بسم ا... الرحمن الرحيم

بسم ا... بسم ا... الرحمن الرحيمالرحمن الرحيم

دکتر بهمن قربانی دکتر بهمن قربانی واقعیواقعی

درس کنترل ديجيتالدرس کنترل ديجيتال13911391مهر مهر

کنترل پذيريکنترل پذيرياگر سيستم: اگر سيستم:

(( 1) ) ( ) ( )

( ) state vector at Kth sampling instant

( ) control signal at Kth sampling instant

G= matrix

H= 1 matrix

T=sampling period

Assumption: ( )

X k T GX kT HU kT

X kT

U kT

n n

n

U kT

is constant over ( 1)kT t k T

سيستم فوق را بطور کامل کنترل پذيريا کنترل پذيرحالت مي گوييم که اگر يک سيگنال وروديسيستم فوق را بطور کامل کنترل پذيريا کنترل پذيرحالت مي گوييم که اگر يک سيگنال وروديبنحوي وجود داشته باشدکه:بنحوي وجود داشته باشدکه:

UU (kT): -piecewise continuous (1)(kT): -piecewise continuous (1) -Defined over a finite # of sampling time (2)-Defined over a finite # of sampling time (2)

اولپسپس ح6الت ه6ر از اگ6ر اول ح6الت ه6ر از اگ6ر بت6واني6ي6 بت6وانه ح6الت ييه ح6الت م ح6الت X(KT)X(KT)م ه6ر ب6ه را ح6الت ه6ر ب6ه را arbitrary statearbitrary stateک ک ي6يXXff 6م.)م.)يي دوره نمون6ه ب6رداری منتق6ل ک6ن دوره نمون6ه ب6رداری منتق6ل ک6نnnدلخ6واه در دلخ6واه در

می باشد(.می باشد(.originorigin شامل شامل يي بعد بعدnn ييدر فضادر فضا

ح زير تعريف کرديم:ح زير تعريف کرديم:رربا توجه به تعريف، شرط کنترل پذيري را بشبا توجه به تعريف، شرط کنترل پذيري را بش

11

0

1 2 ( 1) 1

1 2

2 1

( ) (0) ( )

= (0) + (0) ( ) (( 1) )

= (0) + (0) ( ) (( 1) )

(( 1) )

(( 2

( ) (0)

nn n j

j

n n n n n

n n n

n n n

X nT G X G HU jT

G X G HU G HU T G HU n T

G X G HU G HU T HU n T

U n T

U n

X nT G X H GH G H G H

) )

( )

(0)

T

U T

U

By definition:By definition:

مي مي يک بردار ستونييک بردار ستوني هرکدام از ستونهايهرکدام از ستونهايپس اگر رتبه ماتريس پس اگر رتبه ماتريس باشند ،باشند ،

1 , , ,nG H GH H 1n

n-1G H GH H n

1 ،،پسپس n n برداربردار , , ,nG H GH H n n بعدي را فرا گيرد. اين ماتريس رابعدي را فرا گيرد. اين ماتريس را ميتواند کل فضايميتواند کل فضاي

..ماتريس کنترل پذيري مي گوييمماتريس کنترل پذيري مي گوييم

ب6ه آنه6ا ب6ه آنه6ا باي6د توج6ه داش6ت ک6ه تم6ام ح6االتي را ک6ه مي ت6وان ازمب6دأباي6د توج6ه داش6ت ک6ه تم6ام ح6االتي را ک6ه مي ت6وان ازمب6دأ •توس6ط م6اتريس کن6ترل پ6ذيري )س6تونهاي آنه6ا( توس6ط م6اتريس کن6ترل پ6ذيري )س6تونهاي آنه6ا( دسترس6ي پي6دا نم6ود،دسترس6ي پي6دا نم6ود،

به عبارت ديگر:به عبارت ديگر: فرا گرفته ميشوند.فرا گرفته ميشوند.ستونهاي ماتريس کنترل پذيري است که دسترسي به حاالتيستونهاي ماتريس کنترل پذيري است که دسترسي به حاالتي را که مي توانرا که مي توان spanningspanning فرا گيريفرا گيري

به آنها دسترسي پيدا نمود را فراهم ميسازدبه آنها دسترسي پيدا نمود را فراهم ميسازد ازمبدأازمبدأ ..

