Элементы общей алгебры Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа
Элементы общей алгебры
Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа
Алгебраическая операция
На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.
Пример: 3+2=5 (3,2)→5
n-арная операция
n-арной операцией на множестве М будем называть функцию типа
φ: Mn→M. Число n называется арностью операции. Операция α, отображающая любой элемент
множества M в себя, называется тождественной операцией.
Тождественной операцией на множестве R, например, является умножение на единицу.
Коммутативность
Функциональный вид φ(a,b)Запись арифметических операций
aφbОперация φ называется
коммутативной, если для любых элементов a,b выполняется:
aφb = bφa.
Ассоциативность
Операция φ называется ассоциативной, если для любых элементов a,b,c выполняется:
(aφb)φc=aφ(bφc).Выполнение условия ассоциативности
означает, что скобки в выражении (aφb)φc можно не расставлять.
Дистрибутивность
Операция φ называется дистрибутивной слева относительно операции ψ, если для любых a,b,c выполняется:
aφ(bψc)=(aφb)ψ(aφc),и дистрибутивной справа
относительно операции ψ, если для любых a,b,c выполняется:
(aψb)φc=(aφc)ψ(bφc).
Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:
(b+c)a=a(b+x)=a(b+c)=ab+ac. Возведение в степень дистрибутивно
относительно умножения справа (ab)c=acbc, но не слева: abc≠abac. Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: a+bc≠(a+b)(a+c).
Алгебра
Пусть дано некоторое множество M, на котором задана совокупность операций Ω={φ1, φ2,…, φm}. Структура вида A=(M; Ω) называется алгеброй; множество M называется несущим множеством, совокупность операций Ω - сигнатурой, вектор “арностей” операций (n1, n2,…, nm) называется типом.
Пример. A={R, +, *}
Подстановка
Рассмотрим множество чисел (1, 2, …, n). Подстановкой назовем всякую биекцию (взаимно однозначно равную) его на себя.
1 2 33 2 1
Композиция подстановок
Пусть несущее множество – это множество подстановок длины n. Введем операцию, которую назовем композицией подстановок.
1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 1 3 2 1 2 1 3
Единичная подстановка
Единичная подстановка
Рассмотрим уравнение α*x=e, x=α-1
1 2 31 2 3
e
1 2 32 3 1
a
2 3 11 2 3
x
Гомоморфизм
Пусть даны две алгебры A=(M1; φ1, φ2,…, φn) и B=(M2; ψ1, ψ2,…, ψn).
Гомоморфизмом алгебры A в алгебру B называется функция
f : M1→M2, такая, что для всех a∈M1 выполняется
условие: f(φi(a))= ψi(f(a)) для любого i=1,…, n. (*)
Гомоморфизм
Г: ln x=y ln (ab)=ln a+ln b (R+; φ), (R; φ+)
Виды гомоморфизма
Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.
Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.
Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.
Примеры
Пусть N - множество натуральных чисел, N2 – множество натуральных чётных чисел.
Алгебры (N; +) и (N2; +) изоморфны; изоморфизмом является отображение f : n→2n, причём условие здесь имеет вид
2(a + b)=2a + 2b. Поскольку N2 ⊆ N, то данный изоморфизм
есть изоморфизм алгебры (N; +) в себя.
Примеры
Рассмотрим алгебры: A=(N,+,*), B(N7, , ). ⊕ ⊗ N7множество классов остатков (вычетов) по
модулю 7, N7={K0, K1, …, K6}. Покажем, что эти алгебры гомоморфные:
Г(13)=К6, Г(28)=К0, Г(13+28)=Г(41)=К6, Г(13+28)=Г(13)+Г(28)=К6+К0=К6, Г(13*28)=Г(264)=К0=Г(13)*Г(28)=К6*К0=К0
Примеры
Изоморфизмом между алгебрами (R+;*) и (R;+) является, например, отображение a→lg a. lg ab=lg a+lg b.
Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы, а отображением f может служить любое взаимно-однозначное соответствие.
Изоморфизм
Эквивалентность = рефлексивность ++ симметричность + +транзитивность
A~A – рефлексивность, A~D→B~A – симметричность,(A~B) (∧ B~C)→(A~C) – транзитивность.
Полугруппа
Полугруппой называется алгебра вида (M; φ) с одной ассоциативной бинарной операцией φ.
