使使使使使使使使使使使使使 使使使使使 一 : 使使使使使使使使使使( GCN) 使使使使使使使使 (GCN) 使使 使使使 (GP) 使使使使 使使使 使使使使使使使使使 使使使使使使
Jan 18, 2016
使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 :
臺灣學生經驗幾何計算( GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現
許慧玉台灣師範大學數學系
博士後研究員
台灣學生優秀的數學表現
幾何證明( GP )
幾何計算( GC )幾何計算( GCN )
幾何計算( GCN )是如何的被台灣老師所使用?如果可以,學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力?
幾何計算 (GCN) 的定義
• 要求學生在圖形( mental or physical) 裡進行純數字運算的試題
?
50˚
75˚
三角形內角和
StudentLearning
TASKSas they appear in curricular/instructional materials
TASKSas set up by classroom teacher
TASKSas enacted by classroom teacher and students
Mathematical Task Framework (MTF)
第一個研究 第二個研究 第三個研究
總結
一位台灣國中數學教師─ 阿南老師
教師中心
Excellent Mathematical Knowledge for Teaching
考試導向
• 阿南老師使用的幾何計算試題( GCN )可以提供學生哪些學習機會( Opportunities to learn) 呢?
• 阿南老師使用的教材( curricular/instructional sources) 裡,幾何計算試題( GCN )有沒有什麼不同?如果有,會不會影響學生的學習機會呢?( Opportunities to learn)
研究問題
1.教科書2.補充講義3.測驗卷4.阿南老師上課中發展的試題
幾何試題分析架構
參照圖形 (reference diagram) 的定義
• 教科書在定義一個幾何性質時,旁邊的附圖就稱為參照圖形
• 不同人對平行四邊形的心智圖形 (mental images)
等腰三角形和正三角形的參照圖形
案例─分析圖形複雜性
幾何計算試題的附圖內錯角的參照圖形
圖形複雜性Categories
分析子項一:參照圖形被取消的線段
分析子項二:參照圖形因取消線段而被影響的頂點
分析子項三:新的線段增加在參照圖形上
分析子項四:參照圖形因新增加的線段而影響了原來的頂點
分析子項五:參照圖形因新增加的線段而增加了新的頂點
分析子項一、二分析子項一:參照圖形被取消的線段
分析子項二:參照圖形因取消線段而被影響的頂點
分析子項三、四分析子項三:新的線段增加在參照圖形上
分析子項四:參照圖形因新增加的線段而影響了原來的頂點
分析子項五分析子項五:參照圖形因新增加的線段而增加了新的頂點
一個幾何試題圖形改變摘要表Category Number
分析子項一:參照圖形被取消的線段 4
分析子項二:參考圖形因取消線段而被影響的頂點 2
分析子項三:新的線段增加在參照圖形上 2
分析子項四:參照圖形因新增加的線段而影響了原來的頂點 2
分析子項五:參照圖形因新增加的線段而增加了新的頂點 3
圖形複雜度 13
認知複雜度
內錯角的參照圖形 參照圖形鑲嵌在幾何計算圖形內
其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質
三角形內角和 內錯角 同位角 外角定理(1)
同側內角 角平分線 四邊形內角和 互補性質
解題複雜性 (problem-solving complexity)
• 輔助線• 推理步驟的個數• 使用幾何性質的次數• 需要剛性轉換 (transformation) 的次數
案例─解題複雜性• 一個四邊形 ABCD ,其 AD//BC , AD=10,
BC=16, AB=6, CD=8, 且 DCB=48˚ 。求 BAD=_________.
B C
A D
16
86
10
輔助線
B C
A D
16
86
10
O
• 一個四邊形 ABCD ,其 AD//BC , AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且 DCB=48˚ 。求 BAD=_________.