لذا: اگرلذا: اگر Q n

يک سلسله سيگنالهاي ورودييک سلسله سيگنالهاي ورودي ، ،fX(nT)=X پس براي هر حالت دلخواهپس براي هر حالت دلخواه

UnboundedUnbounded را تأمين مي نمايدرا تأمين مي نمايد هستند بنحوي وجود دارد که معادلههستند بنحوي وجود دارد که معادلهکه همگيکه همگي..(**)(**)

پس شرطپس شرط Q n ،است استشرط كافيشرط كافيجهت تست كنترل پذيري، جهت تست كنترل پذيري ..

براي آنکه ثابت کنيمبراي آنکه ثابت کنيم)**()**(که همچنين شرط الزم براي تست کنترل پذيري کامل است، که همچنين شرط الزم براي تست کنترل پذيري کامل است،

u((n-1)T),…,u(T),u(0)u((n-1)T),…,u(T),u(0)

:: فرض مي کنيم کهفرض مي کنيم کهn-1GH GH H n

راي هرراي هرببسپس با استفاده از قضيه كيلي-هميلتون، مي توان نشان داد که سپس با استفاده از قضيه كيلي-هميلتون، مي توان نشان داد که iiدلخواه عبارتدلخواه عبارت

iG H ميتواند بعنوان يک تركيب خطي ازميتواند بعنوان يک تركيب خطي از

n-1G H, ,GH,H هر هرشرح داده مي شود، لذا برايشرح داده مي شود، لذا براي

i-1GH GH H n

ii

خواهد بود وبردارهايخواهد بود وبردارهايi-1G H, ,GH,Hبعدي را فرا گيرند ودر نتيجهبعدي را فرا گيرند ودر نتيجه نمي توانند کل فضاينمي توانند کل فضاي nn

براي تمامبراي تمام i i ..هاهاfX(iT)=X ممکن نيست که داشته باشيمممکن نيست که داشته باشيم fX براي هربراي هر

پس شرطپس شرطn-1GH GH H n

.. براي کنترل پذيري نيز هست براي کنترل پذيري نيز هستشرط الزمشرط الزم

کنترل پذيري آنست کهکنترل پذيري آنست که شرط الزم وکافي براي شرط الزم وکافي برايدر نتيجه:در نتيجه:

n-1GH GH H n

unbounded , u(kT)unbounded , u(kT) بايد توجه داشت که اين امر زماني تحقق خواهد يافت کهبايد توجه داشت که اين امر زماني تحقق خواهد يافت که

باشد. براي توضيح بيشتر رجوع شود بهباشد. براي توضيح بيشتر رجوع شود بهpiecewise-constantpiecewise-constant

A6-2A6-2

UU : :يک بردار باشد، يعنييک بردار باشد، يعني (kT)(kT)حال اگرحال اگر(( 1) ) ( ) ( )

( ) 1 matrix

matrix

X k T GX kT HU kT

U kT r

H n r

::آنست کهآنست کهQ=n×nr شرط کنترل پذيري ماتريسشرط کنترل پذيري ماتريس

n-1( ) GQ H GH H n

II. Output controllabilityII. Output controllability

گف6تيم ک6ه در حالته6اي واقعي ط6راحي، گ6اهي اوق6ات بج6اي آنک6ه گف6تيم ک6ه در حالته6اي واقعي ط6راحي، گ6اهي اوق6ات بج6اي آنک6ه - - 11بخ6واهيم توس6ط کن6ترل ح6الت، ط6راحي را بانج6ام برس6انيم، الزم بخ6واهيم توس6ط کن6ترل ح6الت، ط6راحي را بانج6ام برس6انيم، الزم

است که با کنترل خروجي اينکار را بانجام برسانيماست که با کنترل خروجي اينکار را بانجام برسانيمش6رط کن6ترل پ6ذيري ح6الت، ن6ه ش6رط الزم ون6ه ش6رط ک6افي ب6راي ش6رط کن6ترل پ6ذيري ح6الت، ن6ه ش6رط الزم ون6ه ش6رط ک6افي ب6راي -2 -2

( ل6ذا، الزم اس6ت ت6ا کن6ترل پ6ذيري ( ل6ذا، الزم اس6ت ت6ا کن6ترل پ6ذيري 33کن6ترل پ6ذيري خ6روجي اس6ت. )کن6ترل پ6ذيري خ6روجي اس6ت. ) : :خروجي را بصورت مجزا تعريف کنيمخروجي را بصورت مجزا تعريف کنيم

