
mjm
mjm
mjm
mjm
1)1( mmэфф m
ji
mnm
mjPS )1(
Понятие денежного потока
Денежным потоком (постнумерандо/пренумерандо) в течение n стандартных временных промежутков, называется множество денежных платежей или поступлений в конце, или, соответственно, в начале этих промежутков.Мы, в основном, будем рассматривать потоки постнумерандо.
nCF
0 1 2
30CF
1CF 2CF
3CF1nCF
1n
Понятие денежного потока
Если это денежный поток от инвестиционного проекта, то рассчитывают чистую приведенную ценность (NPV) проекта
nn
iCF
iCF
iCFCFNPV
)1(...
1121
0
Где i – требуемая ставка доходности
Критерий NPV Если NPV>0, то проект, может быть, целесообразно реализовывать.Если , то нецелесообразно финансирование проекта
0NPV
IRR проектаКритерий IRR
IRR проекта (внутренней ставкой доходности проекта) называется такая ставка i, при которой NPV(i)=0
Критерий IRR Пусть мы определяем IRR проекта, а i – требуемая ставка доходности.Если IRR>i, то проект целесообразно реализовывать.Если , то проект нецелесообразно реализовывать
iIRR
Оценка аннуитетов
Аннуитетом называется денежный поток, в котором денежные суммы возникают через равные промежутки времени.Мы рассмотрим постоянные аннуитеты, т.е. и сами суммы постоянны и возникают в конце периодов
0 1 2 n-1
nR R R R
Будущая ценность аннуитета
Современная ценность аннуитета
inSRS ,
iiSn
in1)1(
,
inARP ,
iiAn
in)1(
11
,
Перпетуитет
Вечный постоянный аннуитет (постнумерандо) называется перпетуитетом
Современная ценность перпетуитета
iRP