解題步驟和對應的幾何性質步驟 計算步驟 幾何性質
步驟一 AD//OC 且AD=OC=10,AOCD 為平行四邊形
一雙對邊平行且等長的四邊形為平行四邊形
步驟二 DCO=DAO=48˚ 平行四邊形對角相等
步驟三 AO//CD 平行四邊形對邊平行
步驟四 DCO=AOB=48˚ 同位角
步驟五 BA=BO=6AOB=BAO=48˚ BAD=48˚+48˚=96˚
等腰三角形定理
剛性轉換 (transformation)
分析資料• 國二的一個幾何單元─平行線與四邊形
– 熟悉幾何性質– 奠定國三學習幾何證明的基礎
• 追蹤一個國中教師(阿南老師)在教這個單元使用的教材內容– 教科書– 補充講義– 測驗卷– 課堂上創造出的試題
• 總共有 1084 個試題,其中 529 個試題是幾何計算( GCN )
Diagram Complexity
3.94
5.73
7.476.86
012345678
Textbookseries
Supplementalmaterials
Tests Tasks createdby Nancy
Nu
mb
er o
f ch
ang
es
Findings- 圖形複雜性
115 Tasks 125 tasks 189 tasks 7 tasks
Auxiliary Lines
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Textbook series Supplementalmaterials
Tests Tasks created byNancy
Perc
ent
Auxiliarylines notneeded
Auxiliarylinesneeded
Findings- 輔助線
115 Tasks 151 tasks 256 tasks 7 tasks
Findings- 推理步驟數
Solution Steps
1.922.85
4.07
3.14
0
1
2
3
4
5
Textbookseries
syllabus Tests Tasks createdby Nancy
Num
ber
of r
easo
ning
ste
ps
Findings- 使用幾何性質個數
Required Geometric Properties
1.69
2.33
3.19
2.43
00.5
11.5
22.5
33.5
Textbookseries
syllabus Tests Tasks createdby Nancy
Num
ber
of p
rope
rtie
s
Findings- 轉換 (transformation) 個數
Transformation
0.631.18
2.08
1.14
00.5
11.5
22.5
3
Textbookseries
syllabus Tests Tasks createdby Nancy
Num
ber
of a
ctio
ns
結果討論─ 1
• 發展出的試題分析架構– 創新性– 系統性的分析試題– 避開學生先備知識對試題難度度分析的影響
結果討論─ 2
• 非教科書的試題比教科書難– 要求學生辨識出複雜的幾何圖形──鑲崁的參
照圖形及對應的幾何性質– 畫出輔助線– 多步驟解題過程– 使用多個幾何性質– 需要學生作圖形的剛性轉換( transformation
s )解題技巧、知識、和推理都是幾何證明需要的能力
結果討論─ 3
• 學生如何學習這些困難的幾何計算試題呢?– 阿南教師的教學技巧– 使用補充講義– 只要多練習總有一天你就會作題目– 弱勢的學生– 對國際性教科書分析的反思
第二個研究阿南老師的教學分析
30
70
?
30
70
80
?
30
70
80
?50
第一個試題 第二個試題 第三個試題
• 如何安排幾何計算試題– 逐漸複雜幾何圖形─為維持認知困難度
學習機會 (learning opportunities)
• 作輔助線─視覺推論及操作圖形• 瞭解澄清鑲崁在幾何圖形裡的幾何性質• 發展出不同的解題策略
30 70?
30 70?
另一個分析重點• 教師中心的教學法底下如何讓學生學習數
學– 使用手勢 (gesture)
阿南的教學• 使用手勢
給定圖形 內容長方形 ABCD , AB沿著 EF線段往下折疊。若 EGB=45˚, GFB’=45˚, 且 AB=8 cm 。求∆ EFG的面積
第三個研究研究假設 Hypothesis
• 研究問題– 當控制兩種試題的給定圖形以及解題所需的幾何性質,
學生在幾何計算與幾何證明的表現會一樣嗎?
幾何計算 幾何證明圖形
Why Geometric Diagram?
• Place where problem solving happens (Larkin & Simon, 1987)
• Schemes by which students remember the steps in solving a problem, the given statements, and the diagram labels (Lovett & Anderson, 1994)
• Milieu where can be parsed into chucks to cue the geometric knowledge (Koedinger & Anderson, 1990)
• Artifacts in scaffolding students in learning proofs (Cheng & Lin, 2006; 2007).
• Both types of tasks also require to visualize the geometric properties embedded in the given diagram
設計幾何計算與幾何證明試題的準則
• 準則一:給定圖形一致性• Pair 1
給定圖形 幾何計算 幾何證明三角形 ABC 中,AC=BC 且BCD 共線。 ACD =130˚, 求 ABC.