(( 1) ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant

( ) control signal (scaler) at Kth sampling instant

( ) output vector (m 1) at Kt

X k T GX kT HU kTE

Y kT CX kT

X kT

U kT

Y k

h sampling instant

G= matrix

H= 1 matrix

C=m n matrix

n n

n

U (kT)U (kT) را بطور کامل کنترل پذيري خروجي مي گوييم که اگر بتوان سيگنال وروديرا بطور کامل کنترل پذيري خروجي مي گوييم که اگر بتوان سيگنال ورودي(E)(E) سيستمسيستم

را )بطوريکهرا )بطوريکهUnconstrained control signalUnconstrained control signalDefined over a finite # of sampling period Defined over a finite # of sampling period

بنحوي که اگر هر خروجي اوليهبنحوي که اگر هر خروجي اوليه بنا نمودبنا نمود y(0)y(0) شروع کنيم، خروجيشروع کنيم، خروجي y(kT)y(kT) را بتوانيم به نقطهرا بتوانيم به نقطه

دلخواه دلخواه در فضاي خروجي، حداکثر دردر فضاي خروجي، حداکثر در nn . .پريود نمونه گيري منتقل نماييمپريود نمونه گيري منتقل نماييم

PROVE:PROVE:1

1

0

11

0

( ) (0) ( )

( ) ( )

(0) ( )

nn n j

j

nn n j

j

X nT G X G HU jT

Y nT CX nT

C G X C G HU jT

11

0

1 2 ( 1) 1

1 2

( ) (0) ( )

= C (0) ( ) (( 1) )

= C (0) ( ) (( 2) ) (( 1) )

( ) (0)

nn n j

j

n n n n

n n

n

Y nT C G X C G HU jT

G HU C G HU T C G HU n T

G HU C G HU T C GHU n T C HU n T

Y nT CG X C

2 1

(( 1) )

(( 2) )

( )

(0)

n n

U n T

U n T

H CGH CG H CG H

U T

U

بايد توجه داشت که نقطه دلخواهبايد توجه داشت که نقطه دلخواه

( ) (0) (0)n nfY nT C G X Y C G X

نماينده يک نقطه دلخواه در فضاينماينده يک نقطه دلخواه در فضاي m m . .بعدي خروجي استبعدي خروجي است

پس همانند حالت کنترل پذيري حالت، شرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست کهپس همانند حالت کنترل پذيري حالت، شرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که

n-1CG بردارهايبردارهاي H,...,CGH,CH

mm ::بعدي خروجي را فرا گيرند، يعني اينکهبعدي خروجي را فرا گيرند، يعني اينکه بتوانند فضايبتوانند فضاي

2 1n nCH CGH CG H CG H m

از سيستماز سيستم ( (EE)) ميتوان نتيجه گرفت که اگرميتوان نتيجه گرفت که اگر EE بطور کامل کنترل پذير حالت باشد، آنگاه شرط الزم و کافيبطور کامل کنترل پذير حالت باشد، آنگاه شرط الزم و کافي ،،

براي کنترل پذيري خروجي آنست کهبراي کنترل پذيري خروجي آنست که mm رديف ماتريسرديف ماتريس CC..مستقل خطي باشندمستقل خطي باشند ، ،

اگر سيستماگر سيستم ((EE) ) ::بشرح زير باشدبشرح زير باشد

(( 1) ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

X k T GX kT HU kTE

Y kT CX kT DU kT

( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant

( ) control signal (scaler) at Kth sampling instant

( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant

G= matrix

H= 1 matrix

C=m n matrix

D=m matrix

X kT

U kT

Y k

n n

n

r

11

0

11

0

1 2

( ) ( ) ( )

(0) ( )+ ( )

( ) (0) ( ) + ( )

= C (0) ( ) (( 2) ) (( 1) )+

nn n j

j

nn n j

j

n n

Y nT CX nT DU nT

C G X C G HU jT DU nT

Y nT C G X C G HU jT DU nT

G HU C G HU T C GHU n T C HU n T DU

2 1

( )

( )

(( 1) )

(( 2) ) =

( )

(0)

n n

nT

U nT

U n T

U n TD CH CGH CG H CG H

U T

U

شرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که رتبه ماتريسشرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که رتبه ماتريس

1m n r

2 1n nD CH CGH CG H CG H m

همواره مي تواند جهت ايجاد وتأسيس کنترل پذيري خروجي مهم همواره مي تواند جهت ايجاد وتأسيس کنترل پذيري خروجي مهم .. وجود ماتريسوجود ماتريس DD باشدباشد