(a φ b) φ c=a φ (b φ c)=abc
Полугруппа
Как правило, в качестве такой операции φ используется умножение.
Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде a∙b или ab, а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде a2, a3 и так далее. Такая запись называется мультипликативной.
Полугруппу часто обозначают записью P=( M; ∙).
Абелева полугруппа
В общем случае, ab≠ba (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна.
Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.
Моноид
Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент e, что для любого a выполняется ∀a ae=ea=a, то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом.
Нейтральный элемент
Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы e1 и e2. Тогда e1e2=e1 и e1e2=e2, следовательно e1=e2.
Примеры
а) Алгебра (N2;*), где N2 – множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.
б) Алгебра (M;*), где M – множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица E.
в) Алгебра (N;*) является коммутативной полугруппой с единицей.
Порождающее множество
Если любой элемент полугруппы P=( M; ∙) можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества M0⊆M, то множество M0 называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.
Например, в полугруппе (N;*) порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.
Циклическая полугруппа
Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.
Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа (N;+), поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.
Пусть полугруппа P=( M; ∙) имеет конечное число образующих {a1, a2,…, an}.
Слова в алфавите {a1, a2,…, an}. Причём некоторые различные слова могут
оказаться равными, как элементы (равные элементы 24=2*8=16*1 записаны различными словами).
В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство ab=ba, позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами.
Подобные равенства называются определяющими соотношениями.
Свободная полугруппа
Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.
Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений.
Пример
А={a, b, c, …} A* - слова, сложенные из А, алгебра.
Введем алгебраическую операцию конкатенация, которая состоит в приписывании одному слову другого. Abba*cab=abbacab.
Данная полугруппа имеет 1 – пустое слово (моноид), т.к. приписываем его справа (слева), не меняет слово.
Группа
Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента a существует элемент a–1, называемый обратным к элементу a и удовлетворяющий условию aa–1=e.
Группа
Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:
1. для любых трех элементов a, b, c A выполняется свойство ассоциативности:
a(bc)=(ab)c Ассоциативность (всякая группа есть
подгруппа) – (g1°g2)°g3=g1°(g2°g3)
Группа
2. в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство:
ae=ea=a Существование единицы ∃e∈G ∀g∈G (e°g=g°e=g -
моноид)3. для любого элемента а существует элемент а-1 из
этого же множества такой, чтоaa–1=a–1a=e
Существование обратного элемента ∀g∈G ∃g–1∈G (g°g–1=g–1°g=e)
Группы
Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы.
Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой.
Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической.
Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.
Существуют конечные и бесконечные группы. Если группа конечная, т.е. |G|=n, то n –порядок группы.
Свойства групп
Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
(a−1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn. (ab)−1=b−1a−1. Законы сокращения: c∙a=c∙b⇔a=b, a∙c=b∙c⇔a=b. Обратный элемент к нейтральному есть сам
нейтральный элемент. Группа содержит единственное решение x любого
уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
Примеры
а) Алгебра (Z;+) является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу a играет (– a).
б) Алгебра (Q\0;∙), где Q\0 – множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу a является 1/a.
в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.
г) Множество матриц одинакового порядка m×n с операцией сложения образует абелеву группу.
Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы (2,1). Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера а соответствующая запись имеет вид (Z;+;0), а для группы из примера б - (Q\0;∙;1).
Пусть M и N – подмножества группы, т.е. M∈G, N∈G, тогда введем множество
M-1={x∈G|∃h∈M,x=h-1}, MN={x∈G| ∃ h1∈M,∃h2∈N,x=h1*h2}
NM≠MN в силу некоммуникативности.
Рассмотрим элемент а из группы G: a0=e, аk+1=ak*a=a*ak.
Порядок элемента а группы G – минимальное натуральное число n такое, что an = e. В случае, если такого n не существует, считается, что a имеет бесконечный порядок
Подгруппа
Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.
Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:
1. содержит единичный элемент из G,2. содержит произведение любых двух элементов
из H, 3. содержит вместе со всяким своим элементом h
обратный к нему элемент h−1. Более подробно это означает, что
h,h’∈H⇒h*h’∈H, e∈H и h∈H⇒h–1∈H.
Коммутативная операция
Если операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением.
В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g.
Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (–g).
Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.