三角形 ABC中, AC=BC 且 BCD 共線。證明 ACD=2ABC
設計幾何計算與幾何證明試題的準則
• 準則二:解題使用的幾何性質相同– Set 1:
• 三角形內角和• 互補性質• 等腰三角形性質
– Set 2:• 外角定理• 等腰三角形性質
給定圖形 幾何計算 幾何證明三角形 ABC中, AC=BC 且BCD 共線。 ACD =130˚, 求 ABC.
三角形 ABC 中,AC=BC 且BCD 共線。證明 ACD=2ABC
設計幾何計算與幾何證明試題的準則
• 標準三:解題中使用幾何性質的次序是相同的• 幾何計算 幾何證明
設計幾何計算與幾何證明試題的準則
• 準則四 : – 設計其他不同圖形的幾何計算和幾何證明題目
• 問卷共有四對試題
第二對
Given Diagram GCN Item GP Item
ABCD is a parallelogram. AE and BF are angle bisectors of A and B. If AED=25 , ∘find the measure of EAD.
ABCD is a parallelogram. AE and BF are angle bisectors of A and B. Prove AED=EAD.
B
D
F
E
A
C
第二對• 幾何計算 幾何證明
第三對
Given Diagram GCN Item GP ItemTriangle ABC in which AB and AC are the same lengths. Construct a line through point A so that the line is parallel to BC where the bisectors of angle B and angle C intersect the line at point D and point E. If AC=6 cm and
ACB=75 , find (1) the ∠ ∘length of AE; (2) the measure of AEC. ∠
Triangle ABC in which AB and AC are the same lengths. Construct a line through point A so that the line is parallel to BC and the bisectors of angle B and angle C intersect the line at point D and point E. Prove AC=AE
A
B
DE
C
第三對• GCN GP
第四對
Given Diagram GCN Item GP Item
三角形 BDC 中,BD=BC 且ABC 共線。 ABD =70˚, 求 BDC.
三角形 BDC 中, BD=BC 且 ABC 共線。證明 ABD=2BDC
C
B
DE
A
第四對• 幾何計算 GCN 幾何證明 GP
學生答題的架構
證明或計算步驟 標示此步驟在圖形上
幾何性質
∠ADB= ADC=90˚ ∠垂直性質
(AD BC) ⊥
解題經驗的考量• 解題經驗的不確定性
– 幾何證明先,幾何計算後– 幾何計算先,幾何證明後
時間的影響• 解題時間點不同
– 對應的試題幾乎同時間解– 對應的試題相差一天解題
實驗設計 Design Structure第一天 第二天
組別一:幾何證明先,幾何計算後
4題幾何證明 4 題幾何計算
組別二:幾何計算先,幾何證明後
4 題幾何計算 4 題幾何證明
組別三:幾何證明先,幾何計算後
2 題幾何證明先, 2題幾何計算後
2 題幾何證明先, 2題幾何計算後
組別四:幾何計算先,幾何證明後
2 題幾何計算先, 2題幾何證明後
2 題幾何計算先, 2題幾何證明後
施測學生樣本
• 二個年級–九年級 : 已經完成所有國中的幾何證明
課程
–八年級 :還沒正式學過幾何證明課程
• 每一班級隨機且平均的分派到四個組別
413 學生
502 學生
參與學生九年級 八年級 學生人數
組別一:幾何證明先,幾何計算後(分開一天)
100 124 224
組別二:幾何計算先,幾何證明後(分開一天)
103 122 225
組別三:幾何證明先,幾何計算後(同天)
107 128 235
組別四:幾何計算先,幾何證明後(同天)
103 128 231
學生人數 413 502 915
答題編碼 Coding Scheme
幾何計算 幾何證明
正確計算且理由正確 可接受證明
不完整的計算 不完整的證明
不恰當的計算 不恰當的證明
直覺反應 直覺反應
沒有回應 沒有回應
Points 1
Points 0
Points 0
Points 2
Points 3
幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)
T test and P value
Mean
Mean Differenc
e
Std. Error Mean
T df Sig.