III. ObservabilityIII. Observability

مشاهده پذیر می گوییممشاهده پذیر می گوییم گفتیم که یک سیستم را بطور کاملگفتیم که یک سیستم را بطور کامل ، ،

بتوانیم از مشاهدهبتوانیم از مشاهده

رارااگر هر حالت اولیهاگر هر حالت اولیه

Y (kT) over a finite # of sampling periodY (kT) over a finite # of sampling period..بدست آوریمبدست آوریم

:: اگر سیستماگر سیستم

(( 1) ) ( ) unforced

( ) ( )

( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant

( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant

G= matrix

C

X k T GX kT

Y kT CX kT

X kT

Y k

n n

=m n matrix

11

0

11

0

(( 1) ) ( ) ( )If

( ) ( ) ( )

Then:

( ) (0) ( )

( ) (0) ( ) +DU(kT)

kk k j

j

kk k j

j

X k T GX kT HU kT

Y kT CX kT DU kT

X kT G X G HU jT

Y kT C G X C G HU jT

ورودی سیستم یعنیورودی سیستم یعنیاز آنجا که ماتریس هایاز آنجا که ماتریس های D,C,H,G D,C,H,G همگیهمگی known known هستند وهستند و

UU (kT)(kT)هم شناخته شده است، لذا ترمهای دوم وسوم معادلههم شناخته شده است، لذا ترمهای دوم وسوم معادله ( )

بنابراین آنها رابنابراین آنها را

..شناخته شده می باشندشناخته شده می باشند

بدست آوردن شرط الزمبدست آوردن شرط الزم

تفریق نمود.پس بنابراین برایتفریق نمود.پس بنابراین برای،،Y(kT)Y(kT)می توان از تعداد مشاهده شدهمی توان از تعداد مشاهده شده

) و کافی مشاهده پذیری سیستمو کافی مشاهده پذیری سیستم )جهت بررسی کافی خواهد بودجهت بررسی کافی خواهد بود..

: تعریف

می گوییم،اگرخروجی می گوییم،اگرخروجیمشاهده پذیرمشاهده پذیر سیستم را بطور کاملسیستم را بطور کامل Y (Kt)Y (Kt) کهکه

Over a finite # of sampling period Over a finite # of sampling period تعریف شده باشد،بتوان حالت اولیهتعریف شده باشد،بتوان حالت اولیه

X(0) X(0) را از آن بدست آوردرا از آن بدست آورد..

To prove:

Given :Given :( ) ( ) (0)

( ) (0)

k

k

X kT G X

Y kT C G X

داده شدهداده شده

اگراگر…,y(0),y(T),y(2T),…y(0),y(T),y(2T)از فضای مشاهده پذیری در می یابیم که مشاهده پذیری یعنیاز فضای مشاهده پذیری در می یابیم که مشاهده پذیری یعنی

باشند، این امر ممکن است کهباشند، این امر ممکن است که

یعنی برای بدست آوردنیعنی برای بدست آوردن

،،را بدست آوردرا بدست آورد

لذا ما می توانیم اولینلذا ما می توانیم اولین n n مقدارمقدار y (kT) y (kT) یایا

nn مجهولمجهول ما فقطما فقط ،، nn

n 2 1X (0), ,X (0),X (0)

..را نیاز داریمرا نیاز داریمY (kT)Y (kT)مقدار ازمقدار از

y((n-1)T),…,y(T),y(0) y((n-1)T),…,y(T),y(0) مقدارمقدار

n را برای بدست آوردنرا برای بدست آوردن 2 1X (0), ,X (0),X (0) استفاده کنیماستفاده کنیم..

2

2

1

(0) (0)

( ) (0)

(2 ) (0)

( 2 ) (0)

( 1 ) (0)

n

n

Y CX

Y T CGX

Y T CG X

Y n T CG X

Y n T CG X

n n معادلهمعادله است، و در باالاست، و در باال1m یک برداریک بردارY (kT)Y (kT)از آنجا کهاز آنجا که

در نتیجهدر نتیجه داریم لذاداریم لذا

simultaneous simultaneous

nmnm..معادله خواهیم داشتمعادله خواهیم داشت

برای آنکه یک پاسخبرای آنکه یک پاسخ unique برایبرایn 2 1X (0), ,X (0),X (0) ازاز nmnm

nn i معادله بدست آوریم، ما بایدمعادله بدست آوریم، ما باید iبتوانیم دقیقا معادله مستقل خطی ازمعادله مستقل خطی از ، ، بتوانیم دقیقا

بدست آوریم.در نتیجه شرط مشاهده پذیریبدست آوریم.در نتیجه شرط مشاهده پذیری

nmnm معادلهمعادله

:: آنست كهآنست كه

1n

C

CG

n

CG

conjugate transpose conjugate transpose باید توجه داشت ،از آنجا كه رتبه یك ماتریس و ماتریسباید توجه داشت ،از آنجا كه رتبه یك ماتریس و ماتریس

با هم برابرند لذا می توان شرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری رابا هم برابرند لذا می توان شرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری را همان ماتریسهمان ماتریس

آنست كهآنست كه شرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری سیستمشرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری سیستم ..بشرح زیر بیان نمودبشرح زیر بیان نمود::

1nC G C G C n

conjugate transpose G

C

اگراگر real real ،،G,CG,C : :باشندباشند

1nT T T T TC G C G C n

مشاهده پذیری عبارتست ازمشاهده پذیری عبارتست از اگر سیستم بفرم جردن باشد، شرط الزم وکافی برایاگر سیستم بفرم جردن باشد، شرط الزم وکافی برای - - ::

..درفرم جردن، دو بلوک جردن بستگی به یک مقدار ویژه ندارنددرفرم جردن، دو بلوک جردن بستگی به یک مقدار ویژه ندارند (1)(1)

ستونهایستونهای Cs Cs (2)(2) که مربوط به اولین ردیف هر بلوک جردن هستند، همگی صفرکه مربوط به اولین ردیف هر بلوک جردن هستند، همگی صفر

..نمی باشندنمی باشند

هیچ ستونی ازهیچ ستونی از Cs Cs (3) (3)..که مربوط به یك مقدار ویژه مجزا است،صفر نمی باشدکه مربوط به یك مقدار ویژه مجزا است،صفر نمی باشد

o:مثال:مثال

1 0

( 1) ( )0 2 1

( ) 1 5 Observable

X k X k

Y k

2 1 0 0 0 0

0 2 1 0 0 0

0 0 2 0 0 1( 1) ( ) ( )

0 0 0 3 1 6

0 0 0 0 3 1

2

1 1 1 0 1 ( ) ( ) Observable

0 1 1 1 0

X k X k U k

Y k X k

-2 0

X(k+1)= ( )0 1 3

( ) 0 1 ( ) Not Observable

X k

Y k X k

2 1 0 0 0

0 2 1 0 0

X(k+1)= ( )0 0 2 0 0

0 0 0 4 14 0 0 0 0 4

0 1 1 0 1( ) ( ) Not Observable

1 1 1 0 0

X k

Y k X k

:

::ارتباط بين مشاهده پذيري وکنترل پذيريارتباط بين مشاهده پذيري وکنترل پذيري

قانون دوگانيقانون دوگاني S1 : S1 : XX ((k+1)((k+1) T)=G xT)=G x (kT) +H u(kT) +H u (kT)(kT)

YY (kT)=C x(kT)=C x (kT)(kT)

سيستم دوگان آنرا بشرح زير تعريف مي کنيم:سيستم دوگان آنرا بشرح زير تعريف مي کنيم:

* *

*

ˆ ˆ ˆX((k+1)T) G X(kT)+C U(kT)

ˆ ˆ Y(kT)=H X(kT)

s2:s2:

G conjugate transpose of G

H conjugate transpose of H

C conjugate transpose of C

principle of dualityprinciple of duality

)کنترل پذير( باشد.)کنترل پذير( باشد. سيستم مشاهده پذيرسيستم مشاهده پذير s1s1 اگراگر

s2s2 طور کامل کنترل پذير)مشاهده پذير( استطور کامل کنترل پذير)مشاهده پذير( استFor system s1For system s1::

( شرط الزم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست ( شرط الزم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست 11)) از:از:

n-1H GH G H =n

( شرط الزم وکافي براي مشاهده پذيري ( شرط الزم وکافي براي مشاهده پذيري 22))n-1Cعبارتست از:عبارتست از: G C (G ) C =n

For system s2:For system s2: (1) (1) شرط الزم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست ازشرط الزم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست از::