GCN 6.33-.305 .068 -4.508 914 .000*
GP 6.03
個別年級的表現比較
6.686.49
6.05
5.65
5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0
8th grade 9th grade
Mea
n S
core
GC
GP
Significant
Not Sig.
兩種試題答題的先後
6.06
6.08
6.61
5.98
5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0
GC GP
Mea
n S
core
GC first GP later
GP first GC later
Significant Not Sig.
Timing Effects
6.34
6.106.33
5.96
5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0
GC GP
Mea
n Sc
ore A close proximity
Separated by oneday
Not Sig.Not Sig.
兩個年級間的比較
5.65
6.05
6.686.49
5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0
GC GP
Mea
n S
core
8th grade
9th grade
Significant Significant
幾何計算答題正確 VS幾何計算答題正確且有正確理由
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Pair 1 Pair 2 Pair 3 Pair 4
Per
cent
8th grade-Correctcalculation
8th grade-Correctcalculation withreasons
9th grade-Correctcalculation
9th grade-Correctcalculation withreasons
九年級學生答題正確在四個編碼類別的分佈
Intuitive responses
Improper calculations
Incomplete calculations
Correct calculations with reasons
Perc
ent
100
80
60
40
20
0
9th grade - GC1
Intuitive responses
Improper calculations
Incomplete calculations
Correct calculations with reasons
Perc
ent
100
80
60
40
20
0
9th grade - GC2
Intuitive responses
Improper calculations
Incomplete calculations
Correct calculations with reasons
Perc
ent
100
80
60
40
20
0
9th grade - GC3
Intuitive responses
Improper calculations
Incomplete calculations
Correct calculations with reasons
Perc
ent
100
80
60
40
20
0
9th grade - GC4
試題的獨立性Task-dependent
討論─觀點一• 幾何證明和幾何計算對九年級的學生來說,
難度是一樣的• 跟之前研究的結果相反 (e.g., Heinze,
Cheng, & Yang, 2004).– 沒有要求學生寫出幾何性質– 可以根據表層圖形直覺來猜出答案–猜測跟試題有相當的關係性存在
案例─幾何計算答案的猜測
Diagram GCN task description
In triangle ABC, AE BC, ⊥AB//DE, and CD=CE. Given that measure of DCE=40˚, find the measure of BAE=_____.
A
B CE
D
40
鑲崁在幾何計算圖形裡的等腰三角形
A
B CE
D
剛性變化
A
B CE
D
等腰三角形等底角
鑲崁在幾何計算圖形裡的同位角
A
B CE
D
討論─觀點二• 對八年級學生來說幾何證明比較困難
6.686.49
6.05
5.65
5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0
8th grade 9th grade
Mea
n Sc
ore
GC
GP
Significant
Not Sig.
討論─觀點二
解幾何計算的知識
將證明步驟正確串連的知識
正確使用代數及幾何符號的知識
不能使用數字來寫證明的知識
作幾何證明的知識
將證明步驟正確串連的知識
Proving ACD=2ABC when AC=BC
不能使用數字來寫證明的知識
正確使用代數及幾何符號的知識
跟圖形有關的錯誤( 1 )
跟圖形有關的錯誤( 2 )
跟圖形有關的錯誤( 3 )
Two parallel lines.Sum of the alternate interior angles is 180˚
Proving stepLabels on the
diagramGeometric
reasons
跟圖形有關的錯誤 (4)
ABC is collinear and BD=BC. Given that ABD=70˚, find the measure of BDC=____.The alternate interior angles property?!
總結• 幾何計算,尤其是非教科書裡的幾何計算
提供了學生學習– 不同的幾何知識– 幾何推理– 問題解決技巧
• 教師在教室裡會小心的維持住幾何計算試題的認知難度
• 學生解幾何計算的經驗對他們的幾何證明學習有相當的幫助
Implications• 課程分析的兩種方式: Vertical-dimension
(textbook) vs. horizontal-dimension investigations
• 使用 MTF 架構可有效的探究學生的學習成果• 未來研究應小心的考量亞洲國家的數學成就表現。尤其是– 考試文化 Examination culture– 非語言的教室互動模式 Non-verbal communications
(e.g., the use of gestures)