شرط الزم وکافي براي مشاهده شرط الزم وکافي براي مشاهده (2) (2) ::پذيري عبارتست ازپذيري عبارتست از

n-1C G C (G ) C =n

n-1H GH G H =n

در م6ورد سيس6تمهايي ک6ه از ح6الت پيوس6ته ب6ه گسس6ته زم6ان در م6ورد سيس6تمهايي ک6ه از ح6الت پيوس6ته ب6ه گسس6ته زم6ان -دخي6ل نم6ودن نمون6ه گ6يري دخي6ل نم6ودن نمون6ه گ6يري تغي6ير يافت6ه ان6د، باي6د توج6ه داش6ت ک6ه تغي6ير يافت6ه ان6د، باي6د توج6ه داش6ت ک6ه

اس66ت ک66ه ب66اعث از بين رفتن مش66اهده پ66ذيري/ کن66ترل اس66ت ک66ه ب66اعث از بين رفتن مش66اهده پ66ذيري/ کن66ترل ممکنممکنسيس666تم بدس666ت آم666ده بش666ود. علت آنهم ح666ذف سيس666تم بدس666ت آم666ده بش666ود. علت آنهم ح666ذف پ666ذيري پ666ذيري

گسس6ته زم6ان خواه6د ب6ود. اگ6ر سيس6تمي گسس6ته زم6ان خواه6د ب6ود. اگ6ر سيس6تمي ص6فروقطبهاي سيس6تم ص6فروقطبهاي سيس6تم بط6ور کام6ل کن6ترل پ6ذير/ مش6اهده پ6ذير باش6د، درع6دم حض6ور بط6ور کام6ل کن6ترل پ6ذير/ مش6اهده پ6ذير باش6د، درع6دم حض6ور

مشاهده پذير باقي خواهد ماند.مشاهده پذير باقي خواهد ماند. نمونه گيري، کنترل پذير/ نمونه گيري، کنترل پذير/

Useful transformations in s.s. analysis & designUseful transformations in s.s. analysis & designTransforming s.s. equs. into canonical forms:Transforming s.s. equs. into canonical forms:

a) Controllable canonical forma) Controllable canonical formb) Observable canonical formb) Observable canonical formc) Diagonal/Jordan canonical formc) Diagonal/Jordan canonical form

Given:Given: X (k+1)=G X (k) + H U (k)X (k+1)=G X (k) + H U (k) Y (k) =C X (k) + D U (k)Y (k) =C X (k) + D U (k)

a) I. Controllable canonical forma) I. Controllable canonical form

انتقال بفرم كنترل پذير را توسط انتقال زير انتقال بفرم كنترل پذير را توسط انتقال زير انجام مي دهيد:انجام مي دهيد:

n-1

-1 -2 1

-2 -3

1

T=MW

M= H GH … G H

1

1 0

W

1 0 0 0

1 0 0 0 0

n n

n n

a a a

a a

a

iaرا از معادله مشخصه بدست مي آوريم:را از معادله مشخصه بدست مي آوريم: اجزاء اجزاء

11 1 0n n

n nZI G z a z a z a

-1 -1 -1 -1

1 2 2 1

G=T GT=(MW) G(MW)=W M GMW

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 =

0 0 0 0 1

n n na a a a a

-1

-1

0

0

H=T H=

0

1

ˆLet's define X(k)=TX(k)

ˆ X(k)=T X(k)

-1 -1

ˆ ˆ( 1) ( 1) ( ) ( )

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ( ) ( ) ( )

T MW

X k TX k GTX k HU k

X k T GTX k T HU k GX k HU k

Y k CTX k DU k

جائيکهجائيکه

1 2 2 1

n 0 n-1 1 0 1 1 0

0 1 0 0 00

0 0 1 0 00

0 0 0 1 0ˆ ˆ( 1) ( ) ( )

00 0 0 0 1

1

ˆY(k)= b b b b b b ( ) ( )

n n n

n n

X k X k U k

a a a a a

a a a X k DU k

II.II. Observable canonical formObservable canonical form

* 1

* * * * 1 *

( )

( )n

Q WN

N C G C G C

1

2-1

2

1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0ˆQ GQ`

0 0 0 1

0 0 0 1

n

n

n

a

a

aG

a

a

n 0

n-1 1 01

1 1 0

b b

b bˆ

b b

ˆ 0 0 1

n

n

a

aH Q H

a

C CQ

Transformation:Transformation: ˆX(k)=QX(k)

ˆˆ ˆ ˆ( 1) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

X k GX k HU k

Y k CX k DU k

n 01

n-1 1 02

1 1 02

1

0 0 0 0

b b1 0 0 0

b b0 1 0 0ˆ ˆ( 1) ( ) ( )`

b b0 0 0 1

0 0 0 1

ˆ( ) 0 0 1 ( ) ( )

n

nn

nn

a

aa

aaX k X k U k

aa

a

Y k X k DU k

III.III. Diagonal/Jordan canonical form Diagonal/Jordan canonical form

باشند زير به صورت مربوطه ويژه بردارهاي و باشندباشند زير به صورت مربوطه ويژه بردارهاي و distinctdistinct ،، G G ::باشند ( اگر مقادير ويژه( اگر مقادير ويژه11)) ،، ماتريسماتريس

1 2, , , n

1 2

1

11

0 0

0 0

0 0

n

n

p

p

pP GP

p

ˆ( ) ( )

ˆˆ ˆ ˆ( 1) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

X k PX k

X k GX k HU k

Y k CX k DU k

1 1

1 1

1 2

1 2

ˆ ˆˆ ˆ ; ; ;

0 0

0 0ˆ ˆ ( 1) ( ) ( )

0 0

ˆ( ) ( ) ( )

n n

n

G P GP H P H C CP D D

p

pX k X k U k

p

Y k X k DU k

در در يعنييعني ، عبارتند از مانده قطب، عبارتند از مانده قطب در حاليکهدر حاليکه صورتصورت

i i iz = pi i i

1

z p

حضورخواهند داشت، حضورخواهند داشت، بعبارتي:بعبارتي:

-1 -1 1 1 2 2 n n

1 2 n

α β α β α βˆ ˆ ˆ ˆC(ZI-G) H+D=C(ZI-G) H+D= + +Dz-p z-p z-p

::در بسياري موارد انتخاب مي کنيمدر بسياري موارد انتخاب مي کنيم1 2 1n

::شرط الزم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست ازشرط الزم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست از - -

0 1, 2, ,i i n

::شرط الزم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست ازشرط الزم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از - -

0 1, 2, ,i i n

مقادير ويژه بصورت تکراري در ماتريسمقادير ويژه بصورت تکراري در ماتريس G G(2) (2) ::وجود دارندوجود دارند

را انتخاب ميکنيمرا انتخاب ميکنيم در اينحالت تبديل روبرودر اينحالت تبديل روبرو ..

1 2 nS

عبارتند ازبردارهاي ويژه )که مربوط بهعبارتند ازبردارهاي ويژه )که مربوط به ،، در حاليکهدر حاليکه distinctdistinct مقادير ويژهمقادير ويژه يايا( ( هستند هستند generatedgeneratedباشند. باشند.يي م م

iiλ

-1S GS matrix in Jordan formˆX(k)=SX(k)

1 1

1 2

1

1 1 1

ˆ1 0 0 0 0 0 ( ) 0

ˆ0 1 0 0 0 0 ( ) 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0ˆ ˆX(k+1)= 0 0 0 0 0 0 ( )

ˆ0 0 0 0 0 0 ( )

0 0 0 0 0

ˆ0 0 0 0 0 0 ( )

m m

m m m

n n

p x k

p x k

p x k

p x k

p x k

1 2

( )

ˆ ( ) ( ) ( )

n

n

U k

Y k X k DU k

i iα 's ,β 'sضرايبي هستند که در تابع تبديل پالسي حضور دارندضرايبي هستند که در تابع تبديل پالسي حضور دارند::

-1 -1

m 1 m 2 m m m+1 m+1 n nm m-1

1 2 1 m+1 n

ˆ ˆ ˆ ˆC(ZI-G) H+D=C(ZI-G) H+D=

α β α β α β α β α β+ + +D

(z-p ) (z-p ) z-p z-p z-p

::در بسياري موارد انتخاب مي کنيمدر بسياري موارد انتخاب مي کنيم 1 1m m n

::شرط الزم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست ازشرط الزم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست از - -

0 , 1, ,i i m m n

::شرط الزم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست ازشرط الزم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از - -

0 1, 2, ,i i n

Classic stabilizing controller

Separates into observer and controller Closed loop dynamics same as designed dynamics Observer error known to go asymptotically to zero

Controller

PlantObserve

r

State Feedbac

k Controll

er

Pole placement طراحي توسط

مفروضات:تمام متغيرهاي حالت قابل اندازه گيري مي باشند.تمام متغيرهاي حالت قابل اندازه گيري مي باشند. • تمام متغيرهاي حالت در دسترس مي باشند.تمام متغيرهاي حالت در دسترس مي باشند. •

اگر سيستمي بطور کامل کنترل پذير باشد،سپس اگر سيستمي بطور کامل کنترل پذير باشد،سپس طراحي :قطبهاي حلقه بسته را مي توان در هر محل دلخواه با استفاده از قطبهاي حلقه بسته را مي توان در هر محل دلخواه با استفاده از

توسط ماتريس بهره فيدبک قرار دادتوسط ماتريس بهره فيدبک قرار داد فيدبک حالت وفيدبک حالت و .. Given:

( 1) ( ) ( ) G n n ; H n 1

( ) ( ) K 1 n

X k GX k HU k

U k K X k

u(k)u(k)سيگنال کنترل که اندازه آنسيگنال کنترل که اندازه آن : : unboundedunbounded ..استاست

k kماتريس بهره فيدبکماتريس بهره فيدبک : :

X(k+1)=GX(k)-HK X(k)=(G-HK)X(k)

يعني مقادير ويژهيعني مقادير ويژه G-HKG-HK عبارتند از قطبهاي دلخواهعبارتند از قطبهاي دلخواه

را بانجام را بانجام poleplacementpoleplacement - شرط الزم وکافي براي آنکه بتوانيم- شرط الزم وکافي براي آنکه بتوانيم.. کامل کنترل پذير باشدکامل کنترل پذير باشد بطور بطوربرسانيم آنست که سيستمبرسانيم آنست که سيستم

شرط الزم :وجZود خواهنZد وجZود خواهنZد G-HKG-HK اگ6ر سيس6تم کن6ترل پذيرنباش6د آنگ6اه مق6ادير وي6ژه اي از اگ6ر سيس6تم کن6ترل پذيرنباش6د آنگ6اه مق6ادير وي6ژه اي از

را توسط فيدبک حالت کنترل نمود. را توسط فيدبک حالت کنترل نمود.داشت که نمي توان آنهاداشت که نمي توان آنها

:يشرط کافبنح6وي وج6ود خواه6د بنح6وي وج6ود خواه6د KKاگ6ر سيس6تم بط6ور کام6ل کن6ترل پذيرباش6د آنگ6اه م6اتريس اگ6ر سيس6تم بط6ور کام6ل کن6ترل پذيرباش6د آنگ6اه م6اتريس

در محلهاي دلخواه قرار گيرند.در محلهاي دلخواه قرار گيرند. G-HKG-HKمي شود تا مقادير ويژه مي شود تا مقادير ويژه داشت که باعثداشت که باعث

بررسي اثر فيدبك حالت بر روي صفرهايسيستم حلقه بسته

بررسي اثر فيدبك حالت بر روي صفرهايسيستم حلقه بسته

:داده شده استزیر فرض كنيد كه سيستم

buAxx buAxx

udxcy udxcy تابع تبديلتابع تبديل dbASIcsg )()(ˆ 1 dbASIcsg )()(ˆ 1

نکته .اگرچه قطبها از فيدبك حالت تأثيرپذيرند اما صفرهاي آن تغييري نمي نمايند:

اثبات :

dSS

S

nnn

nn

...

...(s)g

11

11 d

SS

S

nnn

nn

...

...(s)g

11

11

n

1n

1

n

nn

1n

11

n

...SS

)d(...S)d(Sd

n

1n

1

n

nn

1n

11

n

...SS

)d(...S)d(Sd

تابع تبديل سيستم بدون فيدبک حالت :

تابع تبديل سيستم حلقه بسته در حضور فيدبک حالت :

dSS

dSdsg

nnn

nnnn

f

...

)]([...])([)(ˆ

11

1111 d

SS

dSdsg

nnn

nnnn

f

...

)]([...])([)(ˆ

11

1111

n

1n

1

n

1n

11

n

...ss

s)d(sd

n

1n

1

n

1n

11

n

...ss

s)d(sd

سيسZتم اثZر بگZذارد. مشZاهده پZذيری بZر روی مي توانZد امZراينسيسZتم را بZدنبال داشZته ناپZذيري مشZاهده می توانZددر واقZع

چZون مي تZوانيم يكسZري قطبهZاي دلخZواه تعريZف كZنيم باشZد.برابر باشند.سيستم یكه با صفرها

نکته :